Irányítástechnika 1. modul: Az alapfogalmak áttekintő összefoglalása A tananyag első modulja három leckéből áll. Az első leckében összefoglaljuk az irányítástechnika alapvető fogalmait. A tananyagban rendszerszintű, matematikai leírásra szorítkozunk, azaz nem foglalkozunk azzal, hogy az irányítási kör egyes részegységeit hogy valósítják meg a való életben. Minden részegység egy viszonylag egyszerűen kezelhető függvénnyel leírható. A második leckében néhány egyszerű példával világítjuk meg, hogy a szabályozást a való életben hol, és milyen módon valósítják meg. A harmadik leckében összefoglaljuk azokat a matematikai fogalmakat (függvények, néhány fontos függvénye kapcsán a differenciálszámítás és az integrálszámítás, komplex számok), amelyekre feltétlenül szükségünk lesz a tananyag további részeiben. Hangsúlyozzuk, hogy a tananyag célközönsége szempontjából csak a legfontosabb, s egyben legegyszerűbb részeket érintjük. Célunk, hogy a témakörrel a hallgató alapfokon megismerkedjen, általános tájékozottságra tegyen szert. A teljes tananyagot a következő, irányítástechnikával foglalkozó műveket alapul véve készítettük el: •
Bokor József, Gáspár Péter, Irányítástechnika járműdinamikai alkalmazásokkal, Typotex Kiadó, Budapest, 2008.
•
Bokor József és szerzőtársai, Irányítástechnika gyakorlatok, Typotex Kiadó, Budapest, 2008.
•
Csáki Frigyes, Bars Ruth, Automatika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974.
•
Keviczky László, Bars Ruth, Hetthéssy Jenő, Barta András, Bányász Csilla, Szabályozástechnika, Széchenyi István Egyetem, Győr, 2012.
•
Lantos Béla, Irányítási rendszerek elmélete és tervezése I, Akadémiai Kiadó, Budapest, 2001.
•
Szabó Imre, Rendszer- és irányítástechnika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.
•
Szabó László, Automatika Könyvkiadó, Budapest, 1997.
•
Száday Rezső, A szabályozáselmélet elemei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.
•
Tuschák Róbert, Szabályozástechnika, Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1994.
(szabályozástechnikai
1
alapismeretek),
Műszaki
1. lecke: Az irányítástechnika alapvető fogalmai Cél: A lecke célja, hogy a hallgató ismerje meg az irányítási rendszer és a zárt szabályozási kör általános felépítését, valamint a blokkdiagramokhoz kapcsolódó alapvető fogalmakat és definíciókat. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes • • • •
felrajzolni az irányítási rendszer blokkvázlatát, elmagyarázni az irányítási rendszer részegységeinek szerepét, felrajzolni a szabályozás hatásvázlatát, felsorolni az egyes építőelemeket és azok szerepét.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 60 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak: • • • • • •
folyamat, irányítás, szabályozás, vezérlés, hatásvázlat, jel.
2
Tevékenység: Jegyzetfüzetébe rajzolja fel az irányítási rendszer blokkvázlatát, s jegyezze fel az egyes szervek jelentőségét. Rajzolja fel a zárt szabályozási kör hatásvázlatát is, s jegyezze fel az egyes tagok szerepét. Jegyezze fel a szabályozási kör jeleit is! A technika eszközei, a műszaki tudományok eredményei a terhes, unalmas, gépies teendők alól szabadítják fel az embert. Az emberi erőt előbb felváltotta az állati vonóerő, később a gépek, miáltal az izomerőt igénylő feladatok alól az ember szinte teljes mértékben mentesül. Ezt erősíti tovább az automatizálás, az önműködő berendezések fejlődése, s ennek egy fontos ága az irányítástechnika. Az irányítási rendszer következőkben bemutatásra kerülő működési vázlata az 1. ábrán látható. A különféle ipari, fizikai, kémiai stb. folyamatok üzemeltetése szükségessé teszi a folyamatok megfelelő minőségű, és biztonságos irányítását. Az irányítás során mindig valamely irányítási cél elérése érdekében történik valamilyen beavatkozás a folyamatba. Az irányító berendezés az irányított folyamatról szerzett információk alapján valamilyen döntési mechanizmusnak megfelelően megváltoztatja a folyamat bizonyos, közvetlenül befolyásolható jellemzőit, miáltal a befolyásolni kívánt irányított jellemző az irányítási célhoz közelít. A való életben előforduló folyamatokat különféle zavaró hatások is érik. Zavarok
Irányítási cél
Információszerzés
Információk feldolgozása és döntés
Beavatkozás
Folyamat
Irányított jellemző
1. ábra Az irányítási rendszer működési vázlata Milyen jellegű folyamatokra kell itt gondolni, és mi az irányítás? Hétköznapi irányítási feladat például a kellemes hőmérséklet beállítása a lakásban: a cserépkályhába helyezett fa mennyisége, illetve az ablak nyitása/zárása azok a jellemzők, amelyeket közvetlenül befolyásolni tudunk, ahol be tudunk avatkozni a kellő hőmérséklet, mint szabályozási cél érdekében. A hőmérsékletszabályozás egy lényeges, mindennapi életünk minőségét befolyásoló irányítási feladat (például hőfokszabályozós vasaló, mosogatógép, mosógép, kazánok, számítógépek hűtése ventillátorral, légkondicionálás stb.). Iparhoz közelebbi példa egy villamos motor fordulatszámának szabályozása, amely például egy futószalagot hajt, s a futószalagon szállított termék mennyisége az, amire ügyelni kell. Tipikus feladat továbbá egy tartályban lévő folyadék szintjének a szabályozása. A sort lehetne még tovább folytatni. Az irányítandó folyamatok palettája tehát rendkívül széles. A folyamatok működését sok esetben csak az abban járatos szakemberek segítségével lehet megérteni. A legkülönfélébb folyamatok azonban azonos matematikai egyenletekkel, függvényekkel írhatók le, így az irányítási rendszerek tanulmányozása megközelíthető a matematika oldaláról is. A jelen tananyag ezt az utat követi. Az információszerzés tulajdonképpen mérőműszereken keresztül történik, ezeket érzékelőknek, vagy szenzoroknak nevezzük (hőmérő, szögelfordulásmérő, sebességmérő stb.), a beavatkozás elvégzésére is rendelkezésre állnak a megfelelő berendezések (motorok, szelepek stb.). Az egyes műveleteket végző bonyolult berendezéseket szerveknek is nevezik.
