JEDNODUCHÝ INTEGRÁL příklady
pro vysoké školy
Bohemicus mathematicus doctor Pavel Novotný © 2012
Vzor citace: NOVOTNÝ, P. Jednoduchý integrál příklady : pro vysoké školy. Bučovice : Nakladatelství Martin Stříž, 2012. 164 s. ISBN 978-80-87106-57-0.
Autor:
Obálka: Tisk: Nakladatelství, sazba:
Vydání:
Pavel Novotný
[email protected] Petr Bělej Tribun EU s.r.o., Brno Nakladatelství Martin Stříž, Bučovice
[email protected] www.striz.cz První, 2012
ISBN 978-80-87106-57-0
Vážení studenti, milí čtenáři. Pro Vás, kteří potřebujete získat stručný, jasný a přehledný úvod do vyšší matematiky, jsem připravil sbírku vyřešených integrálů z vysokoškolské matematiky a systematicky je uspořádal do jednotlivých kapitol. Těchto bezmála 400 příkladů by Vám mělo přinést nezbytné vědomosti a dovednosti pro další studium integrálního počtu. Publikace je určena zejména studentům vysokých škol, kteří se v rámci cvičení uvedenou problematikou prakticky zabývají a hledají návody a postupy pro řešení konkrétních příkladů. Věřím, že publikace bude pro Vaše studium matematiky užitečným přínosem a že Vás osloví. V tomto snažení Vám všem přeji hodně zdaru a také dobré pocity z toho, že se po rychlém zorientování v knize naučíte příklady samostatně řešit a porozumíte postupům zde uvedeným.
autor srpen 2012
Obsah
Neurčitý integrál ................................................................................................... 4 Integrace metodou přímou ................................................................................... 4 Integrace metodou per partes .............................................................................. 7 Integrace metodou substituční ........................................................................... 12 f ′( x) Integrál typu ∫ dx ..................................................................................... 13 f ( x) Integrál typu ∫ f ( x) f ′( x)dx .............................................................................. 20
f ′( x) dx ................................................................................... 20 f ( x) P( x) Integrál typu ∫ dx ...................................................................................... 21 Q( x) dx .............................................................. 24 Obecné řešení integrálu ∫ 2 ax + bx + c dx Obecné řešení integrálu ∫ 2 .............................................................. 27 x + px + q Bx + C Integrál typu ∫ 2 dx ............................................................................ 30 x + px + q dx Integrál typu ∫ 2 ............................................................................ 30 ( x + px + q )n Bx + C Integrál typu ∫ 2 dx ........................................................................ 31 ( x + px + q ) n dx Integrál typu ∫ ........................................................................... 32 2 (ax + bx + c) n Bx + C Integrál typu ∫ dx ....................................................................... 33 2 (ax + bx + c) n P( x) Integrály typu ∫ dx řešené metodou Ostrogradského .............................. 35 Q( x) Integrál typu
∫
Integrál typu
∫
Integrál typu
∫
ax 2 + bx + c dx ......................................................................... 42
dx
............................................................................. 47 ax + bx + c ax + b Integrál typu ∫ dx ................................................................................. 52 cx + d P( x) Integrál typu ∫ dx ......................................................................... 59 2 ax + bx + c dx Integrál typu ∫ .................................................................. 60 ( x − a ) ax 2 + bx + c 2
Integrály binomické
∫x
m
(a + bx n ) p dx .............................................................. 61
