Modelleerprojecten Kansrekening Remco van der Hofstad
Britt Mathijsen
Jaron Sanders
November 2013
Inhoudsopgave 1 Knetterende krasactie
2
2 Krantenjongen
4
3 Kraken van oud-Hollands kienen
4
4 Verrijking van onzekere informatie
6
5 Radje draaien
6
6 Faillissement en risico
6
7 Dobbelspel
7
8 Optimale inventaris
8
9 Dynamiek van de politiek
8
10 Griepepidemie
8
11 Matig musiceren tot gemiddeld goed
9
1
1
Knetterende krasactie
Bij het Eindhovens Dagblad (ED) wil men een knetterende, stimulerende krasactie organiseren voor haar krantenbezorgers. Figuur 1 legt de krasaktie uit. Het gaat om krantenbezorgers die gedurende 14 weken, 6 dagen per week ’s ochtends de krant bezorgen. Zij krijgen op de door hen te bezorgen stapel kranten een zogenaamd “masker”. Dit is een uitdraaivel waarop aangegeven wordt op welke adressen ze de krant moeten bezorgen en of er in hun wijk de dag ervoor klachten waren of dat ze klachtenvrij bezorgd hebben. Gewoonlijk spaart de bezorger voor elke klachtenvrije bezorgdag stapelpunten (een soort airmiles/tankzegels) waarmee ze cadeaus kunnen bestellen uit een spaarcatalogus. Dit spaarsysteem loopt tijdens de actie gewoon door. Voor de speciale krasactie krijgt de bezorger half december voor 14 weken 14 krasloten met op elk weeklot 6 krasvakjes. Voor elke klachtenvrije dag mogen ze 1 willekeurig vakje openkrassen. Voor onder de kraslaag wil het ED uitgaan van 6 verschillende symbolen, nl. een ster, een krant, een brievenbus, een fiets, een krantentas en een hond. De bezorgers kiezen dus zelf welke hokjes ze openkrassen voor een klachtenvrije dag. Er mogen niet meer vakjes opengekrast zijn dan dat ze klachtenvrij gelopen hebben (ze moeten nl. met een kraskaartje waarop ze een prijs hebben, ook hun klachtenvrije masker bij de krant inleveren). Drie dezelfde symbolen geeft een prijs van e10, vier dezelfde symbolen geeft een prijs van e25, vijf dezelfde symbolen geeft een prijs van e50. Het uitgangspunt van de krant is dat er 140 prijzen van e10 zijn, 100 prijzen van e25 en 48 prijzen van e50. Bij zes dezelfde symbolen ga je in de “bak”waaruit op het einde van de actie 12 hoofdprijzen getrokken worden: 4 van e250, 4 van e500 en 4 van e750. Naast de zes krasvakjes is er een zevende “troostprijsvakje”. Iemand die 6 dagen klachtenvrij bezorgd heeft en dus 6 vakjes heeft opengekrast zonder prijs te hebben, mag als troostprijs het zevende vakje krassen waarmee stapelpunten te verdienen zijn. Deze stapelpunten kunnen weer gespaard worden voor de prijzen uit de spaarcatalogus. De “troostprijsstapelpunten”zijn onderverdeeld in 25 stapelpunten, ofwel e2,50, 50 stapelpunten, ofwel e5, en 75 stapelpunten, ofwel e7,50. Het ED gaat uit van 3000 bezorgers. Het percentage van de bezorgers dat nu klachtenvrij loopt is 75% per dag. Men verwacht dat dit percentage gedurerende deze actie kan stijgen tot 90%. De krant wil een totaalbedrag aan prijzen weggeven van ca. e12.300. Men realiseert zich dat je tevoren nooit precies kunt zeggen hoeveel deze actie gaat kosten en dat e.e.a. afhankelijk is van hoe klachtenvrij gelopen wordt. De krant wil nu weten hoe het verder moet worden aangepakt, d.w.z., welke symbolen moeten in welke hoeveelheden onder de hokjes worden gedrukt, opdat ongeveer het begrote totaalbedrag aan prijzen wordt weggegeven?
2
Figuur 1: De krasaktie.
