Jak pracovat s absolutními hodnotami

Evropsk´ y sociáln´ı fond, Praha a EU: Investujeme do vaˇs´ı budoucnosti.

Jak pracovat s absolutn´ımi hodnotami Petr Matyáˇs

1

Co to je absolutn´ı hodnota

Absolutn´ı hodnota ˇc´ısla a, dále ji budeme oznaˇcovat v´ yrazem |a|, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vˇzdy ˇc´ıslo kladné. Je-li ˇc´ıslo a kladné, pak jeho absolutn´ı hodnota je rovna jemu samému, tedy |a| = a. Pokud je ˇc´ıslo a záporné, pak jeho absolutn´ı hodnota je rovna ˇc´ıslu opaˇcnému, tedy −a, znaˇc´ıme |a| = −a. Absolutn´ı hodnota nuly je rovna nule, tedy |0| = 0. Absolutn´ı hodnota ˇc´ısla tedy pouze zapom´ıná pˇr´ıpadné znaménko −. Zde uvád´ım nˇekolik pˇr´ıklad˚ u: • | − 5| = 5, • | − 15| = 15, • |32| = 32, • |7| = 7. S absolutn´ı hodnotou obecného v´ yrazu je to ponˇekud tˇeˇzˇs´ı. Zkusme si to ukázat na pˇr´ıkladu: Mˇejme v´ yraz v = x − 2. Je zˇrejmé, ˇze pokud za ˇ ıslo 2 je tedy nulov´ promˇennou x dosad´ıme ˇc´ıslo 2, dostaneme nulu. C´ ym bodem v´ yrazu v. Je zˇrejmé, ˇze pokud za x dosad´ıme libovolné ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 2, v´ yraz bude m´ıt vˇzdy kladnou hodnotu (napˇr. pro x = 3 to bude hodnota 1, pro x = 7 to bude ˇc´ıslo 5). Pro ˇc´ısla menˇs´ı neˇz 2 pak bude hodnota v´ yrazu v záporná (pro x = 0 bude hodnota v rovna −2, pro x = −5 bude hodnota v rovna −7. Pokud tedy v pˇr´ıkladu z minulého odstavce dosad´ıme za x ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 2, je zˇrejmé, ˇze absolutn´ı hodnota v´ yrazu se bude rovnat samotnému v´ yrazu, tedy |v| = v. V pˇr´ıpadˇe dosazen´ı ˇc´ısla menˇs´ıho neˇz 2 se bude absolutn´ı hodnota v rovnat hodnotˇe opaˇcného v´ yrazu k v´ yrazu v, tedy plat´ı |v| = −v, tedy |x − 2| = −(x − 2) = −x + 2 (u vˇsech ˇclen˚ u v´ yrazu jsme zamˇenili znaménka). A pˇresnˇe z tohoto principu vycház´ı naˇse postupy pˇri kreslen´ı grafu funkce i ˇreˇsen´ı rovnic a nerovnic s absolutn´ı hodnotou. 1


Postup ˇreˇsen´ı vˇsech tˇechto u ´loh spoˇc´ıvá v nalezen´ı nulov´ ych hodnot vˇsech v´ yraz˚ u v absolutn´ıch hodnotách. Znamená to tedy nalézt ˇc´ısla taková, aby se jednotlivé v´ yrazy v absolutn´ıch hodnotách po dosazen´ı tˇechto ˇc´ısel rovnaly nule. V naˇsich pˇr´ıpadech, kdy v´ yrazy v absolutn´ıch hodnotách budou lineárn´ı, najdeme pro kaˇzd´ y v´ yraz pouze jeden nulov´ y bod. Tˇemito body si rozdˇel´ıme osu x na d´ılˇc´ı intervaly a u ´lohu ˇreˇs´ıme v kaˇzdém intervalu zvláˇst’. Nyn´ı se pomˇernˇe detailnˇe pod´ıváme na postup ˇreˇsen´ı tˇr´ı základn´ıch u ´loh.

2

Kreslen´ı grafu funkce

Zad´ an´ı: Naˇcrtnˇete graf funkce dané pˇredpisem y = |x + 2| + |x − 1|. 1. Jak bylo naznaˇceno v minul´ ych odstavc´ıch, zaˇcneme tak, ˇze si najdeme ˇ s´ıme tedy lineárn´ı rovnice, kdy na nulové body jednotliv´ ych v´ yraz˚ u. Reˇ levé stranˇe rovnice se nacház´ı v´ yraz v absolutn´ı hodnotˇe (nyn´ı jiˇz vˇsak bez absolutn´ı hodnoty) a na pravé nula. Pojd’me si tedy naj´ıt nulové body obou v´ yraz˚ u v absolutn´ıch hodnotách. Zaˇcneme nulov´ ym bodem prvn´ıho v´ yrazu, tedy x + 2. Jak bylo ˇreˇceno v´ yˇse, jde vlastnˇe o to vyˇreˇsit lineárn´ı rovnici x + 2 = 0. Po odeˇcten´ı ˇc´ısla 2 od obou stran rovnice dostáváme tvar x = −2. Z toho plyne, ˇze nulov´ ym bodem v´ yrazu x + 2 je ˇc´ıslo −2, tedy pokud do v´ yrazu x + 2 dosad´ıme za x ˇc´ıslo −2, dostaneme nulu. Podobnˇe z rovnice x−1=0 dostaneme po pˇriˇcten´ı jedniˇcky k obˇema stranám informaci, ˇze nulov´ ym bodem v´ yrazu x − 1 je ˇc´ıslo 1. Máme tedy dva v´ yrazy v absolutn´ıch hodnotách a jim pˇr´ısluˇs´ı nulové body −2 a 1. D˚ uleˇzité je si je vypsat v poˇrad´ı od nejmenˇs´ıho po nejvˇetˇs´ı. Tyto nulové body nám rozdˇel´ı mnoˇzinu vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel na tˇri intervaly: interval (−∞; −2), kter´ y obsahuje vˇsechna ˇc´ısla menˇs´ı neˇz −2, interval h−2; 1), kter´ y obsahuje vˇsechna ˇc´ısla vˇetˇs´ı nebo rovna −2 a menˇs´ı neˇz 1, a interval h1; ∞), kter´ y obsahuje ˇc´ısla vˇetˇs´ı nebo rovna 1.

2


2. Nyn´ı mus´ıme zjistit, zda jednotlivé v´ yrazy v absolutn´ıch hodnotách nab´ yvaj´ı v dan´ ych intervalech kladn´ ych ˇci záporn´ ych hodnot. Zaˇcneme tak, ˇze si sestav´ıme tabulku, kde horn´ı záhlav´ı (záhlav´ı sloupc˚ u) budou tvoˇrit jednotlivé v´ yˇse zm´ınˇené intervaly a levé záhlav´ı (záhlav´ı ˇra´dk˚ u) pak jednotlivé v´ yrazy, které se vyskytuj´ı v absolutn´ıch hodnotách (nyn´ı jiˇz bez absolutn´ıch hodnot). Tabulka tedy bude vypadat takto: (−∞; −2)

h−2; 1)

h2; ∞)

x+2 x−1 Do kaˇzdé buˇ nky vloˇz´ıme znaménko + nebo − podle toho, zda dan´ y v´ yraz bude pro ˇc´ısla z daného intervalu kladn´ y nebo záporn´ y. A jak to zjist´ıme? Jednoduˇse: staˇc´ı dosadit za promˇennou x libovolné ˇc´ıslo z tohoto intervalu. Pozor: do v´ yrazu nikdy nedosazujte jeho hraniˇcn´ı bod, pro ten dostanete nulu, nedá se tedy pak rozhodnout, zda v´ yraz v tomto intervalu nab´ yvá kladn´ ych ˇci záporn´ ych hodnot. Nejdˇr´ıve si vypln´ıme prvn´ı ˇra´dek, tedy zjiˇst’ujeme znaménko v´ yrazu x+2 pro ˇc´ısla v jednotliv´ ych intervalech. Vyb´ıráme tedy libovolná ˇc´ısla z dan´ ych interval˚ u. Na volbˇe ˇc´ısla nezáleˇz´ı, nebot’ znaménko je stejné pro vˇsechna ˇc´ısla z tohoto intervalu. Z prvn´ıho intervalu m˚ uˇzeme za x dosadit libovolné ˇc´ıslo, vyberme si tˇreba −5. Po dosazen´ı ˇc´ısla −5 za x do v´ yrazu x + 2 dostáváme v´ yraz −5 + 2. Je zˇrejmé, ˇze v´ ysledkem je ˇc´ıslo −3, tedy v´ ysledek je záporn´ y (v tabulce oznaˇc´ıme znaménkem −). Z druhého intervalu vezmeme napˇr. ˇc´ıslo 0. Po dosazen´ı nuly dostáváme 0 + 2, coˇz se rovná 2. V´ ysledek je tedy kladn´ y (v tabulce oznaˇc´ıme +). Z tˇret´ıho intervalu vezmeme napˇr. ˇc´ıslo 4. V´ ysledek je 4 + 2 = 6, je tedy kladn´ y (v tabulce oznaˇc´ıme taktéˇz +). Pojd’me vyplnit druh´ y ˇra´dek, tedy ˇra´dek pro v´ yraz x − 1. Po dosazen´ı ˇc´ısla −5 z prvn´ıho intervalu dostáváme v´ ysledek −6, tedy záporné ˇc´ıslo (v tabulce oznaˇc´ıme −), po dosazen´ı ˇc´ısla 0 z druhého intervalu dostáváme −1, tedy záporné ˇc´ıslo (v tabulce oznaˇc´ıme −) a po dosazen´ı ˇc´ısla 4 z tˇret´ıho intervalu dostáváme 3, tedy kladné ˇc´ıslo (v tabulce oznaˇc´ıme +). V´ ysledná tabulka tedy bude vypadat takto:

x+2 x−1

(−∞; −2) − −

h−2; 1) + −

h1; ∞) + + 3


3. Nyn´ı v kaˇzdém intervalu sestav´ıme v´ yslednou funkci. Pokud je v pol´ıˇcku odpov´ıdaj´ıc´ım danému v´ yrazu a danému intervalu ve v´ yˇse uvedené tabulce znaménko +, v´ yraz pouze op´ıˇseme, a to vˇcetnˇe znaménka, které mu pˇredcáz´ı, pokud je tam znaménko −, pˇred v´ yrazem zmˇen´ıme znaménko. V´ yrazy jiˇz nebudeme psát do absolutn´ıch hodnot, ale do závorek. V prvn´ım intervalu je u obou v´ yraz˚ u znaménko −, tedy pˇred obˇema v´ yrazy mˇen´ıme znaménko. V´ ysledná funkce tedy bude vypadat následovnˇe: y = −(x + 2) − (x − 1). Tento v´ yraz jeˇstˇe m˚ uˇzeme dále upravovat: y = −x − 2 − x + 1 y = −2x − 1. Vid´ıme, ˇze v´ ysledkem v intervalu (−∞; −2) je lineárn´ı funkce y = −2x − 1. Ve druhém intervalu je u prvn´ıho v´ yrazu znaménko + a u druhého −. Prvn´ı v´ yraz tedy op´ıˇseme, u druhého zmˇen´ıme znaménko a v´ ysledek dále upravujeme. Dostáváme: y = (x + 2) − (x − 1) y = 3. Ve tˇret´ım intervalu jsou pak u obou v´ yraz˚ u znaménka +, takˇze v´ yrazy op´ıˇseme: y = (x + 2) + (x − 1). y = 2x + 1. 4. Nyn´ı nakresl´ıme graf spoˇcten´ ych funkc´ı v dan´ ych intervalech. V´ıme, ˇze ve vˇsech intervalech nám vyˇsly lineárn´ı nebo konstantn´ı funkce, jejichˇz grafem je vˇzdy pˇr´ımka. Ta je dána vˇzdy dvˇema body. Pozor: pˇri kreslen´ı graf˚ u nezasahujte ˇcarami za hranice interval˚ u, v nichˇz funkci kresl´ıme. Zaˇcnˇeme prvn´ım intervalem (−∞; −2). V nˇem tedy máme funkci y = −2x − 1. Grafem libovolné lineárn´ı funkce je pˇr´ımka. Kaˇzdá pˇr´ımka je dána dvˇema body. Zvol´ıme si tedy dvˇe ˇc´ısla z tohoto intervalu, napˇr. −5 a −3, a dosad´ıme za x do rovnice y = −2x − 1. V´ıme, ˇze y = −2 · (−5) − 1 = 9 a y = −2 · (−3) − 1 = 5. Známe tedy x-ovou a ysouˇradnici bod˚ u A a B, kde A = [−5, 9] a B = [−3, 5]. Zakresl´ıme tedy 4


tyto body do kartézské soustavy souˇradnic a vedeme jimi polopˇr´ımku, která povede konˇc´ı u ˇc´ısla −2 na ose x (kresl´ıme pˇreci graf pouze v intervalu (−∞; −2)). y A 9

6 B

3

−9

−6

−3

3

6

9

x

V druhém intervalu h−2; 1) taktéˇz zvol´ıme dvˇe ˇc´ısla, napˇr. −1 a 0. Protoˇze rovnice v tomto intervalu má tvar y = 3, y-ová souˇradnice pro kaˇzd´ y bod tohoto intervalu bude 3. Máme tedy body C = [−1; 3] a D = [0; 3]. Taktéˇz je naneseme do soustavy souˇradnic a nakresl´ıme u ´seˇcku, která jimi procház´ı, ale konˇc´ı na u ´rovni ˇc´ısel −2 a 1 na ose x. y A 9

6 B D 3 C

−9

−6

−3

3

6

9

x

V tˇret´ım intervalu h1; ∞) zvol´ıme napˇr. ˇc´ısla 2 a 4. Dosazen´ım za x do rovnice 2x + 1 dostáváme y-ové souˇradnice 5 a 9, tedy body E = [2; 5] a F = [4; 9]. Opˇet je naneseme do soustavy souˇradnic a spoj´ıme polopˇr´ımkou, která zaˇc´ıná na u ´rovni ˇc´ısla 1 na ose x. Graf funkce je hotov.

5


y A 9 F

6 B E D 3 C

−9

3

−6

−3

3

6

9

x

ˇ sen´ı rovnic Reˇ

Zad´ an´ı: Vyˇreˇste rovnici |2x − 1| + | − x − 4| + |x + 2| = 10. Postup ˇreˇsen´ı této u ´lohy je velice obdobn´ y ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ı u ´lohy: 1. Nejprve najdeme nulové body jednotliv´ ych v´ yraz˚ u. Aby byl v´ yraz 2x−1 1 roven nule, je tˇreba za x dosadit 2 , tedy toto ˇc´ıslo je nulov´ ym bodem prvn´ıho v´ yrazu v absolutn´ı hodnotˇe. Nulov´ ym bodem v´ yrazu −x − 4 ˇ ısla si opˇet je ˇc´ıslo −4 a nulov´ ym bodem v´ yrazu x + 2 je ˇc´ıslo −2. C´ uspoˇra´dáme podle velikosti a vid´ıme, ˇze nám rozdˇel´ı osu x na intervaly (−∞; −4), h−4; −2), h−2; 21 ) a h 12 ; ∞). 2. Nyn´ı opˇet sestav´ıme tabulku, kde v´ yrazy budou tvoˇrit levé záhlav´ı a intervaly horn´ı: (−∞; −4)

h−4; −2)

2x − 1 −x − 4 x+2

h−2; 21 )

h 12 ; ∞)

Do jednotliv´ ych v´ yraz˚ u budeme dosazovat postupnˇe ˇc´ısla ze vˇsech interval˚ u, tedy napˇr. −5, −3, 0 a 1, t´ım zjist´ıme, ˇze v´ yrazy v dan´ ych intervalech nab´ yvaj´ı tˇechto znamének:

2x − 1 −x − 4 x+2

(−∞; −4) − + −

h−4; −2) − − −

h−2; 21 ) − − +

h 12 ; ∞) + − +

3. Nyn´ı se pod´ıváme, jak vypadaj´ı rovnice v jednotliv´ ych intervalech. Pokud je v pˇredchoz´ı tabulce v daném intervalu u v´ yrazu +, op´ıˇseme jej 6


(bez absolutn´ı hodnoty, ale vˇcetnˇe pˇredcházej´ıc´ıho znaménka), pokud je u nˇeho znaménko −, zamˇen´ıme znaménko pˇred n´ım. Vˇse, co nen´ı v absolutn´ı hodnotˇe, op´ıˇseme. V prvn´ım intervalu mˇen´ıme znaménka u prvn´ıho a posledn´ıho v´ yrazu, druh´ y z˚ ustává stejn´ y (protoˇze, v prvn´ım sloupci tabulky je u prvn´ıho a tˇret´ıho v´ yrazu − a u druhého +). Dostáváme tedy rovnici, kterou ihned vyˇreˇs´ıme (pozor: zaj´ımaj´ı nás pouze ˇreˇsen´ı v daném intervalu): −(2x − 1) + (−x − 4) − (x + 2) = 10 −2x + 1 − x − 4 − x − 2 = 10 −4x − 5 = 10 −4x = 15 15 x = − = −3, 75. 4 Vyˇslo nám, ˇze x je rovno hodnotˇe −3, 75. Tato hodnota vˇsak nepatˇr´ı do intervalu (−∞; −4), nebot’ je vˇetˇs´ı neˇz −4. Proto nen´ı ˇreˇsen´ım této rovnice. V tomto intervalu nemá rovnice ˇza´dné ˇreˇsen´ı. Ve druhém intervalu, tedy h−4; −2), jsou vˇsechny tˇri v´ yrazy záporné, tedy mˇen´ıme vˇsechna znaménka: −(2x − 1) − (−x − 4) − (x + 2) = 10 −2x + 1 + x + 4 − x − 2 = 10 −2x + 3 = 10 −2x = 7 7 x = − = −3, 5 2 Nyn´ı se mus´ıme pod´ıvat, zda v´ ysledek patˇr´ı do intervalu, v nˇemˇz nyn´ı rovnici ˇreˇs´ıme. Protoˇze −3, 5 je opravdu mezi −4 a −2, máme prvn´ı ˇreˇsen´ı rovnice. Ve tˇret´ım intervalu h−1; 12 ) jsou prvn´ı dva v´ yrazy záporné (mˇen´ıme u nich znaménka) a tˇret´ı kladn´ y (znaménko z˚ ustává). Tedy: −(2x − 1) − (−x − 4) + (x + 2) = 10 −2x + 1 + x + 4 + x + 2 = 10 7 = 10 7


Vid´ıme, ˇze jsme dostali nesmyslnou rovnost 7 = 10, tedy v tomto intervalu rovnice nemá ˇza´dné ˇreˇsen´ı. A zb´ yvá nám posledn´ı interval – h 12 ; ∞) . Rovnici sestav´ıme stejnˇe, pokud máme ve ˇctvrtém sloupci u daného v´ yrazu +, op´ıˇseme jej, pokud −, zmˇen´ıme znaménko pˇred n´ım. Dostáváme tedy: (2x − 1) − (−x − 4) + (x + 2) = 10 2x − 1 + x + 4 + x + 2 = 10 4x + 5 = 10 4x = 5 5 x= 4 Vyˇslo nám tedy ˇc´ıslo z tohoto intervalu, je tedy ˇreˇsen´ım zadané rovnice. Na závˇer je tˇreba shrnout vˇsechna ˇreˇsen´ı: v prvn´ım intervalu nám vyˇslo ˇc´ıslo mimo interval, tedy toto nen´ı ˇreˇsen´ım rovnice, ve druhém intervalu nám vyˇslo ˇc´ıslo −3, 5, které do intervalu patˇr´ı, ve tˇret´ım intervalu nám nevyˇslo ˇza´dné ˇreˇsen´ı a ve ˇctvrtém ˇc´ıslo 1, 25, které do intervalu patˇrilo. Rovnice má tedy dvˇe ˇreˇsen´ı, a to ˇc´ısla −3, 5 a 1, 25.

