Zu´zˇena´ aritmetika – u´vod Nad’a Stehlı´kova´ Autorem netradicˇnı´ aritmeticke´ struktury, v ra´mci ktere´ se budeme nada´le pohybovat, je Prof. Milan Hejny´. Nejdrˇ´ıve si zavedeme za´kladnı´ pojmy. Za´kladem zu´zˇene´ aritmetiky je zobrazenı´ r : N → N, tzv. redukce, ktere´ je zavedeno takto: • kdyzˇ n < 100, n ∈ N, pak r(n) = n, • kdyzˇ n ≥ 100, rozdeˇlı´me cˇ´ıslo odzadu na dvojcˇ´ıslı´ a ty spolu secˇteme. Pokud je vy´sledne´ cˇ´ıslo veˇtsˇ´ı nezˇ 99, opeˇt ho rozdeˇlı´me odzadu na dvojcˇ´ıslı´ a ty spolu secˇteme atd. Naprˇ. r(171) = r(1 + 71) = 72, r(1 356) = r(13 + 56) = 69, r(8 869) = r(88 + 69) = = r(157) = r(1 + 57) = 58, r(57 865) = r(5 + 78 + 65) = r(148) = r(1 + 48) = 49 Necht’ A2 = {1, 2, 3, . . . , 99} je mnozˇina prvnı´ch devadesa´ti devı´ti prˇirozeny´ch cˇ´ısel. Pomocı´ redukce r zavedeme bina´rnı´ operace z-scˇ´ıta´nı´ ⊕ a z-na´sobenı´ ⊗ v A2 takto: ∀x, y ∈ A2 , x ⊕ y = r(x + y) a x ⊗ y = r(x · y). Naprˇ. 78 ⊕ 56 = r(134) = 35, 7 ⊗ 55 = r(385) = 88. Symbol A2 bude nada´le pouzˇ´ıva´n pro oznacˇenı´ mnozˇiny i struktury A2 = (A2 , ⊕, ⊗). Cˇ´ısla z mnozˇiny A2 budeme nazy´vat z-cˇ´ısla. Pokud nerˇekneme jinak, budeme nada´le pracovat vy´hradneˇ v mnozˇineˇ A2 . Rˇesˇte na´sledujı´cı´ u´lohy, ktere´ va´m pomohou vybudovat „teorii“ zu´zˇene´ aritmetiky a objevit rˇadu jejı´ch vlastnostı´. Mu˚zˇeme si take´ kla´st vlastnı´ ota´zky, ktere´ va´s prˇi rˇesˇenı´ budou napadat. 1. Zjisteˇte r(100), r(2 574), r(58 693), r(10 001 000). 2. Najdeˇte vsˇechny {x ∈ N; r(x) = 6} {x ∈ N; r(x) = 18}, {x ∈ N; r(x) = 99}. ˇ esˇte rovnice s nezna´mou x ∈ A2 : 3. R x ⊕ 17 = 99 99 ⊕ x = 13
x ⊕ 61 = 4 66 ⊕ x = 66
x ⊕ 6 = 92 98 ⊕ x = 3
4. Zaved’te z-odcˇ´ıta´nı´ . ˇ esˇte rovnice s nezna´mou x ∈ A2 . 5. R
1
25 ⊕ x = 36 x ⊕ 99 = 58
2 ⊗ x = 40 3⊗x=1 13 ⊗ x = 45 6 ⊗ x = 45
2⊗x=1 3 ⊗ x = 99 6⊗x=3 3 ⊗ x ⊕ 2 = 83
2 ⊗ x = 99 3 ⊗ x = 45 93 ⊗ x = 3 5 ⊗ x ⊕ 10 = 5
3 ⊗ x = 30 14 ⊗ x = 91 50 ⊗ x = 5
6. Zaved’te z-deˇlenı´ . 7. Definujte v A2 suda´ a licha´ cˇ´ısla. 8. Ktera´ z-cˇ´ısla jsou z-deˇlitelna´ cˇ´ıslem 2?, 3?, 5?, 9?, 33?, 55? ˇ esˇte kvadraticke´ rovnice s nezna´mou x ∈ A2 (x2 znamena´ x ⊗ x). 9. R x2 = 4 x2 ⊕ 3 ⊗ x = 99 x2 ⊕ 8 ⊗ x ⊕ 16 = 99
x2 = 22 x2 ⊕ 91 ⊗ x = 99 x2 ⊕ 69 ⊗ x ⊕ 81 = 99 x2 ⊕ 2 ⊗ x ⊕ 15 = 99 3⊗x2 ⊕48⊗x⊕27 = 99
2