3
Az irányítandó folyamatok és az egyes szervek tanulmányozása után felállítható a folyamatot, illetve az irányító berendezést matematikailag leíró modell (differenciálegyenlet, súlyfüggvény, átviteli függvény stb.), amelyekkel a következő leckében foglalkozunk. Már most megjegyezzük, hogy a különböző jellemzőket jelek testesítik meg, amelyek olyan időfüggvények, amelyek információt hordoznak. A jelekről is a következő leckében szólunk bővebben. Alapvetően kétfajta irányítás különböztethető meg: a vezérlés és a szabályozás. A vezérlés nyitott láncú irányítás (2. ábra), amikor az irányított jellemzőről szerzett információ nem vesz részt az irányításban. Ilyen például egy előre definiált időprogram szerinti működtetés. A szabályozás viszont zárt láncú irányítás, amikor az irányításban a folyamatról szerzett információ lényeges szerepet kap. A 3. ábrán látható ún. negatív visszacsatolást tartalmazó rendszer önműködő, azaz képes az előre nem látható hatásokat, zavarokat is korrigálni. Vezérlő
Folyamat
2. ábra A vezérlés blokkvázlata Az egyszerűsített szabályozási kör hatásvázlata a 3. ábrán látható, s a jelképzés, illetve jelátalakítás folyamatát, matematikai lényegét, jellegét emeli ki. A hatásvázlat építőelemeit tagoknak nevezzük. A szabályozott folyamat a szabályozott szakasz, melynek kimenete az y-nal jelölt szabályozott jellemző. Ezt egy érzékelő szerv, egy szenzor méri, s az ye jelet (ellenőrző jel) állítja elő, amit visszacsatolunk a szabályozási kör elejére. Az ua ún. alapjelet az alapjelképző szerv állítja elő, s a szabályozás célja, hogy a szakasz y kimenő jele ezt az ua alapjelet vegye fel. A szabályozott jellemző és az ellenőrző jel különbsége szolgáltatja az yh hibajelet: = − . Ha a szakasz kimenőjele és az alapjel azonos, akkor a hibajel zérus, vagyis szabályozásra nincs szükség, ellenkező esetben a szabályozó automatikusan működésbe lép, s létrejön az u beavatkozó (vagy irányító) jel, amely a szabályozott szakasz egy alkalmasan választott jellemzőjére hat. A zavaró hatásokat az yz jel reprezentálja. Ezek a jelek időfüggvények. ua
yh
Szabályozó
u
- y e
Szakasz
y
yz 3. ábra Zárt szabályozási kör hatásvázlata
Ebben a hatásvázlatban számos szervet nem tüntettünk fel az egyszerűség kedvéért, de megjegyezzük, hogy az ellenőrző jelet előállító szenzor, az alapjelet előállító szerv, a hibajelet generáló különbségképző szerv, a szabályozóban helyet foglaló különféle átalakítók, erősítők és a beavatkozó szerv mind-mind nagyon bonyolult berendezések. A 3. ábrán feltüntetett elnevezéseket és jelöléseket egy egyszerű, jól ismert példával próbáljuk közelebb hozni: a magnószalagot hajtó motor fordulatszámának szabályozása kapcsán. A szabályozott jellemző nyilvánvalóan a motor fordulatszáma, az ellenőrző jel a fordulatszámot mérő szenzor jele, ami valamilyen módon méri a motor fordulatszámát; ez egy villamos feszültségjel. Az alapjel a kívánt fordulatszámmal arányos feszültség. Az alapjel és az ellenőrző jel különbsége a hibajel. A szabályozó kimenőjele a beavatkozó jel, ami általános esetben a hibajel, a hibajel deriváltja és integrálja lineáris kombinációjaként áll elő (ezt a későbbiekben vizsgálni fogjuk). A zavarójel például a terhelőnyomaték, amit a szalag hajtása okoz. A szakasz bemeneti jele tehát a motor kapocsfeszültsége, kimeneti jele
4
pedig a fordulatszám. A szakasz tehát több belső egységből áll: motor, áttételek, dörzshajtás, mérőegység stb. Alapvetően kétfajta szabályozás van: értéktartó szabályozás és követő szabályozás. A fordulatszám-szabályozásnál maradva, az értéktartó szabályozás esetén a motor fordulatszámát állandó értéken kívánjuk tartani változó terhelőnyomaték mellett; a követő szabályozásnál időben változó fordulatszámot kell a motornak követni. További illusztratív példákat a következő leckében hozunk. Ellenőrző kérdések Rajzolja fel az irányítási rendszer működési vázlatát! Mit reprezentálnak az egyes elemek? Mi a vezérlés? Mi a szabályozás? Mi a különbség a nyílt és a zárt hatásláncú irányítás között? Rajzolja fel az egyszerűsített szabályozási kör hatásvázlatát! Magyarázza el az egyes tagok szerepét! Mit ábrázol a hatásvázlat?
5
2. lecke: Illusztratív példák Cél: A 2. lecke célja, hogy illusztratív példákon keresztül a hallgató megismerje a zárt szabályozási kör felépítését. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes • •
felrajzolni a szabályozás hatásvázlatát egyszerű példákra, és azonosítani az egyes tagokat.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 60 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak: • • • •
folyamat, szabályozási kör, szabályozási kör jelei, tag.
6
Tevékenység: Jegyzetfüzetébe rajzolja fel az egyes példákat reprezentáló irányítási rendszerek blokkvázlatát! A következőkben az 1. lecke 2. ábráján szereplő zárt szabályozási kör elemeit azonosítjuk néhány egyszerű, a hétköznapi életben fellelhető példán keresztül. Menetirány tartása Autóval közlekedve a menetirány szabályozását mi magunk végezzük kézi szabályozással. A szabályozott jellemző tehát a menetirány, az alapjel pedig a tervezett irány. A menetirány aktuális, pillanatnyi állapotát mi magunk érzékeljük, s a kormányt ennek megfelelően mozgatjuk. A folyamatba való beavatkozást a kormánykeréken keresztül biztosítjuk. Nagyon sok szabályozást ma is kézzel végzünk (zuhanyozás alkalmával a megfelelő hőfok beállítása, a szoba hőmérsékletének beállítása stb.), de sok esetben az emberi reakcióidő túl hosszú, az emberi szervezet nem elég megbízható, a szabályozást gépekre bízzuk. Zsilip Folyókon, csatornákon, de akár egy egyszerű öntözőrendszeren is zsilipek segítségével lehet a vízszint magasságát szabályozni. A folyamat tehát a víz szintjének alakulása. Az alapjel a víz szintjének kívánt magassága, a vízszint aktuális magasságát (a szabályozott jellemzőt) pedig mérni lehet. Ha a vízszint túl magas, akkor a zsilipet ki kell nyitni, ha a vízszint túl alacsony, akkor a zsilipet le kell zárni. Ezt végzi a szabályozó mechanizmus, a beavatkozás tehát zárást és nyitást jelent. Hasonló elven működik a tartályokban lévő folyadék szintjének beállítása. Tartály nyomásszabályozása Egy gáztartályban a nyomást állandó értéken kell tartani, s mindezt önműködő szabályozással kell megoldani. Az alapjel a nyomás értéke, amin a tartályban lévő gáz nyomását tartani kell. Ennek alapján állítják be a fúvóka szelepében található rugó előfeszítését, ami így gyakorlatilag a gáz nyomását méri. A fúvóka kinyit, ha a csőben lévő gáz nyomása meghaladja az alapjel által megszabott szintet, ellenkező esetben lezár. Autóval emelkedőn A gépkocsiba beépített TEMPOMAT-rendszer célja, hogy az autó sebességét egy kívánt szinten tartsa. A szabályozandó folyamat tehát az autó sebességének szinten tartása, az alapjel a beállított sebesség, a szabályozott jellemző pedig az autó aktuális sebessége. A szabályozó rendszer az autó célul tűzött, valamint tényleges sebességének eltérésétől függően változtatja a motor nyomatékát, így a sebesség mindig a kívánt értékű lesz. A berendezés alapvetően villamos rendszerű. A célul tűzött sebességgel arányos villamos alapjelet az alapjelképző állítja elő. A sebességmérő szenzor kimenőjele szintén villamos
7
feszültség, így az alapjel és ellenőrzőjel különbsége, vagyis a hibajel villamos úton könnyen képezhető. A beavatkozójel teljesítményerősítés után egy villamos motort működtet, mely beállítja gázpedál szögét. Logisztikai feladatok A logisztika anyagok, energiák, információk rendszereken belüli és rendszerek közötti áramlásának létrehozásával, irányításával és lebonyolításával kapcsolatos tevékenységek összessége. A fogyasztók, azaz a piac felveszi a megtermelt javakat. Bizonyos termékekből néha nagyobb mennyiségre, néha kevesebb mennyiségre van szükség. A piac tehát maga a szabályozott szakasz. Az alapjel reprezentálja, hogy mennyi árura volna szükség, ez a piaci igény. A szabályozott jellemző a termék aktuális mennyisége a piacon. Az igényeket felmérik, az információt visszacsatolják a terméket előállító gyárhoz, ami a megfelelő döntési mechanizmus lefolytatása után több, vagy épp kevesebb terméket bocsájt ki, esetleg a raktárhoz nyúl, vagy elraktároz. Villanyvasaló hőfokszabályozása A villanyvasalóban olyan hőfokszabályozó berendezés van, amely például ki- bekapcsolja a fűtőtekercs áramát, miáltal a vasalólap melegszik, vagy hűl. A kívánt hőmérsékletet, azaz az alapjelet egy forgatógombbal lehet beállítani. A vasalólap hőmérsékletét (a szabályozott jellemzőt) egy ún. ikerfém méri: ha a hőmérséklet meghaladja a kívánt értéket, az ikerfém a hőtágulás következtében kihajlik, s így megszakad az az áramkör, amely a vasalólapot hevíti. Ha a hőmérséklet lecsökken, akkor az ikerfémes kapcsoló ismét bekapcsol, a vasalólap melegszik. Az ikerfém tehát a szabályozást is megvalósítja. Ezt kétállású szabályozásnak is nevezik, a ki- bekapcsolás miatt a hőmérséklet ingadozik a kívánt érték körül. Kemence hőfokszabályozása Ipari csarnokokban, a gyártósorokról lejövő eszközök ellenőrzése céljából sok helyen alkalmaznak kemencét, hőkamrát a hőmérsékleti hatások tesztelésére. A szabályozási feladat ebben az esetben a kemence hőmérsékletének állandó értéken tartása. Ebben a rendszerben az irányítandó folyamat a kemence terében a hőmérséklet valamely szinten tartása, a szabályozott jellemző tehát a hőmérséklet. A hőmérsékletet hőelemmel mérjük. A hőelem olyan érzékelő, amely a hőmérséklettel arányos jelet állít elő, s ezt a jelet hasonlítjuk össze a kívánt hőmérséklettel arányos villamos jellel. A két érték különbsége vezérel egy beavatkozó elektronikát, ami a fűtőtekercs fűtőteljesítményét növeli, vagy épp csökkenti, ahogy szükséges. A szabályozás nehézsége abban áll, hogy a fűtőtekercs teljesítményének módosítása nem azonnal érzékelteti hatását, bizonyos késleltetés áll elő.
