Kalkulus 2 (Informatika BSc – PTI) tantárgyi tájékoztató Tárgykód(ok): INDK112E, INDK112G Félév: 2014/2015-II. Előadó: Boros Zoltán Óraszám: 2 + 2 (előadás + tantermi gyakorlat) Kredit: 5 (kötelező) Előfeltétele: Kalkulus 1 (INDK111) előadás vagy vizsgakurzus sikeres teljesítése Az előadások részletes tematikája: Az előadás dátuma (2015) időpont: hétfő 12.00–13.40, helyszín: IK-F01 tanterem
február 16. február 23. március 2. március 9.
március 16.
Az előadás tartalmi vázlata Primitív függvény, határozatlan integrál, alapintegrálok, integrálási szabályok (parciális és helyettesítéses integrálás). Integrálási módszerek (az integrálási szabályok tipikus alkalmazásai, a helyettesítés speciális esetei), racionális törtek integrálása, racionalizáló helyettesítések. A Riemann-integrál fogalma. Közbeeső integrálközelítő összegek. Az integrál kiszámítása: Newton–Leibniz-formula. Riemann-kritérium; a Riemann-integrálhatóság elegendő feltételei (folytonosság, monotonitás). Műveletek Riemannintegrálható függvényekkel (folytonos függvény módosítása egy [vég]pontban, intervallum-additivitás, linearitás). Az integrál, mint a felső határ függvénye. Integrálási szabályok Riemann-integrálra. Improprius integrálok értelmezése, létezése. Az integrál alkalmazásai.
március 23.
Az 1. zárthelyi gyakorlati dolgozat megírása.
március 30.
Tavaszi szünet (Szakmai Napok).
április 6.
Húsvét Hétfő: ezen a napon nincsenek tanórák. Szeparábilis differenciálegyenlet. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet. Másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenletek; inhomogén egyenlet megoldása próbafüggvénnyel. Távolság és topológiai alapfogalmak Rn-ben. Többváltozós függvények folytonossága, határértéke. Derivált-fogalmak többváltozós függvényekre. Magasabb rendű parciális deriváltak. Magasabb rendben folytonosan differenciálható függvények. Young és Taylor tételei kétszer folytonosan differenciálható függvényekre. Többváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei.
április 13.
április 20. április 27. május 4. május 11. május 18.
A 2. zárthelyi gyakorlati dolgozat megírása. Riemann-integrál téglán és korlátos tartományokon. Integráltranszformáció; polárkoordináták alkalmazása.
1
A gyakorlatok órarendi időpontjai: A gyakorlatvezető neve:
Nap
Óra
Tanterem
Boros Zoltán
hétfő
14–16
IK-F02
Szokol Patrícia
14–16
IK-F02
Szokol Patrícia
kedd kedd
16–18
IK-202
Kosztur Judit
kedd
16–18
IK-F02
Konkoly Ágnes
csütörtök
16–18
IK-202
A táblázatban feltüntetett kétórás intervallumok tartalmazzák a 2-szer 50 perces gyakorlati óra és a 2-szer 10 perces szünet időtartamát. A gyakorlatvezető határozza meg (a gyakorlatra járó hallgatókkal szóban egyeztetve) a tényleges időbeosztást (például lehet — az előadás mintájára — szünet nélkül 100 perces gyakorlatot tartani vagy 50 perc gyakorlat után 10 perc szünet és újabb 50 perc gyakorlat).
A gyakorlatok tematikája az előadást követi. Célszerű a mellékletben közzétett gyakorló feladatsorok használata otthoni felkészülésre és ugyanezen feladatsor feladatainak (vagy az ajánlott példatárakban található további hasonló feladatok) megoldása a gyakorlatokon. A dolgozatírást követő gyakorlatokon javasolt néhány érdekes, de nehezebb feladat bemutatása (például a kör kerülete; a gömb felszíne és térfogata), valamint a Húsvét utáni héten (amikor nincs előadás) el lehet kezdeni a következő témakör (differenciálegyenletek) feladatainak a megoldását. Alapvető feladat-típusok:
Határozatlan és határozott integrálok kiszámítása (alapintegrálok, linearitás alkalmazása; a parciális és a helyettesítéses integrálás tipikus esetei; racionális törtfüggvények integrálása, egyszerűbb racionalizáló helyettesítések). Terület-számítás integrálással. Improprius-integrálok meghatározása definíció alapján. Elemi úton megoldható (szétválasztható változójú, elsőrendű lineáris) differenciálegyenletek és azokra vonatkozó kezdetiérték-feladatok megoldása. Másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenletek megoldása. Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldásának keresése próbafüggvénnyel és az általános megoldás felírása. Pontok euklideszi távolságának meghatározása (síkban, térben). Többváltozós függvények parciális deriváltjainak meghatározása. Többváltozós függvények lokális szélsőérték-helyeinek meghatározása. Integrálás téglán, háromszög-tartományon, körlapon, félkörön és negyed-körön.
