Khi-négyzet próbák. Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

Khi-négyzet próbák Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

Khi-négyzet próba Példa 

Az influenza elleni oltóanyagok különböző típusainak hatását vizsgálták abból a szempontból, hogy a beoltottak

milyen

arányban

betegedtek

meg.

Az

eredmények az alábbi táblázatban láthatók. 

Kérdés: Mondhatjuk-e, hogy az egyes típusú oltóanyagok ugyanúgy hatnak, azaz, lényegében azonos-e a megbetegedettek aránya, vagy nem?

2012.11.07

Krisztina Boda

Khí-négyzet próbák

2

Khi-négyzet próba Példa • Mondhatjuk-e, hogy az egyes típusú oltóanyagok ugyanúgy hatnak, azaz, lényegében azonos-e a

megbetegedettek aránya, vagy nem? Influenzában megbetegedett

Nem betegedett meg influenzával

TOTAL

Csak szezonális

43

237

280

Csak H1N1

52

198

250

Kombinált

25

245

270

TOTAL

120

680

800

2012.11.07

Krisztina Boda

Khi-négyzet próbák

3

Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra 

A khi négyzet próbát két diszkrét változó közötti kapcsolat vizsgálatára használjuk. Azaz van-e kapcsolat

a két változó (𝑋 és 𝑌) között, vagy függetlenek egymástól. 

Legyenek az 𝑋 és 𝑌 értékei 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑟 , és 𝑦1 , 𝑦2 , … 𝑦𝑐 az 𝐴1 , 𝐴2 , … 𝐴𝑟 illetve 𝐵1 , 𝐵2 , … 𝐵𝑐 kimenetelek esetén



A megfigyelések száma: 𝑛

2012.11.07

Krisztina Boda


4

Kontingencia táblázat Jelölje 𝑂𝑖𝑗 𝐴𝑖 é𝑠 𝐵𝑗 események együttes bekövetkezéseinek számát (megfigyelt gyakoriságok)



𝑩𝟏

𝑩𝟐

…

𝑩𝒄

Sor összeg

𝑨𝟏

𝑂11

𝑂12

⋯

𝑂1𝑠

𝑂1+

𝑨𝟐

𝑂21

𝑂22

⋯

𝑂2𝑠

𝑂2+

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

⋮

𝑨𝒓

𝑂𝑟1

𝑂𝑟2

⋯

𝑂𝑟𝑠

𝑂𝑟+

Oszlop összeg

𝑂+1

𝑂2+

⋯

𝑂𝑠+

𝑛

𝑟

𝑂+𝑗 =

𝑂𝑖𝑗 𝑗 = 1, 2, … , 𝑠 𝑖=1

2012.11.07

Krisztina Boda

𝐵𝑗 esemény gyakorisága

𝑠

𝑂𝑖+ =

𝑂𝑖𝑗 𝑗=1

𝑖 = 1, 2, … , 𝑟 𝐴𝑖 esemény gyakorisága

Várt gyakoriságok 

Feltéve, hogy a két változó független, a kontingencia táblázat oszlop illetve sorösszegeinek segítségével kiszámolhatók a várt gyakoriságok, minden cellához. 𝒔𝒐𝒓ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 × 𝒐𝒔𝒛𝒍𝒐𝒑ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 𝒗á𝒓𝒕 𝒈𝒚𝒂𝒌𝒐𝒓𝒊𝒔á𝒈 = 𝒎𝒊𝒏𝒕𝒂𝒆𝒍𝒆𝒎𝒔𝒛á𝒎 𝑩𝟏

…

𝑩𝒄

Sor összeg

𝑨𝟏

𝑂1+

𝑨𝟐

𝑂2+

⋮

⋮

𝑨𝒓

𝑂𝑟+

Oszlop összeg 2012.11.07

Krisztina Boda

𝑩𝟐

𝑂+1

𝑂2+

⋯

𝑂𝑠+

𝑛

𝑶𝒊+ 𝑶+𝒋 𝑬𝒊𝒋 = 𝒏


Feltéve, hogy a két változó független, a kontingencia táblázat oszlop illetve sorösszegeinek segítségével kiszámolhatók a várt gyakoriságok, minden cellához. 𝒔𝒐𝒓ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 × 𝒐𝒔𝒛𝒍𝒐𝒑ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 𝒗á𝒓𝒕 𝒈𝒚𝒂𝒌𝒐𝒓𝒊𝒔á𝒈 = 𝒎𝒊𝒏𝒕𝒂𝒆𝒍𝒆𝒎𝒔𝒛á𝒎 𝑶𝟏+ 𝑶+𝟏 𝑬𝟏𝟏 = 𝑩𝟏 𝒏 𝑩𝟐 𝑨𝟏

