Sokszínű matematika 7. évfolyam
A KITŰZÖTT FELADATOK MEGOLDÁSAI munkaanyag
A * az egész dokumentumban a szorzás jelét helyettesíti!
1. Természetes számok, racionális számok 13.o. /1. 1 a) = 1 : 4 = 0,25 4 2 b) = 2 : 5 = 0,4 5 −5 c) = −5 : 16 = −0,3125 16 3 17 d) 2 = = 17 : 7 = 2,428571 7 7 − 20 e) = −20 : 8 = 2,5 8 1 − 41 f) − 5 = = −41 : 8 = −5,125 8 8 4 g) = 4 : 20 = 0,2 20 −5 h) = −5 : 8 = −0,625 8 13.o./2.
2 1 = 10 5 125 1 b) 0,125 = = 1000 8 115 23 c) 1,15= = 100 20
a) 0,2 =
2 5 = 3 3 25 5 =− e) − 2,5 = − 10 2 16 4 f) − 0,16 = − =− 100 25
d) 1,6 = 1 + 0,6 = 1 +
g) 2,9 = 2 + 0,9 = 2 + 9 ∗ 0,1 = 2 + 9 ∗ h) − 3,875 = − 13.o./3.
2 9 b) 1,2 6 c) − 12 d) 1,6 a)
3875 31 =− 1000 8
1 = 2 +1 = 3 9
13.o./4.
Igazak: a,b,d Hamisak: c,e,f,g 13.o./5.
1 6 12 b) 0,92< 13 225 c) –20,5<11 a) 0,17>
13.o./6.
1 3 15 a) 1 = = 1,5 ; = 2,5 ; 1,25 ; 2,5 2 2 6 növekvő sorrend:1,25<1,5<2,5 1 15 eredeti számokkal: 1,25<1 <2,5= 2 6 számegyenes
b)
2 1 = 0,4 ; = 0,3 ; 0,2 ;0, 6 5 3
növekvő sorrend: 0,2< 0,3 <0,4<0, 6 1 2 eredeti számokkal: 0,2< < <0, 6 3 5 számegyenes
c) −
2 1 = −0,4 ; - = −0,3 ; -0,2 ;-0, 6 5 3
növekvő sorrend: -0, 6 < -0,4<- 0,3 <-0,2 2 1 eredeti számokkal: -0, 6 < - <- <-0,2 5 3 számegyenes
1 3 15 d) - 1 = − = −1,5 ; - =-2,5 ; - 2,5; -1,25 2 2 6
növekvő sorrend:-2,5<-1,5<-1,25 15 1 eredeti számokkal: -2,5=- <-1 <-1,25 6 2 számegyenes e)
2 1 = 0,4 ; - = −0,3 ; -0,2 ;-0, 6 5 3
növekvő sorrend: -0, 6 < - 0,3 <-0,2<0,4 1 2 eredeti számokkal: -0, 6 <- <-0,2< 3 5 számegyenes 1 3 15 f) - 1 = − = −1,5 ; =2,5 ; - 2,5; 1,25 2 2 6 növekvő sorrend:-2,5<-1,5<1,25<2,5 1 15 eredeti számokkal: -2,5<-1 <1,25< 2 6 számegyenes 14.o./7. 1 = 0,142857 142857 142857 7
3. 9. 15. 2-es számjegy a tizedes vessző után a harmadik, kilencedik, tizenötödik….helyen áll. 14.o./8. a) 4-es számjegy b) 4-es számjegy c) 8-as számjegy 14.o./9. a) b) c) d)
3-as 7-es 8-as 4-es
14.o./10. 1 5 8 Anna: 1 óra=1,25 óra; Bori: óra=0,8 3 óra; Kati: 85 perc = 1,416 óra; Eszter: óra = 1,3 óra 4 6 6 A célbaérés sorrendje: Bori-Anna-Eszter-Kati
14.o./11. a) Számegyenes b) Számegyenes c) számegyenes 14.o./12. ⎛ 7⎞ G ⎜ 0; ⎟ ⎝ 8⎠
⎛ 8 ⎞ H ⎜ − ;0 ⎟ ⎝ 9 ⎠
9⎞ ⎛ I ⎜ 0;− ⎟ 10 ⎠ ⎝
⎛ 10 ⎞ J ⎜ ;0 ⎟ ⎝ 11 ⎠
14.o./13. A tört értéke akkor lesz a legnagyobb, ha a számkártyákból a számlálóba a lehető legnagyobb, a nevezőbe a lehető legkisebb számot rakják. A tört értéke akkor lesz a legkisebb, ha a számlálóba kerül a lehető legkisebb, a nevezőbe a lehető legnagyobb kétjegyű szám kerül. 14.o./Rejtvény
Legnagyobb: 1:(2:3:4:5:6:7:8:9) = 90720 Legkisebb: (1:2:3:4:5:6:7:8) : 9 = 0,000002755 18.o./1.
1− 8 ⎛ 14 ⎞ ⎛ 7⎞ ⎛1 ⎞ = 1 + 2 ∗ ⎜ − ⎟ = 1 + ⎜ − ⎟ = 1 + (− 7 ) = −6 a) 1 + 2 ∗ ⎜ − 4 ⎟ = 1 + 2 ∗ 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ b) 4 − 3 ∗ (1 − 2 ∗ 3) = 4 − 3 ∗ (−5) = 4 − (−15) = 19 1 1 c) 3,5 − (4 ∗ 3 − 9) ∗ = 3,5 − 3 ∗ = 3,5 − 1,5 = 2 2 2 7 21 6 21 15 5 ⎛2 5⎞ ⎛1 5⎞ = − =− =− d) 1 − 3 ∗ ⎜ + ⎟ = 1 − 3 ∗ ⎜ + ⎟ = 1 − 3 ∗ = 1 − 6 6 6 6 6 2 ⎝6 6⎠ ⎝3 6⎠ 1 1⎞ ⎛ e) + 10 ∗ ⎜ 0,2 − ⎟ = 0,5+10*(0,2-0,25)=0,5+10*(-0,05)=0,5+(-0,5)=0 2 4⎠ ⎝ 1 ⎞ 1 12 9 3 1 ⎛ 3 ⎛1 1 ⎞ 1 + =− =− f) − 3 + ⎜ + ⎟ + = −3 ∗ ⎜ + ⎟ + = − 27 27 27 9 ⎝ 27 27 ⎠ 3 ⎝ 9 27 ⎠ 3 19.o./2.