Zu´zˇena´ aritmetika – druhe´ mocniny Nad’a Stehlı´kova´ Ve vy´sˇe definovane´ zu´zˇene´ aritmetice mu˚zˇeme zkoumat i neˇktere´ vlastnosti, ktere´ nemajı´ obdobu v „norma´lnı´“ aritmetice. Jednou z vhodny´ch oblastı´, ktera´ prˇina´sˇ´ı zajı´mave´ vy´sledky, je te´ma druhy´ch mocnin. Rˇesˇenı´m na´sledujı´cı´ch u´loh byste meˇli odhalit neˇktere´ zajı´mave´ vlastnosti struktury druhy´ch mocnin. 1. Najdeˇte vsˇechny druhe´ mocniny v A2 . ˇ esˇte rovnice x2 = a, kde x, a ∈ A2 a x je nezna´ma´ a a je parametr. 2. R 3. Snazˇte se zjistit co nejvı´ce vlastnostı´ druhy´ch mocnin a odmocnin v A2 . Ktere´ z nich jsou obdobne´ vlasnostem druhy´ch mocnin a odmocnin v „norma´lnı´“ aritmetice a ktere´ ne? Zapisˇte je. 4. Ma´ mnozˇina druhy´ch mocnin v A2 neˇjakou strukturu? Rada: Pokuste se je neˇjak symbolicky zakreslit. Naprˇ´ıklad mu˚zˇete spojit sˇipkou cˇ´ıslo a jeho druhou odmocninu. Udeˇla´te-li to se vsˇemi z-cˇ´ısly, dospeˇjete k zajı´mave´mu diagramu. 5. Zkoumejte diagram druhy´ch mocnin. Jaky´m zpu˚sobem jsou v neˇm zna´zorneˇny vlastnosti struktury druhy´ch mocnin, ktere´ jste odhalili drˇ´ıve? Jaka´ krite´ria mu˚zˇeme pouzˇ´ıt na rozdeˇlenı´ mnozˇiny A2 na podmnozˇiny cˇ´ısel? 6. Zna´te jednu odmocninu neˇjake´ druhe´ mocniny v A2 . Jaky´m zpu˚sobem mu˚zˇeme dopocˇ´ıtat zbyle´ odmocniny te´to druhe´ mocniny, anizˇ bychom museli zdlouhaveˇ zjisˇt’ovat druhe´ mocniny vsˇech z-cˇ´ısel? 7. Zkoumejte mnozˇiny odmocnin z-cˇ´ısla, ktere´ je druhou mocninou v A2 , z hlediska vlastnostı´ algebraicky´ch struktur (naprˇ. zda jsou to aditivnı´ nebo multiplikativnı´ grupy). 8. Ted’ jizˇ umı´me v A2 ‘odmocnˇovat’, mu˚zˇeme se podı´vat na rˇesˇitelnost kvadraticky´ch rovnic v A2 . Problematika kvadraticky´ch rovnic v A2 je pomeˇrneˇ slozˇita´ a vyzˇaduje veˇtsˇ´ı u´silı´ nezˇ prˇedchozı´ u´koly. ˇ esˇte kvadraticke´ rovnice s nezna´mou x ∈ A2 : • R x2 ⊕ 4 ⊗ x = 99, 2 ⊗ x2 ⊕ 3 ⊗ x = 99, 9 ⊗ x2 ⊕ 33 ⊗ x = 99, x2 ⊕ 2 ⊗ x ⊕ 6 = 99, 7 ⊗ x2 ⊕ 6 ⊗ x ⊕ 93 = 99, 9 ⊗ x2 ⊕ 2 ⊗ x ⊕ 66 = 99. 3
• Popisˇte obecne´ rˇesˇenı´ kvadraticky´ch rovnic. • Klasifikujte kvadraticke´ rovnice v A2 podle pocˇtu jejich korˇenu˚. • Zjisteˇte, zda pro korˇeny kvadraticke´ rovnice v A2 platı´ Vi`etovy vztahy. • Zkoumejte vztahy mezi korˇeny kvadraticke´ rovnice v A2 .
