Vissza
Tartalomjegyzék 15
Kitűzött feladatok
KITŰZÖTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA 1. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan f : R → R függvény, amely teljesítené az alábbi egyenlőségek valamelyikét: a) f ( x − 1) + f (1 − x) = x , ∀ x∈R;
b) f ( x) − f (− x) = x 2 , ∀ x∈R; c) f ( x) + f (1 − x) = x , ∀ x∈R; d) f ( x) f ( y ) + f ( x) − f ( y ) + xy = 0 , ∀ x∈R. 2. Határozd meg az f függvényt, ha eleget tesz az alábbi feltételek valamelyikének: a) 2 f ( x) + 3( f (1 − x) = 4 x − 1 , ∀ x∈R; b) f ( x + y ) − f ( x − y ) = 4 xy , ∀ x,y∈R; c)
4 f ( x) + 3 f (− x) = c ⋅ x ,
∀ x∈R, ahol c∈R rögzített;
4 ∀ x∈R\{0,2}; f ( x) + f =x, 2− x 1 x e) f ( x) + x ⋅ f ∀ x∈R\ ,1 ; = 2, 2 2x − 1 f) af ( x − 1) + bf (1 − x) = cx , ∀ x∈R. 3. Határozd meg az f és g függvényeket ha kielégítik az alábbi rendszerek valamelyikét1: 2 f ( x + 6) + 4 g (2 x + 15) = x + 2 a) , ∀ x∈R; x + 2 f + g ( x + 5) = x + 4 2 f ( x + 1) + xg ( x + 1) = 2 x , ∀x∈ R \ {1,2} . x +1 b) x + 1 f + g = x −1 x − 1 x 1 −
d)
4. f 2 ( x) = x 2 ,
∀ x∈R.
5. Adjál példát olyan f : R ∗ → R ∗ függvényre, amelyre f ( f ( x)) =
∀x ∈ R ( f D f )( x) = 4 x + 3, 6. ( f D f D f )( x) = 8 x + a, ∀x ∈ R 1 x −1 7. f + f ( x) = − x + 1 , x x 8. f ( x + 1) ≤ x ≤ f ( x) + 1 ,
1
1 , ∀ x∈ R ∗ ! x
(a∈R rögzített). ∀ x∈ R ∗ , f : R → R . ∀ x∈R.
A továbbiakban csak magukat a függvényegyenleteket írjuk, szöveget abban az esetben fogunk írni, amikor plusz feltételek szerepelnek.
Tartalomjegyzék 16
Kitűzött feladatok
x ≤1 − x − 3, . 9. 2 f ( x) + f (− x) = x >1 x + 3, 10. Adjál példát olyan f : R → R függvényre, amely különbözik az identikus függvénytől és f D f D ... D f = 1R !
n − szer
11.
(Gheorghe Vrânceanu és Spiru Haret emlékverseny, 1990.) f ( x − y ) = f ( x) f ( y ) , ∀ x,y∈R.
12.
f ( x + y ) = f 2 ( x) + f 2 ( y ) ,
13.