2 ⎛ 1 2 ⎞ 20 15 − 12 23 + = +⎜ − ⎟ = 3 ⎝ 2 5 ⎠ 30 30 30 2 ⎛ 1 2 ⎞ 20 15 − 12 17 − = b) −⎜ − ⎟ = 3 ⎝ 2 5 ⎠ 30 30 30 2 ⎛ 1 2 ⎞ 20 15 + 12 7 − =− c) −⎜ + ⎟ = 3 ⎝ 2 5 ⎠ 30 30 30 2 200 ⎞ ⎛ − 0,1 ∗ ⎜10 + d) ⎟ = 0,4 − 0,1 ∗ 100 = −10,6 5 2 ⎠ ⎝
a)
11 ⎛ 2 1 ⎞ 1 ⎛ 5 ⎞ 1 ⎛ 10 ⎞ 1 ⎛1 2⎞ 1 e) (−5) ∗ ⎜ − ⎟ − = (−5) ∗ ⎜ − ⎟ − = ⎜ − ⎟ − = ⎜ − ⎟ − = − 8 ⎝4 4⎠ 8 ⎝ 4⎠ 8 ⎝ 8 ⎠ 8 ⎝2 8⎠ 8 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ f) ⎜ − 0,4 ⎟ ∗ ⎜ 0,4 − ⎟ = (0,5 − 0,4 ) ∗ (0,4 − 0,1) = 0,1 ∗ 0,3 = 0,03 10 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 19.o./3.
5 1 1 (−30) + 1 29 =− ∗ (−18) + = (−10) + = 9 3 3 3 3 1 ⎛ 4 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4 6⎞ ⎛ 1⎞ 2 ⎛ 1⎞ b) ⎜ − + ⎟ ∗ ⎜ − ⎟ = ⎜ − + ⎟ ∗ ⎜ − ⎟ = ∗ ⎜ − ⎟ = − 9 ⎝ 9 3⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 9 9⎠ ⎝ 2⎠ 9 ⎝ 2⎠ ⎡ 5 ⎛ 3 ⎞⎤ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 20 9 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎛ 9 ⎞ 99 + ⎟∗⎜− ⎟ = ⎜− ⎟∗⎜− ⎟ = c) ⎢− − ⎜ − ⎟⎥ ÷ ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎣ 3 ⎝ 4 ⎠⎦ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 12 12 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 24 a)
19.o./4.
1 2 3 + 8 11 + = = csupor lesz. 4 3 12 12 11 3 2 11 − 9 + 8 10 − + = = csupor lesz. b) A nyolcadik napon: 12 4 3 12 12
a) A negyedik napon:
c) Látjuk, hogy négynaponta 1/12 résznyi méz fogy el. Folytatva a gondolatmenetet: Morgónak a 12. napon 9/12-ed, azaz ¾ csupor méze lesz, ez a 15. napon elfogy. Mivel a 16. napon 6/9=2/3 csupor mézet szerez, ebből kétszer (vagyis a 17. és 18. napon) tud ¼ csupornyit enni, de a 19. napra már nem jut egy rendes adagnyi. 19.o./5. Egy nap alatt megépítik a vár 2/90 részét (az éjszakai lebomlást is beleszámítva), így a 45 nap szükséges a felépítéshez. 19.o./6.
Például: 2*(1-1/3)=2*2/3=4/3 19.o./7.
a) b) c) d)
A
B
20.o./8. ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ − 0,25 + 1⎟ ÷ ⎜ − 0,25 + 1⎟ 1 1 3 ⎠ ⎝3 ⎠= a) ⎝ = =1 (0,5 − 1) ÷ (0,75 − 1 − 0,25) (−0,5) ÷ (−0,5) 1
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ − 0,25 + 1,8 ⎟ ÷ ⎜ − 0,25 + 1,8 ⎟ 1 1 3 ⎠= ⎠ ⎝3 b) ⎝ = =1 (0,25 − 1) ÷ (0,5 − 1 − 0,25) (−0,75) ÷ (−0,75) 1 ⎛2 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ − 0,5 + 2 ⎟ ÷ ⎜ − 0,25 + 1⎟ 2 3 ⎠= ⎠ ⎝3 c) ⎝ =2 (0,5 − 1) ÷ (0,75 − 1 − 0,25) (−0,5) ÷ (−0,5) ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ − 0,25 + 1⎟ ÷ ⎜ − 0,25 + 1⎟ 1 1 3 ⎠= ⎠ ⎝3 d) ⎝ = (1 − 2) ÷ (0,75 − 1 − 0,25) (−1) ÷ (−0,5) 2 20.o./9.
1 1 5 + = 2 3 6 3 12 b) ÷ = 0,3 5 6 1 1 c) 0,7 − = 2 5 13 39 1 d) ÷ = 70 10 21 a)
20.o./10. 1 1 − 2 3 = 3− 2 ÷5 = 1 ÷5 = 1 a) 5 6 6 30 2 2− 3 = 4 ÷ ⎛ − 4 ⎞ = −1 b) ⎜ ⎟ 2 3 ⎝ 3⎠ −2 3 19 5 24 1 c) 1 + = 1+1÷ = 1+ = 4 5 19 19 3+ 5 1 1+ 2 1 3 1+ 1+ 1+1÷ 3 = 5 ÷2 = 5 2 = 2 = d) 2 2 2 3 6 20.o./11.
2/3 rész
2/3 km
1/3 rész…………2/3 km 3/3 rész az egész út 3*2/3 km =6/3 km = 2 km
20.o./12.
cél 1/2 rész
1/3 rész
1/3 rész+1/2 rész =5/6 rész összes versenyző: 6/6
Karcsi az összes versenyző 1/6 része=> Tehát összesen 6 fő indult. Karcsi harmadikként ért célba.
20.o./13.
