KESEIMBANGAN BENDA TERAPUNG

4/18/2010

KESEIMBANGAN BENDA TERAPUNG Mempelajari masalah : • Prinsip hukum Archimedes • Prinsip keseimbangan dan kestabilan • Menghitung besar gaya apung dan letak pusat apung • Mengevaluasi kestabilan benda terendam atau terapung

1

4/18/2010

2

4/18/2010

3

4/18/2010

4

4/18/2010

5

4/18/2010

6

4/18/2010

Kesimpulan

• Benda yang terrendam di dalam air mengalami gaya berat

sendiri benda (FG) yang bekerja vertikal ke bawah dan gaya apung (FB) yang bekerja vertikal ke atas. Besar gaya apung sama dengan berat zat cair yang dipindahkan benda. Gaya berat bekerja pada pusat berat benda (G); dan gaya apung bekerja pada pusat apung (B), yang sama dengan pusat berat zat cair yang dipindahkan benda. – FG > FB – FG = FB – FG < FB

Benda tenggelam Benda melayang (terendam) Benda mengapung

• Benda terendam akan stabil jika pusat berat G berada di bawah pusat apung B.

• Benda terapung dalam kesetimbangan stabil apabila pusat •

beratnya G berada di bawah pusat apung (B). Benda terapung dengan kondisi tertentu dapat pula dalam kesetimbangan stabil meskipun pusat beratnya berada di atas pusat apung. Kondisi stabilitas benda dapat diketahui berdasarkan tinggi metasentrum.

7

4/18/2010

Menghitung tinggi metasentrum GM BM BG BM

I0 V

BG OG OB Apabila :

Dimana dengan : GM = tinggi metasentrum Io = momen inersia tampang benda yang terpotong permukaan zat cair V = volume zat cair yang dipindahkan benda BG = jarak antara pusat berat dan pusat apung OG = jarak antara pusat berat dan dasar OB = jarak antara pusat apung dan dasar

M 0 Benda Stabil M 0 Benda Netral M 0 Benda Tidak Stabil

TUGAS 3

Soal :Stabilitas Benda Terapung 1. 2. 3. 4.

5.

Batu di udara mempunyai berat 500 N, sedang beratnya di dalam air adalah 300 N. Hitung volume dan rapat relatif batu itu. Balok segi empat dengan ukuran 75 cm x 50 cm x 50 cm mengapung di air dengan sisi panjangnya sejajar muka air. Apabila bagian dari balok yang berada di atas permukaan air adalah 10 cm, hitung berat balok. Kubus kayu dengan panajang sisi-sisinya 0,5 m mempunyai rapat relatif 0,6 mengapung di air. Hitung bagian kubus yang terendam dalam air. Balok kayu dengan panjang 1,0 m lebar 0,4 m dan tingginya 0,3 m mengapung secara horizontal di air dengan sisi tingginya vertikal. Rapat relatif kayu S=0,7. Hitung volume air yang dipindahkan dan letak pusat apung. Kubus kayu sisi 0,5 m mengapung di dalam air. Berapakah berat beban yang harus diletakan di atas balok supaya balok terendam seluruhnya. Rapat relatif kayu S=0,7.

8

4/18/2010

6. Suatu balok ponton dengan lebar B=6,0 m, panjang L=12 m dan sarat d=1,5 m mengapung di air tawar ( = 1000 kg/m3). Hitung: a. Berat balok ponton b. Sarat apabila berada di air laut ( 2 = 1025 kg/m3) c. Beban yang dapat didukung oleh ponton di air tawar apabila sarat maksimum yang diijinkan adalah 2,0 m.

7.

Kubus dengan sisi 25 cm dan rapat relatif 0,9 mengapung di air dengan salah satu sisinya sejajar muka air. Berapakah beban harus diletakkan di atas kubus supaya kubus tersebut tenggelam di dalam air.

8. Balok kayu mengapung di air tawar dengan bagian yang berada di atas permukaan air adalah 10 cm. Apabila balok tersebut diapungkan di dalam minyak dengan rapat relatif 0,8; bagian balok yang berada di atas permukaan minyak adalah 7,5 cm. berapakah rapat reatif balok.

9. Tangki berbentuk kotak dengan panjang 1 m dan lebar 0,5 m diisi air tawar dan air raksa sampai ¾ kali tingginya. Berat tangki adalah 175 N. volume air adalah 49 kali volume air raksa. Tangki tersebut diletakan di air laut sehingga mengapung dengan bagian yang berada di atas air adalah setinggi 0,2 m. Apabila rapat relatif air raksa adalah 13,6 tentukan tinggi maksimum tangki. Rapat massa air laut dan air tawar adalah 1020 kg/m3 dan 1000 kg/m3.

9

4/18/2010

10.Pelampung silinder dengan diameter 3 m dan tinggi 3 m mengapung dengan sumbunya vertikal. Berat pelampung adalah 3 ton. Selidiki stabilitas pelampung. 11.Silinder berdiameter 3 meter dan tingginya 3 meter terbuat dari bahan dengan rapat relatif 0,8. Benda tersebut mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal. Hitunglah tinggi metasentrum dan selidiki stabilitas benda. 12.Balok berpenampang bujur sangkar dengan panjang sisinya 0,5 m dan tinggi H mengapung di dalam air. Rapat relatif balok 0,8. Berapakah tinggi H supaya balok dapat terapung stabil dengan sisi tingginya vertikal.

13.Balok terbuat dari bahan dengan rapat relatif 0,8. mempunyai panjang L=1,0 m dan tampang lintang bujur sangkar dengan sisi 0,8 m diapungkan di dalam air dengan sumbu panjangnya vertikal. Hitung tinggi metasentrum dan selidiki stabilitas benda.

14.Silinder berdiameter 45 cm dan rapat relatif 0,9. Apabila silinder mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal, tentukan panjang maksimum silinder.

10

4/18/2010

15.Silinder dengan diameter 0,5 m dan panjang 1 m mengapung secara vertikal di laut. Rapat massa air laut adalah 1020 kg/m3. Tentukan rapat massa bahan silinder apabila benda dalam kondisi tidak stabil. 16.Silinder kayu dengan rapat relatif 0,7 mengapung di air tawar dengan sisi panjangnya vertikal. Apabila panjang dan diameter silinder adalah L dan D, berapakah perbandingan antara D dan L sedemikian sehingga silinder dapat mengapung stabil.

17.Balok dengan panjang L=1,0 m, lebar B=0,8 m dan tinggi H=0,6 m diapungkan di dalam air dengan sisi tingginya vertikal. Rapat relatif balok adalah S=0,8. Selidiki stabilitas benda. Apabila di atas balok tersebut diletakan plat besi dengan panjang dan lebar yang sama dengan balok dan tebalnya T=0,01 m, selidiki stabilitas benda gabungan. Rapat relatif besi S=7,85.

18.Ponton segiempat dengan panjang 13 m, lebar 10 m dan tinggi 3 m mempunyai berat 1000 kN. Di bagian atas ponton diletakan silinder dengan diameter 7 m dan berat 600 kN. Pusat berat silinder dan ponton dianggap terletak pada garis vertikal yang sama dan melalui pusat berat ponton. Hitung tinggi metasentrum. Rapat relatif air laut 1,02.

