Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran
January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
IDENTITAS MAHASISWA
NAMA
: ………………………………………………
KLS/NIM :………………………………………………. KELOMPOK:……………………………………………….
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 2
Daftar Isi
Kata Pengantar ………………………………………………………………………………………………………………………. 3 Peta Konsep Materi ……………………………………………………………………………………………………………….. 4 Bab I
Turunan dalam Dimensi n A. B. C. D.
Bab II
Fungsi Dua Peubah atau Lebih …………………………………………………………………. 12 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih ………………………………………… 14 Turunan Parsial Tingkat Tinggi ………………………………………………………………….. 17 Differensial Total ………………………………………………………………………………………. 20
Integral A. B. C. D. E. F.
Integral Ganda Dua Atas Daerah Persegi Panjang……………………………………… 24 Integral Lipat ……………………………………………………………………………………………. 29 Integral ganda dua dalam koordinat kutub ………………………………………………. 32 Integral Ganda Tiga dalam Koordinat Kartesius ………………………………………… 34 Integral Ganda Tiga dalam Koordinat Tabung …………………………………………… 35 Aplikasi Integral Ganda Tiga ……………………………………………………………………….35
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 3
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatnya sehingga modul pembelajaran matakuliah Kalkulus Peubah Banyak ini selesai disusun. Modul ini digunakan sebagai salah satu media pembelajaran guna menunjang terlaksananya proses perkuliahan matakuliah Kalkulus Peubah Banyak. Di dalam modul pembelajaran ini terdapat kilasan materi prasyarat, materi yang dibahas, contoh soal, latihan soal, kegiatan diskusi, dan peta konsep yang dapat memudahkan mahasiswa memahami keterkaitan antar materi. Modul ini bukan satu-satunya media untuk belajar bagi mahasiswa, sehingga diharapkan didampingi dengan buku teks, handout, dan sumber lain yang relevan. Kritik dan saran yang membangun penulis harapkan dari berbagai pihak demi perbaikan untuk penyusunan modul berikutnya.
Alfiani Athma Putri Rosyadi
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 4
PETA KONSEP
Secara garis besar, materi yang dibahas pada matakuliah kalkulus peubah banyak ini dapat disajikan dalam peta konsep berikut:
fungsi dua variabel fungsi tiga variabel Turunan Parsial Turunan dalam ruang dimensi-n
Fungsi Dua peubah atau lebih
Lebih dari tiga variabel Differensial Total Aplikasi Turunan Parsial
Kalkulus Peubah banyak
koordinat polar Integral Ganda dua Koordinat tabung Integral
Integral dalam Rn,
Integral ganda tiga
Aplikasi Integral
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 5
1 Pada Bab 1 ini akan dibahas antara lain sebagai berikut.
A. Fungsi Dua Peubah Atau Lebih Turunan Parsial dan aplikasinya Differensial Total
Tema sentral dari bab ini adalah kalkulus dari fungsi peubah banyak (multivariable) khususnya dengan dua atau tiga peubah. Kebanyakan fungsi yang digunakan dalam sains dan engineering adalah fungsi peubah banyak. Contohnya: teori peluang, statistik, fisika, dinamika fluida, dan listrik-magnet. Kalkulus fungsi ini jauh lebih kaya, turunannya juga bervariasi karena terdapat lebih banyak variabel yang berinteraksi. Sebelum mempelajari BAB ini materi prasyarat yang harus diperoleh adalah system koordinat, permukaan bidang dan ruang, serta sketsa beberapa grafik (bola, elipsoida dst) Sebelum mempelajari BAB I, akan disajikan beberapa materi pendukung yang bisa membantu mahasiswa untuk menyelesaikan berbagai persoalan dalam materi BAB I. Materi pendukung yang disajikan antara lain sebagai berikut a. Sistem Koordinat b. Permukaan di ruang c. Bola, elipsoida, hiperboloida, dan paraboloida
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 6
MATERI PRASYARAT a. Sistem Koordinat
b. Permukaan di Ruang Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : Bola, mempunyai bentuk umum
Dengan, Jejak di bidang XOY, z=0,
(berupa lingkaran)
Jejak di bidang XOZ, y=0,
(berupa lingkaran)
Jejak di bidang YOZ, x=0,
(berupa lingkaran)
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 7
Gambar 1.1 Bola Ellipsoida Ellipsoida mempunyai bentuk umum sebagai berikut.