3 3 a) 1 vagy 2 2 1 1 1 b) 3 vagy 2 2 3 20.o./Rejtvény ⎡⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎤ 1 1 1 a) pl.: ⎢⎜ + ⎟ ÷ ⎥ ∗ ∗ = ⎣⎝ 2 2 ⎠ 2 ⎦ 2 2 2
⎛1 1⎞ 1 1 1 b) pl.: ⎜ − ⎟ ∗ + + = 1 ⎝2 2⎠ 2 2 2 1 1 1 ⎛1 1⎞ c) pl.: ∗ ∗ ∗ ⎜ − ⎟ = 0 2 2 2 ⎝2 2⎠ 25.o./1. a) 1 cm a térképen a valóságban 1 500 000 cm=15 000 m=15 km 5-ször akkora távolság 5*15km=75 km b) 1 cm a térképen a valóságban 15 km 225 km :15km=15 A térképen 15 cm lesz a távolság. 25.o./2.
Térképen: 5 cm Valóságban: 20 km = 20 000 m= 2 000 000 cm 5: 2 000 000 = 1: 400 000 25.o./3. a) Egyenes arány b) Egyenes arány c) Egyiksem d) Egyik sem e) Egyenes arány f) Fordított arány
25.o./4. 5h…………….600 km :5 egyenes arány 1h…………….600:5=120 km *8,5 egyenes arány 8,5h………….120km*85=1020 km
1020 km-t tesz meg 8,5h alatt. 26.o./5. 70 adaghoz…………….10,5 kg :7 egyenes arány 10 adaghoz…………….10,5kg:7=1,5 kg *10 egyenes arány 100 adaghoz………….1,5 kg*10=15 kg
100 adaghoz 15 kg hús szükséges. 26.o./6. 30 kg-hoz…………….20 db *5 egyenes arány 150 kg-hoz………… 20db*5=1000 db
150 kg szőlőt 100 db dobozba csomagolunk. 26.o./7.
25 db 7 dl-es üvegbe összesen 25*7=175 dl gyümölcslét töltöttek. Ha 1 üveg 12,5 dl-es, akkor 175/12=14 db 125 dl-es üvegre van szükség. 26.o./8.
I. sebessége: 1000 km/h II. sebessége: 1000 km/h * 3/5=200km/h * 3 = 600km/h 1000 km/h…………….3 h :10 fordított arány 100 km/h…………….. 3 h*10=30 h *6 fordított arány 600 km/h……………..30h:6=5 h 5h alatt teszi meg 600km/h sebességgel ugyanazt az utat.
26.o./9. 1 perc alatt…………….10 l *20 egyenes arány 20 perc alatt………… 10l*20=200 l
1 perc alatt 200 l
25 l 200/25=8 perc
8 perc alatt telik meg másik csapból. 26.o./10.
1 kacsához…………….10 kg *20 egyenes arány 20 kacsához………… 10kg*20=200 kg 1 kacsához…………….10 kg *15 egyenes arány 15 kacsához………… 10kg*15=150 kg 20 kacsa felhízlalásához 50 kg-mal több kukorica szükséges. 26.o./11.
5 gyerek………2 óra………..80 db :5 egyenes arány 1 gyerek……… 2 óra……….80/5db=16db *12 egyenes arány 12 gyerek……..2 óra………..16db*12=192db :2 egyenes arány 12 gyerek……. 1 óra………..192 db/2=96 db *3 egyenes arány 12 gyerek……. 3 óra………..96 db*3=288 db 12 gyerek 3 óra alatt 288 db szendvicset tud elkészíteni. 26.o./12.
3 egér…………5 sajt………..4 nap :3 fordított arány 1 egér…………5 sajt ……….4*3=12 nap *5 fordított arány 5 egér…………5 sajt……….12/5=2,4 nap *2 egyenes arány 5 egér…..…….10 sajt……….2,4*2=4,8 nap 5 egérnek 10 sajt 4,8 napra elegendő.
26.o./13.
A 2db osztoztak: 2 1 db 3 Csabának adott: 1 db-ot 3
B 3db
Cs 0db
2 1 db 3
2 1 db 3
1 1 db-ot 3
2 150 Ft …………1 db 3 1 db……………30 Ft 3
András kapott 30 Ft-ot. Balázs kapott 4*30Ft=120 Ft-ot. 26.o./14. x x + =1 30 40 120 x= ≈ 17,14 perc 7 26.o./15. 1t = 100a + 1ö 1ö = 20a + 0,5m 1m = 10a + 0,25k 1k = 8a
Visszafelé helyettesítésekkel: 1m = 10a + 0,25*8a = 12a 1ö = 20a + 0,5*12a = 26a 1t = 100a + 26a = 126a 1 táltos 126 aranyat ér. 26.o./ Rejtvény
Nem lehet tudni, mivel a hét napjai és a között, hogy fúj-e a szél, nincs matematikai összefüggés. 30.o./1.
2 500 − 2 498 = = 5 5 5 2 b) 100 − 100 ∗ = 100 − 20 ∗ 2 = 100 − 40 = 60 5 2 c) 100 ∗ = 20 ∗ 2 = 40 5 a) 100 −
30.o./2.
a) b) c) d) e) f)
1000*1,2=1200 0,8-szeresére 2-szeresére 1,2-szeresére 2-szeresére 0,005-szereére
1,2-szeresére
30.o./3.
a) b) c) d)
500*1,5=750 500+50=550 500*0,5=250 500/50=10
30.o./4.
a) b) c) d) e) f)
200%-a 50%-a 150%-a 500%-a 20%-a 125%-a
30.o./5.
a) 1,25-szorosa b) 0,92-szerese 30.o./6.
a) 40%-kal nőtt b) 25%-kal nőtt 30.o./7. Medve: 50:40=1,25 → 25%-kal nőtt a tömege Elefánt: 140:120= 1,16 → 16,6%-kal nőtt a tömege A medvebocs nőtt jobban.
30.o./8.
Összesen: 45 000 fő Nő 20%
Férfi 80% 45 000*0,8=36 000 fő
Kördiagram! Átlagosan 36 000 fő a férfi. 31.o./9.