11

4/18/2010

19.Suatu balok dengan panjang 1 m mempunyai tampang lintang bujur sangkar dengan sisi 20 cm mempunyai rapat relatif 0,5. Bagian bawah balok tersebut setebal 2,5 cm mempunyai rapat relatif 8. Balok diapungkan dengan posisi berdiri (lihat gambar). • Selidiki stabilitas benda • Apabila benda tidak stabil, berapakah panjang bagian balok yang mempunyai rapat relatif 0,5 supaya benda bisa mengapung stabil. 20. Silinder terbuat dari dua bahan berdiameter 0,25 m mengapung di dalam air. Bagian atas sepanjang 1,0 m terbuat dari kayu dengan rapat relatif 0,8; sedangkan bagian bawah mempunyai rapat relatif 5. Hitung panjang bagian bawah agar silinder dapat mengapung dengan sisi panjang vertikal.

21. Silinder dengan panjang L, diameter D dan rapat relatif S mengapung dalam zat cair dengan rapat relatif 2S. Tunjukan bahwa silinder akan mengapung stabil dgn, Sumbunya vertikal apabila L D/ 2 Sumbunya horisontal apabila L D

12

4/18/2010

22. Ponton dibuat dengan menghubungkan dua buah balok sepanjang 10 m, lebar 0,3 m dan tinggi 0,25 m yang mengapung di dalam air tawar. Rapat relatif balok kayu S=0,6. Selidiki stabilitas balok tunggal dan Selidiki stabilitas ponton. Apabila di atas ponton terdapat beban seberat 750 kg dengan pusat berat pada jarak 0,5 m dari sisi atas balok. Beban tersebut berada pada tengah-tengah ponton.

23. Pelampung silinder berdiameter 3 m dan panjang 4 m mempunyai berat 40 kN diapungkan diair laut (S=1,02) dengan sumbu memanjangnya vertikal. • Selidiki stabilitas benda. • Apabila pelampung tidak stabil, berapakah gaya tarik yang harus diberikan pada rantai yang dipasang pada pusat dasar silinder supaya silinder dalam kondisi stabil (mengapung stabil).

24.Kerucut padat mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal sedemikian sehingga puncaknya berada di bawah. Apabila sudut puncak kerucut adalah 40o, tentukan rapat relatif benda sedemikian sehingga benda dalam kesetimbangan stabil.

13

4/18/2010

25.Kerucut terbuat dari bahan dengan rapat relatif S1=0,7 mengapung di atas zat cair dengan rapat relatif S2=0,90. Hitung sudut puncak kerucut minimum sedemikian sehingga kerucut dapat mengapung dengan puncaknya dibawah.

26.Pelampung silinder berdiameter D=1,0 m dan tinggi H=0,75 m mempunyai berat 3500 N mengapung di air laut (S=1,025) dengan sumbu vertical. Di pusat sisi atas silinder diberi beban. Letak pusat berat beban adalah 0,5 m dari sisi atas silinder. Berapakah berat beban maksimum supaya pelampung tetap dalam kondisi stabil.

27.Kapal dengan panjang 60 m lebar 8,4 m dan berat 15 MN. Muatan diatas kapal seberat 150 kN bergerak pada arah lebar sejauh 4 m sehingga menyebabkan kapal miring 3o. Momen Inersia tampang kapal pada elevasi muka air adalah 72% dari momen inersia segi empat yang mengelilinginya. Pusat apung terletak pada 1,5 m di bawah muka air. Tentukan tinggi metasentrum dan posisi pusat berat kapal. Rapat massa air laut =1025 kg/m3.

28.Ponton bujur sangkar dengan sisi 6 m dan tinggi 1,2 m mengapung di atas air. Apabila diatas ponton diberi beban seberat 4 ton, bagian dari ponton yang terendam air adalah 0,6 m. Beban berada pada tengahtengah ponton. Pusat berat ponton adalah 0,6 m diatas dasar dan pusat berat beban 1,2 m diatas sisi ponton. Selidiki stabilitas ponton. Berapa beban maksimum sehingga ponton tidak stabil.

14

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.01 FB

Gaya apung (FB) adalah sama dengan perbedaan antara berat batu di udara dan di dalam air:

Wdiudara Wdiair 500 300 200N

Menurut hukum Archimedes, gaya apung (FB) adalah sama dengan berat air yang dipindahkan batu. Berat air yang dipindahkan batu (FB) adalah sama dengan perkalian antara volume air yang dipindahkan (V) dan berat jenis air.

FB

.V

.g.V

1000 x9,81xV

Dari kedua nilai FB di atas,

200

9810 .V

9810 V V

0,0204 m3

Volume air adalah sama dengan volume batu, sehingga volume batu adalah V=0,0204m3. Berat batu di udara adalah sama dengan berat jenis batu dikalikan volume batu,

Wdiudara

Pusat apung(B) adalah titik pd mana gaya apung bekerja. Pusat apung ini merupakan pusat berat dari volume zat cair yang dipindahkan

500

.V

.g .V

x9,81x0,0204 2500kg / m 3

S air

2500 1000

2,5

Jawaban Tugas No 3.02 Tinggi balok yang terendam di dalam air:

d

50 10 40cm 0,4m

Volume bagian balok yang terendam di air:

V

0,4 x0,5 x0,75

0,15 m3

Berat balok = berat zat cair yang dipindahkan

air

.V

1000 x0,15 150 kgf

15

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.03 Misal W : berat kubus, FB : gaya apung d : kedalaman bagian kubus yang terendam air Rapat relatif :

S

benda

S.

benda

air

0,6 x1000

600 ,0 kgf

air

W

Berat benda :

FB

Gaya apung :

benda air

.V

600 x0,53

75,0 N

.Vair _ yg _ dipindahkan

1000x(0,5 x0,5 xd ) Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

m3

W

250,0d

FB

75,0

250 ,0d

d

0,3m

Jadi kedalaman kubus yang terendam air=0,3 m.

Jawaban Tugas No 3.04 Volume balok : V=1.0x0,4x0,3=0,12 m3 Berat Balok :

W W

Balok

.g.V

S.

air

.V

0,7 x1000x9,81x0,12 824,04N

Volume air yang dipindahkan :

V

Berat _ balok berat _ jenis _ air

824 ,04 1000 x9,81

0,084 m 3

Kedalaman bagian balok yg terendam air :

d

Volume _ air _ yg _ dipindahkan tampang _ balok _ pd _ muka _ air Letak pusat apung : V 0,084 d 0,21 0,21m OB 0,105m A 1,0 x0,4

2

2

Jadi letak pusat apung adalah 0,105 m dari dasar balok.

16

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.05#1 Volume balok : V1=0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125 m3

Berat Balok :

W1 W1

Balok

.V

S.

