Hogyan készüljünk fel? Az orvosi biofizika matema0kai és fizikai alapjai

Hogyan készüljünk fel? •  egyetem = önálló tanulás •  források:

Az orvosi biofizika matema0kai és fizikai alapjai

–  az előadásokon készíteN saját jegyzetek (kedd 1900–2020; csütörtök 1940–2100; EOK „SzentGyörgyi Albert” előadó; csak az első négy héten) –  Tölgyesi: Fizikai alapismeretek (e-könyv) –  honlap: biofiz.semmelweis.hu

1. előadás A biofizikai törvények megértéséhez szükséges minimális matema0ka. Fizikai mennyiségek és mértékegységeik 2017. szeptember 12. AGÓCS Gergely

•  tantárgyi követelmények •  előadásbeosztás és diák •  e-könyv

1

Hogyan készüljünk fel?

Agócs G.

Gál-Somku0 J. Mártonfalvi Zs.

Bozó T.

2

Hogyan készüljünk fel?

•  egyetem = önálló tanulás •  források:

•  egyetem = önálló tanulás •  források:





3

előadásdiák (folyamatosan lesznek feltöltve)

e-könyv

4

Szimbólumok használata a tudományban

Tudományos számírás (normálalak)

A tudományok rengeteg la0n és görög betűs szimbólumot (illetve ezek kombinációit) használnak, így a görög ábécé megtanulása elengedhetetlen.

a legjobb számológép egy orvostanhallgató számára

még elfogadható (de kevésbé prak0kus)

Azonban a mennyiségek és mértékegységek száma sokkal nagyobb, mint a jelzésükre rendelkezésre álló betűk száma, ami félreértéshez vezethet. EmiaN lényeges a KONTEXTUS!

nem megengedeN

kétértelműség! általános konstans

fénysebesség

VIGYÁZAT!

c és C

inkonzisztencia! például:

sűrűség

Celsius

például:

sebesség kapacitás és

szorzás

kondenzátor frekvencia

Szögek

programozható, grafikus kijelző

arányosság

koncentráció (többféle)

5

6

Trigonometrikus függvények

– shis – setup – 3 (fok) – 4 (radián)

fordulat degree = fok: hagyományos egység radián: tudományos egység, ív/sugár 1 fordulat = 360° = 2π rad 1° = 60ʹ = 3600″

fok: hagyományos egység radián: tudományos egység, ív/sugár 1 fordulat = 360° = 2π rad

kis szögekre (<10° ≈ 0.2 rad): sin(α) ≈ α [rad] ≈ tan(α)

a

D: degrees (fok) mód R: radián mód

lineáris bevitel

szöggel szemközM befogó

természetes számkijelzés

ρ [rhó] d v c × · * f ν [nü] ~

α b

szög melleJ befogó

teljes fordulat 360° 2π radián

fél fordulat 180° π radián

negyed fordulat 90° π/2 radián

1/8 fordulat 45° π/4 radián

szinusz: sin(α) = a/c koszinusz: cos(α) = b/c tangens: tan(α) = tg(α) = a/b 7

8

Mi a függvény?

Lineáris függvény

Egy halmaz elemeinek egyértelmű hozzárendelése egy másik halmaz elemeihez ALAPHALMAZ INPUT (ARGUMENTUM, (DOMAIN) FÜGGETLEN VÁLTOZÓ) x 1 2 3 5 1 5 -1 2 3 -1 0 4 0 4

INTEGRÁLIS ALAK

x f(x) or y = f(x)

függő változó

VÁLTOZÓK:

ha x = 0 akkor y = b

független változó

ha Δx = 1 akkor Δy = a a = Δy/Δx = tanα 10

y = a · x + b

y

y = 0.5x + 3

Δy

5

a függvény mint “gép”

x

–1

0

1

2

3

4

5

f(x) 1

0

1

4

9

16 25

meredekség PARAMÉTEREK:

α

y-tengely- metszet

Δx

x

0

9 1 4 0 16 25 OUTPUT (ÉRTÉK, FÜGGŐ VÁLTOZÓ) f(x) or y

1

4

9 0

25

f a függvény, amely kapcsolatot teremt x és f(x) közöN

16

KÉPHALMAZ (RANGE)

10

y-ra explicit: y = a · x + b x-re explicit: x = (y – b) / a 10

-10

Exponenciális függvény: 1. példa 4500000

#2: fényelektromos jelenség (II.37) Ekin= hf–Wem Ekin = · f + (–Wem)

baktériumok száma

4000000 3500000

+20

y = a · x + b

+20 +20

2500000

+20

2000000

+20

#4: Ohm törvénye R = U/I I = 1/R · U + 0

1500000

+20

1000000

y = a · x + b

eltelt idő (min)

baktériumok száma

0

1

20

2

40

2·2=22=4

60

4·2=23=8

80

24=16

100

25=32

120

26=64

…

…

baktériumok száma = 2t/20min

500000

y = a · x + b

5

-5

9

3000000

#3: gyengítési együNható (II.85) μ = μm·ρ μ = μm · ρ + 0

0

“DIFFERENCIÁLIS” ALAK A függő változó megváltozása arányos a független változó megváltozásával

a Biofizika KépleNárból

y = a · x + b

-5

Δy ~ Δx

Lineáris függvény: példák #1: egyetemes gáztörvény (I.35) pV = nRT (ha n & V állandó) p = nR/V · T + 0

-10

x f(x) or y = f(x)

×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2

idő/min

0 11

0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 12

Exponenciális függvény: 2. példa 250000

adósság/€

200000

+1 +1

150000

+1 +1 +1

100000

+1 50000

Exponenciális függvény: 3. példa radio- ak0vitás/ PBq 90

100

eltelt idő (év)

adósság €-ban (éves kamat: 20%)