2
A gyakorlat számonkérése és teljesítése:
A gyakorlat teljesítését a gyakorlatvezető aláírással igazolja. A gyakorlati aláírás feltétele a gyakorlatokon való részvétel és a gyakorlati számonkérés során elért legalább 50 %-os eredmény. A szorgalmi időszakban két zárthelyi gyakorlati dolgozatot kell írni. A felkészülést a gyakorló feladatsorok mellett a két mellékelt gyakorlati mintadolgozat is elősegíti. A dolgozatok feladatainak helyes megoldásával dolgozatonként maximum 25 pont, a gyakorlat során tehát összesen maximum 50 pont szerezhető. A gyakorlatokon aktív hallgatók szorgalmi pontokat szerezhetnek; egy-egy zárthelyi dolgozat előtt legfeljebb 5 pontot. Az így kapott szorgalmi pontszám (a NEPTUN-ban kiegészítő pontszámként rögzítve) hozzáadódik a soron következő dolgozatban elért pontszámhoz (de abban az esetben, ha ez az összeg meghaladná a 25 pontot, csak 25 pont vehető figyelembe az összeg helyett; tehát a szorgalmi pontok figyelembe vételével is összesen legfeljebb 50 gyakorlati pont szerezhető). Ha a hallgató összesített
gyakorlati pontszáma (a továbbiakban: GyP) eléri vagy meghaladja a 25 pontot, a gyakorlatvezető aláírja a gyakorlat teljesítését, továbbá a (GyP-25)/5 (alsó) egész részét (tehát maximum 5-öt) vizsga többletpontként jóváír a hallgató számára. Egyéni tanrend engedélyezése esetén a hallgató nem köteles gyakorlatra járni, de a dolgozatok megírása (az eredeti vagy a pótlásra kijelölt időpontban) és legalább 25 gyakorlati pont elérése ilyen esetben is kötelező.
Dolgozatok (és konzultációk) ütemezése:
március 19. (csütörtök) 18:30, M 402: Konzultáció (az 1. dolgozathoz) március 23. (hétfő) 12:00, IK-F01: 1. gyakorlati dolgozat április 9. (csütörtök) 18:30, M 402: 1. javító ill. pót-dolgozat május 7. (csütörtök) 18:30, M 402: Konzultáció (a 2. dolgozathoz) május 11. (hétfő) 12:00, IK-F01: 2. gyakorlati dolgozat május 21. (csütörtök) 18:30, M 402: (1. vagy) 2. javító ill. pót-dolgozat
Amennyiben egy hallgató javító dolgozatot ad be, a dolgozat eredeti pontszáma törlődik, és helyette a javító dolgozat pontszáma veendő figyelembe (akkor is, ha az kisebb).
Pont-számítási minták: (VT = vizsga többletpont) Szorg. pont febr.-márc.
Dolg. 1
Pótdolg. 1
Részpont 1
Szorg. pont ápr.-máj.
Dolg. 2
Pótdolg. 2
Részpont 2
Össz. pont
Aláírás
VT
Példa Anita
4
19
—
23
3
11
14
17
40
i
3
Példa Béla
—
4
3
3
1
7
10
11
14
n
—
Példa Csaba
5
22
—
25
4
19
—
23
48
i
4
Példa Dóra
4
12
11
15
2
14
—
16
31
i
1
Név
A gyakorlati aláírással már rendelkező hallgatóknak nem kell ismételten gyakorlati aláírást szerezniük. A vizsgára való felkészülés és a vizsga többletpontok szerzésének lehetősége érdekében ezek a hallgatók is bejárhatnak gyakorlatokra, ott szorgalmi pontokat is szerezhetnek, illetve a kijelölt időpontokban megírhatják a zárthelyi dolgozatokat. A gyakorlatokon részt vevő, de oda be nem osztott hallgatóknak jelezniük kell jelenlétüket a gyakorlatvezetőnek.
