Jurnal EKSPONENSIAL Volume 4, Nomor 1, Mei 2013 ISSN

Jurnal EKSPONENSIAL Volume 4, Nomor 1, Mei 2013

ISSN 2085-7829

Model Proportional Hazard Cox Dengan Pendekatan Bayesian (Studi Kasus : Pasien Rawat Inap Demam Berdarah Dengue di Rumah Sakit Umum Daerah Abdul Wahab Sjahranie Samarinda) Cox Proporsional Hazard Model with Approach of Bayesian (Case Study: Patients of Dengue Hemorrhagic Fever at General District’s Hospital Abdul Wahab Sjahranie Samarinda) Nariza Wanti Wulan Sari1, Sri Wahyuningsih2, Rito Goejantoro3 1

Mahasiswa Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman 2,3 Dosen Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman Email: [email protected], [email protected], [email protected] Abstract This study uses Cox proportional hazard model and to estimate the parameters in Cox proportional hazard model used a Bayesian approach with numeric simulation Markov Chain Monte Carlo (MCMC), specifically the Gibbs Sampler. In other to the purpose of this study is knowing Cox proportional hazard model of DHF patients at General District’s Hospital A. W. Sjahranie Samarinda with approach of Bayesian. Data in this research is 165 patients of DHF at General District’s Hospital A. W. Sjahranie Samarinda and used right cencor, Gamma distribution data. The result show that there exist 2 variables that affect the recovery rate of DHF patients the age and thrombocyte of the patients thus Cox proportional risk model obtained is ℎ 𝑡, 𝑿 = ℎ0 (t)exp⁡ (−0.01976𝑥2 − 0.4541𝑥31 ), where the older a patient to achieve recovery more slowly and the recovery rate of DHF patients with under normal thrombocyte more longer than normal thrombocyte. Keywords: Survival analysis, Bayesian, Cox hazard proportional, dengue hemorrhagic fever (DHF). Pendahuluan Dalam era globalisasi, aplikasi statistika berkembang dengan pesat sebagai suatu bidang kajian terapan. Salah satu aplikasi statistika untuk bidang kedokteran diterapkan untuk menganalisis kelangsungan hidup (survival analysis) pasien. Survival analysis atau analisis uji hidup salah satu metode statistika yang bertujuan untuk mempelajari dan memodelkan hubungan antara faktor risiko dan waktu terjadinya kematian seorang pasien (Abadi et al., 2011). Data uji hidup (survival data) menggambarkan data pengukuran waktu dari suatu kejadian ke kejadian yang lain. Metode statistika untuk data seperti ini menggunakan analisis uji hidup yang secara ekstensif banyak digunakan dalam berbagai bidang khususnya bidang medis. Dalam analisis tersebut, waktu uji hidup dapat digunakan sebagai variabel respon dan variabel penjelas digunakan sebagai variabel bebas (kovariat). Fungsi yang menggambarkan hubungan antara kovariat dan waktu uji hidup disebut sebagai fungsi uji hidup. Karakteristik dari data ini adalah adanya data sensor. Data sensor adalah suatu observasi yang waktu kejadiannya tidak teramati secara sempurna. Pada umumnya, data uji hidup menggunakan data sensor kanan dimana awal penelitian dimulai dari waktu terkini hingga berjalan secara teratur sampai berakhirnya penelitian (Thamrin, 2008). Salah satu model statistik yang paling penting dalam penelitian medis adalah model

proportional hazard (proportional hazard model) (Bender et al., 2004). Model uji hidup yang bersesuaian dengan penelitian ini adalah model proportional hazard Cox (Cox proportional hazard model). Untuk menaksir parameterparameter dalam model proportional hazard Cox digunakan pendekatan Bayesian dengan simulasi numerik Markov Chain Monte Carlo (MCMC), karena dengan pendekatan ini kompleksitas dalam model lebih mudah untuk diatasi. Hal ini dikarenakan pendekatan dengan Bayesian dapat dilakukan berdasarkan pada data yang ada, meskipun tidak ada asumsi distribusi pada data tersebut (Thamrin, 2008). Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui model proportional hazard Cox pada pasien rawat inap demam berdarah dengue di Rumah Sakit Umum Daerah A. W. Sjahranie Samarinda dengan pendekatan Bayesian. Beberapa manfaat yang dapat diperoleh dari dilakukannya penelitian ini adalah memperkaya dan memperluas pengetahuan tentang analisis uji hidup dengan pendekatan Bayesian, dan sebagai bahan pertimbangan dan masukan bagi Rumah Sakit Umum Daerah A. W. Sjahranie Samarinda serta dapat dijadikan sebagai salah satu sumber informasi yang dapat mendukung tujuan bagi Rumah Sakit Umum Daerah A. W. Sjahranie Samarinda. Analisis Uji Hidup (Survival Analysis) Analisis uji hidup bertujuan memodelkan distribusi yang mendasari variabel waktu

