KALIMAT BERKUANTOR Pertemuan 4 Senin, 11 Maret 2013
Pokok Bahasan 1. 2. 3. 4.
Predikat dan kalimat berkuantor Ingkaran kalimat berkuantor Kalimat berkuantor ganda Aplikasi logika matematika dalam ilmu komputer
1. Predikat dan Kalimat Berkuantor Mengikut sertakan jumlah (kuantitas) obyek yang terlibat di dalamnya. Predikat menunjuk pada bagian kalimat yang memberi informasi tentang subyek. Kalimat tidak lengkap: “… lebih tebal dari kamus” Subyek “Buku ini” substitusi ke “lebih tebal dari kamus”. Predikat: kalimat yang memerlukan subyek
1. Predikat dan Kalimat Berkuantor p: lebih tebal dari kamus (predikat) Untuk menyatakan perlunya substitusi subyek (yang tidak diketahui), maka perlu fungsi pernyataan p(x). Fungsi pernyataan p(x): suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraan (eksplisit atau implisit)
1. Predikat dan Kalimat Berkuantor Predikat kalimat: a. substitusi semua variabel dengan suatu nilai. b. kuantor P(x): “x habis dibagi 5” dimana x = 35. Apakah nilai kebenaran kalimat di atas?
1. Predikat dan Kalimat Berkuantor a. Jika p(x) = 1+x>5 didefinisikan pada himpunan A = bil.asli, pada saat apa p(x) bernilai benar? b. Jika q(x) = x+3<1 didefinisikan pada himpunan A = bil.asli, pada saat apa q(x) bernilai benar? c. Jika r(x) = x+3>1 didefinisikan pada himpunan A = bil.asli, pada saat apa r(x) bernilai benar?
1. Predikat dan Kalimat Berkuantor Kuantor: kata-kata yang menunjukkan berapa banyak (kuantitas) elemen yang dibutuhkan agar predikat menjadi benar. Kuantor universal () Kuantor eksistensial ()
1. Predikat dan Kalimat Berkuantor (Universal) Setiap obyek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Mis. semesta pembicaraan x adalah tempat parkir- di FT-UAJM. P(x) adalah predikat “x sudah ditempati.” x P(x), adalah proposisi: “Semua tempat parkir di FT-UAJM sudah ditempati” “Setiap tempat parkir di FT-UAJM sudah ditempati”
1. Predikat dan Kalimat Berkuantor (Universal) x P(x) berarti:
Untuk semua x di semesta pembicaraan, P berlaku. Jika penulisannya (x Є s) P(x) berarti :
Untuk semua x Є s berlakulah P(x).
Jika himp.penyelesaian dari P(x) adalah himp.semesta pembicaraan, maka x P(x) benar. Jika himp.penyelesaian dari P(x) bukan himp.semestapembicaraan, maka x P(x) salah.
1. Predikat dan Kalimat Berkuantor (Universal) 1. Jika P(x) : x+3 > 2 dengan semesta pembicaraan adalah bil.asli Ν. Maka x P(x) adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, karena hp = {1, 2, 3,...}= Ν. 2. Jika Q(x) : x+2 > 8 dengan semesta pembicaraannya adalah bil.asli Ν, apakah x P(x) benar?
1. Predikat dan Kalimat Berkuantor (Eksistensial) Diantara obyek-obyek dalam semestanya, paling sedikit ada satu obyek (atau lebih, asal tidak semua) yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakan. Terdapat, beberapa, ada, paling sedikit ada satu. “” berarti XISTS (terdapat) atau existential quantifier.
1. Predikat dan Kalimat Berkuantor (Eksistensial) Jika himp.penyelesaian dari P(x) bukan himp.kosong, maka x P(x) benar. Jika himp.penyelesaian dari P(x) himp.kosong, maka x P(x) salah.
1. Predikat dan Kalimat Berkuantor (Eksistensial) • Contoh : 1. Jika P(x) : x+4 < 7 dengan semesta pembicaraan adalah bil.asli Ν. Maka (x Є Ν) P(x) bernilai benar, karena hp={1,2} himp.kosong. 2. Jika P(x) : x+4 < 3 dengan semesta pembicaraan adalah bil.asli Ν. Maka (x Є Ν) P(x) bernilai salah, karena hp = himp.kosong
1. Predikat dan Kalimat Berkuantor Variabel Bebas dan Variabel Terikat Sebuah ekspresi seperti P(x) dikatakan memiliki variabel bebas x (berarti, x tidak ditentukan). Sebuah quantifier ( atau ) berlaku pada sebuah ekspresi yang memiliki satu atau lebih variabelbebas, dan mengikat satu atau lebih variabel tersebut, untuk membentuk ekspresi yang memiliki satu atau lebih variabel terikat.
4/6/2009
Fany_LI07_09
14
Contoh Pengikatan • P(x,y) memiliki 2 variabel bebas, x dan y. x P(x,y) memilki 1 variabel bebas, dan 1 variabel terikat. [yang mana?] • “P(x), dimana x=3” adalah cara lain mengikat x. • Ekspresi dengan nol variabel bebas = sebuah proposisi bonafit (nyata) • Ekspresi dengan satu atau lebih variabel bebas adalah sebuah predikat: x P(x,y) 4/6/2009
15
Quantifiers Bertingkat Contoh: misalkan semesta pembicaraan x dan y adalah manusia. Misalkan L(x,y)=“x menyukai y” (predikat dengan 2 variabel bebas) Maka y L(x,y) = “Ada seseorang yang disukai x.” (sebuah predikat dengan 1 variabel bebas, x)
dan x (y L(x,y)) = “Setiap orang memiliki orang yang disukai.” ( __________ dengan ___ variabel bebas.) 4/6/2009
Fany_LI07_09
16
2. Ingkaran Kalimat Berkuantor ¬ ((x Є D) p(x) ≡ (x Є D) ¬ p(x) ¬ (( x Є D) q(x) ≡ (x Є D) ¬ q(x)
3. Kalimat Berkuantor Ganda Kalimat berkuantor diperluas dengan menambahkan beberapa kuantor sekaligus pada kalimat yang sama. R(x,y)=“x percaya pada y” Semua orang memiliki orang yang x(y R(x,y))= dipercayai. x(y R(x,y))= Ada seseorang yang mempercayai semua orang. y(x R(x,y))= Semua orang memiliki seseorang yang mempercayainya
Aplikasi Logika Matematika dalam Bahasa Pemrograman • Pelacakan program dengan penelurusan logika
