Kábel-membrán szerkezetek
Szerelési alak meghatározása • Definíció: – Egy geometriai alak meghatározása adott peremfeltétel és előfeszítés esetén amelynél a belső erők egyensúlyban vannak.
• Numerikus módszerek: – Geometriai alakmeghatározás – Egyensúlyi alakmeghatározás
Egyensúlyi alak meghatározása • Több módszer is létezik: – Grid módszer (Szabó and Kollár) – Erő intenzitás (Force density - Schek and Linkwitz, 1971) – Stuttgart direct módszer (Linkwitz, ~1970) – Dinamikus relaxáció (Dynamic relaxation - Day 1965, Barnes 1971-, Topping) – Véges elemes módszer
Hártyaszerkezetek • Középfelületből kivágunk egy darabot két-két egymástól egységnyi távolságra lévő xz és yz párhuzamos síkokkal • Az egyik irányú sík metszésvonalára ható belső erők eredője a másik irányú síkkal párhuzamos és vízszintes komponense n=konstans.
Hártyaszerkezetek • Csak függőleges teherrel terhelt • Metszeterők az alaprajzi C’ ponton átmenő függőlegest metszik, a C pontban • A középfelületet kis elemekre osztjuk, „d” oldallal • Minden elemet egy csuklóval helyettesítünk, C pont • A belső erőket a szomszédos csuklókat összekötő képzelt rudakban műküdtetjük
Hártyaszerkezetek
Egyensúlyi egyenlet: a négy rúd erőinek függőleges komponense meg a csuklóra ható függőleges erő:
4 × n × z - nå z sz + Z × d 2 = 0 Szomszédos négy csukló magasságainak összege: Rendezés után:
Z 2 R = å z sz - 4 × z - d = 0 n •R a maradék erő. •z érték módosításával az R-et nullára redukáljuk •Többszöri iterációra van szükség
åz
sz
Grid módszer • A legegyszerűbb módszer. • Ha a vízszintes erőkomponensek egyensúlyban vannak, akkor a függőleges egyensúlyi kifejezések használhatóak a pont pozíciójának meghatározásához • Ha téglalap hálón helyezkednek el a pontok, akkor lineáris egyenletrendszert kapunk!
Grid módszer belső oszloppal
A grid módszer kiterjesztése • Belső oszlopok is megadhatóak • A perem vonala nem párhuzamos a hálóval • A perem nem fix, hanem egy kábel
Erő intenzitás (force density) • Az egyik legnépszerűbb módszer • A közelítés alapja, hogy a belső erő és az elem hossza közötti arány állandó • Végeredményben az egyensúlyi egyenletek lineárisan fognak függnek a pontok pozíciójától
Ti Tix = ( xe - xb ) li
Dinamikus relaxáció • • • •
Mindig az aktuális geometriát használja Nincs globális merevségi mátrix Csak csomóponti egyensúlyt vizsgálunk Használható – alakmeghatározásra, – szabásminta generálásra és – analízisre
Dinamikus relaxáció 1. • Szintén közkedvelt módszer • Dinamikus vizsgálattal szimulálunk egy statikus problémát (iteratív módszer) • Kombinálni lehet az alakmeghatározást és az analízist
Dinamikus relaxáció 2. • Newton második törvényét használja • Véges elemes módszeren alapszik X irányban az i-edik csomópontban:
R = M ix v& + Cix v t ix
t ix
t ix
Dinamikus relaxáció 3. • Követjük a szerkezet állapotát minden időpillanatban:
t + 2Dt
t + Dt
t
t + 3Dt
• Feltéve hogy a sebesség lineárisan változik
a sebesség
v = t ix
æ Dt ö ç t+ ÷ è 2 ø ix
v
Dt idő alatt: a gyorsulás
æ Dt ö çt- ÷ è 2 ø ix
+v 2
v& = t ix
æ Dt ö ç t+ ÷ è 2 ø ix
v
æ Dt ö ç t- ÷ è 2 ø ix
-v Dt
Dinamikus relaxáció 4. Visszahelyettesítés után:
M ix (t + Dt / 2 ) (t - Dt / 2 ) Cix (t + Dt / 2 ) (t -Dt / 2 ) vix vix R = ( - vix ) + ( + vix ) Dt 2 t ix
Rendezzük át az egyenletet:
æ æ M ix Cix ö ç ÷ ç 1 (t + Dt / 2 ) (t - Dt / 2 ) ç Dt t 2 ÷ + Rix ç = vix vix ç M ix + Cix ç M ix + Cix ÷ ç ÷ ç 2 ø 2 è Dt è Dt
ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø
Dinamikus relaxáció 5. X irányó elmozdulás az i. csomópontban:
Dxi(t + Dt ) = Dt × vix(t + Dt / 2 ) Így az i-edik csomópont pozíciójának x komponense:
xi(t + Dt ) = xi + Dt × vix(t + Dt / 2 ) Ahol az előzőekben meghatározott sebesség használható.
