JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
1
Analisis Peta Kendali p menggunakan Kualitas Fuzzy pada Pergeseran Nilai Rata-Rata dan Variansi dari Suatu Proses Rollita Putri Kareni, I G N Rai Usadha, Laksmi Prita Wardhani Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail:
[email protected] Abstrak—Kualitas merupakan faktor utama yang dipertimbangkan konsumen dalam memilih barang dan jasa. Agar dapat menghasilkan barang dan jasa yang berkualitas baik diperlukan suatu pengendalian kualitas statistik, salah satunya menggunakan peta kendali. Peta kendali dapat digolongkan menjadi dua yaitu peta kendali atribut dan peta kendali variabel. Pada tugas akhir ini, suatu rancangan peta kendali baru dibentuk berdasarkan fungsi keanggotaan Triangular Fuzzy Number untuk menghasilkan peta kendali ~ p . Untuk menguji kinerja dari rancangan peta kendali ini dilakukan perbandingan dengan peta kendali p dimana data dari peta kendali ini berasal dari data pengukuran diameter dalam cincin piston yang dianalisis menggunakan Triangular Fuzzy Number untuk menghasilkan tingkat ketidaksesuaian dalam mendeteksi keadaan out of control pada pergeseran nilai rata-rata berdasarkan kurva OC (Operating Characteristic Curve) dan nilai ARL (Average Run Length). Dari analisis dan pembahasan yang telah dilakukan, hasil perbandingan berdasarkan kurva OC dan ARL menunjukkan bahwa pada k=0 sampai k=0.8 peta kendali p mempunyai kinerja yang lebih baik dalam mendeteksi keadaan out of control pada pergeseran nilai rata-rata daripada peta kendali ~ p. Kata kunci : Average Run Length (ARL), batas spesifikasi, Operating Characteristic Curve (kurva OC), Triangular Fuzzy Number.
variansi dari suatu proses. Untuk mengukur kemampuan peta kendali dalam mendeteksi pergeseran diperlukan kurva OC (Operating Characteristic Curve) dan nilai ARL (Average Run Length). Kurva OC adalah penyajian grafis probabilitas menerima secara salah, hipotesis dalam keadaan tidak terkendali (kesalahan tipe II atau ) [4]. Sedangkan ARL merupakan rata-rata banyaknya sampel (subgrup) yang harus diamati sampai ditemukan out of control yang pertama [5]. Pada tugas akhir ini, permasalahan yang dibahas adalah bagaimana mendapatkan batas-batas pengendali untuk peta kendali ~p dan perbandingan kinerja kedua peta kendali berdasarkan nilai ARL dan bentuk kurva OC pada pergeseran nilai rata-rata dari suatu proses dengan batasan masalah data yang digunakan merupakan data yang berasal dari pengukuran diameter dalam cincin piston untuk mesin automobil yang diproduksi dengan proses penempaan yang diambil dari buku “Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik” karangan D. C. Montgomery. Manfaat yang diperoleh dari tugas akhir ini adalah dapat menghasilkan metode baru dari peta kendali atribut yang tidak hanya mampu mendeteksi keadaan out of control pada pergeseran nilai rata-rata tetapi juga mampu mendeteksi keadaan out of control pada pergeseran variansi yang kecil. II. URAIAN PENELITIAN
I. PENDAHULUAN
P
eta kendali digunakan untuk mendeteksi keadaan yang
tidak sesuai atau biasa disebut nonconforming/NC dalam suatu proses. Peta kendali digolongkan menjadi dua, yaitu peta kendali variabel dan peta kendali atribut. Peta kendali atribut yang dikembangkan berdasarkan distribusi Binomial adalah peta kendali p [1]. Pada tugas akhir ini, suatu rancangan peta kendali atribut yang datanya berasal dari data pengukuran dianalisis menggunakan Triangular Fuzzy Number sehingga p . Peta menghasilkan peta kendali baru, yaitu peta kendali ~ kendali ini diharapkan mampu mendeteksi keadaan out of control pada variansi yang kecil. Selanjutnya kinerja peta kendali ~p dan peta kendali p dibandingkan berdasarkan kurva OC (Operating Characteristic Curve) dan nilai ARL (Average Run Length) pada pergeseran nilai rata-rata dan
