Analisis Kovariansi pada Rancangan Acak Lengkap dengan Peubah Pengiring Berganda Menggunakan Pendekatan Matriks Wimi Sartika#1, Lutfian Almash*2, Yenni Kurniawati#3 #
Mathematics Departemen State University of Padang Jl. Prof. Dr.Hamka Air Tawar Padang, 25131, Telp. (0751)444648, Indonesia 1
[email protected] [email protected] 3
[email protected] 2
Abstract –– The analysis of covariance is a statistical analysis that combine the analysis of variance and regression analysis. Analysis of covariance is another technique of analysis that is used for improving the precision of an experiment. Suppose that in an experiment with a respon variable Y there is another variable, say covariate X. This variable X can’t be controlled by experiment and linearly with variable Y. The purpose of this research to explaine the source of variation from analysis of covariance in design random complete with multiple covariates use matrix. For analyzing this research, that is analyzed sum squares and products for each source of variations. The result of this research , the source of variations contain error, total, and treatment. There is influence of regression that explaine covariates. Thus, this research also include hypothesis testing to know there is influence of treatment with respons. Keywords –– Matrix, design random complete, regression analysis, covariate variable, and analysis of covariance. Abstrak –– Analisis kovariansi adalah analisis statistika yang mengkombinasikan analisis variansi dan anlisis regresi. Analisis kovariansi merupakan salah satu teknik analisis yang digunakan untuk meningkatkan ketelitian suatu percobaan. Misalkan dalam satu percobaan dengan peubah respon Y maka ada peubah lain, katakanlah peubah pengiring X. Peubah X tidak dapat dikendalikan oleh percobaan dan berhubungan linear dengan peubah Y. Adapun tujuan yang ingin dicapai yaitu menjelaskan sumber keragaman analisis kovariansi pada RAL dengan peubah pengiring berganda menggunakan pendekatan matriks. Untuk menganalisis hal ini, terlebih dahulu dianalisis jumlah kuadrat dan hasil kali dari masing – masing sumber keragaman. Hasil penelitian diperoleh bahwa sumber keragaman ANAKOVA dengan peubah pengiring berganda meliputi dari galat, total, dan perlakuan. Pada sumber keragaman terdapat pengaruh regresi terhadap analisis yang menerangkan adanya peubah pengiring tersebut. Selanjutnya dilakukan pengujian hipotesis untuk mengetahui ada atau tidaknya pengaruh perlakuan terhadap respon yang diamati. Kata Kunci –– Matriks, kovariansi
analisis regresi, rancangan acak lengkap, peubah pengiring, dan analisis
PENDAHULUAN Analisis dalam statistika merupakan upaya mengolah data untuk menjawab masalah-masalah dalam penelitian. Sebelum menganalisis, peneliti melakukan pengumpulan data untuk memperoleh fakta-fakta atau kebenaran data sehingga mendapatkan kesimpulan tentang karakteristik populasi (parameter) berdasarkan data yang diperoleh dari sampel (statistik). Oleh karena itu, untuk mengumpulkan data tersebut diperlukan survei dan eksperimen (percobaan). Dalam suatu percobaan, perlu disiapkan suatu rancangan percobaan agar mendapatkan hasil yang sesuai dengan tujuan yang hendak dicapai. Secara umum dapat dikatakan bahwa tujuan diadakannya suatu percobaan adalah untuk memperoleh keterangan data tentang bagaimana respon yang akan diberikan oleh suatu obyek melalui pemberian perlakuan atau pengaturan keadaan
lingkungan[1]. Beberapa rancangan percobaan yang dapat digunakan di antaranya adalah Rancangan Acak Lengkap (RAL), Rancangan Acak Kelompok Lengkap (RAKL), Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL), dan Rancangan Bujur Sangkar Youden (RBSY). Di antara rancangan percobaan di atas, RAL adalah rancangan yang paling sederhana, dan paling tepat dilakukan untuk jumlah perlakuan yang tidak terlalu banyak. RAL ini juga digunakan dalam percobaan homogen atau relatif homogen sehingga lebih mudah diselesaikan dibanding dengan rancangan lain. Dalam mendapatkan hasil uji pengaruh perlakuan pada RAL, RAKL, RBSL, dan RSBY digunakan analisis variansi (ANAVA). Akan tetapi, analisis ini memiliki keterbatasan jika dalam suatu percobaan terdapat variabel (peubah) lain yang berpengaruh terhadap respon.
