Kettős és többes integrálok 1) f (x, y) = 2x2 + 3xy + 4y 2 kettős integrálja az 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 tartományon Megoldás: Z3 Z2
2
2x + 3xy + 4y dx dy =
0
0
=
Z3 0
2
Z3
2x3 3x2 + y + 4xy 2 3 2
0
2
dy =
1
Z3 16 9 2 3 14 2 2 + 6y + 8y − − y − 4y dy = 4y 2 + y + dy = 3 3 2 2 3 0
4 3 9 2 14 y + y + y = 3 4 3
3
432 + 234 + 168 843 108 81 42 + + = = = 70,25 = 3 4 3 12 12 0 r p π 2 2 , 0 ≤ y ≤ π2 tartomá2) f (x, y) = xy sin x + y integrálja a 0 ≤ x ≤ 2 nyon Megoldás: √π √π Z 2Z 2
√π Z 2
√ π 1 − y cos x2 + y 2 0 2 = 2 0 0 0 √π √π Z 2 Z 2 π 1 1 1 2 2 2 + y 2 dy+ − y cos x + y + y cos y dy = − cos = 2 2 2 2 0 0 √π √ √ π2 Z 2 π2 1 π 1 1 2 2 2 + + = y cos y dy = − sin +y sin y 2 4 4 4 0 0 xy sin x2 + y 2 dx dy =
0
1 π 1 2 1 = sin + = = 4 2 4 4 2 3) f (x, y) = ex+y integrálja az 1 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2 tartományon Megoldás: Z2 Z4
x+y
e
y
e dy
1
=
2 [ey ]1
Z4
ex dx =
1
1
1
= e2
dx dy =
Z2
= e − e e4 − e = e6 − e5 − e3 + e2 = e4 − e3 − e + 1 = 242,3191534 4 [ex ]1
2
1
√ y, 0 ≤ y ≤ 1 tartományon
4) f (x, y) = x2 + y integrálja az y 2 ≤ x ≤ Megoldás: √
Z1 Z y
=
0 y2
=
"
5) f (x, y) =
Z1
x3 + xy 3
0
5
√y
dy =
y2
5
2y 2 y7 2y 2 y4 − + − 15 21 5 4
p
Z1 0
#1
=
0
3
3 y6 y2 − + y 2 − y 3 dy = 3 3
2 1 2 1 99 33 − + − = = 15 21 5 4 420 140
4x2 − y 2 integrálja a 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ x ≤ 1 tartományon
Megoldás: A módszer: y szerinti integrálás (határozatlan integrál). r Z Z r y 2 y2 ∗ 2x 1 − 2 dy = 2x dy = 1− 4x 2x
Helyettesítéses integrál:
y = sin u → cos u = 2x
r
1−
y 2 , dy = 2x cos u du 2x
A csillagos egyenletet tovább alakítva: Z Z 4 1 1 + cos 2u ∗∗ ∗ du = 4x2 + sin 2u = = 4x2 cos2 u du = 4x2 2 2 4 A visszahelyettesítés: u = arcsin
y , 2x
valamint 1 1 y 1 sin 2u = sin u cos u = 4 2 2 2x
r
1−
y 2 2x
Ezzel a két csillagos egyenlet: !# " r y 2 x 1 y y 1 ∗∗ 2 2 1− + 4x arc sin = = 4x 2 2x 2 2x 2x 0 s √ 1 x3 1 2 3 2 2 = π+x = 2x arcsin +x 1 − 2 3 2 | {z 2} π 6
Az integrál ezzel: π 3
Z1 0
√ Z1 3 2 x dx + x2 dx = 2 0
2
√ ! 3 1 √ 3 3 x π π + = + 3 2 3 0 9 6
Határozzuk meg az alábbi függvények kettős integrálját a rajzban megadott (piros vonallal körbezárt) tartományon kétszeres integrálással! 6) f (x, y) = x2 + y 2