8
Kemencéknél sok esetben valamilyen menetrend szerinti szabályozást kell véghezvinni, amikor a hőmérsékletprofil időfüggvényét kell tartani. Generátor fordulatszámának szabályozása Közismert, hogy a villamos hálózat frekvenciája 50Hz. Az 50Hz-es hálózati feszültséget hatalmas forgógépek (generátorok) állítják elő erőművekben. A generátor által előállított teljesítmény a mindenkori felhasznált teljesítményhez kell igazodjon, különben a generátort hajtó turbina fordulatszáma megváltozik. A fordulatszám tehát a szabályozott jellemző, amit adott értéken kell tartani. A felhasznált teljesítmény figyelése alapján lehet a turbinára hatni, miáltal a fordulatszámot szabályozzák. Rúdegyensúlyozás A cirkuszi mutatvány, a rúdegyensúlyozás jól ismert (fordított ingának is nevezik). Ebben az esetben a cél, hogy a rúd függőleges maradjon, azaz dőlésszöge a függőlegeshez képest ne változzon. Az alapjel ezek szerint a nulla fok. A rúd dőlésszöge a szabályozott jellemző, a hibajel a kettő különbsége. Ha a rúd elkezd dőlni, akkor kézzel óvatosan, vagy gyors mozdulattal utána kell menni, vagyis szabályozni kell. Lebegtetés A mágneses gyorsvasút alapgondolata, hogy mágneses erőket felhasználva megemelik a vonatot, miáltal az lebegve siklik a pályán. Így elég nagy sebességet is el lehet érni, mivel a súrlódás nagyon kicsi. A mágneses elvű lebegtetésnél az alapjel egy magasságérték, amelyen lebegtetni akarjuk a rendszert, a magasság aktuális értékét visszacsatolva hibajelet lehet előállítani. Ez a hibajel egy elektronikát vezérel, amely az elektromágnes áramát módosítja úgy, hogy az előírt magasságot meg tudjuk tartani. Összefoglaló A szabályozás, vagyis egy folyamatba való beavatkozás a szabályozott jellemző mérése alapján történik. A szabályozott jellemzők mérésére a legkülönfélébb mérőberendezések léteznek, amiket szenzoroknak is nevezünk. A szabályozás során tehát megadjuk az alapjelet, vagyis a szabályozott jellemző azon értékét, amin azt tartani szeretnénk. Folyamatosan mérjük a szabályozott jellemző pillanatnyi értékét, amit összehasonlítunk az alapjellel. A két érték különbsége alapján úgy változtatjuk a beavatkozó jelet, hogy a különbség csökkenjen, ha lehet, megszűnjön. A szabályozási kör tehát egy nagyon összetett rendszer. Érzékelőket, beavatkozó aktuátorokat, különféle berendezéseket tartalmaz, amelyeknek összehangoltan kell működni. Felmerül a kérdés: minek szabályozni valamilyen folyamatot? A fenti példákból érezhető, hogy ha a folyamatokba nem avatkozunk be, akkor valamely jellemző értéke előbb-utóbb nemkívánatos mértékben változna meg. Ennek oka például a zavaró hatások megjelenése, amelyek előre nem ismertek, a szabályozástól függetlenek, s gyakorlatilag mindig 9
fennállnak. Mivel a zavaró hatás fellép, a szabályozott jellemző módosul, miáltal a szabályozó működésbe lép, s így a zavar hatása is megszűnik. A szabályozás tehát képes a zavaró hatások következményeit csökkenteni. A fenti példákból kitűnik, hogy a szabályozott jellemző jellege rendkívül változatos. Ilyen jellemző például tartályok vízállása, fordulatszám, sebesség, irány, teljesítmény, frekvencia, hőmérséklet, súly stb. Ebből a rövid listából is lehet érezni, hogy az érzékelők palettája, szerkezeti sokfélesége igen széles, sőt a legtöbb jellemzőt többféle módon is lehet mérni. A beavatkozó szervet a szabályozó működteti. A beavatkozó szerv jellege, formája igen szerteágazó. Ha például anyagáramot (folyadékot) kell szabályozni, akkor a beavatkozó szerv valamilyen csap, vagy szelep stb. A lecke végén megállapíthatjuk, hogy a szabályozás tulajdonságaira a szabályozási kör egyes részeinek, illetve egyes jellemzőinek időbeli viselkedése hatással van. Általában a szabályozási köröket nem lehet a viselkedés alapján vizsgálni, vagy épp tervezni. Szükséges tehát, hogy a szabályozási kört és annak részegységeit valamilyen egzakt matematikai módszer segítségével vizsgáljuk. A következőkben ezzel foglalkozunk. Ellenőrző kérdés Fogalmazza meg a fenti példákat saját szavaival! Foglalja össze saját szavaival a szabályozás lényegét! Foglalja össze a szabályozásban résztvevő tagokat, adja meg a szakszavakat!
10
3. lecke: A szükséges matematikai alapfogalmak áttekintése Cél: A lecke célja, hogy röviden áttekintsük azon matematikai ismeretanyagot, ami a továbbiak megértése szempontjából elengedhetetlen. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes • • • •
az itt közölt függvények felvázolására és képletének megadására, az itt közölt függvények deriváltjának képzésére, az itt közölt függvények integráljának képzésére, a komplex számokkal az itt közölt műveletek elvégzésére.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 120 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak: • • • •
függvény, derivált, integrál, komplex szám.
11
1. Függvényekről röviden Tevékenység: Jegyezze fel az itt közölt függvények képletét és diagramját! Tanulja meg a függvény definícióját! Röviden összefoglaljuk a legfontosabb tudnivalókat a függvényekről, s konkrétan néhány egyszerű függvényről. A függvény definíciója a következő: y az x függvénye, ha x minden tekintetbe vehető értékéhez y-nak egy, vagy több meghatározott értéke tartozik. Az x értékek a függvény értelmezési tartományát, az y értékek pedig a függvény értékkészletét alkotják. A független x változót a vízszintes tengelyen, a függő y változót a függőleges tengelyen mérjük fel. Irányítástechnikában, legegyszerűbb esetben egyváltozós időfüggvényekről beszélünk. Ebben az esetben a függvény értelmezési tartománya az 1. ábrán látható módon a t idő, értékkészlete pedig az időpillanatokhoz tartozó konkrét számérték. A függvénykapcsolatot a következőképp jelöljük: = ( ).
(1)
y
t 1. ábra Az időfüggvény A tananyagban csupán néhány függvényre szorítkozunk, ezek a következők: •
Elsőfokú függvények. A legegyszerűbb algebrai függvény alakja egy egyenes, ( )=
+ ,
(2)
ahol m az egyenes meredeksége, b pedig az az érték, ahol az egyenes a függőleges tengelyt a = 0 helyen metszi. 10 y=-4t+5
y=2t+1
y(t)
5
0
-5
-10 -5
-2.5
0 t
2.5
2. ábra Elsőfokú függvények
12
5
A 2. ábra két elsőfokú függvény alakulását mutatja. Az = 2 + 1 függvény meredeksége pozitív, a függvény tehát növekvő, a = 0 helyen értéke 1. Ugyanakkor az = −4 + 5 egyenes negatív meredekségű, a függvény csökkenő tendenciát mutat, s értéke 5 a = 0 helyen. Egyenes egyenletének felírásához két pontra van szükség az egyenesről, mivel (2) két paraméterrel bír. Erre később példát mutatunk. •
Szinuszos függvény. Az ( ) = sin(
+ )
(3)
alakú függvény rezgőmozgások leírására szolgál, de irányítástechnikában is lényeges szerepet tölt be. A függvény csúcsértékét X jelöli, ami a függvény amplitúdója, az ún. körfrekvencia, pedig a kezdőfázis. Sok esetben a szinuszos időfüggvény leírására a koszinuszos függvényt használjuk, a két függvény ugyanis egymásba alakítható, s ekkor ( ) = cos(
+ ).
