KESEI MBANGAN BENDA TERAPUNG

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

KESEI MBANGAN BENDA TERAPUNG Mempelajari masalah : • Prinsip hukum Archimedes • Prinsip keseimbangan dan kestabilan • Menghitung besar gaya apung dan letak pusat apung • Mengevaluasi kestabilan benda terendam atau terapung

salmani, ST, MS, MT

1


salmani, ST, MS, MT

2


salmani, ST, MS, MT

3


Kesimpulan • Benda yang terrendam di dalam air mengalami gaya berat

sendiri benda ( FG) yang bekerja vertikal ke bawah dan gaya apung ( FB) yang bekerja vertikal ke atas. Besar gaya apung sama dengan berat zat cair yang dipindahkan benda. Gaya berat bekerja pada pusat berat benda ( G) ; dan gaya apung bekerja pada pusat apung ( B) , yang sama dengan pusat berat zat cair yang dipindahkan benda. – FG > FB ⇒ Benda tenggelam – FG = FB ⇒ Benda melayang (terendam) – FG < FB ⇒ Benda mengapung

• Benda terendam akan stabil jika pusat berat G berada di bawah pusat apung B.

• Benda terapung dalam kesetimbangan stabil apabila pusat beratnya G berada di bawah pusat apung ( B) .

• Benda terapung dengan kondisi tertentu dapat pula dalam kesetimbangan stabil meskipun pusat beratnya berada di atas pusat apung. Kondisi stabilitas benda dapat diketahui berdasarkan tinggi metasentrum.

TUGAS 3

Menghitung tinggi metasentrum GM = BM − BG BM =

I0 V

BG= OG − OB Apabila :

M 〉0 ⇒ Benda − Stabil

Dimana dengan : GM = tinggi metasentrum I o = momen inersia tampang benda yang terpotong permukaan zat cair V = volume zat cair yang dipindahkan benda BG = jarak antara pusat berat dan pusat apung OG = jarak antara pusat berat dan dasar OB = jarak antara pusat apung dan dasar

M = 0 ⇒ Benda − Netral M 〈0 ⇒ Benda − Tidak − Stabil

salmani, ST, MS, MT

Soal :Stabilitas Benda Terapung 1. 2. 3. 4.

5.

Batu di udara mempunyai berat 500 N, sedang beratnya di dalam air adalah 300 N. Hitung volume dan rapat relatif batu itu. itu. Balok segi empat dengan ukuran 75 cm x 50 cm x 50 cm mengapung di air dengan sisi panjangnya sejajar muka air. Apabila bagian dari balok yang berada di atas permukaan air adalah 10 cm, hitung berat balok. Kubus kayu dengan panajang sisisisi- sisinya 0,5 m mempunyai rapat relatif 0,6 mengapung di air. Hitung bagian kubus yang terendam dalam air. Balok kayu dengan panjang 1,0 m lebar 0,4 m dan tingginya 0,3 m mengapung secara horizontal di air dengan sisi tingginya vertikal. Rapat relatif kayu S= 0,7. Hitung volume air yang dipindahkan dan letak pusat apung. Kubus kayu sisi 0,5 m mengapung di dalam air. Berapakah Berapakah berat beban yang harus diletakan di atas balok supaya balok terendam seluruhnya. Rapat relatif kayu S= 0,7.

4


6. Suatu balok ponton dengan lebar B= 6,0 m, panjang L= 12 m dan sarat d= 1,5 m mengapung di air taw ar ( ρ = 1000 kg/ m3) . Hitung: a. Berat balok ponton b. Sarat apabila berada di air laut ( ρ2 = 1025 kg/ m 3 ) c. Beban yang dapat didukung oleh ponton di air taw ar apabila sarat maksimum yang diijinkan adalah 2,0 m.

7.

Kubus dengan sisi 25 cm dan rapat relatif 0,9 mengapung di air dengan salah satu sisinya sejajar muka air. Berapakah beban harus diletakkan di atas kubus supaya kubus tersebut tenggelam di dalam air.

10.Pelampung silinder dengan diameter 3 m dan tinggi 3 m mengapung dengan sumbunya vertikal. Berat pelampung adalah 3 ton. Selidiki stabilitas pelampung. 11.Silinder berdiameter 3 meter dan tingginya 3 meter terbuat dari bahan dengan rapat relatif 0,8. Benda tersebut mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal. Hitunglah tinggi metasentrum dan selidiki stabilitas benda. 12.Balok berpenampang bujur sangkar dengan panjang sisinya 0,5 m dan tinggi H mengapung di dalam air. Rapat relatif balok 0,8. Berapakah tinggi H supaya balok dapat terapung stabil dengan sisi tingginya vertikal.

salmani, ST, MS, MT

8. Balok kayu mengapung di air taw ar dengan bagian yang berada di atas atas permukaan air adalah 10 cm. Apabila balok tersebut diapungkan di dalam minyak dengan rapat relatif 0,8; bagian balok yang berada di atas atas permukaan minyak adalah 7,5 cm. berapakah rapat reatif balok.

9. Tangki berbentuk kotak dengan panj ang 1 m dan lebar 0,5 m diisi air taw ar dan air raksa sampai ¾ kali tingginya. Berat tangki adalah 175 N. volume air adalah 49 kali volume air raksa. Tangki tersebut diletakan di air laut sehingga mengapung dengan bagian yang berada di atas air adalah setinggi 0,2 m. Apabila rapat relatif air raksa adalah 13,6 tentukan tinggi maksimum tangki. Rapat massa air laut dan air taw ar adalah 1020 kg/ m3 dan 10 00 kg/ m3.

13.Balok terbuat dari bahan dengan rapat relatif 0,8. mempunyai panjang L= 1,0 m dan tampang lintang bujur sangkar dengan sisi 0,8 m diapungkan di dalam air dengan sumbu panjangnya vertikal. Hitung tinggi metasentrum dan selidiki stabilitas benda.

14.Silinder berdiameter 45 cm dan rapat relatif 0,9. Apabila silinder mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal, tentukan panjang maksimum silinder.

5


15.Silinder dengan diameter 0,5 m dan panjang 1 m mengapung secara vertikal di laut. Rapat massa air laut adalah 1020 kg/ m3. Tentukan rapat massa bahan silinder apabila benda dalam kondisi tidak stabil. 16.Silinder kayu dengan rapat relatif 0,7 mengapung di air taw ar dengan sisi panjangnya vertikal. Apabila panjang dan diameter silinder adalah L dan D, berapakah perbandingan antara D dan L sedemikian sehingga silinder dapat mengapung stabil.

19.Suatu balok dengan panjang 1 m mempunyai tampang lintang bujur sangkar dengan sisi 20 cm mempunyai rapat relatif 0,5. Bagian baw ah balok tersebut setebal 2,5 cm mempunyai rapat relatif 8. Balok diapungkan dengan posisi berdiri ( lihat gambar) . • Selidiki stabilitas benda • Apabila benda tidak stabil, berapakah panjang bagian balok yang mempunyai rapat relatif 0,5 supaya benda bisa mengapung stabil.

17.Balok 17.Balok dengan panjang L= 1,0 m, lebar B= 0,8 m dan tinggi H= 0,6 m diapungkan di dalam air dengan sisi tingginya vertikal. Rapat relatif balok adalah S= 0,8. Selidiki stabilitas benda. Apabila di atas balok tersebut diletakan plat besi dengan panjang dan lebar yang sama dengan balok dan tebalnya T= 0,01 m, selidiki stabilitas benda gabungan. gabungan. Rapat relatif besi S= 7,85.

18.Ponton segiempat dengan panjang 13 m, lebar 10 m dan tinggi 3 m mempunyai berat 1000 kN. Di bagian atas ponton diletakan silinder dengan diameter 7 m dan berat 600 kN. Pusat berat silinder dan ponton dianggap terletak pada garis vertikal yang sama dan melalui pusat berat ponton. Hitung tinggi metasentrum. Rapat relatif air laut 1,02.

21. Silinder dengan panjang L, diameter D dan rapat relatif S mengapung dalam zat cair dengan rapat relatif 2S. Tunjukan bahw a silinder akan mengapung stabil dgn, Sumbunya vertikal apabila L < D/ √2 Sumbunya horisontal apabila L > D

20. Silinder terbuat dari dua bahan berdiameter 0,25 m mengapung di dalam air. Bagian atas sepanjang 1,0 m terbuat dari kayu dengan rapat relatif 0,8; sedangkan bagian baw ah mempunyai rapat relatif 5. Hitung panjang bagian baw ah agar silinder dapat mengapung dengan sisi panjang vertikal.

salmani, ST, MS, MT

6


22. Ponton dibuat dengan menghubungkan dua buah balok sepanjang 10 m, lebar 0,3 m dan tinggi 0,25 m yang mengapung di dalam air taw ar. Rapat relatif balok kayu S= 0,6. Selidiki stabilitas balok tunggal dan Selidiki stabilitas ponton. Apabila di atas ponton terdapat beban seberat 750 kg dengan pusat berat pada jarak 0,5 m dari sisi atas balok. Beban tersebut berada pada tengah-tengah ponton.

