KALKULUS 2
KALKULUS 2 Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324
Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company. 2. Yusuf Yahya, D. Suryadi H. S. Dan Agus S, Matematika untuk Perguruan Tinggi, Gahlia Indonesia. 3. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Penerbit Erlangga
STIMATA
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2
BAB I INTEGRAL TAK TERTENTU
1. PENGERTIAN INTEGRAL TAK TERTENTU Jika F(x) adalah sebuah fungsi yang turunannya F1(x) = f(x) berada pada suatu selang tertentu disebut sumbu x, maka F(x) disebut anti turunan atau integral tak tertentu dari f(x). Integral tak tertentu dari suatu fungsi tidak bersifat satu-satunya; sebagai contoh, misal, x2, x2 + 5, x2 – 3 adalah integral-integral tak tertentu dari f(x) = 2x, karena
d 2 d 2 d 2 (x ) ( x 5) ( x 4) 2 x . dx dx dx Kemudian semua integral-integral tak tertentu dari f(x) = 2x dikelompokkan dalam x2 + c, dimana c disebut konstanta integrasi dan adalah sembarang konstanta. Himpunan semua fungsi yang turunannya = f(x) dinyatakan dengan lambang
f ( x) dx F ( x) c Contoh : 1.
3 x dx
d
2.
x
3.
x dx
2
f ( x) dx .
, f(x) disebut integran untuk fungsi yang diintegrasikan. x4 c 4
x 2 dx
x 1 1 c c 1 x
x2 c 2
2. SIFAT-SIFAT DAN RUMUS DASAR INTEGRAL TAK TERTENTU
d
1.
dx [ f ( x)] dx f ( x) c
2.
(u v) dx u dx v dx ,
3.
u dx u dx ,
4.
n u du
5.
u dan v fungsi dari x
kons tan ta, u fungsi dari x
u n 1 c, n 1 n 1
du ln u c u
au 6. a du c, a 0, a 1 ln a u
STIMATA
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2 7.
e
8.
sin u du cos u c
9.
cos u du sin u c
10.
tan u du ln
u
du e u c
sec u c
11. ctg u du ln sin u c 12. sec u du ln sec u tan u c 13. cos ec u du ln cos ec u ctg u c 14. sec 2 u du tan u c 15. cos ec 2 u du ctg u c 16. sec u tan u du sec u c 17. cos ec u ctg u du cos ec u c
du
u c a
18.
19.
a
20.
u
21.
u
2
22.
a
2
23.
24.
25.
a 2 u 2 du
1 1 u u a 2 u 2 a 2 arc sin c 2 2 a
26.
u 2 a 2 du
1 1 u u 2 a 2 a 2 ln u u 2 a 2 c 2 2
a2 u2 2
arc sin
du 1 u arc tan c 2 a a u du u a 2
2
1 u arc sec c a a
du 1 ua ln c 2 2a ua a du 1 au ln c 2 2a au u du
u2 a2
du u a 2
STIMATA
2
ln u u 2 a 2 c
ln u u 2 a 2 c
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2
27.
u 2 a 2 du
1 1 u u 2 a 2 a 2 ln u u 2 a 2 c 2 2
RUMUS DASAR TURUNAN 1. 2. 3. a. b. c. d. e. tg x
f. :
4. a) b) 5. a) b) 6. a) b)
√ √
c) d) e) f)
STIMATA
√ √
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2 3. INTEGRASI DENGAN SUBSTITUSI Dalam menyelesaikan soal integral, kita usahakan pertama-tama mengubahnya ke bentuk rumus dasar di atas dengan substitusi. Metode ini disebut metode substitusi. Contoh : a)
b)
5 x dx
dx 3
x
x4
c)
(2 x
d)
(1 x)
2
x6 c 6 4
3
dx
x
1
1
3
c 3x
1
3
3
c 3
3 x
5 x 3) dx 2 x 2 dx 5 x dx 3 dx
c
2 3 5 2 x x 3x c 3 2
x dx ( x x x dx x dx x x dx x
1
2
dx x
3
2
dx
2 32 2 52 x x c 3 5
Latihan soal :
dx
1.
x
3
2.
z dz
3.
(3s 4)
4. 5.
9.
x
6
dx
10.
(2 x
11.
