Stochastische loadflow 07-143 pmo 6 november 2007
Phase to Phase BV Utrechtseweg 310 Postbus 100 6800 AC Arnhem T: 026 352 3700 F: 026 352 3709 www.phasetophase.nl
2
07-143 pmo
© Phase to Phase BV, Arnhem, Nederland. Alle rechten voorbehouden.
Dit document bevat vertrouwelijke informatie. Overdracht van de informatie aan derden zonder schriftelijke toestemming van of namens Phase to Phase BV is verboden. Hetzelfde geldt voor het kopiëren van het document of een gedeelte daarvan. Phase to Phase BV is niet aansprakelijk voor enige directe, indirecte, bijkomstige of gevolgschade ontstaan door of bij het gebruik van de informatie of gegevens uit dit document, of door de onmogelijkheid die informatie of gegevens te gebruiken.
3
07-143 pmo
INHOUD
1
Inleiding ................................................................................................................................. 4
2
Het gedrag van de belasting.................................................................................................. 4
3
Rekenen met Gaia ...................................................................................................................7
4
Stochastische loadflow .......................................................................................................... 9
5
Conclusie............................................................................................................................... 11
4
1
07-143 pmo
INLEIDING
Ontwerpberekeningen voor LS- en MS-netten worden doorgaans uitgevoerd door gebruik te maken van maximale belastingen in combinatie met kentallen voor de gelijktijdigheid ervan. De techniek is gebaseerd op de informatie die de distributiebedrijven jaarlijks vergaarden met maximaalmetingen in het net. Door Rusck werd in 1956 daartoe een formule opgesteld die alom werd geaccepteerd. In 1975 werd door Strand en Axelsson een proefondervindelijke relatie vastgesteld tussen maximale belasting en jaarverbruik. Deze laatste methode leende zich tot het berekenen van maximale factoren gerelateerd aan verbruik-categorieën in de praktijk. In combinatie met belastingsprognose zijn deze modellen de basis voor de huidige ontwerpen van MS en LS-netten. Genoemde modellen geven inzicht in een worst-case. Een loadflowberekening kan in principe niet goed met gelijktijdigheid omgaan. Met ingrepen zoals negatieve stroominjecties kunnen in radiaal bedreven netten verschillende belastingen 'gelijktijdig' worden gesommeerd en wordt een 'gelijktijdig' beeld van de netstromen bepaald. In vermaasd bedreven netten is deze methode niet mogelijk. Er wordt gezocht naar een methode die goed toepasbaar is voor alle nettypen.
2
HET GEDRAG VAN DE BELASTING
Individuele gebruikers vertonen in het elektriciteitsverbruik een zeker groepsgedrag, maar gedragen zich momentaan gezien als individuen. Niet bij iedereen draait de wasmachine op hetzelfde moment. Maar toch vertonen de individuele gebruikers als functie van de tijd, verspreid over een dag, gemiddeld genomen grote overeenkomsten in het gedrag. Onderstaande figuur illustreert dit, waarin de belastingscurves genormeerd zijn naar hun individuele gemiddelde. Tussen 1:00 en 7:00 uur is de belasting minimaal. Tussen 7:00 en 9:00 uur neemt de belasting snel toe. 's-Avonds neemt de belasting nog meer toe, om daarna weer af te dalen tot het minimum.
Elektriciteitsverbruik 21 januari 2000 2.5 Stroom (p.u.)
2 Stroom2 1.5
Stroom3
1
Stroom4 Stroom5
0.5
22:47:31
21:02:30
19:17:30
17:32:30
15:47:31
14:02:30
12:17:30
10:32:30
8:47:31
7:02:30
5:17:30
3:32:29
1:47:30
0:02:30
0
Figuur 1 Genormeerd elektriciteitsverbruik voor vier afnemers, verspreid over een dag. Alle belastingen gedragen zich over de gehele dag genomen als onderling afhankelijke signalen, maar binnen een beperkt tijdvenster (bijvoorbeeld van één uur) gedragen zij zich als onafhankelijke stochastische signalen. Van die stochastische signalen kan per tijdvenster een gemiddelde waarde en
5
07-143 pmo
een spreiding worden uitgerekend. Onderstaande afbeelding illustreert dit. Van alle genormeerde belastingskrommen zijn eerst op uurgemiddelden gebaseerde belastingskrommen berekend. Vervolgens zijn deze uurcurves als functie van de tijd uitgezet. Bovendien is voor elke uurwaarde de spreiding uitgerekend tussen alle vier de curves. Deze spreiding is eveneens als functie van de tijd uitgezet.