23. Pelampung silinder berdiameter 3 m dan panjang 4 m mempunyai berat 4 0 kN diapungkan diair laut ( S= 1,02 ) dengan sumbu memanjangnya vertikal. • Selidiki stabilitas benda. • Apabila pelampung tidak stabil, berapakah gaya tarik yang harus diberikan pada rantai yang dipasang pada pusat dasar silinder supaya silinder dalam kondisi stabil ( mengapung stabil) .

24.Kerucut padat mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal sedemikian sehingga puncaknya berada di baw ah. Apabila sudut puncak kerucut adalah 40o, tentukan rapat relatif benda sedemikian sehingga benda dalam kesetimbangan stabil.

25.Kerucut terbuat dari bahan dengan rapat relatif S1= 0,7 mengapung di atas zat cair dengan rapat relatif S2= 0,90. Hitung sudut puncak kerucut minimum sedemikian sehingga kerucut dapat mengapung dengan puncaknya dibawah.

26.Pelampung silinder berdiameter D= 1,0 m dan tinggi H= 0,75 m mempunyai berat 3500 N mengapung di air laut ( S= 1,025) dengan sumbu vertical. Di pusat sisi atas silinder diberi beban. Letak pusat berat beban adalah 0,5 m dari sisi atas silinder. Berapakah berat beban maksimum supaya pelampung tetap dalam kondisi stabil.

salmani, ST, MS, MT

27.Kapal dengan panjang 60 m lebar 8,4 m dan berat 15 MN. Muatan diatas kapal seberat 150 kN bergerak pada arah lebar sejauh 4 m sehingga menyebabkan kapal miring 3o. Momen I nersia tampang kapal pada elevasi muka air adalah 72% dari momen inersia segi empat yang mengelilinginya. Pusat apung terletak pada 1,5 m di baw ah muka air. Tentukan tinggi metasentrum dan posisi pusat berat kapal. Rapat massa air laut ρ= 1025 kg/ m3.

28.Ponton bujur sangkar dengan sisi 6 m dan tinggi 1,2 m mengapung di atas air. Apabila diatas ponton diberi beban seberat 4 ton, bagian dari ponton yang terendam air adalah 0,6 m. Beban berada pada tengahtengah ponton. Pusat berat ponton adalah 0,6 m diatas dasar dan pusat berat beban 1,2 m diatas sisi ponton. Selidiki stabilitas ponton. Berapa beban maksimum sehingga ponton tidak stabil.

7


Jawaban Tugas No 3.01 Gaya apung ( FB) adalah sama dengan perbedaan antara berat batu di udara dan di dalam air:

FB = Wdiudara −Wdiair = 500 − 300 = 200 N

Menurut hukum Archimedes, gaya apung ( FB) adalah sama dengan berat air yang dipindahkan batu. Berat air yang dipindahkan batu ( FB) adalah sama dengan perkalian antara volume air yang dipindahkan ( V) dan berat jenis air.

FB = γ.V = ρ.g .V = 1000 x9,81xV = 9810V

Dari kedua nilai FB di atas,

200 = 9810.V ⇒ V = 0,0204m 3

Volume air adalah sama dengan volume batu, sehingga volume batu adalah V= 0,0204 m 3 . Berat batu di udara adalah sama dengan berat jenis batu dikalikan volume batu,

W diudara = γ.V = ρ. g .V

Pusat apung( B) adalah titik pd mana gaya apung bekerja. Pusat apung ini merupakan pusat berat dari volume zat cair yang dipindahkan

Jawaban Tugas No 3.02 Tinggi balok yang terendam di dalam air:

d = 50 −10 = 40cm = 0,4m Volume bagian balok yang terendam di air:

V = 0,4 x0,5 x0,75 = 0,15m 3

Berat balok = berat zat cair yang dipindahkan

500 = ρx 9,81 x 0, 0204 ρ = 2500 kg / m 3 ⇒ S =

= γair .V = 1000 x0,15 = 150kgf

ρ 2500 = = 2 ,5 ρ air 1000

Jawaban Tugas No 3.03 Misal W : berat kubus, FB : gaya apung d : kedalaman bagian kubus yang terendam air

Jawaban Tugas No 3.04 Volume balok : V= 1.0x0,4x0,3= 0,1 2 m 3 Berat Balok :

γ S = benda ⇒ γbenda = S .γair = 0,6 x1000 = 600,0 kgf 3 m γair

Berat benda : Gaya apung :

W = γbenda .V = 600 x0,53 = 75,0 N

FB = γair .V air _ yg _ dipindahka n

= 1000 x ( 0 ,5 x 0,5 xd ) = 250 ,0 d Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

W = FB ⇒ 75,0 = 250 ,0 d ⇒ d = 0,3m

Jadi kedalaman kubus yang terendam air= 0,3 m.

salmani, ST, MS, MT

W = ρBalok .g .V = S .ρair .V

W = 0,7 x1000 x9,81x0,12 = 824,04 N

Rapat relatif :

Volume air yang dipindahkan :

V=

Berat _ balok 824,04 ⇒ = 0,084m 3 berat _ jenis _ air 1000 x9,81

Kedalaman bagian balok yg terendam air :

Volume _ air _ yg _ dipindahkan tampang _ balok _ pd _ muka _ air Letak pusat apung : V 0,084 d 0, 21 ⇒= = = 0,21m OB = = = 0,105 m A 1,0 x0,4 d=

2

2

Jadi letak pusat apung adalah 0,105 m dari dasar balok.

8


Jawaban Tugas No 3.05#1

Jawaban Tugas No 3.05#2

Volume balok : V1 = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125 m 3

Jika diatas Balok diberi beban dengan berat W2,maka berat total balok+ beban adalah:

W1 = γBalok .V = S .γair .V

Berat Balok :

W1 = 0,7 x1000 x0,125 = 87,5kgf Volume air yang dipindahkan :

V A1 =

W1 87,5 = = 0,0875m 3 γair 1000

Kedalaman bagian balok yg terendam air :

V 0,0875 d= = = 0,35m A 0,5 x0,5

Jawaban Tugas No 3.06 a. Dalam keadaam terapung, berat benda adalah sama dengan berat air yang dipindahkan benda ( FB) :

FG = FB = ρ1 . g . B . L .d

= 1000 x 9 ,81 x 6 , 0 x12 ,0 x1,5 = 1 .059 .480 N = 1 . 059 , 48 kN Jadi berat benda adalah ( FG) :1059,48 kN

ρ = 1025kg / m

b. Mencari sarat ( draft) di air laut : Rapat massa air laut :

Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

3

FG = FB = ρ 2 . g .B.L.d

d=

FG 1 .059 .480 = = 1, 463 m ρ 2 . g .B.L 1025 x 9,81 x 6,0 x12 ,0

c. Mencari sarat maksimum ( draft max) dmaks = 2,0 m, gaya apung total

FBmak = ρ . g .B.L.d max = 1000 x 9,81 x 6,0 x12 ,0 x 2,0 = 1412640 N

Wtotal = W1 + W2 = 87,5 + W2 Apabila balok terendam seluruhnya, berarti kedalaman balok yg terendam air adalah d2= 0,5 m. Volume air yang dipindahkan benda :

VA 2 = A.d 2 = 0,5 x0,5 x0,5 = 0,125m 3 Gaya apung :

FB = γair .V A 2 = 1000 x 0,125 = 125 ,0 kgf

Dengan menyamakan berat total dan gaya apung :

Wtotal = FB ⇒ 87 ,5 + W 2 = 125 ,0 ⇒ W 2 = 37 ,5 kgf Jadi berat beban di atas balok adalah W 2 = 37,5 kgf

Jawaban Tugas No 3.07#1 Sisi kubus : B= 25 cm Rapat relatif : S= 0,9 Berat benda :

⇒ ρb = 0,9 x1000 = 900kg / m 3

FG = V .ρ b . g = B 3 .ρ b . g

Misalkan tinggi kubus yang terendam air adalah d Gaya apung :

FB = A.d .ρa .g = B 2 .d .ρa .g

Dalam Keadaan mengapung :FG= FB

B 3 .ρb .g = B 2 .d .ρ a . g ⇒ d=

ρb B = SB = 0,9 x0,25 = 0,225m ρa

Jadi beban yg dpt didukung adalah:1.412,64-1.059,48= 353,16kN

salmani, ST, MS, MT

9


Jawaban Tugas No 3.07#2 Jika diatas kubus diberi beban dengan berat W2,maka berat total kubus dan beban adalah:

Wtotal = W1 + W2 = FG + W2

= 0,253 x900 x9,81 + W2 = 137,953 + W2 Apabila kubus terendam seluruhnya, berarti kedalaman kubus yang terendam air adalah d= 0,25 m. Gaya apung pada keadaan tersebut :

FB = V .ρair .g = 0,253 x1000 x9,81 = 153,281N

Jawaban Tugas No 3.08 Misal h adalah tinggi balok yang berada di atas permukaan zat cair. Di dalam air taw ar Sa= 1 ⇒ h = 10 cm Di dalam minyak : Sm = 0,8 ⇒ h = 7,5 cm Misalkan tinggi balok H dan luas dasar balok A cm 2 .