Misalnya seorang peneliti ingin mempelajari pengaruh beberapa metode mengajar matematika terhadap prestasi belajar siswa SMP kelas VII. Pada tahap awal dipilih beberapa kelas yang kemampuan matematikanya homogen sebagai sampel. Pada kelas yang terpilih dicobakan metode-metode mengajar yang berbeda. Misalnya selama dua bulan. Pada akhir percobaan diberikan tes akhir. Hasil tes akhir inilah yang dianalisis menggunakan teknik ANAVA untuk mengetahui pengaruh metode - metode mengajar yang diterapkan terhadap prestasi belajar matematika yang diperoleh siswa, yang biasa disebut peubah respon 𝑦. Hasil ANAVA ini ada kemungkinan kurang tepat, misalnya karena prestasi belajar juga dipengaruhi oleh faktor lain seperti intelegensi siswa, sebutlah dengan peubah X. Untuk itu, jika peneliti ingin mempertimbangkan pengaruh peubah X, maka teknik analisis data yang digunakan adalah Analisis Kovariansi (ANAKOVA). ANAKOVA ini dapat diterapkan dalam berbagai rancangan termasuk RAL. ANAKOVA dilakukan berdasarkan pertimbangan bahwa dalam kenyataannya ada peubah tertentu yang tidak dapat dikendalikan, tetapi sangat mempengaruhi atau sangat berkorelasi dengan peubah respon yang diamati. Peubah yang demikian disebut peubah pengiring. Peubah pengiring yang muncul dalam suatu percobaan akan mempengaruhi tingkat ketelitian hasil percobaan serta dapat mengendalikan keragaman percobaan[1]. Cara mempertimbangkan dan memperhitungkan pengaruh peubah pengiring 𝑋 terhadap peubah respon 𝑦 adalah dengan menerapkan analisis regresi dalam ANAKOVA. Dalam rancangan percobaan, ada tiga sumber keragaman yang hendak dicari yaitu perlakuan, galat, dan total untuk mengetahui pengaruh perlakuan terhadap respons yang diamati . Oleh karena itu, penelitian ini bertolak kepada sumber keragaman tersebut, yaitu sumber keragaman pada ANAKOVA dengan peubah pengiring berganda. Dalam analisisnya dapat ditelaah secara aljabar dan pendekatan matriks. Namun, pada penelitian ini dibahas secara pendekatan matriks meninjau peubah pengiring yang dianalisis peubah pengiring berganda. Analisis dengan pendekatan matriks ini dapat berlaku umum digunakan untuk peubah pengiring berganda yang sama atau lebih dari dua sehingga dapat mempermudah serta menyederhanakan analisis terhadap peubah pengiring berganda.