3
2
Krantenjongen
Om geld te verdienen verkoopt een krantenjongen elke dag kranten op de hoek van een straat. Vroeg in de ochtend koopt hij hiervoor een aantal kranten tegen een bepaalde inkoopprijs in bij de drukkerij. Niemand wil echter het nieuws van gisteren lezen, en dus kunnen de ingekochte kranten alleen op de dag zelf verkocht worden. De kranten die aan het einde van de dag overblijven gaan naar het oud papier. Het probleem is dat de jongen niet van tevoren weet hoeveel kranten hij zal gaan verkopen die dag. Hij wil uiteraard niet te weinig kranten inkopen, maar ook zeker niet teveel. De krantenjongen vraagt jullie om advies betreffende een inkoopstrategie. Stel dat de leverancier aanbiedt de overgebleven kranten terug te kopen (tegen een prijs lager dan de inkoopprijs). De jongen wil graag weten hoe dit jullie analyse en advies verandert.
4
3
Kraken van oud-Hollands kienen
Een muziekvereniging uit Eindhoven organiseert elke zondag een kienavond. Elke kienavond bestaat altijd uit 41 ronden, en elke keer wordt er e1100 aan prijzengeld gegarandeerd, ongeacht de hoeveelheid aanwezige spelers. Om precies te zijn, in de eerste twintig ronden betaalt de vereniging de winnaar e25, en in de laatste ronde krijgt de winnaar e100. Als twee spelers tegelijkertijd winnen, wordt het prijzengeld eerlijk verdeeld over beide spelers. Elke ronde werkt als volgt. Een presentator trekt een steentje uit een juten zak. De steentjes zijn genummerd van 1 tot en met 90, en het nummer van het getrokken steentje wordt omgeroepen. Elke speler bedekt op al zijn of haar kienkaarten het getrokken nummertje. Het steentje wordt daarna weggelegd. Een speler wint als hij of zij de eerste is die een van de zes kleinere kaarten op een kienkaart volledig heeft bedekt.
Figuur 2: Een kienkaart. Spelers kunnen op twee momenten kienkaarten kopen. Ze kunnen aan het begin van de avond kienkaarten kopen voor e10 per stuk. Vanaf het moment van kopen, speelt een speler de hele avond met diezelfde kaart. Na de twintigste ronde is er een pauze, en tijdens de pauze kunnen nieuwe spelers inkopen, en huidige spelers kunnen een extra 5
kienkaart kopen, voor e3.75 per stuk. Elke kienkaart is genummerd ter voorkoming van fraude. Er zijn in totaal 150 kienkaarten. Spelers vragen regelmatig naar specifieke kienkaarten, omdat zij door hun eerdere ervaringen geloven dat bepaalde kaarten vaker winnen dan anderen. Het bestuur gedoogt dit, omdat zij weten dat de politie elke individuele kaart heeft gecontroleerd. Iedere week fluctueert het aantal verkochte kienkaarten rond de 110. Het bestuur van de muziekvereniging wil daarom meer inzicht krijgen in hun kienavond, en schakelt jullie in. Het merendeel van het bestuur is ge¨ınteresseerd in de winstkansen van spelers, en de verwachte uitbetalingen. Een enkel bestuurslid vraagt zich af of spelers een voordeel kunnen cre¨eren door bijvoorbeeld specifieke kaarten te kopen, of door inkoopstrategi¨en toe te passen.
6
4
Verrijking van onzekere informatie
Onze maatschappij is nu, meer dan ooit, verbonden. Daardoor hebben in veel Westerse landen geheime diensten toegang tot honderden pagina’s informatie over ons. Ze weten waar wij wonen, wat ons telefoonnummer is, wat er in onze e-mails staat, en wat wij op onze online profielpagina’s zetten. De hoeveelheid persoonlijke informatie dat mensen achterlaten is ongelooflijk. Als iemand op internet zoektermen invult over een tropisch eiland, schat het bedrijf achter de zoekmachine de kans groter in dat deze persoon op vakantie wilt gaan. Achter de schermen vormt het bedrijf een profiel van kenmerken (zoals geslacht, leeftijd, lengte, interesses, hobbies) van elke gebruiker, aan welke kansverdelingen worden toegekend. Uiteindelijk verkoopt het bedrijf deze profielen aan derden. Dit gebeurt niet alleen op het internet. Als je bijvoorbeeld een navigatiesysteem gebruikt, slaat de producent op waar jij rijdt en hoe hard jij rijdt. Ook zij vormen een profiel van jou, en verkopen deze informatie aan derden. Zo is recentelijk dit soort informatie verkocht aan de politie, zodat zij strategisch flitspalen konden plaatsen. Geheime diensten verzamelen zoveel mogelijk van dit soort profielen. Door informatie uit verschillende profielen te combineren, en ook verschillende kenmerken met elkaar te vergelijken, hopen zij een duidelijk profiel te krijgen van een persoon. Het is jullie onduidelijk welke instantie jullie heeft ingehuurd, maar een contactpersoon in pak heeft jullie grof geld aangeboden om een model te leveren en een analyse op te stellen over het nut (of de nutteloosheid) van het combineren van onzekere informatie.