Döntőben szereplő csoportok: 75 000/0,3= 22 500db-22 500db Szervezők: 75 000*0,01=750db Bajnokság csapatai: 75 000*0,15=11 250db Nemzetközi Labdarúgó Szövetség: 75 000*0,2= 15 000db Ismert személyiségek: 3 000db 31.o./10.
1200*0,15=180 180 fő hoz szendvicset az iskolába. 31.o./11.
a) Első változás: 1000*1,08=1080 Ft Második változás: 1080*0,92=993,6Ft Összesen: 993,6/1000= 0,9936 99,36% b) Első változás: 1000*0,93=930 Ft Második változás: 930*,07=995,1Ft Összesen: 995,1/1000= 0,9951 99,51%
0,64%-kal csökkent az ár. 0,49%-kal csökkent az ár.
31.o./12.
Fenyő Tölgy 20% 80% Tölgynek a negyede, azaz 25%-a a fenyők száma. 31.o./13.
100kg + 100kg*4 = 500kg
5-szörösére nő
31.o./14.
Eredeti 10 cm
+10%
Új 10cm*1,1=11 cm
a) K = 4*10cm = 40 cm 44/40 = 1,1 b) T = 10cm*10cm = 100 cm2 121/100 = 1,21
K’=4*11cm = 44cm 10%-kal nőtt a kerülete T’=11cm*11cm = 121cm2 21%-kal nőtt a területe
31.o./15.
Eredeti Egyik oldal: 10 cm Másik oldal: 20 cm
Új 10cm*0,85=8,5 cm 20cm*1,15=23 cm
a) K = 2*(20cm+10cm) = 60 cm 63/60 = 1,05 b) T = 10cm*20cm = 200 cm2 195,5/200 = 0,9775
K’=2*(23cm+8,5cm) = 63cm 5%-kal nőtt a kerülete T’=23cm*8,5cm = 195,5cm2 2,25%-kal csökkent a területe
31.o./16.
a) 19db b) 10,52% c) 52,63% 32.o./17.
a)b) Eredmény
Jeles
Jó
Közepes
Elégséges
Elégtelen
Fő %
4 13
7 23
10 33
6 20
1 3
c) Oszlop- és kördiagram! 32.o./18.
a) Jeles:10% Jó:27% Közepes:33% Elégséges:20% Elégtelen:3% Nem írt:7% Oszlopdiagram! b) Átlag: ≈3,2
Nem vizsgázott 2 7
32.o./19.
42=2*(x+0,75x) 42=3,5x x=12 cm Egyik oldal:12 cm Másik oldal: 9 cm T= 12 cm*9 cm = 108 cm2 32.o./20.
a) 10 km-en ………….7 l 100 km-en …………7 l*10 = 70 l b) 10 km-en ………….7 l 40 km-en …………7 l*4 = 28 l 20% Összes üzemanyag 100%
28 l*5=140 l
32.o./21.
1,08*X←10%-kal leszállított ár, azaz az eredeti ár 90%-a, 0,9-szerese 1,08/0,9 = 1,2 → 20% volt a leszállítás előtt a haszon 32.o./22.
2*1,25 = 2,5 =
25 5 = 10 2
5 2 reciproka 2 5 1 2 -nek hány %-a a ? 2 5 2 1 2 4 1 ÷ = ∗ 2 = = 0,8 → 80% → − et 20%-kal kell csökkenteni 5 2 5 5 2 32.o./Rejtvény
A gyorshajtók
1 -része nem 5%-a az összes autósnak. 5
1 1 1 ∗ = = 0,03 = 3,3% 6 5 30
35.o./1.
a) 10000*1,07=10700 Ft b) [(10000 * 1,07 ) * 1,07]* 1,07 = 12250,43 Ft c) 12250,43:10000=1,225043≈1,23 23%-kal növekedett az összeg. 35.o./2.
a) 10*1,05 = 10,5kg b) 4. nap végén 36.o./3.
1 év múlva 10 000*0,97 = 9700 Ft 2 év múlva 9700*0,97 = 9409 Ft 3 év múlva 9409*0,97 = ≈ 9127 Ft 4 év múlva 9127*0,97 = ≈ 8853 Ft 5 év múlva 8853*0,97 = ≈ 8597 Ft 35.o./4.
X*1,05 = 20000 X = ≈ 19048 Ft 35.o./5.
[( X ∗ 1,05) ∗ 1,05] ∗ 1,05 = 20000 X =≈ 17277 Ft 35.o./6.
a) {[(10000 ∗ 1,05) ∗ 1,05] ∗ 1,05}∗ 1,05 = 12155 Ft b) 4 év múlva: 12 155 Ft 5 év múlva: 12 763 Ft 6 év múlva: 13 401 Ft 7 év múlva: 14 071 Ft 8 év múlva: 14 774 Ft 9 év múlva: 15 513 Ft 10 év múlva: 16 289 Ft 11 év múlva: 17 103 Ft 12 év múlva: 17 958 Ft 13 év múlva: 18 856 Ft 14 év múlva: 19 799 Ft 15 év múlva: 20 789 Ft
35.o./7.
I. lehetőség 1 év múlva 20000*1,05 = 21 000 Ft 2 év múlva 21000*1,05 = 22 050 Ft 3 év múlva 22050*1,05 = 23 153 Ft II. lehetőség 1 év múlva 20000*1,06 = 21 200 Ft 2 év múlva 21200*1,05 = 22 260 Ft 3 év múlva 22260*1,04 = 23 150 Ft Az első lehetőség, az évi 5%-os kamat éri meg jobban. 35.o./8.
20000*1,25 = 25 000 Ft-ot kell visszafizetni. 35.o./9.
