De Stochastische Elektrodynamica als oorsprong van de kwantumwereld?

De Stochastische Elektrodynamica als oorsprong van de kwantumwereld? Erik F. G. van Heusden Onder begeleiding van dr. T.M.Nieuwenhuizen. Tweede beoordelaar: prof. dr. B. Nienhuis Institute for Theoretical Physics, University of Amsterdam, Science Park 904, 1090 GL Amsterdam, The Netherlands Abstract. Het doel van de stochastische elektrodynamica is het produceren van een theorie die het kwantum-mechanische gedrag van de natuur kan beschrijven, zonder hiervoor de aannames te maken die voor de standaard kwantummechanica nodig zijn. In plaats daarvan beschrijft de stochastische elektrodynamica de kwantum-natuur aan de hand van klassieke, Maxwellse natuurwetten. De hoop is dat de bekende problematiek van dit formalisme, zoals het verdampen van het waterstofatoom, een van de oorspronkelijke redenen om de kwantummechanica te postuleren, binnen de SED op een andere manier te verhelpen is. De Stochastische Elektrodynamica (SED) wil dit bereiken door een fluctuerend maar volstrekt klassiek elektromagnetisch achtergrondveld aan te nemen. De wanordelijke interactie van dit achtergrondveld met de materie zal uiteindelijk de oorsprong van het kwantumgedrag moeten blijken.

De Stochastische Elektrodynamica als oorsprong van de kwantumwereld?

2

1. Introduction De stochastische elektrodynamica is een theorie die geladen deeltjes in een volstrekt klassiek (Maxwelliaans) fluctuerend elektromagnetisch veld beschrijft, waarbij men aanneemt dat dit veld Lorenz-invariant en overal aanwezig is. Mogelijk betreft het zelfs een aan het vacu¨ um intrinsiek verschijnsel, hoewel het net zo goed toegeschreven kan worden aan door bijv. een oerknal veroorzaakte fluctuaties. De sterke van dit veld is gemiddeld nulwaardig, hoewel de energieinhoud, en de gemiddelde absolute waarde van de sterkte van dit veld dit zeker niet zijn. Het doel van deze theorie is om alle uit de kwantummechanica bekende onzekerheden en statistische verschijnselen te beschrijven aan de hand van de interactie tussen dit chaotische veld en de materie, in plaats van hen op de gangbare manier te beschouwen, waarbij zij voortkomen uit commutatieregels en schijnbaar volstrekt mathematische aannames, en als bijna metafysische verschijnselen waaraan de onbepaaldheid intrinsiek is worden gezien. Het is de bedoeling dat de kwantummechanica slechts de statistiek op de klassieke, sub-kwantummechanische processen van de SED zal blijken. Men moet opmerken dat Bell’s theorema, dat meestal voorbarig als argument tegen het bestaan van een sub-kwantummechanica wordt aangedragen, geen relevantie heeft voor de SED. De door het Bell-theorema uitgesloten verborgen variabelen zitten immers niet in een deeltje maar in het veld. Daarnaast zijn er twijfels over de implicaties van de schending van Bell ongelijkheden [1]. In het volgende verslag zal men, grotendeels in navolging van referenties [2], [3] en [4], van verschillende systemen zien hoe zij door de SED worden beschreven, en hoe deze beschrijvingen overeenkomstig blijken met de uit de kwantummechanica, en het experiment, bekende beschrijving. Indien deze beschrijving van de realiteit de correcte blijkt te zijn zou dit vergaande gevolgen hebben voor de theoretische natuurkunde. Aangezien de kwantummechanica dan niet de werkelijke natuur, maar slechts een zekere statistiek hierop zou blijken te beschrijven, zouden de meeste theorieën die de limieten van de kwantummechanica opzoeken niet langer relevant zijn. Een kwantumzwaartekracht zou van een geheel andere vorm moeten zijn dan voorheen aangenomen, en waarschijnlijk zullen alle huidige kwantumzwaartekrachten verworpen kunnen worden. Zelfs het idee dat er op de Planckschaal nog kwantummechanisch gedrag bestaat kan op losse schroeven komen te staan [5]. 2. De gevolgen van een nulpuntsenergie In dit eerste hoofdstuk zullen we het eerst het veld zelf behandelen. In de volgende hoofdstukken zal de koppeling tussen veld en materie een steeds grotere rol gaan spelen. De meest gangbare manier om de eigenschappen van een stralingveld te benaderen is als een ensemble van verschillende harmonische oscillatoren, die elk één modus van


3

het veld vertegenwoordigen. Deze benadering zal men in de volgende overwegingen ook gebruiken. De geldigheid van deze benadering is wellicht discutabel, maar men moet zich realiseren dat de overeenkomsten toch vrij groot zijn. Beide systemen zijn gemiddeld genomen nulwaardig, en de waarschijnlijkheid een bepaalde uitwijking waar te nemen neemt af met de grootte van de uitwijking. Ook is het zo dat, in het geval van (buiten de mogelijkheid tot energieoverdracht) ongekoppelde oscillatoren zij zich, net zoals de verschillende modes, onafhankelijk van elkaar gedragen. Tot slot zijn in beide systemen alle veranderingen adiabatisch in de beschouwde situaties. Daarnaast gaan de thermodynamische eigenschappen van dit oscillatorensysteem ook op voor de meeste andere systemen. Zie ook [6] [7]. Door de thermodynamica van dit (vrijwel oneindige) ensemble van oscillatoren te beschouwen kan men als het goed is ook de thermodynamische eigenschappen van het veld beschrijven. Omdat de actie constant moet blijven onder een verandering van de frequentie, en omdat J = Uω moet gelden dat: dU = Jdω = Uω dω. (waar J de actie, U de energie en ω de frequentie vertegenwoordigen) Omdat er sprake is van adiabatische veranderingen, en de energieverliezen dus gecompenseerd moeten worden geldt vervolgens dat: dW = − Uω dω. Nu vinden we dQ = T dS = dU + dW = dU − Uω dω, waardoor we dus worden gedwongen tot een energieafhankelijkheid van de vorm U = ωf ( Tω ) = ωf (z). Omdat de variabele z dimensieloos moet zijn moeten we deze normeren tot: z = k¯hBωT waardoor we een vergelijking vinden die van de zelfde vorm is als de Wienwet, een voorloper van de Planckwet, en wel een die voor de meeste energieën ook de juiste waarde geeft. Dit laatste is niet verwonderlijk: Wien verkreeg deze wet op een vergelijkbare manier. Het is hier pas waar de SED echter grote afwijkingen gaat vertonen. Omdat al deze functies alleen nog van z afhangen is er op T = 0 immers een keuzevrijheid: daar is z oneindig en E0 = U (0, ω) = ωf (∞) = Aω. De meest gangbare aanname, die Wien, Planck, Bohr en Einstein hebben gemaakt, is dat f (∞) = 0. Dit hoeft echter volstrekt niet per se het geval te zijn, in principe zou men hiervoor iedere waarde kunnen aannemen, en een waarde anders dan nul zal ook tot een zich volstrekt anders gedragende theorie leiden. Een eerste punt is dat indien men een andere waarde dan nul kiest, volgt dat dit oscillatoren systeem zelfs bij een nulwaardige temperatuur nog een zekere nulpuntsenergie moet bezitten. Let wel dat deze oscillatoren volstrekt klassiek waren: er is geen sprake van een gekwantiseerde verzameling van toegestane toestanden of energieniveaus, maar desalniettemin moet er sprake zijn van een nulpuntsenergie, zoals dat het geval is voor de grondtoestand van de kwantummechanische harmonische 1 oscillator. Als men deze f (∞) kiest als E0 = Aω = 4π hω = 21 h ¯ ω, heeft men zelfs de zelfde uitkomsten als in het kwantumgeval. De aanname van de SED is dus dat de in de kwantummechanica emergente “virtuele” nulpuntsenergie ook daadwerkelijk een fysisch verschijnsel is. Een gevolg hiervan is dat men door deze nulpuntsenergie te postuleren een frequentieafhankelijke bijdrage aan de evenwichtsenergie verkrijgt, niet alleen voor T = 0, maar voor alle temperaturen. Hierdoor zal er geen sprake meer zijn van energie-equipartitie tussen de verschillende oscillatoren, of modii van het veld.