𝑩𝒄

𝑬𝟏𝟏

Sor összeg 𝑂1+

𝑨𝟐

𝑂2+

⋮

⋮

𝑨𝒓

𝑂𝑟+


Krisztina Boda

…

𝑂+1

𝑂2+

⋯

𝑂𝑠+

𝑛


Feltéve, hogy a két változó független, a kontingencia táblázat oszlop illetve sorösszegeinek segítségével kiszámolhatók a várt gyakoriságok, minden cellához. 𝒔𝒐𝒓ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 × 𝒐𝒔𝒛𝒍𝒐𝒑ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 𝒗á𝒓𝒕 𝒈𝒚𝒂𝒌𝒐𝒓𝒊𝒔á𝒈 = 𝒎𝒊𝒏𝒕𝒂𝒆𝒍𝒆𝒎𝒔𝒛á𝒎 𝑩𝟏 𝑶

𝑨𝟏

𝑨𝟐

𝑬𝟏𝟏

𝟐+

+𝟏

…

𝑩𝒄

𝒏

Sor összeg 𝑂1+

𝑬𝟐𝟏

𝑂2+

⋮

⋮

𝑨𝒓

𝑂𝑟+


Krisztina Boda

𝑬𝟐𝟏 =

𝑶𝑩𝟐

𝑂+1

𝑂2+

⋯

𝑂𝑠+

𝑛


Feltéve, hogy a két változó független, a kontingencia táblázat oszlop illetve sorösszegeinek segítségével kiszámolhatók a várt gyakoriságok, minden cellához. 𝒔𝒐𝒓ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 × 𝒐𝒔𝒛𝒍𝒐𝒑ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 𝒗á𝒓𝒕 𝒈𝒚𝒂𝒌𝒐𝒓𝒊𝒔á𝒈 = 𝒎𝒊𝒏𝒕𝒂𝒆𝒍𝒆𝒎𝒔𝒛á𝒎 𝑩𝟏

𝑩𝟐

…

𝑩𝒄

Sor összeg

𝑨𝟏

𝐸11

𝐸12

⋯

𝐸1𝑠

𝑂1+

𝑨𝟐

𝐸21

𝐸22

⋯

𝐸2𝑠

𝑂2+

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

⋮

𝑨𝒓

𝐸𝑟1

𝐸𝑟2

⋯

𝐸𝑟𝑠

𝑂𝑟+

Oszlop összeg

𝑂+1

𝑂2+

⋯

𝑂𝑠+

𝑛

2012.11.07

Krisztina Boda


A khi négyzet próbát két diszkrét változó közötti kapcsolat vizsgálatára használjuk. Azaz van-e kapcsolat a két változó (𝑋 és 𝑌) között, vagy függetlenek egymástól.



A khi-négyzet próba alkalmazhatóságának feltételei  az 5-nél kisebb várt gyakoriságot tartalmazó cellák száma legfeljebb az összes cella 20% -a. (Ehelyett gyakran

használjuk,

hogy

minden

cella

várt

gyakorisága legalább 5. Ez erősebb, de könnyebben ellenőrizhető feltétel.) Krisztina Boda

10


H0: a két változó független (𝑃 𝐴𝑖 𝐵𝑗 = 𝑃 𝐴𝑖 𝑃(𝐵𝑗 ))



H1: a két változó között van kapcsolat Próbastatisztika: 𝒓 𝒄 𝟐 (𝑶 − 𝑬 ) 𝒊𝒋 𝒊𝒋 𝝌𝟐 = 𝑬𝒊𝒋



𝒊=𝟏 𝒋=𝟏



Ha az előbbi feltételek teljesülnek, akkor a minta eloszlása 𝒓 − 𝟏 𝒄 − 𝟏 szabadságfokú 𝜒 2 eloszlással közelíthető (𝑟 és 𝑐 a sorok és oszlopok száma a kontingencia táblázatban)