0,7 x1000 x0,125

air

.V

87 ,5kgf


W1

VA1

air

87 ,5 1000

0,0875 m 3

Kedalaman bagian balok yg terendam air :

d

V A

0,0875 0,5 x0,5

0,35 m

Jawaban Tugas No 3.05#2 Jika diatas Balok diberi beban dengan berat W2,maka berat total balok+beban adalah:

Wtotal

W1 W2

87 ,5 W2

Apabila balok terendam seluruhnya, berarti kedalaman balok yg terendam air adalah d2=0,5m. Volume air yang dipindahkan benda :

VA2

A.d 2

0,5 x0,5 x0,5 0,125 m3

Gaya apung :

FB

air

.VA2

1000 x0,125

125 ,0kgf

Dengan menyamakan berat total dan gaya apung :

Wtotal

FB

87 ,5 W2

125 ,0

W2

37 ,5kgf

Jadi berat beban di atas balok adalah W2=37,5 kgf

17

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.06 a. Dalam keadaam terapung, berat benda adalah sama dengan berat air yang dipindahkan benda (FB) :

FG

FB

1

.g .B.L.d

1000x9,81x6,0 x12,0 x1,5 1.059.480 N 1.059,48kN

Jadi berat benda adalah (FG):1059,48 kN b. Mencari sarat (draft) di air laut :

1025 kg / m 3

Rapat massa air laut : Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

FG

FB

d

FG 2 .g .B.L

2

.g.B.L.d 1.059.480 1025x9,81x6,0 x12,0

c. Mencari sarat maksimum (draft max) dmaks = 2,0 m, gaya apung total

FBmak

.g.B.L.d m ax

1,463m

1000 x9,81 x6,0 x12 ,0 x 2,0 1412640 N

Jadi beban yg dpt didukung adalah:1.412,64-1.059,48=353,16kN

Jawaban Tugas No 3.07#1 Sisi kubus : B=25 cm Rapat relatif : S=0,9 Berat benda :

FG

V.

Misalkan tinggi kubus yang terendam air adalah d Gaya apung :

900 kg / m 3

0,9 x1000

b

.g

B3.

FB

A.d . a .g

b

b

.g

B 2 .d .

a

.g

Dalam Keadaan mengapung :FG=FB

B3. d

b b

B

.g SB

B 2 .d . 0,9 x0,25

a

.g

0,225 m

a

18

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.07#2 Jika diatas kubus diberi beban dengan berat W2,maka berat total kubus dan beban adalah:

Wtotal

W1 W2

FG W2

0,253 x900x9,81 W2 137,953 W2 Apabila kubus terendam seluruhnya, berarti kedalaman kubus yang terendam air adalah d=0,25m. Gaya apung pada keadaan tersebut :

FB

V.

air

0,25 3 x1000 x9,81 153 ,281 N

.g

Dengan menyamakan berat total dan gaya apung :

Wtotal W2

FB

137,953 W2

153,281

15,328N

Jawaban Tugas No 3.08 Misal h adalah tinggi balok yang berada di atas permukaan zat cair. Di dalam air tawar Sa=1 h = 10 cm Di dalam minyak : Sm = 0,8 h = 7,5 cm

Misalkan tinggi balok H dan luas dasar balok A cm2.

Gaya apung di air tawar:

FB1

A( H

0,1)

air

FB 2 A( H 0,075 ) V . b .g A.H . b .g

Gaya apung di minyak: Berat balok :

FG

Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

FG

FB1danFG A.H .

b

.g

FB 2 A( H

.g

mnyak

.g

FG 0,1)

a

FB1 .g

19

4/18/2010

H.

H

b

FG

a

FB 2

H

b

H

0,1

a

1000H 100

AH b g m

0,075

A( H

0,075)

800H

m

m

g

60

Dengan menyamakan persamaan di atas:

1000H 100 800H

60

H

0,20m

Substitusi nilai tersebut ke dalam persamaan awal :

0,20 .

b

1000 x0,20 100  balok

S Balok

air

500kg / m3 1000kg / m3

500 kg / m 3

b

0,5

Jawaban Tugas No 3.09 Luas tampang tangki : A=L x B = 1 x 0,5 = 0,5 2 m Misalkan tinggi tangki adalah H, sedang V dan V adalah volume air 1

dan air raksa.

V1 V2

Volume air dan air raksa :

2

0,5 x0,75 H

0,375 H _ m3

Selain itu, V1=49V2 sehingga 49V2+V2=0,375H Atau :

V2

0,375H 50

Berat tangki, air dan air raksa adalah :

0,0075H W

V1 Wt

49 x0,0075H W1

0,3675H _ m3

W2

175 1000x9,81x 0,3675H 13,6 x1000x9,81x 0,0075H 175 4605,795H _ N

20

4/18/2010

Gaya apung : FB=A.dair laut.g= 0,5dx1020x9,81=5003,1d N Dalam keadaan mengapung W=FB, sehingga:

175

4605 H

5003 ,1d

d

175

4605 ,795 H 5003 ,1

Bagian tangki yang berada di atas permukaan air adalah 0,2m, berarti bagian yang terendam adalah:

d

H

0,20m

Dengan menyamakan kedua bentuk nilai d di atas didapat :

175 4605,795H 5003,1  5003,1H 1000,62 175 4605,795H didapat : H 2,959m H

0,2

Jawaban Tugas No 3.10 Berat pelampung : FG = 3 ton Misalkan bagian dari pelampung yang terendam air adalah d. Gaya apung:

32.d .1000 7068,58d 4 Dalam keadaan mengapung : FG = FB 3000=7068,58 d, maka d= 0,4244 m FB

4

D 2 .d .

air

FB

Jarak pusat apung terhadap dasar silinder : Jarak pusat berat terhadap dasar silinder :

OB

OG

3,0 2

d 0,2122m 2 1,5m

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

BG OG OB 1,5 0,2122 1,2878m

21

4/18/2010

Moment inersia tampang pelampung yang terpotong muka air:

I0

64

xD 4

64

x34

3,9708m 4

Volume air yang dipindahkan:

V

4

D2d

4

x32 x0,4244 3,0m3

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

I0 V

BM

3,97608 3,0

Tinggi metasentrum:

GM

1,3254 m

BM BG 1,3254 1,2878 0,0376m

Karena GM >0, berarti pelampung dalam kondisi stabil

Jawaban Tugas No 3.11 S

Benda

0,8

benda

800 kgf / m 3

0,8 x1000

air

Berat benda :

FG

4

D 2 .H .

Benda

Dalam keadaan mengapung : FG = FB, sehingga :

4

D 2 .H .

Benda

4

D 2 .d .

Air

d

Benda

xH

0,8 x3

2,4m

Air

Jarak pusat apung terhadap dasar silinder : Jarak pusat berat terhadap dasar silinder OG :

OB 3,0 2

2,4 1,2m 2 1,5m


BG OG OB 1,5 1,2 0,3m

22

4/18/2010


I0

64

xD 4

64

x34

3,9708m 4


V

4

D2d

4

x32 x 2,4 16,9649m3


I0 V

BM

3,9761 19 ,9646

Tinggi metasentrum:

GM

0,234 m

BM BG 0,234 0,3

0,066m

Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil


Benda

0,8

benda

800 kgf / m 3

0,8 x1000

air

Berat benda : FG 0,52.H . Gaya Apung : FB 0,52.d . air .g

Benda

,g


0,52.H .