a a f ( x) f ( y ) + f f = 2 f ( xy ) , x y
∀ x,y∈R. ∀ x,y∈R *+ és f ( a) = 1 , f(0,∞)→R,
a>0. ∗
∗
14. Határozd meg azt az f : N → N függvényt, amelyre teljesülnek a következő feltételek: a) f ( m ⋅ n) = f (m) ⋅ f (n) , ∀ m,n∈N*; ∀ m,n∈N*; b) Ha m
Tartalomjegyzék Kitűzött feladatok 17 c) f (k ) = 0 bármely 3-ra végződő k természetes számra. Számítsd ki f(1994)-et! (Traian Lalescu emlékverseny, 1993.) 25. Határozd meg az összes f : N → N függvényt, amelyre: f ( 4 x + 6 y ) = 4 f ( x) + 6 f ( y ) , ∀ x,y∈N! (Traian Lalescu emlékverseny, 1994.) * 26. Legyen A⊆R + egy véges halmaz. Határozd meg az összes olyan f : A → A függvényt, amelyre xf ( y ) = yf ( x) , ∀ x,y∈A! (Traian Lalescu emlékverseny, 1997.) 27. Határozd meg az összes f : (1, ∞ ) → R függvényt, amelyre f ( xyz ) = xf ( y ) + yf ( z ) + zf ( x) , ∀ x,y,z >1! (Grigore Moisil emlékverseny, 1997., D. Miheţ) 28. f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 3 xy ( x + y ) , ∀ x,y∈Z, f : Z → Z és f(1)=1. (Spiru Haret - Gheorghe Vrânceanu megyeközi verseny, 1995, Gh. Ciorascu) 29. Bizonyítsd be, hogy ha az f:(0,∞)→(0,∞) függvény az alábbi két feltétel valamelyikét teljesíti. f ( x) g ( x) = növekvő; a) g:(0,∞)→(0,∞), x b) h:(0,∞)→(0,∞), h( x) = xf ( x) csökkenő, f ( x) f ( y ) x y akkor + ≥ + , ∀ x,y∈(0,∞)! f ( y ) f ( x) y x Adjál példát olyan f függvényre, amely nem teljesíti a)-t, sem b)-t de igaz rá az utolsó egyenlőtlenség! (Megyei olimpia, Suceava, 1992., Ion Bursuc) 30. Határozd meg az összes f : R → R függvényt, amelyre max( f ( x), f ( y )) + min( x, y ) = min( f ( x), f ( y )) + max( x, y ) , ∀ x,y∈R! (Megyei olimpia, 1994., Suceava, Mihai Piticari és Dan Popescu) 31. Határozd meg az összes f : R → R függvényt, amelyre a) f ( a) − f (b) ≤ a − b , ∀ a,b∈R (a
4 x x +1 f :R→ R , f 2 , ∀ x≠0. = x2 x +1 Az f : R → R függvény teljesíti a következő egyenlőtlenségeket:
Tartalomjegyzék 18
a) f ( x) ≤ x + 1 ; b) 1 + f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y ) .
Kitűzött feladatok
Oldd meg az f 2 ( x) − (m + n) f ( x) + mn = 0 egyenletet (m,n∈R rögzítettek)! (Gh. Ţiţeica emlékverseny, 1997., George Turcitu) 37. Határozd meg az összes f : N → N függvényt, amelyre f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 2 xy , ∀ x,y∈N és f(x) teljes négyzet, ∀ x∈N! (Helyi olimpia, 1998., Bukarest, Marcel Chiriţă és Marian Andronache) 38. Határozd meg az összes f : N ∗ → N függvényt, amelyre f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) + kf (t ) , ∀ x,y∈N, ahol t=(x,y) (az x és y legnagyobb közös osztója)! (Miniverseny, Muncel, 1997.) 39. Határozd meg az összes f1, f2, f3: R → R függvényt, amelyre f 1 ( y )( x − y ) + f 3 ( y ) ≤ f 3 ( x) ≤ f 3 ( y ) + f 2 ( y )( x − y ) , ∀ x,y∈R! (Avram Iancu emlékverseny, 1996.) 40. Határozd meg az összes f : R → R függvényt, amelyre 2 , x ∈ Q ! f ( f ( x)) = 1, x∈R \ Q (G.M. 9/1997., C:1964, Cristinel Mortici) ∗ ∗ 41. f : N → N , f (m + n) = f (m) f (n) , ∀ m,n∈N és az f ( f ( x)) = ( f ( x)) 2 egyenletnek van legalább egy gyöke. (Moldvai Köztársaság versenye, 1997.) 2 42. f : R → R , f ( xf ( x) + f ( y )) = ( f ( x)) + y , ∀ x,y∈R. (XIV. Balkán Olimpia, 1997.) 43. f : [0, ∞ ) → [0, ∞ ) , f ( x 2 + x) ≤ x ≤ f 2 ( x) + f ( x) , ∀x ≥ 0 . (G.M. 6/1997., 23740, Cristinel Mortici) 2 2 2 2 44. f ( x + y ) = f ( x − y ) + f (2 xy ) , ∀ x,y∈R, f : R→[0, ∞ ) és f (1) = 0 . (Válogatóverseny, 1997.) 45. f : R → R , f (1 − t ) x + ty ) ≤ min ( f ( x), f ( y )) , ∀ x,y∈R, ∀ t∈(0,1). (Ovidin Pop) 46. f : R → R , f (ax − b) ≤ ax ≤ f (ax) − b , ∀ x,y∈R (a és b rögzítettek és a ≠ 0 ). f ( x) f ( y ) * + f ( x) f ( y ) = 2[xf ( y ) + yf ( x)] − 2 xy , ∀ x,y∈ R . f ( y ) f ( x) 48. f ( x) + f ( y ) + f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) , ∀ x,y∈R és f páros függvény. 49. Igazold, hogy az f ( x) + f ( y ) = f ( x + y ) , ∀ x,y∈R függvényegyenlet ekvivalens az f ( x + y + xy ) = f ( x) + f ( y ) + f ( xy ) , ∀ x,y∈R függvényegyenlettel! 50. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan f : C → C függvény, amely teljesítené 47.