4
Zu´zˇena´ aritmetika – magicke´ cˇtverce Michaela Ulrychova´ V zu´zˇene´ aritmetice mu˚zˇeme take´ zkoumat neˇktere´ partie rekreacˇnı´ matematiky. Zde uvedeme se´rii u´loh, kterou lze pouzˇ´ıt pro zkouma´nı´ vlastnostı´ magicky´ch cˇtvercu˚ v A2 Na u´vod zaved’me magicke´ cˇtverce v mnozˇineˇ A2 . Magicky´ cˇtverec v A2 je takovy´ soubor cˇ´ısel z A2 usporˇa´dany´ch do tvaru cˇtverce, zˇe z-soucˇet cˇ´ısel v kazˇde´m rˇa´dku, v kazˇde´m sloupci a v kazˇde´ u´hloprˇ´ıcˇce je ty´zˇ. Magicke´ cˇtverce se rozdeˇlujı´ podle pocˇtu cˇ´ısel v jednom rˇa´dku. Pocˇet cˇ´ısel v jednom rˇa´dku se nazy´va´ rˇa´d cˇtverce, ktery´ budeme znacˇit n. V tomto textu se omezı´me na rˇa´d z mnozˇiny A2 . Magicke´ cˇtverce deˇlı´me na sude´ a liche´ (podle rˇa´du magicke´ho cˇtverce). Z-soucˇet cˇ´ısel v kazˇde´m rˇa´dku, v kazˇde´m sloupci a v kazˇde´ u´hloprˇ´ıcˇce nazveme konstanta magicke´ho cˇtverce. Konstantu magicke´ho cˇtverce v N budeme znacˇit k, konstantu magicke´ho cˇtverce v A2 budeme znacˇit k 0 . 1. Vypocˇ´ıtejte z-soucˇet cˇ´ısel v kazˇde´m rˇa´dku, v kazˇde´m sloupci a v kazˇde´ u´hloprˇ´ıcˇce, magicke´ho cˇtverce na obr. 1.
Obr. 1
2. Necht’ je zada´n magicky´ cˇtverec 4. rˇa´du v oboru prˇirozeny´ch cˇ´ısel (obr. 2). Prˇeved’te tento cˇtverec do A2 a vypocˇ´ıtejte jeho konstantu.
5
Obr. 2
3. : Doplnˇte chybeˇjı´cı´ cˇ´ısla z A2 v magicke´m cˇtverci na obr. 3 tak, aby jeho konstanta byla 30.