Benda

.g

0,52.d .

Air

.g  d

Benda

xH

S .H

0,8 H

Air

Jarak pusat apung terhadap dasar : Jarak pusat berat terhadap dasar :

d 2

OB OG

H 2

0,4 H

0,5 H


BG OG OB 0,1H

23

4/18/2010


I0

1 .B.B 3 12

1 x0,54 12

5,2083x10 3 m 4


V

B 2d

0,52 x0,8 H

0,2 H


BM

I0 V

3

5,2083x10 0,2H

0,0260415 H

0,0260415 0,1H H

Benda akan stabil jika BM >BG :

H

0,51m

Jadi benda akan stabil apabila tinggi balok maksimum 1,02m


Benda

0,8

benda

800 kgf / m 3

0,8 x1000

air

Luas Tampang lintang balok:

Berat benda : FG Berat air yang dipindahkan:

A

B.H

A.L. FB

Benda

Air

. A.d

0,8 x0,8 0,64 m 2 0,64 x1,0 x800 1000 x0,64 xd

512 kgf 640 d _ kgf


512 640.d  d 0,8m d 0,8

OB 0,4m Jarak pusat apung terhadap dasar Balok 2 L 1,0 2 : 0,5m Jarak pusat berat terhadap dasar Balok :OG

2

2

Jadi Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

BG OG OB 0,5 0,4 0,1m

24

4/18/2010

Moment inersia tampang bujursangkar yang terpotong muka air:

1 .B.H 3 12

I0

1 x0,8 x0,83 12

0,03413m 4


V

A.d

0,512 m 3

0,64 x0,8


BM

I0 V

0,03413 0,512

Tinggi metasentrum:

GM

0,06667 m

BM BG 0,06667 0,1

0,03333m

Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil


Benda

0,9

benda

900 kg / m 3

0,9 x1000

air

Berat benda :

FG

4

D 2 .H .

Gaya Apung : Benda

FB 2

4

0,45 xHx900 143,1388H _ kgf

Dalam keadaan mengapung :

FG

FB  143 ,1388 H

4

4

D 2 .d .

Air

x0,452 xdx1000 159,0431d _ kgf

159 ,0431 d  d

Jarak pusat apung terhadap dasar :OB Jarak pusat berat terhadap dasar OG :

d 2

1,0 2

0,9 2

0,9 H

0,45H

0,5 H


BG OG OB 0,5H 0,45H

0,05H

25

4/18/2010


I0

64

xD 4

64

x(0,45) 4

2,01289x10 3 m 4


V

4

D2d

4

x(0,45) 2 x0,9 H

0,143139H _ m3

Tinggi metasentrum:

2,01289x10 3 0,143139H

I0 V

BM

0,0140625 H

Benda akan stabil apabila BM>BG

0,0140625 0,05H H 0,53m H Jadi tinggi silinder maksimum adalah 0,53 m.

Jawaban Tugas No 3.15 Misal W adalah berat benda dan 1dan 2 adalah rapat massa air laut dan bahan silinder. 2 2

W

Gaya apung :

FB

2

4

.g.V

2

.g .

D 2 .d .

4

1

Dh

2

.g. 1 1 0,25 4

2

.g

.g

Pada kondisi mengapung, berat benda (W) adalah sama dengan gaya apung (FB), sehingga:

0,25

2

.g

4

D 2 .d . 1.g

d

1

.h

2

2

1020

x1  d

. 0,25 2 D 2 .d D2 x 2 Volume air yang dipindahkan V 4 4 1020 1 : d 2 Jarak pusat apung benda dari dasar silinder OB 2 2 x1020 Jarak pusat berat benda dari dasar silinder

OG

Jarak antara pusat berat benda dan pusat apung BG

1 h 2

2

1020

2

2040

1 x1 0,5m 2

OG

OB

0,5

2

2040

26

4/18/2010

Moment inersia tampang lingkaran yang terpotong muka air:

I0

64

xD 4

64

x(1) 4

64

m4

Jarak antara pusat apung dan Titik metasentrum:

BM

I0 V

64 0,25 2 1020

63,75 2

Silinder dalam kondisi stabil apabila tinggi metasentrum BM>BG

63,75

2

0,5

2040

2 2 2

1020

2

1020 2 ab

Didapat: 2 a

0,5

63,75 2

2

2040

1020

2

2 2

130050

130.050 0 (1020) 2 4 x1x1030.050 2

870 ,624 kg / m 3

2b

149 ,375 kg / m 3

Apabila kedua hasil tersebut disubstitusikan kedalam persamaan d

2

1020

Didapat:

d

0,8536 m

untuk

0,1464 m

untuk

2a

870 ,624 kg / m 3

2b

149 ,375 kg / m 3

dan

d

27

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.16 Rapat relatif silinder kayu : Sb =0,7.

balok

0,7

b

0,7

air

air

Berat benda :

FG

4

D 2 .L.

b

.g

Gaya apung :

FB

D 2 .d .

4

a

.g

Pada kondisi mengapung, berat benda (FG) adalah sama dengan gaya apung (FB), sehingga:

4

D2L

b

.g

4

D 2 .d .

a

.g

b

d

.L

Sb L

a

Jarak pusat apung benda dari dasar silinder

OB

Jarak pusat berat benda dari dasar silinder

OG

d 0,5Sb L 2 L 0,5L 2

Jarak antara pusat berat benda dan pusat apung

BG

OG

OB

0,5 L

0,5Sb L

0,5L 1 Sb

Moment inersia tampang lingkaran yang terpotong muka air:

I0

64

xD 4


V

4

D 2 .d

4

D 2 xSb xL

Jarak antara pusat apung dan Titik metasentrum:

BM

I0 V

Silinder akan stabil apabila BM>BG

D2 0,5 L 1 16S b D2 8S b 1 L2 D2 1,296 L2

Sb Sb

64 4

D4

D 2 Sb L

D2 16Sb L

D2 8S b 1 L2 8 x 0,7 x 1

Sb

0,7

28

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.17 RAPAT MASSA AIR:

a

RAPAT MASSA BENDA : Berat benda :

FG

b

V .g .

Benda

S

0,8

benda

0,8 x1000

800 kg / m 3

air

Benda

g .L.B.H

9,81 x0,8 x0,6 x1,0 x800

Benda

3.767 ,04 N

3,76704 kN

Berat air yang dipindahkan:

FB

Air

.g.L.B.d

1000 x9,81 x1,0 x0,8 xd

7,848 d _ kN

3,76704 7,848d  d

Dalam keadaan mengapung :

d

OB Jarak pusat apung terhadap dasar Balok 2 : H 0,6 Jarak pusat berat terhadap dasar Balok : OG

2

2

0,48m

0,48 2

0,24m

0,3m


BG OG OB 0,3 0,24 0,06m

Moment inersia tampang segi empat :

Ix Iy

1 .L.B 3 12 1 .B.L3 12

1 x1,0 x0,83 0,042667m 4 12 1 x0,8 x1,03 0,06667m 4 12

Dari kedua hasil nilai tersebut ambil yang terkecil, yaitu Ix=0,042667m4


V

L.B.d

1,0 x0,8 x0,48

0,384 m3


BM

I0 V

0,042667 0,384

0,1111 m

Tinggi metasentrum:

GM BM BG 0,1111 0,06 0,0511m Karena GM > 0, berarti benda dalam kondisi stabil

29

4/18/2010

Apabila diatas balok ditempatkan plat setebal T=0,01 m Berat plat :

FGt

L.B.T .g.

