Kajian Metode Penghampiran Hartree-Fock untuk Atom-atom Ringan dan Potensi Penggunaannya untuk Atom Barium

270

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXV HFI Jateng & DIY

Kajian Metode Penghampiran Hartree-Fock untuk Atom-atom Ringan dan Potensi Penggunaannya untuk Atom Barium Eko T. Sulistyani1,2 , Pekik N.1 dan Arief Hermanto1 1

2

Jurusan Fisika FMIPA UGM, Sekip Unit III Yogyakarta Kelompok Penelitian Kosmologi, Astrofisika, dan Fisika Matematik UGM Sekip Utara BLS 21 Yogyakarta e-mail: [email protected]

Abstrak – Telah diselesaikan persamaan Schrödinger untuk mencari fungsi gelombang stasioner atom kompleks dengan metode penghampiran numerik Hartree-Fock. Metode penghampiran Hartree-Fock adalah suatu metode yang didasarkan pada penghampiran medan sentral serta metode variasi. Metode ini digunakan karena untuk atom kompleks dengan N ≥ 2 persamaan Schrödinger hanya dapat diselesaikan dengan metode penghampiran. Fungsi gelombang yang diperoleh digunakan untuk menghitung kerapatan elektron, suku potensial Fock, potensial elektrostatik dan tenaga total yang diterapkan pada model atom hidrogen, atom helium dan atom barium. Metode komputasi yang digunakan adalah metode Fungsi Green dengan bantuan metode shooting dan algoritma Numerov untuk menyelesaikan masalah nilai batas tidak homogen. Hasil komputasi menunjukkan untuk atom ringan seperti hidrogen dan helium secara kualitatif mendapatkan hasil memuaskan, tetapi untuk atom barium perlu modifikasi dalam pemakaian rumus untuk mencari fungsi gelombang atom dengan Z ≥ 10. Kata kunci: metode penghampiran Hartree-Fock, atom ringan

I. PENDAHULUAN Keadaan suatu sistem kuantum terletak pada perangkat penyelesaian persamaan Schrödinger yang berupa aras tenaga sistem E dan fungsi gelombang terkait Ψ. Bentuk eksplisit persamaan swanilai Schrödinger dapat diperoleh jika operator Hamiltonan Ĥ sistem yang mewakili tenaga sistem telah dirumuskan. Penyelesaian persamaan Schrödinger dengan N ≥ 2 hanya dapat diselesaikan dengan metode penghampiran. Metode penghampiran pertama kali dikemukakan oleh D.R. Hartree (1928) dan disempurnakan oleh Fock dan Slater, sehingga metode Hartree-Fock-Slater memberikan kemudahan untuk menemukan potensial sentral V(r) dan fungsi gelombang radial Pnl(r). Modifikasi dilakukan oleh Koonin dan Meredith untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger menjadi persamaan Hartree-Fock secara komputasi berbahasa Fortran untuk menghitung tenaga total dan fungsi gelombang atom kecil yakni N ≤ 10. Penghampiran Hartree-Fock ini disederhanakan dengan mengabaikan sumbangan interaksi spin-orbit, interaksi struktur halus, gerakan pentalan inti dan efek relativistik [1]. Artikel ini menampilkan pemakaian model penghampiran Hartree-Fock untuk memecahkan persamaan Schrödinger dan memodifikasi program komputer untuk mencari fungsi gelombang stasioner atom guna menghitung kerapatan elektron, suku potensial Fock, potensial elektrostatik dan tenaga total yang diterapkan pada atom kompleks. Hasilnya diharapkan bisa memberikan sumbangan dalam mempelajari struktur atom. II. DASAR METODE PENGHAMPIRAN HARTREEFOCK Prosedur umum metode Hartree-Fock meliputi 3 langkah yaitu: 1. Pemilihan bentuk fungsi gelombang Ψ yang bergantung pada observabel seluruh elektronnya (koordinat, spin) dan parameter atomik dasar yang diandaikan cocok untuk sistem atom kompleks.

2.

3.

Penampilan bentuk tenaga total sistem sebagai ungkapan yang diwakili oleh operator Hamiltonan Ĥ mengandung fungsi tertentu dan interaksi yang berperan dalam atom tersebut. Penggunaan asas variasi pada nilai harap tenaga total E yang menghasilkan sistem persamaan integrodiferensial yang disebut persamaan Hartree-Fock. Penyelesaiannya adalah tenaga individual elektron dan tenaga atom serta fungsi tertentu yang dapat dipisahkan menjadi bagian radial dan bagian angular.