4

ˇ sen´ı nerovnic Reˇ

Zad´ an´ı: Vyˇreˇste následuj´ıc´ı nerovnici: |x + 1| + x − | − x − 3| < −2. 1. Zaˇcneme u ´plnˇe stejnˇe: urˇc´ıme nulové body v´ yraz˚ u v absolutn´ıch hodnotách: Jsou to ˇc´ısla −1 a −3. 2. Nakresl´ıme si tabulku a vypln´ıme ji znaménky + a −:

x+1 −x − 3

(−∞; −3) − +

h−3; −1) − −

h−1; ∞) + −

3. A nyn´ı ˇreˇs´ıme nerovnice v jednotliv´ ych intervalech. Podobnˇe jako v pˇredchoz´ıch dvou pˇr´ıkladech nejprve sestav´ıme nerovnici na základˇe pˇredchoz´ı tabulky. Poté nerovnici uprav´ıme tak, abychom mˇeli na jedné stranˇe promˇennou a na druhé ˇc´ısla. T´ım dostaneme, jak´ ych hodnot mus´ı promˇenná nab´ yvat, aby byla nerovnice pravdivá. Pozor: nesm´ıme vˇsak

8


zapom´ınat, ˇze ˇreˇs´ıme rovnici v daném intervalu, tedy námi nalezená ˇreˇsen´ı z nˇeho nesm´ı vyskoˇcit. V intervalu (−∞; −3) tedy dostáváme nerovnici, kterou dále upravujeme: −(x + 1) + x − (−x − 3) < −2 −x − 1 + x + x + 3 < −2 x + 2 < −2 x < −4 Protoˇze vˇsechna nalezená ˇreˇsen´ı pro tento tvar nerovnice leˇz´ı v daném intervalu, m˚ uˇzeme prohlásit, ˇze vˇsechna ˇc´ısla z intervalu (−∞; −4) jsou ˇreˇsen´ımi p˚ uvodn´ı rovnice. V intervalu h−3; −1) taktéˇz sestav´ıme a vyˇreˇs´ıme nerovnici: −(x + 1) + x + (−x − 3) < −2 −x − 1 + x − x − 3 < −2 −x − 4 < −2 −x < 2 x > −2 ˇ sen´ı nerovnice tedy mus´ı b´ Reˇ yt vˇetˇs´ı neˇz −2, ale menˇs´ı neˇz −1, nebot’ nyn´ı hledáme ˇreˇsen´ı pouze v intervalu h−3, −1), jedná se tedy o interval (−2, −1). V intervalu h−1; ∞) dostáváme nerovnici: (x + 1) + x + (−x − 3) < −2 x − 2 < −2 x<0 Vyˇslo nám, ˇze x mus´ı b´ yt menˇs´ı neˇz 0, avˇsak v u ´vahu pˇripadaj´ı pouze ˇreˇsen´ı z intervalu h1; ∞), tedy v´ ysledkem je interval h−1, 0). ˇ sen´ım celé p˚ Reˇ uvodn´ı nerovnice je sjednocen´ı vˇsech d´ılˇc´ıch interval˚ u, tedy (∞; −4) ∪ (−2; −1) ∪ h−1; 0) = (∞; −4) ∪ (−2; 0).

9


Kvadratické funkce, rovnice, nerovnice Petr Matyáˇs

1

Line´ arn´ı funkce

Funkce je matematick´ y pˇredpis, kter´ y kaˇzdému reálnému ˇc´ıslu pˇriˇrad´ı maximálnˇe jedno jiné ˇc´ıslo. Jak jiˇz tato definice ˇr´ıká, nˇekdy pˇriˇradit nemus´ı. Pˇr´ıkladem funkce, která nepˇriˇrad´ı ˇc´ıslo kaˇzdému ˇc´ıslu, je funkce f (x) = x1 . Ta nepˇriˇrad´ı ˇza´dné ˇc´ıslo nule, nebot’ dˇelit nulou nelze. Kvadratická funkce je pak taková funkce, jej´ıˇz pˇredpis se dá reprezentovat obecn´ ym vzorcem f (x) = ax2 + bx + c, kde a, b a c jsou libovolná reálná ˇc´ısla ˇ ısla b a c mohou b´ a a 6 0. C´ yt nulová. Zde uvád´ım nˇekolik pˇr´ıklad˚ u: • f (x) = x2 (zde je a = 1, b = 0 a c = 0), • f (x) = −x2 + 1 (zde je a = −1, b = 0 a c = 1), • f (x) = 3x2 − 2x (zde je a = 3, b = −2 a c = 0), • f (x) = 4x2 + 3x − 1 (zde je a = 4, b = 3 a c = −1). Protoˇze v pˇredpisu kvadratické funkce se objevuj´ı pouze operace sˇc´ıtán´ı a násoben´ı a druhá mocnina, je tedy kaˇzdému ˇc´ıslu jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazeno jiné. Nejˇcastˇejˇs´ı u ´lohou t´ ykaj´ıc´ı se kvadratick´ ych funkc´ı je nakreslit jej´ı graf. Grafem kvadratické funkce je parabola, coˇz je kˇrivka, která se bez pˇr´ısluˇsné ˇsablony nedá pˇresnˇe zakreslit. Jej´ı graf budeme pouze ˇcrtat. Jak parabola vypadá, si m˚ uˇzete prohlédnout na prvn´ım obrázku:

1


y 9

6

B

3

−9

−6

−3

3

6

9

x

−3 A −6

−9

Na obrázku jsou paraboly dvˇe, modrá tvoˇr´ı graf funkce f (x) = x2 a zelená pak graf funkce g(x) = −x2 . Na modré parabole jsou vyznaˇceny body [−3, 9], [0, 0] a [3, 9], které prokazatelnˇe mus´ı na grafu leˇzet, nebot’ (−3)2 = 9, 02 = 0 a 32 = 9. Bod, kter´ y je na grafu funkce f (x) nejn´ıˇze a na grafu funkce g(x) nejv´ yˇse, se naz´ yvá vrchol. Parabola se vˇzdy od vrcholu rozˇsiˇruje smˇerem dol˚ u, nebo smˇerem nahoru. Nahoru se rozˇsiˇruje v pˇr´ıpadˇe, kdy je koeficient a z obecného pˇredpisu kladn´ y 2 (to je ˇc´ıslo u x ), dol˚ u pak, je-li a záporn´ y. Absolutn´ı hodnota koeficientu a nám udává, jak rychle se bude parabola rozev´ırat. Pod´ıvejme se na druh´ y graf, kde jsou uvedeny grafy funkc´ı f (x) = 1 2 2 x (modr´ y graf), g(x) = x (zelen´ y graf) a h(x) = 2x2 (ˇcerven´ y graf). 2 Vid´ıme, ˇze vˇsechny tˇri grafy procház´ı bodem [0, 0], prvn´ı graf dále body [±2, 2] a [±4, 8], druh´ y graf body [±2, 4] a [±3, 9] a tˇret´ı pak body [±1, 2] a [±2, 8].

2


y 9

6

B

3

−9

−6

−3

3

6

9

x

−3 A −6

−9

Parabola reprezentuj´ıc´ı graf kvadratické funkce vˇsak nemus´ı m´ıt vrchol v poˇca´tku kartézské soustavy souˇradnic (bod [0, 0]), ale v kterémkoliv jiném bodˇe. Souˇradnice vrcholu se daj´ı snadno urˇcit pomoc´ı vzoreˇcku: b b2 V = − ,c − . 2a 4a Nyn´ı zb´ yvá urˇcit, zda se parabola bude otev´ırat dol˚ u, nebo nahoru. Pokud je a kladné, otev´ırá se od vrcholu nahoru, pokud záporné, otev´ırá se dol˚ u. Posledn´ım u ´kolem je zjistit rychlost rozev´ırán´ı. Protoˇze chceme graf pouze naˇcrtnout, staˇc´ı nám zakreslit vrchol a dva body, které maj´ı x-ovou souˇradnici o 1 a 2 menˇs´ı a body, které ji maj´ı o 1 a 2 vyˇsˇs´ı, a tˇemito body proloˇzit graf. Pojd’me si ukázat pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad: Naˇcrtnˇete graf funkce f (x) = x2 − 2x − 3. Nejprve najdeme souˇradnice vrcholu paraboly. K tomu nám slouˇz´ı v´ yˇse uveden´ y vzoreˇcek: b2 −2 (−2)2 b = − , −3 − = [1, −4]. V = − ,c − 2a 4a 2·1 4·1 Dále najdeme body A a B, které budou m´ıt o 1 a 2 niˇzˇs´ı x souˇradnici a body C a D, které budou m´ıt x=ovou o 1 a 2 vyˇsˇs´ı. x-ové souˇradnice bod˚ u jsou tedy jasné, y-ové se spoˇc´ıtaj´ı dosazen´ım x-ov´ ych do pˇredpisu funkce (tedy do v´ yrazu x2 − 2x − 3). Body budou m´ıt tedy tyto souˇradnice: A = [−1, (−1)2 − 2 · (−1) − 3] = [−1, 0] B = [0], 02 − 2 · 0 − 3] = [0, −3] 3


C = [2, 22 − 2 · 2 − 3] = [2, −3] D = [3, 32 − 2 · 3 − 3] = [3, 0] Tyto body zaneseme do kartézské soustavy souˇradnic a proloˇz´ıme jimi kˇrivku. Náˇcrtek grafu je hotov. V´ ysledek ukazuje tˇret´ı graf: y 9

6

3

−9

−6

−3

A

3D

B

−3

6

9

x

C

V −6

−9

2

Kvadratick´ e rovnice

Kvadratická rovnice má tvar ax2 + bx + c = 0. Kvadratické rovnice lze ˇreˇseit pomoc´ı diskriminantu a nˇekteré i pomoc´ı jednoduˇsˇs´ıch Vietov´ ych vzorc˚ u.

2.1

ˇ sen´ı kvadratick´ Reˇ ych rovnic pomoc´ı diskriminantu

Prvn´ı moˇznost ˇreˇsen´ı takovéto rovnice (ˇcasto se pro tato ˇreˇsen´ı pouˇz´ıvá v´ yraz koˇren) je zaloˇzená na vyuˇzit´ı tzv. diskriminantu. Ten vypoˇc´ıtáme pomoc´ı vzoreˇcku D = b2 − 4ac. Vlastn´ı koˇreny se pak vypoˇc´ıtaj´ı pomoc´ı vzoreˇcku: √ −b ± D x1,2 = . 2a Z tˇechto vzoreˇck˚ u vypl´ yvá, ˇze rovnice nem˚ uˇze m´ıt ˇza´dné ˇreˇsen´ı, pokud diskriminant vyjde záporn´ y, nebot’ odmocnina ze záporného ˇc´ısla nen´ı v oboru reáln´ ych ˇc´ısel definována. Pokud je nulov´ y, rovnice má jedno ˇreˇsen´ı, pokud je kladn´ y, rovnice má dvˇe ˇreˇsen´ı. Pojd’me si 4


Pˇ r´ıklad: Vyˇreˇste rovnici x2 − 2x − 3. ˇ sen´ı spoˇc´ıvá v pouhém dosazen´ı do vzoreˇck˚ Reˇ u: D = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16 √ √ 2 ± 16 2±4 −b ± D = = x1,2 = 2a 2·1 2 x1 = 3, x2 = −1 Pˇ r´ıklad: Vyˇreˇste rovnici 2x2 + x + 3. Opˇet spoˇc´ıtáme diskriminant: D = b2 − 4ac = (1)2 − 4 · 2 · 3 = 1 − 24 = −23 Diskriminant je záporn´ y, tedy rovnice nemá ˇreˇsen´ı.

2.2

ˇ sen´ı kvadratick´ Reˇ ych rovnic pomoc´ı Vietov´ ych vzorc˚ u

Vietovy vzorce se daj´ı pouˇz´ıt pouze u nˇekter´ ych kvadratick´ ych rovnic takov´ ych, ˇze a = 1. Urˇcuj´ı vztahy mezi koˇreny a koeficienty b a c: x1 + x2 = −b x1 · x2 = c Pomoc´ı Vietov´ ych vzorc˚ u m˚ uˇzeme ˇreˇsit rovnici ve dvou kroc´ıch: nejprve si najdeme vˇsechny dvojice cel´ ych ˇc´ısel, jejichˇz souˇcin je roven koeficientu c, pak z tˇechto dvojic vybereme tu, kde souˇcet ˇc´ısel je roven hodnotˇe −b. Tato dvˇe ˇc´ısla jsou pak ˇreˇsen´ımi této rovnice. Pˇ r´ıklad: S vyuˇzit´ım Vietov´ ych vzorc˚ u vyˇreˇste rovnici x2 + 2x − 24 = 0. Hledáme tedy nejprve takové dvojice cel´ ych ˇc´ısel, jejichˇz souˇcin je roven −24: 24 = −1·24 = 1·(−24) = −2·12 = 2·(−12) = −3·8 = 3·(−8) = −4·6 = 4·(−6).

5


Nyn´ı pojd’me provˇeˇrit vˇsechny dvojice. Aby daná dvojice obsahovala ˇreˇsen´ı rovnice, musel by souˇcet jej´ıch ˇclen˚ u b´ yt roven −2: −1 + 24 = 23 6= −2 1 − 24 = −23 6= −2 −2 + 12 = 10 6= −2 2 − 12 = −10 6= −2 −3 + 8 = 5 6= −2 3 − 8 = −5 6= −2 −4 + 6 = 2 6= −2 4 − 6 = −2 Rovnice má tedy ˇreˇsen´ı x1 = 4 a x2 = −6.

3

Vztah kvadratick´ ych funkc´ı a kvadratick´ ych rovnic

Vu ´vodu tohoto textu jsme si kreslili graf funkce f (x) = x2 −2x−3. Dále jsme pak hledali ˇreˇsen´ı rovnice x2 −2x−3 = 0. Vˇsimnˇeme si, ˇze levá strana rovnice odpov´ıdá pˇredpisu funkce f (x). Pˇripomeˇ nme si, ˇze rovnice mˇela ˇreˇsen´ı −1 a 3. Pokud se pod´ıváte na graf funkce f (x), nelze si nevˇsimnout, ˇze právˇe v bodech, které maj´ı x-ové souˇradnice −1 a 3, graf funkce prot´ıná osu x. y-ová souˇradnice je nulová, odpov´ıdá to funkˇcn´ı hodnotˇe funkce f (x) a zároveˇ n to plyne z toho, ˇze se jedná o ˇreˇsen´ı rovnice, kde pravá strana je nulová.

4

Kvadratick´ e nerovnice

Posledn´ı ˇca´st tohoto textu se t´ yká nerovnic. Kvadratická nerovnice má tedy tvar ax2 + bx + c ⋄ 0 , kde se m´ısto symbolu ⋄ vyskytuj´ı znaménka 6=, <, >, ≤, nebo ≥. Jinak se s nimi pracuje u ´plnˇe stejnˇe. V prvn´ı ˇradˇe najdeme ˇc´ısla, pro která levá strana má nulovou hodnotu (tato ˇc´ısla oznaˇcme x1 a x2 ), tedy ˇreˇs´ıme rovnici, kdy levá strana je rovna nule. To um´ıme pomoc´ı diskriminantu. Nyn´ı je tˇreba urˇcit, zda tyto krajn´ı

6


body patˇr´ı do mnoˇziny ˇreˇsen´ı (pokud nerovnice obsahuje znaménko ≥ nebo ≤, pak ano, v ostatn´ıch pˇr´ıpadech ne). Dále je tˇreba se zamyslet, která ˇca´st grafu se vyskytuje pod osou x a ˇ ısla, která nám vyjdou jako ˇreˇsen´ı rovnice odpov´ıdaj´ı x-ov´ která nad n´ı. C´ ym souˇradnic´ım bod˚ u, v nichˇz parabola reprezentuj´ıc´ı graf dané funkce prot´ıná osu x. Pokud je koeficient a kladn´ y, pak u ´sek mezi obˇema tˇemito body leˇz´ı pod osou x a krajn´ı u ´seky nad n´ı. Je-li a záporné, pak u ´sek mezi x1 a x2 leˇz´ı nad osou x a krajn´ı u ´seky pod osou x. Pˇ r´ıklad: Vyˇreˇste následuj´ıc´ı nerovnici: 3x2 + 4x − 4 > 0. Nejprve zjist´ıme koˇreny pˇridruˇzené rovnice 3x2 + 4x − 4 = 0. Diskriminant je roven 64. Koˇreny pak jsou tyto: x1 = −2 a x2 = 32 . Protoˇze je a = 3, tedy kladné ˇc´ıslo, je funkˇcn´ı hodnota vyˇsˇs´ı pro ˇc´ısla menˇs´ı neˇz x1 a pro ˇc´ısla vˇetˇs´ı neˇz x2 . Protoˇze je v nerovnici ostrá nerovnost, krajn´ı body nejsou ˇreˇsen´ımi. V´ ysledkem je tedy mnoˇzina (∞, −2) ∪ ( 32 , ∞). Na závˇer si jeˇstˇe ukáˇzeme mezn´ı pˇr´ıpad nerovnice, kdy graf funkce osu x neprot´ıná. Pˇ r´ıklad: Vyˇreˇste následuj´ıc´ı nerovnici: x2 + x + 3 ≥ 0. Nejprve zjist´ıme koˇreny pˇridruˇzené rovnice x2 + x + 3 = 0. Diskriminant je −11. Tato rovnice nemá ˇreˇsen´ı. Z toho plyne, ˇze graf funkce neprot´ıná osu x. Mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı dané nerovnice tedy m˚ uˇze b´ yt bud’ prázdná nebo rovná mnoˇzinˇe reáln´ ych ˇc´ısel. Protoˇze je ale a = 1, tedy jde o kladné ˇc´ıslo, parabola se rozev´ırá smˇerem nahoru, cel´ y graf je tedy nad osou x a proto mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı této nerovnice je rovna R.

7


Lineárn´ı funkce, rovnice, nerovnice a jejich soustavy Petr Matyáˇs

1


Funkce je matematick´ y pˇredpis, kter´ y kaˇzdému reálnému ˇc´ıslu pˇriˇrad´ı maximálnˇe jedno jiné ˇc´ıslo. Jak jiˇz tato definice ˇr´ıká, nˇekdy pˇriˇradit nemus´ı. Pˇr´ıkladem funkce, která nepˇriˇrad´ı ˇc´ıslo kaˇzdému ˇc´ıslu, je funkce f (x) = x1 . Ta nepˇriˇrad´ı ˇza´dné ˇc´ıslo nule, nebot’ dˇelit nulou nelze. Lineárn´ı funkce je pak taková funkce, jej´ıˇz pˇredpis se dá reprezentovat obecn´ ym vzorcem f (x) = ax + b, kde a a b jsou libovolná reálná ˇc´ısla a a 6 0. ˇ ıslo b m˚ C´ uˇze b´ yt nulové. Zde uvád´ım nˇekolik pˇr´ıklad˚ u: • f (x) = 3x − 2 (zde je a = 3 a b = −2), • f (x) = x −

3 2

(zde je a = 1 a b = − 23 ),

• f (x) = 7x (zde je a = 7 a b = 0), • f (x) = 12 x − 3 (zde je a =

1 2

a b = −3).