4

2.1. De Thermodynamische Gevolgen van de Nulpuntsenergie Aangezien men equipartitie overboord heeft gezet moet men op zoek gaan naar een nieuwe verdeling. Traditioneel geeft men deze weer in de volgende vorm, waarbij waarbij de kans dat de energie tussen E enE + dE ligt gegeven is door: Wg (E)dE =

g(E)e−βE dE Zg (β)

(1)

Met Z de totale toestandssom en g de dichtheidsfunctie. De meest voor de hand liggende kandidaat voor deze dichtheidsverdeling is een 1 klassieke, Boltzmann-achtige verdeling g(E) = sω , met s een geschikte constante. Deze aanname van een energie-onafhankelijke verdeling geeft echter het probleem dat de verwachtingswaarde van de energie, Z ∞ 0

Wg (E)EdE = hEi = U =

1 = kB T, β

(2)

Alleen een temperatuurafhankelijke bijdrage en geen vacuumbijdrage meer heeft, waardoor de gekozen functie voor g(E) niet de juiste is. Met een nulpuntsenergie kan er dus geen sprake meer van een Boltzmann-statistiek zijn. Een vruchtbaarder aanpak om de nieuwe functie Ws te bepalen is door te proberen de energieverdeling te vinden waar de entropie maximaal is. Deze aanpak dwingt ons een functie te accepteren die van de volgende vorm is: 1 E Ws (E) = e− U . (3) U Deze functie reduceert in het geval van een volledig thermische energieverdeling (U = kB T ) naar de gebruikelijke kanonieke verdeling, maar voor een andere functie voor U kan de verdelingsfunctie van een geheel andere aard zijn. Wanneer men echter eist dat de standaard-deviatie in de statistische (dus niet uitsluitend thermische) energiefluctuaties bij T = 0 zodanig is dat geldt dat: (σE2 )s = U 2 (T = 0) = E02 , en men vervolgens in aanmerking neemt dat er bij T = 0 geen thermische energiefluctuaties meer mogen zijn, moet men concluderen dat er een overal aanwezig temperatuur-onafhankelijke energiefluctuatie is met standaardafwijking (σE2 (T = 0))s = E02 . Voor de zuiver thermische energiefluctuaties moet nu dus gelden: σE2 = (σE2 )s − E02 = U 2 − E02

(4)

Aangezien σE2 = − dU moet gelden dat: − dU = σE2 = (σE2 )s − E02 = U 2 − E02 . Als men dβ dβ dit herschrijft tot dU dU =− 2 (5) dβ = − 2 σE (U ) U − E02 vindt men, na integratie, een energie die beschreven wordt door: U (β) = E0 coth(E0 β + β0 ) Waarbij men kiest dat β0 = 0, zodat op T = ∞, T = U .

(6)


5

Dit is echter een zeer memorabel gevolg: wanneer men voor de nulpuntsenergie eist dat geldt E0 = 21 h ¯ ω, vindt men: 1 h ¯ω 1 1 ¯ ω coth( h ¯ ωβ) = β¯hω + h ¯ ω = UT + E0 (7) U (β) = h 2 2 e −1 2 Hetgeen, opvallend genoeg, een vergelijking is waarvan het thermische (β- afhankelijke) deel precies het Planck-spectrum oplevert, en waarvan, zoals verwacht, het energieonafhankelijke deel de nulpuntsenergie uit het aangenomen achtergrondveld beschrijft. Wat nog het meest opmerkelijke is, is dat de aannames van een achtergrond met een fluctuerende energiedichtheid alleen, na enige wiskundige omzwervingen, tot dit Planckspectrum leiden, zonder dat enig kwantumfenomeen aangenomen hoeft te worden: in principe is alleen de (volstrekt klassieke) Wien-benadering, hoewel met toevoeging van een achtergrondveld met een nulpuntsenergie, voldoende om het Planck-spectrum af te leiden. Een prijs die men hier wel voor moet betalen is dat men, door de niet-thermische bijdrage aan het veld, niet langer van alleen de thermodynamische overwegingen gebruik kan maken, maar ook andere statistische overwegingen nodig heeft om het systeem te verklaren. 2.2. Planck vs Einstein Een volgende opvallende conclusie is dat men, als men de uitdrukking voor de thermische energiedispersie niet uitdrukt in termen van de totale energie U maar in termen van alleen de thermische energiebijdrage, UT , vindt dat: σE2 = U 2 − E02 = UT2 + 2E0 UT : een van de verschijnselen die de oorsprong van alle kwantumtheorie is geweest. Voor Planck was de 2E0 UT -term een manifestatie van de gekwantiseerde aard van de interactie tussen de materie en het veld (de emissie), terwijl het voor Einstein een aanwijzing was voor de materieële aard van het licht zelf (het foton): beide beschrijvingen die het bestaan van het achtergrondveld, dat in beide beschrijvingen uiteindelijk als onvermijdelijk gevolg de kop opsteekt, niet in aanmerking nemen. In de SED kan met deze 2E0 UT -term, op de zelfde manier dat de U 2 -term in alle beschrijven opgevat wordt als de interferentie tussen de verschillende modi van het veld, opvatten als een manifestatie van de interferentie tussen het reële of thermische stralingsveld en het achtergrondveld. Ook moet men opmerken dat de bij Planck en Einstein niet aanwezige E02 -term, bij de SED ook niet in de thermische, maar alleen in de statistische fluctuaties voor komt. De interpretatie van deze term is natuurlijk dat zij de interferenties binnen het achtergrondveld weergeeft: dit komt in de standaard-theorie, waar de nulpuntsenergie altijd constant is en geen thermische dispersie kent, natuurlijk niet voor. 2.3. Het Foton Zonder Kwantisatie In de voorgaande overwegingen is in principe het oorspronkelijke idee van Planck omgekeerd: Waar Planck de kwantisatie van het licht aan diende te nemen om tot zijn spectrum en uiteindelijk tot een nulpuntsenergie te komen, is in de SED de aanname van een fluctuerend achtergrondveld de oorsprong van de correcte energieverdeling van


6

het zwarte-lichaamsspectrum. De volgende overwegingen zullen een argument bieden voor hoe ook de kwantisatie als een gevolg kan worden gezien van de vorm van de R toestandssom Zg (β) = g(E)e−βE dE, en van het feit dat (d ln(Zg )/dβ) = −U (β). Voor het eerder beschouwde systeem geldt: Zg =

∞ ∞ X X e−E0 β 1 E0 β(2n+1) = = e = e−βEn , 2 sinh(E0 β) 1 − e−2E0 β n=0 n=0

(8)

waarbij de En termen inderdaad de uit de kwantummechanica en het experiment ¯ ω + n¯ hω dienen te zijn. Men moet dus afkomstige energieën En = (2n + 1)E0 = 12 h in aanmerking nemen dat dit gelijk moet zijn aan de definitie van de partitiefunctie, zodat: ∞ X

e−βEn = Zg =

n=0

Z ∞

g(E)e−βE dE.