y 1 y=
√ x
y = x2 0 x 0
Z1 y= Z 0
√
2
x +y
y=x2
"
= −
x 2
1
√x Z1 Z1 3 5 x6 x2 y3 2 dx = −x4 − + x2 + dx = x y+ dy dx = 3 x2 3 3 0
0
7 2
5 2
x7 2x 2x x5 − + + 5 21 7 3·5
#1 0
1 1 2 2 6 =− − + + = 5 21 7 15 35
7) f (x, y) = 2y + x + 2
y 1 y=
1 x
1 3
0 x 0
1
3
3
1
Z3 Zx 1
(2y + x + 2) dy dx =
Z3 1
0
2 1 y + xy − 2y 0x dx =
Z3
x−2 + 1 + 2x−1 dx =
1
3 8 1 = −x−1 + x + 2 ln x 1 = − + 3 + 2 ln 3 = + 2 ln 3 = 4,863 3 3
8) f (x, y) = xey
y 1
y=x y = x2
0 x 0
Z1 Zx
y
xe dy dx =
0 y=x2
Z
x2 [xey ]x
1
dx =
Z1 0
x2
x
xe − xe
∗
dx =
1 2 x − 1e − ex 2 x
1
1 3−e 1 =− e+1+ = 2 2 2 A csillaggal jelölt átalakításhoz felhasználtuk az alábbi paricális integrált: Z Z xex dx = xex − ex dx = (x − 1) ex 9) f (x, y) = x2 + y 2
y
3
1
0
x 0
1
2
4
3
0
=
A területet három részterületre bontjuk. Az egyes területekre számolt integrálok: x Z1 Z1 y=x Z Z1 3 Z1 y3 x3 4x 2 2 2 3 x y+ x + y dy dx = dx = dx = dx = x + 3 0 3 3 0
0 y=0
= Z2 Z1 1
0
0
0
4 1
x 3
0
=
1 3
1 Z2 Z2 1 y3 2 2 dx = x + dx = x y+ x + y dy dx = 3 y=0 3 2
2
1
1
2 x3 1 8 8 2 1 1 = + x = + − − = 3 3 1 3 3 3 3 3
3−x Z3 Z3 Z Z3 3−x 3 (3 − x) y3 2 2 2 dx = dx = x2 (3 − x) + x y+ x + y dy dx = 3 0 3 2
2
2
0
#3 3 − x4 81 x4 1 3 = 27 − = x − − −0−8+4+ = 4 12 4 12 "
2
17 = 6 A teljes integrál:
2 16 17 35 + + = 6 6 6 6
Határozzuk meg az alábbi függvények kettős integrálját egyenletük által megadott görbékkel határolt tartományon kétszeres integrálással! 10) f (x, y) = x + y, T : x = 0; y = 0; x + y = 2
y
2
1
0
x 0
1
5
2
2−x Z2 2−x Z2 Z Z2 2 y2 (2 − x) xy + (x + y) dy dx = dx = dx = 2x − x2 + 2 0 2 0
0
0
"
= x2 −
0
3
(2 − x) x3 − 3 3·2
#2 0
=4−
8 8 −0−0+0+ = 3 6
12 − 8 + 4 8 = = 3 3
11) f (x, y) = 1 + 12 x − y, T : y = x2 − 4; y = 0 y
0
x
−2
−4 −2
0
2
0 Z2 Z0 Z2 1 1 y2 1 + x − y dy dx = y + xy − dx = 2 2 2 x2 −4
−2 x2 −4
=
Z2
−2
=
Z2
−2
=
Z2
−2 32 5
−2
2 1 x2 − 4 2 − x −4 − x x −4 + dx = 2 2 2
Z2 4 x − 4x2 − x3 + 4x − 6x2 + 24 1 x2 − 4 dx = dx = x − 4 −1 − x + 2 2 2 2
x4 − x3 − 10x2 + 4x + 24 dx = 2
+ 8 + 48 + 32 5 + 2 12,8 − 53,333 + 96 = 27,733 = 2
=
−
16 4
− 10 ·
8 3
"
16 4
6
−2
5
x 5
−
x4 4
3
− 10 x3 + 2x2 + 24x 2
#2
=
−2
− 10 ·
8 3
− 8 + 48
=
64 5
−
160 3
2
+ 96
=
12) f (x, y) = 4 − y 2 , T : y = 2 − x2 ; y = x2 − 2
y
2
y = 2 − x2