Protoˇze v pˇredpisu lineárn´ı funkce se objevuj´ı pouze operace sˇc´ıtán´ı a násoben´ı, je tedy kaˇzdému ˇc´ıslu jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazeno jiné. Nejˇcastˇejˇs´ı u ´lohou t´ ykaj´ıc´ı se lineárn´ıch funkc´ı je nakreslit jej´ı graf. Jak jiˇz název tohoto typu funkc´ı napov´ıdá (linea znamená latinsky linka, pˇr´ımka), je jejich grafy jsou tvoˇreny pˇr´ımkou. Kaˇzdá pˇr´ımka je urˇcena dvˇema body. Kaˇzd´ y bod má x-ovou a y-ovou souˇradnici. Mus´ıme tedy naj´ıt dva body, kter´ ymi pˇr´ımka tvoˇr´ıc´ı graf této funkce procház´ı. Jejich x-ové souˇradnice si zvol´ıme libovolné, y-ové dopoˇc´ıtáme dosazen´ım x-ov´ ych hodnot do pˇredpisu funkce. Pojd’me si to ukázat na pˇr´ıkladu:

1


Pˇ r´ıklad: Nakreslete graf funkce f (x) = 2x − 3. Pˇredpis této funkce odpov´ıdá funkci lineárn´ı (a = 2 a b = −3), tedy jej´ım grafem bude pˇr´ımka. Pˇr´ımka je urˇcena dvˇema body. Tyto body oznaˇc´ıme A = [xa , ya ] a B = [xb , yb ]. Zvol´ıme si dvˇe libovolné x-ové hodnoty, napˇr. xa = −1 a xb = 3. Nyn´ı pojd’me dopoˇc´ıtat y-ové souˇradnice: ya = 2xa − 3 = 2 · (−1) − 3 = −2 − 3 = −5, yb = 2xb − 3 = 2 · 3 − 3 = 6 − 3 = 3. Graf funkce nakresl´ıme tak, ˇze do kartézské soustavy souˇradnic zakresl´ıme oba body (A = [−1, −5] a B = [3, 3]) a tˇemito body proloˇz´ıme pˇr´ımku. y 9

6

B

3

−9

−6

−3

3

6

9

x

−3 A −6

−9

2

Line´ arn´ı rovnice

Rovnice je dvojice matematick´ ych v´ yraz˚ u s neznám´ ymi, které jsou spojeny ˇ sit rovnici znaménkem =. Neznámá v nich m˚ uˇze b´ yt jedna, nebo v´ıce. Reˇ znamená nalézt takovou hodnotu ˇci takové hodnoty, které je moˇzné dosadit za neznámé tak, aby rovnost platila. S rovnic´ı m˚ uˇzeme provádˇet libovolné matematické u ´pravy: sˇc´ıtán´ıá, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı (nenulov´ ym ˇc´ıslem) ˇci dˇelen´ı. Zásadnˇe vˇsak provád´ıme danou operaci s obˇema stranami. Máme-li rovnici s jednou neznámou, snaˇz´ıme se v´ yrazy s promˇennou pomoc´ı v´ yˇse uveden´ ych operac´ı osamostatnit na levé stranˇe, zat´ımco v´ yrazy bez promˇenné na pravé stranˇe:

2


Pˇ r´ıklad: Vyˇreˇste následuj´ıc´ı rovnici: 5x + 2 = 2x − 4. Zaˇcneme tak, ˇze od obou stran odeˇcteme 2x, ˇc´ımˇz dostáváme: 5x + 2 − 2x = 2x − 4 − 2x 3x + 2 = −4. Vid´ıme, ˇze vˇsechny v´ yrazy s promˇennou x se nám dostaly nalevo, tedy vpravo se jiˇz promˇenná x nevyskytuje. Na levé stranˇe nám vˇsak pˇrekáˇz´ı ˇc´ıslo 2. Odeˇcteme jej, a to od levé i od pravé strany (kaˇzdou operaci provád´ıme s obˇema stranami). Dostáváme: 3x + 2 − 2 = −4 − 2 3x = −6. Abychom dostali na levé stranˇe pouze v´ yraz x, mus´ıme ji vydˇelit trojkou. Stejnou hodnotou ale mus´ıme vydˇelit i stranu pravou. Dostáváme: x = −2. Ned´ılnou souˇca´st´ı kaˇzdého ˇreˇsen´ı rovnice je zkouˇska. V´ yslednou hodnotu nejprve dosad´ıme za x na levé stranˇe rovnice a vypoˇc´ıtáme v´ ysledek, dále dosad´ıme za x na pravé stranˇe rovnice a v´ ysledné hodnoty porovnáme. Jsouli stejné, máme správn´ y v´ ysledek, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe jsme nˇekde udˇelali chybu. Pˇ r´ıklad: Proved’te zkouˇsku u rovnice 5x + 2 = 2x − 4, v´ıte-li, ˇze nám vyˇslo x = −2. Nejprve si vezmeme levou stranu rovnice: L = 5x + 2 = 5 · (−2) + 2 = −10 + 2 = −8. Nyn´ı vezmeme stranu pravou: P = 2x − 4 = 2 · (−2) − 4 = −4 − 4 = −8. Lineárn´ı rovnice lze také ˇreˇsit graficky. Pod´ıváme-li se na rovnici z minulého pˇr´ıkladu, vid´ıme, ˇze jej´ı levá i pravá strana odpov´ıdá pˇredpisu lineárn´ı funkce. Hledáme tedy takovou hodnotu x, kdy obˇe funkce budou m´ıt stejnou funkˇcn´ı hodnotu y. Tedy hledáme takov´ y bod A = [x, y], kter´ ym procház´ı grafy obou funkc´ı.

3


ˇ ste graficky následuj´ıc´ı lineárn´ı rovnici: 5x + 2 = 2x − 4. Pˇ r´ıklad: Reˇ Zaˇcneme tak, ˇze si nakresl´ıme grafy funkc´ı f (x) = 5x + 2 (ta odpov´ıdá levé stranˇe rovnice) a g(x) = 2x − 4 (odpov´ıdá pravé stranˇe). Graf funkce f (x) procház´ı body A = [−1, −3] a B = [1, 7]. x-ové souˇradnice jsme si zvolili libovolnˇe, y-ové dopoˇc´ıtali dosazen´ım x-ov´ ych do pˇredpisu funkce. Graf této funkce v obrázku zobraz´ıme modˇre. Graf funkce g(x) procház´ı body C = [−1, −6] a D = [3, 2]. x-ové souˇradnice jsme si opˇet zvolili libovolnˇe a y-ové dopoˇc´ıtali dosazen´ım x-ov´ ych do pˇredpisu funkce. Graf této funkce v obrázku zobraz´ıme zelenˇe. y 9 B 6

3 D

−9

−6

−3

3

A

6

9

x

−3

−6 C

−9

Po zakreslen´ı do obrázku vid´ıme, ˇze grafy funkc´ı se prot´ınaj´ı v bodˇe [−2, −8]. x-ová souˇradnice odpov´ıdá ˇreˇsen´ı naˇs´ı rovnice, y-ová pak v´ ysledku zkouˇsky. M˚ uˇzete porovnat s pˇredchoz´ım pˇr´ıkladem.

2.1

Speci´ aln´ı pˇ r´ıpady line´ arn´ıch rovnic

Zde uvedená rovnice mˇela právˇe jedno ˇreˇsen´ı. A tak to bude u vˇetˇsiny rovnic, se kter´ ymi se setkáte. Mohou vˇsak nastat dalˇs´ı dva pˇr´ıpady, a to ˇze rovnice má bud’ nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı nebo nemá ˇza´dné. Pojd’me si to ukázat na pˇr´ıkladech. ˇ ste rovnici 3x + 2 = 3x − 1. Pˇ r´ıklad: Reˇ Tuto rovnici zaˇcneme ˇreˇsit stejnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. Zbav´ıme se tedy v´ yrazu 3x na pravé stranˇe. Dostáváme: 3x + 2 − 3x = 3x − 1 − 3x 4


2 = −1 Toto je zcela jasnˇe nesmyslná rovnost, tedy rovnice nemá ˇreˇsen´ı. ˇ ste rovnici 2x + 3 = (5x + 1) − (3x − 2). Pˇ r´ıklad: Reˇ Nejprve je tˇreba si pravou stranu upravit: 2x + 3 = (5x + 1) − (3x − 2) 2x + 3 = 5x + 1 − 3x + 2 2x + 3 = 2x + 3 Po odeˇcten´ı 2x od levé i pravé strany dostáváme: 2x + 3 − 2x = 2x + 3 − 2x 3=3 Toto je zcela vˇzdy pravdivá rovnost. Plat´ı pro kaˇzdou hodnotu x, proto má ˇ sen´ım je libovolné x. nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Reˇ

3

ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic

Lineárn´ı rovnice, z nichˇz se soustava skládá, zpravidla obsahuj´ı v´ıce neznám´ ych. Existuj´ı dvˇe nejˇcastˇeji pouˇz´ıvané metody ˇreˇsen´ı tˇechto soustav. Obˇe jsou zaloˇzené na podobném principu: doˇcasnˇe se jedné promˇenné zbavit a následnˇe vypoˇc´ıtat druhou. Prvn´ı se pak v obou pˇr´ıpadech dopoˇc´ıtá z libovolné p˚ uvodn´ı rovnice. Ned´ılnou souˇca´st´ı ˇreˇsen´ı soustav obˇema metodami je zkouˇska. Nyn´ı si pojd’me pˇredstavit obˇe metody:

3.1

Metoda sˇ c´ıtac´ı

´ celem této metody je seˇc´ıst obˇe rovnice tak, aby nám jedna neznámá vyUˇ padla. V´ ysledkem tedy bude pouze jedna rovnice o jedné neznámé. Nˇekdy vˇsak seˇcten´ım obou rovnic ˇza´dná neznámá nevypadne, pak je tˇreba jednu nebo obˇe rovnice vynásobit nˇejakou konstantou, aby byly koeficienty u obou neznám´ ych stejné, aˇz na znaménko, které mus´ı b´ yt opaˇcné. Pojd’me si ukázat oba pˇr´ıpady na konkrétn´ıch pˇr´ıkladech.

5


ˇ ste soustavu Soustava line´ arn´ıch rovnic, kde staˇ c´ı rovnice seˇ c´ıst: Reˇ lineárn´ıch rovnic: 2x + y = −1 3x − y = −9 Po seˇcten´ı obou rovnic dostáváme jednu: 2x + y + 3x − y = −1 − 9 5x = −10 x = −2 Pouh´ ym seˇcten´ım se nám podaˇrilo eliminovat promˇennou y a vznikla nám jedna rovnice s jednou neznámou, kterou jiˇz um´ıme vyˇreˇsit. V´ ysledkem je ˇc´ıslo −2. ˇ ste soustavu Soustava line´ arn´ıch rovnic, kde staˇ c´ı rovnice seˇ c´ıst: Reˇ lineárn´ıch rovnic: 2x + y = −1 3x − y = −9 Po seˇcten´ı obou rovnic dostáváme jednu, a tu ihned vyˇreˇs´ıme: 2x + y + 3x − y = −1 − 9 5x = −10 x = −2 Známe tedy hodnotu jedné neznámé, a to x. Nyn´ı vypoˇctenou hodnotu dosad´ıme libovolné rovnice (tˇreba hned do prvn´ı) a vypoˇc´ıtáme hodnotu promˇenné y: 2x + y = −1 2 · (−2) + y = −1 −4 + y = 1 y=3 Nyn´ı máme hodnoty obou neznám´ ych. Zb´ yvá nám tedy pouze provést zkouˇsku. Tu provedeme tak, ˇze z´ıskané hodnoty dosad´ıme do obou rovnic: L1 = 2x + y = 2 · (−2) + 3 = −4 + 3 = −1 P1 = −1 L2 − = 3x − y = 3 · (−2) − 3 = −6 − 3 = −9 P2 = −9 Protoˇze plat´ı L1 = P1 a L2 = P2 , v´ıme, ˇze naˇse ˇreˇsen´ı je správné. 6


ˇ ste souSoustava line´ arn´ıch rovnic, kde nestaˇ c´ı rovnice seˇ c´ıst: Reˇ stavu lineárn´ıch rovnic: 4x + 3y = 2 6x + 5y = 4 Po seˇcten´ı obou rovnic dostáváme jednu: 10x − 2y = 6 V n´ı se vˇsak vyskytuj´ı obˇe neznámé, tedy nelze zjistit jejich hodnoty. Mus´ıme postupovat maliˇcko jinak. V prvn´ı ˇradˇe je tˇreba, aby u jedné z neznám´ ych byly stejné koeficienty, pouze s odliˇsn´ ym znaménkem. To dostaneme tak, pokud prvn´ı rovnici vynásob´ıme 3 a druhou −2. 12x + 9y = 6 −12x − 10y = −8 Nyn´ı jiˇz pokraˇcujeme stejnˇe jako u minulého pˇr´ıkladu. Rovnice seˇcteme a v´ yrazy s promˇenn´ ymi pˇrevedeme na levou stranu a bez promˇenn´ ych na pravou: −y = −2 y=2 Dále dosad´ıme napˇr. do prvn´ı rovnice (m˚ uˇzeme ale samozˇrejmˇe i do druhé, je to jedno, dostaneme stejn´ y v´ ysledek) a dostáváme: 4x + 3y = 2 4x + 3 · 2 = 2 4x + 6 = 2 4x = −4 x = −1 Opˇet mus´ıme provést zkouˇsku: L1 = 4x + 3y = 4 · (−1) + 3 · 2 = −4 + 6 = 2 P1 = 2 L2 = 6x + 5y = 6 · (−1) + 5 · 2 = −6 + 10 = 4 P2 = 4 Protoˇze L1 = P1 a L2 = P2 , v´ıme, ˇze jsme soustavu vyˇreˇsili správnˇe. 7


3.2

Metoda dosazovac´ı

Druhou moˇznost´ı, jak soustavu lineárn´ıch rovnic ˇreˇsit, je metoda dosazovac´ı. Jej´ı princip spoˇc´ıvá v tom, ˇze si z jedné rovnice vyjádˇr´ım jednu promˇennou, tedy rovnic pˇrep´ıˇsu do tvaru, kdy na levé stranˇe bude samotná promˇenná a na stranˇe druhé v´ yraz s druhou promˇennou. T´ımto v´ yrazem pak nahrad´ım ’ v´ yskyt oné promˇenné v druhé rovnici. Pojd me si to ukázat na pˇr´ıkladu: ˇ ste soustavu lineárn´ıch rovnic pomoc´ı dosazovac´ı metody: Pˇ r´ıklad: Reˇ 2x + y = −1 3x − y = −9 Nejprve si z prvn´ı rovnice soustavy vyjádˇr´ıme promˇenou y. Na levé stranˇe nám pˇrekáˇz´ı v´ yraz 2x, tak ho od obou stran odeˇcteme. Dostáváme: 2x + y − 2x = −1 − 2x y = −1 − 2x Tento v´ yraz dosad´ıme za promˇennou y do druhé rovnice (nikdy nedsm´ıme do té samé, z n´ıˇz jsme si ji vyjádˇrili): 3x − y = −9 3x − (−1 − 2x) = −9 3x + 1 + 2x = −9 5x + 1 = −9 5x = −10 x = −2 Dále jiˇz pokraˇcujeme zcela stejnˇe jako u pˇredchoz´ı metody.

3.3

Speci´ aln´ı pˇ r´ıpady soustav line´ arn´ıch rovnic

Stejnˇe jako jedna lineárn´ı rovnice i soustava lineárn´ıch rovnic m˚ uˇze m´ıt právˇe jedno ˇreˇsen´ı, ale také nemus´ı m´ıt ˇza´dné nebo jich m˚ uˇze m´ıt nekoneˇcnˇe mnoho (jiná moˇznost neexistuje, soustava lineárn´ıch rovnic nikdy nem˚ uˇze m´ıt právˇe dvˇe ˇreˇsen´ı). Pokud má vˇsak nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, neznamená to, ˇze za x a y mohu dosadit libovolná ˇc´ısla. Mezi takov´ ymi ˇc´ısly existuje jistá závislost, kterou m˚ uˇzeme podchytit pomoc´ı parametr˚ u. Pojd’me se pod´ıvat na pˇr´ıklad: 8


ˇ ste soustavu lineárn´ıch rovnic: Pˇ r´ıklad: Reˇ 2x − y = 3 −4x + 2y = −6 Po vynásoben´ı prvn´ı rovnice dvˇema a seˇcten´ı dostáváme rovnici: 0=0 , tedy v´ıme, ˇze máme nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Jak jiˇz bylo uvedeno v´ yˇse, nen´ı moˇzné za x a y dosadit libovolná ˇc´ısla tak, aby obˇe rovnice platily. Pokud si za x dosad´ıme 1 a za y 2, dostáváme 2 · 1 = 2 a to se rozhodnˇe nerovná 3. ˇ sen´ı si tedy m˚ Reˇ uˇzeme vyjádˇrit parametricky. Za promˇennou y si tedy zvol´ıme parametr t. Plat´ı tedy y = t. Tento v´ yraz pak dosad´ıme do libovolné rovnice a vyjádˇr´ıme si z toho promˇennou x. 2x − t = 3 2x = 3 + t 3+t x= 2 Chceme-li z´ıskat konkrétn´ı ˇreˇsen´ı, m˚ uˇzeme za t zvolit libovolná ˇc´ısla. Pro t = 1 dostáváme: 3+1 4 3+t = = =2 x=x= 2 2 2 y=1 Pro t = −1 dostáváme: x=x=

3+t 3 + (−1) 2 = = =1 2 2 2 y = −1

A takto bychom mohli vypisovat dalˇs´ı a dalˇs´ı ˇreˇsen´ı a nikdy bychom neskonˇcili. Proto je dobré vyjádˇrit ˇreˇsen´ı pomoc´ı parametru t. ˇ ste soustavu lineárn´ıch rovnic: Pˇ r´ıklad: Reˇ 3x − 2y = 2 6x − 4y = 5 Zaˇcneme tak, ˇze si prvn´ı rovnici vynásob´ıme −2. Z´ıskáváme soustavu: −6x + 4y = −4 6x − 4y = 5 Po seˇcten´ı dostáváme nám znám´ y pˇr´ıpad 0 = 1, coˇz je neplatná rovnost. Soustava tedy nemá ˇreˇsen´ı. 9


4

Soustavy tˇ r´ı rovnic o tˇ rech nezn´ am´ ych

Jen nepatrnˇe sloˇzitˇejˇs´ı je postup ˇreˇsen´ı soustavy tˇr´ı rovnic o tˇrech neznám´ ych. Tuto soustavu pˇrevedeme opˇet pomoc´ı sˇc´ıtac´ı nebo dosazovac´ı metody na soustavu dvou rovnic o dvou neznám´ ych. Pojd’me si to pˇredvést na pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklad: Pomoc´ı sˇc´ıtac´ı metody vyˇreˇste následuj´ıc´ı soustavu lineárn´ıch rovnic: 3x + 2y − 2z = −3 x + 4y + 2z = 3 2x + 6y + 3z = 6 Z této soustavy mus´ıme z´ıskat dvˇe rovnice, které budou obsahovat pouze dvˇe neznámé. Zkus´ıme si odstranit neznámou x. Protoˇze máme vyuˇz´ıt sˇc´ıtac´ı metodu, vynásob´ıme si prvn´ı rovnici −3 a druhou op´ıˇseme. Následnˇe obˇe seˇcteme: 3x + 2y − 2z = −3 −3x − 12y − 6z = −9 −10y − 8z = −12 A máme prvn´ı rovnici bez promˇenné x. Nyn´ı eliminujeme x z druhé a tˇret´ı rovnice. Druhou rovnici si vynásob´ıme −2 a dtˇret´ı op´ıˇseme. Následnˇe je seˇcteme: −2x − 8y − 4z = −6 2x + 6y + 3z = 6 −2y − z = 0 Nyn´ı tedy ˇreˇs´ıme soustavu dvou lineárn´ıch rovnic o dvou neznám´ ych: −10y − 8z = −12 −2y − z = 0 To uˇz um´ıme. Z této soustavy bychom dostali hodnoty neznám´ ych y a z. Hodnotu neznámé x bychom dostali po dosazen´ı znám´ ych hodnot ostatn´ıch ˇ neznám´ ych do prvn´ı rovnice zadané soustavy. Ctenáˇri si jistˇe s ˇreˇsen´ım této soustavy porad´ı sami. Pro kontrolu uvád´ıme, ˇze ˇreˇsen´ı je x = 3, y = −2 a 4. Nyn´ı si jeˇstˇe ukáˇzeme pˇr´ıklad soustavy tˇr´ı lineárn´ıch rovnic o tˇrech neznám´ ych, která má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı.

10


Pˇ r´ıklad: Pomoc´ı sˇc´ıtac´ı metody vyˇreˇste následuj´ıc´ı soustavu lineárn´ıch rovnic: x + 3y − 2z = 10 2x + 3y − 4z = 8 −4x − 3y + 8z = −4 Nejprve prvn´ı rovnici vynásob´ıme −2 a pˇriˇcteme k n´ı rovnici druhou, ˇc´ımˇz dostaneme: −3y = −12 Nyn´ı prvn´ı rovnici vynásob´ıme 4 a pˇriˇcteme k n´ı rovnici tˇret´ı. Dostaneme: 9y = 36 Z obou rovnic plyne, ˇze y = 4. Za y dosad´ıme do libovoln´ ych dvou rovnic (napˇr. prvn´ı a druhé) a ˇreˇs´ıme soustavu dvou rovnic o dvou neznám´ ych: x + 12 − 2z = 10 2x + 12 − 4z = 8 Po u ´pravˇe dostáváme: x − 2z = −2 2x − 4z = −4 Po vynásoben´ı prvn´ı rovnice −2 a seˇcten´ı dostáváme rovnici 0 = 0, tedy soustava má opravdu nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Za z si dosad´ıme parametr t. To dosad´ıme do prvn´ı rovnice, kterou následnˇe uprav´ıme: x − 2t = −2 x = −2 + 2t ˇ sen´ı je tedy: Reˇ x = −2 + t y=4 z=t

11


Vlastnosti funkc´ı Petr Matyáˇs

1

Funkce

Funkce f (x) je matematick´ y pˇredpis, kter´ y kaˇzdému reálnému ˇc´ıslu x pˇriˇrad´ı maximálnˇe jedno jiné ˇc´ıslo y. Jak jiˇz tato definice ˇr´ıká, nˇekdy pˇriˇradit nemus´ı. Pˇr´ıkladem funkce, která nepˇriˇrad´ı ˇc´ıslo kaˇzdému ˇc´ıslu, je funkce f (x) = x1 . Ta nepˇriˇrad´ı ˇza´dné ˇc´ıslo nule, nebot’ dˇelit nulou nelze. Neformálnˇe ˇreˇceno je pˇredpis funkce jak´ ysi postup, jak na základˇe zadané hodnoty x vypoˇc´ıtat hodnotu y, plat´ı, ˇze y = f (x). Zde uvád´ıme nˇekolik pˇr´ıklad˚ u funkc´ı: • f (x) = 7, • f (x) = 3x2 − 2x, √ • f (x) = x + 1,

2

• f (x) =

3x , 2

• f (x) =

1 x

+ 1.