7
5
Radje draaien
In een aantal kroegen in Eindhoven hangt een zogenaamd bierrad achter de bar. Voor een klein bedrag kun je een gokje wagen en het rad laten draaien. Hiermee kun je mooie prijzen, veelal alcoholische versnaperingen, winnen, maar riskeer je ook een aantal drankjes zelf te moeten betalen. Het rad is ingedeeld in (niet per se gelijke) vakken, met in elk van de vakken een tekst. Een voorbeeld is hieronder weergegeven. Werknemers van de faculteit Wiskunde & Informatica vragen zich af welk rad in Eindhoven het meest winstgevend is, en schakelt jullie in. Ze vragen jullie ook rekening te houden met het feit dat de hoeveelheid geld in iemands portemonnee eindig is.
Figuur 3: Een bierrad.
8
6
Faillissement en risico
Een verzekeraar biedt een autoverzekering aan. Klanten moeten e120 inleggen, en vervolgens maandelijks e60 premie betalen. Bij afname van dit product hebben klanten recht op een vergoeding bij schade aan hun auto. De verzekeraar heeft 1193 klanten, en elke maand komen er behalve de premies van alle klanten ook claims binnen. Claims zijn gemiddeld zo’n e937.85. Dit komt omdat bijvoorbeeld vervanging van een spiegel minder kost dan vervanging van een motorblok. Uit ervaring weet de verzekeraar ook dat er gemiddeld 25.9 valide claims per maand binnenkomen. De angst heerst dat als meerdere claims achter elkaar volgen, de verzekeraar failliet kan gaan. De verzekeraar wil daarom van jullie een risicoanalyse, en indien nodig, advies over hun product.
9
7
Dobbelspel
Twee spelers spelen het volgende dobbelspel. In elke beurt mag een speler herhaaldelijk met een dobbelsteen gooien. Na elke worp, kan de speler twee keuzes maken: weer gooien of stoppen (en dan krijgt de tegenstander de beurt). • Als de speler een 1 gooit, dan scoort de speler niets en de tegenstander krijgt de beurt. • Als de speler meer dan 1 gooit, dan wordt de worp bij het puntentotaal van de speler in die beurt geteld, en de speler mag verder gaan met zijn beurt. • Als de speler stopt, dan wordt het puntentotaal van de speler in die beurt bij zijn totaalscore geteld en de tegenstander krijgt de beurt. Het doel van dit spel is om de eerste speler te zijn om tenminste 100 punten te halen. Hoe kan dit spel het best gespeeld worden?
10
8
Optimale inventaris
Op de achtergrond van elk ziekenhuis werkt een cateraar, die moet voldoen aan strenge kwaliteitseisen en diversiteit van het aanbod. Dit leidt tot pittige problemen voor de inventaris. In de praktijk fluctueert het aantal pati¨enten immers van dag tot dag, en de keuzes die pati¨enten maken uit het menu verschilt van dag tot dag. De benodigde ingredi¨enten om te voldoen aan de vraag is dan ook stochastisch van aard. Dit ondervangt de cateraar door ingredi¨enten op te slaan. Eten bederft echter na enige tijd, en dit is zeer gevaarlijk voor pati¨enten met een verzwakt immuunsysteem. Om sterftegevallen te voorkomen, is de cateraar verplicht al het eten dat ouder is dan vier dagen, te vernietigen, ongeacht de kwaliteit. Het vernietigen van voedsel leidt tot verlies aan de kant van de cateraar. Aan de andere kant moet de cateraar voldoende eten opslaan om te voldoen aan de vraag. De cateraar wil het proces van aardappel tot of ovenschotel, of vuilnisbak, beter begrijpen, en vraagt om jullie expert opinion. Jullie aanstelling werd mede mogelijk gemaakt door een recente discussie of er niet een optimale opslagcapaciteit bestaat.