(4)
2
x(t)
1
0
-1
-2 -4
-2
0 t
2
4
3. ábra Példa szinuszos függvényre A 3. ábra az ( ) = 2 sin (2 0,2 + ⁄3) időfüggvény alakulását mutatja, vagy ami ugyanaz, az ( ) = 2 cos (2 0,2 + ⁄3 − ⁄2) időfüggvényt. •
Exponenciális függvény. Az "( ) = #e%&
(5)
alakú függvény alapvető fontosságú a különféle ún. átmeneti folyamatok leírására, ahol M egy konstans számérték, a = 0 helyen a függvény az M értéknél metszi a függőleges tengelyt. Ha λ < 0, akkor a függvény az idő múlásával zérushoz tart (4. ábra folytonos vonallal jelölt függvénye), ha λ > 0, akkor a függvény minden határon túl növekszik (4. ábra szaggatott vonallal jelölt függvénye). A 4. ábrán látható függvények közül a szaggatott vonallal vázolt függvény esetén a * értéke abszolút értékben kisebb, így az lassabban változik.
13
20
u(t)
15
10
5
0 -1
-0.5
0
0.5
1
t
4. ábra Példa exponenciális függvényekre •
Két függvény kombinációja. A +( ) = #e%& cos(
+ )
(6)
alakú függvény csökkenő amplitúdójú szinuszos rezgést (λ < 0), vagy egy minden határon túl növekvő amplitúdójú (λ > 0) szinuszos rezgést ír le. Az 5. ábra példaként egy exponenciális csökkenő amplitúdójú szinuszos rezgés időfüggvényét mutatja. Így alakul például egy rugóra akasztott test kitérése az idő függvényében. 6
v(t)
3
0
-3
-6 -1
-0.5
0 t
0.5
1
5. ábra Példa exponenciálisan csökkenő amplitúdójú szinuszos függvényre
14
2. A derivált függvény Tevékenység: Jegyezze fel az itt közölt függvények deriváltját! Tanulja meg a definíciókat! Az (1) függvény ún. differenciahányadosa, amiből a derivált fogalma bevezethető, a következőképp definiálható. A 6. ábra mutatja a részleteket. A , helyen a függvény értéke , = ( , ), a - = , + Δ helyen pedig - = ( , + Δ ). A függvény értéke Δ = - − , megváltozásának és a független változó Δ megváltozásának a hányadosa a differenciahányados: /0 /&
=
01 203 /&
0(&3 4/&)20(&3 )
=
.
/&
(7)
y Δ
7 t1
t
t1+∆t
6. ábra A differenciahányados és a derivált bevezetéséhez Ez a differenciahányados a két kiválasztott pont között az iránytangens, ugyanis tg7 pontosan a (7) hányados értékével egyezik meg. Ezt a , helyen annál pontosabban tudjuk meghatározni, minél közelebb húzzuk a - helyet, azaz ha a Δ értékét minden határon túl nullára csökkentjük. Természetesen a (7) értéke is változik, amikor a Δ értéke változik. A differenciahányados így bevezetett határértéke a derivált, vagy differenciálhányados: lim
/0
/&→; /&
= lim
/&→;
0(&3 4/&)20(&3 ) /&
=
<0
= .
(8)
<& &3
Utóbbi jelölés azt jelenti, hogy a differenciálhányadost a , helyen határoztuk meg. A , helyen a függvény folytonos kell legyen, egyébként a derivált nem létezik. A derivált értéke pontról pontra változhat, így a derivált is függvénye a független változónak. A derivált egy pontban úgy értelmezhető grafikusan, hogy a függvényhez érintőt húzunk a kiszemelt pontban, s a derivált értéke pontosan az érintő egyenes meredeksége. A különböző függvényekhez a matematikával foglalkozók a (7) által definiált hányados (8)ban bevezetett határértékét, azaz a deriváltat meghatározták, amelyek táblázatok formájában a matematikakönyvekben fellelhetők. Az 1. pontban bemutatott néhány függvény deriváltja az alábbi: •
Elsőfokú függvény: ( ) = egyenes meredeksége.
•
Szinuszos függvény: ( ) = sin( + ), ′( ) = cos( + ). Láthatóan a szinuszfüggvény deriváltja koszinuszfüggvény, s ez fordítva is igaz, l. következő pont.
•
Koszinuszos függvény: ( ) = cos(
•
+ ,
′=
. A derivált tehát konstans, ami az
+ ),
?(
)=−
Exponenciális függvény: "( ) = #e%& , "′( ) = *#e%& .
sin(
+ ).
Az utolsó három esetben a láncszabályt, azaz a belső függvény deriváltját is alkalmazni kell! Ezek levezetése az analízis feladata, amivel e tananyag keretében nem foglalkozunk.
15
3. Az integrál Tevékenység: Jegyezze fel az itt közölt függvények integrálját! Tanulja meg a definíciókat! Előtanulmányainkból ismert, hogy minden műveletnek megvan a párja: az összeadásnak a kivonás, a szorzásnak az osztás, a hatványozásnak a gyökvonás stb. A differenciálszámítás párja az integrálás művelete. Ekkor az @′( ) függvényhez keressük azt az @( ) függvényt, amelynek deriváltja pontosan @′( ). Ebben a tananyagban az integrálás inkább formális művelet, egy-egy fogalmat definiál, s számításokban nem fogjuk használni. Igyekeztünk úgy összeállítani az anyagot, ismerve az előtanulmányi követelményeket, hogy abban az integrálás kevésbé legyen hangsúlyos. Az integrál fogalmát azonban grafikusan megadjuk (l. 7. ábra). Valamely @( ) függvény integrálja az a terület, amelyet a függvény és a t tengely felölel két érték (itt a és b) között. y
a
b
t
7. ábra A határozott integrál bevezetéséhez Ennek jelölése a következő: D
A = BE @( )d .
(9)
A különböző függvényekhez a matematikával foglalkozók az ún. primitív függvényeket meghatározták, amelyek táblázatok formájában a matematikai könyvekben fellelhetők. Ezek levezetése az analízis feladata, amivel e tananyag keretében nem foglalkozunk. 4. Komplex számok Tevékenység: Jegyezze fel az itt közölt definíciókat és összefüggéseket! Szinuszos jellegű rezgések leírására kiválóan alkalmazható a komplex számokon alapuló szimbolikus leírás, emiatt a komplex számokról röviden meg kell emlékezzünk. Egy komplex szám a 8. ábrán látható módon a komplex számsíkon ábrázolható.
= F(cos + jsin )
8. ábra A komplex szám ábrázolása
16
A vízszintes tengelyt valós (reális) tengelynek, a függőleges tengelyt képzetes (imaginárius) tengelynek nevezzük. Egy komplex számnak három alakja van: •
Algebrai alak. Egy komplex számnak valós (reális) része és imaginárius (képzetes) része van, ami a következő algebrai alakban írható fel: H̅ = J + j ,
(10)
ahol a a komplex szám valós része, jelölése: J = ℛℯ{H̅}, b pedig a komplex szám képzetes része, = ℐP{H̅}. A valós tengelyre az imaginárius tengely merőleges, utóbbi irányába a j = √−1 egységvektor mutat. •
Trigonometrikus alak. A (10) a 8. ábrán könnyen követhető módon felírható a következő alakban is: H̅ = F(cos + jsin ),
(11)
azaz J = Fcos , és = Fsin , továbbá F = √J- + - a komplex vektor hossza (a komplex szám abszolút értéke), illetve = atan ⁄J a komplex vektor (a komplex szám) szöge. A trigonometrikus alak átjárást biztosít az algebrai alak és a következő, ún. Euler-alak között. •
Euler-alak. Sok esetben a H̅ = FeST
(12)
Euler-alak előnyösen alkalmazható. Komplex számok összeadása és kivonása könnyen elvégezhető a (10) algebrai alakban, H̅, ± H̅- = (J, ± J- ) + j(
,
±
- ),
(13)
azaz az összeadandó, vagy kivonandó komplex számok valós részei és képzetes részei külön-külön összeadódnak, vagy kivonódnak, s így áll elő az összeg, vagy különbség valós és képzetes része. Komplex számok szorzása és osztása legegyszerűbben a (12) Euler-alakkal végezhető el, H̅, ∙ H̅- = WF, eST3 XWF- eST1 X = F, F- eS(T3 4T1 ) ,
(14)
azaz a szorzat eredményeképp kapott komplex szám abszolút értéke a két komplex szám abszolút értékeinek szorzata, a szorzat szöge pedig a két komplex szám szögeinek összege, illetve Y̅3 Y̅1
Z [\]3
Z
= Z3 [\]1 = Z3 eS(T3 2T1 ), 1
1
(15)
azaz az osztás eredményeképp kapott komplex szám abszolút értéke a két komplex szám abszolút értékeinek hányadosa, szöge pedig a két komplex szám szögeinek különbsége. A szorzás és osztás természetesen elvégezhető algebrai alakban is, ezzel azonban nem foglalkozunk, mert az Euler-alakot pontosan a műveletek elvégzésének egyszerűsítésére vezettük be.
