Kal ku I us dan GeometriAnalitis

K a kl uIu sd a n Geo m e t r i A n a l i t i s Jirid I

] L.(D -

L

fu*'-*s) 4,,

\--l

' r*Q J" -L "L

r0r

Vz,'6f W&

1

I

i

i

Daftar fsi i'l ,; --

,/-' '

-'

l"'r : ..,.,

i

Kata Pengantar Pendahuluan 1.1 S i s t e mB i l a n g a n Riil-/ 1.2 Desimal,Kerapatan,Kalkulator 1.3 Ketaksamaan 1.4 Nilai Mutlak,Akar Kuadrat,Kuadrat 1.5 SistemKoordinatPersegi-panjang. .v. . 1.6 G a r i sL u r u s! / , . . . 1.7 Grafik Persamaan r' . 1.8 Soal-soal UlanganBab . . 2

F u n g sdi a n L i m i t . 2.1 Fungsidan Grafiknya ". 2.2 OperasiPadaFungsi 2.3 F u n g sTi r i g o n o m e tHr i. . . . 2.4 Pendahuluan Limit .r 2.5 Pengkajian MendalamTentangLimit .v. 2.6 TeoremaLimit y 2.7 KekontinuanFungsi,. 2.8 Soal-soal UlanganBab . . Turunan 3.1 Dua MasalahdenganSatu Tema 3d Turunan Aturan Pencarian Turunan F.3 3.4 TurunanSinusdan Kosinus 3.5 Aturan Rantai. 3.6 Notasi Leibniz 3.7 TurunanTingkatTinggi . 3.8 r.Pendiferensialan lmplisit 3.9 l-ajuyangBerkaitan Diferensialdan Aproksimasi . . . 3.11 Soal-soal UlanganBdb . .

13

r8 25 31 38

I

44 47 48 54

I

62 ), 72 7g 87 94 '$ 102 105 106 114 122 132 13g

..:

\

ffi.

t

f

*i

rr€?'

Daftar Isi

/", PenggunaanTurgnan . .

4.1 q :

4.4 fil' i+"9 4 :

4 $

Maksimum d a nM i n i m u m Kemonotonandan Kecekungan. . M a k s i m u md a n M i n i m u mL o k a l LebihBanyakMasalahMaks-Min Penerapan Ekonomi Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga . . Penggambaran Grafik Canggih TeoremaNilai Rata-rata Soal-soal UlanganBab . .

':.4?

inteqrai ! - ' :

::..) lt

'4

:ra

5;

Anti Turunan(lntegralTak-tentu) Pengantar untuk Persamaan Diferensial NotasiJumlahdan Sigma Pendahuluan Luas IntegralTentu TeoremaDasarKalkulus Sifat-sifatIntegralTentu Lebih t-anjut BantuandalamPerhitungan IntegralTentu Soal-soal UlanganBab . _

fj*nggunaan Integra! ;' .,Luas Daerah Bidang

\L:

'?

ir

I 119f

.

.] :t Ll

Rata . .

,,, Volome Bendadalam Bidang: Lempengan,Cakram,Cincin . . . . . L VolomeBendaPutar;Kulit Tabung

ut::

184 185 193 201 207 215 221 228 233 239

PanjangKurvapadaBidang(Kurva Rata) y. LuasPermukaanPutarV. . . . K e r j a. . . L . . . GayaCairan(Fluida) .1. . . . . Momen,PusatMassaM . . . . Soal-soal UlanganBab

243 251 259 266 274 284 290 299 307 31"! 312 320 328 335 342 348 354 359 368

. {r:iFl:;

FungsiLogaritmaAsli FungsiInversdan Turunannya FungsiEksponenAsli FungsiEksponenUmum dan FungsiLogaritmaUmum Pertumbuhan dan PeluluhanEksponen FungsiTrigonometrilnvers TurunanFungsiTrigonometri FungsiHiperboladan Inversnya Soal-soal UlanganBab

ieknik P4ngm?sgrdt4tr

Pengintegralan denganSubstitusi BeberapaIntegralTrigonometri

372 379 386 393 399 407 415 421 428 43'! 432 439

r

I

i;aftar Isi

3..1

r $.b

fu(

i

') I

d

SubstitusiyangMerasionalkan PengintegralanParsial FungsiRasional Pengintegralan SoalsoalUlanganBab . .

g ./

'4.71

E e n t u k f a k - T e n t u d a r l n t e c i r i - .i a : ' . - W a r a r

I 1 9.? I 3 9.4 I 5

471 47i 48: 49( 49t

BentukTak-TentuJenis0/0 BentukTak-Tentuyang Lain lntegralTak-Wajar:BatasTak-Terhingga ... . lntegralTak-Wajar:IntegranTak-Terhingga UlanganBab . . Soal-soal

49t 499 50€ 512 52( 52( 534

Metrrcei\lumerik,Aproksimasi 1n 1 AproksimasiTaylor terhadapFungsi tt':? Penaksiran Kesalahan 1C.3 PengintegralanNumerik SecaraNumerik. . . Persamaan 1Ca Menyelesaikan 10.5 MetodeTitik-Tetap UlanganBab . . 10.3 Soal-soal

LAmplla.l

J

Li t. t ! ? | 4

63'l

. .

5sz

lnduksiMatematis Teorema Bukti Beberapa TinjauanKe Belakang Tabel-tabelNumerik

541 545 547

f"

-,a'".;;1"rr u ntlt k -$;:a!.r r, al F,..t,-':l *:r t an ii I

..

T f :,oo

't

,ii

)i it' f

\ i

.' ,., 1r , i

t

/

Pendahufuan l . l S i s t e mB i l a n g aR n iil 1.2 Desimal,Kerapatan, Kalkulator 1.3 Ketaksamaan 1.4 Nilai Mutlak,Akar Kuadrat,Kuadrat 1.5 SistemKoordinatPersegi-panjang 1.6 GarisLurus 1.7 GrafikPersamaan 1.8 Soal-soal UlanganBab . t )eometn korrrli4stl iarh melehihi rlari spekuitsi tietafisisnv*. ,nensahdikdnnanio f)eseort€s drm .ne*ttpakan iangkah tunggal terbesar .vangperuak di.:tit ai,i ai tzmp er i; eIn il (tt,gdt t.;Imu-ilm.u ek sak t a. iohn ituart ilIill

ReneDescartesdikenal sebagaiahli filsafat modern pertama yang besar. Ia juga penemu biologi modem, ahli fisika, dan mate. matikawan. Descrateslahir di Touraine, Perancis, putra dari seorang ahli hukum, yang kekayaannya.Ayahnya mengirimi lumayan KeKayaannya. I nya ke sekolah Jesuit pada umur delapan , tahun. Karena kesehatannyayang kurang ;baik, Descartes diijinkan menghabiskan r waktu paginya belajar di tempat tidur, ; suatu kebiasaanyang dipandangnya beriguna sehingga dilanjutkannya separ{ang : hidupnya. Pada umur 20 tahun, ia men- dikan itu mengantarnya ke matematika, , dapat gelar sarjana hukum (dapat anda yang ia simpulkan scbagaisaranapengem_ ,bayangkan seorang SH yang juga ahli bangan kebenarandi segala bidang. Karya : matematik?) dan selanjutnya menjalani matematikanyt yang paling berpengaruh ikehidupan s€orang tuan yang terhormat, adalah La Geometrie, yang diterbitkan menjalani {inas militer beberapatahun dan tahun 1637. Di dalamnya, ia mencoba tinggal beberapa waktu di Paris dan ke- suatu penggabungandalj geometi tua dan mudian di Belanda.Ia pergi ke Swediadi- patut dimuliakan dengan aljobar yang undang untuk mengajari Ratu Christina, masih bayi. Bersamadenganorangperancis di mana ia meninggal karena pneumonia lainnya, Pierre Fermat (1601-1665), ia padatahun 1650. diberi pujian dengan gabungan tersebut D6scartesmenyelidiki zuatu metode yang saat ini kita sebut geometri analitik. berpikir yang umum yang akan memberi- atau geometri koordinat. Pengembangan kan pertalian pada pengetahuandan me- lengkap kalkulus tidak mungkin tercapai 'nuju kebenarandalam ilmu-ilmu. Penyeli- tanpa dia.

I

i

1

1 . 1 S i s t e m B i l a n g a nR i i l Kalkulus didasarkanpada sisternbilangan riil dan sifateifatnya. Tetapi apakahbilary' an riil itu dan apa sifat.sifatnya? Untuk menjawab, kita mulai dengrn beberapa sistem bilangsn yang lebih sederhana. yangpa' BILANGAN-BILANGANBULAT DAN RASIONAL Di antarasistembilangan, adi, ling sederhanaadalahbilangan'bilangan 1,2, 3, 4, 5, 5, ... Dengan bilangan ini kita dapat nunghitur4l: buku-buku kita, teman'teman kita' dan uang kta. lita kita gandengkannegatifnyadengannol, kita perolehbilangan'bilanganbulat: . . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , .. Bilamana kita mencoba mengukttr panjang, berat atau tegangan listrik, bilangan' bilangan bulat tidak memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memberikan ketelitian yarg-cukup. Kita dituntun untnk juga mempertimbangkanhasil bagi (rasio)dari bilangan' bilanganbulat (Grnrbar 1) yaitu bilangan-bilangansePerti -17 -7 2t 19 16,_ 3

1-

T,T,-,=,T,sn I

?

I 3 l

3

I

l

1 4

/+/------

3 4

GAMBARI

GAMBAR2

-f, walaupunsecara Perhatikan bahwa kita menyertakanf aan normal kita menuliskannyasebagaiI dan -17, kapna psuei dengan arti pcmbagian yang biasa meroka sama dengan yarg belakangan' Kita tidak menyortalcanf atau {, karenatidak mungkin membuat ini 0ihat Soal 35). Marilah kita pengertian dari lambang-i".U*i bersepakatuntuk seterusnyarmmbuang pembagisnoleh nol dari buku ini (Gambar 2). Bilangan'bibngsn yurg dapat ditulidcan dalam bentnk mfn, di rnanam dan n adalahbilangantilangan bulat dengan n * 0, disbut$ilurgrntitrngan nsiond.

GA-IUBAR3

Apakah bilangan-bilanganrasional berfungsi mengukur semua panjang?Tidak. Fakta yang mengejutkanini ditemukan oleh orang Yunani kuno beberapaabad sebelumMasehi.Merekamemperlihat' kan bahwa meskipun.u/2merupakanpanjangsisi-miringsebuahsegi' tiga siku-sikudengansisisisi I (Gambar 3), bilanganini tidak dapat ditulidcan sebagaizuatu hasil bagi dari dua bilangan btrlat (lihat Soal43). Jadi .r/Z aaaUl suatubilangantak'rasionsl.Demikianjuga lain. bilangan sekelompok .fi,,{5, {,ndan

Bab I Pendahuluan

BILANGAN-BILANGAN RllL Sekumpulanbilangn (rasionaldan tak dapat mengukur panjang,bersama-sama dengannegatifnya dan nol kita nametn an-bilanganriil. Bilangan-bilanganriil dapat dipandangsebagaipengenal(label) untuk panjang sebuahgaris mendatar. D sana bilangan-bilanganini mengukurjarak kc atau ke kiri (arak berarah)dari suatu titik tetap yang disebuttitik asaldan dibcri (Gambar4). walaupun kita tidak mungkin memperlihatkansenua label itu, tiap tift mang mempunyai sebuahlabel tunsgal bilangan riil. Bilanganini disebut koordinet I tersebut.Dan gariskoordinat yang dihasilkandiacu sebagaiSarisriil. l -g 1 7 2 2 Vz 3 t l _ L l l _ l t t l t t i l | _ -3-2 -1 0 1 2 3 1GAMBAR4

Terdapatlambang-lambang baku untuk mengenalikelas.kelasbilanganyang se;auhini -"rti l telah dibahas'Mulai sekaranS,Nakan menyatal.
n: Bilen$n Riil

GAMBAR5 GAMBAR

Hampir semuamahasiswaakan ingat bahwa sistem bilangan masih dapat diperluas lebih jauh lagi ke bilanganyang disebutbilanpn kompleks. Bilangan-bilangan ini berbentuk a + bt/-1, di manaa dan D adalahbilangan-bilangan riil. Bilaigan-bilangankompleks akan jarang dipakai dalam buku ini. Kenyataannya,jika kita mengatakanbilanganianpa penjelasankhuzus,anda dapat menganggap bahwayang dimaksudkanadalahbilanganriil. Bilangan-bilangan riil merupakanciri utama dalamkalkulus.

EMPAT oPE RASI H I TUNGAN Dengandua bilanganriil x dany, kita dapatmenambahkan atau mengalikankeduanyauntuk memperolehdua bilanganriil barui +ydanx. y 'l (biasanyacukup dituliskan xy). penambahandan perkalian mempunyai sifat-sifat yang telah dikenalberikut. Selanjutnya,kita menyebutnyasifat-sifatmedan.

I

.

',

{clkuttrt rlnn GeometriAnalitis

*

lilid

I

Sifat*iiet Medsn : = yx. = * xy y.+ x da'r x komutatif. Hukum | l. 2 . Ilukum asosiatif.x +bt + 11=Q + y) t z dan{(yz)=&y)z 3. Hukum distribusi. x(y + z) = xy + xz. 0 dan I 4. Elemen-ehmenidentitas. Terdapat dua bilanganriil yang berlainan = = yangmemenuhix+ 0 x danl' I x. juga l s . b"fit* (lnvers). Setiap bilanganx inempunyai=bolikan adiril(disebut -bilangan x ('r) 0. Juga,-setiap I sebuahnegotifi, -x, y.ng memenuhiI + i yang (disebut kebalikan)x-'' perkdlian iuga kecuali 0 mempunyeibalikan t memenuhix'.r-1 = l. I I

kngurangan dan pembagiandidefinisikan dengan

x-y:x+(-y) dan

x

v

x.y '

semua Dari fakta-fakta dasarini, banyak yans lain nnnyusul. Kenyataannya,hampir pem' dan pengurangan definisi dan sifat medan pada lima aljabarpadaakhirnyaberpatokan

o'lii:i":i: 1 i

di x ( y berartix berada UnUflN PADAGARISBILANGANRllL Misalkan riil' kiriy padagarisbilangan sebelah

I I

riil bukan nol secarabaik dipisahkanmenjadi duahimpunan URUTAN Bilangan-bilangan Fakta ini meterpisah bilangan-bilurganriil positif dan bilangan'bilanganriil negatif. yaitu dari") < (dibaca'kurang ulutan relasi mungkinkankita memperkenalkan

x
€

y-x

positif

+ (sehingga)6un e (kalambang dua anak panah€ di sini merupakankonjungsi dari "jika dan hanyajika". Kita "setara dengan"atau sebagai rena).Ja'di,o boleh dibaca 3 <4,4 >3' -3 1-2'dan x 1y dany) x akanberartisama'Sehingga setup Uatrwa ( _ 2> _ 3.Perhatikanungkapangeometrik yangditunjukkandalamkotak di bawahini'

-f l.