Plat

7,85x1000x9,81x1,0 x0,8 x0,01 616,068N 0,616068kN Berat total benda W FG FGt 3,76704 0,616068 : Berat air yang dipindahkan:

FB

Air

Dalam keadaan mengapung :W

FB

.g.L.B.d

1000 x9,81 x1,0 x0,8 xd

4,3831

7,848 d

Jarak pusat apung terhadap dasar Balok OB :

d d 2

4,3831 kN 7,848 d _ kN

0,5585 m 0,5585 0,27925m 2

Jarak pusat berat gabungan terhadap dasar Balok dihitung berdasarkan momen statis terhadap dasar balok:

WxOG

FG x0,5 H

FGt x H

0,5T

4,3831xOG 3,76704x0,5 x0,6 OG 0,34287m

0,616068x 0,6

0,5 x0,01

BG OG OB 0,34287 0,27925 0,06362m Volume air yang dipindahkan:

V

L.B.d BM

1,0 x0,8 x0,5585 I0 V

0,042667 0,4468

0,4468 m 3

0,0955 m

Tinggi metasentrum:

GM

BM BG 0,0955 0,06362 0,0319m

Karena tinggi metasentrum bertanda positif, berarti benda dalam kondisi stabil

30

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.18 Berat Ponton: W1=1000

kN Berat Silinder : W2=600 kN Berat total kedua benda : Gaya apung:

FB

W

W1 W2

1000

6000

1600 kN

13 x10 xxdx1020 x9,81 1300806 dN 1300 ,8d _ N

Dalam keadaan mengapung W=FB, sehingga :

1600 1300,8d  d 1,23m d

1,23

Jarak antara pusat apung dan dasar ponton OB 0,615m 2 2 : Dalam gambar, G1 dan G2 adalah pusat berat ponton dan silinder, sedang G adalah pusat berat benda gabungan

Jarak pusat berat gabungan dan dasar ponton dihitung dengan momen statis terhadap dasar Balok :

OG

W1 xOG1 W1

W2 xOG 2 W2

1000 x1,5

600 x 3 1600

3,5

3,375 m

Moment inersia tampang ponton muka air :

1 1 .L.B 3 x13x103 1083,3333m 4 12 12 Volume air yang dipindahkan: I0

V

13 x10 x1,23 159 ,9m3

I0 Jarak antara pusat BM apung dan titik V metasentrum : Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

1083 ,3333 159 ,9

6,775 m

BG OG OB 3,375 0,615 2,76m Tinggi metasentrum:

GM

BM BG 6,775 2,76 4,015m

Karena GM > 0, berarti benda dalam kondisi stabil

31

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.19 a. Stabilitas Benda Terapung S1 =

0,5 S2= 8,0

1 2

0,5 x1000 500 kg / m3 8,0 x1000 8000 kg / m3

Panjang benda dg 1: L1=100-2,5=97,5 cm

Panjang benda dg 2: L2=2,5 cm

Luas tampang lintang benda dg A =0,2x0,2=0,04 m2 Berat benda 1

W1

Berat benda 2

W2

Berat total kedua benda :

FB

Gaya apung:

1

.g. A.L1

2

.g. A.L2

500 x9,81 x0,04 x0,975 191,295 N 8000 x9,81 x0,04 x0,025

78,48 N

W W1 W2 191,295 78,48 269 ,775 N A.d . air .g 0,04 xdx1000 x9,81 392 ,4d


269,775 392,4d  d

0,6875m

Jarak antara pusat apung terhadap dasarOB :

0,6872 2

0,34375m

Jarak pusat berat ke dasar O :

OG

W1 xOG1 W1

W2 xOG2 W2 0,975 0,025 78,48 x 2 2 191,295 78,48

191,295x 0,025

0,36705m

Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

BG OG OB 0,36705 0,34375 0,0233m Moment inersia tampang lintang benda :

I0

1 .bh3 12


V

1 x0,2 x0,23 12

A.d

0,00013333m 4

0,04 x0,6875

0,0275 m 3

32

4/18/2010


BM

I0 V

0,00484848m

Tinggi metasentrum:

GM

BM BG 0,00484848 0,0233

0,01845m

Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil b. Panjang L1 supaya Benda Terapung stabil Misalkan L1 Panjang benda dg 1 akan dihitung jarak antara pusat berat benda gabungan G dan dasar O. 500 x9,81 x0,04 xL1 196 ,2 L1 _ N Berat benda 1 W1 1 . g . A.L1 Berat benda 2

W2

2

.g. A.L2

Berat total kedua benda :

OG 2 1

L

W1 xOG1 W1

W

W2 xOG2 W2

8000 x9,81 x0,04 x0,025

W1 W2

78,48 N

196 ,2 L1 78,48

196,2 L1 x 0,025

L1 2

196,2 L1

78,48 x0,0125 78,48

0,05L1 0,01 2 L1 0,8

Gaya apung:

FB

392 ,4d


196,2 L1 78,48 392,4d d Jarak pusat apung dari dasar : OB

196,2 L1 78,48 392,4

0,5 x 0,5L1 0,2

0,5L1 0,1

0,25 L1 0,1


BG OG OB

L12 0,05L1 0,01 2L1 0,8

0,25L1 0,1


BM

I0 V

0,00013333 0,5 L1 0,2 0,04

0,00333333 0,5 L1 0,2

33

4/18/2010


0,00333333 L12 0,5 L1 0,2 0,04 0,01333

L12 2 L1

0,05L1 0,01 2 L1 0,8

0,05L1 0,8

0,01

0,25L1

0,25L1

0,1

0,1

Bentuk diatas dapat disederhanakan menjadi

L12

0,7 L1

L1

0,8877m

0,16666

0

Benda akan terapung stabil apabila panjang benda dengan rapat massa 1 lebih kecil atau sama dengan 0,8877 m

Jawaban Tugas No 3.20 Benda bagian atas

Benda

S1

0,8

benda

0,8 x1000

800 kg / m 3

air

Benda bagian bawah

Benda

S2

5,0

benda

5,0 x1000

5.000 kg / m 3

air

Berat benda 1:

FG1

4

0,252 x1,0 x800 39,27kgf

Misalkan h adalah panjang benda bagian bawah :

Berat benda 2:

FG 2

4

0,252 xhx5000 245,437h _ kgf

Berat benda total:

FG

FG1

FG 2

39 ,27 245 ,43 h

34

4/18/2010

Pusat berat benda gabungan terhadap dasar dihitung dengan momen statis terhadap dasar Balok :