3
A vizsga lebonyolítása és értékelése:
A szorgalmi időszakban gyakorlati aláírást szerző (vagy azzal már korábban rendelkező) hallgatók az általuk — az előadó által meghirdetett időpontok közül — választott vizsganapon írásbeli vizsgát tehetnek. A vizsga rendjére vonatkozóan a Tanulmányi és Vizsgaszabályzat rendelkezései az irányadóak. A hallgatók csak fényképes igazolvánnyal vehetnek részt a vizsgán. A vizsga során tankönyv, jegyzet, telekommunikációs eszköz vagy adatolvasásra alkalmas berendezés nem használható. Számolásokhoz számológép igénybe vehető, bár általában nem szükséges; telefon vagy számítógép viszont számológép üzemmódban sem használható, mivel egyáltalán nem vehető elő bekapcsolt állapotban. Amennyiben megállapítást nyer, hogy a vizsgázó meg nem engedett segítséget (szomszéd dolgozatát, tiltott eszközt stb.) vett igénybe, ellene fegyelmi eljárás kezdeményezhető; az eljárás befejezéséig vizsgáit a kar felfüggeszti. A vizsga végén a vizsgáztató átveszi a hallgatóktól a megírt dolgozatokat. A dolgozatok kiértékelésére nem a vizsga helyén kerül sor, így azt a hallgatóknak nem kell a helyszínen megvárniuk (a vizsgázó hallgató a vizsgára szánt idő letelte előtt — de legalább félórával a dolgozatírás kezdete után — befejezheti a dolgozat-írást és dolgozata leadásával távozhat a vizsgáról). Vizsga közben a termet nem szabad elhagyni (tehát a vizsgázó távozása esetén a vizsgáját befejezettnek kell tekinteni).
A hallgató saját vizsgadolgozatának értékelését a vizsganapot követő munkanapon 18:00-tól 19:30 óráig megtekintheti a Matematikai Épület M 326 irodájában. Értékelés után a vizsgadolgozatok pontszámai és az érdemjegyek rögzítésre kerülnek a Tanulmányi Rendszerben. A mellékelt mintához hasonló vizsgadolgozatban a vizsgázó legfeljebb 50 pontot szerezhet (de a bizonyításokért és a gyakorlati eredményért kapott többletpontokkal az összeg 50 pontnál több is lehet). A dolgozat részei: Megnevezés (leírás)
Szerezhető pontszám
Beugró (alapvető definíciók illetve alaptételek).
min. 5 (!), max. 10 (+ bizonyítások)
További elméleti kérdések (definíciók, tételek, formulák). A tételek
max. 15
bizonyítása nem elvárás, de egyes tételek bizonyításának a leírásával további többletpontok szerezhetők.
(+ bizonyításokért többletpontok)
Alapvető feladatok (a gyakorlati dolgozatok feladataihoz hasonlók)
max. 20
További feladatok (gyakorló feladatsorok vagy előadás alapján)
max. 5
+ Gyakorlati eredményért kapott többletpontszám beszámítása (csak az első vizsgán !)
max. +5 max. 50 (+ biz. + gyak.)
