Klaksifikasi Hadron dan Meson sebagai Representasi Uniter pada Sistem Partikel Elementer
Mulyadi NPM : 0399020527
Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia Depok 2004
Halaman Persetujuan Skripsi : Klaksifikasi Hadron dan Meson sebagai Representasi Uniter pada Sistem Partikel Elementer Nama : Mulyadi NPM : 0399020527 Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui Pembimbing
Dr.Terry Mart
Penguji I
Penguji II
Dr. Anto Sulaksono
Dr. L.T. Handoko
Kata Pengantar Partikel-partikel Subnuklir merupakan kumpulan partikel yang unik. Salah satunya adalah karena beberapa sifat istimewa yang terkait satu sama lain melalui kesimetrian. Kesimetrian partikel-patrikel ini dapat dipelajari dalam suatu topik pembelajaran di Fisika yang kerap dikenal sebagai Teori Grup. Sesungguhnya Teori Grup bukan hanya membahas representasi dan klaksifikasi ”cantik” dari partikel-partikel subnuklir, namun pada sistem many-body lainnya seperti pada molekul-molekul dapat dipelajari melalui Teori Grup. Tepat tanggal 1 juni 2002, Saya ingat pertama kali bertemu Pak Terry di Salemba untuk membicarakan masalah tugas akhir, karena saya tertarik di bidangnya beliau, Fisika Nuklir-Partikel teoritik. Saya tidak menyangka, karena banyak masalah dan lain-lain tugas akhir saya terbengkalai sampai bulan maret tahun ini. Tentu saja topik yang saya bawakan berbeda dengan yang seharusnya saya dapat kalau saya memulai Skripsi 2 tahun silam. Pemilihan topik ini sangat baik dilakukan oleh Pak Terry, karena Grup Fisika teoritik di Jurusan kita memang membutuhkan pengetahuan tersebut, karena ternyata banyak jurnal ilmiah di bidang nuklir-partikel teoritik ternyata tidak terlepas dengan pembahasan Grup seperti yang baru saja dilakukan ”Bapak” Nofirwan, S.si pada tugas akhir beliau semester lalu. Melalui Kata Pengantar ini, Penulis hendak mengucapkan terima kasih yang setulusnya kepada pak Terry yang telah dengan sabar dan setia menanti saya untuk mengerjakan tugas akhir saya, walaupun saya sudah beberapa kali ”bolos” dari Fisika. Terima kasih juga pada Pak Handoko yang banyak memberi masukan dan berperan sebagai pembimbing ”tak resmi” saya. Tidak lupa saya ucapkan terima kasih pada Pak Anto yang sangat mendukung dan memberi semangat pantang mundur pada para mahasiswa. Selain dosen-dosen di grup kita, Saya juga hendak mengucapkan terima kasih pada dosen-dosen lainnya yang secara tidak langsung telah berjasa bagi saya antara lain: Pak Chairul Bahri, yang sangat mendukung mahasiswa grup kita, termasuk saya untuk tetap bekerja keras
iii
di Fisika ; Pak Rachmat W.Adi, yang sangat memberi dukungan moral terhadap studi saya di jurusan Fisika UI; Pak Herbert P.Simanjuntak, yang sangat mempengaruhi apresiasi saya terhadap Fisika; Pak M.Hikam, yang mempercayai saya menjadi asisten untuk mata kuliah Fisika statistik; Ibu Rosari Saleh, alias ibu ”Oca”, yang banyak memberikan masukan-masukan mengenai hal-hal lain di luar Fisika selama saya kuliah dengan beliau; dan segenap dosen-dosen lain yang saking banyaknya tidak bisa saya sebutkan satu-persatu. Dari pihak mahasiswa, saya tak lupa ucapkan terima kasih kepada, ”Pak” Nofirwan, S.si; Julio, S.si; Freddy Simanjuntak, S.si; Anton wiranata; Yunita; Nowo Riveli; Ardi mustofa; dll Demikian halnya semua yang saya katakan, semoga isi skripsi ini bermanfaat dan mohon maaf jika ditemukan kesalahan, karena tidak mudah untuk menghindar dari kesalahan.
iv
Daftar Isi Halaman Persetujuan
ii
Kata Pengantar
iii
Daftar Isi
v
Daftar Gambar
vii
Daftar Tabel
viii
1 Pendahuluan
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 6
2 Tinjauan Pustaka
7
2.1 Elemen-elemen Teori Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.1
Definisi Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.2
Subgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.3 2.1.4
Isomorfisme dan Homomorfisme . . . . . . . . . . . . . . . Kelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 12
2.1.5
Perkalian Langsung Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2 Representasi Linier Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2.1 2.2.2
Definisi Representasi Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representasi Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 16
2.2.3
Representasi Ekivalen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2.4
Representasi Uniter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2.5
Representasi Iredusibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.6
Perkalian langsung Representasi . . . . . . . . . . . . . . .
20
v
2.2.7
Perkalian Luar Representasi . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2.8
Perkalian Dalam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3 Grup Lie
29
3.1 Transformasi infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2 Konstanta Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 34
3.4 Grup Simpel dan Semi-Simpel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.5 Aljabar Simpel dan Semi-simpel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.6 Beberapa contoh Grup Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Kekompakan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42 47
3.8 Penjumlahan langsung dan Semi-langsung dari Aljabar Lie . . . .
48
3.9 Representasi Kontradingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4 Hasil dan Pembahasan
51
4.1 Sifat umum Grup-grup Uniter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.2 Grup SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Homomorfisme SU(2) dengan R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54 55
4.4 Multiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.5 Grup SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.5.1 4.5.2
Transformasi Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . Osilator harmonik 3 dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . .
59 64
4.5.3
Diagram Bobot untuk representasi fundamental . . . . . .
66
4.5.4
Pelabelan irreps SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.5.5
Representasi Kompleks Konjugat . . . . . . . . . . . . . .
76
4.5.6 4.5.7
Klaksifikasi Hadron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klaksifikasi Meson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79 83
4.5.8
Formula massa Gell-Mann – Okubo . . . . . . . . . . . . .
86
4.6 Grup di atas SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.6.1
Kuark dengan citarasa dan spin . . . . . . . . . . . . . . .
Daftar Acuan
90 94
vi
Daftar Gambar 4.1 Diagram Bobot Representasi Fundamental SU(3) . . . . . . . . .
68
4.2 Aksi dari operator tangga pada bidang I3-Y . . . . . . . . . . . . 4.3 Diagram Bobot Tipikal suatu representasi SU(3) dengan λ = 6
68
dan µ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.4 Kontur dari suatu diagram bobot . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.5 Diagram Bobot Tipikal SU(3) untuk (λµ)=(11) λ = 6. Diagram bobot memiliki multiplisitas 2 yang ditandai titik yang dilingkari 4.6 Diagram Bobot Tipikal suatu representasi kompleks konjugat ¯3
77
SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
π
1+ ). 2 P
π
. . .
83
4.8 (a)Meson pseudoskalar J = 0− .(b) Meson vektor J P = 1 . . . . 4.9 Plot Chew-Frautschi dari keadaan-keadaan q q¯ yang menunjukkan
85
momentum sudut orbital, L terhadap kuadrat massa . . . . . . .
87
4.7 (a)Oktet Baryon (J =
(b) Dekuplet Baryon (J =
3+ ) 2 −
vii
Daftar Tabel 1.1 Beberapa kesimetrian dalam Fisika . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Tabel perkalian grup S3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 10
3.1 Sifat matriks yang relevan terhadap definisi bermacam grup kontinu 43 3.2 Macam-macam Grup Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.1 Nilai-nilai Konstanta dklm yang didefinisikan menurut dan . . . .
63
4.2 Kemungkinan nilai-nilai Y dan I untuk . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Karakteristik baryon-baryon bermassa rendah . . . . . . . . . . .
73 82
4.4 Dimensi dari irreps SU(N). Partisi yang dilarang ditandai dengan * 91
viii
Bab 1 Pendahuluan Alam semesta kita ini sangat menarik dan unik. Salah satu ”keajaiban” alam yaitu terdapatnya kesimetrian. Kesimetrian merupakan atribut alamiah dalam dunia fisis dan oleh karena itu merupakan titik awal dari segala hukum fisis. Untuk mempelajari kesimetrian , Kita akan menggunakan Teori Grup, karena teori grup merupakan cabang matematika yang cocok untuk mempelajari kesimetrian sistem-sistem fisis. Dasarnya adalah Hamiltonian ataupun Lagrangian dari sistem, karena kesimetrian suatu sistem fisis dinyatakan oleh Lagrangian dan Hamiltonian sistem tersebut. Teori Grup dapat menjelaskan berbagai keteraturan sifat dan besaran fisis yang teramati dan dapat membantu menyederhanakan dan menyatukan hukum fisika dari sistem-sistem yang jelas berbeda. Teori grup merupakan ”alat” yang bermanfaat untuk memahami perilaku sistem dimana terdapat kesimetrian di dalamnya. Berkaitan dengan kesimetrian, dalam skripsi ini juga akan dibahas mengenai kesimetrian yang dipelajari dalam mekanika kuantum. Mula-mula terdapat kesimetrian permutasi untuk partikel identik, yang tekait pada grup simetrik. Peran dari grup simetri ini adalah untuk menjamin bahwa fungsi gelombang partikel dapat mencakup sifat ketidakdapat-terbedakan secara tepat dan sesuai. Selain itu Kesimetrian juga merupakan sifat alamiah dari alam , karena beberapa hal cenderung memiliki preferensi yang sama.
1.1
Latar Belakang
Ide awal dari teori grup sebagai cabang dari ilmu matematika berawal pada awal abad 19. Pada akhir abad 19, dan awal abad 20, perkembangan teori grup secara signifikan dilakukan oleh Frobenius, Schur, Lie, dan Cartan. Peran teori grup secara esensial baru disadari pada sekitar tahun 1920-an, bersamaan dengan pengembangan teori representasi dari Grup, yang sangat terkait erat dengan 1
mekanika kuantum. Pada zaman sekarang, dalam perkembangan fisika modern, khususnya pada bidang fisika energi tinggi, kesimetrian memainkan peran yang sangat penting dan sangat diperlukan. Saat ini, para fisikawan percaya bahwa semua interaksi fundamental dapat dideskripsikan melalui teori gauge, yaitu teori yang menjelaskan kesimetrian gauge. Aspek lain yang tak kalah penting adalah perluasan teori dari grup Lie ke pembahasan kesupersimetrian. Konsep-konsep ini sedang diaplikasikan ke fisika partikel, teori medan kuantum (Quantum Field Theory), dan gravitasi dalam bentuk teori string dan superstring. Latar belakang pemilihan topik ini adalah untuk mempelajari topik Teori Grup secara literatur dan menggunakannya dalam representasi uniter untuk kasus partikel-partikel subnuklir.
1.2
Perumusan Masalah
Dalam mekanika kuantum, terdapat 5 macam kesimetrian . Beberapa diantaranya dan konsekuensinya diringkas pada tabel 1.1. 1. Kesimetrian permutasi diskret Dalam mekanika kuantum, nilai ekspektasi besaran-besaran fisika tidak berubah terhadap permutasi partikel-partikel identik. Transformasi permutasi membentuk sebuah grup yang disebut grup simetrik Sn
2. Kesimetrian ruang-waktu kontinu
(a) Translasi dalam ruang r0 = r + ρ
(1.1)
Dalam kasus ini kesimetrian terjadi berdasarkan asumsi kehomogenan ruang. Ini artinya kita dapat memilih sembarang koordinat titik asal, atau dengan kata lain : Tidak terdapat posisi absolut. Hal ini berlaku untuk sistem terisolir dan mengakibatkan potensial interaksi antara 2 partikel tidak bergantung pada pemilihan titik asal koordinat sistem. Konsekuensi dari kesimetrian ini adalah hukum kekekalan momentum linier. 2
(b) Translasi waktu t0 = t + t0
(1.2)
Kesimetrian terjadi berdasarkan asumsi kehomogenan waktu. Ini artinya waktu awal dapat dipilih secara sembarang, suatu fenomena fisis dapat dilakukan pada sembarang waktu, atau dengan kata lain: Tidak terdapat waktu absolut. Hal ini berlaku untuk sistem yang konservatif, dimana medan luar tidak bergantung waktu. Lagrangian dan Hamiltonian sistem yang demikian tidak bergantung waktu dan konsekuensi dari kesimetrian ini adalah hukum kekekalan energi. (c) Rotasi dalam ruang 3 dimensi x0 = Rij xj (i, j = 1, 2, 3)
(1.3)
dimana xi adalah komponen-komponen dari suatu vektordan Rij adalah matriks rotasi. Kesimetrian rotasi berasal dari asumsi keisotropikan ruang atau ketiadaan preferensi arah. Kesimetrian ini juga menunjukkan bahwa sifat dari suatu sistem tidak bergantung pada orientasi sistem tersebut di dalam ruang. Konsekuensi dari kesimetrian ini adalah hukum kekekalan momentum angular. (d) Transformasi Lorentz x0µ = Λµν xν (µ, ν = 0, 1, 2, 3)
(1.4)
dimana xν merupakan suatu titik di dalam ruang-waktu Minkowski. Persamaan(1.4) merupakan transformasi Lorentz antara 2 sistem yang bergerak relatif secara beraturan. Dalam relativitas khusus, Hukumhukum fisis diformulasikan sedemikian sehingga hukum tersebut identik untuk semua kerangka acuan inersial. Dalam batas non relativistik, hukum fisika invarian terhadap transformasi galileo, yaitu bahwa tidak terdapat kecepatan absolut. Konsekuensi dari kesimetrian ini adalah hukum kekekalan yang terkait dengan generator dari grup Lorentz. 3. Kesimetrian ruang-waktu diskret (a) Pembalikan ruang (pencerminan), P , dimana P r = r0 = −r 3
(1.5)
Dalam mekanika kuantum, operasi pembalikan ruang didefinisikan oleh operator uniter yang menghasilkan suatu bilangan kuantum yang disebut paritas, yang selalu kekal pada setiap interaksi alam, kecuali pada interaksi lemah. (b) Pembalikan waktu, T , dimana t → −t
(1.6)
Ini adalah perubahan arah aliran waktu. Diperkenalkan dalam mekanika kuantum oleh Wigner tahun 1932. Hukum-hukum fisika secara umum simetrik terhadap waktu, kecuali misalnya untuk peluruhan K0 (c) Transformasi-transformasi simetri dari point groups, yang merupakan jenis transformasi dimana paling sedikit satu buah titik dari suatu sistem benda dalam ruang yang tetap pada posisinya, dan titik pada benda tersebut menempati posisi yang sama setelah transformasi. Contohnya: rotasi terhadap sumbu tetap dan pencerminan terhadap suatu bidang.. Untuk material yang tak berhingga (tak tercacah), sepeti kisi kristal, translasi terhadap segmen tertentu juga temasuk agar diperoleh kesimetrian dasar dalam fisika molekul dan zat padat. 4. kesimetrian besaran internal kontinu Berkaitan dengan transformasi-transformasi yang bekerja dalam ruang derajat kebebasan intrinsik pada partikel-partikel subnuklir, sebagai contoh, spin, cita rasa (flavor), color. Flavor F merupakan suatu derajat kebebasan yang bergantung pada beberapa derajat kebebasan lainnya yaiu: isospin I, hypercharge Y ,Charm C,Beauty B, dan Topness T . Kesimetrian internal lebih sulit untuk dipelajari karena tidak nyata bila dibandingkan dengan Grup simetri. Pengalaman menunjukkan bahwa beberapa transformasi yang relevan akan membentuk grup yang uniter. Secara khusus, Keinvarianan terhadap transformasi-transformasi yang dideskripsikan dengan grup uniter U (1) akan menghasilkan kekekalan bilangan muatan dan partikel (khusus untuk Lepton, dan Baryon). Kesimetrian isospin dari interaksi kuat, yang dideskripsikan oleh SUI (2), merupakan pengejawantahan dari (hampir) kedegenerasian massa proton dan neutron. Bentuk alternatif lainnya adalah kesimetrian SUF (2) yang menjelaskan kedegenerasian massa kuark up dan down. 4
Asumsi teoritik
Transformasi simetrik
Konsekuensi
Ketidakterbedakan partikel identik Kehomogenan Ruang Kehomogenan Waktu Keisotropikan Ruang Ketiadaan kecepatan absolut
Permutasi Translasi Ruang Translasi Waktu rotasi 3 dimensi Transformasi Lorentz
Statistik Fermi-Dirac Kekekalan Momentum Linier Kekekalan Energi Kekekalan Momentum Angular Kekekalan Generator Grup Lorentz
Tabel 1.1: Beberapa kesimetrian dalam Fisika
5. kesimetrian besaran internal diskret. (a) Konjugasi muatan, C. Dengan transformasi ini, tanda suatu muatan listrik berubah dari positif ke negartif dan sebaliknya. Ini merupakan kesimetrian antara partikel dan antipartikel. Dalam kerangka kerja persamaan Dirac, konjugasi muatan merupakan operator antiuniter , tetapi dalam teori medan merupakan operator uniter. Eksperimeneksperimen yang mengkonfirmasi ketidakkekalan paritas dalam interaksi lemah juga memberi bukti terhadap C-violation atau keasimetrian partikel dan antipartikel. (b) Paritas-G. Transformasi yang terkait dengan kesimetrian ini merepresentasikan konjugasi muatan yang dikombinasikan dengan rotasi sebesar π di dalam ruang isospin suatu partikel. Dalam interaksi kuat, paritas-G terkekalkan. Dalam skripsi ini, pembahasan masalah akan dititik beratkan kepada jenis kesimetrian besaran intrinsik kontinu yang terkait langsung dengan Grup Lie kompak yang akan dibahas mendetail pada bab 3. Sedangkan pembahasan utama akan mengacu pada klaksifikasi Hadron dan Meson menurut representasi uniter sebagai aplikasi fisis Grup Lie kompak pada partikel-partikel elementer berenergi tinggi.
5
1.3
Metode Penelitian
Penelitian yang dilakukan di sini sifatnya hanya teoritik. Karena itu diperlukan suatu kerangka kerja yang sistematis dalam menerangkan proses-proses fisika yang terjadi. Kerangka kerja teoritik yang digunakan adalah teori grup dengan bersumber pada beberapa literatur utama, dan karena skripsi ini sifatnya studi literatur, maka akan terdapat banyak landasan teori dan tinjauan pustaka yang menyertai sebagai pendahuluan yang komplit terhadap pembahasan utama yang singkat
1.4
Tujuan
Tujuan penelitian ini adalah mempelajari kesimetrian besaran-besaran intrinsik partikel subnuklir yaitu hadron dan meson melalui teori representasi terutama melalui representasi yang uniter.
6
Bab 2 Tinjauan Pustaka 2.1
Elemen-elemen Teori Grup
Terdapat beberapa definisi dan pemahaman dasar dalam Teori Grup, antara lain definisi grup itu sendiri, pengertian kelas, subgrup, dan perkalian langsung.
2.1.1
Definisi Grup
Suatu himpunan G yang terdiri dari elemen-elemen transformasi g membentuk suatu grup jika memenuhi syarat-syarat berikut: 1. Hasil dari penerapan sembarang transformasi secara berturut-turut g1 ∈ G,
g2 ∈ G
merupakan suatu transformasi baru yang juga terdapat di dalam himpunan tersebut: g1 g2 = g ∈ G
(2.1)
Relasi ini disebut produk atau hukum komposisi 2. Hukum komposisi memenuhi sifat asosiatif untuk semua g1 , g2 , g3 ∈ G, (g1 g2 )g3 = g1 (g2 g3 )
(2.2)
3. Salah satu elemen transformasi merupakan elemen identitas, yaitu bahwa e ∈ G sedemikian sehingga ge = eg = g
7
(2.3)
4. Kalau suatu elemen transformasi terdapat dalam himpunan tersebut, maka invers dari transformasi itu juga terdapat dalam himpunan tersebut sedemikian sehingga: gg −1 = g −1 g = e
(2.4)
Walaupun sifat asosiatif berlaku untuk semua grup, maka tidak demikian halnya dengan sifat komutatif. Namun terdapat grup yang memnuhi sifat komutatif, yang disebut grup abelian. Secara umum, dilihat dari kuantitas elemen dalam suatu grup, maka grup dapat dibagi menjadi 2 jenis utama, yaitu: (1) Grup berhingga (finite groups), (2) Grup tak berhingga (infinite groups). Grup berhingga Grup berhingga merupakan suatu grup dengan jumlah elemen yang berhingga N , dengan N menyatakan orde dari grup tersebut. Ada beberapa contoh Grup berhingga, 2 diantaranya adalah : Grup titik (Point groups) dan Grup simetrik (Symmetric groups) 1. Grup titik (Point groups) Grup ini terkait dengan kesimetrian benda dimana minimal satu titik tetap pada posisi semula setelah proses transformasi terjadi. Transformasi-transformasi dalam grup ini tidak merubah jark dan dapat dibangun dari 3 jenis transformasi dasar: (a) Rotasi sudut tertentu terhadap sumbu tertentu jika sudutnya 2π/n, transformasi tersebut ditandai dengan Cn . (b) Refleksi terhadap bidang (c) Translasi kesimetrian ini terjadi hanya pada benda tak berhingga yang merupakan ekstrapolasi dari benda yang nyata 2. Grup simetrik (Symmetric groups) Peran Grup simetrik adalah menyediakan fungsi-fungsi gelombang yang mencakup sifat keidentikan partikel secara tepat dengan memperhitungkan semua derajat kebebasan sistem. Transformasi yang terdapat dalam Grup simetrik adalah permutasi, yang menyatakan pertukaran partikel-partikel
8
pembentuk sistem. Semua permutasi yang mungkin dari sekumpulan partikel membentuk Grup simetrik. Sebuah sistem partikel identik dideskripsikan dengan fungsi gelombang yang bersifat simetrik untuk boson dan antisimetrik untuk fermion. Pandang n objek dalam urutan 1,2,..,n. Permutasi menyatakan transisi dari urutan demikian menjadi urutan lain, a1 , a2 , ..., an . Notasi untuk transisi ini adalah: µ ¶ 1 2 ... n Pa = a1 a2 ... an
(2.5)
Pada persamaan di atas, elemen-elemen dalam suatu kolom dapat saling dipertukarkan, yang artinya kita dapat mulai dari urutan awal sembarang, namun kita selalu melakukan pertukaran dari urutan i ke ai . Contoh: µ ¶ 1 2 3 4 5 Pa = (2.6) 5 3 2 1 4 Jika permutasi di atas ini bekerja pada fungsi gelombang 5-partikel, kita akan peroleh Pa ψ(1, 2, 3, 4, 5) = ψ(5, 3, 2, 1, 4)
(2.7)
Permutasidari n objek menghasilkan suatu grup berorde N = n! , dengan elemen identitas: µ Pe =
1 2 ... n 1 2 ... n
¶ (2.8)
Sedangkan invers dari sembarang elemen Pa adalah µ Pa−1
=
a1 a2 ... an 1 2 ... n
¶
Jika dalam grup terdapat suatu elemen permutasi lain ¶ µ a1 a2 ... an Pb = b1 b2 ... bn
(2.9)
(2.10)
maka penerapan Pa dan Pb secara berturut-turut, kita akan dapatkan permutasi lain (yang juga merupakan elemen dari grup) µ ¶ 1 2 ... n Pc = Pb Pa b1 b2 ... bn 9
(2.11)
e (12) (13) (23) (123) (132)
e
(12)
(13)
(23)
(123)
(132)
e (12) (13) (23) (123) (132)
(12) e (123) (132) (13) (23)
(13) (132) e (123) (23) (12)
(23) (123) (132) e (12) (13)
(123) (23) (12) (13) (132) e
(132) (13) (23) (12) e (123)
Tabel 2.1: Tabel perkalian grup S3 Sebagai contoh: µ Pc
= µ = µ =
1 2 3 4 5 4 3 5 1 2 5 3 2 1 4 2 5 3 4 1 1 2 3 4 5 2 5 3 4 1
¶µ ¶µ ¶
1 2 3 4 5 5 3 2 1 4 1 2 3 4 5 5 3 2 1 4
¶ ¶
(2.12)
Grup S3 merupakan salah satu contoh grup permutasi yang cukup sederhana dan baik untuk dipelajari. Ada 3!=6 elemen grup S3 yaitu: µ ¶ µ ¶ µ 1 2 3 1 2 3 1 e = , (12) = , (13) = 1 2 3 2 1 3 3 µ ¶ µ ¶ µ 1 2 3 1 2 3 (23) = , (123) = , (132) = 1 3 2 2 3 1
2 3 2 1
¶
1 2 3 3 1 2
¶ (2.13)
Dari grup ini dapat dirancang tabel perkalian grup yang mengatur aturan perkalian antar elemen grup seperti yang diperlihatkan pada tabel (2.1): Grup tak berhingga Terdapat pula grup dengan banyak elemen tak berhingga. Grup semacam ini terpecah ke dalam 2 kategori 1. Grup Diskrit memiliki elemen yang dapat dicacah karena dari satu elemen ke elemen lain terdapat perbedaan yang jelas 2. Grup Kontinu memiliki elemen yang kontinu sehingga antara satu elemen ke elemen lain, 10
terdapat banyak sekali elemen sehingga perbedaannya tidak jelas (kontinu). Namun pada skripsi ini, penekanan akan dilakukan pada grup kontinu dengan jumlah parameter berhingga.