III. SISTEM ATOM KOMPLEKS A. Fungsi Gelombang Atom Kompleks Bentuk umum persamaan Schrödinger tak gayut waktu dapat ditulis sebagai dengan Ψ fungsi gelombang stasioner total yang menjelaskan keadaan sistem secara lengkap, Ĥ operator Hamiltonan, dan E tenaga total sistem. Dalam wakilan koordinat hamiltonan non-relativistik untuk sistem atom banyak elektron (N elektron) yang bergerak di sekitar muatan inti Ze dalam satuan Gauss [2]

r dengan ri = ri

jarak elektron nomor i dari pusat sistem r r koordinat di mana inti terletak, rij ≡ ri − r j jarak antara

elektron nomor ke-i terhadap nomor-j. Suku-suku dalam pers. (2) berturut-turut menunjukkan sumbangan tenaga kinetik elektron, tenaga tarikan elektron-inti dan tenaga tolakan antar elektron. Tenaga potensial sistem yang ditinjau dalam pers. (2) hanya berupa interaksi elektrostatik dan mengabaikan interaksi spin-orbit, interaksi struktur halus, gerak pentalan (recoil) dan efek relativistik [1]. Bentuk tenaga potensial ini mengasumsikan bahwa inti atom dapat dinyatakan sebagai titik muatan dengan massa

ISSN 0853-0823

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXV HFI Jateng & DIY

271

tak berhingga, sehingga pusat sistem koordinat berimpit dengan inti atom. Bentuk Hamiltonan untuk atom kompleks lebih lengkap dapat ditulis sebagai

(9) (3) Suku terakhir pada Hamiltonan (3) mewakili sumbangan tenaga interaksi magnetik antara momen magnet akibat spin elektron dan akibat gerakan orbital. Interaksi magnetik lain r r r r seperti orbit-orbit (li , l j ) , spin-spin ( si , s j ) dan spin-orbit r r lain (li , s j ) tidak memberi sumbangan berarti sehingga

dapat diabaikan [3]. Fungsi gelombang radial Pnl(r) dalam bentuk eksplisit [1]

Penjelasan lengkap mengenai tenaga kinetik ( Eki ) , tenaga Coulomb elektron-inti ( Eni ) , tenaga Coulomb sistem elektron-elektron ( E ij ) dengan i dan j tak sama (non ekuivalen) dan tenaga Coulomb untuk elektron-elektron yang setara (ekuivalen) dan mengenai sumbangan tenaga spin-orbit dapat dilihat dalam acuan [2]. Dengan mengabaikan interaksi spin-orbit, fungsi gelombang radial ternormalkan dapat ditulis menjadi [1]

dengan Fnl adalah medan potensial Fock

(4) 2,2 Zr ⎞ ⎛ F1 (n, l , Z ) = ⎜ − (n − l − 1),2l + ⎟ fungsi hipergeometrik n ⎠ ⎝ konfluensi, n bilangan kuantum utama, dan l bilangan kuantum orbital. Persamaan Hartree-Fock dalam bentuk radial untuk atom kompleks yang lebih lengkap telah diuraikan dan dapat ditulis sebagai [2] d2 dr 2

+

2 [Z − Ynl (r )] − ε nl ,nl − l (l +2 1) Pnl (r ) = 2 X nl (r ) + r r r

∑ ε nl,n'l Pn'l (r ) n'

dimana lambang 3-j lenyap bila l + l ' + λ bernilai ganjil, sedangkan untuk kombinasi lainnya bernilai

1 (l + l ' + λ ) Parameter ε nl adalah swa-nilai . 2 partikel tunggal yang diperoleh dengan mengalikan pers. (10) dengan Pnl kemudian mengintegralkannya, sehingga diperoleh

dengan p =

(5) dengan

2 [z − Ynl (r )] r

adalah fungsi potensial dan

2 X nl (r ) adalah fungsi pertukaran. Persamaan ini adalah r persamaan berbentuk integro-diferensial yang lebih tepat digunakan untuk mencari fungsi gelombang radial Pnl (r ) untuk atom banyak elektron.

