48 Kalkulus dan GeometriAnalitis,Iilid I

"l Fungsi dan Limit 2.1 Fungsidan Grafiknya L2 Operai padaFungsi 2.3 Funpi Trigonometri 24 Pendahuluan Limit 2.5 Pengkajian Mendalam TentangLimit 26 TeoremaLimit 2.7 Kekontinuan Fungsi 2.8 Soal-soal UlanganBab

Karya termasyur [Cours d'analysedai Cauchy] harus dibaca oleh siapasaiayang mencintai ketelitian dalam penyelidikan matematis. Niels Hendik Abel

I

Kalkulusdan GeometriAnalitis,Iilid

48

I

2.1 Fungsi dan Grafiknya Bayangkanlahsuatu fungsi sebagaiveblrahsenapan.Fungsi ini mengambilamunisi dari suatu himpunan yang dinamakandaerah asal (daerah definisi, domain) dan menembakkannya pada suatu himpunan sasaran.Setiappeluru mengenaisebuahtitik sasarantunggal, tetapi dapatterjadi bahwabeberapapeluru mendaratpadatitik yangsama.Kita dapatmenyatakan definisi secaralebih formal dan memperkenalkanbeberapacarapenulisansecgra bersamaan,

Daerah Asal

Daerah Hasil

Definisi ini tidak memberikan pembatasanpada himpunan-himpunan daerah asal dan daerah hasil. Dasrahasalmungkin terdiri dari himpunan orangdalam kelas kalkulusanda,daerahnilai berupahimpunanangka U, B, C, D, F\ yang akan diberikan,danaturan padanan adalah prosedur yang dipakai dosen anda dalam memberikanangka.

GAMBAR I

Daerah Asal GAMBAR 2

D a e r a hH a s i l

Dalam kalkulus yang akan lebih bertalian adalah contohcontoh dengandaerah asaldan daerahhasil di manakeduanyaberupahimpunan bilanganriil. Misalnya, fungsi g mungkin mengambilsebuahbilanganriil x dan mengkuadratkannya,sehingga menghasilkan bilangan fil| x2 . Dalam hal ini, kita mempunyai sebuahrumus yang memberikanaturan padanan,yaitu 6(x) = x2. Sebuah diagram skematis untuk fungsi ini diperlihatkan dalamGambar2.

NOTASI FUNGSI. Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuahhuruf tunggalseperti/ (atau g atau F). Maka/(x), yang dibaca'f darix" atau "f padax", menunjukkannilai yangdiberikan oleh/kepadax.Jadi,jika/(x) =xt -4,

L

f ( 2 ): 2 3 - 4 : 4 f(-r): (-l)3 - 4: f ( a ) : a 3- 4

-5

f ( a + h ) : ( a + h ) t - 4 : a 3 * 3 a 2 h + 3 a ha?h 3- 4

-=_4

I

1fub 2 Fungsidan Limit

49

yangjelastentangcaramenuliskanfungsiadalahhal yang sangatpentingdalam Pemahaman kalkulus. Pelajarilahcontoh-contohberikut secaraseksama.Contoh-contohtersebutakan memainkanpennan penting dalambab berikutnya. LIntuk {x) = x2 - ?t,

CONTOH l.

@)f@ + h) - f({), (d) v@+ h's- fl+)l lh

cari dan sederhanakan: (a) .f(a), g) f(4+ h),

Penyelesoian @ f():42

_2.4:8

. 1

(b) f(4+ ft) : (4 + D2 - 2@+ h) : 1 6 + 8 h + h 2 - 8 - 2 h :8+6h+hz @ f(a+D- f():8+6ft +h2-8:6h+h2 6h + h2 ,,, f(4 + h) - f(4) h h

r y L : 6 +h

I

CONTOH2. Untuk3(r) = ||x,cari dansederhanakan I a + h) - ee)l |h Penyelevian . I g\a + h) s(a) h + _-: _a--_t'-: h -h

I a

a_.(a+h) (a ___ + h)a l,_l

- @ + n V iI - ( a + h ) a : z l_al h

I

DAERAH ASAL DAN DAERAH HAslL. Aturan padananmerupakanpusatdari suatu fungsi, tetapi sebuahfungsi belum secaralengkapditentukansampaidaerahasalnyadiberikan. Ingatlahkembalibahwadoerahasaladalahhimpunan Flxl=x2+1 elemen+lemen pada mana fungsi itu mendapat nilai. 3-lQ eeuh-fosi| adalahhimpunan nilai-nilai yang diperoleh 2-5 secua demikian. Misalnya,jika F adalahfungsi dengan 2 aturan F(x) = x2 + I dan jika daerahasaldirinci sebagai 0 l-1, 0, 1,2,3j (Gambar3), makadaerahhasilnyaadalah 1 -t | 1,2, 5, l0 | . Daerahasaldanaturanuntuk menentukan daerah hasil tersebut. Drerah Asal Daerahhasil untuk sebuahfungsi daerahasalnyatidak Bilamana GAMBAR 3 dirinci, kita selalu menganggapbahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan riil yang terbesarsehinggaaturan fungsi ada maknanya dari memberikannilai bilangn riil. Ini disebui daerahasalmula (domain natural). CqNIqH 3. Cari daerahasalmula (natural) untuk: (a) flx) = tl(x - 3); (b) g(r) =

J;}

Penyelevion (a) Daerah asal mula untuk / adalah {x e R: x *, 3 } . Ini dibaca"himpunanx dalam R (bilangan riil) sedemikian sehinggax tidak sama dengan3". Kita kecualikan3 untuk menghindaripembagiandeh 0.

Kalkulus&n C*r-{t*f'

50

n

t

(b) D sini kitaharusmembatasirsedemiktunsehinggag- f > 0 dengantujuan menghindarinilai-nilai tak riil untuk ."/9 - f2. Ini dicapaidenganmensyaratkan daerahasalmula adalah {t e R : I r | < 3}. Dalamcara bahwa lrl ( 3. Sehingga, penulisanselang,kita dapatmenulisdaerahasalsebagai[-3, 3] . I Bilamana aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuahpersamaanberbenfuk y = l(x) (misalnya,! =x3 + 3x - 6),x seringkalidisebutvarQbel-beb4dany variabel tak bebas.Sebarangelemendari daerahasalboleh dipilih sebagainilai dari variabelS6-bas x, tetapi pilihan itu secaratuntas menentukannilai padanandari variabeltak bebas. Jadi,nilai y tergantungdari pilihan nilai x. GRAFIK FUNGSI. Bilamanadaerahasaldan daerahhasil sebuahfungsimerupakanbilangan riil, kita dapat membayangkanfungsi itu denganmenggambarkan grafiknya pada suatubidangkoordinat.Dan grafikfungsi/adalahgrafik daripersamaany=/(x). CONTOH 4. Buatlah sketsagrafik dari: (a) /(x) = x2 - 2; (c) ft(x) = 2l@ - r).

(b) sft) = x3 - b;

Penyehvian Kita gunakandaerahasalmula (domain natural). Dalam kasus/ dan g, ini berupa himpunan semuabilanganriil R; untuk ft, ini adalahsemualR kecuali l. Denganmengikuti proseduryang diuraikan dalam Pasal1.7 (buat sebuahtabel nilai, rajah titik-titik yang berpadanan,hubungkan titik-titik ini dengan sebuah kurva mulus), kita perolehtiga grafik yang diperlihatkandalamGambar4 sampai6.

y=flxl=x2-2

Y: glxl : x3 - 2x

GAMBAR 4

GAMBAR 5

y=hlxl=,

GAMBAR6

2

tx -

= .. rl

I !

I

-+-J1

:--!

Bab 2 Fungsidon Limit

l

5l

Perhatikan gafik dari D secaralebh sahama; grafik ini menunjukkan suatu penyederhanaanberlebihanyang kita buat dan sekarangperlu diperbaiki.iada waktu menghubungkur titik-titik yang daajah dengansebuahkuwa mulus,jangan melakukannya secara rnekanissehinggamengabaikankeistimewaanyang mungkin;elas kitihatan dari rumus fungsi tenebut. Dalam kasush(x) = 2l(x - l) ielas bahwasesuatuyang dramatis hanrsterjadi bilamanax mendekati l. Nyatanya, nilai-nilai lft(x)t membe* Lp. batas (misalnya, h(0,99) = -200 dan l(1,001) = 2000). Kita telahmenunjukkanini dengurmenarik sebuah pris tegak putus-putusyang disebut asimtot, pada x = l. Bila x mendekati l, grafik semakin mendekati garis ini, walaupun garis ini sendiri bukan merupakan bagian dari gafik, melainkpn lebih merupakansuatu garispetunjuk. perhdtikan bahwagrafik dari i pga mempunyaisebuahasimtot mendatar,yakni sumbux. Kita mungkin bertanya; Apa /aerah nilai unnrk masing-masingtiga fungsi ini? Jlwabnya,yang kita perolehdenganmelihat padagrafik, diberilsn dalamtabel.

FUNGSI GENAP DAN GANIlL. Seringkalikita memperkirakankesimetriangrafiksuatu denganmemerilsa rumus fuirgsi tersebut. llka fl-x)= l(x), maka grafik simetri ter/ lnsi 'hadap sumbu y. Fungsi yang demikian disebut _fungsigenap. barangkalikarena fungsi yang merinci /(;r) sebagaijumlah dari, parfgtcat-p*gt"t pn"p r .a"tut genap. runli f(t) = :' - 2^ (digafikkan dalam Gambar 4) adalah gpnap; demikiur- juga {r)-= 3rc6-2x' * I lx2 -5,fix) = xz l(t * x4) danl(r)= @! -2xtl3x. Jika /(-*) = -f(x), grafik,simetri terhadaptitik asal.Kita sebutfungsiyang demikian $lg{ ganiil Fungsi yang merirbe.rikan /(x) sebagaijunrlah dari pangkat-pangt
-xl -r 2x: -(". - 2x): _g(x) S(-x) : (-x). - 2(-x): l-bilat fungsi ketiga ,re) = 2l@ - l), yang kita grafikkandalamGambar6. Fungsi ini genapataupunganjil. Untuk melihat ini, amati bahwah(-x) = 2l(_x _ l), yang ldak tidak sama denganft(x) ataupun -l(x). Peihatikan batrwagrafiknya tidak simetri terhadap sumbu x atau pun titik asal.(Grafik dari ft memangsimetri terhadpptitik (1,0), hasilyang berasaldari kenyataanbahwalr(l +x) = _ft(l-r))

CONTOH5. Apakah tVi:;{ffi.

genap,ganjil,ataubukankeduanya?

PenyelesaianKarena

r(-x):cH**

: i9#*

: _,r(x)

/adalah furtgsiganjil. untuk fungsi-fungsigenapdan ganjil lainnya,lihat soal 23 dan24 padapasal2.2.

l

^

r i

*3 -----.--\v/

Kalkulus dan GeometriAnalitis

r l

lilid I

\

UA FUNGSI KEJfSUS. Di antara fungsifungsi yang akan sering digunakansebagai Sdf dua yang sangatkhusus:fungsi nilai mutlak | | dan fungsi bilangan bulat terbesar[ ]. Fungsi-fungsiini didefinisikandengan 'r "- '' ' : l

'x jika'x>o l--x jikax < 0

[x] : bilanganbulat terbesaryang lebih kecil atau samadenganr.

dan

=-4dan[3,1 n=3. Yangpertamaadalah J a d i ,f - 3 , 11 = 1 3 ,I1: 3 , t r , s e d a n g k a n [-3,1] : fungsigenap,karenal-xl lxl. Apakah I n genap, atauganjil,ataubukansalahsatunya? Kita perlihatkangrafik dua fungsiini dalamGambar7 dan 8-

y-lxl

v=nx\ GAMBAR8

GAMBAR7

Kita seringkali akan tertarik pada ciri khas berikut dari fungsi-fungsiini. Grafik sudut tajam pada titik asal, sedangkangrafik [r]] melompatpada tiap mempunyai 1xl bilanganbulat.

2.1

SOAL.

tuk /(r) =

x 2 -

nilai.

(b) /(-2) (d) /(A) (f) /(i) (h) /(3r)

(a) ,r(l ) (c)

(e) ,/( - 6) G) fQt) /l\ (i)/t;/

/qy

(a) F(-6) (c) r(3.2) (e) F(n)

(e) G(-x)

4- Untuk O(, = t/tltt nilai. lah masing-masing

/

F(x) Q-,,Untut masing-masingnilai.

3. Untuk Gty) = llO - 1),hitunelah nilai. masing-masing (b) c(O.eee) (a) c(0) (d) G(l' ) (c) G(1.01)

= 3tr

* x, hihrnglah

(b) r(i)

xairrV6r 9,,,

O'\:)

1t c(,,1) + t2;, hitung-

(a) st(0) (c) d(x')

(b) d(i)

(e)0(-t)

(f) dl,./

g

(d) d(x + 2) /l\

5. Untuk /Q) : xn -P 3x3 - 6x2 1 2x + 1 : {[(x + 3)-x- 6]x + 2]x + I, i a4,-J-

i

l

Db 2 Fungsi don Limit litunglah

53

masing-masing..,nilai.

(a) /(Q32)

Soal ini rnenyarankansuatu aturan: Un. tuk grafik yang meniadi grafik fungst y = t(x), setiapgarisvertikal harus menya.r tu dengangrafiknya dalamsatu titik.

(b) f(n)

(c) fQ + A) El o. untuk

N. Unhrk flx\ = ?x2 - l, cari danr r' sederhanakan [fla + h) I flo)llh. (Lthat eQ): x5 5xr + 2x2 nx *,/t I Contoh dan 2). : {[(x' 5)x + 2)x n]x + 15, F(r) = 4r3, cari dan seder-r '/\ffi/unark \-+r*a*dn IF(a + h) - F(a)l hitunglahmasing-masing nilai. lh.

(a) s(- | ,71)

(b) s(3,01)

tq s($) E z. unruk/(x) = y''?T-e71x-rF>. hihrnelah masing-masingnilai.

(a)f(o/e)

(b) f(r2,26)

(c)fQfr)

13. Unbrk g(u) = 3l@ - 2), cari dan sederhanakanIs@ + h) - s{x)lltL l 14. Untuk G(t) = 111,+ 4), cari dan, sederhanakan [G(a+ h) - G(a)llh. Can daerah asal mula (domain' )5. natural) untuk masing-masing yang berikut. (Lihat Contoh 3).

- r) (a)F(z): JE + 3 O) s(u): U@o -, -J6r5 -T : (d) H(y) J7

El 8. Jika G(r) tzl3 - +Vr, ttitrndatt a masingmasingnilai. \-tasur/ (a) G(1,a6) (c) G(-1,23)

(a),f(x):

(b) G(zt

Mana dari yang borikut menetrtu* kan suatu fung$ / denganrumus ), = f(&)? Unhrk yang demikian,cari flx). Petuniuk: Selesaikanuntuk y dalam bentrk x, dan pcrtatikan bahwa definisi fungsimensyaratkan suatuy tunggaluntuk tiapx. (a) x2 + y2 :4

O)xy+ y+3x:4

(c)x: $y + |

(d) ' 3x:.-l v+l

'*Q. Mana dari grafik*rafik dalam Gambar 9 menrpakao gafik dari funpifungsi dengan rumw berbcntuk 7 = fl1)?