2.1.2
Subgrup
Dari elemen-elemen grup kontinu G maupun diskrit, kita dapat memilih suatu subset H dan menuliskan H ⊂ G atau G ⊃ H
(2.14)
untuk mengsimbolisasikan bahwa subset H terkandung dalam G. Jika subset H sendiri membentuk grup, maka H disebut subgrup dari G Koset Jika g merupakan salah satu elemen dari G, maka kita dapat membentuk himpunan elemen-elemen gH dengan mengalikan g dengan semua elemen H, maka terdapat korespondensi satu - satu antara H dan gH. Jika g ∈ H maka gH sendiri merupakan subgrup. Namun jika g ∈ G dan tidak dikandung oleh h, maka gH bukan merupakan suatu grup karena tidak mengandung elemen identitas. gH yang terbentuk ini disebut sebagai koset kiri (lef t coset) dari H. Dengan cara yang analog, dapat didefinisikan koset kanan (right coset) Hg. Sembarang elemen G merupakan bagian dari baik H, atau salah satu dari kosetnya. Sebagai contoh perhatikan kembali tabel (2.1) yang terdiri dari 4 subgrup berikut: H1 , e, (12) H2 , e, (13)
(2.15)
H3 , e, (23) H4 , e, (123), (132)
2.1.3
Isomorfisme dan Homomorfisme
Dua buah grup G dan G0 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satusatu antara elemen-elemen mereka, yaitu bahwa untuk setiap g ∈ G, terdapat satu dan hanya satu g 0 ∈ G0 , korespondensi g ↔ g 0 kekal terhadap hukum perkalian. Grup-grup isomorpik memiliki struktur yang sama. Berikut contoh grup yang 11
saling isomorfik: rotasi π terhadap sumbu-x ↔ (12)(34) ↔ a rotasi π terhadap sumbu-y ↔ (13)(24) ↔ b rotasi π terhadap sumbu-z ↔ (14)(23) ↔ c perkalian 3 rotasi di atas ↔ (1)(2)(3)(4) ↔ e
(2.16)
Sedangkan sebuah grup G dikatakan homomorfik dengan G0 , jika untuk sembarang g ∈ G, terdapat korespondensi antara tiap g 0 ∈ G0 dengan minimal satu g sedemikian sehingga g10 g20 = g 0 atau G → G0 . Contoh homomorfisme ada pada baba 4 pada pembahasan homomorfisme antara SU(2) dengan O(3)
2.1.4
Kelas
Dua elemen a dan b dari grup G dikatakan konjugat satu sama lain jika terdapat elemen ketiga x0 ∈ G sedemikian sehingga: b = x0 ax−1 atau a = x−1 0 0 bx0
(2.17)
Jika 2 elemen a dan b konjugat terhadap c, maka ketiganya saling konjugat satu sama lain. Kelas konjugasi (ataus kelas) merupakan sehimpunan elemen yang konjugat terhadap suatu elemen tertentu melalui seluruh elemen grup. Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa semua elemen dalam sautu kelas saling konjugat satu sama lain. Elemen-elemen suatu grup dibagi-bagi menjadi kelas-kelas yang berbeda. Jika kita tandai kelas-kelas dari suatu grup G dengan Ci (i = 1, 2, ..., K), maka grup tersebut dapat ditulis sebagai gabungan kelas-kelas nya G = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ CK
(2.18)
dimana K ≤ N untuk suatu grup berhingga berorde N . Sebagai contoh, kita pandang kembali grup S3 , kita pilih elemen (123) dan dengan menggunakan tabel (2.1) untuk menentukan salah satu kelas S3 yang mengandung (123) sebagai
12
berikut: e(123)e = (123) (12)(123)(12)−1 = (12)(13) = (132) (13)(123)(13)−1 = (13)(23) = (132)
(2.19)
(23)(123)(23)−1 = (23)(12) = (132) (123)(23)(123)−1 = (123) (132)(123)(132)−1 = (123) Dengan proses yang serupa dengan di atas, kita dapatkan ternyata untuk S3 terdapat 3 buah kelas C1 , C2 , C3 dengan anggota-anggota sebagai berikut: C1 = {e}, C2 = {(12), (13), (23)}, C3 = {(123), (132)} Partisi Permutasi dapat ditulis sebagai produk dari siklus tertutup tanpa elemen yang sama. Anggap dalam suatu permutasi dari n objek, siklus yang panjangnya i muncul sebanyak ki kali, maka haruslah k1 + 2k2 + 3k3 + ... + nkn = n
(2.20)
dimana ki ≥ 0. Setiap struktur siklik merepresentasi kelas, sehingga tiap set bilangan bulat ki yang memenuhi (2.20) berkorespon dengan suatu kelas dari grup Sn . Kita dapat perkenalkan lagi bilangan bulat λ1 = k1 + k2 + ... + kn λ2 = +k2 + ... + kn . . λn =
kn
(2.21)
sehingga persamaan (2.20) menjadi: λ1 + λ2 + ... + λn = n
(2.22)
dimana, λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn ≥ 0 Himpunan λ = [λ1 , λ2 , ..., λn ] dikatakan partisi. Kita dapat menyatakan ki dalam
13
suku λi k1 = λ1 − λ2 k2 = λ2 − λ3 .
(2.23)
. kn = λn Dengan kata lain, terdaapt korespondensi satu-satu antara himpunan [k1 , k2 , ..., kn ] dan [λ1 , λ2 , ...λn ]. Artinya terdapat korespondensi satu-satu antara suatu partisi λ dengan suatu struktur siklik atau kelas, dan banyaknya partisi n sama dengan banyaknya kelas dari Sn
2.1.5
Perkalian Langsung Grup
Kita dapat definisikan suatu grup G sebagai perkalian langsung antara 2 grup lain H1 dan H2 jika 1. semua elemen H1 commute dengan semua elemen H2 2. H1 dan H2 hanya memiliki satu elemen yang sama yaitu elemen identitas 3. Suatu elemen G dapat secara unik ditulis sebagai perkalian h1 ∈ H1 dan h2 ∈ H2 : g = h1 h2 = h2 h1
(2.24)
Dalam definisi yang lebih luas,G merupakan perkalian langsung jika ia isomopfik terhadap H1 × H2 . Perkalian langsung dapat diperumum ke lebih dari 2 faktor asalkan semua Hi (i = 1, 2, ..., n) kommut antar mereka. Semua grup ini harus berbeda dan satu-satunya elemen yang sama hanya elemen identitas. Suatu sifat penting adalah bahwa tiap Hi merupakan subgrup invarian dari G Suatu grup G merupakan produk semi langsung jika grup ini memiliki subgrup H1 dan H2 sedemikian sehingga 1. H1 merupakan subgrup invarian dari G 2. H1 dan H2 hanya memiliki elemen identitas sebagai satu-satunya elemen yang sama 3. sembarang elemen G dapat ditulis sebagai perkalian h1 ∈ H1 dan h2 ∈ H2 . 14
2.2
Representasi Linier Grup
Dalam mekanika kuantum, kita tertarik pada sifat-sifat keadaan eigen terhadap bermacam transformasi. Teori Grup menawarkan suatu cara sistematik untuk menemukan sifat-sifat ini dari kesimetrian Hamiltonian. Keadaan eigen membentukruang vektor linier yang menyediakan representasi matriks dari grup transformasi G. Coba kita tandai represntasi yang demikian itu dengan D(g) dimana g merupakan salah satu elemen dari G Kasus yang sederhana secara trivial dari suatu representasi diperoleh untuk grup pembalikan (inversi) dimana matriks berukuran 1 × 1. Dua elemen dari grup adalah elemen identitas e(x → x) dan P (x → −x). Untuk sembarang keadaan dengan paritas genap, π = +1, representasinya adalah D(e) = 1
D(P ) = 1
(2.25)
Keadaan dengan paritas ganjil, π = −1, memberikan representasi D(e) = 1
D(P ) = −1
(2.26)
Suatu representasi dibentuk dari matriks-matriks sebanyak jumlah elemen dalam grup.
2.2.1
Definisi Representasi Grup
Suatu grup Γ dari operator-operator linier didefinisikan dalam ruang vektor berdimensi berhingga L dikatakan suatu representasi linier dari suatu sembarang grup G jika G homomorfik terhadap Γ. Coba kita sebut operator yang berkaitan dengan g ∈ G dengan S(g). Maka kita peroleh S(g1 )S(g2 ) = S(g1 g2 )
(2.27)
S(e) = e
(2.28)
S(g − 1) = S −1 (g)
(2.29)
Relasi ketiga berasal dari fakta bahwa operator S(g) haruslah non-singular, yaitu bahwa ia memiliki invers S −1 (g) agar dapat memenuhi aksioma suatu grup. Sehingga dapat kita tuliskan S(g)S −1 (g) = e
(2.30)
Padahal gg −1 = e mengakibatkan S(g)S(g 1 ) = S(e) = e Dengan membandingkan (2.30) dan (2.31) kita peroleh (2.29) 15
(2.31)
2.2.2
Representasi Matriks
Jika dimensi L adalah n maka suatu representasi memilii derajat n atau dengan kata lain representasi tersebut berdimensi-n. Malahan,operator-operator S(g) menghasilkan matriks-matriks berukuran n × n yang bekerja pada vektor basis |1 >, |2 >, ..., |n > dari L S(g)|k >=
X
µ Dik (g)|i >
(2.32)
Matriks-matriks Dµ (g) membentuk representasi matriks dari grup G. Biasanya matriks ini diberikan indeks superskrip µ yang berkaitan dengan dimensi dari representasi. Notasi yang umum untuk suatu representasi matriks adalah Γ atau D. Coba kita ambil suatu set fungsi ψ1 , ψ2 , ...ψn yang berkorespon dengan nilai eigen yang sama dari suatu hamiltonian H. Misalnya H invarian terhadap grup transformasi Γ yaitu [H, S(g)] = 0
(2.33)
maka sembarang fungsi baru S(g)ψi berkorespon dengan nilai eigen yang sama. Matriks transformasi dari ψi ke S(g)ψi merupakan suatu representasi linier dari G. Ini merupakan suatu kasus khusus dari apa yang sering disebut sebagai subspace invarian dalam teori grup. Dalam suatu ruang linier L, sangatlah mungkin untuk menemukan suatu subspace L0 dengan vektor basis ψi memiliki sifat bahwa suatu vektor yang telah ditransformasi S(g)ψi juga merupakan elemen dari L0 . Maka L0 dikatakan subspace invarian jika sifat ini dimiliki oleh semua transformasi S(g) dari transformasi Γ
2.2.3
Representasi Ekivalen
Ambil 2 buah representasi S(g) dan S 0 (g) berturut-turut dalam L dan L0 . Jika L dan L0 memiliki dimensi yang sama dan dapat dicari operator linier non-singular M yang mengubah L dan L0 ke satu sama lain sedemikian sehingga M S(g) = S 0 (g)M
(2.34)
untuk tiap g maka 2 representasi tersebut dikatakan ekivalen. Dengan kata lain, jika kita mengubah basis di dalam ruang L dengan matriks M representasi tersebut akan menjadi S 0 (g) = M S(g)M −1 16
(2.35)
Sembarang transformasi dari suatu matriks yang memiliki bentuk (2.35) dikatakan transformasi keserupaan
2.2.4
Representasi Uniter
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang merupakan vektor keadaan atau kombinasi linier dari vektor-vektor keadaan, yaitu keadaan eigen ψi dari hamiltonian. ψi membentuk ruang Hilbert, yang mana dalam produk skalar didefinisikan dengan < ψi |ψj >=< ψj |ψi >∗
(2.36)
Vektor basis ψi dapa dipilih yang ortonormal yaitu memenuhi: < ψi |ψj > δij
(2.37)
Suatu operatr U dikatakan unitary jika < U φ, U ψ >=< φ, ψ >
(2.38)
Untuk basis ortonormal, hal ini mengimplikasikan < U ψi |U ψj >=< ψi |ψj >= δij untuk semuai, j
(2.39)
Matriks yang berasosiasi dengan U dalam basis ortonormal merupakan matriks unitary U U † = U †U = 1
(2.40)
Jika operator-operator dari suatu representasi S(g) dari suatu grup G bersifat uniter, maka representasinya disebut representasi uniter. Kebanyakan grup yang menarik di Fisika memiliki representasi uniter atau representasi yang dapat diubah menjadi transformasi uniter. Dalam subbab ini ada suatu teori penting: Setiap representasi ekivalen terhadap suatu representasi uniter untuk grup Lie kompak yang berhingga. Bukti: Untuk grup berhingga ada suatu pembuktian yang baku seperti yang akan dijabarkan di bawah ini. Kita perkenalkan suatu operator penjumlahan invarian berikut H2 =
1 X † S (h)S(h) N h∈G
(2.41)
dimana N merupakan orde dari grup dan penjumlahannya dilakukan terhadap seluruh elemen h dari G. Ini adalah matriks hermit dan kita dapat buktikan 17
bahwa nilai eigennya real dan positif. Maka adalah sah jika kita definisikan suatu akar dari operator H berikut: 1
H = (H 2 ) 2
(2.42)
Operator H memberikan representasi ekivalen S 0 (g) = HS(g)H −1
(2.43)
yang akan kita buktikan bersifat uniter. Mula-mula kita tunjukkan dahulu bahwa S†(g)H 2 S(g)
1 X † S (g)S † S(h)S(g) N h∈G 1 X † S (hg)S(hg) N h∈G 1 X † 0 S (h )S(h0 ) N h0 ∈G
= = =
(2.44)
H2
=
dimana h0 = hg juga dijumlahkan terhadap seluruh elemen G, disusun ulang dengan perkalian di sisi kanan, dengan elemen tetap g. Mengalikan (2.44) dengan H −1 di sebelah kiri dan S −1 H −1 di sebelah kanan, kita peroleh H −1 S † (g)H = HS −1 H −1
(2.45)
atau secara alternatif, dengan menggunakan fakta bahwa H bersifat hermitian, ¡
HS(g)H −1
¢†
¡ ¢−1 = HS(g)H −1
(2.46)
atau dengan menggunakan definisi (2.43) S 0† (g) = S 0−1 (g)
(2.47)
yang membuktikan bahwa representasi ekivalen S 0 bersifat uniter. Bukti ini dapat diperumum untuk grup Lie kompak melalui penggunaan integrasi invarian terhadap elemen-elemen grup alih-alih menggunakan penjumlahan invarian (2.41).
2.2.5
Representasi Iredusibel
Iredusibilitas merupakan sifat yang sangat penting dari suatu grup. Dalam Fisika, kita menggunakan grup-grup simetris terutama melalui representasi iredusibel. Keadaan-keadaan terdegenerasi dari suatu hamiltonian dapat menyediakan fungsi 18
basis untuk representasi iredusibel. Jika dalam ruang vektor linier L, kita dapat menemukan suatu basis dimana matriks-matriks D(g) dari representasi berdimensi-n dapat secara simultan ditulis dalam bentuk: ¯ ¯ 1 ¯ D (g) C(g) ¯ ¯ D(g) = ¯¯ (2.48) 0 D2 (g) ¯ untuk semua elemen g dari grup G, representasi D(g) dikatakan redusibel. Blok matriks di sini adalah 2 matriks persegi D1 dan D2 berdimensi n1 dan n2 dan 2 matriks segiempat, dimana salah satunya memiliki semua elemen sama dengan nol yaitu pada matriks yang terletak pada sebelah kiri bawah. Bentuk yang demikian menunjukkan keberadaan subspace invarian L1 berdimensi n1 . Coba µ 1 ¶ X kita sebut vektor-vektor yang merupakan bagian dari L1 saja. Maka 0 kita tuliskan µ 1 ¶µ 1 ¶ µ 1 1 ¶ D C X D X = (2.49) 2 0 D 0 0 yaitu bahwa vektor yang telah bertransformasi juga merupakan bagian dari L1 . µ ¶ 0 Coba sekarang kita ambil vektor yang merupakan milik/bagian dari L2 , X2 maka hasilnya µ
¶µ ¶ µ ¶ D1 C 0 CX 2 = (2.50) 0 D2 X2 D2 X 2 yaitu suatu vektor yang menjadi bagian dari keseluruhan ruang. Maka, agar 2 L menjadi subspace invarian, kita harus mengambil C = 0. Jika matriks C nol, representasi D dikatakan f ully redusibel. Maka, terdapat suatu subspace invarian kedua L2 berdimensi n2 dan keseluruhan ruang L dapat ditulis sebagai penjumlahan langsung L = L1 + L2
(2.51)
dan representasi D merupakan penjumlahan D = D1 + D2
(2.52)
Jika untuk representasi tertentu D, tidak ada transformasi keserupaan yang membawa matriks-matriks D(g) ke dalam bentuk diagonal secara simultan untuk semua g ∈ G maka representasi tersebut dikatakan iredusibel atau disingkat irreps. Dalam kasus representasi f ully redusibel, matriks D1 dan D2 dapat direduksi lebih jauh lagi menjadi penjumlahan matriks-matriks berdimensi lebih kecil lagi yang iredusibel. Notasi untuk penjumlahan yang didefinisikan menurut () adalah D = D1 ⊕ D2 ⊕ D3 ⊕ ........ ⊕ DK 19
(2.53)
Untuk representasi uniter, redusibilitas secara langsung berarti f ully redusibel. Coba kita ambil suatu basis ortonormal e1i ∈ L1 , e2i ∈ L2 : (e1i , e1j ) = (e2i , e2j ) = δij
(e1i , e2j ) = 0
(2.54)
Keinvarianan subspace L1 berarti bahwa S(g)e1i
=
n1 X
1 1 Dji ej
(2.55)
j=1
sedangkan, untuk suatu vektor dalam L2 , kita punya S(g)e2j =
n1 X
Clj1 e1l +
n2 X
2 2 ek Dkj
(2.56)
k=1
l=1
Relasi ortogonalitas (2.54) memberikan Cij = (e1i , S(g)e2j )
(2.57)
Namun secara definisi S merupakan operator uniter yang menghasilkan Cij =< S −1 (g)e1i , e2j >=< S(g −1 )e1i , e2j >= 0
(2.58)
jadi matriks C dalam persamaan (2.50) memiliki semua elemen sama dengan nol. Maka L2 juga merupakan subspace invarian. Representasi redusibel dapat dipecah lagi dan lagi menjadi blok-blok matriks sepanjang diagonalnya sampai hanya mengandung representasi iredusibel. Dalam mekanika kuantum, mereduksi suatu representasi berkaitan erat dengan eliminasi kedegenerasian atau melengkapi pelabelan fungsi gelombang. Hal ini terjadi karena jika suatu representasi iredusibel untuk keseluruhan grup, bisa jadi representasi tersebut redusibel bagi subgrupnya.
