Kiberfizikai rendszerek A “fizikai” vonatkozásokról … 2. folytatás
2016. november 29. 1
A befogadó környezet modellezése x(n 1) Ax (n)
y (n) Cx (n)
1
Korrekció y (n) e (n ) 𝐺
xˆ (n 1) Axˆ (n) Ge(n)
yˆ ( n)
yˆ (n) Cxˆ (n)
𝑥 𝑛 + 1 − 𝑥 𝑛 + 1 = 𝐴𝑥 𝑛 − 𝐴𝑥 𝑛 − 𝐺𝑒 𝑛 = 𝐴 − 𝐺𝐶 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛
Megjegyzések: 1. A megfigyelő elrendezés mindkét modellje „gerjeszthető” egy közös gerjesztéssel. Mivel a modellek lineárisak, a szuperpozíció értelmében a megfigyelő konvergenciája változatlanul megvalósul. 2. Az ábra szerinti megfigyelőt Luenberger megfigyelőnek nevezzük. Luenberger szerint majdnem minden rendszer megfigyelő. A megfigyelő tulajdonság feltétele, hogy a megfigyelő legyen „gyorsabb”, mint a megfigyelt rendszer, különben nem képes követni a változásokat.
A fizikai rendszerek dinamikus viselkedését leíró modell-fajták: Folytonos rendszerek: időbeli és amplitudóbeli folytonosság → differenciálegyenletek Diszkrét rendszerek: diszkrét lépések sorozatát hajtják végre → FSM, differenciaegyenletek Hibrid rendszerek: folytonos és diszkrét rendszerek kombinációja 2 Egyéb, nem-konvencionális ismeretreprezentációs technikák: pl. , kvalitatív, fuzzy, …
Hibrid rendszerek A CPS rendszerekben szükség van az idő mérésére, és időzített akciók végrehajtására. Az időzített automata (timed automata) a legegyszerűbb nem-triviális hibrid rendszer. Az állapotaik mögött (adott időtartamig) mérik az idő múlását: ∀𝑡 ∈ 𝑑𝑚 𝑐 𝑡 =𝑎 Példa: Termosztát hiszterézis helyett időzítéssel 𝑐 𝑡 ≔ 𝑑ℎű𝑡é𝑠 Feltétel1/akció1 Hűtés
𝑇 𝑡 20∘
ℎ 𝑡
Fűtés
𝑑𝑓ű𝑡é𝑠 𝑑ℎű𝑡é𝑠 1
0 Feltétel2/akció2
𝑑ℎű𝑡é𝑠 𝑐 𝑡
ℎ 𝑡 =0 𝑐 𝑡 =1
ℎ(𝑡) = 1 𝑐 𝑡 =1
Megjegyzés: h 𝑡 és 𝑐 𝑡 az állapotfinomítás eszközei. Szokás (üzem)módról /𝑐 𝑡 ≔ 0 beszélni. (Modal systems)
Feltétel1/akció1:
𝑇 𝑡 ≤ 20⋀𝑐 𝑡 ≥ 𝑑ℎű𝑡é𝑠
Feltétel2/akció2:
𝑇 𝑡 ≥ 20⋀𝑐 𝑡 ≥ 𝑑𝑓ű𝑡é𝑠 /𝑐 𝑡 ≔ 0
3
Hibrid rendszerek Példa: Önjáró targonca (Automated Guided Vehicle, AGV) Két szabadságfokú jármű, felfestett csík követésére képes. Minden t időpontban a hossztengelye mentén 𝑣(𝑡) sebességgel mozog azzal, hogy 0 ≤ 𝑣 𝑡 ≤ 10 𝑘𝑚/ℎ A súlypontja körül fordulni is tud 𝜔 𝑡 szögsebességgel, azzal hogy: AGV
φ(t)
𝑥 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑐𝑜𝑠 φ 𝑡
−𝜋 ≤ 𝜔 𝑡 ≤ 𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐
Kétszintű szabályozás: a targonca y(t) mindig 10 𝑘𝑚/ℎ sebességgel halad. φ 𝑡 =𝜔 𝑡 Négy működési módja van: x(t) balra, jobbra, egyenesen, megállás. Minden működési módhoz külön differenciálegyenlet tartozik: egyenesen: 𝑥 𝑡 = 10𝑐𝑜𝑠 φ 𝑡 balra: 𝑥 𝑡 = 10𝑐𝑜𝑠 φ 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑠𝑖𝑛 φ 𝑡
𝑦 𝑡 = 10𝑠𝑖𝑛 φ 𝑡 φ 𝑡 =0 jobbra:
𝑦 𝑡 = 10𝑠𝑖𝑛 φ 𝑡
𝑥 𝑡 = 10𝑐𝑜𝑠 φ 𝑡
φ 𝑡 =𝜋 megállás: 𝑥 𝑡 = 0
𝑦 𝑡 = 10𝑠𝑖𝑛 φ 𝑡
𝑦 𝑡 =0
φ 𝑡 = −𝜋
φ 𝑡 =0
4
Hibrid rendszerek A targonca érzékelője:
𝑒2
𝑒1
𝑒 𝑡
Kimenőjele: 𝑒 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 OOOOOOOOOOOOO 𝑒 𝑡 > 0 balra tér el. 𝑒 𝑡 < 0 jobbra tér el. fotódióda A targonca vezérlése: egyenesen haladjon tovább! 𝑒 𝑡 < 𝑒1 0 < 𝑒2 < 𝑒 𝑡 túlságosan eltér balra, forduljon jobbra! 0 > −𝑒2 > 𝑒 𝑡 túlságosan eltér jobbra, forduljon balra!