2. 3. 4.

t-

Sifat-sifat Urutan y bilangan-bilar8an, maka pasti satu di antara adalah Trikotomi. Jika x dan yang berikut berlaku: x ( Y a t a uY = Y a t a u x ) l . Ketransitifan. x 1Y danY 1z + x 1z Fcnambehan. x 4Y ex + z 4Y + z perkalian. Bilangan e positif, x 1y e xz (yz. xz) yz.

Bilamana z negatif, x (y

e

,7

Relasiurutan((dibaca''kurangdariatausamadengan'')adalahsePuPu (. Relasiini didefinisikandengan <> y-x

xsl

positifataunoi

( oleh ( denganlambang'lambang dan ) diganti Sifat-sifaturutan 2, 3, dan 4 berlaku

>/.

I

''tHasilpentingdalammatematikadisebutteottml'danAndaakan ini' Teorema.yailtflT:ti nemukan cukup banyat i' o" m-udalam buku. ""#.*:: gthagorasi reorema (misalnva

llTr'Jll*ii'"-:"i ffiiio

diberinama bukuini biasanya

de['d dalam kelomfok'kelompok soal dan diperkenalkan sedangkan lainnya o.u"i aksfom dengan membedakannya Untuk Uinwo. kau nnjukkan bahwa ^iiiiir*o" ataudefinisiyangkebenarannyatelahdianggappasti,teoremamemerlukanpembuktian. "Jika P maka Q" seringkali disitlckf Teorema yang cap"i amyataran dal_ambeltuk dan Q sebagaikesimpulanteoremFtd denganp + Q.rita namakani sebagaihipotesis "tunjukkanlah bahwaP harusdapat merlyati sebut. pembuttian yang meigandung-unsur kanQ". mengalamitezulilal memUedan Para mahasiswatingkat pertama kadang-kadang p pernyataanini tidak sama'serbag * kedu-a Jelasnja' P + Q dengank"b"[k;;;;'Q pt ,,Bila John.a.uf*orlng Indian maka ia adalahorangAmerika" merupakan contoh: "Bila John adalahorangAmerika mlka - + - F yat nyataanyang benar, .k;; ;;;;;ii.f.runny. yang salah' Di lain pihak' I orangMinnesota"jelas merupakanpernyataan ,,bukan *.ny.-t"r.n bukan P;'
'

Teoretu:

. --t ^r^r-L +, tak'rasionaladalahtak'rasi*"f Jumlahda;iltatu bilaqglrnrasionaldanbilangan

.

"Bilax = mln' dimana'ndann adalahbilang berikut: dapatditulissebagai frff."i"i Kitamiball makax + y adalah'takrasional"' bu) .bu{at,danbilay "d"hh ;;;;;i"t'"'io""t' x + y =plq di-manapdanq adalahbilangan vrasional,dandengandemikian *+ ' Maka p m np-mq D 'u

: 1 q - . { - -q- - : - n

q

n

denganhipotesis'Kita beril Ini berarti bahway adalahbilanganrasional,bertentangan teorematadi terbukti' Caralainuntukmenunjukkanpembuktiansecarakontradiksiadalahdenganflrrl -R, bukan kedua'duar Salahsatu di antaraR atau Exchtded Middte y.";;;;;yi:

1

l

Kalkulus dan Geometri

"Jumlah suatu bilangan rasional dan pada teorema di atas, bila R adalah pernyataan -R' tidak menunjukkan bahwa bilangan takrasional adalahtak asional'l pembuktian kita benar,makaberartiR benar. cara lain yang dikend Kadangkala, untuk melakukar, pembuktian kita memerlukan denganlndrrksiMatematis,y*gp"d"kesempataninitidakakandibahaskarenaterlalu kami berikan padal:mpiran A'l' ,irr.i- n * tetapi, pembah"on v*g selengkapnya

REIXJCTIO AD ABSURDTJIU. nama re&tctio ad abatfun\ Pembuktian dengaqkoatrakdiksi dikeaal pula dengan besar G'H' Hardy: *p"nl apa,ysn; tekh dikttals'4 obh pakar matemetika -Rcducti,oadabsurdumyansssrsatdieenangiolshEuclid,adalahmerupakan yaag isuh ,.ninr" paling ampuh U"gt p"t" matematikawan' Merupakan Fmbit monawlr' dapat pemain catur s€orang tlift "tnpuftiari gambit catur manapun; mEt€matiks tetapi rkm ldnnya' buab ataupun kan p,iorbanan tebuah bidak wen nenawarkan Permainan"

S o A L - S O A L1 . 1 Anda pasti masih ingat bagaimana memanipulasikan bilangan, tetapi tidak ada salahnya untuk mengulang kembali sejenak. Dalam Soal-soal l'20, sederhanakan sebanyak mungkin. Pastikan untuk menghilangkan semua tanda kurung dan memudahkan semua pecahan. 1.4-3(8_t2)_6

z. 213- 2(4 - 8)l 3 . - 4 [ 3 ( - 6 + 1 3 )- 2 ( 5- e ) ] 4. 5[- r('7+ 12- 16)+ 4f + 2 5. *-(i+3) 6.

i-&-g)

7. +ti(i_*)+*l

-ir3-+(*-in 9. # G - + r

8.

1 0 . t * + 3 V (+ r 1) ll

#-+

12.

i-i+Z

ll , 3 4tr7_

tiT-

1J.

| __-

l4

)- r' - t-

z

3 ,

r f

5

z

$. (J, + l3>t"h- .,f;t

(,n+,rt)' 16. n.3{(A - ..fr) t8.2{tX, +./Gt le. (t + j)-'

n (h-*)' Sedikit latihan a[abar akanbaik untuk mahirsiswakalkulus. Dalam Soal-rcal2l-34, lakukan operasi yang diminta dan sederhanakan. 21. (2x - 3)(2x+ 3) 22. Qx - 3)' 23. (3x - 9)(2x + l) 24. Gx-+ ll)(Zr - 4)

Bab I Pendahuluan 39. Buktiksn bahwa rata-rata buah bilangan terletak di antara bilangan itu; artinya, 6uktikan bahwa

25.(3r2-r+l)2 26. (2t - l)3 27."-4 x - 2

a
,- x2-x-6 x - 3

7X=.---

40. Mana di antard yang berikut se. lalu benarjka a 1b?.

;9.xt-8 2x-4

(a)a-4
2x - 2x2 .tu. -.---."-..-.".------'--_ x"-2x'+x -it.

6

18

*! * x*3 x2+-lx'x

y ,,a' _ 2 ' ' ' ' 6 Y - 2 L' 9 Y z - l ql1

,. x'+x-6 xt-l

2y+l l-3Y

x2+ x-2 x'+5x+6

x

2

.I J. r - l - x ' _ c x + 3

- +5 x - l

5 x - 3

.'l5. Cari nilai masing-masing y4rg ber' ikut; jika tak terdefinisi, katakan demikian.

(b)8Yr (d)I ^/ (f)o'o

( a )0 . 0 p (c) 8o (e) 80 |

.16. Perlihatkan bahwa pembagian oleh 0 adalah tanpa arti sebagaiberikut: Andaikan a * 0. Jika a/0 = D, maka a = 0.b = 0, yang merupakan kontradiksi. Sekarang cari alasan mengapa 0/0 juga tanpa arti. r j7. l{yatakanlah apakah masing-mayang sirg berikut benar atau salah.

(b) r > -39 (d) -4> -16

(a) -2 < -20 ( c )- 3 < 8

(f) -+ < -f3

( e )9 < 3 3

(b) -a < -D (d) a3 < azb

'1L Bilangan prima adalah bilangan asli (bilangan bulat positif) yang hanya mempunyai dua bilangan asli pembagi,bi langanitu sendiri dan l. Beberapabilangan prima yang pertamaadalah2,3, 5,7, ll, 13, 17. Menurut TeoremaDasarHitunga4, setiapbilangan asli (selain l) dapat kita trilis sebagaihasil kali suatu himpunan unik bilangan prima. Misalnya,45 = 3 . 3 . 5. Tuliskan masing-masing yang berikut sebagai suatu hasilkali bilangan-bilangan prima. Catatan: Hasil kali tersebut adalah trivial jika bilangan itu adalah prima-yaitu, ih

hanyamempunyai satufaktor. (b) 310 @) 2a0 (c) lle (d) 5400 -i I GunakanTeoremaDasarHitungan (Soal al) untuk membuktikanbahwakuar drat sebarangbilanganasli (selain1) dapat kita tulis sebagaihasil kali suatu himpunart unik bilanganprima, denganmasing-masing bilanganprima ini muncul sebanyakbilang. M g e n o p .M i s a l n y a( 4 , 5 ) 2= 3 . 3 . 3 . 3 . 5 . 5 . '\ ,+Y. Buktikan bahwa V7 adalah tak. rasionai.Petuniuk: Andaikan t/T = plq, tr manap danq adaalahbilangan-bilangan 4gli (bukan I ). Maka 2 = p2f q2 , sehifigg;2qf= p2. Sekarang gunalianSoal42 untuk menemukan suatukontradiksi. 4-1. Buktikan bahwa V5 adalah takrasional(lihat Soal43).

jika a ) 0, 38. Buktikan masing-masing

D>0. (a)a
+-a2
(b)a
€

-l ) ;1 a

b

45. Buktikan bahwa jumlah dua bilanganrasionaladalahrasional. 46. Buktikan bahwa hasilkali sebuah bilangan rasional (selain 0) dengan sebuah

I

i

r

t bilangan takrasional adalah takrasional' Petuniuk: Coba buktikan melalui kontradiksi.

Tunjukkan bahwa bila bilangan asli m bukan merupakan bentuk kuadrat sempurna, maka tfi takrasional'

Mana diantara yang berikut rasional dan mana Yang takrasional?

Twiukkan f] rasioYial.

(b) q375 (d) (l + v6)'

t'D,..fr @\t+rf;

Tunjukkan bahwalog1e5takra-

Apakah jumlah dua bilangan tak' rasional pasti takrasional? Jelaskan.

qF!}{?i{11:t;-

tat-

Tunjukkan b a h w at f ; , - 1 6 + 116takrasional.

0 sJt

@ eJ^6{2)

bahwa 16 +l'6

sional.

::+|**+:€'/

. .... . ,._:*s

*ittl*+

*t,-r+

:';' ia,

de' dapat ditulis sebagai,suatu desimal,karenaberdasarkan *0"r.", ori'."*;;;.t finisi bilanganini selaludapat dinyatakan sebagaihasil bagi dua bilanganbulat; jika pembilangkita bagi denganpenyebut,kita perolehsuatu desimal..Misalnya(GambarI )'

,375

8W / 2 4

656 40 40

$ = ,a z s

tz: o't

1,181 11/ 13,000

/ rt

T

1 : 0,375

11 90 88 20 11 9

li: t,tttste...

{f= r,rerere...

1:

'" o{2sstr428s7r428s7r

Sebagai takrasionaldapatjuga diungkapkansebagaidesimal-desimal' Bilangan-bilangan contoh.

... Jz : tgt+2r3s623 J3:t,'t320508075... .. n : 3,1415926535. Pemyataan desimal suatu bilangan = 0,375) atau. akan berulangdalam (seperti.
/-

-

BobI Pendohuluan mempunyaiakhir dapat dipandangsebagaisuatudesimalberulangyangangka-angka nya semuanyanol. Misalnya,

3 : 0.375: 0.3750000... 8 Jadi setiapbilanganrasionaldapat ditulishan sebagaisuatudesimalberulang.Adalahsuatu kenyataanyang penting batrwakebalikannyajuga benar.Setiapdesimalyang berulangmo- I nyatakan suatu bilangan rasional.Ini jelas dalamkasrs suatu desimalberulang(misalnyd, 3,137 = 3 137/1000) dan mudahdibuktikan secruaumum. qj{}uTt')H I (Desimalberulangadalahrasional). Buktikan bahwa x=0,136136136...

dan

y=027171717...

menyatakanbilangan-bilangan rasional. Penyelesaian.Kita kurangkanx dari 1000xdan kemudianselesaikan untuk x.

1000x: 1 3 6 , 1 3 6 1 3 6 . . . x 0 , 1 3 6 1 3.6. . 999x: 136 x

r36 999

Demikianpula, 100Y: 27,17171717 -.. Y: 0,27171717... 99Y:26,9 'v _ 2 6 , 9_ 2 6 9 99 990 Secara umum,langkahpertamaadalahmengalikan suatudesimalberulangzdenganl0r' jika desimaltersebutberulang *? dalamnratudauryangmemuatm n$a. Pernyataandesimalbilangan-bilangan takrasional tidak berulang menurut suatu daur. Sebalikhya, suatu desimaltak berulanggasti menyatakan suatu bilangan .takrasional. Sehingga,misalnya, 0 , 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0.1 . . pasti nrenyatakan suatu bilangan takrasional. Diagram dalam Gambar 2 meringkaskan apa yangtelah disampaikan.

Di antaradua bilanganriil spbarang yangberlainanx dany, terdapot Khuusnyr, bilangan z = (x + y)12 ad,alahbilangan pertengrbea

J

i

J

Kalkulus dan GeometriAnalitis

l0

Jitid I

antara x dan -v (Gambar 3). Karena terdapat juga sratu bilangan s antara x dan z dan

bilanganlain r antaraz d,m y dan karena argumentasiini dapat diulang sampai takterhingga, kita dipaksamengambilkesimyang menakjubkan tetapi benar bahwa di antara dua y pulan x x+y bilangan riil sebarang (tidak perduli betapapun dekatnya), terdapattakterhinggabanyaknyabilanganriil lain. Ini samasekaGAMBAR 3 li akan menghapuspemikiran seperti "bilangan yang sedikit lebih besardaripada3". Tidak terdapatbilanganyangdemikian. Sebenarnyakita dapat mengatakanlebih buryak. Di antaradua bilanganriil sebarang yang berlainan,terdapat bilangan rasionalmaupunbilangantakrasional- dan karenanya takterhinggabanyaknyadari tiap jenis. CONTOII Z. Carilah suatu bilangan rasionaldan bilangan takrasionaldi antarax dan y jika

x = O,31234158. .. y = 431234200... Pe ny elesaian. Andaikan

z = 0.312341600000.. . w = O.3123416010010001. .. 0), sedangkan w adalahtakrasional Makaz adalahrasional(berakhirdenganpengulangan jelas (perhatikanpola penyisipan 0 yangsemakinbanyakdi antaraangkal). Seharusnya bahwax
t

Satu cara bagaimanamatematikawanmemeriksa situasi yang telah dibahas tersebut adalah dengan mengatakanbahwa bilangan rasionaldan takrasional keduanya rapat sepanjanggaris riil (Gambar 4)- &tiap bilangur.mempunyaitetangga rasionaldan takrasionalyang cukup dekat dengannya - Keduaje nisbilangan tersebutsaling berkaitan tak terpisahkan dan menggeromb ol bersama-sama.

