Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016 p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392
KAJIAN BATAS KESALAHAN MINIMUM METODE RUNGE-KUTTA ORDE KEDUA, KETIGA, DAN KEEMPAT Siti Muhawanah Universitas Jenderal Soedirman
[email protected] Mashuri Universitas Jenderal Soedirman Rina Reorita Universitas Jenderal Soedirman ABSTRACT. This reseach discussed about minimum error bounds which is resulted by second, third, and fourth order of Runge-Kutta methods. There are three versions of second order Runge-Kutta methods, those are Heun with single corrector, improved polygon, and Ralston. Then, there are two versions of third order Runge-Kutta methods, those are Kutta and Ralston, and there are two versions of fourth order Runge-Kutta methods, those are classic method and Ralston method. The application in logistic equation shows that in second order, improved polygon gives fewer error value than Heun with single corrector and Ralston method. In third order, Ralston method gives fewer error value than Kutta method and in fourth order, Ralston concept gives fewer error value than classic method. Keywords: Error bound of Runge-Kutta methods, Heun with single corrector, improved method, Ralston method, logistic equation. ABSTRAK. Penelitian ini mengkaji batas kesalahan minimum yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat. Pada penelitian ini dibahas tiga versi metode Runge-Kutta orde kedua, yaitu metode Heun korektor tunggal, metode poligon yang diperbaiki, serta metode Ralston. Kemudian, dua versi metode Runge-Kutta orde ketiga, yaitu metode yang diusulkan oleh Kutta serta metode yang diusulkan oleh Ralston, dan dua versi metode Runge-Kutta orde keempat, yaitu metode Runge-Kutta klasik serta metode yang diusulkan oleh Ralston. Hasil penerapan pada persamaan logistik menunjukkan pada orde kedua, metode poligon yang diperbaiki memiliki kesalahan yang lebih kecil dibanding metode Heun korektor tunggal dan metode Ralston. Sementara itu, pada orde ketiga metode yang diusulkan oleh Ralston memberikan nilai kesalahan yang lebih kecil daripada metode yang diusulkan oleh Kutta dan untuk orde keempat, metode yang diusulkan oleh Ralston menghasilkan nilai kesalahan yang lebih kecil dibandingkan metode Runge-Kutta klasik. Kata Kunci: Batas kesalahan metode Runge-Kutta, Heun korektor tunggal, poligon yang diperbaiki, Ralston, persamaan logistik.
Kajian Batas Kesalahan Minimum Metode Runge-Kutta
71
1. PENDAHULUAN Metode numerik merupakan metode untuk menyelesaikan permasalahan matematika menggunakan operasi aritmatika (Chapra dan Canale, 2007: 1). Dalam pendekatan solusi numerik, ketelitian sebuah metode menjadi pertimbangan untuk menggunakan metode numerik. Ketelitian diperoleh dengan meminimalkan nilai kesalahan yang dihasilkan dari metode numerik. Penelitian mengenai batas kesalahan pertama kali dilakukan oleh Bieberbatch yang membahas batas kesalahan pada persamaan diferensial. Kemudian, Lotkin pada tahun 1951 mengembangkan penelitian Bieberbatch dan menemukan batas kesalahan metode Runge-Kutta orde keempat klasik. Dengan menggunakan asumsi batas kesalahan yang dikemukakan oleh Lotkin, Ralston meneliti mengenai batas kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat serta memberikan nilai parameter yang membuat batas kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat minimum. Berdasarkan uraian latar belakang di atas, maka perumusan masalah yang diangkat dalam penelitian ini adalah (1) bagaimana penurunan metode RungeKutta orde kedua, ketiga, dan keempat, (2) bagaimana batas minimum yang dihasilkan oleh setiap versi metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat, (3) bagaimana nilai kesalahan yang dihasilkan setiap versi metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat pada persamaan logistik. Tujuan dari penelitian ini ialah (1) untuk mengkaji penurunan metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat, (2) untuk mengkaji batas kesalahan yang dihasilkan oleh setiap versi metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat, (3) untuk mengetahui perbedaan nilai kesalahan yang dihasilkan dari masing-masing versi metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat pada persamaan logistik 2. HASIL DAN PEMBAHASAN Metode Runge-Kutta memiliki bentuk umum s
yn 1 yn bi ki .