Krisztina Boda

11


Döntés  ha 𝜒 2 < 𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 elfogadjuk a nullhipotézist, a két változó független  ha 𝜒 2 > 𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 , elvetjük a nullhipotézist, a két változó

között van kapcsolat

2012.11.07

Krisztina Boda


12

Khi-négyzet eloszlás 

n független standard normális eloszlású véletlen változó négyzeteinek összege khi-négyzet eloszlású n szabadságfokkal 0.30 0.25 df 2 0.20 df 3

0.15

df 5

0.10

df 10

0.05 0.00

0

2012.11.07

Krisztina Boda

5

10

15

20


25 13

Khi-négyzet tábla

𝛼 = 0.05

szabadságfok:10

kritikus érték: χ2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 = 18.31

2012.11.07

Krisztina Boda


14

Khi-négyzet próba Példa • Mondhatjuk-e, hogy az egyes típusú oltóanyagok ugyanúgy hatnak, azaz, lényegében azonos-e a

megbetegedettek aránya, vagy nem? védőoltás típusa

megbetegedés megjelenése Influenzában megbetegedett

Influenzában nem betegedett meg

TOTAL

Csak szezonális

43

237

280

Csak H1N1

52

198

250

Kombinált

25

245

270

TOTAL

120

680

800

2012.11.07

Krisztina Boda


15






Hipotézisek:  H0: a vakcina típusa és a megbetegedése megjelenése független  H1: a vakcina típusa és a megbetegedése megjelenése nem független Elsőfajú hiba 𝛼 = 0.05 Szabadsági fok 𝒅𝒇 = 𝑟 − 1 𝑐 − 1 = 3 − 1 2 − 1 = 2 ∗ 1 = 𝟐

2012.11.07

Krisztina Boda


16


Számoljuk ki a várt gyakoriságokat

𝒔𝒐𝒓ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 ∗ 𝒐𝒔𝒛𝒍𝒐𝒑ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 𝒗á𝒓𝒕𝒈𝒚𝒂𝒌𝒐𝒓𝒊𝒔á𝒈 = 𝒎𝒊𝒏𝒕𝒂𝒆𝒍𝒆𝒎𝒔𝒛á𝒎 Number getting influenza Seasonal only

42

H1N1 only

Number not getting influenza

𝟐𝟖𝟎 ∗ 𝟏𝟐𝟎 𝟖𝟎𝟎

Combined TOTAL

2012.11.07

Krisztina Boda

TOTAL 280 250

270 120

680


800

17



𝒔𝒐𝒓ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 ∗ 𝒐𝒔𝒛𝒍𝒐𝒑ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 𝒗á𝒓𝒕𝒈𝒚𝒂𝒌𝒐𝒓𝒊𝒔á𝒈 = 𝒎𝒊𝒏𝒕𝒂𝒆𝒍𝒆𝒎𝒔𝒛á𝒎

Seasonal only


42

238

𝟐𝟖𝟎 ∗ 𝟔𝟖𝟎 TOTAL 𝟖𝟎𝟎 280

H1N1 only

250

Combined

270

TOTAL

2012.11.07

Krisztina Boda

Number getting influenza

120

680


800

18




Seasonal only H1N1 only



TOTAL

42

238

280

37.5

Combined TOTAL

2012.11.07

Krisztina Boda

120

𝟐𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟐𝟎 𝟖𝟎𝟎 680


250

245 800

19




Seasonal only H1N1 only



42

238

37.5

212.5

Combined TOTAL

2012.11.07

Krisztina Boda

TOTAL

𝟐𝟓𝟎 ∗ 𝟔𝟖𝟎 280 𝟖𝟎𝟎 250

270 120

680


800

20




Seasonal only


TOTAL

42

238

280

H1N1 only

37.5

Combined

40.5

TOTAL

120

2012.11.07

Krisztina Boda


𝟐𝟕𝟎 212.5 ∗ 𝟏𝟐𝟎 𝟖𝟎𝟎 680


250

270 800

21



𝒔𝒐𝒓ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 ∗ 𝒐𝒔𝒛𝒍𝒐𝒑ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 𝒗á𝒓𝒕𝒈𝒚𝒂𝒌𝒐𝒓𝒊𝒔á𝒈 = 𝒎𝒊𝒏𝒕𝒂𝒆𝒍𝒆𝒎𝒔𝒛á𝒎 Number getting influenza