(9)

0

Dit is alweer een opmerkelijk resultaat: als deze twee vergelijkingen gelijk aan elkaar P dienen te zijn moet wel gelden dat g(E) = ∞ n=0 δ(E − E0 ), hetgeen een kwantisatie van het veld impliceert. Aangezien de waarschijnlijkheidsfunctie direct van de partitiefunctie afhangt, zal de gemiddelde waarde van een willekeurige, van de energie afhankelijke functie, zoals de energieoverdracht door de koppeling aan dit veld, die in de natuur altijd via de gekwantiseerde eenheden hiervan (fotonen) verloopt, gelijk zijn voor zowel de gekwantiseerde als voor de continue beschrijving van de energie in het stralingsveld: hf (E)i =

Z ∞ 0

=

f (E)Wg (E)g dE =

Z ∞ 0

f (E)δ(E − E0 )e−βE dE =

∞ ∞ ∞ X X 1 X e−βEn e−βEn wn f (En ). f (E) = f (E) = ∞ −βEn −βEn Zg n=0 Σ∞ n=0 e n=0 Σn=0 e n=0

(10)

(11)

Beide beschrijvingen zijn dus equivalent, in ieder geval wat gemiddelde waarde betreft, en dat zal in de SED-beschrijving van de natuur in de meeste gevallen de enige relevante parameter zijn. Zij geven uitsluitend uitkomsten die in overeenstemming zijn met een gekwantiseerde energieverdeling, zelfs wanneer er sprake is van fluctuaties langs een continu spectrum aan niveaus, zij het met een gekwantiseerde verwachtingswaarde waarde. 2.4. Statistische en Thermische Fluctuaties Zoals gezien hebben we nu twee functies, Wg en Ws , waarvan de eerste de thermodynamische entropie en de tweede de statistische entropie dient te maximaliseren. Dat zij beide de entropie maximaliseren zorgt ervoor dat zij in het algemeen hetzelfde systeem beschrijven. Zoals eerder vermeld geldt voor Ws dat (σE2 )s = U 2 , zoals al door Lorenz voor het thermische veld bepaald is, maar wanneer men een nulpuntsenergie in aanmerking neemt, en eist dat deze relatie nog steeds geldt op T = 0, zal men zien dat, indien beide energiebijdragen deel zijn van het zelfde systeem, dit nog steeds


7

geldig is. De volledige vergelijking voor de grootte der energiefluctuaties, inclusief de niet-thermische, is dus: (σE2 )s = U 2 = UT2 + 2E0 UT + E02 ,

(12)

hetgeen, in het licht van de opdeling van de totale energie in een thermische en een nulpuntsbijdrage E = ET + E0 , ons er toe aanzet om om ook de standaarddeviaties op te delen in een thermisch en een niet-thermisch deel. Een dergelijke entiteit moet zijn van de vorm: (σE2 )s = σE2 T + σE2 0 + 2Γ(ET , E0 ).

(13)

Waarbij Γ(ET , E0 ) de covariantie van de variabelen ET en E0 is, en waarbij σE , σET en σE0 de standaarduitwijkingen van respectievelijk de energie, de thermische energiebijdrage en de energiebijdrage van het nulpuntsveld vertegenwoordigen.. De covariantie is echter duidelijk nul, waardoor een dergelijke opdeling inderdaad zinvol is. Dit was, gezien de andere oorsprong van de verschillende bijdragen, ook te verwachten. 2.5. De Onzekerheidsrelaties van Heisenberg Een verder gevolg van de aanname van een fluctuerend achtergrondveld is de emergentie van de onzekerheidsrelaties van Heisenberg, door de invloeden van de niet-thermische fluctuaties op de statistische eigenschappen van een ensemble van bijv. harmonische E oscillatoren. Hiertoe neemt men de energie-kansverdelingsfunctie Ws (E) = U1 e− U in aanmerking, en herschrijft deze tot een verdeling ws (p, q), die gedefiniëerd is in de faseruimte van de oscillator (p, q). Hierbij definiëert men √ p = 2E cos(θ), (14) s

2E sin(θ), ω2 zodat men deze functie kan schrijven als: q=

ws (p, q) = Ws (E(p, q), θ(p, q))|

(15)

∂(E, θ) | = ωWs (E(p, q), θ(p, q)). ∂(p, q)

(16)

Door gebruik te maken van het feit dat dat men de marginale kansdichtheid kan R vinden door: W (E) = 02π Ws (E, θ)dθ vindt men voor het geval dat de energie niet 1 afhangt van de θ dus dat: Ws (E, θ) = 2π W (E). Wanneer men hier in invult dat, zoals voor de harmonische oscillator (met massa 1) het geval is, E = 12 (p2 + ω 2 q 2 ), verkrijgt men: ω ω p2 + ω 2 q 2 ws (p, q) = W (E(p, q)) = exp(− ). (17) 2π 2πU 2U Deze kansverdeling, die, wanneer U overeenkomstig met de Planck-wet is, in de kwantummechanica meestal als Wigner-functie bekend is, beschrijft in principe een gaussische verdeling in twee parameters, die weergegeven kan worden als:


ws (p, q) = wp (p)wq (q) = q

1 2πσp2

e−p

1

2 /2σ 2 p

q

2πσq2

e−q

2 /2σ 2 q

,

8

(18)