Stroom (p.u.)
Uurgemiddelden en Spreiding 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0:00:00
Stroom2 Stroom3 Stroom4 Stroom5 Spreiding
4:48:00
9:36:00
14:24:00
19:12:00
0:00:00
Figuur 2 Uurgemiddelden van genormeerd elektriciteitsverbruik voor vier afnemers en spreiding. In bovenstaand figuur is een tijdvenster aangegeven, waarbinnen zich de momentane belasting als een onafhankelijk stochastisch signaal gedraagt. De belasting laat zich in ieder tijdvenster beschrijven als een stochastische variabele, met een gemiddelde waarde en een spreiding. Voor het aangegeven tijdvenster in de figuur is de gemiddelde waarde ongeveer gelijk aan 1 en de spreiding ongeveer gelijk aan 0,2. De belasting op een bepaald tijdstip t kan beschreven worden door een normale kansverdeling met gemiddelde μ(t) en spreiding σ(t). Onderstaand figuur geeft de kansverdeling weer voor een belasting met gemiddelde waarde 3 en een spreiding van 1. 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15
σ
0.1 0.05 0 0
2
μ
4
Figuur 3 Belasting als normale kansverdeling
6
8
10
6
07-143 pmo
In onderstaand figuur is de gemiddelde belastingscurve voor bovenstaande vier belastingen afgebeeld. Deze kromme is gelabeld "mu". Ook is met behulp van de spreidingscurve een band aangegeven, waarbinnen zich met een zekere waarschijnlijkheid de individuele belastingscurven zullen bevinden. Als boven- en ondergrens zijn de “plus 1σ” en de “min 1σ” curves getekend. Deze curves zijn berekend door de spreidingscurve bij de gemiddelde curve op te tellen (mu+s), respectievelijk af te trekken (mu-s). Indien de stochastische belasting zich als een normaal verdeelde variabele zou gedragen, zou de werkelijke waarde van de belasting zich met een waarschijnlijkheid van 70% binnen de aangegeven grenzen bevinden.
Stroom
Gemiddelde belastingcurve met spreiding 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
mu mu+s mu-s
0:00:00
4:48:00
9:36:00
14:24:00
19:12:00
0:00:00
Figuur 4 Gemiddeld elektriciteitsverbruik en 1σ grens, over een dag. Alle op deze manier gemodelleerde belastingen in een richting kunnen worden gesommeerd volgens de theorie van de stochastische signalen. Dat heeft gevolgen voor het gemiddelde en de spreiding. Onderstaand diagram geeft aan hoe dit uitwerkt in een distributienet. Elk grafiekje geeft de kansverdeling weer van de belastingstroom. De gemiddelde waarden zijn respectievelijk 50, 20 en 5. De spreiding neemt toe naar het einde van de richting. 1
0. 9 0. 8
0. 8
0. 7 0. 6
0. 6
0. 5
0. 4
0. 4
0. 2
0. 2
0
0
0. 3 0. 1 0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
-0. 1
0
10
20
30
40
50
Figuur 5 Kansverdelingen van de afnemende stroom in een richting van een distributienet Dicht bij de voeding is het aantal belastingen, en dus het aantal onafhankelijke stochastische signalen, groot. Doordat de som van het aantal onafhankelijke belastingen verder in het net afneemt, neemt de onzekerheid (en dus de spreiding) toe. Dit komt omdat de maximale belasting bij de verschillende verbruikers op verschillende tijdstippen op zal treden. Dit verschijnsel is eerder beschreven door
60
7
07-143 pmo