FG xOG OG

FG1 xOG1

FG1 xOG1

FG 2 xOG 2

FG 2 xOG 2 FG

OG

39,27 x h 0,5 245,437hx0,5h 39,27 245,437h

OG

122,719h 2 39,27h 19,635 245,437h 39,27

Gaya apung :

FB

4

x0,252 xdx1000 49,087d _ kgf

Dalam keadaan mengapung FG=FB sehingga:

39,27 245,437h 49,087d 245,437h 39,27 d 5h 0,8 49,087 Jarak pusat apung terhadap dasar Balok OB : Jarak antara pusat apung dan pusat berat : BG

OG

OB

122,719h 2 122,719h 2

d 2

0,25h 0,4

122,719h 2 39,27h 19,635 245,437h 39,27

2,5h

39,27h 19,635 2,5h 0,4 245,437h 245,437h 39,27 39,27h 19,635 613,5926h 2 245,437h 39,27

0,4 39,27

196,35h 15,708

490,8735h 2 157,08h 3,927 245,437h 39,27 10h 2 3,2h 0,08 5,0h 0,8

35

4/18/2010

Moment inersia tampang Silinder yang terpotong air :

I0

1 . .D 4 64


V

4

D 4 .d


BM

I0 V

D4 2 64 D d 64

3,90625x10 5h 0,8

0,254 2 64 0,25 d 64

3,90625x10 d

3

3

Benda akan stabil bila BM > GM : 3 2 3,90625x10 10h 3,2h 0,08 5h 0,8 5,0h 0,8 10h 2

3,2h 0,08 3,90625x10

10h 2

3,2h 0,07609375 0

3

0

Penyelesaian dari persamaan tersebut menghasilkan: h=0,02223m=2,22cm. Jadi supaya benda stabil maka panjang benda bagian bawah minimum adalah 2,22 cm.

36

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.21 a. Silinder mengapung dengan sumbunya vertikal Sb=

S Sa= 2S

1000 S _ kgf / m 3

b

a

Berat benda FG

FG

2000 S _ kgf / m 3

4

D 2 Lx1000S Gaya Apung FB FB

4

D 2 dx2000S

Dalam keadaan mengapung FG=FB, sehingga :

4

D 2 Lx1000S

4

D 2 dx2000S

S L 0,5L 2S

d

Jarak antara pusat apung terhadap dasar :

d 2

OB

OG

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :

Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

L 2

0,25L

0,5L

BG OG OB 0,5L 0,25L 0,25L

I

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air : 0


V

4

64

L 4

D4

D 2 .d

37

4/18/2010


BM

D4 2 64 D d

I0 V

D2 16d

64

D2 8L

Benda akan stabil apabila: BM>BG, sehingga:

D2 L 8L 4

L2

D2 2

L

D 2

terbukti

b. Silinder ,mengapung dengan sumbunya horisontal Karena berat jenis silinder (S) adalah setengah berat jenis zat cair (2S), berarti silinder terendam setengah bagiannya (muka air melalui pusat lingkaran).

d

0,5D

Pusat apung adalah sama dengan pusat berat setengah lingkaran

PB

4r 3

2D 3

Jarak Pusat apung dari dasar:

Jarak Pusat Berat dari dasar:

OG

D 2

OB

2D 3

D 2


BG

OG OB

D 2

D 2

2D 3

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air :


V

1 x D 2 .L 2 4

2D 3 I0 8

1 DL3 12

D 2 .L


BM

I0 V

DL3 2 8 D L

1 12

2 L2 3 D

Benda akan stabil apabila : BM>BG

2 L2 2 D 3 D 3

L2 D 2

L D

38

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.22 p=

berat jenis ponton S a= berat jenis air

p

0,6

0,6 x1000 600kgf / m3

p

a

a. Balok tunggal:

LBH . p 10 x0,3 x0,25 x600 Berat benda FG FG Bagian balok yang terendam air adalah d.

450 ,0kgf

Berat air yang dipindahkan FB :

3000 d _ kgf

LBd .

a

10 x0,3xdx1000

Karena mengapung, maka FB=FG, sehingga didapat 450 kedalaman:

d

3000

0,15m

OB

Jarak antara pusat apung terhadap dasar : Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :

d 2

0,075m

H 2

OG


0,125m

BG OG OB 0,125 0,075 0,05m

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air :

1 LB3 12

I0 Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

1 x10 x0,33 0,0225m 4 12 I0 0,0225 BM 0,05 m V 10 x0,3 x0,15

Tinggi metasentrum :

GM

BM

BG

0,05

0,05

0

Jadi benda dalam keseimbangan netral (akan mengguling)

39

4/18/2010

b. PONTON Berat papan di atas balok diabaikan. Momen inersia total terhadap sumbu ponton,

It

2I

AX 2

2I

LxBx 0,5 x0,6 0,5 x0,3

2 0,0225 10 x0,3 0,45

2

2

1,26m 4

Bagian balok ponton yang terendam air adalah d=0,15 m, (karena berat papan diabaikan). Volume air yang dipindahkan: V 2. A.d 2 x10 x0,3x0,15 0,9m3

I

1,26

t Jarak antara pusat BM 1,40 m apung dan titik V 0,9 metasentrum : Jarak pusat apung ponton dan pusat berat ponton terhadap dasar balok ponton adalah sama dengan kondisi a, sehingga:

BG OG OB 0,125 0,075 0,05m Tinggi metasentrum :

GM

BM

BG

1,40

0,05

1,35m

stabil

c. Apabila di atas PONTON terdapat beban seberat Wb=750 kgf. Berat ponton :Wp=2FG=900 kgf

Berat ponton :dan beban : Wpb= 900 + 750=1.650 kgf Setelah ada beban, bagian balok ponton yang terendam air Adalah d1. Berat air yang dipindahkan :

FB1

2 x10 x0,3xd1 x1000

1650 6000

Kedalaman balok ponton yang terendam air :d1 Jarak antara pusat apung terhadap dasar :OB

6000 d _ kgf

d 2

0,275m

0,275 0,1375m 2

Jarak antara pusat Berat dihitung dengan momen statis terhadap titik 0 :

Wpb xOG Wp xOG1 Wb xOG2

1,650xOG 900x0,5x0,25 750 0,25 0,5

OG 0,4091m

40

4/18/2010

Jarak pusat apung dan pusat berat :

BG OG OB 0,4091 0,1375 0,2716m Karena balok ponton tidak tenggelam maka momen inersia sebelum dan sesudah ada beban adalah sama:

It Volume air yang dipindahkan:

V

2. A.d

1,26 m 4

1,6296 m 3

2 x10 x0,3x0,2716


BM

I0 V

1,26 1,6296

0,7732 m

Tinggi metasentrum:

GM

BM BG 0,7732 0,2716 0,5016m PONTON TETAP STABIL

Jawaban Tugas No 3.23 a. Menyelidiki stabilitas benda : apung F Berat Silinder : FG B 40 kN Gaya :

D2d g

4

2

3 xdx1,020x9,81

4 70.730dN

70,730d _ kN

Karena mengapung, maka FB=FG, sehingga didapat kedalaman:

FG FB

40 70,73d

d

Jarak antara pusat apung terhadap dasar OB : Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :OG Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

d 2

0,5655m

L 2

0,5655 0,2828m 2

2,0m

BG OG OB 2,0 0,2828 1,7172m

41

4/18/2010

Moment inersia tampang lintang benda yang terpotong air :

I0

64

D4

64


V

4

x3

3,97608m 4

2

A.d

4

x 3 x0,5655 3,9973m3


I0 V

BM

3,97608 3,9973

0,9947 m


GM

BM

BG

0,9947 1,7172

0,7225m

Tinggi metasentrum adalah negatif, jadi benda dalam kondisi tidak stabil. Berarti benda tidak bisa mengapung dengan sumbu panjangnya vertikal.

b. Pusat dasar benda diberi gaya tarik: Misalkan P adalah gaya tarik yang bekerja pada rantai di pusat dasar pelampung. Berat benda dan gaya tarik P adalah:

FG

P

40 .000

Gaya apung :

PN D2d g

FB

4 70.730dN

2

3 xdx1,020x9,81

4 70,730d _ kN

Dalam keadaan mengapung, maka FB=FG+P :

40.000 P

70.730d

Jarak antara pusat apung dari dasar :

OB

d 2

d

40.000 P 70.730 40.000 P m 141.460

Dalam keadaan gaya tarik di 0, letak pusat berat berubah. Letak pusat Berat dihitung berdasarkan momen terhadap titik 0.

FG

P xOG

40000

FGxOG1

P xOG

Px0

40000x 2

0

OG

80000 40000 P

42

4/18/2010

Jarak pusat berat benda dan gaya tarik P terhadap dasar adalah:

BG OG OB

80000 40000 P


V

A.d

4

32 x

40000 P 70730

40000 P 141460

9,9938x10

5

40000 P

Moment inersia tampang lintang benda setelah adanya gaya tarik P adalah sama dengan sebelum adanya gaya tarik, yaitu =3,97608m4

BM

I0 V

3,97608 9,9938 x10 5 40000

P

39 .785 ,47 40000 P


39.785,47 80.000 40000 P 40000 P

40000 P 141.460

40000 P 40.214,53 141.460 40000 P 2 40000 P 141 .460 x 40 .214 ,53 40000 P 75.423,8

P 35.423,8N

35,4238kN

Jadi gaya tarik minimum yang harus diberikan adalah P = 35,4238 kN

43

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.24 Misalkan:

h : tinggi kerucut D: diameter dasar kerucut : setengah sudut puncak kerucut d: bagian kerucut yang terendam air 1: rapat massa kerucut 2: rapat massa air

tg tg

D/2 h *

D /2 h

D 2h *

D 2h

D D*

2htg 2htg

Berat Kerucut : 4

2

2h.tg

FG

1 x xhx 1 g 3

1 D 2 x x 1 gh 4 3

1 3 2 h tg x 1 g 3

Berat air uyang dipindahkan dihitung dengan cara yang sama seperti di atas Untuk kedalaman air yang dipindahkan benda sebesar d.

1 3

FB

.d 3 .tg 2

2

g

Supaya benda mengapung FB=FG:

1 3

d3

.d 3 .tg 2 1

h3

d

2

1 3

g 1

h.S 3

2

OB

Jarak pusat apung dari puncak kerucut O : Jarak pusat berat dari puncak kerucut:

.h 3 .tg 2

denganS 3 3 13 d hS 4 4

3 h 4 BG OG OB

1

g

1 2

OG


1 3 h1 S3 4

Diameter lingkaran pada permukaan air : D’=2d.tg.

44

4/18/2010

Moment inersia tampang lingkaran kerucut pada permukaan air :

I0

64

D*

4

64


x 2d .tg

FB 2g

V

4

d 3tg 2

3

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum : 4 4 0 4 3 2 3

BM

d tg d tg

I V

4

.d 4tg 4

3 dtg 2 4

Oleh karena tg =D/2h dan d=h.S1/3, maka

BM

2 1 D 3 h.S 3 4 4h 2

1

3D 2 S 3 16h

Untuk kesetimbangan stabil, BM ≤ BG : 1

3D 2 S 3 16h

1 3 h1 S3 4 2 1 D 3 S 4h 2

1

1 S3 1

1 S3 1

S3

1

S 3 tg 2

1 1 tg 2

h

1 D2S 3 1 4 1 S3

1

1 S 3 1 tg 2

1 1 tg 2 20 0

S

1

2

1

1 0,36397

2

0,8830

0,6885

Jadi supaya kerucut stabil maka rapat relatif kerucut adalah S≥ 0,6885

45

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.25 1

S1

air

S1 x

1

air

700kg / m 3

0,7 x1000 2

S2

0,9

air

S2 x

2

air

900kg / m 3

0,9 x1000

Misalkan: h : tinggi kerucut D: diameter dasar kerucut

D’: diameter tampang kerucut

d: kedalaman kerucut yang terendam air 2 : sudut puncak kerucut

tg

D/2 h

D 2h

D

2htg

Berat Kerucut : W

1 D 2 x xh. 1.g 4 3

1 4

2

2htg

1 h. 1.g 3

1 3 2 xh .tg 3

1

.g

Berat zat cair yang dipindahkan :

1 3 2 xd .tg 3

FB

2

.g

Oleh karena benda mengapung, maka FB=FG, sehingga:

1 3

.d 3 .tg 2

2

g

1 3

.h 3 .tg 2

1

g

d3

2

h3

1

1 3

d

h

1 2

46

4/18/2010

Jarak pusat apung dari puncak kerucut O :

OB

Jarak pusat berat dari puncak kerucut:

3 h 4

OG

3 d 4

1 3

3 h 4

1 2

Jarak antara pusat berat dan pusat apung: 1 3

3 3 h h 4 4

BG OG OB

1 3

3 h1 4

1 2

1 2

Moment inersia tampang lingkaran kerucut pada permukaan air :

I0

64

D*

4

64


FB 2g

V

d 3tg 2

3

4

x 2d .tg

2

4 2

g

g

3

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum : 4 4 0 4 3 2 3

BM

d tg d tg

I V

.d 4tg 4

d 3tg 2

3 d .tg 2 4

Agar benda dalam kesetimbangan stabil, titik metasentrum M harus di atas atau berimpit dengan G : BM≥ BG .

3 d .tg 2 4

3 h 4

3 h1 4 1 3

1 2

tg 2

1 3

1 2

3 h1 4

1 3

1 2

47

4/18/2010

1 3 1 3

1

tg

2

1

1

2

1

1

1 3

tg

2

2

1 3

2

1 2

700 900

1 tg 2

700 900

1 3

1 3

16,470

0,08738

Jadi sudut puncak kerucut adalah 2 =32,940= 32 0 56’

Jawaban Tugas No 3.26 Berat Pelampung :

FG

Gaya apung :

3500 N

FB

Berat Beban =

A.d . .g 2

1 xdx1,025x1000x9,81

W.

4 7897,375d

Berat Pelampung dan Beban = (W+3500).