waarbij σp2 = U en σq2 = U/ω 2 de standaarddeviaties van de positie en impuls weergeven. Door nu het bovenstaande product te beschouwen vindt men, door eerst gebruik te maken van de afhankelijkheid van de energie van de thermische en niet-thermische bijdragen aan de veldfluctuaties, en vervolgens aan te merken dat deze energie de laagste waarde bereikt wanneer alle thermische fluctuaties afwezig zijn, het volgende: U2 E 2 σ2 E2 h ¯2 (19) σq2 σp2 = 2 = 20 + E2T ≥ 20 = . ω ω ω ω 4 Dit schetst het beeld dat de onzekerheidsrelaties van Heisenberg het gevolg zijn van de niet-thermische achtergrond of nulpuntsveldfluctuaties, die door hun immer aanwezige aard altijd deze onzekerheid afdwingen, en dat enig geval waar men invloed ondervindt van extra fluctuaties, hoofdzakelijk van thermische aard, ten alle tijden een afwijking naar boven heeft ten opzichte van de theoretische limiet. 3. De weg naar de Schr¨ odingervergelijking 3.1. De Terugkeer van de Bewegingsvergelijking Een van de grootste overwinningen, en de oorspronkelijke ontstaansreden, van de kwantumtheorie is het beschrijven van een waterstofatoom. In de klassieke, Maxwellse natuurkunde was dit immers niet mogelijk: een elektron, als een geladen deeltje, zou baanenergie wegstralen en zich zo op de kern storten. Bohr’s oorspronkelijke oplossing was om slechts een gekwantiseerde verzameling energieniveaus toe te staan en alle andere zonder duidelijke reden te verbieden. In de huidige kwantumtheorie gebruikt men een vergelijkbare oplossing, waarbij men echter eist dat de golffunctie voor het elektron aan de, in principe uitsluitend als aanname gepostuleerde, Schrödingervergelijking voldoet. Aangezien het doel van de SED is om een klassieke theorie te leveren die boven de kwantummechanica uit kan stijgen en het kwantumgedrag in de natuur kan verklaren, in plaats van het alleen te beschrijven, is het beschrijven van een klassiek maar stabiel waterstofatoom een vereiste. Laat ons dus eerst de bewegingsvergelijking voor een dergelijk elektron beschouwen:

m¨ x = F(x) + mτ 3

d3 x e + eE(x, t) + v × B(x, t). 3 dt c

(20)

Hierin is mτ ddt3x de term die de Lorenz-reactie term die de terugslag van het elektron na de uitzending van de straling beschrijft. Voor het elektron is deze term vrij µ0 q 2 klein, τ = 6πm = 6, 24 × 10−24 s. De velden E(x, t) en B(x, t) zijn in het geval ec van het vrije waterstofatoom, alleen de alom aanwezige fluctuerende velden die, zoals eerder aangenomen, per golflengte onafhankelijk gaussisch fluctueren rond nul, zodat de gemiddelde energie per mode 21 h ¯ ω is.


9

Aangezien het voornamelijk de langere golflengten zullen zijn die relevant zullen blijken is de aanname dat E alleen van de tijd afhangt gerechtvaardigd. Daarnaast is de snelheid van het elektron nauwelijks relativistisch: hierom verwaarloost men ook de magnetische term, en blijft men achter met een versimpelde bewegingsvergelijking d3 x + eE(t). (21) dt3 Alle statistische effecten zijn afkomstig van een achtergrondveld waarvan is aangenomen 3 dat het zich Gaussisch gedraagt, en een spectrale dichtheid heeft zodat: ρ(ω) = 2π¯hω2 c3 . R Immers: combineren we het volume van de faseruimte 4π d3 k/(2π)3 = k 2 /2π 2 = ω 2 /2π 2 c2 met een factor 2 voor de polarisatie en de energie 21 h ¯ ω, dan krijgen we m¨ x = f (x) + mτ

1 h ¯ ω3 ω2 ¯ω = 2 3 . (22) ρ(ω) = 2 2 × 2 × h 2π c 2 2π c Deze laatste aanname zorgt voor een Lorentz-Invariant veld dat zich, in ieder geval tot goede benadering, gedraagt als het uit de QED bekende “virtuele” achtergrondveld. Er moet dus gelden dat de autocorrelatiefunctie van de Fouriergetransformeerde van het veld, 1 Z∞ F (E)(ω) = √ E(t)eiωt dt, (23) 2π ∞ 2¯h|ω|3 δ(ω − ω 0 ). (24) hF (E)(ω) F (E) (ω )iE = 3 3c Deze aanpak levert echter, naast de divergentieproblemen die in de QED overigens ook al aanwezig waren, het probleem op dat er een verscheidenheid aan niet-fysische oplossingen verschijnt. Deze kan men wegwerken door te eisen dat de uiteindelijke versnelling van het beschouwde deeltje nulwaardig is. Hiertoe herschrijft men simpelweg de bewegingsvergelijking tot een vorm waarvan de men kan zien dat de oplossingen de fysische oplossingen van de oorspronkelijke bewegingsvergelijking zijn door de nieuwe vergelijking naar de tijd te differentiëren: ∗

0

1 Z ∞ (t−t0 )/τ e [f (x(t0 )) + eE(t0 )]dt0 . (25) τ t Men beschrijft dus alle invloeden die het E-veld in het verleden op het systeem heeft 2 0q gehad. Wanneer men in aanmerking neemt dat τ = µ6πc ≈ 10−23 s zeer klein is kan men tot zeer goede benadering deze vergelijking versimpelen door f te reduceren tot de eerste twee termen van de Taylor-expansie, waardoor men een bewegingsvergelijking van de volgende vorm verkrijgt: m¨ x=

m¨ x = f (x) = τ xf ˙ 0 (x) + eEm . 0

(26)

Hierbij geldt dat: Em = τ1 t∞ e(t−t )/τ E(t0 )dt0 , hetgeen nu een (enigszins) gewijzigde hω 3 ¯ spectraaldichtheid geeft: ρm (ω) = 2π2 c3 (1+τ 2 ω 2 ) . Voor een kracht die lineair is in x is deze R


10

nieuwe differentiaalvergelijking makkelijk oplosbaar, en voor verschillende systemen, zoals de harmonische oscillator, thermodynamisch gedrag van bepaalde mengsels en de Lamb-verschuiving zijn op deze manier ook de experimenteel bevestigde, uit de kwantummechanica bekende waarden gevonden [9] [10] [11] [12]. 3.2. De Fokker-Planck Vergelijking Aangezien E van uiterst onvoorspelbare aard is zodat men enkel de statistische eigenschappen kan beschouwen, en aangezien men de nieuwe bewegingsvergelijking niet op een algemene manier op kan lossen, is het wenselijker om een FokkerPlanck vergelijking op te stellen. Hierbij beschrijft men de tijdsontwikkeling van de kansverdeling voor de impulsen en posities van een systeem. Voor een kansdichtheid R(x, p, t), die de kans beschrijft op het systeem in een bepaald punt in de faseruimte aan te treffen, moet voor iedere mogelijke realisatie van Em gelden dat: ∂ ∂ ∂R + (x˙ α ) + (pR). ˙ ∂t ∂x ∂x Aangezien mx˙ = p en p˙ = f + τ f 0 p/m + eEm kan men dit herschrijven tot: ∂R ∂ + LR = −e (Em R), ∂t ∂p

(27)

(28)

waarbij L de niet willekeurige Liouvilliaanse operator is.

