Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
1
Főbb pontok
Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra Yates – korrekcióval Fisher-féle egzakt teszt függetlenségvizsgálatra
Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
2
Bevezetés
I
Klinikai kutatások során gyakran felmerülő kérdés, hogy két diszkrét változó között van-e kapcsolat.
I
Példák: I Az influenzás megbetegedések aránya függ-e az oltóanyag típusától? I A betegség kimenetele függ-e a kezelés típusától? I Van-e kapcsolat a HIV fertőződések és a STD (szexuálisan terjedő betegségek) között?
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
3
Kontingencia táblázat Egy olyan táblázat, mely a megfigyelt gyakoriságokat tartalmazza, a két változó alapján csoportosítva. Az egyik változó kimenetelei kerülnek a sorokba, a másik váltózóé pedig az oszlopokba. B1
B2
...
Bc
Sorösszeg
A1
O11
O12
...
O1c
O1+
A2
O21
O22
...
O2c
O2+
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
Ar
Or 1
Or 2
...
Orc
Or +
Oszlopösszeg
O+1
O+2
...
O+c
n
.
.
.
Legyenek a két diszkrét változó (X , Y ) értékei: x1 , x2 , . . . xr és y1 , y2 , . . . yc az A1 , A2 , . . . Ar illetve B1 , B2 , . . . Bc kimenetelek esetén. n a megfigyelések száma Oi+ =
c P
Oij az Ai , i = 1, 2, . . . , r esemény gyakorisága (sorösszegek)
j=1 r
O+j =
P
Oij az Bj , j = 1, 2, . . . , c események gyakorisága (oszlopösszegek)
i=1
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
4
Várt gyakoriságok
A relatív gyakorisági eloszlását a sorösszegeknek marginális eloszlásnak hívjuk. Tegyük fel, hogy a két változó független, ekkor az eloszlások minden oszlop esetén azonosak. Minden oszlopra a marginális eloszlást feltételezve, kapjuk a várt gyakoriságokat: Eij =
várt gyakoriság =
Oi+ O+j n
sorösszeg × oszlopösszeg elemszám
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
5
Várt gyakoriságok
várt gyakoriság =
sorösszeg × oszlopösszeg elemszám
B1
B2
...
Bc
Sorösszeg
A1
E11
E12
...
E1c
O1+
A2
E21
E22
...
E2c
O2+
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
Ar
Er 1
Er 2
...
Erc
Or +
Oszlopösszeg
O+1
O+2
...
O+c
n
.
.
.
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
6
Főbb pontok
Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra Yates – korrekcióval Fisher-féle egzakt teszt függetlenségvizsgálatra
Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
7
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra
I
Célja: Annak a vizsgálata, hogy populációban van-e két diszkrét változó közötti kapcsolat.
I
Feltétele: A várt gyakoriságok legfeljebb 20%-a kisebb 5-nél. (Kis táblázat esetén ez azt jelenti, hogy a várt gyakoriságok mindegyike legalább 5.)
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
8
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra
I
Hipotézisek: I I
I
H0 : a két változó független. P(Ai Bj ) = P(Ai ) P(Bj ) H1 : a két változó között van összefüggés.
Próbastatisztika: χ2 =
r X c X (Oij − Eij )2 i=1 j=1
Eij
Ha két változó független, a próbastatisztika χ2 eloszlást követ (r − 1)(c − 1) szabadsági fokkal
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
9
Khi-négyzet eloszlás Ha X1 , X2 . . . Xm független, standard normális eloszlású véletlen váltom P zók, akkor X12 + X22 + . . . Xm2 = Xi2 khi-négyzet (χ2 ) eloszlást követ m i=1
0.3
szabadsági fokkal.
0.0
0.1
0.2
df=2 df=3 df=5 df=10
0
20
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
10
0.1
Khi-négyzet eloszlás
1−α 0.0
α
0
5 elfogadási tartomány kritikus érték
10
15
elvetési tartomány
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
11
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra I
Döntés próbastatisztika alapján: I Ha χ2 < χ2 table , a null-hipotézist elfogadjuk I Ha χ2 > χ2 table , a null-hipotézist elvetjük.