(a)l|f

@

\l

l9 ,Fan daerah asal mula

Vl/

--l'f"'\-T-,

'

4-x2

dalam tiap

o) c(v): ..6 +lt=r

?-

(c) d(u) -- l2u + 3l

(d) r(r) : ft3 - 4

Dalam Soal+oal l'l -3 2, nyatakanlah apakah fungsi yang dibe'rikan Senapatau gadil atau

tidak mtu pun,kemudffiffiEillE-fik-

nya. (Lihat Contoh{ontoh 4 dan 5).

r7.f(x): -q -}t. ;1';: rx \ r(r) :2x * | 20.F(x):3, - ,E 21.g(x):1x2 + 2x - | u-

22.s(u): s

a.cG): -! . x - - l A.ilr):=

)z

t

I

E.f(*): J;26.tdx): G

+4

21.f(x): l2xl 2E. r ( r ) : - l r + 3 1 , \ GAMBAR 9

^r:['l

L2S G(x):[2x- r] , I

54

Kalkulus dan Geometri Analitis

j i k at < o jika02 lrt-t +4;ikax I l3r

ft 3l.g(0:{r+t

N. Sebuah pabrik mempunyai kapasitas memproduksi lemari es tiap hari mulai 0 sampai 100. Biaya overhead 'untuk harian pabrik adalah Rp. 2.200.000 dan biaya langsung (karyawan dan bahan) Rp. 151.000. Tuliskan rumus untuk ?.(x), biaya total memproduksi x lemari es dalarn satu hari, dan juga biaya satuanu(x) (biaya rata-rata tiap lemari es). Apakah daerah asal untuk fungsi-fungsi ini? E' f+. Perusahaan ABC harus mengeluarkan biaya 400 + S16@ - ? rupiah untuk membuat x buah mainan kompor yang dijual Rp. 6.000 sebuah. (a) Cari rumus untuk P(x), kzuntungan total dalam membuatx kompor. (b) Hitung P(200) dan P(l000). (c) Berapa buah kompor harus dibuat oleh ABC agar mencapai titik impas (break even)? besaran ll] 35. Carilah rumus unlrk E(x) pada mana sebuah bilangan .x melebihi pangkat tiganya. Gambarkan sebuah grafik yang sangat teliti dari ( l. Gunakan grafik l'(x) untuk 0 (x tersebut untuk menaksir bilangan positif yang melebihi pangkat tiganya sebesar mungkin. 36. Andaikan p menyatakan keliling sebuah segitigasamasisi.Cari rumus untuk ,4(p), yaitu luas segitiga yang demikian. AeBn Persewaan Mobil Honda \ membebankan Rp. 24.000 sehari untuk penyewaan sebuahmobil ditambah Rp 400 tiap km. (a) Tuliskan rumus untuk pengeluaran penyewaan total ^8(x) untuk sehari

Jilid I

dengan .x adalah jarak yang ditempuh dalam km. (b) Jika anda menyewa mobil selama sehari, berapa krn dapat anda tempuh unfuk Rp. 120.000? Sebuah'tabung lingkaran tegak \ berjari-jari r diletakkan di dalam sebuah bola berjai-jai 2r. Cari nrmus untuk V(r), yaitu volume tabung dinyatakan dalam r. jalur yang panjangnya I $"tr \!f mil htafunyai sisi-sisi sejajar dan membentuk rtengah lingkatan. Tentukan rumus luas yant metingkupijalur tersebut, .,{(d), scbagai fungsi dari garis tengah sefentrh liagftar61 itu. Berapakah daerah etahui /

adalah suatu fungsi

rah asallV,memenuhi^l) = 3, l(6) = 9. SAFfth iienemukan polanya, tuliskan aturfr-liifrIs) untuk fln) dan tentukan daerahh asilnya. '.4f ii&apakah Daerah hasil dari fufuri /"'bfla f(n').adalahangkake n pada deretanOesimal ? $ 42. Manakah dari fungsi-fungsiberikut yang mqmenuhiflr i f) =flx'1+fu) untuk setiapx dany di lR? ( a \J O : 2 t (b)/ir): r' (c) f(t) :21 t, 1 ( d )/ ( r ) : - 3 r 43. Andaikanf(x * y) = f(x) * fU\ untuk setiap x dan y dan R. Buktikan bahwa ada bilangan m sedemikianrupa sehinggaf(t) = ntt untuk setiapbilangan rasionalt. Petuniuk: Pertama-tama tetapkan m itu apa,kemudianlanjutkansecara bertahapmuiai denganflO) = O, ftp1 = aO untuk p di N, /( I /p) = m/p dan seterus. nya.

2.2 Operasipada Fungsi Fungsi bukanlahbilangan.Tetapi sepertihalnya dua bilangana dar.b dapat ditambahkan untuk menghasilkansebuahbilangan baru a + D, demikianjuga dua fungsi/ dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkansebuah fungsi baru f + g. lni baru salah satu dari beberapaoperasipadafungsiyangakandijelaskandalampasalini. fungsifungsi JUMLAH, SELISIH,HASILKALI, HASILBAGI, PANGKAT. Pandanglah / dang denganrumus-rumus

)

Fungsi dan Limit

55 f(x) :

v - 1

a(x) : ..rzx

2

Eta dapat membuat sebuahfungsi baruf + g dengancaramemberikan padax nilai (x-3)12+.u&-yakni,

(.f + g X x): f (x)+ s1 1:.1 ;.l

Daerahasal /

Daerahasalg

* "A

Tentu sajakita harus sedikit hati-hati mengenai daerahasal.Jelasx harusberupasebuahbilangan pada mana/ maupung berlaku.Dngan lain perkataan,daerahasalf + g adalahirisan(bagian irisan (bagian bersama) dari daerahasal f dans (GambarI ).

GAMBAR I

Fungsi'fungsif - g, f. s, dnflgdrperkenalkan dengancarayang analog.Dengan ang gapanbahwa/ dang mempunyaidaerahasalmula,kita mempunyaiyang berikut.

Kita harus mengecualikan0 dari daerahasal/g untuk menghindaripembagianoleh 0. Kita juga boleh memangkatkansuatu fungsi. Dengan/",klta makzudkan-fungFl yang memberikannilai [/(x)]" padax. Jadi

f'(x): rf (x)t,:

- x2- y: + e [=]'

s,(x) : [s(x)]. : <Jit, : x3t2 Ada pengecualian padaaturanini, yaitu n = -1. Simbolf t
/

Kalkulus dan GeometriAnalitis

Jilid I

Penyelesian

t KOilIPOSISI FUNGSI. Sebelumnya,anda diminta untuk membayangkansebuahfungsi sebagaisebuahsenapan.Sekaranganda diminta memikirkan fungsi/sebagaisebuahmesin. Fungsi ini menerimax sebagaimasukan, x, bekerja pada x, dan menghasilkanflx) sebagai keluaran. Dra mesin seringkali dapat diletakkan berdampingan untuk membuat sebuahmesin yang lebih rumit; :i,,1&;,.: demikian juga halnya dengan dua fungsi / :rlEii*f ." ,*.,.*,; dan 9 (Gambu 2). Jika / belprja pada x dan kemudian untuk menghasilkan lk) i t g bekerja pada /(x) untuk menghasilkan g(xl flxl SU@D,dikatakan bahwa kita telah me nrysn g dengan.f.Fungslyang dihasilkan, disebut kompoit g denganl, dinyatakur :; olehg " /. Jadi, ,,.1,.

I

I

@

+

+

i

3

I

glflxll

@+ flslxll

GAMBAR 2

Ingat kembalicontoh kita yang terdahulu,/(x) = (x - 3)l2dar-g(x)=.r/x'Kita dapat nrenyusunnyadalamduacara,

: t(+) (s" f>(x): s(f@))

=

Segerakita perhatikan satu hal: Susunan(komposisi) fungri tidak komutatif; 9 ' / dan ./ . g umurnnya terlainan. Anda seharusnyatid,ik terlalu tcrkejut denganini. Jila anda membuka baju lalu mandi, maka anda akan memperolehhasil yang agak berbeda dibandingkandcnganmelalukan dua operasiini dalamurutan yang berlawanan.

.-,-------)-

57

fub 2 Fungsi dan Limit asal

O'rah f

Kita juga harus hati-hati dalammenguraikan daerahasalsuatu fungsi komposit. Daerahasalg o /adalah bagiandari daerah asal/ (yakni, nilai-nilaix itu) untuk manaI dapat menerima l8) sebagai masukan. Dalam contoh kita, daerahasalg "/adalah [3, oo), karenax haruslebih besaratau sama dengan3 -apr memberikansuatu bilangan tak neptif (x - 3)/2 untuk dikerjakanoleh g. Diagram dalam Gambar 3 memberikan pandanganlain mengenaihal ini.

Tidak dalam daerah asal 9

glf (xll

Darah Elr GAMBAR 3

CONTOH 2. Andaikan/( x) = 6xI (xz - 9) dn g(x\ =,rE;. Pertama,cai( f " gX I 2) ;kemu' dian cari V " g)(x) dan berikandaerahasalnya. knyelesian

U . s \ r 2 ) : f @ ( r 2 ) )f:( \ F ) :

16

f(6):;:;

4

U . ilQ): .f@(x)): fq/ry;) _ 6$x _6tr5; }@ tJtxl'-s 3x-9 x - 3 Daerahasal/. S adalah[0, 3) u (3, oo). (Ingat kembali bahwaU menyatakanoperasi gabunganpada himpunan). Perhatikanbatrwa 3 dikecualikandari daerahasaluntuk I menghindaripembagianoleh 0. Dalam kalkulus, kita akan seringkali perlu mengambilsuatu fungsi yang diketahui komposit. dan mendekomposisinya- yaitu, memecahnyamenjadi Potongan-Potongan Easanyaini dapatdilakukandalambeberapacara.Misalnya,ambil p(x) =UQ-a 4.yita dapatmemikirkannyasebagai

SU$D

dengan

p(x) - SUGD

dengan

dx):

f(x): xz + 4

s@): .,/;

atausebagai g(x)=Jt*4

dan

f(x) : x2

CONTOH3. Tuliskanfungsip(x) = (1 + 2)5 sebagaisebuahfungsikompositg o / Penyelevian Carayangpaling mudatruntuk melalukannyaadalahmenuliskan p(x) = g(f(x))

dengan

g(x):

xs

dan f(x):x+2

I

r

1.. I

58

Kakulus dan Gmmetri Analitis

Jilid I

TRANSLASI. Dengan mengamatibagaimanasebuahfungsi dibentuk dari yang lebih grafik. Mungkin ada pertanyaan: se{erhanadapat sangatmembantudalam penggambaran grafik-grafik dari Bagaimana

y: f(x)

y: f(x-3)

y: f(x)+2

r " l

y: f(x-3)+2

berkaitan satu samalain? Ambillahf (x) = lxl scbagaicontoh, Keempatgafik yang bersangkutandiperagakandalamGambar4.

y=lx-31+2

Y=lxl+2, y-lx-31

GAMBAR4 Apa yang terjadi denganf(x)= lxladalah lhas. Perhatikanbahwakeempatgrafik tersebut mempunyai bentuk sama; tiga yang telakhir hanyalah penggeseran(translasi) grafik itu 3 satuanke dari yang pertama.Denganmenggantix oleh r - 3 akan menggeser ke atassebesar2 satuan. kanan;denganmenambahkan2 berarti mengges€rnya Gambar5 memberikanilustrasilain dari pfinsip ini untuk fungsi/(x) = xt + x2 .

y=x3+x2 Grafik awel

,=lx+l)3+(x+1)2 Digeser1 satuan ke kiri

y = x 3 + x 2- 2

y=lx+113+(x+ll2-2

Digeser2 satuan ke bawah

Digeser1 satuan ke kiri, 2 satuan ke bawah

GAMBAR,5

Prinsip yang samasecaratepat berlaku dalam situasi yang umum. Ini diilustrasikan dalamGambar6.

_u+*' Y = tlxl Grafik awal

y=flx-hl Digeserf satuan ke kanan

y=flxl+k r, satuan -Diqeser 'k; ;;---

y=f(x-hl+k Digeserh satuan ke kanan dan k satuan ke atas

GAMBAR6

-___,__-_)

2 Fungsi dan Limit

59

Jika /r ( 0, maka penggeserannyake kiri; jika ( k 0, penggeserannyake bawah.

OONTOH4. Buatlahsketsagrafik g1x1= \/; + 3 + I denganmula_mulamenggambarkan jnlik16I = t6 dankemudianmetakukanj"ngg"r"r*-penggeseran seperlunya. hnyclcubn. Grafik dari g (Gambarg) dapatandaperoleh denganmenggeser grafik dari/ (Gembar7) 3 satuanke kiri dan I satuanke atas.

1

2 3 4

5

x

, = slxl =.16T_3+ r GAMIAI,7

Fungsikonstanflxl = 4 GAMBAR 9

GAMBAR, S KATALOG SEBAGTANDAR| FUNGSI. Se_ buah fungsi berbentuk -f(x): k, dengank (bilangan riil) disebut fungsi ko-nstanr-,r/ lonfanta G_rafiknya berupa sebuah gil--iilnaitar 9). Fungsi .f(x):,d-r.g{ fqgg__i$mtar id:!g!p.. G.rafiknyaberupa sebuah Cmyafu. titik asaldengantanjakanr i T:,td"i lCamUai Dari fungsifungsi sederhanaini, kita 10) dapat membangunbanyak fungsifungsi iattulus yangpenting. fungsi yang dapat diperoleh . . *bu.Tt dari fungsi konstan dan fungsi ldentitas dengan memakai operasi penambahan,p.ngur"ngln, dan perkalian disebut tuIglf4go-.-fni sima saja dengan mengatakan-T;fit'7-adalah fungsi polinomjika berbentuk f ( x ) : a n x n* a n _ r X ot + . . . + a F + a o

Ftrngsiidentitas flxl = x GA"MBAR IO

dengan koefisien-koefisiena berupa Ulian&n riil dan n adalah bilangan b_ulatiak nigaiif. Jika an * 0, maka n adalahdirajat Aari firngsi polinom. Khususnya, ai + b aaaill f(x): lungsi derajat satu, atau funfsi linear, dan

f(x):

ax2+ bx + " .a"Ifr-frigpi d";;;

dua,atau fungsileadrat.

lhsilbagi fungsi-fungsi polinom d.isebutfungsi rasional. Jadif adalah tungpi rasional flo berbentuk t)Di dni kemirtgan menerjemahkanpergertbn "sbpe,,; para pemrrb hin ada yarg menggumkan "tanjakan", "lcter€".

/

r*

Kalkulus dan Geometi Analitis a n x '+ e o - r X n

t

f(x): b^x^ * b^-tx^-

+...

Jilid I

+ a$ + go

+...+btx+bs

Sebuah fungpi aljabar eksplisit adalah fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konsperkalian,pemtan dan fungsi identitas melalui lima operasipenambahan,Pengurangan, bagan, dan penarikanakar.Contohnyaadalah

f ( x ) : 3 x 2 t :s3 X 7

s6*):f#

denganfungSi-fungSi Fungsi-fungsiyang didaftarkan sedemikianjauh, bersama-sama trigonometri, inverstrigonometri,eksponen,dan logaritma(akan diperkenalkannanti) merupakanbatranbaku untuk kalkulus.

soAL-soAL2.2

$

l. Untuk f (x) -- xl6 - I ) dan 9(x) = +7, carilah tiap nilai (jika mungkin)'

7. Hitungfl3,12)jikaflx)= '

(d) (,f "g)(0)

(e)(/.s)(\A)

(D (9. /X0)

-a

( \r{rnro* f(xl = x2 + x dan g(x) = carilah tiap nilainya. 2nr{ll, (a) (f - dQ) (c) s'(3) (e) (g " "fXl)

(b) (f td[)

(d)Cr. sxt) (f) k.s)(3)

3. Jika f(x): xt + 2 dan 91x1= Zl(x - l), cari rumus untuk masing-masing berikut dan nyatakandaerahasalnya.(Lihat Contoh I dan 2)

(b) (slf)@)

(a) (f + g)(xt

(d)(g"/)(x) il'\:J,'-i

dans(x)=

untuk yang bcrikut rumus-rumus 2l*d asalnYa. daerah nyatakan dan (a) (f 'd(;l-) (b) ,f'(x) + so(x) (c) (,f . sXx) (d) (s .,fX.r) (x): .rE - q dans(x)= lxl, \ lit" f cari rumus-rumus untuk (f . de) dan (s " f)(x). \il lit" g(x) = x2 * 1, cari rumus untuk g3(x)dan (g . g " g)(x).

l--;-,

/lt.\'

(b) ("f"sxo)

(a) (f + g)(2) (c) (slf)Q)

(c) 94G) I //*\ V (Q/""

tr

\ l + x 3 l ' @] 8. Hitung r(2, 03) jika s(x) =

(;- {n: l-r+x2

g 9. HitungJJltx'y+q1:^uy f(x) : Ux. lEl

lst@) - 9(o)l'/'

ro. Hitung

eG):6x - rr.

iix" jika

C"ti f dan g sedemikian sehingga \. f : g. f -(Ltuat Contoh 3). (a) r(x) : J,

+ 7

@) r(x) : (x2 + x)rs

12. Cari f dal''tS sedemikian sehingga

p: f "s. (a)p(x)=

2

iTll;lF

(b) P(x) : log(x3 + 3x) I seT,rlitk"tt P(x): log\6t+ \. bagai suatu komposit dari tiga fungsi dalam d,,a cal,ayang berbeda.