30000+20000*1,1 = 52 000 Ft-ba fog ténylegesen kerülni a gép. 35.o./10.
a) 1 év múlva: 20 000*1,05 = 21000 Ft 2 év múlva: (20 000+21 000)*1,05 = 43050 Ft 3 év múlva: (20 000+43 050)*1,05 = 66 203 Ft 4 év múlva: (20 000+66 203)*1,05 = 90 153 Ft-ja lesz négy év múlva. b) 5 év múlva: (20 000+90 513)*1,05 = 116 039 Ft 6év múlva: (20 000+116 039)*1,05 = 142 841 Ft 7 év múlva: (20 000+142 841)*1,05 = 170 983 Ft 8 év múlva: (20 000+170 983)*1,05 = 200 532 Ft 35.o./Rejtvény
60%-ában csak a vezető ült az autóban. Ennek 60%-nak a 75%-ában vezette férfi. Vagyis: 0,6*0,75 = 0,45→ 45% Az összes személyautó 45%-ában csak a vezető ült az autóban, aki férfi volt. 39.o./1.
a) b) c) d) e) f) g) h)
32 = 3*3 = 9 53 = 5*5*5 = 125 73 = 7*7*7 = 343 104 = 10*10*10*10 = 10 000 26 = 2*2*2*2*2*2 = 64 63 = 6*6*6 = 216 84 = 8*8*8*8 = 4096 10001 = 1000
39.o./2. <
a) b) c) d) e) f)
26 35 0,13 (-4)3 56 74
kettő a hatodikon három az ötödiken nulla egész egytized a harmadikon mínusz négy a köbön öt a hatodikon hét a negyediken
39.o./3.
29 = 512 39.o./4.
a) b) c) d) e) f)
64 625 108 64 10 000 16 807
39.o./5.
a) 24 = 16 ; 42 = 16 ; 34 = 81 ; 43 = 64 24 = 42 < 43 < 34 b) 23 = 8 ; 32 = 9 ; (-2)3 = -8 ; (-3)2= 9 (-2)3< 23 < 32 = (-3)2 c) 2*33 = 54 ; 2*(33) = 54 ; (2*3)3 = 216 ; 23*3 = 24 23*3 < 2*33 = 2*(33) < (2*3)3 1 d) ∗ 2 5 = 16 ; 2
5
⎛1 ⎞ ⎜ ∗ 2⎟ = 1= 1 ; ⎝2 ⎠
5
5
5
1 1 ⎛1⎞ 5 ; ∗ (2) = 16 ⎜ ⎟ ∗2 = 16 2 ⎝2⎠
1 1 ⎛1 ⎞ ⎛1⎞ 5 5 ⎜ ⎟ ∗ 2 < ⎜ ∗ 2 ⎟ < ∗ 2 = ∗ (2) 2 2 ⎝2 ⎠ ⎝2⎠ 39.o./6.
a) 101100 > 10099 b) 100101 < 101101 c) 101100 < 101101 39.o./7. 2
2
4 2 4 ⎛2⎞ A = ⎜ ⎟ =
39.o./8.
34 = 81 , (-2)6 = 64 ; -54 = -625 ; (-4)3 = -64 -54 < (-4)3 < (-2)6 < 34 40.o./9.
a) Legkisebb: 11; 12; 13; 14 Legnagyobb: 44 b) 16 féle c) 11= 12 = 13 = 14 < 21 < 31 < 41 = 22 < 23 < 32 < 24 = 42 < 33 < 43 < 34 < 44 40.o./10.
a) Legkisebb: 11= 12 = 13 = 14 = 15 = 16 Legnagyobb: 66 b) 56 > 65 c) 36-féle d) 28-féle 40.o./11.
2003-ban: 5000 2004-ben: 5000*0,88 = 4400 faj 2005-ben: 4400*0,88 = 3872 faj 2006-ban: 3872*0,88 = 3407 faj 2007-ben: 3407*0,88 = 2998 faj 2008-ban: 2998*0,88 = 2639 faj 2009-ben: 2639*0,88 = 2322 faj 2010-ben: 2322*0,88 = 2043 faj 40.o./12.
10 perc elteltével: 210 = 1024 1h = 60 perc elteltével: 260 = 115292, 1505*1018 Nem lehetséges, hogy egy baktériumból osztódással 1 óra elteltével 260db legyen, mivel közben el is pusztul valamennyi. 40.o./13.
a) 7%-os az éves kamat b) ≈ 14 026 Ft-ot c) 10 000*1,086 = ≈ 15 869 Ft-ot
40.o./14.
a)
20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512
A 3. hatvány 8-ra, a 10. hatvány 4-re, a 20. hatvány 6-ra, 2007-dik hatvány 8-ra végződik. A szabályt a 4-es maradék adja, a kitevő 4-gyel osztva mennyi maradékot ad. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végződik. b) 31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 = 243 36 = 729 37 = 2187 38 = 6561 39 = 19 683 A 3. hatvány 7-re, a 10. hatvány 9-re, a 20. hatvány 1-re, a 2007-dik hatvány 7-re végződik. A szabályt a kitevők 4-es maradéka adja. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végződik. c) 41 = 4 42 = 16 43 = 64 44 = 256 45 = 1024 46 = 4096 47 = 16 384 48 = 65 536 49 = 262 144 A 3. hatvány 4-re, a 10. hatvány 6-ra, a 20. hatvány 1-re, a 2007-dik hatvány 4-re végződik. A szabályt a kitevők 2-es maradéka adja. Azonos maradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végződik.
d) 61 = 6 62 = 36 63 = 216 64 = 1296 65 = 7776 Bármely kitevő esetén az eredmény 6-ra végződik. 40.o./Rejtvény
(2 ) = 2 ∗ 2 (2 ) = 2 ∗ 2 (2 ) = (2 ) 2 3
2
2
∗ 22 = 26
3 2
3
3
= 26
2 3
3 2
44.o./1.
a) b) c) d) e) f)
26 24 23 29 28 26
44.o./2.
a) b) c) d) e) f)
22*(-2)3 = -32 –32 32 8 –128 64
44.o./3.
a) b) c) d) e) f)
27 25 49 216 9 0,0001
44.o./4.
A = 5 ; B = -5 ; C = 5 ; D = -5 B=D
44.o./5.
a) b) c) d)
24*23 < 33*32 52*54 > 57:52 73*72 > (-7)3*72 65:6 = 63*6
44.o./6.
a) b) c) d) e) f)
212 = 4096 66 = 46 656 515 0,110 350 2010
44.o./7.
a) b) c) d) e) f)
24 35 212 -73 0,111 102
44.o./8.