Rusck. We zien dus dat de gemiddelde waarde afneemt en dat de spreiding in verhouding toeneemt. Voor een klein aantal verbruikers of zelfs een enkele is het eigenlijk niet meer correct om de normale verdeling toe te passen. We doen dit toch omdat er geen alternatief is. Het model van Rusck zegt dat er een relatie is tussen de maximale netbelasting en de maximale belasting van een gebruiker, ook al zijn beide variabelen stochastisch onafhankelijk. Deze relatie gaat overigens alleen op indien er voldoende gelijksoortige gebruikers op het net aangesloten zijn. In formulevorm luidt die relatie:
Bmax,n = n ⋅ Bmax,1 ⋅ g n
(1)
waarbij: n : het aantal verbruikers Bmax,1 : maximale belasting van één verbruiker : gelijktijdigheidsfactor voor n verbruikers gn Voor de gelijktijdigheidsfactor geldt:
g n = g ∞ + (1 − g ∞ )
1 n
(2)
waarbij: g∞ : gelijktijdigheidsfactor voor een oneindig aantal verbruikers. In praktijk blijkt g∞ ongeveer gelijk te zijn aan 0,2. Dat betekent dat het grootste gedeelte van de gelijktijdigheidsfactor evenredig is met het omgekeerde van de wortel van het aantal verbruikers.
3
REKENEN MET GAIA
Voor de berekeningen in Gaia is tot en met versie 5.0 de methode van Strand-Axelsson toegepast. De belasting voor een aantal verbruikers wordt berekend met:
Bmax ,n = α ⋅ V1 ⋅ n + β ⋅ V1 ⋅ n Het rekenen met ongelijktijdigheid vereist een speciale ingreep in het netmodel. Om de in de richting van de voeding toenemende ongelijktijdigheid te verrekenen, worden negatieve stroominjecties toegepast, zodanig dat de relatie van Strand-Axelsson voor het aantal verbruikers steeds klopt. LS
A1
Fuse 100 LS-A1 50 m 50 Al 5 eengezinswoningen
A2 A1-A2 50 m 50 Al 5 eengezinswoningen
A3 A2-A3 50 m 50 Al 5 eengezinswoningen
A4 A3-A4 50 m 50 Al 5 eengezinswoningen
MS
V
A4-Eind 100 m 50 Al 250 kVA trap: -2
Eindknooppunt
B1
Fuse 100 LS-B1 50 m 50 Al 5 eengezinswoningen
B2 B1-B2 50 m 50 Al 5 eengezinswoningen
B3 B2-B3 50 m 50 Al 5 eengezinswoningen
B2-B2a 100 m 50 Al 5 vrijstaande woningen
B2a
Figuur 6 Radiaal distributienet met negatieve stroominjecties.
B3-Eind 100 m 50 Al
8
07-143 pmo
Deze methode kan in vermaasde netten niet worden toegepast. Daarom is in Gaia 5.1 een alternatieve methode geïmplementeerd die op alle nettypen kan worden toegepast. Om in alle nettypen met de methode van Strand-Axelsson te kunnen rekenen, is de Strand-Axelsson-basis geïntroduceerd. Deze verdeelt gelijksoortige Strand-Axelsson belastingen over het net, afhankelijk van de instellingen bij de opties:
De Strand-Axelsson-basis wordt de variabele SAB genoemd. Deze variabele bepaalt over hoeveel belastingen de Strand-Axelsson belasting wordt berekend. In de opties wordt één van onderstaande configuraties gekozen. Configuratie Vast Gebied Richting Kabel en aansluiting
SAB n (input gebruiker) aantal belastingen van één type in het gebied aantal belastingen van één type in de richting aantal belastingen van één type in elke kabel en aansluiting
Vervolgens wordt de belasting (Bi) van kabel i bepaald volgens:
Bi =
ni ⋅ SA(SAB) SAB
Waarin SAB volgens de opties bepaald is en SA(SAB) de Strand-Axelsson belasting is voor SAB belastingen. Voorbeeld met Richting Onderstaand voorbeeld illustreert de methode. Indien gekozen is voor Richting, wordt de StrandAxelsson-basis SAB bepaald door het aantal gelijke belastingen per richting. De bovenste richting bevat 4x5=20 belastingen van het type "eengezinswoningen". De onderste richting (in blauw) bevat 3x5=15 belastingen van het type "eengezinswoningen" en 5 belastingen van het type "vrijstaande woningen".