terakhir menarik kesimpulan dari permasalahan yang telah dibahas. Adapun langkah – langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Mempelajari literatur yang mengkaji tentang konsep matriks, rancangan percobaan, RAL, analisis regresi linear berganda, analisis variansi, dan analisis kovariansi. 2. Menganalisis jumlah hasil kali dan jumlah kuadrat sumber keragaman. 3. Menganalisis sumber keragaman dari ANAKOVA yang dipengaruhi oleh peubah pengiring yaitu galat, perlakuan, total. 4. Pengujian hipotesis pengaruh perlakuan terhadap respon pada ANAKOVA dan membentuk tabel ANAKOVA 5. Menerapkan ANAKOVA dalam bidang peternakan
METODE Penelitian ini merupakan penelitian teoritis. Metode yang digunakan adalah metode deskriptif dengan analisis teori yang relevan dengan permasalahan yang dibahas dan berlandaskan pada studi kepustakaan. Dalam melakukan penelitian ini, penulis memulai dengan meninjau permasalahan, mengumpulkan dan mengaitkan teori – teori yang didapat dengan permasalahn yang dihadapi sebagai penunjang untuk menjawab permasalahan dan
Persamaan (1) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai berikut 1 𝑥11 𝑥12 … 𝑥1𝑞 𝛽0 𝑦1 𝜀1 𝑦2 𝜀2 1 𝑥21 𝑥22 … 𝑥2𝑞 𝛽1 + ⋮ ⋮ = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑦𝑛 𝜀𝑛 1 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 … 𝑥𝑛𝑞 𝛽𝑞
HASIL DAN PEMBAHASAN ANAKOVA dilakukan berdasarkan pertimbangan bahwa dalam kenyataannya ada peubah tertentu yang tidak dapat dikendalikan, tetapi sangat mempengaruhi atau sangat berkorelasi dengan peubah respon yang diamati. Peubah ini dikenal dengan peubah pengiring. Peubah pengiring dalam analisis kovariansi perlu dipilih dengan hati-hati agar penggunaan peubah pengiring tersebut sesuai dengan tujuannya untuk mengurangi keragamaan percobaan sehingga galat lebih terkendalikan dan meningkatkan ketepatan [1]. ANAKOVA merupakan kombinasi analisis regresi dengan analisis variansi. Pada penelitian ini, karena membahas peubah pengiring berganda, maka analisis regresi yang digunakan analisis regresi lnear berganda. Adapun bentuk persamaan regresi linear berganda adalah 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1 + 𝛽2 𝑥2 + 𝛽3 𝑥3 + … + 𝛽𝑞 𝑥𝑞 + 𝜀 (1) dimana 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑞 = koefisien regresi 𝜀 = galat (komponen sisa) 𝑞 = banyak peubah bebas Asumsi – asumsi yang diperlukan dalam analisis regresi berganda adalah sebagai berikut [3] 1. 𝐸 𝜀 = 0 dan 𝑣𝑎𝑟 𝜀𝑖 = 𝜎 2 2. Galat acak berdistribusi normal 𝜀 ~ 𝑁 0, 𝜎 2 3. Galat tidak berkorelasi atau Cov 𝜀𝑖 , 𝜀𝑗 = 0
atau 𝒚 = 𝑿𝜷 + 𝜺
𝒚 = 𝒁𝜶 + 𝜺