OOOOOO Felfestett csík
Bemeneti események halmaza: 𝑢 𝑡 ∈ 𝑠𝑡𝑜𝑝, 𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡, 𝑛𝑖𝑛𝑐𝑠𝑒𝑠𝑒𝑚é𝑛𝑦 Állapotátmenetet generáló feltételek: 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑙𝑗𝑒𝑙 = 𝑣 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , φ 𝑡 𝑢 𝑡 = 𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑒𝑔𝑦𝑒𝑛𝑒𝑠𝑒𝑛 =
𝑣 𝑡 ,𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,φ 𝑡
𝑢 𝑡 ≠ 𝑠𝑡𝑜𝑝, 𝑒 𝑡
< 𝑒1
𝑚𝑒𝑛𝑗𝑗𝑜𝑏𝑏𝑟𝑎 =
𝑣 𝑡 ,𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,φ 𝑡
𝑢 𝑡 ≠ 𝑠𝑡𝑜𝑝, 𝑒2 < 𝑒 𝑡
𝑚𝑒𝑛𝑗𝑏𝑎𝑙𝑟𝑎 =
𝑣 𝑡 ,𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,φ 𝑡
𝑢 𝑡 ≠ 𝑠𝑡𝑜𝑝, −𝑒2 > 𝑒 𝑡
á𝑙𝑙𝑗𝑚𝑒𝑔 =
𝑣 𝑡 ,𝑥 𝑡 ,𝑦 𝑡 ,φ 𝑡
𝑢 𝑡 = 𝑠𝑡𝑜𝑝 5
𝑥 𝑡 = 10𝑐𝑜𝑠 φ 𝑡 e(t)
𝑦 𝑡 = 10𝑠𝑖𝑛 φ 𝑡
Hibrid rendszerek
e(t)
φ 𝑡 = −𝜋
𝑥 𝑡 = 10𝑐𝑜𝑠 φ 𝑡 𝑦 𝑡 = 10𝑠𝑖𝑛 φ 𝑡 φ 𝑡 =0
jobbra
egyenesen
megállás
balra
𝑢 𝑡 ∈ 𝑠𝑡𝑜𝑝, 𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡, 𝑛𝑖𝑛𝑐𝑠𝑒𝑠𝑒𝑚é𝑛𝑦
𝑥 𝑡 = 10𝑐𝑜𝑠 φ 𝑡
𝑥 𝑡 =0 e(t)
𝑦 𝑡 =0 φ 𝑡 =0
e(t)
𝑦 𝑡 = 10𝑠𝑖𝑛 φ 𝑡 φ 𝑡 =𝜋 6
Hibrid rendszerek: Switching control C1
Felügyelet
C2
Szakasz
⋮ CN
Hierarchikus szabályozás: a szabályozót a szakasz bementét és kimenetét figyelő “FSM” választja ki. Előfutárai: a “gain-scheduling” megoldások.