22 27 26 29 25 21 24 23 28 44.o./Rejtvény
X*2 = Y2 = Z3 X*2 = 82 3
X = 32
X*2 = 4
A százlábúnak 68 lába nem fáj. 48.o./1.
a) b) c) d)
153 = 3375 104 = 10 000 212 = 441 125 = 248 832
48.o./2.
8 27 1 b) 256 25 c) 4 161051 d) 32768 a)
49.o./3. 3
3
216 27 ⎛6⎞ ⎛ 2⎞ a) ⎜ 3 ∗ ⎟ = ⎜ ⎟ = = 64 8 ⎝4⎠ ⎝ 4⎠ 4
1500625 ⎛7 ⎞ b) ⎜ ∗ 5 ⎟ = 4096 ⎝8 ⎠ 2
2
441 ⎛ 21 ⎞ ⎛ 3 ⎞ c) ⎜ − ∗ 7 ⎟ = ⎜ − ⎟ = 16 ⎝ 4⎠ ⎝ 4 ⎠ 5
5
32768 ⎛2 ⎞ ⎛8⎞ d) ⎜ ∗ 4 ⎟ = ⎜ ⎟ = 3125 ⎝5⎠ ⎝5 ⎠
49.o./4.
a) b)
(3 ∗ 5) = (3 ) ∗ 5 (2 ∗ 5 ) = 2 ∗ (5 ) 2
3
2 3
3 4
4
2
3
3 4
= 36 ∗ 5 3 = 729 ∗ 125 = 91125 = 2 4 ∗ 512 = 16 ∗ 244140625 = 3906250000
2
⎛ 72 ⎞ ⎛ 73 ⎞ 7 6 117649 c) ⎜⎜ 3 ∗ 7 ⎟⎟ = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = 6 = 729 3 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠
( )
5
5 5 ⎛ 22 5 ⎞ ⎛ 2 43 ⎞ ⎛ 45 ⎞ ⎛ 210 d) ⎜⎜ 4 ∗ 3 ⎟⎟ = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = ⎜ 3 ⎟ = ⎜⎜ 3 ⎜ 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎝ ⎠
49.o./5.
a) (23*3)2 < (22*3)3 b) (23*24)2 < (24*22)3 ⎛ 25 ⎞ c) ⎜⎜ 2 3 * 2 ⎟⎟ < (22*22)3 2 ⎠ ⎝ d)
(2 * (− 3)) > ((− 2 )* 3) 3
2
2
3
5
⎞ ⎟⎟ = 2 7 ⎠
( )
5
= 2 35
49.o./6.
A = 212*512 B = (-2)12*59 C = -512*(-2)12 D = 213*513 C
a) b) c) d)
∇ =3 Δ =2 = 5 Ο= 3
49.o./8.
a) b) c) d)
◊=3 ◊=8 ◊=6 ◊=3
49.o./9.
A = 28*312 B = 216*312 C = 222 C
20022007 + 20022008 ↓ ↓ 8-ra végződő 6-ra végződő szám szám (A 2002 egymás utáni hatványainak eredményében észrevehető szabályosságból állapítható meg, a kitevők 4-es maradékából)
8-ra és 6-ra végződő szám összege 4-re fog végződni
49.o./11.
a) 23+33 = 35 ; (2+3)3 = 125 ; (-2)3+(-3)3 < 23+33 < (2+3)3 b) 24+34 = 97 ; (2+3)4 = 625 ; 24+34 = (-2)4+(-3)4 < (2+3)4 c) 23+32 = 17 ; (2+3)3 = 125 ; (-2)3+ (-3)2 < 23+32 < (2+3)3
(-2)3+(-3)3 = -35 (-2)4+(-3)4 = 97 (-2)3+ (-3)2 = 1
49.o./12.
a) Legkisebb: (52*53)2 = 510 Legnagyobb: (53*52)3 = 515 73 75 b) Legkisebb: 2 ∗ 7 2 = 2 3 3 2 7 75 3 Legnagyobb: 3 ∗ 7 = 3 2 2 23 8 c) Legkisebb: 4 = 4 2 Legnagyobb: 4 3 = 4 9 d)
(4 )
2 3
(4 )
3 2
♥=2 ♠=3 ♥=3 ♠=2 ♥=3 ♠=2 ♥=2 ♠=3 ♥=2 ♠=3 ♥=3 ♠=2
= 46 egyenlők
= 46
49.o./Rejtvény
A legnagyobb szám: 555. 53.o./1.
A 2007 összetett szám és páratlan. Páratlan számot egy páros és egy páratlan összegeként kaphatunk. Ha egy szám páros, akkor osztható kettővel, azaz nem prím, kivéve a kettőt. Ha az egyik prímszám a 2 lenne, akkor a másik szám a 2005, ez pedig nem prím szám. Tehát nem írható fel a 2007 két prímszám összegeként. 53.o./2.
a) 10-nél kisebb prímek: 2; 3; 5; 7 Lehetséges szorzatok 1-et hozzáadva: 2*3+1 = 7 2*5+1 = 11 2*7+1 = 15 3*5+1 = 16 3*7+1 = 22 5*7+1 = 36 b) Az eredmények közül prímek: 7; 11.
53.o./3.
a) b) c) d)
252 = 22*32*7 720 = 24*32*5 300 = 22*3*52 2475 = 32*52*11
53.o./4.
a) b) c) d)
(12;26) = 2 (8;40) = 8 (12;66) = 2*3 = 6 (35;60) = 5
53.o./5.
a) b) c) d)
[6;8] = 23*3=24 [8;20] = 23*5=40 [12;15] = 22:3*5 = 60 [26;4] = 22*13=52
54.o./6.
a) (23*3 ; 2*3*5) = 2*3 = 6 [23*3 ; 2*3*5] = 23*3*5 = 120 b) (7*112 ; 2*3*73) = 7 [7*112 ; 2*3*73] = 73*2*3*112 = 249 018 c) (53*72*11 ; 5*72*113) = 5*72*11 = 2695 [53*72*11 ; 5*72*113] = 53*72*11 = 8 152 375 d) (2*32*52*7 ; 5*73*112) = 5*7 = 35 [2*32*52*7 ; 5*73*112] = 2*32*52*73*112 = 18 676 350 54.o./7.