L=

∂ 1 ∂ p p= (f + τ f 0 ). m ∂x ∂p m

(29)

Aangezien we niet ge¨ınteresseerd zijn in de bewegingen van één realisatie van dit systeem, maar op zoek zijn naar bruikbare statistische eigenschappen beschouwen we een ensemble van deze systemen, waarvan de verschillende elementen overeenkomstig zijn met de verschillende realisaties Em van het achtergrondveld, zullen we een gemiddelde van R over al deze mogelijke realisaties beschouwen. Hiertoe definiëren we eerst een middellingsoperator Pˆ , zodanig dat voor iedere functie A(x, p, t), Pˆ A = hAiE . Deze functie is dus te ontbinden in een gemiddeld deel Pˆ A en een afwijkend, willekeurig fluctuerend deel (1 − Pˆ )A. Als we dit invullen in de Fokker-Plank vergelijking, en daarbij de kansverdeling voor het gehele ensemble Q = Pˆ R noemen en de afwijkingen ten opzichte van deze gemiddelde waarde per realisatie δQ = (1 − P )R noemen, vinden we: ∂ ∂ (Q + δQ) + L(Q + δQ) = −e Em (Q + δQ). (30) ∂t ∂p Door P en (1 − P ) op deze vergelijkingen te laten werken vindt men: ∂Q ∂ + P LQ = −e P Em δQ, ∂t ∂p

(31)


∂ ∂ ∂Q + P LδQ = −e P Em Q − e (1 − P )Em δQ. ∂t ∂p ∂p

11

(32)

Een volgende stap is het elimineren van δQ: de afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde zijn immers volstrekt irrelevant voor de hier behandelde doeleinden. De ˆ = ( ∂ + L)−1 methode hiertoe is het gebruik van een operator G ∂t ˆ GA(x, p, t) =

Z t

0

e−L(t−t ) A(x, p, t0 )dt0 .

(33)

0

De vorige twee vergelijkingen kan men nu herschrijven tot: ˆ Q = −eG

∂ ˆ P Em δQ, ∂p

ˆ ∂ (1 − Pˆ )Em ∂Q. ˆ ∂ Em Q − eG δQ = −eG ∂p ∂p

(34)

(35)

En door deze in elkaar in te vullen verkrijgt men: ˆ Q = e2 G

∂ ˆ ˆ ∂ (1 − Pˆ )Em ]−1 G ˆ ∂ Em Q. P Em [1 + eG ∂p ∂p ∂p

(36)

ˆ −1 te laten werken kan herschrijven tot: Hetgeen men door aan beide kanten (G) ∂Q ˆ ∂ Pˆ Em [1 + eG ˆ ∂ (1 − Pˆ )Em ]−1 G ˆ ∂ Em Q. + LQ = e2 G ∂t ∂p ∂p ∂p

(37)

ˆ en alle veldtermen Em in de noemer Aangezien men beter niet met de operator G kan werken, is het handiger deze vergelijking te herschrijven tot zijn Taylorreeks: ∞ X ∂Q ∂ ˆ ∂ (1 − Pˆ )Em ]k G ˆ ∂ Em Q. + LQ = e2 Pˆ Em [−eG ∂t ∂p ∂p ∂p k=0

(38)

En omdat Em Q equivalent is aan (1 − Pˆ )Em Q kan men dit herschrijven tot: ∞ X ∂Q ∂ ˆ ∂ (1 − Pˆ )Em ]k Q. + LQ = −e Pˆ Em [−eG ∂t ∂p ∂p k=1

(39)

Hetgeen vervolgens, wanneer men in aanmerking neemt dat alle oneven termen ˆ en de eigenschappen van Pˆ , nulwaardig zijn door het niet-willekeurige karakter van G reduceert tot: ∞ X ∂Q ∂ ˆ ∂ Em ˆ ∂ (1 − Pˆ )Em ]2k Q. + LQ = e2 Pˆ Em G [eG ∂t ∂p ∂p ∂p k=0

(40)


12

ˆ benoemen: Of, indien we de rechterkant van de vergelijking tot de operator D ∂ ˆ ∂Q + LQ = e2 DQ. ∂t ∂p

(41)

Een vergelijking die precies de vorm heeft van de Fokker-Planck vergelijking van oneindige orde. Na vermenigvuldiging met een willekeurige, tijdsonafhankelijke functie H(x, p) en partiële integratie kan men uit deze nieuwe Fokker-Planckvergelijking de volgende identiteit afleiden:

−

1 ∂H ∂H d3 x ∂H ∂H ˆ d hHi + hp i + hf i + mτ h 3 i = e2 h( )D(t)i. dt m ∂x ∂p dt ∂p ∂p

(42)

Uit deze identiteit kan men van verschillende verschijnselen inderdaad zien dat zij zich gedragen zoals zij zich dienen te gedragen, en blijkt dat de gemiddelde waarden van deze verschijnselen inderdaad, ongeacht het eigenlijke chaotische gedrag, precies de uit de natuur bekende waarden krijgen: wanneer men opeenvolgend invult dat H ∈ {x, x2 , p, p2 , xp}, de volgende vergelijkingen: 1 d hxi = hpi; dt m

(43)

2 d 2 hx i = hxpi; dt m

(44)

d d3 x ˆ hpi = hf i + mτ h 3 i − e2 hD(t)i; dt dt

(45)

d3 x d 2 ˆ hp i = 2hf pi + 2mτ h 3 pi − e2 hpD(t)i; dt dt

(46)

d d3 x ˆ hxpi = hp2 i + hxf i + mτ h 3 xi − e2 hxD(t)i; dt dt

(47)

3.3. Transitie naar de configuratieruimte De volgende stap zal zijn om de transitie van de faseruimte naar de configuratieruimte te maken. Om de eerste stap te maken kan men de nieuwe Fokker-Planck vergelijking vermenigvuldigen met pn , voor alle n = (0, 1, 2, ...) om vervolgens te integreren over gehele impulsruimte. Een alternatieve aanpak is het beschouwen van de Fourrier-getransformeerde van de karakteristieke functie: ˜ z, t) = Q(x,

Z

Q(x, p, t)eipz dp.

(48)


13

Wanneer men, als men de volgende, reeds bekende, identiteit in z = 0 in beschouwing neemt, Z ˜ ∂ nQ n pn Qeipz dp = in ρhpn eipz ix =i n ∂z

(49)

kan men concluderen dat de eerdergenoemde karakteristieke functie inderdaad de aan R de configuratieruimte aangepaste impulsen hpn ix = ρ−1 pn Qdp voortbrengt. n˜ 1Z n n 1 ∂ Q p Qdp = (−i) ( hp ix = ) . ˜ ∂z n z=0 ρ Q n

(50)

Hierbij is ρ de dichtheidsfunctie in de configuratieruimte. Gebruikmakende van de definitie van de Fourier-getransformeerde is dit:

ρ(x, t) =

Z

˜ 0, t). Q(x, p, t)dp = Q(x,

(51)

Wanneer men nu de Fourier-getransformeerde van de uiteindelijk gevonden FokkerPlanck vergelijking in beschouwing neemt, ˜ ˜ ∂Q i ∂ 2Q ˜ − τ f 0 z ∂ Q = −˜ ˆ˜ − − izf Q z (DQ), ∂t m ∂x∂z m ∂z

(52)

en van de eerdergenoemde lokale momenten van Q gebruik maakt, verkrijgt men de vergelijking: 1 ∂ iτ ∂ ˆ˜ (heipz ix ρ) + (hpeipz ix ρ) − izf heipz ix ρ − f 0 zhpeipz ix ρ = −z 2 (DQ. ∂t m ∂x m