-/-*U/u.\yuuskan p(x):togt? +t sekompositdari empatfungsi. @!r6tu i5 Sketsakangrafik dari /(x) = - 2- 3 dengan pertama-tama menJ, (lihat Contoh 4). sketsakan Se) : Jx.

I

, -/-

l

_r-

_

_,

I I

FunssidanLimit

)2

5l

Stctsat
tz4Q/ketsakan

grafik dan sG) =

(r +-f)3 - 3 dengan memanfaatkair'penglgrran. 19. Sketsakan grafik dari f(x) = (x - 3)12 dan g(x)=.r/x memakaisistem loordinat sama. Kemudian sketsakan/+g dcngan penambahan ordinat.

f(x):

20. Ikuti petunjuk dari Soal 19 untuk x dan 9(x) : lxl. =

21. Sketsakan grafik

dari

F(t)

Sketsakan gralik

dari

G(r) =

vvt. )q

26. Ikuti petunjuk dari Soat25 untuk tiap fungsi. (a) s@): I - 3x + x52 (b) s(x): (1 + 5r)-2 (c) s(x): (l + 5y1-trz (d) s(x) : x-2 + 2x-t + 3 (e)s(x):t+J; /

(r) s(x): l--

I

r \-2

\x+zl

;

|

@ ZZ. Hubungan aatara biaya satuan P (dalam rupiah) untuk suatu barang tertentu dengan permintaan D (dalam ribuan unit) ternyata memenulu

p: uE - niE Di lain pihak, permrntaan telah meningkat selama f_ tahun sejak 1970 menurut

D:2+Jt

r - [rn.

Nyatakan apakah masing-masing \. yrDg berikut berupa suatu fungsi ganjil, nratu fungsi genap, atau tidak satu pun. Buktikan pernyataan anda. (a) Jumlah dua fungsi genap. (b) Jumlah dua fungsi ganjil. (c) Hasilkali dua fungsi genap. (d) Hasilkali dua fungsi ganjil. (c) Hasilkali sebuah fungsi genap dcngan rbuah fungsi ganjil. 24. Andaikan F fungsi sebarang yang daerah asalnya memuat -x bilamana ia memuat x. Buktikan masing-masingyang bcrikut. (a) F(x) - F(-x) menentukan suatu fungsi ganjil. (b) F(x) + F(-x) menentukan suatu fungsi genap. (c) F selalu dapat dinyatakan sebagai jumlah suatu fungsi ganjil dan genap. 25. Klasifikasikan masing-masingyang berikut sebagaisuatu FP (fungsi polinom). FR (fungsi rasional tetapi bukan suatu fungsi (polinom), atau f',4 (fungsi aljabar cksplisit.tetapi bukan FP ataupun .FR). (a) ,f(x) : 3xt/2 + I (b) /(x) : 3 (c) "f(x) - 3x2 + 2x-t (d) ,f(x) : nx3 - 3n

( e )f ( x ) : *

(D /(x):

x + l _._

./x+3

(a) NyatakanP sebagaisuatu fungsi r. (b) HitungP bilamanar= 15. 2\ Setelah berkecimpung dalam bisnis selaina x tahun, seorang pengusaha traktor membuat 100 + x + 2x2 buah tiap tahun. Harga penjualan (dalam ribuan rupiah) tiap buahnya telah meningkat sesuai dengan rumus P = 500 + 6x. Tulis. kan rumus untuk pendapatan tahunan pengusaha tersebut R(x) setelah x tahun. Q/ Dimulai pada tengah hari, pesawat A terbang ke arah barat dengan kecepatan 400 mil/jam. Satu jam kemudian, pesawat B terbang ke arah timur dengan kecepatan 300 milfam. Dengan mengabaikan keIengkungan bumi dan dengan menganggap kedua pesawat terbang pada ketinggian sama, cari rumus untuk D(r), jarak antara dua pesawat tersebut r jam setelah tengah lnri. Petuniuk' Akan terdapat dua rumus untuk D(r), satu jika 0 < / < l, yang lainnyajika r) l. El fO. Cari jarak antara pesawat-pesawat dari Soal 29 pada pukul 14.30.

n9 =ff. \. Andaikan

Bukti-

kan bahrva/(,f(x)) = x dengana2 + bc + O danx *a/c.

32. Andaikan 1.x) =

v_2

ffi. Buktikan bahwal{fl/(.x))):x, dengan x * +1. / - -

/

Kalkulus dan GeometriAnalitis

Jilid I

Andaikannt) =

Tentukan *. tiap harga. dan sederhanakan (b) .f0r(x)) (c) flll/(r)) (a) .f(l/r) \4. Andaikantrr(r) = x, fzh)= llx, /r(x)"= l-x, fa(.:-)= l/(l-x)' .fs(x) = (x-l)lx, dan/6(x) = x l(x-l\. Perhatikan = bahwa fsVqGD = /3(l/(l-x)) = xl(x-r) = /o(x), yaitu, l-l/(l-x) komposisidari fc . fq = /r. Sebenarnya, setiap dua fungsi ini adalahfungsi lainnya seperti dalam daftar. Isilah tabel komposisipadaGambarI l.

GAMBAR II

2.3 FungsiTrigonometri Kita anggap pembaca telah belajar trigonometri dan akrab dengan definisidefinisi fungsi trigonometri berdasarsudutsrdut dan segitigasiku-siku.Kita ingatkan pembacatiga dari definisi-definisiini dalam Gambar l. Janganlupakan mereka.Tetapi r di sini kita lebih tertarik kepadafungsitrit" n o =!fr sin d : !99 c o so =ffi gonometri yang berdasarpada lingkaran satuan. Bilamana ditinjau dalam cara ini, daerahasalnyaberupa himpunan bilangan GAMBAR I riil bukannyahimpunansudut-sudut. Andaikan C adalah lingkaran satuan yaitu, lingkaran x2 + y2 = I berpusatdi titik asal dengan radius I (Gambar 2). Nyatakan titik (lp) oleh I dan andaikan I t sebuang bilanganpositif. Mal 2n, diperlukan lebih dari satu putaran lergkap dari lingkaran satuan L i n g k a r a ns a t u a n untuk menelusuri busur ,{F. Jika r = O , P =A . CAII{BAR 2 Demikian juga jika r ( 0, maka Anda akan memperolehpersissatu titik P(x. y\ pada lingkaransatuanitu, sehinggadengandemikianbila Anda mengukumyasearahputar' bilanganriil r, ot jarum iam padaC, makapanjangbusur ,'(Padalahr. Jadi, dengansebarang kita dapat menyesuaikannyadengqn sebuahtitik unik 4x, y). Ini memungkinkankita membuatdefinisikunci dari sinus(sin) dan kosinus(cos).

-A 6 3 :

2 Fungsidan Limit

I

STFAT-SIFATDASAR SINUS DAN KOSINUS. Beberapakenyataansepra jdas kelihatan &d &finisi yang baru sajadiberikan.Pertama,x dany bervariasiantara-1 dan l, sehingp

;

Krrena t dan t + 2a menentukantitik P(x, y) yang sanu,

Dikatakan bahwa sinus dan kosinus perie dik denganperiode2t. *cala lebih umum, suatu fungsi ,f dikatakan periodik jika ter' dapat suatu bilanganpositif p sedemikian sehinggaf (t + p): /(r) untuk semuat dalamdaerahasal/. Dan bilanganp terkecil yang memenuhidisebutpenode/. Titik-titik P yang berpadanandengan simetri terhadap sumbu x t dan -t (Gambar3), sehinggakoordinatx-nya sama dan koordinat y-nya hanya berbedatanda. Akibatnya,

GAMBAR 3

ly,xl

Dalam perkataan lain, sinus adalah fungsi ganjil sedangkan kosinus adalah funpi genap. Titik-titik P yang bcrpadanandengan t dan nl2 - r simetri terhadapgarisy = x (Gambar4), sehinggakoordinat-koordinatnya salingbertukar.Ini berarti bahwa

GAUDAR,I

/

4 Kalkulusdan GeometriAnolitis

Jilid I

AkhirnYa, kita sebutkan sebuah kesamaan penting yang mcng[ubungkan fungsi-fungsisinusdan kosinus.

I

Kesamaanini muncul dari kenyataan bah' wa y2 + x2 = I padalingkaransatuan.

GAMBAR 5

grafk y = sin r dan.y = cos t' GRAFfK.slNus DAN KoslNUs. Untuk menggambarkan dan hu' rajah titik-titik yang.berpadanan, kita ikuti prosedur baru kita (buat tabel nilai, bungkantitik.titikinio""g.nr.ngtunganmulus).Tetapibagaimanakitamembuatsebuah untuk tcitl Jall-u*uk sinusdan tabel nilai? untunglah "r*g r^i.irratimengeriakannya yang demikian adalah Tabel II dari Apendiks; kosinus telah tersedia. Silt satu tabel tabelringkasuntirkbilangankhususdiperlihatkandalamGambar5.Denganbantuantabel. (tlalam mode radian, kita dapat meng' tabel ini atau dari romp"ut""i memakaikalkulator gambarkangafik dalamGambar6'

GAI{BAR6 dapat methat empat hal tentanggrafikBahkandengn pengarnatansekilassajas€seorang grafik ini: dari -l sampai l' l . . Sin r dan cos rkeduanya berkisar pada selang yang berdampingan sesendirinya dengan berulang 2. ili""-er"rrk pnjang2n. y' titik asal dar.y = cos ' terhadap slrmbu 3 . Grafik y = sin t srmetn terhadap kanan ke sattnn = tt digeser 12 4. Grafik y = sin t sama seperti y cos l, tetapi

merupakan tafsiran secara gafik dari empat Tidak ada yang mengherankan di sini. lni rumus dalamkotak yangpertamadari alineasebclumnya'

Kita dapatlewat culup dengansinus EM'AT FuNGsr rRrGoNoMETRr LATNNYA. &nkosinussaja,tetapipentingjugauntuk-memperkenalkanempatfungsitrigonometri kosekan' sekan,'dan : tanS!n, kotangen, tambahan / -

_ - _

_

65

2 Fungsidan Limit

Apa-apayang diketahui tentangsinus dan kosinussecaraotomatis akan memberikankita pcngetahuantentangemPatfungsibaru ini. CONTOH l. hrktikan bahwatangenadalahfungsiganjil' lcnyelevian tan(-r)

sin(-r) cos(- f)

-sin t : cos t

-tan t

I

berikutC(I{TOH 2. Periksakebenarankesamaan-kesamaan

Penyekvian I + tan2f : 1 *

s i n 2t - c o s 2 t + - s i n 2t : :n: c o s -I cos'f cos' ,

s e c 2t

I + c o t 2r :

" 3 t - tt : srn' t

s i n 2t . + - c o s 2t :-+: sln- t sln' I

c s c 2t

1+

a

Bedtut ini digambarkangrafik fungsi tangen(Gambu 7). D sini kita dihadapkanpada dra kejutan kecil. tegak(vertikal)pada-3n12, Pertama,kita perhatikanbahwaterdapatasimtot-asimtot - nl2, nl2, 3n12, dan seterusnya. sudahmendugahal ini, karenapada Kita seharusnya nilai-nilai / ini cos t = 0, yang berarti bahwa (sin r)/(cos r) menyangkutsuatupembagian oleh nol. Kedua, kelihatan bahwa-tangenadalah periode (yang kita perkirakan) tetapi

GAMBAR 7

/

KalkulusdanGeometriAnalitis Jilid I

66

denganperiode(yang mungkin tidak kita duga).Anda akan melihat alasananalitisuntuk ini dalamSoal 19. HUBUNGAN DENGAN TRIGONOMETRI SUqUT. Sudut biasanyadiukur dalam derajat atau dalam radian. Sudut yangberpadananterhadapsatuputaranpenuhberukuran 360', tetapi lnnya 2r radian. Demikian pula, sudut lurus berukuran 180" atau r radian, kenyataanyang bermanfaatuntuk diilrgat

Ini menuju pada konversibiasayang diperlihatkandalamGambar8 dan kepadafalila-fakta berikut. lradian= 57.29578"

1'=Q0174533radian

Pembagiansuatu putaran menjadi 360 bagian dilalukan demikian saja (menurut bangsaBabylon kuno, yang menyenugi kelipatan60). Pembagianke dalam2r ba$at adalah lebih mendasardan berlatar belakangpada pemakaian ukuran radian yangumum clalam kalkulus. Khususnya,perhatikan batrwa panjang busur s dari potongan busur sebuah lingkaran radiusr deFgEnsudut pusa!I radianmemenuhi(lihat Gambar9) s

t

2nr

2n

Yakni,

ffi Bilamanar = l, ini memberikans.= t Dengankalimat, pniong busurpadapotonganling luran vtuan dengansudut puvt t radian adalaht. Ini benar walaupunjika f negatif,asalkan kita menafsirkanpanjangadalah negatif bilamana diukur dalam arah putaranjarum jam.

s = rt

GAMBAR 8

GAMBAR 9

CONTOH 3. Cari jarak yang ditempuh oleh sebuahsepedadenganroda yangmempunyai radius 30 sentimeterbfla roda itu berpirtar sampai 100 putaran.

Bab2 FungsidanLimit

67

hrychvlm. Kita pakai rumus dalam kotak, denganmengenalibahwa 100 putaran berpadanandengan100.(2r) radian. s:(30X100X22):OOOOr r 18849,6sentimeter

I

Sekarang kita dapat membuat hubungan antara trigonometri sudut dan. trigonometrilingkaransatuan.Jika 0 adalah sudut yang berukuran t radian (Gambar l0), maka

Dalam kalkulus. bilamanakita menemui sebuahsudut yang diukur dalamderajat, ke dalam kita hampirselalumengubahnya radian sebelum melakukan perhitungan. Misalnya, -

/

.

\

= sin .1ft radian- sntqssZ) sin31,6o (31,6 )

sin0=sint=y co6A=cost=x GAMBAR IO

CONTOH4. Caricos51,8" hnyelcvian. Proseduryang paling sederhanaadalah menekantombol yang tepat pada kalkulator. Tetapi jika ingin memakai Tabel.II dari Apendiks, pertarna kita ubah 51,8oke radian.

=,,,r(#) r Q904 radian cos(51,8")< cos(0,904)ry 0,6184

r

/

iTl 68

Kalkulusdan GeometriAnalitis

Jilid I

. , RINGKASANKESAMAAN.KESAMAANPENT|NG.Kitatidakakanmenehabiskanha-.| Kita .uiup *tntgt* laman untuk memeriksakebenaransemuakesamaantrigonometri. | I ini akan diperlukesamaan dari kebanyakan bahwa kan kebenarannyadan menekankan ini' buku kan di suatutempat dalam

&b 2 Fungsidan Limit

69

I 1

soAL-soAL2.3 f Konvenikan yang berikut ke radian (gunakan zr dalam jawaban anda).