0
x
y = x2 − 2 −2 √ − 2
0
√
2
2
Z Z 2 2−x
√ − 2 x2 −2
√
∗ 4 − y 2 dy dx =
Az y szerint integrálva: 3 3 2−x2 2 − x2 x2 − 2 y3 2 2 4y − =4 2−x − −4 x −2 + = 3 x2 −2 3 3 2 6 = x − 6x4 + 16 3
A csillagos egyenlet ezzel: √
2 = 3 ∗
=
Z2
√ − 2
2 x7 x5 x − 6x + 16 dx = − 6 + 16x = 3 7 5 6
4
√ √ 4 4 2 2 864 576 2 8 8 2 √ − 6 · + 16 + − 6 · + 16 = = 2 3 7 5 7 5 3 35 35
13) f (x, y) = x2 + y 2 ; T : (0, 0) , (3, 0) , (0, 2) csúcsokkal rendelkező háromszög
7
y 2
2 y =2− x 3
1
0
x 0
1
2
3
2 3 2− 32 x Z3 Z3 Z3 2− Z 3x 2 − 23 x 2 y3 2 2 2 2 dx = dx = x 2 − x + x y+ x + y dy dx = 3 0 3 3
0
0
0
0
=
1 3
Z3 0
−
62 3 78 2 24 x + x − x + 8 dx = 27 9 3
3 62 x4 78 x3 24 x2 1 − + − + 8x = 6,5 = 3 27 4 9 3 3 2 0 RR 14) Alakítsuk át az f (x, y) dT kettős integrált kétszeres integrállá kétféleképpen, ha a T tartomány: (a) A tartomány:
y R
0 x
−R 0
−R
8
R
(1) ZZ
ZR
f (x, y) dT =
(T )
−R
=
ZR
√
R Z2 −x2
f (x, y) dy dx +
0 √ R Z2 −x2
ZR
√
Z0
−R − R2 −x2
f (x, y) dy dx
√ −R − R2 −x2
(2) ZZ
f (x, y) dT =
√
R2 −y 2
ZR
−R −
√
Z
f (x, y) dx dy
R2 −y 2
(b) A tartomány: y a
x+y =a
0 x a
0
(1) ZZ
Z Za a−x f (x, y) dy dx f (x, y) dT =
ZZ
Za a−y Z f (x, y) dx dy f (x, y) dT =
0
0
(2)
0
(c) A tartomány:
9
0
f (x, y) dy dx =
y
2
x+y =2
1
y = x2 0
x 0
1
(1) ZZ
f (x, y) dT =
Z1 0
y=2−x Z
dy dx
y=x2
(2) ZZ
√
Z1 Z y Z2 2−y Z f (x, y) dT = f (x, y) dx dy + f (x, y) dx dy 0
15) Rajzoljuk fel az
R1
0
1
0
2
4−x R
f (x, y) dy dx integrál integrálási tartományát!
−2 x2 +2x y
4 y = 4 − x2
2
y = x2 + 2x 0
x
−1 −2
0
−1
1
16) Meghatározandó a z = xy függvény kettős integrálja a P1 (1, 1), P2 (4, 5), P3 (4, 2) pontok által meghatározott tartományban. A P1 P2 oldal egyenlete: y−1=
4 4 1 (x − 1) ill. y = x − 3 3 3 10
A P1 P3 oldal egyenlete: y−1=
1 1 2 (x − 1) ill. y = x − 3 3 3
A P2 P3 oldal egyenlete: x = 4. 4 1 y= x+ 1 Z4 2 y= 4x Z4 Z3 3 3 −3 y dx = x xy dy dx = 2 y= x + 2 1 2 3 3
x=1
=
x 2
"
=
Z4
x 2
1
1
1 = 18
Z4 1
=
x=1
y= 3 x+ 3
Z4
1 6
Z4 1
4 1 x− 3 3
2
−
2 1 x+ 3 3
2 #
dx =
16 2 8 1 1 4 4 x − x + − x2 − x − 9 9 9 9 9 9
dx =
15x3 − 12x2 − 3x dx = 5x3 − 4x2 − x dx =
4 44 1 16 5 4 1 1 5 4 4 3 1 2 3 5·4 − = 37,875 x − x − x = − − − − = 6 4 3 2 6 3 2 4 3 2 1 17) Számítsuk ki kettős integrállal az R sugraú gömb térfogatát!