Obr. 3
4. Doplnˇte chybeˇjı´cı´ cˇ´ısla z A2 v magicke´m cˇtverci na obr. 4 tak, aby jeho konstanta byla 63.
Obr. 4
5. Pro vy´pocˇet konstanty k magicke´ho cˇtverce skla´dajı´cı´ho se ze vsˇech prˇirozeny´ch cˇ´ısel od 1 do n2 platı´ vztah mezi konstantou k magicke´ho cˇtverce a rˇa´dem n magicke´ho cˇtverce: k = 12 n(1+n2 ). Zjisteˇte, zda podobny´ vztah platı´ i pro vy´pocˇet konstanty k 0 magicke´ho cˇtverce v A2 . 6. Vyuzˇitı´m vztahu˚ z prˇedchozı´ u´lohy sestavte tabulku, ktera´ bude pro dany´ rˇa´d n magicke´ho cˇtverce uda´vat konstantu k magicke´ho cˇtverce v N a konstantu k 0 magicke´ho cˇtverce v A2 (n ∈ {3, 4, 5, . . . , 99}). 7. Sestavte magicky´ cˇtverec 11. rˇa´du v A2 a vypocˇ´ıtejte jeho konstantu k 0 . 6
8. Je mozˇne´ urcˇit jednoznacˇneˇ hodnotu strˇedove´ho cˇ´ısla (cˇ´ısla v polı´cˇku uprostrˇed magicke´ho cˇtverce) v liche´m magicke´m cˇtverci v A2 ? 9. V oboru prˇirozeny´ch cˇ´ısel se mu˚zˇeme setkat s aritmeticky´m pru˚meˇrem cˇ´ısel. Jak souvisı´ strˇedove´ cˇ´ıslo liche´ho magicke´ho cˇtverce v N s aritmeticky´m pru˚meˇrem rˇa´dku, sloupce cˇi u´hloprˇ´ıcˇky? Platı´ neˇco podobne´ho v A2 ? 10. Vyberte vhodna´ cˇ´ısla z cˇ´ısel 3, 21, 33, 48, 57, 87 a doplnˇte je do obr. 16 tak, abyste zı´skali magicky´ cˇtverec v A2 . Vypocˇ´ıtejte jeho konstantu k 0 .
Obr. 5
7
Zu´zˇena´ aritmetika – pythagorejske´ trojice Michaela Ulrychova´ Podobneˇ jako magicke´ cˇtverce, mu˚zˇeme take´ studovat pythagorejske´ trojice. Opeˇt tak ucˇinı´me prostrˇednictvı´m u´loh. Pythagorejskou trojicı´ v A2 nazveme takovou trojici z-cˇ´ısel (x, y, z), pro kterou platı´ x2 ⊕ y 2 = z 2 , prˇicˇemzˇ symbol x2 znamena´ x ⊗ x. 1. Oveˇrˇte, zda na´sledujı´cı´ trojice cˇ´ısel tvorˇ´ı pythagorejskou trojici v A2 (cˇ´ısla jsou uvedena v porˇadı´ x, y, z). (a) 5, 66, 49, (b) 11, 33, 88, (c) 16, 62, 1, (d) 3, 18, 27, (e) 4, 99, 5, (f) 23, 26, 13, (g) 23, 27, 13, (h) 99, 99, 1. 2. Najdeˇte vsˇechny pythagorejske´ trojice v A2 , ktere´ obsahujı´ cˇ´ısla 10 a 66. (Pokud jste jizˇ drˇ´ıve nezkoumali druhe´ mocniny v A2 , viz vy´sˇe, bude le´pe, pokud nejprve vyrˇesˇ´ıte na´sledujı´cı´ u´lohu.) 3. Zjisteˇte, ktera´ z-cˇ´ısla jsou druhou mocninou neˇjake´ho z-cˇ´ısla. 4. Najdeˇte co nejvı´ce pythagorejsky´ch trojic v A2 . 5. Kolik pythagorejsky´ch trojic zı´ska´me z rovnosti 1 ⊕ 99 = 1? 6. V prˇedchozı´ch dvou u´loha´ch jsme odvodili zpu˚sob, jaky´m zjistı´me vsˇechny pythagorejske´ trojice v A2 . Najdeˇte neˇjaky´ vhodny´ zpu˚sob za´pisu vsˇech teˇchto mozˇnostı´. 7. V mnozˇineˇ prˇirozeny´ch cˇ´ısel platı´, zˇe pokud prˇirozena´ cˇ´ısla a, b, c tvorˇ´ı pythagorejskou trojici, pak cˇ´ısla pa, pb, pc, kde p je prˇirozene´ cˇ´ıslo, take´ tvorˇ´ı pythagorejskou trojici. Formulujte analogicke´ tvrzenı´ v A2 a zjisteˇte, zda platı´. 8. Pro pythagorejskou trojici (a, b, c) v N platı´, zˇe jedno z cˇ´ısel a, b musı´ by´t deˇlitelne´ cˇ´ıslem 3, jedno z teˇchto cˇ´ısel musı´ by´t deˇlitelne´ cˇ´ıslem 4 a neˇktere´ z cˇ´ısel a, b, c musı´ by´t deˇlitelne´ cˇ´ıslem 5. Zformulujte podobne´ tvrzenı´ pro pythagorejske´ trojice v A2 .