2.2.6
Perkalian langsung Representasi
Dari 2 representasi matriks, Dµ1 (g) dan Dµ2 (g) berdimesni n1 , dan n2 , kita dapat mengkonstruksi suatu representasi Dµ (g) sebagai suatu produk /perkalian langsung atau kronecker dari 2 matriks . Ini merupakan matriks berukuran n1 × n2 dengan elemen-elemen yang dilabeli 2 indeks µ µ1 µ2 Dik,jl (g) = Dij (g)Dkl (g)
(2.59)
Matriks Dµ mendeskripsikan sifat transformasi dari produk fungsi ψj1 ψl2 , jika kita melakukan transformasi g yang sama secara simultan pada koordinat ψ 1 20
dan ψ 2 . Fungsi fungsi ini dapat mendeskripkan 2 partikel-partikel yang berbeda atau bagian-bagian yang independen dari sistem yang sama. Secara terpisah kita peroleh S(g)ψj1 =
X
µ1 1 Dij ψi ;
S(g)ψl2 =
X
µ2 2 Dkl ψk
dan untuk sistem gabungan kita peroleh S(g)ψj1 ψl2
= =
X X
µ1 µ2 1 2 Dij Dkl ψi ψk µ Dik,jl ψi1 ψk2
Perkalian langsung menawarkan suatu cara untuk menghasilkan representasirepresentasi baru dari representasi lama. Jika Dµ1 dan Dµ2 iredusibel, maka secara umum matriks Dµ bersifat redusibel. Orang tertarik untuk menemukan irreps yang mana yang terjadi dalam Dµ . Masalah matematis ini memiliki implikasi yang penting dalam fisika. Misalnya, dalam kopling 2 momentum sudut j1 dan j2 yang menghasilkan |j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2 , terkait dengan irreps grup rotasi yang diperoleh dari perkalian langsung 2 irreps yang berkorespon dengan µ1 = j1 dan µ2 = j2
2.2.7
Perkalian Luar Representasi
Untuk grup simetrik, orang biasanya memperkenalkan 2 jenis perkalian (produk) representasi.Yang pertama adalah perkalian langsung /perkalian dalam yang terkait dengan produk fungsi dari partikel yang sama. Sedangkan perkalian luar terkait dengan produk fungsi-fungsi dari partikel-partikel berbeda. Dalam Fisika, orang biasanya mempunyai 2 sistem partikel 1,2,...,m dan m + 1, m+2, ...n yang dideskripsikan oleh fungsi gelombang ψ [f1 ] (1, 2, ..., m) dan ψ [f2 ] (m+ 1, m + 2, ..., n) dari kesimetrian tertentu [f1 ], [f2 ] berturut-turut terhadap permutasi partikel. Dengan kata lain, ψ [f1 ] merupakan bagian dari subspace invarian dari irreps [f1 ] dan ψ [f2 ] merupakan bagian dari subspace invarian dari irreps [f2 ]. Sekarang kita hendak mengkonstruksi keadaan-keadaan produk dari sistem terkombinasi ψ [f1 ] (1, 2, ..., m)ψ [f2 ] (m + 1, m + 2, ..., n). Masalahnya adalah mencari kesimetrian permutasi [f ] yang mungkin dari total fungsi ψ [f ] (1, 2, ..., m, m + 1, m + 2, ..., n). Nilai dari [f ] diberikan oleh perkalian luar. Jadi, melakukan perkalian luar dari 2 irreps [f1 ] dari Sn1 dan [f2 ] dari Sn2 , berarti mendekomposisi matriks yang merupakan representasi redusibel dari Sn1 +n2 ke dalam suku-suku irreps [f ] dari Sn1 +n2 dan menetukan multisiplistasnya m[f ] . Secara simbolik kita 21
dapat tuliskan [f1 ] ⊗ [f2 ] = [f2 ] ⊗ [f1 ] =
X
m[f ] [f ]
(2.60)
[f ]
Mula-mula pandang kasus paling sederhana dimana salah satu dari sistem dibentuk oleh satu partikel saja, yaitu ambil [f2 ] = [1]. Untuk sistem lain ambil misalnya irreps [f1 ] = [321] dari S6 . Hasilnya harus merupakan suatu penjumlahan dari irreps dari S7 a a ⊗ a =
+
+
a
+ a
(2.61)
Diagram pada sisi kanan diperoleh dari [321] dengan menempelkan kotak tambahan a dengan semua cara yang mungkin sedemikian sehingga diperoleh diagram young yang benar. Jika pada akhirnya kita memilih Young tableau dideskripsikan dengan simbol Yamanuchi Y1 =(312211) kita dapat menuliskan (2.61) dalam bentuk eksplisit 1 2 5 1 2 5 1 2 5 7 1 2 5 1 2 5 3 4 2 4 3 4 3 4 7 3 4 6 6 7 6 6 6 7 ⊗ = + + + 7
(2.62)
Namun jika [f1 ] dan [f2 ] mengandung lebih dari satu kotak alias n1 6= 1 dan n2 6= 1, cara yang diterapkan adalah meletakkan kotak label-label awal (sesuai urutan) pada diagram young yang hendak dikalikan untuk memperoleh diagram young yang tepat (pertimbangkan semua kemungkinan). Lalu ulang prosedur ini untuk label-label berikut dengan syarat tambahan bahwa simbol yang ditambahkan ketika dibaca dari kanan ke kiri baris perbaris adalah sedemikian sehingga pada tiap ”tahap”, banyaknya simbol a ≥ banyaknya simbol b ≥ banyaknya simbol c dan seterusnya. Yang dimaksud dengan ”tahap” di sini adalah: b yang pertama harus didahului a yang pertama, b yang kedua harus didahului a yang kedua, c yang pertama harus didahului a dan b yang pertama dan seterusnya. Untuk contoh di atas, hasil yang diperoleh ditampilkan berikut ini merupakan
22
penjumlahan irreps [f ] dari S8 a a a a b c ⊗ = c
a a b
a b a +c
a a b c + a
b c + a
a b
a b c +
a b + c
+ a c
(2.63)
Dalam suku-suku partisi, diagram young di atas dapat ditulis [22 ] ⊗ [212 ] = [431] + [4212 ] + [23 12 ] + [32 12 ] + [32 2] + [322 1] + [3213 ]
(2.64)
Dalam contoh in, tiap representasi [f ] dari S8 muncul dengan multisiplitas lebih dari satu. Sangatlah mungkin mengetes validitas dari hasil reduksi dengan menggunakan argumen dimensionalitas. Dimensi-dimensi dari partisi yang terhubung melalui perkalian luar memenuhi persamaan yang merupakan konsekuensi dari persamaan (2.60) berikut: d[f1 ] × d[f2 ] ×
(n1 + n2 )! X m[f ] d[f ] = n1 !n2 !
(2.65)
[f ]
Dengan menggunakan argumen yang berdasar pada dimensi suatu irreps, suatu uji coba alternatif dapat dicapai dengan mempertimbangkan bahwa semua diagram young yang muncul pada sisi kiri dan kanan persamaan (2.60) berasosiasi dengan irreps yang sama dari SU(N). Untuk SU(N) maka persamaan dimensi yang harus dipenuhi adalah: SU (N )
d[f1 ]
SU (N )
× d[f2 ]
=
X
SU (N )
m[f ] d[f ]
(2.66)
[f ]
dimana dimesi dari SU(N) sendiri menurut representasi [f ] adalah SU (N ) d[f ]
N Y fi − fj + j − i = j−i i<j
(2.67)
Untuk contoh yang tersirat dalam persamaan (2.63) dan (2.64) kita membutuhkan paling sedikit SU(5) agar dapat memperhitungkan semua diagram, karena 23
5 merupakan bilangan yang menyatakan jumlah baris terbesar yang muncul pada diagram yang sama pada sisi kanan persamaan (2.63)dan (2.64). Lalu dengan menggunakan (2.67) untuk SU(5) kita peroleh d[22] = 50 d[212 ] = 45 d[431] = 1050 d[332] = 315 d[322 1] = 175 d[23 12 ] = 10 d[4212 ] = 450 d[32 12 ] = 210 d[3212 ] = 40 yang memenuhi (2.66)
2.2.8
Perkalian Dalam
Perkalian dalam sering juga disebut perkalian kronecker atau perkalian langsung representasi karena mengacu kepada perkalian irreps dari Sn . Aplikasi fisis dari perkalian dalam dapat dimengerti misalnya pada suatu partikel mikroskopik yang dideskripsikan dengan suatu fungsi gelombang ψ yang biasanya dinyatakan sebagai suatu perkalian dari beberapa fungsi, masing-masing mepresentasikan suatu derajat kebebasan. Misalnya, untuk sebuah kuark , terdiri dari 3 derajat kebebasan koordinat ruang R, spin χ, citarasa φ, dan warna C. Untuk suatu sistem dengan n partikel, kita dapat memperlakukan kesimetrian permutasi secara individual pada setiap derajat kebebasan dan mengkonstruksi suatu fungsi gelombang total dari kesimetrian Sn tertentu. Peran dari perkalian dalam adalah menyediakan fungsi gelombang n-partikel dari kesimetrian yang dikehendaki sebagai suatu kombinasi linier dari perkalian fungsi, masing-masing faktor dalam fungsi ini merepresentasikan suatu derajat kebebasan dan memiliki kesimetrian permutasi yang cocok dengan kesimetrian fungsi gelombang secara total. Secara umum, perkalian dalam dari 2 buah irreps [f 0 ] dan [f 00 ] dari Sn membangkitkan penjumlahan irreps Sn X [f 0 ] × [f 00 ] = m[f ] [f ] (2.68) Ini dikatakan sebagai deret Clebsch − Gordan dari Sn . Subspace invarian [f ] dibentuk oleh vektor-vektor |[f ]Y > didefinisikan sebagai jumlah dari perkalian |[f 0 ]Y 0 > dan |[f 00 ]Y 00 > melalui X |[f ]Y >= S([f 0 ]Y 0 [f 00 ]Y 00 |[f 0 ]Y 0 )|[f 0 ]Y 0 > |[f 00 ]Y 00 >
(2.69)
Y 0 ,Y 00
Koefisien-koefisien S([f 0 ]Y 0 [f 00 ]Y 00 |[f ]Y ) merupakan koefisien Clebsch − Gordan dari Sn . Mereka membentuk suatu matriks ortogonal yang memberikan trans24
formasi antara basis-basis |[f ]Y > dan |[f 0 ]Y 0 > |[f 00 ]Y 00 >. Dengan menggunakan sifat ortogonalitas dari matriks ini, kita dapat mengubah relasi (2.69) untuk menghasilkan |[f 0 ]Y 0 > |[f 00 ]Y 00 >=
X
S([f 0 ]Y 0 [f 00 ]Y 00 |[f ]Y )|[f ]Y >
(2.70)
[f ]Y
Sekarang, kita akan pelajari perkalian S3 . Ruang spin dan isospin suatu nukleon dapat menghasilkan ruang berdimensi-4 dengan perkalian langsung. Sembarang vektor x dalam ruang ini dapat ditulis sebagai
u↑ u↓ x= d↑ d↓
(2.71)
dan kita dapat memperkenalkan aksi dari grup SU (4) ⊃ SUS (2) × SUI (2) dimana sisi kanan persamaan merupakan perkalian langsung dari SUS (2) yang bekerja pada ruang spin dan SUI (2) bekerja pada ruang isospin. Dimensi dari [2] dan [11] sebagai irreps SU(4) dapat dihitung menggunakan formula (2.67) dan menghasilkan SU (4)
d[2]
SU (4)
= 10 d[11]
=6
(2.72)
Representasi-representasi [2] dan [11] dari SU(4) dapat didekomposisikan dengan cara berikut: SU (4) = SU (4) =
SU (2) × SU (2) ×
SU (2) + SU (2) +
SU (2) ×
SU (2) ×
SU (2)(2.73) SU (2) (2.74)
Dari persamaan di atas dapat dicek bahwa ternyata dimensi dari masing-masing representasi juga memenuhi persamaan tersebut. Untuk S3 , perkalian dalam dapat diperoleh sebagai perluasan dari teknik yang dijelaskan di atas. Coba kita anggap bahwa masing-masing dari 3 objek-objek ini adalah suatu partikel, yang mana merupakan vektor SU(4). Mula-mula kita kerjakan perkalian luar [2] dari S2 dan [1] dari S1 : SU (4) ×
SU (4) =
SU (4) + 25
SU (4)
(2.75)
Ini juga merupakan perkalian langsung dari 2 irreps SU(4) yang diindikasikan oleh diagram young dan dimensi mereka. Pada sisi lain, pada sisi kiri persamaan di atas, kita dapat gunakan relasi (2.73) dan SU (4) =
SU (2) ×
SU (2)
(2.76)
untuk memperoleh ⊗ ³
= ´
=
⊗
×
³
´
×
⊗
×
+
´
³ ×
×
⊗
+
⊗
⊗
=
+
×
=
×
+
×
+2
×
+
+
×
+
× (2.77)
Sekarang, kita dapat identifikasi 2 suku pada sisi kanan persamaan (2.75) sebagai SU (4) =
SU (2) ×
SU (2) +
SU (2) ×
SU (2) (2.78)
dan SU (4) =
SU (2) ×
SU (2) +
SU (2) ×
+
SU (2) ×
SU (2)
SU (2) (2.79)
Ini adalah dekomposisi dari irreps SU(4) ke dalam irreps SU(2)×SU(2). Suku pertama pada sisi kanan persamaan (2.78) harusnya kita antispiasi karena perkalian dari 2 keadaan simetrik menghasilkan keadaan simetrik. Berikutnya pandang perkalian luar berikut
SU (4) ⊗
SU (4) = 26
SU (4) +
SU (4)
(2.80)
dan dengan menggunakan relasi (2.74) dan (??) pada sisi kiri persamaan, kita dapatkan ³ ´ ⊗ SU (4) ⊗ = × + × × ³ =
´ ⊗
=
×
⊗
+
⊗
+
×
³
´ ⊗
×
+
×
+
(2.81)
Dengan memperhitungkan (2.79) kita dapaka identitas
SU (4) =
SU (2) ×
SU (2)
(2.82)
Dari sudut pandang S3 , kita dapat menggunakan relasi (2.78),(2.79),(2.82) untuk memperoleh deret Clebsch − Gordan. Misalnya, jika kita mencari perkalian dalam [21] × [21], ternyata itu muncul sekali masing-masing pada persamaan (2.78),(2.79),(2.82), sehingga dapat kita tuliskan [21] × [21] = [3] + [21] + [13 ]
(2.83)
dengan analogi, kitapun bisa dapatkan [3] × [3] = [3]
(2.84)
[3] × [21] = [21] × [3] = [21]
(2.85)
Untuk kelengkapan kita dapat tambahkan deret-deret Clebsch − Gordan berikut [3] × [13 ] = [13 ]
(2.86)
[13 ] × [13 ] = [3]
(2.87)
Yang pertama menyatakan bahwa perkalian suatu fungsi yang antisimetrik dengan fungsi yang simetrik merupakan suatu fungsi yang antisimetrik dan yang terakhir menyatakan bahwa perkalian 2 fungsi-fungsi yang antisimetrik merupakan fungsi yang simetrik. Dengan menggunakan teknik yang sama, kita dapat lebih jauh mempertimbangkanS4 dan seterusnya. Untuk memperoleh seluruh 27
deret Clebsch − Gordan, kita harus menggunakan minimal SU(4). Sesungguhnya relasi semacam (2.86) merupakan kasus khusus dari deret Clebsch − Gordan yang lebih umum yang mana Suntuk sebarang [f ] dari Sn tertentu memenuhi persamaan [f ] × [1n ] = [1n ] × [f ] = [f˜]
(2.88)
dimana [f˜] menyatakan representasi konjugat dari [f ]. Deret persamaan (??) merupakan kasus khusus dari (2.88) karena partisi [21] bersifat self − conjugate. Sifat lain yang cukup berguna adalah [f ] × [˜ g ] = [˜ g ] × [g] [f ] × [g] = [f˜] × [˜ g]
(2.89) (2.90)
mereka alngsung diperoleh dari sifat komutatif dan distributif dari perkalian dalam ([f ] × [g]) × [h] = [f ] × ([g] × [h]) = ([f ] × [h]) × [g]
(2.91)
Dengan mengambil [h] = [1n ] dan menggunakan (2.88) kita bisa turunkan (2.89),dan (2.90) dari (2.89) dengan menggantikan [f ] dengan [f˜]
28
Bab 3 Grup Lie Grup Lie merupakan grup kontinu dengan jumlah elemen tak terhingga. Walau demikian, elemen-elemen di dalam grup ini dapat dilabeli dengan himpunan berhingga r parameter-parameter real yang kontinu. Oleh sebab itu, Grup Lie kadang disebut juga sebagai Grup kontinu berhingga (finite continous group). Grup Lie ini dikembangkan oleh ahli matematika kebangsaan Norwegia, Sophus Lie. Tidak seperti Grup diskret sebelumnya, Grup Lie ini tidak mungkin dibuat tabel perkalian grup nya. Namun struktur grup ini ditentukan melalui sehimpunan hubungan komutasi antara generator-generator dari grup, yang mana banyaknya generator ini juga sama dengan r
3.1
Transformasi infinitesimal
Pandang sehimpunan n variabel xi 0 (i = 1, 2, ..., n) yang merepresentasikan koordinatkoordinat suatu titik dalam basis tertentu di dalam ruang berdimensi-n. Transformasi basis mengubah xi 0 menjadi xi melalui persamaan xi = f i (x1 0 , x2 0 , ..., xn 0 ; a1 , a2 , ..., ar )
(3.1)
dimana aρ (ρ = 1, 2, ..., r) merupakan sehimpunan parameter bebas real dan f i merupakan fungsi analitik dan bergantung secara esensial pada aρ . Dengan kata lain, aρ menentukan f i secara unik dan komplit, yang artinya tidak ada 2 atau lebih transformasi (dengan parameter berbeda) yang sama untuk semua nilai x0 dan r menyatakan jumlah terkecil parameter yang dibutuhkan. Dalam notasi yang lebih singkat, (3.1) dapat ditulis x = f (x0 ; a) = Sa x0
29
(3.2)
dimana sehimpunan transformasi bergantung pada parameter a dan memetakan titik x0 ke x. Sehimpunan transformasi f i membentuk grup jika memenuhi aksioma berikut: 1. Dua transformasi berturut-turut menghasilkan transformasi lain yang juga merupakan anggota himpunan yang sama. misalnya: x = f (x0 ; a) dan x0 = f (x; b)
(3.3)
x0 = f (x; b) = f (f (x0 ; a); b) = f (x0 ; c) = f (x0 ; ϕ(a; b)
(3.4)
dan lalu
yang menyatakan bahwa terdapatnya sehimpunan parameter cρ yang didefinisikan melalui cρ = ϕρ (a; b)
(3.5)
yang berarti bahwa ϕ merupakan fungsi analitik dari a dan b, yaitu ia mengandung semua turunan orde berapapun terhadap a dan b 2. Untuk tiap transformasi terdapat invers yang unik x0 = f (x; a ¯)
(3.6)
yang juga merupakan elemen dari himpunan yang sama. Keunikan nilai a ¯ dijamin oleh kondisi
¯ ¯ ¯ ∂f ¯ ¯ ¯ ¯ ∂x0 ¯ 6= 0
(3.7)
yaitu bahwa jacobian dari transformasi tidak boleh bernilai nol. 3. terdapat transformasi identitas dan didefinisikan sebagai berikut: x0 = f (x; a ¯) = f (f (x0 ; a); a ¯) = f (x0 ; ϕ(a; a ¯)) = f (x0 ; a0 )
(3.8)
untuk kemudahan, dapat dipilih aρ0 = 0 (ρ = 1, 2, ..., n)
(3.9)
Ide dasar Sophus Lie adalah memandang transformasi kontinu berhingga sebagai serentetan transformasi infinitesimal. Transformasi ini merupakan transformasi ”di sekitar” elemen identitas dan kita dapat mereduksi studi terhadap grup kontinu ke studi terhadap transformasi infinitesimal, karena struktur elemen grup di 30
”sekitar” elemen identitas ini menentukan struktur grup secara keseluruhan.