Dengan Jejak di bidang
berupa ellips
Jejak di bidang
berupa ellips
Jejak di bidang
berupa ellips
Gambar 1.2 Ellipsoida
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 8
Hiperboloida Berdaun satu Hiperboloida berdaun satu mempunyai bentuk umum sebagai berikut.
Jejak di bidang
berupa ellips
Jejak di bidang
berupa hiperbolik
Jejak di bidang
berupa hiperbolik
Gambar 1.3 Hiperboloida berdaun Satu
Hiperboloida berdaun dua Hiperboloida berdaun dua mempunyai persamaan umum sebagai berikut.
Jejak di bidang
berupa hiperbolik
Jejak di bidang
berupa hiperbolik
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 9
Jejak di bidang
tidak ada jejak
Gambar 1.4 Hiperboloida berdaun 2
Macam-macam persamaan di R3 a. Paraboloida eliptik, mempunyai bentuk umum:
b. Paraboloida hiperbolik mempunyai bentuk umum:
c. Kerucut eliptik mempunyai bentuk umum:
d. Bidang mempunyai bentuk umum:
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 10
Berikut adalah gambar dari masing-masing jenis persamaan di atas
Gambar 1.5 Paraboloida Eliptik, paraboloida Hiperbolik, Kerucut Eliptik dan Bidang
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 11
A. Fungsi Dua Peubah Atau Lebih Fungsi dua peubah atau variabel, misalnya x dan y, adalah fungsi yang memetakan tiap pasang (x,y) pada tepat satu bilangan real. Demikian pula dengan fungsi tiga peubah, misalnya x,y, dan z.
Example 1. Berilah contoh fungsi dua peubah dan fungsi tiga peubah ! Jawaban: a. f ( x, y) = x − y b. c. f ( x, y, z) = xy + ey sin z d.
Remember Domain fungsi f dua peubah, x dan y, adalah himpunan dari semua pasangan terurut (x,y) sehingga fungsi tersebut terdefinisi. Sedangkan range suatu fungsi adalah himpunan semua nilai z=f(x,y) fungsi itu dengan x dan y peubah bebas sedangkan z adalah peubah tak bebas
2. Tentukanlah domain dari fungsi
Jawab: Fungsi ini terdefinisi hanya bila Sehingga dapat dituliskan
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 12
Exercise 1. Misalkan a. b.
, tentukan nilai dari
c. 2. Tentukan daerah asal dari setiap fungsi berikut a. b. c. 3. Carilah
jika
dan
,
Lembar Jawaban
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 13
Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih Untuk mempelajari turunan parsial, kita perlu mengingat kembali tentang materi turunan. Masih ingatkah kalian definisi dari turunan yang sudah kalian pelajari sebelumnya? Definisi turunan. Misalkan f sebuah fungsi real dan
.
Turunan dari f di titik x, ditulis Jika Turunan pada fungsi dengan satu peubah mempunyai arti laju perubahan fungsi jika peubahnya mengalami perubahan nilai. Tentu saja turunan pada fungsi dengan dua atau lebih peubah diinginkan memiliki interpretasi yang sama. Namun dalam hal ini terdapat lebih dari satu peubah. Apa yang terjadi bila hanya satu peubah yang mengalami perubahan nilai? Bagaimana bila lebih dari satu variabel yang berubah? Yang menjadi masalah adalah apabila lebih dari satu variabel berubah, maka terdapat tak hingga kemungkinan cara variabel-variabel tersebut berubah. Diberikan fungsi dengan dua variabel f(x,y). Sepanjang garis y = y0, nilai variabel y konstan, sehingga f(x,y0) adalah fungsi satu variabel. Turunannya disebut turunan parsial dari f terhadap x.
Definisi Diberikan fungsi dua variable adalah
dan
. Maka turunan parsial dari f terhadap x di titik
Sedangkan turunan parsial dari f terhadap y di titik
adalah
Notasi
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 14
Jika dari f
, maka notasi-notasi berikut lazim digunakan untuk turunan-turunan parsial
Ilustrasi Tinggi gelombang T di laut terbuka bergantung pada laju angin v dan lama waktu t. Nilai fungsi dicatat pada tabel berikut
t
5
10
15
20
10
2
2
2
2
15
4
4
5
5
20
5
7
8
8
30
9
13
16
17
40
14
21
25
28
50
19
29
36
49
60
24
37
47
54
v
30
40
50
Perhatikan kolom t = 20 Jadi fungsi
dari variabel tunggal v adalah
untuk t tetap
(Menunjukkan perubahan tinggi gelombang dengan berubahnya laju angin ketika t= 20) Turunan H saat v = 30 adalah laju perubahan tinggi gelombang terhadap v saat t = 20.