8
Zu´zˇena´ aritmetika – jednodusˇsˇ´ı varianta Nad’a Stehlı´kova´ Mu˚zˇeme vytvorˇit jednodusˇsˇ´ı variantu zu´zˇene´ aritmetiky – A1 , kde budou pouze jednociferna´ cˇ´ısla bez nuly. Jejı´ za´klad opeˇt tvorˇ´ı zobrazenı´ r : N → N, ktere´ budeme nazy´vat redukce a ktere´ zavedeme takto: • kdyzˇ n < 10, n ∈ N, pak r(n) = n, • kdyzˇ n ≥ 10, prova´dı´me ciferny´ soucˇet cˇ´ısla tak dlouho, dokud nedostaneme cˇ´ıslo od 1 do 9. Naprˇ´ıklad r(71) = 7 + 1 = 8, r(135) = 1 + 3 + 5 = 9, r(869) = r(8 + 6 + 9) = = r(23) = 2 + 3 = 5. Oznacˇme mnozˇinu A1 = {1, 2, 3, . . . , 9}. Pomocı´ redukce r zavedeme bina´rnı´ operace z-scˇ´ıta´nı´ ⊕ a z-na´sobenı´ ⊗ v A1 takto: ∀x, y ∈ A1 , x ⊕ y = r(x + y) a x ⊗ y = r(x · y). Naprˇ´ıklad 7 ⊕ 5 = r(12) = 3, 7 ⊗ 5 = r(35) = 8. Mu˚zˇeme rˇesˇit podobne´ u´lohy jako u A2 . Zde neˇktere´ z nich uvedeme a zameˇrˇ´ıme se zejme´na na zkouma´nı´ pythagorejsky´ch trojic v A1 . 1. Najdeˇte redukce na´sledujı´cı´ch cˇ´ısel: 69, 5, 896, 45, 9, 99, 8321. 2. Z ktery´ch cˇ´ısel udeˇla´me redukcı´ cˇ´ıslo (a) 6, (b) 8, (c) 9? 3. Vypocˇteˇte: 6 ⊕ 3, 8 ⊕ 5, 6 ⊕ 9, 9 ⊕ 3, 7 ⊕ 4, 5 ⊕ 9. 4. Vypocˇteˇte: 5 ⊗ 4, 6 ⊗ 9, 4 ⊗ 8, 2 ⊗ 2, 3 ⊗ 5, 3 ⊗ 6, 8 ⊗ 8. Pozna´mka: Pythagorejskou trojicı´ v A1 nazveme takovou trojici z-cˇ´ısel (x, y, z), pro kterou platı´ x2 ⊕ y 2 = z 2 . Symbolem x2 znacˇ´ıme soucˇin x ⊗ x. 5. Oveˇrˇte, zda na´sledujı´cı´ trojice (x, y, z) tvorˇ´ı pythagorejske´ trojice v A1 : (1, 5, 6), (4, 6, 2), (3, 3, 6), (5, 5, 3), (2, 9, 7). 6. Lehce oveˇrˇ´ıme, zˇe 72 ⊕ 62 = 22 a 62 ⊕ 72 = 22 . Budeme povazˇovat trojice (7, 6, 2), (6, 7, 2) za ru˚zne´? 7. Ma´me da´na trˇi cˇ´ısla. Vytvorˇte z nich pythagorejske´ trojice (pokud to jde): (a) 4, 6, 7, (b) 1, 8, 9, (c) 3, 6, 9, (d) 2, 6, 8. 8. Ma´me da´na dveˇ cˇ´ısla 3 a 8. Najdeˇte vsˇechny pythagorejske´ trojice, ktere´ obsahujı´ tato dveˇ cˇ´ısla. 9