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

9


kegagalan (failure time) dan untuk menaksir ketergantungan variabel waktu kegagalan dengan variabel bebas (Thamrin, 2006). Secara umum, analisis uji hidup adalah salah satu kumpulan dari prosedur statistika untuk analisis data dimana variabel hasil adalah waktu sampai terjadinya kejadian. Dalam analisis uji hidup, biasanya menunjuk variabel waktu sebagai waktu uji hidup (survival time), karena menunjukkan waktu itu seseorang telah bertahan (survived) selama periode tertentu. Juga secara khusus menunjuk kejadian sebagai suatu kegagalan, karena kejadian yang menjadi perhatian biasanya adalah kematian, timbulnya penyakit, atau beberapa kejadian lainnya (Kleinbaum and Klein, 2005). Menurut Lawless (2003), Lee and Wang (2003) distribusi peluang dari T dapat dinyatakan dalam tiga cara yaitu : 1. Fungsi Kepadatan peluang Fungsi kepadatan peluang adalah peluang suatu individu mati atau gagal dalam interval waktu dari t sampai t + Δ t, dengan waktu T merupakan variabel random. Fungsi kepadatan peluang dinotasikan 𝑓 𝑡 dan dirumuskan dengan 𝑓 𝑡 = lim∆𝑡→0

𝑃(𝑡≤𝑇< 𝑡+∆𝑡 ) ∇𝑡

(1)

2. Fungsi ketahanan (survivor function) Fungsi ketahanan hidup adalah peluang suatu individu yang masih dapat bertahan hidup sampai dengan waktu t (t > 0). Jika T merupakan variabel random dari waktu hidup suatu individu dalam interval [0,∞), maka fungsi distribusi kumulatif 𝐹 𝑡 untuk distribusi kontinu dengan fungsi kepadatan peluang 𝑓 𝑡 dinyatakan sebagai berikut: 𝑡 𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑇 ≤ 𝑡 = 0 𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 > 0 (2) Oleh karena itu diperoleh fungsi ketahanan hidup (survival) yang didefinisikan dengan 𝑆 𝑡 = 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 = 1 − 𝑃 𝑇 ≤ 𝑡 = 1 − 𝐹(𝑡) 3. Fungsi hazard (hazard function) Fungsi hazard adalah peluang suatu individu mati dalam interval waktu dari t sampai t+Δt, jika diketahui individu tersebut masih dapat berketahanan hidup sampai dengan waktu t. Fungsi hazard secara matematika dinyatakan sebagai:  P t  T  t  Δt  T  t  h(t)  lim   Δt0  Δt  

(3)

3. Study ends-no event bila masa penelitian berakhir sementara pasien belum dinyatakan sembuh. 4. Withdraws from the study because of death bila pasien meninggal dunia. Terdapat beberapa jenis sensor sebagai berikut : 1. Sensor Interval Terjadi jika kejadian yang menjadi perhatian diketahui telah terjadi antara waktu a dan b. 2. Sensor kanan Jika data yang diamati Ti adalah data sesudah waktu sensor. Ti berada pada interval [Ci,∞). 3. Sensor kiri Jika data yang diamati Ti adalah data sebelum waktu sensor. Ti berada pada interval (- ∞, Ci] (Lawless, 2003). 4. Sensor tipe I (Sensor waktu) Bila uji dihentikan pada waktu tertentu, maka disebut sensor tipe I. 5. Sensor tipe II (Sensor kegagalan) Bila uji dihentikan setelah diperoleh sejumlah kegagalan tertentu, maka disebut sensor tipe II. 6. Sensor tipe III (Sensor acak) Karena masuk yang tidak secara bersamasama, sehingga waktu disensor juga berbeda. Ini merupakan tipe sensor III (Lee and Wang, 2003). Salah satu distribusi dari waktu ketahanan adalah distribusi Gamma. Fungsi kepadatan peluang dari distribusi gamma adalah 𝜆 𝑓 𝑡 = (𝜆𝑡)𝛾 −1 𝑒 −𝜆𝑡 ; 𝑡 > 0, 𝛾 > 0, 𝜆 > 0 (4) Г(𝛾)