az f ( f ( x )) = x 2 függvényegyenletet ∀ x∈C esetén! Adjál példát olyan f : R → R függvényre, amely teljesíti ugyanazt az egyenletet!
Tartalomjegyzék 19
Kitűzött feladatok 51. f : R → R ∗ , f ( x) f ( y ) = f ( x 2 + y 2 ) . 52.
Az
f : N ∗ → N ∗ függvény teljesíti az
f ( f (n)) = 4n − 3 egyenlőséget,
∀n∈N*-re és f ( 2 k ) = 2 k +1 − 1 , ∀ k∈N. Számítsd ki f(993)-at! 53. Az f : R → R függvény teljesíti ∀ x, y ∈R esetén az f ( x + y ) − f 2 ( x) − f 2 ( y ) = 4( x 2 + y 2 ) + 2( x + y ) − 4 xf ( x) − 4 yf ( y ) egyenlőséget. Határozd meg f -et! 54. Az f : Z → Z függvényre f(0) ≠ 0 és f ( n) f (m) = f ( n + m) + f (n − m) , ∀ n,m∈Z. Határozd meg az f függvényt, ha 5 a) f(1)= ; 2 b) f(1)= 3 . 55. f : Z + → R , f ( n + m) + f (n − m) = f (3n) , ∀ n,m∈Z+ , n ≥ m. 56. Határozd meg az f : R → R függvényt, ha a) 3 f ( xy ) + 5 f ( xz ) ≥ f ( x) f ( yz ) + 16 , ∀ x,y,z∈R; b) f ( xy ) + 9 f ( xz ) ≥ f ( x) f ( yz ) + 25 ! (Petre Năchilă, 1994.) 57. f : R → R , f ( x) + f ( y ) ≤ f ( x) f ( y ) , ∀ x, y, z∈R. (Helyi olimpia, Szeben, 1993., Tiberiu Agnola) 58. f , g : R → R , f (n) + f (n + g (n)) = f ( n + 1) , ∀ n∈N. Léteznek-e olyan f , g : R → R függvények, hogy minden x-re és y-ra 59. f ( x) ⋅ g ( y ) = x + y + 1 ? 60. Léteznek-e olyan f , g : R → R függvények, hogy minden x-re és y-ra 61.
f ( x) ⋅ g ( y ) = x 2 y 2 + 1 ? Van-e olyan h : R → R függvény, hogy minden x-re h( x 2 + x + 2) + h( x 2 − x + 2) = ( x 2 + x + 2) 2 − ( x 2 + x + 2) + 2 ?
62.
Van-e olyan f : R → R függvény, amelyre f ( f ( x)) = x 2 − 2 , ∀x∈R. Hát
olyan, amelyre f ( f ( x)) = − x 3 , ∀x∈R? 63. f : R → R , f ( x + 2) − 7 f ( x + 1) + 10 f ( x) = 0 , ∀x∈R. f : R → R , f ( x + 3) − 7 f ( x + 2) + 16 f ( x + 1) − 12 f ( x) = 0 , ∀ x∈R. 64. 65. Határozd meg az f,g,h: R→R függvényeket, ha y z x f x + = g y + + h z + , ∀ x, y, z∈R*! z x y (Mihai Onucu Drâmbe) 66. f : R → R , xf ( y ) + yf ( x) = 2 f ( xy ) , ∀ x, y∈R. 67.
f : N → N , f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) , ∀ x, y∈N és f(1985)= 31985 .