0

1000 (tőke)

1

1000 · 120% = 1200

2

1000 · 120%2 = 1440

3

1000 · 120%3 = 1728

4

1000 · 120%4 = 2074

5

1000 · 120%5 = 2488

6

1000 · 120%6 = 2986

…

…

80

×1.2 ×1.2

60

×1.2

50

×1.2 ×1.2

15

20

ha x = 0 akkor y = y0

y = b · ax GYAKORLATI MEGFONTOLÁSOK: •  az alap legyen e (esetleg 2 vagy 10) •  emiaN új szorzóparamétert kell bevezetni a kitevőben: p vagy 1/k •  a kitevő előjele negaäv •  b–t inkább jelölje y0 VÁLTOZÓK:

függő változó

független változó

y = y0 · e–px = y0 · e–x/k preexponenciális együNható PARAMÉTEREK: együNható a kitevőben

+30

25

30 13

0

85 (kezde0 mennyiség)

30

85 / 2 = 85 · 2–1 = 43.5

60

85 / 22 = 85 · 2–2 = 21.3

90

85 / 23 = 85 · 2–3 = 10.6

120

85 / 24 = 85 · 2–4 = 5.3

150

85 / 25 = 85 · 2–5 = 2.7

180

85 / 26 = 85 · 2–6 = 1.3

…

…

×1/2 ×1/2 ×1/2 ×1/2 ×1/2 ×1/2

y

0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150 14

Exponenciális függvény: linearizáció y = 5e-0.25x

INTEGRÁLIS ALAK

y = y0 · e–px 1/p 5

x

10

grafikus linearizáció ábrázoljuk y-t logos skálán x függvényében: a kapcsolat lineárisnak tűnik, de továbbra is exponenciális

y0/e -5

idő/év

radioakMvitás = 85 PBq · 2–t/30év 0

ha y = y0/e akkor x = 1/p = k 10

10 0

5

-10

+30

Csernobilból származó Cs-137 aknvitása/PBq (felezési idő: 30 év)

20

Exponenciális függvény INTEGRÁLIS ALAK

+30

30

idő/év 10

+30

40

0 5

+30

×1.2

adósság = 1000€ · 1.2t/1év 0

+30

70

eltelt idő/ év

y

y = 5e-0.25x

1 -10

-5

10

0

5

x 10

5

x 10

0.1 1

logy

–px y-ra explicit: y = y -5 0 · e x-re explicit: x = ln(y / y0) / (–p)

0.5

„DIFFERENCIÁLIS” ALAK

0

-10

Δy/y ~ Δx

A függő változó relaqv megváltozása arányos a független változó megváltozásával 15

metszet = log(y0) számtani linearizáció log(5) = 0.699 ábrázoljuk log(y)-t x függvényében: meredekség = – p·log(e) a kapcsolat lineáris –0.25·log(e) = –0.1086

-10

-5

0

-0.5

y = -0.1086x + 0.699 -1

16

Exponenciális függvény: példák

Hatványfüggvény: példa


#1: sugárzásgyengülés törvénye (II.11)

#2: Boltzmann-eloszlás (I.25)

J = J0 · e–µx

y = y0 · e–px

tömeg ~ térfogat ~ [test]hossz3 felület ~ [test]hossz2

ni = n0 e–Δε/(kT)

y = y0 · e–x/k

#3: bomlástörvény (II.96)

#4: RC-kör kisülése (VII.2)

N = N0 e–λt

U = U0 e–t/(RC)

y = y0 · e–px

y = y0 · e–x/k 17

Hatványfüggvény INTEGRÁLIS ALAK függő független VÁLTOZÓK: változó változó

y = b · xa preexpoPARAMÉTEREK: nenciális együNható

100

grafikus linearizáció y ábrázoljuk y-t és x-et is logos skálán: a kapcsolat lineárisnak tűnik, de továbbra is hatványos

y

INTEGRÁLIS ALAK

y = x2

y = b · xa

15

kitevő

y-ra explicit: y = b · xa

x-re explicit: x = (y / b)1/a “DIFFERENCIÁLIS” ALAK

Δy/y ~ Δx/x

Hatványfüggvény: linearizáció

ha x = 1 akkor y = b 20

A függő változó relaqv megváltozása arányos a független változó relaqv megváltozásával

18

10

y = x2 10

x

1 2

1

10

100

logy

5

x

0 0

5

10

a fordítou arányosság és a gyökfüggvény is hatványfüggvény

15

20

19

y = 2x

1.5

1

metszet = log(b) számtani linearizáció log(1) = 0 0.5 meredekség = a ábrázoljuk log(y)-t log(x) függvényében: a kapcsolat lineáris a = 2 0

logx 20 0

0.5

1

1.5

2

Hatványfüggvény: példák

Hatványfüggvény: példa Allometrikus skálázódás (pl. Kleiber-törvény)


tömeg ~ térfogat ~ [test]hossz3 felület ~ [test]hossz2

#1: de Broglie-hullámhossz (I.3) λ = h/p

λ = h · p–1

óránkén0 hőtermelés ~ tesNömeg3/4

y = b · xa #3: Duane–Hunt-törvény (II.80) hc λmin = eUanode

λmin = hc/e U–1

21

y = b · xa

#2: Stefan–Boltzmann-törvény (II.41)

Mfekete = σ T4

y = b · xa #4: a sajáårekvencia tömegfüggése (Rezonancia 6) 1 k f0 = 2 π m

f0 = k1/2/(2π) · m–1/2

y = b · xa

22

Hogyan készüljünk fel? Az orvosi biofizika matema0kai és fizikai alapjai

Recommend Documents