Bilangan Takrarional

GAMBAR 4

|

|

lllll

I l/' rl

1,41 | 11414

Salah satu manifestasi dari sifat kerapatan yang baru saja diuraftan adalahbahwa sebarang bilangan takrasional dapat dihampiri oleh suatu bilanganrasionalsedekatyang kita sukai.Contohnya adalah./ 2 . Barisanbilangan-bilangan rasional |; 1,4;l,4l; l,4l4; l,4142; l,4l2l; l,414213,... . berbaris dan tak dapat ditawar-tawar menuju 5). Dengan berjalan cukup jauh J2 (gan,;.l,fru dalam barisanini, kita dapatberadasedekatmung' kin ke.ri 2 sepertiyangkita inginkan.

hb I Pendahuluan

lt

KALKULATOR Di masayant laru para ilmuwan dan insinyur berkeliarur di kampus 'sude'rsle tergantungdi ikat pinggangrrya. saat ini mereicamengantongikaftulator 9:ngT di sakunya. Jika anda belum mempunyai satail satu dari ahli sihir elektronika ini, kami anjurkan anda untuk membelinya. yakinkan unbrk memperoleh model ilmiah (dengan sinus, kosinus, dan logaritma) dan, jika anda m.mpu, kami rekomendasftan versi ylg dapat diprogram. Anda akan menjumpai banyak penggunaankalkulator dalam buku ini, khunrsnyadalamsOal-soal yang ditandaidenganE.Satu kenyataanyang-segerajelas kelihatan adalahbahwakita tidak dapat memasuk. kan suatu desimaltak berhinggake dalam sebuahkalkulator. Kalkulator secaraeksklusif bekSrj-a !_engandesirhalyang panjangnyatelah ditentukan sebelumnya@;r";";*lr' angkd. Nyatanya, kalkulator hanya menanganibilangan-bilangan rasionatdenganuraian I desjrnalyang berhenti secaracepat.Sehingga, kita sring harusmembulatk- *"tu bilangan untuk-memasukkannyake kalkulator, dan jawab yang diberikan oleh kalkulator biasaiya juga akan dibulatkan. Misalnya,kalkulatoi tidak ahan pemah memakainilai sebenarnya darir/2 tetapi haruspuasdengans.uatuhampiransperti

uE x \414213562 Di sini kita telah memakailambange; untuk menyingkat ungkapan,,secarahampiransama dengan". Nasehatkami adalatrini: lakukan perhitunganyangmudab tanpamemakaikarkulator, jika ini dapatmenghasirkan jawab yang seuenarnya. Msalnya, secaraumum kita $y.**t" lebih menyukai lawab "i*' sinus dari zr/3 dibandingkannilai hasil Tb.n.Tyl ,i112 kalkulatoi 0,8660254. Tetapi, dalari pr.tit*g* yang rumit kami anjurkan penggunaan kalkulator' Anda akan lihat bahwakunci 3awablnkami padabagianakhir buku senngkali memberika' jawabanyangsebenarny.*"upun hampiran desi.uiy"rrg diperolehdari penggunaankalkularor.

S O A L - S O A L1 . 2 Dalam Soal-soal l-6, ubah tiap bilangan rasional menjadi desimal dengan melakukan pembagianpanjang.

1.3

2.+

3.*

4.*

s.+

6.+

Dalam Soal-soal7-12, ubah masing-masing desimal berulang menjadi suatu hasil bagi dua bilangan bulat (lihat Contoh I ).

.. . 7. 0,r23r23t23 g. 2,56565656 .. . I l. q19999 . . .

8. 0pr7r7r7r7... lo. 3,g2g2g2 ... tZ. O,3ryggg . ..

I 3. Dari Soal-soalI 1 dan 12, Anda melihat bahwa beberapabilanganrasional tertentu mempunyai dua uraian desimat

yang berlainan(0,199999.... = 0,200000 . dan 0,399999. . . = 0,400000). Bilangan-bilangan rasional mana yang mempunyai sifat-sifat ini? 14. Buktikan bahwa bilangan rasional sebarang p/q, aengan faktorieasi prima dari 4 seluruhnya terdiri dati 2 dan 5, memiliki suatu uraian desimal yang mempunyai akhir. 15. Carilah eebuah bilangan rasional positif dro sebuah bilangan takrasional poeitif yang keduanya lebih kecil dari pada0,00001. 16. Berapa bilangan bulat positif terkecil? Bilangan rasbnal positif terkecil? Bilangan takrasional positif terkecil? 17. Cari bilangan takrasional antara 3,14159 dan r (lihat Contoh 2 dan catat bahwa n ='31141592.. .).

r-.'

Kalkulus don Geometi Analitis

t2 18. Apakah( " - +) Positif' negatif, atau nol? 19. Apakah terdapat bilangan antara 0,9999 . . . dengan angka 9 yang berulang terus dengan l? 20. Carilah bilangan rasional antara

#tl aenean 12l321. Apalcah0,123456'7891011 rasional atau takrasional? (Anda 14. seharusnya melihat suatu pola dalam barisan angka Yang diberikan). 22. @rilah dua bilangan takrasional YangjumlahnYa rasionaL hampiran @| Dalam Soal-soal 23-32, cari desimal yang terbaik yang dapat dilakukan oleh kalkulator anda'

zt.(J1+ D,

24.Qfr- ,fri' 2s.lr,2r5 - J'iPt5 26. (3,617)-tt2

dk E Sl. Gunakanlah Pemikiran Yang bahas dalam Soal 33 untuk menghitung x4 - 3xt + 5x2 + 5r - l0 Pada setiaP nilai. = I (b)x = n (a) x = 13,53 (c) x 35. Suatu bilangan D dinamakan batas atas ilari suatu himpunan bilangan S bila x ( D untuk setiap x di S. Sebagai contoh 5, 6,5 dan 13 adhlah batas atas d a r ih i m p u n a n S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . A n g k a 5 merupakan batas atas terkecil dari S. Demikian pula 1,6, 2 dan 2,5 adalah batas tak-terhingga himPunan dari atas r = it,4, r,49. t,499,1,4999... j, di mana 1,5 aclalah mcrupakan batas atas terkecil. Tentukan batas atas terkecil dari setiaphimPunanberikut:

(a) s = { -to, -e, -6, -4, -2} ( b ) S= { - 2 , - 2 , t , - 2 , r r ,- 2 , l l t , -2,111...] (c) s= {zic,z.qq,2.q4, 2.4444,. . .j

!En- lB ", "" --{7--

(d).s={l-i,l-*,

l- i, I - i, ... j (e) S= {x:.r=(-lf +l/n,nbilangan

Jt$l + Jw -\' (/i{rf - $8 x 106)

x 10?)(5,23 .^ (6,34 ----421; *'' ron

(0,00121)(5,23 x l0-3) 6,16x 10-

30.

t; Jt,f+z+t .:. X@ - D,t Perhatikanbahwa 2x3-7x2+llx-2: l(2x-7)x+lllx-2 Untuk menghitung suku di ruas kanan untuk x = 3, tekan tomboltombol berftut pada sebuah kalkulator aljabar logika.

icl ff

2 E ] 3 E 7 E E 3 E n E 8 3 E2l E Gunakanlah pemikiran ini untuk menghi tung ungkapan yang diberikan dalam tiap

kasus. (s,) x = lt (c)x=11,19

Jilid i

(b) r = 2,15

bulat positif ]; yaitu, S adalah himpunan = scmua bilangan r Yang berbentuk x bilangan (-lf + l/n, dengan n adalah bulat positif. (f) S= {x:xz rasional ].

1

2, r

adalah bilangan

KelengkaPan untuk i6 Aksiomt bilangan-bilangan riil menyebutkan: Setiap himpunan bilangan-bilangan riil yang memiliki batas atas, mempunyai.sebuah batas atas terkecil berupa bilangan riil' (a) Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut di atas, salah bila kata riil diganti dengan rasional. (b) Apakah pernyataan tersebut di atas akan benar atau salah bila kata riil diganti dengan asli? Contoh: Bilangan-bilangan riil R adalah satu-satunya himpunan bilangan-bilangan yang sekaligus memiliki sifat medan, sifat urutan, dan sifat kelengkaPan.

,. '.Pr:t!':;an,a;'r

Menyelesaikan - 17 = 6 atau*2 -, - 6=0)merupaka{ suatupersamaan(misalnya,3x satu tugas tradisional dalam matematika;hal ini penting dalam kuliah dan kami anggap anda ingat bagaimanamengerjakannya.Tetapi hal yang hampir samapentingrya dalam kalkulus adalahpengertianpenyelesaian ketaksamaan(misalnya,3x - l1-{-6 atau x2 - x - 6 > 0). Menyelesaikanzuatuketaksamaanadalahmencarisemuahimprmanbilangan rifl yang membuat ketaksamaanberlaku. Berbeda dengan persamaan,di mana himpunan pemecahannyasecaranormal terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlahbilangan berhingga,himpunanpemecahan suatuketalaamaanbiasanyaterdiri dari.suatukeseluruhan selangbilanganatau, dalam beberapakasrs, nratu gabungandari selang-selang yang dem$ kian. -

I

,1".--l..1.-".l".1.."L---rf--""t0 1 2 3 4 5 7

2 -1

6 ( - 1 , 6 )= l x : - 1 ( x < 6 )

.

-

I

t t

2

I -L.J. "l-.,1-.1 -1

0

1

2

3

4

5

t - 1 , 5 1 = { x : - l - < x( 5 )

Penulisan Himpunan

6

7

'' ,.ai i: Beberapa jenis selangakanmuncul delam pekerjaankita dan kami akanmemperkenalkan istilah dan carapenulisankhususuntuk selang ini. Ketaksamaanganda a < x < D memerikan selang terbd
Penulisan Selang

{x:a<x
b, bl

{x:a<xco}

la, bJ

{x:acx
la, bl

{x:a<xco}

la,b1

{x:xco}

l- *, bl

{x: x
l- *, bl

{",">"}

la, -)

{^,">r}

la, *l

Grafik

a

b

****4b

b

: -1-**.:.' a

R

(- -, -)

i

i

"Kalkulus dan Geometri Analitis

l4

..4./

Jilid I

prosedur MENYELESAIKAN KETAKSAMAAN Samahalnyasepertidenganpersamaan, pengubahan tiap langkah terdiri ketaksamaan satu atas ketaksamaan untuk menyelesaikan kali sampaihimpunan pemecahanjelas. Alat utama adalahsifat-sifaturutan dari Pasal1 l. operasi-operasi tertentu padasuatuketaksamaan Ini berarti bahwakita dapat melaksanakan tanpa mengubah himpunanpemecahannya.Khusumya: bilanganyang tamapadakeduapihak stntu ketaksama' 1. kita dapat menambahkan 2. 3.

aN kita dapat mengalikan kedua pihak suatu ketaksamaan dengan sudtu bilangan positif; kita dapat mengalikan kedua pihak dengan watu bilsrgnnegatif, tetapikemudian kita harus membalikkan arah tanda ketaksamaan.

- 2 dan perlihatkan grafik himpunan CONTOH I . Selesaikanlah ketaksamaan 2x - 7 14x penyelesaiannya.

Penyelesoian. -3:o

-1

2x-7<4x-2 o

1

2

3

G r={,,,>=}} GAMBAR3

2x < 4x * 5 -2x < 5

(tambahkan7)

> -Z

ftalikan dengan-1)

X

(tambahkan-4x)

I

Grafik tampakdalamGambar3. CONTOH 2. Selesaikan-5 < 2.x+ 6 <4. Penyeleuian. I r!_!____l____.!___!___!.I -7-6L --4-3-2 r-5 -1 O

I I

-{<'<-r} ti'-)=1,,

<2x*6<

-il <2x

<-2

4 (tambahkan-6)

_.7

GAMBAR 4

grafiknya. Gambar4 memperlihatkan

I

Sebeiummenanganiketaksamaankuadrat, kita tunjukkan bahwa suatu faktor linear berbentukx-aadalahpositifuntukx-cadalahpositifuntukx>adannegatifuntuk x < .r. lni berarti bahwahasil kali (x - a)(x - b) dapat berubahdari bernilai positif men' jadi negatif, atau rbaliknya, hanyapadaa alav b. Titik-titik ini, pada mana suatu faktor adalatrnol, disebut titik-titik pemecah.Titik-titik ini merupakankunci untuk menentukan himpunan pemecahandari ketaksamaankuadratis atau tingkat lebih tinggi. CO\ tOH .l Selesaikanlah kuadratx2 - x ( 6. ketaksamaan Pen.rrlc,uiatt Sebagaimanadengan persamaankuadrat, kita memindahkansemuasuku bukannol ke salahsaturuasdan faktornva.

x2-x<6 - x - 6< 0

f (x - 3)(x + 2\ <0

L

(tambrtrkan-6) (faktorkm)

Bab I Pendahulwrt

Kita lihat bahwa - 2 dan 3 adalah titik-titik pemecah:titik-titik ini membagigarirll menjaditiga selang(-.o, -2I (-2,3), dan (3, oo). Padatiap selangini,(x- 3Xr * bertandatetap, yakni selalupositif atau selalunegatif.Untuk mencaritanda ini dalamti selang,kita pakai titik-titik uji - 3, 0, dan 5 (sebarangtitik pada ketiga selangterselu akan memenuhi).Hasilnyatampakdi bawah.