dimana Г(𝛾) didenifisikan sebagai ∞ Г 𝛾 = 0 𝑥 𝛾−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 𝛾 − 1 ! (5) −1 𝛾 merupakan parameter bentuk dan 𝜆 sebagai parameter skala (Lawless, 2003). Fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑡) memiliki bentuk yang lebih kompleks: 𝑡 𝜆 𝐹 𝑡 = 0 Г(𝛾) (𝜆𝑡)𝛾−1 𝑒 −𝜆𝑡 𝑑𝑥 = 𝐼(𝜆𝑡, 𝛾) (6) dimana, 1 𝐼 𝑠, 𝛾 = Г(𝛾 )

𝑠 0

𝑢𝛾−1 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢

(7)

diketahui sebagai fungsi Gamma yang tidak lengkap. Kemudian, untuk fungsi ketahanan 1 − 𝐹(𝑡) adalah ∞ ∞ 𝜆 𝑆 𝑡 = 𝑡 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡 Г(𝛾) (𝜆𝑥)𝛾−1 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 (8) Fungsi hazardnya adalah 𝑓(𝑡)

Sumber kesulitan data pada analisis survival adalah adanya kemungkinan beberapa individu tidak bisa diobservasi yang disebut dengan data tersensor. Menurut Kleinbaum and Klein (2005) dan Nisa dan Budiantara (2012) alasan yang menyebabkan terjadinya sensor yaitu: 1. Lost of follow up bila pasien memutuskan untuk pindah ke Rumah Sakit lain. 2. Drop Out bila pasien memilih untuk pulang paksa dari Rumah Sakit.

10

ISSN 2085-7829

ℎ 𝑡 = 𝑆(𝑡) =

𝜆 (𝜆𝑡 )𝛾 −1 𝑒 −𝜆𝑡 Г(𝛾 ) 𝑡 𝜆 1− 0 (𝜆𝑥 )𝛾 −1 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 Г(𝛾 )

(9)

(Lee and Wang, 2003) Pendugaan distribusi dilakukan dengan statistik uji Anderson-Darling untuk mengetahui distribusi data uji hidup yang paling sesuai. Persamaan statistik uji Anderson-Darling adalah sebagai berikut: 1 𝑛 𝐴2 = −𝑛 − 2 − 1 𝑙𝑛𝐹 𝑋𝑖 + 𝑙𝑛 1 − 𝐹 𝑋𝑛+1−𝑖 (10) 𝑛 𝑖−1 𝑖



dimana 𝐹 = fungsi distribusi kumulatif dari distribusi tertentu. 𝑋𝑖 = data waktu uji hidup. Model Proportional Hazard Cox (Cox Propotional Hazard Model) Menurut Nisa dan Budiantara (2012) pemodelan data uji hidup dengan menggunakan model proportional hazard Cox merupakan pemodelan dengan metode parametrik yang digunakan untuk mengestimasi efek kovariat pada data uji hidup. Pemodelan regresi untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi data uji hidup untuk data tidak tersensor yang disebut dengan regresi Cox. Model proportional hazard Cox biasanya ditulis dalam rumus model hazard sebagai berikut. 𝑝 ℎ 𝑡, 𝑿 = ℎ0 t exp 𝑖=1 𝛽𝑖 𝑋𝑖 (11) 𝑿 = (𝑋1 , … , 𝑋𝑝 ) Gail et al. (2005) menyatakan ada tiga pendekatan umum untuk menaksir asumsi proportional hazard pada model Cox yaitu: a. Graphical (Grafik). b. Goodness-of-fit test (uji Goodness of fit). c. Time-dependent variables. Pendekatan Bayesian pada Estimasi Parameter Dalam teori estimasi, dikenal dua pendekatan yaitu pendekatan statistika klasik dan pendekatan statistika Bayesian. Statistika klasik sepenuhnya mengandalkan proses inferensi pada data sampel yang diambil dari populasi. Sedangkan statistika Bayesian, disamping memanfaatkan data sampel yang diperoleh dari populasi juga memperhitungkan suatu distribusi awal yang disebut prior. Pendekatan Bayesian memandang parameter 𝜃 sebagai variabel random yang memiliki distribusi, disebut distribusi prior. Dari distribusi prior selanjutnya dapat ditentukan distribusi posterior sehingga diperoleh estimator Bayesian yang merupakan mean dan modus dari distribusi posterior. Telah diketahui pemodelan dengan menggunakan metode Bayesian didasarkan pada distribusi posterior yang mempunyai perpaduan antara dua informasi, yaitu data masa lalu sebagai informasi prior dan data pengamatan yang digunakan sebagai penyusun fungsi likelihood. Misal informasi sebelumnya terdapat dalam 𝑝(𝜃) yang berupa distribusi prior untuk 𝜃 dan informasi sampel yang ditunjukkan oleh statistik 𝑥 terdapat dalam fungsi likelihood 𝑝(𝑥|𝜃). Dengan menggunakan Teorema Bayes diperoleh distribusi posterior tentang parameter 𝜃 dibawah ini. 𝑝 𝜃𝑥 = dimana