Pada kondisi mengapung, maka FB=FG+W, sehingga:

7897 ,375 d

W

3500

d

W 3500 7897 ,375

Jarak antara pusat apung terhadap dasar :OB

d 2

W 3500 m 15794 ,75

48

4/18/2010

Jarak antara pusat Berat dan beban terhadap dasar dihitung berdasarkan momen statis terhadap titik 0,:

W

FG xOG

FGxOG2 W H

0,5

W

3500 xOG 3500x0,5 x0,75 W 0,75 0,5 1312,5 1,25W OG 3500 W 1312,5 1,25W W 3500 BG OG OB 3500 W 15.794,75 Moment inersia tampang Silinder yang terpotong muka air :

I0

64

D4

64

x1

4

0,0490874m 4


V

A.d

2

4

x1 x

W 3500 7897 ,375

W 3500 10 .055 ,25


BM

I0 V

0,049087 W 3500 10.055,25

493,5861 W 3500


493 ,5861 1312 ,5 1,25W W 3500 W 3500

W 3500 15 .794 ,75

818 ,914 1,25W W 3500 W 3500 15 .794 ,75

49

4/18/2010

12 .934 .541,9 19 .743 ,4W W

3500

W 2 12 .743 ,4W

0

684 .541,9

2

Penyelesaian dari persamaan tersebut menghasilkan :

W1

12 .796 N

W2

53,5 N

Jadi berat beban minimum sedemikian sehingga benda dalam kondisi stabil adalah W = 12.796 N

Jawaban Tugas No 3.27 Berat Kapal : W = 15 MN = 15 x 106 NBerat muatan : Lebar Kapal : B = 8,4 m.

3 N Wm=150kN=150x10 Jarak bergesernya muatan :l =4m

Panjang Kapal : L= 60 m

Kemiringan sudut :

= 300

Momen yang menyebabkan goyangan:

M0

150 x 4

600 kNm

50

4/18/2010

Momen tersebut menyebabkan bergesernya titik tangkap W dan G ke G’. Karena berat muatan jauh lebih kecil dari berat kapal maka berat tersebut diabaikan terhadap kapal. Bergesernya titik tangkap menyebabkan Moment :

15x103 xGM sin 30 kN m Jadi tinggi

M 1 WxGM sin

metasentrum adalah 0,7643 m

600 15x103 xGM sin 30

M0

M1

GM

600 15 x10 xGM sin 30 3

0,7643

Karena tinggi metasentrum GM positif berarti kapal dalam kondisi stabil

Untuk mencari posisi pusat berat dihitung jarak BM: BM Mencari momen inersia tampang kapal pada muka air:

I0

72% xI 0 segiempat

I0

0,72 x

I0 V

1 LB3 12 2133,73m 4

0,72 x

1 60 x8,43 12


V

W .g

15x106 1491,76m3 1025x9,81


BM

2133 ,73 1491 ,76

1,4303 m

Oleh karena pusat apung terletak pada 1,5 m (BP) di bawah muka air maka titik metasentrum:

PM

BP BM

1,5 1,43 0,07m

Jadi titik metasentrum M berada pada 0,07 m di bawah muka air :

PG

PM

GM

0,07 0,7643 0,8343m

Jadi Pusat berat berada pada 0,8343 m di bawah muka air :

51

4/18/2010

Jawaban Tugas No 3.28 a. MENYELIDIKI STABILITAS BENDA : Gaya apung Berat Ponton : FG1 : Berat beban : 4 ton Berat Total :

FB

FG1 4

FB

6 x6 x0,6 x1000

21 .600 kgf

21,6ton

Dalam keadaan mengapung, maka FB=FG, sehingga : FG 4 21,6 1

FG1

Jarak pusat apung dari dasar :

21,6 4 17,6ton

OB 0,5x0,6 0,3m Pusat berat benda dan beban terhadap dasar dihitung dengan momen statis terhadap dasar :

FG xOG OG

FG1 xOG1 FG 2 xOG 2

17,6 x0,6 4,0 x 1,2 1,2 21,6

OG

FG1 xOG1 FG 2 xOG 2 FG

0,9333m


BG OG OB 0,9333 0,3 0,6333m Moment inersia tampang balok yang terpotong muka air :

1 1 4 BB3 x6 108m 4 12 12 Volume air yang dipindahkan: V 6 x6 x0,6 21,6m 3 I0


BM

I0 V

108 21,6

5,0m


GM

BM

BG

5,0

0,63333

4,3667m

Karena GM > 0 berarti benda dalam kondisi stabil

52

4/18/2010

b. MENGHITUNG BEBAN MAKSIMUM: Beban maksimum adalah:W2

+ W2 Gaya apung :

FG

FB

FB

Berat Beban + ponton : FG=17,6

6,0 x6,0 xdx1000

36d

W2 17,6

Jarak pusat berat dari dasar OG :

36 .000 d _ kgf

W2 17,6 36

d

17 ,6 x0,6 W2 x 2,4 17 ,6 W2

Jarak antara pusat apung dari OB dasar : Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

BG

d 2

W2 17,6 72

Moment inersia tampang balok yang terpotong muka air :

I0


V

36 xd

2,4W2 10 ,56 W2 17 ,6

2,4W2 10 ,56 W2 17 ,6

OG OB

36x

36 d _ ton

W2 17 ,6 72

108 m 4

W2 17,6 W2 17,6 36


BM Benda akan stabil apabila BM>BG

108 2,4W2 10 ,56 W2 17 ,6 W2 17 ,6

108

2,4W2 10 ,56 W2 17 ,6 7015 ,68 172 ,8W2 W22 137 ,6W2

I0 V

W2 17 ,6 72

W2 17 ,6 72 W22 35,2W2

7325 ,44

108 W2 17 ,6

309 ,76

0

Dari persamaan tersebut tidak memberikan nilai W2 yang berarti tidak Ada beban maksimum yang memenuhi persamaan tersebut. Beban maksimum lebih ditentukan oleh tenggelamnya ponton daripada Tergulingnya. Beban maksimum yang dapat didukung adalah beban Yang menyebabkan ponton tenggelam, yang besarnya adalah :

53

4/18/2010

17 ,6 W2

6 x6 x1,2 x1000

W2

25,6 _ ton

Untuk mengetahui kebenaran dari pernyataan tersebut, maka beban W2 = 25,6 ton digunakan untuk menghitung kondisi stabilitas ponton. Dengan beban tersebut kondisi ponton adalah sebagai berikut ini.

Jarak pusat berat dari dasar :

OG

Jarak antara pusat apung dari dasar :

OB

25,6W2 x 2,4 10 ,56 25,6 17 ,6

W2 17,6 72


1,667 m

25,6 17,6 72

0,6m

BG OG OB 1,667 0,6 1,067m Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum : Tinggi metasentrum :

GM

BM

BG

I0 108 V W2 17 ,6 2,5 1,067 1,433m BM

2,5m

Jadi ponton dalam kondisi stabil, tetapi hampir tenggelam.

54

KESEIMBANGAN BENDA TERAPUNG

Recommend Documents