Informasi yang telatr diperolehdiringkaskandalamsetengahbagianatasdari Gamb1r5, Kita simpullian bahwa himpunan pemecahanuntuk (x - 3Xx + 2) < 0 adalahselang (-2,3) Grafiknya diperlihatkandalanrsetengahbagianbawahderi Gambar5. I Titik-titik pemecah

I

{+) i

II

{-}

I

1

3

I

l-'

-3

I o I

I II 5

Titik-titik uji

-2 l-2' 3l GAMBAR 5 - x - 2 > O CONTOH 4 Selesaikanlah 3x2

Pen-YelesaionKarena 3 x 2- x - 2 : ( x

*

- l[3x +2):3(x-

l)(x+3)

] dengantitik-titiktqii titik-titik pemecahanadalah-] dan l. Titik-titik ini, bersama-sama - 2, O, dan 2, memberikaninformasi yang diperlihatkandalamGambar6. Kita simpulkan bahwa himpunan pemecahandari ketaksamaanterdiri dari titik-titik yang beradadalam selang (-.o, -3) atau (1, co). Dalam bahasahimpunan,himpunan penyelesaianadalah gabungan(dilambangkanoleh U) dari dua selangini; yaitu, (- @, -3) u (1, co). I {+)

(0)

(-)

a

r

-ffi* (--,4"(',-)

CAMf!AR 6

_J

r

:.::

15 t;] Ci)t'iToH 5. Selesaikanl.h

,\"4etri Anolitis

i;li'l

2 g.

untuk mengalftankedua pihak dengan1s+2 *'geta menim?ert1.deuwn. Kecenderungan bulkan dilema, karena x + 2 mun8kin positif atau negatif. Haruskahkita membalikkan tanda ketaksamaanatau membiarkannyademikian?. Ketimbang mencoba menguraikan masalahini (yang akan berarti memecahnyamenjadi dua kasus) kita amati bahwahasil bag (x -l)/(x + 2) hanya dapat berubah tanda padatitik-titik pemecahdari pembilang dan penyebut, yaitu pada I dan - 2. Titik'titik uii - 3,0, dan 2 menghasilkaninformasi yang diperagakandalam Gambar?. Iambang rzmenunjukkanbahwa hasil bagi tak terde' -2) u [1' oo). iiniti ai- 2. Kita simpulkanbahwa himpunan penyelesaianedalah(- cn, karenahasil bagi tidak Perhatikanbahwa - 2 tidak beradadalam himiunan penyelesaian + terdefinisidi sana.Di lain pihak, I diftutkan karenaketaksamaansahihdi l. (+) (u) (- l

(0) (+l

-2

( - - , - 2 1 u [ 1 ,F ) CAMBAI{ 7.

2x-5' <1. x - 2

CONTOH 6. Selesaikanlah

Penvelesian. Tuliskan kembali ketaksamaansecaraberuntun sebagai

2x-5 x - 2

<0

2 x - 5 - ( x - r t- ' t l x - z

-

x - 3

- n

,-2 3 u Kemudian lanjutkan seperti dalam Contoh 6. Ringkasanyang diperlihatkandalam Gam(2,31 . himpunanpenyelesaian bar 8 menglrasilkan g { u )( - } ( 0 }

r

r

, \

2 CA"VBAR8.

'

(+}

1

1

!

3

x1 - 5x2+ 4x ( 0. CONTOH 7. Selesaikanlah Penyelevian. Persemaantingkat fga xt - 5x2 + 4x.difaktorkan sebagaix(x - lXx - 4), sehinggaterdapat tfa titik pemecah -0,1 dan 4-yang membagi 8ari9 riil menjadi empat

BabI Pendahaluan ini, kita peroleh informasi dalam sehng. Bilamanakita menguji selang-selang ( co, u 0] adalah [l' 4] Himpunanpenyelesaian (+) (o) (o) (-)

(-l I

r

r 0

l t

0

1

l

(+)

(0) l

l

l

l

l

1 I {

1

ANl#t\i{ ij

(x + lXx - lf (x - 3) <0' CONTOH8. Selesaikanlah Penyelewfun. Titik-titik pemecahanadalah-1, l, dan 3, yang membagigarisriilmenjadi ini, empat selang,sepertidiperlihatkandalam Gambar 10. &telah pengujianselang'selang yaitu' selang U l] adalah [1,3]; [-1, kita dapatkanbahwa himpunan Penyelesaian

I

I-1,31. {+} (o) (-) (o} {-) (0} (+) l l l l l l l -

1

1

l

3

UAMBAR IO

SOAL.SOAL 1.3

(-

1. Tunjukkut masing-masingselang berikut padagarisriil (b) t-4, ll (a) (-4, l) (d) [-4,l) (c) (-4,t]

4.2x+16<x+25

(e) [,

rr 6x-10>5x-16

(f) (-o, -al

oo)

,.4x-7<3x*5

i.7x-.1(10x+4

2. Gwrakan cara penulisan Soal I untuk memerikan selang-selangberikut.

?.10x+l>8x*5 '- 3x* 5>1x+17

(a)#

' 2

n \v/

? t t-2-t -3

t

t

<"14 r3'

x-j

tar#

r o

t I

l 2

l 4

-2
''bu-\*',

12.4<5-3x<7

!j:lotl

\i

1 3 "2 + 3 4 < 5 x + 1 < 1 6 14. 2x - 4 < 6 - 7x < lx + 6

-2

-1

-6<2x43< -l

1 . .- 3 < 4 x - 9 < l l l

3

I |

3

Dalam tiap Soal 3-34, nyatakutlah hirnpunan penyelcseiandari kctaksamaanyang diberikan dalasr cara pcnulissn dang dan sketsalcangrafftnya.

i5. 12*x-12<0 1 6 . x 2- 5 x * 6 > 0 17.3x2-llx-4<0

,

1 8 . 2 x 2+ ? x - 1 5 > 0

/

r,,

.'aeF.. Kalkulus dan Geometri Analitis

19. 2x2+ 5x - 3 > 0

'lJ

3 3 .x 3 - 5 x 2 - 6 x < o

zx- |

zt.!<s z+. z |< 25._

a<4

2*" 4-

rmua nilai r yang memeNiqnO lrtr dari dua ketak' nuhi palhg rdfit samaan, (a)3x+7>lstru2r+l<-5 ( b ) 3 x + 7 < I e t a n2 . x + I < - 8 (c)3x+7-8

xi-e r/l

z e-.! - , > z x + )

2 7 . 4 - 2< 2 x*4 ,v-_

|

28.-:-----> | x - J

29. (x + 2'y(2x- 1)(3x+ 7) > 0 30. (2x + 3)(3x- lxx - 2) < 0 2(

j

(a) 3x + 7 > ldan2x + I < 3 (b) 3x + 7 >r'l dan 2x * | > -4 ( c )3 x + 7 > l d a n 2 x + l < - 4

i x * ?,

x4 I

t

I

tt: Carilah semuanilai x yang memsnuhi kedua ketaksamaans&caraserentak (rimultan).

v - ! 5

21. -:--:--:
x + l

Jilid

3 4 .x 3 - x 2 - x + l > 0

2O.4x2-5x-6<0

22.2,-3ro

Fl

1Zx+ 3)(3x- l)'(r - 5) < o

32.(x + 5)(x + 2\2(2x- l) > 0

3l Tcntukan x, dannyatakanjawabannyadalamnotasi selang(interval)' (a) (x* fxr'12x -7) )x2 - I (b) x2 -2x2 ) I (c) (x2 + t)2 -7G2 + t) + lo < o 38. Selesaikan I *x + x2 + x3 + ....+xee<0. l l l l 3 9 . P e r s a m a a= nRr*E*E f menyatakan hambatan total R dalam suatu rangkaianlistrik yang mengandung tiga hambatanRr, Ru dan R3 dihubungkan secaraparalel.Bila l0 < Rt < 20, 20 < R2 d 30, dan 30
1.4 Nilai Mutlak, Akar Kuadrat, Kuadrat Konsep nilai mutlak sangatbergunadalam kalkulus dan pembacaperlu terampil dalam bekerja dengannya.Nilai mutLk suatu bilangan riil r, dinyatatcanoleh lxl, didefinisikan sebagai

lxl-x t x l: - x M i s a l n y a ,1 6 l: 6 , l 0 l : O A a nl - 5 1 :

j&ax}O jikax<0 -(-5)

: 5.

me' Definisi dua-cabangini patut dikaji secaraseksama.Perhatikanbahwa ini tidak :xfcobalahx=-5untukme[hatsebabnya)'Adalahbenarba6wa ngatakanbahwal-xl benarjuga5ahwa | -x | : lxl' lil setatutaknegatif;adalah

Bab I

Pendahuluan

l9

Salahsatu cara terbaik untuk membayangkannilai mutlak adalahsebagpijarak (tak-\ berarah).Khususnya,lxladalah jarak antarax dengantitik asal.Serupa,lx - cl adalalr jarak antarax denganc (Gambar I ).

a

1

t 3 - ( - 2 ) t : t - 2 - 3 t: 5 t

l

t

l

l

t

l

-2-1

l

4

1

2

3

l x - e ; = ; 3- r 1 .

tq''^nfir' GAMBAR

SIFAT SIFAI Nilai mutlak berperilakumanis dalam perkalian dan pembagian,tetapi tidak begitu baik dalampenambahandan pengurangan.

Sifat-sifat nilai muth

labl= lallbl lsl_hl 2. lDl tDt l.

3 . k + D [ q k l + l D l (ketaksamaansegtlga) 4. lo- bl> lfdl- lDll

(.s. I L__l_l___l____!_! - 4 \ - 2 - l 1 0 -3

2 .

| 4

l x l( 3

-r r -5-4

\ t

-3

| | -2-1

r 0

l x l> 3

I 1

r 2

1:___l: \ 4

KETIDAKSAMAAN YANG MENYANGKUT NILAI MUTLAK Jika hl ( 3, makax harus secarasekaliguslebih kecil dari 3 dan. lebih besar dari - 3; yaitu - 3 < .t < 3. jfta lxl > 3, makax < -3ataux Berlainan ) 3 (Gambar 2) Ini merupakankasus-kasus khususdari pernyataan-pemyataan umum berikut-

GAMBAR 2

-fx< f c

+

-a<x
l x l> a

+

x<-a

a t a ux > 4

T

_ 2n

'| -

KalkulusdanceometriAndt, *n

. ,'

ketaks.tnlT yTg t"*Tngk.l: fakta ini untuk menyelesaikan Kita dapat menggunakan nilai mutlak, karena fakta tersebut memberikan cara untuk menghilangl(antanda nrlar

mutrak.

ketaksamaan lx - 4l ( 1,5 dan perlihatkanhimpunanpenyele' COf.ffOH t. Selesaikan saiannyapadagarisriil. kotak pertamadenganx digantikanolehx - 4, terlihat Penvriesaiai,Dari pernyataan bahwa lx-41<1,5 <+ -1,5<x-4<1,5 Bilamana4 ditambahkan pada ketiga anggotaketaksamaanyang belakangan,diperoleh 2,5< x < 5,5. GrafiknyadiperhatikandalamGambr 3.

t r o I

Ada cara lain untuk melihat masalahini, dan ini sama pentingnya. Iambang lx - 4l menyatakan jarak antarax dengan4. Jadi mengatakanlx - 4r ( 1,5 samasaja denganmengatakanbahwaiarak antars x dengan 4 hrang dai 1,5. Bilanganbilangan x yang mempunyai sifat ini adalah bilangan-bilanganantam 2,5 dan 5,5, yaitu 2,5 P <x<5,5.

ti.t J=*.1*-I---L2 : 3 4 5 ' 6 7 lx-41<1r5

(;AMBilf.

dalam kotak yang diperagakantePat sebelumContoh I tetap Pernyataan-pernyataan ( diganti oleh 5 dan 2. Dalam contoh berikutnya masing-masing dan ) dengan shih diperlukanpernyataanyangkeduadalambentuk ini'

selesaikanketaksamaanl3r - 5l ) I dan perlihatkan himpunan penyelect{}F;oH . saiannyapada garis riil. lt*ttt,,ttr$fiutr. Ketaksamaanini dapat ditulis secaraberurutan sebagai 3x - 5 < -1

atau 3x - 5 > I

3xS

4 atau3x

>6

x<

4 atau x ,

>2

Hirnpunanpenyelesaianberupa gabungandua selang:yaitu himpunan yang diperlihatkan dalamGambar 4.

(--' ilu [z'-) GAMBAR4

( - - ,%l u[2,- ]) K

I I

I I I I

Bab I Pendahulun

"epsilon, delta" dari limit dalam Bab 2, kita akanperlu Bila kita s4mpaipadadefinisi membuat manipulasiseperti yang digambarkandalam dua contoh berikut. Dalam abjad adalahabjad yang keempat dan kelima dan seYunani, delta dan epsilon masing-masing positif kecil. caratradisionaldigunakanuntuk menggantikanbilangan-bilangan Andaikane (epsilon)adalahsuatubilanganpositif. Buktikan bahwa

l x - 2 1<

E

5

+

l5x-10< 1e

,tan

2 l< L - e

5lr- 2l < s

(kalikan dengan5)

€

l 5 l l x - 2 1< e

+

l5(x-2)l<e l5x-l0l<e

( 5 1: 5 ) ( l al l b l: l a b l )

f

F

,;:r!l ; Andaikans suatubilanganpositif. Carilahbilanganpositif 6 (delta)sedemi' kian sehingga

lx-31<6 +

l6x-18< 1e € €

l6x-l8lce

l6(x - 3)l 6 l x- 3 l < s

<+ lx-31

.2

E

(labl:lallbl) ftafikandenganf)

Karenanya, kita pilih 6 = t'|6' Secaramundur, terlihat bahwa

lx-31<6 :+ l6x-181<e .f r. - .setiapbilanganpositif mempunyaidua akarkuadrat.Misalnya,dua, a..... | -10 dan 10.untuk a > 0, akarkuadratdari 9 adalah-3 dan 3; dua akardari 100 adalah akar kuadrat takmenunjukkan dari-grrang f"*U*u .;7. di*but akar kuadrqlulg4qa 1 0 . : a k a r k u a d r a t d a r iaTd a l a h D u a y l 0 0 : a'.Iadi,tg: 3O.nV'(-1Ot' -: *-.riii"ii

;7.

ioail;ilJ

i.n., *.nutiskan .,/G

keX1;cukupy46: 4.Berikutsebuah

nyataanpentingyang bermanfaatuntrik diingat'

r u?=lxl

!

untuk ax2 + bx + c Hampir semuamahasisraakan ingat padarumuskuadrat. Penyelesaian = 0 diberikanoleh

r"

*''tF Kalkuhtsdan Geometri

y2, + bx *c=0' Bilangand= b2 -4oc dinamakandi*rininmdaripersamaankuadrat bila d + 0' dan jawaban riil d > 0' satu Persamaanini mempunyai a* i"*"U"n riil bila ( tidak memiliki jawabanriil bila d 0' DenganRumusru"o,.t,denganmudahkitadapatmenyelesaikanketaksamaan.ke. taksamaankuadrat termasukyang mudah difaktorkan' -2x - 4 < 0' cONToH5. Sclesaikanx2 dari xz - ?x - 4 : 0 adalatt Penyelesciari,Dria penyelesaien

-J4+16:t-rfrx-r,24 - - 2---Txr: de

:l+\frx3,24

X2:

Sehinggr

- 1 + /S1x - I - JSI x2 - Zx - 4 : (x- xrXx - xz):(x 5)' ti$selang(Gambar L - ,fr denI + u[ mymbrgigarbriil tt"'1di Titik-titik pemecatr himpunan &n 4' didapatkanbahwa Bilamurakitr mengujinyadengantitik'titik uji 2' O'

p " . il* i - ; , t k ; -

xl q
#

--t

-

:

3

[t-Js,r+'/6] CAMBAR5 mrka lsnbrrrg 'fa Sambil lalu kita manyebutkan bahwa jke n genaPdrn c >: !' hlnys tcrdrPrt srtu gutdil. n Bfumana dari a. te+r s6lu menunjuldcanaku taknegrtif = 3' dltt : 2.Xn ti'UAi akar riilke+deric,rlitunjr*kanolehlembang {*

tr14: -2.

