KANSREKENING & STATISTIEK

Docentenhandleiding

module AN 11

KANSREKENING & STATISTIEK 1

uitgave

ActuarieelInstituut 1e druk: september 2007 eindredactie Rick van Vreeden

Zonder schriftelijke toestemming van rechthebbenden op het auteursrecht mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt door middel van druk, fotokopie, microfilm of anderszins. copyright Actuarieel Instituut, 2007

INTRODUCTIE

Het leerpad van uw studenten gaat veelal niet over rozen. Slechts een enkeling immers vindt leren echt leuk. Eén van de belangrijke voorwaarden om tot het leren van nieuwe kennis te komen is echter wel dat het interessant moet zijn voor de student. Met andere woorden: de student moet het leuk vinden om te leren. Met deze tegenstrijdigheid als basis gaat u iedere nieuwe opleiding weer aan de slag. Voorwaar geen eenvoudige opgave. Het Actuarieel Instituut wil met de verstrekking van deze, door u en uw collega's gedeeltelijk zelf samengestelde docentenhandleiding, de helpende hand bieden. Meer dan een helpende hand kan en mag het echter nooit zijn. U bent immers de enige die uw studenten persoonlijk kent. En inspelen op de individuele student, binnen steeds weer andere groepen, kun je nu eenmaal niet in een algemene handleiding vatten. U zult dus steeds ideeën, werkvormen en hulpmiddelen willen aanpassen aan de specifieke eisen van de groep die u op dit moment voor zich heeft. En dat is wat het werk van de docent zo boeiend houdt. Er zit geen kans op sleur in. Het Actuarieel Instituut is van mening dat vier elementen bepalend zijn voor de kwaliteit en daarmee voor het resultaat, van zijn opleidingen. Dit zijn: - de vrouw of man die de opleiding verzorgt - het lesmateriaal - de lesaccommodatie - de groepssamenstelling Aan deze vier elementen wordt op diverse manieren veel aandacht besteed. -

U krijgt de mogelijkheid een docententraining te volgen die speciaal voor docenten van het Actuarieel Instituut is samengesteld. Daarnaast worden periodiek thematische workshops verzorgd op een belangrijk didactisch terrein (bijvoorbeeld vragentechniek of het maken van en werken met didactische hulpmiddelen als een beamer). Tot slot wordt regelmatig uw handelen in de groep geëvalueerd door uw studenten en door een medewerker van het Actuarieel Instituut. Doel van deze evaluaties is te ontdekken op welke punten u nog beter met uw groep, de individuele student en de leerstof kunt omgaan.

-

Uw lesmateriaal wordt steeds beter. Deze verbeteringen vinden plaats op uw aanwijzingen en op aanwijzingen van uw studenten. Gedeeltelijk worden deze aanwijzingen uit de evaluaties gehaald, maar voor een groter deel gaat het om verbeteringen die spontaan en afzonderlijk worden gemeld.

-

Uw werkplek heeft continu de aandacht van het Actuarieel Instituut. In overleg met u wordt de juiste ruimte gekozen en krijgt u de hulpmiddelen die u nodig heeft.

-

Uw groep is een element in het spel waar u meer greep op heeft dan het Actuarieel Instituut. Acties ter verbetering komen dan ook vooral van uw kant. Wel zorgt het Actuarieel Instituut er voor dat uw groep niet te groot wordt.

Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

1

Een docentenhandleiding heeft vooral te maken met het eerste element dat de kwaliteit van een opleiding bepaalt: de docent, u dus! Een docentenhandleiding bestaat bij de gratie van docenten. Wordt zij niet gebruikt, dan sterft zij een stille dood. Wordt zij gebruikt dan leeft zij. En leven heeft tot kenmerk blijvende verandering. De docentenhandleiding zal met andere woorden steeds door u aan uw inzichten en werkwijze moeten worden aangepast, wil zij zinvol zijn. Geef opmerkingen, aanvullingen enz. door. Hou goede ideeën niet voor u alleen, maar laat uw collega's er in delen. Stuur met andere woorden alles in waarmee u denkt dat u uw collega's van dienst kunt zijn bij het bereiken van betere resultaten met hun studenten.

Rick van Vreeden


2

INHOUDSOPGAVE

Deze docentenhandleiding omvat: a. De module gepland in lessen over de lesperiode. b. De les gepland. Voorbeelden voor de planning van iedere les afzonderlijk (onderwerpen, werkvormen, hulpmiddelen, toetsing en evaluatie, tijdpad). Daar waar inmiddels beschikbaar zijn ook extra materialen opgenomen, zoals toetsen, uitgewerkte voorbeelden enz.mogelijk


3

MODULEPLANNING

De module AN 11 wordt gegeven in 16 lessen van elk 2 uur. Elke les wordt in principe onderbroken door een pauze van ongeveer vijftien minuten. Voor de complete cursusperiode voor AN 11 treft u hierna een voorbeeld van een moduleplanning aan. Uitgaande van deze moduleplanning is onder "Lesplanning" een serie lesplannen opgenomen. Het is de bedoeling dat u direct na het voorbeeld in deze map uw eigen planning opneemt. Mocht u onverhoopt een les niet kunnen verzorgen dan hoeft u alleen uw docentenmap (tijdelijk) door te geven aan uw vervanger. Deze kan dan zien wat voor de betreffende avond op het programma staat. De moduleplanning geeft uitsluitend de hoofdthema's van iedere les aan, met daarbij een grove tijdsindeling (in minuten) en het huiswerk voor u en/of uw studenten voor de volgende keer. We starten met de algemene leerdoelen die met deze module beoogt worden.


4

Moduleleerdoelen en moduleplanning Aan het eind van deze module beheerst de student de basiskennis van de kansrekening en statistiek en kan hij/zij eenvoudige kansrekening en statistiek toepassen (= basiskennis voor latere leven- en schademodules). De student kan na afloop de volgende onderwerpen en begrippen hanteren: Beschrijvende statistiek: - variabelen (kwalitatief, kwantitatief) . waarnemen, tellen, meten - frequentieverdeling, histogram - maten voor ligging . gemiddelde, modus en mediaan . kwartielen, percentielen - maten voor spreiding . variantie, standaardafwijking . kwartielafstand, spreidingsbreedte . variatiecoëfficiënt - bivariate / multivariate data . kruistabel . regressievergelijking (enkelvoudig) . correlatiecoëfficiënt (- oefeningen met een statistisch programma/pakket). Kansrekening: - experimenten . uitkomsten, gebeurtenissen, kansen - voorwaardelijke kansen - wet van de grote aantallen - kansveranderlijken - dichtheid en verdelingsfunctie - verwachting, variantie en scheefheid - (on)afhankelijkheid, marginale en voorwaardelijke verdelingen (conditionele verdelingen), - enkele verdelingen . binomiale, Poisson, normale, exponentiële, student t - schatters (inleidend) - betrouwbaarheidsintervallen (inleidend) - toetsen van hypothesen (inleidend) - kansberekeningen met een programma.


5

Les

Onderwerp

1.

Inleiding beschrijvende statistiek

2.

Lokatie- en spreidingsmaatstaven

3

Steekproeven en samenhang en Inleiding kansrekening

4

Voorwaardelijke kansen

5

Herhalingsles met examenoefening

6.

Kansvariabelen en -verdelingen

7.

Verwachtingswaarde en variantie

8.

Normale verdeling 1

9.

Normale verdeling 2

10.

Binomiale verdeling

11.

Poisson verdeling

12.

Schatten 1

13.

Schatten 2

14.

Toetsen

15.

Leerstofherhaling

16.

Examenvoorbereiding


6

LESPLANNEN Op de volgende pagina's is voor iedere les een voorbeeldlesplan opgenomen. Hierin is steeds aangegeven welke onderwerpen, in welke volgorde en gedurende welke tijd aan de orde komen. Ieder voorbeeldlesplan wordt vooraf gegaan door een overzicht van de doelstellingen van de betreffende les. Het gaat hier om een uitdieping van de aan het begin van elk hoofdstuk aan uw studenten opgegeven doelstellingen. Deze doelstellingen kunnen u van dienst zijn bij de voorbereiding van uw les. Iedere doelstelling moet meetbaar gemaakt kunnen worden aan het eind van uw les. In de voorbeeldlesplannen is steeds uitgegaan van een lesduur van 120 minuten. In de lesplannen is die tijd in minuten per onderdeel genoteerd. Daarnaast is aangegeven welke werkvorm gebruikt wordt en welke hulpmiddelen. Voor een aantal lessen is een powerpointpresentatie samengesteld. Van deze presentatie is dan direct na het lesplan enig voorbeeldmateriaal opgenomen, terwijl in het lesplan daarnaar verwezen wordt. Van de sheets kunt u bij het AI exemplaren ten behoeve van uzelf en/of uw studenten bestellen. Wilt u materiaal in aangepaste vorm of geheel eigen materiaal laten uitwerken, dan is dat natuurlijk ook mogelijk. De betreffende uitwerkingen worden dan tevens bij het voorbeeldmateriaal in deze docentenhandleiding opgenomen. Zo blijft deze handleiding groeien. Ook nu doet u er goed aan direct na ieder voorbeeldlesplan uw eigen lesplan met materiaal op te nemen.


7

LES 1

Doelstellingen les 1 Aan het slot van deze les kent de student: - de belangrijkste begrippen op het gebied van statistisch onderzoek - de verschillende werkwijzen op het gebied van frequentieverdelingen (met de bijbehorende grafische voorstellingen) Lesplan les 1

Tijd 45 min.