42

238

H1N1 only

37.5

212.5

Combined

40.5

229.5

270

TOTAL

120

680

800

Seasonal only

2012.11.07

Krisztina Boda


TOTAL

𝟐𝟕𝟎 ∗280 𝟔𝟖𝟎 250 𝟖𝟎𝟎

22



𝒔𝒐𝒓ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 ∗ 𝒐𝒔𝒛𝒍𝒐𝒑ö𝒔𝒔𝒛𝒆𝒈 𝒗á𝒓𝒕𝒈𝒚𝒂𝒌𝒐𝒓𝒊𝒔á𝒈 = 𝒎𝒊𝒏𝒕𝒂𝒆𝒍𝒆𝒎𝒔𝒛á𝒎 Number getting influenza


TOTAL

42

238

280

H1N1 only

37.5

212.5

198

Combined

40.5

229.5

245

TOTAL

120

680

800

Seasonal only

2012.11.07

Krisztina Boda


23

Khi-négyzet próba Példa Minden cella esetén számoljuk ki



(𝑶𝒊𝒋 −𝑬𝒊𝒋 )𝟐

megfigyelt gyakoriságok Number getting influenza


TOTAL

Seasonal only

43

237

280

H1N1 only

52

198

198

Combined

25

245

245

TOTAL

120

680

800

(𝟒𝟑 − 𝟒𝟐)𝟐 𝟒𝟐 Number getting influenza Seasonal only

várt gyakoriságok

𝑬𝒊𝒋

Number not getting influenza 0.0042

H1N1 only

0.0238 0.0238 5.6067

Combined

5.9321

1.0468

TOTAL

0.9894

TOTAL Number getting influenza


TOTAL

42

238

280

H1N1 only

37.5

212.5

198

Combined

40.5

229.5

245

TOTAL

120

680

800

Seasonal only

2012.11.07

Krisztina Boda


24




(𝑶𝒊𝒋 −𝑬𝒊𝒋 )𝟐 𝑬𝒊𝒋



TOTAL

Seasonal only

43

237

280

H1N1 only

52

198

198

Combined

25

245

245

TOTAL

120

680

800

várt gyakoriságok

(𝟐𝟑𝟕 − 𝟐𝟑𝟖)𝟐 𝟐𝟑𝟖 Number getting influenza


Seasonal only

0.0238

H1N1 only

5.6067

0.0042 0.9894

Combined

5.9321

1.0468

TOTAL

0.0042



TOTAL

42

238

280

H1N1 only

37.5

212.5

198

Combined

40.5

229.5

245

TOTAL

120

680

800

Seasonal only

2012.11.07

Krisztina Boda


25







TOTAL

Seasonal only

43

237

280

H1N1 only

52

198

198

Combined

25

245

245

TOTAL

120

680

800

várt gyakoriságok

(𝟏𝟗𝟖 − 𝟐𝟏𝟐. 𝟓)𝟐 𝟐𝟏𝟐. 𝟓 Number getting influenza


Seasonal only

0.0238

0.0042

H1N1 only

5.6067

Combined

5.9321

TOTAL

0.9894 0.9894

1.0468



TOTAL

42

238

280

H1N1 only

37.5

212.5

198

Combined

40.5

229.5

245

TOTAL

120

680

800

Seasonal only

2012.11.07

Krisztina Boda


26







TOTAL

Seasonal only

43

237

280

H1N1 only

52

198

198

Combined

25

245

245

TOTAL

120

680

800

várt gyakoriságok

(𝟐𝟓 − 𝟒𝟎. 𝟓)𝟐 𝟒𝟎. 𝟓 Number getting influenza


Seasonal only

0.0238

0.0042

H1N1 only

5.6067

0.9894

Combined

5.9321 5.9321

TOTAL

1.0468



TOTAL

42

238

280

H1N1 only

37.5

212.5

198

Combined

40.5

229.5

245

TOTAL

120

680

800

Seasonal only

2012.11.07

Krisztina Boda


27







TOTAL

Seasonal only

43

237

280

H1N1 only

52

198

198

Combined

25

245

245

TOTAL

120

680

800

várt gyakoriságok

(𝟐𝟒𝟓 − 𝟐𝟐𝟗. 𝟓)𝟐 𝟐𝟐𝟗. 𝟓 Number getting influenza


Seasonal only

0.0238

0.0042

H1N1 only

5.6067

0.9894

Combined

5.9321

TOTAL

1.0468 1.0468



TOTAL

42

238

280

H1N1 only

37.5

212.5

198

Combined

40.5

229.5

245

TOTAL

120

680

800

Seasonal only