A. Fungsi Keanggotaan (Membership Function) Fungsi keanggotaan (Membership Function) merupakan suatu kurva yang menunjukkan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya (derajat keanggotaan) dengan interval 0 sampai 1. Salah satu bentuk fungsi keanggotaan adalah Triangular Fuzzy Number T ( L, M , U ) dimana L M U sehingga [6], xL M L ,L x M, x U T ( L, M , U )( x) , M x U, (1) M U 0, lainnya
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6 B. Kualitas Fuzzy (Fuzzy Quality) Jika karakteristik kualitas adalah x maka tingkat kesesuaian ~ dengan standar kualitas dinotasikan C ( x) sedangkan tingkat ketidaksesuaian didefinisikan sebagai berikut [2], ~ ~ (2) N ( x) 1 C ( x) C. Tingkat Kesesuaian menggunakan Triangular Fuzzy Number Teorema : Diberikan x adalah karakteristik kualitas dan x berdistribusi normal dengan parameter dan 2 . Jika tingkat kesesuaian menggunakan triangular fuzzy number adalah ~ C ( L, M , U ) maka ~ (i) C~ E C x
L M M L L M L M L
M U M U U U M M U
~ (ii) E C 2 x
M L
2
(3)
L L
M 2L M
2 L 2 M M L 2
2 Tingkat Ketidaksesuaian menggunakan Triangular Fuzzy Number Langkah awal sebelum menentukan batas-batas pengendali yaitu mendefinisikan tingkat ketidaksesuaian menggunakan fungsi keanggotaan Triangular Fuzzy Number. Jika tingkat kesesuaian menggunakan Triangular Fuzzy Number adalah ~ C ( L, M , U ) dimana L M U maka bentuk fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut, xL M L , L x M, ~ ~ x U C L, M , U x C x , M x U, (7) M U 0, lainnya Dari persamaan (7) dan persamaan (2) didapatkan tingkat ketidaksesuaian sebagai berikut, xL 1 M L , L x M , ~ x U N x 1 , M x U, (8) M U 1, lainnya
~ ~ (iii) E N x 1 E C x ~ ~ Var N x Var C x
(6)
dengan : . : probability density function (pdf) . : cumulative distribution function (CDF) III. ANALISA DAN PEMBAHASAN
p A. Analisa Peta Kendali ~ Pada tahap ini dilakukan analisis untuk mendapatkan batasp. batas pengendali untuk peta kendali ~
L M L M L
M U M U U U M M U
M U 2U U
(4) (5)
menggunakan persamaan (3) dan persamaan (5) dan hasilnya sebagai berikut : L ~ M E N x 1 M L
L M M U 2
2 U 2 U M 2 M U
Rata-Rata N~ x untuk Peta Kendali ~ p Untuk mendapatkan rata-rata N~ x pada peta kendali ~ p
(9)
p Variansi N2~ untuk Peta Kendali ~
untuk peta kendali ~p ~ (6), Var C x didapatkan
Untuk mendapatkan Variansi N2~
menggunakan persamaan menggunakan persamaan berikut ini : 2 ~ ~ ~ (10) Var C x E C 2 x E C x Kemudian dari persamaan (3), persamaan (4), dan persamaan (10) diperoleh, ~ L L Var C x M 2 M L
2 2 M L 2 L M L 2
M
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
L M M U 2
3 Hasil tingkat ketidaksesuaian menggunakan Triangular Fuzzy Number ditunjukkan pada Tabel 4.1.
M U 2U U
2 U 2 U M 2 M U
Tabel 4.1 Tingkat Ketidaksesuaian menggunakan Triangular Fuzzy Number No. Ñ̄(x) Ñ(x1) Ñ(x2) Ñ(x3) Ñ(x4) Ñ(x5) sampel 1
0.600
0.040
0.380
0.160
0.160
0.268
2
0.100
0.160
0.020
0.220
0.080
0.116
3
0.240
0.480
0.420
0.100
0.040
0.256
4
0.040
0.080
0.140
0.300
0.180
0.148
5
0.160
0.140
0.300
0.220
0.280
0.220
6
0.180
0.120
0.060
0.300
0.140
0.160
7
0.100
0.120
0.120
0.000
0.100
0.088
8
0.300
0.060
0.140
0.300
0.240
0.208
9
0.160
0.100
0.180
0.100
0.080
0.124
10
0.040
0.000
0.200
0.140
0.100
0.096
~ Berdasarkan persamaan (6), Var N x dapat ditentukan dan hasilnya tertera pada persamaan (11).