Rancangan Acak Lengkap (RAL) merupakan rancangan dasar dan sederhana. RAL ini digunakan bila satuan percobaannya homogen, artinya keragaman antarsatuan percobaan tersebut kecil, dan mengelompokkannya ke dalam kelompok tidak memberi manfaat. Rancangan ini berguna dalam percobaan industri, percobaan tanaman (pertanian), ternak, dan sebagainya. Secara umum model linear aditif dari RAL dapat dituliskan sebagai berikut[2]
(3)
atau 𝑦11 1 𝑦12 1 ⋮ ⋮ 𝑦1𝑟 1 𝑦21 1 𝑦22 1 ⋮ = ⋮ 𝑦2𝑟 1 ⋮ ⋮ 𝑦𝑡1 1 𝑦𝑡2 1 ⋮ ⋮ 𝑦𝑡𝑟 1
𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝜖𝑖𝑗 (2) dengan: i = 1, ... ,t j = 1, ... ,r 𝑦𝑖𝑗 = nilai pengamatan dari perlakuan ke – i 𝜇 = rata – rata populasi 𝜏𝑖 = pengaruh perlakuan ke – i 𝜖𝑖𝑗 = pengaruh galat percobaan dari perlakuan ke – i dan ulangan ke – j
1 1 ⋮ 1 0 0 ⋮ 0 ⋮ 0 0 ⋮ 0
0 0 ⋮ 0 1 1 ⋮ 1 ⋮ 0 0 ⋮ 0
⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯
𝜀11 0 𝜀12 0 ⋮ ⋮ 𝜀1𝑟 0 𝜀21 0 𝜇 𝜀22 0 𝜏1 𝜏 ⋮ 2 + ⋮ 𝜀2𝑟 0 ⋮ 𝜏 ⋮ ⋮ 𝑡 𝜀 1 𝑡1 𝜀𝑡2 1 ⋮ ⋮ 𝜀 1 𝑡𝑟
Pada RAL, ANAVA digunakan untuk menguji rataan pengaruh berbagai perlakuan dengan hipotesis sebagai berikut : 𝐻0 : 𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑖 = 0 (tidak ada pengaruh perlakuan pada respons yang diamati) 𝐻1 : Sekurangnya ada satu 𝜏𝑡 ≠ 0 (ada pengaruh perlakuan pada respons yang diamati)
Ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi oleh RAL [2] : 1. 𝜏𝑖 = 0 2. 𝑉𝑎𝑟 𝜀𝑖𝑗 = 𝜎 2 3. 𝜀𝑖𝑗 ~ 𝑁(0, 𝜎 2 ) Persamaan (2) dapat diubah menjadi bentuk matriks sebagai berikut[4] :
Hasil pengamatan pada RAL disajikan dalam tabel analisis variansi pada Tabel
TABEL I ANAVA UNTUK RAL
Sumber Keragaman
Db
Jumlah Kuadrat
Perlakuan
t–1
𝜶′𝑿′ 𝒚 −
𝑦 ..2 𝑡𝑟
=
1 𝑟
Galat
t(r – 1)
𝒚′ 𝒚 − 𝜶′𝑿′ 𝒚 =
Total
tr – 1
𝒚′ 𝒚 −
𝑦 ..2 𝑡𝑟
=
𝑖𝑗
Kuadrat Tengah 2 𝑖 𝑦𝑖.
𝑖𝑗
𝑦𝑖𝑗2 −
Dalam bentuk matriks dapat disederhanakan menjadi 𝒚 = 𝒁𝜶 + 𝑿𝜷 + 𝜺 dimana 𝑥11 1 𝑥11 2 … 𝑥11𝑞 𝛽1 𝑥12 1 𝑥12 2 … 𝑥12𝑞 𝛽2 𝑋= ,𝛽 = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑥𝑡𝑟 1 𝑥𝑡𝑟 2 … 𝑥𝑡𝑟 𝑞 𝛽𝑞
𝐽𝐾𝑃 𝑡−1
𝑦 ..2 𝑡𝑟
𝑦𝑖𝑗2 −
1 𝑟
2 𝑖 𝑦𝑖.
𝐽𝐾𝐺 𝑡(𝑟 − 1)
𝐽𝐾𝑃 𝑡−1 𝐽𝐾𝐺 𝑡(𝑟 − 1)
𝑦..2 𝑡𝑟
Dari persamaan (1) dan (2), maka bentuk umum model linear dengan 𝑞 - peubah pengiring pada RAL dapat dibentuk menjadi: 𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽1 𝑥𝑖𝑗 (1) + 𝛽2 𝑥𝑖𝑗 (2) + ⋯ + 𝛽𝑞 𝑥𝑖𝑗 (𝑞) + 𝜀𝑖𝑗
−
𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
(4)
(5)
Struktur data pengamatan pada ANAKOVA disajikan menggunakan tabel II.
Asumsi yang harus dipenuhi agar ANAKOVA dapat digunakan diantaranya[8] : 1. Peubah pengiring tidak berkorelasi dengan perlakuan yang dicobakan. Langkah – langkah pengujiannya adalah sebagai berikut a. Merumuskan hipotesis H0: peubah pengiring tidak berkorelasi dengan perlakuan yang dicobakan H1: peubah pengiring berkorelasi dengan perlakuan yang dicobakan b.
Menetapkan taraf signifikansi pengujian
c.