(1)
i 1
s
dengan bi adalah kostanta, ki adalah stages, serta bi 1 (Ralston dan i 1
Rabinowitz, 1978: 209). Persamaan (1) merupakan metode Runge-Kutta orde-s, dengan i 1 (2) ki hf xn hci , yn aij k j . j 1 Dalam hal ini, ci dan aij adalah konstanta dengan asumsi c1 0 dengan batasan i 1
ci aij serta h adalah ukuran langkah dimana h x x n . Nilai parameter bi , ci j 1
Purwokerto, 3 Desember 2016
72
S. Muhawanah d.k.k.
dan aij dicari dengan menyamakan perluasan dari persamaan (2) dengan deret Taylor. Untuk menemukan nilai parameter serta mencari batas kesalahan dari metode Runge-Kutta orde ke-n diperlukan penguraian deret Taylor dan ki sampai dengan h n 1 . Dalam hal ini, suku yang memuat h 0 sampai dengan h n digunakan untuk mencari nilai parameter yang diperlukan dalam bentuk umum metode Runge-Kutta sedangkan suku yang memuat h n 1 digunakan untuk mencari batas kesalahan dari metode tersebut. Batas kesalahan metode Runge-Kutta dapat ) diperoleh dengan menerapkan asumsi Lotkin untuk turunan parsial dari ( yaitu
f x, y M dan
i j f Li j xi y j M j 1
(3)
dengan M dan L adalah konstanta. Bentuk umum kesalahan metode Runge-Kutta adalah
En hn 1 cMLn hn 1
(4)
dengan c adalah konstanta (Ralston, 1963). 2.1 Penurunan danan Batas Kesalahan Metode Runge-Kutta Orde Kedua Bentuk umum dan batas kesalahan dari metode Runge-Kutta orde kedua dapat diperoleh dengan menguraikan deret Taylor dan k 2 sampai dengan h3 . Dengan menyamakan deret Taylor dan perluasan k 2 sampai dengan h 2 diperoleh famili dari metode Runge-Kutta orde kedua (5) b1 b2 1 1 1 (6) b2 . 2c2 2a21 Batas kesalahan metode Runge-Kutta orde kedua diperoleh dengan mengurangkan suku yang mengandung h3 dari deret Taylor dan penguraian k 2 serta dengan menerapkan persamaan (3) sehingga
1 1 1 E2 h3 4 c2 ML2h3 . 6 4 3
(7)
Terdapat tiga metode Runge-Kutta orde dua yang sering digunakan berdasarkan pemilihan c 2 , yaitu metode Heun korektor tunggal, metode poligon yang diperbaiki, dan metode Ralston. Metode Heun korektor tunggal memiliki nilai c2 1 . Dengan mensubstitusikan c2 1 ke persamaan (5) dan (6) diperoleh Purwokerto, 3 Desember 2016
Kajian Batas Kesalahan Minimum Metode Runge-Kutta
nilai b1
73
1 1 1 1 dan b2 . Kemudian, apabila nilai c2 1 , b1 , dan b2 2 2 2 2
disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh bentuk umum metode Heun korektor tunggal ialah 1 1 yn 1 yn k1 k2 2 2
dengan
Batas
(8)
k1 hf xn , yn k2 hf xn h, yn k1 . kesalahan metode Heun
korektor
tunggal
diperoleh
mensubstitusikan c2 1 ke persamaan (7) sehingga diperoleh E2 h3 Metode poligon yang diperbaiki memiliki nilai c2
dengan 2 ML2h3 . 3
1 yang membuat bentuk 2
umumnya yn 1 yn k2
dengan
(9)
k1 hf xn , yn
1 1 k2 hf xn h, yn k1 . 2 2 Batas kesalahan dari metode poligon yang diperbaiki adalah 1 2 E2 h3 ML2h3 . Metode Ralston memiliki nilai c2 . Dalam hal ini, bentuk 2 3 umum metode Ralston adalah 1 3 (10) yn 1 yn k1 k2 4 4 dengan k1 hf xn , yn 2 2 k2 hf xn h, yn k1 . 3 3 1 Batas kesalahan dari metode Ralston adalah E2 h3 ML2 h3 . 3