Kihívások: (1) Kapcsolgatott rendszer stabilitása (Hibrid rendszerek stabilitása!) (2) Az átkapcsolások tranziensei. 1 Törekvések: (1) Stabilitás biztosítása a “passzivitás” fenntartásával. 𝑍𝑏𝑒 𝑠 = 𝑅 + (2) Tranziens menedzsment megvalósítása. 𝑠𝐶
R C 7
Irányítástechnikai alapok Alapjel követés: r
C
Zavarkompenzáció:
yni zavarások yno P
zavarás
yno
y
r
C=P-1
P
y
Folyamat közelítő inverze: 𝐾 1 1 r y K P 𝐶= = ≈ = 𝑃−1 1 + 𝐾𝑃 1 + 𝑃 𝑃 𝐾 r: alapjel; 𝑃 = 𝑃(𝑠) átviteli függvény P r1: szűrt alapjel; K: nagy erősítés e: rendelkezőjel; u: beavatkozójel; Irányítás negatív visszacsatolással: zavarások yni y: a folyamat kimenőjele; yno Yni: bemeneti zavarás; r1 e u r F C y Yno: kimeneti zavarás; P yz: mérési zaj F=1 esetén: yz mérési zaj 𝑈 𝑠 = 𝑅 𝑠 −𝑃 𝑠 𝑈 𝑠 𝐶 𝑠 𝑈(𝑠) 𝐶(𝑠) 𝑌(𝑠) 𝐶 𝑠 𝑃(𝑠) = = 𝑈 𝑠 1 + 𝐶 𝑠 𝑃 𝑠 = 𝑅 𝑠 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) 1 + 𝐶 𝑠 𝑃(𝑠) 𝑅(𝑠) 1 + 𝐶 𝑠 𝑃(𝑠) 8
Irányítástechnikai alapok Szabályozási kör arányos szabályozóval: 1 r e 𝐴 C=AP
𝑃=
1 y
1 + 𝑠𝑇1
-
𝑌(𝑠) 𝐶 𝑠 𝑃(𝑠) = = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐶 𝑠 𝑃(𝑠) 𝐴𝑃 𝐴 1 = 1 + 𝐴𝑃 𝐴 1 + 𝑠𝑇1 1 + 𝐴𝑃 𝐴 𝑇 𝑠 =
maradó hiba 𝑒á𝑙𝑙 = 1 1 + 𝐴𝑃 𝐴 Labilis szakasz stabilizálása: r
e
𝐾 𝑠−2
y
A rendszer gyorsítása:
Zavarás hatásának csökkentése: yn r r=0 e y 𝐴
𝛽
e
𝑌(𝑠) 𝐾 𝑠−2 = = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐾𝛽 (𝑠 − 2) = 𝐾 (𝑠 + 𝐾𝛽 − 2)
Ha 𝐾𝛽 > 2, akkor stabilis.
y
-
-
𝛽
𝛽
𝑇 𝑠 =
𝐾 1 + 𝑠𝑇1
𝑇 𝑠 =
𝑌(𝑠) 1 = 𝑌𝑛 (𝑠) 1 + 𝐴𝛽
Csökken a zavarás hatása.
𝑇 𝑠 =
𝑌(𝑠) 𝐾 1 + 𝐾𝛽 = 𝑅(𝑠) 1 + 𝑠𝑇1 (1 + 𝐾𝛽)
Csökken az időállandó. 9
Irányítástechnikai alapok A visszacsatolás linearizál:
r
e
Nemlineáris
A visszacsatolás csökkenti a paraméter-érzékenységet: r
y
e
A
𝐴1
y
Integrátor visszacsatolva inverz karakterisztikát valósít meg: r
-
𝛽
e
y
…
𝛽
𝐴 1 ≈ 1 + 𝐴𝛽 𝛽
Nemlineáris 𝛽
ℎ𝑖𝑏𝑎(𝐴1 ) 1 + 𝐴1 𝛽
𝑟−𝑓 𝑦 =0 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑟)
Műveleti erősítő alapkapcsolások:
Követő erősítő: + 𝐴 1+𝐴
=
1 1+1 𝐴
Neminvertáló erősítő: 𝑅1 + 𝛽= 𝑅1 + 𝑅2
Invertáló erősítő: 𝑅2
-
≈1
𝑅2 𝑅1
𝐴 𝑅2 𝐴𝛽 = (1 + ) 1 + 𝐴𝛽 𝑅1 1 + 𝐴𝛽
𝑅1
-
𝛽=
𝑅1 𝑅1 + 𝑅2
+
−
𝑅2 𝐴𝛽 𝑅1 1 + 𝐴𝛽 10
Irányítástechnikai alapok: Stabilitás Stabilitás: egy rendszer azon tulajdonsága, hogy egyensúlyi állapotából kimozdítva újra egyensúlyba képes kerülni. - Magára hagyott rendszer stabilitása - Gerjesztett rendszer stabilitása (Bounded Input – Bounded Output: BIBO) - Ljapunov stabilitás: energia tulajdonságú skalár függvény yni r
F
r1
e
C
u
zavarások
yno
P
-
𝑌(𝑠) 𝐹(𝑠)𝐶 𝑠 𝑃(𝑠) 𝑇 𝑠 = = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐶 𝑠 𝑃(𝑠) y
yz mérési zaj 1+𝐶 𝑠 𝑃 𝑠 = 1+𝐿 𝑠 = 0
1+𝐶 𝑠 𝑃 𝑠 𝑌 𝑠 =𝐹 𝑠 𝐶 𝑠 𝑃 𝑠 𝑅 𝑠 ; 𝑁(𝑠) 𝐿 𝑠 = : A hurokátviteli függvény. A karakterisztikus egyenlet: 𝐷 𝑠 + 𝑁 𝑠 = 0 𝐷(𝑠) Ha ennek gyökei (a pólusok) negatív valós részűek, akkor a zárt szabályozási kör stabil.