Integrování goniometrických funkcí ................................................................. 69 Integrování logaritmických funkcí .................................................................... 81 Integrování exponenciálních funkcí ................................................................. 85
ax + b dx .............................................................. 90 cx + d ax + b Obecné řešení integrálu ∫ n dx .............................................................. 91 cx + d dx Obecné řešení integrálu ∫ 2 .................................................................. 92 ( x + 1) n dx Integrál ∫ 3 ............................................................................................. 92 ( x ± 1)n Integrály vyjádřené rekurentními vztahy .......................................................... 93
Obecné řešení integrálu
Integrál
∫
∫
sin x dx ........................................................................................... 93
Rekurentní vzorec pro binomický integrál
∫x
m
(ax n + b) p dx .......................... 94
Odvození a použití rekurentního vztahu integrálu ∫ cos n xdx ......................... 94 Odvození a použití rekurentního vztahu integrálu ∫ sin n xdx .......................... 95 Odvození rekurentního vztahu integrálu ∫ tg n xdx ........................................... 96 Obecné řešení integrálu
∫ Integrál ∫ Integrál
∫
ax 2 b2 x2 + c2
dx .......................................................... 97
x + x dx ........................................................................................ 98 1 + x m dx ......................................................................................... 99
Seznam integrálů s goniometrickými funkcemi ............................................... 99 Seznam integrálů s logaritmy .......................................................................... 103 Seznam integrálů s exponenciálními funkcemi .............................................. 105 Seznam integrálů s racionální lomenou funkcí ............................................. 106 Seznam integrálů s odmocninami ................................................................... 109 Řešení speciálních případů .............................................................................. 114 Integrál typu
∫ ( x − a)
Integrál typu
∫ (ax
2
dx k
ax 2 + bx + c Ax + B
.............................................................. 114
+ bx + c) k ax 2 + bx + c
dx ............................................... 115
∫ (mx
Ax + B
dx .............................................. 117 + px + q ) k ax 2 + bx + c b b p a) m = 1 ∧ =p b) = a a m Ax + B dx ................................................ 119 Integrál typu ∫ (mx 2 + px + q ) ax 2 + bx + c Integrál typu
α x2 + β x + γ
Integrál typu
∫
Integrál typu
∫ x+
Integrál typu Integrál typu Integrál typu Integrál typu Integrál typu Integrál typu Integrál typu
2
ax 2 + bx + c dx
dx ...................................................................... 120
..................................................................... 121 ax 2 + bx + c α sin x + β cos x ∫ a sin x + b cos x dx .................................................................. 122 α sin x + β cos x + γ ∫ a sin x + b cos x + c dx ............................................................. 124 α sin 2 x + 2 β sin x cos x + γ cos 2 x dx ...................................... 127 ∫ a sin x + b cos x α sin x + β cos x ∫ a sin 2 x + 2b sin x cos x + c cos2 x dx ........................................ 129 dx ∫ a + b sin cx .............................................................................. 129 dx ∫ a + b cos cx .............................................................................. 130 µ ν ∫ sin x cos xdx ........................................................................ 131