KUAIIRAT Bcralihke kuedrat,kita porhetikanbahwa

lxl2 * x2 darisifat lallb| : l&1. Ini berasal

Bab I Pendahuluon

Secaraumum,^jawab' ketaksantaat? irernpertahankan Apakahoperasipengkuadratan -Q a,2 {3 dan22.132 ' (-3)t 22. Sebalikny 2, ietapi > nya adaluhtidal<.Misalnya, < € < b oz . 62.'ftlah Jika kit4 bekerjadenganbilangln-bilangantaknegatif,maka a satuvariandari'bentukini adalah

lxl.< l.yl nr- x' < f Untrrkbukti fakta ini, lihat Soal29. 2lx - 6l'

CONTOH6. Selesaikanketaksamaan l3x + ll<

dibandingkancontoh sebelumnya, Penyebviotr. ietaksamaan ini lebih zukar diselesaikan karena terdapat dua himpunan tanda nilai mutlak. Kita dapat bebasdari keduanya denganmemakaihasildalamkotak yang terakhir.

< l 2 x- l 2 l < (2x - l2)2 < 4x2 -48x * lzt4

l 3 x+ l l < 2 l x - 6 l o l 3 x+ l l <+ (3x + l)2

<> 9x2 + 6x + I < + 5 x 2 + 5 4 x- 1 4 3 < 0 €

( 5 x- l l [ x + 1 3 ) < . 0 i

Titik-titik pemecahuntuk ketaksamaan kuadrat ini adalah- l3 dan t; titit-titit ini membagigarisriil rnenjaditiga selang(-co,- l3) (-13, $),dan ($,oo).Bilamanakita memakai titik-titik uji -14, 0, dan 3, kita hanyanrbnemukan titik-titik di dalam(-13, + ) yangmemenuhiketaksamaan tersebut, I

soA Dalam Soal-soal l-12, carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang diberikan (lihat Contoh I dan 2).

af. l x + l l < 4

t

lx-21<5

3. l 3 x + 4 < 18

4. l 2 x - 7 1 < 3

lx I l--21<6

9l;+rl<4

l 2 x- 7 1 > 3

8 . l 5 x- 6 l > I

/:

l r

I

l 4 x + 2 1> 1 0

lr.

lI z *x ll l ' r

-1lrx

I

@+tl>z

Dalam Soal-soal 13-16, selesaftan ketaksamaan kuadrat yang diberikan dengan menggunakan rumus kuadrat (lihat Contoh

s).

13.2x2-5x-4<0 14.3x2*x-l>0 15.4x2*x-2>0 "/i6)x2+2x-5
Ot:-,1'"0

( F.)1, + 2l< 0,3 + \_!/

l5x-l5l <2J l4x + 8l < l,/

*o^*r#ffiia'

24 r S .l x - 2 1 < ; )

E

F.l*+41<:

+

l6x-l2lce

+

l2x+81<e

segtlga /!. Gunakan ketaksamaan < < lbl-lllbt
I r DalamSoal-soal2l-24. carilah6 (tergantung yang lF* pada e) sedemikiansehinggaimplikasi iib"rikutt adalah benar (lihat Contoh 4)'

f/.

2 1 .l x - 5 1 < d + 22.]x-21<6 + 2 3 . l x + 6 1< 6 'a6:1Y+51 <6

-

l4x-81<e l 6 x + 3 6< 1e

+

l 5 x + 2 5< 1e

2 6 . l z , x - 5
lxll'xl
l x - 2 1 l x l+ z lx' +91- 9 3| Buktikan bahwa lxl<2

l x z + 2 x + 1 1' , . l--___.-l
+

|

-\-+1

|

3f. Buktikan bahwa lxl
-

lx'+|x3 +ix2+tx+*l

<2


38iBilangan I @ + D) dinamakan rata-rata, atau nilai ratr'rrta oritmetis antara o dan b. Tunjukkanlah bahwa nilai rata-rata aritmetis dari dua bilangan ada di antara kedua bilangan itu, dengan membuktikan bahwa a
dan

bahwa (lihat Soal 32)'

f"ttit*

3?. Buktikana*0 - a2+lla2>2. Petuniuk: Purdang (a - 116t2.

29. Buktikan lrl < l-vl + x' < Y' dengan memberikan alasan untuK trap langkahdi bawah.

+


masing-masing yang ber1&. futtif* ikut. (a) x <x2untuk x <0 atau x > I (b)"t<xuntuk0<x
td. lx - 2l < 3lx+ 7l'"

.

l

l3x-l5lce

ketakal 25-2S,selesaikanlah Dalil- Soal-so (lihat Contcrsebut samaan-ketaksamaan toh 6).

lxl
*

+

o.!-!.6

lxllyl< lyllyt

SebaliknYa, xr
+


+

< l-vl

+ +

lxl

30. Gunakanlah hasil Soal 29 untuk membuktikan bahwa

o lai- lbl ( c ) l a + b + c l < l o l + l b l+ l c i

dinamakan nilai 3f. Bilangan tfr| rata-rata geometris dari dua bilangan positif c dan D. Buktikan batwa 0
-

o.job.b

40. Untuk dua bilangan Positifa dan D, buktikan bahwa 16T ( | (a + D)' Ini merupakan bentuk paling sederhanadari ketaksamaan yang sangat dikenal dengan nama: ketaksamaan nilai rlta'rata geometris - nilai rata-rats aritmetis. 41. Tunjukkan bahwa di antara semua segi empat dengan keliling p' bujur sangkar memiliki luas yang paling besar. Petuniuk: Bila a dan D merupakan panjang sisi-sisi suatu segi empat dengan keliling p, maka lrrasnYa ab, dan untuk bujur sangkar luasnYa adalah 2.Sekaranglihat Soal 40. a2 = l(a + b)l2l

/ 2 6

Kalkulus dan GeometriAnalitis

Jilid I

GAMBAR 3

RUMUS JARAK D"ngan menggunakan koordinat, kita dapat memperkenalkansebuah rumus sederhanauntuk jarak antaradua titft pada bidang. Ini didasarkanpada teorema Pythryorar, yang mentatakan jfta s dan b merupakan ukuran dua kali zuatu segitiga sku-siku dan c merupakanukuran sisimiringnya (Gambar4) qraka GAMBAR4

lxz- xr I

GAIIIBAR 5

Sebalknya, hubunganantara tiga sisi segitiga ini hanya berlaku untuk pgitfua siku.sftu. Sekarangpandangdua titik P dan e sebarang, masing-masingdengan koordinatkoordinat (xt, yt) dart(xr, y2\ Bersama dengan R - titik dengankoordinat-koordinat (x* tr) - P dan Q ad,atahtitik.titik sudut sebuahrgitiga siku-siku(Gambar5). panjang PR dan Rp masing-masing lx2 - xrl dan lyz - yrl. Bilamana teorcms pythagoras diterapkan dan diambil akar kuadrat utama dari kedua ruas maka diperoleh ungkapan berftut untr* d(P,o), jarak (takberarah) antaraP danQ.

Ini disebutrumur jrak. CI)NTOII l. Carilahjarak antara (a) P(-2,3) den 0(4, - l)

(b) PQf2,.f3)a* e(n,n) !

r -+,

l 11

Rumug tetap berlaku walaupun dua titik tcr*but tcrbtak pada garis mendatar atau f;rrb tcgd( ysng ssm& Jadi,jank mtanP (-22) dan Q(6,2) adalah

PERSAMAAN LINGKARAN Dari ruinus jarak ke persamaan suatu lingkaran hanyalah sbuah langkah kecil. Iingkrrrn adalah himpunan titik.titik yang terletak pada suatu.jarak tetap (ari-jari) dari suatu titik tetap (pusat). Misalnya,pandanglingkarandenganjari-jari 3 berpusat di (-12) (Garnbar6). Andaikan (xy) many*akan titik sebarangpadalingkarur ini. Menurut rumusjarak,

J6TVTC=Tffi GAMBAR6 Bilemanrkodua ruasdikuadratkan,kita peroleh

(x + l)2 +'O - 2f :9 png disebut persamaandari lingkaran ini. secara lebih umum, lingkaran berjari-jari r dan pusat (ft,k) mempunyai persamaan

Ini disbut Frsrnrrn b*u rbu$ lhgkann. coNfi)H 2. carilahpersamaan lingkaranberjui-jari5 danpusat(1, -5). carijugakoordinat-koordinaty dariduatitik padalingkuanini dengan koordinatx adalah2. knyelcsln

yangdiinginkanadalah Pereamaan (x - 1)2+ (y + 5)2:25

untuk memenuhitugasyang kedua,kita masukkanx = 2 ddam porsemamdrn rlesaikan untuky.

Q - D ' + C v+ 5 \ 2: 2 5 :24 0 + 512

.y+5: tJil '/: -5tJn:

-St2\/6

I

f,I Kalkulus dan GeometriAnalitis

28

Jilid I

Jika dua kuadrat pada persamaan dalam kotak diwaikan dan konstantanya digabung'

akanberbentuk kan, persamaan x2+ax+Yz+bY--c dari bentuk yang belakanganmeruPa' Ini mengundangpertanyaanapakahsetiappersamaan ya (dengan suatuperkecualianyangjelar), adalah kan persamaansuatulingkaran.Jawabnya berikut. yang contoh dalam terlihat seperti Dalam contoh ini, diperlukan untttk melengkapikuadrat, suatu Prosespenting dalam (al2)' - Sehingga kuetlratdarix? t ax, tambahkan hal. Untuk rnelengkapi b:rn1r2p x'-l2x*62:(x-6)'

" 2 / r \ ' / l V r'*Er+lt; :lx+;l J

\

-

/

\

)

/

CONTOH3. Buktikanbahwapersamaan x2-2x*y'+6y:-o merupakansebuahlingkaran,dan tentukanlahpusatsertajari-jarinya. Penyelevian. Kita selesaikankuadrat untuk ungkapanbaik dalam x mauPuny dengan menambahkanbilanganyang samapadakeduaruaspersamaan. (x2-2x )+(y2+6v ):-6 (x2- 2x+ l) + (Y' + 6Y+ 9) : -6 + I + 9 (x-1)'+(y+3)':4 Persamaanyang terakhir adalahdalam bentuk baku. Ini merupakanpersamaanlinghasilprosesini, suatubilangan karan denganpusat(1, -3) danjari-jari 2. Jka sebagai negatif muncul di ruas kanan, persamaantidak akan menggambarkansuatu kurva titik tunggal( I , -3). akanmenggambarkan I apapun.Jika munculnol, persamaan RUMUSTITIK TENGAH Ada duatitikP(xr, yt) danUxr' yr) di manaxl (x2, lihat Gambar7: '\r + +('r2-'rr) : 't' + j'r' - j'x' : |.x, + |x2 -\l + .x2

^ L

GAMBAR 7

Ini berarti bahwa titik (xt + xz)lZ beradadi tengah-tengah antaraxl dar^x2 pada sumbux, dengandemikian titik tengahM dari potongan garisPQ memiliki absis(x 1 + x2)12dan dengan cara yang sama dapat kita buktikan bahwa Or + lz)12 adalah merupakankoordinat dari M.Maka kita perolehhasil sebagaiberikut: I

I ----

.1

hb I Pendahuluan

CONTOH 4. Tentukanpersamaan lingkaranyang mempunyaipotongangarisdari (1,3) ke (7. I I ) sebagaigaristengahnya. Penyeleuian. Pusat lingkaran terletak di tengah-tengahgaris tengahnyasehinggatitik pusatmempunyaikoordinat (l + 7)12= 4 dan (3 + ll)12 = 7 Panjanggaristengah,di perolehdari rumusjarak sebagaiberikut [ ( 7 - l ) ' + ( a l - 3 ) 2 1 t r z= [ 3 6 + 6 4 l r t 2: 1 9 berartijari-jari lingkaranitu adalah5. Jadi persamaanlingkaran:

(x - 4)' + b, -7\2 :2s

I

SOAL-SOAL 1 Dalam Soal-soal 1-6, rajahlah titik-titik yartg diberikan dalam bidang koordinat dan kemudian carilah jarak antara titiktitik tersebut. l. (2, -1), (sr 3)

2 . ( - 2 , 1 ) , ( 7 ,1 3 )

3. (4,2),(2,4)

4 . ( - r , 5 ) , ( 6 ,3 )

E s . (t,232:4,rs3),1",,h) t r 6 . (2;tr: - 3,42),(5,16;4,33)

12. Carilah panjang ruas garis yangl menghubungkan titik-titik tengah ruasruas AB dan CD, di mana A = (1 ,3), B = (2,6), C = (4,1), dsn D = (3,4).

Dalam Soal-soal 13-18, carilah persgmaan Iingkaran yang memenuhi persyaratan yang diberikan. 13. Pusat(1, -2), jarijari 6.

7t Buktikanlah bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya adalah (5,3), (-2,4), dan (10,8) adalahsamakaki. &'\ Tunj ukkanlah bahwa segitigayang f sudutnya adalah (2, -4), (4,0), t\ildifi'k dan (8, -2) adalah siku-siku. Titik-titik (3, -l) dan (3,3) ada,. lah titik-titik sudut suatu bujur sangkar. Berikan tiga pasang titik-titik sudut lain yang mungkin. ld. Carilatr titik pada sumbu x- yang berjaraksamadari (3,1) dan (6,4). ll. Tentukan jarak antara 1-2,3) dengan titik tengah potongan garis yang digabungkan (-2, -2) dan (4,3).