Passzivitás:Egy egység passzív, ha nem termel energiát. Ha 𝑡 = 0-ban energiamentes:
𝑡
𝑡
𝑃𝑖𝑛 𝜏 𝑑𝜏 = 0
∀𝑡 > 0 𝑢 𝜏 𝑦 𝜏 𝑑𝜏 ≥ 0
0
11
Hagyományos szabályozók P: proporcionális hatás I: integráló hatás D: differenciáló hatás
P, I, D, PI, PD, PID szabályozók: Önmagukban visszacsatolva, 1 𝑠𝑇𝐷 azaz : 𝑃 𝑠 = 1 feltételezésével: 𝐴𝑃 , , 𝑠𝑇𝐷 , ill. 𝑠𝑇𝐼 1 + 𝑠𝑇 𝐴𝑃 1 dB dB dB I: P: 1 + 𝐴𝑃 1 + 𝑠𝑇𝐼 D lgω A PID szabályozó a rendelkezőjel P lgω I lgω 𝑠𝑇𝐷 𝑠𝑇𝐷 aktuális és múltbéli értékei, ill. dB dB dB , D: a változás meredeksége alapján 1 + 𝑠𝑇𝐷 1 + 𝑠(𝑇𝐷 + 𝑇) előrevetített tendenciát is felhaszD lgω P lgω I lgω nálva számítja a beavatkozójelet.
Zavarkompenzáció
e -
C
u
𝑃𝑛 𝑠 + 𝐶𝑛 𝑠 𝑃(𝑠)=0
Pn
Cn r
𝑌(𝑠) 𝑃𝑛 𝑠 + 𝐶𝑛 𝑠 𝑃(𝑠) = 𝑌𝑛 (𝑠) 1 + 𝐶 𝑠 𝑃(𝑠)
yn
P
y
𝑃𝑛 (𝑠) 𝐶𝑛 𝑠 = − 𝑃(𝑠)
yz mérési zaj
12
Kétszabadságfokú szabályozók r
y
𝑃(𝑠)
𝐶1 (𝑠)
𝐶2 (𝑠)
-
-
r
𝐶2 (𝑠)
𝐶1 (𝑠)
y
𝑃(𝑠)
𝑃(𝑠) 𝑌(𝑠) 𝐶1 𝑠 𝑃(𝑠) 1 + 𝑃(𝑠)𝐶2 (𝑠) = = 𝑃(𝑠) 𝑅(𝑠) 1 + 𝐶1 𝑠 + 𝐶2 𝑠 𝑃(𝑠) 1 + 𝐶1 (𝑠) 1 + 𝑃(𝑠)𝐶2 (𝑠) 𝐶1 (𝑠)
r
𝐶2 (𝑠)
𝐶1 (𝑠)
-
𝑃(𝑠)
y
𝑌(𝑠) (𝐶1 𝑠 + 𝐶2 (𝑠))𝑃(𝑠) = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐶1 𝑠 𝑃(𝑠)
r
𝐶1 (𝑠)
y
𝑃(𝑠)
𝐶2 (𝑠)
𝑌(𝑠) 𝐶2 𝑠 𝐶1 (𝑠) 𝑃(𝑠) = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐶1 𝑠 𝑃(𝑠)
𝑌(𝑠) 𝐶1 (𝑠) 𝑃(𝑠) = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐶2 𝑠 𝐶1 𝑠 𝑃(𝑠) 13
Kaszkád szabályozók Ha a szabályozott r szakasz több részre osztható:
𝑦𝑛1
𝑦𝑛2 𝑃1 (𝑠)
𝑃2 (𝑠)
𝑦2
-
mérhető
Megoldás:
Ilyenkor 𝑦𝑛2 zavar 𝑦1 elhárítása lassú lehet, ha a 𝑃1 (𝑠) folyamat 𝑦1 lassú. mérhető 𝑦𝑛1
𝑦𝑛2
r
𝐶2 (𝑠)
𝐶1 (𝑠)
𝑃1 (𝑠)
𝑃2 (𝑠)
𝑦2
-
-
Általánosítás: állapot-visszacsatolás: 𝑟
r’
u -
𝑦1
𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐹𝑟 − 𝐺𝑥 = 𝐴 − 𝐵𝐺 𝑥 + 𝐵𝐹𝑟
𝑥 𝐵
𝐹
𝑦1
𝑥 ∫
𝑦
𝑦 = 𝐶𝑥
𝐶
+ 𝐴 𝐺 14