𝑓 𝑥 𝜃 𝑝 𝜃 𝑓 𝑥

(12)

ISSN 2085-7829

𝑓 𝑥

= 𝐸(𝑓 𝑥 𝜃

𝑓 𝑥 𝜃 𝑓 𝜃 𝑑𝜃

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜃 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢

𝑓 𝑥 𝜃 𝑝(𝜃)

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜃 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡

=

𝑓(𝑥) adalah suatu konstanta yang disebut sebagai normalized constant, selanjutnya persamaan (12) dapat ditulis menjadi : 𝑝(𝜃|𝑥) ∝ 𝑓 𝑥 𝜃 𝑝(𝜃) (13) Persamaan (13) menunjukkan bahwa posterior adalah proportional terhadap likelihood dikalikan dengan prior dari parameter model (Congdon, 2003). Markov Chain Monte Carlo (MCMC) adalah sebuah metode untuk membangkitkan peubahpeubah acak yang didasarkan pada rantai markov. Dengan MCMC akan diperoleh sebuah barisan sampel acak yang berkorelasi, yakni nilai ke-𝑗 dari barisan {𝜃𝑗 } disampling dari sebuah distribusi peluang yang bergantung pada nilai sebelumnya {𝜃𝑗 −1 }. Distribusi eksak dari {𝜃𝑗 } umumnya tidak diketahui, namun distribusi pada setiap iterasi dalam barisan nilai sampel tersebut akan konvergen pada distribusi yang sesungguhnya untuk nilai 𝑗 yang cukup besar. Oleh karena itu, jika ukuran sampel yang diperbaharui cukup besar maka kelompok terakhir dari nilai yang disampling dalam barisan tesebut, missal {𝜃𝑃+1 , 𝜃𝑃+2 , … } akan mendekati sebuah sampel yang berasal dari distribusi yang diinginkan. Notasi 𝑃 biasanya disebut sebagai burn in period. Terdapat dua algoritma utama dalam MCMC, yaitu algoritma Metropolis-Hastings dan algoritma Gibbs Sampler. Dalam tulisan ini, algoritma Gibbs Sampler digunakan untuk membantu membangkitkan sampel-sampel acak dari distribusi posterior yang diinginkan (Mukid dan Sugito, 2011). Gibbs sampler menguraikan ruang parameter dengan sampling dari distribusi bersyarat pada distribusi posterior untuk paremeter lain 𝑥𝑘 dimana vektor 𝑥 = (𝑥𝑘 ) parameter-parameternya tidak diketahui, sehingga mengurangi masalah dimensi tinggi. Metodologi Penelitian Data berupa data sekunder dari pasien rawat inap demam berdarah dengue (DBD) di Rumah Sakit Umum Daerah A. W. Sjahranie Samarinda. Dengan variabel randomnya T yaitu lama pasien demam berdarah dengue rawat inap dalam hari. Dengan populasi data seluruh pasien rawat inap demam berdarah dengue, sedangkan sampelnya pasien rawat inap demam berdarah dengue periode bulan Juli 2011 – Juni 2012 sebanyak 165 data dengan menggunakan teknik pengambilan sampel purposive. Variabel respon dalam penelitian ini adalah waktu atau lama rawat inap yang disimbolkan dengan t, yaitu lama rawat inap pasien demam berdarah dengue sampai dengan dinyatakan sembuh atau keluar dan berada dalam batas