Dari sifat yang dibahas di atas, kita dapat tuliskan 2 ekspresi ekivalen berikut: x = f (x0 ; a)
(3.10)
x = f (x; 0)
(3.11)
Suatu transformasi infinitesimal x + dx dapat diperoleh dengan 2 cara: mendiferensialkan (3.10) x + dx = f (x0 ; a + da)
(3.12)
atau dengan memperkenalkan parameter infinitesimal δa sedimikian sehingga x + dx = f (x; δa ) sehingga diperoleh
(3.13)
µ
¶ ∂f (x0 ; b) dx = daσ ∂bσ b=a atau µ ¶ ∂f (x; a) δaσ dx = ∂aσ a=0 Dengan memperkenalkan notasi µ ¶ ∂f i(x; a) i uσ = ∂aσ a=0
(3.14) (3.15)
(3.16)
dan menulis ulang persamaan(3.15) sebagai dxi = uiσ (x)δaσ
(3.17)
Sama seperti persamaan (3.4), kita dapat tulis x = dx = f (x; δa) = f (f (x0 ; a); δa) = f (x0 ; ϕ(a; δa)) Dari ekivalensi antara (3.13) dan (3.14) dapat ditulis a + da = ϕ(a; δa)
(3.18)
Jika dipilih δa = 0 maka x = f (x; 0) = f (x0 ; ϕ(a; 0) sehingga a = ϕ(a; 0)
(3.19)
persamaan (3.19) sangat penting dalam studi transformasi infinitesimal, karena akan meghantarkan ke pembahasan generator infinitesimal dan konstanta struktur 31
3.2
Konstanta Struktur
Untuk perubahan infinitesimal δaτ dalam parameter-parameter aτ , persamaan (3.18) dapat ditulis sebagai ¯ ∂ϕ(a; b) ¯¯ a + da = ϕ(a; δa) = ϕ(a; 0) + daτ (3.20) ∂bτ ¯b=0 menggunakan (3.19) didapat bahwa daρ = µρτ δaτ
(3.21)
dimana
∂ϕ(a; b) (3.22) ∂bτ b=0 yaitu bahwa daρ merupakan kombinasi linier dari δaτ , dan sebaliknya,δaτ dapat µρτ (a) =
ditulis sebagai kombinasi linier dari daρ jika matriks µρτ tak singular. Dengan mendefinisikan λ sedemikian sehingga λµ = 1
atau
λσρ µρτ = δτσ
(3.23)
kita dapat tuliskan δaσ = λσρ (a)daρ
(3.24)
dengan notasi ini, persamaan (3.17) dapat ditulis sebagai dxi = uiσ (x)λσρ (a)daρ
(3.25)
Pada sisi lain persamaan (3.14) dapat ditulis sebagai dxi =
∂xi ρ da ∂aρ
(3.26)
sehingga didapat bahwa
∂xi = uiσ (x)λσρ (a) ρ ∂a Syarat cukup dan syarat perlu dari sistem adalah ∂ 2 xi ∂ 2 xi = ∂aσ ∂aρ ∂aρ ∂aσ syarat ini menghasilkan persamaan ¶ µ τ i i ∂λτρ i ∂λσ j ∂uτ τ ν j ∂uν uτ j − uν j λ ρ λ σ + uτ ( ρ − σ ) = 0 ∂x ∂x ∂a ∂a 32
(3.27)
(3.28)
(3.29)
atau dengan menggunakan persamaan (3.23), kita dapatkan µ ¶ i i j ∂uκ j ∂uδ uκ j − uδ j = cτκδ (a)uiτ ∂x ∂x dimana
µ cτκδ
=
∂λτρ ∂λτσ − ρ ∂aσ ∂a
(3.30)
¶ µρκ µσδ
(3.31)
atau secara alternatif
∂λτγ ∂λτν − = cτκδ λκν λδγ (3.32) ∂aγ ∂aν karena uiσ tidak bergantung pada aτ menurut definisi(3.16), diferensiasi terhadap persamaan (3.30) menghasilkan ∂cτκδ i u =0 ∂aρ τ
(3.33)
besaran-bearan uiτ saling bebas linier dan tidak bergantung terhadap indeks τ . Ini berasal dari sifat bahwa parameter-parameter aτ esensial dalam transformasi (3.1). Karena uiτ saling bebas linier, maka ∂cτκδ =0 ∂aρ
(3.34)
yaitu bahwa cτκδ tidak bergantung a. Besaran cτκδ disebut konstanta struktur dari grup Lie, dan memainkan peran yang penting dalam sifat grup. Dari persamaan (3.30) didapat bahwa cτκδ = −cτδκ
(3.35)
Secara definisi, parameter-parameter grup Lie bersifat real , dan semua relasi yang mendeskripsikan struktur grup harus menyangkut bilangan real. Inilah sebabnya konstanta struktur harus berupa bilangan real. Dari konstanta struktur, kita dapat mengkonstruksi suatu tensor rank 2 yang simetrik gρτ = cµρλ cλτµ
(3.36)
yang disebut sebagai tensor metriks atau Killing form. Sifatnya telah digunakan oleh Cartan untuk membedakan grup-grup semi simpel dari grup-grup lainnya. Tensor gρτ juga bermanfaat untuk menaikkan dan menurunkan indeks dari struktur konstan. Misalnya cµνσ = cλµν gλσ
(3.37)
dimana sisi kiri persamaan di atas antisimetrik terhadap permutasi 2 sembarang indeks yang merupakan generalisasi dari (3.35) 33
3.3
Generator
Pandang sebuah fungsi F dari koordinat xi . Suatu transformasi infinitesimal xi → xi + dxi mengubah F dengan perubahan yang kecil sekali melalui dF =
∂F i ∂F dx = δ σ uiσ i = δaσ Xσ F i ∂x ∂x
(3.38)
dimana operator-operator
∂ (3.39) ∂xi disebut operator-operator infinitesimal atau generator dari grup transformasi Xσ = uiσ
yang telah didefinisikan menurut (3.2). dari (3.30) ternyata, dapat ditulis relasi komutasi berikut [Xκ , Xδ ] = cτκδ Xτ
(3.40)
Sifat bebas linier dari uiτ menghantarkan ke sifat bebas linier dari operator Xτ . Mereka membentuk ruang vektor berdimensi-r. Produk Lie atau ’Lie product’ dari sembarang 2 vektor basis ruang ini didefinisikan melalui komutator mereka, yang memerikan vektor basis lain (di ruang yang sama). Ini artinya sehimpunan basis vektor ini bersifat tertutup terhadap hukum perkalian grup. Operatoroperator infinitesimal r membentuk ruang vektor berdimensi-r yang dikarakterisasi oleh besaran-besaran Σaτ Xτ . Melalui cara inilah, Generator atau operatoroperator ini membentuk Aljabar Lie real. Untuk setiap grup Lie terdapat aljabar Lie real yang unik. Meski demikian, beberapa grup Lie non-isomorfik dapat berkorespon teerhadap aljabar Lie real yang sama. Suatu aljabar Lie L berdimensi n(≥ 1) memiliki sifat berikut: [Xρ , Xσ ] ∈ L
Xρ , Xσ ∈ L
[αXρ + βXσ , Xτ = α[Xρ , Xτ ] + β[Xσ , Xτ ]
(3.41) (3.42)
untuk Xρ , Xσ , Xτ ∈ L dan semua bilangan real α dan β; [Xρ , Xσ ] = −[Xσ , Xρ ]
(3.43)
[[Xρ , Xσ ], Xτ ] + [[Xσ , Xτ ], Xρ ] + [[Xτ , Xρ ], Xσ ] = 0
(3.44)
Ini merupakan identitas jacobi atau kondisi assosiatif. Penerapan persamaan (3.40) ke dalam persamaan (3.44) menghasilkan hubungan cµρσ cνµτ + cµστ cνµρ + cµτρ cνµσ = 0 34
(3.45)
yang merupakan relasi penting dan merupakan sifat penting konstanta struktur selain (3.35). Persamaan (3.35) dan (3.45) berasal dari asumsi bahwa transformasi f i membentuk grup. Sebaliknya, mulai dari persamaan-persamaan ini, kita dapat mencari semua nilai u dan λ yang memenuhi persamaan (3.30) dan (3.32), dan menentukan xi yang memenuhi (3.27) dan membentuk sebuah grup. Ada suatu perhitungan sederhana yang membuktikan bahwa konstanta struktur cρσλ bersifat antisimetrik terhadap transposisi 2 sembarang indeks, dan invarian terhadap sembarang permutasi sirkular. Persamaan (3.35) membuktikan keantisimetrian terhadap transposisi 2 indeks pertama, sehingga cukup bagi kita untuk membuktikan keantisimetrian terhadap transposisi indeks 2 dan 3. Dari persamaan (3.36) dan (3.37), ternyata: cρσλ = cτρσ gτ λ = cτρσ cντ µ cµλν menerapkan sifat (3.45) pada faktor pertama dan kedua, persamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai cρσλ = −cτσµ cντ ρ cµλν − cτµρ cντ σ cµλν dan dengan menggunakan (3.35) untuk faktor kedua dari suku pertama dan faktor ketiga untuk suku kedua, kita dapatkan cρσλ = cτσµ cνρτ cµλν + cτµρ cντ σ cµνλ Sekarang kita permutasikan λ dengan σ pada sisi kiri dan sisi kanan persamaan di atas, sehingga menghasilkan cρσλ = cτλµ cνρτ cµσν + cτµρ cντ λ cµνσ menerapkan (3.35) pada semua c dan menyusun ulang suku-suku dan faktorfaktor akan menghasilkan cρσλ = −cµσν cτρµ cνλτ − cντ ρ cµνσ cτµλ Lalu melakukan permutasi melingkar dari indeks-indeks berulang µ → τ → ν pada suku pertama dan τ → µ → ν pada suku kedua, kita dapatkan cρσλ = −cτσµ cνρτ cµλν − cτµρ cντ σ cµνλ = −cρσλ yang membuktikan keantisimetrian terhadap permutasi λ dengan σ. Menurut sifat konstanta struktur pada persamaan kedua di atas dan sifat kesimetrian dari gρτ , kita dapat tuliskan cµνσ = cνσµ = cτνσ gτ µ = gµτ cτνσ 35
Dengan menggunakan persamaan (3.38), kita dapat tuliskan F (x + dx) = F (x) +
∂F i dx = Sδa F ∂xi
(3.46)
dimana operator Sδa = 1 + δaσ Xσ
(3.47)
mempengarui perubahan infinitesimal F → F +dF yang diimbas oleh parameterparameter infinitesimal δaσ . Dua buah transformasi infinitesimal berturut-turut Sδa Sδb bekerja pada F memerikan transformasi infinitesimal lainnya Sδa Sδb = (1 + δaσ Xσ )(1 + δbρ Xρ ) = 1 + δaσ Xσ + δbρ Xρ
(3.48)
karena hanya orde pertama yang harus dipertahankan. Persamaan (3.48) menunjukkan bahwa perkalian 2 elemen grup berkorespon dengan penjumlahan parameter-parameter transformasi infinitesimal. Sekarang coba kita pandang satu buah parameter grup Lie berhingga (bukan infinitesimal) berorde-1 dan menuliskan perubahan infinitesimalnya dari parameter tersebut, a, δa sebagai δa =
a N
(3.49)
dengan N menyatakan bilangan sembarang yang besar. Menerapkan transformasi (3.47) sebanyak N kali, kita akan peroleh Sa = (1 +
a X)N N
yang mana, untuk limit N → ∞, menjadi Sa = eaX
(3.50)
dan dapat diperumum ke grup berorde-r dengan menuliskan Sa = ea
ρX ρ
(3.51)
dimana aρ berkoresponden dengan parameter-parameter grup ”kanonik” yang istimewa. Invers dari transformasi (3.51) dapat ditulis Sa−1 = e−a
ρX ρ
(3.52)
yang ternyata merupakan transformasi dengan tanda berlawanan dengan transformasi (3.51). Secara umum, operator infinitesimal Xρ tidak saling commute, sehingga urutan operator harus diperhatikan. Operator (3.47) dapat dipandang 36
sebagai ekspansi taylor orde pertama dari (3.51) dengan aρ → δaρ . Terkadang jika suku-suku orde pertama hasil ekspansi saling meniadakan, maka kita harus mempertahankan suku orde 2 dari ekspansi taylor (3.51) dan (3.52) tersebut. 1 Sa = 1 + δaσ Xσ + δaσ δaρ Xσ Xρ 2
(3.53)
1 Sa = 1 − δaσ Xσ + δaσ δaρ Xσ Xρ (3.54) 2 Salah satu teorema fundamental Lie menjamin bahwa kita tidak pernah membutuhkan orde yang lebih tinggi dari 2, karena mereka terkait dengan komutatorkomutator dan hal ini mendefinisikan struktur grup. Contoh tipikal yang akan diperlihatkan di sini adalah produk Sa Sb Sa−1 Sb−1 . Perhitungan secara langsung dari persamaan (3.53) dan (3.54) memberikan Sa Sb Sa−1 Sb−1 = 1 + δaσ δbρ [Xσ , Xρ ]
(3.55)
Dalam aplikasi fisis grup Lie, generator Xσ (atau kombinasi linier dari mereka) berkorespon dengan observabel-observabel. Invarian suatu hamiltonian terhadap transformasi grup berarti [H, Sa ] = 0
(3.56)
yang mana dengan menggunakan Pers. (3.56) (3.47) atau (3.51) akan menghasilkan [H, Xσ ] = 0
(3.57)
karena aσ atau δaσ bebas linier stau sama lain. Maka sifat invarian dari hamiltonian terhadap transformasi-transformasi yang membentuk grup Lie berarti bahwa H commute dengan semua generator grup tersebut. Berikut ini terdapat suatu contoh penentuan generator-generator grup Lie. Tentukan generator-generator dan Aljabar Lie dari transformasi linier berikut: x0 = ax + b Elemen identitas dari transformasi adalah x0 = x. Transformasi infinitesimal di sekitar elemn identitas memberikan x0 = (1 + δa)x + δb maka dx = (δa)x + δb 37
Terhadap transformasi ini F (x) berubah secara infinitesimal menjadi: F (x + dx) = F (x) + dx
dF = [1 + (δax + δb)] F dx
sehingga terdapat 2 generator: Xa = x
d d , Xb = dx dx
sehingga Aljabar Lienya adalah: µ ¶ µ ¶ d d d d d [Xa , Xb ] = x − x =− = −Xb dx dx dx dx dx
3.4
Grup Simpel dan Semi-Simpel
Sekarang, kita akan menggunakan persamaan (3.55) untuk menemukan beberapa sifat konstanta struktur dari grup simpel dan semi-simpel. Terlepas dari itu, , kita dapat melihat bahwa persamaan (3.55) mempunyai konsekuensi langsung terhadap grup abelian dimana Sa Sb = Sb Sa atau Sa Sb Sa−1 Sb−1 = 1 menggunakan (3.55), kita dapatkan 1 + δaρ δbσ [Xρ , Xσ ] = 1
(3.58)
[Xρ , Xσ ] = 0
(3.59)
maka konsekuensinya, semua konstanta struktur untuk grup abelian bernilai 0 cτρσ = 0 untuk semua ρ, σ, τ
(3.60)
Aljabar dari suatu grup abelian dikatakan bersifat abelian atau komutatif. Pada bagian 2.2, kita lihat bahwa suatu subgrup merupakan himpunan bagian S 0 dari elemen-elemen sautu grup S yang membentuk juga grup dengan hukum komposisi yang sama. Ambil elemen-elemen Sa0 Sb0 ∈ S 0 dan juga Sa0 Sb0 (Sa0 )−1 (Sb0 )−1 = Sc0 ∈ S 0 38
(3.61)
menggunakan (3.55) pada sisi kiri dan (3.47) pada sisi kanan persamaan (3.61), kita dapatkan 1 + δaρ δbσ [Xρ , Xσ ] = 1 + δcτ Xτ
(3.62)
Dari (3.40), kita juga bisa dapati r X
δa
ρ
δbσ cτρσ Xτ
=
p X
δcτ Xτ
τ =1
τ =1
dimana r berada pada orde S dan p berada pada orde S’. Karena r > p, kita dapat membagi penjumlahan pada sisi kiri menjadi 2 kontribusi penjumlahan yang berbeda dan menuliskan: p X
(δa
ρ
δbσ cτρσ
τ
− δc )Xτ +
τ =1
r X
δaρ δbσcτρσ Xτ = 0
(3.63)
τ =p+1
Xτ adalah besaran-besaran yang bebas linier, , yang mana p X
δaρ δbσ cτρσ = 0 untukτ > p
(3.64)
ρ,σ=1
atau cτρσ = 0 untuk τ > p dan ρ, σ ≤ p
(3.65)
Dengan definisi invariansubgrup yang telah dibahas sebelumnya, suatu invarian subgrup H adaalh suatu subgrup dari S jika ia mengandung semua konjugatkonjugat dari elemen-elemennya. Coba kita tandai orde dari H dan S berturutturut p dan r dengan (p < r)dan anggap h1 ∈ H dan s1 ∈ S sehingga sh1 s−1 ∈ H dan juga sh1 s−1 h−1 1 = h2 ∈ H
(3.66)
menggunakan (3.55) pada sisi kiri dan (3.47) pada sisi kanan, kita dapat tuliskan 1 + δsρδhσ1 [Xρ , Xσ ] = 1 + δhτ2 Xτ atau, berdasarkan persamaan (3.40), kita dapatkan p r X r X X
δs
ρ
δhσ1 cτρσ Xτ
ρ=1 σ=1 τ =1
=
p X τ =1
39
δhτ2 Xτ
(3.67)
dimana penjumlahan terhadap indeks-indeks yang berulang telah ditulis secara eksplisit . Seperti pada kasus sebelumnya penjumlahan terhadap τ pada sisi kiri dapat dipecah menjadi 2 bagian: Ã r ! p p r r X X X p X X ρ σ τ τ σσ=1 δs δh1 cρσ − δh2 Xτ + δsρ δ1σ cτρσ Xτ = 0 τ =1
ρ=1
(3.68)
τ =ρ+1 ρ=1 σ=1
Dari kebergantungan linier generator-generator , ternyata p r X X
cτρσ δsρ δhσ1 = 0 untuk τ > p
(3.69)
ρ=1 ρ=1
dan karena δsρ dan δhσ1 variasi-variasi yang saling bebas, akhirnya dapat disimpulkan cτρσ = 0 untuk τ > p, σ ≤ p dan untuk sembarang ρ
(3.70)
Misalnya terdapat suatu grup memiliki subgrup invarian yang abelian. Jika ¯ ... indeks-indeks dari generator dari subgrup invarian abelian ditandai dengan ρ¯, σ ¯ λ, maka menurut persamaan (3.36) kita dapat tuliskan gρ¯σ = cµρλ cλσ¯ µ = −cµρλ cλµ¯σ sdan menggunakan persamaan (3.70) untuk faktor kedua pada ekspresi di atas kita dapatkan ¯
gρ¯σ = −cµρλ¯ cλµ¯σ dan menggunakan persamaan (3.70) lagi pada faktor pertama , elemen tensor gρ¯σ menjadi ¯
gρ¯σ = −cµρ¯λ¯ cλσ¯ µ¯ Faktor kedua di atas adalah suatu konstanta struktur dari subgrup invarian abelian dan berdasarkan persamaan (3.60), kita peroleh gρ¯σ = 0
(3.71)
det|gρσ | = 0
(3.72)
ini berarti yang merupakan syarat perlu untuk suatu grup agar tidak bersifat semi-simpel. Kebalikannya det|gρσ | 6= 0 40
(3.73)
merupakan syarat cukup untuk suatu grup agar bersifat semi-simpel. Kondisi 0
(3.73) berarti bahwa matriks gρσ memiliki invers g ρσ yang memenuhi 0
gρσ g ρσ = δσσ
0
(3.74)
Ada sebuah contoh bahwa grup euclidian dalam 2 dimensi E2 didefinisikan menurut transformasi x0 = xcosθ + ysinθ − ρ1 y 0 = −xsinθ + ycosθ − ρ2 tidak bersifat semi-simpel . Transformasi pertama di atas secara geometris merepresentasikan 2 operasi berturut-turut: 1. Suatu translasi titik asal sistem koordinat oleh ρ = (ρ1 , ρ2 ), dalam sistem baru, vektor r = (x, y) memiliki komponen-komponen x0 = x − ρ 1 ,
y 0 = y − ρ2
2. suatu rotasi melalui sudut θ terhadap sumbu z dari sistem yang telah tertranslasi Sekarang, pandang suatu rotasi infinitesimal cosθ ≈ 1,
sinθ ≈ θ
maka x0 − x = θy − ρ1 y 0 − y = −θx − ρ2 Suatu fungsi skalar dapat berubah menjadi ∂F δF + dy ∂x δy · ¸ ∂ ∂ = 1 + (θy − ρ1 ) + (−θ − ρ2 ) F ∂x ∂y pada tiap parameter infinitesimal,θ, ρ1 , ρ2 , terdapat generator-generator yang F (xi + dxi ) = F (xi ) + dx
berkorespondensi dengan mereka menurut definisi (3.38), yaitu: ∂ ∂ −x , ∂x ∂y ∂ = − , ∂x ∂ = − . ∂y
X1 = y X2 X3
41
Aljabar-aljabar yang dapat dibentuk dari generator-generator ini adalah [X1 , X2 ] = X3 , X[X1 , X3 ] = −X2 , [X2 , X3 ] = 0 maka c312 = 1, c213 = −1, c123 = 0 dan
−2 0 0 = 0 0 0 0 0 0
gρσ
yang meninjukkan bahwa grup di atas tidak bersifat semi-simpel karena det|gρσ | = 0
3.5
Aljabar Simpel dan Semi-simpel
Konsep-konsep dari grup Lie simpel dan semi-simpel dapat diperkenalkan melalui aljabar yang dideskripsikan oleh grup tersebut. Untuk keperluan ini, kita perlu mendefinisikan sub aljabar. Dalam analoginya dengan subgrup, suatu sub aljabar L0 dari suatu aljabar Lie adalah suatu himpunan bagian dari L yang dengan sendirinya membentuk suatu aljabar dengan komutator yang sama dengan yang dimiliki L. L0 dikatakan sub aljabar yang sejati (propersubalgebra) dari L jika paling sedikit satu elemen dari L tidak terkandung di dalam L0 . karena demikian, dimensi L0 lebih kecil daripada dimensi L0 . Suatu sub aljabar L0 dari L dikatakan membentuk sub aljabar invarian atau ideal dari L jika komutator [Xρ , Xσ ] = cτρσ Xτ ∈ L0
(3.75)
untuk semua Xρ ∈ L dan Xσ ∈ L. Definisi ini ekivalen dengan persamaan (3.70). Jika alajabar L mengandung anggota-anggota yang tak terdapat dalam sub aljabar ideal, maka sub aljabar ideal ini dikatakan proper ideal.
3.6
Beberapa contoh Grup Lie
Pada subbab ini, kita kan mempelajari beberapa contoh Grup Lie . Elemenelemen grup Lie adalah berupa matriks persegi berukuran n x n. Alasannya adalah bahwa semua Grup Lie yang penting dalam fisika adalah grup Lie linier. Agar membentuk grup maka matriks-matriks ini harus bersifat non-singular. 42
nama grup
sifat
Simetrik Skew-Simetrik Orthogonal Real imajiner Hermitian Skew Hermitian Uniter
a = aT a = −aT a−1 = aT a = a∗ a = −a∗ a = a† a = −a† a−1 = a†
Tabel 3.1: Sifat matriks yang relevan terhadap definisi bermacam grup kontinu
Hukum komposisi grup adalah perkalian matriks yang memiliki sifat asosiatif. Elemen-elemen suatu matriks bisa bersifat real (R) atau kompleks (C). Dalam aplikasi fisis matriks-matriks ini, secara umum ditandai dengan a, berasal dari suatu transformasi dari suatu ruang vektor x = (x1 , x2 , x3 , ...xn ) menjadi ruang vektor lain x0 = (x01 , x02 , ..., x0n ) x0 = ax
(3.76)
Suatu grup transformasi dapat didefinisikan melalui sifat-sifat a. Sebuah daftar sifat-sifat matriks yang relevan diberikan pada tabel 3.1. n2 buah elemn matriks baik kompleks maupun real adalah parameter-parameter yang bervariasi secara kontinu. Konstrain yang dinyatakan oleh sifat-sifat yang tertera pada tabel 3.1 biasanya membatasi banyaknya parameter-parameter independen. Pada tabel 3.2 dijabarkan beberapa grup yang paling penting. Grup Linier umum GL(n,C)terdiri dari matriks-matriks kompleks berderajat n merupakan grup matriks linier terbesar. Grup-grup lain yang didaftarkan di bawah merupakan subgrup dari grup ini. Orde dari grup GL(n,C) diberikan oleh 2 kali banyaknya elemen matriks n2 , karena tiap elemen matriks berupa bilangan kompleks. Padahal , grup GL(n,R) yang elemen-elemennya matriks real, berorde n2 . Ternyata GL(n, C) ⊃ GL(n, R)
(3.77)
Dengan menerapkan kondisi det a = 1 (untuk suatu grup unimodular), kita peroleh grup Spesial Linier kompleks, SL(n, C), atau grup Special Linier Real, SL(n, R). Pada kasus pertama det a = 1 mengakibatkan terdapatnya 2 konstrain 43
Nama Grup Linier umum Kompleks GL(n,C)
Definisi det a 6= 0
Orde 2n2
Linier umum Real GL(n,R) atau GL(n)
a = a∗ det a 6= 0
n2
Spesial Linier Kompleks SL(n,C)
det a=1
2n2 − 2
Spesial Linier Real SL(n,R) atau SL(n)
a = a∗ det a = 1
n2 − 1
Uniter U(n) atau Un
a−1 = a† n2 —det a—=1
Keterangan GL(n,C)⊃ GL(n,R)
SL(n,C)⊃SL(n,R)
Isomorfik dengan GL(n,R)
Tabel 3.2: Macam-macam Grup Lie
dan pada kasus kedua , 1 konstrain, yang memberikan orde SL(n, C) , 2n2 − 2, dan orde SL(n,R n2 − 1. Ternyata GL(n, C) ⊃ SL(n, C) ⊃ SL(n, R)
(3.78)
Elemen-elemen dari sautu grup unitary adalah berupa matriks-matriks uniter. Sifat keunitarian menjamin bahwa transformasi linier (3.76) mempertahankan keinvarianan bentuk kuadratik hermitian n X
xi x∗i
(3.79)
i=1
kondisi keunitarian aa† = a† a = 1
(3.80)
det a = eiϕ
(3.81)
menghasilkan konsekuensi dan mengakibatkan n konstrain dari elemen-elemen diagonal dan n(n − 1) dari elemen matriks non diagonal, menyisakan n2 − n − n(n − 1) = n2
(3.82)
buah parameter-parameter independen yang real yang menyatakan orde r dari grup U(n). Untuk grup spesial unitary SU(n), restriksi tambahan adalah bahwa det a = 1 (ϕ menjadi 0 pada persamaan (3.81)) mereduksi orde grup menjadi 44
r = n2 −1. Transformasi linier kompleks (3.76) menghasilkan keinvarianan bentuk kuadratik
n X (xi )2
(3.83)
i=1
memiliki sifat aT a = aaT = 1
(3.84)
dan membentuk grup linier ortogonal yang kompleks O(n,C). Kondisi ortogonalitas (3.84) mengharuskan terdapatnya 2n buah konstrain dari elemen-elemen diagonal dan n(n − 1) dari elemen-elemen non-diagonal (bagian real dan imajiner terpisah) yang mengakibatkan orde O(n, C) diberikan oleh r = 2n2 − 2n − n(n − 1) = n(n − 1)
(3.85)
Dengan membatasi matriks-matriks a harus real, kita peroleh grup real ortogonal O(n, R) berorde n(n − 1) n(n − 1) = (3.86) r = n2 − n − 2 2 Kondisi ortogonalitas (3.84) juga memberikan det a = ±1
(3.87)
dan elemen-elemen dari O(n, C)dapat dibagi menjadi 2 himpunan yang terputus, yang pertama terkait dengan det a=+1 dan yang lainnya terkait dengan det a = -1. Himpunan dengan det a=+1 membentuk subgrup SO(n, C) untuk a 6= a∗ dan . grup-grup ini SO(n, R) untuk a = a∗ . Mereka tetap berorde n(n − 1) dan n(n−1) 2 merepresentasiakn rotasi-rotasi ”sejati”. Sedangkan himpunan yang terkait dengan det a =-1 merepresentasikan rotasi-rotasi ”tak-sejati” karena mengikutsertakan inversi atau refleksi yang ditandai dengan operator I. Inversi bertanggung jawab untuk det a=-1. Sehingga, kita dapat tuliskan, pada kasus ini, misalnya O(n) = SO(n) × I
(3.88)
dimana O(n) merupakan notasi alternatif untuk O(n, R).