Tartalomjegyzék 20
Kitűzött feladatok 68. Igazold, hogy ha f ( f ( x) + y ) = f ( x) + f ( y ) bármely olyan x és y∈[0,1] esetén, amelyre f ( x) + y ∈ [0,1] , akkor f D f = f (f:[0,1]→[0,1])! Adjál példát olyan függvényre, amely különbözik az identikus függvénytől valamint az identikusan nulla függvénytől és teljesíti a feltételeket! 69. Határozd meg az összes olyan véges A halmazt, amelyre létezik f : A → A
úgy, hogy f ( x) = x 2 − x + 1, ∀ x ∈ A ! 70. Van-e olyan f : R → R függvény, amely minden értékét pontosan kétszer veszi fel? 71. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan f : R → R függvény, amelyre 72.
f 2 ( x 2 − x) − 4 f (2 x − 2) + x 2 + x = 0 , ∀ x∈R! Van-e olyan f : R → R függvény, amelyre f (sinx) + f (cos x) = x , ∀ x∈R?
73.
f : R → R , f ( x − 2 ) + f 2 x − 1 ) = f ( x + 2 ) + x , ∀ x∈R.
74.
f : R → R , f ( x1990 ) = x1991 .
75. Bizonyítsd be, hogy a 2 f ( x) + f (1 − y ) + g ( x) − g ( y ) = 3( x + 1) 2 − 6 y egyenlőséget minden x,y∈R-re teljesítő f és g függvények egyenlők, ha g( 0) = 0 ! 76. .Határozd meg az összes olyan f : R → R függvényt, amely teljesíti a következő három feltételt: a) ∃ M∈R úgy, hogy f ( x) ≤ M , ∀ x∈R;
x f ( x) + a , ∀x∈R; f ≤ 2 2 c) f ( x) ≥ a , ∀x∈R! (Cornelia Gutan, G.M. 12/1983, és G.M. 12/1984) f : R → R , f ( x) ⋅ f (− x) ≥ 1, ∀ x∈R és létezik m, n∈N* úgy, hogy nf ( x) + mf ( − x) = m + n , ∀x∈R. b)
77. 78. 79. 80.
f : R → R , x 2 f ( x) + f (1 − x) = 2 x − x 4 , ∀x∈R. f ( x) + f ([ x]) + f ({x}) = x , ∀ x∈R. Adottak az
f n : [0,1] → [0,1] ,
f n ( x) = (k + 1 − nx)
k k +1 + ( nx − k ) , ha n n
k k + 1 x∈ , és k = 0, n − 1 összefüggésekkel értelmezett függvények. Bizonyítsd n n 1 be, hogy létezik olyan f:[0,1]→[0,1] függvény, amelyre f n ( x) − f ( x) ≤ , 4 n bármely x∈[0,1] és ∀x∈N* esetén! Hány ilyen függvény létezik? 81. Határozd meg azt a maximális I intervallumot és f : I → R függvényt, amelyre
x − x + f ( x) = f ( x) , ∀ x∈I! (Gh. Ţiţeica emlékverseny, 1987.)
Tartalomjegyzék Kitűzött feladatok 21 2 2 2 2 82. f : R → R , f ( x ) − f (2 xy ) + f ( y ) = 2 x − 4 xy + 2 y + 5 , ∀ x, y∈R. 83. f : R → R , f ( x) f ( y ) = f ( x + y − xy) , ∀ x, y∈R és f(1) ≠ 0. 84. Határozd meg az összes olyan f : R → R függvényt, amely teljesíti az alábbi egyenlőséget minden x és y valós számra: f 2 ( x + y ) + f 2 ( x − y ) + 2( x + y ) f ( x − y ) + 2( x − y ) f ( x + y ) − 6 x 2 + 2 y 2 = 0 ! 85. Igazold, hogy ha az f , g : R → R függvényekre f ( x) = ( x − y ) g ( x) + f ( y ) , ∀ x, y∈R, akkor g konstans és f elsőfokú! 86. f : R → R , f ( x) f ( y ) − xy = xf ( x) + yf ( y ) − x 2 − y 2 + 1 , ∀ x, y∈R. f ( x) + f ( y ) 87. , ∀ x, y∈R és f páros függvény. f : R → R , f ( x + y) = 1 + f ( x) f ( y ) 88. Határozd meg az összes olyan f : R → R függvényt, amelyre teljesül az alábbi három feltétel: a) f ( x) + f ( y ) = f ( x + y ) , ∀ x,y ∈R; b) f(1)=1; 1 c) x 2 f = f ( x) , ∀ x ∈ R ∗ ! x f , g : R → R , f ( x) + f ( y ) + g ( x) − g ( y ) = sin x + cos y , ∀x,y∈R. 89. 90. f : R → R , f ( x + y ) = x + f ( y ) , ∀ x, y∈R\Q és f ( 0) = α ( α rögzített).