(3 x
x 3 5x 2 4 dx x2
12.
(3x
13. (2 x 3 5 x) x dx
3
6
2
ds
4 x) dx
7. ∫(
STIMATA
4
3
9 x 5) dx
3 x 20) dx
dx 3
x2
14. ∫(
6. ∫
8. ∫(
3
) )
15. ∫( 16. ∫(√
) ) √ )
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2 4. INTEGRASI DENGAN MENGUBAH DIFFERENSIAL Hitunglah : a)
(x
3
2) 2 3 x 2 dx
Untuk mempermudah penyelesaian, dimisalkan x3 + 2 = u, maka differensial dari u
b)
adalah du = 3x2 dx → dx =
du 3x 2
(x
du 1 1 u 2 du u 3 c ( x 3 2) 3 c 2 3 3 3x
3
2) 2 3 x 2 dx u 2 3 x 2
du 8 x 2 dx 3 2 ( x 3 2) 3 , misalkan x + 2 = u, maka du = 3x dx → dx = 3x 2
8 x 2 dx 8 x 2 du 8 du 8 3 8 1 2 4 2 ( x 3 2) 3 u 3 3x 2 3 u 3 3 u du 3 ( 2 u ) c 3 u c
c)
4 3( x 3 2
3x
c
1 2 x 2 dx , misalkan 1 - 2x2 = u, maka du = - 4x dx → dx = -
2 3x 1 2 x dx 3x u
du 4x
du 3 1 3 2 32 1 3 u 2 du u c u 2 c 4x 4 4 3 2
1 (1 2 x 2 ) 1 2 x 2 c 2
dx ln x c x
d)
e)
2x 3 , misalkan 2x – 3 = u, maka du = 2 dx → dx =
dx
dx
du 2
1 du 1 du 1 1 ln u c ln 2 x 3 c 2 2 u 2 2
2x 3 u f)
g)
e
x
dx , misalkan –x = u, maka du = - dx → dx = - du
e
x
dx e u du e u du e u c e x c
2x
dx , misalkan 2x = u, maka du = 2dx → dx =
a
du 2
du 1 u 1 au a dx a 2 2 a du 2 ln a c 2x
STIMATA
u
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2
sin
h)
2
x cos x dx , misalkan sin x = u, maka du = cos x dx → dx =
2 2 sin x cos x dx u cos x
du cos x
du u3 sin 2 x u 2 du c c cos x 3 3
dx 1 2dx 1 2x arc tan c 2 2 2 6 3 9 2 (2 x ) 3
i)
4x
j)
9x
k)
dx 1 3dx 1 3x 4 ln c 2 3x 4 16 3 (3x) 16 24
2
x 1 x 1 3 2 x x 2 2arc sin c 2 2
3 2 x x 2 dx 4 ( x 1) 2 dx
Latihan soal : 1. ( x 3 2) 3.
1
2 2
x dx
1 x 2 x dx
3
5.
7.
x
x 2 2 x 4 dx x dx 2 1
2.
4.
x2
( x 2 6 x)
(1 x) 2
6.
8.
x 1 dx
10.
dx
( x 3) dx
x
1
3
dx
x2
1
e x 9. 2 dx x
x3 2
4
e
dx 1
x
5. INTEGRAL PARSIAL Metode integral parsial umumnya digunakan pada integral yang mengandung fungsi logaritma atau perkalian polinom x n dengan fungsi trigonometri seperti x cos x, atau xn sin x, juga perkalian fungsi eksponensial xn eax, atau perkalian fungsi eksponensial dengan fungsi trigonometri seperti e2xsinx. Selain itu fungsi-fungsi yang tidak terdapat pada rumus dasar.
Pandang u dan v yang diferensiabel dari x, maka : d(uv) = u dv + v du u dv = d(uv) – v du
STIMATA
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2 Bila ini diintegralkan diperoleh bentuk yang dinamakan integral parsial :
Yang perlu diperhatikan pada metode ini : 1) Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegralkan 2)
v du
harus tidak lebih sukar daripada u dv
Contoh : 1. ln x dx : ambil u = ln x → du =
1 dx x
dv = dx → v = x
ln x dx uv v du 1 x ln x x dx x ln x dx x ln x x c x 2.