9. Najdeˇte vsˇechny pythagorejske´ trojice v A1 . 10. Pro pythagorejske´ trojice v mnozˇineˇ prˇirozeny´ch cˇ´ısel platı´, zˇe pokud trˇi cˇ´ısla x, y, z tvorˇ´ı pythagorejskou trojici, i trojice px, py, pz, kde p ∈ N, je pythagorejska´. Formulujte toto tvrzenı´ v mnozˇineˇ A1 a zjisteˇte, zda platı´. 11. Najdeˇte co nejmensˇ´ı mnozˇinu pythagorejsky´ch trojic v A1 , ze ktery´ch se da´ pomocı´ vyna´sobenı´ teˇchto trojic neˇjaky´m cˇ´ıslem z A1 vytvorˇit mnozˇinu vsˇech pythagorejsky´ch trojic v A1 . Naprˇ´ıklad z trojice (1, 3, 1) vznikne vyna´sobenı´m cˇ´ıslem 2 trojice (2, 6, 2), cˇ´ıslem 3 trojice (3, 9, 3) atd. Tuto mnozˇinu nazveme mnozˇinou za´kladnı´ch pythagorejsky´ch trojic. 12. Najdeˇte co nejvı´ce mnozˇin za´kladnı´ch pythagorejsky´ch trojic. 13. Pro pythagorejske´ trojice (x, y, z) v mnozˇineˇ prˇirozeny´ch cˇ´ısel platı´, zˇe k jejich vy´pocˇtu mu˚zˇeme pouzˇ´ıt vztahu˚ x = p2 − q 2 , y = 2pq, z = p2 + q 2 , kde p, q jsou libovolna´ prˇirozena´ cˇ´ısla a p > q. Platı´ neˇco takove´ho i v mnozˇineˇ A1 ? 14. Prozkoumejte tabulku druhy´ch mocnin v A2 . Zjisteˇte, jake´ jsou vztahy mezi cˇ´ısly, ktera´ majı´ v A1 stejnou druhou mocninu. 15. Podı´vejte se na vy´sledek u´lohy 13. Zna´te-li jednu dvojici cˇ´ısel p, q, ktera´ vytvorˇ´ı urcˇitou trojici, najdeˇte pravidlo, pomocı´ ktere´ho je mozˇne´ urcˇit druhou dvojici cˇ´ısel p, q, ktere´ vytvorˇ´ı stejnou trojici. 16. Zjistili jsme, zˇe pomocı´ vztahu˚ u u´lohy 13 se dajı´ vygenerovat ty pythagorejske´ trojice, v nichzˇ nejsou vsˇechna cˇ´ısla vesmeˇs deˇlitelna´ trˇemi. Pokuste se najı´t jine´ vztahy, ktere´ by vytvorˇily (a) pra´veˇ ty pythagorejske´ trojice, ktere´ obsahujı´ pouze cˇ´ısla deˇlitelna´ trˇemi, (b) vsˇechny pythagorejske´ trojice. 17. Pro pythagorejske´ trojice v mnozˇineˇ prˇirozeny´ch cˇ´ısel take´ platı´, zˇe vsˇechny tzv. primitivnı´ trojice (tj. cˇ´ısla x, y, z musı´ by´t po dvou nesoudeˇlna´) se dajı´ vygenerovat pomocı´ vztahu uvedene´ho u u´lohy 13 za prˇedpokladu, zˇe cˇ´ısla p, q majı´ rozdı´lnou paritu (tj. jedno je sude´ a druhe´ liche´). Zjisteˇte, zda tomu tak je v mnozˇineˇ A1 .
10