11


periode penelitian, dalam satuan waktu tertentu yaitu hari. Variabel respon dikategorikan menjadi: 𝛿 = 1, merupakan data tidak tersensor jika pasien rawat inap dinyatakan sembuh karena keadaan membaik dan berada dalam batas periode penelitian. 𝛿 = 0,merupakan data tersensor jika pasien rawat inap mengalami failure event seperti meninggal, pindah rumah sakit, atau melebihi batas akhir penelitian. Variabel prediktor yang digunakan dalam penelitian ini adalah: a. Variabel Jenis Kelamin (𝑋1 ) (1= Laki-Laki, 0= Perempuan). b. Variabel Usia (𝑋2 ), merupakan usia/umur (tahun) pasien saat memulai pengobatan. c. Variabel Trombosit (𝑋3 ) (1= dibawah normal (< 150.000/mm3), 0= normal (150.000400.000/mm3)). Teknik analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah analisis uji hidup yaitu menggunakan metode semiparametrik dimana pola sebaran datanya berdistribusi Gamma. Dalam penelitian ini, analisis data dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Mendeskripsikan karakteristik pasien rawat inap demam berdarah dengue (DBD) yang diteliti. 2. Menduga distribusi data uji hidup dengan berdasarkan nilai Anderson-Darling terkecil. 3. Memeriksa asumsi proportional hazard untuk setiap variabel prediktor. Asumsi ini dapat terpenuhi dengan melihat pola plot antara log{-log 𝑆(𝑡)} terhadap t untuk tiap variabel penjelas. Jika garis antar kategori sejajar maka asumsi dapat dikatakan terpenuhi. Dalam hal ini digunakan software SPSS 16.0. 4. Menentukan distribusi variabel t dan mengestimasi parameternya. 5. Mengestimasi fungsi ketahanan dan fungsi hazard. 6. Mengestimasi parameter model dibantu software WinBUGS 1.4.3. 7. Menginterpretasikan model yang diperoleh. 8. Menyimpulkan hasil analisis. Hasil dan Pembahasan Dalam penelitian ini jenis sensor yang digunakan adalah sensor kanan dengan 𝐶𝑖 = 6 hari karena demam berdarah dengue umumnya lamanya sekitar enam atau tujuh hari dengan puncak demam yang lebih kecil terjadi pada akhir masa demam. Waktu uji hidup dikategorikan sebagai data uji hidup tidak tersensor (𝛿𝑖 = 1) jika seorang pasien masuk rawat jalan hingga dinyatakan sembuh karena keadaan membaik dan dalam batas periode penelitian (T ≤ 6). Sedangkan jika seorang pasien rawat inap sampai dengan batas periode penelitian dihitung dari pasien masuk Rumah Sakit hingga

12

ISSN 2085-7829

pasien belum dinyatakan sembuh karena keadaan membaik mengalami hal-hal melebihi batas akhir penelitian (T > 6), pasien meninggal, dan pasien pindah Rumah Sakit maka data uji hidup dikatakan data tersensor (𝛿𝑖 = 0). Penelitian ini terdapat 165 data dengan 49 data yang tergolong dalam data tersensor. Sehingga dapat disimpulkan bahwa data uji hidup pada penelitian ini ada sebanyak 116 data. Analisis statistika deskriptif untuk waktu uji hidup, dan usia adalah rata-rata, variansi, minimum, median, dan maksimum. Berikut adalah hasilnya setelah dilakukan sensor. Tabel 1. Analisis Deskriptif Waktu Uji Hidup dan Usia Deskriptif Waktu uji hidup Usia (hari) (tahun) Rata-rata 4,35 26,09 Standar deviasi 1,073 15,154 Minimum 1 0 Median 5 23 Maksimum 6 71