Dinamikus relaxáció, iteráció 1. Maradó erők meghatározása a külső terhek figyelembe vételével
(t + Dt ) Rix(t + Dt ) = Fix + å Tixm m
2. Sebesség meghatározása
æ M ix Cix ö æ ç ÷ ç 1 t (t + Dt / 2 ) (t - Dt / 2 ) ç Dt 2 ÷ + Rix ç vix = vix ç M ix + Cix ÷ ç M ix + Cix ç ÷ ç 2 ø 2 è Dt è Dt 3. Az új pozíció meghatározása
xi(t + Dt ) = xi + Dt × vix(t + Dt / 2 )
ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø
Csillapítás • A szerkezet mozgását követjük
Csillapítás • Viszkózus csillapítás • Kinetikus csillapítás
Kábel elem Kábelben ébredő belső erő, az előfeszítés figyelembe vételével (t + Dt )
Tm
E Am (t + Dt ) 0 = 0 (l m - l m ) + Tm0 lm
X irányú komponens: (t + Dt )
Tixm
(t + Dt )
= Tm
(t + Dt )
xk
(t + Dt )
- xi
l (mt + Dt )
Háromszög membrán elem 1.
s l3 s l3 Az erő x komponense a 2. pontban: - 2 cos(90 - a 2 ) = - 2 sin (a 2 )
Az erő y komponense a 2. pontban: s l3 s l1 s l 3 s l1 sin (90 - a 2 ) = cos(a 2 ) 2 2 2 2
Háromszög membrán elem 2. Így az eredő erő a 2. pontban: 2 2 l s R 2 = s 2 3 sin 2 (a 2 ) + ( l 23 cos2 (a 2 ) + l 12 - 2 l 1 l 3 cos(a 2 )) 4 4
s l 23 sin 2 (a 2 ) + l 23 cos 2 (a 2 ) + l 12 - 2 l 1 l 3 cos(a 2 ) R= 2 s l 23 + l 12 - 2 l 1 l 3 cos(a 2 ) s l 2 = = 2 2
Háromszög membrán elem 3. Milyen irányú az erő? s l1 æ s l3 cos(a 2 ) ç 2 q = tan -1 ç 2 ç - s l 3 sin (a ) ç 2 2 è æ l 3 cos(a 2 ) - l 1 ö ÷÷ q = tan çç è - l 3 sin (a 2 ) ø -1
æ - l 2 cos(a 3 ) ö ÷÷ q = tan çç è - l 3 sin (a 2 ) ø -1
Merőleges a szemben levő oldalra!
ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø
Belső erők 1. Egyensúlyozzuk a belső erőket az oldalak mentén fellépő erőkkel. Ekkor a 2. pontban az y irányú egyensúlyi kijelentés: s l2 sin (90 - a 3 ) = T3 sin (a 2 ) 2
s l 2 cos(a 3 ) T3 = 2 sin (a 2 ) Illetve a szinusz tétel alkalmazásával: sin (a 2 ) =
l2 sin (a 3 ) l3
Belső erők 2. Így a belső erő:
s l 3 cos(a 3 ) s l3 T3 = = 2 sin (a 3 ) 2 tan (a 3 )
Hasonlóan:
s l1 T1 = 2 tan (a1 )
s l2 T2 = 2 tan (a 2 )
Szabásminta készítés 1.
Szabásminta készítés 2.
Axis • Véges elemes analízis • Young modulus nagyon kicsi: 1 • Feszítés: – Közvetlenül megadva – Hömérsékleti teher
Geometria nem mindegy Nincs kezdeti merevség Szinguláris mátrix!!!
Hiperbolikus paraboloid
Eredmény
Más kiindulási feltétel
Ugyanaz az eredmény