17
5. Illusztratív példák Tevékenység: Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat! Írja fel az alábbi függvény egyenletét (9. ábra)! y 4 2 5 t 9. ábra A komplex szám ábrázolása Az egyenes egyenletének felírásához két pontra van szükség az egyenesen. Ezek rendelkezésre állnak, például: = 0, = 4, illetve = 5, = 2 ((0;4) és (5;2)). Helyettesítsük ezeket a (2) egyenletbe: 4=
0+ ,
2=
5+ .
= 4, és
Így egy kétismeretlenes egyenletrendszert kapunk, aminek megoldása: azaz ( ) = −0,4 + 4.
= −0,4,
Végezze el a (6) függvény deriválását! A +( ) = #e%& cos( + ) függvény két függvény szorzatából tevődik össze. A szorzatfüggvény deriválási szabálya a következő: (J )? = J? + J ′,
ahol J = #e%& , s így J′ = *#e%& , illetve azaz + ? ( ) = *#e%& cos(
= cos(
(16) + ), s így
+ ) − #e%& sin(
?
= − sin(
+ ),
+ ).
Végezze el az alábbi két komplex szám között az alábbi műveleteket: ^_ ^_` + a^_a , ^_`, ^_` ∙ ^_a ! a
H̅, = 2 + j5, és
H̅- = −2 + j2
A H̅, + 2H̅- művelet az algebrai alak szerint egyszerű:
H̅, + 2H̅- = (2 + j5) + 2(−2 + j2) = −2 + j9.
Az osztás és a szorzás Euler-alakban végezhető el egyszerűen, az Euler-alak –a részleteit is kiírva– a két esetben az alábbi: F, = |H̅, | = √2- + 5- = 5,39,
,
d
°
= atan - = 68,2° , H̅, = 5,39eShi,- ,
illetve F- = |H̅- | = j(−2)- + 2- = 2,83,
-
-
°
= 180° − atan - = 135° , H̅- = 2,83eS,kd .
18
Az osztás a következőképp végezhető el: ^_` ^_a
=
d,kl[\mn,1
°
° -,ik[\3op
°
= 1,9e2Shh,i = 0,75 − j1,75.
A szorzás pedig a következő módon: °
°
°
^_` ∙ ^_a = 5,39eShi,- ∙ 2,83eS,kd = 15,25e2S,dh,i .
Célszerű a komplex szám szögét a r−180° , ⋯ , 180° t intervallumban felírni, oda átszámítani. Ellenőrző kérdések Mi a függvény? Hogy adhatunk meg függvényeket? Mi a függvény deriváltja? Definiálja a határozott integrál fogalmát! Definiálja a komplex szám fogalmát! Hogyan lehet egy komplex számot megadni?
19
Modulzáró kérdések Tevékenység: Oldja meg a következő feladatokat, illetve válaszolja meg az alábbi kérdéseket! Mi a vezérlés? Jelölje be az IGAZ állítást (több válasz lehet igaz)! A vezérlés zárt láncú irányítás. A vezérlés nyílt láncú irányítás. A vezérlés alkalmas például egy mosógép működésének irányítására előírt időprogram szerint. A vezérlés képes a zavarok automatikus elhárítására. A vezérlés visszacsatolást tartalmaz. Mi a szabályozás? Jelölje be az IGAZ állítást (több válasz lehet igaz)! A szabályozás zárt láncú irányítás. A szabályozás nyílt láncú irányítás. A szabályozás negatív visszacsatolást tartalmaz. A szabályozás képes a zavarok automatikus elhárítására. Melyik állítás IGAZ (több válasz lehet igaz)? Az irányítás során az irányítandó folyamat működésébe beavatkozás történik. A beavatkozás a szabályozás során visszacsatolás eredményeként születik. A negatív visszacsatolás során az alapjelből vonjuk ki a szabályozott jellemzőt. A hatásvázlat az irányítási rendszer egyszerű blokkdiagramja. Adja meg azon egyenes egyenletét, amely a (0;2) és az (1;-1) pontokon átmegy! Az alábbiak közül válassza ki a HELYES megoldást! y=2t+3.
y=3t+2.
y=-2t+3.
y=-3t+2.
Adja meg az ( ) = 5 cos(2 + /3) függvény deriváltját! Az alábbiak közül válassza ki a HELYES megoldást! ′( ) = −10 sin(2 + /3)
′( ) = −10 cos(2 + /3) ?(&)
= −5 sin(2 + /3)
′( ) = 10 sin(2 + /3)
Adja meg a H̅, = 2 − j5 és a H̅- = 2 − j2 komplex számok összegének és különbségének a szorzatát, azaz a (H̅, + H̅- )(H̅, − H̅- ) komplex számot algebrai alakban! Az alábbiak közül válassza ki a HELYES megoldást! +21-12j
-21+12j
-21-12j
+21+12j
20
Irányítástechnika 2. modul: Jelek és rendszerek A tananyag második modulja három leckéből áll. A leckék a Jelek és rendszerek tárgykörével foglalkoznak, összefoglaljuk a rendszerelmélet jelen tananyag szempontjából legfontosabb összefüggéseit: az 1. lecke a jelekkel, a 2. lecke pedig a rendszerekkel foglalkozik. A 3. leckébe néhány illusztratív példát gyűjtöttünk össze. A leckék végén önellenőrző feladatok és kérdések segítik a tanulást. A feladatok végeredményét közöljük. Az önellenőrző kérdéseket úgy tesszük fel, ahogy az a leckékben előfordult. A modul fő célja, hogy a hallgató megismerje azon alapvető rendszerelméleti fogalmakat és összefüggéseket, amelyek az irányítástechnika megértéséhez szükségesek. Ezek a fogalmak a jelek és rendszerek témakörébe esnek. Itt egységes jelölésmódot használva összefoglaljuk a lényegi részeket, a téma iránt mélyebben érdeklődő Olvasó a következő elektronikusan elérhető egyetemi jegyzetekben talál további ismeretanyagot: Horváth Péter, A mechatronika alapjai I.-II., Széchenyi István Egyetem, 2006, elektronikus jegyzet, Kuczmann Miklós, Jelek és rendszerek, Széchenyi István Egyetem, 2006, elektronikus jegyzet (1-6 fejezetek). Figyelem! Ez egy hosszú és száraz, képletekkel elhalmozott modul, de megértése elengedhetetlen a továbblépéshez.
21
1. lecke: Jelek Cél: A tananyag célja, hogy a hallgató megismerje a jelekkel, azon belül is a folytonos idejű jelekkel kapcsolatos alapvető fogalmakat és összefüggéseket, amelyek az irányítástechnika megértéséhez szükségesek. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes • • • •
definiálni a jel fogalmát, s azok típusait, jellemzőit, definiálni az egységugrásjel fogalmát, megadni a Dirac-delta definícióját, az általánosított derivált fogalmával dolgozni.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 180 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak • • • • •
időfüggvények, jelek, folytonos idejű jelek és diszkrét idejű jelek, vizsgálójelek (egységugrásjel, Dirac-impulzus, szinuszos jel), általánosított derivált.
22
1. Jelek Tevékenység: A folytonos idejű és a diszkrét idejű jelek itt közölt leírását jegyzetelje ki füzetébe! Jegyezze fel az egységugrásjel és a Dirac-impulzus függvényét, és azok kapcsolatát! A jel definíciója Az 1. modulban többször említettük, hogy a szabályozott jellemzőről mérés útján kapunk információt. Az alapjelet szintén mérnünk kell, hogy a szabályozott jellemzővel össze lehessen hasonlítani, s a hibajel mérésével jutunk el a szabályozó bemenetére. Nem emeltük ki, de tulajdonképpen a jel egy időfüggvény, ami szenzorok segítségével mérhető, és az idő függvénye, többnyire feszültség. A különböző folyamatok mérhető mennyiségeiről információt mérőműszerek (például hőmérő, sebességmérő, nyomásmérő, feszültségmérő műszer, oszcilloszkóp stb.) segítségével kaphatunk. Ezen mért mennyiségeket fizikai mennyiségeknek nevezzük, melyek matematikai leírását változók bevezetésével végezzük, értékük pedig egy adott mértékegységben (például SI-egységrendszerben) kifejezett számérték. Ha egy hűtött folyadék hőmérséklete például v = 26 w C, akkor itt a folyamat például a folyadék hűtése valamilyen hűtőgéppel, s a folyadék hőmérsékletét (ez a fizikai mennyiség) hőmérővel mérjük, a hőmérsékletet pedig a T változóval jelöljük, és a folyadék 26 celsius fokos. A jel a fizikai mennyiség olyan értéke vagy értékváltozása, amely egy egyértelműen hozzárendelt információt hordoz. A jel tehát információtartalommal bír. Sok esetben a változó és a jel ugyanazt jelenti. Jelek matematikai leírására függvényeket alkalmazunk, melyek (legegyszerűbb, de tipikus esetben) egy független változó és egy függő változó között egyértelmű kapcsolatot adnak meg. A független változó (a függvény argumentuma) értékeinek halmaza alkotja a függvény értelmezési tartományát, a függő változó összes értéke pedig a függvény értékkészletét. Ha a jel az idő argumentum minden valós értékére értelmezett, akkor folytonos idejű jelről beszélünk. Ha az ilyen ún. analóg jelből mintákat veszünk, akkor diszkrét idejű jelről beszélünk. Folytonos idejű jeleket a következő módon adhatunk meg: •
időfüggvénnyel (képlettel),
•
grafikonon ábrázolva,
•
értékeinek felsorolásával (mintavételezés),
•
differenciálegyenlettel.