11
9
Dynamiek van de politiek
De Tweede Kamer bestaat uit 150 kamerleden die ieder een stem mogen uitbrengen. Kamerleden behoren bij verschillende politieke partijen, en tot bepaalde politieke stromingen. De meningen zijn uiteenlopend, en coalities moeten vaak worden gevormd. Het behandelen van controversi¨ele wetsvoorstellen kan dan ook leiden tot lange discussies. Aan het begin van een discussie heeft een kamerlid altijd al een mening over het wetsvoorstel, en een kamerlid verdedigt dat standpunt dan ook fervent. Kamerleden staan uiteraard wel open voor andere meningen, en kamerleden kunnen overtuigd worden van een ander standpunt. Of een kamerlid overtuigd wordt, hangt af van de hoeveelheid kamerleden die het concurrerende standpunt verdedigen, en de kwaliteit van de gegeven argumenten. De Rekenkamer besluit dan ook om kansrekening te gebruiken om het bereiken van consensus te modelleren en te analyseren, en vraagt van jullie een verhelderend rapport.
12
10
Griepepidemie
Een griepepidemie kan worden gezien als een virus dat zich over een netwerk (van een bewegende mensenmassa) verspreid. Wanneer een besmet persoon met een gezond persoon in contact komt kan de ziekte worden overgedragen. Natuurlijk kunnen personen na een besmetting ook weer beter worden. Belangrijke karakteristieken zijn de duur en de omvang van de epidemie. Ontwikkel een model voor de verspreiding van het virus. Natuurlijk kan het vaccineren van zowel besmette als gezonde personen helpen. Geef advies over een goede vaccinatiestrategie, en verifieer je resultaten door middel van simualties. Het Center for Disease Control and Prevention (CDC), gesitueerd in Atlanta, vraagt jullie te onderzoeken hoe vaccinatie een verspreiding van een dodelijk virus kan tegengaan. Is het optimaal om dezelfde vaccinatiestrategie te gebruiken als bij het griepvirus hierboven, of maakt het uit dat het nu gaat om een dodelijk virus?
13
11
Matig musiceren tot gemiddeld goed
Orkesten bestaan uit zo’n 40 muzikanten, en iedere muzikant heeft zijn eigen expertises en kwaliteiten. Muzikanten bespelen houtblaasinstrumenten zoals klarinetten en saxofoons, koperblaasinstrumenten zoals trompetten en trombones, of slagwerkinstrumenten zoals pauken en xylofoons. Sommige muzikanten kunnen zelfs verschillende instrumenten bespelen, maar beheersen wellicht niet ieder instrument even sterk. Voor het orkest staat een dirigent, die aangeeft wanneer iedere muzikant een noot moet spelen. Hij doet dit door regelmatig te slaan met een baton. Muzikanten kunnen niet onmiddelijk reageren (ze hebben sowieso een korte reactietijd nodig), en daarom anticiperen ze (onbewust) de tijdsduur tot de elke volgende slag. Dit kan je wellicht gevoel voor ritme noemen. Beginnende muzikanten hebben meer moeite met het anticiperen van de volgende slag (tel), en spelen vaak per ongeluk net voor, of net na, de slag. Hoe beter de muzikant, hoe meer gevoel voor ritme ze hebben, en hoe dichter ze op de slag spelen. Behalve dat muzikanten ritmisch moeten spelen, moeten muzikanten zuiver spelen. Elke gespeelde toon kan vals zijn. Een maat voor hoe vals een toon is, is de cent. Professionele muzikanten kunnen een verschil van zo’n 5 tot 6 cents horen en vervolgens de toon corrigeren. Beginnende muzikanten hebben daar meer moeite mee, en hun toon wijkt daardoor vaak verder af van de juiste. Publiek kan typisch valsheid pas identificeren vanaf 25 cents. Als je naar individuele muzikanten luistert, kan je duidelijk horen of iemand goed speelt of niet. Bij een gezamenlijk optreden hoort een publiek echter meerdere muzikanten tegelijkertijd, en is het moeilijker om individuele stemmen te identificeren. De dirigent van het prestigieuze Landelijk Orkest wil het effect van samenspel beter begrijpen, en vraagt zich bijvoorbeeld af of de kwaliteit van een uitvoering schaalt met de grootte van een orkest. Hij eist van jullie een studie.
14