Statistik uji
𝐽𝐾𝑃𝑥 𝑃𝑥𝑥 (𝑡 − 1) (𝑡 − 1) 𝐹= = 𝐸𝑥𝑥 𝐽𝐾𝐺𝑥 𝑡(𝑟 − 1) 𝑡(𝑟 − 1)
Dalam pengujian asumsi kelinearan ini, sebelumnya dilakukan pendugaan semua parameter yang ada, yaitu penduga dari 𝛼 dan 𝛽 adalah sebagai berikut :
dengan : 𝐽𝐾𝑃𝑥 = jumlah kuadrat perlakuan untuk peubah pengiring X 𝐽𝐾𝐺𝑥 = jumlah kuadrat galat untuk peubah pengiring X d. Menentukan kriteria uji H0 ditolak jika 𝐹ℎ𝑖𝑡 ≥ 𝐹𝛼 𝑡−1,𝑡 𝑟−1 2.
a. b.
3.
Hubungan antara peubah pengiring dengan peubah respons bersifat linear. Untuk mengetahui apakah dua variabel (X dan Y) berhubungan secara linier, dapat dibuat diagram pencar (scatter plot) kedua variabel tersebut. Jika hubungan keduanya mengarah ke garis lurus (linear) seperti yang terlihat pada Gambar 1, maka asumsi linieritas dapat dianggap terpenuhi. Namun jika terbukti terdapat garis lengkung, parabola atau bentuk non garis lurus, maka asumsi linieritas tidak terpenuhi.
Penduga dari 𝛼 𝜶 = (𝒁′ 𝒁)−𝟏 𝒁′ 𝒚 − (𝒁′ 𝒁)−𝟏 𝒁′𝑿𝜷 Penduga dari 𝛽 𝜷 = [𝑿′ 𝑰 − 𝒁′ 𝒁 −𝟏 𝒁′ , 𝑿]−𝟏 𝑿′ 𝑰 − 𝒁′ 𝒁 −𝟏 𝒁′
(6)
(7)
Galat percobaan berdistribusi normal Pengujian asumsi ini dilakukan dengan menggunakan grafik peluang kenormalan galat. Jika titik-titik amatan mengikuti arah garis diagonal maka galat tersebut berdistribusi normal. Selain ketiga asumsi diatas, adanya tambahan dari asumsi lain [1] yaitu koefisien-koefisien regresi dalam tiap perlakuan bersifat homogen, serta koefisien regresi X mempengaruhi Y
4. Koefisien-koefisien regresi dalam tiap perlakuan bersifat homogen Langkah – langkah pengujiann nya adalah sebagai berikut a. Merumuskan hipotesis H0 : 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑡 ( koefisien regresi homogen) H1 : sekurang-kurangnya ada dua koefisien regresi tidak sama (koefisien regresi tidak homogen) b. Menetapkan taraf signifikansi pengujian
Gambar.1 ScatterPlot
TABEL II STRUKTUR DATA ANAKOVA PADA RAL DENGAN PEUBAH PENGIRING BERGANDA