2012.11.07

Krisztina Boda


28

Khi-négyzet próba Példa



Számoljuk ki a próbastatisztikát Number getting influenza


Seasonal only

0.0238

0.0042

H1N1 only

5.6067

0.9894

Combined

5.9321

1.0468

TOTAL

TOTAL

Adjuk össze a kiszámolt értékeket! 𝑟 𝑐 2 (𝑂 − 𝐸 ) 𝑖𝑗 𝑖𝑗 𝝌𝟐 = = 0.0238 + 0.0042 + 5.6067 + 0.9894 + 5.9321 𝐸𝑖𝑗 𝑖=1 𝑗=1

+ 1.0468 = 𝟏𝟑. 𝟔𝟎𝟑𝟎 2012.11.07

Krisztina Boda


29

Khi-négyzet próba Példa



Adjuk meg a kritikus értéket (táblázatból) (𝛼 = 0.05, 𝑑𝑓 = 2) 𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 = 5.99



Döntés: 13.6030 > 5.99 azaz 𝜒 2 > 𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

Elvetjük H0, a két változó nem független a megbetegedések száma nem azonos a három csoportban

2012.11.07

Krisztina Boda


30

Khi-négyzet próba Példa SPSS eredmények 𝜒2

𝑝 = 0.001

= 13.603

A feltételek teljesülnek 2012.11.07

Krisztina Boda


31

Khi-négyzet próba Példa SPSS eredmények

𝑝 = 0.001 < 𝛼 = 0.05 elvetjük a nullhipotézist

2012.11.07

Krisztina Boda


32

Speciális eset: 2 x 2-es táblázat Rizikófaktor YES

NO

TOTAL

1.csoport

a

b

a+b

2.csoport

c

d

c+d

TOTAL

a+c

b+d

n

Próbastatisztika: 𝟐 𝒏(𝒂 𝒅 − 𝒃 𝒄) 𝝌𝟐 = 𝒂 + 𝒃 𝒄 + 𝒅 𝒂 + 𝒄 (𝒃 + 𝒅)

2012.11.07

Krisztina Boda


33


Két különböző kezelés eredményét hasonlítjuk össze az alábbi táblázat szerint:

Kezelés

Kimenetel

2012.11.07

Krisztina Boda

Meghalt

Él

TOTAL

A

5

45

50

B

8

42

50

TOTAL

13

87

100


34


  

H0: a kezelés kimenetele független a kezelés típusától a populációban (azaz azonos arányban halnak meg a két csoportban) H1: a kezelés kimenetele függ a kezelés típusától ∝= 0.05 𝑑𝑓 = 1 2

𝑛(𝑎 𝑑−𝑏 𝑐)2 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 𝑎+𝑐 (𝑏+𝑑)



𝜒 =



𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 = 3.841



0.79 < 3.841 azaz 𝜒 2 < 𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒



Elfogadjuk a nullhipotézist, a két változó független

2012.11.07

Krisztina Boda

=

100(5∗42−8∗45)2 50∗50∗13∗87


= 0.79

35

SPSS output 

SPSS által számolt 𝑝 érték 0.372, ez nagyobb, mint ∝= 0.05, ennek alapján szintén elvetjük a nullhipotézist. Chi-Square Tests

Pearson Chi-Square Continuity Correctiona Likelihood Ratio Fisher's Exact Test Linear-by -Linear Association N of Valid Cases

Value ,796b ,354 ,802

,788

df 1 1 1

1

Asy mp. Sig. (2-sided) ,372 ,552 ,370

Exact Sig. (2-sided)


,554

,277

,375

100

a. Computed only f or a 2x2 table b. 0 cells (,0%) hav e expected count less than 5. The minimum expected count is 6,50.

2012.11.07

Krisztina Boda


36

Yates korrekció 

2 x 2 –es táblázat esetén a próbastatisztika értéke pontosabban számolható, ha az alábbi korrekciót alkalmazzuk. Yates korrekció csak akkor alkalmazható, ha a szabadságfok 1.