1
arc tg x dx : ambil u = arc tg x → du = 1 x
2
dx
dv = dx → v = x
1
arc tg x dx x arc tg x x 1 x x
1 x
2
2
dx
dx : ambil 1 + x2 = t → dt = 2x dx dx =
maka
x dt
1
t 2 x 2 ln
t c
dt 2x
1 ln 1 x 2 c 2
Jadi :
x
arc tg x dx x arc tg x 1 x
2
1 dx x arc tg x ln 1 x 2 c 2
Latihan soal : 1.
x sin x dx
6.
arc sin x dx
2.
e
7.
sec
x
sin 2 x dx
STIMATA
3
x dx
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2 1 x dx
8.
x
ln x dx
9.
x e
3.
x
4.
x
5.
sin
2
2
x dx
10.
2
sin x dx
3 2x
dx
x cos x dx
6. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI Kesamaan-kesamaan berikut sangat bermanfaat untuk menghitung integral dari fungsi trigonometri : 1) sin2 x + cos2 x = 1 2) 1+ tg2 x = sec2 x 3) 1+ ctg2 x = cosec2 x 4) sin2 x = 12 (1 cos 2 x) 5) cos2x = 12 (1 cos 2 x) 6) 2 sin x cos x = sin 2x 7) sin x cos y = 12 sin( x y) sin( x y) 8) sin x sin y = 12 cos(x y) cos(x y) 9) cos x cos y = 12 cos(x y) cos(x y) 10) (1 - cos x) = 2 sin2 12 x 11) (1 + cos x) = 2 cos 2 12 x 12) (1 ± sin x ) = 1 ± cos ( 12 π – x)
Contoh : 1.
sin
2.
cos
3.
sin
2
2
3
x dx 12 (1 cos 2 x) dx 3x dx 12 (1 cos 6 x)dx
1 2 1 2
dx cos 2 x dx
1 2
x 14 sin 2 x c
dx cos 6 x dx
1 2
x 121 sin 6 x c
1 2
1 2
x dx sin 2 x sin x dx (1 cos 2 x) sin x dx sin x dx cos 2 x sin x dx
= cos x dx cos 2 x d (cos x) cos x 13 cos 3 x c
Latihan soal :
STIMATA
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2 1) cos 5 x dx
6) (1 cos 3x) 2 dx
2) sin 2 x sin 3 x dx
7) tg 4 x dx
3
8) sec 4 2 x dx
3) cos 4 2 x sin 3 2 x dx 4) sin 2 x cos 2 x dx 5)
9) tg 3 3 x sec 4 3 x dx 10) ctg 3 2 x dx
1 cos x dx
7. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI Sebuah integran, yang mengandung salah satu dari bentuk
a2 b2 x2 ,
a 2 b 2 x 2 atau
b 2 x 2 a 2 tanpa faktor-faktor irrasional yang lain, bisa diubah bentuk menjadi bentuk lain yang berupa fungsi-fungsi geometris dari sebuah variabel seperti berikut : Integran
Substitusi
Menjadi
a2 b2 x2
x
a sin z b
a 1 sin 2 z a cos z
a2 b2 x2
x
a tg z b
a 1 tg 2 z a sec z
b2 x2 a2
x
a sec z b
a sec 2 z 1 a tg z
Pada setiap kasus, integrasi menghasilkan ungkapan-ungkapan dalam variabel baru z. Padanannya dalam variabel semula bisa didapatkan melalui penggunaan sebuah segitiga sikusiku.
Contoh : Carilah
x
dx 2
4 x2 x
Terdapat bentuk
dan tidak ada faktor irrasional yang
lain 2
misalkan ;
x= 2 tg z → dx = 2 sec2z dz 4 x 2 4 4 tg 2 z 2 sec z
STIMATA
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2
2 sec 2 z dz 2 sec 2 z dz 1 sec z dz 1 cos 2 z dz 2 4 sin z cos z (2 tg z ) 2 2 sec z 4 tg 2 z 2 sec z 4 tg 2 z 4 x2 1 1 1 sin 2 z cos z dz sin 2 z d (sin z ) c 4 4 4 sin z
dx x2
4 x2 c 4x
Latihan soal : 1.
x2 x2 4
dx
9 4x 2 dx x
2.
3.
x
4.
x
5.