f : R → R , f ( x + y ) − f ( x − y ) = 2 f ( y ) + 6 x 2 y , ∀ x, y∈R. Határozd meg az alábbi feltételeket teljesítő f:[0,∞)→[0,∞) függvényeket: a) f ( x ⋅ f ( y )) ⋅ f ( y ) = f ( x + y ) , ∀ x, y∈[0,∞); b) f(2)=0; c) f ( x) ≠ 0 , ∀ x,y∈[0,2)! (Nemzetközi Olimpia 1986.) 93. f : R → R , ( x − y )( f ( x) − f ( y )) = ( x + y ) f ( x − y ) , ∀ x, y∈R. Bizonyítsd be, hogy ha az f : R → R függvényre 94. f ( xy ) + f ( y − x) ≥ f ( y + x) , ∀ x, y∈R, akkor f ( x) ≥ 0 , bármely x∈R és adjál példát ilyen nem konstans függvényre! 95. f : R → R , xf ( x) + yf ( x) − xy = f ( x) f ( y ) , ∀ x, y∈R.
91. 92.
96. 97.
f : R → R , xf ( x + y ) + yf ( y − x) = f 2 ( x) + f 2 ( y ) , ∀ x, y∈R. (L. Panaitopol-1977.) Bizonyítsd be, hogy n∈N*-ra nem létezik f : R → R függvény, amelyre
98.
f ( f ( x)) = − x 2 n+1 , ∀ x∈R ! f : N → Z , nf (n − 1) + ( n − 1) f (n) = 0 , ∀ n∈N*.
99.
f : N ∗ → N , f ( n + 1) − f (n − 1) = 4n , ∀ n∈N.
Tartalomjegyzék 22 100.
Kitűzött feladatok ∗
∗
f : N → N , f ( n + 1) > f ( f (n)) , ∀ n∈N*.
102.
n − 10, n > 100 f : Z → Z , f ( n) = . f ( f (n + 11)), n ≤ 100 f : Q → R+∗ , f(0)=1 és f ( x) = f ( x + y ) f ( x − y ) , ∀ x, y∈Q.
103. 104. 105.
f : Q → Q , f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2( f ( x) + f ( y ) + 1) , ∀ x, y∈Q. f : N → N , f ( f (n)) + f ( n) = 2n + 6 , ∀ n∈N. f : N → N , f (1) = 1 és f (n + m) = f (n) + f (m) + mn , ∀ n, m∈N.
101.
106. Az f : N ∗ → N függvény teljesíti az alábbi feltételeket: a) 0 ≤ f ( m + n) − f (m) − f (n) ≤ 1 , ∀ n, m∈N; b) f(2)=0 és f(3)>0; c) f(9999)=3333. Számítsd ki f(1982)-t! f (n + 1) + f (n − 1) , ∀ n∈Z. 107. f : Z → N , f ( n) ≥ 2 108. f : N → R , f ( x + y ) = f ( xy − n) , ∀ x, y∈N, ahol x ⋅ y > n (n rögzített érték). 109. Határozd meg az. f : N → R , függvény, ha teljesíti az alábbi feltételeket: a) f ( m + n) − f (m) − f (n) ∈ {0,1} , ∀ n, m∈N; b) f (9m)#3 , ∀ m∈N; c) f(2)=0 és f(3)>0! 110. Ha az f : N → N függvény teljesíti az f ( f (m) + f (n)) = m + n egyenlőséget minden n, m∈N esetén, határozd meg f(1988) lehetséges értékeit! 111. Határozd meg az f : Q → Q függvényt, amelyre f ( x + y) + f ( x − y) f ( x) + f ( y ) = , ∀ x, y∈Q! 2 112. Bizonyítsd be, hogy az az f : R → R függvény, amelyre
f ( x) − f ( y ) ≤ x − y , ∀ x,y∈R konstans R-en! 113. Az f:[0,∞)→R függvényről tudjuk, hogy f (0) = 0 , f ( x + 1) = f ( x) + x
valamint 114. Határozd
1 1 1 1 2 f ( x) < f x − + f x + , ∀ x ≥ . Számítsd ki f -et! 2 2 2 2 meg az xf ( y ) − yf ( x) ≥ x − y egyenlőtlenséget minden
x, y ∈ [− 1, 1] esetén teljesítő f : [− 1,1] → [− 1,1] függvényt! 115. Bizonyítsd be, hogy ha az f : R → R függvényre f ( x) + f ( y ) + f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) , ∀ x, y∈R, . akkor f konstans! 116. Az f : R → R függvény teljesíti az f ( f ( x)) = f ( x) + 1994 x egyenlőséget, ∀ x∈R esetén. Bizonyítsd be, hogy f ( x) = 0 ⇔ x = 0 , majd adjál példát ilyen függvényre! (Matematika Olimpia, Észtország1994.)