Tabel 1 memberikan informasi bahwa nilai rata-rata lama rawat inap (waktu uji hidup) pasien adalah 5 hari dengan standar deviasinya sebesar 2 hari. Rawat inap minimum adalah satu hari dan maksimum adalah 6 hari. Rata-rata usia pasien adalah 27 tahun dengan standar deviasi 16 tahun dan usia pasien paling muda adalah 0 tahun dan yang paling tua adalah 79 tahun. Jenis Kelamin Berikut adalah persentase jenis kelamin pasien penderita DBD yang di rawat di RSUD A.W. Sjahranie Samarinda setelah sensor. Pada gambar, terlihat bahwa sebanyak 45% laki-laki dan 55% perempuan. Maka dari 116 pasien penderita DBD, laki-laki sebanyak 64 pasien dan perempuan sebanyak 52 pasien. Jenis Kelamin

45%

55% L P

Gambar 1 Pie Chart jenis kelamin Jumlah Trombosit Trombosit dalam kondisi normal 150.000400.000/ml. Tanda-tanda ketika seseorang terkena DBD adalah ketika jumlah trombosit dalam tubuh kurang dari 150.000/ml. Berikut adalah analisis untuk trombosit dari pasien penderita DBD setelah sensor.



ISSN 2085-7829

Trombosit

79%

21%

di bawah normal normal

Gambar 2. Pie Chart jumlah trombosit Dari Gambar 2 diketahui bahwa dari 116 pasien penderita DBD sebanyak 92 pasien yang jumlah trombositnya dibawah normal, dan sisanya sebanyak 24 pasien dengan jumlah trombosit normal.

Gambar 3. Plot log{-log 𝑆(𝑡)} untuk variabel jenis kelamin 2.

Pendugaan Distribusi Pendugaan distribusi digunakan untuk mengetahui distribusi data uji hidup yang digunakan. Uji distribusi data pada variabel dependent (t) atau waktu uji hidup dilakukan dengan menggunakan statistik uji AndersonDarling. Berikut adalah hasil analisisnya. Tabel 2. Pengujian Distribusi Data terhadap Waktu Uji Hidup Distribusi Nilai Anderson-Darling Eksponensial 30,491 Gamma 2,338 Log-Logistik 2,444 Log-Normal 2,501 Weibull 3,364

Tabel 2 menunjukkan bahwa nilai Anderson-Darling yang paling kecil adalah pada distribusi Gamma, yaitu sebesar 2,338. Sehingga dapat dikatakan bahwa data waktu uji hidup pasien rawat inap demam berdarah dengue berdistribusi Gamma. Uji Asumsi Proportional Hazard Pemeriksaan asumsi proportional hazard dilakukan sebelum penentuan model. Asumsi ini dapat terpenuhi dengan melihat pola plot antara log{-log 𝑆(𝑡)} terhadap waktu uji hidup (t) untuk tiap variabel penjelas, yaitu variabel jenis kelamin dan jumlah trombosit. Jika garis antar kategori sejajar atau tidak bersilangan maka asumsi dapat dikatakan terpenuhi dan variabel penjelas yang bersifat kategori dapat dimasukkan dalam model. 1. Variabel jenis kelamin Berdasarkan Gambar 3, diketahui plot log{log 𝑆 (𝑡)} untuk variabel jenis kelamin menunjukkan bahwa garis antar kategorinya sejajar maka asumsi proportional hazard untuk variabel jenis kelamin telah terpenuhi.

Variabel jumlah trombosit

Gambar 4. Plot log{-log 𝑆 (𝑡)} untuk jumlah trombosit Berdasarkan Gambar 4, diketahui plot log{log 𝑆 (𝑡)} untuk variabel jumlah trombosit menunjukkan bahwa garis antar kategorinya sejajar maka asumsi proportional hazard untuk variabel jumlah trombosit telah terpenuhi. Estimasi Fungsi Ketahanan dan Fungsi Hazard Diperoleh estimasi parameter distribusi Gamma dengan pendekatan Bayesian adalah 𝛾 = 1,433 dan 𝜆 = 11,72. Berdasarkan hasil estimasi parameter untuk distribusi Gamma, kemudian digunakan persamaan (4), (8) dan (9) maka fungsi kepadatan peluang, ketahanan, dan hazardnya didapatkan sebagai berikut: Tabel 3. Estimasi Fungsi Ketahanan dan Fungsi Hazard t f(t) S(t) H(t) 1 0,02699 0,86645 0,03115 2 0,03346 0,83582 0,04003 3 0,03661 0,80060 0,04573 4 0,03808 0,76315 0,04990 5 0,03851 0,72478 0,05314 6 0,03827 0,68635 0,05576 7 0,03756 0,64840 0,05793