2.2 Penurunan dan Batas Kesalahan Metode Runge-Kutta Orde Ketiga Famili metode Runge-Kutta orde ketiga adalah
Purwokerto, 3 Desember 2016
74
S. Muhawanah d.k.k.
2 3 c3 c2 b1 1 6c2c3 b2
3c3 2 6c2 c3 c2
b3
2 3c2 6c3 c3 c2
a21 c2 a31 a32
3c2c3 1 c2 c32 c2 2 3c2
c3 c3 c2
(11) . c2 2 3c2 Dalam hal ini, c2 0, c3 0, dan c3 c2 . Bentuk umum dari batas kesalahan metode Runge-Kutta orde ketiga adalah
1 3c3 2 2 3c2 E3h 4 8 c2 2 c32 36 c c 36 c c 3 2 3 2 24 1 1 3 1 1 (12) c2 4 c3 ML3h4 . 24 12 24 6 12 Bentuk umum metode Runge-Kutta orde ketiga dapat diperoleh dengan menentukan nilai parameter c2 dan c3 . Metode Runge-Kutta yang diusulkan oleh 4
Kutta memiliki nilai c2
1 dan c3 1 sehingga bentuk umum dari metode 2
tersebut adalah 2 1 1 yn 1 yn k1 k2 k3 3 6 6
(13)
dengan
k1 hf xn , yn 1 1 k2 hf xn h, yn k1 2 2 k3 hf xn h, yn k1 2k2 . 1 dan c3 1 ke persamaan (12) dan 2 dengan menerapkan persamaan (3) diperoleh batas kesalahan dari metode yang 1 diusulkan Kutta ialah E3h4 ML3h4 . Selanjutnya, Ralston mengusulkan nilai 4
Dengan mensubstitusikan nilai c2
Purwokerto, 3 Desember 2016
Kajian Batas Kesalahan Minimum Metode Runge-Kutta
75
1 3 dan c3 yang membuat bentuk umum dari metode Runge-Kutta orde 2 4 ketiga menjadi 1 4 2 (14) yn 1 yn k1 k2 k3 3 9 9 dengan k1 hf xn , yn c2
1 1 k2 hf xn h, yn k1 2 2 3 3 k3 hf xn h, yn k2 . 4 4 Dalam hal ini, batas kesalahan yang dihasilkan oleh metode yang 1 diusulkan Ralston ialah E3h 4 ML3h4 . 9
2.3 Penurunan dan Batas Kesalahan Metode Runge-Kutta Orde Keempat Dengan cara yang sama seperti orde kedua dan ketiga, famili orde keempat ialah
1 1 2 c2 c3 2 12c2c3 2c3 1 b2 12c2 c3 c2 1 c2 b1
b3 b4
1 2c2 12c3 c3 c2 1 c3
2 c2 c3 3 1 2 12 1 c2 1 c3
a32
c3 c3 c2
2c2 1 2c2
1 c2 c2 c3 1 2c3 1 a42 2c2 c3 c2 6c2c3 4 c2 c3 3 1 2c2 1 c2 1 c3 a43 c3 c3 c2 6c2c3 4 c2 c3 3 2
c4 1. (15) Dalam hal ini, c2 0, c3 0, c2 1, c3 1, dan c3 c2 . Bentuk umum dari batas