Definice pojm˚ u

S teori´ı funkc´ı se váˇze mnoho pojm˚ u, které je tˇreba zadefinovat. Kaˇzd´ y pojem zadefinujeme formálnˇe, ale zároveˇ n se pokus´ıme lidsky vysvˇetlit, co vlastnˇe ona strohá definice ˇr´ıká. Definice: Graf funkce f (x) je mnoˇzina bod˚ u A = [Ax , Ay ] takov´ ych, ˇze plat´ı rovnost Ay = f (Ax ). Protoˇze kaˇzdá funkce, se kter´ ymi se budeme v matematice na této ˇskole setkávat, je definovaná pro nekoneˇcnˇe mnoho ˇc´ısel, bude graf obsahovat nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ u. Bude se tedy jednat jednu ˇci v´ıce pˇr´ımek, polopˇr´ımek, u ´seˇcek ˇci kˇrivek zakreslen´ ych do kartézské soustavy souˇradnic. 1


Kaˇzd´ y bod v kartézské soustavˇe souˇradnic je zadán dvˇema souˇradnicemi x-ovou a y-ovou. Chceme-li zakreslit libovoln´ y bod grafu, zvol´ıme si x-ovou souˇradnici a y-ovou dopoˇc´ıtáme. Pˇ r´ıklad: Naleznˇete souˇradnice alespoˇ n tˇr´ı bodu, které leˇz´ı na grafu funkce f (x) = 3x2 + 2x − 1. Nalezneme body A = [ax , ay ], B = [Bx , By ] a C = [Cx , Cy ], kde si zvol´ıme Ax = −2, Bx = 1 a Cx = 4. y-ové souˇradnice dopoˇc´ıtáme podle pˇredpisu funkce f (x): Ay = 3A2x + 2Ax − 1 = 3 · (−2)2 + 2 · (−2) − 1 = 7 By = 3Bx2 + 2Bx − 1 = 3 · 12 + 2 · 1 − 1 = 4 Cy = 3Cx2 + 2Cx − 1 = 3 · 42 + 2 · 4 − 1 = 55 Nalezené body jsou tedy A = [−2, 7], B = [1, 4] a C = [4, 55]. Postup kreslen´ı grafu formou nanáˇsen´ı jednotliv´ ych bod˚ u je vˇsak v praxi nepouˇziteln´ y, nebot’ tˇechto bod˚ u je nekoneˇcnˇe mnoho. R˚ uzné typy funkc´ı vˇsak maj´ı speciáln´ı typy graf˚ u, které se daj´ı snadno nar´ ysovat ˇci alespoˇ n naˇcrtnout. Napˇr. grafem lineárn´ı funkce je pˇr´ımka, grafem lineárn´ı funkce s absolutn´ı hodnotou je lomená ˇca´ra, grafem kvadratické funkce je parabola, apod. Postup kreslen´ı lineárn´ıch funkc´ı, lineárn´ıch funkc´ı s absolutn´ımi hodnotami a kvadratick´ ych funkc´ı naleznete v dalˇs´ıch materiálech, které jsou souˇca´st´ı tohoto projektu.

3

Definiˇ cn´ı obor a obor hodnot funkce

Jak jiˇz bylo ˇreˇceno v´ yˇse, funkce nˇekter´ ym ˇc´ısl˚ um x pˇriˇrad´ı právˇe jedno ˇc´ıslo ˇ y. C´ısla, pro která je funkce definovaná, tedy kter´ ym druhé ˇc´ıslo pˇriˇrad´ı, se ˇ ıslo, které je jinému pˇriˇrazeno, se naz´ naz´ yvá vzor. C´ yvá obraz. Definiˇ cn´ı obor: Definiˇcn´ım oborem funkce f (x) nazveme mnoˇzinu vˇsech vzor˚ u, pro které je definován nˇejak´ y obraz. Definiˇcn´ı obor funkce f (x) oznaˇc´ıme D(f ). V´ıme, ˇze operace sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı a mocnˇen´ı jsou definovány pro libovolná ˇc´ısla x. Pro operaci dˇelen´ı vˇsak toto neplat´ı. Dobˇre v´ım, ˇze nulou nelze dˇelit. Budeme-li tedy m´ıt funkci f (x) = x1 , ˇc´ıslo 0 nen´ı vzorem pro ˇza´dn´ y obraz, nebot’ v´ yraz f (0) = 10 nen´ı definovan´ y, proto 0 nem˚ uˇze b´ yt prvkem D(f ), tedy D(f ) = R − {0}. Moˇzná si vzpomenete, ˇze odmocˇ novat lze pouze nulu nebo kladné ˇc´ıslo. √ Odmocnina ze záporného ˇc´ısla nen´ı definována. Proto pro funkci f (x) = x mus´ı b´ yt vˇetˇs´ı nebo rovno nule. 2


Toto jsou v tuto chv´ıli jediné funkce, které um´ıme intuitivnˇe pouˇz´ıvat a které maj´ı nˇejaká omezen´ı. Obor hodnot: Oborem hodnot funkce f (x) nazveme mnoˇzinu vˇsech obraz˚ u, k nimˇz existuje vzor. Obor hodnot funkce f (x) znaˇc´ıme H(f ). Oborem hodnot je tedy mnoˇzina vˇsech ˇc´ısel, na která funkce nˇejaké ˇc´ıslo zobraz´ı. U kvadratické funkce f (x) = x2 v´ıme, ˇze v´ ysledkem nikdy nebude záporné ˇc´ıslo (druhá mocnina záporného ˇc´ısla, tedy souˇcin dvou stejn´ ych záporn´ ych + ˇc´ısel, je vˇzdy kladn´ y), proto H(f ) = R U obecné kvadratické funkce f (x) = ax2 + bx + c je obor hodnot dán intervalem hVy , ∞), pokud a > 0, jinak je to interval (−∞, Vy i, kde Vy je y-ová souˇradnice vrcholu paraboly. U funkc´ı s absolutn´ı hodnotou je tˇreba dát pozor na fakt, ˇze absolutn´ı hodnota je vˇzdy kladné ˇc´ıslo. U racionáln´ıch lomen´ ych funkc´ı pak v´ ysledek zlomku nikdy nen´ı nula. Pojd’me si ukázat pár pˇr´ıklad˚ u: Pˇ r´ıklad: Urˇcete D(f ) a H(f ) funkce f (x) = x2 + 2x − 3. Pˇredpis funkce f (x) obsahuje pouze mocninu, souˇcin, souˇcet a rozd´ıl. Tyto operace jsou definovány pro vˇsechny reálná ˇc´ısla, proto zde nemáme ˇza´dné omezen´ı a tedy D(f ) = R. Pro urˇcen´ı oboru hodnot je tˇreba zjistit souˇradnice vrcholu paraboly: b b2 V = − ,c − = [−1, −4]. 2a 4a Protoˇze a je kladné (parabola se rozev´ırá nahoru, tedy vrchol je nejniˇzˇs´ım bodem), plat´ı rovnost H(f ) = h−4, ∞). 3 Pˇ r´ıklad: Urˇcete D(f ) a H(f ) funkce f (x) = x+1 . ˇ Pˇredpis funkce obsahuje zlomek. Citatel tedy nesm´ı b´ yt roven nule. Plat´ı tedy x + 1 6= 0, z ˇcehoˇz plyne, ˇze x 6= −1. Tedy D(f ) = R − {−1}. Protoˇze zlomek nikdy nenab´ yvá hodnoty 0 a pˇredpis kromˇe zlomku nic jiného neobsahuje, plat´ı H(f ) = R − {0}.

Pˇ r´ıklad: Urˇcete D(f ) a H(f ) funkce f (x) = |x − 4| + 5. Pˇredpis funkce obsahuje pouze operace sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı a absolutn´ı hodnoty. Tyto operace nemaj´ı ˇza´dná omezen´ı, tedy D(f ) = R. V´ yraz v absolutn´ı hodnotˇe (bez ohledu na to, co v n´ı je), je vˇzdy vˇetˇs´ı nebo roven nule. My k tomuto v´ yrazu pˇriˇc´ıtáme jeˇstˇe 5. Plat´ı tedy H(f ) = h5, ∞). 3


4

Funkce konstantn´ı, rostouc´ı a klesaj´ıc´ı

Definice: Funkce f (x) je konstantn´ı, právˇe kdyˇz pro vˇsechna x1 , x2 ∈ R plat´ı f (x1 ) = f (x2 ). Pˇredpis konstantn´ı funkce vypadá takto: f (x) = k, kde k je libovolné reálné ˇc´ıslo. Graf je sloˇzen z bod˚ u [x, k], kde x je libovolné reálné ˇc´ıslo a k je pevnˇe daná konstanta z pˇredpisu funkce. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt funkce f (x) = 5. Graf pak obsahuje body [0, 5], [−1, 5], [1, 5], apod. Grafem tedy je pˇr´ımka rovnobˇeˇzná s osou x procházej´ıc´ı bodym [0, 5]. Definice: Funkce f (x) je rostouc´ı, právˇe kdyˇz pro vˇsechna x1 , x2 ∈ R, kde x1 < x2 plat´ı f (x1 ) < f (x2 ). Definice ˇr´ıká, ˇze funkce je rostouc´ı, právˇe kdyˇz plat´ı ˇc´ım vˇetˇs´ı x, t´ım ” vˇetˇs´ı y.“ Graf takové funkce smˇerem zleva doprava stoupá. Definice: Funkce f (x) je klesaj´ıc´ı, právˇe kdyˇz pro vˇsechna x1 , x2 ∈ R, kde x1 < x2 plat´ı f (x1 ) > f (x2 ). Definice ˇr´ıká, ˇze funkce je klesaj´ıc´ı, právˇe kdyˇz plat´ı ˇc´ım vˇetˇs´ı x, t´ım ” menˇs´ı y.“ Graf takové funkce smˇerem zleva doprava klesá. Pˇr´ıklady vˇsech tˇr´ı typ˚ u funkc´ı m˚ uˇzete vidˇet na dalˇs´ıch obrázc´ıch: y 9

6

3

−9

−6

−3

3

6

9

x

V −6

−9

4


y 9

6

3

−9

−6

−3

3

6

9

x

3

6

9

x

−6

−9

y 9

6

3

−9

−6

−3

V −6

−9

Prvn´ı obrázek ukazuje graf funkce f (x) = 3. Je j´ım pˇr´ımka rovnobˇeˇzná s osou x. Funkce je tedy konstantn´ı (graf smˇerem zleva doprava neklesá ani nestoupá). Druh´ y obrázek ukazuje graf funkce f (x) = x3 . Je j´ım kˇrivka, která se smˇerem doprava zvedá. Funkce je tedy rostouc´ı. Tˇret´ı obrázek ukazuje graf funkce f (x) = 2x + 6. Je j´ım pˇr´ımka, která se smˇerem doprava sniˇzuje. Funkce je tedy klesaj´ıc´ı. Jak uˇz to tak b´ yvá, nic nen´ı ˇcernob´ılé. M˚ uˇzeme m´ıt i funkci |x−1|+|x+2|, jej´ıˇz graf ukazuje dalˇs´ı obrázek:

5


y 9

6

3

−9

−6

−3

3

6

9

x

−6

−9

O funkci nem˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze by byla rostouc´ı, klesaj´ıc´ı, ani konstantn´ı. M˚ uˇzeme vˇsak ˇr´ıci, ˇze je klesaj´ıc´ı na intervalu (−∞, −2i, konstantn´ı na intervalu h−2, 1i a rostouc´ı na intervalu h1, ∞).

5

Lich´ a a sud´ a funkce

Definice: Funkce f (x) je lichá, pokud pro kaˇzdé reálné ˇc´ıslo x plat´ı, ˇze f (−x) = −f (x). Tato definice ˇr´ıká, ˇze pokud u libovolného ˇc´ısla zmˇen´ıme znaménko, v´ ysledek bude stejn´ y, aˇz na znaménko, které bude opaˇcné. Zda je funkce lichá, lze jednoduˇse zjistit z grafu. Ten totiˇz u liché funkce mus´ı b´ yt symetrick´ y podle stˇredu kartézské soustavy souˇradnic. Pˇ r´ıklad: Funkce f (x) = x + 1 nen´ı lichá, nebot’ f (3) = 4 a f (−3) = −2. Hodnoty se liˇs´ı nejen ve znaménku. Pˇ r´ıklad: Funkce f (x) = x3 je lichá, nebot’ f (x) = x · x · x a f (−x) = (−x) · (−x) · (−x) = −x · x · x. Hodnoty jsou tedy stejné, aˇz na znaménko, ve kterém se liˇs´ı. Stejnˇe tak je lichá kaˇzdá funkce f (x) = xn , kde n je liché ˇc´ıslo. Dalˇs´ı obrázky ukazuj´ı grafy funkc´ı f (x) = x3 , která je lichá (graf je symetrick´ y podle stˇredu) a g(x) = 2x + 1, která nen´ı lichá. Kam by se graf této funkce zobrazil pˇri stˇredové soumˇernosti podle stˇredu S, ukazuje zelená pˇr´ımka.

6


y 9

6

3

−9

−6

−3

3

6

9

x

3

6

9

x

−6

−9

y 9

6

3

−9

−6

−3

−6

−9

Definice: Funkce f (x) je sudá, pokud pro kaˇzdé reálné ˇc´ıslo x plat´ı, ˇze f (−x) = f (x). Tato definice ˇr´ıká, ˇze pokud u libovolného ˇc´ısla zmˇen´ıme znaménko, v´ ysledek bude vˇzdy stejn´ y, vˇcetnˇe znaménka. Zda je funkce sudá, lze jednoduˇse zjistit z grafu. Ten totiˇz u sudé funkce mus´ı b´ yt symetrick´ y podle osy y. Pˇ r´ıklad: Funkce f (x) = 3x − 1 nen´ı sudá, nebot’ f (1) = 2 a f (−1) = −4. Hodnoty nejsou stejné, tedy se nem˚ uˇze jednat o Pˇ r´ıklad: Funkce f (x) = x2 + 3 je sudá, nebot’ f (x) = x · x + 1 a f (−x) = (−x) · (−x) + 1 = x · x + 1 = f (x) (souˇcin dvou záporn´ ych ˇc´ısel je vˇzdy n kladn´ y). Sudá je kaˇzdá funkce f (x) = x , kde n je sudé ˇc´ıslo. 7


Dalˇs´ı obrázky ukazuj´ı grafy funkc´ı f (x) = x2 , která je sudá (graf je symetrick´ y podle osy y) a g(x) = x2 + 4x + 3, která nen´ı ´sudá. Kam by se graf této funkce zobrazil pˇri osové soumˇernosti podle osy y, ukazuje zelená parabola. Na tomto pˇr´ıkladu je krásnˇe vidˇet, ˇze kvadratická funkce je sudá, pouze kdyˇz má vrchol na ose y, tedy plat´ı, ˇze b = 0. y 9

6

3

−9

−6

−3

3

6

9

x

3

6

9

x

−3

−6

−9

y 9

6

3

−9

−6

−3

−3

−6

−9

Funkce vˇsak nemus´ı b´ yt ani sudá, ani lichá. Napˇr. právˇe x2 + 4x + 3, jej´ıˇz graf je zobrazen na posledn´ım obrázku. Ta nen´ı stˇredovˇe symetrická ani podle stˇredu S, ani osovˇe symetrická podle osy y. Proti tomu funkce f (x) = 0 je sudá i lichá najednou.

8


6

Funkce prost´ a a na“ ”

Definice: Funkce f (x) je prostá, pokud plat´ı formule f (x) = f (y) ⇒ x = y. Definici ˇcteme tak, ˇze funkce je prostá, právˇe kdyˇz z rovnosti funkˇcn´ıch hodnot dvou vzor˚ u plyne rovnost vzor˚ u. Nem˚ uˇze se tedy stát, ˇze by funkce ˇ je funkce prostá, f (x) pˇriˇradila dvˇema r˚ uzn´ ym ˇc´ısl˚ um stejn´ y v´ ysledek. Ze m˚ uˇzeme pˇreˇc´ıst i z jej´ıho grafu: nesm´ı se stát, ˇze by nˇejaká rovnobˇeˇzka s osou x graf prot´ınala alespoˇ n dvakrát. Pˇ r´ıklad: Funkce f (x) = x2 + 3x + 4 nen´ı prostá, nebot’ f (0) = 4 a zároveˇ n f (−3) = 4, tedy pro dvˇe r˚ uzná ˇc´ısla dostáváme stejn´ y v´ ysledek. Pˇ r´ıklad: Funkce f (x) = x − 1 je prostá, nebot’ vzor pro dan´ y obraz dostaneme tak, ˇze k nˇemu pˇriˇcteme jedniˇcku. Pˇriˇcten´ım jedniˇcky ke dvˇema r˚ uzn´ ym ˇc´ısl˚ um nem˚ uˇzeme dostat stejné v´ ysledky. Definice: Funkce f (x) je na“, právˇe kdyˇz H(f ) = R. ” Funkce je tedy prostá, pokud se zobraz´ı na celou mnoˇzinu reáln´ ych ˇc´ısel, tedy pokud pro kaˇzdé reálné ˇc´ıslo nalezneme vzor, kter´ y se na nˇej zobraz´ı. Pˇ r´ıklad: Funkce f (x) = x2 + 3x + 4 nen´ı na“, nebot’ se ˇza´dné ˇc´ıslo nezob” raz´ı na jedniˇcku (rovnobˇeˇzka z osou x procházej´ıc´ı bodem [0, 1] graf funkce neprot´ıná. Na dalˇs´ım obrázku je zelenˇe vyznaˇcen obor hodnot. Je zˇrejmé, ˇze nepokr´ yvá celou mnoˇzinu reáln´ ych ˇc´ısel. Pˇ r´ıklad: Funkce f (x) = x − 1 je na“, pro libovoln´ y obraz y jsme schopni ” naj´ıt takové x, aby f (x) = y. Plat´ı, ˇze x = x + 1, nebot’ f (x) = f (y + 1) = (y + 1) − 1 = y. A protoˇze y je libovolné reálné ˇc´ıslo, um´ıme pro kaˇzd´ y obraz naj´ıt vzor.

7 7.1

Vlastnosti bˇ eˇ zn´ ych funkc´ı Konstantn´ı funkce

Konstantn´ı funkce je dána pˇredpisem f (x) = k, kde k je pevnˇe daná konstanta. Tato funkce pˇriˇrad´ı kaˇzdému x stejné ˇc´ıslo k (je-li k = 6, pak kaˇzdému x pˇriˇrad´ı ˇsestku). Plat´ı tedy D(f ) = R a H = {k}. Funkce je jiˇz dle svého názvu konstatn´ı. Funkce je sudá, protoˇze jej´ı graf je symetrick´ y podle osy y, alternativn´ı zd˚ uvodnˇen´ı je, ˇze pro vˇsechna x plat´ı f (x) = f (x) = k (kaˇzdému ˇc´ıslu – 9


kladnému i zápornému – pˇriˇrad´ı konstantu k). Funkce nen´ı lichá, nebot’ nen´ı symetrická podle stˇredu, napˇr. bod [0, k] se zobraz´ı na bod [0, −k], kter´ y ale neleˇz´ı na grafu funkce. Funkce nen´ı prostá, protoˇze f (1) = k a f (2) = k, tedy dvˇe r˚ uzná ˇc´ısla vrac´ı stejn´ y v´ ysledek, alternativnˇe to lze zd˚ uvodnit, ˇze pˇr´ımka rovnobˇeˇzná s osou x a procházej´ıc´ı bodem [0, k] má s grafem spoleˇcn´ ych v´ıce bod˚ u neˇz jeden (v tomto pˇr´ıpadˇe dokonce nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ u, nebot’ tato rovnobˇeˇzka je zároveˇ n grafem funkce).