I
Döntés p-érték alapján I Ha p > α, a null-hipotézist elfogadjuk I Ha p < α, a null-hipotézist elvetjük. χ2table
A nullhipotézist elvetjük
0.2
0.2
A nullhipotézist elfogadjuk p−value
α
p−value
χ2table
0.1
0.1
α
χ
2
0.0
0.0
χ2
0
5
10
15
0
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
5
10
15
12
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra -Példa 1 Van e kapcsolat az influenzás megbetegedések száma és a vakcina típusa között? Nem lett influenzás
Total
Csak szezonális
43 (15.36%)
237 (84.64%)
280 (100%)
Csak H1N1
52 (20.80%)
198 (79.20%)
250 (100%)
Kombinált
25 (9.26%)
245 (90.74%)
270 (100 %)
Total
120
680
800
120
Influenzás
influenzás
0
20
40
60
80
100
nem influenzás
szezonális I. Csak H1N1 2016.11.09 Kombinált Orvosi fizikaCsak és statisztika előadás
13
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra -Példa 1 Számoljuk ki a várt gyakoriságokat várt gyakoriság =
sorösszeg × oszlopösszeg elemszám
Influenzás
Nem lett influenzás
Total
280×680 = 238 800 250×680 = 212.5 800 270×680 = 229.5 800
280
Kombinált
280×120 = 42 800 250×120 = 37.5 800 270×120 = 40.5 800
Total
120
680
800
Csak szezonális Csak H1N1
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
250 270
14
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra -Példa 1 Minden cella esetén számoljuk ki a reziduálok négyzetét:
(Oij −Eij )2 Eij
megfigyelt gyakoriságok: Influenzás Nem lett influenzás Total Csak szezonális Csak H1N1
43 52
237 198
280 250
Kombinált
25
245
270
Total
120
680
800
reziduálok négyzete: Influenzás Csak szezonális
várt gyakoriságok:
Csak H1N1 Kombinált
(43−42)2 42 (52−37.5)2 37.5 (25−40.5)2 40.5
= 0.0238 = 5.6067 = 5.9321
Nem lett influenzás (237−238)2 238 (198−212.5)2 212.5 (245−229.5)2 229.5
= 0.0042 = 0.9894 = 1.0468
Influenzás Nem lett influenzás Total Csak szezonális
42
238
280
Csak H1N1 Kombinált
37.5 40.5
212.5 229.5
250 270
Total
120
680
800
Adjuk össze a reziduálok négyzeteit, hogy megkapjuk a próbastatisztikát: χ2 =
c r P P (Oij −Eij )2 i=1 j=1
Eij
= 0.0238+0.0042+5.6067+0.9894+5.9321+
1.0468 = 13.6030 Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
15
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra -Példa 1 Adjuk meg a kritikus értéket: α = 0.05, df = (3 − 1) × (2 − 1) = 2 χ2 kritikus értékei df
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.025
0.02
0.01
0.005
0.0025
0.001
1
1.32
1.64
2.07
2.71
3.84
5.02
5.41
6.63
7.88
9.14
10.83
2
2.77
3.22
3.79
4.61
5.99
7.38
7.82
9.21
10.60
11.98
13.82
3
4.11
4.64
5.32
6.25
7.81
9.35
9.84
11.34
12.84
14.32
16.27
χ2table = 5.99 Döntés próbastatisztika alapján: 13.60 > 5.99 (χ2 > χ2table ) H0 -t elvetjük, a influenzás megbetegedések aránya függ a vakcina típusától.
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
16
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra -Példa 1 R-rel számolva:
> chi=matrix(c(43,52,25,237,198,245),ncol=2,byrow=FALSE);ch [,1] [,2] [1,] 43 237 [2,] 52 198 [3,] 25 245 > chisq.test(chi) Pearson’s Chi-squared test data: chi X-squared = 13.603, df = 2, p-value = 0.001112 p = 0.001112 < 0.05 , H0 -t elvetjük. Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
17
Khi-négyzet próba speciális eset: két dichotóm változó
B1
B2
Sorösszeg
A1
O11 = a
O12 = b
O1+ = a + b
A2
O21 = c
O22 = d
O2+ = c + d
Oszlopösszeg O+1 = a + c O+2 = b + d
n =a+b+c +d
A próbastatisztika képlete: 2
χ =
r X c X (Oij − Eij )2 i=1 j=1
Eij
=
n(ad − bc)2 (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
18
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra -Példa 2
Beteg
Meggyógyult
Sorösszeg
A kezelés
5
45
50
B kezelés
8
42
50
Oszlopösszeg
13
87
100
Beteg
Meggyógyult
Sorösszeg
A kezelés
6.5
43.5
50
B kezelés
6.5
43.5
50
13
87
100
120
Van-e kapcsolat a betegség kimenetele és a kezelés típusa között. megfigyelt gyakoriságok:
beteg
80
100
gyógyult
Oszlopösszeg
Teljesül a
χ2
0
20
40
60
várt gyakoriságok:
A kezelés
B kezelés
próba feltétele.