24 23 ∗ 3 2 = 2 = 60 2 ∗ 3 ∗ 5 5 32 25 4 b) = 3 = 56 2 ∗ 7 7 110 2 ∗ 5 ∗ 11 11 c) = 3 2 = 200 20 2 ∗5 35 5∗7 1 = 2 2 d) = 700 2 ∗ 5 ∗ 7 20 a)
54.o./8.
a)
1 5 23 + = 8 6 24
1 5 3 1 + = = 12 30 12 4 1 7 17 c) + = 4 6 12 1 5 29 d) + = 15 12 60 b) −
54.o./9.
Relatív prímek: (4;7) ; (7;30) ; (7;50) ; (21;50) 54.o./10.
[15;20] = 22*3*5 = 60 Indulástól számítva 60 perc, azaz 1 óra múlva, reggel 6 órakor indulnak ismét el egyszerre a buszok. 54.o./11. [4;6] = 12 A két hajó az indulástól számítva 12 hónap múlva indul el ismét együtt a kikötőből. 54.o./12.
[3;8] = 24 [6;8] = 24 [12;8] = 24 [24;8] = 24 54.o./13.
(X;2*52) = 2*5 [X;2*52] = 22*52
X = 22*5 = 20
54.o./14.
a) (23*32*5y ; 2x*3*53) = 2*3z*52 X=1 Y=2 Z=1 b) [23*32*5x ; 2y*33*5] = 24*3z*5 X=1 Y=4 Z=3 54.o./15.
(23*3 ; X) = 2*3 Legkisebb kétjegyű szám: 18 Legnagyobb kétjegyű szám: 54
54.o./Rejtvény
Legidősebb: 17 éves Középső: 13 éves Legfiatalabb: 3 éves 58.o./1.
a) b) c) d)
2db százas 2,23*103 = 2230 = 2E+2Sz+3t+0e 8,765*104 = 88765 = 8TE+8E+7sz+6t+5e 3,44454*105 = 344454 = 3SZE+4TE+4E+4sz+5t+4e
58.o./2.
a) b) c) d)
245 = 2,45*102 3400 = 3,4*103 213,45 = 2,1345*102 2342,332 = 2,342332*103
58.o./3.
a) b) c) d) e)
20*102 = 2*103 22,12*10 = 2,212*102 211,1*105 = 2,111*107 10*102 = 1*103 25 millió = 2,5*107
58.o./4.
a) 27797 = 2,7797*104 b) Város Ország 1. Tokió Japán 2. Mexikóváros Mexikó 3. New York USA
Elővárosokkal 3,5197*107 1,9411*107 1,8718*107
c) Egy személy rekordja: 3,03621*105 Csapatrekord: 4,079381*106 d) 5,7*104 db 59.o./5.
a) b) c) d)
14*105 = 1,4*106 36*109 = 3,6*1010 15*107 = 1,5*108 22*1010 = 2,2*1011
59.o./6.
Elővárosok nélk. 8,12431*106 8,538639*106 8,158957*106
a) b) c) d)
3*102 4*102 0,3*103 = 3*102 1,2*102
59.o./7.
8*105*4*103 = 32*108 = 3,2*109 (8*105)(4*103) = 2*102 8*105+4*103 = 804000 = 8,04*105 8*105-4*103 = 796000 = 7,96*105 8 *10 5 e) = 2 *10 2 4 *10 3 a) b) c) d)
59.o./8.
a) 8*105*4*103 = 32*108 = 3,2*109 b) 1,2*105*5*102 = 6*107 15 *10 5 c) = 3 *10 2 3 5 *10 54 *10 5 d) = 18 *10 = 1,8 *10 2 4 3 *10 59.o./9.
a) b) c) d)
23000 = 2,3*104 65800 = 6,58*104 42700 = 4,27*104 844000 = 8,44*105
59.o./10.
a) (2*102*1,5*103)3 = 33*1015 = 2,7*1016 b) (8*104)4 = 4096*1016 = 4,096*1019 4
⎛ 32000 ⎞ 4 4 4 7 c) ⎜ ⎟ = 80 = (8 *10) = 4096 *10 = 4,096 *10 ⎝ 400 ⎠ 3
⎛ 24000 ⎞ 3 6 d) ⎜ ⎟ = 200 = 8 *10 120 ⎝ ⎠ 59.o./11.
a) b) c) d)
60*300000 km = 18*106 km = 1,8*107 km 3600*300000 km = 108*107 km = 1,08*109 24*1,08*109 km = 25,92*109 = 2,592*1010 km 365*2,592*1010 = 946,08*1010 km = 9,4608*1012 km
59.o./12.
1 mm 600 km2 = 6*1014 mm2 V = 1mm*6*1014 mm2 =6*1014 mm3 = 6*108 dm3 = 6*108 l 59.o./Rejtvény
a) Fény 1 s alatt 300000 km-t tesz meg, 1 év alatt 9,4608*1012 km-t, 4,2 év alatt 4,2*9,4608*1012 km = 39,73536*1012 km = 3,973536*1013-re van ez a csillag a Földtől. b) v = 515 km/h s = 3,973536*1013 km s 3,973536 *1013 km t= = = 0,0077156 *1013 h = 7,7156 *1010 h v 515km / h Az út 7,7156*1010 h-ig tartana. 59.o./Rejtvény 1 ember karfesztávolsága kb.1,5 m Föld egyenlítői kerülete kb. 40054,719 km = 4,0054719*104 km = 4,0054719*107 m 4,0054719*107 m/1,5 m = 2,67*107 = 26 700 000 fő Megközelítőleg 26,7 millió ember tudná körülölelni a Földet. 60.o./1.
7+36:4*2= 25 60.o./2.
401 = 0,8003992 501 4001 b) = 0,80003999 5001 4 c) = 0,8 5 41 d) = 0,8039215 51 4 4001 401 41 〈 〈 〈 5 5001 501 51 a)
60.o./3.