Onderwerp

Werkvorm

Hulpmiddelen

Introductie - docent

presentatie

Powerpointpresentatie

- studenten

rondgang

(sheets 1 t/m 7)

- huishoudelijke

mededelingen

Deelnemerslijst/

mededelingen

Naamkaarten

Extra: studiegids, lesrooster, presentielijst 15 min.

Pauze

min.

1.1.2. t/m 1.1.5

college

Sheets 8 t/m 13

min.

1.2

college

Sheets 14 t/17

min.

1.3

opleidingsleergesprek

sheets 18 t/m 27

5 min.

Afronding en samenvatting les 1

Opdracht

Huiswerk: - Leren:H 1 (zelf samenvatten) - Lezen: H 2.1 t/m 2.6 - Maken: opgaven H 1


8

1. Opzet van de 1e bijeenkomst AN11

•Voorstelrondje •Wat is statistiek? •Waar gaat de module AN11 over? •Lesschema + cursusopzet •Bespreken hoofdstuk 1 •Huiswerkoverzicht en volgende bijeenkomst 2. Definitie statistiek Populair: resultaat van een onderzoek (“de statistieken vertellen…”) Formeel: Statistiek is het vakgebied dat zich bezighoudt met

•Verzamelen •Ordenen •Samenvatten •Analyseren Van gegevens. 3 Deelgebieden van statistiek Beschrijvende statistiek: verzamelen en verwerken van gegevens Kansrekening: theoretische modellering van een verzameling verschijnselen. Verklarende statistiek: op basis van gevonden resultaten tot algemene uitspraken komen. Vormt schakel tussen beschrijvende statistiek en kansrekening. 4 Inhoud van de cursus AN11 (1) Kansrekening en verklarende statistiek (vanaf bijeenkomst 3)

•Regels voor kansrekening •Verwachting, variantie en scheefheid •Verdelingen (normaal, binomiaal,poisson, student t) •Dichtheden •Voorwaardelijke kansen •Wet van de grote aantallen •Schatten en toetsen •Regressie en correlatie •Tijdreeksen 5 Inhoud van de cursus AN11 (2) Maar eerst beschrijvende statistiek (bijeenkomsten 1 en 2) Enkele begrippen:

•Waarnemen, tellen, meten •Frequentieverdeling •Grafische voorstellingen •Gemiddelde, modus, mediaan •Spreiding van variabelen (variantie, standaardafwijking) 6 Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

9

Opzet van de module AN11

•16 bijeenkomsten * 2uur. •Examen in januari 2007 •Theorie boek: Statistiek om mee te werken (Buys, 7e druk), examenstof en lesschema wordt apart uitgereikt

•Praktijk boek: opgaven en (facultatief) uitwerkingen bij Buys •In de les: afwisselend theorie, opgaven •NB niet alle theorie komt in de les aan bod, zelf het boek goed lezen! •Begin van iedere les bespreken huiswerkopgaven •3 a 4 keer extra huiswerkopgaven op examenniveau 7 Programma vandaag

•Verzamelen van gegevens •Variabelen, indeling in schalen •Frequentieverdelingen •Kruistabellen •Grafische weergave van verdeling: stamdiagram, histogram en frequentiepolygoon 8 Verzamelen van gegevens Kernvragen bij opstarten van een onderzoek: •Wat wil je onderzoeken? Bv: de relatie tussen de tijd die je aan de module AN11 besteedt, en het tentamencijfer •Hoe wil je dit onderzoeken? Bv: telefonische/schriftelijk/internet enquete, interviews. Afhankelijk van soort vraag. Houdt rekening met non-respons, kosten etc •Wie wil je in het onderzoek betrekken? Probeer de populatie te definiëren (bv alle studenten die AN11 volgen) en neem een steekproef uit de populatie. Aselecte steekproef: ieder element heeft dezelfde kans om in de steekproef terecht te komen = loting. •Denk na over representativiteit. Onbekende populatie (a), selectieve respons (b) kunnen leiden tot niet-representatieve uitkomsten. Oplossing voor (a) is de aselecte steekproef en voor (b) een nonresponsonderzoek 9 Populatie of steekproef Is de onderstaande verzameling een populatie of steekproef?

•200 personen die meedoen aan een enquête op straat •Alle leden van het AG •10.000 verzekerden bij een verzekeringsmaatschappij

S P S/P

10 Variabelen Variabele = eigenschap onderzocht object Indeling:

•Kwalitatief (kleur auto) – Kwantitatief (prijs auto) •Deterministisch (belasting) – Kansvariabele (dobbelsteen) •Discreet (verzameling Q, dobbelsteen) – Continu (verzameling R, gewicht)

•Schalen 11 Indeling variabelen in schalen

•Nominaal (kleur auto) Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

10

•+ ordening = Ordinaal (goed/matig/slecht) •+ gelijke verschillen = Interval (klok) •+ natuurlijk nulpunt = Ratio (inkomen) 12 Voorbeeld schalen (1) Op welk niveau zijn de onderstaande variabelen gemeten?

•Kleur van een boek •Behaald cijfer voor statistiek-tentamen •Aantal Michelin sterren van een restaurant •De jaaromzet van een bedrijf •Bouwjaar van een huis •Stelling w aarop antwoorden slecht/matig/goed…

N

mogelijk is

O

R O R I

13 Voorbeeld schalen (2) Voorbeeld 1.1, pagina 24 14 Frequentieverdelingen Doel frequentieverdeling: gegevens overzichtelijk presenteren Werkwijze: 1. Klassen indelen, categorisch systeem (alles komt voor & geen overlap). 2. Frequentie (= aantal waarnemingen binnen een klasse) turven

•Frequentie kan absoluut, relatief, of cumulatief gepresenteerd worden •Vuistregel aantal klassen: 5 a 20 of •ãn (n= aantal waarnemingen). Klassen hoeven niet even breed te zijn! 15 Voorbeeld frequentieverdelingen 16 Kruistabellen Doel: in 1 tabel het gedrag van 2 variabelen weergeven.

•Eventuele relatie tussen twee variabelen kan optisch worden vastgesteld •Formele toets voor verschillen: chi-kwadraat, wordt besproken in module statistiek 2. 17 Voorbeeld kruistabellen Voorbeeld 1.7, pagina 32 18 Grafische voorstellingen (1)

•Grafieken •Spreidingsdiagram •Staafdiagram •Stapeldiagram •Cirkeldiagram •Beelddiagram •Naalddiagram Zelf nalezen in paragraaf 1.3 en 1.4 19 Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

11

Grafische voorstellingen (2) Methoden om grafisch de opbouw van een verdeling weer te geven 20 Stamdiagram 2a. Histogram 2b. Bijzondere vorm histogram: Frequentiepolygoon 21 Stamdiagram Andere benaming: steel-en-blad diagram (stem-and-leef) Opzet:

•Neem van een verzameling getallen steeds het eerste cijfer. Plaats deze in een rij (kolom). Deze cijfers vormen de steel.

•Plaats de overige cijfers, de bladeren, boven de rij (naast de kolom) •Hieruit volgt de verdeling van de variabele 22 Voorbeeld stamdiagram 23 Histogram I.h.a. toepassen bij ratio-variabelen. Werkwijze:

•Verdeel de horizontale as in intervallen. Deze intervallen zijn afgeleid van de klassen waarin de variabele is verdeeld (# intervallen mag ongelijk zijn aan # klassen)

•Plaats boven ieder interval een kolom. De OPPERVLAKTE van de kolom is gelijk aan het aantal waarnemeningen binnen een klasse.

•Zo ontstaat een beeld van de frequentiedichtheden. 24 Voorbeeld histogram Voorbeeld 1.20, pagina 47 25 Klassengrenzen

•Continue variabele, bijvoorbeeld inkomen per uur. Een klasse 10,00 -< 15,00 loopt van 10,00 – 14,99. Levert geen probleem op.

•Continue variabele, afgeronde gegevens. Bijvoorbeeld gewicht in kilo’s. Gewicht 60 kilo = 59,5 – 60,5 kilo. Een klasseindeling 60-64 kilo is dus eigenlijk 59,5 – 64,5. Dus de klassegrens moet met 0,5 naar beneden verschoven worden! NB de range is in beide gevallen 5 (check)

•Discrete variabele. Score 50, is eigenlijk 49,5-50,5. Verschuiving met 0,5 naar beneden (net als bij punt 2.) 26 Voorbeeld klassengrenzen Vraag: Wat is het midden van de eerste klasse? Wat doe je met de klassengrenzen? Antwoord: 12 (waarom?) Aanpassen aan 9,5 14,5 etc. 27 Frequentiepolygoon Frequentiepolygoon is een van histogram afgeleide grafiek. Werkwijze:

•Klassenmiddens bepalen Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

12

•Punten in grafiek boven klassenmiddens tekenen •Punten door middel van lijn verbinden. •Een fictieve klasse aan linkerkant en rechterkant toevoegen, met breedte van de laagste resp hoogste echte klasse. Het aantal waarnemingen in de fictieve klassen is 0. Dus punten tekenen op de x-as. Stippellijnen naar deze punten trekken.

•De polygoon is compleet. 28 Voorbeeld intekenen frequentiepolygoon 29 Huiswerk en volgende bijeenkomst Huiswerk:

•Hoofdstuk 1 doorlezen (en voor jezelf samenvatten) •Opgaven bij hoofdstuk 1 maken •Alvast doorlezen paragrafen 2.1 tot en met 2.6 Volgende bijeenkomst:

•Bespreken lastige opgaven hoofdstuk 1 + bespreken opgaven op verzoek (aan begin van de les aangeven)

•Bespreken theorie + voorbeelden 2.1 tm 2.6 30 Vragen? Stuur een mailtje naar: Of bel:


13

LES 2 Doelstellingen les 2 Aan het slot van de bestudering van deze les kan de student: - de begrippen: maatstaven voor ligging en spreiding beschrijven en toepassen Lesplan les 2

Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

30 min.