Tartalomjegyzék Kitűzött feladatok 23 2 117. Az f : R → R függvényre f ( x) + f ( x + 3) = x , ∀ x∈Z. Ha f (19) = 94 (Matematika Olimpia, Törökország 1994.) számítsd ki f (94) -et! 118. Határozd meg az összes olyan f : Z → Z korlátos függvényt, amelyre f ( n + k ) + f (k − n) = 2 f (k ) ⋅ f (n), ∀ k , n ∈ Z ! 119. Adjál példát olyan f : R → R függvényre, amelyre f ( f ( x)) = x 3 , ∀ x∈R! (Matematika Olimpia, Litvánia 1994.) 120. .Határozd meg az összes olyan f : R → R függvényt, amelyre f ( x) f ( y ) − xy = f ( x) + f ( y ) − 1 , ∀ x, y∈R! (Matematika Olimpia, megyei szakasz 1992.) 121. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan f : R → R függvény, amelyre
1 f ( x) − f 2 − = 1 , ∀ x, y∈R\{0}! x (Matematika Olimpia, megyei szakasz, 1992., C. Caragea) 122. Szerkessz egy olyan f : R → R függvényt, amely teljesíti a következő két tulajdonságot: a) f (x) ∉ Z, ∀ x∈R; b) f ( f ( x)) ∈ Z, ∀ x∈Z! (Matematika Olimpia, megyei szakasz 1992.) 123. Határozd meg az összes f : R → R függvényt, amelyre f ( x + y ) = f ( x) + f 2 ( y ) , ∀ x, y∈R, y ≠ 0 ! (Gabriel Istrate) 124. Hány olyan szigorúan növekvő f : R → R függvény létezik, amelyre f (1) > 0 , és f ( m 2 + n 2 ) = f 2 (m) + f 2 (n) , ∀ m, n∈N? Ezek közül hány függvény teljesíti az f (1996) ≤ 19962 egyenlőtlenséget?
(Matematika olimpia, Franciaország 1994.) 125. f : R → R , xf ( x) − yf ( y ) = ( x − y ) f ( x + y ) , ∀ x, y∈R. (Bolgár válogatóverseny, 1994.) 126. Az f:[0,1]→R függvényre f ( x) ≥ 0 , ∀ x∈[0,1] esetén, f (1) = 1 és f ( x) + f ( y ) ≤ f ( x + y ) , ∀ x, y, x+y∈[0,1]. Határozd meg a legkisebb olyan c∈R konstanst, amelyre f ( x) ≤ c ⋅ x , ∀ x ∈[0,1] (minden lehetséges f-re)! (Amerikai versenyfeladat 1993.) 127. Határozd meg az összes olyan f : Q → R függvényt, amelyre teljesül az f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 2 xy összefüggést minden x, y∈Q-ra! (Matematika olimpia, Ausztrália 1994.) 128. Határozd meg az f : R → R függvényt, ha f ( x + 19) ≤ f ( x) + 19 , ∀ x∈R és f ( x + 94) ≥ f ( x) + 94 , ∀ x∈R! (Osztrák-lengyel matematikaverseny 1994.) 129. Az a, b és c számok nem mindegyike 0. Határozd meg az összes f : R → R függvényt, amelyre af ( xy + z 2 ) + bf ( yz + x 2 ) + cf ( xz + y 2 ) = 0 , ∀ x, y, z∈R!
Tovább