11
0.120
0.040
0.120
0.100
0.200
0.116
12
0.080
0.000
0.140
0.000
0.080
0.060
13
0.340
0.040
0.040
0.060
0.240
0.144
Menetukan Batas-Batas Pengendali untuk Peta Kendali ~ p
14
0.120
0.660
0.120
0.000
0.320
0.244
15
0.240
0.280
0.040
0.020
0.140
0.144
16
0.000
0.320
0.100
0.040
0.080
0.108
17
0.120
0.240
0.280
0.100
0.140
0.176
18
0.120
0.200
0.360
0.060
0.000
0.148
19
0.320
0.040
0.060
0.100
0.060
0.116
20
0.000
0.200
0.260
0.400
0.060
0.184
21
0.240
0.020
0.180
0.100
0.080
0.124
22
0.080
0.020
0.200
0.120
0.180
0.120
23
0.200
0.220
0.200
0.180
0.280
0.216
24
0.300
0.160
0.140
0.000
0.200
0.160
25
0.360
0.320
0.100
0.340
0.260
0.276
26
0.240
0.300
0.600
0.280
0.000
0.284
27
0.100
0.200
0.200
0.300
0.020
0.164
28
0.260
0.020
0.300
0.000
0.200
0.156
29
0.160
0.200
0.060
0.180
0.120
0.144
30
0.060
0.000
0.020
0.280
0.060
0.084
31
0.120
0.060
0.300
0.400
0.080
0.192
32
0.160
0.040
0.360
0.100
0.100
0.152
33
0.020
0.080
0.200
0.080
0.040
0.084
34
0.300
0.000
0.320
0.500
0.000
0.224
35
0.600
0.100
0.000
0.320
0.240
0.252
36
0.020
0.200
0.100
0.200
0.480
0.200
37
0.300
0.400
0.480
0.100
0.380
0.332
38
0.700
0.200
0.240
0.300
0.520
0.392
39
0.340
0.260
0.720
0.500
0.520
0.468
40
0.200
0.100
0.580
0.000
0.400
0.256
L M M L L M L M L
M U M U
U U M M U
2
(11)
Jika rata-rata N~ x dan variansi 2~
telah N x
diketahui,
maka batas-batas pengendali untuk peta kendali ~ p sebagai berikut, ~ GT ~p E N x N~ (12) ~ ~ ~ BPA~p E N x k Var N x N~ k N (13) n
~ ~ ~ BPB ~p E N x k Var N x N~ k N n ~ ~ N x1 ... N x n ~ dan k 3 Dengan N x n
(14)
B. Studi Kasus Data Pengukuran Diameter Dalam Cincin Piston Data yang digunakan adalah data pengukuran diameter dalam cincin piston (mm) untuk mesin automobil yang diproduksi dengan proses penempaan [4]. Tingkat Ketidaksesuaian menggunakan Fungsi Keanggotaan Triangular Fuzzy Number Jika batas spesifikasi pada cincin piston adalah 74 0.05mmmaka tingkat ketidaksesuaian menggunakan persamaan (8) dan hasilnya adalah sebagai berikut, 1, x 73.95 1 x 73.95 ,73.95 x 74 ~ 0.05 N x (15) 1 74.05 x ,74 x 74.05 0.05 1, x 74.05
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6 Batas-Batas Pengendali untuk Peta Kendali p Dari data pada Tabel 4.1, dapat dicari garis tengah (GT), batas pengendali atas (BPA), dan batas pengendali bawah (BPB) untuk peta kendali p sehingga didapatkan, 40
~ GT p E N x
N x ~
i
i 1
0.1851 40 0.18510.8149 BPAp 0.1851 3 0.7062 5
0.18510.8149 0.336 0 5 Gambar 1 memperlihatkan batas-batas pengendali untuk peta kendali p . Semua data berada dalam batas-batas pengendali atau disebut dengan in control sehingga batas-batas pengendali tersebut tidak perlu dilakukan revisi. BPB p 0.1851 3
4 ~ GT N~ E N x 0.1596
0.0145 0.3211 BPA~p 0.1596 3 5 0.0145 0.0019 0 BPB ~p 0.1596 3 5 Gambar 2 memperlihatkan bahwa pada data ke 37, 38, dan 39 berada di luar batas-batas pengendali (out of control). Hal ini dapat disimpulkan bahwa peta kendali ~ p lebih baik dalam mendeteksi keadaan out of control pada pergeseran nilai ratarata daripada peta kendali p .