14. Pusat('3, 4), jari-jari 8. 15. Pusat(2, -l), melalui (5, 3). 16. Pusat(4,3), melalui(6,2). 17. Garis tengah AB, (-1,2) danI = (3,8).

dengan A =

18. Pusat(3,4) dan menyinggungsumbu x. 19. Cari koordinat y dari dua titik pada lingkaran dari Soal 13 dengan koordinat x adalah 3 (lihat Contoh 2). 20. Cari koordinat x dari dua titil pada lingkaran dari Soal 14 dengan koordinat y adalah 8.

/

l r Kalkulus dan GeometriAnalitis Dalam Soal-soal 2l-26, cari pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaanyang diberikan (lihat Contoh 3). /1.x2+y2+2x-10Y+25:0 ."4\

(9,

.

+y2-6Y:16

2 3 .x 2 + Y 2 - l z x + 3 5 : 0 ? A .x ' + Y 2 - l O x + 1 0 Y : o + 4 Y z+ 4 x - l 2 Y + l : 0 ?5.4x2 ? . 6 . 3 x+23 Y ' - 2 x + 4 Y : l 27. Titik-titik (2,3), (6,3), (6, -1), dan (2, -1) adalah sudut-sudut suatu buj ur. sangkar. Carilah persamaan-persamadalam dan luar. an lingkaran -, .28. Sebuah tali secara ketat mengelilingi dua lingkaran dengan persamaanpersamaan (x - l)2 + (y + 2)2 = 16 dan = 16. BeraPakah Q + D2 + O - l0)2 panjang tali ini? zp. Kota-kota d'iA, B" dan c merupakan titik-titik sudut sebuah segitiga sikusiku, dengan sudut siku-siku di titik sudut jalan, B. AB dan BC jtga meruPakan masing-masing dengan panjang 214 dan l?9 mil. Sebuah pesawat terbang dapat menerbangi rute AC, yang bukan suatu jalan. Biaya mengirim suatu barang ter: tentu dengan truk $3,7 I tiaP mil dan dengan pesawat terbang $4,82 tiap mil' Putuskan apakah lebih murah mengirim barang tersebut dari A ke C dengan truk atau pesawat terbang dan cari biaya total memakai metode Yang lebih murah' E

E SS. Kota I berjarak 10 mil ke arah hilir dad kota .,4 dan berscberangan dari sungai yang lebarnya 1/zmil Mary Crane akan lari dari kota ,4 sepanjang sungat sejauh 6 mil, kemudian berenang secara diagonal ke kota B. Jika ia lari dengan kecepatan 8 milfiam dan berenang dengan kecepatan 3 milfiam, berapa lama waktu yang ditempuhnya dari kota A ke kota B? Anggap laju arus daPZt diabaikan' 31. Buktikan bahwa titik tengah sisi miring ' sebarang segitiga siku-siku berjarak sama dari ketiga titik-titik sudutnya' 32. C-ar\ Persamaan lingkaran Yang melingkupi segitiga siku'siku yang titiktitik sudutnya adalah (0,0), (8'0), dan (0,6).

lilid 1

33. Perlihatkan bahwa dua lingkaran -ll = 0 dan _2y x2 + ,_, _4x l 2 y + 7 2 : o tidak + z o x x2 + y2 berpotongan. Petuniuk: Cari jarak antara pusat-pusatnYa. Bagaimanakah hubungan antara /. o, i dan c Yang harus diPenuhi bila s2 * ax + y' * by * c= 0 meruPakan persamaan lingkaran? 35. Tentukan punjang dari tali bersilang pada Gambar 8 Yang diPasang + erat di sekeliling lingkaran ('_ 2)' = 9 . + = ( x _ 1 0 ) 2 Cy_8)z 9 dan O_D2 pengertian trisedikit Diperlukan Catatan: gonometri untuk menyelesaikan soal ini'

g

/N

GAMBAR 8 bahwa himPunan 3.C Tunjukkan titik-titik yang jaraknya ke (3,4) dua kali lebih besardari jarak ke (l,l) membentuk suatu lingkaran. Tentukan pusat dan jarijari lingkaran tersebut. 37. Teorema PYthagoras menYebutkan bahwa luas :4, B dan C dari segi empat-segi empat pada Gambar 9 memenuhi ,4 * B = C. Tunjukkan bahwa setengah lingkaran dan segitiga sama sisi juga memenuhi persamaantersebut.

GAMBAR 9 sebuah lingkaran C G8. oltetatrui dan sebuah titik P yang berada di luar lingkaran tersebut. Apabila potongan garis PT menyinggrrng C di T dan ada garis lain yang melalui P dan pusat C memotong C pada M dalt N. Tunjukkan bahwa (PMXPM) = en' -

Pendahuluan

1.6 GarisLurus Dalam banyak hal garis lurus adalahyang paling sederhanadari semuakurva. Danglap bahwa semuapembacamemahamidenganbaik mengenaikonsep ini denganmelihat pdda. sebuahtali tegangatau mengamatisepanjangsisi sebuahpenggaris.Dalambanyak kasus, marilah kita sepakatibahwa dua titik - misalnya, A(3,2) dan 8(8,a) y ang diperlihatkan dal{m Gambar I - menentukansebuahgarisunik /ang melalui mereka. Dan mulai saatifli, kita gunakbn kata garis sebagaikata lain untvk garis hrils. Sebuahgaris adalah sebuahobyek geometri. Bila ditempatkanpada suatu koordinat bidang, garis ini tentulah mempunyaipersamaan, sebagaimana halnya lingkaran. Bagaimanakita mencari persamaansuatu garis?Untuk menjawabnya,kita memerlukanpengertianyang mendasartentangkemiringant.

I lxz, yzl

KEMIRINGAN GARIS pandang garis dalarn Gambarl. Dari titik u{ ke titik B, terdapatsuatu kenaikan (perubahan tegak) 2 satuan dan suatu run (perubahan mendatar) 5 satuan. Dikatakan bahwagarisitu mempunyaitanjakan{. Umumnya (Gambar2) untuk sebuah garismelahiiA(xr. yr) d,anB(x2, y2), denganx1 * x2, kemiringanz dari garisitu didefinisikanoleh

GAMBAR 2

- * kuqik*=#

8(x2, y2l

Anda tentu segerabertanya.Sebuahgaris mempunyai banyak titik. Apakah nilai yang diperoleh untuk kemiringantergantungkepadd pasanganmana yang dipakai untuk z4 dan B,! Segitiga-segitigasebangun dalam Gambar 3 memperlihatkanbahwa !'z-l't -lz-Y"t X'z -

X't

Xz -

Xt

Jadi, titik-titik A, dan B, akan memenuhi se_ bagaimanahalnyaA dan B. Tidak menjadi masalah apakah .,{ terletak di kiri atau di kanan B. karena lr-lz_lz-!r Xt_Xz

Xz_Xt

')Di sini kemiringan menerjemahkan pengertian "slope"; para penulis lain menggunakan ?'tanjakan" "lereng".

,f

7,,

Kalkulus dan GeometriAnalitis

Jitid t

Yang pokok adalahbahwakoordinat-koordinatdikurangkan dalam urutan samadi pembilangdanpenyebutKemiringan rn adalahukuran kecuramansuatu garis,sepertidigambarkanpada Gambar 4. Perhatikanbahwa garis mendatar mempunyai kemiringan nol, garis yang naik ke kanan mempunyaikemiringanpositif, dan garis yangjatuh ke kananmempunyaikemiringan negatil Semakinbesarkemiringannya,semakincuram garistersebut.Konsepkemiring. an untuk SaristeSaktidak mempunyaiarti, karenaakan menyangkutpembagianoleh nol. . Karenanya,kemiringanuntuk garistegakdibiarkantak terdefinisi. BENTUK KEMIRINGAN'TITIK Pandanglagi garis pada awal pembicaraan kita; ini digambar-ulang dalamGambar5. Kita ketahuibahwagarisini: l. melalui(3, 2); 2. mempunyaikemiringan{.

m = 4, -- r| = ,3

6 5 4 3

2

(4,21

(6,1)

.= r-ar=o -4

-3

-2

5

6

7

8

9

Garisgaris clengananeka k€miring6n

GAMBAR 4

GAMBARS Ambillah sebarangtitik pada guis itu, misalnyatitik dengankoordinat (x, y). Jika kita gunakan titik ini dan titik-titik (1,2) untuk mengukurkemiringannya,ritapasil memperoieh t - yaitu,

v-2 2 x- 3' 5

r I

hb I Petdahulwn atau, setelahdikalikan clenganx- 3,

! _ 2 : ? ( x_ 3 ) Perhatikanbahwapersamaan yang terakhir ini dipenuhioleh semuatitik padagaris,b oleh (3, 2). Lebih lanjut, tak satu pun titik yang tidak terletak padagaris tersebut memenuhipersamaan ini. Apa yang baru saja dilakukan dalam contoh kita, tentunya dapat dilakukan secart umurn- Garis yang melalui titik (tetap) @r I ) dengankemiringanm mempunyaiporsa, maan

I ]

Ini disebutbentuk kemirirryan-titikdari persamaansebuahgaris. Pandangsekali lagi garisdari contoh kita. Garis itu melalui (g,4) sepertihalnya(3,2). Jika dipakai(8,4) sebagai (x, ,y r) kita perolehpersamaan

y-4:3(x-8) yang kelihatannyaberbedadari ! - 2 : r z ( x- 3 ) Namun,keduanyadapatdisederhanakan menjadiSy - Lx = 4; keduanyasama. CONTOH l. Caripersamaan garisyangmelalui(-4,2) dan(6,-l). Penyelevion. Kemiringanm adalah(-l -2)l(6 + 4): -+.sehingga, denganmengg*nakan(-4,2) sebagaititik tetap, kita dapatkanpersamaan

y - 2 : - r % ( x+ a )

GAMBAR 6

I

BENTUK KEMIRINGAN PERFOTONGAN. Persamaan suatugarisdapatdinyatakandalam bermacam-macam bentuk. Andaikandiberikan:. kemiringan m untuk suatu garis dan D perpotongan sumbu y (artinya), garis memotong srmbu y di (0, D), sepertidiperlihatkandalam Gambar6. Denganmemilih(0, D) sebagai (xu,i,,) dan menerapkanbentuk kemiringan-titikdiperoleh y-b:rr(x_0) yangdapat ditulis-ukuransebagai

fffi.H Yang belakanganini disebut bentuk kemiringanperpotongan. Apa menariknya hal ini, tanya anda? Setiap kali melihat persamaanyang dituliskan sepertiini, kita mengenalinyasebagaigarisdan dengansegeradapat mengetahuikemiringan dan perpotongan/-nya. Misalnya,lihat persamaan 3x-2v+4:0

J

-Tr? Kolkulus dan Geometi Analitis

Jilid I

untuk y, diperoleh Jika diselesaikan

y'ix + 2 Ini adalahper$maangarisdengankemiringan] dan perpotongan-y 2.

PERSAMAANGARIS VERTIKAL Garis-garis vertikaltidak sesuaitlalampenrbahasan di atas; garissepertiini tidak mempunyaikerniringan. Tetapi tetap mempunyaipersamaan, yang sangat sederhana.Garis dalam Gambar7 mempunyai persanlaan x = 1, karenasebuahtitik beradapada I,arisirka dan hanyajika metnenuhi persamaanini. Penamaansebaranggaris tegakdapatdilukiskandalambentuk GAMBAR 7

suatugarisvertikaldadi manak adalahsuirtukonstanta.Patutdicatatbahwapersamaan pat dituliskandalambentuky =*. BENTUK Ax + By + C = 0 Akan sangatmenarikuntuk mempunyaisuatubentuk yang tegak.Ambillah misalnya, meliput semuagaris,termasukgaris-garis

(1) (2)

y-2:

-4(x+2)

l:5x

_ J

(3) Ini dapat dituli*ulang (dengan memindahkan semuanyake ruas kiri) sebagaiberikut:

(l) (2)

4x+y*6:0 -5x*I*3:0

(3)

x+0y-5:0

berbentuk Sernuanya t

",,

t yang disebutpersamaanlinear umum. Hanyamemerlukanpemikiransekejapuntuk rnelihat garisdapatdibuat dalambentuk ini. Sebaliknya,grafik persamabahwapetsamaansebarang garis an umum selaluberupasebuahgaris(lihat Soal43). GARISGARISSEJAfAR Jika dua garis mempunyaikemiringansama,makakeduanya s e j a j a rJ.a d i y, = 2 x + 2 d a n y = 2 x + 5 m e r u p a k a n g a r i s - g a r i s s e j a j a r ; k e d u a n y a m e m P u n y a i

,

'-)

BabI Pendahuluan kemiringan2.Garis yang kedua adalah3 satuandi atasyang p€rtan (lihat Gambar8). Demikianpula, garis"garis dengan an -Zx + 3y + 12 = 0 dan 4x - 6.y = 5 adalah sejajar.Untuk melLhutini, selesaikanfrersamaiu'r-perstunaan ini untuk y $aitu, r:ari bentuk kemiringan-perpoton gan);and.aperolehmasingy = ;x - 4 dany = ;x --... Keduanya nrasing: mempunyaikerniringani; garis-garis ini sejajar. Kita boleh meringkaskan denganmenyarakan bahwa dua garis tak-vertikalaCalohsejaiar iika dan hanyu lika keduunya mentpunyai kemiringan yang sama. GAMBAR8 CONTOH 2. Carilah persamaangaris yang melalui (6,8), yang sejajardengangarisyang mempunyaipersamaan3x - Sy = 11. 3x - 5y: Penyelcuian.Bilamanakitaselesaikan

ll untuk./,kita peroleh

y:*x-* dari mana terbacakemiringangarisadalah$. Persamaangaris yang diinginkan adalah

y-8:il"-6) atau, samadengantr - 5Y + 22 = 0.

I

kemiringanyang sederhana GARISGARISTEGAKLURUSApakah terdapatpersyaratan yang mencirikan garivgarisyang tcgaklurus?Ya; dua garistak-vertkal saling tegaklurus iika dan hanyaiika kemirtgan kdutnya vling berkebalikannegatif. Untuk melihat mengapaini benar,pandangdua garistak'vertikal generalitas, kita /, dan /2. Tanpamengurangi berpotongandi titil( asal dapat mengangg,apnya karenajika tidak dernikian,kita dapat menggeP 2 l x 2 ,Y z l sernyasedemikianrrrpasehinggatidak mengttAndaikanPr (xr, J'r ) suatu bahkenriringannya. t r t r k p a d a/ 1 d a nP 2 \ x z , ! z ) t i t i k p a d a/ 2 , s e rlitlarttGamtrar9. lr{enurut pcrti diperlihatkan TeoreruaPythagorasdan kebalikannya(Pasal 1.5) Pr OP2 nlerupakansudut siku-sikujika jika dan heurya GAMBAR9

ld(P t, o)12 + fde 2, o)f' : ld(P b P ))2

yakni, jika dan hanya jika

(x?+y?)+(xtr

/

36

Kalkulus dan GeometriAnalitis

lilid I

Setelahpenguraiandan penyederhanaan, persamaanini menjadi ?s1 x2 + 2yr yz = 0, atau !t

XZ

X1

!z

Sekarangy1/x1 adalahkemiringandari /1, sedangkany2lx2 zdalahkemiringandafi 12. Sehingga Pt OPz adalahsudut siku-sikujika dan hanyajika kemiringan-kemiringandua garistersebutberbanding terbaliksatusamalain. : Garisgaris y 2x dan y : -tx salingtegaklurus.Demikian 1uga2x- 3y : 5 dan 3x + 2y = -4, karenasetelahmenyelesaikan persamaan-persamaan ini untuk y, terlihat bahwa garis yang pertama mempunyai kemiringan t dan yang kedua mempunyai kemiringan-].