kesalahan dari metode Runge-Kutta orde keempat ialah Purwokerto, 3 Desember 2016
76
S. Muhawanah d.k.k.
E4h5 16 1 4 2 2 33 2 2 33 2 3 3 8 4 5 25 7 5 6 7 6 2 6 7 7 2 8 ML4h5 (16) dengan
1 1 b2c2 4 b3c34 b4c4 4 120 24 1 1 2 a32b3c2c32 b4 a42c2c4 2 b4 a43c3c4 2 20 2 1 1 3 b4 a42c23 b4 a43c33 a32b3c23 120 6 1 1 4 b3c2 2c3a32 b4 a42c4c2 2 b4 a43c4c32 30 2 1 1 5 b4 a32 a43c2 2 120 2 1 1 1 1 6 a322 b3c2 2 b4 a42 a43c2c3 b4 a422 c2 2 b4 a432c32 40 2 2 2 7 7 b4 a32 a43c2c3 b4 a43a32c2c4 120 1 8 . 120 Terdapat metode Runge-Kutta orde keempat yang sering digunakan yaitu metode Runge-Kutta klasik. Pada metode Runge-Kutta klasik mempunyai nilai 1 1 1 c2 , c3 , dan b3 yang membuat bentuk umumnya 2 2 3 1 1 1 1 (17) yn 1 yn k1 k2 k3 k4 3 3 6 6 dengan k1 hf xn , yn
1
1 1 k2 hf xn h, yn k1 2 2 1 1 k3 hf xn h, yn k2 2 2 k4 hf xn h, yn k3 .
Batas kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta klasik ialah 73 E4 h5 ML4h5 . Metode Runge-Kutta yang diusulkan oleh Ralston memiliki 720 bentuk umum (18) yn 1 yn 0,17476028k1 0,55148066k2 1,20553569k3 0,17118478k4 Purwokerto, 3 Desember 2016
Kajian Batas Kesalahan Minimum Metode Runge-Kutta
77
dengan
k1 hf xn , yn
k2 hf xn 0,4h, yn 0,4k1 . k3 hf xn 0,45573725h, yn 0,29697761k2 0,15875964k3 .
k4 hf xn h, yn 0,2181004k1 3,05096516k2 3,83286476k3 . Batas kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta orde keempat yang diusulkan oleh Ralston ialah E4h5 5,46 102 ML4h5 . 2.4 Penerapan Metode Runge-Kutta pada Persamaan Logistik Persamaan logistik memiliki bentuk umum sebagai berikut dN N (19) rN 1 dt k dengan N menunjukkan jumlah populasi, k adalah carrying capacity, serta r merupakan laju pertumbuhan populasi. Bentuk umum dari penyelesaian analitik persamaan logistik adalah sebagai berikut kN 0 N t . (20) N 0 k N 0 e rt Dalam hal ini, N(t) menunjukkan jumlah populasi pada saat t dan N(0) merupakan jumlah populasi awal. Kemudian, dengan mengambil nilai r 0,08, k 1000 , dan N 0 100 (Stewart, 1999: 651) serta h = 0,01; 0,1; 0,5 diperoleh nilai kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat sebagai berikut Tabel 1 Nilai kesalahan numerik metode Runge-Kutta orde Kedua 107 t