7.2


Lineárn´ı funkce je dána pˇredpisem f (x) = ax+b, kde a 6= 0. Protoˇze souˇcin a souˇcet je defimnován pro libovolná ˇc´ısla, plat´ı, ˇze D(f ) = R. Dále uvaˇzujme libovolné y, pak jsme schopni pro nˇeho naj´ıt takové x, aby platilo f (x) = y. Toto ˇc´ıslo bude m´ıt tvar y−b , nebot’: a f(

y−b y−b )=a· + b = y − b + b = y. a a

Protoˇze jsme tedy naˇsli vhodné x pro kaˇzdé y, plat´ı H(f ) = R. Pokud a < 0, pak funkce f (x) bude klesaj´ıc´ı, pokud a > 0, pak f (x) je rostouc´ı. Toto se dá dokázat matematicky, ale pro Vás bude nejjednoduˇsˇs´ı si zkusit grafy nˇekolika lineárn´ıch funkc´ı nakreslit. Funkce nen´ı sudá, protoˇze nen´ı symetrická podle osy y, to jsou pouze pˇr´ımky na ni kolmé, a ty reprezentuj´ı konstantn´ı funkce. Lineárn´ı funkce m˚ uˇze b´ yt lichá, ale to pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy stˇredem procház´ı. To nastane v pˇr´ıpadˇe, kdy b = 0. Lineárn´ı funkce je prostá. Pˇredstavme si dvˇe ˇc´ısla x1 a x2 . Z definice mus´ı z rovnosti obraz˚ u plynout rovnost vzor˚ u. Pojd’me se pod´ıvat, zda tomu tak opravdu je: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ ax1 + b = ax2 + b ⇒ ax1 = ax2 ⇒ x1 = x2 . V prvn´ım kroku jsme pouˇzili obecn´ y pˇredpis lineárn´ı funkce, pak jsme od obou stran odeˇcetli b a obˇe strany vydˇelili a (to m˚ uˇzeme, nebot’ z definice a 6= 0. Z rovnosti obraz˚ u tedy plyne rovnost vzor˚ u. Funkce je téˇz na“, nebot’ ” H(f ) = R.

10


7.3

Kvadratick´ e funkce

Kvadratická funkce je dána pˇredpisem f (x) = ax2 + bx + c. Nˇekteré jej´ı vlastnosti se odv´ıjej´ı od polohy vrcholu. Ten má tyto souˇradnice: b b2 V = [Vx , Vy ] = − , c − . 2a 4a Protoˇze pˇredpis funkce obsahuje pouze operace sˇc´ıtán´ı, násoben´ı a mocnˇen´ı, je moˇzné vypoˇc´ıtat funkˇcn´ı hodnotu pro vˇsechna ˇc´ısla. Proto D(f ) = R. Pokud je a > 0, pak se parabola reprezentuj´ıc´ı graf funkce f (x) rozev´ırá smˇerem nahoru, tedy funkˇcn´ımi hodnotami f (x) mohou b´ yt pouze ˇc´ısla vˇetˇs´ı neˇz Vy , tedy H(f ) = hVy , ∞). Pokud je ovˇsem a < 0, pak se parabola rozev´ırá smˇerem dol˚ u a vrchol je nejvyˇsˇs´ım bodem. Pak je Vy nejvyˇsˇs´ı moˇznou funkˇcn´ı hodnotou. Plat´ı tedy H(f ) = (−∞, Vy i. Pokud je a > 0, pak funkce klesá od −∞ aˇz k Vx . V intervalu hVx , ∞) zase roste. Je-li a < 0, na intervalu (−∞, Vx i roste a na intervalu hVx , ∞) klesá. Kvadratická funkce nen´ı lichá, protoˇze nen´ı symetrická podle stˇredu. Sudá b´ yt m˚ uˇze, a to pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy vrchol leˇz´ı na ose y, tedy jeho x-ová souˇradnice je nulová, coˇz nastává pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze b = 0. Kvadratická funkce nen´ı prostá, protoˇze kaˇzdá pˇr´ımka, která prot´ıná levé rameno paraboly, nutnˇe prot´ıná i pravé, tedy má s grafem dva spoleˇcné body. Funkce nen´ı na“, nebot’ D(f ) 6= R. ”

11


Goniometrické funkce a jejich vyuˇzit´ı pˇri ˇreˇsen´ı trojúheln´ık˚ u Petr Matyáˇs

1

´ Uhlov´ a a obloukov´ a m´ıra

Velikost u ´hlu se bˇeˇznˇe udává dvˇema zp˚ usoby: nejv´ıce zaˇzit´ y je u ´daj ve stupn´ıch tak, jak jej intuitivnˇe známe (cel´ y kruh má 360◦ , jeden stupeˇ n ´ má 60 minut). Toto oznaˇcen´ı se naz´ yvá u ´hlová m´ıra. Uhel vˇsak lze popsat i délkou oblouku, kter´ y dan´ y u ´hel vytyˇc´ı na jednotkové kruˇznici (tedy na kruˇznici o polomˇeru napˇr. 1 cm). V´ıme, ˇze obvod kruhu se dá vypoˇc´ıtat pomoc´ı vzoreˇcku: O = 2πr. Tedy celá jednotková kruˇznice mˇeˇr´ı 2π. Tedy π odpov´ıdá 180◦ . Jednotkou obloukové m´ıry jsou radiány. Mezi jednotliv´ ymi jednotkami lze snadno pˇrevádˇet pomoc´ı trojˇclenky. Vybrané pˇrevody uvád´ıme v této tabulce:

2

Reprezentace ˇ c´ ast´ı stupnˇ e

V matematice je pˇrirozené reprezentovat ˇca´sti stupnˇe pomoc´ı minut. Stupeˇ n má stejnˇe jako hodina 60 minut. Vˇetˇsina kalkulaˇcek vˇsak s minutami pracovat neum´ı, takˇze je tˇreba reprezentovat ˇca´sti stupnˇe pomoc´ı desetinného ˇc´ısla. Napˇr. 12◦ 30” nen´ı rovno 12.3◦ , ale 12.5◦ , nebot’ 30 minut nen´ı tˇretina, ale polovina stupnˇe. Jak se tedy pˇrevád´ı mezi jednotliv´ ymi reprezentacemi ˇca´st´ı stupˇ n˚ u? Pˇrevod z minut na desetinné ˇc´ıslo spoˇc´ıvá pouze ve vydˇelen´ı d poˇctu minut ˇc´ıslem 60. Stupnˇe Radiány

0◦ 0

30◦

45◦

60◦

90◦

135◦

π 6

π 4

π 3

π 2

3π 4

180◦ π

270◦ 3π 2

360◦ 2π

Tabulka 1: Pˇrevody mezi u ´hlovou a obloukovou m´ırou 1


ϕ (stupnˇe) ϕ (radiány) sin(ϕ)

0◦ 0 √

0 2

30◦

45◦

60◦

90◦

π √6 1 2

π √4 2 2

π √3 3 2

π √2 4 2

Tabulka 2: Základn´ı hodnoty funkce sin Pˇ r´ıklad: Najdˇete desetinné ˇc´ıslo reprezentuj´ıc´ı 45◦ 24”. Desetinnou ˇca´st ˇc´ısla z´ıskáme tak, ˇze 24 minut vydˇel´ıme 60: 24/60 = 0.4. Pˇri poˇc´ıtán´ı sinu tohoto u ´hlu tedy do kalkulaˇcky nesm´ıme zadat 45.24, ale 45.4. Pˇrevod z desetinného ˇc´ısla na minuty provád´ıme zcela analogicky. Tentokrát nen´ı tˇreba 60 dˇelit, ale násobit. Samozˇrejmˇe násob´ıme pouze desetinnou ˇca´st. Pˇ r´ıklad: Pˇreved’te 32.45◦ na stupnˇe a minuty. Poˇcet minut z´ıskáme tak, ˇze desetinnou ˇca´st vynásob´ıme 60: 0.45 · 60 = 27. V´ ysledek tedy je 32◦ 27”.

3

Goniometrick´ e funkce

Existuje mnoho goniometrick´ ych funkc´ı. V praxi si vˇsak vystaˇc´ıme pouze s osmi funkcemi: sin, cos, tan, cot a funkce k tˇemto inverzn´ı: arcsin, arccos, arctan a arccotg.

3.1

Funkce sin

Funkce sinus je definována pro libovoln´ yu ´hel, tedy definiˇcn´ım oborem je celá mnoˇzina R. Oborem hodnot je interval h−1, 1i. Graf funkce sin ukazuje prvn´ı obrázek. Pro rychlou a efektivn´ı práci je nutné si zapamatovat hodnoty na nˇekter´ ych u ´hlech. Tyto hodnoty ukazuje tabulka 2. Funkˇcn´ı hodnoty pro nˇekteré u ´√hly jsou v tabulce uvedeny v ponˇekud ◦ obskurn´ı podobˇe: napˇr. sin 30 = 21 , coˇz odpov´ıdá hodnotˇe 21 . D˚ uvod pro tento zápis je prost´ y: vˇsimnˇeme si, ˇze zlomky jsou pro vˇsechny u ´hly stejné, 2


1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 −π

− π2

π 2

0

π

3π 2

2π

5π 2

-0.4 -0.6 -0.8 -1 Obrázek 1: Graf funkce sin liˇs´ı se pouze hodnotou pod odmocninou v ˇcitateli. Tato hodnota se pohybuje od 0 do 5. D´ıky tomu je opravdu snadné si tyto hodnoty zapamatovat. Na obrázku 1, kter´ y ukazuje graf funkce sin si m˚ uˇzete vˇsimnout, ˇze po kaˇzd´ ych 180◦ protne osu x, tedy sin(ϕ) = 0 pro ϕ = k · 180◦ , kde k ∈ Z. Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym faktem je, ˇze pro dva u ´hly, které se od sebe liˇs´ı o 360◦ , je funkˇcn´ı hodnota stejná. O takov´ ych funkc´ıch ˇr´ıkáme, ˇze jsou periodické. Perioda funkce sin je 360◦ . Plat´ı tedy, ˇze sin(ϕ) = sin(ϕ + k · 360◦ ) pro k ∈ Z. Dále si vˇsimnˇete, ˇze vˇsechny oblouky jsou stejné a jeˇstˇe k tomu symetrické. D´ıky tˇemto informac´ım lze snadno dopoˇc´ıtat i dalˇs´ı hodnoty, napˇr.: √

• sin(120◦ ) = sin(60◦ ) = 23 , nebot’ jdeme-li od 90◦ o 30◦ vlevo nebo vpravo, mus´ıme doj´ıt na stejnou hodnotu, • sin(1260◦ ) = 0, nebot’ 1260 = 7 · 180, √

• sin(225◦ ) = − sin(45◦ ) = − 22 , nebot’ od 180◦ jsme po ose x k 225◦ urazili stejnou vzdálenst jako od 0◦ k 45◦ , tedy stejnou vzdálenost mus´ıme urazit i ve smˇeru osy y, avˇsak v intervalu (180◦ , 360◦ ) jsou hodnoty funkce sin záporné.

3.2

Funkce cos

Grafem funkce cos je taktéˇz sinusoida, pouze o 90◦ doleva. Funkce má tedy stejn´ y definiˇcn´ı obor i obor hodnot jako funkce sin. Graf funkce cos ukazuje 3


1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 −π

− π2

π 2

0

3π 2

π

2π

5π 2

-0.4 -0.6 -0.8 -1 Obrázek 2: Graf funkce cos ϕ (stupnˇe) ϕ (radiány) sin(ϕ) cos(ϕ)

0◦ 0 √

0 √2 5 2

30◦

45◦

60◦

90◦

π √6 1 √2 4 2

π √4 2 √2 3 2

π √3 3 √2 2 2

π √2 4 √2 1 0

Tabulka 3: Základn´ı hodnoty funkce cos obrázek 2 Funkce cos má tedy také periodu 360◦ , avˇsak osu x prot´ıná pro x-vé hodnoty 90◦ + k · 180◦ , kde k ∈ Z. Hodnoty 1 dosahuje pro u ´hly k · 360◦ a ◦ ◦ −1 pro hodnoty 180 + k · 360 , kde k ∈ Z. Základn´ı hodnoty funkce cos ukazuje tabulka 3. Je dobré si vˇsimnout, ˇze hodnoty v posledn´ım ˇra´dku jou stejné jako u funkce sin, pouze v opaˇcném poˇrad´ı. Dále si pojd’me spoˇc´ıtat hodnoty funkce cos pro nˇekteré tupé u ´hly. • cos(120◦ ) = − cos(60◦ ) = − 21 – od 90◦ se po x-ové ose posouváme stejnˇe daleko jako k 60◦ , tedy i po y-ové ose se mus´ıme posunout o stejnou vzdálenost. Protoˇze jsou vˇsak hodnoty funkce cos pro u ´hly z intervalu ◦ ◦ (90 , 270 ) záporné, i tato hodnota mus´ı b´ yt záporná. √

uˇzeme od 390◦ odeˇc´ıst • cos(390◦ ) = cos(30◦ ) = 23 – d´ıky periodˇe 360◦ m˚ ◦ ◦ 360 , ˇc´ımˇz dostáváme právˇe 30 . 4


ϕ (stupnˇe) ϕ (radiány)

0◦ 0 √

cos(ϕ)

0 2 √ 5 2

tg(ϕ)

0

sin(ϕ)

30◦

45◦

60◦

90◦

π 6 √ 1 2 √ 4 2 √ 3 3

π 4 √ 2 2 √ 3 2

π 3 √ 3 2 √ 2 2

π 2 √ 4 2 √ 1 0

1

√

3

–

Tabulka 4: Základn´ı hodnoty funkce tg

3.3

Funkce tg

Funkce tg se od pˇredchoz´ıch dvou v´ yraznˇe odliˇsuje. Je definována jako jejich pod´ıl: sin(ϕ) tg(ϕ) = . cos(ϕ) Z této definice vypl´ yvá, ˇze v bodech, kde funkce cos nab´ yvá nulov´ ych hodnot, nem˚ uˇze b´ yt funkce tg definována, protoˇze nulou nelze dˇelit. Tedy D(tg) = ◦ R − {90 + k · 180◦ , k ∈ Z}. Nˇekteré hodnoty funkce tg jsou viditelné na prvn´ı pohled (sin(0◦ ) = 0, proto i hodnota tg(0) = sin(0)/ cos(0) mus´ı b´ yt rovna taktéˇz nule, protoˇze sin(45◦ ) = cos(45◦ ), mus´ı b´ yt hodnota tan(45◦ ) = sin(45◦ )/ cos(45◦ ) rovna jedné), jiné lze z´ıskat pod´ılem a následnou u ´pravou v´ yraz˚ u. Jak ukazuje obrázek 3, obor hodnot je roven celé mnoˇzinˇe reáln´ ych ˇc´ısel, definiˇcn´ı obor je roven mnoˇzinˇe reáln´ ych ˇc´ısel bez ˇc´ısel 90◦ + k · 180◦ , kde k je celé ˇc´ıslo.

3.4

Funkce cotg

Funkce cotg je taktéˇz pod´ıl dvou prvn´ıch funkc´ı, ovˇsem opaˇcn´ y k funkci tg: cotg(ϕ) =

1 cos(ϕ) = . sin(ϕ) cotg(ϕ)

Funkce cotg nen´ı definována pro násobky 120◦ . Obor hodnot je stejn´ y. Jak ukazuje 5, hodnoty pro zadané u ´hly jou podobné jako u funkce tg pouze v opaˇcném poˇrad´ı.

3.5

Inverzn´ı funkce

K tˇemto funkc´ım existuj´ı jeˇstˇe tzv. inverzn´ı funkce, které maj´ı k názvu p˚ uvodn´ı funkce pˇridán prefix arcus“, ve zkratce arc, tedy arcsin, arccos, ” 5


0 −π

− π2

π 2

0

3π 2

π

2π

5π 2

Obrázek 3: Graf funkce tg

ϕ (stupnˇe) ϕ (radiány)

0◦ 0 √

cos(ϕ)

0 2 √ 5 2

tg(ϕ)

0

sin(ϕ)

cotg(ϕ)

—

30◦

45◦

60◦

90◦

π 6 √ 1 2 √ 4 2 √ 3 3

π 4 √ 2 2 √ 3 2

π 3 √ 3 2 √ 2 2

π 2 √ 4 2 √ 1 0

√

3

1 1

√

3

–

3 3

0

√

Tabulka 5: Základn´ı hodnoty funkce cotg

6


0 −π

− π2

π 2

0

π

3π 2

2π

5π 2

Obrázek 4: Graf funkce cotg arctg a arccotg. Zat´ımco p˚ uvodn´ı v´ yˇse popsané funkce k u ´hlu vracej´ı ˇc´ıslo, tyto funkce inverzn´ı k tomuto ˇc´ıslu vrac´ı p˚ uvodn´ı u ´hel. Na nˇekter´ ych kalkulaˇckách b´ yvaj´ı popsány asin, acos, atg, acotg, nebo sin−1 , cos−1 , tg−1 a cotg−1 .

4

Pouˇ zit´ı goniometrick´ ych funkc´ı pro ˇ reˇ sen´ı pravo´ uhl´ eho troj´ uheln´ıku

Pro dalˇs´ı ˇca´st textu pˇredpokládejme standardn´ı znaˇcen´ı troj´ uheln´ık˚ u, kdy vrcholy oznaˇcujeme p´ısmeny A, B a C v tomto poˇrad´ı proti smˇeru hodinov´ ych ´ ruˇciˇcek. Uhly α, β a γ jsou vˇzdy u vrchol˚ u, kter´ ym odpov´ıdaj´ı sv´ ym poˇrad´ım v abecedˇe. Strany oznaˇcujeme mal´ ymi p´ısmeny a, b a c s t´ım, ˇze strana oznaˇcená dan´ ym p´ısmenem leˇz´ı proti vrcholu oznaˇcenému t´ ymˇz p´ısmenem. Tuto situaci znázorˇ nuje obrázek 5. Je-li troj´ uheln´ık pravo´ uhl´ y, pak je prav´ ym u ´hlem zásadnˇe u ´hel γ. Strana c je tedy pˇreponou. Troj´ uheln´ık je jednoznaˇcnˇe zadán jednou z tˇechto moˇznost´ı: • 3× strana, • 2× strana + 1× u ´hel, • 1× strana + 2× u ´hel. 7


C γ a

b

A

β

α c

B

Obrázek 5: Standardn´ı znaˇcen´ı troj´ uheln´ıku Troj´ uheln´ık nem˚ uˇze b´ yt jednoznaˇcnˇe zadán vnitˇrn´ımi u ´hly, protoˇze napˇr. rovnostrann´ ych troj´ uheln´ık˚ u, tedy troj´ uheln´ık˚ usu ´hly velikosti 60◦ existuje nekoneˇcnˇe mnoho. Mus´ı b´ yt tedy zadána alespoˇ n jedna strana. Goniometrické funkce ostr´ ych u ´hl˚ u vyjadˇruj´ı pomˇery stran pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku. Dle v´ yˇse zaveden´ ych standard˚ u jsou ostré u ´hly α a β. Goniometrické funkce vyjadˇruj´ı tyto pomˇery: • sin: protilehlá : pˇreponˇe: – sin(α) = ac , – sin(β) = cb , • cos: pˇrilehlá : pˇreponˇe: – cos(α) = cb , – cos(β) = ac , • tg: protilehlá : pˇrilehlé: – tg(α) = ab , – tg(β) = ab , • cotg: protilehlá : pˇreponˇe: – cotg(α) = ab , – cotg(β) = ab , Pˇ r´ıklad: Mˇejme pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık se stranami c = 5 cm a b = 4 cm. Vypoˇc´ıtejte zb´ yvaj´ıc´ı u ´hly a strany. Nejdˇr´ıve vypoˇc´ıtáme u ´hel α. Protoˇze známe pˇreponu a pˇrilehlou odvˇesnu, pouˇzijeme funkci cos: 4 b cos(α) = = = 0.8. c 5 8


Hodnotu u ´hlu α z´ıskáme právˇe pomoc´ı funkce arccos: α = arccos(0.8) = 36.87◦ = 36◦ 52”. Dále spoˇc´ıtáme stranu a. Známe u ´hel α a stranu c, m˚ uˇzeme tedy vyuˇz´ıt funkci sin: a sin(α) = . c Tuto rovnici m˚ uˇzeme vynásobit c, ˇc´ımˇz dostáváme: a = c · sin(α) = 5 · sin(36.87) = 5 · 0.6 = 3cm. Zb´ yvá dopoˇc´ıtat u ´hel β. Protoˇze známe obˇe odvˇesny, m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt funkci tg: 4 b tg(β) = = = 1.¯3. a 3 ´ Uhel spoˇc´ıtáme opˇet pomoc´ı inverzn´ı funkce: β = arctg(1.¯3) = 53.13◦ = 53◦ 8”. Protoˇze v´ıme, ˇze troj´ uheln´ık je pravo´ uhl´ y, mohli jsme stranu a dopoˇc´ıtat pomoc´ı Pythagorovy vˇety. Stejnˇe tak jsme mohli u ´hel β dopoˇc´ıtat odeˇcten´ım ◦ u ´hl˚ u α a γ od 180 , coˇz je souˇcet u ´hl˚ u v troj´ uheln´ıku. Protoˇze u ´ˇcelem tohoto materiálu je demonstrovat pouˇzit´ı goniometrick´ ych funkc´ı, pouˇzili jsme k v´ ypoˇctu právˇe tuto techniku.