Figuur 8 Distributienet met richtingen A (boven) en B (beneden).
9
07-143 pmo
Voor de bovenste richting A is de belasting Bi voor het type "eengezinswoningen" per kabel i gelijk aan: Bi = 5/20 x SAeengezin(20) Voor de onderste richting B is de belasting Bi voor het type "eengezinswoningen" per kabel i gelijk aan: Bi = 5/15 x SAeengezin(15) Voor de uitloper van knooppunt B2 naar B2a is de belasting Bi voor het type "vrijstaande woningen" gelijk aan: Bi = 5/5 x SAvrijstaand(5) De belasting Btr op de transformator is dan gelijk aan: Btr = SAeengezin(20) + SAeengezin(15) + SAvrijstaand(5) Voorbeeld met Gebied Indien gekozen is voor Gebied, wordt de Strand-Axelsson-basis SAB bepaald door het aantal gelijke belastingen in het gehele gebied. In het bovenstaande distributienet de belasting Bi voor het type "eengezinswoningen" per kabel i gelijk aan: Bi = 5/35 x SAeengezin(35) De belasting Bi voor het type "vrijstaande woningen" per kabel i blijft gelijk aan: Bi = 5/5 x SAvrijstaand(5) De belasting Btr op de transformator is dan gelijk aan: Btr = SAeengezin(35) + SAvrijstaand(5) In bovenstaand voorbeeldnet is de belasting op de transformator het grootst indien in de opties gekozen is voor Kabel en aansluiting als Strand-Axelsson-basis. De belasting op de transformator is het kleinst indien gekozen is voor Gebied. Indien gekozen is voor Richting is de belasting op de transformator tussen deze twee extremen in.
4
STOCHASTISCHE LOADFLOW
Door gebruik te maken van negatieve stroominjecties in radiale netten en een Strand-Axelsson-basis voor radiale en vermaasde netten is het goed mogelijk om rekening te houden met de ongelijktijdigheid in distributienetten. Het grootste nadeel van de methode die gebruik maakt van negatieve stroominjecties is dat die methode niet toepasbaar is op vermaasd bedreven netten. Bovendien treden moeilijkheden op bij asymmetrie in de verdeling van de belastingen. De methode die gebruik maakt van de Strand-Axelsson-basis is weliswaar zowel op radiale als op vermaasde netten bruikbaar, maar geeft bij radiale netten niet dezelfde resultaten als de methode met negatieve stroominjecties. Bij het zoeken naar een nieuwe uniforme methode wordt de stochastische loadflow onderzocht. De basis van de nieuwe netberekeningsmethode wordt gevormd door een admittantienetwerk, waarvan de belastingen zijn gemodelleerd als stroominjecties. Elke stroominjectie wordt voorgesteld door een stroombron. In onderstaand diagram zijn twee parallelgeschakelde onafhankelijke stroombronnen afgebeeld.