Összesített vizsga-pontszám
Az így kialakított összesített vizsga pontszám alapján a következő táblázat szerint kerül beírásra a vizsgajegy (az egy sorba írt feltételek között „és” kapcsolat értendő):
4
Beugró pontszám (BP):
Összesített vizsga pontszám (ÖVP): —
BP < 5
Vizsgajegy elégtelen (1)
5 ≤ BP
5 ≤ ÖVP ≤ 24
elégtelen (1)
5 ≤ BP
25 ≤ ÖVP ≤ 30
elégséges (2)
5 ≤ BP
31 ≤ ÖVP ≤ 37
közepes (3)
5 ≤ BP
38 ≤ ÖVP ≤ 44
jó (4)
5 ≤ BP
45 ≤ ÖVP ≤ 50 (+ többlet)
jeles (5)
A vizsgadolgozat beugró kérdései Alapvető definíciók: primitív függvény; korlátos függvény adott beosztáshoz tartozó alsó/felső integrálközelítő összege, alsó/felső Darboux-integrálja, Riemannintegrálhatósága (és integrálja); elsőrendű lineáris differenciálegyenlet; pontok euklideszi távolsága; halmaz belső pontja, határpontja; nyílt halmaz; (többváltozós, vektor értékű) függvény folytonossága, iránymenti deriváltja, parciális deriváltja, lokális minimum/maximum-helye. Alaptételek: Newton–Leibniz-formula; a parciális integrálás tétele Riemann-integrálra, a helyettesítéses integrálás tétele Riemann-integrálra; a lokális szélsőérték szükséges feltétele (többváltozós függvényekre); Young tétele (a vegyes parciális deriváltakra); Fubini tétele (speciális eset: folytonos függvény integrálása téglalapon). A vizsgadolgozatban feltehető további elméleti kérdések (az előbbiek, valamint) Definíciók: beosztás finomítása, szelekciója, közbeeső integrálközelítő összeg; improprius-integrálok; másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet karakterisztikus polinomja; (többváltozós, vektor értékű) függvény határértéke, differenciálhatósága, deriváltja; kétszer folytonosan differenciálható (többváltozós) függvény; Riemann-integrál korlátos tartományon. Tételek: adott függvény primitív függvényeinek kapcsolata intervallumon; a Riemannintegrálhatóság Riemann-kritériuma és elegendő feltételei; linearitás és intervallumadditivitás Riemann-integrálra; az integrálfüggvény (mint a felső határ függvénye) differenciálhatósága; az integrál, mint terület; forgástest térfogata és felszíne; inhomogén és homogén lineáris differenciál-egyenletek megoldásainak kapcsolata; másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása; (többváltozós, vektor értékű) függvény differenciálhatóságának elegendő feltétele, a derivált-mátrix elemei; Taylor tétele (kétszer differenciálható többváltozós függvényekre); a lokális szélsőérték létezésének elegendő feltétele; integráltranszformáció és alkalmazása síkbeli polár-koordinátákra.
5
A felkészüléshez ajánlott irodalom Bárczy Barnabás, Integrálszámítás — Példatár, Műszaki Könyvkiadó, 2006. Fekete Zoltán, Zalay Miklós, Többváltozós függvények analízise — Példatár, Műszaki Könyvkiadó, 2008. B. P. Gyemidovics, Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó, 1974. Lajkó Károly, Kalkulus II. (egyetemi jegyzet, 1–2. kötet), DE Matematikai és Informatikai Intézet, Debrecen, 2002. Lajkó Károly, Kalkulus II. példatár (1–2. kötet), DE Matematikai és Informatikai Intézet, Debrecen, 2002. Rimán János, Matematikai analízis I., EKTF, Líceum Kiadó, Eger, 1998. Rimán János, Matematikai analízis feladatgyűjtemény I.-II., EKTF, Líceum Kiadó, Eger, 1998. W. Rudin, A matematikai analízis alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978. Scharnitzky Viktor, Differenciálegyenletek — Példatár, Műszaki Könyvkiadó, 2008. Dr. Lajkó Károly jegyzete és példatára jelenleg a http://mat.unideb.hu/boros-zoltan/oktatas.html
web-oldalról tölthető le (pdf formátumban). A példatárban a gyakorló feladatsorok előtt számos kidolgozott megoldás is található. Elérhetőségek Az előadó e-mail címe: — honlapja: — irodája: — fogadóórái:
[email protected] http://math.unideb.hu/boros-zoltan/oktatas.html Matematikai Épület M 326 szerda 14–15, csütörtök 15–16
A tájékoztató mellékletei 4 gyakorló feladatsor: Kalk2-p1a.pdf, Kalk2-p2a.pdf, Kalk2-p3a.pdf, Kalk2-p4a.pdf; 2 gyakorlati dolgozat minta: Kalk2zh1m.pdf, Kalk2zh2m.pdf; 1 vizsgadolgozat minta: Kalk2vd-m.pdf. Debrecen, 2015. május 18. Boros Zoltán
6