Nabespreking opgaven H 1

15 min.

Pauze

65 min.

H 2.1 t/m 6

5 min.

Afronding en samenvatting les 2 Huiswerk:

Werkvorm

Hulpmiddelen Sheet 1


bord/krijt

college

Sheets 2 t/m 35

Opdracht

Sheet 36

- Leren: H 2.1 t/m 6 - Maken: opgaven H 2.1 t/m 6 - Lezen: H 2.7, H 2.8 en H 2+ en H 3.1 en 2


14

1 Opzet van de 2e bijeenkomst AN11

•Opgaven hoofdstuk 1 •Theorie + voorbeelden § 2.1 t/m § 2.6 —Maatstaven voor ligging: gemiddelde/middenwaarde —Maatstaven voor spreiding: onderlinge verschillen tussen waargenomen uitkomsten —Grafisch: Boxplot —2 bijzondere gemiddelden •Volgende bijeenkomst 2 Ter illustratie 3 Rekenkundig gemiddelde: afzonderlijke waarnemingen (1) 4 Rekenkundig gemiddelde: afzonderlijke waarnemingen (2) Alle waarnemingen invloed op gemiddelde, ook uitbijters! Oplossing: uitbijters niet meenemen in gemiddelde door

•Hoogste en laagste waarneming verwijderen •Hoogste en laagste 5% waarnemingen verwijderen (alleen bij grote n), soms worden ook andere % genomen (bv 10%) Voorbeeld: Aantal bijgewoonde lessen AN11: 3; 4; 16; 2; 5; 3. Getrimd gemiddelde = modified mean = trimmed mean = (3+4+5+3)/4 = 3,75. 5 Gewogen rekenkundig gemiddelde 6 Mediaan, afzonderlijke waarnemingen Xme = middelste waarneming, na ordenen waarnemingen van laag naar hoog. Voorbeeld oneven # waarnemingen: Leeftijden 22; 18; 23; 16; 20 ordenen -> Geordende leeftijden: 16; 18; 20; 22; 23 Mediaan: 20. Voorbeeld even # waarnemingen: Aantal bijgewoonde lessen AN11: 3; 4; 16; 2; 5; 3 ordenen -> Geordend: 2; 3; 3; 4; 5; 16 Mediaan: (3+4)/2 = 3,5. 7 Modus, afzonderlijk waarnemingen Xmo = uitkomst met de hoogste frequentie (optisch: piek in frequentieverdeling, soms meer pieken bv bimodaal) Alleen zinvol bij grote n (waarom?) Voorbeeld: Aantal bijgewoonde lessen AN11: 3; 4; 16; 2; 5; 3 Waarneming Aantal 2 1 3 2 4 1 Modus is 3 bijgewoonde lessen 5 1 16 1 8 Wanneer welke maatstaf? (1) Rekenkundig gemiddelde: iha het meest informatief, algebraisch handig, alleen bij interval of ratio variabele Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

15

Mediaan:

Modus:

alleen bij niet-scheve verdeling gevoelig voor meetfouten en uitschieters bij ratio, interval en ordinale variable goede maat bij scheve verdeling relatief ongevoelig voor meetfouten en uitschieters bij ratio, interval, ordinale, nominale variabele het liefst bij grote n, relatief ongevoelig voor meetfouten en uitschieters bedoeld om scoredichtheid te benadrukken

9 Wanneer welke maatstaf (2) Meetniveau

•Nominaal -> modus. •Ordinaal -> gewichtige categorie? -> ja -> modus -> nee -> mediaan

•Interval/ratio -> gewichtige categorie? -> ja -> modus -> nee-> verdeling scheef/uitschieters?

-> ja -> mediaan -> nee -> gemiddelde

10 Rekenkundig gemiddelde, frequentieverdeling (1) Bij een frequentieverdeling weten we niet alle losse waarnemingen, alleen het aantal waarnemingen per klasse. Werkwijze:

•Bepaal voor iedere klasse het klasse-gemiddelde •Vermenigvuldig dit gemiddelde met het # waarnemingen in de klasse •Tel de verkregen waarden uit stap 1 en 2 op •Deel ze door het totale aantal waarnemingen •Dit is het rekenkundig gemiddelde bij frequentieverdelingen 11 Rekenkundig gemiddelde, frequentieverdeling (2) 12 Voorbeeld rekenkundig gemiddelde, frequentieverdeling 13 opmerking bij gemiddelde obv frequentieverdeling Door uit te gaan van klassegemiddelden ipv gemiddelde obv afonderlijke waarnemingen verlies je informatie. Daardoor kan het gemiddelde (en ook de spreiding) afwijken van de werkelijke waarde Waarom gebruiken we dan gemiddelden obv frequentieverdeling? -alleen klassen beschikbaar, geen afzonderlijke waarnemingen gevraagd (enquete) -brondata niet te achterhalen (gegevens uit tijdschrift) 14 Mediaan, frequentieverdelingen Mediaan = middelste waarneming na ordenen waarnemingen van laag naar hoog Maar bij frequentieverdeling is middelste waarde niet bekend. Daarom: terugrekenen middelste waarneming. Methoden

•Grafisch: relatieve cumulatieve frequentiecurve, lijn bij y=0,50 tekenen, vervolgens bijbehorend punt op x-as aflezen

•Officiele manier •Snelle manier Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

16

15 Mediaan, grafisch 16 Voorbeeld mediaan frequentieverdeling 17 Voorbeeld mediaan, frequentieverdeling (vervolg) • Officiele manier: Xme = L + (R - 0,5) * B/F L = benedengrens mediale klasse = 160 R = rangnummer mediale klasse = 14 voor de 80e en 15 voor de 81e B = breedte mediale klasse = 10 F = freqentie mediale klasse = 40 80e: 160 + (14 - 0,5) * 10/40 = 163,375 81: 160 + (15 - 0,5) * 10/40 = 163,625 Xme = (163,375+163,625)/2 = 163,50 2. Snelle manier (gaat niet altijd op, waarom niet?): R = 14,5 Xme = 160 + (14,5 - 0,5)*10/40 = 163,50. 18 Modus, frequentieverdeling Modus is de klasse met de hoogste frequentiedichtheid. Dit noemen we de modale klasse. Wat is in het vorige voorbeeld de modale klasse? 19 Verfijnen van de mediaan, kwartielen Mediaan verdeelt frequentieverdeling 50%/50% Kwartielen: Q1 0% - 25% Q2 25% - 50% Q3 50% - 75% Q4 75% - 100% Welk kwartiel is de mediaan? Nog verder verfijnen: Decielen (stappen van 10%) Percentielen (stappen van 1%) 20 Spreiding afzonderlijke waarnemingen 21 Variantie afzonderlijke waarnemingen Gemiddelde kwadratische afwijking van alle waarnemingen tov het rekenkundig gemiddelde n-1 ipv n: aantal vrijheidsgraden 22 Standaarddeviatie afzonderlijke waarnemingen Variantie is spreidingsgrootheid, maar geen goede Spreidingsmaat want verandert kwadratisch. Daarom standaarddeviatie = wortel uit variantie 23 Voorbeeld variantie en sd Tentamencijfers statistiek: 4; 8; 5; 7 Gemiddelde: (4+8+5+7)/4 = 6,0 Variantie (4-6)^2 + (8-6)^2 + (5-6)^2 + (7-6)^2 / 4-1 = 3,333… Standaarddeviatie = ( 3,333 )^0,5 = 1,83 24 Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

17

Variantie frequentieverdeling Klassmidden (mi) minus gemiddelde kwadrateren * frequentie (fi). Sommeren over de klassen en delen door n-1 25 Voorbeeld variantie, sd frequentieverdeling 26 Grafische weergave: simpele boxplot Voorbeeld 2.12 boek (p. 79) 1. Benodigde gegevens: Q1 = 1,18 Q3 = 3,22 Xme 1,93 Xmin 0,50 Xmax 9,16 2. Assenstelsel, op x-as gemeten variabele (uitgaven in €*1000) 3. Maak box van Q1 tm Q3 en zet verticale streep Xme in box 4. Teken horizontale lijnen van Xmin tot box en box tot Xmax 27 Grafische weergave: gewone boxplot Voorbeeld 2.12 boek (p. 79) 1. tm 3. zie simpele boxplot 4. Bereken 1,5*(Q3-Q1), teken lijn tot laagste resp hoogste waarde die nog net binnen dit bereik valt 5. De waarden erbuiten zijn uitbijters, teken deze afzonderlijk in 28 Samengevat: nut boxplot Boxplot geef inzicht in: -Mediaan -Middelste 50% waarnemingen (Q1-Q3), geeft idee van de spreiding -Scheefheid obv ligging mediaan en lengte lijnen -Uitbijters -Bij meerdere groepen kun je vaststellen of significant verschil aanwezig is (later deze module) 29 Grafisch: Boxplot 30 Meetkundig gemiddelde 31 Voorbeeld meetkundig gemiddelde Ontwikkeling aantal studenten economie: Jaar Aantal studenten Jaarlijkse groei 2003 500 2004 600 1,20 2005 750 1,25 2006 900 1,20 Groeifactor over drie jaar: 900/500 = 1,80. Jaarlijkse groeifactor = (1+i), over drie jaar is dit (1+i)^3 We weten dat (1+i)^3 = 1,80 => 1+i = (1,80)^1/3 => i = 21,6%. Uit de definitie: (1,20*1,25*1,20)^(1/3) = 1,216 = meetkundig gem. 32 Voorbeeld harmonisch gemiddelde Van je huis naar AN11 met 50 km/uur (afstand A) Terug dezelfde afstand, maar nu met 100 km/uur. Vraag: Wat is de gemiddelde sneldheid? Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