10
07-143 pmo
i1 itot i2
Figuur 9 Twee parallelgeschakelde stroombronnen De totaalstroom van de parallelgeschakelde stroombronnen is op elk moment gelijk aan:
itot = i1 + i2 Maar ook indien de twee individuele stromen voorgesteld worden door stochastische variabelen geldt bovenstaande vergelijking. Indien we de stochastische stromen i1 en i2 elk voorstellen als stochastische variabelen, geldt uit de basiskennis van de theorie van de stochastische signalen dat de gemiddelde waarde van de som gelijk is aan de som van de afzonderlijke gemiddelde waarden:
E (itot ) = E (i1 + i2 ) = E (i1 ) + E (i2 ) Wanneer de beide stromen i1 en i2 onafhankelijk van elkaar zijn, is de variantie van de som gelijk aan de som van de varianties:
var(itot ) = var(i1 ) + var(i2 ) Tussen spanning en stroom is de relatie gelineariseerd. De relatie is niets anders dan de wet van Ohm, toegepast op de verbindingen. Daarom kan geconcludeerd worden dat hetgeen voor de som van twee stochastische stromen geldt, ook geldt voor de som van twee stochastische spanningen. De gemiddelde waarden en de stochastische variabelen kunnen separaat worden behandeld. Dit wordt op basis van superpositie aangepakt. Als uitgangspunt van de methode wordt de volledig opgeloste loadflow voor de gemiddelden van alle belastingen uitgerekend. De gemiddelden hebben geen stochastische component, zodat de gebruikelijke methode van loadflowberekening kan worden toegepast. De resultaten worden bewaard en leveren de gemiddelde waarden voor alle stromen en spanningen in het net. Vervolgens wordt van alle belastingen de stochastische stroomcomponent bepaald, waarna voor iedere belasting afzonderlijk de invloed op de varianties van stromen en spanningen in het net worden berekend en bewaard. Deze berekeningen vinden plaats door op het passieve netwerk per belasting een stroom ter grootte van de standaarddeviatie te injecteren. Daarbij zijn alle spanningsbronnen vervangen door een kortsluiting en alle andere stroombronnen vervangen door een opening. Dit is identiek aan de procedure die bij een kortsluitberekening volgens IEC 60909 wordt gevolgd. Per belasting wordt de stochastische component vastgesteld. Deze wordt voor knooppunt i voorgesteld door iˆi . De methode werkt met stroominjectie, zoals dat in de methode van IEC 60909 gebeurt. De invloed van de stochastische component wordt berekend door op het passieve netwerk een stroom ter grootte van de standaarddeviatie van de stochastische component te injecteren.
iinj ,i = σ i = var(iˆi )
11
07-143 pmo
Doordat in het passieve netwerk alle spanningsbronnen zijn vervangen door kortsluitingen en alle stroombronnen zijn vervangen door een opening, heeft de stroominjectie tot gevolg dat alle berekende stromen en spanningen in het passieve netwerk volledig veroorzaakt zijn door deze ene geïnjecteerde stroom. Dat mag, omdat het netwerk voor het nominale werkpunt gelineariseerd is. In overeenstemming met het gestelde in het vorige hoofdstuk is het kwadraat van iedere takstroom gelijk aan de variantie van de stroom in de betreffende tak, veroorzaakt door de stochastische component van de belasting op knooppunt i. Dat geldt ook voor de spanningen: het kwadraat van de spanning op een knooppunt is gelijk aan de variantie van de spanning op dat knooppunt, veroorzaakt door de stochastische component van de belasting op knooppunt i. Alle berekende stromen en spanningen worden bewaard voor latere bewerking. Belasting
Opwekking
iinj,i
Admittantienetwerk [Y] Zgen,i
Figuur 10 Berekening van een stochastische component De berekening van de stochastische loadflow bestaat dus uit het berekenen van de loadflow van de gemiddelde situatie en achtereenvolgend een voor een de gevolgen van een stroominjectie op ieder belastingsknooppunt. De resultaten van de stroominjectieberekeningen worden gekwadrateerd en opgeteld. Het resultaat levert de varianties van takstromen en knooppuntspanningen in het netwerk, veroorzaakt door alle stochastische belastingen. Met de resultaten van de loadflowberekening kunnen de te verwachten maxima en minima berekend worden. Alle varianties in het netwerk, veroorzaakt door onafhankelijke stochastische belastingen, mogen vervolgens gewoon gesommeerd worden: N
var(itak , jk ) = ∑ var(itak , jk ,i ) i =1
N
var(uknooppunt ,k ) = ∑ var(uknooppunt ,k ,i ) i =1
5
CONCLUSIE
In Gaia 5.2 zal de stochastische loadflow de huidige loadflow uitbreiden. De gebruiker zal daar zo weinig mogelijk van merken. Door het gebruik van de spreidingen is het dan ook mogelijk om een meer genuanceerd beeld van de minima en maxima van stromen en spanningen te verkrijgen.