Gaya apung di air taw ar:

⇒ W 2 = 15 ,328 N

H .ρb = H ρ a − 0,1ρ a = 1000 H − 100 FG = FB 2 ⇒ AH ρb g = A( H − 0,075 ) ρ m g H ρ b = H ρ m − 0,075 ρ m = 800 H − 60

FB 2 = A( H − 0,075) ρmnyak .g FG = V .ρb .g = A.H .ρb .g

Gaya apung di minyak: Berat balok :

Dengan menyamakan berat total dan gaya apung :

Wtotal = FB ⇒ 137 ,953 + W 2 = 153 , 281

FB1 = A( H − 0,1) ρair .g

Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

FG = FB1danF G = FB 2 ⇒ FG = FB1 ⇒ A.H .ρb . g = A( H − 0,1) ρ a . g

Jawaban Tugas No 3.09 Luas tampang tangki : A= L x B = 1 x 0,5 = 0,5 2 m Misalkan tinggi tangki adalah H, sedang V dan V adalah volume air 1

Dengan menyamakan persamaan di atas:

Volume air dan air raksa :

1000 H − 100 = 800 H − 60 ⇒ H = 0, 20 m Substitusi nilai tersebut ke dalam persamaan aw al :

0, 20 .ρ b = 1000 x 0, 20 − 100 a ρ b = 500 kg / m 3 S Balok

salmani, ST, MS, MT

=

ρ balok ρ air

=

500 kg / m 1000 kg / m

3 3

= 0 ,5

2

dan air raksa.

V1 + V2 = 0,5 x0,75H = 0,375H _ m 3

Selain itu, V1 = 49V2 sehingga 49V2 + V2 = 0,375H Atau :

V2 =

0,375H = 0,0075H ⇒ V1 = 49 x0,0075H = 0,3675H _ m3 50

Berat tangki, air dan air raksa adalah :

W

= W

t

+ W

= 175 + 1000 + 13 , 6 x 1000 = 175

+ 4605

1

+ W

2

x 9 , 81 x 0 , 3675 x 9 , 81 x 0 , 0075 , 795

H H

H _ N

10


Gaya apung : FB= A.dair laut .g= 0,5dx1020x9,81= 5003,1d N Dalam keadaan mengapung W= FB, sehingga:

175 + 4605 H = 5003 ,1d ⇒ d =

175 + 4605 ,795 H 5003 ,1

Bagian tangki yang berada di atas permukaan air adalah 0,2m, berarti bagian yang terendam adalah:

d = H − 0, 20 m

Dengan menyamakan kedua bentuk nilai d di atas didapat :

175 + 4605 ,795 H 5003 ,1 a 5003 ,1H − 1000 ,62 = 175 + 4605 ,795 H H − 0, 2 =

didapat : H = 2,959 m

Moment inersia tampang pelampung yang terpotong muka air:

I0 =

π π xD 4 = x 3 4 = 3,9708 m 4 64 64

Volume air yang dipindahkan:

V =

π 2 π D d = x 3 2 x 0, 4244 = 3,0 m 3 4 4

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

BM =

I 0 3,97608 = = 1,3254 m V 3,0

Tinggi metasentrum:

GM = BM − BG = 1,3254 −1,2878 = 0,0376m

Karena GM > 0, berarti pelampung dalam kondisi stabil

salmani, ST, MS, MT

Jawaban Tugas No 3.10 Berat pelampung : FG = 3 ton Misalkan bagian dari pelampung yang terendam air adalah d. Gaya apung: π π

FB =

4

D 2 .d .γ air ⇒ F B =

4

3 2 .d . 1000 = 7068 , 58 d

Dalam keadaan mengapung : FG = FB⇒ 3000= 7068,58 d, maka d= 0,4244 m d OB = = 0,2122m Jarak pusat apung terhadap dasar 2 silinder : Jarak pusat berat terhadap dasar silinder :

OG =

3,0 = 1,5 m 2

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

BG = OG − OB = 1,5 − 0,2122 = 1,2878 m

Jawaban Tugas No 3.11

γBenda = 0,8 ⇒ γbenda = 0,8 x1000 = 800kgf / m 3 γair π Berat benda : FG = D 2 .H .γBenda 4

S=

Dalam keadaan mengapung : FG = FB, sehingga :

π 2 π γ D . H .γ Benda = D 2 .d .γ Air a d = Benda xH = 0 ,8 x 3 = 2 , 4 m 4 4 γ Air Jarak pusat apung terhadap dasar silinder : Jarak pusat berat terhadap dasar silinder OG = :

OB =

2,4 = 1,2m 2

3,0 = 1,5 m 2


BG = OG − OB = 1,5 −1,2 = 0,3m

11



I0 =

π π xD 4 = x 3 4 = 3,9708 m 4 64 64


V =

π 2 π D d = x 3 2 x 2, 4 = 16 ,9649 m 3 4 4


BM =

I0 3,9761 = = 0, 234 m V 19 ,9646

Tinggi metasentrum:

GM = BM − BG = 0,234 − 0,3 = −0,066m

Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil


I0 =

1 1 .B .B 3 = x 0,5 4 = 5, 2083 x10 −3 m 4 12 12


V = B d = 0,5 x 0,8 H = 0, 2 H 2

2


BM =

I 0 5, 2083 x10 = V 0, 2 H

−3

=

0,0260415 H

0,0260415 Benda akan stabil jika BM > BG : > 0,1H ⇒ H < 0,51m H Jadi benda akan stabil apabila tinggi balok maksimum 1,02m

salmani, ST, MS, MT

Jawaban Tugas No 3.12 S=

ρBenda = 0,8 ⇒ ρbenda = 0,8 x1000 = 800kgf / m 3 ρair 2 Berat benda : FG = 0,5 .H .ρBenda , g

Gaya Apung :

FB = 0,52.d .ρair .g


0,52.H .ρBenda .g = 0,52.d .ρ Air .g a d =

ρBenda xH = S .H = 0,8 H ρ Air OB =

Jarak pusat apung terhadap dasar : Jarak pusat berat terhadap dasar :

OG =

d = 0,4 H 2

H = 0 ,5 H 2


BG = OG − OB = 0,1H

Jawaban Tugas No 3.13 S =

γ Benda γ air

= 0 , 8 ⇒ γ benda = 0 , 8 x 1000 = 800 kgf / m 3

Luas Tampang lintang balok:

A = B.H = 0,8 x0,8 = 0,64m 2

Berat benda : FG = A.L.γBenda = 0,64 x1,0 x800 = 512kgf Berat air yang dipindahkan:

FB = γAir . A.d = 1000 x 0,64 xd = 640d _ kgf


512 = 640.d a d = 0,8m

d 0,8 OB = = = 0,4m Jarak pusat apung terhadap dasar Balok 2 2 L 1 , 0 : = = 0 ,5 m Jarak pusat berat terhadap dasar Balok :OG =

2

2

Jadi Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

BG = OG − OB = 0,5 − 0,4 = 0,1m

12


Moment inersia tampang bujursangkar yang terpotong muka air:

1 1 I 0 = .B .H 3 = x 0,8 x 0,8 3 = 0,03413 m 4 12 12 Volume air yang dipindahkan:

V = A.d = 0,64 x 0,8 = 0,512 m

3


I 0,03413 BM = 0 = = 0,06667 m V 0,512 Tinggi metasentrum:

GM = BM − BG = 0,06667 − 0,1 = −0,03333m

Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil


π π I0 = xD 4 = x ( 0, 45 ) 4 = 2,01289 x10 −3 m 4 64 64 Volume air yang dipindahkan: π π V = D 2 d = x ( 0, 45 ) 2 x 0,9 H = 0,143139 H _ m 3 4 4 Tinggi metasentrum:

BM =

I 0 2,01289 x10 −3 0,0140625 = = V 0,143139 H H

Benda akan stabil apabila BM> BG

0,0140625 〉0,05H ⇒ H 〈0,53m H Jadi tinggi silinder maksimum adalah 0,53 m.

salmani, ST, MS, MT

Jawaban Tugas No 3.14 S=

γBenda = 0,9 ⇒ γbenda = 0,9 x1000 = 900kg / m 3 γair

Berat benda :

FG = =

π 2 D .H .γBenda 4

Gaya Apung :

π 0, 452 xHx900 = 143,1388H _ kgf 4

Dalam keadaan mengapung :

FB = =

π 2 D .d .γAir 4

π x0,452 xdx1000 = 159,0431d _ kgf 4

FG = FB a 143,1388H = 159,0431d a d = 0,9 H d

Jarak pusat apung terhadap dasar :OB = 2 =

=

Jarak pusat berat terhadap dasar OG :

0 ,9 = 0 , 45 H 2

1, 0 = 0 ,5 H 2


BG = OG − OB = 0,5 H − 0,45 H = 0,05 H

Jawaban Tugas No 3.15 Misal W adalah berat benda dan ρ1dan ρ2 adalah rapat massa air laut dan bahan silinder. π 2 π 2

W = ρ2 .g.V = ρ2 .g.