5

ˇ sen´ı obecn´ Reˇ ych troj´ uheln´ık˚ u

6

Sinov´ a vˇ eta

Sinová vˇeta ˇr´ıká, ˇze v kaˇzdém troj´ uheln´ıku plat´ı rovnost pomˇer˚ u mezi stranami a siny protˇejˇs´ıch u ´hl˚ u: b c a = = . sin(α) sin(β) sin(β) Jak jiˇz bylo ˇreˇceno v´ yˇse, troj´ uheln´ık mus´ı b´ yt jednoznaˇcnˇe zadán alespoˇ n tˇremi u ´daji. Tuto vˇetu m˚ uˇzeme pouˇz´ıt, pokud známe u jednoho zlomku ˇcitatele i jmenovatele a tˇret´ı objekt. Ukáˇzeme si dva pˇr´ıklady pouˇzit´ı: Kdy známe dva u ´hly a jednu stranu, nebo dvˇe strany a jeden u ´hel.

9


Pˇ r´ıklad: Vypoˇc´ıtejte délku strany a v troj´ uheln´ıku, kde známe b = 5 cm, α = 30◦ a β = 25◦ . Dostáváme rovnici: a b = sin(α) sin(β) Z toho si vyjádˇr´ıme a tak, ˇze celou rovnici vynásob´ıme sin(α). Dostaneme: a=

b 5 5 · sin(α) = · sin(25) = 1 · 0.4226 = 4.226. sin(β) sin(30) 2

Délka strany a je 4.226 cm. Pˇ r´ıklad: Vypoˇc´ıtejte velikost u ´hlu α v troj´ uheln´ıku, kde známe a = 5 cm, ◦ b = 6 cm a β = 45 . Dostáváme rovnici: a b = sin(α) sin(β) Z toho si vyjádˇr´ıme sin(α) tak, ˇze celou rovnici vydˇel´ıme a a následnˇe na obou stranách pˇrehod´ıme ˇcitatele a jmenovatele. Dostaneme: sin(α) =

6.1

a · sin(β) 5 · sin(45) 5 · 0.7071 = = = 0.58925. b 6 6 α = arcsin(0.58925) = 36.10◦ = 36◦ 6”.

Cosinov´ a vˇ eta

Cosinovou vˇetu vyuˇzijeme, pokud známe dvˇe strany v troj´ uheln´ıku a u ´hel protˇejˇs´ı k tˇret´ı stranˇe. Pˇri snaze pouˇz´ıt sinovou vˇetu naraz´ıme na problém, ˇze z kaˇzdého zlomku známe pouze jeden prvek, neznáme tedy ˇza´dn´ y z pomˇer˚ u. Cosinová vˇeta má tˇri podoby: a2 = b2 + c2 − 2ab cos(α) b2 = a2 + c2 − 2ab cos(β) c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) Pˇ r´ıklad: Mˇejme troj´ uheln´ık, kde známe a = 6 cm, b = 4 cm a γ = 35◦ . Spoˇc´ıtejte stranu c. Vyuˇzijeme cosinovou vˇetu v posledn´ı podobˇe: c2 = a2 +b2 −2ab cos(γ) = 62 +42 −2·4·6·cos(35) = 52−48·0.8192 = 12.6784 √ √ c = c2 = 12.6784 = 3.56 Strana c má délku 3.56 cm. 10


Kombinatorika Petr Matyáˇs Kombinatorika je matematická discipl´ına zab´ yvaj´ıc´ı se kolekcemi prvk˚ u z pˇredem dan´ ych mnoˇzin splˇ nuj´ıc´ımi poˇzadované vlastnosti. Zab´ yvat se budeme ˇsesti takov´ ymi typy kolekc´ı a zaj´ımat nás budou pˇredevˇs´ım poˇcty takov´ ychto kolekc´ı. Bude se jednat o permutace, variace a kombinace, vˇsechny bez opakován´ı a s opakován´ım.

1 1.1

Trocha teorie na u ´ vod Faktori´ al

Na u ´vod si zavedeme jednu velice jednoduchou funkci, a to je faktoriál. Jedná se o funkci jedné promˇenné n, která se oznaˇcuje n!. Poˇc´ıtá se takto: n · (n − 1)! n > 0 n! = 1 n=0 Pro pochopen´ı tohoto vzorce si zkusme spoˇc´ıtat faktoriál 3: 3! = 3 · 2! = 3 · 2 · 1! = 3 · 2 · 1 · 0! = 3 · 2 · 1 · 1 = 6. V principu je tedy n! souˇcin n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1. Plat´ı napˇr. 5! = 120, 3! = 6, 1! = 1, atd. 8! . Pˇ r´ıklad: Spoˇc´ıtejte 6! Prvn´ı, co vˇetˇsinu student˚ u napadne, je vz´ıt kalkulaˇcku a na n´ı spoˇc´ıtat ˇcitatele a jmenovatele a ty pak podˇelit. Tento postup je zdlouhav´ y, nav´ıc faktoriál roste velice rychle a bˇeˇzné kalkulaˇcky neum´ı spoˇc´ıtat faktoriál pˇr´ıliˇs velk´ ych ˇc´ısel. My si ukáˇzeme postup v´ ypoˇctu bez kalkulaˇcky. Na základˇe v´ ypoˇctu 3! o dva odstavce v´ yˇse si m˚ uˇzeme uvˇedomit, ˇze 8! = 8 · 7! = 8 · 7 · 6!. A t´ımto máme témˇeˇr hotovo:

8! 8 · 7 · 6! = = 8 · 7 = 56. 6! 6! V´ ysledek jsme dostali pouh´ ym pokrácen´ım zlomku v´ yrazem 6!, kter´ y se vyskytl v ˇcitateli i jmenovateli. 1


1.2

Pascal˚ uv troj´ uheln´ık

Pro dalˇs´ı poˇc´ıtán´ı nám bude velkou pom˚ uckou Pascal˚ uv troj´ uheln´ık. Jedná se o rovnoramenn´ y troj´ uheln´ık stoj´ıc´ı na základnˇe vyplnˇen´ y pˇrirozen´ ymi ˇc´ısly. Horn´ı ˇra´dek, kter´ y budeme naz´ yvat nult´ ym, obsahuje jedniˇcku, dalˇs´ı (prvn´ı) dvˇe jedniˇcky (viz obrázek). Kaˇzd´ y ˇra´dek obsahuje na zaˇca´tku a na konci jedniˇcku, kaˇzdé dalˇs´ı ˇc´ıslo se spoˇc´ıtá jako souˇcet dvou ˇc´ısel nad n´ım: 1 1 1 1 1 1

1 2

3 4

5

1 3

1

6 10

4 10

1 5

1

Vˇsimnˇeme si, ˇze tento troj´ uheln´ık je symetrick´ y (kaˇzd´ y ˇra´dek vypadá stejnˇe, at’ jej ˇcteme odpˇredu ˇci odzadu).

1.3

Kombinaˇ cn´ı ˇ c´ısla

yznam je definován Kombinaˇcn´ı ˇc´ısla oznaˇcujeme nk a ˇcteme n nad k. Jeho v´ takto: n! n = . k k! · (n − k)! Nyn´ı se vrát´ıme k Pascalovu troj´ uheln´ıku. Ten totiˇ hodnoty z nobsahuje n n kombinaˇcn´ıch ˇc´ısel. n-t´ y ˇra´dek obsahuje n + 1 ˇc´ısel 0 , 1 , . . . , n−1 , nn . M˚ uˇzeme si jej tedy pˇrepsat do tvaru 0 0 1 1 1 0 2 2 2 2 1 0 3 3 3 3 3 2 1 0 4 4 4 4 4 4 3 2 1 0 5 5 5 5 5 5 0

1

2

3

4

5

D´ıky obˇema zápis˚ um tedy vid´ıme, ˇze pro vˇsechna n plat´ı rovnosti n n =1 = n 0 n n = =n 1 n−1

2


n , tedy napˇr. 51 = . Dále lze vypozorovat, ˇze nk = n−k vlastnost plyne ze symetrie troj´ uheln´ıku. Dále lze z Pascalova troj´ uheln´ıku vyˇc´ıst tuto rovnost: n−1 n−1 n . + = k k−1 k

2

5 4

= 5. Tato

Permutace bez opakov´ an´ı

Definice: Permutace bez opakován´ı nad n prvkovou mnoˇzinou jsou uspoˇra´dané posloupnosti (záleˇz´ı nám tedy na poˇrad´ı prvk˚ u) vˇsech prvk˚ u z této mnoˇziny. Poˇcet permutac´ı n prvk˚ u oznaˇcujeme v´ yrazem P (n). Nyn´ı si pojd’me odvodit jejich poˇcet. Máme tedy mnoˇzinu o n prvc´ıch. Pak na prvn´ı pozici m˚ uˇzeme dát libovoln´ y z nich. Máme tedy n moˇznost´ı, jak prvn´ı pozici obsadit. Na druhé m´ısto pak m˚ uˇzeme dát libovoln´ y z n−1 zb´ yvaj´ıc´ıch prvk˚ u (kaˇzd´ y prvek máme jen jednou, pokud tedy je na prvn´ı pozici, jiˇz nem˚ uˇze b´ yt na druhé). Prvn´ı dvˇe pozice tedy m˚ uˇzeme obsadit n·(n−1) zp˚ usoby. Tˇret´ı pozici pak obsad´ıme n−2 zp˚ usoby, atd. pˇredposledn´ı dvˇema zp˚ usoby a na posledn´ı nám zb´ yvá jiˇz pouze jeden prvek. Plat´ı tedy: P (n) = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · . . . · 3 · 2 · 1, coˇz vede na faktoriál n!. Pˇ r´ıklad: Mˇejme skupinu sedmi dˇet´ı. Kolika zp˚ usoby se mohou postavit do fronty na obˇed? Hledáme tedy poˇcet permutac´ı, nebot’ nám záleˇz´ı na poˇrad´ı a do fronty chceme postavit vˇsechny dˇeti. Tento poˇcet vypoˇc´ıtáme takto: P (7) = 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040. Máme tedy 5040 moˇznost´ı rozestavˇen´ı 7 dˇet´ı do fronty na obˇed.

3

Variace bez opakov´ an´ı

Definice: Variace k-té tˇr´ıdy z n prvk˚ u bez opakován´ı jsou uspoˇra´dané posloupnosti (záleˇz´ı nám tedy na poˇrad´ı prvk˚ u) k prvk˚ u z n-prvkové mnoˇziny. Poˇcet variac´ı k-té tˇr´ıdy z n prvk˚ u oznaˇcujeme v´ yrazem V (k, n). Pojd’me si odvodit tento vzoreˇcek. Máme-li k pozic, které mus´ıme obsadit k prvky z n-prvkové mnoˇziny (samozˇrejmˇe n > k), pak z˚ ustane n − k prvk˚ u mimo náˇs v´ ybˇer. Na prvn´ı pozici m˚ uˇzeme tedy dát libovoln´ y prvek z p˚ uvodn´ı 3


mnoˇziny. Máme tedy n moˇznost´ı. Druhou pozici m˚ uˇzeme obsadit libovoln´ ym zb´ yvaj´ıc´ım prvkem, tedy máme n − 1. Prvn´ı dvˇe pozice tedy m˚ uˇzeme obsadit n · (n − 1) zp˚ usoby. To je stejné jako u permutac´ı. Stejnˇe tak pˇredposledn´ı (tedy k − 1.) pozici m˚ uˇzeme obsadit libovoln´ ym ze zb´ yvaj´ıc´ıch prvk˚ u. Tˇech zb´ yvá n − k + 2. Na posledn´ı pozici nám pak zb´ yvá n − k + 1 prvk˚ u. Jedná se tedy o velmi podobn´ y v´ ysledek jako u permutac´ı, pouze s t´ım rozd´ılem, ˇze zde chyb´ı ˇcleny (n − k) · (n − k − 1) · . . . · 2 · 1. Poˇcet permutac´ı n! je tedy nutné vydˇelit v´ yrazem (n − k)!, tedy: V (k, n) =

n! . (n − k)!

Pˇ r´ıklad: Mˇejme 10 závodn´ık˚ u. Kolika zp˚ usoby se mohou podˇelit o medaile? Máme tˇri typy medail´ı. Medaile jsou od sebe odliˇsitelné, takˇze záleˇz´ı na poˇrad´ı závodn´ık˚ u. Protoˇze medailov´ ych pozic je ménˇe neˇz závodn´ık˚ u a záleˇz´ı na poˇrad´ı, jedná se o variace tˇret´ı tˇr´ıdy z deseti prvk˚ u: 10! 10 · 9 · 8 · 7! 10! = = = 10 · 9 · 8 = 720. V (3, 10) = (10 − 3)! 7! 7!

4

Kombinace bez opakov´ an´ı

Definice: Kombinace k-té tˇr´ıdy z n prvk˚ u bez opakován´ı je taková sada k prvk˚ u, kde se prvky neopakuj´ı a nezáleˇz´ı na jejich poˇrad´ı. Odvozen´ı vzoreˇcku pro urˇcen´ı poˇctu kombinac´ı k-té tˇr´ıdy z n prvk˚ u je velice jednoduché. My jiˇz um´ıme zjistit poˇcet k-prvkov´ ych posloupnost´ı prvk˚ u, kde nám záleˇz´ı na poˇrad´ı. To znamená, ˇze kaˇzdá mnoˇzina obsahuj´ıc´ı k prvk˚ u se zde vyskytuje ve vˇsech moˇzn´ ych poˇrad´ıch, tedy k! (zmˇenou poˇrad´ı totiˇz z´ıskáme jinou permutaci). Proto mus´ıme tento poˇcet ˇc´ıslem k! vydˇelit: n! n C(k, n) = = . (n − k)! · k! k Pˇ r´ıklad: Kolik existuje ˇsestiprvkov´ ych podmnoˇzin desetiprvkové podmnoˇziny? Protoˇze v mnoˇzinˇe se prvky neopakuj´ı a kaˇzd´ y se v nich vyskytuje max. jednou, jedná se opravdu o kombinace, konkrétnˇe jde o kombinace ˇsesté tˇr´ıdy z deseti prvk˚ u: 10! 10 10 · 9 · 8 · 7 · 6! 10 · 9 · 8 · 7 = C(6, 10) = = = = 10 · 3 · 7 = 210. 6 6! · 4! 6! · 4! 4·3·2 Nejdˇr´ıve jsme pokrátili zlomek v´ yrazem 6!, kter´ y se vyskytoval v ˇcitateli i jmenovateli, dále jsme pokrátili osmiˇckou (nahoˇre byla pˇr´ımo, dole jako 2 · 4 a nakonec trojkou (z dev´ıtky v ˇcitateli se stala trojka). 4


5

Permutace s opakov´ an´ım

Definice: Mˇejme k prvk˚ u, z nichˇz prvn´ı je zastoupen n1 v´ yskyty, druh´ y n2 v´ yskyty, aˇz poˇcet posledn´ı nk v´ yskyty. Pak permutace s opakován´ım je uspoˇra´daná posloupnost vˇsech tˇechto prvk˚ u. Permutace s opakován´ım se tedy od vˇsech pˇredchoz´ıch v´ ybˇer˚ u odliˇsuje pˇredevˇs´ım v tom, ˇze dané prvky se opakuj´ı jiˇz v p˚ uvodn´ı mnoˇzinˇe, z n´ıˇz vyb´ıráme. Souˇca´st´ı zadán´ı ale mus´ı b´ yt informace, kolikrát se jak´ y prvek opakuje (napˇr. 3 ˇcervené kuliˇcky, 6 modr´ ych a 2 zelené). V naˇsem pˇr´ıpadˇe yskyt˚ u jednotliv´ ych bude n1 = 3, n2 = 6 a n3 = 2. Pokud známe poˇcet v´ prvk˚ u, m˚ uˇzeme prost´ ym souˇctem zjitit poˇcet vˇsech prvk˚ u. Oznaˇc´ıme ho n. Pro nás bude n = 3 + 6 + 2 = 11. Vˇsechny prvky m˚ uˇzeme libovolnˇe zam´ıchat n! zp˚ usoby. Protoˇze ale nejsme schopni od sebe rozliˇsit kuliˇcky stejné barvy (tedy na jejich poˇrad´ı nám nezáleˇz´ı) pˇritom v permutac´ıch jsou vˇsechna poˇrad´ı kuliˇcek stejné barvy zapoˇc´ıtána, mus´ıme tento poˇcet vydˇelit právˇe permutacemi prvk˚ u stejného typu, v naˇsem pˇr´ıpadˇe poˇctem permutac´ı ˇcerven´ ych (3!), modr´ ych (6!) a zelen´ ych (2!) kuliˇcek. V´ ysledn´ y vzorec tedy bude: (n1 + n2 + . . . + nk )! Po (n1 , n2 , . . . nk ) = . n1 ! · n2 ! · . . . · nk ! Pˇ r´ıklad: Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme zam´ıcht p´ısmena slova MISSISSIPPI? V zadaném slovˇe se vyskytuj´ı pouze ˇctyˇri r˚ uzná p´ısmena: M jednou, I ˇctyˇrikrát, S ˇctyˇrikrát a P dvakrát. Plat´ı tedy n1 = 1, n2 = 4, n3 = 4 a n4 = 2. Pak jiˇz staˇc´ı dosadit do vzorce: Po (n1 , n2 , n3 , n4 ) =

11! (n1 + n2 + n3 + n4 )! = = n1 ! · n2 ! · n3 ! · n4 ! 1! · 4! · 4! · 2!

11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4! = 11 · 10 · 9 · 7 · 5 = 34650. 4! · 4! · 2! Faktoriál 11 jsme si rozloˇzili dle definice tak, aby se v nˇem vyskytoval v´ yraz 4!. Následnˇe ve jmenovateli z˚ ustal v´ yraz 4! · 2!, coˇz dává ve v´ ysledku 48. To jsme pokrátili s ˇsestkou a osmiˇckou v ˇcitateli a dostali jsme v´ ysledn´ y souˇcin. =

6

Variace s opakov´ an´ım

Definice: Mˇejme mnoˇzinu n prvk˚ u, kde se kaˇzd´ y vyskytuje právˇe jednou. Variac´ı k-té tˇr´ıdy z n prvk˚ u s opakován´ım nazveme takovou uspoˇra´danou posloupnost k prvk˚ u, kde se mohou prvky z p˚ uvodn´ı mnoˇziny opakovat.

5


Odvozen´ı tohoto vzoreˇcku je velmi jednoduché. Na prvn´ı pozici posloupnosti m˚ uˇzeme vloˇzit libovoln´ y prvek, máme tedy n moˇznost´ı. Na druhou pozici m˚ uˇzeme opˇet um´ıstit libovoln´ y prvek (také máme n moˇznost´ı). Celkem 2 je tedy n moˇznost´ı, jak obsadit prvn´ı dvˇe pozice, analogicky n3 moˇznost´ı, jak obsadit prvn´ı tˇri pozice, tedy nk moˇznost´ı, jak obsadit k pozic. Vzorec tedy vypadá takto: Vo (k, n) = nk . Pˇ r´ıklad: Kolik pˇetip´ısmenn´ ych slov lze sestavit z p´ısmen A, B, C, D? Protoˇze n = 4 (vyb´ıráme ze ˇctyˇrprvkové mnoˇziny) a k = 5 (sestavujeme slova o pˇeti p´ısmenech), je poˇcet slov roven 45 =1024.