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 15
Questions Diskusikan dengan kelompok Anda penyelesaian dari permasalahan berikut! 1. Apakah perbedaan antara turunan dengan turunan parsial? Jelaskan! 2. Berilah satu contoh fungsi dua peubah, kemudian carilah turunan parsialnya terhadap salah satu peubah!
Lembar Jawaban
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 16
Turunan Parsial Tingkat Tinggi Secara umum, karena turunan parsial suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain dari dua peubah yang sama ini, turunan tersebut dapat diturunkan secara parsial terhadap x atau y untuk memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsi f
Questions Berilah contoh sebuah fungsi dua peubah, kemudian tentukan keempat turunan persial kedua fungsi tersebut!
Lembar Jawaban
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 17
PEUBAH LEBIH DARI DUA Andaikan f suatu fungsi tiga peubah x,y, dan z. Turunan parsial f terhadap x di (x,y,z) dinyatakan oleh atau dan didefinisikan oleh
Jadi boleh diperoleh dengan memperlakukan y dan z sebagai konstanta dan menurunkan terhadap x. Turunan parsial terhadap y dan z didefinisikan dengan cara yang serupa.
,y, Jika
Example , tentukan
dan
!
Penyelesaian: Untuk memperoleh , kita pandang y dan z sebagai konstanta dan turunkan terhadap peubah x. Sehingga diperoleh
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 18
Exercise Jika
. Tentukan nilai dari:
1. 2. 3.
Lembar Jawaban
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 19
DIFFERENSIAL TOTAL
Definisi Diferensial total dari dari f ditulis dengan
didefinisikan oleh
Agar Anda lebih memahami definisi tersebut, diskusikan bagian berikut dengan kelompok Anda
Example Andaikan
. Hitung
dan
bila
berubah dari
ke
Penyelesaian : Dengan kalkulator
Menggunakan diferensial total
Pada (2,1) dengan
dan
Maka diperoleh
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 20
Exercise Gunakan diferensial total dz untuk menghampiri perubahan dalam z bila (x,y) bergerak dari P ke Q. Kemudian gunakan kalkulator untuk mencari perubahan eksak 1. 2. Ingat bahwa :
Lembar Jawaban
Task
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 21
Tuliskan aplikasi dari turunan dan turunan parsial dalam bidang teknologi, ekonomi, social, dll
Lembar Jawaban
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 22
2 MATERI YANG DIBAHAS PADA BAB INI ANTARA LAIN SEBAGAI BERIKUT. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Integral Ganda Dua atas persegi panjang Integral Lipat Integral ganda dua dalam koordinat kutub Integral Ganda tiga dalam koordinat kartesius Integral ganda tiga dalam koordinat tabung Penerapan integral ganda tiga
PENDAHULUAN Masalah-masalah yang dipecahkan oleh integral dengan dua variabel atau lebih serupa dengan yang dipecahkan oleh integral satu variabel, hanya lebih umum. Seperti halnya pada turunan fungsi n variabel, integral inipun dibangun berdasarkan pengalaman kita pada integral satu variabel. Hubungan antara integral dan turunan untuk fungsi multivariable juga sangat erat seperti halnya fungsi satu variabel. Di sini kita dapat mereduksi integral menjadi beberapa integral fungsi satu variabel sehingga Teorema Dasar Kalkulus dapat kembali berperan dalam konteks yang lebih umum ini.
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 23
A. Integral Ganda Dua atas persegi panjang Jumlah Riemann (pada fungsi satu variable) Kita mencoba mengingat lagi materi integral pada Matakuliah Kalkulus II.
