12
Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail:
[email protected]
/k
1/28
12 The delta functie Zij ( dε (x) =
1 ε
0
als − 2ε ≤ x ≤ anders
ε 2
De eenheids impulsfunctie is: δ(x) = lim dε (x) ε→0
/k
2/28
12 Delta functie
1/ε
−ε/2
ε/2
/k
3/28
12 De interpretatie: ( δ(x) =
∞ 0
als x = 0 anders
werkt niet want hoe moeten we hier mee rekenen?
/k
4/28
12 Voor elke continue functie g(x) geldt: Z ∞ g(x)δ(x − x0 ) dx = g(x0 ) −∞
Dit wordt de zeefeigenschap genoemd.
/k
5/28
12 De eenheids stapfunctie wordt gedefinieerd als: ( 0 als x < 0 u(x) = 1 als x ≥ 0 We hebben: Z
x
δ(v)dv = u(x)
−∞
/k
6/28
12 Voor een discrete stochastische variabele met bereik S X = {x1 , x2 , . . .} geldt: X FX (x) = PX (xi )u(x − xi ) xi ∈S X
en f X (x) =
X
PX (xi )δ(x − xi )
xi ∈S X
/k
7/28
12 Gemengde stochastische variabelen X wordt een gemengde stochastische variabele genoemd als f X (x) zowel impulsen als eindige waarden ongelijk aan nul aanneemt.
/k
8/28
12 Afgeleide stochastische variabelen Als we een afgeleide stochastische variabele Y = g(X ) hebben dan willen we de kansverdeling en de kansdichtheid kunnen bepalen gegeven de verdeling van X . We doen dit meestal in twee stappen: • Bepaal de cumulatieve FY (y) = P[Y ≤ y].
kansverdeling
• Bereken de kansdichtheid f Y (y) via de afY (y) geleide f Y (y) = dFdy .
/k
9/28
12 Zij X een uniform(0, 1) verdeelde stochastische variabele. Bepaal de cumulatieve verdelingsfunctie en de kansdichtheid van de stochasten: • Y1 = 100X , • Y2 = X 2 , • Y3 = X 3 .
/k
10/28
12 Zij Y = a X met a > 0, dan heeft Y als kansverdelingsfunctie en kansdichtheid respectievelijk: y y 1 FY (y) = FX a , f Y (y) = a f X a Y = a X met a > 0: • Als X uniform(b, c) is dan is Y uniform(ab, ac), • Als X exponentieel(λ) is dan is Y exponentieel(λ/a), • Als X Erlang(n, λ) is dan is Y Erlang(n, λ/a), • Als X Gaussisch(µ, λ) is dan is Y Gaussisch(aµ, aσ ),
/k
11/28
12 Zij Y = X + b, dan heeft Y als kansverdelingsfunctie en kansdichtheid respectievelijk: FY (y) = FX (y − b),
f Y (y) = f X (y − b)
/k
12/28
12 Zij U een uniforme(0, 1) verdeelde stochastische variabele. Zij F(x) een cumulatieve verdelingsfunctie met een inverse F −1 gedefinieerd op [0, 1]. Dan heeft de stochastische variabele X = F −1 (U ) een kansverdelingsfunctie FX (x) = F(x).