Gaya apung :

FB

4

D h = ρ2 .g . 1 1 = 0,25πρ2 .g 4

π = D 2 .d . ρ 1 . g 4

Pada kondisi mengapung, berat benda ( W) adalah sama dengan gaya apung ( FB) , sehingga:

0, 25πρ 2 . g =

π 2 ρ ρ ρ D .d .ρ1 . g ⇒ d = 1 .h = 2 x1 a d = 2 4 ρ2 1020 1020 π

π

.ρ

0,25πρ2

2 2 2 = Volume air yang dipindahkan V = D .d = D x 4 4 1020 ρ1 : d ρ2 Jarak pusat apung benda dari dasar silinder OB = = 2 2 x 1020

Jarak pusat berat benda dari dasar silinder

=

ρ2 2040

1 1 OG = h = x1 = 0,5m 2 2

Jarak antara pusat berat benda dan pusat apung BG = OG − OB = 0 ,5 −

ρ2 2040

13


Moment inersia tampang lingkaran yang terpotong muka air:

I0 =

π π π 4 xD 4 = x (1) 4 = m 64 64 64

Didapat:ρ2 a

= 870,624kg / m3 ⇔ ρ2b = 149,375kg / m 3

Apabila kedua hasil tersebut disubstitusikan kedalam persamaan d=

ρ2 1020

Didapat:

Jarak antara pusat apung dan Titik metasentrum:

π I0 63 , 75 64 BM = = = 0 , 25 πρ 2 V ρ2 1020 Silinder dalam kondisi stabil apabila tinggi metasentrum BM> BG

63,75  ρ  63,75 ρ 〉0,5 − 2 ⇒ 0,5 = + 2 1020ρ2 = 130050 + ρ22 ρ2  2040  ρ2 2040

d = 0,8536m ⇔ untukρ2 a = 870,624kg / m 3 dan

d = 0,1464m ⇔ untukρ2b = 149,375kg / m 3

ρ22 −1020ρ2 + 130.050 = 0 ρ2 ab =

1020 ± (1020) 2 − 4 x1x1030.050 2

Jawaban Tugas No 3.16 Rapat relatif silinder kayu : Sb = 0,7. Berat benda :

FG =

π D 2 .L .ρ b . g 4

ρ balok ρ air

Moment inersia tampang lingkaran yang terpotong muka air:

= 0 ,7 ⇒

Gaya apung :

FB =

ρ b = 0 , 7 ρ air

π D 2 .d . ρ a . g 4

Pada kondisi mengapung, berat benda ( FG) adalah sama dengan gaya apung ( FB) , sehingga:

π 2 π ρ D L ρ b . g = D 2 .d .ρ a . g ⇒ d = b . L = S b L 4 4 ρa d Jarak pusat apung benda dari dasar silinder OB = = 0,5Sb L 2 L = 0,5 L Jarak pusat berat benda dari dasar silinder OG = 2 Jarak antara pusat berat benda dan pusat apung

BG = OG − OB = 0 ,5 L − 0 ,5 S b L = 0 ,5 L ()Τϕ 1 − Sb

salmani, ST, MS, MT

I0 =

π xD 4 64

Volume air yang dipindahkan :

V =

π 2 π D .d = D 2 xS b xL 4 4

Jarak antara pusat apung dan Titik metasentrum:

π D4 I0 D2 = 64 = π 2 V 16 Sb L D Sb L 4 Silinder akan stabil apabila BM> BG BM =

2 D2 〉0 , 5 L ()Τϕ 1− Sb ⇒ /Φ3D 2 11.3906 〉8 S b ()Τϕ 1− Sb 16 S b L

Τφ /Φ31.037 11.3906 0 0 Τφ 1 602.28 1.037

D2 〉 8 S b ()Τϕ 1 − S b 〉/Φ3 8 x 0 11.3906 , 7 x ()Τϕ 1 − 0 , 7 /Φ3 Τφ L2 D2 〉1 , 296 L2

1.037 11.3906 0 0Τφ1 1.037 597.960

ΕΤ Θ θ 362.04 83.3556 4.08 13.44 ρε Ω ν ΒΤ /Φ3 13.8359 Τφ 0.8938

14


Jawaban Tugas No 3.17 FG = V .g.ρBenda = g .L.B.HρBenda

1 1 .L.B 3 = x1,0 x 0,8 3 = 0,042667 m 4 12 12 1 1 I y = .B.L3 = x 0,8 x1,0 3 = 0,06667 m 4 12 12

= 9,81x 0,8 x0,6 x1,0 x800 = 3.767,04 N = 3,76704kN

Dari kedua hasil nilai tersebut ambil yang terkecil, yaitu I x= 0,042667m4

RAPAT MASSA AIR:

ρa

RAPAT MASSA BENDA : Berat benda :

Moment inersia tampang segi empat :

ρb

S=

ρBenda = 0,8 ⇒ γbenda = 0,8 x1000 = 800kg / m 3 ρair

Berat air yang dipindahkan:

FB = ρ Air .g .L.B.d = 1000 x9,81x1,0 x 0,8 xd = 7,848d _ kN

3,76704 = 7,848d a d = 0,48m

Dalam keadaan mengapung :

Jarak pusat apung terhadap dasar Balok : H Jarak pusat berat terhadap dasar Balok :

OG =

2

OB = =

d 0,48 = = 0,24m 2 2

0 ,6 = 0 ,3 m 2


BG = OG − OB = 0,3 − 0,24 = 0,06 m

FGt = L.B.T .g.ρPlat

V = L.B.d = 1,0 x 0,8 x 0, 48 = 0,384 m 3 Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

BM =

I 0 0,042667 = = 0,1111 m V 0,384

GM = BM − BG = 0,1111 − 0,06 = 0,0511m Karena GM > 0, berarti benda dalam kondisi stabil

Tinggi metasentrum:


V = L.B.d = 1,0 x 0,8 x 0,5585 = 0,4468 m 3

= 7,85 x1000 x9,81x1,0 x0,8 x 0,01 = 616,068 N = 0,616068kN = 3,76704 + 0,616068 = 4,3831kN

Berat total benda W = F + F G Gt : Berat air yang dipindahkan:

FB = ρ Air .g .L.B.d = 1000 x9,81x1,0 x0,8 xd = 7,848d _ kN

Dalam keadaan mengapung : W


BG = OG − OB = 0,34287 − 0,27925 = 0,06362 m

Apabila diatas balok ditempatkan plat setebal T= 0,01 m Berat plat :

Ix =

= FB ⇒ 4,3831 = 7,848d ⇒ d = 0,5585m d

Jarak pusat apung terhadap dasar Balok OB = = 2 :

BM =

I 0 0,042667 = = 0,0955 m V 0, 4468

Tinggi metasentrum:

GM = BM − BG = 0,0955 − 0,06362 = 0,0319m

0,5585 = 0,27925m 2

Jarak pusat berat gabungan terhadap dasar Balok dihitung berdasarkan momen statis terhadap dasar balok:

WxOG

4 , 3831 xOG = 3 , 76704 OG = 0 , 34287 m

salmani, ST, MS, MT

Karena tinggi metasentrum bertanda positif, dalam kondisiΤφ stabil Θ θ 258.72 107.1156 3.36 9.96 ρε Ω νberarti 0 γ 0 benda Γ ΒΤ /Φ3 10.5078 0.9565 0 0 1 258.72 109.3956 Τµ 1 x 0 , 5 x 0 , 6 + 0 , 616068 x ()Τϕ 0 , 6 + 0 ,/Φ3 5 x 0 , 0110.5078 Τφ 0.9565 0 0 1 353.88 97.1556 Τµ ()

= F G x 0 , 5 H + F Gt x ()Τϕ H + 0 , 5ΕΤ T

15


Jawaban Tugas No 3.18 Berat Ponton:

Berat total kedua benda :

W = W1 + W2 = 1000 + 6000 = 1600kN

FB = 13x10 xxdx1020 x9,81 = 1300806dN = 1300,8d _ N

Dalam keadaan mengapung W= FB, sehingga :

1600 = 1300,8d a d = 1,23m

d

1,23

Jarak antara pusat apung dan dasar ponton OB = = = 0,615m 2 2 : Dalam gambar, G1 dan G2 adalah pusat berat ponton dan silinder, sedang G adalah pusat berat benda gabungan Jarak pusat berat gabungan dan dasar ponton dihitung dengan momen statis terhadap dasar Balok :

OG =

W 1 xOG 1 + W 2 xOG W1 + W 2

2

=

1 1 .L.B 3 = x13 x10 3 = 1083 ,3333 m 4 12 12 Volume air yang dipindahkan: I0 =

W 1 = 1000 kN W 2 = 600 kN

Berat Silinder :

Gaya apung:

Moment inersia tampang ponton muka air :

1000 x 1, 5 + 600 x ()Τϕ 3 + 3 , 5 ΕΤ Θ θ 323.52 = 3 , 375 m 1600

V = 13 x10 x1, 23 = 159 ,9 m 3 I Jarak antara pusat BM = 0 = apung dan titik V metasentrum : Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

BG = OG − OB = 3,375 − 0,615 = 2,76m Tinggi metasentrum:

GM = BM − BG = 6,775 − 2,76 = 4,015m

333.4356 3.36Karena 9.84GM ρε> Ω0, νberarti 0 Γ benda ΒΤ /Φ3 10.5156 0.9563 0 0 1 323.52 335. dalam kondisiΤφ stabil


Jarak pusat berat ke dasar O :

a. Stabilitas Benda Terapung

OG =

S1 =

0,5 ⇒ ρ1 = 0,5 x1000 = 500kg / m

3

S2 = 8,0 ⇒ ρ2 = 8,0 x1000 = 8000kg / m Panjang benda dg ρ1: L1= 100-2,5= 97,5 cm

3

Panjang benda dg ρ2: L2= 2,5 cm

Luas tampang lintang benda dg A = 0,2x0,2= 0,04 m2 Berat benda 1

W1 = ρ1.g. A.L1 = 500 x9,81x0,04 x0,975 = 191,295 N

Berat benda 2

W2 = ρ2 .g. A.L2 = 8000x9,81x0,04 x0,025 = 78,48 N

W = W1 + W2 = 191,295 + 78,48 = 269,775 N FB = A.d .ρair .g = 0,04 xdx1000 x9,81 = 392,4d

Berat total kedua benda : Gaya apung:


269,775 = 392,4d a d = 0,6875m

0,6872 Jarak antara pusat apung terhadap dasarOB : = = 0,34375m 2

salmani, ST, MS, MT

1083 ,3333 = 6,775 m 159 ,9

W 1 xOG 1 + W 2 xOG W1 + W 2

2

0 , 975  0 , 025  191 , 295 x 0 , 025 +  + 78 , 48 x 2 2   = = 0 , 36705 m 191 , 295 + 78 , 48 Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

BG = OG − OB = 0,36705 − 0,34375 = 0,0233m Moment inersia tampang lintang benda :

I0 =

1 1 .bh 3 = x 0, 2 x 0, 2 3 = 0,00013333 m 4 12 12


V = A.d = 0,04 x 0,6875 = 0,0275 m 3

16


BM =


I0 = 0,00484848 m V

FB = 392,4d

Gaya apung:


196,2 L1 + 78,48 = 392,4d

Tinggi metasentrum:

GM = BM − BG = 0,00484848 − 0,0233 = −0,01845m

a d=

Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil Jarak pusat apung dari dasar : OB

b. Panjang L1 supaya Benda Terapung stabil Misalkan L1 Panjang benda dg ρ1 akan dihitung jarak antara pusat berat benda gabungan G dan dasar O. Berat benda 1 W1 = ρ1 .g . A.L1 = 500 x9,81x 0,04 xL1 = 196,2 L1 _ N Berat benda 2

W2 = ρ2 .g . A.L2 = 8000 x9,81x0,04 x0,025 = 78,48 N

Berat total kedua benda :

OG =

W 1 xOG 1 + W 2 xOG W1 + W 2

=

L   196 , 2 L 1 x 0 , 025 + 1  + 78 , 48 x 0 , 0125 2   196 , 2 L 1 + 78 , 48

L 2 + 0 , 05 L 1 + 0 , 01 = 1 2 L 1 + 0 ,8

Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

BG = OG − OB =

BM =

− L 12 − 0 , 05 L 1 − 0 , 01 〉 − ()Τϕ 0 , 25 L 1 /Φ3 + 0 ,1 2 L 1 + 0 ,8

0.7462 608.87

S =

ρBenda

= 0,8 ⇒ γ

= 0,8 x1000 = 800kg / m 3

1 benda 363.96 ρair 237.6756 Τµ ()

ρBenda

= = 5,0 ⇒ γbenda = 5,0 x1000 = 5.000kg / m bawah S 2211.2756 11.4063 Τφ 1.0356 0 0Benda 1 bagian 330.84 Τµ () ρair

Bentuk diatas dapat disederhanakan menjadi

L − 0 , 7 L 1 − 0 ,16666

14.4141 Τφ 0.7461 0 0

I0 0,00013333 0,00333333 = = V ()Τϕ 0,5L1 +/Φ3 0,2 0,16.7773 04 ()Τϕ 0,5L1 Τφ +/Φ3 0,20.7462 16.7773 0 0Τφ1

Benda bagian atas 0 , 00333333 L + 0 , 05 L 1 + 0 , 01 〉 − ()Τϕ 0 , 25 L 1 /Φ3 + 0 ,1 11.4063 Τφ 1.0356 0 0 1 ()Τϕ 0 , 5 L 1 +/Φ3 0 , 2 0 ,11.4063 04 2 L 1Τφ + 0 ,1.0356 8 0 0 1 179.52 230.8356 Τµ () 2 1

2 1

L12 + 0,05L1 + 0,01 − ()Τϕ 0,25L1 /Φ3 + 0,1 2 L1 + 0,8



0 , 01333

= 0,5 x()Τϕ 0,5 L1 +ΕΤ 0,2 Θ= ()Τϕ θ0,25 664.92 L1 ΕΤ + 0,1Θ 438.5556 θ 726.84 3.36 438.5556 12.96


W = W1 + W2 = 196,2 L1 + 78,48 2

196,2 L1 + 78,48 = 0,5L1 + 0,1 392,4

= 0

L 1 = 0 , 8877 m Benda akan terapung stabil apabila panjang benda dengan rapat massa ρ1 lebih kecil atau sama dengan 0,8877 m

Berat benda 1:

FG1 =

3

π 0,252 x1,0 x800 = 39,27 kgf 4

Misalkan h adalah panjang benda bagian baw ah :

Berat benda 2:

FG 2 =

π 0,252 xhx5000 = 245,437h _ kgf 4

Berat benda total:

FG = FG1 + FG 2 = 39,27 + 245,43h

salmani, ST, MS, MT

17


Pusat berat benda gabungan terhadap dasar dihitung dengan momen statis terhadap dasar Balok :

F G xO G = F G 1 xO G 1 + F G 2 xO G 2 OG =

F G 1 xO G 1 + F G 2 xO G 2 FG

OG =

39 , 27 x ()Τϕ h + 0 , 5 /Φ3 + 24514.4141 , 437 hx 0 , 5 h Τφ 39 , 27 + 245 , 437 h

OG =

122 , 719 h 2 + 39 , 27 h + 19 , 635 245 , 437 h + 39 , 27

1 .π .D 4 64 π 4 D .d 4


BM = =

I0 = V

π 64 π 64

D4 = D 2d

3,90625 x10 −3 5h + 0,8

salmani, ST, MS, MT

0, 25 4 3,90625 x10 −3 = 0, 25 2 d d

π 64 π 64

BG = OG − OB =

=

d = 0,25h + 0,4 2

122 , 719 h 2 + 39 , 27 h + 19 , 635 − ()Τϕ 2 , 5 h + 0/Φ3 ,4 245 , 437 h + 39 , 27

8.6563 Τφ 0.9244 0 0 1 706.

()Τϕ 122 , 719/Φ3 h + 39 10.5 , 27 h +Τφ 19 , 635 0.7621 − ()Τϕ 2 , 5 h0 + 00/Φ3 , 41()Τϕ 245 616.4399 8.6563 , 437/Φ3 h + 39 Τφ 8.6563 ,392.9556 270.9244 Τφ 00.9244 Τµ0 () 1 659.4 0 0 1392.9556 720.35 2

245 , 437 h + 39 , 27

122 , 719 h 2 + 39 , 27 h + 19 , 635 − 613 , 5926 h 2 − 196 , 35 h − 15 , 708 = 245 , 437 h + 39 , 27

Moment inersia tampang Silinder yang terpotong air :

V =

Jarak pusat apung terhadap dasar Balok OB : Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

=

π FB = x0,252 xdx1000 = 49,087d _ kgf 4


39,27 + 245,437 h = 49,087 d 245,437 h + 39,27 ⇒ d= = 5h + 0,8 49,087

0.9253 0 0 1 227.16 421.8756 Τµ ()

Gaya apung :

I0 =

Dalam keadaan mengapung FG= FB sehingga:

=

− 490 ,8735 h 2 − 157 , 08 h + 3 , 927 245 , 437 h + 39 , 27

=

− 10 h 2 − 3 , 2 h + 0 , 08 5 , 0 h + 0 ,8

Benda akan stabil bila BM > GM : 3,90625 x10 −3 − 10 h 2 − 3, 2 h + 0,08 〉 5 h + 0,8 5,0 h + 0,8 2 − 10 h − 3, 2 h + 0,08 − 3,90625 x10 −3 = 0 − 10 h 2 − 3, 2 h + 0,07609375 = 0 Penyelesaian dari persamaan tersebut menghasilkan: h= 0,02223m= 2,22cm. Jadi supaya benda stabil maka panjang benda bagian baw ah minimum adalah 2,22 cm.