Gambar 2. Peta kendali ~ p
Gambar 1. Peta Kendali p
p Batas-Batas untuk Peta Kendali ~ Untuk mendapatkan batas-batas pengendali pada peta p harus mencari rata-rata N~ x dan variansi kendali ~
2 ~ terlebih N x
dahulu. Pada persamaan (15), diketahui bahwa
L 73.95 , M 74 , dan U 74.05 . Jika rata-rata dan standar deviasi tidak diketahui, maka dilakukan estimasi untuk dan yang masing-masing dinotasikan dengan ˆ dan ˆ . Hasilnya sebagai berikut, ˆ x 74.00112 74
ˆ
S 0.0092 0.0098 0.01 C 4 0.9400
Dari hasil tersebut, nilai rata-rata N~ x dan variansi 2 ~ adalah N x
sebagai berikut,
~ ~ Var N x 0.0145
N~ E N x 0.1596
Kemudian mendapatkan bats-batas pengendali untuk peta p berdasarkan persamaan (12) sampai dengan kendali ~ persamaan (14). Hasilnya sebagai berikut.
C. Perbandingan Kurva OC (Operating Characteristic) Setelah peta kendali dalam keadaan terkendali (in control), langkah selanjutnya adalah membandingkan berdasarkan kurva OC (Operating Characteristic Curve). Uji hipotesa berdasarkan : H 0 : proses dalam keadaan in control H 1 : proses dalam keadaan out of control Oleh karena itu, sebelum membentuk kurva OC harus mencari nilai . Nilai untuk Peta Kendali p Jika rata-rata dari tingkat ketidaksesuaian bergeser dari 0 ke 1 0 3 0 maka p 0 bergeser ke p1 yang masing-masing dapat dihitung dengan, p0 1 PL x U H 0 p1 1 PL x U H 1
Sehingga nilai (probabilitas eror tipe II) untuk peta kendali p adalah sebagai berikut,
p0 q0 p q pˆ p0 3 0 0 H1 n n p q p q P pˆ p0 3 0 0 H1 P pˆ p0 3 0 0 H1 (16) n n
p P p0 3
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
5
Nilai untuk Peta Kendali ~ p Jika rata-rata dari tingkat ketidaksesuaian bergeser dari 0 ke 1 0 3 0 maka N~ bergeser ke N~ yang masing-masing 0
1
dapat dihitung dengan, ~ N~ E N x H 0 0 ~ N~ E N x H1
1
Sehingga nilai (probabilitas eror tipe II) untuk peta kendali ~ p adalah sebagai berikut,
N~ N~ ~ ~p P N~ 3 0 N N~ 3 0 H1 0 0 n n N~ N~ ~ ~ P N N~ 3 0 H 1 P N N~ 3 0 H 1 (17) 0 0 n n
Gambar 3 Perbandingan Kurva OC antara peta kendali p dan peta kendali ~ p
Perbandingan Nilai antara Peta Kendali p dan Peta Kendali ~ p
peta kendali p mempunyai kinerja yang lebih baik dalam mendeteksi keadaan out of control daripada peta kendali ~ p pada k=0 sampai k=0.8.
Perbandingan Nilai antara Peta Kendali Kendali ~ p dapat dilihat pada Tabel 2.
p dan Peta
Tabel 2 Perbandingan Nilai dari Peta Kendali p dan Peta Kendali ~ p k
Peta Kendali p (βρ)
Peta Kendali p̃ (βρ̃)
0
0.3565
0.8198
0.2
0.4048
0.8111
0.4
0.496
0.7855
0.6
0.5856
0.7442
0.8
0.6517
0.6892
1
0.6681
0.6235
1.2
0.6347
0.5502
1.4
0.5562
0.4770
1.6
0.4618
0.3997
1.8
0.3651
0.3256
2
0.2879
0.2574
2.2
0.2223
0.1977
2.4
0.1723
0.1469
2.6
0.1373
0.1056
2.8
0.1083
0.0735
3
0.0292
0.0495
Dari Gambar 3 dapat diketahui bahwa pada k=0 sampai k=0.8 peta kendali p mempunyai nilai yang lebih kecil daripada peta kendali ~ p . Pada k=1 sampai k=3 peta kendali p dan peta kendali ~ mempunyai nilai yang hampir sama. Sehingga p
D. Perbandingan Nilai ARL (Average Run Length) Selanjutnya menguji kinerja peta kendali ~ p dan peta kendali p berdasarkan nilai ARL. ARL untuk Peta Kendali p 1 ARL 1
1
p q p q 1 P p 0 3 0 0 pˆ p 0 3 0 0 H 1 n n 1 p q p q 1 P pˆ p 0 3 0 0 H 1 P pˆ p 0 3 0 0 H 1 n n (18)
p ARL untuk Peta Kendali ~ 1 ARL 1 1 ~ N N~ ~ 1 P N~ 3 0 N N~ 3 0 H 1 0 0 n n 1 ~ N~ N ~ ~ 1 P N N~ 3 0 H 1 P N N~ 3 0 H 1 0 0 n n (19)