/k
13/28
12 Conditionele verdelingsfunctie gegeven een gebeurtenis Voor een stochastische variabele X met kansdichtheid f X (x) en een gebeurtenis B ⊂ S X met P[B] > 0 de conditionele kansdichtheid gegeven B is: ( f X (x) als x ∈ B f X |B (x) = P[B] 0 anders
/k
14/28
12 Een stochastische variabele X resulterend van een experiment en een partitie B1 , B2 , . . . , Bm van de uitkomstenruimte met conditionele kansdichtheden f X |Bi (x), heeft een kansdichtheid: X f X (x) = f X |Bi (x)P[Bi ] i
/k
15/28
12 Conditionele verwachting gegeven een gebeurtenis Gegeven dat x ∈ B dan is de conditionele verwachting van X gelijk aan: Z ∞ x f X |B (x) dx. E[X |B] = −∞
/k
16/28
12 Gezamenlijke cumulatieve verdelingsfunctie De gezamenlijke cumulatieve verdelingsfunctie (joint cumulative distribution or joint CDF) van de stochastische variabelen X en Y is: FX,Y (x, y) = P[X ≤ x, Y ≤ y]
/k
17/28
12 Voor een paar stochastische variabelen X en Y : • 0 ≤ FX,Y (x, y) ≤ 1 • FX (x) = FX,Y (x, ∞) • FY (y) = FX,Y (∞, y) • FX,Y (−∞, y) FX,Y (x, −∞) = 0
=
• Als x ≤ x1 en y ≤ y1 dan FX,Y (x, y) ≤ FX,Y (x1 , y1 ) • FX,Y (∞, ∞) = 1
/k
18/28
12 Gezamenlijke verdelingsfunctie De gezamenlijke verdelingsfunctie (joint probability mass function or joint PMF) van de discrete stochastische variabelen X en Y is: PX,Y (x, y) = P[X = x, Y = y] We definiëren het bereik (range) van het paar stochastische variabelen X en Y is: S X,Y = {(x, y) | P[X = x, Y = y] > 0} .
/k
19/28
12 Voor discrete stochastische variabelen X en Y en elke verzameling B in het X, Y vlak, is de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis {(X, Y ) ∈ B} gelijk aan: X P[B] = PX,Y (x, y) (x,y)∈B
/k
20/28
12 Marginale kansverdeling X en Y zijn discrete stochastische variabelen met gezamenlijke kansverdeling PX,Y (x, y). We hebben: X X PX (x) = PX,Y (x, y), PY (y) = PX,Y (x, y) y∈S y
x∈Sx
Dit wordt de marginale kansverdeling (marginal PMF) genoemd.
/k
21/28
12 Gezamenlijke kansdichtheidsfunctie De gezamenlijke kansdichtheidsfunctie (joint probability density function or joint PDF) f X,Y van de stochastische variabelen X en Y is zodanig dat: Z x Z y FX,Y (x, y) = f X,Y (u, v) dvdu −∞ −∞
∂ 2 FX,Y (x, y) f X,Y (x, y) = ∂ x∂ y
/k
22/28
12 Een gezamenlijke kansdichtheidsfunctie f X,Y (x, y) heeft de volgende eigenschappen: • f X,Y (x, y) ≥ 0 voor alle (x, y) Z ∞Z ∞ f X,Y (x, y)dxdy = 1 • −∞ −∞
Verder geldt: P[x1 ≤ X ≤ x2 , y1 ≤ Y ≤ y2 ] = FX,Y (x2 , y2 ) − FX,Y (x2 , y1 ) − FX,Y (x1 , y2 ) + FX,Y (x1 , y1 )
/k
23/28
12 Voorbeeld Gegeven stochasten met een gezamenlijke kansdichtheid: ( 2 0≤y≤x ≤1 f X,Y (x, y) = 0 anders Bepaal de cumulatieve kansverdeling.
/k
24/28
12 De kans dat de continue stochastische variabelen (X, Y ) in A liggen is ZZ P[A] = f X,Y (x, y) dxdy A
/k
25/28
12 Voorbeeld Gegeven stochasten met een gezamenlijke kansdichtheid: ( 2 0≤y≤x ≤1 f X,Y (x, y) = 0 anders Bepaal de kans P[A] = P[Y > X ]
/k
26/28
12 Marginale kansdichtheid Gegeven zijn stochastische variabelen X en Y met gezamenlijke kansdichtheid f X,Y (x, y). We hebben: Z ∞ Z ∞ f X (x) = f X,Y (x, y)dy, f Y (y) = f X,Y (x, y)dx. −∞
−∞
Dit wordt de marginale kansdichtheid (marginal PDF) genoemd.
/k
27/28
12 Voorbeeld Gegeven stochasten met een gezamenlijke kansdichtheid: ( 5 y −1 ≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ 1 4 f X,Y (x, y) = 0 anders Bepaal de marginale kansdichtheden f X (x) en f Y (y).
/k
28/28