y R
√
0
R2 − x2
x
x √ − R2 − x2
−R 0
−R
11
R
√ Az x-re és y-ra az integrálás határai: −R ≤ x ≤ R és − R2 − x2 ≤ y ≤ √ R2 − x2 . A gömb xy koordinátasík fölé eső részének térfogata: √
ZR
V = 2
R Z2 −x2
√
x=−R y=− R2 −x2
p
R2 − x2 − y 2 dy dx
Az R2 − x2 = k 2 jelölés bevezetésével ez az integrál: √
R Z2 −x2
p
√ − R2 −x2
R2
−
x2
−
y2
dy =
Zk p
k2
−
y2
dy = k
−k
Zk r
1−
−k
y 2 k
∗
dy =
Az ky = sin u helyettesítés alkalmazásával a határok, a dy és az intergrandus megváltozik: ( y = −k -ra sin u = −1 → u = − π2 y = k sin u =⇒ y = +k -ra sin u = 1 → u = π2 dy = k cos u du Ebből az integrálás: ∗
=k
Zk r
−k
π
1−
y 2 k
du = k
Z2 p
−π 2
π
1 − sin2 u k cos u du = k 2
Z2
cos2 u du =
−π 2
π
=k
2
Z2
−π 2
=
k2 2
(
π sin 2u 2 k2 1 + cos 2u u+ du = = 2 2 2 −π 2
π sin 2 π2 + − 2 2
−
!) π
π sin 2 − 2 + 2 2
= k2
π 2
+
π π 2 = k 2 2
Visszahelyettesítve a külső integrál: ZR
R x3 π π 2 2 2 R x− = R − x dx = 2 2 3 −R −R ( !) 3 1 R3 π 4 (−R) 1 R3 R3 π π 3 3 1− +1− = − −R − · R − = = 2 3 3 2 3 3 2 3
V = 2
Tehát a térfogat: V =
4R3 π . 3
18) Számítsuk ki az R térfogatú gömb térfogatát úgy is, hogy polárkoordinátákra áttérünk! 12
p A gömb egyenlete: z = R2 − x2 − y 2 Az új koordináták: x = r cos ϕ, és y = r sin ϕ. √ Az egyenlet az új koordinátákban: z = R2 − r2 . A Jacobi-determináns: ∂x ∂x cos ϕ −r sin ϕ ∂r ∂ϕ ∂y ∂y = ∂r ∂ϕ sin ϕ r cos ϕ
=r
Az integrálás mértéke: dx dy = r dr dϕ, és az új határok: 0 ≤ 0 ≤ ϕ ≤ 2π. R Z2π ZR p Z2π 1 R2 − r2 23 V − = r R2 − r2 dr dϕ = 3 2 2 2 ϕ=0
=
Z2π
r=0
ϕ=0
r ≤ R,
r=0
R3 2R3 π dϕ = 3 3
dϕ =
0
19)ZKiszámítandó az egységsugarú pozitív negyedkörben a következő integrál: Z 1 p dT . x2 + y 2 + 1 y 1
0 x
−1 −1
0
1
Polárkoordinátákat bevezetve: 1 p
x2
+
y2
+1
13
=√
1 +1
r2
A határok: 0 ≤ r ≤ 1 és 0 ≤ ϕ ≤ π Z2 Z1
ϕ=0
r=0
√
r r2
+1
dr
1 Z 2 r +1 1 = 1 2 2 π 2
ϕ=0
1 2
dϕ =
r=0
π 2;
dx dy = r dr dϕ.