1 ⎛2 4⎞ 2 1 2 3 1 1 4 −⎜ − ⎟÷ = + * = + = 15 ⎝ 3 5 ⎠ 3 15 15 2 15 5 15 7 ⎛3 5 ⎞ 7 12 − 5 7 7 49 b) = * = * ⎜ − 0,1 * ⎟ = * 6 ⎝5 2⎠ 6 20 6 20 120 a)
2 ⎛ 10 2 ⎞ 2 2 6 2 2 14 2 14 6 8 ÷⎜ − ⎟− = ÷ − = * − = − = 3 ⎝ 14 7 ⎠ 3 3 14 3 3 6 3 9 9 9 5 1 ⎞ 1 1 2 1 ⎛ 7 −⎜ − d) =− + = ⎟+ 2008 ⎝ 2008 2008 ⎠ 1004 2008 2008 2008 c)
60.o./4.
11 6 120 b) ∇ = 721 c) ∆ = −0,4 d) = 0,2 a) ○ = −
60.o./5.
2 (8,51+3,3l): l = 17,7 db 3 17 db csupor lesz tele, a tizennyolcadikba részéig telik meg. 60.o./6.
a)
1 2−
1 2
≺
2 1−
1 2
0,6 4 1 2 3 ≺ 3 b) 1 1 1− 2− 2 2
c)
4 9 1 1+
6 9 1 1 2
2 10 = 3 15
1+
1 1+
1 2
3 9 = 5 15
2 7 7 7 l * = l méz kerül. Az utolsó csupor 3 10 15 10
d)
0,2 0,4 ≺ 1 1 1− 2− 1 + 0,5 2 4 15
3 9 = 5 15
60.o./7.
5 8 6 ∇= 8 7 Ο= 8
a) Δ =
3 8 2 ∇=− 8 1 Ο=− 8 13 c) Δ = 24 14 ∇= 24 15 Ο= 24 11 d) Δ = − 24 10 ∇=− 24 9 Ο=− 24 b) Δ = −
60.o./8.
10 20 + 10 22 10 20 + 10 20 *10 2 10 20 *101 101 = = = = 5,05 20 10 21 + 10 21 2 *10 21 10 21 * 2 Az 5-ös számhoz áll a legközelebb. 60.o./9.
¼ nap=6 óra alatt ¾-ét szétosztotta. Hátra van még az ¼-e, amihez 2 óra szükséges. Az egész zsákot 8 óra alatt osztotta szét.
61.o./10.
a) 1793,4+2620,8 kJ = 4414,2 kJ b) 1612,8+763+134,4 kJ = 2510,2 kJo./11. c) 604,8+1908 kJ = 2512,8 kJ 61.o./11.
Arányos téglalapok 2 2Y = 5 X → X = Y 5 2 3* Y 3X 5 = 2 része = 3Y 3Y 5 61.o./12.
1 dl szörphöz 8 dl víz 4 l = 40 dl vízhez 5*1 dl = 5 dl szörp volt az üvegben 61.o./13.
8 fő…………5 nap………..8 óra/nap *5/8 :5/8 5 fő …………5 nap ……….12,8óra/nap *4/5 :4/5 5 fő………… 4 nap……….16 óra/nap
fordított arány fordított arány
16 órát kell naponta dolgozniuk, hogy elkészüljenek. 61.o./14.
3 tyúk………3 nap…………30 dkg mag 1 tyúk………3 nap…………10 dkg mag 1 tyúk………1 nap…………10/2 dkg = 3 1/3 dkg magot eszik meg. 4 gyöngytyúk…..4 nap……..40 dkg mag 1 gyöngytyúk…..4 nap……..10 dkg mag 1 gyöngytyúk…..1 nap……..10/4 dkg = 2 ½ dkg magot eszik. 61.o./15.
Felnőtt: 4000-nek 85%-a: 4000*0,85 = 3400 fő Férfi: 3400-nak 40%-a: 3400*0,4 = 1360 fő 1360 fő férfi volt az előadáson. 61.o./16.
20 db……..1200 Ft
1 db ……..1200:20 = 60 Ft Árleszállítás után: 1 db……60*0,8 Ft = 48 Ft 1200:48 = 25 25 db-ot vehetnénk az árleszállítás után. 61.o./17.
10%-os kamat 10000*1,1*1,1*1,1*1,1 = = 14 641 Ft
évente 3000 Ft vissza 4*3000 Ft = 12000 Ft
Akkor járunk jobban, ha 10%-os kamatra bankba tesszük a pénzt, így 4 év után 14641 Ft-unk lesz, míg ha évente 3000 Ft-ot kapunk vissza, csak 12000 Ft-unk lesz. 61.o./18.
a) b) c) d) e)
12 16 13 nincs a kártyák között ilyen 17
62.o./19.
Nem igaz, például: 64, 36, ….. 62.o./20.
Legkisebb: -102 62.o./21.
a) b) c) d)
Δ=3 ∇=3 = 3 ♥=2
62.o./22.
1=B=D=F 62.o./23. 3
1 13 1 ⎛1⎞ a) A = ⎜ ⎟ = 3 ≺ B = = 4 4 4 ⎝4⎠ 3
3
1 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ b) C = ⎜ ⎟ = 6 ≺ D = ⎜ ⎟ = 3 2 2 ⎝2⎠ ⎝4⎠
3
2
1 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ c) E = ⎜ − ⎟ = − 3 ≺ F = ⎜ − ⎟ = 2 4 4 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 4
6
1 1 ⎛1⎞ ⎛ 1⎞ d) G = ⎜ − ⎟ = 8 ≺ H = ⎜ ⎟ = 6 2 2 ⎝2⎠ ⎝ 4⎠ 62.o./24.
a) Egy sorban, oszlopban, átlóban a hatványkitevők összege 16 vagy nagyobb legyen. Több megoldás lehetséges. b) Lásd a) c) A kitevők összege 10 vagy nagyobb legyen 62.o./25.
[8;12] = 24 24 s múlva ugatnak egyszerre. 62.o./26.
[20;28] = 140 140 s múlva hallhatjuk újra, hogy a két csepp egyszerre csapódik be. 62.o./27.
a) 7,343*1019 t = 7,343*1022 kg b) 81*7,343*1022 kg = 594,783*1022 kg = 5,94783*1024 kg