Ulangan 1
𝑥2 𝑥11(2)
… …
𝑥𝑞 𝑥11(𝑞 )
P1 𝑦11
𝑥1 𝑥21(1)
𝑥2 𝑥21(2)
… …
𝑥𝑞 𝑥21(𝑞)
P2 𝑦21
… …
𝑥1 𝑥𝑡1(1)
𝑥2 𝑥𝑡1(2)
… …
𝑥𝑞 𝑥𝑡1(𝑞)
Pt 𝑦𝑡1
2
𝑥12(2)
…
𝑥12(𝑞 )
𝑦12
𝑥22(1)
𝑥22(2)
…
𝑥22(𝑞)
𝑦22
…
𝑥𝑡2(1)
𝑥𝑡2(2)
…
𝑥𝑡2(𝑞)
𝑦𝑡2
3
𝑥13(2)
…
𝑥13(𝑞 )
𝑦13
𝑥23(1)
𝑥23(2)
…
𝑥23(𝑞)
𝑦23
…
𝑥𝑡3(1)
𝑥𝑡3(2)
…
𝑥𝑡3(𝑞)
𝑦𝑡3
⋮
⋮
…
⋮
⋮
⋮
⋮
…
⋮
⋮
…
⋮
⋮
…
⋮
⋮
R
𝑥1𝑟(2)
…
𝑥1𝑟(𝑞)
𝑦1𝑟
𝑥2𝑟(1)
𝑥2𝑟(2)
…
𝑥2𝑟(𝑞)
𝑦2𝑟
…
𝑥𝑡𝑟 (1)
𝑥𝑡𝑟 (2)
…
𝑥𝑡𝑟 (𝑞)
𝑦𝑡𝑟
c. Statistik uji 𝐽𝐾𝐺𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 − 𝐽𝐾𝐺 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠 𝑞(𝑡 − 1) 𝐹= 𝐽𝐾𝐺 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 ,𝑖 𝑡(𝑟 − 𝑞 − 1) =
,𝑖
𝒕 ′ −𝟏 (𝑬𝑦𝑦 −𝑬′𝑥𝑦 𝑬−𝟏 𝑥𝑥 𝑬𝑥𝑦 )−(𝑬𝑦𝑦 − 𝒊=𝟏 𝑬𝑥𝑦 ,𝑖 𝑬𝑥𝑥 ,𝑖 𝑬𝑥𝑦 ,𝑖 ) 𝑞 (𝑡−1) (𝑬𝑦𝑦 − 𝒕𝒊=𝟏 𝑬′𝑥𝑦 ,𝑖 𝑬−𝟏 𝑥𝑥 ,𝑖 𝑬𝑥𝑦 ,𝑖 ) 𝑡(𝑟−𝑞 −1)
d. Menentukan kriteria uji H0 ditolak jika 𝐹ℎ𝑖𝑡 ≥ 𝐹𝛼
𝑞 𝑡−1 ,𝑡 𝑟−𝑞−1
5. Koefisien regresi X mempengaruhi Y Langkah - langkahnya adalah sebagai berikut: a. Merumuskan hipotesis H0 : 𝛽 = 0 (nilai X tidak mempengaruhi nilai Y) H1 : 𝛽 ≠ 0 (nilai X mempengaruhi nilai Y)
H0 ditolak jika 𝐹ℎ𝑖𝑡 ≥ 𝐹𝛼(𝑞 ,𝑡
b. Menentukan taraf signifikansi c. Statistik uji [5]
−𝟏 𝑬′𝑥𝑦 𝑬𝑥𝑥 𝑬𝑥𝑦 𝐾𝑇𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖 𝑞 𝐹= = −𝟏 𝑬 𝑬𝑦𝑦 − 𝑬′𝑥𝑦 𝑬𝑥𝑥 𝐾𝑇𝐺𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 𝑥𝑦 𝑡 𝑟−1 −𝑞 d. Menentukan kriteria uji
𝑟−1 −𝑞)
Setelah asumsi yang diperiksa terhadap peubah pengiring. Jika ternyata peubah pengiring siginifikan terhadap percobaan, maka ANAKOVA dapat dianalisis dengan sumber keragamannya sebagai berikut.
A. Sumber Keragaman ANAKOVA pada RAL dengan Peubah Pengiring Berganda 1. Jumlah kuadrat dan hasil kali a. Jumlah kuadrat dan hasil kali total 𝑡 2 𝑖=1 𝑦𝑖𝑗
1) 𝑻𝑦𝑦 =
−
𝑦..2
(8)
𝑡𝑟
2) 𝑻𝑥𝑥 = 𝑡𝑖=1 𝑟𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 𝑢 𝑥𝑖𝑗 𝑣 − dengan 𝑢 = 1,2, … , 𝑞 𝑣 = 1,2, … , 𝑞 3) 𝑻𝑥𝑦 = 𝑡𝑖=1 𝑟𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 dengan 𝑢 = 1,2, … , 𝑞 b.