18

33 Voorbeeld harmonisch gemiddelde (vervolg) Antwoord: Afstand = A. Heenreis = A/50 uur. Terugreis = A/100 uur. Totale reistijd = A/50 + A/100, totale reisafstand is 2A. Totale reistijd is 2A / (A/50+A/100) = 2A /(3A/100) = 2A*100/3A = 200/3 = 66,67 km/uur. ..je rijdt immers twee keer zo lang 50 km/uur als 100 km/uur. 34 Voorbeeld harmonisch gemiddelde Benzineverbruik: In de stad: 1 op 11 Op de snelweg: 1 op 14,5 Op de provinciale weg: 1 op 16 Vraag: Wat is het gemiddelde verbruik bij drie keer afleggen van een even lang traject? Antwoord: 3/ (1/11) + (1/14,5) + (1/16) = ...13,5. 35 Harmonisch gemiddelde 36 Volgende bijeenkomst Enkele opgaven hoofdstuk 2 2.7 + 2.8 bespreken 2plus bespreken 3.1 en 3.2 inleiding kansrekening bespreken Doorlezen voor volgende keer: 2.7/2.8/2plus/3.1/3.2 Maken:opgaven hoofdstuk 2


19

LES 3

Doelstellingen les 3 Aan het slot van deze les kan de student: - de eigenschappen van gemiddelde spreidingsmaatstaven benoemen en toepassen - de relatie tussen twee variabelen aangeven met behulp van regressie en correlatie - een aantal basisbegrippen (volgordeproblematiek, kansdefinities en kansregels) benoemen en aangeven wat het belang van kansrekening is Lesplan les 3 Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

30 min.

Terugkoppeling op de opgaven H 2.1 t/m 6

15 min.

Pauze

65 min.

H 2.7, 8 en + en H 3.1 en 2

5 min.

Werkvorm


in tweetallen verschillen laten zoeken tussen uitkomsten en uitwerkingen


Sheets 2 t/m 20

Opdracht

Sheet 21

Afronding en samenvatting les 3 Huiswerk: - Leren: H 2.7, 8 en + en H 3.1 en 2 - Maken: opgaven H 2.7 en 8 en H 3.1 en 2 en maken de multiple choise vragen bij H 3 - Lezen: H 3.3 en H 3+


20

1 Opzet van de 3e bijeenkomst AN11

•Opgaven hoofdstuk 2 •Theorie + voorbeelden § 2.7, 2+, 3.1 en 3.2 —Gemiddelde en variantie nader bekeken —3e en 4e momenten —Volgordeproblemen —Inleiding kansrekening 2 Rekenkundig gemiddelde Steekproef Populatie 3 Variantie Steekproef Populatie 4 Eigenschappen: lineair Xi wordt nu Xi + A Dus: X1+X2+...+Xn wordt X1+A+X2+A+...Xn+A Xgemoud = ‡”Xi/n Xgemnw = ‡”(Xi+A)/n = (X1+A+X2+A+...Xn+A)/n = (‡”Xi+nA)/n= =Xgemoud + A => als Xi met A stijgt, stijgt Xgemoud ook met A. S2 oud = ‡”(Xi - Xgemoud)2/(n-1). Invullen Xi+A en Xgemnw levert S2 nw = ‡”((Xi+A)-(Xgemoud+A))2/(n-1) = ‡”(Xi-Xgemoud)2/n-1 = S2 oud => Als Xi met A stijgt, blijft S2 hetzelfde. 5 Eigenschappen: multiplicatief Xi wordt aXi Xgemnw = ‡”aXi/n = aX1+aX2+...+aXn/n = a(X1+X2+...+Xn)/n = = a‡”Xi/n = aXgemoud. => als Xi met factor a wordt vermenigvuldigd, wordt Xgemoud ook met factor a vermenigvuldigd. S2 nw = ‡”(aXi-aXgemoud)2/(n-1) = a2‡”(Xi-Xgemoud)2/n-1 = a2*S2 oud ?Als Xi met factor a wordt vermenigvuldigd, dan neemt S2 met factor a2 toe. S wordt dan •ã(a2*S2 oud) = |a|S oud 6 Alternatieve formule voor S2 7 Voorbeeld Xi = 1;1;2;3 Dan Xi2 = 1;1;4;9

8 Variantiecoëfficiënt Standaarddeviatie relateren aan gemiddelde hoogte waarnemingen. V = S / Xgem Hierdoor kun je standaarddeviaties onderling vergelijken. Zie voorbeeld 2.18 boek

9 Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

21

Momenten Verdeling kent 4 momenten: 1e moment = gemiddelde; 2e moment = standaarddeviatie (variantie); 3e moment = scheefheid, toets SP of exces; 4e moment= spitsheid bij 1toppige verdeling = kurtosis 10 Scheefheid 11 Kansrekening Kansrekening of waarschijnlijkheidsrekening: theoretische redenering vormt uitgangspunt. Zonder een experiment uit te voeren weet je op theoretische gronden wat de uitkomst is bij onzekere gebeurtenissen. Later in de module: uitkomsten van experimenten proberen te relateren aan theoretische verdelingen Kansrekening is heel oud (boek Claudius +/- jaar 0). Doel: voorspellen gokuitkomsten (dobbelen) 12 Volgordeproblemen (1) •Permutaties: n! Mogelijkheden (0! = 1 per definitie) Volgorde 1 sollicitant 1 = 1! Volgorde 2 solllicianten 2*1= 2 = 2! Volgorde 5 sollicianten 5*4*3*2*1 = 120 = 5! 13 Volgordeproblemen (2) Variaties: aantal mogelijkheden bij keuze k elementen uit verzameling n elementen Voorbeeld: kies 3 sollicitanten uit groep van 5 5*4*3= 60 mogelijkheden Algemeen: n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1) Voorbeeld: 5*(5-1)*(5-3+1)=5*4*3=60 mogelijkheden Andere notatie: 5! / (5-3)! = 120/2 = 60 mogelijkheden Algemeen: n!/(n-k)! 14 Volgordeproblemen (3) Maar...bij variaties worden paren dubbel geteld (AB <> BA) Als je dit niet wilt: combinaties (AB = BA) 2 uit 5 3 uit 4 AB AC AD AE ABC ABD ACB ACD ADB ADC BA BC BD BE BAC BAD BCA BCD BDA BDC CA CB CD CE CAB CAD CBA CBD CDA CDB DA DB DC DE DAB DAC DBA DBC DCA DCB EA EB EC ED 20 variaties, 10 combinaties 24 variaties, 4 combinaties Formule variaties: n!/(n-k)! Formule combinaties; n!/(n-k)!k! = 15 Volgordeproblemen (5) 2 elementen uit verzameling van n elementen kiezen met teruglegging 1e element: n mogelijkheden 2e element: n mogelijkheden, 1e gekozen element doet weer mee Etc. In totaal n*n mogelijkheden = n2 Bij k elementen nk mogelijkheden Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

22

16 Kansdefinities •Subjectief: gevoelsmatig, subjectief. Soms onvermijdelijk •Laplace: bij gelijkwaardige uitkomsten is de kans op een gebeurtenis gelijk aan # gunstige gevallen (=gebeurtenis doet zich voor)/ totaal # gevallen. Bijvoorbeeld: P(kop) = P(kop)/P(kop of munt) = 1/2 bij een eerlijke munt •Experimeneel; experimentele wet van de grote aantallen “ als je een experiment vaak genoeg herhaalt, dan stabiliseert de relatieve frequentie van een bepaalde gebeurtenis zich” maw deze neemt meer en meer de vorm van de theoretische verdeling aan. De stabiele relatieve frequentie is gelijk aan de kans op de gebeurtenis. Met de experimentele definitie kun je itt Laplace toetsen of sprake is van een gelijkwaardige uitkomst (zuivere munt). Nadeel: soms is experiment niet mogelijk/te duur. •Axiomatisch 17 Axiomatische kansdefitie 18 Optelregels 19 Complementregel Als S uit deel A en deel niet-A bestaat: 20 Voorbeeld rekenregels man vrouw totaal Ac 30 30 60 Hbo 54 36 90 Overig 96 54 150 Totaal 180 120 300 • Loot 1 brief. Kans ac=? • Loot 1 brief. Kans niet-hbo=? • Loot 1 brief. Kans overig en vrouw=? d. Loot 1 brief. Kans overig of vrouw=? 21 Volgende bijeenkomst Paragraaf 3.3 en 3plus bespreken Multiple choice opgaven hoofdstuk 3 maken + Open opgaven 1, 3, 4, 5, 10, 12.


23

LES 4

Doelstellingen les 4 Aan het eind van deze les kan de student: - voorwaardelijke kansen berekenen - een kansboom construeren - de Bayes rule toepassen - een hypergeometrische verdeling uitwerken Lesplan les 4 Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

30 min.

Nabespreking opgaven vorige les

15 min.

Pauze

65 min.

H 3.3 en H 3+

5 min.