Aplikace – obsah rovinných útvarů ................................................................ 131 délka oblouku křivky .................................................................... 141 objem rotačního tělesa .................................................................. 145 obsah rotační plochy ..................................................................... 152 statický moment ............................................................................ 156 moment setrvačnosti ..................................................................... 161 Seznam použité literatury ................................................................................. 164
24 134) ∫
dx dx = 1a ∫ 2 = b 2 ax + bx + c ( x + 2 a ) + 4 ac4 a−2b 2
1 a
∫(
dx 2 = ) + 4 ac4 a−2b
2 ax + b 2 2a
ax 2 + bx + c = a ( x 2 + ba x + ac ) = a ( x + 2ba ) 2 − 4ba 2 + ac = a ( x + 2ba ) 2 + 4 ac4 a−2b dx dx dx 2 = 1a ∫ (2 ax +b )2 = 1a ∫ = 1a . 4 ac4 a−b2 ∫ 2 ax +b 2 = 2 2 (2 ax b ) + 4 ac −b 2 4 ac − b ( ) +1 + 4 a2 + 1 2 4 a2 4 ac − b 4 a 2 4 ac −b 2 2
u= =
du =
2 ax + b 4 ac −b
2
2 adx 4 ac −b
2
2
⇒ dx =
4 ac −b 2 2a
du
du 2 2ax + b = arctg +c 2 +1 +1 4ac − b 4ac − b 2 dx dx dx 135) ∫ 2 =1 =1 = 2 2 ax + bx + c a ∫ ( x + 2ba ) 2 − b 4−a42ac a ∫ ( 2 ax2 a+b ) 2 − b 4−a42ac 4 ac −b 2 2a 2
∫u
4a 4 ac −b 2
du =
2
4 ac − b 2
∫u
2
ax 2 + bx + c = a ( x 2 + ba x + ac ) = a ( x + 2ba ) 2 − 4ba 2 + ac = a ( x + 2ba ) 2 − b 4−a42ac dx dx dx 2 = 1a ∫ (2 ax +b )2 2 = 1a ∫ 2 = 1a . b24−a4 ac ∫ 2 ax +b 2 = 2 (2 ax b ) + b − 4 ac b − 4 ac ( 2 ) −1 − 4 a2 − 1 4 a2 b − 4 ac 4 a 2 b2 − 4 ac 2
u= =
4a b 2 − 4 ac
b − 4 ac 2
b 2 − 4 ac 2a 2
∫u
−1
du =
2 ax + b
1
=
b 2 − 4ac
ln
du =
2 ax + b
b 2 − 4 ac 2 ax + b b 2 − 4 ac
136) ∫
−1 +1
2 adx b − 4 ac 2
∫u
2 b 2 − 4 ac
⇒ dx =
du = −1
b 2 − 4ac
b 2 − 4 ac 2a
2
2
1
+c =
2
. 12 ln
b 2 − 4 ac
ln
du u −1 +c = u +1
2ax + b − b 2 − 4ac 2ax + b + b 2 − 4ac
+c
43 x3 + 2 x 2 3x 9 dx = ∫ ( + + + 8 )dx = 2x − 3 2 4 8 2x − 3
( x 3 + 2) : (2 x − 3) =
x2 2
+ 34x + 98 +
43 8
2 x −3
± x 3 ∓ 32 x 2 0
3 2
x2 + 2
± 32 x 2 ∓ 94 x 0
9 4 9 4
x+2
± x∓ 0
=
1 2
+
∫ x dx + ∫ xdx + ∫ dx + ∫ 2
3 4
9 8
´43 8
27 8 43 8
dx 2 x −3
= 12 . x3 + 34 . x2 + 98 x + 438 . 12 ∫ 22xdx−3 = 3
2
x 3 3 x 2 9 x 43 + + + ln 2 x − 3 + c 6 8 8 16 x2 x2 x 2 dx x 2 dx 137) ∫ 2 = = dx = ∫ dx 2 ∫ ( x − 52 − 32 )( x − 52 + 32 ) ∫ ( x − 4)( x − 1) x − 5x + 4 ( x − 52 ) − 94 =
x 2 − 5 x + 4 = ( x − 52 ) 2 − 254 + 4
x2 Ax Bx = + ( x − 4)( x − 1) x − 4 x − 1 x 2 = Ax( x − 1) + Bx( x − 4) x 2 = Ax 2 − Ax + Bx 2 − 4 Bx
51 1 −2 xdx 1 −2 x − 3 + 3 =− ∫ dx = ∫ 2 2 − x2 − 3x + 4 − x 2 − 3x + 4 − x 2 − 3x + 4 1 −2 x − 3 3 1 3 2x + 3 =− ∫ dx − ∫ dx = − − x 2 − 3 x + 4 − arc sin +c 2 2 2 2 2 5 − x − 3x + 4 − x − 3x + 4 1 3 1 3 1 − .2 − x 2 − 3 x + 4 − ∫ dx + c = − − x 2 − 3 x + 4 − ∫ dx + c 2 2 2 2 2 − x − 3x + 4 − x − 3x + 4 1 2 1 2 5 1 2x + 3 I1 = ∫ dx = ∫ dx = . ∫ dt = arc sin t = arc sin 2 2 2 5 1 − ( 2 x5+3 ) 5 2 1− t 5 − x − 3x + 4 x
196) ∫
dx = −
1 − x − 3x + 4 1
= 25 4
− (2 x4+ 3)
=
2
1
=
2
(−1)( x + 3x − 4) 2
1
(−1) ( x + 32 ) 2 − 94 − 164 1
=
=
1
= 52 .
1 − ( 2 x5+3 ) 2 1 − (2 x25+3) 25 1 − ( ) t = 2 x5+3 ⇒ dt = 52 dx ⇒ dx = 52 dt dx 1 = 22 a ∫ dx 2 b − 4 ac 2 ax + b 2 ax + bx + c ( 2 ) −1 2
25 4
197) ∫
1
=
2 x +3 2 5
b − 4 ac
1
1
=
1
= 2 a ( x + 2ba ) 2 − 4ba 2 + ac 1 1 1 = = = = 2 2 2 2 2 a ( 2 ax2 a+b )2 − b 4−a42ac a (2 ax4 a+2b ) − b 4−a42ac a b 4−a42ac (2b2ax−+4bac) − 1 1 1 = = 22 a . b − 4 ac b 2 − 4 ac 2 ax + b 2 a 2a ( 2 ) −1 ( 2 2ax +b ) 2 − 1
ax + bx + c 2
=
a( x + ba x + ac ) 2
b − 4 ac
t= I=
2 ax + b b 2 − 4 ac
2 a b − 4 ac 2
.
⇒ dt =
I=
I=
1 a
ln
1 a
1 a
2 a b 2 − 4 ac
(
ln
2 ax + b
ln
b 2 − 4 ac
2 ax + b b − 4 ac 2
b 2 − 4 ac 2 a
∫
.
+ (
2 ax + b b 2 − 4 ac
t −1 2
b 2 − 4 ac
2 ax + b b 2 − 4ac
dx ax + bx + c 1 a
1 x 2 −1
dt =
+C =
1 a
ln
=
2 a b 2 − 4 ac
b 2 − 4 ac 2a
dt
ln t + t 2 − 1 + C
dx = ln x + x 2 −1
1 a
ln
ln
2 ax + b
2 ax + b
+
1 a
b 2 − 4 ac
b 2 − 4 ac
+ ax 2 + bx + c ) + C =
2
číslo
∫
dx ⇒ dx =
)2 − 1 + C =
4 a ( ax 2 + bx + c )
+
2a b2 − 4 ac
1
∫
b 2 − 4 ac 2a
podle I=
b − 4 ac
1 a
ln
+
4 a 2 x 2 + 4 abx + 4 ac b 2 − 4 ac
ax 2 + bx + c + C
2 a b 2 − 4 ac
2 a b 2 − 4 ac
+C
+
1 a
ln
2 ax + b 2 a
1 2ax + b ln + ax 2 + bx + c + C a 2 a je zahrnuto v integrační konstantě
+ ax 2 + bx + c + C