Suatu generalisasi dari grup O(n) adalah grup O(n, m) dari transformasi-transformasi linier real yang menginvariankan besaran n X i=1
x2i
−
n+m X
(xj )2
j=n+1
45
(3.89)
Matriks a yang menginvariankan (3.89)harus memenuhi aT ga = g dengan
µ g=
In 0 0 In
(3.90) ¶ (3.91)
dimana In matriks satuan berukuran n × n. Dengan generalisasi (3.86), kita dapati bahwa orde O(n, m) adalah 1 r = (n + m)(n + m − 1) 2
(3.92)
Ruang Minkowski x1 , x2 , x3 , ix0 yang kuadrat jaraknya dari titik asal diberikan oleh s2 = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2
(3.93)
merupakan kasus khusus dari (3.89). Grup yang menginvariankan (3.93) merupakan grup Lorentz homogen yang isomorfik terhadap O(3,1). Grup Simpletik dibentuk oleh matriks-matriks berukuran 2n × 2n yang menginvariankan bentuk bilinier skew simetrik
n X (xk y−k − x−k yk )
(3.94)
k=1
Keinvarianan (3.94) mengimplikasikan aT ga = g dimana g sekarang matriks skew simetrik µ ¶ 0 In g= −In 0
(3.95)
(3.96)
Kita dapat melihat bahwa suatu transformasi simpletik hanya dapat didefinisikan dalam dimensi genap saja. Ada 3 tipe grup simpletik yaitu a real
Sp(2n, R)
a kompleks S(2n,C) a uniter
Sp(2n)
Untuk Sp(2n, R) banyaknya konstrain yang dihasilkan dari elemen-elemen diagonal (3.95) sama dengan n dan terdapat 4Cn2 buah konstrain dari elemen-elemen non-diagonal, sehingga ordenya adalah r = (2n)2 − (2n2 − n) = n(2n + 1) 46
(3.97)
Untuk Sp(2n, C) baik banyaknya parameter-parameter real maupun banyaknya konstrain 2 kali lipat sehingga ordenya r = 2n(2n + 1)
(3.98)
2 Untuk Sp(2n, C), kondisi unitari (3.80) mengakibatkan terdapatnya 2n + C2n buah konstrain tambahan terhadap Sp(2n, C), sehingga ordenya menjadi
r = 2n(2n + 1) − 2n − n(2n − 1) = 2n2 + n
3.7
(3.99)
Kekompakan
Transformasi infinitesimal memparameterisasi elemen-elemen grup di sekitar elemen identitas dan merupakan pencerminan sifat-sifat lokal suatu grup. Walaupun kebanyakan informasi yang terkait dalam struktur suatu grup Lie berasal dari studi terhadap sifat lokalnya, terdapat sifat global yang juga penting, misalnya Kekompakan compactness. Seperti dalam ruang euclid berdimensi berhingga, kekompakan dari grup Lie mengacu kepada ruang parameter-parameter grup. Teorema Heine-Borel menyatakan bahwa suatu himpunan bagian titik-titik dalam ruang euclid berdimensi berhingga bersifat kompak jika dan hanya jika himpunan bagian tersebut tertutup/terbatas. Suatu set titik-titik di dalam interval [a,b] tertutup jika dan hanya jika kedua ujung interval dapat dicakupi. Definisi ini mengacu hanya pada himpunan-himpunan terhubung saja. Dalam bahsa teori grup, grup terhubung berarti bahwa dari sembarang elemen g, kita dapat memperoleh elemen identitas dengan variasi yang kontinu dari r parameter-parameter grup tersebut. Kesimpulannya, suatu grup Lie dikatakan kompak jika parameter-parameternya a1 , a2 , ...ar terbentang di dalam interval tertutup berhingga αρ ≤ aρ ≤ β ρ , ρ = 1, 2, ..., r Banyak grup yang menarik di fisika bersifat kompak. Misalnya untuk U(n), kondisi unitari menghendaki n X
|aij |2 = 1 untuk semua i
j=1
yang menunjukkan bahwa |aij | ≤ 1 untuk semua i dan j, yaitu bahwa parameterparameter dari U(n) bervariasi terbatas di dalam interval tertutup berhingga. 47
Argumen yang mirip berlaku untuk SU(n) atau O(n) yang merupakan subgrup dari U(n). Grup-grup bersifat tidak kompak kalau himpunan-himpunan parameter mereka memiliki jangkauan yang tak berhingga dan oleh karenanya tak terbatas. Perbedaan antara Grup Lie yang kompak dan yang tidak kompak sangat penting karena teori representasinya sangat berbeda. Setiap representasi berdimensi berhingga dari sautu grup Lie kompak ekivalen dengan suatu representasi uniter dan oleh karenanya bersifat redusibel. Untuk grup Lie non-kompak, representasirepresentasi berdimensi berhingga tidak lagi uniter dan semua representasi unitarinya berdimensi tak hingga.
3.8
Penjumlahan langsung dan Semi-langsung dari Aljabar Lie
Suatu aljabar Lie yang real maupun kompleks L merupakan suatu penjumlahan langsung dari 2 aljabar Lie L1 dan L2 L = L1 ⊕ L 2 jika ruang vektor dari L merupakan penjumlahan langsung dari ruang-ruang vektor L1 dan L2 dan jika sembarang elemen L1 commute dengan sembarang elemen L2 . Jika L1 dan L2 merupakan aljabar-aljabar Lie dan grup-grup Lie H1 dan H2 maka aljabar Lie dari perkalian langsung H1 ×H2 isomorfik terhadap L1 ⊕L2 contohnya SO(4) = SO(3) × SO(3). Representasi-representasi dari perkalian langsung grup H1 ×H2 diberikan oleh perkalian langsung dari representasi-representasi H1 dan H2 . misalnya D1 dan D2 representasi-representasi berdimensi n1 dan n2 dari dua aljabar Lie berturut-turut L1 dan L2 maka matriks D = D1 ⊗ In2 + D2 ⊗ In1 dimana In merupakan matrik satuan berukuran n × n merupakan representasi berdimensi n1 n2 dari L1 × L2 Aljabar dari perkalian langsung selalu isomorfik denagn aljabar penjumlahan langsung. sebaliknya, jika suatu grup Lie memiliki suatu aljabar yang isomorfik dengan suatu penjumlahan langsung tidak selalu berarti bahwa grup tersebut adalah suatu perkalian langsung. misalnya untuk U(n) dengan n ≥ 2. aljabar U(n) isomorfik dengan U(1) + SU(n) dimana U(1) ∼ In . namun U(n) bukan merupakan perkalian langsung dari U(1) dan SU(n) 48
karena kedua grup ini memiliki dua elemen yang sama In dan −In yang melanggar definisi suatu perkalian langsung grup. dalam kasus tersebut kesulitan dalam teori representasi dapat diatasi dengan universal covering group yang mereduksi masalah representasi grup tersebut menjadi masalah grup SU(n)
3.9
Representasi Kontradingen
Untuk suatu representasi matriks tertentu yang didefinisikan oleh pemetaan g → D(g), representasi kontradingennya diberikan oleh g → DT (g −1 ) = (DT )−1 (g) Jika D uniter, maka begitu pula representasinya. Dan pada kasus ini (DT )−1 = D∗ . Representasi D∗ yang diperoleh dari D dengan proses kompleks konjugasi disebut representasikonjugat atau representasikomplekskonjugat. Maka, dalam kasus representasi uniter, representasi-representasi konjugat dan kontradingen bersifat identik. Mudah untuk mendefinisikan representasi kontradingen menggunakan diagram Young . Untuk suatu diagram Young dengan partisi [f1 , f2 , ..., fn ], dapat ditunjukkan bahwa representasi kontradingen yang berkorespon dengannya dideskripsikan sebagai [f1 −fn , f1 −fn−1 , ..., f1 −f2 ]. Partisi semacam ini adalah sedemikian sehingga dapat melengkapi segiempat dengan n baris dan f1 kolom. Misalnya, representasi [6541] dari SU(4) dan representas kontradingennya [521] adalah :
.. . dan
(3.100)
Jika semua matriks dari suatu representasi real, maka representasinya bersifat real. Jika D ekivalen dengan suatu representasi real D0 , maka D ekivalen dengan D∗ . Hal ini mudah terlihat, karena keekivalenan antara D dan D0 berarti D0 (g) = T D(g)T −1 untuk semua g ∈ G dimana T merupakan matriks tak-singular. Dengan mengambil kompleks konjugatnya, kita peroleh D0 (g) = T ∗ D∗ (g)T ∗−1 49
Oleh karena itu, D∗ (g) = T ∗−1 D0 (g)T ∗ = T ∗−1 T D(g)T −1 T ∗ = (T −1 T ∗ )−1 D(g)T −1 T ∗ Namun demikian, terdapat contoh-contoh dimana D dan D∗ ekivalen tanpa harus real. Jika D ekivalen terhadap suatu representasi real, maka dikatakan D real atau berpotensial real. Misalnya, semua irrep grup rotasi R3 secara potensial bernilai real. Jika D ekivalen terhadap D∗ tapi D tidak ekivalen terhadap suatu representasi real, maka D disebut pseudoreal
50
Bab 4 Hasil dan Pembahasan Transformasi-transformasi linier yang menginvariankan bentuk hermit kuadratik n X
xi x†i
i=1
membentuk grup uniter U(n) yang elemen-elemennya berupa matriks-matriks uniter. Grup-grup uniter memiliki aplikasi yang luas di dalam ilmu fisika. Grupgrup ini menjelaskan karakteristik intrinsik dari partikel-partikel kuantum atau sekumpulan derajat kebebasan dalam sistem komposit (sistem yang terbentuk dari satuan-satuan yang lebih elementer). Misalnya grup SU(3) digunakan untuk menjelaskan level-level rotasi dari nuklei yang terdeformasi. Grup SU(2) berkaitan dengan derajat kebebasan spin dan isospin. Grup SU(3) berkaitan dengan kombinasi isospin dan hypercharge, yang digunakan oleh Gell-Mann dan Ne’eman untuk mengklaksifikasi partikel-partikel elementer. Dalam SU(3), kita dapat memperkenalkan 3 cita rasa kuark yaitu:up,down,strange. Dengan menambah satu cita rasa, yaitu charm, kita dapat menggunakan SU(4) untuk memperluas klaksifikasi partikel elementer. Kesimetrian cita rasa didukung oleh ide bahwa hadron merupakan sistem gabungan kuark dan interaksi antar kuark merupakan interaksi yang tidak bergantung pada cita rasa. Jika semesta pembicaraan diperluas menyangkut 2 cita rasa tambahan, yaitu bottom, top maka grup SU(6) dapat digunakan untuk keperluan ini. Kendati demikian, pecahnya kesimetrian akan sering terjadi dengan bertambahnya cita rasa. Grup SU(4) diperkenalkan sebagai grup simetri nuklei yang berdasar pada fakta bahwa tiap nukleon memiliki 4 keadaan intrinsik bebas yang berkaitan dengan 2 buah kemungkinan keadaan spin ± 21 dan 2 kemungkinan nilai isospin ± 12 . Grup yang cukup untuk mendeskripsikan hal ini adalah SUS (2) × SUI (2) dimana S dan I berturut-turut menyatakan spin dan isospin. Ini merupakan subgrup dari SU (4) dan memerlukan represen51
tasi iredusibel dari SU (4) dikonstruksi dari perkalian langsung dari representasi iredusibel SUS (2) dan SUI (2). hasil dari perkalian ini dapat menjelaskan supermultiplet dalam nuklei. Kita juga dapat mengkombinasikan spin dan cita rasa SU (3) pada hadron yang dipandang sebagai sistem gabungan kuark. Maka, kita dapatkan perkalian langsung grup SUS (2) × SUF (3) yang merupakan subgrup dari SU (6) yang representasinya akan membangkitkan keadaan supermultiplet untuk baryon. Grup SU (2) × U (1) menyediakan kerangka kerja untuk interaksiinteraksi elektromagnet dan SUC (3) merupakan grup gauge untuk interaksi kuat. Grup-grup uniter juga digunakan dalam klaksifiaksi fungsi gelombang banyak partikel dalam fisika nuklir dan fisika atom. Selanjutnya, Kita akan deskripsikan beberapa sifat matematis dari U(N ) dan SU(N ) dan membahas secara detail SU (2), SU (3), dan SU (4). Lalu pada akhirnya, kita akan masuk ke masalah utama skripsi ini, Klaksifikasi partikel elementer berdasarkan representasi grup di mana kesimetrian terjadi.
4.1
Sifat umum Grup-grup Uniter
Suatu matriks u uniter berukuran n × n secara umum dapat ditulis sebagai u = eih
(4.1)
dimana matriks h bersifat Hermitian: h = h†
(4.2)
yang didapat dari kondisi unitaritas uu† = 1. Kehermitan dari h menunjukkan bahwa n elemen-elemen diagonalnya real dan elemen-elemen non-diagonal nya mengandung 12 n(n−1) parameter-parameter bebas kompleks. Secara keseluruhan ada n2 parameter bebas real, yang merupakan orde dari U (n). Kondisi unitaritas menjamin |det u|2 = 1 Matriks u ini juga bisa didiagonalisasi dengan matriks uniter lain v: u0 = vuv −1
52
(4.3)
Maka, kita dapat tuliskan:
det u =
¯ i.h0 ¯ e 11 ¯ 0 ¯ ei.h22 ¯ det u0 = ¯¯ . ¯ . ¯ 0 ¯ ei.hnn 0
= ei.trace(h ) = ei.trace(vhv
−1 )
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
(4.4)
= ei.trace(h)
karena h adalah matriks hermit , maka trace h = α = real
(4.5)
bersamaan dengan persamaan (4.4) , memberikan det u = eiα
(4.6)
Untuk α = 2πn, kita peroleh bahwa det u = 1, suatu transformasi uniter spesial, yang merupakan elemen dari SU(n) yang memiliki n2 −1 parameter karena α telah dispesifikasi. Jadi, elemen dari SU(n) didefinisikan oleh u0 = eih0 , trace h0 = 0, det u0 = 1
(4.7)
Maka, suatu elemen dari U(n) dapat ditulis sebagai u = eih = ei(h0 +α/n1n ) = ei(α/n)1n u0
(4.8)
dimana 1n merupakan matriks satuan berukuran n × n. Sekarang kita alihkan pada U(1)yang merupakan grup yang penting dalam fisika. Generatornya F0 ∼ 1n merepresentasikan operator bilangan partikel. Jika N merupakan eigenvalue dari F0 , aksi U(1) pada suatu fungsi gelombang ψ menghasilkan fase 0
U (1)ψ → eiNa ψ
(4.9)
dimana a0 berhubungan dengan parameter α. Sehingga, keinvarianan terhadap U(1) berarti kekekalan bilangan partikel, misalnya bilangan baryon, bilangan lepton, muatan, dst. Dalam suku parameter-parameter grup aρ matriks hermit (8.1) dapat ditulis 2 −1 nX λρ h= aρ (4.10) 2 ρ=0 Matriks-matriks λρ membentuk suatu himpunan lengkap. Untuk U(2), matriksmatriks tersebut adalah: 12 , σx , σy , σz dan untuk U(3) : 13 dan 8 buah matriks 53
Gell-mann yang akan diperkenalkan nanti. Matriks-matriks ini ternormalisasi sehingga trace(λi λj ) = 2δij
(4.11)
Secara khusus, hal ini memberikan r λ0 =
2 1n n
(4.12)
yang menghasilkan nilai r a0 = trace(hλ0 ) = α
2 n
(4.13)
untuk SU(n) , matriks hermit h0 mengandung semua suku (8.10) kecuali λ0 h0 =
2 −1 nX
aρ
ρ=1
λρ 2
(4.14)
sifat trace(h0 ) mengimplikasikan trace λρ = 0
4.2
(4.15)
Grup SU(2)
Suatu elemen SU(2) adalah matriks uniter berukuran 2 × 2 : µ ¶ a b u= c d
(4.16)
dengan a, b, c, dan d bilangan kompleks, sehingga terdapat 8 parameter real. Juga dipenuhi bahwa det u = 1 dan
µ u
−1
=
d −b −c a
¶
dan karena kondisi unitaritaritas u† = u−1 mengharuskan d = a∗ dan c = −b∗ sehingga u dapat ditulis dalam bentuk µ ¶ a b u= (4.17) −b∗ a∗ yang hanya mengandung 4 buah parameter . Kondisi det u = 1 memberikan konstrain aa∗ + bb∗ = 1 54
(4.18)
Untuk transformasi infinitesimal, sangat berguna untuk memperkenalkan parametrisasi berikut:
1 1 i a = 1 − a11 , b = − b12 − a12 (4.19) 2 2 2 yang konsisten dengan det u = 1, sehingga kita dapat tuliskan µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ i b12 i 1 0 0 1 0 1 1 0 − a12 − u = − a11 0 −1 1 0 −1 0 0 1 2 2 2 i i i = 12 − a11 σz − a12 σx − b12 σy (4.20) 2 2 2 Dimana 12 merupakan matriks berukuran 2 × 2 dan σx , σy , dan σz merupakan matriks Pauli µ σx =
0 1 1 0
¶
µ ; σy =
0 −i i 0
¶
µ ; σz =
1 0 0 −1
¶ (4.21)
Dari sini, kita dapati 3 generator SU(2) sebagai berikut 1 Ji = Si = σi , (i = x, y, z) 2
(4.22)
Transformasi berhingga dari grup ini adalah: u = e−iω.J
(4.23)
dimana untuk kasus ini, ω = (a12 , b12 , a11 )
4.3
Homomorfisme SU(2) dengan R3
Untuk membuktkan homomorfisme, kita harus berurusan dengan transformasi berhingga SU(2) seperti (4.17) dan mengkaitkannya dengan rotasi. Pandang suatu vektor kompleks w = u + iv
(4.24)
w.w = w12 + w22 + w33 = 0
(4.25)
yang memiliki sifat Pandang pula suatu rotasi real dengan parameter α, β, γ. Terhadap transformasi ini, vektor w menjadi w0 = Rw
(4.26)
u0 = Ru v0 = Rv
(4.27)
dengan
55
Secara definisi, suatu rotasi menginvariankan panjang vektor, sedemikian sehingga w0 .w0 = (w10 )2 + (w20 )2 + (w30 )2 = 0
(4.28)
Sekarang, kita akan parameterisasi komponen-komponen wi (i = 1, 2, 3). Persamaan (4.25) juga berarti: u.u = v.v, u.v = 0
(4.29)
Malah, akan lebih sederhana, jika kita perkenalkan lagi 2 besaran kompleks ξ dan η dan mengkaitkannya dengan wi dengan cara sebagai berikut w1 − iw2 = η 2
(4.30)
w1 + iw2 = −ξ 2
(4.31)
w3 = ξη
(4.32)
Suatu rotasi umum terhadap sumbu tertentu merupakan serentetan 3 rotasi berturut-turut: rotasi sudut γ terhadap sumbu-z, diikuti dengan rotasi sudut β terhadap sumbu-y, dan rotasi sudut α terhdap sumbu-z lagi. Kita mulai bahas yang terakhir: w10 = w1 cosα + w2 sinα
(4.33)
w20 = −w2 sinα + w2 cosα
(4.34)
w30 = w3
(4.35)
yang menghasilkan η 02 = w10 − iw20 = eiα (w1 − iw2 ) = eiα η 2
(4.36)
−ξ 02 = w10 + iw20 = −e−iα ξ 2
(4.37)
Dengan menarik akar (4.36) dan (4.37), kita dapati ¶µ ¶ µ −i/2α µ 0 ¶ ξ e 0 ξ =± η η0 0 ei/2α Perhatikan bahwa matriks yang didapat ¶ µ −i/2α e 0 uα = 0 ei/2α
56
(4.38)
(4.39)
bersifat uniter dan dua matriks yang berbeda ±uα berkoresponden dengan rotasi sudut α yang sama. Rotasi sudut β terhadap sumbu-y menghasilkan transformasi w10 = w1 cosβ + w3 sinβ
(4.40)
w20 = w2
(4.41)
w30 = w1 sinβ + w3 cosβ
(4.42)
yang mana akan menghasilkan ¡ ¢2 η 02 = ξcos( β2 ) + ηsin( β2 ) ¡ ¢2 ξ 02 = ξsin( β2 ) − ηcos( β2 ) ¡ ¢¡ ¢ ξ 0 η 0 = ξcos( β2 ) + ηsin( β2 ) −ξsin( β2 ) + ηcos( β2 ) Ternyata
µ
ξ0 η0
¶
µ =±
cos( β2 ) sin( β2 ) −sin( β2 ) cos( β2 )
¶µ
ξ η
(4.43) (4.44) (4.45)
¶ (4.46)
Kita peroleh matriks uniter yang real berukuran 2 × 2 µ ¶ cos( β2 ) sin( β2 ) uβ = −sin( β2 ) cos( β2 )
(4.47)
dan lagi baik ±uβ berkaitan dengan rotasi sudut β yang sama . Matriks yang terkait dengan suatu rotasi sudut γ terhadap sumbu-z seperti (4.39) namun bergantung pada γ
µ uγ =
e−i/2γ 0 0 ei/2γ
¶ (4.48)
Oleh karena itu , homomorfisme antara SU(2) dengan R3 berarti bahwa 2 matriks uniter berukuran 2 × 2 yang berbeda tanda berkorespon terhadap rotasi R yang sama ±u → R dimana
µ u = uα uβ u γ =
e−i/2(α+γ) cos( β2 ) e−i/2(α−γ) sin( β2 ) −ei/2(α−γ) sin( β2 ) e−i/2(α+γ) cos( β2 )
(4.49) ¶ (4.50)
Matriks u ini dapat diidentifikasi sebagai matriks uniter spesial menurut (4.17), sehingga didapat bahwa: β 1 |a| = cos , arg a = − (α + γ) 2 2 1 β |b| = sin , arg b = − (α − γ) 2 2 57
(4.51)
Matriks (4.50) merupakan transpos dari representasi fundamental D1/2 dari SU(2), dan dengan menuliskan ξ = χ1 1 , η = χ1−1
(4.52)
D1/2 (α, β, γ) = uT
(4.53)
22
2
2
Kita dapat menuiskan bahwa
dengan uT merupakan transpos dari matriks (4.50). Sedangkan transpos matriks uβ dari (4.47) dapat ditulis sebagai d1/2 (β) = uTβ
(4.54)
dimana d1/2 representasi fundamental untuk grup rotasi R3 . Menurut (4.23) kita dapat mencakupkan spin ke dalam operator rotasi dengan menganggap generatorgenerator grup rotasi sebagai komponen-koponen momentum angular total J=L+S
(4.55)
Jadi, ketika suatu partikel memiliki spin, maka operator rotasi partikel tersebut mengandung momentum angular total. berdasarkan basis ini, teori representasi SU(2) dan R3 adalah sama.