Gambar 2.1 Jumlah riemann
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 24
Ingat kembali pada fungsi satu variabel f (x), kita membagi interval [a,b] menjadi interval-interval dengan panjang Δxk, k=1,2,…,n, berdasarkan partisi P : x1 < x2 < … < xk , memilih titik sampel xk dari interval ke k, kemudian menuliskan
Kita meneruskan dalam cara yang persis sama untuk mendefinisikan integral untuk fungsi dua peubah. Tetapkan R berupa persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat, yakni ambil
Bentuk suatu partisi P dari R dengan memakai sarana berupa garis-garis sejajar sumbu x dan y, seperti pada gambar 1. Ini membagi R menjadi beberapa persegipanjang kecil, semuanya n buah, yang kita tunjukkan dengan dan
adalah panjang sisi-sisi
sebuah titik contoh
dan
. Tetapkan adalah luasnya. Pada
, ambil
dan bentuk penjumlahan reimann adalah
Z
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 25
Gambar 2.2 jumlah Riemann di R-3
Dari ilustrasi tersebut di atas, dapat kita definisikan sebagai berikut Definisi (Integral Ganda Dua). Andaikan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R , jika
ada, kita katakana f terintegralkan pada R. Lebih lanjut,
yang disebut
integral ganda dua f pada R, diberikan oleh
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 26
Ilustrasi dari definisi tersebut dapat dilihat pada gambar 4.3 berikut
Gambar 2.3
Berikut adalah sifat-sifat integral ganda dua yang mewarisi hampir semua sifat-sifat tunggal 1. Integral ganda-dua adalah linear yaitu a. b. 2. Integral ganda dua adalah aditif pada persegi panjang yang saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis
3. Sifat perbandingan berlaku. Jika
untuk semua
di R , maka
Exercise Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 27
1. Hampiri
dengan
Dan 2. Andaikan f adalah fungsi tangga yaitu
Hitung
dengan
Lembar Jawaban
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 28
B. Integral Lipat
Masalah integral erat kaitannya dengan volume. Maka kita coba mendekati masalah menghitung integral dengan masalah menghitung volume. Misalkan kita ingin menentukan volume benda pejal dibawah bidang z=f(x,y) di atas persegi panjang R: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, dengan mengirisnya. Misalnya benda tersebut diiris tegak lurus terhadap sb-x selebar Δx. Misalkan luas penampang irisan benda pejal dengan bidang x adalah A(x).
Gambar 2.4
Volume
dari kepingan secara hampiran diberikan oleh
. Selanjutnya
kita bisa menuliskan dengan Sebaliknya untuk y tetap kita boleh menghitung A(y) dengan menggunakan integral tunggal biasa, sehingga diperoleh
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 29
Jadi dapat disimpulkan bahwa
Yang selanjutnya kita sebut dengan integral lipat (iterasi)
Kemudian apabila kita mengiris benda pejal dengan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang yz kita akan memperoleh integral lipat lain dengan pengintegralan yang berlangsung dalam urutan berlawanan
Example Hitung Penyelesaian
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 30
Exercise 1. 2. 3.
Lembar Jawaban
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 31
c. Integral Ganda Dua dalam Koordinat Kutub Banyak integral yang lebih mudah dihitung bila dengan menggunakan koordinat polar. Pada bagian ini akan dipelajari mengubah integral menjadi koordinat polar dalam koordinat polar dan menghitungnya.
R
Gambar 2.4 Misalkan R adalah suatu persegi panjang kutub . Andaikan
menentukan suatu
permukaan atas R dan andaikan f adalah kontinu dan tak negative, maka Volume (V) diberikan sebagai berikut.
Karena koordinat kutub, maka suatu persegi panjang kutub R berbentuk
Dengan
. Serta persamaan permukaan dapat dituliskan sebagai
Dengan menggunakan tehnik partisi, diperoleh rumus V
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 32
Exercise 1. Tentukan volume V dari benda padat di atas persegi panjang kutub , dengan
Lembar Jawaban
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 33
BAB V INTEGRAL GANDA TIGA 1.1 Integral Ganda tiga dalam koordinat kartesius/siku Konsep yang diwujudkan dalam integral tunggal dan ganda-dua meluas pada integral ganda tiga bahkan ke ganda-n. Langkah yang dilakukan juga hampir sama yaitu melakukan partisi sehingga membentuk balok-balok bagian. Akibatnya, integral ganda tiga dapat didefinisikan
Sifat yang ada pada integral ganda dua juga berlaku pada integral ganda tiga. Akibatnya, dapat dituliskan sebagai integral lipat tiga Contoh 2 Hitunglah
dengan B adalah kotak
Penyelesaian
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 34
1.2Integral ganda tiga dalam koordinat tabung Hubungan antara koordinat tabung dan kartesius adalah
Sehingga dapat diperoleh
1.3Penerapan integral ganda tiga Carilah sumber yang relevan untuk mencari aplikasi integral ganda tiga!
Lembar Jawaban
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 35
Lembar Jawaban
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 36
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
Page 37