B. Perhitungan Struktur Aras Tenaga Nilai harap tenaga untuk masalah dua elektron ditulis sebagai

(6) dengan potensial elektrostatik yang dibangkitkan oleh elektron

Kerapatan elektron memenuhi simetri bola dapat ditulis sebagai

dengan Pnl(r) fungsi gelombang radial. Tenaga total langsung (direct energy) untuk keadaan kulit terbuka dapat ditulis

Tenaga pertukaran (exchange energy) diperoleh

Jika fungsi radial Pnl (r ) diketahui untuk tiap subkulit dari suatu konfigurasi elektron bagi atom, maka nilai tenaga atom di atas dapat dihitung. IV. METODE PENELITIAN Metode penghampiran Hartree-Fock digunakan untuk mencari fungsi-fungsi gelombang stasioner yang akan digunakan untuk menghitung tenaga total, kerapatan, potensial Fock, nilai harap tenaga kinetik dan potensial pada atom dengan cara menyelesaikan persamaan (3) dan (6) menggunakan penghampiran numerik yaitu metode fungsi Green dengan bantuan metode shooting dan algoritme Numerov. Metode shooting digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah syarat awal dengan memperkenalkan suatu parameter sehingga masalah nilai batas dipandang sebagai masalah nilai awal. Fungsi Green digunakan untuk masalah nilai batas di mana persamaan Schrödinger radial untuk atom banyak-elektron bukan merupakan persamaan diferensial homogen tetapi merupakan persamaan diferensial tak homogen dengan syarat batas penyelesaian adalah nol di r = 0 dan di r → ∞. Untuk menyelesaikan masalah swa-nilai dengan metode shooting digunakan langkah numerik

ISSN 0853-0823

272

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXV HFI Jateng & DIY

bertahap yaitu iterasi, dimulai dengan penaksiran suatu swanilai coba dan menyelesaikannya melalui pengintegralan persamaan diferensial sebagai masalah nilai awal. Proses pengintegralan ini diselesaikan dengan metode Numerov, diulangi sampai swa-nilai coba memenuhi syarat batas. Untuk mencari tenaga dari persamaan Hartree-Fock bagi sistem dua elektron adalah pers. (6) dengan menyelesaikan kerapatan pers. (8). Hasilnya digunakan untuk menghitung suku potensial Fock. Dalam sistem banyak elektron untuk mencari tenaga total berdasarkan pers. (9) dan tenaga pertukaran pers. (14). Nilai coba ( ε nl ) pada pers. (13) dihitung dengan menggunakan fungsi gelombang hidrogenik radial Pnl(r) berdasarkan pers. (4) yaitu P1s sampai P6s untuk atom barium yang diuraikan dalam Subrutin Hydrgn [2]. Dalam perhitungan medan potensial Fock pers. (11), nilai koefisien Wigner-3j dari pers. (12) diselesaikan terlebih dulu. Medan potensial Fock (Fnl) sebagai suatu bentuk PD tak homogen merupakan penyelesaian sekumpulan fungsi gelombang baru. Langkah berikutnya adalah menyelesaikan persamaan Poisson untuk potensial langsung yang diselesaikan dengan menggunakan metode Numerov. Dengan mengabaikan interaksi spin-orbit, melalui fungsi gelombang radial ternormalkan (10) dan medan potensial Fock (Fnl) maka swanilai partikel tunggal ε nl dan tenaga pertukaran dapat diperoleh. Program disusun berdasarkan buku Koonin dan Meredith dengan beberapa modifikasi yang diperlukan dan diterapkan pada model atom hidrogen (Z = 1), helium (Z = 2) dan atom barium (Z = 56). Penjelasan proses tahap demi tahap dalam penyusunan program secara lengkap ada pada acuan [2]. V. HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil komputasi meliputi fungsi gelombang radial, kerapatan, suku potensial Fock, potensial elektrostatik dan tenaga. Satuan tenaga dalam komputasi diberikan dalam elektronvolt (eV), sedangkan dalam tabel acuan yang diberikan oleh Fischer dan S. Fraga tenaga dalam satuan hartree dengan konversi 1 hartree = 27,20652807 eV. Model atom yang ditinjau dalam komputasi ini merupakan model untuk menyelesaikan fungsi gelombang dari pers. (4) yang akan dipakai untuk menyelesaikan fungsi gelombang atom barium (Z = 56). Sehingga untuk memeriksa program dengan cara memberikan nilai (Z = 1) untuk model atom hidrogen dan (Z = 2) untuk model atom helium. Ini memberikan penjelasan bahwa dalam model atom hidrogen dan helium yang ditinjau atom pada subkulit 1s2 seolah-olah dilingkupi oleh 12 aras di luarnya.