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
19
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra – Példa 2 H0 : A kimenetel és a kezelés típusa független H1 : Van összefüggés a kimenetel és a kezelés típusa között Próbastatisztika: χ2 =
100 × (5 × 42 − 8 × 45)2 n(ad − bc)2 = = 0.79 (a + b)(c + d)(a + c)(b + d) 50 × 50 × 13 × 87
Kritikus érték: χ2table = 3.84 df = (2 − 1)(2 − 1) = 1 2
χ kritikus értékek
df
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.025
0.02
0.01
0.005
0.0025
0.001
1
1.32
1.64
2.07
2.71
3.84
5.02
5.41
6.63
2
2.77
3.22
3.79
4.61
5.99
7.38
7.82
9.21
7.88
9.14
10.83
10.60
11.98
3
4.11
4.64
5.32
6.25
7.81
9.35
9.84
11.34
12.84
13.82
14.32
16.27
Döntés: χ2 < χ2table , H0 -t elfogadjuk. A betegség kimenetele független a kezelés típusától. Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
20
Főbb pontok
Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra Yates – korrekcióval Fisher-féle egzakt teszt függetlenségvizsgálatra
Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
21
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra Yates – korrekcióval Abban az esetben, a szabadsági fok 1 (2 × 2-es táblázat), a khinégyzet próba próbastatisztikája pontosabban számolható, ha különböző korrekciókat alkalmazunk. Az egyik leggyakrabban alkalmazott korrekció,a Yates-féle folytonossági korrekció Ezt a korrekció csak két dichotóm változó közötti kapcsolat elemzése esetén használható. Próbastatisztika Yates-féle korrekcióval: χ2 =
r X c X (|Oij − Eij | − 12 )2 i=1 j=1
Eij
=
n(|ad − bc| − 21 n)2 (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
22
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra Yates korrekcióval – Példa 2
Beteg
Meggyógyult
Sorösszeg
A kezelés
5
45
50
B kezelés
8
42
50
Oszlopösszeg
13
87
100
Beteg
Meggyógyult
Sorösszeg
A kezelés
6.5
43.5
50
B kezelés
6.5
43.5
50
Oszlopösszeg
13
87
100
120
Van-e kapcsolat a betegség kimenetele és a kezelés típusa között. megfigyelt gyakoriságok:
beteg
80
100
gyógyult
0
20
40
60
várt gyakoriságok:
A kezelés
B kezelés
Teljesül a χ2 próba feltétele. Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
23
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra -Példa 2 Yates korrekcióval H0 : A kimenetel és a kezelés típusa független H1 : Van összefüggés a kimenetel és a kezelés típusa között Próbastatisztika: n(|ad − bc| − 21 n)2 χ2 = = (a + b)(c + d)(a + c)(b + d) 100 × (|5 × 42 − 8 × 45| − 12 )2 × 100 = 0.354 50 × 50 × 13 × 87 Kritikus érték: χ2table = 3.84 df = (2 − 1)(2 − 1) = 1 χ2 kritikus értékei df
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.025
0.02
0.01
0.005
0.0025
0.001
1
1.32
1.64
2.07
2.71
3.84
5.02
5.41
6.63
2
2.77
3.22
3.79
4.61
5.99
7.38
7.82
9.21
7.88
9.14
10.83
10.60
11.98
3
4.11
4.64
5.32
6.25
7.81
9.35
9.84
11.34
12.84
13.82
14.32
16.27
Döntés: χ2 < χ2table , H0 -t elfogadjuk. Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
24
Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra -Példa 2 Yates korrekcióval R-rel számolva: > t2=matrix(c(5,8,45,42),ncol=2);t [,1] [,2] [1,] 3 7 [2,] 5 10 > chisq.test(t2) Pearson’s Chi-squared test with Yates’ continuity correction data: t2 X-squared = 0.3537, df = 1, p-value = 0.552 p = 0.552 > 0.05, H0 -t elfogadjuk. Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
25
Főbb pontok
Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra Yates – korrekcióval Fisher-féle egzakt teszt függetlenségvizsgálatra
Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
26
Fisher-féle egzakt teszt I
Fisher-féle egzakt tesztet egy populáción belül két diszkrét változó közötti összefüggés vizsgálatára használjuk
I
Habár gyakorlatban csak kis mintaelemszám esetén használjuk, bármekkora minta esetén is pontos értéket ad Hipotézisek:
I
I I
I
H0 : a két változó független. H1 : a két változó között van kapcsolat
NINCS próbastatisztika, közvetlenül p-értéket számolunk P
p-érték képlete: p = pi pi a megfigyelt és azon átrendezett gyakorisági táblázatok valószínűsége, melyek legalább annyira eltérők, mint a megfigyelt táblázat. (a + c)!(b + d)!(a + b)!(c + d)! 2 × 2 táblázat estén a képlete = n!a!b!c!d!