(a) 2,10' (c) - 135' (e) 6of G) 18' (D 6"

(b) -60. (d) 540" (f) 720" (h\ 22,s"

(a) sin( 1,23) (c) tan(1,55) (e) cos (-0,63)

(b) cos (0,63) (d) sin (-1,23)

7. Hitung E r"r 2-14,1rin!!.,IQ cos(0,34) (b) sin2(2,5t I + .u6os(OJ D

I

r

i

1

Konversikan ukuran radian berf ikut rhenjadi derajat. 7n

(a)?

-?

.

(c) 8z

3n (et , G,*

(b)

.

J

(d)

(f)

(h)

5n

8. Hitung I ,(4,, 5--sfiJ6-f 6 . 3t a n 3 4 . 2 "

t'r (*-#* "a*z*)'

4 ,/. ^rrun" tanpa memakai kalkulator.

- lln

n

/z\ (") tan(;J

(b) sec(z)

/32\ 1ct sec( 4/

/r\ (d) csc(t/

n,*,(;)

(D ""(-;)

7t

i

3. Konversikan yang berikut menjaol E radian (1" = n/l80 radian).

(a) 33,3" ( c ) - 3 9 1, 4 " (e) 4,02'

(b) 4?1,s" (d) 14,e"

tr4.

Konversikanukuran radian berikut menjadi derajat(l radian= 180/z derajat). (a) l,5 l

(c) 2,31 (e) -0,002

(b) -3,1416 (d) 34,:'.5

10. Hitung tanpa mernakai . kalkulator. /n\

1 a rt a n ( 1 /

(c)

(e)

*'(1) "'(-:)

o) *.(:) (d) *.(;)

(D *,(-

i'5 1)

El 5. Hitungtah (yakinkan bahwa kalkulator anda dalam mode radian).

zff. Perlksa kebenaran kesantaan berikut (lihat Contoh 2).

(a) sin (0,452)

(b) cos (0,452)

( a ) ( 1 + s i n ; ) ( l - s i nz ; : - f sec2z

(c) tan (0,452)

(d) sin (-0,361)

( b ) ( s e c r- l ) ( s e c r * l ) : 1 3 n 21

( e ) c o s( - 0 , 3 6 1 )

(f) tan (-0,361)

(c) secr - sin t tan t : cos I (d)

6. Gunakan Tabel II dari Apendiks unt'6k mencari tiap nilai.

:

sec2r-l :sin'l , sec- r

(e) cos t(tan t + cot r) : ss61

/

Kalkulus dan Geometi AnalttE 12. Periksa bahwa Yang berikut adalah kesamaan. cos 1., --: sec ll

srn u (- a ) - + csc lr

ln1

I

(c) sin (csc t - sin t) : cosz t I -csc2r (d) --csc'I (' e )

I slnlcost

,

?t) =

'1 E

71. Cari panjang busur sebuah lingkara'n radius 2.5 sentimeter yang dipotong oleh tiap sudut pusat (lihat Contoh 3). (b) 225' (a) 6 radian

I

(b) (l - cos2x)(l * cot2 't) :

20. Buktikan bahwa cos(x - cosx untuk semuax.

IiH

f

/2. Seberapajauh sebuah roda radius Z yIUi menggelinding sepanjangpermukaan tanah dalam membuat 150 putaran? (Lihat Contoh 3).

-l s e c -I cosl --,:tanl slnl

Sketr"kan grafik-grafik \3. iku t pada I -n, 2tl .

yang ber-

(a) .r': sect

G)v:3sint

(c) t' : sin 2t

( d v) : ' t ( ' - i )

14. Sketsakan grafik-grafik yang berikut pada l-n,'2trl (a) _y: csc t

(b)Y:2cost

(c) Y:cos3t

(d)y: ".'('. i)

15. Cari kuadran tempat akan terletaknya titik P(x, y) untuk tiap t di bawah, dan dengan dernikian tentukan tanda dari cos t. Pehtniuk: Lihat definisi lingkaran satuan untuk cos f. (b) t = 9,34 (a) t = 5,97 (c) t= -16,1 16. lkuti petunjuk Soal l5 untukmenentukantanda dari tan /. (b)r=-ls 1a) t = 4,34 (c) t = 21,9 }?- Yang mana dari antara Yang berikut adalah funesi ganjil? Fungsi genap? Tidak salah satu? (b) csc t (a) sec r (d) x cos x (c) t sin t (f) sin x + cos x (e) sin2x lE. Cari kesamaan-kesamaan Yang analog terhadap kesamaan penambahan untuk tiap pernyataan. (a) sin(x - 1) (b) cos(x- r,) (c) tan(x - r') 19. Gunakan kesamaan Penambahan 'untuk tangen guna membuktikan bahwa tan(t + tt) = tan f untuk semua t dalam daerahasal dari tan t.

tr 2d. Andaikan sebuah ban pada sebuah mofrl mempunyai garis tengah luar 2,5 kaki. Berapa putaran tiap menit yang dibuat oleh ban bilamana mobil meluncur pada kecepatan60 mil/jam? 24. Sebuah tali kipas melingkari dua tr roda, seperti diperlihatkan dalam Gambar ll. Berapa banyak putaran yang dilakukan tiap detik oleh roda yang kecil bilamana roda yang besar membuat 2l putaran tiaP detik?

GAMBARII 25. Sekarung jagung 50 kg ditarik sepanjang lantai oleh seorang yang lengannya membuat sudut t radian dengan lantai. Gaya F (datam kg) yang diperlukan diberikan oleh 50r F(r): 'u--r sln I + COS Di sini p adalah konstanta yang berhubungan dengan gesekan yang terjadi. Cari F

dalamtiap kasus. ( ^ )t : 1 q E

(c) r=t

(b) t=o (d) Sudutadalah90.

26. Sudut inklinasi c dari sebuah gasudut positif terkecil dari sumadalah ris bu-r positif ke garis tersebut (a = 0 untuk sebuah garis mendatar). Buktikan bahwa kemiringan m dari garissamadengantan c.

,1

I

_

l

7l

Bab 2 Fungsidan Limit 27. Carilah sudut inklinasi dari garis: lrrb berikut (lihat Soal 26).

(e)y:'fir-t

( b ). f ' +

3y:6

28. Andaikan 11 dan 12 adalah dua grris tidak te8ak masing-masing dengan Lgmiringan m1 daa m2. llka d adalah sudut dari 11 ke 12 bukan sudut siku-siku, maka tan0=

ntz-frlr

| * mrmz

Buktikan ini dengan memakai fakta bahwa 0 = 0z - 01 dalam Gambar 12. El 29. Carilah sudut (dalam radian) dari garis pertama ke garis kedua (lihat Soal 28). ( a )y : 2 x ,

t:3x

-

x

(u)r:1, !:-x

=

''i ,,

( c ) 2 x - 6 Y : l Z ,? - x + Y : 6

31. Cari luas sektor lingkaran dengan radius 5 sentimeter dan sudut pusat 2 radian (lihat Gambar 3O). 32. Andaikan ruji sebuah roda dengan radius 2 kaki berpUtar l0 kali dalam satu detik. Cari luas yang diliput oleh ruji sehma;f detik; selama3 detik. /33. Suatu piringan hitam dengan 34 ,p^ memiliki galur berbentuk spiral yang dimulai 6 inci dari pusatnya dan berakhir 3 hci dari pusatnya. Apabila piringan hitam itu dapat main dalam 18 menit, panjang galur terberapakah ki*kira sebut?

I

:

i

/'1

p{. Sebuah poligon Regular n sisi dimasukkan dalam lingkaran dengan radius r. Carilah rumus untuk parameter P, dan luas dari poligon tersebut dalam suku n dan r. G") t"oo"O segitiga samakaki ditutup oleh setengahlingkaran seperti tam' pak dalamGambar,14. Tentukanlahsuatu rumus luas rl untuk seluruh gambar sebagai fungsi dari sisi r dan zudut puncak t (radian).

x

6* lt. X:

I

| -q { (

LA:i'.u. GAMBAR12 Turunkan rumus a: lr20 un_ \ tuk luas sektor lingkaran. Di sini r adalah radius dan 0 adalah sudut pusat dalam ukuran radian (lihat Gambar l3).

- 2eral\ GAMBAR 14 36. Dari suatu' perkalian identitas, kita peroleh x

x ,cos cos : l[.o. ]x + cos]xl I i

Tentukanrumusyangr"*"i )rtof x x x x cos cos "or t a.or g 16 GAMBAR 13

Apakah Anda umumnya?

menemukan bentuk

/

Kalkulus dan GeometriAnalitis

Jilid I

2.4 Pendahuluan Limit Topik yang dibahassedemikianjauh merupakanbagiandui apayang disebutpmlwlkulus. untuk kalkulus, tetapi ini bukan kalkulus. Sekarang Topik ini menyediakandasar-dasar kita siap untuk suatu gagasilnbaru yang penting, yaitu pengertnn Emit. Gagasaninilah yang membedakankalkulus dari c99ug'c;ataq&lrn4llglatikalainnya. Memang,kita dapat mendefinisikankalkulussebagaip(nskajiut t entaryJfo!!,_) dalam bahasaseharihari seperti misalnya Tentu saja, perkataan/imit dp€Tgffia-aE-n "Saya mendekati batas kesabaransaya." Pemakaianyang s€s€orangberkata, demikian mempunyaihubungandengankalkulus,tetapi tidak banyak. PEMAHAMANSECARAlNTU|Sl. Pandangfungsryangditentukanoleh rumus ,3_l

f(x):= Perhatikanbahwa fungsi tenebut tidak terdefinisikanpada x = I karenadi titik ini/(x) berbentuk *, y.ng tanpa alti. Tetapi kita masih dapat menanyakanapa yang terjadi pada/(x) bilamanax mendekati l. Secaralebih tepat, apakah/(x) mendekatibeberapa bilangantertentu bilamanax mendekati l? Untuk sampaipada pertanyaanini, kita telah melakukantiga hal. Kita telah mengfritungbeberapanilai /(x) untuk x dekat l, kita telah menunjukkannilai-nilai ini dalam sebuahdiagramskematis,dan kita telah mensketsakan gaftky =/1x)(Gambu l). 31813

3p3o 3,003 2Ps7 2r97O

2r71O

Diagram skematis

G r a f i k d a rvi = f t x l : + =

GAMBAR I

' -

-+-

I

I

F2

fugddan

Limit

73

semua informasi yang telah kita rakit kelihatannyamenunjuk ke kesimpulanyang run: /(x) mendekati3 bilamanax mendekati l. Dalamlambang matematis, kita tulishrn ,. x3-l

l l l' - t : ' lni dibaca"limit dari (x3 - t)/(x - l) untukr mendekatiI adalah3." hngan menjadi seorangahli aljabar yang baik (adi mengetahuibagaimanamengunikan selisih pangkat tiga), kita dapat menyediakanfakta-faktayang lebih banyak dan lebih baik. ..

x3-l

llfll --a-1 X

. I

: lim

I

(x-l)(x2+x+l) x -

x-l

I

: l i m ( x 2+ - r + l ) : 1 2+ I + I - 3 Perhatikanbahwa (x - l)l(x - l) = I selamax * l. Ini membedarkan langkahyangkedua. Agar yakin bahwakita beradapadajalur yang benar,kita perlu mempunyaipengerdan yang jelas tentangarti perkataan/imit. Berikut percobaankita yang pertamapada sebuahdefinisi.

Perhatikan bahwa kita tidak mensyaratkansesuatuagar tepat benar di c. Fungsi/ bahkantidak perlu terdefinisidi c, juga tidak dalamcontoh/(x) = (x3 - l)l$ - l) yang baru saja ditinjau. Pemikiran tentang limit dihubungkan dengan perilaku suatu fungsi dekatc, bukannyadi c. Pembacayang kritis pasti menentangpenggunaanperkataandekat. Apa sebenarnya makna dekatZ Seberapadekat adalah dekat? Untuk jawab-jawabyang persis,beberapa contohlebih lanjut akanmembantumemperjelas pemikirantersebut. \

LEBIH BANYAK CONTOH-CONTOH.Contohpertamakita kelihatannyaremeh,tetapi penting.

- 5) CONTOHl. Carilim- (,tx x+3

Penyeleuian. Bilamanax dekat 3; maka 4x - 5 dekat terhadap4 . 3 - 5 = 7.Kita tuliskan lim (4x - 5) :7 i-3

I

/

Kalkulus dan GeomeffiAnalitis

74

Jilid I

x2-x-6 CONTOH2. Carilim -x-3 x-3 Penyelevian. Perhatikanbahwa(x2 - x - 6)16 - 3) tidak terdefinisidi x = 3, tetapi itu tentangapayang terjadi bilamanax mendekati tidak apa. Untuk mendapatkangagasan 3, kita dapat memakaikalkulator untuk mengfritungungkapanyang diberikan,misalTetapiadalahjauh lebih baik memakaialjabar nya di 3,1; 3,01; 3,001,danseterusnya. sedikit untuk menvederhanakanpersoalan.

2 - x - 6 : , , _ ----;, . x--------------ltm - ( t - 3 X x + 2 :) rrim (x + 2):3 um r-3

X-3

x-3

x-J

+ 2: 5

r-3

[email protected] - 3 drhm hrgk1 kcdue adalah sahih karena definisi limit itu akan mcngrbdkrn perllehnyt di -tchh tiri x ='3. Jadi, kita tidak membaginyade'

ngan0.

I

CONTOH3.Carifm 1'-rJx-l Penyelevfun

n'n

F1 '-r Jx - I coNToH 4. Czilir*O

Penycbtbrt

1

: o'r-l -('"6-lX"'6+l) : h m ( \ 6 f + l ) : . , f i + I : 2 ,/, - I

T

tin t. r

Kita tidd( menemukanmuslihat yang akan menyederhanakantugas itu secara aljabar, tentu saja kita tidak dapat mencoret .r. Kdkulator akan nrcnolong kita nrmperoleh bayangan tentang nilai itu. Gunakanlah kdkulator anda rndiri (mode radian) untuk memeriksanilai-nilai dalam tab€l dari Gambar 2. Kesimpulan kita-walaupun kita akui tidak o*up kuat-adalah bahwa .. sin x : 1' Iim r{o x Kita akan memberikansuafit demqrstrasi yang cermat dalamPasal3.4. I

GAMBAR2 BEBERAPATANDA PERTNGATAN Ternyata keadaannyatidak semudahapa yang ke lihatan. Kalkulator mungkin medgecohkankita, demikian juga denganintuisi kita. Contohbeberapajebakanyang mungkin. contoh berikut mengetengahkan CONTOH5 (Iblhrlatoren&

f cosxl | mungkir membodohiude). Cari liml x2 - 10.000J i-ol

i ,

-

<

-

-

fub 2 Fungsidan Limit

CAMBAR 3

75 Penyebvian Denganmengikuti prosedur yang digunakan sebelumnya, kita susun tabel nilai yang diperlihatkan dalam Gambar 3. Kcsimpulan yang disarankannya adalah bahwa limit yang diinginkan adalah 0. Tetapi itu salah. Jika kita ingat kembali gralik y = cos x, kita sadari bahwa cos x mendekati I untukx mendekati 0. Jadi,

I :r i - f , 2 - 1 9 ! i l : o 2- 10.000J 10.000 ;f-

10.000

I

CONTOH 6. (Tidak ada limit pada suatu lompatan).Cari lim [x]

Penyelevion Ingat kembali bahwa [x] 'menyatakan bilangan bulat terbesar dalamx Qihat Pasal 2.1). Grafik y = [x] diperihatkan dalam Gambar 4. Untuk semua bilangan x yang lebih kecil dari 2 tetapi dekat 2, [x] = l, GAMBAR4 tetapi untuk semua bilangan x yang lebih besard^n 2, [x] = Z. Apakah ekat pap suatu bilangan Z [x] bilamana x dekat 2? Tidak. Betapapun bilanganyang kita usulkanuntuk Z, akan terdapat nilai-nilair yang sebarangdekat ke 2 padasatupihak atau pihak lainnya, dengan [x] berbeda dari L sebesarpaling sedikit] . Kesimpulankita adalahbahwa tidak ada. Jika anda memeriksakembali, anda akan melihat bahwakita tidak hq [r] menuntut bahwasetiaplimit yang dapatkita tuliskanharusada.

