Hoofdstuk 4 Kansrekening Marnix Van Daele
[email protected]
Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent
Kansrekening – p. 1/29
Gebeurtenissen •
experiment : gooien met een dobbelsteen
• uitkomst is gebeurtenis = verschijnsel = event • A : oneven aantal ogen gooien • B : hoogstens 4 ogen gooien
samengestelde gebeurtenissen
• E1 : 1 oog gooien • E2 : 2 ogen gooien • E3 : 3 ogen gooien • E4 : 4 ogen gooien
enkelvoudige gebeurtenissen
• E5 : 5 ogen gooien • E6 : 6 ogen gooien Kansrekening – p. 2/29
Gebeurtenissen • het resultaat van een experiment is dus steeds juist één
enkelvoudige gebeurtenis. • een gebeurtenis is een verzameling van één of meer
enkelvoudige gebeurtenissen • de verzameling van alle enkelvoudige gebeurtenissen
geassocieerd met een experiment wordt de resultatenruimte (sample space) genoemd (notatie : S) S
.................................................................................................................................................. ... .. .. A .. E ... 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ... • .. ..... . . . . . . ... . .... .. .... . ... . . ... .. ... ... ... .. .. E1 ... .. • .. .. .. ... • .. ... . ... E3 .. .. ... ... . .. .... . ... E . 4 . ... .. ... . • ..... .. • . . ... . .. . ...... E . . . . ... ................5 .. ........ . . . • . ... .. .. E6 .. ....................................................................................................................................................
Kansrekening – p. 3/29
Bewerkingen op gebeurtenissen De som G1 + G2 van twee gebeurtenissen G1 en G2 is de gebeurtenis dat minstens één van beide gebeurtenissen optreedt. Deze gebeurtenis komt overeen met de verzameling G1 ∪ G2 .
.................................................................................................................................................................... .. ... .. ... 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... .......................................... .............................................. . . . . . ... .. ................................................................................................................................... . . . ... .. ............................................................................................................................................. . ... .. ........................................................................ . ... ............................................................................................................. .. . ... ................................................................................................................. .. . ... .............................................................................................................. .. .. . . ...............................2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ... ................................................................................................................................... .. .... .......................................................................................................... .. ... ......................................................................................................... .. ........................................................................ ... ....................................................................................... .. ... ........... ........................ ........... ....... .......... .. ... ................. ................. .. ... .. . ...................................................................................................................................................................
Het product G1 · G2 van twee gebeurtenissen G1 en G2 is het verschijnsel dat beide gebeurtenissen optreden. Deze gebeurtenis komt overeen met de verzameling G1 ∩ G2 .
.................................................................................................................................................................. ... .. .... .. 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ........ .............. .............. .............. .. . . . . . . .......... ..... ... ... .. . . . . . . . . .... ... .. ... ............ . . . . . ... ... .. .. ................ . . . ... ... . ................ .. . . ... ... .. . ................... . . ... .. ... ..................... .. ... . . . . . . . ... . . . . .. . . . . . 1.................. 2 ... . ... . .. ............... . ... ... . .. . . ... ..... ... ... . . . . . . . .. ... .... ........ . . . ..... . . .. . . ... ....... .... ........... .... . . . . . . . . .. .. . . .......................... .......................... ... .. .. ... ..................................................................................................................................................................