Afronding en samenvatting les 4 Huiswerk: - Maken: Opgaven H 3.3 + extra opgaven

Werkvorm



bord/krijt


Sheets 2 t/m 17

Opdracht

Sheet 18 Bijlage 2

- Leren: H 3.3 en H 3+ - Lezen: H 4.1 t/m 4.3


24

1 Programma 4e bijeenkomst Paragraaf 3.3 en 3plus bespreken Multiple choice opgaven hoofdstuk 3 maken + Open opgaven 1, 3, 4, 5, 10, 12. Voorwaardelijke kansen Kansbomen Bayes rule Hypergeometrische verdeling 2 Voorwaardelijke kansen Gebruikmaken van extra informatie over het optreden van een gebeurtenis leidt tot andere kans dan wanneer extra informatie niet gebruikt wordt/niet aanwezig is. Befaamd voorbeeld: quizdeuren (M. Gardner, 1959) Contra-intuitieve uitkomst... Oplossing: omkeer-regel van Bayes toepassen... 3 Definitie 4 Kruistabel 5 Bijzondere gevallen Alle analisten zijn man: 6 Productregel 7 Herhaalde experimenten Met terugleggen: kans gebeurtenis 1e trekking = kans gebeurtenis 2e trekking etc => de experimenten zijn dan onafhankelijk. Bv: vaas met 4 rode en 2 blauwe knikkers, met terugleggen: P(1e trekking=blauw)=2/6. P(2e trekking=blauw|1e trekking blauw)=2/6. P(2e trekking=blauw|1e trekking rood)=2/6. P(1e en 2e trekking=blauw)=2/6*2/6=(2/6)^2. Zonder terugleggen: experimenten afhankelijk. Bv: vaas met 4 rode en 2 blauwe knikkers, zonder terugleggen: P(1e trekking=blauw)=2/6. P(2e trekking=blauw|1e trekking blauw)=1/5. P(2e trekking=blauw|1e trekking rood)=2/5. P(1e en 2e trekking=blauw)=2/6*1/5. 8 Bayes rule Uit gebeurtenissen A en B, met P(A)>0 en P(B)>0 volgen 9 Toepassing Bayes rule (1) Stel je weet P(vrouw|analist)=0,5 P(vrouw)=0,4 en P(analist)=0,2 Dan volgt uit Bayes rule dat P(analist|vrouw)=P(vrouw|analist)*P(analist) / P(vrouw)= = 0,5*0,2/0,4 = 0,25. 10 Toepassing Bayes rule (2) Secretaresse A typt 30 brieven, kans typefout in brief = 0,10. Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

25

Secretaresse B typt 20 brieven, kans typefout in brief = 0,05. Een willekeurige brief bevat een typefout. Wat is de kans dat deze brief door secretaresse A getypt is? Informatie die je hebt: kans brief door A getypt = P(A)= 30/50 kans brief door B getypt = P(B) = 20/50 P(fout|brief van A) = 0,10 P(fout|brief van B) = 0,05 Dan P(brief van A|fout) = P(fout|brief van A)*P(A)/P(fout)=0,1*0,6/P(fout). Maar wat is P(fout)? = P(fout|A)*P(A) + P(fout|B)*P(B) = 0,08. Dus P(brief van A|fout) = 0,06/0,08=0,75. 11 Toepassing Bayes rule (3) Maar wat is P(fout)? Dit kun je afleiden uit een kruistabel: Ook zonder tabel kun je dit beredeneren: P(fout)= P(fout ? brief van A) + P(fout ? brief van B) = P(fout|brief van A)*P(brief van A) + P(fout|brief van B)*P(brief van B) = 0,1*0,6 + 0,05*0,4 = 0,08 Hieruit volgt dat je Bayes regel ook kunt schrijven als (algemene vorm): 12 Testparadox

13Voorbeeld p. 122, met kansbomen 14 Quizdeurenprobleem, met kansbomen 15 Hypergeometrische verdeling (1) Experiment zonder terugleggen N elementen M elementen hebben eigenschap A N-M elementen hebben niet eigenschap A Kies 1 element: P(A) = M/N Kies 2 elementen: P(beide A)? = # gunstige 2tallen/# mogelijke 2tallen # mogelijke 2tallen = # combinaties = # gunstige 2tallen= 16 Hypergeometrische verdeling (2) Algemeen: trek n elementen uit verzameling met N elementen. Wat is de kans dat k elementen eigenschap A hebben en n-k elementen niet? 17 Hypergeometrische verdeling, voorbeeld N = pensioenopgaven voor een klant = 10 M = correcte opgaven = 6 N-M = foute opgaven = 10-6=4 Trek steekproef n=3 uit totaal van 10 pensioenopgaven. 18 Volgende bijeenkomst 4.1 t/m 4.3 Opgaven hoofdstuk 3 + extra opgaven: worden gemaild.


26

Bijlage 2 Opgave 1 (examen januari 2005, opgave 2) Uit onderzoek blijkt dan 10% van de automobilisten dronken achter het stuur zit. Bij het uitvoeren van blaastesten heft men geconcludeerd dat in 90% van de gevallen de blaastest de juiste diagnose geeft. a. bereken de kans dat uit de blaastest blijkt dat iemand heft gedronken, gegeven dat deze persoon ook daadwerkelijk heeft gedronken. b. Bereken de kans dat deze toets uitwijst dat iemand niet heeft gedronken. c. Stel dat de blaastest uitwijst dat iemand heeft gedronken. Wat is dan de kans dat deze persoon niet gedronken heeft? Opgave 2 (examen januari 2005, opgave 4e) Uit een groep van 4 meisjes en 9 jongens worden door loting 5 personen aangewezen voor een corveetaak. Wat is de kans dat precies de helft van alle meisjes in de corveeploeg terecht komt. Geeft uw antwoord in vier decimalen nauwkeurig. Opgave 3 (examen juni 2005, opgave 1) Beschouw de volgende twee gebeurtenissen: 1. Pieter gooit twee keer met een dobbelsteen 2. Indien hij twee keer oneven gooit moet hij 3 knikkers zonder terugleggen uit een vaas pakken, en anders moet hij 2 knikkers zonder terugleggen uit een vaas pakken. De vaas bevat 12 rode knikkers en 8 witte knikkers. a. Bereken de kans dat Pieter 3 knikkers uit de vaas moet pakken. b. Bereken de kans dat Pieter precies 2 witte knikkers uit de vaas heeft gepakt onder de voorwaarde dat hij met de dobbelsteen een 1 en een 4 heeft gegooid. c. Bereken de kans dat Pieter precies 2 witte knikkers uit de vaas pakt. Opgave 4 (examen januari 2006, opgave 1c) In een vaas zitten 16 blauwe knikkers en 8 rode knikkers. Op 25% van de blauwe knikkers en op 75% van de rode knikkers staat de letter A. Kees pakt achtereenvolgens 6 knikkers uit de vaas. Bereken in 5 decimalen nauwkeurig de kans dat hij 5 rode knikkers en 1 blauwe knikker pakt waarbij 4 van de 6 knikkers de letter A bevatten. Opgave 5 Volgens ambtenaren van de belastingdienst geldt voor mensen die verplicht zijn een formulier voor de inkomstenbelasting in te leveren het volgende: 70% levert het formulier op tijd in 40% vult het formulier niet volledig in 30% van de ingeleverde formulieren bevat fouten 20% wordt op tijd ingeleverd en bevat fouten 10% wordt op tijd ingeleverd, bevat fouten en is niet volledig ingevuld 5% wordt niet op tijd ingeleverd, is niet volledig ingevuld en bevat fouten Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

27

15% wordt niet op tijd ingeleverd, is niet volledig ingevuld en bevat geen fouten Beschouw een willekeurige belastingplichtige. Wat is de kans dat: a. zijn formulier op tijd is ingeleverd, volledig is ingevuld en fouten bevat. b. Zijn formulier op tijd is ingeleverd, volledig is ingevuld en geen fouten bevat. c. Zijn formulier niet op tijd is ingeleverd, volledig is ingevuld en geen fouten bevat. Opgave 6: De markt voor DVD recorders is in handen van drie producenten A, B en C. Het marktaandeel van A is 20%, van B 30%. Het blijkt dat 80% van de bezitters van een DVD recorder van A tevreden is. Voor B is dit 75% en voor C is dit 70%. Hoe groot is de kans dat een willekeurige bezitter van een DVD recorder tevreden is met zijn aankoop? Opgave 7: Een studentenhuis heeft 256 inwoners., waaronder 66 mannen. Van de mannen is 50% jonger dan 25 jaar, van de vrouwen 30%. Alle inwoners nemen deel aan een loterij, die precies 1 winnaar oplevert. Bereken de kans dat de winnaar een man is, als gegeven is dat de winnaar jonger is dan 25 jaar. Opgave 8: Een ondernemer moet een besluit nemen over een investering in een bepaald project. Op basis van zijn ervaring gaat hij ervan uit dat hij, indien hij investeert, in het eerste jaar maximaal 50.000 Euro verliest en maximaal 100.000 Euro winst maakt. Voor een nader onderzoek van de winst- en verliesontwikkeling definieert hij de volgende gebeurtenissen: Ai = i*10.000 winst, i = 0,1,2, …, 10. Bi = j*10.000 verlies, j = 1,2,3,4,5. De ondernemer kent aan deze gebeurtenissen de volgende kansen toe. P(A0) = 0,10 en P(Ai) = 0,05 voor i = 1,2,3,…,10. P(B1)=0,20 en P(Bj)=0,05 voor j= 2,3,4,5. a. Wat is de kans dat de ondernemer in het eerste jaar geen verlies heeft? b. Wat is de kans dat de ondernemer in het eerste jaar hoogstens 50.000 Euro zal winnen of verliezen? c. Waarom zou de ondernemer niet investeren op grond van de gegeven informatie? d. Waarom zou de ondernemer wel investeren op grond van de gegeven informatie? Bron: Opgaven 1 t/m 4 zijn afkomstig uit oude examens Opgaven 5 t/m 8 zijn afkomstig uit het boek van Janssens en Nieuwenhuis “Opgaven bij statistiek in de economie”.


28

Les 5 Doelstellingen les 5 Aan het eind van deze les kan de student: - een goede inschatting maken van zijn/haar situatie naar het examen op detot dan bestudeerde stof Lesplan les 5

Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

50 min

Nabespreking examenopgaven

Werkvorm

in tweetallen vergelijke en plenair

Hulpmiddelen

Bord/krijt

verschillen

bespreken 15 min.