Berdasarkan Tabel 3 dari fungsi ketahanannya menunjukkan bahwa semakin lama pasien menderita penyakit DBD, maka probabilitas kesembuhan pasien semakin rendah dan dari fungsi hazard menunjukkan bahwa semakin lama pasien menderita penyakit DBD, maka semakin tinggi pula probabilitas pasien untuk menderita penyakit DBD. Hal ini berarti bahwa semakin lama pasien menderita penyakit DBD maka


13


kemampuan bertahan pasien terhadap penyakit tersebut semakin rendah dan begitu pula sebaliknya, laju kesembuhan pasien semakin tinggi. Dari Tabel 3 diperoleh grafik fungsi ketahanan dan hazardnya, sebagai berikut.

ISSN 2085-7829

jenis kelamin. Nilai parameter dianggap signifikan pada taraf 5% apabila nilai confidence interval (interval kepercayaan) parameternya tidak mengandung nilai nol. Sehingga dilakukan estimasi kembali dengan mengeluarkan variabel yang tidak signifikan yakni variabel jenis kelamin, dan hasilnya seperti berikut: Tabel 5. Estimasi Parameter Model 2 Rata-

Deviasi

Rata

Standar

(Mean)

(SD)

𝛽2

-0,01976

𝛽31

-0,45410

Para meter

Gambar 5. Grafik fungsi ketahanan dan hazard Berdasarkan Gambar 5 diketahui bahwa lama pasien menderita penyakit DBD dari hari pertama hingga hari ketujuh nilai ketahanannya mengalami penurunan atau probabilitas kesembuhan pasien semakin rendah, dan lama pasien menderita penyakit DBD dari hari pertama hingga hari ketujuh nilai hazardnya mengalami peningkatan atau probabilitas pasien untuk menderita penyakit DBD semakin tinggi. Model proportional hazard Cox pada penelitian ini adalah ℎ 𝑡, 𝑿 = ℎ0 (t)exp⁡ (β1 𝑥1i + β 𝑥2 + β3 𝑥3j ) 2 dimana, 𝑥1i = Variabel jenis kelamin, i={1, 2} (𝑥11 = 1 jika jenis kelamin pasien laki-laki, 𝑥12 = 0 jika perempuan). 𝑥2 = Variabel usia. 𝑥3𝑗 = Variabel jumlah trombosit, j={1, 2} (𝑥31 = 1 jika jumlah trombosit pasien dibawah normal, 𝑥32 = 0 normal). Berikut merupakan hasil estimasi parameter model dengan menggunakan pendekatan Bayesian yang dihasilkan oleh paket program WinBugs. Tabel 4. Estimasi Parameter Model 1 Para meter 𝛽11 𝛽2 𝛽31

RataRata (Mean) -0,1163 0,01974 -0,4433

Deviasi Standar (SD) 2,469 0,00792 0,219

Tingkat Kesalahan

Interval Kepercayaan 2,5%

97,5%

0,07692

-0,4336

0,3474

6,08E-04 0,01782

-0,0338 -0,8839

-0,0058 -0,0014

Dari Tabel 4 estimasi parameter model menggunakan pendekatan Bayesian diperoleh model sebagai berikut: ℎ 𝑡, 𝑿 = ℎ0 (t)exp⁡ (−0,1163𝑥11 − 0,01976𝑥2 − 0,45410𝑥31 ) Model di atas belum dapat digunakan karena dari hasil estimasi parameter pada Tabel 4 diketahui bahwa dari tiga variabel jenis kelamin, usia, dan jumlah trombosit terdapat nilai estimasi parameter yang tidak signifikan, yakni variabel

14

Tingkat

Interval Kepercayaan

Kesalahan

2,5%

97,5%

0,007892

5,67E-04

-0,0334

-0,006557

0,220600

0,01764

-0,8757

-0,007437

Dari Tabel 5 estimasi parameter model yang ke-2 menggunakan pendekatan Bayesian dengan mengeluarkan variabel jenis kelamin diperoleh nilai dari kedua parameter telah signifikan sehingga modelnya sebagai berikut: ℎ 𝑡, 𝑿 = ℎ0 (t)exp⁡ (−0,01976𝑥2 − 0,45410𝑥31 )