I

A

"x

, /ut CONTOH7. (Tcrlalu banyakgoyangan).Cari lim sin (l/x)

1(r

\ u

Pcnyelevian. Contoh ini mengetengahkanpertanyaan paling rumit yang ditanyakan tentang limit. Karena kita tidak ingin membuat cerita yang terlalu besaruntuknya, anda diminta melakukan dua hal. Pertama,ambil sebarisannilainilai x yang men-

l-

/

KalkulusdanGeometriAnalitis ltltt I

76

dekati 0. Gunakan kalkulator anda untuk menghitung sin(l/x) pada semua nilai I ini. Terkecuali anda menemukanbeberapa pilihan beruntung, maka nilai-nilai anda akan berayunsecaraliar. gafik Kedua, cobalahmenggambarkan y = sin(l/x). Tak seorangpun akanp€mah melakukan ini dengan sangatbaik, tetapi tabel nilai dalam Gambar 5 memberikau kita suatu petunjuk yang baik tentangape yang terjadi. D sekitar titik asal,gmfik ber' goyangke atas dur ke bawahdi antara-1 dan I banyak kali secara tak terhingga (Gambar 6). Jelas sin(l/x) tidak berada dekat suatu bilangan unik I bilamana x dekat 0. Kita simpulkan bahwa lim .t-t0 sin(l/x) tidak ada,

I

GAMBAR5

GAMBAR5 LIMIT-LIMIT SEPIHAK Bilamana suatu fungsi mempunyai lompatan (seperti hdnya [x] pada setiap bilanganbulat, dalam Contoh 6), maka limit tidak ada pada setiap titik lompatan. Untuk funpi-fungsi yang demikian, adalah wajar untuk memperkendkan limit-limit sepihak.Andaikan lambangx -+ c* berarti batrwax mendekatic dari kanan,dan andaikanx +c-berarti bahwax mendekatic dari kiri.

Jadi walaupun g,

firn tidak ada, adalah benar untuk menuliskan (lihat grafik dalam

Contoh 5)

lim [x] : x+2'

lim [x] : l x-2+

,

Futitidan Limit

I

t l

77

Kfrd y"kin andaakan melihat f"h*" trorrrn berikut sangatberalasan.

t1 cmbrr

i

7 seharusnyamemberikanpandangantambahanyangjelas bagi Anda

I

GAMBAR 7

SOAL-SOAL Dalam Soal-soal I - 6, cari limit yang ditunjukkan dengan pemeriksaan.

zn lun(2x- 8)

.1Tr("

- 3x+ l)

tt, *, 5. l i m v ' - r-l3

x*

t.

l)

,)

:'l(;. /---

4' 1 - V Y + x " r*4 x-3

6 . l,l f.i l -

5x-x2

,-tx'*2x-4

Dalam Soal*oal 7 - 16, cari limit yang ditunjukkan. Dalam banyak hal, akan bijaksana untuk melakukan beberapa perhitungan aljabar terlebih dahulu (lihat Contoh 2 dan 3).

.- x2+3x-4 r + t

9.

x - l

2x2+5x-3 ,+3

ll. lim:= "-sJx-3 1 3 .l i m x 2 + x - 6 \-2 x*2

,1 x2-2x-3 x-3

t2-- 5t + 6 t5. lim t-zt'-t-2

lllD-

,-o x' * 4x

u'- l

u+r

Dalam Soal-soaI l7 - 26, gunakan kalkulator (atau Tabel II) untuk menghitung nilai-nilai dari fungsi yang diberikan dekat titik limit c. Susun nilai-nilai ini dalam sebuah tabel (seperti dalam Contoh 4, 5, dan 7) dan gunakan hasil-hasil tersebut untuk mencari limit yang disyaratkan atau menyimpulkan bahwa limit tersebut tidak ada. Yakinkan untuk mem:Nang kalkulator dalam kode radian. IFI T:J

t7. li'-o

FI LYJ

x-3

Y. x3 - l6x

t6.limu'+6u-7

IlI

tunt 2x

I - cot " -X

r-O

''l'*Tj

tr

2t.limsilf ,-o

l-cl lg. li-

t'

a

20. li*

l - c-ot" -(

r*O

22. lir-o

tin'r t

-8 1 2 .l i m x '-zx-2

14.lim x--3

x2+4x-4 x-3

tr E

23.ri-l*tot' r+ft

l.

l.m r-o

sin 2x

-l

tan x-sin .x X'

/

Lq

Jilid I

/ Kalkulus dan GeometriAnaiitis

78 sin 3x - .

25. lim

'-1X

'_ l-el

tan u 26. lim _

t

u

t-.12

yf . V*uk fungsi / yang digambarkan grafiknya dalam Gambar 8, cari limit yang ditunjukkan atau nilai fungsi, atau nyatakan bahwa limit tersebut tidak ada. (a) lim /(x)

(b) "r(-3)

jika x
[t - x + l sG):7 x-l

x22

jika

[5-r'

Kemudian cari masing-masing yang berikut atau nyatakan jika tidak ada.

(b) s(l)

(a) limg(x)

r--3

r*l

(c) ,f(- t)

(d) lim /(x) r--

(e) .f(1)

I

x-2

x-

l-

x-2r

- [x]; fl. Sketsakan grafik /(x) : x kemudian cari masing-masing yang berikut atau nyatakan jika tidak ada.

(h) lim /(x)

G) lim /(x)

(d) lim s(x)

(c) lims(x)

(f) lim/(x) rJl

r+

\30.7 Sketsakan grafik dari

I+

(a) .f(0)

(b) lq /(x)

(c) lim /(x)

(d) lim /(x), t-ll2

x-O-

4 ?. Ikuti petunjuk Soal 3l untuk f.{x'l= xllxl. 'r{. atau lim(x2- l)/l-r - ll an r-

I

nyatakan jika tidak ada.

GAMBAR 8 28. Ikuti petunjuk dari Soal 27 untuk fungsi / yang digambar grafiknya dalam Gambar 9.

I -,rty'. 1. Hit*rs 1r1x
Petuniu k : Rasionahsasrkanpembilang. 35. Andaikan ( x iikax rasional jit"rtakrasional I\x)= J\ - r Cari masing-masing nilai, jika (a) lim /(x)

mungkin

(b) tim /(x)

rJl

GAMBAR 9

36. Sketsakan, yang terbaik yang anda dapat lakukan, grafik fungsi / yang memenuhi semua persyaratan berikut. (a) Daerah asalnyaadalah selang [0,4].

,

(b)/(0) : "r(1): f(2): f(3): f(4): I

?/. Sketsakan grafik dari lx' l

/(x)=lx [l+x'

jika x<0 ' jika 0<x
(c) lim f(x):2

iika x->l

(e) limf(x):2

r-

tt3

Kemudian "".i rn"ring-rnasing yang berikut atau nyatakan jika tidak ada. (a) lim/(x)

G).r(l)

r-

l

(d) lim /(x)

.

(d) lim f(x):

I

x-2

l

-

(f)

lim f(x): rt3

I

+

37. Diketahui /(v) :

r-O

(c) lim/(x)

r-O

f.x2 bila r rasional

{

l.ro bila x tak rasional

Untuk harga a berapakah lim flx) ada? x+a

(--

'lF

Futtslddaa-Limit

Jb2

ld dcnpo

rungsi .f(r) = 12 telah Akan tetaPi Pada

teliti.

hri seorang tamu misterius mengubah nilainilai dari / pada satu juta tempat yrng berbeda.Apakah ini mempengaruhi nilai dari lim /(x) untuk setiapa? Jelas

(d).1?t*-t +] . Tentukan

x+a

limit-limit

berikut

atarf berilah keterangan bahwa limit ter-

kan. )4, Tentukm limit-limit berikut ini ett{f berilah keterangan bahwa limit tcrsebuttidak ada.

sebuttidak ada.

(a) lim vG-j-[n :-

(b)

(c) lim xf-l;[tr']'

lim Il/x]

:-O+

I r

(d) lir^n [xI(-

O

l)[r/'I

x-O+

lx-ll (a) lim ---;x-l

X

I

(b) limiL+ 5-1-

X -

(e)l lim xfl/xn I

l-.

r'O

(f)

lim x' It/.x]

i

r

2.5 Pengkajian Mendalam Tentang Limit Anda seharusnyatidak percaya begitu saja pada apa yang diceritakan kepada anda. Adalah bijatsana untuk bersikap ragu-ragu - asal saja tidak keterlaluan sehinggaanda tidak akan mempercayaiaPa pun\ benikaplah sepantasnyauntuk tidak menerimasuait pemyataansebelumanda memeriksanya.IGtakan kepadaseorangmatematikawanbahwa Ltoatu adalah benar dan kemungkinan anda akan mendapat tanggap4n:hrktikan. Tetapi untuk dapat membuktikan sesuatuharuslah kita memahami uti kata-katayang digunakan scjelas-jelasnya.Terutama yang menyangkut kata limit, kuena kalkulus semuanyaber' sandarpada arti dari kats tersebut. Dalam pasalsebelumnyatelah diberikan definisi limit secaratak formal. Berilut defi' nisi yang lebih baik sedikit, tetapi masih tetap tak formal, denganmenyusunkembali = L bemrti $$unan kata-kata dari definisi tersebut. Untuk mengatal
0 ' < l x - c l< 6

/

= Jilid I

80

-6<x sedangkan
0(lx-cl (6

lf(x)-Ll<e

GAMBART

GAIilBAR 2

orang disebut delinisi yang ter' Kita siaP unhrk dcfinisi Yang menurut sementara penting dalam kallulus.

membantu anda menyerap definisi Gambar-gambardalam Gambar 3 dapat kiranya tnr.

e; bilangan 6 harus diHarus ditekankan bahwa Pertama'tamadiberikan bilangan bahwa !4f@)= f' BetYdahasilkan.Andaikan Anton ingin membuktikan kepada&ty (misalnya, e = 090001) pat m€nantangAnton dengansuatu s tertentu yang dipilihnya dan meminta Anton menghasilkan6 yang berpadanan' "untuk tiap e ) 0" (bukannya"untuk suatu Irbih lanjut, karenaiefinisi mengatakan jika ia menghasilkan6 untuk satu e ) 0"), lnton belum membuktikanpirnyataan limit itu mampu menghasilkan6 unla harus e. dari € tertentu, bahkanjuga tidak untuk Leberapa mungkintergantungPada yang dihasilkan saja,6 Tentu uerpaoanan. hrk u"p ,ruuut, e yan! 6 yang perlu dikembalikecil makin Bew, yang diberikan e kecil makin e. secaraumum, kan Anton. ApakahterdapatsuahlcalayangmungkinbalrwaAntondapatmemenuhitantangan ini begitu mudah' yanj Olmkian? Ada, tetapi janganmengharapkan berikut' kita BEBERAPABUKTI LIMIT (FAKULTATIF). Dalam tiap contoh
-t 2 Futgsi dan Limit

8l

.,:t.,,:itt,,\

g're* *$.

> 0. sdmms > o*rfth

rrinss"l

a

\ \

GAMBAR3

kan lebih merupakan pekerjaanyang seharusnyaanda kerjakan di kertas buram. srtakan di sini agarbukti-bukti kita tidak kelihatanbegitusajaturun dari langit.

CONTOH I

hrktikan bahwa lim (3x - 7) = 5 -

ANALISIS PENDAHULUAN. Andaikan e bilanganpositif sebarang.Kita harus menghasilkansuatud ) 0 sedemikiansehingga 0
+

l ( 3 x - 7 ) - 5 1< e

Pandangketalsamaandi sebelahkanan

<€ + € + <+

l3x-l2l<e l3(x-4)l<e l 3 l l x- 4 1 <e l x - 4 1 < -3

r-

-

/

Analitis Jilid I Kalkulusdan Geometri

82

Sekarangkita lihat bagaimanamernilih 6, yalcni D = e/3. Tentu saja,sebarang 6 yanglebih kecil akan memenuhi. BUKTI FORMAL. Andaikan diberikan € > 0. Pilih 6 = el3.Maka 0
€ 4 € 5 3 3

l ( 3 x - 7 ) - 5 t : l 3 x - 1 2: 1

l i m ( 3 x - 7 )= 5

l 3 ( x- a ) l: 3 l x - 4 l < 3 d : e Jika anda baca rangkaian Per' taksarnasn dan sehrah kesamaanini ( ddi kiri ke kanan dan gunakanhularm trandtif, andalihat bahwa GAMBAR 4

l(3x-7)-51<e

'

lim 2x2-3x-2 x-2 x_2

GAMBAR 5

Jika Bety menantangAnton dengan e = 0,01 dalam contoh ini, Anton akan menanggapidengan6 = 0,01i3 = 0,0033. Jika Bety mengatakan e = 0,000003, Anton akan mengtakan 6 = 0000001. Jika ia memberikan 6 yang lebih kecil lagi, akan lebih baik. Tentu saja, jika anda pikirkan ggrafikdari y = 3x - 7 (sebuah garis dengan kemiringan 3, sperti dalam Gambar 4), anda tahu bahwa untuk memaksa 3x - 7 agar dekat ke 5, akan lebih baik membuat x sedekat mungkin (lebih dekatmenurut kelipatan sepertiga)ke 4. I

2xz - 3x-- 2 coNToH 2. Buktikan bahwalim ,. x' l' x-2 - - /

6 sedemikian I'ENDAHU_t.$ "" mencari sehingga ffifor,rts '' \...._'-_-'---= 2x2-3x-2

0
x-2

- '_1l "

.,

Sekaranguntukx*2, l| 2 x 2 - 3 x - 2 - 5

l. *-2

< s

+ +

€

( 2 x + l X x - 2 ) - ) -l l< e x - 2 | I

l(2x+1)-51 l2(x- 2)l

< e < 6

4

I

2

hngsi dan Limit

83

l 2 l l x- 2 l


lx-21

tt

t

Ini menunjukkanbahwa6 = elZ akanmemenuhi(lihat Gambar5).

-v-, / \

v

HJKTI FORMAL. Andaikandiberikane) 0.pilih l=elZ.Maka0 < lx _ 2l< 6.menye. <-a*an*'l

lt _2 * t - 3 x - 2

I

x-2

_

"a

:l(2.+rY;-2)-' : r2x + r - 5l I : l 2 ( x- 2 ) l : Z l x - 2 l < 2 6: e

Pencoretanfaktor x - 2 sahkarena0 < lx - 2l berartix +2;pinpembagian dengan 0 dihindari.

I

CONTOH3. Buktikan bahwalim (mx + b) : mc * b. AITALISIS PENDAHULUAN. Kita ingin mencari6 sedemikiansehingga 0
! ( 0 x+ b ). - ( 0 c+ A ) l = l 0 l : 0 Yang belakanganlebih kecil dari e untuk semuax.

CONTOH4. Buktikanbahwa jika c > 0,lim J;:

I .fi.

r+c

AI.IALISIS PENDAHULUAN. Kita harusmencari6 sedemikiansehingga

0
l$-r/i].,

Sekarang

/

KalkulusdanGeometriAnalitis Jilid I

E4

Untuk membuatyang rbelumnya lebih kecil dari e, kita diharuskanmembuat lx - c l(

qf

lCamuu01.

6

6

limt/V =tlc

.