4.4
Multiplet
Multiplet merupakan sehimpunan keadaan-keadaan kuantum yang membentuk subspace invarian untuk suatu representasi iredusibel suatu grup. Keadaankeadaan dalam multiplet terkait satu sama lain melalui grup transformasi tapi sifatnya terdegenerasi. Seperti yang telah dijelaskan pada awal bab ini, keinvarianan SU(2) menghasilkan keterdegenerasian spin dan isospin. Deskripsi matematis untuk spin dan isospin sama seperti yang telah diuraikan pada bab subbab sebelumnya. Dua keadaan isospin I = 12 , Iz = ± 12 memiliki sifat yang sama seperti keadaan spin S = 12 , Sz = ± 12 . Sama seperti spin, maka pada isospin terdapat 2 basis vektor pada ruang isospin µ ¶ µ ¶ 1 0 u= d= (4.56) 0 1 Berdasarkan analogi dengan (4.22), generator dari SUI (2) adalah 1 Ii = τi (i = x, y, z) 2 58
(4.57)
dimana:
µ τx =
0 1 1 0
¶
µ ; τy =
0 −i i 0
¶
µ ; τz =
1 0 0 −1
¶ (4.58)
Merekapun memiliki aljabar yang sama dengan R3 dan transformasi berhingga u = e−iω.I
(4.59)
dimana ω merupakan sudut rotasi di ruang isospin. Grup SUI (2) merupakan grup simetri untuk interaksi kuat, yang berarti bahwa: [Hstrong , I] = 0
(4.60)
Maka, suatu isomultiplet yang mengandung 2I + 1 partikel dan dianggap sebagai keadaan yang berbeda untuk partikel yang sama dan harus memiliki massa yang sama (atau berbeda sedikit). Misalnya untuk I = 21 , contoh isomultiplet adalah baryon (p,n) atau meson (K + , K 0 ). Pion(π + , π 0 , π − ) membentuk suatu isomultiplet dengan I = 1. Perluasan ke banyak partikel mirip dengan perlakuan terhadap momentum angular total dari sistem banyak partikel. Isospin dari n partikel bergabung bersama memberikan I=
n X
I(i)
(4.61)
i=1
Contoh yang cukup menarik untuk sistem banyak partikel dari sudut pandang isospin adalah nukleus
4.5
Grup SU(3)
Mula-mula, kita akan turunkan generator-generator grup SU(3) berdasarkan pada transformasi infinitesimal. Matriks 3 × 3 diperoleh dari mengerjakan generatorgenerator ini dalam ruang berdimensi 3 dan menghasilkan matriks Gell-Mann. Keterkaitan antara osilator harmonik isotropik dan SU(3) juga akan dibahas
4.5.1
Transformasi Infinitesimal
Kita mulai dari representasi fundamental yang merupakan matriks uniter berukuran 3 × 3. Di sekitar elemen identitas, matriks u ini dapat ditulis u = 13 + iρ
59
(4.62)
Dimana 13 merupakan matriks identitas berukuran 3 × 3, dan ρ merupakan matriks kompleks berukuran 3 × 3 yang memenuhi sifat ρ = ρ†
(4.63)
diperlukan oleh kondisi unitaritas. Maka, jika ρij = aij +ibij , maka harus dipenuhi pula bahwa aij = aji ,
bij = −bji
(4.64)
yang berarti bahwa bii = 0. Akan lebih nyaman bekerja langsung dalam basis sferis dimana koordinat-koordinat suatu titik adalah x1 , x0 , x−1 , dan transformasi infinitesimal akan mengubah xi menjadi x0i (i = 1, 0, −1) oleh 0 x1 1 + ia11 ia10 − b10 ia1−1 − b1−1 x1 x00 = ia10 + b10 1 + ia10 ia0−1 − b0−1 x0 0 x−1 ia1−1 + b1−1 ia0−1 + b0−1 1 + ia1−1 x−1
(4.65)
Di sini, kita berurusan dengan transformasi spesial, yaitu det u =1. Parameterparameter transformasi infinitesimal harus memenuhi konstrain (suku orde ke-2 dalam ρij diabaikan) a11 + a10 + a−1−1 = 0
(4.66)
. Maka, mengeliminasi a−1−1 , matriks dari persamaan (4.65) bergantung pada 8 parameter bebas a11 , a00 , a10 , b10 , a1−1 , b1−1 , a0−1 , b0−1 , dan orde dari SU(3) adalah 8. Terhadap transformasi infinitesimal, suatu fungsi skalar f berubah menjadi F (x01 , x00 , x0−1 ) = SF (x1 , x0 , x−1 ) +
X i
(x0i − xi )
∂F ∂xi
· ¶ ¶ µ µ ∂ ∂ ∂ ∂ = 1 + ia11 x1 − x−1 + ia00 x0 − x−1 ∂x1 ∂x−1 ∂x0 ∂x−1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +ia10 x1 + x0 + ia1−1 x1 + x−1 + ia0−1 x0 + x−1 ∂x0 ∂x1 ∂x−1 ∂x1 ∂x−1 ∂x0 ¶ µ ¶ µ ∂ ∂ ∂ ∂ − x0 + b1−1 x1 − x−1 +b10 x1 ∂x0 ∂x1 ∂x−1 ∂x1 µ ¶ ¸ ∂ ∂ +b0−1 x0 − x−1 F (4.67) ∂x−1 ∂x0
60
Dari sini , kita dapat definisikan operator-operator infinitesimal ˆ 11 = x1 ∂ − x−1 ∂ , ˆ 00 = x0 ∂ − x−1 ∂ X X ∂x1 ∂x−1 ∂x0 ∂x−1 µ ¶ ∂ ∂ ∂ ∂ ˆ 10 = x1 X + x0 , Yˆ10 = −i x1 − x0 ∂x0 ∂x1 ∂x0 ∂x1 µ ¶ ∂ ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ + x−1 , Y1−1 = −i x1 − x−1 X1−1 = x1 ∂x−1 ∂x1 ∂x−1 ∂x1 µ ¶ ∂ ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ X0−1 = x0 + x−1 , Y0−1 = −i x0 − x−1 (4.68) ∂x−1 ∂x0 ∂x−1 ∂x0 Pada setiap operator-operator tersebut, kita dapat asosiasikan suatu matriks. Misalnya x1 1 0 0 x1 ˆ 11 x0 = 0 0 0 x0 , dan seterusnya X x−1 x−1 0 0 −1
(4.69)
Matriks-matriks yang dihasilkan terkait dengan 8 matriks Gell-Mann λi (i = 1, 2, ..., 8) sebagai berikut: 1 0 0 1 √ X11 + X00 = 0 1 0 = 3λ8 , X11 − X00 = 0 0 0 −2 0 0 1 0 0 X10 = 1 0 0 = λ1 , Y10 = i 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 = λ4 , Y1−1 = X1−1 = 1 0 0 i 0 0 0 0 0 0 1 0 X0−1 = = λ6 , Y0−1 = 0 1 0 0
0 0 −1 0 = λ3 0 0 −i 0 0 0 = λ2 0 0 0 −i 0 0 = λ5 0 0 0 0 0 −i = λ7 (4.70) i 0
Semua matriks Gell-Mann traceless dan ternormalisir agar memenuhi (4.11). Dapat ditambahkan pula matriks λ0 menurut r 1 2 0 λ0 = 3 0
definisi (4.12): 0 0 1 0 0 1
(4.71)
matriks ini berkorespon dengan generator infinitesimal U(1) ˆ = x1 ∂ + x0 ∂ + x−1 ∂ N ∂x1 ∂x0 ∂x−1 61
(4.72)
yang diperoleh seperti dengan cara diatas tapi mengabaikan konstrain 4.66. Dengan perhitungan langsung, dapat ditemukan pula bahwa aljabar Lie SU(3) adalah: [λk , λl ] = 2ifklm λm
(4.73)
dimana fklm bersifat antisimetrik terhadap pertukaran sembarang 2 indeks. Nilainilai yang tidak habis adalah permutasi-permutasi berikut: f123 = 1, f147 = f165 = f246 = f257 = f345 = f376 = f458 = f678 =
√
1 2
3 2
(4.74)
Jika λ0 tidak termasuk, mereka juga memenuhi 4 [λk , λl ] = 2dklm λm + δkl 13 3
(4.75)
Dan jika λ0 termasuk, mereka memenuhi λk , λl = 2dklm λm
(4.76)
dimana konstanta dklm bersifat simetrik terhadap permutasi sembarang 2 indeks. Nilai-nilai mereka yang tak nol diberikan oleh tabel 4.1. Sama seperti SU(2), kita dapat memperkenalkan generator-generator: 1 Fˆi = λi 2
(4.77)
Relasi komutasi Fˆi dapat diperoleh langsung dari (4.73): [Fˆi , Fˆl ] = ifklm Fˆm
(4.78)
yang merepresentasikan bentuk lain dari Aljabar Lie SU(3). Dengan menggunakan operator Fˆi , kita dapat tuliskan transformasi S yang didefinisikan menurut (4.67) S = 1 + iδθi Fˆi
(4.79)
Bentuk berhingganya ˆ
S = eiθi Fi merupakan transformasi uniter karena θi real dan Fˆi bersifat hermit.
62
(4.80)
klm
dklm q
000 011 022 033 044 055 066 077 088
q q q q q q q q
klm
dklm √
3 3
klm
dklm
366
- 12
2 3
118
2 3
146
1 2
377
- 12
2 3
157
448
-
2 3
228
1 2 √
2 3
247
- 12
668
2 3
256
778
2 3
338
1 2 √
2 3
344
1 2
2 3
355
1 2
3 3
3 3
558
888
√
3 6 √ - 63 √ - 63 √ - 63 √ - 63
Tabel 4.1: Nilai-nilai Konstanta dklm yang didefinisikan menurut dan
63
4.5.2
Osilator harmonik 3 dimensi
Osilator harmonik isotropik merupakan contoh hamiltonian dengan degenerasi yang disengaja, seperti atom hidrogen. Grup U(3) merupakan grup simetrik terbesar karena kebergantungan V pada r2 yang juga merupakan kesimetrian dinamis. Osilator harmonik diguakan untuk mendeskripsikan pergeseran kecil dari posisi kesetimbangan. Dalam Fisika nuklir, digunakan sebagai pendekatan pertama dari gerakan-gerakan individu masing-masing nukleon dalam nukleus (model kulit) sedangkan dalam fisika subnuklir digunakan sebagai pendekatan terhadap pembatasan potensial linier antara suatu kuark dan antikuark. Hasil yang diperoleh di bawah dapat langsung diperumum ke osilator harmonik berdimensi-n, yaitu grup U(n). Jika kita mengukur jarak dalam satuan parameter panjang os³ ´ 21 ¯ h ¯ , hamiltonian osilator harmonik dan energi dalam satuan hω ilator b = mω suatu partikel bermassa m adalah: H=
¢ 1¡ −∇2 + r2 2
(4.81)
Sangat nyaman bekerja dalam koordinat katresian dan memperkenalkan operatoroperator kreasi µ ¶ 1 ∂ † ax = √ x − ∂x 2
a†y
1 =√ 2
µ
∂ y− ∂y
¶ a†z
1 =√ 2
µ
∂ z− ∂z
¶ (4.82)
dan adjoin yang berkaitan dengan operator-operator di atas , operator-operator anihilasi 1 ax = √ 2
µ
∂ x+ ∂x
¶
1 ay = √ 2
µ
∂ y+ ∂y
¶
1 az = √ 2
µ
∂ z+ ∂z
¶ (4.83)
sehingga hamiltonian (4.81) menjadi H=
X
a†i ai +
3 2
(4.84)
yang merupakan contoh bentuk kuadratik hermit . Operator-operator di atas memenuhi relasi komutasi [ai , aj ] = [a†i , a†j ] = 0, [ai , H] = ai Keadaan dasar dari H
[ai , a†j ] = δij
[a†i , H]
=
−a†i
¸ 1 2 2 2 |0 >= 3 exp − (x + y + z ) 2 π4 1
(4.85) (4.86)
·
64
(4.87)
memnuhi kondisi ai |0 >= 0 Keadaan tereksitasi yang berkaitan dengan eksitasi kuanta N = Nx + Ny + Nz adalah ψN = (a†x )Nx (a†y )Ny (a†z )Nz |0 >
(4.88)
Degenerasi suatu lebel dengan N kuanta adalah 12 (N + 1)(N + 2), yang merepresentasikan penjumlahan terhadap degenerasi lipat-(2l + 1) dengan l = N, N − 1, N − 2, ..., 1. Maka osilator harmonik memiliki degenerasi yang lebih banyak daripada yang bisa kita harapkan dari kesimetrian sferis dan ini berasal dari keinvarianan H terhadap U(3), dan R3 hanyalah subgrup dari U(3). Keinvarianannya digambarkan melalui relasi komutasi [a†i aj , H] = 0
(4.89)
yang dapat secara langsung diturunkan dari (4.85) dan (4.86). Maka ada 9 operator-operator Aij = a†i aj
(4.90)
yang kommut dengan H. Mereke merepresentasikan 9 buah generator U(3) dan relasinya dengan 8 generator SU(3) yang didefinisikan sebelumnya. Operator ke-9 H0 = a†x ax + a†y ay + a†z az
(4.91)
berkorespon dengan (4.72 ) dan menghasilkan transformasi U(1) yang jelas mengkekalkan banyaknya kuanta dan juga kommut dengan semua operator lainnya karena H0 = H − 32 . Dalam suku Aij , operator uniter mempunyai bentuk à ! X U = exp Cij A − ij
(4.92)
ij
dimana parameter Ci j harus memenuhi syarat Cij = −Cij∗
(4.93)
yang diperluakn oleh U † = U −1 . Maka, dengan mengambil Cij = aij + ibij , kita peroleh aij = −aji , bij = bji , yaitu 9 parameter-parameter bebas yang diperlukan oleh U(3). Terhadap U , operator kreasi bertransformasi seperti (a†i ) = U a†i U −1 =
X X (exp C)ij a†j = Uij a†j 65
(4.94)
dimana matriks C yang diperkenalkan di atas dan u merupakan matriks uniter yang merupakan salah satu elemen U(3). dalam aplikasinya di dalam fisika nuklir , kombinasi linier dari Aij merupakan opertor tensor iredusibel terhadap rotasi. Alasannya adalah bahwa dalam bentuk ini mereka memiliki arti fisis untuk mendeskripsikan nuklei terdeformasi. Tensor operator L = 0 diberikan oleh (4.91) dan merepresentasikan operator bilanagn partikel, tensor operator L = 1 berkorespon dengan momentum angular, dan L = 2 berkorespon dengan operator kuadrupol Qµ (µ = 0, ±1, ±2). Operator kuadrupol menghasilkan interaksi kuadrupol-kuadrupol antara nukleon-nukleon. Dari (4.85), kita dapat perlihatkan bahwa generator Aij memnuhi relasi komutasi berikut [Aij , Akl ] = ail δjk − Akj δil
(4.95)
Keabsahan relasi ini tidak hanya berlaku pada U(3),tetapi juga untuk alajabar U(n) asalkan definisi Aij diperluas ke osilator harmonik isotropik berdimensin U(n). Keberlakuan dari U(n) ke SU(n) dapat dibuat denagn mendefinisikan operator-operator:
1 δij H0 (4.96) n dimana H0 merupakan generalisasi dari (4.91) ke n dimensi. dari definisi (4.96) A0ij = Aij −
mengimplikasikan bahwa
n X
A0ii = 0
(4.97)
i=0
yakni hanya n − 1 dari operator-operator ini yang bebas linier, memberikan total n2 − 1 buah generator-generator SU(n)
4.5.3
Diagram Bobot untuk representasi fundamental
Diagram beban dapat digunakan untuk memperoleh pelabelan komplit subspace invrain dari suatu representasi. Kita dapat melabeli suatu irreps baik dengan bobot tertinggi atau dengan nilai eigen dari operator-operator invarian. Pada sembarang kasus, kita perlu nilai eigen dari Hi . Sebelum mendefinisikan operatoroperator invarian dari SU(3) da membahsa masalah pelabelan, coba kita latih dahulu mula-mula dengan menggambar diagram bobot suatu representasi fundamental. Bobot suatu representasi merupakan himpunan nilai-nilai eigen m1 , m2 , ..., ml dari Hi . untuk SU(3), l = 2 sehingga, kita dapat gambarkan diagram bidang yang
66
mengandung titik-titik yang merepresentasi nilai-nilai dari sehimpunan (m1 , m2 ). Alih-alih menggunakan H1 dan H2 kita menggunakan 2 Yˆ = √ H1 , 3
Iˆ3 = H2
(4.98)
Operator-operator ini relevan untuk penggunaan dalam bidang fisika partikel. Di dalam ruang 3 dimensi representasi fundamental, kita perkenalkan basis-basis bebas linier
1 u= 0 0
0 d= 1 0
0 s= 0 1
(4.99)
Terminologi yang digunakan terkait dengan kuark-kuark u, d, dan s karena sperti yang kana kita lihat di bawah , nilai-nilai eigen ini terkait dengan bilangan kuantum kuark. Dengan menggunakan matriks-matriks (4.70) , dengan segera kita dapat lihat bahwa: Yˆ u = 13 u Yˆ d = 13 d Yˆ s = − 32 s Iˆ3 u = 12 u Iˆ3 d = − 12 d Iˆ3 s = 0
(4.100)
Pada diagram bobot gambar 4.1 setiap titik merepresentasikan sehimpunan (m1 , m2 ) nilai-nilai eigen yang berasosiasi dengan basisi vektor tertentu yang didefinisikan sebelumnya menurut (4.99). Dengan penggunaan lebih lanjut matriks-matriks (4.70), kita dapati: d = Iˆ− u u = Iˆ+ d s = Vˆ− u u = Vˆ+ s s = Uˆ− d d = Uˆ+ s
(4.101)
Uˆ− u = Iˆ+ u = Vˆ+ u = 0
(4.102)
dan Relasi-relasi (4.101) menunjukkan bahwa operator-operator tangga memperbolehkan kita bergeser dari satu titik ke titik lain sehingga dapat menjelajahi seluruh titiktitik pada diagram. Hal ini valid untuk sembarang diagram. Aksi operatoroperator tangga secar skematik digambarkan pada gambar 4.1. Relasi-relasi (4.102) menunjukkan bahwa u berkorespon dengan bobot terting¡ ¢ ¡ ¢ gi, yang tidak dapat dilampaui titik manapun. Selisih 12 , 13 − − 12 , 31 = (1, 0) ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ dan 12 , 13 − 0, − 23 = 12 , 1 positif, berarti bahwa komponen pertama yang tak-nol positif, sehingga u memiliki bobot yang lebih tinggi daripada d atau s 67
Gambar 4.1: Diagram Bobot Representasi Fundamental SU(3)
Gambar 4.2: Aksi dari operator tangga pada bidang I3-Y
4.5.4
Pelabelan irreps SU(3)
Untuk lebih jauh mengkonstruksi diagram-diagram bobot untuk representasi pada dimensi yang lebih tinggi pada SU(3), kita melabelnya terlebih dahulu. Hal 68
ini dapat dikerjakan dengan menggunakan operator-operator invarian yang kommut dengan semua generator. Grup SU(3) memiliki 2 operator invarian,yaitu operator juadratik F 2 dan operator kubik G3 yang masing-masing didefinisikan sebagai berikut: F2 =
Pˆ ˆ Fi Fi = 34 Yˆ2 + Iˆ32 + 12 [Iˆ+ , Iˆ− ] + 21 [Uˆ+ , Uˆ− ] + 12 [Vˆ+ , Vˆ− ] P G3 = 8 dijk Fˆi Fˆj Fˆk
(4.103) (4.104)
Nilai-nilai eigen dari F 2 dan G3 dalam subspace invarian dari suatu irrep menyediakan sehimpunan 3 indeks untuk melabel irreptersebut. Namun demikian, dalam praktik, biasanya orang menggunakan label alternatif yang diperoleh dengan mengasosiasikan Diagram Young dengan suatu irrep. Untuk SU(3), sembarang Diagram Young yang mengandung maksimum 3 baris dan representasi dari partisi (f1 + s, f2 + s, f3 + s) dengan s = 0, 1, 2, 3, ..., n ekivalen satu sama lain. Ini berarti bahwa dengan menambahkan sejumlah tertentu kolom-kolom yang terdiri dari 3 baris masing-masing ke tiap diagram, orang akan peroleh representasirepresentasi ekivalen. Dengan kata lain, cukup untuk menspesifikasi panjang dari baris pertama dan kedua sebagai berikut
| {z } |
{z
}
yang berarti bahwa hanya 2 label λ = f1 − f2 dan µ = f2 − f3 yang diperlukan. Maka, notasi untuk suatu irrep adalah (λ, µ). Misalnya, untuk representasi fundamental, orang menggunakan atau (λµ) = (10) Nilai eigen F 2 atau G3 sama untuk sembarang vektor-vektor subspace invarian dari suatu irrep. Lebih baik menghitung nilai eigen ini mulai dari vektor bobot tertinggi φmax . Kita pilih definisi berikut: Iˆ+ φmax = Vˆ+ φmax = Uˆ− φmax = 0 Yˆ φmax = 1 (λ − µ)φmax
(4.105)
Iˆ3 φmax = 21 (λ + µ)φmax
(4.107)
3
(4.106)
Perhatikan bahwa (4.100)dan(4.102) konsisten dengan definisi ini. Mudah menunjukkan bahwa untuk irrep (λµ), persamaan nilai eigen untuk F 2 adalah 1 2 = (λ2 + µ2 + λµ + 3λ + 3µ)φmax Fmax 3 69
(4.108)
namun agak panjang untuk membuktikan bahwa pada akhirnya 1 G3 φmax = (λ − µ)(2λ + µ + 3)(λ + 2µ + 3)φmax 9
(4.109)
Untuk satu dan beberapa hal kedua persamaan di atas hanya akan dipakai tanpa pembuktian. Secara umum, pelabelan secara komplit terhadap suatu vektor basis sautu irrep ditunjukkan dengan mempertimbangkan rantai dari subgrup. Di sini, coba pertimbangkan SU (3) ⊃ SUI (2) × UY (1)
(4.110)
yang disebut rantai kanonik. Grup SU(3) memiliki subgrup SU(2) yang berkorespon dengan spin-I, spin-U , dan spin-V berturut-turut. Semua spin ini memenuhi relasi komutasi SU(2), asalkan kita definisikan 1 3 Vˆ3 = Yˆ + Iˆ3 , 4 2
3 1 Uˆ3 = Yˆ − Iˆ3 4 2
(4.111)
Di sini, kita pilih SUI (2) berdasarkan spin-I (atau isospin). Operator-operator kommutnya terdiri dari Iˆ2 dan Iˆ3 . Generator dari UY (1) adalah operator hypercharge Yˆ yang sebanding dengan H1 dari SU(3) sedemikian sehingga mereka memenuhi relasi komutasi [Iˆ2 , Iˆ3 ] = [Iˆ2 , Yˆ ] = [Yˆ , Iˆ3 ] = 0
(4.112)
Keinvarianan F 2 dan G3 kommut dengan semua generator , maka juga kommut dengan Iˆ2 , Yˆ , dan Iˆ3 . Maka, nilai-nilai eigen tersebut secara simultan membentuk vektor basis untuk suatu irrep (λµ) dan ini semua dapat dilabeli dengan sehimpunan (λµ)II3 Y . Dengan konstruksi eksplisit, orang juga dapat membuktikan ini semua merupakan set uang komplit. Biasanya kita mulai dari vektor bobot tertinggi dan dengan menerapkan operator-operator tangga Iˆ± , Uˆ± , dan Vˆ± dan relasi komutasi antara mereka, kita dapat menjelajahi seluruh subspace invarian (λµ). Banyaknya fungsi-fungsi bebas yang dihasilkan dari kesimetrian (λµ) memberikan dimensi dari irrep (λµ) berikut: 1 SU (3) d(λµ) = (λ + 1)(µ + 1)(λ + µ + 2) 2