7

Kombinace s opakov´ an´ım

Definice: Mˇejme mnoˇzinu n prvk˚ u, kde se kaˇzd´ y vyskytuje právˇe jednou. Kombinac´ı k-té tˇr´ıdy z n prvk˚ u je taková sada prvk˚ u, kde nezáleˇz´ı na poˇrad´ı a prvky se mohou libovolnˇekrát opakovat. Vzoreˇcek pro zjiˇstˇen´ı poˇctu kombinac´ı s opakován´ım si odvod´ıme na základˇe konkrétn´ıho pˇr´ıkladu. Mˇejme moderé kuliˇcky (oznaˇcme je p´ısmenek M), zelené (Z) a b´ılé (B). Protoˇze jsou vˇsechny kuliˇcky stejnˇe velké a maj´ı stejn´ y odst´ın patˇriˇcné barvy, m˚ uˇzeme je povaˇzovat za r˚ uzné v´ yskyty stejného prvku. Máme tedy tˇri prvky M, Z a B. Nyn´ı se ptáme, kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme vybrat 6 kuliˇcek. Jedn´ım ze zp˚ usob˚ u je MZBBZZ. Protoˇze nám nezáleˇz´ı na poˇrad´ı (kuliˇcky si strˇc´ıme do kapsy, kde se nám stejnˇe pom´ıchaj´ı), m˚ uˇzeme si je uspoˇra´dat podle barev: BBMZZZ. Vid´ıme, ˇze mezi barvami jsou dva pˇrechody. Oznaˇc´ıme si je pomlˇckou: BB-M-ZZZ. Je zˇrejmé, ˇze vˇsechna pol´ıˇcka pˇred prvn´ı pomlˇckou oznaˇcuj´ı b´ılé kuliˇcky, mezi dvˇema pomlˇckami modré kuliˇcky a za druhou pomlˇckou zelené kuliˇcky. Staˇc´ı nám tedy udrˇzovat pouze informace o poˇctu kuliˇcek, nebot’ barva je dána polohou v˚ uˇci pomlˇckám. Tedy naˇsi situaci m˚ uˇzeme popsat také ˇretˇezcem xx-x-xxx. Dále napˇr. situace, kdy máme tˇri b´ılé, dvˇe modré a jednu zelenou, bychom popsali ˇretˇezcem BBBMMZ nebo xxx-xx-x, dále pak ˇctyˇri b´ılé a dvˇe zelené bychom reprezentovali ˇretˇezcem BBBBZZ, resp. xxxx–xx (mezi pomlˇckami nen´ı ˇza´dn´ y prvek, protoˇze nemáme ˇza´dnou modrou kuliˇcku). Vˇsimnˇeme si, ˇze ˇretˇezec ze symbol˚ u x“ a -“ obsahuje vˇzdy tolik x“, kolik kuliˇcek taháme (tedy k) a o ” ” ” jednu pomlˇcku ménˇe, neˇz je poˇcet prvk˚ u, z nichˇz vyb´ıráme (v naˇsem pˇr´ıpadˇe poˇcet barev), to odpov´ıdá neznámé n. Celkem tedy máme n + k − 1 pozic, na k z nich se vyskytuj´ı symboly x“, na n − 1 pomlˇcky. Nyn´ı jiˇz staˇc´ı vybrat, k ”

6


pozic, na nˇeˇz um´ıst´ıme x“. To jiˇz jsou standardn´ı kombinace bez opakován´ı: ” n+k−1 Co (k, n) = . k Pˇ r´ıklad: Kolika zp˚ usoby lze rozm´ıstit tˇri stejné kuliˇcky do ˇctyˇr krabiˇcek? Kaˇzdé kuliˇcce tedy mus´ıme vybrat jednu ze ˇctyˇr krabiˇcek. Vyb´ıráme tedy tˇri (k = 3) ze ˇctyˇr prvk˚ u (n = 4). Nyn´ı jiˇz staˇc´ı dosadit do vzoreˇcku: 6 · 5 · 4 · 3! 6 4+3−1 6·5·4 = = Co (3, 4) = = = 5 · 4 = 20. 3 3 3! · 3! 3! Nejprve jsme zlomek pokrátili v´ yrazem 3!, pak ˇsestkou, kerá se dole vyskytovala v podobˇe 3!.

8

Zp˚ usoby kombinov´ an´ı v´ ysledk˚ u

U mnohá u ´loh nám nestaˇc´ı pouhé dosazen´ı do správn´ ych vzorc˚ u, ale meziv´ yledky mus´ıme jeˇstˇe zkombinovat v závˇereˇcn´ y v´ ysledek. V tomto textu si ukáˇzeme pouze tˇri základn´ı zp˚ usoby, jak m˚ uˇzeme meziv´ ysledky skládat.

8.1

N´ asobic´ı princip

Nˇekteré pˇr´ıklady je tˇreba rozdˇelit do dvou ˇci v´ıce pod´ uloh. Pokud volba v´ ysledku z jedné pod´ ulohy neovlivn´ı volbu v druhé pod´ uloze, m˚ uˇzeme v´ ysledky jednoduˇse pronásobit: Pˇ r´ıklad: Mˇejme skupinku 5 chlapc˚ u a 4 d´ıvek. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme vybrat pˇet z nich, které pozveme do kina tak, aby byly zastoupeny právˇe dvˇe d´ıvky? ´ Ulohu si rozdˇel´ıme na dvˇe pod´ ulohy: Nejprve spoˇc´ıtáme vˇsechny moˇznosti v´ ybˇeru tˇr´ı chlapc˚ u, poté dvou d´ıvek. Protoˇze nám ve skupinˇe nezáleˇz´ı na poˇrad´ı (vˇsichni maj´ı stejnou roli – jsou pozváni do kina) a nikdo nep˚ ujde dvakrát, jedná se kombinace bez opakován´ı. Poˇcet vˇsech trojich chlapc˚ u oznaˇc´ıme C1 : 5 5 · 4 · 3! = 5 · 2 = 10. C1 = = 3! · 2! 3 Nyn´ı se pod´ıvejme na d´ıvky. Opˇet ˇza´dná nep˚ ujde dvakrát a opˇet nezáleˇz´ı na poˇrad´ı. Jedná se o kombinace druhé tˇr´ıdy ze ˇctyˇr prvk˚ u bez opakován´ı. Poˇcet skupinech d´ıvek oznaˇc´ıme C2 : 4 · 3 · 2! 4 C2 = = = 2 · 3 = 6. 2 2! · 2! 7


Protoˇze pro kaˇzdou skupinu chlapc˚ u mohu zvolit libovolnou skupinu d´ıvek, mohu v´ ysledky mezi sebou pronásobit a t´ım dostanu v´ ysledek celého pˇr´ıkladu: C = C1 · C2 =!) · 6 = 60.

8.2

Sˇ c´ıtac´ı princip

Sˇc´ıtac´ı princip pouˇzijeme, pokud ˇreˇsen´ı subproblému jsou taktéˇz ˇreˇsen´ım celého problému (to u násobic´ıho principu neplatilo, nebot’ skupina tˇr´ı chlapc˚ u nebyla ˇreˇsen´ım problému, kdy jsme hledali skupinu pˇeti ˇza´k˚ u). Pak poˇcet ˇreˇsen´ı vznikne souˇctem poˇct˚ u ˇreˇsen´ı subproblém˚ u. Pˇ r´ıklad: Máme neomezen´ y poˇcet zelen´ ych, modr´ ych a b´ıl´ ych kuliˇcek. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme vybrat 10 kuliˇcek, aby byla maximálnˇe jedna modrá? Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı je správnˇe pochopit posledn´ı tˇri slova: m˚ uˇze b´ yt tedy jedna ’ modrá, nebo ˇza´dná. Nesm´ı b´ yt dvˇe modré, ani v´ıce. Pojd me se tedy pod´ıvat na prvn´ı pod´ ulohu, kdy chceme m´ıt právˇe jednu modrou: vyb´ıráme tedy devˇet kuliˇcek (desátá je právˇe ta modrá) ze dvou barev (dalˇs´ı modrou vybrat nesm´ıme). Poˇcet tˇechto kombinac´ı nazveme C1 : 10 9+2−1 = 10. = C1 = Co (9, 2) = 9 9 Nyn´ı zb´ yvá spoˇc´ıtat vˇsechny moˇznosti, kdy vyb´ıráme 10 b´ıl´ ych ˇci zelen´ ych kuliˇcek. Máme tedy tyto hodnoty: n = 2 a k = 10: 10 + 2 − 1 11 C2 = Co (10, 2) = = = 11. 10 10 V´ ysledek tedy bude: C = C1 + C2 = 10 + 11 = 21.

8.3

Doplˇ nkov´ y princip

V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech, kdy hledáme vˇsechny v´ ybˇery prvk˚ u, které splˇ nuj´ı danou je pro nás jednoduˇsˇs´ı vlastnost, naj´ıt nejdˇr´ıve ty v´ ybˇery které ji nesplˇ nuj´ı, a ty odeˇc´ıst od poˇctu vˇsech. Pojd’me si tento postup demonstrovat na pˇr´ıkladu.

8


Pˇ r´ıklad: Máme neomezen´ y poˇcet zelen´ ych, modr´ ych a b´ıl´ ych kuliˇcek. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme vybrat 10 kuliˇcek, aby mezi nimi byly aspoˇ n dvˇe modré? Nab´ız´ı se postup, kter´ y jsme pouˇzili v minulém pˇr´ıkladu: nejprve spoˇc´ıtat moˇznosti, kdy máme právˇe dvˇe modré, právˇe tˇri modré, aˇz vˇsechny modré, a tyto meziv´ ysledky seˇc´ıst. Mnohem jednoduˇsˇs´ı vˇsak bude spoˇc´ıtat vˇsechny moˇznosti vytaˇzen´ı kuliˇcek bez ohledu na barvy a od tohoto poˇctu odeˇc´ıst ty moˇznosti, kdy je jedna modrá nebo nen´ı ˇza´dná modrá. Poˇcet vˇsech moˇznost´ı oznaˇc´ıme C1 . Taháme tedy 10 kuliˇcek tˇr´ı barev: 10 + 3 − 1 12 · 11 12 C1 = = = = 66. 10 10 2 Poˇcet moˇznost´ı, kdy nen´ı splnˇena poˇzadovaná vlastnost (aspoˇ n dvˇe modré), oznaˇc´ıme C1 . Z minulého pˇr´ıkladu v´ıme, ˇze C1 = 21. Poˇcet moˇznost´ı, kdy je podm´ınka splnˇena, tedy z´ıskáme takto: C = C1 − C2 = 66 − 21 = 45.

9


Jak pracovat se zlomky Petr Matyáˇs

1

Co to je zlomek

Zlomek je racionáln´ı ˇc´ıslo vyjadˇruj´ıc´ı pomˇernou ˇca´st celku. Vyjadˇruje se vˇzdy ˇ ıslo nad zlomkojako pod´ıl dvou cel´ ych ˇc´ısel oddˇelen´ ych zlomkovou ˇca´rou. C´ vou ˇca´rou se naz´ yvá ˇcitatel, ˇc´ıslo pod n´ı jmenovatel. Podle jmenovatele se zlomek jmenuje (je-li jmenovatel tˇri, jedná se o tˇretiny, je-li jmenovatel pˇet, jedná se o pˇetiny). Kaˇzd´ y zlomek lze jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit cel´ ym ˇci desetinn´ ym ˇc´ıslem, které odpov´ıdá jeho hodnotˇe. Naopak, kaˇzdému racionáln´ımu ˇc´ıslu odpov´ıdá nekoneˇcnˇe mnoho zlomk˚ u. Jmenovatel m˚ uˇze b´ yt vyˇsˇs´ı neˇz ˇcitatel, pak hodnota zlomku je menˇs´ı neˇz 1, nebo niˇzˇs´ı neˇz ˇcitatel, pak je jeho hodnota vyˇsˇs´ı neˇz 1. Zde uvád´ım nˇekolik pˇr´ıklad˚ u: •

1 2

(jedna polovina) odpov´ıdá desetinnému ˇc´ıslu 0,5,

•

2 3

(dvˇe tˇretiny) odpov´ıdá desetinnému ˇc´ıslu 0,¯6,

•

13 4

•

3 6

2 2.1

(tˇrináct ˇctvrtin) odpov´ıdá ˇc´ıslu 3,25, (tˇri ˇsestiny) odpov´ıdá ˇc´ıslu 0,5.

Co mus´ıte nejprve zvl´ adnout Sˇ c´ıt´ an´ı a odˇ c´ıt´ an´ı cel´ ych ˇ c´ısel

Sˇc´ıtán´ı a odˇc´ıtán´ı kladn´ ych cel´ ych ˇc´ısel byste mˇeli zvládat od druhé tˇr´ıdy základn´ı ˇskoly. Problém vˇsak nastává, pokud alespoˇ n jedno z ˇc´ısel je záporné. D˚ uleˇzité je uvˇedomit si, ˇze pˇriˇcten´ı kladného ˇc´ısla a k libovolnému ˇc´ıslu b odpov´ıdá posunut´ı od ˇc´ısla a na ˇc´ıselné ose o b pol´ıˇcek doprava, odeˇcten´ı naopak odpov´ıdá posunut´ı ˇc´ısla na ose doleva:

1


−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Obrázek 1: Pˇriˇc´ıtán´ı

Pˇ r´ıklad 1: Spoˇc´ıtejte −3 + 4. Na ˇc´ıselnou osu naneseme prvn´ı ˇc´ıslo, tedy −3. Poté se posuneme o ˇctyˇri pol´ıˇcka doprava (protoˇze pˇriˇc´ıtáme ˇctyˇrku). Skonˇc´ıme tedy na ˇc´ısle 1. Plat´ı tedy: −3 + 4 = 1. Pˇ r´ıklad 2: Spoˇc´ıtejte −1 − 3. Na ˇc´ıselnou osu naneseme prvn´ı ˇc´ıslo, tedy −1. Poté se posuneme o tˇri pol´ıˇcka doleva (protoˇze odˇc´ıtáme trojku).

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Skonˇc´ıme tedy na ˇc´ısle −4. Plat´ı tedy: −1 − 3 = −4. Pokud pˇriˇc´ıtáte nebo odeˇc´ıtáte ˇc´ıslo záporné, odpov´ıdá to odeˇcten´ı ˇc´ısla kladného se stejnou vzdálenost´ı od nuly, odeˇcten´ı ˇc´ısla záporného pak odpov´ıdá pˇriˇcten´ı ˇc´ısla kladného se stejnou vzdálenost´ı od nuly (znaménko m´ınus pˇred závorkou mˇen´ı vˇsechna znaménka v závorce). Pˇ r´ıklad 3: Spoˇc´ıtejte 2 − (−3). Protoˇze dvˇe znaménka m´ınus za sebou nám dávaj´ı znaménko plus, m˚ uˇzeme v´ yraz 2 − (−3) pˇrepsat takto: 2 − (−3) = 2 + 3 = 5. Pˇ r´ıklad 4: Spoˇc´ıtejte −1 + (−2). Protoˇze znaménka plus a m´ınus za sebou nám dávaj´ı znaménko m´ınus, m˚ uˇzeme v´ yraz −1 + (−2) pˇrepsat takto: −1 + (−2) = −1 − 2 = −3. 2


2.2

N´ asoben´ı a dˇ elen´ı cel´ ych ˇ c´ısel

Násoben´ı kladn´ ych cel´ ych ˇc´ısel mus´ıte jiˇz mnoho let dobˇre ovládat. Problém opˇet nastává u znamének. Je zcela nezbytné, abyste si zapamatovali tabulku ˇc. 1, která vysvˇetluje, jaké znaménko bude m´ıt v´ ysledek. Z tabulky je zˇrejmé, ˇze pokud maj´ı oba ˇcinitelé stejné znaménko, bude v´ ysledek kladn´ y, pokud je jedno vstupn´ı ˇc´ıslo kladné a druhé záporné, pak v´ ysledek bude záporn´ y. Tabulka 1: Tabulka 1: Vztah znamének ˇcinitel˚ u se znaménkem souˇcinu − + − + − + − + A jak tedy násob´ıme celá ˇc´ısla, pokud je aspoˇ n jedno z nich záporné? Nejprve znaménka ignorujeme a ˇcinitele vynásob´ıme jako kladné. Pak se teprve pod´ıváme na znaménka ˇcinitel˚ u, pokud byl právˇe jeden záporn´ y, v´ ysledek bude taktéˇz záporn´ y. Pokud byly oba záporné, pak v´ ysledek bude kladn´ y. Pˇ r´ıklad 5: Spoˇc´ıtejte 3 · (−5). Nejprve se pod´ıváme na ˇc´ısla a znaménka ignorujeme. Vynásob´ıme tedy 3 · 5, coˇz je 15. Nyn´ı se pod´ıváme na znaménka a vid´ıme, ˇze záporn´ y byl pouze jeden ˇcinitel, a to −5, v´ ysledek tedy bude záporn´ y: 3 · (−5) = −(3 · 5) = −15. Pˇ r´ıklad 6: Spoˇc´ıtejte (−7) · (−6). Nejprve se pod´ıváme na ˇc´ısla a znaménka ignorujeme. Vynásob´ıme tedy 7 · 6, coˇz je 42. Nyn´ı se pod´ıváme na znaménka a vid´ıme, ˇze záporné byly oba ˇcinitelé, v´ ysledek tedy bude kladn´ y: (−6) · (−7) = (6 · 7) = 42.

2.3

Rozklad kladn´ eho ˇ c´ısla na prvoˇ c´ısla

Prvoˇc´ıslo je takové ˇc´ıslo, které je dˇelitelné jedniˇckou a samo sebou a ˇza´dn´ ym dalˇs´ım cel´ ym ˇc´ıslem. Prvoˇc´ısla jsou tedy ˇc´ısla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, atd. ˇ ıslo, které nen´ı prvoˇc´ıslem, se naz´ C´ yvá sloˇzen´ ym ˇc´ıslem. Kaˇzdé sloˇzené ˇc´ıslo lze aˇz na poˇrad´ı jednoznaˇcnˇe rozloˇzit na souˇcin prvoˇc´ısel, napˇr. 6 = 2 · 3, 24 = 2 · 2 · 2 · 3.

3


Rozklad ˇc´ısel na souˇcin prvoˇc´ısel najdeme tak, ˇze budeme hledat nejmenˇs´ı moˇzné prvoˇc´ıslo, j´ımˇz by bylo zadané ˇc´ıslo dˇelitelné. Pokud takové prvoˇc´ıslo najdeme, podˇel´ıme j´ım zadané ˇc´ıslo a dále pracujeme s v´ ysledn´ ym pod´ılem. A takto pokraˇcujeme, dokud se nedostaneme aˇz na jedniˇcku. Pˇ r´ıklad 7: Rozloˇzte ˇc´ıslo 24 na souˇcin prvoˇc´ısel. ˇ C´ıslo 24 podˇel´ıme ˇc´ıslem 2. V´ ysledek je 12. Dvanáctku jsme schopni opˇet ˇ podˇelit ˇc´ıslem 2, v´ ysledek je ˇc´ıslo 6. Sestku m˚ uˇzeme opˇet podˇelit ˇc´ıslem 2 a dostaneme ˇc´ıslo 3. Trojku uˇz dvojkou nepodˇel´ıme, ale zato ji m˚ uˇzeme podˇelit trojkou, ˇc´ımˇz dostaneme k´ yˇzenou jedniˇcku. Existuje mnoho zp˚ usob˚ u, jak tento postup pˇrehlednˇe zapsat. Pokud máte nˇejak´ y zp˚ usob zaˇzit´ y, nebojte se ho pouˇz´ıvat. Pokud nemáte zaˇzit´ y ˇza´dn´ y, pouˇz´ıvejte klidnˇe tento m˚ uj: 24 12 6 3 1

2 2 2 3

Nyn´ı staˇc´ı pouze pˇreˇc´ıst druh´ y sloupec a máme hotov´ y rozklad: 24 = 2 · 2 · 2 · 3. V´ ysledek si m˚ uˇzete ovˇeˇrit na kalkulaˇcce. Pˇ r´ıklad 8: Rozloˇzte ˇc´ıslo 280 na souˇcin prvoˇc´ısel. Postup v´ ypoˇctu jiˇz nebudu popisovat slovnˇe, pouze vkládám grafické znázornˇen´ı postupu: 280 140 70 35 7 1

2 2 2 5 7

Tedy 280 = 2 · 2 · 2 · 5 · 7. V´ ysledek si opˇet m˚ uˇzete ovˇeˇrit na kalkulaˇcce.