CONTOH 3. CarilahPersamaan garisyang melalui titik potong garis-garis denganpersamaan 3x + 4y = 8 dan 6x - lqy =7 ,yang tegaklurusdengangarisyangpertama. Penyelesian. Untuk mencarititik potong dua garisini, persamaan yang pertamadikalikan -2 danhasilnyaditambahkanpadapersamaanyangkedua.

-6x-

8r': -tO

6x- lOy: 7 _lgv:_9

y:+ Denganmensubstitusiy. = | dalam salahsntu pers:rmaan awal akan menghasilkan r = 2. Titik potongnyaadalah(2,|). Bilamanapers:rmaan yang pertamadiselesaikan untuky (membuatnyadalambentuk kemiringan-perpotongan), diperoleh y : -*x * 2. Garis yang tegaklurus padanya mempunyaikemiringan|. Persamaan garisyangdiminta adalah

v-i:{"-2)

I

soAL-soAL1.6 Dalam Soal-soal l-8, cari kemiringan dari garis yang mengandung dua titik yang di berikan J.

LqJ 7. (-1,732:5p14) dan(4,315;E175) E

t. tn,..f) d^n(r,il2, \//t)

( 2 , 3 ) d a n( 4 , 8 )

2. (4, t) dan(8,2) 3. 1-4,2) aan(3,0) 4. (2, -4) dan(Q -6)' 5. (3,0) dan(O 5) 6. (-6.0)dan (0.6)

Dalam Soal-soal 9-16, cari sebuah persamaan untuk tiap garis. Kemudian tuliskan jawab anda dalam bentuk Ax + By + C : 0. . 1, Melalui (2,3) dengan kemiringan 4. 10. Melalui (3, -4) dengan kemiringan -2.

I itl

kb I Pendahuluan ll.

Dengan PerPotongan-J,4 dan kemiringan -2.

12. Dengan perpotongan-/ 5 dan kemiringan -2.

27. ax + 3y: t - 3 x+ y : 5

14. Melalui (a,l) dan (8,2). 1 5 . M e l a l u i( 2 , - 3 ) d a n ( 2 , 5 ) .

28. 4x - 5Y :8 2x* Y: -10

16. Melalui(-5 ,0) dan (-5 ,4). Dalam Soal-soal 17-20, carilah kemiringan dan perpotongan-y untuk tiap garis.

D.3x- 4Y:J 2x+3Y:9 3 O .5 x - 2 y : 5 2x+3y:(

17. 3Y: )Y - 4 18.2Y:Ja4) 1 9 . 2 x + 3 Y: 6

Dapat diperlihatkan bahwa jarak d dari titik (xr,.yr) ke garis Ax + BY + C = 0 adalah

-20

21. Tuliskan persamaan garis melalui (3, -3) yang: (a) sejajargaris .v : 2x I 5; (b) tegaklurusgarisY :2x * 5; (c) sejajar Eatis2x + 3Y- 6' (d) tegaklurusgaris 2r + 3y = 6' (e) sejajar garis yang melalui (-1,2) dan (3,- I ); (f) sejajargaris x : g; & lurus garis x = 8 . ri

nilai k

untuk

mana

Gunakan hasil ini untuk mencarijarak dari titik yang diberikan ke garis yang diberikan

+ { < - t , 2 ) ; 3 x+ 4 y : 6

garis

=5r 4x (a) melalui titik (2,1); b sejajarsumbu!; sejajargaris 6x - 9y = 19; mempunyai perpotongan-x dan y sama; (e) tegakluruspada garisy -2 = 2(.r + l).

!

1

'l Dalam soal-soal 27-3O, cari koordinatkoordinat titik potongnya. Kemudian tuliskan persamaan garis yang melalui titik tersebut tegaklurus pada garis yang ditulis. kan pertama(lihat Contoh 3).

13. Melalui(2,3) dan (4,8).

20. 4x + 5y:

r

32. (4, -l); 2x - 2y + 4 : 3 3 .( - 2 , - l ) ; 5 y : . 1 2 x* I 3 4 . ( 3 , - l )y; : 2 x - 5

23. Tuliskan persamaangaris yang melatui (0-4) yang tegaklurus pada garis t +2= -*(" - t).

Dalam Soal 35 dan 36, cari jarak (tegak-1 lurus) antaragarisgarissejajaryang diberi kan. Petunjuk.'Pertamacari sebuahtitik padasalahsatugaris.

24. Cari nilai k sedemikian sehingga gariskx-3y=10: (a) sejajargaris.-v: 2x * 4; (b) tegaklurusgarisY = 2x + 4; (c) tegaklurusgaris 2x + 3Y = 6.

I --\l s . l , + 4 v: 6 , 3 x * 4 Y : 1 2 J (-ro]sr -r t2v : 2,5x+ r2v: 7 \---l

f

37. Sebuahbulldozer bernilai $120.000 dan setiap tahun mengalami depresiasise-: 25. Apakah (3,9) terletak di atasatau best 87o dari nilai awalnya. Cari sebuahl di bawah garisY= 3x - l? rumus untuk Y, yaltu nilai bulldozer se-' 26. Buktikan bahwa persamaangaris telah t tahun. dengan perpotongan-x adalah c * 0 dan 38. Grafik dari jawaban untuk Soal 37 perpotongan-yadalah b * 0 adalah berupa sebuahgaris lurus. Berapakemiringannya, dengan anggapan sumbu /- hori!*L:r sontal? Tafsirkan kemiringan tersebut. a b

:

t

Kalkulus dan GeometriAnalitis

Jilid I

3!. Pengalaman menunjukkan bahwa prodtksi telur di daerah R tumbuh secara linear. Padatahun 1960 sebanyak700.000 peti, dan pada tahun 1970 sebanyak 820.000 peti. Tulis,kan rumus untuk try'. yaitu banyaknyapeti teiur yang.diproduksi z tahun setelah 1.960 dan gunakan rumus tersebut untuk meramalkan produksi telur padatahun 2000.

menyatakan sebuah garis yang melalui perpotongandua garis 2x - y + 4 = 0dan , a 3! - 6 = O.Petuniuk: Tidak perlu mencari titik potong (xo,,yo)

40. Sebuah peralatan yang dibeli hari ini seharga $80,000 akan mengalami depresiasi secara linear sampai suatu nilai sebagaibesi tua seharga $2000 setelah 20 tahun. Tuliskan rumus untuk V, yaitu nilaiirya setelahn tahun.

47. Pusat lingkaran luar suatu segitiga terletak pada garis pembagi dua tegaklurus dari sisi-sisi.Gunakan kenyataan ini untuk mencari pusat lingkaran luar dari segitiga yang titik-titik sudutnya adalah (0,4), ( 2 , 0 ) .d a n ( 4 , 6 ) .

41. Andaikan bahwa iaba Pyang direalisasikansuatu perusahaandalam menjual x butir suatu mata dagangan tertentu diberikan oieh P = 450x - 2000 dolar. (a) Berapa nilai P bilamana .r = 0. Apa artinya ini? (b) Cari kemiringan dari grafik persamaan di atas, Kemiringan ini dinamakan keuntungan marjinal. Apa tafsiran ekonominya? 42. Biaya C untuk menghasilkan-x butir suatu mata daganganteftentu diberikan oleh C = 0,75x + 200 dolar. Tanjakan grafiknya dinamakan biaya marjinal. Cari tarljakan itu dan berikan tafsiran ekonominya. 43. Buktikan bahwa grafik dari Ax + By + C = 0 selaluberupa sebuahgaris (asalkan,4 dan B keduanya tak 0). Petunjuk: Pandang dua kasus; (1) B = 0 dan (2)

B+0. 44. Catr persamaangaris yang melalui (2,3) yang mempunyai perpotongan-x dan sama. Petunjuk: Gunakan Soai 26. / 45. Perlihatkan bahwa untuk tiap nilai k, persamaan

2x-y*4+k(x+3y-6):a

45. Cari persamaangaris yang memb a g i . d u a r u a s g a r i sd a r i ( - 2 , 1 ) k e ( 4 , - 7 ) dan yang bersudut siku-siku terhadap ruas garis ini.

48. lndaikata (a, b) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 12. Tunjukkan bahwa garis ar * by = 12 menyinggung lingkaran pada(a, b). 49. Tentukan persamaan-persamaan dari dua garis singgung terhadap lingkaran x2 + y2 = 36 yang melalui ( 12,0). Petuniuk: Lthat Soal 48. 50. Nyatakanlah jarak tegaklurus antara garis.garis selajar y = mx * D dan y = mx petunlalam bentuk m, b dan B. yang Jarak diperlukan iuk: adalah sama dengan jarak antara y = mx dengan y=mx+B-b. 51. Tunjukkan bahwa garis yang melalui titik tengah dari dua sisi suatu segitiga, sejajar dengan sisi ke tiga. Petuniuk: Anda dapat memisalkan segitiganya mempunyai titik-titik sudut (0,0), (c, 0) dan (b,"c). '-$; Tunjukkan bahwa potongan garis y/ang menghubungkan titik tengah dari sisi-sisiyang berseberangandari suatu segr empat suatu empat persegrpanJang.

1.7 Grafik Persamaan Penggunaan koordinat untuk titik-titik pada bidangmemungkinkankita untuk memerikan suatu kurva (obyek geometri)denganmemakaisuatu persamaan(obyek aljabar).Kita me. lihat bagaimanaini dilakukan untuk lingkaran-lingkarandan garis-garisdalam pasalsebeproseskebalikannya:yaitu menggambarkan lumnya. Sekarangkita ingin memandarrg suatu

Bab 1 Pendaha&nn

I

? t

I

pergmaan. Crafik suatu perrrmaan dalam x dan v terdiri ater titft'titl koordinat-koordinat (x,y )nya memenuhi persamaan- artinYa, membuafirYl gmaan yang benar. suatupersamaan PROSEDURPENGGAMBARANGRAFIK Untuk menggambar langkah: tiga prosedur sederhana x + 19 kita ikuti nya, y : 2xr Langkalrl Dapatkankoordinat-koordinatbeberapatitik yangmemenuhipersamaari' Longkdt2 Rajahtitik'titik tersebutdi bidang. t'ans*ah3Hubungkantitik.titiktersebutdengansebuahkurvamulus'l Be' cara terbaik untuk melakukanLangkahI adalahmembuatsebuahtabel nilai'nilai. yapg nilai-nilai tentukan dan x, rikan nilainilai padasalahsatuvariabel,sepertirnisalnya yangtersusunrlalanltabel. i irasil-hasil dari lainnya,denganmenrJaftarkan berpadanan CONTOHI Gambargrafik p3rsamaanJ : x2 - 3. Penyelcvian. Prosedurtiga langkahdiperlihatkandalamGambar l '

y = xz-3 x

-3 -2 - l

Y b

1 -2 0 -3 1 -2 1 2 6 3

Langkah 1 Buat 3ebuahdaftar nilai

gngkah 2 Raiah titik-titik itu

Hubungkantitik-titik itu dengan sebuohkurva ' mulus

GAMBAR I I

t E

Tentu saja anda memerlukanakal sehat dan bahkan sedikit keyakinan. Padawaktu titik-titik yang telah anda rajah dengansebuahkurva mulus,anda anda menghubungkan bahwakurva berkelakuanmanisdiantaratitik-titik yangberuntun,yang mengasumsikan merupakankeyakinan.Itulah sebabnyakenapaandaharusmerajahtitik-titik secukupnya garisbentuk kurva kelihatanamatjelas;makin banyaktitik yangandarajah,inasehingga kin sedikit keyakinanyang anda perlukan.Selainitu, andajuga harusmengenalibahwa jarangsekalidapatmernperagakan Dalamcontohkita, kurvamempunyai keseluruhankurva. lenganpanjangtak terhingga,membukadengansemakinlebar. Tetapi grafik kita sudah memperlihatkanseglseginyayang perlu. Inilah tujuan kita dalam penggambarangafik: yang perlu dapat terlihat. Perlihatkangrafik secukupnyasehinggasegi-seginya grafik KESIMETRIANGRAFIK Kita dapat menghematkerja danjuga menggambarkan yang lebih tepatjika kita dapatmengenalisimetritertentudari grafiktersebutdenganmeLihat grafiky = x' - 3,lLW digambardi atasdan yang berpadanan. meriksapersamaan

'l 4

Kalkulus dan GeometriAnalitis

( ,,yl

(-

x. vl

F1 \ y = x'

/

Jitid I

digambar lagi dalam Gambar 2. Jika bidang koordinat dilipat sepanjangsumbu 7, kedua cabang akan berimpit. Misalnya, (3, 6) akan berimpit dengan (-3,6), (2,1) akan berimpit dengan (-2,1) dan secaralebih umum, (*, y) akan berimpit dengan (-r,y). Secara aljabar ini berpadanan dengan kenyataan bahwa penggantian .x oleh -r dalam persamaany = x2_ 3 menghasilkan persamaanyang setara.

J

GAMBAR 2

Ambil sebarang grafik. Grafik itu simetris terhadrp sumbu _y bila (x, y) maupun (-r, y) terletak pada grafik itu (Gambar 2). Serupa dengan itu, maka grafik dikatakan simetris tcrhadep sumbu y bila (x, y) maupun (x, -y) berada pada grafik itu (Gambar 3). Demikian pula, suatu grafik dikatakan simctris terhadrp titik eselbila baik (x, y) maupun (-x, -y) terletak pada grafik itu (lihat Contoh 2).

GAMBAR3

Dalambentuk persamaan-persamaan, kita memiriki tiga pengujiansederhana.