(4.113)
Untuk ilai λ dan µ yang tetap sedemikian sehingga λ > µ. Nilai-nilai yang mungkin dari Y dan I diperlihatkan pada tabel (4.2)
70
Kita akan lihat aksi eksplisit operator-operator tangga Iˆ± , Uˆ± , dan Vˆ± pada suatu vektor basis φ(I, I3 , Y ), kita peroleh Yˆ Vˆ± φ = (Y ± 1)Vˆ± φ 1 Iˆ3 Vˆ± φ = (I3 ± )Vˆ± φ 2 yang menunjukkan bahwa Vˆ+ (Vˆ− ) menaikkan (menurunkan) Y dengan 1 dan I3 dengan 12 . Dengan ringkasan berikut, kita dapatkan Iˆ± : ∆I3 = ±1, ∆Y = 0 ∆I = 0 Vˆ± : ∆I3 = ± 21 , ∆Y = ±1 |∆I| = Uˆ± : ∆I3 = ∓ 12 , ∆Y = ±1 |∆I| =
1 2
(4.114)
1 2
Untuk Iˆ± , ∆ = 0 berarti bahwa Iˆ± memiliki elemen matriks tak-nol hanya dalam isomultiplet yang sama. Untuk Vˆ± , Uˆ± , perubahan I dapat diharapkan dari perubahan ∆I3 . Operator-operator ini bekerja antara anggota-anggota isomultiplet yang berbeda. Aturan (4.114) diilustrasikan pada gambar 4.2 . Formula umum untuk aksi operator tangga pada vektor basis φ(I, I3 , Y ) suatu irrep (λ, µ) adalah: p Iˆ± φ(I, I3 , Y ) = I(I + 1) − I3 (I3 ± 1)φ(I, I3 + 1, Y ) (4.115) Vˆ± φ(I, I3 , Y ) = a±φ(I + 1 , I3 ± 1 , Y ± 1)b± φ(I − 1 , I3 ± 1 , Y ± 1)(4.116) Uˆ± φ(I, I3 , Y ) = c± φ(I +
2
2
1 ,I 2 3
1 ,Y 2
∓
2
± 1) + d± φ(I −
2
1 ,I 2 3
∓ 12 , Y ± 1) (4.117)
dengan µ a+ =
(I + I3 + 1)[ 13 (λ − µ) + I + 12 Y + 1][ 13 (λ + 2µ) + I + 21 Y + 2][ 13 (2λ + µ) − I − 21 Y ] 2(I + 1)(2I + 1) (4.118)
dan µ
(I − I3 )[ 13 (µ − λ) + I − 12 Y ][ 13 (λ + 2µ) − I + 12 Y + 1][ 31 (2λ + µ) + I − 12 Y + 1] b+ = 2I(2I + 1) (4.119) Koefisien-koefisien lainnya terkait dengan a dan b seperti yang diperlihatkan di bawah. Malahan koefisien-koefisien a± dan b± merupakan elemen-elemen matriks Vˆ± . Mereka bergantung pada I, I3 , dan Y sehingga dapat dituliskan 1 1 a± (I, I3 , Y ) =< φ(I + , I3 ± , Y ± 1)|Vˆ± |φ(I, I3 , Y ) > 2 2 1 1 b± (I, I3 , Y ) =< φ(I − , I3 ± , Y ± 1)|Vˆ± |φ(I, I3 , Y ) > 2 2 71
(4.120) (4.121)
¶ 12
¶ 21
dan c± dan d± adalah 1 1 c± =< φ(I + , I3 ∓ , Y ± 1)|Uˆ± |φ(I, I3 , Y ) > 2 2 1 1 d± =< φ(I − , I3 ∓ , Y ± 1)|Uˆ± |φ(I, I3 , Y ) > 2 2
(4.122) (4.123)
dapat diperlihatkan pula bahwa a− (I, I3 , Y ) = b+ (I + 12 , I3 − 12 , Y − 1)
(4.124)
b− (I, I3 , Y ) = a+ (I − 12 , I3 − 12 , Y − 1)
(4.125)
1 3 1 1 c+ (, I3 , Y ) = [(I + )(I + ) − (I3 + 12)(I3 − )] 2 a+ (I, I3 , Y ) 2 2 2 1 −[I(I + 1) − I3 (I3 − 1)] 2 a+ (I, I3 − 1, Y )
(4.126)
1 1 1 1 d+ (, I3 , Y ) = [(I + )(I − ) − (I3 + 12)(I3 − )] 2 b+ (I, I3 , Y ) 2 2 2 1 −[I(I + 1) − I3 (I3 − 1)] 2 b+ (I, I3 − 1, Y )
(4.127)
c− (I, I3 , Y ) = d+ (I + 12 , I3 + 12 , Y − 1)
(4.128)
d− (I, I3 , Y ) = c+ (I − 12 , I3 + 12 , Y − 1)
(4.129)
Untuk mendefinisikan secara unik elemen-elemen matriks ini, beberapa konvensi fase relatif harus dibuat. Untuk keadaan-keadaan dalam multiplet yang sama, biasa digunakan konvensi fase Condon dan Shortley. Fase-fase relatif antara isomultiplet-isomultiplet yang berbeda didefinisikan dengan persyaratan bahwa elemen-elemen matriks tak-nol a± dan b± dari operator Vˆ± bersifat real dan positif. Ada juga konvensi fase lain, misalnya konvensi fase Gel’fand-Biedernharn untuk grup uniter yang mana elemen-elemen matriks generator-generator Ai,i−1 yang didefinisikan menurut (4.90) bersifat positif. Untuk SU(3), hal ini berarti bahwa elemen-elemen matriks Iˆ− dan Uˆ− semua positif. Pada tahap ini kita telah mempunyai semua elemen-elemen untuk mempersembahkan beberapa karakteristik umum diagram bobot untuk SU(3). Mengingat bahwa setiap irrep memiliki diagramnya sendiri-sendiri. Akibat peran analog yang dimainkan 3 subaljabar SU(2) yang ekivalen dari SU(3), diagram bobot boleh memiliki bentuk segitiga (gambar 4.1) atau segienam (gambar 4.3 dan 4.4) yang diperoleh dari perpotongan garis-garis multiplet I, V, dan U . Tiap vektor basis suatu subspace invarian berasosiasi dengan suatu titik (I3 , Y ) yang terletak 72
Y
I
- 13 (2λ + µ)
µ 2
- 13 (2λ + µ)
µ 2
−
1 2
µ 2
- 13 (2λ + µ) + 2
µ 2
−1
µ 2
.
. . . .
.
. . . . .
.
. . . . . .
- 13 (2λ + µ) + µ
0 1 2
- 23 (2λ − µ) + 1
1 2
- 23 (2λ + µ) + 2
1 2
.
. . . .
.
. . . . .
1 (λ 3
− µ)
1 (λ 3
− µ) + 1
λ 2
3 2
1 2
+
µ 2
µ
5 2
µ+1
−
µ 2
λ 2
−
. µ 2
λ 2
. . . . .
1 (λ 3
+ 2µ) − 1
1 (λ 3
+ 2µ)
λ 2
−1 λ 2
−
1 2
µ 2 λ 2
.
λ 2
+
+1
. . . .
+ 2µ) − 2
1 2
µ+
.
1 (λ 3
+2
λ 2 λ 2
+
µ 2
+1
+
λ 2
λ 2
Tabel 4.2: Kemungkinan nilai-nilai Y dan I untuk
73
−
1 2
di dalam segienam. Karena Iˆ3 , Vˆ3 , dan Uˆ3 merupakan operator-operator proyeksi spin, nilai-nilai eigennya harus 0, ± 12 , ±1, ± 23 dan seterusnya , dan menurut (4.111)
2 Yˆ = (Vˆ3 − Uˆ3 ) (4.130) 3 Oleh karena itu, nilai-nilai eigen dari Yˆ haruslah 0, ± 13 , ± 32 , 1 dst, konsisten dengan tabel 4.2. Tiap diagram memiliki 3 sumbu simetri, yang pertama tegak lurus pada I3 , yang kedua tegak lurus pada V3 , dan yang terakhir tegak lurus pada U3 . Sekarang kita dapat gambarkan kontur dari diagram bobot yang terkait dengan suatu irrep (λµ). Pada gambar 4.4 digambarkan untuk kasus λ > µ Mula-mula, ¡ ¢ kita gambarkan titik A = 12 (λ + µ), 13 (λ − µ) yang berkorespon dengan φmax dari (4.105)-(4.107). Menurut gambar 4.2, titik B dapat dicapai dengan mengerjakan n kali operator Uˆ+ pada φmax untuk menghasilkan φB = (Uˆ+ )n φmax . Garis
AB merupakan multiplet spin-U dengan U = konstanta dan −U ≤ U3 ≤ U . Ujung-ujungnya A dan B, berkorespon dengan −U = Umax dan U berturutturut. Mengambil nilai Ymax = 13 (λ − µ) dan (I3 )max = 21 (λ + µ) pada (4.111), kita dapatkan 1 1 3 Umax = Ymax − (I3 )max = − µ, 4 2 2
Vmax =
λ 2
(4.131)
µ 2
dan pada garis AB terdapat 2U + 1 = µ + 1 buah titik. Maka, untuk mencapai B dari A, kita perlu menerapkan Uˆ+ pada φmax sebanyak n = µ kali. Dengan menggunakan relasi komutasi [Iˆ3 , Uˆ+ ] = − 21 Uˆ+ dan [Yˆ , Uˆ+ ] = Uˆ+ , µ kali, kita dapati yaitu titik A memiliki U =
£ ¤ Iˆ3 φB = (I3 )max − µ2 φB = λ2 φB Yˆ φB = [Ymax − µ]φB = 13 (λ + 2µ)φB
(4.132)
dimana φB ∼ (Uˆ+ )µ φmax . Dengan cara yang mirip, kita dapat bahas garis AF yang merupakan multiplet V . Dari (4.131), kita dapat lihat bahwa φF ∼ (Vˆ− )λ φmax dan bahwa £ ¤ Iˆ3 φF = (I3 )max − λ2 φF = µ2 φF Yˆ φF = [Ymax − λ]φF = − 13 (2λ + µ)φF
(4.133)
Titik C dicapai dari B dengan mengerjakan Iˆ− pada φB sebanyak λ kali dan E dicapai dari F dengan mengerjakan Iˆ− pada φF sebanyak µ kali. Titik D dapat diperoleh dari A dengan mengerjakan Iˆ− pada φmax sebanyak λ + µ kali. Juga 74
Gambar 4.3: Diagram Bobot Tipikal suatu representasi SU(3) dengan λ = 6 dan µ=2
untuk tiap titik pada garis AB atau AF, terdapat multiplet spin-I yang berujung pada CD dan DE, berturut-turut. Dari setiap titik pada ABC, kita dapat membangun multiplet spin-V yang berujung pada DEF dan juga pada tiap titik pada AFE, multiplet spin-U yang berujung pada BCD. Dengan cara ini, mulai dari titik A, kita dapat membuat suatu lattice seperti pada gambar 4.3 dimana tiap vektor basis dalam subspace invarian dari irrep (λµ) direpresentasikan dengan sebuah titik. Sebaliknya, titik-titik di dalam segienam tidak selalu berkorespon dengan vektor basis tunggal. Maka, titik dalam memiliki multiplisitas yang tidak sama dengan 1. Coba kita ilustrasikan masalah multiplisitas pada diagram pada gambar 4.3. Pada konturnya (segi enam terbesar),hanya terdapat satu vektor basis yang berkorespon dengan suatu titik tertentu. Di sebelah dalam kontur, pada segienam pertama tiap titik berkorespon dengan 2 vektor. Pada segienam kedua , terdapat korespondensi titik-titik dengan 3 vektor, dan seterusnya. Setelah itu, segienam menjadi suatu segitiga dan dari keadaan itu pada banyaknya vektor bebas saling
75
Gambar 4.4: Kontur dari suatu diagram bobot
bebas pada tiap titik tetap sama. Secara umum, untuk kasus dimana λ > µ terdapat µ buah segienam sehingga multiplisitas titik-titik pada sembarang segitiga adalah µ + 1. Sebuah kasus yang menarik adalah representasi dengan λ = 1 karena representasi ini digunakan dalam klaskifikasi Hadron. Diagram bobotnya digambarkan pada gambar 4.5
4.5.5
Representasi Kompleks Konjugat
Pada subbab (3.9) telah dibahas mengenai notasi-notasi representasi kontradingen dan kompleks konjugat. Untuk representasi uniter, keduanya bersifat real. Karena SU(n) merupakan grup kompak,semua representasi-representasinya bersifat uniter atau ekivalen terhadap representasi uniter, sehingga orang biasanya cukup mengacu pada representasi kompleks konjugat D∗ saja. Walaupun memiliki dimensi yang sama, secara umum D dan D∗ tidak ekivalen. Jika diagram 76
Gambar 4.5: Diagram Bobot Tipikal SU(3) untuk (λµ)=(11) λ = 6. Diagram bobot memiliki multiplisitas 2 yang ditandai titik yang dilingkari
Young mereka berbeda, ini berarti bahwa mereka tidak ekivalen karena terdapat korespondensi satu-satu antara sautu representasi dengan diagram Young. Suatu kasus penting, dengan implikasi fisis, adalah representasi kompleks konjugat dari representasi fundamental. Seperti pada SU(2) yang telah dibahas sebelumnya, representasi kompleks konjugat berasosiasi dengan antipartikel dari suatu partikel yang telah dideskripsikan dengan representasi fundamental. Dalam model kulit inti, representasi ini mendeskripsikan suatu hole di dalam kulit tertutup. Representasi fundamental memiliki partisi [f1 ] = [1]. Maka, menurut aturan di atas, representasi kompleks konjugat memiliki partisi [1n−1 ]. Selanjutnya, keadaan-keadaan dasar 4.99 yang merepresentasikan kuark-kuark u, d, dan s membentuk bentangan irrep
dari SU(3). Maka, keadaan-keadaan antikuark
¯ dan s¯ membentuk bentangan irrep . Di dalam basis yang terbentuk oleh u¯, d, keadaan-keadaan kuark u, d, s, dan c, orang biasanya akan memperkenalkan rep¯ s¯, dan resentasi fundamental dari SU(4). Maka, keadaan-keadaan antikuark u ¯, d,
c¯ akan membentang lagi dan membentuk representasi 77
dari SU(4) dan seterus-
nya. Kaitan antara representasi kompleks konjugat dan antipartikel dapat juga dimengerti dengan mempertimbangkan operator uniter yang berkorespon dengan representasi tersebut. Misalnya, untuk SU(3), kita dapati bahwa ˆ∗
S ∗ = e−iθi Fi
(4.134)
yang merupakan kompleks konjugat dari (4.80). Maka, −Fˆi∗ = −FˆiT merupakan generator-generator dari representasi antipartikel. Di sini, Fˆ3 = H2 dan ˆ 3 dan Yˆ melalui (4.98). Maka, komFˆ8 = H1 bersifat real dan terkait dengan I − pleks konjugasi berfungsi untuk mengubah tanda I3 dan Y melalui persamaan (4.134) seperti yang diperoleh dari Gell-Mann–Nishijima yang akan dibahas nanti. Bilangan-bilangan kuantum ini merepresentasikan antipartikel. Lebih jauh lagi, melalui definisi yang diberikan pada tabel 4.2 , kompleks konjugasi mempertukarkan peran dari operator-operator penaikan dan penurunan Iˆ± , Uˆ± dan Vˆ± . Dalam diagram bobot, hal ini mengacu pada refleksi baik terhadap sumbu I3 dan Y . Misalnya, representasi fundamental SU(3) dideskripsikan dengan diagram gambar 4.1, dimana tiap titik dapat diasosiasikan dengan suatu kuark. Maka, diagram bobot dari representasi kompleks konjugat harus muncul seperti pada gambar 4.6, dimana tiap titik berasosiasi dengan suatu antikuark. Maka, refleksi terhadap kedua sumbu pada diagram bobot menghasilkan diagram bobot representasi kompleks konjugat. Pada sisi lain, untuk suatu representasi (λµ) SU(3), kita peroleh bahwa λ = f1 − f2 , µ = f2 − f3 , sehingga secara definisi, representasi kompleks konjugat harus mempunyai f10 = f1 − f3 = λ + µ dan f20 = f1 − f2 = λ. Dalam diagram young, ini berarti ∗ (λµ)∗ =
=
= (µλ)
(4.135)
Formula(4.113)untuk dimensi dari suatu irrep SU(3) simetrik terhadap λ dan µ dan memberikan nilai yang sama untuk (λµ)∗ dan (λµ). Maka jika, alih-alih (λµ), kita gunakan dimensi (d) sebagai suatu label, repre¯ sentasi komleks konjugatnya dilabeli dengan d(atau d∗ ). Misalnya, representasi ¯ dundamental terkadang dilabeli dengan 3 dan kompleks konjugatnya dengan 3. Dengan notasi ini, orang dapat menulis perkalian langsung 3 × ¯3 = ¯3 × 3 = 8 + 1 yang akan digunakan dalam klaksifikasi meson pada subbab nanti. 78
(4.136)
Gambar 4.6: Diagram Bobot Tipikal suatu representasi kompleks konjugat ¯3 SU(3)
4.5.6
Klaksifikasi Hadron
Hadron merupakan partikel-partikel yang berinteraksi kuat dan terdiri dari 2 kategori: 1. Baryon memiliki spin 12 dan kelipatan ganjilnya dan secara struktur terdiri dari 3 buah kuark . Keadaan dasar Baryon memiliki massa yang lebih dari meson. Terdapat 8 baryon yang disebut sebagai oktet SU(3) yang pertama kali diidentifikasi oleh Gell-Mann dan Nee’man yang membawa teori jalan lipat-8 (eight-fold way) 2. Meson memiliki spin bilangan bulat dan terdiri dari kuark dan antikuark. Lebih banyak tentang meson akan dibahas pada subbab berikut. Pengklaksifikasian dan pengelompokan dapat dibuat dalam beberapa isomultiplet, dan beberapa isomultiplet membentuk multilet SU(3). Pada tabel (4.3) 79
terdaftar beberapa baryon bermassa rendah dan beberapa sifat pentingnya. Jalan lipat-8 merupakan teori yang dikembangkan Gell-Mann dan Nee’man yang merupakan langkah penting dalam klaksifikasi partikel elementer. Pada saat itu, sebuah triplet medan baryon diperkenalkansebagai alat bantu matematis untuk pengkonstruksian representasi-representasi oktet dan dekuplet dari SU(3). Gell-mann memprediksikan partikel-partikel hipotetis yang terdiri dari 3 macam, yaitu kuark u, d, dan s yang bertransformasi menurut representasi fundamental SU(3) dan memiliki spin 12 . Baryon dideskripsikan sebagai keadaan 3-kuark. Anggap kuark u, d, dan s sebagai keadaan-keadaan kuantum yang berbeda yang disebut f lavor. Mereka membentuk basis untuk representasi fundamental λµ = (10) SUF (3). Keadaan 3 kuark ini diperoleh dari perkalian langsung ×
=
×
+
×
+
=
+
+
(4.137)
yang menghasilkan representasi SU(3) non ekivalen. Mereka dapat diidentifikasi baik dengan label (λµ) yang sama dengan (30),(11), atau (00), ataupun dengan dimensi yang dapat dihitung dari formula(4.113) Irrep (11) muncul dengan multiplisitas 2 dan 8 partikel pertama pada tabel +
(4.3)dengan J π = 12 terkait dengan representasi 2 oktet. Melalui grup permutasi S3 , dapat kita pahami bahwa masing-masing partikel ini harus dapat dideskripsikan oleh 2 tipe keadaan yaitu ψ ρ dan ψ λ dan inilah sebabnya mengapa 2 representasi oktet muncul di (4.137). Masing-masing dari delapan partikel tersebut berkorespon dengan vektor basis (λµ)=(11) SU(3), sehingga tiap par+
tikel elementer dengan J π = 21 kita dapat asosiasikan sebuah titik pada diagram bobot pada gambar 4.5. Hal ini diplot pada gambar 4.7a. Pada gambar 4.7b, kita perlihatkan diagram bobot untuk representasi (λµ)=(30) berdimensi 10, dimana tiap titik merepresentasikan satu dari 10 partikel dengan J π =
3+ 2
dari
tabel (4.3). Pada waktu klaksifikasi ini diusulkan , kecuali partikel Ω− , semua partikel telah ditemukan. Selain baryon pada gambar 4.7 terdapat pula suatu barion dengan citarasa singlet yang terkait dengan representasi (00). ini adalah partikel Λ dengan J π =
1− . 2
Partikel ini memiliki paritas negatif yang dapat di80
mengerti dalam model kuark sebagai keadaan tereksitasi L = 1, sementara oktet dan dekuplet baryon pada gambar 4.7 berada pada keadaan dasar L = 0 +
Dalam model kwark nonrelativistik baryon dengan J π = 32 kecuali Ω− juga terlihat sebagai keadaan-keadaan tereksitasi dari barion keadaan dasar. Perbedaan massa diantaranya dijelaskan melalui interaksi color hyperfine yang bekerja antar kuark. Kuark merupakan fermion dengan spin bergabung menjadi berspin S =
1 2
atau
1 2
sehingga 3 kuark dapat
3 2
Setiap garis horizontal pada gambar 4.7 merepresentasikan suatu isomultiplet dan setiap isomultiplet memiliki memiliki hypercharge tertentu. Ide mengenai hypercharge Y diperkenalkan oleh Gell-Mann dan Nakano dan Nishijima untuk mendeskripsikan fenomena yang belum terjawab seperti produksi pasangan meson K dan kemudian diterima sebagai suatu konsep. Hubungan antaranya adalah Q = I3 +
Y 2
(4.138)
. Ada juga bilangan strangeness S yang berhubungan melalui S =Y −B
(4.139)
dimana B adalah bilangan baryon. Proton, neutron dan partikel ∆ tidak bersifat non-strange, sedangkan Σ, Λ, Ξ, Ω bersifat strange. Eksperimen menunjukkan bahwa bilangan baryon akan kekal dalam setiap reaksi. Sekarang dalam GUT (Grand Unified Theory), diharapkan bilangan baryon dilanggar melalui interaksi lemah, sehingga proton bersifat tak stabil. Namun, sampai saat ini peluruhan proton belum pernah teramati secara eksperimen. Muatan juga kekal dalam tiap proses. Dari 2 persamaan terakhir di atas, bahwa setiap interaksi yang mengkekalkan I3 juga akan mengkekalkan Y dan S karena Q adn B selalu kekal. Interaksi-interaksi kuat dan elektromagnet mengkekalkan S(atau Y ) namun interaksi lemah tidak. Konsekuensinya adalah partikel strange dapat meluruh menjadi partikel non-strange hanya melalui peluruhan interaksi lemah. Menarik diperhatikan bahwa multiplet spin-U , muatan bersifat konstan. Hal ini dapat dimengerti melalui (4.117) yang menunjukkan bahwa Uˆ+ (Uˆ− ) menurunkan (menaikkan) I3 sebanyak
1 2
dan menaikkan (menurunkan) Y sebanyak 1.