I
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
27
Fisher-féle egzakt teszt – Példa 3 Van-e kapcsolat a HIV fertőződések és a STD (szexuális úton terjedő betegségek) között? Megfigyelt gyakoriságok: HIV fertőzött
Nem HIV fertőzött
Total
3
7
10
5
10
15
Total
8
17
25
Nem HIV fertőzött
Total
120
STD Nem STD
Nem HIV fertozött
80
100
HIV fertozött
3.2
6.8
10
4.8
10.2
15
Total
8
17
25
20
STD Nem STD
0
HIV fertőzött
40
60
Várt gyakoriságok:
STD
Nem STD
A χ2 próba feltétele NEM teljesül ⇒ Fisher-féle egzakt teszt H0 : Nincs kapcsolat a HIV fertőződések és a STD között. H1 : Van kapcsolat a HIV fertőződések és a STD között. Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
28
Fisher-féle egzakt teszt – Példa 3 megfigyelt gyakoriságok:
HIV fertőzött Nem HIV fertőzött Total STD Nem STD
3 5
7 10
10 15
Total
8
17
25
p1 =
10! 15! 8! 17! 3! 7! 5! 10! 25!
p2 =
10! 15! 8! 17! 2! 8! 6! 9! 25!
= 0.2082
p3 =
10! 15! 8! 17! 1! 9! 7! 8! 25!
= 0.0595
p4 =
10! 15! 8! 17! 0! 10! 8! 7! 25!
= 0.3332
lehetséges átrendezések: HIV fertőzött Nem HIV fertőzött Total STD Nem STD
2 6
8 9
10 15
Total
8
17
25
HIV fertőzött Nem HIV fertőzött Total STD Nem STD
1 7
9 8
10 15
Total
8
17
25
HIV fertőzött Nem HIV fertőzött Total STD
0
10
10
Nem STD
8
7
15
Total
8
17
25
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
= 0.0595 29
Fisher-féle egzakt teszt – Példa 3
Fisher-féle p-érték: p = 0.3332 + 0.2082 + 0.0595 + 0.0059 = 0.60685 H0 -t elfogadjuk, mert p > α. Nincs kapcsolat a HIV fertőződések és a STD között.
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
30
Fisher-féle egzakt teszt – Példa 3 R-rel számolva: > t=matrix(c(3,5,7,10),ncol=2);t [,1] [,2] [1,] 3 7 [2,] 5 10 > chisq.test(t) Pearson’s Chi-squared test with Yates’ continuity correction data: t X-squared = 0, df = 1, p-value = 0.9999 Warning message: In chisq.test(t) : Chi-squared approximation may be incorrect > fisher.test(t,alternative="less") Fisher’s Exact Test for Count Data data: t p-value = 0.6069 alternative hypothesis: true odds ratio is less than 1 95 percent confidence interval: 0.00000 4.86495 sample estimates: odds ratio 0.8624169 p = 0.552 > 0.05, H0 -t elfogadjuk. Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
31
Főbb pontok
Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra Khi-négyzet próba függetlenségvizsgálatra Yates – korrekcióval Fisher-féle egzakt teszt függetlenségvizsgálatra
Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
32
Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra Az illeszkedésvizsgálat célja annak a meghatározása, hogy a mintaelemek adott eloszlású populációból származnak-e. I
H0 : az X változó eloszlása az adott eloszlás
I
H1 : az X változó eloszlása nem az adott eloszlás megfigyelt és várt gyakorisági táblázat:
I
I
A1
A2
...
Ac
Total
Megfigyelt gyakoriságok:
O1
O2
...