π Z2 Z1
ϕ=0
r=0
π 2
dϕ =
1 − r r2 + 1 2 dr dϕ =
Z √ √ π π √ 2 − 1 dϕ = 2 − 1 [ϕ]02 = 2−1 2
ϕ=0
2
20) Számítsuk ki az x2 + y 2 + z 2 − 4a2 = 0 gömb és (x − a) + y 2 − a2 = 0 henger közös részének térfogatát! (Viviani-féle test)
1. ábra. A Viviani-féle test 3D modellje
14
y a
ϕ os
ρ=
c 2a
ϕ
0
a
a
x
−a a
0
2a
p Az integrálandó függvény: z = 4a2 − (x2 + y 2 ). Az integrációs tartomány π π 2 a (x − a) + y 2 − a2 = 0 kör belseje, azaz 0 ≤ r ≤ 2aϕ és − ≤ ϕ ≤ . 2 2 Az integrálandó függvény tehát: V = 4
π Z2 2aZcos ϕp
ϕ=0
A belső integrál: 2aZcos ϕ
r=0
4a2 − r2 r dr
∗
dϕ =
3 i2a cos ϕ 1 2h 2 4a2 − r2 dr = − · 4a − r2 2 = 2 3 0 0 q q q 8a3 1 3 3 3 =− (4a2 − 4a2 cos2 ϕ) − (4a2 ) = − (1 − cos2 ϕ) − 1 = 3 3 3 8a = 1 − sin3 ϕ 3 r
p
Ennek a tovább alakításához szükségünk van a sin3 ϕ primitív függvényére, ( u = cos ϕ amihez felhasználjuk a helyettesítést: du = − sin ϕ dϕ Z
Z Z 1 − cos2 ϕ sin ϕ dϕ = sin3 ϕ dϕ = sin2 ϕ sin ϕ dϕ = Z cos3 ϕ u3 = − cos ϕ − 1 − u2 du = − u − =− 3 3
15
Innen az eredeti integrál: π
π 8a3 cos3 ϕ 2 = 1 − sin ϕ dϕ = ϕ + cos ϕ − 3 3 0 0 8a3 π 8a3 π 2 1 = = , −1+ − 3 2 3 3 2 3
3 ∗ 8a = 3
Z2
3
ahonnan
32a3 V = 3
π 2 − 2 3
.
21) Kiszámítandó a z = x2 − y 2 hiperbolikus paraboloid térfogata az r = a cos 2ϕ lemniszkáta egy hurokja felett.
y π 4 0
x π 4
a
0
Polárkoordinátákra térünk át. Az áttéréshez szükséges összefüggések: ( x = r cos ϕ π π , a határok: − ≤ ϕ ≤ , valamint 0 ≤ r ≤ a cos ϕ, 4 4 y = r sin ϕ és dx dy = r dr dϕ. Az intergrandus: x2 − y 2 = r2 cos2 ϕ − sin2 ϕ = r2 cos 2ϕ
A kérdéses térfogat fele:
π
V = 2
Z4
ϕ=0
a cos Z 2ϕ
r2 cos 2ϕr dr dϕ = ∗
r=0
A belső integrál: a cos Z 2ϕ
r3 cos 2ϕ dr =
r=0
r4 cos 2ϕ 4
16
a cos 2ϕ r=0
=
a4 cos5 2ϕ 4
Az eredeti integrál: π
π a4 sin 2ϕ sin5 2ϕ sin3 2ϕ 4 + − cos 2ϕ dϕ = = 4 2 5·2 3 0 0 a4 6 a4 8 a4 1 1 1 1 a4 = = = + − − · = 4 2 10 3 4 10 3 4 30 15 2 A cos5 2ϕ primitív függvénye (cos4 α = 1 − sin2 α kifejtésével): Z Z Z Z 5 4 cos 2ϕ dϕ = cos 2ϕ cos 2ϕ dϕ = cos 2ϕ dϕ + cos 2ϕ sin4 2ϕ dϕ− Z sin 2ϕ sin5 2ϕ sin3 2ϕ + − − 2 cos 2ϕ sin2 2ϕ dϕ = 2 5·2 3 a4 V = 2 4
Z4
5
1 2 függvény integrálja az (x − 1) + y 2 = 1 x2 + y 2 egyenletű kör belsejére vonatkozóan.