Pada tiap multiplet baryon SU(3) terdapat korespondensi suatu multiplet baryon yang berbeda. Diagram bobot dari suatu multiplet antibaryondapat diperoleh dari pengubahan tanda Y → −Y dan I3 → −I3 dan dengan refleksi pada sumbu Y dan I3 . Jika kesimetrian SUF (3) eksak, maka semua partikel dalam multiplet SUF (3) akan memiliki massa yang sama. 81
Partikel
Massa (MeV)
JP
I
I3
Y
waktu hidup (s)
Modus peluruhan utama
p
938.27
1+ 2
1 2
1 2
1
-
n
939.57
1+ 2
1 2
− 21
1
> 1.6 × 1025 tahun 889
Λ
1115.6
1+ 2
0
0
0
2.6 × 10−10
pπ − (64.1%), nπ 0 (35.7%)
Σ+
1184.4
1+ 2
1
1
0
0.8 × 10−10
pπ 0 (51.6%), nπ 0 (48.3%)
Σ0
1192.5
1+ 2
1
0
0
7.4 × 10−20
Λγ(100%)
Σ−
1197.4
1+ 2
1
-1
0
1.5 × 10−10
nπ − (99.85%)
Ξ0
1314.9
1+ 2
1 2
1 2
-1
2.9 × 10−10
Λπ 0 (100%)
Ξ−
1321.3
1+ 2
1 2
− 21
-1
1.6 × 10−10
Λπ − (100%)
∆++
1232
3+ 2
3 2
3 2
1
5.5 × 10−24
pπ + (99.4%)
∆+
1232
3+ 2
3 2
1 2
1
5.5 × 10−24
pπ 0 , nπ + (99.4%)
∆0
1232
3+ 2
3 2
− 21
1
5.5 × 10−24
pΛπ − , nπ 0 (99.4%)
∆−
1232
3+ 2
3 2
− 23
1
5.5 × 10−24
nΛπ − (99.4%)
Σ+∗
1382.8
3+ 2
1
1
0
1.8 × 10−23
Λπ(88%), Σπ(12%)
Σ0∗
1383.7
3+ 2
1
0
0
1.8 × 10−23
Λπ(88%), Σπ(12%)
Σ−∗
1387.2
3+ 2
1
-1
0
1.8 × 10−23
Λπ(88%), Σπ(12%)
Ξ0∗
1531.8
3+ 2
1 2
1 2
-1
6.9 × 10−23
Ξπ(100%)
Ξ−∗
1535.0
3+ 2
1 2
− 21
-1
6.9 × 10−23
Ξπ(100%)
Ω−
1672.4
3+ 2
0
0
-2
0.8 × 10−10
ΛK − (67.8%), Ξπ(32.2%)
Λ(1405)
1407
1− 2
0
0
0
1.3 × 10−23
Σπ(100%)
Tabel 4.3: Karakteristik baryon-baryon bermassa rendah
82
pe− ν¯e (100%)
Gambar 4.7: (a)Oktet Baryon (J π =
4.5.7
1+ ). 2
(b) Dekuplet Baryon (J π =
3+ ) 2
Klaksifikasi Meson
Meson juga terklaksifikasi dalam multiplet SU(3) menurut struktur kuarknya. Dalam model kuark, meson dideskripsikan sebagai keadaan yang mentransfor83
masikan pasangan kuark-antikuark menurut transformasi SU(3). Perkalian langsung suatu kuark q dan antikuark q¯ memberikan
×
=
×
=
×
(4.140)
Untuk SU(3), hal ini ekivalen dengan (4160). Maka, kita boleh harapkan meson menjadi anggota dari oktet SU(3) ataupun suatu keadaan singlet. Diagram bobotnya digambarkan pada gambar 4.8. Dari diagram bobot meson-meson pseudoskalar pada gambar 4.8, diagram bobot kuark pada gambar 4.2 , dan diagram bobot antikuark pada gambar 4.6, kita dapat membaca isi kuark dari meson karena Y dan I3 merupakan bilangan kuantum yang bersifat aditif. Dengan langsung, kita dapatkan ¯ π + ∼ θδ,
π − ∼ δ θ¯ (I = +)
(4.141)
K − ∼ s¯ u (I = 21 ) K 0 ∼ d¯ s, K¯0 ∼ sd¯ (I = 21 ) π 0 ∼ 1 (dd¯ − u¯ u)
(4.142)
K + ∼ u¯ s,
2
(4.143) (4.144)
Meson η10 merupakan f lavor singlet, sehingga harus berkorespon dengan sklar SUF (3) 3
η10
1 X 1 ¯ s) (4.145) ∼ |(00)I = 0, I3 = 0, Y = 0 >= √ |qi > |q¯i >= √ (u¯ u+dd+s¯ 3 i=1 3
Dengan relasi ortogonalitas, kitapun dapatkan 1 η80 ∼ |(11)I = 0, I3 = 0, Y = 0 >= √ (u¯ u + dd¯ − 2s¯ s) 6
(4.146)
Meson pseudoskalar dan meson vektor yang ringan dan ditemukan di alam diberikan pada tabel 4.4. Selain bilangan kuantum yang sama dengan baryon, ada juga bilangan kuantum khusus untuk meson yaitu paritas-G dan konjugasi muatan C Untuk baryon yang berada pada keadaan dasar, misalnya anggota oktet dan dekuplet, paritas relatifnya P = 1. Meson tersusun atas suatu partikel dan antipartikel, dan oleh karenanya memiliki paritas relatif P = −1. Jika tereksitasi pada suatu keadaan yang proporsional dengan Ylm , maka terhadap inversi ruang Ylm → (−1)l Ylm , sehingga paritas totalnya P = (−1)l+1 84
(4.147)
Gambar 4.8: (a)Meson pseudoskalar J P = 0− .(b) Meson vektor J P = 1−
Medan kuark berperilaku seperti medan Dirac yang mana konjugasi muatan C mempertukarkan partikel dan antipartikel. Tanda(-1) muncul karena statistik Fermi, fase (−1)l muncul dari Ylm , dan bagian spin(−1)s+1 bersama-sama membentuk C + (−1)1 (−1)l (−1)s+1 = (−1)l+s
(4.148)
Meson Pseudoskalar mempunyai l = 0 dan s = 9, maka paritasnya −1 dan itulah sebabnya mengapa mereka disebut pseudoskalar. Meson pseudoskalar nonstrange (strangeness=0) mempunyai J P C = 0−+ . Meson vektor mempunyai l = 0 adn s = 1 sedangkan meson non-strange mempunyai J P C = 1−− . Dengan mengkopling l 6= 0 dengan s, kita bisa dapatkan kombinasi lain dari J P . Secara umum ada beberapa tipe multiplet SU(3). Misalnya untuk l = 1 atau 0, kita dapati
85
Meson pseudoskalar
l=0
s=0
J P = 0−
Meson vektor Meson skalar
l=0 l=1
s=0 s=1
J P = 0− j P = 0+
Meson aksial vektor
l=1
s=1
J P = 1+
Meson tensor
l=1
s=1
J P = 2+
Daftar di atas dapat diteruskan dengan mengambil l = 2 dan seterusnya. Karena kesulitan pengukuran massa dan lebar, multiplet dengan l = 1 atau lebih biasanya sulit dan tidak lengkap. Kontras dengan baryon, pada meson, partikel dan antipartikel tergabung dalam multiplet yang sama. Untuk meson, partikel dan antipartikel memilii paritas yang sama, oleh karenanya bisa berada pada multiplet yang sama. Transformasi partikel-antipartikel berarti S → −S, I3 → −I3 . Maka, pasangan meson dan antimeson terdiri dari π + , π − , K + , K − , K 0 , K¯0 , ρ+ , ρ− , dan seterusnya. Empat kaon yang strange membentuk 2 doblet isospin yang terkait dengan µ + ¶ µ ¶ µ 0 ¶ µ + ¶ ¯0 ¯ + K K K K G =− atau G =− K0 −K − −K − K0
4.5.8
(4.149)
Formula massa Gell-Mann – Okubo
Eksperimen menunjukkan bahwa baik pada baryon dan meson terjadi pemecahan(splitting) massa antara multiplet-multiplet isospin yang berbeda dalam multiplet SU(3) tertentu. Maka, kesimetrian SUF (3) tidaklah eksak. Kita perlu mengerti bagaimana kesimetrian ini pecah. Pada pembahasan di bawah ini, kita mengabaiakn spliting yang sangat kecil dalam suatu isomultiplet akibat pecahnya kesimetrian isospin dan mengambil massa rerata untuk tiap I. Misalnya p, n → mN = 939MeV Λ → mΛ = 1116MeV Σ+ , Σ0 , Σ− → mΣ = 1193MeV Ξ0 , Ξ− → mΞ = 1318MeV
(4.150)
yang memberikan splitting massa kira-kira dalam orde 10% cukup jauh lebih besar dibandingkan pecahnya simetri isospin dalam orde 1% 86
Gambar 4.9: Plot Chew-Frautschi dari keadaan-keadaan q q¯ yang menunjukkan momentum sudut orbital, L terhadap kuadrat massa
hadron merupakan eigenstate dari Hamiltonian interaksi kuat Hstrong . Klaksifikasi yang berbasiskan keinvarianan SUF (3) bertumpu pada 2 asumsi utama. Pertama: gatya kuat tidak bergantung citarasa, dan massa kuark u, d, dan s sama. Dalam QCD, teori interaksi kuat, gluon yang merupakan partikel pembawa gaya, tidak membedakan kuark dengan citarasa yang berbeda. Dari analisis spektra massa , kita dapat menyimpulkan asumsi yang kedua di atas tidaklah benar dan harus dimodifikasi dengan mengambil mu ∼ = md ,
ms > mu
(4.151)
Maka, nilai ekspektasi dari Hstrong dalam ruang 3 dimensi memiliki nilai mu 0 0 < Hstrong > = 0 md 0 0 0 ms 1 0 0 1 0 0 s 0 1 0 = 2mu3+ms 0 1 0 + mu −m 3 0 0 1 0 0 −2 =
2mu +ms 1 3
87
+
mu√ −ms λ8 3
(4.152)
Hal ini berarti bahwa < Hstrong > dapat displit menjadi 2 suku < Hstrong >= H0 + H8
(4.153)
dimana H0 ∼ 1 merupakan invarian SU(3) dan H8 merupakan suatu suku pecahnya kesimetrian (symmetry breaking) dengan sifat transformasi yang spesifik terhadap SUF (3) yang dibawa oleh λ8 , yang merupakan anggota dari suatu oktet. Untuk kelengkapan, suku λ8 harus ditambah dengan sifat analog lainnya. Bentuk yang paling umum adalah H8 = xF¯8 + yd8ab F¯a F¯b
(4.154)
dimana x dan y merupakan parameter yang tetap, Fˆi merupakan generatorgenerator SU(3). Sedangkan d8ab Fˆa Fˆb dapat dituliskan ³ 2 ´ √ ³ 2 ´ 2 2 2 2 2 2 d8ab Fˆa Fˆb = √13 Fˆ1 + Fˆ2 + Fˆ3 − 63 Fˆ4 + Fˆ5 + Fˆ6 + Fˆ7 − √13 Fˆ8 ´ √ ³ 2´ √ √ ³ 2 2 2 3 ˆ ˆ ˆ = 2 F1 + F2 + F3 − 63 Fˆ8 − 63 Fˆ 2 ´ √ ³ = 23 Iˆ2 − 14 Yˆ 2 − 13 Fˆ2 (4.155) yang memang merupakan invarian isospin adn hypercharge. Suku terakhir mengandung operator casimir yang merupakan SU(3)invarian. Untuk baryon B dengan Y danI tertentu yang merupakan multiplet (λµ), teori perturbasi orde satu menghasilkan
·
mB =< B|Hstrong |B >= m0 + δm1 Y + δm2
1 I(I + 1) − Y 2 4
¸ (4.156)
Persamaan terakhir merupakan rumus massa Gell-Mann–Okubo. Untuk Oktet Baryon, dimana 4 reaksi dalam persamaan (4.150) dapat difit-kan, kita bisa mengeliminasi 3 parameter dan memperoleh relasi linier antar massa: 1 1 (mN + mΞ ) = (3mλ + mΣ ) (4.157) 2 4 Untuk dekuplet, rumus massa Gell-Mann–Okubo dan dibawa ke dalam bentuk yang lebih sederhana mB = m0 + δm1 Y
(4.158)
yang mencerminkan pemisahan yang hampir sama antar massa isomultiplet mΩ − mΞ∗ ∼ = 138 MeV mΞ∗ − mΣ∗ ∼ = 149 MeV mΣ∗ − m∆ ∼ = 152 MeV
88
Pada waktu Dell-Mann dan Nee’Man mengusulkan klaksifikasi SU(3), partikel Ω− belum ditemukan. Keberadaannya baru diprediksi karena dalam dekuplet terdapat tempat kosong dan massanya terprediksi beberapa MeV dari (4.158) Untuk splitting massa meson, kita dapat menggunkan Hamiltonian yang sama Hstrong , namun tidak lagi diagonal dalam ruang keadaan meson vektor dan pseudoskalar karena H8 merupakan oktet, mengizinkan kopling antara keadaan-keadaan oktet dan singlet, misalnya antara (4.145) dan (4.146).Juga pada persamaan (4.154), kita harus menset x = 0, alasannya terkait dengan fakta bahwa meson dan antimeson merupakan multiplet yang sama. Maka, menurut teori CP T , partikel dan antipartikel memiliki massa yang sama, namun memeiliki hypercharge yang berlawanan tanda, sehingga suku linier dalam Yˆ tidak boleh muncul dalam Hstrong . Pada sektor pseudoskalar, misalnya, elemen-elemen matriks diagonal Hstrong adalah < η1 |Hstrong |η1 >=< η1 |H0 |η1 >= m1 < M8 |Hstrong |M8 >=< M8 |H0 + H8 |M8 >= " √ # Y m8 + δm I(I + 1) − 4
(4.159) (4.160)
dimana M8 = π, K, η8 . Oleh karena itu m8 + 2δm = mπ m8 + 12 δm = mK yang memberikan 1 2 m8 = (4mK − mπ ) δm = (mπ − mK ) 3 3
(4.161)
Dengan mπ = 138 MeV dan mK = 496 MeV, kita dapatkan m8 = 615.3 MeV,
δm = −238.7 MeV
(4.162)
Sku H8 mengizinkan kopling antar keadaan dengan I dan Y yang sama tapi tidak antar isomultiplet yang berbeda. Maka, dalam ruang nonet meson matriks Hstrong bersifat diagonal kecuali untuk subspace yang terbentuk oleh η1 dan η8 , dimana kita dapat selesaikan masalah nilai eigen ¶ ¶ µ µ ¶µ c1 m8 < η8 |H8 |η8 > c1 =λ c2 c2 < η8 |H8 |η8 > m1 89
(4.163)
dengan c21 + c22 = 1, maka eigenstatenya dapat dituliskan sebagai: |η >= cosθp |η8 > +sinθp |η1 > |η 0 >= −sinθp |η8 > +cosθp |η1 >
(4.164)
dengan θp ditemukan dalam eksperimen jika λ teridentifikasi dalam partikel fisis η dan η 0 meson merupakan partikel boson yang memenuhi persamaan Klein-Gordon. Jika perlakuan di atas diterapkan pada kuadrat massa, akan menghasilkan sudut mixing θ ∼ = −11o . Berdasarkan analogi dengan meson vektor |ω >= cosθV |ω8 > +sinθV |ω1 > |φ >= −sinθV |ω8 > +cosθV |ω1 >
(4.165) ³ ´ ∼ Ternyata sudut yang diperlukan menurut eksperimen adalah θV = arctan √12 yang menghantarkan ke suatu mixing yang ideal dimana hanya φ yang mengandung kuark strange ω∼
√1 (u¯ u 2
¯ + dd)
φ ∼ s¯ s
4.6
(4.166)
Grup di atas SU(3)
Dalam pembahasan ini, kita akan gunakan argumen yang bergantung pada dimensi irrep suatu SU(n) yang diberikan oleh SU (n)
d[f ]
= Πni<j
fi − fj + j − i j−i
(4.167)
Untuk pemakaian praktisnya diberikan pada tabel 4.5 untuk beberapa diagram Young sampai dengan 6 kotak
4.6.1
Kuark dengan citarasa dan spin
Dalam pembahasan sebelumnya, kita mempertimbangkan derajat kebebasan citarasa dengan 3 citarasa yang berbeda u, d, dan s, dan transformasi SU(3) dalam ruang ini. Kuark merupakan fermion berspin
1 2
sehingga SU(2) diperlukan untuk
dalam ruang spin. Namun, orang biasanya dapat pula memilih keadaan-keadaan berikut sebagai basis u ↑,
u ↓,
d ↑, 90
d ↓,
s ↑,
s↓
SU(3) SU(4) SU(5) SU(6) SU(7) SU(8) SU(9) SU(10) SU(11) SU(12) [1] [2] [12 ] [3] [21] [13 ] [4] [31] [22 ] [212 ] [14 ] [5] [41] [32] [312 ] [22 1] [213 ] [15 ] [6] [51] [42] [412 ] [32 ] [321] [313 ] [23 ] [22 12 ] [214 ] [16 ]
3 6 3 10 8 1 15 15 6 3 * 21 24 15 6 3 * * 28 35 27 10 10 8 * 1 * * *
4 10 6 20 20 4 35 45 20 15 1 56 84 60 36 20 4 * 84 140 126 70 50 64 10 10 6 * *
5 15 10 35 40 10 70 105 50 45 5 126 224 175 126 75 24 1 210 420 420 280 175 280 70 50 45 5 *
6 21 15 56 70 20 126 210 105 105 15 252 504 420 336 210 84 6 462 1050 1134 840 490 896 280 175 189 35 1
7 28 21 84 112 35 210 378 196 210 35 462 1008 882 756 490 224 21 924 2310 2646 2100 1176 2352 840 490 588 140 7
8 36 28 120 168 56 330 630 336 378 70 792 1848 1680 1512 1008 504 56 1716 4620 5544 4620 2520 5376 2100 1176 1512 420 28
9 45 36 165 240 84 495 990 540 630 126 1287 3168 2970 2772 1890 1008 126 3003 8580 10692 9240 4950 11088 4620 2520 3402 1050 84
10 55 45 220 330 120 715 1485 825 990 210 2002 5148 4950 4752 3300 1848 252 5005 15015 19305 17160 9075 21120 9240 4950 6930 2310 210
11 66 55 286 440 165 1001 2145 1210 1485 330 3003 8008 7865 7722 5445 3168 462 8008 25025 33033 30030 15730 37752 17160 9075 13068 4620 462
Tabel 4.4: Dimensi dari irreps SU(N). Partisi yang dilarang ditandai dengan *
91
12 78 66 364 572 220 1365 3003 1716 2145 495 4368 12012 12012 12012 8580 5148 792 12376 40040 54054 50050 26026 64064 30030 15730 23166 8580 924
yang dapat membentuk ruang invarian untuk U(6). Jika kita pisahkan transformasi U(1) yang berkaitan dengan kekalan bilangan partikel, tersisa transformasi SU(6) dan menggunakan rantai SU (6) ⊃ SUF (3) × SU )S(2) Dengan kata lain dengan mempertimbangkan transformasi-transformasi dari subgrup SU (3) × SU (2) ,irreps dari SU(6) redusibel ke daalm penjumlahan produk irreps SU(3) dan SU(2). Pada kasus 3 kuark (Baryon), irreps SU(6) yang ada berasal dari hasil perkalian langsung
×
×
=
+2
+
(4.168)
Suatu cara untuk memperoleh isi SU(3) × SU(2) dari representasi ini adalah dengan menggunakan perkalian dalam karena semua representasi ini merupakan anggota S3 karena kita berurusan dengan 3 partikel. Jawabannya adalah: = =
×
+
×
×
+=
(4.169)
× (4.170)
+
=
×
×
+
+
×
×
(4.171)
Relasi-relasi ini memiliki suku-suku tambahan yang diperbolehkan menurut representasi SU(3). Mengingat bahwa diagram dengan maksimum n baris diperbolehkan untuk SU(n). Dalam aplikasinya, orang biasanya menuliskan perkalian di atas dengan notasi berikut 56 =
2
8 +4 10
70 =
4
8 +2 10 +2 8 +2 1
20 =
4
1 +2 8
(4.172)
Jika hamiltonian kuark yang terpilih memperlihatkan kesimetrian SU(6), maka keadaan-keadaan pada irrep SU(6) akan menghasilkan degenerasi. Misalnya, pada 56, 2 8 dan 4 10 akan saling berdegenerasi. Malahan, kesimetrian SU(6) pecah 92
dalam SUF (3) oleh massa kuark yang berbeda, dan dalam SU(2) oleh gaya antar kuark yang memiliki suku tensor bergantung spin. Gaya antar spin menjelaskan perbedaan massa dalam nukleon dan partikel ∆. Maka pecahnya simetri SU(6) memperbolehkan pencampuran multiplet 56,70,dan 20. Untuk meson, yang dideskripsikan sebagai sistem q q¯, perkalian langsung SU(6) yang terkait dengannya adalah
×
=
+
(4.173)
Dekomposisi dari 35 atau 1 ke dalam representasi SU (3) × SU (2) dapat diperoleh denganmenggunakan argumen dimensi. Kuark merupakan fermion berspin
1 2
sehingga kita bisa peroleh S = 0 atau S = 1 untuk pasangan q q¯. Dan hasilnya dapat dikombinasikan dengan irrreps SU(3) yang dihasilkan dari persamaan (4.136), sehingga dapat kita peroleh 1 1,1 8,3 1, dan 3 8 dimana indeks di atas berarti 2S + 1 untuk baryon. Sehingga dekomposisinya menjadi 1 =
1
1
35 =
1
8 + 3 1 +3 8
(4.174)
Multiplet SU(6) seperti persamaan (4.172) dan (4.174) terkadang disebut supermultiplet dan dapat digunakan dalam studi spektrum massa.
93
Daftar Acuan [1] Fl. Stancu, Group Theory in Subnuclear Physics, 1995. [2] Morton Hammermesh, Group Theory and its Application To Physical Problems, 1962 [3] Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics, 1998 [4] F.E Close, An Introduction to Quarks and Partons, 1979
94