𝑢
𝑦𝑖𝑗 −
𝑥 .. 𝑢 𝑥 .. 𝑣 𝑡𝑟 𝑡 𝑖=1 𝑥 𝑖. 𝑞
(9) 𝑦 𝑖.
(10)
𝑡𝑟
Jumlah kuadrat dan hasil kali perlakuan 1
𝑦 ..2
𝑟
𝑡𝑟
1) 𝑷𝑦𝑦 = 𝑦𝑖.2 −
(11) 𝑥
1
𝑡 2) 𝑷𝑥𝑥 = 𝑥 𝑥𝑖. 𝑣 − .. 𝑢 𝑟 𝑖=1 𝑖. 𝑢 𝑡𝑟 dengan 𝑢 = 1,2, … , 𝑞 , 𝑣 = 1,2, … , 𝑞
3) 𝑷𝑥𝑦 =
1 𝑟
𝑡 𝑖=1
𝑥𝑖. 𝑢
𝑦.. −
𝑥 .. 𝑣
(12)
𝑥 .. 𝑢 𝑦.. 𝑡𝑟
(13)
dengan 𝑢 = 1,2, … , 𝑞 c.
Jumlah kuadrat dan hasil kali galat 1) 𝑬𝑦𝑦 =
𝑡 𝑖=1
𝑟 2 𝑗 =1 𝑦𝑖𝑗
−
2
𝑦𝑖. 𝑡 𝑖=1 𝑟
(14) 1
2) 𝑬𝑥𝑥 = 𝑡𝑖=1 𝑟𝑗=1(𝑥𝑖𝑗 𝑢 )(𝑥𝑖𝑗 𝑣 ) − 𝑟 dengan 𝑢 = 1,2, … , 𝑞 𝑣 = 1,2, … , 𝑞 3) 𝑬𝑥𝑦 = 𝑡𝑖=1 𝑟𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 𝑢 dengan 𝑢 = 1,2, … , 𝑞 2. 3. 4.
5.
𝑦𝑖𝑗 −
𝑡 𝑖=1(𝑥𝑖. 𝑢
𝑡 𝑖=1 𝑥 𝑖. 𝑞
)(𝑥𝑖. 𝑣 )
𝑦 𝑖.
𝑟
Jumlah kuadrat total terkoreksi 𝐽𝐾𝑇(𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 ) = 𝒕𝑦𝑦 − 𝒕′𝑥𝑦 𝑻−𝟏 𝑥𝑥 𝒕𝑥𝑦 Jumlah kuadrat perlakuan terkoreksi ′ −𝟏 𝐽𝐾𝑃 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 = 𝒕𝑦𝑦 − 𝒕′𝑥𝑦 𝑻−𝟏 𝑥𝑥 𝒕𝑥𝑦 − 𝒆𝑦𝑦 + 𝒆𝑥𝑦 𝑬𝑥𝑥 𝒆𝑥𝑦 Jumlah kuadrat galat terkoreksi −𝟏 𝐽𝐾𝐺(𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 ) = 𝒆𝑦𝑦 − 𝒆′𝑥𝑦 𝑬𝑥𝑥 𝒆𝑥𝑦
Kuadrat tengah a. Kuadrat tengah perlakuan terkoreksi 𝐽𝐾𝑃(𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 ) 𝐾𝑇𝑃𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 = 𝑡−1 b. Kuadrat tengah galat terkoreksi 𝐽𝐾𝐺 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 𝐾𝑇𝐺𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 = 𝑡 𝑟−1 −𝑞
Untuk mengetahui pengaruh perlakuan terhadap respon dilakukan pengujian hipotesis sebagai berikut:
(15) (16)
(17) (18) (19)
B. Pengujian Hipotesis Langkah – langkah pengujian sebagai berikut : 1. Hipotesis yang akan diuji adalah : H0 : 𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑘 = 0 (tidak ada pengaruh perlakuan terhadap respons) H1 : minimal ada satu 𝜏𝑖 ≠ 0 (ada pengaruh perlakuan terhadap respons) 2.