A. Model Atom Hidrogen (Z = 1) Fungsi gelombang hidrogenik untuk model atom hidrogen yang dihasilkan dengan memberikan Z = 1 pada pers. (4) yang diperoleh dengan mengambil langkah radial DR = 0,25 angström dan jejari maksimum RMAX = 5 angstrom dapat disajikan dalam Gambar 1. Grafik ini merupakan hubungan antara fungsi gelombang dengan jejari model atom hidrogen pada subkulit 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6 dan 4s2. Dalam hal ini atom hidrogen seolah-olah berada pada keadaan eksitasi, sehingga grafik fungsi gelombang di sini menggambarkan orbit atau tempat eksitasinya. Dari grafik untuk model atom hidrogen [2], diperoleh jarijari 0,5 angström. Ini sesuai dengan referensi bahwa jari-jari

atom hidrogen adalah 0,5 angström (jejari Bohr = 0,5299 Å).

Gambar 1. Variasi fungsi gelombang radial terhadap jejari atom pada model atom hidrogen pada subkulit 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6 dan 4s2.

Kerapatan elektron (RHO) untuk model atom hidrogen pada aras 1s2 yang berjari-jari 0,5 angström bernilai 2 coulomb/ m 3 disajikan dalam Gambar 2.

Gambar 2. Hubungan antara kerapatan elektron dengan jejari atom pada model atom hidrogen pada subkulit pada aras 1s2.

Grafik untuk medan potensial Fock (Fock), potensial elektrostatik (PHI) dan data tenaga selengkapnya untuk model atom hidrogen ada pada acuan [2]. B. Model Atom Helium (Z = 2) Fungsi gelombang hidrogenik untuk model atom helium dengan memberikan (Z = 2) pada pers. (4) yang diperoleh dengan mengambil langkah radial DR = 0,25 angström dan jejari maksimum RMAX = 5 angström disajikan pada Gambar 3. Pada model atom ini subkulit 1s2 seolah-olah dilingkupi oleh 12 aras diluarnya. Jari-jari atom pada subkulit 1s2 adalah 0,31 Å [4]. Fungsi radial untuk aras 1s2s 3 S dari helium dapat dilihat pada Gambar 4 [5]. Kerapatan elektron untuk atom helium pada aras dasar berdasarkan pers. (8) disajikan dalam Gambar 5. Besarnya kerapatan elektron yang diperoleh dari komputasi berkisar pada nilai 0,8 coulomb/m2.

ISSN 0853-0823

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXV HFI Jateng & DIY

273

minimum –3 eV pada jari-jari 1,5 angström dan naik sebanding dengan kenaikan jari-jari atom. Potensial elektrostatik yang merupakan penyelesaian persamaan Poisson untuk potensial langsung ditampilkan dalam Gambar 8. Potensial elektrostatik ini merupakan potensial Coulomb, tetapi di sini bernilai positif.

Gambar 3. Variasi fungsi gelombang radial terhadap jejari atom pada model atom Helium pada subkulit 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 4d10, 4p6, 5s2, 4d10 dan 6s2.

Gambar 6. Kerapatan Kohn-Sham (titik) berimpit dengan kerapatan banyak-benda (garis) pada aras dasar atom helium [6].

Gambar 4. Fungsi gelombang radial aras 1s2s 2S atom helium hasil dari penghampiran MCHF [5].

Gambar 7. Hubungan antara potensial Fock dengan jejari atom helium pada aras dasar.

Gambar 5. Hubungan antara kerapatan dengan jejari pada atom helium pada aras dasar.

Sebagai acuan, grafik kerapatan Kohn-Sham yang berimpit dengan kerapatan banyak-benda pada aras dasar atom helium dapat dilihat pada Gambar 6 [6]. Kerapatan untuk aras 1s2s 3S dapat dilihat pada referensi [2]. Medan potensial Fock untuk model atom helium yang diperoleh berdasarkan pers. (11) disajikan dalam Gambar 7. Suku medan potensial ini bernilai negatif dengan nilai

Gambar 8. Potensial elektrostatik pada aras dasar atom helium.

ISSN 0853-0823

274

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXV HFI Jateng & DIY

Sebagai acuan potensial Kohn Sham pada aras dasar atom helium dapat dilihat pada Gambar 9.

Gambar 9. Bagian elektronik dari potensial Kohn Sham untuk helium pada aras dasar [6].