(53)

De diffusieoperator zal voortgebracht worden door een beschrijving van het ˜ een Fourier-getransformeerde aan. elektromagnetisch veld. Hierbij geeft (....) Alle informatie uit de faseruimte is in deze in de (x, z)-ruimte gedefinieerde vergelijking behouden. De overplaatsing van deze informatie naar de configuratieruimte kan stapsgewijs worden gerealiseerd door de Taylor-reeks van eipz rond z = 0 te beschouwen, en deze te ontbinden tot een machtreeks van z. De eerste op deze wijze verkregen vergelijkingen zijn precies die, die de stroom der respectievelijk de materie, de impuls en de energie belichamen: 1 ∂ ∂ρ + (hpix ρ) = 0, ∂t m ∂x

(54)

∂ 1 ∂ τ (hpix ρ) + (hp2 ix ρ) − f p − f 0 hpix = 0, ∂t m ∂x m

(55)


14

∂ 1 ∂ τ ˆ˜ (hp2 ix ρ) + (hp3 ix ρ) − f hpix ρ − f 0 hp2 ix ρ = 2(DQ) (56) z=0 . ∂t m ∂x m Deze vergelijkingen zijn slechts de eerste die men verkrijgt uit een oneindige hiërarchie van dergelijke stromingsvergelijkingen, steeds gebaseerd op een steeds hogere macht van z en een nieuwe locale impuls hpn ix : deze hiërarchie der vergelijkingen is equivalent aan de beschrijving vanuit de fase-ruimte. In de volgende overwegingen zal echter blijken dat slechts de eerste twee vergelijkingen noodzakelijk zullen zijn om tot het reeds uit de kwantummechanica bekende Schrödingerformalisme te verkrijgen. Gebruik makende van de verwachtingswaarden van de verschillende momenten kan men de eerste twee vergelijkingen, die voor de stroom van materie en impuls, herschrijven tot ∂ ˜ z=0 (57) hp2 ix = −i( ln Q) ∂z en 2 ∂2 ∂ ˜ 2 ˜ z=0 = hpi2 − ( ∂ lnQ) ˜ z=0 . − ( ln Q) (58) hp2 ix = −( lnQ) z=0 x ∂z ∂z 2 ∂z 2 Deze laatste vergelijking kan men beter herschijven in termen van de variabelen z+ = x + βz en z− = x − βz. Hierbij is β een arbitraire, reëele, later bepalen constante. Met deze nieuwe parameters neemt deze laatste vergelijking voor hp2 ix de volgende vorm aan, waarbij ∂+ = ∂/∂z+ en ∂− = ∂/∂z− . ˜ z=0 = −β 2 ( hp2 ix − hpi2x = −β 2 [(∂+ − ∂− )2 lnQ]

∂2 ˜ ˜ z=0 . lnQ)z=0 + 4β 2 (∂+ ∂− lnQ) ∂x2

(59)

˜ tot een product van drie verschillende functies zodat: Hierop herschrijft men Q ˜ z, t) = q+ (z+ , t)q− (z− , t)q(z+ , z− , t). Q(x, (60) Waarbij de q-functies niet langer zijn op te delen in in functies van z+ en z− . ˜ 0, t) = ρ(x, t) vindt men voor de standaardWanneer men hierin gebruikt dat Q(x, afwijking in de impuls dat: ∂2 hp2 ix − hpi2x = −β 2 2 ln ρ + σ, (61) ∂x waarbij σ = 4β 2 (∂+ ∂− lnq)z=0 . Een volgende stap is het in vectorvorm herschrijven van de stroomvergelijkingen. Hierbij is, zoals gebruikelijk, vi = hpi ix /m. De eerste stroomvergelijking, die voor de stroom der materie, neemt de volgende vorm aan: ∂ρ + ∂i (vi ρ) = 0. (62) ∂t Terwijl de vergelijking voor de stroom van de impuls verwordt tot: ∂ 1 m (vi ρ + ∂i (hpi pj ix ρ) − fi ρ − τ (∂j fi )vj ρ = 0. (63) ∂t m


15

Wanneer men nu ook de standaarddeviatie van de impuls in vectorvorm herschrijft, verkrijgen wij: hpi pj i = m2 vi vj − β 2 ∂i ∂j lnρ + σij ,

(64)

σij = σji = 2β 2 [(∂+,i ∂−,j + ∂+,j ∂−,i )lnq]z=0 ,

(65)

waarbij

hetgeen men kan gebruiken om de nieuwe impuls-stroomvergelijking te herschrijven tot: β2 ∂ (66) m (vi ρ) + m∂j (vi vj ρ) − ∂j (ρ∂i ∂j lnρ) − fi ρ = ∂t m 1 = − ∂j (σij ρ) + τ ρvj ∂j fi . (67) m Wanneer we de externe kracht fi herschrijven in termen van een geschikte potentiaal fi = −∂i V , en gebruik maken van de vectorvorm voor de materiestroomvergelijking, vinden we een uiteindelijke impuls-stroomvergelijking van de vorm:

m

∂vi β2 1 + mvj ∂j vi − ∂i [ (∂j lnρ)2 + ∂j2 lnρ] + ∂i V = ∂t m 2

(68)

1 ∂j (ρσij ) + τ vj ∂j fi = Fi . (69) mρ Dit is een vergelijking die zeer grote overeenkomsten vertoont met de klassieke impuls-stroomvergelijking voor een visceuze vloeistof waarvan de stress-tensor ρσij /m2 is. Het voornaamste verschil is echter de aanwezigheid van een ∂j lnρ-term, die een niet-dissipatief, kinetisch gedrag van stochastische oorsprong vertoont. Dit fluctuerende en onvoorspelbare, aan de stochastische elektrodynamica intrinsieke gedrag, verraden echter de volstrekt niet klassiek-hydrodynamische aard van het systeem, hoewel het nog steeds mogelijk is om op deze manier analogiën te construeren tussen de kwantummechanica en de hydrodynamica. Een laatste opmerkelijkheid is dat de stroomvergelijkingen uit dit formalisme precies die zijn die in de stochastische interpretatie van de kwantum-mechanica als fundamenteel worden aangenomen: deze beschrijving zou een dergelijk formalisme dus van fysische rechtvaardiging en interpretatie kunnen voorzien. Het merendeel van deze overwegingen is naar referenties [2] en [3]. =−

3.4. Schrödingervergelijking Om een eerste integraal van de stroomvergelijking uit het vorige hoofdstuk te construeren herschrijft men eerst, zonder verlies van algemeenheid,

~v =

1 ~ (2β∇S + B), m

~ = 0, ∇·B

(70)

De Stochastische Elektrodynamica als oorsprong van de kwantumwereld? ~ F~ = −∇Φ + K,

~ = 0. ∇·K

16 (71)

Waardoor de stroomvergelijking wederom een nieuwe vorm aanneemt, en wel de volgende:

∂i [2β

β 2 ∂j ρ 2 β 2 ∇2 ρ ∂Bi ∂S 1 2 + m~v + ( ) − + V + Φ] = − + vj (∂i Bj − ∂j Bi ) + Ki . (72) ∂t 2 2m ρ m ρ ∂t