22) Kiszámítandó a z = p
y 1
ϕ
0
x
−1 1
0
2
π π A megadott tartomány határai polárkoordinátákkal: − ≤ ϕ ≤ és 0 ≤ 2 2 r ≤ 2 cos ϕ. Az integrál: π
Z2
−π 2
2Z cos ϕ 0
π
1 r dr dϕ = r
Z2
π
2 cos ϕ [r]0
dϕ =
−π 2
Z2
−π 2
π
2 cos ϕ dϕ = [2 sin ϕ]−2 π = 4 2
2
2
23) Integráljuk a z = x2 + y 2 függvényt az (x − 3) + (y − 2) egyenletű kör belsejére! 17
(
x = 3 + r cos ϕ , amivel a határok: 0 ≤ r ≤ 1 és y = 2 + sin ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π. A Jacobi determináns: r.
A transzformáció:
2
2
x2 + y 2 = (3 + r cos ϕ) + (2 + r sin ϕ) = 13 + 6r cos ϕ + 4r sin ϕ + r2 Az integrálás ezzel: Z1 Z2π 0
13 + 6r cos ϕ + 4r sin ϕ + r
0
= 2π
4 1
2
13r r + 2 4
2
r dϕ dr = 2π
Z1 0
13r + r3 dr =
= 13,5π
0
x2 y 2 + = 1 egyenletű ellipszis belsejére 24) Integráljuk a z = |2xy| függvényt az 9 4 vonatkozóan! ( x = 3r cos ϕ . Ezekből a határok: 0 ≤ r ≤ 1 A transzformáció képletei: y = 2r sin ϕ és 0 ≤ ϕ ≤ 2π. A Jacobi determináns: 3 cos ϕ −3r sin ϕ ∂x ∂ (x, y) ∂x = ∂r ∂ϕ = 6r ∂y = ∂ (r, ϕ) ∂y 2 sin ϕ 2r cos ϕ ∂r ∂ϕ Az integrál ezzel:
π
π
4
Z1 Z2 0
0
= 288
2 · 3r cos ϕ2r sin ϕ6r dϕ dr = 288 Z1 0
Z1 Z2 0
r2 sin 2ϕ dϕ dr =
0
π Z1 cos 2ϕ 2 2 r − dr = 144 r2 dr = 48 2 0 0
√ 1 − y2 − z2 , 0 ≤ y ≤ 1 − z2 , 0 ≤ z ≤ 1 25) Számítsuk ki a 0 ≤ x ≤ RRR nyolcadgömbre vonatkozólag az xyz dV integrált! √ √ √ 2 1−y 2 −z 2 Z1 Z Z1 Z1−z2 Z1−z 1 − y2 − z2 dy dz = xyz dx I= yz dz = dy 0 0 0 0 0 p
1 = 2
) 2 Z1 ( Z1 2 2 1 − z2 1 1 − z2 31 − z dz = −z −z z z 1 − z 2 dz = 2 4 2 8 0
=
1 8
Z1 0
0
1 z − 2z 3 + z 5 dz = 8
1 1 1 − + 2 2 6 18
=
1 48
x y z 26) Számítsuk ki az + + = 1 (a > 0, b > 0, c > 0) egyenletű sík és a a b c koordinátasíkok által határolt homogén test súlypontjának koordinátáit! A súlypont koordinátái: R R R x dx dy dz y dx dy dz z dx dy dz xS = R , yS = R , zS = R dx dy dz dx dy dz dx dy dz Az xS -t kiszámítjuk, a többi hasonlóan számítandó: Z
1−b( z ) a(1− yb − zc ) Z Zc Z c dz = dy x dx x dx dy dz = 0
0
0
z c b(1− c ) h i 2 Z Z 2 y z a ∗ 1− − dy dz = = 2 b c 0
0
a belső integrál az u = 1 −
y z − helyettesítéssel ( dy = b du): b c
b(1− zc )
Z 0
Tehát a2 b = 6 ∗
y z 2 1− − dy = − b c
Zc 0
Z0
bu2 du =
1− zc
a2 bc z 3 dz = − 1− c 24
"
z3 1− c
b z 3 1− 3 c
4 #c
0
=
a2 bc 24
A tetraéder térfogata, azaz a súlypont koordinátáiban a nevező: Z abc dx dy dz = 6 Ezzel a súlypont koordinátái: xS =
a , 4
yS =
19
b , 4
zS =
c . 4