Pauze

45 min.

Nabespreking vervolg

5 min.


Opdracht

- Lezen: H 4.1 t/m 4.3


29

LES 6

Doelstellingen les 6 Aan het eind van deze les kan de student: - het onderscheid uitleggen tussen discrete en continue variabelen - de begrippen kansfunctie en verdelingsfunctie in verband met discrete variabelen toelichten - de definitie geven van de marginale kansverdeling Lesplan les 6 Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

40 min..

H 4.1

15 min.

Pauze

45 min.

H 4.2 en H 4+.1

5 min.

Afronding en samenvatting Huiswerk:

Werkvorm

Hulpmiddelen

college

college

Opdracht

- Leren: H 4.1 en 2 en H 4+.1 - Maken: opgaven bij H 4.1 en 2 en H 4+.1 - Lezen: H 4.3 t/m 5 en H 4+.2


30

LES 7

Doelstellingen les 7 Aan het eind van deze les kan de student: - de begrippen verwachting en variantie in verband met discrete variabelen toelichten - de begrippen kansfunctie, verdelingsfunctie, verwachting en variantie in verband met continue variabelen toelichten - de ongelijkheid van Chebychev toelichten

Lesplan les 7 Tijd 25 min.

Onderw erp Opening en terugblik op lessen

Werkvorm opleidingsleergesprek

Hulpmiddelen bord/krijt

1 t/m 6 25 min.

Huiswerkopgaven nabespreken

Groep laten kiezen en invullen

15 min.

Pauze

50 min.

H 4.3 t/m 4.5 en H 4+.2

5 min.


college

sheets 1 t/m 16

Opdracht

- Leren: H 4.3 t/m 5 en H 4+.2 - Maken: opgaven 1, 2, 15, 19, 21, 27, 28 en meerkeuze vrage 5, 7 en 12 - Lezen: H 5.1 t/m 3


31

1 KANSREKENING & STATISTIEK 1 College 7 Verwachtingswaarde en variantie 2 Verwachtingswaarde en variantie De kansfunctie en de verdelingsfunctie beschrijven het gedrag van een variabele. Maar kunnen we iets voorspellen of verwachten van die variabele §4.3.1 verwachtingswaarde Wat is de gemiddelde uitkomst van een groot aantal experimenten. E(k) = ÓkP(k = k) 3 Verwachtingswaarde is te beschouwen als een gewogen gemiddelde van alle uitkomsten. Voorbeeld 4 Verwachtingswaarde = ? Wat is de betekenis? 4.3.2.Variantie Een maatstaf voor de mate waarin de mogelijke uitkomsten kunnen afwijken van de verwachtingswaarde. Variantie: gewogen gemiddelde van kwadratische afwijkingen ten opzichte van de verwachtingswaarde. 5 Var(k)=Ó(k-E(k))2P( k=k) of formeler Var(k) = E( k – ì)2 Bereken de variantie uit het voorbeeld. Variantie = ? Wat is de betekenis? Variantie is moeilijk te interpreteren. Standaarddeviatie is hiervoor meer geschikt. 6 Standaarddeviatie = ók = •ãVar(k) Var(k) = E( k2) – E2(k) Toepassing: De Petersburg-paradox 4.4 Eigenschappen van verwachtingswaarde en variantie Lineaire transformatie: m = ák + A Voorspel wat er met de verwachtingswaarde en de variantie gebeurt! 7 Terug naar het voorbeeld. Elke dag kost standaard € 500,-. Elke zieke kost per dag € 1500,-. Voorspel de verwachtingswaarde en de variantie. m = 1500*k + 500 E(m) = € 2.300,Var(m) = 2.610.000 8 Algemeen geldt: E(m) = áE(k) + A Var(m) = á2Var(k) dus óm = |á|ók 4.5 Optelling van variabelen Twee bedrijven fuseren. Bedrijf 1: k1 Bedrijf 2: k2 Wat gebeurt er met de verwachtingswaarde en de variantie van het gefuseerde bedrijf? Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

32

9 Algemeen geldt: ksom = k1 + k2 E(ksom) = E( k1) + E( k2) Var(ksom) = Var(k1) + Var(k2) ksom = k1 - k2 E(ksom) = E( k1) - E(k2) Var(ksom) = Var(k1) + Var(k2) Zie ook opgave 4.15 10 4.6 Continue kansvariabelen Bij een discrete kansverdeling is er sprake van een eindig aantal mogelijke uitkomsten. Bij een continue verdeling is er sprake van een oneindig aantal mogelijke uitkoms ten. Bij een continue verdeling wordt de kansdichtheid bepaald door de oppervlakte, zie ook college van vorige les. 11 VERDELINGSFUNCTIE (CONTINU) 12 KANSDICHTHEID (CONTINU)

? Kansfunctie p(x) bestaat niet! ? Wel bestaat: kansdichtheid f(x) zo, dat 13 KANSDICHTHEID 14 Uniforme of rechthoekige verdeling: f(x) = 1/(a-b) voor a¡Âx¡Âb Zie afbeelding 4.5 F(x) = P( x¡Âx) = 1/(b-a) * (x-a) F(x) = 0 voor x < a F(x) = (x-a)/(b-a) voor a¡Âx¡Âb F(x) = 1 voor x > b 15 Verwachtingswaarde en variantie van continue verdelingen E(x) = (a+b)/2 Var(x) = 1/12 (b-a)2 Algemeen: E(x) = •çxf(x)dx Var(x) = •ç(x-E(x))2f(x)dx = E( x2)-(E( x))2 16 Ongelijkheid van Chebychev

?Afschattingsmethode ?Gegeven E( x) en Var(x)


33

LES 8

Doelstellingen les 8 Aan het eind van les 8 kan de student: - kansen berekenen met de normale verdeling - werken met de kanstabel van de standaardnormale verdeling - berekeningen uitvoeren voor de normale verdeling Lesplan les 8 Tijd 5 min.

Onderwerp

Werkvorm

Hulpmiddelen

Opening (korte terugblik op vorige les)

40 min.

Opgaven vorige les

15 min.

Pauze

55 min.

H 5.1 t/m 3

5 min.

Afronding en samenvatting Huiswerk: - Leren: H 5.1 t/ 3


bord/krijt

college

Sheets 1 t/m 12

Opdracht Examenopgaven

- Maken: meerkeuzeopgaven 1, 3, 5,

vooraf selecteren

7, 9 en 11

en

opgaven H 5.1 t/m 3

per

mail

teosturen

examenopgaven - Lezen: H 5.4 t/m 6


34

1 KANSREKENING & STATISTIEK 1 College 8 Normale verdeling 2 §5.1 Standaardnormale verdeling Meest gebruikte kansverdeling

–herhalingen –natuurverschijnselen Krachtig instrument: centrale limietstelling Normale verdeling beschrijft het gedrag van een continue variabele 3 Grafiek van de normale verdeling Wat zijn de eigenschappen van deze grafiek?

•Symmetrisch •Ééntoppig •Gemiddelde, mediaan, modus? •Oppervlakte? 4 Waardoor wordt de vorm van de grafiek bepaald? ? (gemiddelde) en ? (sd) Wat gebeurt er met de grafiek als je ? en ? verandert? Standaardnormale verdeling: ? =0 en ? =1 z~N(0,1) 5 Hoe kun je nu met deze grafiek kansen berekenen? Dichtheidsfunctie: Maar je kunt ook gebruik maken van de eigenschappen van de grafiek en de tabel op pagina 454. 6 z: vermogen van een verzekeringsmaatschappij z~N(0,1) P(z>0) = P( z<0) = 0,5000 Voorbeelden:

•P(z>0,78) = •P(z<-0,45) = •P(0a) = 0,25 §5.2 Willekeurige normale verdeling Wat als ? ? 0 en ? ? 1? Je hebt maar 1 tabel dus je gaat een willekeurige verdeling herleiden tot een standaard normale verdeling. 8 Stel ? =1000 en ? =100 (x~N(1000,100)) Wat gebeurt er met de grafiek? Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

35

•We verschuiven het midden van 1000 naar 0: y = x – 1000 •Daarna delen we de grafiek door 100 z = (x – 1000)/100


36

9 ‘z-waarde’: Bereken nu:

•P(x>1100) = •P(x<950) = •P(800<x<1100) = 10 §5.3 Optellen van variabelen Voorbeeld: Één pak suiker (x~N(1000,10)) En nu 25 pakken suiker? De som van een aantal normaalverdeelde variabelen is zelf weer een normale verdeling. 11 Algemeen: Voor xsom geldt:

E(xsom) = n? var(xsom) = n? 2 dus dus sd (xsom) = ? ? n

Voorbeeld: Bepaal de kans dat 25 pakken suiker samen meer dan 25100 gram wegen? 12 Steekproefgemiddelde Wortel-n-wet Bepaal de kans dat 25 pakken suiker gemiddeld minder wegen dan 1003 gram?


37

LES 9

Doelstellingen les 9 Aan het eind van deze les kan de student: - de functie van de centrale limietstelling verklaren en toelichten - aangeven hoe het passingsprobleem opgelost wordt Lesplan les 9 Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

45 min.

Nabespreking huiswerk en gemailde

Werkvorm

Hulpmiddelen


examenopgaven 15 min.

Pauze

50 min.