18



I =

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air : 0

a. Silinder mengapung dengan sumbunya vertikal

π 4 D 64

S ⇒ γb = 1000S _ kgf / m 3 ⇒ γa = 2000S _ kgf / m3 Sa = 2S Sb=

Berat benda FG

FG =

π 2 π D Lx1000S Gaya Apung FB FB = D 2 dx 2000S 4 4

Dalam keadaan mengapung FG= FB, sehingga :

π 2 π S D Lx1000S = D 2 dx 2000S ⇒ d = L = 0,5L 4 4 2S OB =

Jarak antara pusat apung terhadap dasar :

OG =

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :

Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

d = 0,25 L 2

L = 0,5L 2

BG = OG − OB = 0,5 L − 0,25L = 0,25L =

BM =


I0 = V

π 64 π 64

D4 D2 D2 = = D 2 d 16 d 8 L

Benda akan stabil apabila: BM> BG, sehingga:

D2 L D2 D 〉 → L2 〈 → L〈 ⇒ terbukti 8L 4 2 2 b. Silinder ,mengapung dengan sumbunya horisontal Karena berat jenis silinder (S) adalah setengah berat jenis zat cair (2S), berarti silinder terendam setengah bagiannya (muka air melalui pusat lingkaran).

d = 0,5 D Pusat apung adalah sama dengan pusat berat setengah lingkaran

PB =

4r 2D = 3π 3π Jarak Pusat apung dari dasar:

Jarak Pusat Berat dari dasar:

salmani, ST, MS, MT

L 4

D OG = 2

OB =

D 2D − 2 3π

V =


π 2 D .d 4

Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

D D 2 D  2 D − − = 2  2 3π  3π 1 Moment inersia tampang silinder yang terpotong air : I0 = DL3 12 BG = OG − OB =


V =

1 π 2 π x D .L = D 2 .L 2 4 8


BM =

I 0 121 DL3 2 L2 =π 2 = V 3π D 8 D L

Benda akan stabil apabila : BM> BG

2 L2 2 D 〉 ⇒ L2 〉D 2 ⇒ L〉D 3π D 3π

19


Jawaban Tugas No 3.22 γp= berat jenis ponton γp S= γa γa = berat jenis air a. Balok tunggal: Berat benda FG

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air :

FG = LBH .γp = 10 x0,3 x0,25 x 600 = 450,0kgf

Bagian balok yang terendam air adalah d. Berat air yang dipindahkan :

FB = LBd .γa = 10 x0,3 xdx1000 = 3000d _ kgf

Karena mengapung, maka FB= FG, sehingga didapat 450 kedalaman:

d=

3000

I0 =

= 0,6 ⇒ γp = 0,6 x1000 = 600kgf / m3

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :

OB =

d = 0,075m 2

OG =


Tinggi metasentrum :

GM = BM − BG = 0 , 05 − 0 , 05 = 0

= 0,15m

Jarak antara pusat apung terhadap dasar :


1 1 LB 3 = x10 x 0,33 = 0,0225 m 4 12 12 I 0,0225 BM = 0 = = 0,05 m V 10 x 0,3 x 0,15

Jadi benda dalam keseimbangan netral ( akan mengguling)

H = 0,125m 2

BG = OG − OB = 0,125 − 0,075 = 0,05m

c. Apabila di atas PONTON terdapat beban seberat W b= 750 kgf.

b. PONTON Berat papan di atas balok diabaikan. Momen inersia total terhadap sumbu ponton,

] 15.24 ()Τϕ ΕΤ= Θ2[Iθ+ LxBx 178.2 ()Τϕ 0,5 x234.3156 0,6ΕΤ + 0,Θ5 x0θ,33.24 302.28 234.7956 ρε Ω ν3.24 0 γ 14.76 0 Γ ΒΤρε/Φ3 Ω ν15.9141 0 γ 0 ΓΤφΒΤ0.6137 /Φ3 13.1172 0 0 1 Berat 178.2 Τφ 0.7445 237.7956 0 0 1Τµ302.28 15.9141 237.7956 ΤΛ () Τµ 1 ponton :dan beban :

I t = 2 I + AX

[

Berat ponton :Wp= 2FG= 900 kgf

2

2

]

= 2 0,0225 +10 x0,3()Τϕ 0,45 /Φ3 = 1,2613.1172 m4 2

Τφ 0.7445 0 0 1 217.32 220.7556 Τµ ()

Wpb= 900 + 750= 1.650 kgf

Bagian balok ponton yang terendam air adalah d= 0,15 m, ( karena berat papan diabaikan) . 3 Volume air yang dipindahkan:

Setelah ada beban, bagian balok ponton yang terendam air Adalah d1.

V = 2. A.d = 2 x10 x0,3x0,15 = 0,9m

I

1, 26

Jarak antara pusat BM = t = = 1, 40 m apung dan titik V 0,9 metasentrum : Jarak pusat apung ponton dan pusat berat ponton terhadap dasar balok ponton adalah sama dengan kondisi a, sehingga:

BG = OG − OB = 0,125 − 0,075 = 0,05m


GM = BM − BG = 1, 40 − 0 , 05 = 1, 35 m → stabil

salmani, ST, MS, MT

Berat air yang dipindahkan :

FB1 = 2 x10 x 0,3xd1 x1000 = 6000d _ kgf

1650 = 0,275m 6000 d 0,275 = = = 0,1375m Jarak antara pusat apung terhadap dasar OB : 2 2 Kedalaman balok ponton yang terendam air :d1

=

Jarak antara pusat Berat dihitung dengan momen statis terhadap titik 0 :

W pb xOG = W p xOG1 + Wb xOG2

1,650 xOG = 900 x0,5 x0,25 + 750()Τϕ 0,25 + 0/Φ3 ,5 ⇔ 13.4688 OG = 0,4091 Τφm 0.7443

0 0 1 648.6 8

20


Jarak pusat apung dan pusat berat :

BG = OG − OB = 0,4091 − 0,1375 = 0,2716m

Jawaban Tugas No 3.23 a. Menyelidiki stabilitas benda : Berat Silinder :

Karena balok ponton tidak tenggelam maka momen inersia sebelum dan sesudah ada beban adalah sama: 4 t

FG = 40kN

Gaya apung F B :

π 2 D dρg 4

π 2 ()Τϕ 3 xdx1/Φ3 ,020 x12.2539 9,81 4 = 70.730dN = 70,730d _ kN =

I = 1,26m


V = 2 . A.d = 2 x10 x 0,3 x 0, 2716 = 1,6296 m 3

=

Τφ 0.7458 0 0 1 649.

Karena mengapung, maka FB= FG, sehingga didapat kedalaman:

FG = FB ⇒ 40 = 70,73d ⇒ d = 0,5655m


I 1,26 BM = 0 = = 0,7732m V 1,6296

Jarak antara pusat apung terhadap dasar OB : =

Tinggi metasentrum:

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :OG

GM = BM − BG = 0,7732 − 0,2716 = 0,5016m


d 0,5655 = = 0,2828m 2 2

=

L = 2,0m 2

BG = OG − OB = 2,0 − 0,2828 = 1,7172m

PONTON TETAP STABI L

b. Pusat dasar benda diberi gaya tarik: Moment inersia tampang lintang benda yang terpotong air :

π 4 π 4 I0 = D = x ()Τϕ 3 = 3,/Φ3 9760814.6563 m4 64 64 Volume air yang dipindahkan:

π 2 V = A.d = x()Τϕ 3 x0,5655 /Φ3 =14.5352 3,9973m3 4

Τφ 0.8015 0 0 F1G +268.2 234.3156 Τµ ()229.9956 3.48 13.56 ρε Ω ν 0 γ 0 Γ P = ()Τϕ 40.000 ΕΤ + P ΘN θ 563.4

I 3,97608 BM = 0 = = 0,9947 m V 3,9973 Tinggi metasentrum :

GM = BM − BG = 0 , 9947 − 1, 7172 = − 0 , 7225 m Tinggi metasentrum adalah negatif, jadi benda dalam kondisi tidak stabil. Berarti benda tidak bisa mengapung dengan sumbu panjangnya vertikal.

π 2 π 2 D dρg = ()Τϕ 3 xdx1/Φ3 ,020 x12.2383 9,81 4 4 201.3156 Τµ () = 70.730dN = 70,730d _ kN

Gaya apung :

Τφ 0.7434 0 0 1 244.56


salmani, ST, MS, MT

Misalkan P adalah gaya tarik yang bekerja pada rantai di pusat dasar pelampung. Berat benda dan gaya tarik P adalah:

FB =

Τφ 0.7463 0 0 1 605.16 215.4

Dalam keadaan mengapung, maka FB= FG+ P :

()Τϕ 40.000ΕΤ + P Θ θ 699.48 167.3556 2.7599 10 ()Τϕ 40.000/Φ3 + P =11.2891 70.730d ⇒Τφ d =0.7465 0 0 1 593.7599 164.5956 Τµ () 70.730 d ()Τϕ 40.000ΕΤ + P Θ θ 687.6 146.9556 2.88 10.8 ρ OB = = m

Jarak antara pusat apung dari dasar :

2

141.460

Dalam keadaan gaya tarik di 0, letak pusat berat berubah. Letak pusat Berat dihitung berdasarkan momen terhadap titik 0.