CONTOH2. Sketsakangrafik dari .I : -x3. Penyelesrbn. SePertiditunjukkan di atas,kita catat bahwagrafik akan simetriterhadap titik asal.Sehinggakita hanya perlu memperolehtabel nilai untuk x yang taknegatif; kita dapatmencarititik yangsebanding melaluisimetri(Gambar4). I Dalam menggambargrafik | = x3 , kita memakai skalayang lebih kecil paclasumbu y daripada sumbu x. Ini memungkinkanuntuk memperlihatkanporsi grafik yang lebih besar (juga mengubahbentuk grafik denganmempergemuknya).Kami sarankanagarse-

hb I Pcndahultmn

4l v 0

0

I

1

2

a

3

27 64

4

25 20 't5

GAMBAR4 belum meletakkanskalapadakeduasumbu,andaseharusnya memeriksatabel nilai anda. Pilih skala-skalasedemikiansehinggasemuaatau hampir semuatitik-titik anda dapat di rajahdan tetapmempertahankan grafik andaberukuranwaiar. PERFOTONGAN Titik-titik di managrafik suatu persamaanmemotong kedua sumbu koordinatmemainkanperananpentingdalambanyakhal. Misalnya,pandang ! : xt _ 2x2 _ 5x * 6 : (x * 2)(x _ lXx _ 3) P e r h a t i k abna h w a y = 0 b i l a m a n xa = - 2 , 1 , 3 . B i l a n g a n - b i l a n -g2a,nr , d a n 3 disebut perpotongan-r Serupa,x = 0 bilamanay= 6, sehingga 6 disebutperpotorgan_y.

coNToH3. sketsakangrafik dari y2 - x + y - 6= 0, denganmemperlihatkan semua perpotongansecara jelas. knyelesobn. Denganrneletakkany = o dalam persamaanyang diberikan,diperoleh x = -6, seh-ingga perpotongan-xadalah- 6. Denganmeletakkanx = 0 dalampersamaan, d i p e r o l eyh2 + . y - 6 = 0 , a t a u Q t+ 3 ) ( y - 2 ) = 0 ; p e r p o t o n g a n - y a d a l a h _3 d a n 2 . Pemeriksaan kesimetrianmenunjukkanbahwagrafik tidak mempunyaisalahsatudari tiga tipe simetriyangdibahassebelumnya. Grafik diperagakan dalamGambar5. I

y 2- x + y - 6= 0

GAMBAR 5

KalkulusdanGeometriAnalitis Jilrt I

42

PERSAMAANUMUM KUADRAT DAN KUBIK Olehkarenapersamaan-persamaan kuadrat dan kubik akan sering digunakansebagaicontoh-contoh dalam pekerjaanselanjutnya, padaGambar6 berikut kami tampilkan beberapacontoh grafiknya.

DASARKUADRATDANKUBIK GRAFIK.GRAFIK

\\l-ll ' /

_

I

y=xz

l| '

Z]=\ y=-x2

ta t\

Y=a,2az+$x+g

Y=ax'+bx+c

-rv$ =axt + bx2 + cx + d a ) O

Y=-x?

l'

l^

\l't

y =axs+ bxz + cx + d a ( 0

ta_. la

l' --

l'

l \ l / 1

x=yz

V=J,

y=ytat?u7=Xi

GA.IIIBAR6

Grafik-grafikpersamaankuadrat bentuknya sepertimangkokdan dinamakanparabol. B i l a p e r s a m a a n nby ea r b e n t u k . y= u . 2 + b x * c a t a u x = a y 2 * b y * c denpna#0, grafiknya akan selaluberupa parabol. Padapersamaanpertama,grafik membukake atas atau ke bawahsesuaidengana ) 0 ataua ( 0. Padapersamaankedua,grafik membukake kanan atau ke kiri sesuaidenganc ) 0 atau c ( 0. Perlu dicatat bahwapersamaandalam Contoh 3'dapat diambil dalambentuk a = y2 + y - 6. PERFOTONGANANTAR GRAFIK Adakalanyakita perlu mengetahuititik-titik potong antara dua gafik. Titik-titik ini diperoleh denganmemecahkankedua persamaangrafik tersebutsecarabersamaan.

BabI Pendahuluan

43

CONTOH4. Carititik-titik perpotongan garisy:-2x*2dan paraboly=?x2 - 4x -2 dan sketsakan grafik yang kedua sama. tersebutpadabidangkoordinat Penyelevian. Kita harus menyelesaikandua persamaanitu secaraserentak.Ini mudahdilakukandenganpenggantian pertamake dalamperungkapanuntuk y dari persamaan samaankedua dan kemudian menyelesaikanpersamaanyang dihasilkan untuk x.

-2xI2:2xz-4x-2 0:2x2 -2x-4 0 :2(x - 2Xx+ l) x:

-1,

x : 2

Melalui substitusi,kita temukan nilai-nilai yyang berpadanan adalah4 dan -2; karena itu titik-titik perpotonganadalah(-l,a) dan(2,-2\. Dua grafik tersebutdiperlihatkandalam Gambar7.

y=2x2-4x-2

t SOAL-SOAL 1 Dalam Soal-soal l-18, gambarlah sketsa grafik dari persamaan yang diberikan. Mulai dengan memeriksa simetri dan yakinkan untuk mencari semua perpotongan-x dany. l.y:-x'+4

2.y:-y2+4

3. 3x' + 4y: 0

4. y:2x2

5. x2 + f2:36

6 . ( x - 2 ) 2+ y 2 - - 4

7. 4x2 + 9Y2:36

E. l6x2 * v2': 16

- x

9.y:x'-3x

ll' Y:;t+

l

l

l0.y:1ra1

1 2 v' :

y

vi

1 3 .x 3 - y 2 : 6

1 4 .x a + f a : 1 6 15.y: (x 2Xx + l)(x + 3) 16..Y: x(x - 3Xx - 5) 17.y : x21x- 27 18.lxl + lyl : a

T

Kalkulus dan GeometriAnalitis

Dalam Soal-soal 19-26, gambarlahsketsa grafik dari kedua persamaanpada bidang koordinat yang sama. Yakinkan untuk mencari titik' potong antara dua grafik tersebut (Iihat Contoh 4). Anda akan memerlukan rumus kuadrat dalam Soal 23-26. 19.Y:-x*l Y=x2+2x+l 2O.Y:-x+4 !:-x2+2x+4 2l.y=-2x+l l:-x2-r+3 2 2 .y : - 3 x + 1 5 y -- 3x:2.-3x + 12 E

zf. y: l,5x + 3,2 y: x2- 29x

@ U. y :2,1x - 6! Y: -l/xz + 4,3 B

x. y:4x+3 x2+Y2=4

E

x.y-3x:1 x2+2x*y2=15

Jilid I

padanan terhadap x = I dan x = n, teliti sampai empat posisi desimal. 29. Tentukan kesimetrian dan sketsak a n g r a f i kY - 2 ' + 2 - ' . 30. Tentukan kesimetrian dan sketsakan grafik J, -- 2' - 2-'. tr rt. sketsakan grafik ,r (l + x3tz)lx sebuah < membuat 16 dengan untuk 0 < x tabel nilai-nilai yang ekstensif. Peuniuk: Hati-hati dekatx = 0. 32. Tuliskan 'kembali persamaan dari Sekarang Soal 3l sebagaiy : llx + Jx. sketsakan grafiknya dengan secara terpbah menggambarkan grafik y = llx dan pada bidang koordinat yang J; sama dan kemudian menambahkan ordinatordinat (koordinat-y ). 33. lnformasi apakah yang dapat diambil mengenai grafik ! = ax2 * bx * c dari diskrimin an d = b2 - kc? Petuniuk: Gunakan rumus kuadrat dan ambil tiga keadaan iI > O. d = 0 dan d ( 0. 34. Gunakan proses Penggqmbaran

27. Carilah jarak antara dua titik persamaan kuadrat untuk menunjukkan dengan P a d a g r a f i k - Y: 3 x + ' - 2 x * l bahwa titik puncak (titik maksimum atau -l dan l. koordinat-koordinat-x adalah dari nratu parabola minimum) titik = ax2 * Dx * c mempunyai absis-b l2a. jarak titik-titik | antara E Zg. Carilah pula koordinat Y-nYa. pada kurva ! = 3x2 - 2x t I Yang ber- Tentukan

1.8 Soal-soalUlangan Bab KUIS BENAR.SALAH pernyataanberikut. Bersiaplahuntuk Jawablah dengan benar atau salah masing-masing jawabananda. mempertahankan l. Sebarangbilanganyang dapat dituliskan sebagaisuatu pecahan plq adalahrasionai' 2. Selisihdua bilanganrasionaladalahrasional. 3. Selisihdua bilangantakrasionaladalahtakrasiotal' ( . 4. Di antara dua bilangantakrasionalyang berlainanselaluterdapat suatubilangantakrasionallain. 5. 0,999. . . (angka9 berulang)adalahkurangdari l. (eksponen)adalahkomutasi;yaitu (u^) -- (a^)^' 6. Operasipemangkatan 7. Operasi* yang didefinisikanoleh m * n = m" adalahasosiasi.

rl 45

Bab I Pendahuhun

y <2, bersama-samamenunjukdan z<x t. Ketaksamaan-ketaksanraanx (), kan bahwa x: | -- z. untuk setiap bilangan positif e, makax = 0. 9. Jika .lxl < e - f'X-r - x) < 0' t; Jikax dany adalah bilangan-bilanganriil, maka (x v llb' Jika a < b < 0, maka lla> Adalah mungkin bagi dua selalg tertutup untuk mempunyai tepat satu titik perseku-

1 I

tuan.

1 3 . Jika dua selang terbuka mempunyai satu titik persekutuan, maka keduanya mempunyai takterhingga banyaknya titik persekutuan.

1 4 . Jika x <0. maka .r/x2 : -x. 1 5 . J i k a l x l < I Y I ' m a k ax < ) ' 16. Jika lxl < lf l. maka xo < )o. 1 7 . Jikax dany keduanyanegatif,maka l-x+ )'l : l\l + ll l' 1 8 . Adalah mungkin untuk mempunyai ketaksamaan y6ng himpunan penyelesaiannya terdiri dari tepa.t satu bilangan.

1 9 . Persamaan -x2 + !-2 + 11x+ y : 0

menggambarkan suatu lingkaran untuk setiap bilangan riil c. pada 20. Jika (a, b) terletak pada garis dengantanjakan i, maka (a )- 4, h + 3)juga terletak garis tersebut. 2 t . J{r.aab > 0, maka (a,b) terletak atau di kuadran pertama atau ketiga' 'r1 Jika ab : 0'.rnaka(a, b) terletak atau pada sumbu -xatau pada sumbu y' 23. Jika .TG, ---*,f + ()', - y,)' : lrz - .r,1, maka (xr yr) dan(x2, y2)terletak pada garis mendatar yang sama. 24. Jarak antara (a * b, a) dan (a - b, a) adalahl2bl. 2 5 . Persamaansebaranggaris dapat dituliskan dalam bentuk titik-kemiringan' 26. Jika ada garis taktegak sejajar,keduanya mempunyai kemiringan sama. 1n Adalah mungkin bagi dua garis untuk mempunyai kemiringan positif dan saling tegakIurus. Jika perpotongan-x dan perpotongan-/ suatu garis adalah rasional dan taknol, maka kemiringan garis tenebut adalah resional. adalahtegaklurus' Garis-garisax+ y: c dan ax -!:c (3x_2y+4)+m(2x+6y_2):6merupakanpersamaansuatugarislurusuntuktiap bilangan riil m.

ANEKA SOAL-SOAL 1. Hitung masing-masing nilai untuk n = 1 , 2 , d a n- 2 . (a)

(, . ;)"

(c)

43ln

, (a)

(b)(n'-n+1)2

&derhanakan.

1\-' I l\/ +-lll--+-l m nl n/\

('* 2 r+t

x2-x-2 1

x*l

/

x-2

3. Perlihatkan bahwa rata-rata dua bilangan rasional adalah suatu bilangan rasional. 4. Tuliskan 4.1282828 bilangan bulat.

berulang desimal sebagai hasil bagi dua

5. Cari bilangan takrasional antara j dan 1;.

E e. Hitung(ifJsl-iot

- $2)2P,24'

Dalam Soal-soal 1-14, cari himpunan penyelesaian, gambarkan grafik himpunan ini pada garis riil, dan ungkapkan himpunan ini dalam cara penulisan selang.

/

Kalkulus dan GeometriAnalitis

6 7.6xI3>2x-5

x2-2x + y2+2y:2

8.3-2x<4x*l<2x+7

-4v: -7

Jilid I

dan x2+6x + y2

9.2x2+5x-3<0 'lv

10.

- ^ - '| > 0 x - 2

ll. (x + 4)(2x - l)' (x - 3) < 0 12. l3x.- 4l <6 1 3 .t '

<2

21. Tuliskan persamaan garis yang melalui (-2,1) Yang: (a) melewati (7,3); (b) sejajar3x - 2y = 5, (c) tegaklurus3x + 4y - 9' (d) tegaklurusy = 4; (e) mempunyai perpotongan-y 3.

l - x

(2,-l), bahwa 22. Perlihatkan (5,3), dan (l l,ll) beradapada garis sama.

14. l8 - 3xl > l2xl 15. Andaikan lxl < 2., Gunakan sifatsifat nilai mutlak untuk memperlihatkan. l2x2+3x+21 r---l< u x'+2 1 I 15. Gambar sketsa segltiSa dengan sudut A(-2,6), B(1,2), dan. titik-titik q5,5), dan perlihatkan bahwa ini menrpakan sebuah segtiga siku-siku. 17. Cari jarak dari (3,-6) ke titik ujung ruas garis dari A(1,2) ke B(7,8). 18. Cari persamaan lingkaran dengan garis tengahz4B jitrrzA = (2p) dan B:(10,4) 19. Carilah pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 - 8x + 6y: 0. 20. Carilah jarak antara pusat lingkaran-lingk aran dengan persamaan. i r

i ' ;

Dalam Soal-sozl 23-26, sketsakan grafik tiap p€rsamaan. 23.3y - 4x:6 A.x2-2x+y2:3 E . y' :

2 ;-" = x'*2

x

'

\'

i' "\

j i

26.x:y2-3 L

27. Cari titik-titik perpotongan grafik grafik dariy = xz - 2x + 4 dany - x= 4.. ---1\

{ 28.)Di antara semua garis yang tegak 4.r - .y : 2. cari satu persamaan tuffiiOa yang - bersama-sama dengan sumbu x dan sumbu y positif - membentuk sebuah segitigayang luasnya 8.

\ - , " I

L t /

"/d.\'

l . -

I t

a t r i

t

**l* -\*'

V

l;

k l / /* v ,!rb

-L* 1 '

// l

l - ,

|

1..*. \

(,

, ,/