Heun
poligon
Ralston
h
0,01
0,1
0,5
0,01
0,1
0,5
0,01
0,1
0,5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
587
14364
-1
474
11645
1
511
12552
50
223
22330
556567
59
7592
188740
16
12502
311339
100
24
1705
43303
8
1270
32455
6
1412
36070
150
8
50
1406
-4
49
1204
1
45
1275
200
48
-1
37
1
3
31
49
1
33
Purwokerto, 3 Desember 2016
78
S. Muhawanah d.k.k.
250
1060
4
-3
435
-6
-3
643
15
-3
300
1250
125
35
625
62
12
833
83
16
Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa pada saat nilai h dan t berubah-ubah nilai kesalahan yang dihasilkan dari metode Heun korektor tunggal, metode poligon yang diperbaiki, dan metode Ralston berada pada rentang batas kesalahan masing-masing metode. Berdasarkan nilai kesalahan yang dihasilkan oleh tiga versi metode Runge-Kutta orde kedua, metode poligon memiliki nilai kesalahan lebih kecil daripada dua versi yang lain. Dengan kata lain, dalam mencari pendekatan nilai dari persamaan logistik dengan menggunakan metode RungeKutta orde kedua, metode poligon dapat memberi ketelitian lebih baik dari pada metode Heun korektor tungal dan metode Ralston. Tabel 2 Nilai kesalahan numerik metode Runge-Kutta orde Ketiga 107 t
Kutta h
Ralston
0,01
0,1
0,5
0,01
0,1
0,5
0
0
0
0
0
0
0
1
-11
1
129
-9
-1
99
50
-17
-3
744
25
11
534
100
-1
-4
-269
-4
-9
-254
150
0
3
-12
4
-5
-12
200
7
-2
0
7
0
-1
250
747
43
-2
1217
-12
-5
300
937
93
18
1407
141
29
Hasil pada Tabel 4.2 menunjukkan untuk nilai h dan t berubah-ubah, nilai kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta orde ketiga yang diusulkan oleh Kutta dan Ralston berada pada batas kesalahan masing-masing metode. Dalam penerapan metode Runge-Kutta orde ketiga pada persamaan logistik, metode yang diusulkan oleh Ralston dapat digunakan untuk mendapatkan pendekatan nilai yang lebih akurat karena menghasilkan nilai kesalahan yang lebih kecil daripada metode yang diusulkan oleh Kutta. Purwokerto, 3 Desember 2016
Kajian Batas Kesalahan Minimum Metode Runge-Kutta
79
Tabel 3 Nilai kesalahan numerik metode Runge-Kutta orde Keempat 107 t
Klasik
Ralston
h
0,01
0,1
0,5
0,01
0,1
0,5
0
0
0
0
0
0
0
1
-18
-3
1
6
1
0
50
4
6
27
30
4
11
100
1
-4
0
4
-5
-3
150
-4
6
-2
-7
-4
0
200
8
1
2
19
-7
-1
250
1686
-1
-5
1365
38
-4
300
1876
187
38
1555
155
31
Tabel 3 menunjukkan nilai kesalahan yang dihasilkan oleh metode RungeKutta klasik dan metode Ralston masih dalam rentang batas kesalahan masingmasing metode meskipun nilai h dan t berubah-ubah. Disisi lain, berdasarkan berbagai nilai h yang diberikan, metode Runge-Kutta yang diusulkan oleh Ralston memberikan nilai kesalahan yang lebih kecil dibandingkan dengan metode Runge-Kutta klasik. Dengan demikian, metode Runge-Kutta orde keempat yang diusulkan oleh Ralston memiliki ketelitian yang lebih baik dalam melakukan pendekatan terhadap persamaan logistik. 3. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan setiap versi metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat diperoleh metode yang diusulkan oleh Ralston memiliki batas kesalahan yang 1 1 paling minimum, yaitu E2 h3 ML2 h3 pada orde kedua, E3h 4 ML3h4 pada 3 9 orde ketiga, dan
E4h5 5,46 102 ML4h5 pada orde keempat. Berdasarkan
penerapan pada persamaan logistik dapat disimpulkan bahwa untuk metode Runge-Kutta orde kedua, metode poligon yang diperbaiki memiliki nilai kesalahan yang paling minimum. Sementara itu, untuk metode Runge-Kutta orde ketiga dan keempat, metode yang diusulkan oleh Ralston menghasilkan nilai kesalahan yang lebih kecil daripada versi yang lain. Saran untuk penelitian
Purwokerto, 3 Desember 2016
80
S. Muhawanah d.k.k.
selanjutnya dapat dibahas mengenai kestabilan dari metode Runge-Kutta untuk mengetahui kekonvergenan metode tersebut.
DAFTAR PUSTAKA Chapra, S. C. dan Canale, R. P., Metode Numerik Untuk Teknik, diterjemahkan oleh S.Sardy, UI-Press, Jakarta, 2007. Ralston, A., R-K with Minimum Error Bounds, Mathematics of Computation, 16 (1962), 431-437. Ralston, A. dan Rabinowitz, P., A First Course in Numerical Analysis, Second Edition, Mc Graw-Hill Inc, New York, 1978. Stewart, J., Calculus, Fourth Edition, Brooks/Cole Publishing Company, USA, 1999.
Purwokerto, 3 Desember 2016