H 5.3 t/m H 5.6

5 min.

college

Sheets 1 t/m 7

en demonstratie (5.6)

Laptop met exel

Afronding en samenvatting les 9 Huiswerk: - Leren: H 5.3 t/m 6

opdracht

- Maken: meerkeuzevraag 12 en open vragen 15, 20, 21, 24 en 25, examenopgaven 1-2004 nr 4 en 12005 nr 3 - Lezen: H 6


38

1 KANSREKENING & STATISTIEK 1 College 9 Normale verdeling (vervolg) 2 §5.4 De praktijk Is er wel sprake van een normale verdeling? Hoofdstuk 10 geeft toetsingsprocedures. Toets: vergelijk de frequentieverdeling van een waarneming met de normale verdeling Wat zijn de waarden van ? en ? ? Hoofdstuk 8 bespreekt schattingsmethoden. 3 5.4.2 Hoe ronden we af? x is lengte van de gemiddelde dienstplichtige. x~N(178,12) Wat is de kans dat iemand langer is dan 180 cm? P(x>179,50) = P( z>(179,50-178)/12) = P( z>0,125)=0,45025 4 Centrale limietstelling: Stel dat de kansvariabelen x1, x2,…, xn een serie onderling onafhankelijk identiek verdeelde kansvariabelen vormen. Voor elk van deze kansvariabelen geldt: E(x1) = ? Var(x1) = ? 2 De verdeling voor nadert tot de standaardnormale verdeling voor n? ? 5 Voorbeeld: 100 verzekerden Aantal schadeclaims kans 0 0,70 1 0,20 2 0,05 3 0,05 Dan geldt dus: E( k ) = 0,45 en sdx = 0,8046 Hoe groot is de kans dat deze 100 verzekerden meer dan 30 schades hebben? 6 §5.5 Passingsprobleem v=x-y v is het verschil tussen 2 normaal verdeelde variabelen E(v) = E( x) – E(y) en Var(v) = Var(x) + Var(-y) = Var(x) + (-1)2Var(-y) Dus sdv = ? (sdx2 + sdy2) v is ook weer normaal verdeeld. 7 Voorbeeld x: betaalde premie, y: uitgekeerde schade x~N(400,40) y~N(300,30) Wat is de kans dat de betaalde premie lager is dan de uitgekeerde schade? v =x -y P(v<0) = ?


39

LES 10

Doelstellingen les 10 Aan het eind van deze les kan de student: - de binomiale kansverdeling toepassen Lesplan les 10 Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

30 min.

nabespreking huiswerk

15 min.

Pauze

65 min.

H6

Werkvorm

Hulpmiddelen

Alleen verzoeknummers

bord/krijt

college en demonstratie

Sheets 1 t/m 15 laptop met exel

5 min.


Opdracht

- Leren: H 6 - Maken: Meerkeuze vragen 3, 6, 7 en 12 en open vragen 1 en 9 en examenopgaven 6-2005 nr's 4 en 5 - Lezen: H 7


40

1 KANSREKENING & STATISTIEK 1 College 10 Binomiale verdeling 2 Situatieschets Een verzekeringsmaatschappij heeft 1000 polishouders. De kans dat een polishouder tenminste ? n schade per jaar heeft is 20%. Wat is de kans dat er in ? n jaar 225 of meer polishouders ? n of meerdere schades claimen? Dit is een voorbeeld van een binomiale kansverdeling. 3 Kenmerken van een binomiale kansverdeling:

•discreet •aantal successen •n herhalingen •? = succeskans Voorbeeld: n=5, ? = 0,2 Maak een kansverdeling

k ~ bin(n, ? )

4 tabel

De sheets 5 t/m 15 werken het voorbeeld nader uit


41

LES 11

Doelstellingen les 11 Aan het eind van deze les kan de student: - de poissonverdeling toelichten en toepassen Lesplan les 11 Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

40 min.

Nabespreking opgaven

Werkvorm

Hulpmiddelen

in groepen verschillen in uitkomsten laten vinden en verklaren

15 min.

Pauze

55 min.

H7



5 min.


Opdracht

- Leren: H 7 - Maken: meerkeuzevragen 1, 2, 5, 9, 10, 11 en open vragen 13, 19 en examenopgave 1-2004 nr 3 - Lezen: H 8


42

1 KANSREKENING & STATISTIEK 1 College 11 Poissonverdeling 2 Voorbeeld Verzekeringsmaatschappij geeft bij elke verwachte thuisbevalling een kraampakket. Per maand: 240 thuisbevallingen Wat is de kans dat er meer dan 250 pakketten in een maand nodig zijn? Net als binomiale verdeling: tellen van successen binnen een bepaalde tijdsperiode 3 Voorbeelden:

•Aantal klanten per uur bij een postkantoor •Aantal bezoekers per dag aan de efteling •Gemelde schades per dag •Aantal arrestanten per nacht Stel bij een postkantoor komen per 12 min. gemiddeld volgens een poissonproces 1 klant binnen. k = aantal klanten per uur k ~ Poisson(? =5) De sheets 4 t/m 12 werken dezevoorbeelden verder uit


43

LES 12

Doelstellingen les 12 Aan het eind van deze les kan de student: - schattingsproblemen oplossen Lesplan les 12 Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

20 min.

nabespreking huiswerk

30

H 8.1 t/m 4

15 min.

Pauze

45 min.

TerugblikH 4+.1 en behandeling H

Werkvorm

college

Hulpmiddelen

Sheets 1 t/m 12


13.1 t/m 2.2 5 min.


Opdracht

- Leren: H 8.1 t/m 4 en H 13.1 t/m 2.2 - Maken: meerkeuzevragen 2, 3, 10 en open vragen 4, 5, 7 en 10 en examenopgave 1-2005 nr 5 - Lezen: H 8


44

1 KANSREKENING & STATISTIEK 1 College 12 Schatten (HS 8.1 – 8.4)

2 Voorbeeld Gegeven het schadebedrag per jaar van een groep verzekerden. Steekproef: 12 verzekerden (in euro) 210 135 245 455 345 85 40 320 175 165 305 280 Is een reservering van € 450 per verzekerde voldoende? 3 8.1 Algemene karakteristieken Beschikbare waarneming - achteraf •¨ beschrijvende statistiek - vooraf •¨ kansrekening welke uitkomst zou kunnen verschijnen Praktijk: We bestuderen een variabele a.d.h.v. steekproef •¨ conclusies populatie 4 Schattingsprobleem: bepalen van een onbekende parameter van de kansverdeling van een kansvariabele Toetsen: we controleren a.d.h.v. een experiment of een hypothese aanvaadbaar is. Steekproef - Welke variabele - Welke manier Doelpopulatie, steekproefkader, steekproef, waargenomen uitkomsten 5 Schatters steekproefgrootheden We verwachten: en s zeggen iets over µ en ó. Schatter: formule waarmee je een onbekende parameter schat 6 Eisen o.a. zuiverheid Een schatter is zuiver: E(schatter) = parameter is een zuivere schatter van µ van een normale verdeling Intervalschatting In welk gebied ligt waarschijnlijk de onbekende parameter. - schattingsinterval - betrouwbaarheidsinterval 7 8.2 Betrouwbaarheidsinterval voor µ bij gegeven ó. Normale verdeling, ó bekend z hangt af van de gekozen betrouwbaarheid 95% •¨ z = 1,96 99% •¨ z = 2,58 Voorbeeld n = 12 = 230 ó = 100 95%-betrouwbaarheidsinterval 8 8.3 Betrouwbaarheidsintervallen fractie Voorbeeld 500.000 polishouders steekproef: n = 400 •¨ 180 schade succes = schade Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

45

p = 180/400 = 0,45 Betrouwbaarheidsinterval voor fracties = welke waarden van ð kunnen leiden tot waarneming p?

9 Aantal successen k bij een steekproef met omvang n: E(k) = nð Var(k) = nð(1-ð) Voor p = k/n geldt: E(p) = nð/n = ð Var(p) = nð(1-ð)/n2 = ð(1-ð)/n 10

•n klein, n<20 M.b.v. tabellen binomiale verdeling Resultaat: ruwe (onbruikbare) intervallen

•n middelgroot, n¡Ã20 en n<200 Normale benadering VB n = 100, p = 0,45 95%-betrouwbaardheidsinterval 11 III. n¡Ã200, n is groot VB n = 400 p = 0,45 95%-betrouwbaarheidsinterval Wat betekent dat voor de hele populatie? 8.4 Poissonverdeling (# registraties ¡Ã 50) ksom= optelling van een aantal perioden µsom= onbekende verwachtingswaarde µl + z•ãµl = k en µr - z•ãµr = k 12 Voorbeeld Aantal schadegevallen per dag: 10 8 5 12 17 9 10 8 5 13 95%-betrouwbaarheidsinterval


46

LES 13: BEHANDELING

Doelstellingen les 13 Gelijk aan die voor les 12 Lesplan les 13 Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

40 min.

Terugblik op de huiswerkopgaven

15 min.

Pauze

55 min.

H 8.5 t/m 8

Werkvorm

Hulpmiddelen

vragenronde

Bord/krijt



5 min.


Opdracht

- Leren: H 8 - Maken: meerkeuzevragen 6, 7, 11, 12 en open vragen 11, 13 en 17 - Lezen: H 9


47

1 KANSREKENING & STATISTIEK 1 College 13 Schatten (vervolg) 2 §8.5 Steekproefomvang (normale verdeling) Breedte van een interval hangt af van:

•gekozen betrouwbaarheid •steekproefomvang •standaarddeviatie van steekproefgemiddelde Nauwkeurigheid 3 Stel, we willen ? bepalen met een maximaal toegestane afwijking a. Dan moet gelden: Voor de steekproefomvang n vinden we dan: Voorbeeld: opgave 8.5 b 4 Steekproefomvang bij fracties Bij voldoende grote n (n>=200) ontstaat het volgende betrouwbaarheidsinterval: We vinden dus: Dus: 5 Er staan 2 onbekenden in de voorgaande formule: n en p Hoe kunnen we n berekenen?