G
G
S
G ∪G
G1 of G2
G
G
S
G ∩G
G1 en G2
Kansrekening – p. 4/29
Gebeurtenissen • Twee gebeurtenissen sluiten elkaar uit indien, bij het
optreden van één van de gebeurtenissen, de andere niet kan optreden. • Twee gebeurtenissen die elkaar uitsluiten vormen samen de
volstrekt onmogelijke gebeurtenis, genoteerd als . • Een gebeurtenis die overeenkomt met de resultatenruimte S
treedt zeker op bij een volgend experiment en wordt het absoluut zeker verschijnsel genoemd en genoteerd als U . • De gebeurtenis die optreedt als en slechts als A niet
optreedt wordt de complementaire gebeurtenis van A genoemd en genoteerd als A. Ze komt overeen met de verzameling S \ A. A·A=
A+A=U
Kansrekening – p. 5/29
Voorwaardelijke gebeurtenissen De voorwaardelijke gebeurtenis A | B beschrijft het optreden van het verschijnsel A op voorwaarde dat het verschijnsel B is opgetreden. • A : oneven aantal ogen gooien • B : hoogstens 4 ogen gooien
B | A = (E1 + E3 ) | (E1 + E3 + E5 ) A | B = (E1 + E3 ) | (E1 + E2 + E3 + E4 )
Kansrekening – p. 6/29
Rekenen met gebeurtenissen A · (B + C) = A · B + A · C
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Kansrekening – p. 7/29
Kans De kans (waarschijnlijkheid, probabiliteit) P(A) geassocieerd met een gebeurtenis A is een maat voor het geloof dat de gebeurtenis zal optreden bij een volgende herhaling van het experiment. • theoretisch :
aantal gunstige gevallen P(A) = totaal aantal (even mogelijke) gevallen • praktisch :
nA P(A) = lim fA = lim n→∞ n→∞ n
Kansrekening – p. 8/29
Axioma’s • 0 ≤ P(A) ≤ 1
A A
• P(U ) = 1 • P() = 0
B
x
• P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A · B)
B
x
x
Optellingswet • P(A · B) = P(A) P(B | A) = P(B) P(A | B)
Vermenigvuldigingswet 0 ≤ P(Ei ) ≤ 1
∀ Ei
P( Ei ) = 1 i
Kansrekening – p. 9/29
Afgeleide formules A·A=
en
A+A=U
P(A · A) = 0
en
P(A + A) = 1
1 = P(A + A) = P(A) + P(A) − P(A · A) = P(A) + P(A) P(A) = 1 − P(A) P(B) = P(U · B) = P((A + A) · B) = P(A · B + A · B) = P(A · B) + P(A · B) − P(A · A · B) = P(A · B) + P(A · B) P(A · B) = P(B) − P(A · B)
Kansrekening – p. 10/29
Afgeleide formules P(A + B + C) = P(A + (B + C)) = P(A) + P(B + C) − P(A · (B + C)) = P(A) + P(B) + P(C) − P(B · C) − P(A · B + A · C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(B · C) − P(A · B) − P(A · C) + P((A · B) · (A · C)) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A · B) − P(A · C) − P(B · C) + P(A · B · C) P(A·B ·C) = P(A) P((B ·C) | A) = P(A) P(B | A) P(C | (A·B)) Kansrekening – p. 11/29
Afgeleide formules A A A+B :
B
x
B
x
x
• P(A + B) = 1 − P(A · B) • P(A · B) = 1 − P(A + B)
A+B =A·B
A·B =A+B
Kansrekening – p. 12/29
Onafhankelijke verschijnselen Twee verschijnselen A en B zijn onafhankelijk als P(B | A) = P(B) of, equivalent daarmee, als P(A | B) = P(A) . De vermenigvuldigingswet P(A · B) = P(A) P(B | A) = P(B) P(A | B) wordt dan vereenvoudigd tot P(A · B) = P(A) P(B) Kansrekening – p. 13/29
Onafhankelijke verschijnselen • A : oneven aantal ogen gooien • B : hoogstens 4 ogen gooien
A en B zijn onafhankelijk, want 3 1 P (A) = P (E1 + E3 + E5 ) = = 6 2
2 1 P (A | B) = P ((E1 + E3 ) | (E1 + E2 + E3 + E4 )) = = 4 2 2 4 P (B) = P (E1 + E2 + E3 + E4 ) = = 6 3
2 P (B | A) = P ((E1 + E3 ) | (E1 + E3 + E5 )) = 3 Kansrekening – p. 14/29
Afgeleide formules Vereenvoudiging van optellings- en vermenigvuldigingswet • als A en B elkaar uitsluiten : P(A + B) = P(A) + P(B) • als A en B onafhankelijk zijn : P(A · B) = P(A) P(B)
Kansrekening – p. 15/29
De regel van Bayes Gegeven : • k toestanden S1 , S2 , . . ., Sk
Si · Sj = als i = j S1 + S2 + . . . + Sk = U • P(S1 ), P(S2 ), . . ., P(Sk ) • P (A | Si ) voor i = 1, 2, . . . k
S
....................................................................................................................................................... .... .... .... .. ... .... .... .... .. .. . . . . .... S2 ..... S3 ..... S4 ... .. S 1 . . . .... .... .... .... .. . . . ... ... ... ... .. ... ... .. .......................... .... . . . . . . . . . . ....... .. ........ ... ... .. . . . . . ....... .. ... S1 ∩ A ..... ... .. . . . . . .. .... ... . ... ..... .. . . . . . . . ... .. .. ..... .. ..... .. .. .. . ........ . ... .. ... ... .. . ................. .. . . . .. ... .. ..... ... ... ... ..... .. . . . . .... .... . . . ... .. ... .. . . . .. . . . .. ... ... . . . .. . . .. ... ... . . . .... .. .. ... .. ... ... . . .. . . . . ... ....... .. . . . . ... . . . . ..... .. ...... .. . .. . . . . . . . . . .... . . . . .. .............. .. ........ A . . .. . . . . .. . . . . .. ... .. ............................... . . ... . . . . .. ... ... ... . . . . . . . . . .... . . . .................................................................................................................................................................