A következőkben az egyes esetekre példát is láthatunk. A tananyagban csak determinisztikus jelekkel foglalkozunk. Egy jelet determinisztikus jelnek nevezünk, ha értéke minden időpillanatban ismert vagy meghatározható, kielégítő pontossággal mérhető, s az megismételhető folyamatot ír le. Ilyenkor a jel elvileg képlettel, időfüggvénnyel leírható. Ennek párja a sztochasztikus jel. Sztochasztikus jelről beszélünk, ha a jel mérésére tett kísérletek különböző, ,,véletlenszerű” eredményeket szolgáltatnak. Ebben az esetben nem tudunk egyértelműen egy időfüggvényt megadni, hanem a jel statisztikus tulajdonságait kell meghatározni, pl. a jel ún. várható értékét.
23
Folytonos idejű és diszkrét idejű jelek A folyamatok jele általában analóg jel, ami azt jelenti, hogy a jel az idő minden valós értékére értelmezett. Ilyen folytonos idejű jel például az alábbi szinuszos időfüggvény: ( ) = 2,5 sin (2 50 + ⁄18).
(1)
Megjegyezzük, hogy t jelöli a folytonos időt. Az 1. modulban láthattuk, hogy a jelek betűjele mellett szereplő (t) jelölést elhagytuk, ekkor = ( ), de a tárgyalás elején egyértelműsíteni kell, hogy x folytonos idejű. A modern irányítási rendszerek számítógéppel támogatott rendszerek, amelyek a folytonos idejű jelekből mintavételezési hardverek segítségével valamilyen vy mintavételezési 3 periódusidővel mintákat vesznek. Az (1) jel például a vy = pzz { mintavételezési periódusidővel az 3 ( | ) = 2,5 sinW2 50 pzz } + ⁄18X = 2,5 sin(0,2 } + ⁄18)
alakban írható fel, ahol
|
= }vy és } egész szám. Utóbbi egy ún. diszkrét idejű jel, ami az r}t = 2,5 sin(0,2 } + ⁄18)
(2)
mintasorozattal írható fel, s az argumentumban csak azt jelöljük, hogy hányadik mintáról van szó. Az (1) képlettel adott folytonos idejű és a (2) formulával felírt diszkrét idejű jelet az 1. ábrán látható módon lehet grafikusan ábrázolni. Szinuszos jelekkel még foglalkozunk, itt csak példaként szolgál.
2.5
2.5
1.25
1.25 x[k]
x(t)
A továbbiakban csak folytonos idejű jelekkel foglalkozunk.
0
0
-1.25
-1.25
-2.5
-2.5
0
10
20 t [ms]
30
40
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 k
1. ábra Folytonos idejű és diszkrét idejű jelek grafikus ábrázolása Az egységugrásjel Az egységugrásjel (Heaviside-függvény) a rendszerelméletben fontos szerepet tölt be, jele és definíciója az alábbi (2. ábra): `(~) = •
€, `,
~ < €, ~ > €,
(3)
azaz a ~ = € helyen ennek a jelnek egységnyi ugrása van. A jel értéke a ~ < € időpillanatokban nulla, felette pedig egységnyi. Ez a jel belépő jellegű, mert a ~ = € időpillanatban kezdődik a nullától különböző érték, úgy mondjuk, a ~ = € helyen lép be.
24
A Heaviside-függvény egy szelep (kapcsoló) működését írja le. Ha ez a szelep például egy csövön helyezkedik el, amelyben valamilyen anyag áramlik, és a szelepet a ~ = € időpillanatban kapcsoljuk be, akkor a bekapcsolás előtt nem volt anyagáramlás, a bekapcsolás után viszont rögtön elindul az anyagáramlás.
2. ábra Az egységugrásjel (bal oldal) és eltoltja • > € (jobb oldal) esetén
Az (~) = `(~)‚(~) szorzatfüggvény például egy olyan belépő időfüggvény, amely a ~ < € időpillanatokban nulla, hiszen ott `(~) definíció szerint zérus, a ~ > € időpillanatokban pedig az ‚(~) függvény szerint alakul. Erre mutat példát a 3. ábra. y
t 3. ábra A belépőjel a t < 0 időpillanatokban zérus értékű Az ún. eltolt egységugrásjel időben eltolva jelenik meg (2. ábra): `(~ − ƒ) = •
€, `,
~ < ƒ, ~ > ƒ.
(4)
Ha • > €, akkor az egységugrásjel jobbra tolódik, ellenkező esetben balra. Az (~) = `(~ − …)‚(~ − …) szorzatfüggvény a T időpillanatban lép be, azaz a ~ < … időpillanatokban nulla. Figyeljük meg, hogy a t helyére mindenhol t-T kerül (4. ábra). y
T t 4. ábra A T helyen belépő jel a t < T időpillanatokban zérus értékű A 4. ábrán szereplő jelet úgy kapjuk, hogy a 3. ábrán szereplő jelet egyszerűen jobbra eltoljuk T értékkel, a függvény lefutása nem változik meg. Illusztratív példák az egységugrásjel alkalmazására Írjuk fel az 5. ábrán látható három időfüggvény képletét! x
y A
A
T
t
T
5. ábra Az illusztrációban szereplő időfüggvények grafikonja 25
t
A felvázolt jelek ún. ablakozott jelek, ami annyit jelent, hogy a függvény értéke egy intervallumon (az ablakon) kívül mindenütt nulla. Ez az intervallum a ~ ∈ r€, … , …t. Az ablakot a ˆ ~
` ~
` ~
…
(5)
jelöli ki, ami a 2. ábrán látható két függvény különbsége. A ˆ ~ függvény a ~ ( € időpillanatokban nyilvánvalóan nulla, ugyanez igaz a ~ ) … időpillanatokra is. Előbbi intervallumon ` ~ is és ` ~ … is nulla, a ~ ) … időpillanatokban viszont mindkettő egységnyi, különbségűk tehát nulla. A kérdéses ~ ∈ r€, … , …t intervallumon viszont ` ~ egységnyi értékű, de ` ~ … nulla, azaz különbségük egységnyi. Ha a ˆ ~ ablakozó függvénnyel beszorzunk egy ‚ ~ függvényt, akkor olyan függvényt kapunk eredményül, ami a ~ ∈ r€, … , …t intervallumon az ‚ ~ függvénnyel egyezik meg, azon kívül pedig nulla. Az 5. ábrán a bal oldali ‰
‰ ~ függvény ezen intervallumban konstans, azaz ‰ ~
Šr` ~
… t.
` ~
~
A jobb oldali ábrán két időfüggvény is szerepel. A folytonos vonallal rajzolt időfüggvény egy lineáris növekvő egyenes szerint alakul, s így ~
~
Š r` ~
… t.
` ~
…
A pontvonallal rajzolt egyenes csökkenő, vagyis ~
Š ‹`
~
Πr` ~
` ~
…
… t.
A Dirac-impulzus A Dirac-impulzus egy nagyon rövid ideig tartó, egységnyi alapterületű, tűszerű impulzus matematikai leírására szolgál. Egyszerűen és szemléletesen úgy juthatunk el a Diracimpulzushoz, hogy vesszük a 2. ábrán látható egységugrásjelnek és eltoltjának a különbségét, s az így előálló jelet `•-val beszorozzuk, majd a • értékét fokozatosan nullához csökkentjük, ahogy az a 6. ábrán látható. Ha úgy tetszik, az 5. ábrán látható bal oldali jel esetén Š `/•. A • ~, • -val jelölt ún. egységnyi intenzitású impulzus területe mindig egységnyi, hiszen szélessége •, magassága pedig `•, képlet formájában pedig a következőképp írhatjuk fel: • ~, •
` ~ 2` ~2• •
.