()Τϕ F G + P ΕΤ xOG Θ =θFGxOG 512.52 105.1956 0 3.72 10.56 ρε Ω ν 0 γ 0 Γ 1 + Px 80000 ()Τϕ 40000 /Φ3 + P xOG 10.8359 = 40000 Τφ x 2 + 1.0492 0 ⇒ OG =0 0 1 528.48 89.9556 Τµ () 40000

+ P

21


Jarak pusat berat benda dan gaya tarik P terhadap dasar adalah:

()Τϕ 80000 40000 ΕΤ +P BG = OG − OB = − 40000 + P 141460


Θ θ 330.48 481.6356 39 4.08 15.1280 .ρε 0 γ +0P Γ ΒΤ /Φ3 16.2539 Τφ 0.7465 .785 , 47 000 Ω ν40000 〉 − 40000 + P 40000 + P 141 .460


V = A.d =

π 2 40000 + P 3 x = 9,9938 x10 −5 ()Τϕ 40000 /Φ3 +P 4 70730

Moment inersia tampang lintang benda setelah adanya gaya tarik P adalah sama dengan sebelum adanya gaya tarik, yaitu = 3,976 08m 4

BM =

()Τϕ 533.52 444.0756 4.08 14.28 ρε Ω ν ΒΤ / 40000 ΕΤ + P Θ 40θ.214 ,53

14.5352 Τφ 0.7432 0 0 1 354.6 〉 439.9956 Τµ ()

I0 3,97608 39 .785 , 47 = = −5 V 9,9938 x10 ()Τϕ 40000 /Φ3 + P 15.2695 40000 + P Τφ

141 .460

40000 + P

2 ()Τϕ 40000 ΕΤ + P Θ〉141 θ .534.72 460 x 40 .214 412.1556 ,53 4.08 16.8 ρε Ω ν ΒΤ /Φ

40000 + P 〉75 .423 ,8 ⇒ P 〉35 .423 ,8 N 0.8016 0 0 1 286.8 381.4356 Τµ ()

= 35,4238 kN

Jadi gaya tarik minimum yang harus diberikan adalah P = 35,4238 kN


Berat air uyang dipindahkan dihitung dengan cara yang sama seperti di atas Untuk kedalaman air yang dipindahkan benda sebesar d.

1  FB =  π . d 3 .tg 2 α ρ 2 g 3 

Misalkan:

h : tinggi kerucut D: diameter dasar kerucut α: setengah sudut puncak kerucut d: bagian kerucut yang terendam air ρ1: rapat massa kerucut ρ2: rapat massa air

Supaya benda mengapung FB= FG:

1  1  3 2 3 2  π . d .tg α ρ 2 g =  π . h .tg α ρ 1 g 3  3 

tgα =

D /2 D = ⇒ D * = 2htgα h 2h Berat Kerucut :

FG =

π 2 1 D x xρ1 gh 4 3

π 1 3 2 2 1 = ()Τϕ 2h.tgα /Φ3 x xhx 13.9219 ρ1 g = πΤφ h tg0.7436 α xρ1 g 4 3 3

salmani, ST, MS, MT

1  ρ1 3 ρ  h ⇒ d = h.S 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ denganS = 1   ρ2 ρ   3 3 13 2  OB = d = hS Jarak pusat apung dari puncak kerucut O : 4 4 3 Jarak pusat berat dari puncak kerucut: OG = h 4 1 3 Jarak antara pusat berat dan pusat apung: BG = OG − OB = h 1 − S 3 4

d3 =

D/2 D tgα = = ⇒ D = 2htgα h 2h * *

0 0 1 238.32 93.7956 Τµ lingkaran () Diameter pada permukaan air : D’= 2d.tg.α

()Τϕ ΕΤ Θ θ 729.3599 106

22


Untuk kesetimbangan stabil, BM = BG : Moment inersia tampang lingkaran kerucut pada permukaan air :

1

()Τϕ ΕΤ Θ θ ()Τϕ 584.4Τφ 476.4756 28.56 0.6608 0 4.32 0 Τφ 1 210.96 /Φ3 23.8594 0.545 1

1 3D 2 S 3 3 1 D 2S 3 2 3 π π π 4 4 4 ≥ h 1 − S ⇒ h ≤ 1 ()Τϕ Τφ 3.96 0.8016 21.48 0 0 ρε 1 289.56 Ω16νh 0 γ476.2356 Τµ () 17.7813 I0 = D = ΕΤ xΘ()Τϕ 2 dθ.tg210.96 α /Φ3 = 14.6563 .d472.2756 tg α 4 0 Γ ΒΤ /Φ3 4 1− S 3 64 64 4 2 Volume air yang dipindahkan: 1 1 D 3 3 FB π 3 2 1 − S ≤ S V= = πd tg α 4h 2 ρ2 g 3 1 1 1 1 − S 3 ≤ S 3 tg 2α → 1 ≤ S 3 1 + tg 2α Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

* 4

()Τϕ ΕΤ Θ θ 654.72 414.0756 4.

BM =

I0 = V

π 4 π 3

d tg α 3 = dtg 2α 3 2 d tg α 4 4

4

1

S3 ≥

S ≥ 0,6885

Oleh karena tgα= D/ 2h dan d= h.S1/ 3, maka 1

2 1 D 3 3D 2 S 3 BM = h.S 3 = 4 4h 2 16 h


ρ S1 = 1 ρ air

ρ1 = S 1 x ρ air

ρ 2 = S 2 x ρ air = 0 ,9 x1000 = 900 kg / m 3 Misalkan: h : tinggi kerucut D: diameter dasar kerucut D’: diameter tampang kerucut

d: kedalaman kerucut yang terendam air 2α: sudut puncak kerucut

tg α =

salmani, ST, MS, MT

D /2 D = ⇒ D = 2 htg α h 2h

Τφ 0.8018 0 0 1

Jadi supaya kerucut stabil maka rapat relatif kerucut adalah S= 0,6885

Berat Kerucut : W=

= 0 , 7 x1000 = 700 kg / m 3 ρ S 2 = 2 = 0 ,9 ρ air

1 1 1 = = = 0,8830 2 1 + tg 2α 1 + tg 2 20 0 1 + ()Τϕ 0,36397/Φ3 14.2578

π 2 1 1 1 3 2  2 1 D x xh.ρ1.g = π ()Τϕ 2htgα /Φ3h.ρ12.8633 .tg α 0.7449 ρ1.g 1. g =  xhΤφ 4 3 4 3 3 

0 0 1 611.7599 236

Berat zat cair yang dipindahkan :

1  FB =  xd 3 .tg 2α ρ2 .g 3  Oleh karena benda mengapung, maka FB= FG, sehingga:

1  1  3 2 3 2 3 3  π . d .tg α ρ 2 g =  π .h .tg α ρ 1 g ⇒ d ρ 2 = h ρ 1 3  3  1

 ρ1 3 d = h ρ    2

23


1

3 3 3  ρ1   Jarak pusat apung dari puncak kerucut O : OB = d = h  4 4   ρ2  3 Jarak pusat berat dari puncak kerucut: OG = h 4

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum : 4 4 π 0 4 3 2 π 3

BM =


3 3  ρ1  3   ρ1    BG = OG − OB = h − h  = h 1 −  ρ   4 4  2   ρ2  4     1 3

Moment inersia tampang lingkaran kerucut pada permukaan air :

π I0 = D* 64

Agar benda dalam kesetimbangan stabil, titik metasentrum M harus di atas atau berimpit dengan G : BM= BG .

3 3   ρ1 2 d .tg α ≥ h 1 −  4 4   ρ   2

3      1

3   ρ 3  2 Γ ΒΤ3 /Φ3 1 373.3956 Τφ 3.96 0.8016 21.48 0 0 ρε 1 3289.56 Ωhνρ01 γ377.3556 0 Τµ 17.7813   tg α ≥ h 1 −()    4 ρ2  4  ρ2     1

π π 4 4 4 = x ()Τϕ 2 d .tg α /Φ3 = 14.6563 .d tg α 64 4

()Τϕ ΕΤ Θ θ 210.96 4

1 3

d tg α 3 = d .tg 2α d tg α 4

I = V

1

Τφ 0.6608 0 0 1 210.96

π 3 2   πd tg α ρ2 g F π 3  V = B = = πd 3tg 2α ρ2 g ρ2 g 3



  ρ 3  1 1 −   1 1   3 3 ρ    2    ρ1  2  ρ1  2         tg α ≥ 1 − ⇒ tg α ≥ 1 ρ      ρ2    2  ρ1 3    ρ    2 1

 700 3  1 −    900    

Berat Pelampung :

Berat Beban = W. Berat Pelampung dan Beban = ( W+ 35 00) .

1

tg α ≥ 2

1 3

700    900 

Gaya apung :

FB = A.d .ρ.g

π 2 ()Τϕ 12.2695 1 xdx1/Φ3 ,025x1000 x9,81 4 = 7897,375d =

Τφ 0.7447 0 0 1 650.