(16 9 x 2 ) 3 / 2 dx x6
dx 2
25 x 2 16 dx 9 4x 2
8. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL Suatu fungsi F ( x)
f ( x) dimana f(x) dan g(x) polinom (suku banyak) disebut suatu g ( x)
fungsi pecahan rasional. Jika derajat dari f(x) lebih kecil daripada derajat g(x), F(x) disebut sebenarnya di dalam hal lain disebut fungsi pecahan rasional tidak sebenarnya (improper). Untuk menghitung integral fungsi pecahan rasional yang sebenarnya, kita berusaha menyatakan fungsi tersebut sebagai penjumlahan pecahan sederhana (partial fraction), dimana penyebutnya berbentuk (ax + b)n atau (ax2 + bx + c)n, n bilangan bulat positif. Bentuk dari pecahan sederhana tersebut tergantung pada faktor g(x), penyebut fungsi tersebut.
8.1. FAKTOR-FAKTOR LINIER YANG BERBEDA g(x) = (a1x + b1) (a2x + b2)
……. (anx + bn)
Maka :
STIMATA
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2
F ( x)
An A1 A2 a1 x b1 a 2 x b2 a n bn
Contoh : Tentukan :
x 1 x 4 x 12 2
dx
Penyelesaian : F ( x)
x 1 x 4 x 12 2
Penyebut : x2 – 4 – 12 = (x – 6)(x + 2) Oleh karena itu, pecahan rasional dapat ditulis :
x 1 ( x 6)( x 2)
A1 A 2 x6 x2
A1 ( x 2) A2 ( x 6) ( A1 A2 ) x (2 A1 6 A2 ) ( x 6)( x 2) ( x 6)( x 2)
Maka dipenuhi bentuk : x + 1 = (A1 + A2)x + (2A1 -6A2) A1 + A2 = 1
2A1 + 2A2 = 2
2A1 -6A2 = 1
2A1 - 6A2 = 1 _
A1 + 1/8 = 1 A2 = 7/8
8A2 = 1 A2 = 1/8 Jadi: F ( x)
x
2
x 1 7 1 x 4 x 12 8( x 6) 8( x 2) 2
7 dx x 1 dx 7 1 dx ln x 6 ln x 2 c 8( x 6) 8( x 2) 8 8 4 x 12
8.2. FAKTOR-FAKTOR LINIER YANG BERULANG Kalau pada g(x) terdapat (ax + b) berulang m kali, misalnya : g(x) = (ax + b)m, maka : F ( x)
STIMATA
A1 A2 A2 2 ax b (ax b) (ax b) m
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2 Contoh: Tentukan
x
( x 3)
2
dx
Penyelesaian : A A2 x 1 2 x 3 ( x 3) 2 ( x 3) A ( x 3) A2 A1 x (3 A1 A2 1 ( x 3) 2 ( x 3) 2
F ( x)
diperoleh : A1=1 -3A1 + A2 = 0 → -3 + A2 = 0
A2 = 3 Jadi :
x 1 3 2 ( x 3) x 3 ( x 3) 2
F ( x)
x
( x 3)
2
dx
3 dx dx 3 ln x 3 c 2 x3 x3 ( x 3)
Latihan soal :
x4
1.
x( x 2)
2.
x
3.
25 x 2 20 x 2 x( x 1)(x 4) dx
4.
(3x 2 22 x 19) dx ( x 2)(x 3) 2
3
2
dx
2x 1 dx 7x 6
( x 2 2) dx 5. 3 x ( x 2) 2
8.3. FAKTOR KUADRAT YANG BERBEDA g(x) = (a1x2 + b1x + c1) (a2x2 + b2x + c2) ... (anx2 + bnx + cn) Maka :
STIMATA
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2
F(x) =
An x Bn A1 x B1 A2 x B2 ... 2 2 a1 x b1 x c1 a2 x b2 x c a n x 2 bn x cn
Contoh : Tentukan ∫ (
)(
)
Penyelesaian : ( )
(
)(
)
(
)
(
(
) ) (
)( (
(
)(
)(
)
)
)
(
)
(
)
(
)
Diperoleh: ....... (1)
0+
....... (2) ...... (3)
-2A1 = 0
...... (4)
A1 = 0 1+
-2B1 = -2 B1 = 1 Jadi: ∫(
)(
∫(
)
∫(
)
|
)
|
Latihan soal: 1. ∫ 2. ∫ (
)(
3. ∫ (
)(
)
)
8.4 FAKTOR KUADRAT YANG BERULANG Kalau terdapat faktor kuadrat yang berulang m kali pada g(x) mis. g(x) = (ax2 + bx + c)m, maka : F(x) = ( STIMATA
)
(
)
(
)
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2
Contoh: ∫(
)
Latihan soal: 1. ∫
(
2. ∫ (
STIMATA
)
)
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2
BAB II INTEGRAL TERTENTU 1. PENGERTIAN INTEGRAL TERTENTU b
f ( x) dx , disebut integral tertentu dari f(x) terhadap x, dari x = a sampai
x = b,
a
f(x) disebut integrand, a dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas 2. THEOREME NEWTON – LEIBMIZTZ Bila f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan F(x) suatu integral tak tentu dari f(x) maka :
Contoh : 2
1.