•? is bekend op grond van voorgaande/bekende gegevens. We vullen ? in voor p. •We weten niets van ? . ? kan alle waarden aannemen tussen 0 en 1 dus ook ? (1-? ) kan allerlei waarden aannemen. Max. (? (1-? )) = 0,25 6 0,25 vullen we in in Dit levert: Voorbeeld: We willen een 98%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie SP-stemmers geven met een nauwkeurigheid van 1%. Hoe groot moet de steekproefomvang zijn. {Bij vorige verkiezingen: ? = 0,1667} 7 §8.7 Schatten van de variantie We willen een schattingsinterval berekenen voor ? waarbij zowel ? en ? onbekend zijn. We gaan op grond van een steekproef eerst een schatting maken ? 2. We doen een steekproef. We berekenen Daarna: 8 s2 is een zuivere schatter voor ? 2 s2 is een puntschatter Voorbeeld: Aantal schadebedragen per dag

•

8 5 12 17 9 10 8 5 13 Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

48

= 9,7 s2 = 13,344 Geschatte standaarddeviatie is dus 3,653 9 Let op: s en s2 zijn maten van spreiding voor individuele uitkomsten van x. De standaarddeviatie van het steekproefgemiddelde wordt berekend als §8.8 De t-verdeling We gaan een schattingsinterval bepalen voor ? bij een normale verdeling met onbekende ? en ? . Bij het aangeven van het betrouwbaarheidsinterval hebben we dus een extra element van onzekerheid.

10 t-verdeling: lijkt sterk op de normale verdeling maar is net iets breder. waarin Verschil met gestandaardiseerde normale verdeling: normale verdeling werkt met een exacte ? , tverdeling werkt met een geschatte ? . 11 Betrouwbaarheidsinterval voor ? met onbekende standaarddeviatie t-verdeling: v = n-1, aantal vrijheidsgraden Vervolg voorbeeld 98%-betrouwbaarheidsinterval 12 Steekproefomvang bij t-verdeling Werkt de formule

nog?

Wanneer t-verdeling?

?Norm. verd. + bekende std: tabel voor normale verdeling

?Norm. verd. + onbekende std: t-verdeling bij n<=30 normale tabel bij n>3

?Willekeurige verdeling + onbekende std zie 2.


49

LES 14

Doelstellingen les 14 Aan het eind van deze les kan de student: - toelichten hoe het toetsen van hypothesen in z'n werk gaat - aangeven welke fouten veelvuldig gemaakt worden bij het toetsen en hoe deze te vermijden zijn - zelf hypothesen toetsen Lesplan les 14 Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

30 min.

afronding hoofdstuk Schatten en

Werkvorm

Hulpmiddelen


vragenronde 15 min.

Pauze

65 min.

H9

college en demonstratoe


5 min.


Opdracht

- Leren: H 9 - Maken: meerkeuze vragen 1 t/m 12 en open vragen 2, 5, 6, 12, 13, 22 Zelf formuleren van een aantal vragen over de gehele leerstof van de module - Lezen: leerstof module


50

1 KANSREKENING & STATISTIEK 1 College 14 Toetsen 2 Voorbeeld Een ziekenhuis heeft een wachtlijst voor knie-operaties. In het verleden was de wachttijd gemiddeld 50 dagen. Door allerlei maatregelen is deze wachttijd korter geworden. Uit eigen onderzoek bleek:gemiddelde wachttijd 39 dagen met een ? van 15 dagen. Het ministerie gelooft dat niet. Uit hun onderzoek onder 50 patiënten blijkt: gemiddelde wachttijd is 45 dagen. “Zie je wel! Er klopt niets van!” 3 6 stappen

•Definieer H0 en H1 Je doet vooraf een uitspraak: de nulhypothese. Je neemt een steekproef en op basis hiervan neem je een beslissing. Je verwerpt of handhaaft de nul-hypothese. Eenzijdig of tweezijdig Samengesteld 4 Voorbeeld: H0: ? = 39 dagen, H1: ? ? 39 dagen (of H0: ? ? 39 dagen, H1: ? > 39 dagen)

•Kies een waarde voor ? Je maakt een voorspellingsinterval. De kans waarvoor deze wordt opgesteld is (1-? ). De toetsingsgrootheid zal dus met (1-? ) kans een waarde aannemen in het voorspellingsinterval. Meestal kiezen we (1-? ) = 0,95 of 0,99. Let op verschil tussen een- en tweezijdig. 5 Voorbeeld ? = 0,05

•Met welke toetsingsgrootheid wordt gewerkt en kies een steekproefgrootte. Toetsingsgrootheden: steekproefgemiddelde of steekproeffractie Steekproefgrootte: Ligt soms vast, soms kun je nog kiezen Voorbeeld: steekproefgemiddelde (wachttijd) en n = 50 6 Bereken het kritieke gebied Z. De verzameling uitkomsten die leidt tot het verwerpen van H0, noemen we het kritieke gebied. De overige uitkomsten noemen we het acceptatiegebied. Voorbeeld H0: ? = 39 dagen, n = 50, ? = 0,05, ? = 15 39? 1,96*(15/? 50) => Z ={x|x<34,84 of x>43,16 7 Bepaal de uitkomst van de toetsingsgrootheid. Ligt de gevonden waarde in Z -> H0 verwerpen. Anders H0 handhaven. Voorbeeld Toetsingsgrootheid: 45 dagen. Deze uitkomst ligt in het kritieke gebied dus H0 wordt verworpen. 6. Geef een formulering van de conclusie 8 Voorbeeld Met een betrouwbaarheid van 95%, kunnen we concluderen dat de nieuwe gemiddelde wachttijd voor knie-operaties niet op 39 dagen ligt. Nog meer voorbeelden: Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

51

•Binomiale verdeling (n groot) •Binomiale verdeling (n klein) •Normale verdeling •Poisson-verdeling 9 Voorbeeld A Wel of geen rechtsbijstandverzekering. n = 100, 35 maal wel

? = 0,05

H0: ? ? 0,5, H1: ? <0,5 Voorbeeld B n = 20, ? = 0,05, H0: ? ? 0,20, H1: ? <0,20 Steekproef levert: 6 maal wel 10 Voorbeeld C Reistijd {vroeger gem. 90 min., ? = 15 min.} Is er iets veranderd? n = 25 levert gem. 83 min. H0: ? = 90, H1: ? ? 90

? = 0,05

Voorbeeld D Hoe doeltreffend is een geneesmiddel? Fabrikant zegt: tenminste 99% 11 n = 200, 6 patiënten geen succes ? = 0,01 H0: ? ? 0,01 H1: ? >0,01 Twee alternatieven

•Relatie met schatten •Toetsen met overschrijdingskansen Relatie met schatten Vb: 45 dagen? ? = 15 dagen n= 50 95% dus z= 1,96 12 95%-betrouwbaarheidsinterval

? = 45 ? 1,96*(15/? 50) -> 40,84< ? <49,16 39 ligt niet in dit interval dus we verwerpen H0 of enkelzijdig: 45 – 1,645*(15/? 50) = 41,51 dus ? >41,51 dus we verwerpen H0 13 Toetsen met overschrijdingskansen We veronderstellen dat H0 juist is en maken van de nulhypothese een kansverdeling. Voorbeeld C ~ N(90,3) (83 – 90)/3 = -2,33, tabel voor normale verdeling levert: 0,0099

? = 0,05 -> beide kanten dus 0,025. 0,0099<0,025 dus we verwerpen H0 14 Toetsen met t-verdeling We moeten t* vergelijken met tc uit de tabel. Als t* > tc dan verwerpen we de nulhypothese. Docentenhandleiding AN 11 -----------------------------------1e druk: september 2007

52

Voorbeeld Opnieuw een ziekenhuisonderzoek. 10 patiënten met een gemiddelde wachttijd van 43 dagen en een s van 13 dagen. 15 s/(? n)=4,11 t* = (43 – 39)/4,11 = 0,9732 v = 9 en ? = 0,05: uit tabel volgt: t = 1,833 dus we verwerpen de nulhypothese niet. Opgaven voor de volgende keer: HS 9: m1 t/m m12 2, 5, 6, 12, 13 en 22 Examen juni 2004 Fijne feestdagen en succes met het examen!


53

LES 15

Doelstellingen les 15 De studenten een duidelijk inzicht geven in de eventuele lacunes in hun kennis en vaardigheid t.a.v. de leerstof van deze module Lesplan les 15 Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

20 min.

huiswerkopdrachten n.a.v. H 9

15 min.

Pauze

75 min.

Gehele leerstof

Werkvorm

Hulpmiddelen

Opleidingsleergesprek

Studenten presenteren hun

vragen

aan

bord/krijt

de

overige studenten en begeleiden

zelf

de

beantw oording 5 min.

Afronding en samenvatting Huiswerk:

Opdracht (vooraf een

- Leren: gehele module

aantal

- Maken: tentamenopgaven

examenniveau

opgaven

op

selecteren en aan het slot van de les uitreiken)


54

LES 16: EXAMENVOORBEREIDING

Tijd

Onderwerp

5 min.

Opening

25 min.

Behandeling vragen over

Werkvorm

Hulpmiddelen

Opleidingsleergesprek

Bord/krijt

Docerend

Bord/krijt

Vragenronde

Bord/krijt

inhoud syllabus 15 min.

Examinering - Hoe werkt deze examencommisie - vraagsamenstelling - invalshoeken

15 min.

Pauze

40 min.

Inhoudelijke examentraining

Afgelopen examen 15 min.

Enquête

5 min.

Afronding


Invullen door deelnemers

Enquêteformulieren

55

KANSREKENING & STATISTIEK

Recommend Documents