6. ábra A Diracimpulzus szemléltetése
(6)
Ha • → €, akkor • ~, • → • ~ , ami a Dirac-féle deltafüggvény, vagy Dirac-impulzus. A Dirac-impulzus értéke tehát minden t időpillanatban nulla, kivéve a ~ € helyet, ahol értéke oly mértékben nagy, hogy intenzitása, területe egységnyi. Ezt integrál formájában is ki lehet fejezni: •
B2• • ~ Ž~
`.
(7)
Megjegyezzük, hogy a valóságban Dirac-delta ebben a formában nem létezik, de nagyon rövid ideig tartó, tűszerű impulzusok léteznek, amelyek matematikai leírására a • ~
26
függvény nagyon hatékonyan alkalmazható. Ilyen tűszerű impulzus például a kalapácsütés, vagy a villámlás. Igazolás nélkül állítjuk, hogy az egységugrásjel idő szerinti deriváltja a Dirac-impulzus: `? ~
• ~ .
(8)
Ennek fordítottja, hogy a Dirac-impulzus integrálja pontosan az egységugrásjel: ` ~
~
B2• • • Ž•.
(9)
Ezt általánosított deriváltnak is hívjuk, s ugrással (véges szakadással) rendelkező jelek deriváltjának képzésében lesz segítségünkre. 2. Illusztratív példák Tevékenység: Próbálja meg önállóan megoldani a következő példákban kitűzött feladatokat! Ha nem sikerül, olvassa el figyelmesen a megoldást, és próbálkozzon újra! a.) Deriváljuk az 5. ábrán felvázolt ablakozott jeleket. Az ‰ ~ Šr` ~ ` ~ … t deriváltját képezni egyszerű, hiszen az két ugrásfüggvény különbségéből áll, a derivált tehát: ‰′ ~
Šr• ~
• ~
… t.
A 7. ábrán bal oldalon vázoltuk fel ezt az időfüggvényt, amely két Dirac-impulzusból áll, s mindkettő A-val arányos területű: Š• ~ és Š• ~ … . Látható, hogy a függvény szakadásának helyén a ~ € helyen és a ~ … helyen a deriváltban a szakadás mértékével arányos Dirac-impulzus jelenik meg. y’
x’
A/T T
T
t
t
7. ábra Az illusztrációban szereplő deriváltak időfüggvénye ~
Az ~ Š … r` ~ ` ~ … t függvény deriváltja némileg bonyolultabb, a szorzatfüggvény mindkét tagja ugyanis függ a t változótól. A függvény ~ • ~ ‘ ~ ~ alakban felírható, ahol • ~ r` ~ ` ~ … t ablakozó függvény és a ‘ ~ Š …. A szorzatfüggvény deriválási szabálya szerint a derivált a következő: •‘
?
•? ‘ + •‘?
r` ~
` ~
~
… t? Š … + r` ~
` ~
~
… t ‹Š …Œ ′,
azaz ?
~
r• ~
• ~
~
… tŠ + r` ~ …
` ~
`
… t ‹Š Œ. …
Ezután figyelembe kell venni, hogy • ~ ‚ ~ • ~ ‚ € , illetve • ~ … ‚ ~ • ~ … ‚ … , azaz a Dirac-deltával beszorzott függvényt ki kell számolni a Dirac-impulzus
27
megjelenésének helyén, hiszen a Dirac-delta (következésképp a szorzatfüggvény is) mindenütt nulla, kivéve a megjelenésének helyén. Végeredményben: ?
~
… + r` ~
Š• ~
` ~
`
… t ‹Š …Œ.
A grafikon a 7. ábrán látható a jobb oldalon. Megjelenik egy konstans értékű ablakozott jel, ami a pozitív meredekségű egyenes deriváltjának felel meg. A derivált jel végén szereplő Š• ~ … Dirac-impulzus –A-val arányos, ugyanis a jel A-ról ugrik 0-ra, azaz az ugrás értéke –A. Az ~ Š ‹` vezethető le:
~
Πr` ~
` ~
…
?
~
… t függvény deriváltja a fentiekhez hasonló módon r` ~
Š• ~
`
… t ‹Š Œ.
` ~
…
A Dirac-delta a ~ € helyen jelenik meg, hiszen a függvénynek itt van ugrása, a derivált az ablakban negatív értékű, hiszen az egyenes negatív meredekségű. b.) Deriváljuk a 8. ábrán felvázolt ablakozott jelet: ‰ ~
r` ~
` ~
a t
2€,’~
.
A jel értéke a ~ ∈ [€, … , a] intervallumon kívül nulla, azon belül pedig egy exponenciális függvény által leírt grafikon szerint alakul. 1
x(t)
0.75
0.5
0.25
0 -2
0
2
4
t
8. ábra Az illusztrációban szereplő példa A függvény egy ‰(~) = •(~)‘(~) szorzatfüggvény: az •(~) = [`(~) − `(~ − a)] ablakozó függvényből és a ‘(~) = 2€,’~ függvényből tevődik össze. A szorzatfüggvény deriválási szabálya szerint a derivált a következő: (•‘)? = •? ‘ + •‘? = [`(~) − `(~ − a)]?
2€,’~
+ [`(~) − `(~ − a)](
2€,’~ )′,
azaz ‰? (~) = [•(~) − •(~ − a)]
2€,’~
+ [`(~) − `(~ − a)](−€, ’
2€,’~ ).
Lényeges pont, hogy •(~)‚(~) = •(~)‚(€), azaz a Dirac-deltával beszorzott függvényt ki kell számolni a Dirac-impulzus megjelenésének helyén, hiszen a Dirac-delta
28
(következésképp a szorzatfüggvény is) mindenütt nulla, kivéve a megjelenésének helyén. Végeredményben: ‰? (~) = •(~) − •(~ − a)
2€,’∙a
− €, ’[`(~) − `(~ − a)]
2€,’~
.
Látható, hogy a ~ = € helyen egy Dirac-delta, a ~ = a helyen pedig egy − 2€,’∙a -vel arányos Dirac-delta jelenik meg. Előbbi helyen a függvény egységnyit ugrik pozitív irányba, utóbbi helyen pedig 2€,’∙a értéket csökken, s ezen ugrások a deriváltban Dirac-deltának felelnek meg. Ellenőrző kérdések Mi a jel? Jellemezze a folytonos idejű és a diszkrét idejű jeleket! Mi a mintavételezés lényege? Definiálja az egységugrásjelet! Mi az ablakozó jel és mire jó? Mi a belépő jel? Mi az egységnyi intenzitású impulzus? Származtassa a Dirac-impulzust az egységnyi intenzitású impulzusból! Mi az általánosított derivált?
29
2. lecke: Rendszerek Cél: A lecke célja, hogy a hallgató megismerje azon alapvető rendszerelméleti fogalmakat és összefüggéseket, amelyek az irányítástechnika megértéséhez szükségesek. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes • • • • •
definiálni a rendszer fogalmát, s azok típusait, jellemzőit, a folytonos idejű rendszer időtartománybeli analízisére a konvolúció és az állapotváltozós leírás segítségével, értelmezni az átviteli karakterisztikát, Bode-féle törtvonalas közelítéssel felvázolni egyszerűbb átviteli karakterisztikákat, alkalmazni a Laplace-transzformációt.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 420 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak • • • • • • • • •
rendszerek, vizsgálójelek (egységugrásjel, Dirac-impulzus, szinuszos jel), ugrásválasz, impulzusválasz, konvolúció, állapotváltozós leírás, átviteli karakterisztika, Nyquist-diagram, Bode-diagram, átviteli függvény, Laplace-transzformáció.