P(A · Si ) P(Si ) P(A | Si ) Gevraagd : P (Si | A) = = P(A) P(A) A = A·U = A·(S1 +S2 +· · ·+Sk ) = A·S1 +A·S2 +· · ·+A·Sk P(A) = P(A · S1 ) + P(A · S2 ) + · · · + P(A · Sk ) = P(S1 ) P(A | S1 ) + P(S2 ) P(A | S2 ) + · · · + P(Sk ) P(A | Sk ) Kansrekening – p. 16/29
De regel van Bayes Gegeven :
S
• k toestanden S1 , S2 , . . ., Sk
Si · Sj = als i = j S1 + S2 + . . . + Sk = U • P(S1 ), P(S2 ), . . ., P(Sk ) • P (A | Si ) voor i = 1, 2, . . . k
Gevraagd : P (Si | A) Oplossing : P (Si | A) = =
....................................................................................................................................................... .... .... .... .. ... .... .... .... .. .. . . . . .... S2 ..... S3 ..... S4 ... .. S 1 . . . .... .... .... .... .. . . . ... ... ... ... .. ... ... .. .......................... .... . . . . . . . . . . ....... .. ........ ... ... .. . . . . . ....... .. ... S1 ∩ A ..... ... .. . . . . . .. .... ... . ... ..... .. . . . . . . . ... .. .. ..... .. ..... .. .. .. . ........ . ... .. ... ... .. . ................. .. . . . .. ... .. ..... ... ... ... ..... .. . . . . .... .... . . . ... .. ... .. . . . .. . . . .. ... ... . . . .. . . .. ... ... . . . .... .. .. ... .. ... ... . . .. . . . . ... ....... .. . . . . ... . . . . ..... .. ...... .. . .. . . . . . . . . . .... . . . . .. .............. .. ........ A . . .. . . . . .. . . . . .. ... .. ............................... . . ... . . . . .. ... ... ... . . . . . . . . . .... . . . .................................................................................................................................................................
P(Si ) P(A | Si ) P(S1 ) P(A | S1 ) + P(S2 ) P(A | S2 ) + · · · + P(Sk ) P(A | Sk ) P(Si ) P(A | Si ) k P(Sj ) P(A | Sj ) j=1
Kansrekening – p. 17/29
Nuttige telregels • algemeen principe • variaties • permutaties • combinaties • ...
Kansrekening – p. 18/29
Algemeen principe Stel dat een eerste experiment n1 uitkomsten heeft, een tweede n2 , . . . , en uiteindelijk een k-de experiment nk uitkomsten, dan geven de k experimenten in die volgorde aanleiding tot n1 n2 . . . nk verschillende uitkomsten.