De eerste integraal hiervan is de Hamilton-Jacobi-vergelijking

2β

2 2 2 ∂S 1 ~ 2 + β ( ∇ρ )2 − β ∇ ρ + V + Φ = 0, + (2β∇S + B) ∂t 2m 2m ρ m ρ

(73)

~ zo is gekozen dat de rechterkant van de hier voor genoemde stroomvergelijking waarbij B ~ zo te zijn dat: wegvalt, hiertoe dient B ~ ∂B ~ = K. ~ − ~v × (∇ × B) (74) ∂t De Hamilton-Jacobi vergelijking is dan weer te herschrijven tot de volgende vergelijking en de geconjugeerde daarvan ∂ψ 1 ~ 2 ψ + (V + Φ)ψ. 2iβ = (−2iβ∇ − B) (75) ∂t 2m Hetgeen een vergelijking is die in principe van precies de zelfde vorm is als de Schrödingervergelijking voor ψ en ψ ∗ . Hierbij is ψ = (ρ)1/2 eiS , zodat ψψ ∗ = ρ. Indien β = h ¯ /2 en indien de extra termen in deze vergelijking wegvallen, is dit inderdaad precies het uit de natuur bekende antwoord. Wat we nu dus hebben gevonden is een vergelijking die de kans beschrijft om een deeltje, dat zich op een zeer chaotische manier door een potentiaal en een constant fluctuerend veld verplaatst, op een bepaalde positie aan te treffen. Ondanks dat de positie van dit deeltje ten alle tijden volledig klassiek en welgedefinieerd is, zal het extreme chaotische gedrag leiden tot een vage, “wolk-achtige” kansverdeling, die precies van de reeds uit de kwantummechanica bekende vorm en aard zijn. 3.5. Extra opmerkingen ~ van vectoriële aard is, terwijl Φ een scalaire potentiaal is, is het handig dit Omdat B wederom te herschrijven, ditmaal tot: ∂ψ 1 e~ 2 = (−2iβ∇ − A (76) r ) ψ + (V + eφr )ψ, ∂t 2m c ~ = −eA ~ en Φ = eφr . Uit de definities van de aan B ~ gerelateerde potentialen waarbij B c r en velden volgt nu dat geldt dat: 2iβ

~r e e ∂A ~ r ), F~ = −e∇φr − + ~v × (∇ × A c ∂t c

(77)


17

waardoor F~ de vorm aanneemt van de elektromagnetische kracht zoals deze werkt op een kansverdeling voor een geladen deeltje, precies zoals in de kwantummechanica. 3.6. Simulaties Een laatste opmerkelijk gegeven is dat deze emergentie van de Schrödingervergelijking als statistiek op het gedrag van een SED-systeem niet alleen een mathematisch gegeven is: er bestaan ook numerieke simulaties, waar, uitgaande van een op de SED gebaseerd systeem, een stabiele baan voor het elektron rond een proton wordt beschreven. Hierbij blijkt het zo te zijn dat een elektron van een welgedefinieerde Bohr-achtige baan naar een steeds lagere baan zakt door radiatieve energieverliezen, maar dat door de fluctuaties in het veld, waar het elektron steeds mee in resonantie komt, het ook steeds weer naar hogere, en af en toe naar lagere banen wordt getrokken. Dat dit tot een situatie leidt waar het elektron al niet op de kern valt en niet volledig uit de invloedsfeer van het atoom wordt getrokken is op zich al een opmerkelijk argument voor de SED. Dat de radiële baanverdeling die het elektron binnen enkele tientallen picoseconden, ofwel enkele honderdduizenden omlooptijden, naar de uit de kwantummechanica bekende grondtoestand van het waterstofatoom evolueert lijkt uit sommige simulaties te volgen, hoewel het wellicht niet met een volledig sluitend bewijs wordt aangetoond. Voor deze simulaties verwijzen wij u naar [8]. 4. Aangeslagen Toestanden 4.1. Aangeslagen Toestanden en de Harmonische Oscillator Dat de SED voor sommige systemen de standaard kwantummechanica lijkt te benaderen is al een grote overwinning voor deze theorie op zich, maar het volgende hoofdstuk zal een systeem behandelen waarin de SED de kwantummechanica zelfs lijkt te overtreffen, en enkele resultaten op lijkt te leveren die eerst alleen met de QED te beschrijven zijn geacht. Door te eisen dat er sprake is van een energie-balans moet voor de (stabiele) grondtoestand gelden dat: e2 ˆ d d3 mτ h x 3 xi = hpDi. (78) dt dt m Als we echter een systeem willen bekijken dat niet in de grondtoestand, maar in bijvoorbeeld in de n-de aangeslagen toestand te vinden is, nemen beide uitdrukkingen uit deze vergelijking een geheel andere vorm aan: voor de linkerkant X d d3 4 mτ h x 3 xi = −mτ ωnk |xnk |2 , (79) dt dt k en voor de rechterkant X e2 ˆ 4 hpDin = −mτ ωnk |xnk |2 sign ωkn . m k

(80)

Aangezien de eerste helft uistluitend termen groter dan nul bevat, waar de tweede helft ook negatieve termen van de zelfde vorm heeft, zodat de eerste term, voor de


18

energieverliezen door de uitzending van straling, niet gelijk is aan de tweede term, die voor de energieoverdracht met het veld. Aangezien het verschil tussen deze twee termen de verandering in de energie aangeeft, d3 e2 ˆ d hHi = τ h 3 xpi − hpD(t)i, (81) dt dt m kunnen we, na invulling van de hiervoor verkregen uitdrukkingen, zien dat er sprake is van een (gemiddeld) energieverlies: X X d 4 4 hHin = −mτ ωnk |xnk |2 (1 − sign ωkn ) = −2mτ ωnk |xnk |2 . (82) dt k k
e2 ˆ 1 hpDin = −mτ gn (ω0 )ω04 a(n + 1 − n) = − h ¯ τ ω03 gn (ω0 ). (84) m 2 Hetgeen er toe zal leiden dat voor een zeer specifieke spectrale energiedichteid gn de twee termen inderdaad tegen elkaar wegvallen, of, in andere woorden, dat er inderdaad een balans tussen een veld, anders dan het overal aanwezig nulpuntsveld, en de tot de n-de toestand geëxciteerde oscillator kan bestaan. De vorm van deze functie is een zeer bekende, namelijk: ρ(ω) = ρ0 (ω)(2n + 1).