Tenaga total (E) yang meliputi tenaga kinetik dan tenaga potensial untuk model atom helium ditampilkan dalam Gambar 10. Dari tabel tenaga ini dapat dilihat bahwa tenaga kinetik atom (Iken) diperoleh nilai berkisar 90 eV. Besar tenaga elektron-inti (Iven) –9 eV, sedangkan untuk tenaga Coulomb elektron-elektron (Ivee) diperoleh bernilai positif yaitu 0,6 eV. Tenaga pertukaran (Ivex) bernilai negatif. Tenaga total yang diperoleh merupakan jumlahan dari semua yang ada dan didapatkan nilai tenaga total (E) untuk model atom helium berkisar 77 eV. Tenaga total ini bernilai positif. Ini dapat dijelaskan bahwa helium pada subkulit 1s2 seolah-olah dilingkupi oleh 12 aras di luarnya (yang sebenarnya aras atom barium) dan hanya diberikan (Z = 2) sehingga tenaga kinetik yang terhitung dalam komputasi meliputi jumlahan semua tenaga kinetik itu dengan 12 aras, sedangkan tenaga potensialnya meliputi 1 aras sesuai milik helium. Pada referensi, tenaga total atom helium pada 1s2 1S adalah –2,8616874 hartree, sedangkan nilai eksaknya sebesar –2,903724 hartree [7]. Dalam tabel, tenaga kinetik atom helium 1s2 1S diperoleh 2,8616799 hartree, tenaga potensial –5,7233599 hartree dan tenaga total diperoleh –2,8616800 hartree [8]. Pada Handbook of Atomic Data didapatkan tenaga total untuk helium –2,861376 hartree [4].

C. Atom Barium Penjelasan dan grafik berkaitan fungsi gelombang dan tenaga pada atom barium seperti di depan dapat dilihat secara lengkap pada acuan [2]. Hasil yang telah disajikan menunjukkan bahwa program komputasi untuk mencari fungsi gelombang, kerapatan elektron, potensial Fock, potensial langsung dan tenaga secara umum memperlihatkan hasil yang cukup baik. Untuk atom barium (Z =56) program untuk mencari fungsi gelombang mengacu pada persamaan (5) yang sesuai untuk atom dengan Z besar karena pers. (4) hanya cocok untuk Z kecil (Z ≤ 10) [1]. Untuk mendapatkan hasil yang lebih mendekati teori bagi atom-atom besar, pemilihan jejari maksimum dari atom dan pengambilan ukuran langkah radial (DR) di dalam program komputasi perlu dioptimalkan lagi. Selain itu masih diperlukan beberapa pendekatan lain seperti interaksi spinorbit, interaksi struktur halus dan efek relativistik. VI. KESIMPULAN Berdasarkan pada apa yang telah diuraikan pada bagian sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa pemakaian fungsi gelombang hidrogenik sangat diperlukan untuk membangun fungsi gelombang atom kompleks yang tidak mempunyai penyelesaian eksak. Penghampiran HartreeFock merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan sistem atom kompleks dengan penyelesaian persamaannya dapat dilakukan secara numerik. Tampilan grafik hubungan antara fungsi gelombang, kerapatan, potensial langsung dengan jejari dapat memberikan informasi secara kualitatif mengenai kelakuan program tersebut. PUSTAKA [1] Koonin,S.E and Meredith,D.C., “Computational Physics”, AddisonWesley Publishing company, Inc, Redwood City California, 1990. [2] Sulistyani, E.T., “Tesis: Kajian metode penghampiran Hartree-Fock untuk atom-atom ringan dan potensi penggunaannya untuk atom barium,” 2010. [3] Cowan, R.D. , “The Theory of Atomic Structure and Spectra'', University of California Press, Berkeley, 1981. [4] Fraga, S., et al., “Physical Sciences Data 5; Handbook of Atomic Data”, Elsevier Scientific, Publishing Company, Amsterdam, 1976. [5] Fischer, C.F., et al., “Computational Atomic Structure ; A MCHF Approach”, John Wiley and Sons, Inc. New York, 1997. [6] Lindgren,I., et al., “Construction of accurate Kohn-Sham potentials for the lowest states of the helium atom: Accurate test of the ionizationpotential theorem”, Department of Physics, Chalmers University of Technology and the Goteborg University, Goteborg, Sweden, 2004. [7] Nurwantoro P., 1987, “Metode Hartree-Fock untuk Penentuan Fungsi Gelombang, Sistem Atom Banyak-Elektron Pemakaian pada Atom Helium”, Skripsi, FMIPA UGM Yogyakarta, 1987. [8] Fischer,C.F., “The Hartree-Fock Method For Atoms: A Numerical Approach”, John Wiley and Sons, Inc. New York, 1977.

Gambar 10. Data tenaga pada atom helium.

ISSN 0853-0823