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6 Perbandingan Nilai ARL antara Peta Kendali p dan Peta Kendali ~ p Perbandingan Nilai ARL antara Peta Kendali p dan Peta Kendali ~ p dapat dilihat pada Tabel 3. Tabel 3 Perbandingan Nilai ARL dari Peta Kendali p dan Peta Kendali ~ p k
Peta Kendali p
Peta Kendali p̃
0
1.5540
5.5494
0.2
1.6801
5.2938
0.4
1.9841
4.6620
0.6
2.4131
3.9093
0.8
2.8711
3.2175
1
3.0130
2.6560
1.2
2.7375
2.2232
1.4
2.2533
1.9120
1.6
1.8580
1.6658
1.8
1.5751
1.4828
2
1.4043
1.3466
2.2
1.2858
1.2464
2.4
1.2082
1.1722
2.6
1.1592
1.1181
2.8
1.1215
1.0793
3
1.0301
1.0521
6 1. Garis tengah (GT), batas pengendali atas (BPA), dan batas pengendali bawah (BPB) untuk peta kendali ~ p adalah ~ GT ~p E N x N~ ~ ~ ~ BPA~p E N x k Var N x N~ k N n
~ ~ ~ BPB ~p E N x k Var N x N~ k N n 2. Hasil Garis tengah (GT), batas pengendali atas (BPA), dan batas pengendali bawah (BPB) untuk peta kendali ~ p berdasarkan data pengukuran diameter dalam Cincin Piston untuk mesin automobil yang diproduksi dengan proses penempaan yang diambil dari buku “Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik” karangan D.C. Montgomery adalah ~ GT N~ E N x 0.1596 0.0145 0.3211 BPA~p 0.1596 3 5 0.0145 0.0019 0 BPB ~p 0.1596 3 5 3. Hasil perbandingan kinerja antara peta kendali p dan peta kendali ~ p berdasarkan kurva OC dan nilai ARL adalah peta kendali p mempunyai kinerja yang lebih baik dalam mendeteksi keadaan out of control pada pergeseran rata-rata daripada peta kendali ~ p pada k=0 sampai k=0.8. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis R.P.K mengucapkan terimakasih kepada kedua orang tua yang telah memberikan dorongan semangat dan dukungan baik secara moril maupun materi, dosen pembimbing dan teman-teman yang telah membantu penulis dalam penelitian tugas akhir ini. DAFTAR PUSTAKA [1]
Gambar 4 Perbandingan nilai ARL antara peta kendali p dan peta kendali ~ p
Dari Gambar 4 dapat diketahui bahwa pada k=0 sampai k=0.8 peta kendali p mempunyai nilai ARL yang lebih kecil daripada p . Pada k=1 sampai k=3 peta kendali p dan peta peta kendali ~ ~ kendali p mempunyai nilai ARL yang hampir sama. Sehingga peta kendali p mempunyai kinerja yang lebih baik dalam mendeteksi keadaan out of control daripada peta kendali ~ p pada k=0 sampai k=0.8. IV. KESIMPULAN/RINGKASAN Pada tugas akhir ini diperoleh kesimpulan bahwa :
[2]
[3] [4] [5]
[6]
Ariani, D.W. 2004. “Pengantar Kualitas Statistik Pendekatan Kuantitatif dalam Manajemen Kualitas”. Yogyakarta: ANDI. Amirzadeh, V. Mashaallah, M. Abbas, P. (2009). “Construction of charts using degree of nonconformity”. Journal of Information Science 179 hal 150-160. Mitra, A. (1993). “Fundamental of Quality Control and Improvemet”. Mac Millan. New York. Montgomery, D. (1990). “Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik”. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press. Menggunakan Pendekatan Septiana, Rizckha. (2011). “Peta Kendali Bayesian”. Tugas Akhir Program Sarjana Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Ross, T. Jane M. W. Jerry Parkinson.(2002). “Fuzzy Logic and Probability Applications Bridging The Gap”. American Statistical Association and The Society for Industrial and Applied Mathematics.