Próbastatisztik a Yates korrekcióval: 𝟏 𝒏( 𝒂 𝒅 − 𝒃 𝒄 − 𝟐 𝒏)𝟐 𝝌𝟐 = 𝒂 + 𝒃 𝒄 + 𝒅 𝒂 + 𝒄 (𝒃 + 𝒅)

2012.11.07

Krisztina Boda


37

Fisher féle egzakt teszt 

Fisher féle egzakt teszt a próbastatisztika kiszámítása helyett közvetlenül a p értéket számol.



Habár a gyakorlatban akkor használjuk, ha a kis elemszámú minták van, de nagy elemszám esetén is

pontos értéket ad.

2012.11.07

Krisztina Boda


38

Fisher féle egzakt teszt Példa 

Adott a következő gyakorisági táblázat HIV fertőzés

STDs

yes

no

total

yes

3

7

10

no

5

10

15

total

8

17

25

Van-e kapcsolat HIV fertőződés és STD között? (5%-os szinten).

2012.11.07

Krisztina Boda


39

Fisher féle egzakt teszt Példa 

A megfigyelt táblázat valószínűsége adott marginálisok (sor ill. oszlopösszeg) esetén. 𝑎+𝑐 ! 𝑏+𝑑 ! 𝑎+𝑏 ! 𝑐+𝑑 ! 𝑝= 𝑛! 𝑎! 𝑏! 𝑐! 𝑑!

2012.11.07

Krisztina Boda


40

Fisher féle egzakt teszt Példa megfigyelt gyakoriságok HIV Infection

STDs

yes

no

total

yes

3

7

10

no

5

10

15

total

8

17

25

𝑝𝑜𝑏𝑠 =

10! 15! 8! 17! = 0.3332 3! 7! 5! 10! 25!

lehetséges átrendezések HIV Infection

STDs

yes

no

total

yes

2

8

10

no

6

9

15

total

8

17

25

𝑝=

10! 15! 8! 17! = 0.2082 2! 8! 6! 9! 25!

𝑝=

10! 15! 8! 17! = 0.0595 1! 9! 7! 8! 25!

𝑝=

10! 15! 8! 17! = 0.6068 0! 10! 8! 7! 25!

HIV Infection

STDs

yes

no

total

yes

1

9

10

no

7

8

15

total

8

17

25

HIV Infection

STDs

yes

no

total

yes

0

10

10

no

8

7

15

total

8

17

25

2012.11.07

Krisztina Boda


41

Fisher féle egzakt teszt Példa megfigyelt gyakoriságok HIV Infection

STDs

yes

no

total

yes

3

7

10

no

5

10

15

total

8

17

25

𝑝𝑜𝑏𝑠 = 0.3332 A Fisher féle 𝑝 érték kiszámolásához az összes lehetséges átrendezés közül csak azokat kell figyelembe venni, amelyek legalább 𝑝 = 0.2082 annyira eltérők, mint a megfigyelt táblázat (most mind)

lehetséges átrendezések HIV Infection

STDs

yes

no

total

yes

2

8

10

no

6

9

15

total

8

17

25

HIV Infection

STDs

yes

no

total

yes

1

9

10

no

7

8

15

total

8

17

25

𝑝 = 0.0595

HIV Infection

STDs

yes

no

total

yes

0

10

10

no

8

7

15

total

8

17

25

2012.11.07

Krisztina Boda

Fisher féle 𝒑 érték = 0.3332 + 0.2082 + 0.0595 + 0.0059 = 𝟎. 𝟔𝟎𝟔𝟖

𝑝 = 0.0059


42

Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra

Illeszkedésvizsgálat khi-négyzet próbával 

Az illeszkedésvizsgálat célja annak meghatározása, hogy a mintaelemek adott eloszlású populációból származnak-e.



H0: 𝑋 változó eloszlása az adott eloszlás



H1: 𝑋 változó eloszlása nem az adott eloszlás

2012.11.07

Krisztina Boda


44

A változók eloszlása Diszkrét változó.





Kockajáték közben felmerül a gyanú, hogy szabályos-e a kocka. Kísérletképpen 120-szor feldobjuk a kockát.

Megfigyelt gyakoriságok

Folytonos változó Szeretnénk ellenőrizni, hogy egy folytonos változó (életkorok eloszlása) normális eloszlásból származik-e.

Az életkorok eloszlása

30 25 25

21 18

20

20

19

5

6

17

15 10 5 0 1

2012.11.07

Krisztina Boda

2

3

4

Khi-négyzet Khi-négyzet próbák próbák

45


Tegyük fel, hogy adott n elemű minta.