Oc
n
Várt gyakoriságok:
E1
E2
...
Ec
n
Próbastatisztika: χ2 =
X (Oi − Ei )2
Ei
I
df = c − 1 (a lehetséges kimenetelek száma-1)
I
χ2 < χ2table , elfogadjuk a null-hipotézist
I
χ2 > χ2table , elvetjük a null-hipotézist Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
33
Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra -Példa 4 Szeretnénk tesztelni, hogy a dobókockánk szabályos-e. 120-szor dobtunk a dobókockával. 1
2
3
4
5
6
Total
Megfigyelt gyakoriságok:
25
18
21
17
20
19
120
Várt gyakoriságok:
20
20
20
20
20
20
120
H0 : A kocka szabályos minden kimenetel valószínűsége pi = 16 H1 : A kocka nem szabályos legalább egy kimenetel valószínűsége eltér 16 -tól.
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
34
Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra -Példa 4
Próbastatisztika: 6 X (ki − 20)2 = χ = 20 i=1 2
(25 − 20)2 + (18 − 20)2 + (21 − 20)2 + (17 − 20)2 + (20 − 20)2 + (19 − 20)2 =2 20
df = 6 − 1 = 5 Kritikus érték (táblázatból): χ2table = 11.07 Döntés: χ2 < χ2table 2 < 11.07, H0 -t elfogadjuk, nincs elegendő bizonyítékunk arra, hogy azt állítsuk, hogy a kocka nem szabályos.
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
35
Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra -Példa 5 Szeretnénk tesztelni, hogy a dobókockánk szabályos-e. 120-szor dobtunk a dobókockával. 1
2
3
4
5
6
Total
Megfigyelt gyakoriságok
5
18
21
17
20
39
120
Várt gyakoriságok
20
20
20
20
20
20
120
H0 : A kocka szabályos minden kimenetel valószínűsége pi = 16 H1 : A kocka nem szabályos legalább egy kimenetel valószínűsége eltér 16 -tól.
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
36
Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra -Példa 5
Próbastatisztika: χ2 =
6 X (ki − 20)2 = 20 i=1
(5 − 20)2 + (18 − 20)2 + (21 − 20)2 + (17 − 20)2 + (20 − 20)2 + (39 − 20)2 = 30 20
df = 6 − 1 = 5 Kritikus érték (táblázatból): χ2table = 11.07 Döntés: χ2 > χ2table 30 > 11.07, H0 -t elvetjük, a kocka nem szabályos.
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
37
Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra -Példa 6 Egy adott betegségben szenvedő 200 beteget egy bizonyos szerrel kezeltünk (ami nem közvetlenül kapcsolódik a betegségéhez). A betegség esetén a gyógyulási arány 50%. Szeretnénk vizsgálni, hogy a gyógyult és nem gyógyult betegek aránya azonos-e. Vagyis a kezelés befolyásolja-e a betegségből való felgyógyulást. Gyógyult
Nem gyógyult
Total
Megfigyelt gyakoriságok
150
50
200
Várt gyakoriságok
100
100
200
1 H0 : A kezelés nincs hatással a gyógyulásra pi = 2 H1 : A kezelés hatással van a gyógyulásra legalább az egyik valószí1 nűség eltér –től. 2 Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
38
Khi-négyzet próba illeszkedésvizsgálatra -Példa 6 Próbastatisztika:
χ2 =
2 X (ki − 100)2 i=1
100
=
(150 − 100)2 + (50 − 100)2 = 50 100
df = 2 − 1 = 1 Kritikus érték (táblázatból): χ2table = 3.841
p < 0.05 Döntés: p < 0.05 (vagy χ2 > χ2table , 50 > 3.841), H0 -elvetjük, a kezelésnek van hatása a betegségből való felgyógyulásra. Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
39
Ismétlő kérdések
I
A függetlenségvizsgálat célja, null hipotézise
I
Gyakorisági táblázat
I
Megfigyelt és várható gyakoriságok
I
A khi-négyzet próba feltétele
I
Szabadságfok számítása khi-négyzet próba végrehajtásakor
I
A khi-négyzet próba végrehajtása, döntés táblázat alapján és p-érték alapján
I
2x2-es táblázatok kiértékelése khi-négyzet próbával
I
Fisher-féle egzakt teszt
I
Az illeszkedésvizsgálat célja, nullhipotézise
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
40
Köszönöm a figyelmet!!
Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09
41