(85)


19

En als men zich realiseert dat dit nu overeenkomt met precies die modii met een energie 1 h ¯ ω0 (2n + 1), de energie van de oscillator, is dit niet zo verwonderlijk. De hoop is dat 2 dit te veralgemeniseren valt tot een systeem als het atoom, zodat ook de aangeslagen toestanden hiervan binnen de SED beschreven kunnen worden. 4.2. Einstein A en B coëfficiënten Wanneer we de zelfde vergelijkingen voor de toestroom en uitstroom van energie beschouwen als in het vorige voorbeeld, maar dit keer zonder het gemodificeerde achtergrondveld ρ(ω) = ρ0 (ω)gn (ω), krijgen we een vergelijking voor het (gemiddelde) energieverlies van de geëxciteerde toestanden: X dHn = −mτ |ωnk |4 |xnk |2 [1 − g(|ωnk |) sign ωkn ]. (86) dt k Als we hierin g herschrijven als g(ω) = 1 + ga (ω), zodat het externe of toegevoegde veld gescheiden is van het nulpunts-achtergrondveld, verkrijgt men: X dHn |ωnk |4 |xnk |2 [1 − (1 + ga (|ωnk |)) sign ωkn ], (87) = −mτ dt k zodat X dHn |ωnk |4 |xnk |2 [(ga )ωkn >0 − (2 + ga )ωkn <0 ]. = −mτ dt k

(88)

Waarbij de ga -term de absorptie en de 2 + ga -term de emissie weergeeft. Zoals verwacht, en zoals bekend uit het experiment, is er dus uitsluitend absorptie mogelijk wanneer het achtergrondveld geëxciteerd is (ofwel: als er een extern veld aangebracht is), terwijl spontane emissie mogelijk is door het nulpuntsveld en gestimuleerde emissie veroorzaakt kan worden door een externe toevoeging aan het veld. Gezien deze aard is het gerecht om te stellen dat deze termen overeenkomstig zijn met Einstein’s A en B coëfficiënten voor absorptie en emissie. De coëfficiënt A is hierbij de inverse levensduur voor de toestand, tot deze door een bepaalde emissie vervalt, dHn = −¯ h

X

ωnk Ank dt,

(89)

k

terwijl B, deze zelfde overgangssnelheid beschrijft, maar dan voor de gestimuleerde emissies onder de invloed van een extern veld, dHn = ±¯ h

X

|ωnk |Bnk,kn ρa (|ωnk )dt.

(90)

k

Als we hiervan gebruik maken kunnen we de vergelijking voor de energieverandering herschrijven tot de volgende vorm X X dH = h ¯ |ωnk |[ρa (|ωnk |)Bkn ] − h ¯ |ωnk |[Ank + ρa (|ωnk |)Bnk ], dt k>n k
(91)


20

waarbij we A en B zo moeten kiezen dat:

Ank =

4e2 |ωnk |3 |xnk |2 , 3¯h3

Bnk = Bkn =

mτ |ωnk |4 |xnk |2 ga (ωnk ) 4π 2 e2 2 = 2 |xnk | , h ¯ |ωnk |ρa (ωnk ) 3¯ h

(92)

(93)

hetgeen verbazingwekkend genoeg precies de vergelijkingen zijn die de QED voor deze beide termen kent. Ook is het opmerkelijk hoe men van een globale energiebalans naar (in ieder geval in een specifieke situatie) een gedetailleerde energiebalans is overgegaan, doordat alle frequenties |ωnk | nu op de zelfde manier aanwezig zijn. Wederom zien wij dat de aanname van de aanwezigheid van een nulpuntsveld genoeg is om het kwantumgedrag van de natuur te veroorzaken. Dit is overeenkomstig met de bevindingen van Ehrenfest en Einstein uit 1923, waarin zij lieten zien dat het niet de kwantisatie der atoombanen, maar de aanname dat er een mogelijkheid bestaat tot een bijdrage van een achtergrondveld om de “spontane” emissie te veroorzaken. 5. Samenvatting De Stochastische Elektrodynamica is de theorie dat de kwantummechanica geen intrinsiek verschijnsel is, maar slechts een gevolg van de interactie tussen de materie en een fluctuerend achtergrondveld. Een met een nulpuntsenergie geassociëerd achtergrondveld is in de kwantumtheorie ook aanwezig, zij het virtueel. Hoewel de interactie tussen een (geladen) deeltje en dit zeer sterk fluctuerende veld een extreem wanordelijk gedrag oplevert, blijkt dat het gedrag van verschillende systemen zich onder deze aanname statistisch net zo is als in de kwantummechanische beschrijving het geval is. De voornaamste voorbeelden hiervan zijn precies die systemen waarbij de kwantummechanica haar grootste overwinningen heeft weten te behalen: de afleiding van het Planck-spectrum voor de zwartlichaamsstraling, de afleiding van de Schrödingervergelijking, het voorspellen van de stabiele grondtoestand van het waterstofatoom en de kwantisatie van de energieoverdracht tussen atomen en licht. 6. English Summary Stochastical Elektrodynamics is a theory in which the quantum mechanical behavior of natural phenomena is not intrinsic, but merely the result of the interaction between matter and a fluctuating background field. A background field associated with a zeropoint energy is present in quantum theory, where it is only virtual. The statistics on the extremely disordered behavior resulting from these interactions can be shown to closely match the quantum mechanical description of a variety of systems. Among the examples are all the great failures of the classical theory, which have led to the eventual postulation of quantum mechanics, such as the derivation of the Planck-spectrum, the determination


21

of the Schrödinger equation, the prediction of the ground state of hydrogen and the quantization into photons of all light that interacts with matter. References [1] T. M. Nieuwenhuizen, 2011, Is the Contextuality Loophole Fatal for the Derivation of Bell Inequalities?, Found. Phys. 41, 580. [2] A.M. Cetto, L. de la Pe˜ na, 2012, The Emerging Quantum: an Invitation. [3] A. M. Cetto, L. de la Pe˜ na, 1977, Derivation of quantum mechanics from stochastic electrodynamics. [4] A. M. Cetto, L. de la Pe˜ na, The Quantum Dice: An Introduction to Stochastic Electrodynamics; 1996 Kluwer Academic Publishers; Dordrecht/Boston/London [5] Deze ideeën hebben wij vernomen van Th. M. Nieuwenhuizen. [6] T. H. Boyer, 2003 Thermodynamics of the harmonic oscillator: Wiens displacement law and the Planck spectrum, Am. J. Phys. 71, 866. [7] V. Jos and E. J. Saletan, 1998. Classical Dynamics, A Contemporary Approach (Cambridge: Cambridge U. Press). [8] D.C. Cole,Y. Zou, 2003 Quantum mechanical ground state of hydrogen obtained from classical electrodynamics. Physics Letters A 317 (2003) 14-20 [9] T. W. Marshall, Proc. R. Soc. 276A, 475 (1963); Proc. Cambridge Philos. Soc. 61, 537 (1965). [10] E. Santos, Nuovo Cimento B 19, 57 (1974). [11] L . de la Pe˜ na and A. M. Cetto, Phys. Lett. A 47, 183 (1974); Rev. Mex. Fis. 25, 1 (1976). [12] L. de la Pe˜ na and A. M. Cetto, preprint IFUNAM 75-21(1975). (zie ook: N. L. Kalitzin, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 25, 407 (1953); P. Braffort and C. Tzara, C. R. Acad. Sci. Paris 239, 1779 (1954); A. A. Sokolov and V. S. Tumanov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 30, 802 (1956) [Sov. Phys. JETP 3, 958 (1956)1.)

De Stochastische Elektrodynamica als oorsprong van de kwantumwereld?

Recommend Documents