Pada kondisi mengapung, maka FB= FG+ W, sehingga:

≥ 0,08738 ⇒ α = 16 , 47

Jadi sudut puncak kerucut adalah 2α 2α= 32,940= 32 0 56’

salmani, ST, MS, MT

FG = 3500 N

0

7897,375d = W + 3500 ⇒ d =

W + 3500 7897,375

Jarak antara pusat apung terhadap dasar :OB =

d W + 3500 = m 2 15794,75

24


Jarak antara pusat Berat dan beban terhadap dasar dihitung berdasarkan momen statis terhadap titik 0,:


π W + 3500 W + 3500 VΩ=νA.d0 =γΤφx0()Τϕ 10.7467 ΤφΤφ0.7439 ()Τϕ W + FG ΕΤxOG Θ θ= FGxOG 155.522 + W 475.6356 ()Τϕ H + 0,5ΕΤ 3.72 Θ θ 289.68 14.28 ρε 475.6356 Ω ν 0 γ3.72 0 Γ 14.28 ΒΤ /Φ3ρε14.7813 Γ2 x ΒΤ/Φ3 /Φ3 0 14.5195 0=14.7813 1 155.52 478.8756 0.74670 0 Τµ 01 1596.04 14.781 289. 4 7897,375 10.055,25 ()Τϕ /Φ3xOG 14.7813 1,5 161.88 14.7813 461.9556 Τφ 0.7467 Τµ () 0 Jarak 0 1antara 331.08 461.9556 Τµ () W + 3500 = 3500 x0Τφ ,5 x00.7467 ,75 + W ()Τϕ 0,0750+ 0/Φ3 pusat apung dan titik metasentrum :

1312,5 +1,25W 3500 + W 1312,5 +1,25W W + 3500 BG = OG − OB = − 3500 + W 15.794,75

OG =

BM =


Moment inersia tampang Silinder yang terpotong muka air :

I0 =

π 4 π 4 19.5 D = x ()Τϕ 1 = 0,/Φ3 0490874 m4 64 64

ΕΤ 12 .934 .541,9 + 19 .743 , 4W 〈()Τϕ W + 3500

I0 0,049087 493 ,5861 = = W + 3500 V W + 3500 10 .055 , 25

2

493 ,5861 1312 ,5 + 1, 25W W + 3500 〉 − W + 3500 W + 3500 15 .794 ,75

Τφ 0.8009 0 0− 8181,914 244.8 Τµ () − 1, 25W 353.8356 W + 3500 W + 3500

〉 15 .794 ,75

Jawaban Tugas Θ θ 314.64 249.3156 4.08 16.8 ρε Ω ν No ΒΤ 3.27 /Φ3 15.3086 Τφ 0.7992 0 0 1 314

W 2 − 12 .743 , 4W − 684 .541,9 = 0

Berat Kapal : W = 15 MN = 15 x 10 6 NBerat muatan : Wm= 150 kN= 1 50x10 3 N Lebar Kapal : B = 8,4 m. Jarak bergesernya muatan : l = 4 m Panjang Kapal : L= 60 m

Kemiringan sudut : α = 30 0

Penyelesaian dari persamaan tersebut menghasilkan :

W1 = 12 .796 N W 2 = −53,5 N Jadi berat beban minimum sedemikian sehingga benda dalam kondisi stabil adalah W = 12.796 N Momen yang menyebabkan goyangan:

M

salmani, ST, MS, MT

0

= 150 x 4 = 600 kNm

25


Momen tersebut menyebabkan bergesernya titik tangkap W dan G ke G’. Karena berat muatan jauh lebih kecil dari berat kapal maka berat tersebut diabaikan terhadap kapal. Bergesernya titik tangkap menyebabkan Moment :

M 1 = WxGM sin α = 15 x10 xGM sin 3 kN − m 3

0

M 0 = M 1 ⇒ 600 = 15 x103 xGM sin 30 GM =

Jadi tinggi metasentrum adalah 0,7643 m

600 = 0,7643 15 x103 xGM sin 30

Karena tinggi metasentrum GM positif berarti kapal dalam kondisi stabil

Untuk mencari posisi pusat berat dihitung jarak BM: BM = Mencari momen inersia tampang kapal pada muka air:

I0 V

1 LB 3 12 1 3 I 0 = 0,72 x 60 x8, 4 = 2133 ,73 m 4 12

I 0 = 72 % xI 0 segiempat = 0,72 x

Jawaban Tugas No 3.28 a. MENYELI DI KI STABI LI TAS BENDA : Berat Ponton : FG1 Berat beban : 4 ton Total : Berat

FB = FG1 + 4

Gaya apung :

V=

W 15 x106 = = 1491,76m 3 ρ.g 1025 x9,81


BM =

2133 ,73 = 1, 4303 m 1491 ,76

Oleh karena pusat apung terletak pada 1,5 m ( BP) di baw ah muka air air maka titik metasentrum:

PM = BP − BM = 1,5 − 1, 43 = 0,07 m Jadi titik metasentrum M berada pada 0,07 m di baw ah muka air :

PG = PM + GM = 0,07 + 0,7643 = 0,8343 m Jadi Pusat berat berada pada 0,834 3 m di baw ah muka air :


FB = 6 x6 x0,6 x1000 = 21.600kgf = 21,6ton

Dalam keadaan mengapung, maka FB= FG, sehingga : FG + 4 = 21,6

Jarak pusat apung dari dasar :


1

FG1 = 21,6 − 4 = 17,6ton

BG = OG − OB = 0,9333 − 0,3 = 0,6333m

Moment inersia tampang balok yang terpotong muka air :

1 1 4 /Φ3 BB 3 = x ()Τϕ 6 = 108 m4 12 12 Volume air yang dipindahkan: V = 6 x6 x0,6 = 21,6m 3 I0 =


OB = 0,5 x0,6 = 0,3m

Pusat berat benda dan beban terhadap dasar dihitung dengan momen statis terhadap dasar :

FG xOG = FG1 xOG1 + FG 2 xOG 2 ⇔ OG = OG =

FG1 xOG1 + FG 2 xOG 2 FG

17,6 x0,6 + 4,0 x()Τϕ 1,2 +1,2/Φ3 13.1094 = 0,9333m 21,6

salmani, ST, MS, MT

14.6563 Τφ 0.8008 0 0

BM =

I 0 108 = = 5,0 m V 21,6


GM = BM − BG = 5 , 0 − 0 , 63333 = 4 , 3667 m

Τφ 0.7463 0 0 1 237.12 103.2756 Τµ () Karena GM >

0 berarti benda dalam kondisi stabil

26


b. MENGHI TUNG BEBAN MAKSI MUM: Beban maksimum adalah:W2 + W2

Berat Beban + ponton : FG= 17 ,6

FB = 6,0 x6,0 xdx1000 = 36.000d _ kgf = 36d _ ton W +17,6 FG = FB ⇒ 36d = W2 +17,6 ⇒ d = 2 36

Gaya apung :

17,6 x0,6 + W2 x 2,4 2,4W2 +10,56 = Jarak pusat berat dari dasar OG = 17,6 + W2 W2 +17,6 :

d

Jarak antara pusat apung dari OB = 2 dasar : Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

BG = OG − OB =

=

W2 +17,6 72

2,4W2 +10,56 W2 +17,6 − W2 +17,6 72

I = 108m

Moment inersia tampang balok yang terpotong muka air : 0 Volume air yang dipindahkan:

V = 36 xd = 36 x

4

W2 +17,6 = W2 +17,6 36


BM = Benda akan stabil apabila BM> BG

I0 108 = V W 2 + 17 , 6

108 2, 4W 2 + 10 ,56 W 2 + 17 ,6 〉 − W 2 + 17 ,6 W 2 + 17 ,6 72

108 − 2, 4W 2 − 10 ,56 W 2 + 17 ,6 〉− W 2 + 17 ,6 72 2 7015 ,68 − 172 ,8W 2 〉− W 2 + 35, 2W 2 + 309 ,76

()Τϕ ΕΤ Θ θ 701.4 382.1556 4.08 16.

W − 137 ,6W 2 + 7325 , 44 = 0 2 2

Dari persamaan tersebut tidak memberikan nilai W 2 yang berarti tidak Ada beban maksimum yang memenuhi persamaan tersebut. Beban maksimum lebih ditentukan oleh tenggelamnya ponton daripada daripada Tergulingnya. Beban maksimum yang dapat didukung adalah beban Yang menyebabkan ponton tenggelam, yang besarnya adalah :

17,6 + W2 = 6 x6 x1,2 x1000 ⇔ W2 = 25,6 _ ton Untuk mengetahui kebenaran dari pernyataan tersebut, maka beban W 2 = 25,6 ton digunakan untuk menghitung kondisi stabilitas ponton. ponton. Dengan beban tersebut kondisi ponton adalah sebagai berikut ini.

Jarak pusat berat dari dasar :

OG =

Jarak antara pusat apung dari dasar :

OB =

25,6W2 x 2,4 +10,56 = 1,667m 25,6 + 17,6

W2 +17,6 25,6 +17,6 = = 0,6m 72 72


BG = OG − OB = 1,667 − 0,6 = 1,067m


I0 108 = = 2 ,5 m V W 2 + 17 ,6 GM = BM − BG = 2 , 5 − 1, 067 = 1, 433 m


BM =

Jadi ponton dalam kondisi stabil, tetapi hampir tenggelam.

salmani, ST, MS, MT

27

KESEI MBANGAN BENDA TERAPUNG

Recommend Documents