GAMBAR6

H J K T TF o R M A L . A n d a i k a n d i b e r i k a n>e0 . P i l i h d : arti

t{..U^}ao
{x$*:fti t 6 - r ' ': l<$- J;*'ft lx-cl

lx-cl

>

,/x + ,/c

--7

,/c

ber-

x-c I Il: Il---F-------=l I

6

\

cl (6

--F:

l./x + ./" I o

\/c

t

Ada satu hal teknis lagi. Harus diingat bahwa 6 ( c, untuk lr-cl < 6 yang menyebabkan x ) 0 sehingga1E terdefinisi Jadi untuk penelaahanhargamutlak, pilih 6 yang lebih kecil dari c dan nlf Peragaankita dalam Contoh 4 tergantung pada cara merasionalkanpembilang itu. Ini merupakanteknik yang seringkalisangatbergunadalam kalkulus '

- 5) :7. CONTOH5. Buktikanbahwalim(x2 * x AI.IALISISENDAHULUAN.

Tugaskita adalahmencari6 sedemikiansehingga

0
l ( x ' + x - 5 )- 7 1 < e

Sekarang

l ( x 2+ x - 5 )- 7 l : l x 2+ x - l 2 l : l x * a l l x 3 l Karenafaktor yang kedua lx - 31 dapat dibuat kecil sepertiyang kita inginkan,maka cukup membatasifaktor h + 41. untuk melakukanini, pertamakita pilih 6 S l. Kemudian F - 3l <6 membawakan

:lx-3+71 lx+41 < lx - 3l + l7l (ketalsamaansegitig)

hngsidan Limit

85 Gamber 7 menawarkansuatu altematif peragaan dari fakta ini. Jika kita juga mensyaratkan 6 < el8, maka hasil kali lx + 4l h - 3l akan lebih kecil dari e.

GAMBART FfKU FORMAL. Andaikandiberikane > 0. Pilih 6 = min {1, e/8}; yaitu pilih 6 sebagai yang terkecil dari antara I dan e/8. Maka0 < lx - 3l ( 6 berarti

: l ( x 2+ x - 5 ) 7 l : l x z * x l 2 l l x + 4 l l x 3 l < t ' i : t

I

CONTOH6. Buktikan bahwalim x2 : c2. E' KTI Kita tiru bukti dalamContoh 5. Andaikandiberikane > 0. Pilih 6 = min { 1 , e l Q + 2 l c l ) } . M a k a0 < t x - c l ( 6 b e r a r t i

l*'- c'l: lx+ cllx- cl: lx - c *2cllx - cl < ( l x - c l + 2 l c l ) l x- c l <

segrtiga) (ketaksamaan

(l + 2lcl).s :e 1a2P,

I

CONTOH 7 Buktikan bahwa9 lim1 t-1l: :- : --1,r c C ** 0 . x c AI.IALISISPENDAHULUAN. Kita harusmencari6 sedemikiansehingg

o < l x - c
Sekarang

I r I : ll c - x l t I '" l:n't'lx-cl l;-; Faltor l/hl menyulitkan, khususnyajika x dekat 0. Kita dapat membatasifaktor ini jika kita dapatmenjauhkanx dari 0. Untuk maksuditu, perhatikanbahwa

l c l: l c - x * x l S l c - x l + l x l l x l> l c l - f x - c l Jadi,jika kita pilih 6 < lcl/2, makakita berhasildalammembuatlxf2 lcll2.Alhirnya,jika kitajugamensyaratkan 6 < ec212,maka l

l

lrl'l"l'

l

l

l x - c l.

e

c

W z ' { " 1T'

z

: t

BuKrI FoRMAT Andaikan diberikan s > 0. Pilih 6 = min {bll2, u2l2} 0
t I < wl ; t "I t 'u22: e * l;-;l:l 1:.trt't"t'l'-cl lt

ll

lc-xl

maka

I

/

j

/

KalkulusdanGeometriAnalitis Jilid I

g6

LIMIT-LIMIT SATU-PIHAK Kita tidak memcrlukanburyak imajinasiunhrk memberikan, definigi e,6 dari aturan limit kanur dan limit kiri.

Ihrni serahkandefinisi e,6 yrng bcrydrmn untuk limit kiri kcpada pembaca.

2.5 soAL-soAL 16. lim(2x2- 4x + 3): 3

bcrikan delinisi Dalam Soal-soel l{, e, 6 yangsesuaiuntuk tiap pcrnyataan. 2. limdu) = | l. lim/(t) - M t+o

t-a

r-l

,t. lin d(f) : I

v( \-z

t+a

.

5. lim /(x) : L

5- hm s(t):

Dl

Dalam Soal-sod7-18, berikaa suatu bukti e,6 dari tiap fakta Umit (lihat Contoh'coatoh l-5). 7. lim(Sx- 11): a ,+!

v' G) nm(2r- 4): -E \./'--z-

.2-tt

9 .l i m ,

;-5

17. lim(x2 - 2x) : 3

.-D

3. lim l(z) : P

f

,-2

J {r*.i^xz

,-o

nn*an bahwa jika [,$,f(x) = l, 24. = M, maka L = M. dan lim/(x) F dan G adalah fungsi' 2d. ttd"ik"n fungfi sedemikian sehingga O ( F(x) ( G(x) untuk semua x dekat c, kecuali mungkin di c, Buktikan bahwa jike Um G(x) = 0 maka lim F(x) = 0. x4 sin2(l/x) 21. Buktikan bahwa I-T = O. Petuniuk' Gunakan Soal-soal 18 da4 20.

!-:to

X -)

lt/limx':o

+ 5x.- 6 _,

x-l 2x2-x.-3=-, ll. lim . x+ I r{-r

\J'-r

22. Buktikan bahwa lim Jt "

23. Dengan memand.anglimit kiri dan = 0. limit kanan, buktikan bahwa liqlxl

| 3 x 2 - 4 x -4 --: lt. lim r-o

r

z :I Jz*: -7 : z .tn.lT Jx

24. Buktikan bahwa jika Ulx)l < A untuk tx - al ( I dan lim g(x) = 0, maka

tr.

? - x+t 3 x 2 - 2 x - 3 ----:_15. ' - ' ;iErm i'-l tuniuk: x2 bilang.

: O-

r-0

: o. Iri /tx)oG) . : -.

Pe

| qdahh faktor dari Pem-

25. Diketahui

lim /(x) = L dan f(a)

x+a

ada (yang mungkin dapat berbeda dengari tr). Buktikan bahwa / dikelilingi oleh beberapa interval yang mengandung a; arti'

1

futidanLimit bahwa ada suatu interval

aaoarn c.( r ( d dan konstantaM ll(r)l ( M untuk setiap x di

o.

26. Buktikan bahwajika /(x) ( g(x) setiap r dalam beberapainterval ntrl Eputus adalaha dan jika lim flx) = L JG) = M,maka L 4 M. 2t1 Mznakeh ttrari yzng berikut ili anri deryan dcfinisi lirnit? (e) Untuk beberapa e) | dan sctief f > 4, f ( lx-ci
&denlim

25

87 (b) Untuk setiep 6 ) 0, terdapat O> 0 sedemikianrupa seiringgae) 0 adalah 0
+

l.ff:)_t1.0

(c) Untuk setiap bilangan bulat positif lf, terdapat bilangan bulat positif lainnya M sedemikian rupa sehingga 0 ( lx-cl 1 | lM + lf(x)-Ll 4r lN. (d) Untuk setiap 6 ) 0, terdapat 6i>O sedemikianrupa sehingga0( lr-cl ( D dan l/(x) - l,l < f,;samr dcnganr.

J

28. Nyatakan dalam bahasa e,6 apakahartinya lim f(x) * L.

Tcercme Limit

Kcbanyakan pembaca rken setuju bahwa membuktikan adanya limit denganmemrkai definisi e-6 dari pasal di depan, di samping memakan-waktujuga sukar. Itulah rblbrya mengapa teorema-teoremadalam pasal ini disambut dengan baik. Teorema lib yang Pertamasangatpenting. Dngan teoremaini kita dapatmenanganihampir semua Edrh limit yangakankita hadapinanti.

Hasil-hasilyang penting ini akan mudatr diingat jika kita pelajari dalam kata-kata. Misalnya,Pernyataan4 diterjemahkansebagai:Limit stuu iumlah adalahiumhh dqi limitlimit. l

I

1

4 -

/

r Kalkulusdan GeometriAnalitis Jilid I

88

Tentu saja,TeoremaA perlu dibuktikan. Kita tunda pekerjaantenebut sampaiakhir pasal ini, denganpertarna-tanamemilih untuk memperlihatkankepadaanda bagaimura teoremabesarini dipakai. PENERAPANTEOREMA LIMIT UTAMA Dalamcontoh+ontohberikut,nomor-nomor yang dilingkari mengacukepada pemyataan-pemyataanbernomor dari daftar yang diberikan terdahulu.Setiapkesamaandibenukan oleh pemyataanyang ditunjuk.

coNTOIlI Carilah !gzr'. Panyetevian

g

q |

|

' I 4?l

r

= rllT'l

hm2x1= rgt

:2r3f4:162 I

CONTOH 2 Call. llm (3x2 - 2x). r-+4 Penyelesoian

?

?

lim(3x2- 2g L hm 3x2 - lim 2x ! 3 lim xt - 2 l i m x x{4

x-4

x-4

r+4

9

r+4

E

1r/u-'\'-ztim'j{+)' \'-+

|

- 2(4)

,-t

:N

I

+ 9 coNToH 3 Cari 1i- Jx2 t+4

Penyelesoian

[i-7

V x-c

+ ti* s x+4

s^,) T- 4t

coNToII4

I

Jikalim f (x) : 4 dan lim 9(x) : 8, cari x-3

lirn[/'(x) Jr^n)

x-3

,_

'

_--J _

Lb 2

89

Futtgsidan Limit

hy*sen

-?

lim[/' (x) -:6(n] I tl,n/'(")'lim JGG) r-3

x-3

r-3

6D

T

['* r,',]'

I

: t4l' J8 :32

T

bentuk Ingatbahwafungsipolinom/mempunyai I J G ) - - a n x n+ a , - t X n + . . '

* a6 * a6

bagi dua fungsi polinom yakni

sedangkanfungsi rasional/adalahhasil

I

ap

ao

a n x "* a n - r x n + . . . + + f(x) : b - x ^ * b ^ - r X ^ - r + . . . * b f i * b o

Bukti untuk Teorema B muncul dari penerapansecataberulang-ulangTeoremaA. PerhatikanbahwaTeoremaB memungkinkankita untuk mencarilimit-limit untuk fungsi fungsipolinom dan rasionalcukup denganhanyamenggantikanc untukx.

CONTOH5 Cari lim ,v-2

7xs-10x4-l3x*6 3.x2-6.x-8

Penyelesaian ..

7 Q ) s- 1 0 ( 2 ) 4 - 1 3 ( 2 ) + 6

7 x 5- l 0 r a - 1 3 x * 6

\

-

-

1

11

.

_ r"+Ji-+l x' +Jx+/ :ltm C O N T O H 6C a r i l i m - - : (x- l)t 1 , l t ,1,,*'-2-x+ Penyelevian Baik TeoremaB ataupunPernyataan7 dari TeoremaA tidak berlaku,karena limit dari penyebut 0. Tetapi, karenalimit pembilangadalahll, kita lihat bahwa selamar dekat 1, kita membagisebuatrbilangandekat I I dengansebuahbilanganposi

/

' l 9 !

KakulusdanGeometriAnalitis Jilid I

90

r*l I

tif dekat 0. Hasilnyaadalahsebuahbilanganpositifyang besar.Kenyataannya,bilang' an yang dihasilkan dapat dibuat besarsekehendakkita denganmembiarkanx cukup dekat ke l. Kita katakan bahwa limitnya tidak ada. (Nanti dalam buku ini-lihat pasal4.6 - kita bolehkandiri kita sendiriuntuk mengatakanlimitnya adalah* oo') I

-- f +3r-10 ' 6 ,-, t\77

CONTOH7 Cari lim -

Penyeles&n lagi-lagi, Teorema B tidd( dapot dicrapkan- Tetapi kali ini, hasil bagt meng' ambil bentuk tanpa arti 0/0 di r = 2.Y,z.rntrje ini tcrjsdi andaharusmenyederhanakan hasilbagi t"r$but secaraaljabrr (faktorireri), rbclum anda mencobamengambil limitnya.

byt#-j.:*ffi3:8,fi:1

I

BUKn TEOREMA A (FAKULTATTF) Ande seharusnyati&k tedalu terkejut PadawaLtu kami mcngatakan bahwa bukti.bukti beberapa bagian dari Teorema A sangat canggih' Karena hal ini, di sini kita hanya mcmbuktikan lima bagian yang Pertarna' dcnganmengalihkan yang lainnya ke Apeniiks @asalA2, Teorema A). Untuk membiasakin, cobalah Soalsoal33 dan 3,t. * b) = mc + b I fun 2 Pernyataan ini mcrupakan hasil dari ljl(tt = (Lihat Cqrtoh 3 dari Pasal2.5), pertama &ngan memakai m 0 dan kemudirn n= l, D=0.

htkti Penyawn

hrkti PemyaUn 3 lika & = 0, hasilnyajelas, s€hinga kita andaikank+0. Andailqn di' ada; sebut nilainya tr Menurut definisi limit' bedkan e > 0. Mcnurut hipotesiq }g"ft) sehingga Erdspat suatu bilangan6 sedemikian 0
+

l,f(x)-\t*

lr(l

Seseorangpasti memrotes bahwa kita menempat|an e/ lk I bukannya e pada alhir ketaksamaanO .t"t. Baik, bukankah e/lkl suatu bilangan positif? Ya. Apakah definisi

l

&b 2 FungildanLimit

9t

limit mensyaratkanbahwa untuk sebarangbilanganpositif, terdapat suatu 6 yang ber. padanan?Ya. sekarangdengantelah ditetapkannya6, kita dapatmenyatakanbahwa0 ( h - cl (d berarti

' lkf(x) - kLl : lkll.f(x)- Ll < l/.1,1,: t / (| Ini menunjukkanbahwa lim k/(x) : kL : k lim /G)

I

= M.Jikae sebarangbilangan, L dan FSs(x) positif yang dib€rikan, maka el2 adalahpositif. IGrena !4,f(x)= L, maka terdapatsuatul bilanganpositif 61 sedemikiansehingga &,tkti Pemyauan 4

Andaitan liln/(x)=

+

<6r

0
lf(x)-Ll.:

t

"

Karena F* S(x) = M , terdapatsuatu bilanganpositif 6 2 sedemikiansehingga

0
l S ( x ) -M l . :

yangterkecilJantara 61 dan02. Maka Pilih 6 = min {6r, 6z}; yaitu pilih 6 sebagai 0
l.f(x) + s6) - & + M)l : l["f(x) - L] + ts(J-)- M)l < l.f(x)- Ll + ls@)- Ml ,l o

o

tr+t:' Dlam rangkaianini, ketalsirmaanyang [email protected]); yang kedua sebagaihasil dari pilihan 6. Kita baru sajamemperlihatkan bahwa

0
+

-'

l,f(x)+sQ)-(L+M)l<E

Jadi lim[/(x) + s(x)]: L + M : lim /(x) + lim s(x)

I

xrc

htkti Pernyamn5 lim[/(x) - s(;')d: lim[/(x) + (- l)g(x)] r{c

t+c

: lim /(x) + lim(- l)g(x) r+c

r{c

: lim/(x) + (-l)lims(x) x-c

r+c

lim /(x) - lim 9(x) rjc

I

x+c

/

il KalkulusdanGeometliAnatit& rfi

, I

I

TEOREMA APIT Pernatrkahanda mendengar seseorangberkata, "Saya tcrjebak di antara batu. dan tempat yang keras?" Inilah yang terjadi pada g dalam teorema bcrikut (lihat Gambarl).