2.4

Nejvˇ etˇ s´ı spoleˇ cn´ y dˇ elitel

Dˇelitelem ˇc´ısla x je takové ˇc´ıslo, kter´ ym lze ˇc´ıslo x vydˇelit beze zbytku. Tedy napˇr. ˇc´ıslo 60 má dˇelitele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60. Nejvˇetˇs´ım

4


spoleˇcn´ ym dˇelitelem dvou ˇc´ısel je nejvˇetˇs´ı ˇc´ıslo takové, kter´ ym lze obˇe ˇc´ısla dˇelit beze zbytku. Nalezen´ı nejvˇetˇs´ıho spoleˇcného dˇelitele dvou ˇc´ısel je velice jednoduchá operace. Nejprve mus´ıme obˇe ˇc´ısla rozloˇzit na souˇcin prvoˇc´ısel. Pak se pod´ıváme, která prvoˇc´ısla se vyskytuj´ı v obou souˇcinech. Vynásoben´ım tˇechto spoleˇcn´ ych ˇc´ısel dostaneme právˇe nejvˇetˇs´ı spoleˇcn´ y dˇelitel. Pokud se dané prvoˇc´ıslo vyskytuje v obou souˇcinech v´ıcekrát, jeho poˇcet v dˇeliteli bude roven minimu z poˇctu v´ yskyt˚ u v rozkladech obou ˇc´ısel. Pˇ r´ıklad 9: Najdˇete nejvˇetˇs´ı spoleˇcn´ y dˇelitel ˇc´ısel 2100 a 880. Zaˇcneme tak, ˇze si obˇe ˇc´ısla rozloˇz´ıme na souˇcin prvoˇc´ısel: 2100 1050 525 175 35 7 1

2 2 3 5 5 7

880 440 220 110 55 11 1

2 2 2 2 5 11

Na prvn´ı pohled vid´ıme, ˇze se v obou rozkladech vyskytuj´ı pouze ˇc´ısla 2 a 5. Tedy ˇza´dné jiné ˇc´ıslo se nebude vyskytovat ani v jejich nejvˇetˇs´ım spoleˇcném dˇeliteli. Nyn´ı se zamˇeˇr´ıme na poˇcet jejich v´ yskyt˚ u. Dvojka se v rozkladu ˇc´ısla 2100 na souˇcin prvoˇc´ısel vyskytuje tˇrikrát, v rozkladu 880 pak pouze dvakrát. Menˇs´ı z tˇechto hodnot je dva, proto se i nejvˇetˇs´ım spoleˇcném ˇ ıslo 5 se v rozkladu ˇc´ısla 2100 vyskytuje dˇeliteli bude vyskytovat dvakrát. C´ jednou, v rozkladu 880 pak dvakrát. Na základˇe pˇredchoz´ıho tedy m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze nejvˇetˇs´ım spoleˇcn´ ym dˇelitelem ˇc´ısel 2100 a 880 bude ˇc´ıslo 2 · 2 · 5 = 20.

2.5

Nejmenˇ s´ı spoleˇ cn´ y n´ asobek

Násobkem ˇc´ısla x je takové ˇc´ıslo, které lze ˇc´ıslem x vydˇelit beze zbytku. Tedy napˇr. ˇc´ıslo 6 má násobky 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, atd. Je jich nekoneˇcnˇe mnoho. Nejmenˇs´ım spoleˇcn´ ym násobkem dvou ˇc´ısel je nejmenˇs´ı ˇc´ıslo takové, které lze obˇema ˇc´ısly dˇelit beze zbytku. Nalézt nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y násobek dvou ˇc´ısel je velice jednoduchá operace. Staˇc´ı libovolné z tˇechto ˇc´ısel vydˇelit jejich nejvˇetˇs´ım spoleˇcn´ ym dˇelitelem a následnˇe vynásobit druh´ ym ˇc´ıslem. Pˇ r´ıklad 10: Najdˇete nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y násobek ˇc´ısel 2100 a 880. Jiˇz v´ıme, ˇze nejvˇetˇs´ım spoleˇcn´ ym dˇelitelem ˇc´ısel 2100 a 880 je ˇc´ıslo 20. 5


Vydˇel´ıme tedy ˇc´ıslo 2100 ˇc´ıslem 20, ˇc´ımˇz dostaneme 105. Toto ˇc´ıslo pak vynásob´ıme 880, ˇc´ımˇz dostaneme v´ ysledek 92400. Toto ˇc´ıslo je nejmenˇs´ım spoleˇcn´ ym dˇelitelem ˇc´ısel 880 a 2100.

3 3.1

Pr´ ace se zlomky Kr´ acen´ı a rozˇ siˇ rov´ an´ı zlomk˚ u

Jak jsem jiˇz dˇr´ıve psal, zlomek je vlastnˇe pod´ılem dvou ˇc´ısel (ˇcitatele a jmenovatele). Pokud zv´ yˇs´ıme ˇcitatele a jmenovatele zachováme, je zˇrejmé, ˇze se nám zvˇetˇs´ı i hodnota daného zlomku, napˇr. 12 < 32 (prvn´ı zlomek má hodnotu 0,5, druh´ y pak 1,5). Pokud vˇsak zv´ yˇs´ıme jmenovatele a ˇcitatele zachováme, hodnota zlomku se nám zv´ yˇs´ı, napˇr. 12 > 41 (hodnota prvn´ıho zlomku je 0,5 a druhého 0,25). Dále je zˇrejmé, ˇze pokud vynásob´ıme ˇc´ıslem n ˇcitatele, hodnota zlomku vzroste n-krát, pokud vˇsak ˇc´ıslem n vynásob´ıme jmenovatele, hodnota zlomku se nám n-krát sn´ıˇz´ı. Pokud vˇsak vynásob´ıme ˇc´ıslem n ˇcitatele i jmenovatele zlomku, jeho hodnota se nám nezmˇen´ı. A právˇe tento proces se naz´ yvá rozˇsiˇrován´ım zlomku. Rozˇs´ıˇrit m˚ uˇzeme libovoln´ y zlomek libovoln´ ym nenulov´ ym ˇc´ıslem. Pˇ r´ıklad 11: Rozˇsiˇrte zlomek 53 ˇc´ıslem 2. ˇ sen´ı je velice jednoduché. Staˇc´ı ˇc´ıslem 2 vynásobit ˇcitatele i jmenovaReˇ tele zlomku. Z pˇredchoz´ıch odstavc˚ u v´ıme, ˇze hodnota zlomku se nezmˇen´ı. M˚ uˇzeme tedy psát: 3 3·2 6 = = . 5 5·2 10 Tuto rovnost si m˚ uˇzete ovˇeˇrit na kalkulaˇcce, kde prost´ ym podˇelen´ım ˇcitatele jmenovatelem dostanete v obou pˇr´ıpadech hodnotu 0,6. Opaˇcn´ ym procesem k rozˇsiˇrován´ı zlomk˚ u je krácen´ı. Krátit zlomek ˇc´ıslem n je moˇzné pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze j´ım lze beze zbytku vydˇelit ˇcitatele i jmeno7 lze krátit sedmi, nebot’ sedmiˇckou lze dˇelit ˇcitatele i vatele. Napˇr. zlomek 14 jmenovatele. V´ ysledkem bude zlomek 21 . Zlomek je v základn´ım tvaru, právˇe kdyˇz uˇz nelze zkrátit, tedy nejvˇetˇs´ı spoleˇcn´ y dˇelitel ˇcitatele a jmenovatele je 1. 84 Pˇ r´ıklad 12: Zkrat’te zlomek 24 tak, aby byl v základn´ım tvaru. Nejprve najdeme nejvˇetˇs´ı spoleˇcn´ y dˇelitel ˇc´ısel 84 a 24, coˇz je ˇc´ıslo 12, a nyn´ı t´ımto dˇelitelem podˇel´ıme obˇe ˇc´ısla. Dostaneme tedy 72 .

6


4

Pˇ revod ˇ c´ısla na zlomek

Pokud je dané ˇc´ıslo celé, pˇrevod na zlomek je velmi jednoduch´ y. Vytvoˇr´ıme zlomek, kter´ y v ˇcitateli bude m´ıt p˚ uvodn´ı ˇc´ıslo a ve jmenovateli bude m´ıt jedniˇcku (napˇr. 4 = 41 ). Pokud ˇc´ıslo je desetinné, postup je jen nepatrnˇe sloˇzitˇejˇs´ı. V´ıme, ˇze ˇc´ıslo 0,23 m˚ uˇzeme ˇc´ıst jako 0 celá a 23 setin. Z toho uˇz pˇr´ımo vycház´ı zápis zlomku. 23 ˇ ıslo 0,23 tedy m˚ . C´ uˇzeme zapsat jako 100 Pˇ r´ıklad 13: Pˇreved’te ˇc´ısla 0, 746 a 4,52 na zlomky v základn´ım tvaru. ˇ C´ıslo 0, 746 ˇcteme jako 0 celá a 746 tis´ıcin, z ˇcehoˇz pˇr´ımo plyne zápis zlomku: 746 . Tento zlomek m˚ uˇzeme krátit dvˇema, ˇc´ımˇz dostáváme 373 . 0, 746 = 1000 500 ˇ C´ıslo 4, 52 ˇcteme jako 4 celé a 52 setin. Do jedné se vejde 100 setin a do ˇctyˇr 400 setin. Celkem tedy máme 452 setin, z ˇcehoˇz pˇr´ımo plyne zápis 452 . Tento zlomek m˚ uˇzeme krátit ˇctyˇrmi, ˇc´ımˇz dostáváme zlomku: 4, 52 = 100 113 . 25

5

Pˇ revod zlomku na desetinn´ eˇ c´ıslo

Pokud je jmenovatelem zlomku libovoln´ y dˇelitel libovolné mocniny ˇc´ısla 10 (to jest ˇc´ısel 10, 100, 1000 atd.), je postup velice jednoduch´ y. Staˇc´ı zlomek rozˇs´ıˇrit tak, aby jmenovatelem byla právˇe mocniny des´ıtky. Zápis desetinného ˇc´ısla je pak jednoduch´ y. 7 Pˇ r´ıklad 14: Pˇreved’te zlomek 25 na desetinné ˇc´ıslo. Jmenovatelem zlomku je ˇc´ıslo 25, coˇz je dˇelitel ˇc´ısla 100. Rozˇs´ıˇr´ıme tedy 28 , tedy 28 setin. Ten uˇz um´ıme zlomek ˇc´ıslem 4, ˇc´ımˇz dostáváme zlomek 100 jednoduˇse pˇrepsat na desetinné ˇc´ıslo 0,28. Pokud vˇsak bude jmenovatelem ˇc´ıslo, které nen´ı dˇelitelem ˇza´dné mocniny ˇc´ısla 10 (napˇr sedmiˇcka), tento jednoduˇsˇs´ı postup nezafunguje. Pak mus´ıme pouˇz´ıt klasické dˇelen´ı desetinn´ ych ˇc´ısel (vˇzdyt’ zlomková ˇca´ra nám vyjadˇruje dˇelen´ı ˇcitatele jmenovatelem). Dˇel´ıme tak dlouho, dokud nám nevyjde nulov´ y zbytek, nebo dokud se nám nezaˇcnou ˇc´ıslice ve v´ ysledku opakovat. 12 Pˇ r´ıklad 15: Pˇreved’te zlomek 27 na desetinné ˇc´ıslo. Protoˇze ˇc´ıslo 27 nám nedˇel´ı ˇza´dnou mocninu des´ıtky, mus´ıme pouˇz´ıt dˇelen´ı. Prost´ ym vydˇelen´ım ˇc´ısla 12 ˇc´ıslem 27 dostanete v´ ysledek 0,4444 atd. Budemeli poˇc´ıtat dál, budou nám stále pˇrib´ yvat ˇctyˇrky. V´ ysledek je tedy 0,¯4.

7


Pˇ r´ıklad 16: Pˇreved’te zlomek 33 na desetinné ˇc´ıslo. 6 Protoˇze ˇc´ıslo 6 nám nedˇel´ı ˇza´dnou mocninu des´ıtky, mus´ıme pouˇz´ıt dˇelen´ı. Prost´ ym vydˇelen´ım ˇc´ısla 33 ˇc´ıslem 6 dostanete v´ ysledek 5,5, coˇz je v´ ysledek (dostali jsme totiˇz zbytek nula).

6

Sˇ c´ıt´ an´ı a odˇ c´ıt´ an´ı zlomk˚ u

Velmi obl´ıbenou vˇetou vˇsech uˇcitel˚ u matematiky na základn´ıch, stˇredn´ıch i vysok´ ych ˇskolách je: ,,Nelze sˇc´ıtat (a odˇc´ıtat) jablka a hruˇsky.” To samozˇrejmˇe plat´ı i o zlomc´ıch. Nen´ı moˇzné sˇc´ıtat tˇretiny a poloviny. Nejprve je nutné nalézt spoleˇcného jmenovatele zlomk˚ u, j´ımˇz je nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y násobek obou jmenovatel˚ u. Pokud jsou jmenovatele obou zlomk˚ u stejné, pak v´ ysledek bude m´ıt taky ˇ stejného jmenovatele. Citatele je pak moˇzno jednoduˇse seˇc´ıst (napˇr. 18 + 83 = 84 . Pokud se jmenovatelé obou zlomk˚ u liˇs´ı, je tˇreba spoˇc´ıtat jejich nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y násobek, kter´ y bude spoleˇcn´ ym jmenovatelem zlomk˚ u pˇred seˇcten´ım (ˇci odeˇcten´ım). Následnˇe oba zlomky rozˇs´ıˇr´ıme tak, aby mˇely za jmenovatele nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y násobek p˚ uvodn´ıch jmenovatel˚ u. Následnˇe seˇcteme (ˇci odeˇcteme) ˇcitatele. Jejich souˇcet bude ˇcitatelem v´ ysledného zlomku. Jmenovatel op´ıˇseme. Na závˇer zlomek zkrát´ıme do základn´ıho tvaru. Pˇ r´ıklad 17: Spoˇc´ıtejte 43 + 56 . Vid´ıme, ˇze jmenovatelé obou zlomk˚ u se liˇs´ı, nelze tedy zlomky pˇr´ımo seˇc´ıst. Nejprve je mus´ıme pˇrevést na spoleˇcného jmenovatale. V´ıme, ˇze 4 = 2 · 2 ˇ rku vydˇel´ıme a 6 = 2 · 3. Vid´ıme, ˇze nejvˇetˇs´ı spoleˇcn´ y dˇelitel je ˇc´ıslo 2. Ctyˇ dvojkou a vynásob´ıme ˇsestkou, ˇc´ımˇz zjist´ıme, ˇze nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y násobek ˇc´ısel 4 a 6 je ˇc´ıslo 12. Nyn´ı rozˇs´ıˇr´ıme zlomky tak, aby mˇely spoleˇcného jmenovatele 12. Pojd’me nejdˇr´ıve na prvn´ı. Jeho jmenovatelem je ˇc´ıslo 4, abychom dostali 12, mus´ıme jej vynásobit tˇremi. Protoˇze potˇrebujeme zachovat jeho hodnotu, mus´ıme 9 tedy trojkou vynásobit i ˇcitatele. Dostáváme tedy zlomek 12 . Na kalkulaˇcce si m˚ uˇzete ovˇeˇrit, ˇze má hodnotu stejnou jako p˚ uvodn´ı zlomek 43 . Podobnˇe si pˇriprav´ıme i druh´ y zlomek. Jeho jmenovatelem je ˇc´ıslo 6, abychom dostali 12, mus´ıme jej vynásobit dvˇema. Protoˇze potˇrebujeme zachovat jeho hodnotu, mus´ıme tedy dvojkou vynásobit i ˇcitatele. Dostáváme 10 tedy zlomek 12 . Nyn´ı jˇz máme oba zlomky pˇrevedené na spoleˇcného jmenovatele a m˚ uˇzeme 9 10 19 tedy seˇc´ıst oba ˇcitatele. Dostáváme 12 + 12 = 12 . Tento zlomek jiˇz je v základn´ım tvaru, nebot’ jej dále nelze krátit.

8


5 Pˇ r´ıklad 18: Spoˇc´ıtejte 12 − 19 . Spoleˇcn´ ym jmenovatele je ˇc´ıslo 36. Prvn´ı zlomek mus´ıme tedy rozˇs´ıˇrit tˇremi, 4 11 druh´ y ˇctyˇrmi. Dostáváme 15 − 36 , coˇz dává 36 Zlomek je jiˇz v základn´ım 36 tvaru.

7

Sˇ c´ıt´ an´ı a odˇ c´ıt´ an´ı zlomku a ˇ c´ısla

Sˇc´ıtán´ı a odˇc´ıtán´ı dvou zlomk˚ u jsme si nast´ınili v minulé ˇca´sti. Podobnˇe postupujeme i v pˇr´ıpadˇe, ˇze se snaˇz´ıme seˇc´ıst celé ˇci desetinné ˇc´ıslo a zlomek (nebo je od sebe odeˇc´ıst). Nejprve je tˇreba pˇrevést ˇc´ıslo na zlomek, coˇz uˇz také um´ıte. Nyn´ı jiˇz máme dva zlomky a jejich seˇcten´ı prob´ıhá stejnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. Nejprve oba zlomky pˇrevedeme na spoleˇcného jmenovatele. Nyn´ı jiˇz je moˇzné ˇcitatele seˇc´ıst. Pˇ r´ıklad 19: Spoˇc´ıtejte − 57 + 3. y zlomek Trojku si nejprve pˇrevedeme na zlomek. Dostáváme − 57 + 13 . Druh´ 5 21 tedy mus´ıme rozˇs´ıˇrit sedmiˇckou. Dostáváme tak zlomek − 7 + 7 = 16 . 7 Pˇ r´ıklad 20: Spoˇc´ıtejte

6 15

+ 0,3.

6 3 Trojku si nejprve pˇrevedeme na zlomek. Dostáváme 15 + 10 . Spoleˇcn´ ym 6 jmenovatelem zlomk˚ u bude ˇc´ıslo 30. V´ ysledek tedy vypoˇc´ıtáme takto: 15 + 6 3 12 9 21 7 0,3 = 15 + 10 = 30 + 30 = 30 = 10 .

8

N´ asoben´ı zlomk˚ u

Násoben´ı zlomk˚ u je velice jednoduché. Vynásob´ıme ˇcitatele ˇcitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Abychom vˇsak nemuseli poˇc´ıtat s velk´ ymi ˇc´ısly, m˚ uˇzeme si zlomky libovolnˇe pokrátit. Krátit m˚ uˇzeme libovolného ˇcitatele s libovoln´ ym jmenovatelem. Nikdy vˇsak ˇcitatele s ˇcitatelem a jmenovatele s jmenovatelem. Pˇ r´ıklad 21: Spoˇc´ıtejte

24 26

·

52 . 32

Zlomky m˚ uˇzeme vynásobit tak, ˇze vynásob´ıme ˇcitatele ˇcitatelem a jmenovatele jmenovatele a následnˇe v´ ysledn´ y zlomek zkrát´ıme. Dostali bychom 1248 . Kr´ a cen´ ı tohoto zlomku by vˇ s ak bylo sluˇsn´ ym oˇr´ıˇskem. Radˇeji tedy 1664

9


pojd’me krátit pˇred vynásoben´ım. 24 52 24 2 3 2 3 1 3 · = · = · = · = . 26 32 1 32 1 4 1 2 2 Co jsme provedli? V prvn´ım kroku jsme zkrátili jmenovatele prvn´ıho a ˇcitatele druhého zlomku ˇc´ıslem 26. Pak jsme pokrátili ˇcitatele prvn´ıho a jmenovatele druhého zlomku ˇc´ıslem 8 a nakonec ˇcitatele a jmenovatele druhého zlomku ˇc´ıslem 2. Následnˇe jsme pˇristoupili k vlastn´ımu násoben´ı.

9

N´ asoben´ı zlomku ˇ c´ıslem

ˇ ıslo si pˇrevedeme na zlomek. Zaˇcneme stejnˇe jako u sˇc´ıtán´ı zlomku a ˇc´ısla. C´ Zlomky nejdˇr´ıve zkrát´ıme a pak vynásob´ıme. Pˇ r´ıklad 22: Spoˇc´ıtejte 4 ·

15 . 2

ˇ ıslo nap´ıˇseme jako zlomek, pokrát´ıme a vynásob´ıme ˇcitatele ˇcitatelem a C´ jmenovatele jmenovatelem. Dostáváme: 4·

10

15 4 15 2 15 15 = · = · = . 2 1 2 1 1 2

Dˇ elen´ı zlomk˚ u

Zlomek vydˇel´ıme zlomkem tak, ˇze u druhého zlomku pˇrehod´ıme ˇcitatele a jmenovatele, nyn´ı zlomky pokrát´ıme a pak vynásob´ıme stejnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. Pˇ r´ıklad 23: Spoˇc´ıtejte

5 8

:

15 . 2

Zaˇcneme tedy tak, ˇze si u druhého zlomku pˇrehod´ıme ˇcitatele a jmenovatele, zlomky pak pokrát´ıme (pˇetku a patnáctku pˇeti, osmiˇcku a dvojku dvˇema). Nakonec vynásob´ıme: 5 15 5 2 1 1 1 : = · = · = 8 2 8 15 4 3 12

10


11

Dˇ elen´ı zlomku ˇ c´ıslem nebo ˇ c´ısla zlomkem

Pˇ r´ıklad 24: Spoˇc´ıtejte

5 8

:

15 . 2

Nejprve si dané ˇc´ıslo zap´ıˇseme jako zlomek a pak pokraˇcujeme zcela stejnˇe jako v pˇredchoz´ım bodˇe. 4:

10 4 10 4 7 2 7 14 = : = · = · = . 7 1 7 1 10 1 5 5

11

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Recommend Documents