Menggunakan taraf signifikansi : 𝛼 = 0.05
3.
Statistik uji : 𝐾𝑇𝑃𝑥𝑦 𝐹= 𝐾𝑇𝐺𝑥𝑦
Artinya ada pengaruh perlakuan terhadap respon yang diamati.
𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑒𝑘𝑠𝑖
′ −𝟏 𝒕𝑦𝑦 − 𝒕′𝑥𝑦 𝑻−𝟏 𝑥𝑥 𝒕𝑥𝑦 − 𝒆𝑦𝑦 + 𝒆𝑥𝑦 𝑬𝑥𝑥 𝒆𝑥𝑦 𝑡−1 = 𝒆𝑦𝑦 − 𝒆′𝑥𝑦 𝑬−𝟏 𝑥𝑥 𝒆𝑥𝑦 (𝑡 𝑟 − 1 − 𝑞)
Kriteria Uji : H0 ditolak jika 𝐹ℎ𝑖𝑡 > 𝐹𝛼(𝑡−1,𝑡
𝑟−1 −𝑞)
SIMPULAN Analisis kovariansi merupakan gabungan analisis variansi dan analisis regresi. ANAKOVA pada RAL memiliki sumber keragaman yang terdiri atas perlakuan, galat, dan total yaitu 𝑻𝑦𝑦 − 𝑻′𝑥𝑦 𝑻−𝟏 𝑥𝑥 𝑻𝑥𝑦 − 𝑬𝑦𝑦 + ′ −𝟏 ′ −𝟏 𝑬𝑥𝑦 𝑬𝑥𝑥 𝑬𝒙𝒚 , 𝑬𝑦𝑦 − 𝑬𝑥𝑦 𝑬𝑥𝑥 𝑬𝑥𝑦 , dan 𝑻𝑦𝑦 − 𝑻′𝑦𝑦 𝑻−𝟏 𝑥𝑥 𝑻𝑥𝑦 . Hasil yang diperoleh merupakan analisis dengan pendekatan matriks yang dapat berlaku umum untuk peubah pengiring berganda (lebih atau sama dua peubah pengiring) sehingga lebih menyederhanakan serta mempermudah dalam analisis.
4.
Kesimpulan H0 ditolak jika 𝐹ℎ𝑖𝑡 > 𝐹𝛼(𝑡−1,𝑡 𝑟−1 −𝑞) Artinya ada pengaruh perlakuan terhadap respon yang diamati.
Hasil Pengamatan ANAKOVA pada RAL dengan peubah pengiring – 𝑞 dapat dilihat pada Tabel III.
[2] [3]
[4] [5] [6]
[7] [1]
REFERENSI Garspers, V . 1991 . Teknik Analisis dalam Penelitian Percobaan.Bandung Tarsito
[8]
Mattjik, A dan Sumertajaya I. 2000. Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab. Jilid I. IPB Press. Bogor Montgomery, Douglas. 2001. Design and Analysis of Experiment. New York : A John Wiley Interscience Publication Myers, Raymond H. 1997. A First Course in the Theory Linear Statistical Models. USA : The McGraw – Hill Companies, Inc Rencher, Alvin C. 2008. Linear Models in Statistics : Second Edition. New York : A John Wiley Interscience Publication Sartika, Wimi. 2013. Tugas Akhir Analisis Kovariansi pada Rancangan Acak Lengkap dengan Peubah Pengiring Berganda Menggunakan Pendekatan Matriks.Padang. UNP Sudjana. 1985. Disain dan Analisis Eksperimen Edisi Kedua. Bandung : Tarsito Steel, R.G.D & Torrie, J.H . 1991. Prinsip dan Prosedur Statistika Suatu Pendekatan Biometrik Edisi Kedua Terjemahan Bambang Sumantri.Jakarta : PT. Gramedia Pustaka Utama