Készítsünk oszlopdiagramot vagy hisztogramot a változó típusának megfelelően. Mindkét esetében gyakoriságok sorozatát kapjuk: ezek a megfigyelt gyakoriságok.



Jelölje 𝑂𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑟 az 𝑖 -edik kategóriába esés gyakoriságát (𝑟 a kategóriák száma).



Jelölje p𝑖 , az 𝑖 -edik kategóriába esés valószínűségét a populációban. (az adott eloszlás esetén).



Ha ezek a valószínűségek ismertek, tiszta illeszkedésvizsgálatról beszélünk.



Krisztina Boda

Ha nem ismertek, akkor a mintából kell őket becsülni, ezért ekkor becsléses illeszkedésvizsgálatról beszélünk. Khi-négyzet próbák

46


Ha H0 igaz és 𝑛 nagy, akkor a relatív gyakoriságok a p𝑖 – k közelítései:



𝑝𝑖 =

𝑘𝑖 𝑛

→ 𝑘𝑖 = 𝑛 𝑝𝑖

megfigyelt gyakoriság



várt gyakoriság

Az alábbi próbastatisztika χ2 eloszlású (𝑟 − 1 − 𝑠) szabadság fokkal (ahol 𝑠 az eloszlás paramétereinek a száma 𝑟

𝜒2 = 𝑗=1

2012.11.07

Krisztina Boda

(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖 )2 = 𝐸𝑖

𝑟

𝑗=1

(𝑘𝑖 − 𝑛 𝑝𝑖 )2 𝑛 𝑝𝑖


47

Illeszkedésvizsgálat Példa 1. 



Kockajáték közben felmerül a gyanú, hogy nem szabályos a kocka. Kísérletképpen 120 dobást végzünk. H0: a kocka szabályos, minden dobás 1 egyformán valószínű, 𝑝𝑖 = . 6



Várható gyakoriságok minden kimenetel esetén: 1 𝑛 𝑝𝑖 = 120 ∗ = 20 6

Krisztina Boda


48

Illeszkedésvizsgálat Példa 1. Lehetséges kimenetelek:

1

2

3

4

5

6

Megfigyelt gyakoriságok:

25

18

21

17

20

19

Várt gyakoriságok:

20

20

20

20

20

20

6

χ2 = 𝑖=1

(𝑘𝑖 − 20)2 = 20

(25 − 20)2 +(18 − 20)2 +(21 − 20)2 +(17 − 20)2 +(20 − 20)2 +(19 − 20)2 =2 20 

𝒅𝒇 = 6 − 1 = 𝟓



𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 = 11.07



2 < 11.07, így elfogadjuk a nullhipotézist, és a kockát szabályosnak tekintjük

Krisztina Boda


49

Illeszkedésvizsgálat Példa 2. 



Kockajáték közben felmerül a gyanú, hogy nem szabályos a kocka. Kísérletképpen 120 dobást végzünk. H0: a kocka szabályos, minden dobás 1 egyformán valószínű, 𝑝𝑖 = . 6



Várható gyakoriságok minden kimenetel esetén: 1 𝑛 𝑝𝑖 = 120 ∗ = 20 6

Krisztina Boda


50

Illeszkedésvizsgálat Példa 2. Lehetséges kimenetelek:

1

2

3

4

5

6

Megfigyelt gyakoriságok:

5

18

21

17

20

36

Várt gyakoriságok:

20

20

20

20

20

20

6

χ2 = 𝑖=1

(𝑘𝑖 − 20)2 = 20

(5 − 20)2 +(18 − 20)2 +(21 − 20)2 +(17 − 20)2 +(20 − 20)2 +(36 − 20)2 = 30 20 

𝒅𝒇 = 6 − 1 = 𝟓



𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 = 11.07



30 > 11.07, így elvetjük a nullhipotézist, a kocka nem szabályos

Krisztina Boda


51

Illeszkedésvizsgálat Normalitásvizsgálat  



A következőkben az ún. becsléses illeszkedésvizsgálatra mutatunk be példát. Normalitás vizsgálat esetén általában nem ismerjük az eloszlás paramétereit, ezért azokat a mintából kell becsülni. Ezek segítségével fogjuk a 𝑝𝑖 -ket is megkapni. H0: a minta normális eloszlású populációból származik .