Kansrekening – p. 19/29
Variaties Een variatie van n elementen in groepen van k is een geordend k-tal verschillende elementen uit een gegeven verzameling van n elementen. Vnk is het aantal variaties van n elementen in groepen van k
Kansrekening – p. 20/29
Voorbeeld variaties van n = 5 elementen A, B, C, D, E in groepen van k • k = 1: V51 = 5
Vn1 = n
• k = 2: V52 = 5 × 4
Vn2 = n (n − 1)
• k = 3: V53 = 5 × 4 × 3
Vn3 = n (n − 1) (n − 2)
• ... • k:
Vnk = n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1)
ABC ABD ABE
ACB ACD ACE
ADB ADC ADE
AEB AEC AED
BAC BAD BAE
BCA BCD BCE
BDA BDC BDE
BEA BEC BED
CAB CAD CAE
CBA CBD CBE
CDA CDB CDE
CEA CEB CED
DAB DAC DAE
DBA DBC BBE
DCA DCB DCE
DEA DEB DEC
EAB EAC EAD
EBA EBC EBD
ECA ECB ECD
EDA EDB EDC Kansrekening – p. 21/29
Variaties Vnk
(n − k) (n − k − 1) . . . 2 1 = n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1) (n − k) (n − k − 1) . . . 2 1 n! = (n − k)! Opgelet : 0! = 1
Kansrekening – p. 22/29
Voorbeeld Bepaal het aantal manieren waarop je de medailles kunt verdelen bij een wedstrijd met 8 atleten. Dit is een variatie-probleem, want • herhaling is onmogelijk (elke atleet kan juist 1 positie in de
uitslag bezetten) • de volgorde (goud, zilver, brons) is belangrijk
Vnk
=
V83
8! = 8 × 7 × 6 = 336 = (8 − 3)!
Kansrekening – p. 23/29
Permutaties Permutaties zijn bijzondere gevallen van variaties. Een permutatie van n elementen is een variatie van n elementen in groepen van n. Pn is het aantal permutaties van n elementen Pn = Vnn
n! = (n − n)! = n!
Kansrekening – p. 24/29
Voorbeeld Bepaal het aantal manieren waarop de uitslag van een wedstrijd met 8 atleten kan eindigen. Dit is een permutatie-probleem, want • herhaling is onmogelijk (elke atleet kan juist 1 positie in de
uitslag bezetten) • de volgorde is belangrijk
Pn = P8 = 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320
Kansrekening – p. 25/29
Combinaties Een combinatie van n elementen in groepen van k is een ongeordend k-tal verschillende elementen uit een gegeven verzameling van n elementen. Cnk is het aantal combinaties van n elementen in groepen van k.
Kansrekening – p. 26/29
Combinaties De bepaling van Cnk gebeurt in twee stappen : • doe alsof de volgorde wel een rol speelt en tel • hou daarna wel rekening met de volgorde
Kansrekening – p. 27/29
Voorbeeld combinaties van n = 5 elementen A, B, C, D, E in groepen van 3 • stap 1 : • stap 2 :
C53 = aantal = V53 /P3 = 5 × 4 × 3/3! = 60/6 = 10 ABC ABD ABE
ACB ACD ACE
ADB ADC ADE
AEB AEC AED
BAC BAD BAE
BCA BCD BCE
BDA BDC BDE
BEA BEC BED
CAB CAD CAE
CBA CBD CBE
CDA CDB CDE
CEA CEB CED
BAB DAC DAE
DBA DBC BBE
DCA DCB DCE
DEA DEB DEC
EAB EAC EAD
EBA EBC EBD
ECA ECB ECD
EDA EDB EDC
ABC ABD ABE
ACB ACD ACE
ADB ADC ADE
AEB AEC AED
BAC BAD BAE
BCA BCD BCE
BDA BDC BDE
BEA BEC BED
CAB CAD CAE
CBA CBD CBE
CDA CDB CDE
Kansrekening – p. 28/29 CEA CEB CED
Voorbeeld Bepaal het aantal manieren waarop de lotto kan ingevuld worden. Dit is een combinatie-probleem, want • herhaling is onmogelijk (elk getal kan slechts 1 keer
aangekruist worden) • de volgorde (waarin de getallen aangekruist worden) is
onbelangrijk
Cnk
=
6 C42
42 × 41 × 40 × 39 × 38 × 37 42! = = 5 245 786 = 36! 6! 6×5×4×3×2×1
Kansrekening – p. 29/29