Interpretasi berdasarkan model di atas adalah variabel usia (𝑥2 ) memiliki nilai 𝛽 =−0,01976 dan exp(𝛽 )=0,98043 menunjukkan bahwa risiko pasien untuk menderita penyakit DBD ketika usia pasien satu tahun lebih tua adalah sebesar 1/0,98043 atau 1,01996 kali dari pasien yang berusia satu tahun lebih muda. Sehingga, dapat dikatakan bahwa semakin tua usia seorang pasien, maka untuk mencapai sembuh semakin lama. Sedangkan untuk variabel jumlah trombosit (𝑥31 ) memiliki nilai 𝛽 =−0,45410 dan exp(𝛽 )=0,63502 menunjukkan bahwa risiko pasien untuk menderita penyakit DBD ketika jumlah trombosit pasien dibawah normal adalah sebesar 1/0,63502 atau 1,57476 kali dari pasien yang memiliki jumlah trombosit normal. Sehingga, laju kesembuhan pasien DBD dengan jumlah trombosit dibawah normal cenderung lebih lama apabila dibandingkan dengan pasien yang memiliki jumlah trombosit normal. Kesimpulan Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan bahwa model proportional hazard Cox pada pasien rawat inap demam berdarah dengue di Rumah Sakit Umum Daerah A. W. Sjahranie Samarinda dengan pendekatan Bayesian adalah: ℎ 𝑡, 𝑿 = ℎ0 (t)exp⁡ (−0,01976𝑥2 − 0,45410𝑥31 )

Faktor-faktor yang mempengaruhi laju kesembuhan pasien demam berdarah dengue di Rumah Sakit Umum Daerah A. W. Sjahranie Samarinda adalah usia pasien dan jumlah trombosit. Dimana, semakin tua usia seorang pasien, maka untuk mencapai sembuh semakin lama dan laju kesembuhan pasien DBD dengan jumlah trombosit dibawah normal cenderung



ISSN 2085-7829

lebih lama apabila dibandingkan dengan pasien yang memiliki jumlah trombosit normal. Daftar Pustaka Abadi, A., Saadat, S., Yavari, P., Bajdik, C., and Jalili, P. 2011. Comparison of Aalen’s Additive and Cox Proportional Hazards Models for Breast Cancer Survival: Analysis of Population Based Data from British Columbia, Canada. Asian Pacific Journal of Cancer Prevention, Vol. 12. Bender, R., Augustin, T., and Blettner, M. 2005. Generating Survival Times to Simulate Cox Proportional Hazard Models. Statistics in Medicine 24:1713-1723. Congdon, Peter. 2003. Applied Bayesian Modelling. England: Wiley. Gail, M., Krickeberg, K., Samet, J., Tsiatis, A., and Wong W. 2005. Statistics for Biology and Health. United States of America (USA): Springer. Kleinbaum, David G., and Klein, Mitchel. 2005. Survival Analysis A Self-Learning Text Second Edition. New York: Springer. Koch, Karl-Rudolf. 2007. Introduction to Bayesian Statistics Second, updated, and enlarged edition. Bonn: Springer. Lawless, Jerald F. 2003. Statistical Models and Methods for Lifetime Data Second Edition. Canada: Wiley. Lee, Elisa T. and Wang, John Wenyu. 2003. Statistical Methods for Survival Data Analysis Third Edition. Canada: Wiley. Nisa, Shofa F. dan Budiantara, I Nyoman. 2012. Analisis Survival dengan Pendekatan Multivariate Adaptive Regression Splines pada Kasus Demam Berdarah Dengue (DBD). Jurnal Sains dan Seni ITS, Volume 1, Nomor 1, D:318-323. Thamrin, Sri Astusi. 2008. Penggunaan Model Resiko Proportional Cox dengan Pendekatan Bayesian Semiparametrik menggunakan Prior Proses Gamma. Paradigma, Vol 12 No.1, halm. 29-38.


15


16

ISSN 2085-7829


Jurnal EKSPONENSIAL Volume 4, Nomor 1, Mei 2013 ISSN

Recommend Documents