GAMBAR I

sehingga &kri (Fakultatif)tuidaikrodibcrikans >0. Pilih6l sedemikian
L-e
sehingga dan62 sedemikian 0
f$)
Pilih 63 sehingga 0 < Ix -cl < 6

+

L - e
Andaikan6 = min {6r, 62, 6}}. Maka 0
L-

t
= r.

CONTOH8 Telahdiketahuibahwa I -x2 16 < (sin x)/x < luntuksemuar yang men' dekati tetapi tidak 0. Apa yang dapatkita simpulkandari ini? = Penyelesoian Andaikan .f (x) = I -x216, g(x)= (sin x)/x' dan h(x) l' Makalim /G)= r-o C Teorema menurut l, sehin$ga lilX/(x)= .. slnx I hm_-I x-O

x

Kita akhiri dengansebuahcatatanpenting.Semuoteorena dolampaal ini sahihuntuk Emit lunan dtn limit kii.

/

--

ral

kb 2 Fungsi dan Limit

93

soAL-soAL2.6 Dalam Soal-soaIl-12, gunakan Teorema A untuk mencari tiap limit. Berikan pembenaran tiap langkah dengan mengacu pada pernyataan bernomor, seperti pada Contoh-contoh l-4.

2u 18. li^u'.'-zu'-4 lg. rim 420.tim

l. lim(7x - 4) - 5x) ,lim,(2x3 r)2

+ 2x; 4. liml(4x' .- 3;17x'3 l.eO

2x t. lrm'-n 3x' - 16 -

r+-3

9. lim(2r3 + l5)r3 t--2

1*z a'4*t

iim Ut-t't

w- -2

I

12. lim(2wa - 9w3 + l9)- ttz w-5

Dalam Soal-soal 13-22, cari limit yang ditunjuk atau nyatakan bahwa itu tidak ada. Dalam banyak kasus, gnda ingin melakukan beberapa langkah aljabar sebelum mencoba menghitung limitnya (lihat Contoh
s-7). xn-.x3 -2x2+l ./.. titr' ---:---L 1 3x' - 5x +'l ,-; ,J.

xr4 _ 3rll +2x3 _ 6

3xe+2x + |

r+-l

..

x2+2x-24

15. lrm r-4

x-4

x2+7x+10 16. lim ------- r--2

w'+4w+4

w--2

Dalam Soal-soal 23-28, cari limit{imit tersebut jika lim/(x) : 3. dan lim 9(i; = -1

\_

2s.rim{^au<x> + t) 25. lim[/(x) - 3]a n. hnff(t) + (t - a)s(t)l

8v\"'

"-z\ Y+4

14. lim

(w+?)(w' -w-6)

- 3s(xl A.'n':2f$) ,-" Jlx)+ slx)

3

rr. ri,o/ry'j

t2. tim

./

s. rim.r6i, + zx

[0.

y'-2y*l

2K ri^ JjTniT@

,--2x" + 24 7. lim.rz3x- 5 rr

(y - r-)0'-+z{- O 21.tim

(lihat Contoh 4).

3x4-8 lllll

J

u'-4

,-r

lx3x - l)l

{r^71*'+

O.

u2 --2u * |

r-2

r-3

2.

t2+7t+7

t - - r t ' - 4 t - J

X +Z

x2+7x+6 lim --;----- x ,--r '- 4x )

'rd+:-.

28. ti-t"ftr) + 3s(u)13 Dalam Soal-soal29-32, can f(2)ll& - 2) diberikan.

lim[/(x) x-2

untuk setiap fungsi/ yaog

6. f @\: tr'

n. f(r) = 3x2- 5

t

1

3r. f(x): -

32.f(x) = ?

E3. Buktikan Pernyataan 6 dari Teorema A- Petuniuk:

lf(x)s@')- LMI - lf (x)s6) - I-s$) + Ia@)- LMI ,: le(x)[/(x) - r] + LlsQ) - Mll < ls(x)ll,f(r)- Ll + lLlls(x)- Ml Sekarang perlilntkan bahwa jika [,S S(x) = M, terdapat suatu bilangan 61, sedemikian sehingga 0
+

lf(x)l
-

/

rF I

Kalkulus dan GeometriAnalitis

94 ma

34, Buktikan Pernyataan 7 dari TeoreA, pertama dengan memberikan

suatu bukti e, 6 bahwa t/t

gttl t

l,*

lim[/g(x)l

42.

,trT-l-T

:

,.

,-t- Jx2 - 9

35. Buktikan bahwa lim f(x) + L +

4.

lim[/(x) - L] :0.

- n+ , lim r,-r- 4 + 4x

@-

37. Buktikan bahwajika f1/(x): L > O, maka terdaPat suatu selang (c - d, c.-+d) sedemikiansehingga/(x)> 0 untuk semuar dalam (c - 6, c + 6), x*c. 168Jguttikan bahwalimlxl : lcl.

o

\

wa salah satu lim /(x)

9* frti

atau

ada; |i$ e(x)

bahwa jika

V0.\uktikan -\-/ S(x)l

6.

lim[/(x) +

dan lim g(x)' keduanya ada, maka harus ada'

Dalam Soal-soal 4l-48, cari tiap limit-kanan dan limit-kiri atau nyatakan bahwa itu tidak ada.

.E-l

41. lim ,-r- 2x * |

lrr:

ty

- [rtr) ,lim_G x

'.T- l'l

1t. lim [x' + 2r]

r-c

39. Cari contoh-contoh untuk membuktikan bahwa: [/(x) + s(x)] ada tidak berarti ta) |-g bahwa salah ratu lim /(x) atau 'li4 Ottl ada: (u) linl-/(x)'s(x)l ada tidak berarti bah-

(r'+ 1)[x]

..

( 35) surtikan bahwalim /(x) : 0 + l i m l / ( x ) l: 0 .

\-./

x-3

IIIII:

dan kemudian menerapkan

Pernyataan 6.

r

Jilid I

6

uir"n"r, flx)g(x) = I untuk se-

g(r) = 0. Buktikan bahwa lim4 /(x) tidak ada.

tiap x dan lim

50. Diketahui bujur sangkar R bersinggungan dengan titik tengah sisi-sisi dari suatu segi empat Q dengan titik-titik sudut (t x,0) dan (0, t l). Hitunglah ..

llm

kelilins R

----:-

r-o'leliling

O

51. Diketahui y = rrFdan titik-titik M, N, O dan P berkoordinat(1,0), (0,1)' (0,0) dan (r, /). Hitunglah:

l

(")]'jb,*Hffi (o'

luas AIVOP

xS' lr*m

2.7 Kskontiruan Fungsi Ddam bahasa yurg biasa, kalx kpntitu digunakan untuk memerikan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak Gagasaninih[ yang berkenaan dengan fungsi, yang sekararg ingin dibuat secarapersis. Pandangtiga grafik yang diperlihatkan dalam Gambar l. Hanya grafik yaqg ketiga memperlihatkan kekontinuan di c. Berikut adalahdsfinisi yang formal.

16:9;''s"4

Bab 2

rI

lirn l[x]

t

L.

t

lim t(xl = f(c)

aola, tetapi

lim flxl * flcl

GAMBAR,I

Denpn de{inisi ini kita bermalsud mensyaratkantiga hal: (t) ,U+/(r) ada,(2)f(c) Jika salahsatu dari kedga ada (yakni, c beradadalamdaerahasall), dan (3)J4/(x)=/(c). fungsi ini tak terpenuhi, maka / takkmtinu (diskontinu) di c. Jadi, fungsi yang diwakili oleh grafik yeng pertama dan kedua di atas takkontinu di c. Tetapi kontinu di titik-titik lain dari daerahasalnya.

CONTOHI Andaikrn -f(x) :t-,x x - z x = 2 a$u kontinudi titik itu?

di + 2.Bagirnanaseharusnya/didefinisikan

Penyeleviut .. 'll[l

x2-4

----------- : x - 2 X - l

(x-2\x+2) , . --_---;llm t - 2

X - Z

l i m ( x* 2 ) : 4

x 2 - ! ^ ,x * 2 4

, x = 2

Karena itu, kita definisikan l(2) = 4. Grafit dari fungsi yang dihasilkan diperlihatkan dalam Gambar 2. Kenyataannya, kita lihat bahwa I flx)=x+2untuksemuar.

GAilBAR 2

KEKONTINUAN FUNGSI YANG DIKENAL Sebagianbesar fungsi yang akan kita jumpai dalam buku ini adalah kontinu di mana-manaatau di setiap titik terkecuali di beberapatitik. Khususnya,Teorema2.'68 mencerminkanhasil berikut.

I

/

7 96

Kalkulus dan Geometli Analitis tilid I

' Ingt kembali fungsiflx) = p1; grafiknya diperlihatkan dalam Gambar 3. Untuk x ( 0, f(x)= -x adalahpdinom,untukx )0,(x)=x adalah polinom lain. Jadi menurut Teorema A, l.rl kontinu di semua bilangan yang berlainandengan0. Tetapi f(x) : lxl

l i ml x l : 0 :

GAMBAR3 (lihat Soal 23 dui Pasal2.5). Karenaitu, lr I juga kontinu di 0; lx lkontinu di msra-mrne. Menurut Teorema Limit Utama (Ieorcme

2'6^) t:\$:

W:

r+O

l0l

{,

asalkanc ) 0 bilamanan gen,tp.Ini berarti batr. wa flx) = {F kontinu di setiap titik di mana pembicaraantentang kekontinuan mazuk akal, Khususoya,/(x; = 1F kontinu di setiapbilangan riil c ) 0 (Gambar4). Kita ringkaskan.

flxl =

,/V

GA.II{BAR4

KEKONTINUAN DALAM oPERAsl F uNcsl Apakahoperasioperasi yangbakumemeliharakekontinuan?Ya, sesuaidenganTeoremac. Di dalamnya,f dang adalahfungsi-fungsi, /r adalahkonstanta,dann adalahbilanganbulat positif.

Bukti Semuahasil ini merupakanakibat mudah dari fakta-faktayang berpadananuntuk limit-tmit dari Teorema2.6,{. Misalnya,teorematersebutdikombinasikandengankenyataan bahwa/ dang kontinu di c, memberikan

lim/(x)e(x): lim.f(x).

fi

ofxl : f k)sk)

Ini adalahpenis apayang dimaksudkandenganmengatakanbahwa . g kontinu di c f

1 i

b

2

Fungcidan Limit

CONTOH 2 Pad,abilangan-bilangan berapasajaF(x)=(3 l"l-

*r)l(r/i

+ .f,) kontinu?

hnyelevion Kita tidak perlu memandangbilangan-bilangan tak positif, karenaF tak terdefinisi di_bilangan-bilangan yang demikian.Untuk setiapbilanganpositif, fungsi-fungsi ."/x,../x, lx l,dan x2 semuanya$rntinu (TeoremaA danB). Menyusuldari Teorema C bahwasanya 3lxl,3 lxl-x2 ,"/x+ lx, dan- akhirnya

{

(3lxl- x' )

'e.t;1

fJ. + i/'l adalahkontinu di setiapbilanganpositif.

I

Terdapat operasi fungsi lain yang akan sangatpenting dalam pekerjaannantinya, yakni komposisi.Operasiini juga mempertahankan kekontinuan.

Kita tunda pembuktiannyasampaiakhir pasalini. CONTOH3 Buktikanbahwa h(r) =1x2,-3x * 6lkontinu di setiapbilanganriil. Penyelenian Andaikanf(x)= lxl dan S(x) :.r2- 3x * 6.Keduanyakontinu di setiap bilanganriil, dan demikianjuga dengankompositnya

h(x) : f@(x)) : lx2 - 3x + 6l

I

CONTOH 4 Akan diperlihatkannanti bahwa/(x) = sin x kontinu di setiap bilanganriil. Simpulkanbahwa

l\ tr(x): ,;"1'{-!:: \"'-x-61

,

kontinu kecualidi 3 dan -2, Penyelegian x2 - x-

e = (x - 3Xx + 2). Jadi,fungsirasional xa-3x+l glx):"z_x_6

kontinu kecuali di 3 dan -2 (TeoremaA). Dari TeoremaD, kita simpulkan bahwa, karenaft(x): f @(x)), makah jugi kontinu kecuali di 3 dan -2. I

---E!EF.

98

Kalkulus dan GeometiAnalitis

JiU

I

jauh, telah dibahaskekontinuandisuatu KEKONTINUANPADA SELANG Sedernikian titik. Kita akan membahaskekontinuan pada suatu selang.Kekontinuan pada selangseIayaknyaberarti kekontinuan di setiap dtik dari selangtenebut. Itulah tepatnyaapayang diartikan untuksuatu selangterbuka (a, D). Bilamanakita memandangselangteftutup [a, bl , Y,rtamenghadapimasalah.Mungkin saja/bahkan tidak terdefinisi di sebelahkiri a (misalnya,^x) = lFmempunyai masalah ini di a = 0), sehinggasecaralangsungsaja liglfft) tidak ada. Kita pilih untuk mengurus persoalanini denganmenyebut / kontinu pada [a, ,] jika ia kontinu di setiap titik dad (a, b) dn jika lim/(x)= f (a) dn disebu! kekontirunn trt fO (masing-masing l!d{r)= ran di a dankekontilaun fui e D. Kita ringkaskandalamsebuahdefinisi formal.

Sebagaicontoh, pernyataanbafiwa /(r) = l/x kontinu pada (0,1) dan bahwa g(r) = V; kontinu pada[0,1] adalahbenar.

CONTOH 5 Denganmenggunakandefinisi di atas, uraikan sifat-sifat kekontinuan dari fungsi yang grafiknya disketsakandalam Gambar5. GAMBARS

Penyelevian Fungsiitu komtinu pada selangterbuka (- co, 0), (0, 3),dan(5, o)dan juga padaselangtertutup [3,5]. I Untuk / agar kurtinu ptda fa, Dl berarti bahwa bilamanax1 dan .r2 berdekatan satu sama lain dan keduanyaberadadalam fa, bl,makz /(r1) dan/(r2) berdekatansetu samalain. Tidak terdapat lompatan atau perubahanmendadak,sehinggakita boleh "meng, gambarkan" gfafik .f pada [c, D] tanpa mengangkatpensil kita dari kertas. Ini berlaitah dengan kenyataan bahwa suahr fungsi kontinu harus menerima setiap nilai di antara dua nilainya yang sebarangHasil ini sekarangakan kita nyatakan secarapersis.

)

g

fub 2 Fungsidan Limit

&rl j

Jelas dari gafik dalam Gambar 6 bahwa kekontinuan dipedukan untuk tcorema ini. Juga kelihatan jelas bahwa kekontinuan adalah cukup, namun memang bukti fornulnya temyata sukar. Kita serahkanpembuktiannya untuk pekerjaantingkat lanjut.

Takkontinu : Sifat Nilai Antara tidak borlaku

GAMBAR6

BUKTI TEOREMAD (FAKULTATIF)

u,{

f(L\

htkri Andailen diberikan e > 0. Karena / kontinu di I, maka terdapat 61 ) 0 yang berpadanan sedemikiansehingga

f(c(x))

It - Ll <6,

+

lf(t) - f(L)l< e

jadi (lihat Gambar 7)

ls?)-Ll <6'

+

lf@(x))-f(L)l<e

GAMBAR7 Tetapi karena |SO(x) = L, untuk suatu 61 ) 0 terdapat 6u ) 0 yang berpadanan sedemikiansehinggs 0
+

lS$)-Ll <6t

Bilamanakedua kenyataanini kita gabungkan,kita mempunyai, 0< lx - cl< 6z +

lf@(x))' f(L)l
lni menunjukkan bahwa lim.f(sG)):

f(L)

Pernyataankedua dalam Teorema D menyusul dari pengamatanbahwajika g kontinu di c, maka tr = g(c). I

soAL-soAL2.7 Dalam Soal-soal l-14, nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan kontinu atau tidak di 2: jika takkontinu jelaskan sebabnya. l. ,f(x) : 4x2 - 2x + 12

2 .f ( i : : 7 ,/ ,'t'sG):

3xz r-2

t

/

Kalkulus dan Geometri Analitis

B.Jfu)

6 . h ( x ) : 1 3- 5 x ' l

26.stu): - -=:': Ju+l ' l 1 lt

E. /(r) : [t - i] t_2

4r-8 lO.9(t): t_2-

L:i

ftt-t 12.h(t):7 , -, l2

jika t :2

iika x <2 jlkax>2

[-i

gx2-4

16.s(x):

3x+2

18.st) : llJ t

Jt-t

xo+2x2-3 19. d(x) : -x + I

@rr,r:,t.({-fl Dalam Soal-soal2l-32, di titik-titik mana, jika ada,fungsitakkontinu?