3 x dx 1
2.
x4 4
4
2 1
2 4 14 16 1 15 4 4 4 4 4
1
cos 2 x dx 2 sin 2 x
0
0
2
3.
e
x
2
dx 2 e
x
2
2 2
2
4
1 1 1 1 1 sin (2. ) sin (2.0) sin sin 0 2 4 2 2 2 2 2
2 2 1 2 e 2 e 2 2(e 1 e) 2 e e
3. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU a
1.
f ( x) dx 0 a b
2.
a
3.
a
f ( x) dx f ( x) dx b
b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
STIMATA
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2
4.
b
b
a
a
f ( x) dx f ( x) dx, untuk kons tan ta c
5.
b
b
c
a
f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx, bila
a
acb
Latihan soal : 2
1)
(2 x)
2
dx
0 2
2)
(2 x) dx 0 3
3)
(3 2 x x
2
) dx
0
2
4)
(1 t
2
)t dt
1 4
5)
(1 u)
u du
1
4. INTEGRAL TAK WAJAR b
Integral tertentu
f ( x) dx disebut integral tak wajar (improper integral) bila : a
1. Integrand f(x) mempunyai satu atau lebih titik diskontinu pada a ≤ x ≤ b; atau bila : 2. Paling sedikit satu dari batas integral adalah tak terhingga
Kasus (1) : a) Jika f(x) dx kontinu pada a≤x
b
f ( x) dx lim
o
a
f ( x) dx
, asalkan harga limit tsb ada
a
Contoh : 3
0
dx 9 x
2
lim arc sin 0
(3 0) arc sin 1 3 2
b) Jika f(x) dx kontinu pada a < x ≤ b tetapi diskontinu pada x = a didefinisikan :
STIMATA
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2 b
b
f ( x) dx lim
o
a
f ( x) dx
, asalkan harga limit tsb ada
a
Contoh : ∫
∫
Harga limit tersebut tidak ada, integral tersebut tidak mempunyai arti (divergen) c) Jika f(x) kontinyu di semua x pada a ≤ x ≤ b, kecuali di x = c, a < c < b didefinisikan ∫
( )
( )
∫
( )
∫
Asalkan harga kedua limit ada. Contoh : I=∫
√
I=
∫
=
(
=
{ (
= (√
∫
√
) ⌈ )
}
√
(
) |
{ √
}
)
Kasus (2) Jika f(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ u didefinisikan ∫
i.
( )
∫
( )
,
( )
∫
( )
,
( )
∫
( )
asalkan harga limit tersebut ada. Jika f(x) kontinu pada interval v ≤ x ≤ b didefinisikan ∫
ii.
asalkan harga limit tersebut ada. iii.
Jika f(x) kontinu pada interval v ≤ x ≤ u didefinisikan ∫ ∫
( )
, asalkan harga limit tersebut ada.
Contoh : 1) I = ∫
∫
2) I = ∫
∫
(
|
) |
∫
| 3) I = ∫
STIMATA
∫
|
BY : SRI ESTI
KALKULUS 2 Latihan soal: 1. ∫
, diskontinu pada x = 0
√
2. ∫ 3. ∫
, diskontinu pada x = 4 , diskontinu pada x = 1
√
4. ∫ 5. ∫
(
)
6. ∫
STIMATA
BY : SRI ESTI