2012.11.07

Krisztina Boda


52

𝑟

Body height

𝜒2 =

30

𝑗=1

(𝑘𝑖 − 𝑛 𝑝𝑖 )2 𝑛 𝑝𝑖

20

ki

Frequency

10 Std. Dev = 8.52 Mean = 170.4

npi

N = 87.00

0 150.0

160.0 155.0

170.0 165.0

180.0 175.0

190.0 185.0

195.0

Body height

2012.11.07

Krisztina Boda


53

Gauss-papír alkalmazás Van egy egyszerű grafikus módszer a normalitás vizsgálatra. A "Gauss-papír" speciális koordináta rendszer, amelyben az tengely beosztása a normális eloszlás inverzének megfelelően van feltüntetve százalékokban. A minta eloszlásfüggvényét ebbe a rendszerbe belerajzolva normalitás esetén közelítőleg egy egyenest kapunk

http://www.hidrotanszek.hu/hallgato/Adatfeldolgozas.pdf

2012.11.07

Krisztina Boda


54

SPSS: Q-Q plot (quantile-quantile plot)

2012.11.07

Krisztina Boda


55

Egymintás próba egy esemény valószínűségére 

Egy városi kórházban 2146 szülés között 515 szülést császármetszéssel végeztek (CS) 2001-ben. Hasonlítsuk ezt az arányt az országos 22%-hoz. Eltér-e a kórházban végzett császármetszések aránya az országostól?



H0: p=22% HA: p22%





z

2012.11.07

Krisztina Boda

p1  p (515 / 2146)  0.22 0.24  0.22    2.234 0.0089 p(1  p) 0.22  0.78 n 2146


56

Ismétlő kérdések és feladatok  

    

A függetlenségvizsgálat célja, nullhipotézise Gyakorisági táblázat Megfigyelt és várható gyakoriságok A khi-négyzet próba feltétele Szabadságfok számítása khi-négyzet próba végrehajtásakor A khi-négyzet próba végrehajtása, döntés táblázat alapján és p-érték alapján 2x2-es táblázatok kiértékelése khi-négyzet próbával

2012.11.07

Krisztina Boda


57

Feladatok 





Harminc egyetemista lány között 10, ugyanennyi fiú között csak fele ennyi aktív sportolót találtak. Mondhatjuk-e ennek alapján, hogy a lányok közt magasabb a sportolók aránya? (5%-os szinten. (alfa=0.05, 2tabla=3.84)). Mi itt a nullhipotézis? Az egyetemi előadások elnéptelenedésének egyik szomorú megfigyelője úgy látta, hogy a fiúk kevésbé járnak órákra, mint a lányok. 30 fiúból mindössze 10 járt rendszeresen előadásokra, míg 90 lány közül éppen a fele. Alátámasztják ezek az adatok a lányok szorgalmasabb óralátogatását? (alfa=0.05, 2tabla=3.84)) Mi itt a nullhipotézis? Két gyógyszert hasonlítottak össze mellékhatások szempontjából, 60 önkéntes pacienst véletlenszerűen soroltak be a két kezelés valamelyikébe. Független-e a mellékhatás attól, hogy melyik gyógyszerről van szó? Mellékhatás volt

Mellékhatás nem volt

A

10

20

B

5

25

2012.11.07

Krisztina Boda


58

Feladatok 

Fiúkat és lányokat kérdeztek arról, vajon szükséges-e a biostatisztika. Értelmezze az alábbi SPSS outputot! Nem * A biostatisztika szükséges-e Crosstabulation

Nem

Fiú Lány

Total

Count % within Nem Count % within Nem Count % within Nem

A biostatisztika szükséges-e Igen Nem 72 7 91.1% 8.9% 142 14 91.0% 9.0% 214 21 91.1% 8.9%

Total 79 100.0% 156 100.0% 235 100.0%

Chi-Square Tests Value .001b .000 .001

Pearson Chi-Square a Continuity Correction Likelihood Ratio Fisher's Exact Test Linear-by -Linear .001 Association N of Valid Cases 235 a. Computed only f or a 2x2 table

df 1 1 1 1

Asy mp. Sig. (2-sided) .977 1.000 .977



1.000

.592

.977

b. 0 cells (.0%) hav e expected count less than 5. The minimum expected count is 7.06.

2012.11.07

Krisztina Boda


59

Khi-négyzet próbák. Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

Recommend Documents