\

2x+3 x ' - x - 6 x 2x'-x-l ^

t39/0):lt"-2r+51

{oro:

J4 -v

Jt'I

iikax<0 jika0<xl

(5ilrt'r:r'l @^r=r'+'I

jrka x <2 jikax>2

f -3x + 4

r7.I(t) : +'

?

28. G(x) :

ro.c(x):{:,

j i l
rt.fG):=

22. sG) /-\

J4+x'

jikat = 2

Dalam Soal+oal 15-20, fungsi yang diberi kan tidak terdefinisi di suatu titik tertentu. Bagaimana seharusnya mendefinisikannya di sana agar kontinu pada titik itu? (Lihat Contoh 1).

2r'f(x)

-

jikax I

iik^t +2

(x+3 13./(x):r r . tx-+l r4.J\x):1

t

Ftr\

t 3 - 8

f h < t t : 1 ,- 2 "F . lt2

\/u+) u2+lu-ll

7. f(t):['tl

/

zu+ I

4. s(x): !G= 5. lr(x): {C-

9.s@:

Jilid I

33. Sketsakan grafik suatu fungsi / yang memenuhi semua persyaratanberikut. (a) DaeralrasalnyaadalahI-2,21. (b) l(-2) = ^-l ) = fll ) = f(2)= t. l (c) Takkontinudi -l dan l. (d) Kontinu kaoan di -l dan kontinu kiri di I. 34. Andaikan ( r iika.x rasional /G) : -r jit" r tak rasional t Sketsakan gfafik fungsi ini sebaik mungkin dan tentukan di mana fungsi kontinu? Q!/Gunakan teorema Nilai Antara untuk membuktiloa bahwaxt + 3x - 2 = 0 mempunyaiakar riil antan 0 dan l. 36. Perlihatkan bahwa persSmaan xs +4x3 -7xr 14=0mempunyaipaling scdikit satu akar rtil. Petuniuk. TeorF marfi\ Antara. \37J Buktikan bahwa / kontinu di c jikaj6 hanyajika lim ^r+c) = ^c). I \ r + o (19,i euniun bahwajika / kontinu di c dan flc) ) 0, maka terdapatsuatusclang (c - 6, c + 6) scdemikiansehingga flx) ) 0 padaSa\ngini. bahwa jika / kontinu fut/nuknL:an pada]0, I I dan memcnuhi 0 < /(x) < I

,--'-.--)

101

fub 2 Fungsidan Limit di 8ana, maka ,f mcmpunygi titik tetry yrkni, terdapat suatu bilangan c dalam [0, I ] sedemikian sehingga t\c) = c. PeTcrapkan Teorema Nilai Antan uniuk: tcrhadapt(x)=r - /(x). ( d, an nilai-nilai a dar. b sehinqga berikut kontinu di mana-mana. fun}f

kuadran pertama dan ada sudut 0, 0 < 0 4 trl2, D dapat dikelilingibleh yang salahsatu sisisuatu persegi-panjang nya bersudut0 terhadapsumbu-xseperti tampakpadaGambar8. Buktikan bahwa persegi-panjang itu berupa empat persegi panjang.

jikax
[x+l Ie) -Iax + b j i k a1 < x < 2 jikax)2 Irt 4f. Seutas kawat elastis mereatang pada interval [0,1] dengan ujungujung yang bebas. Kawat tersebut berkontraksi (mengerut) sehingga mencapai interval la, bl, a > 0, D < l. Buktikan bahwa dari hasil ini ada suatu titik pada kawat (tepatnya hanya satu titik) yang tetap di tempat semula. Lihat Soal 39. f2. Apabila ,f l5ontinu Pada tO,fl dengan ^0) = /(l) =p, buktikan bahwa grafik / berbentuk seutas tali (potongan garis dengan kedua ujungnya pada grafik) dengan panjang ltr, di mana I/ merupakan " bilangan yang berada di antara 0 ban l. 2,f3. Gunakan Teorema Nilai Antara untuk menunjukkan bahwa selalu ada dua titik pada suatu cincin kawat melingkar yang 'bersuhu sama. Petuniuk: Ambil pusatnya pada titik asal dan umpamakan 0 sebagai zudut yang .dibentuk garis teng4hnya dengan sumbu r, kemudian definisiian /(0). -4f. Mulai'rpukul empat pagi, seorang biarawan secara perlahan mendaki puricak suatu gunung dan tiba pada sore harinya. Pada hari berikutnya ia turun kembali dengan menelusrri jalan yang sama mulai pukul lima pagi dan tiba di bawah pada pukul sebelas pagi. Tunjukkan bahwa pada beberapa titik di sepanjang jalan, jam tangannya menunjukkan waktu yang sama pada kedua hari itu. 45. Buktikan bahwa setiap kawasan dapat dikelilingi oleh suatu empat persegi panjang. Dengan kata lain, andaikan D adalah suatu kawasan sembarang pada

--i@d\'

GAMBAN,S

46. Tunjukkan bahwa bila kita mengetahui nilai-nilai dari suatu fungsi kontinu merupakan bilangan rasional, kita daplt mengetahui nilai-nilainya di manapun juga. Dengan kata lain, buktikan bahwa !ila f darn g merupakan fungsi fungsi kontinu dan t{x) '= g(x) untukrsetiap r di @ (rasional), maka tlx) = 9(r) untuk setiip r di 47. Diketahuiflr * ;t)= /(r) +/(/) untuk setiap x dan y di R dan andaikan /kontinupadax=Q. (a) Buktikan bahwa / kontinu di mana saja. (b) Buktikan bahwa ada suatu konstanta m yallrg sedemikian rupa sehingga f(t\ = mt untuk setiap r di R (lihat Soal 43 pad,aBagian 2.1). 48. (Soal'yang terkenal). Diketahui = flx) = 0 apabila x tak-rasional dan /(x) rasiobilangan llq apabila x merupakan nalplq yang diperkecil (C ) 0). (a) Sketsa (sebaik mungkin) grafik ,f p a d a( 0 , 1 ) . (b) Tunjukkan bahwa / kontinu di setiap bilangan tak-rasional pada (0,1) akan tetapi tak kontinu di setiap bilangan rasional pada (0,1).

-v

---zQr

/

Bab 2 Fungsidan Limit

28 soal'soolUlangPnBab KUIS BET{AR.SALAH Bcrsiaplahuntuk Jawablahdengan benar atsu sabh tcrhedep tirp pernyataan bcrikut. jawab anda' mcmpcrtahankan rumus berbcntuk/ = l(x)' t . Pcrsamasnxl I x2 = 3/ mcocotukrn rurtu fungpi dcngan = 2. persamaanxy2 + x, = 3r mcncntggn nretu fungri denganrumus/ /(I).

3 . Daerahasalnatural dari

f ,

/t )=Jil adabh eohng [0,4).

-6, -)' 4 . Daerah hasil dari flx) = x' - 6 adalah selang [

5. Jumlahdurfungsigenap(dengandacrahasalsama)adalahfuagsigenap. pnjil' 6. H$ilkali dua fungsi gnjil (dcnsan dacrah asal sama) adalah fungsi 7. Fungsitlr)=1213 + x)l@2 r l)adahhganjil'

1

maka daerah asal8 . Jika daerah hasil suatu fungsi hanya terdiri atas sebuah bilangan' nya juga hanya terdiri dari scbuah bilanpn'

dua bilangrn, maka dacrah 9. Jika daorah aoal suatu fungsi paling scdikit mengrndung bilanpn' dua paling sedikit juga mengandung hasilnya

10. Jike

S(x) : lxlll,,

maka g(11 , 8) = -l '

t

" I1.. Jika /(r) = x2 dang(x) = 13, maka/o g = g f. daerah asal t2. Jika / dan g mempunyai daerah asal sama, maka fl7 iuSA rnempunyai tersebut. = grafik y = f(x + ft) memotong 1 3 . Jika gtaiik y = flx) memotongsumbu-r di x a, maka s u m b r i -d xix=a- h. 1 4 . KotangenadalahfungsiSanjil. riil' 1 5 . Daerah asal natural dari fungsi tangen adalah himpunan semua bilangan =

1 5 . Jika cos J = cos t, maka s f. 1 7 . Jika lim f\x) = L, maka /(c) - l. x-c

1 8 . Jika l(c) tak terdefinisi, maka lim /(x ) tidak ada' N+c

=', adalah (5, l0). t9. Koordinat-koordinat dari lubang dalam grafik dari ,' x - ?5 5 = 20. Jika p(x) adalah polinom, maka lim p(x) p(c). t-c

= 21. Jika lim /(x) = lim /(x), maka /kontinu di x c' x+c+ x_+c22. Fungsi /(x) = [xl2\ kontinu dix = 2,3. r dalam suatu selang 23. Jika lim 1Q) = f(2') ) 0, maka f(x) I 1,001 ^2) untuk semua x-+c yang memuat 2. 8(x) keduanya ada. 24. Jika lim [l1x) + 8(x)l ada, maka lim flx) dan lim x+c x-c x-->c

hb 2 Fungsi dan Limit

103

( 3x2 * 2xa untuk semuax, maka lim .f(x) = 0. r-+o 26. Jika lim l\x) = L dan lim f(x) = U, maka L = M. x+a r+d :

25. Jika 0 (/(x)

27. Jika /(.t ) * g(x ) untuk semua.r, maka lim /(.r ) * lim g(x) x+c

x'c

28. Jika /(x) ( l0 untuk semuar dan lim flx) ada, maka lim /(x) ( 10. N+2

N+2

29. Jika lim f\x\ = U, maka lim l/(x) : lal. x+a

/'

x+d'

30. Jika / kontinu dan positif pada Ia, Dl, maka l//harus tlfla) dan tlf@).

SOAL.SOALANE KA RAGATTI l . U n t u k f ( x ) = l 1 ( ; r+ l ) caritiap nilai fiika mungkin). (a) ,r(l) (c) /(-

llx,

(b),f(-;) (d) ,f0 - l)

l)

G)irl) \r/ 2. Untuk g(x) = (x + l)/x, cari dan sederhanakan. (t) sG)

(a) g(2)

(c) s(ib)

@,

s(2+ h) s(z) h

3. Uraikan daerah asal natural dari tiap fungsi. Y

(b) s(x): J4 -7

(a)-f(xt: -j . x'-l /:-

.

(c) l,(xr - Vl + x' l2x + 3l {. Di antara fungsi-fungsi yang berikut mana yang ganjil? Yang genap? Tidak ganjil maupun gcnap? 3x (a)"f(x):F+I

?

I (c)rr(x):{;'_,jH :: F,

6. Andaikan bahwa / fungsi genap yang memenuhi l(x) = -l + rE untuk x 2 0.Sketsakan grafik/untuk -4 d x ( 4. 7. Sebuah kotak terbuka dibuat dengan memotong keempat pojok selembar papan ukuran 24 cm kal 32 cm berupa bujur sangkar dengan sisi .r cm, dan kemudian melipat sisi-sisi itu ke atas. Nyatakan volume Z(r) dalam bentuk x. Apakah daerah asal untuk fungsi ini? 8. Andaikan J{r) = x g(x)= x2 + l. Cari tiap nilai

(a) (f + s\(2) (c) (f "ilQ) (e)"f1- l)

l/x

dan

(b)(f .oQ) (d) (s" nQ) (r) I'Q) + s2(2)

9. Sketsakan grafik masing-masing yang berikut, dengan memanfaatkan pcnggeseran. (a) y - lxz

(c) y:

-l + l(x + 2)2

(b)y: t{, + 27,

10. Andaikan flx) = Vl6-lT Aan dx) = xa. Apakah daerah asal masing. masi.tgyang bcrikut? (a) f o) ,r"c (c) c"f

O) g(x) : lsin xl + cos.x (c) l(x) : x3 + sin x

(d)k(x):

rnenerima semua nilai antara

x2+l

lxtr#

5. Sketsakan grafik tiap fungsi ber-

ll. Tuliskan F(x) = "/fTiin'xsebagai komposit dari empat fungsr, f ogo11oft..

ikut.

(b) s(x):;;

12. Hitung yang berikut tanps me makaikalkulator atau tabcl.

/

,

l

u

Kalkulus dan GeometriAnalitis

o)*,(T)

27. lim ([t] - t)

(a) sin(570")

(o*'(:lIJ

28. Andaikan

(c) sin2(5) + cos2(5)

(a) sin(-r) (c) sin 2r

O) cost (d) tan t

.,2 -' i l?. lfun" ,-.r- U - I

It. lim'=+ u-1 Ut

I |

19.um':?l: '-zx'-4

z2-4 20. lim _=_-z-22'+z-o tl;x

:-o SIOLX

v 3 - l 22. lim'-, - .| v-rYx - 4

Zi. lim __'+eJx-2 bot t X

lxl 25. lim :-I

26. lim [4x] x-rl2+

Cari tiap nilai. (a) /(l)

(b) lim /(x) (d) lim /(x) r--l

(f) sin(r + 0

Dalam Soal*oal lG21 , carilah limit yang dt'tunjukkan atau nyatakan jika tidak ada.

x-o-

It-tjikax2l

r-l

14. Tuliskan sin 3r dalam bentuk sin 3t = 2t + t. Petuniuk: t 15. Seekor lalat hinggap pada ruji sebuah roda yang berputar pada laju 20 putaran tiap menit. Jika jari-jari roda adahh 9 inci, beraPa jauh Yang ditemPuh hlat dalam I detik?

24. li* ' r - o

-

(c) Iim /(x)

,",*,(i- ')

21. tirn

iikax < -l iika-l<xcl -

1x3 t f ( x ) = t{ x

13. Jika sin r = 0,8 dan cos I (0, cari tiap nilai.

Jilid I

29. Kembali ke / dari Soal 28. (a) Berapa nilai-nilai x tempat / takkontinu? (b) Bagaimana / seharusnya didefinisikan di x = -l agar kontinu di sana? 30. Berikan definisi e,, 6 dalam tiaP kasus. (b) lim f (x) = L (a) hm s(u) : I'I 3 1 . J i k a lim flx) = 3 dan lim g(x) = x-+3 x+3 -2 dan jika g kontinu di x = 3, cari tiaP nilai. x2-9

(a) lrm[2/(x)- ask)]

(b) hms(x) _ , 3

(c) s(3)

(d) h1 o(/(x))

,.)

:'i

;

lg6L--s(t)l "riTr, - 8sG\ (r) lim

32. Sketsakan grafik suatu fungsi / yang memenuhi semua persyaratan berikut. (a) Daerahasaladalah [0, 6].

(b) /(0) = f(2) = fla)= fl6\ = 2.

(c) /kontinu kecuali dix = 2. (d) lim /(x) = I dan lim f{t) = 3. x+5' x+233. Andaikan jika x<0 [-t nr)=lax+bjikao<x<[ jika x>l It Tentukan a dan b sehingga/ kontinu di mana-mana. 34. Gunakan Teorema Nilai Antara untuk membuktikan bahwa pers:rmaan ts - 4t3 - 3x + I = 0 paling sedikit mempunyai satu akar antara x = 2 dan x=3.