30
1. Rendszerek Tevékenység: Jegyzetfüzetébe foglalja össze a rendszerekkel kapcsolatos alábbi fogalmakat! A modell egy fizikai objektum valamilyen leírása, melynek segítségével modellezhetjük, matematikailag reprezentálhatjuk annak működését. A rendszer egymással kapcsolatban lévő egységek összessége, ebben a tananyagban rendszer alatt a szabályozandó folyamatot, a szabályozó berendezést, s ezek együttesét is érthetjük. A modell lényege, hogy matematikai formába öntsük azt a bonyolult folyamatot, amelynek szimulációját el szeretnénk végezni (például egy rendszer működését) annak érdekében, hogy megbizonyosodjunk az objektum tulajdonságairól, megtudjuk, hogy az hogyan fog viselkedni, ha valamilyen hatás éri. Ezek a külső hatások a rendszer bemenetei, másnéven gerjesztések, s a rendszer ezen gerjesztésekre válaszokkal reagál, melyek a rendszer kimenetei. Az előző részben tárgyalt jelek tehát akár a rendszer bemenetei és kimenetei is lehetnek. A továbbiakban olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen bemenetük és egyetlen kimenetük van. Ezeket SISO-rendszereknek is nevezzük (single input single output). MIMO (multiple input multiple output), azaz több bemenetű és több kimenetű rendszerekkel az egyszerűség kedvéért nem foglalkozunk. Léteznek még SIMO- és MISOrendszerek. A tananyagban csak lineáris, időinvariáns és kauzális rendszerekkel foglalkozunk, és feltételezzük, hogy a rendszer modellje valamilyen formában, ún. rendszerjellemző függvényként ismert. Az 1. modul 1. leckéjében a szabályozót és a szakaszt egy-egy dobozzal szimbolizáltuk, a rendszert a továbbiakban is ezzel a szimbólummal fogjuk jelölni. A bemeneti jelet "( )-vel, a kimeneti jelet pedig ( )-vel fogjuk jelölni. Lineáris egy rendszer, ha a gerjesztés-válasz kapcsolatát reprezentáló rendszerjellemző függvény lineáris, azaz érvényes rá a szuperpozíció elve: ha például a rendszer az ", ( ) bemeneti jelre az , ( ) válasszal felel, az "- ( ) bemeneti jelre pedig az - ( ) jellel, akkor lineáris rendszer esetén igaz, hogy a “, ", ( ) + “- "- ( ) bemeneti jelre a válasz “, , ( ) + “- - ( ) lesz. Ha ez nem teljesül, akkor a rendszer nemlineáris. Időinvaráns egy rendszer, ha a gerjesztés időbeli eltolása azt eredményezi, hogy a válaszban csak egy ugyanekkora időbeli eltolódás következik be (1. ábra). Más szavakkal: a bemenőjelre adott válasz nem függ a bemenőjel alkalmazásának időpontjától. Az időinvariancia tehát azt jelenti, hogy a rendszer nem időfüggő. Ha például a rendszer az "( ) bemeneti jelre az ( ) válasszal felel, akkor az invariáns rendszer az "( − ”) bemeneti jelre ( − ”) jellel felel. Ellenkező esetben a rendszer variáns, azaz időfüggő.
1. ábra Az időinvariancia illusztrálása
31
Kauzális egy rendszer, ha a válaszjel adott időpontbeli értéke csak a gerjesztés ezen időpontot legfeljebb megelőző, múltbéli értékeitől, illetve a válaszjel ezen időpontot megelőző értékeitől függ. Kauzális rendszer esetén belépő gerjesztéshez belépő válasz tartozik, azaz, ha a gerjesztés a < 0 időpillanatokban zérus értékű, akkor a válasz is zérus ezen időpillanatokban. A kauzális rendszer kimenete és bemenete között ok-okozati kapcsolat van. A nem kauzális rendszert akauzálisnak is nevezzük. A tananyagban csak lineáris, időinvariáns és kauzális rendszerekkel foglalkozunk. 2. A rendszerjellemző függvények összefoglalása Tevékenység: Jegyezze fel a rendszerjellemző függvényeket, vázolja fel az egyes rendszerjellemző függvények kapcsolatát! Ebben a részben összefoglaljuk azon rendszerjellemző függvényeket, amelyek a rendszerek matematikai leírására szolgálnak. A rendszerjellemző függvények természetszerűleg a vizsgált, leírandó tag fizikai adottságaitól függenek. Sok esetben ez differenciálegyenlet formájában áll elő, ami megadja a tag kimenő és bemenő jeleinek időbeli viselkedését, illetve azok kapcsolatát. A tagok számának, a szabályozási kör bonyolultságának növekedtével a differenciálegyenletek megoldása egyre nehezebb és nehezebb lesz. Ez vezetett el olyan matematikai technikák kidolgozásához, amelyek jelentősen egyszerűsítik a megoldás menetét, s kevesebb matematikai felkészültséget is igényelnek. Egyik ilyen módszer a frekvenciatartománybeli vizsgálatok módszere, amelyet mi is alkalmazni fogunk. Nagyon érdekes, hogy a legkülönfélébb szakterületekről származó problémák ugyanazon típusú differenciálegyenletekre vezetnek, emiatt tárgyalásunk a lehető legáltalánosabb lehet. A rendszerjellemző függvény olyan matematikai formula, amelyet viszonylag egyszerűen lehet identifikálni a rendszeren végzett egyszerű mérések alapján, s alkalmas a válaszjel számítására tetszőleges bemenőjel esetén. Matematikailag tehát egyértelműen megadja, modellezi a valódi rendszer működését. A következő rendszerjellemző függvényeket soroljuk fel: •
A +( )-vel jelölt ugrásválasz (átmeneti függvény) az egységugrásjelre adott válasz. Ezt nagyon egyszerű mérni, s szoros kapcsolatban van a
•
•( )-vel jelölt impulzusválasszal (súlyfüggvény), ami rendszerelméleti szempontból rendkívül lényeges. Az impulzusválasz a Dirac-delta jelre adott válasz, aminek mérése nehéz, de •( ) = +′( ), így az ugrásválasz alapján könnyen elő lehet állítani.
•
A rendszeregyenlet egy n-edrendű, közönséges, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenlet.
•
Az állapotváltozós leírás pedig n számú elsőrendű, közönséges, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletből álló differenciálegyenlet-rendszer. A rendszeregyenlet és az állapotváltozós leírás egymásba alakítható.
•
Szinuszos gerjesztésre adott állandósult szinuszos válasz számítására a –(j ) átviteli karakterisztika szolgál. Az átviteli karakterisztika bonyolultabb periodikus jelekre adott válasz számítására is alkalmas a Fourier-sor alkalmazásával, sőt, a Fourier-transzformáció bevezetésével általánosabb jelek vizsgálatára és spektrális jellemzők meghatározására is használható. Egyszerű kapcsolat áll fenn az átviteli karakterisztika, valamint a rendszeregyenlet, illetve az állapotváltozós leírás között,
32
így azok egymásba könnyedén átalakíthatók. A Fourier-sorral és transzformációval a jelen tananyagban nem foglalkozunk, emiatt nem is boncoljuk tovább. •
A később tárgyalandó Laplace-transzformáció segítségével lehet előállítani a –(—) átviteli függvényt, ami nagy mértékben megkönnyíti a számításokat. Az átviteli függvény az impulzusválasz Laplace-transzformáltja, kauzális és stabil rendszer esetében pedig — = j helyettesítéssel az átviteli karakterisztika és az átviteli függvény egymásba alakítható. Egyszerű kapcsolat áll fenn az átviteli függvény, valamint a rendszeregyenlet, illetve az állapotváltozós leírás között, így azok egymásba könnyedén átalakíthatók.
A következőkben megfogalmazzuk az általános összefüggéseket, de mindenütt bemutatjuk a lehető legegyszerűbb formulákat. A tárgy keretében csak a legegyszerűbb formulákkal fogunk számításokat végezni. 3. Folytonos idejű rendszerek időtartománybeli analízise Tevékenység: Jegyezze fel ismét a rendszerjellemző függvényeket, gyűjtse össze az időtartományban használatos rendszerjellemző függvények definícióját, matematikai formuláját, s hogy velük miként lehet a válaszjelet meghatározni! Az ugrásválasz Az ugrásválasz (átmeneti függvény) az egységugrásjelre adott válasz, azaz ha a rendszer bemeneti jele speciálisan az 1( ) jel, akkor a kimeneti jel a +( )-vel jelölt ugrásválasz (2. ábra). Ennek mérése általában egyszerű, emiatt is fontos az ugrásválasz ismerete. u(t)=1(t)
y(t)=v(t)
Rendszer
2. ábra A rendszer ugrásválaszának definiálása A teljesség kedvéért elmondjuk, hogy amennyiben az ugrásválaszt ismerjük, akkor a rendszer tetszőleges "( ) bemenőjelre adott ( ) válasza számítható a következő integrál kiértékelésével: •
( ) = B2• "(”)
<˜(&2™) <&
d” .
(1)
Sok esetben azonban a gerjesztőjel belépő, kauzális rendszer ugrásválasza pedig a kauzalitás definíciója értelmében mindig belépő. Ilyen esetben az (1) integrál a következőképp alakul: &
( ) = B; "(”)
<˜(&2™) <&
d” .
(2)
Megjegyezzük, hogy a válaszjel integrálszámítás nélkül is elvégezhető a Laplacetranszformáció segítségével, a tananyagban kerülni fogjuk (1) vagy (2) alkalmazását, de elvi jelentőségüket hangsúlyozni szeretnénk (ezeket Duhamel-tételnek nevezzük). Az egyik legegyszerűbb, de tipikus esetben az ugrásválasz alakja a következő (* > 0): +( ) = 1( )šW1 − e2%& X.
(3)
A 3. ábra a +( ) = 1( ) 2(1 − e2,& ) függvény időbeli alakulását mutatja, a függvény a < 0 időpillanatokban zérus, kauzális rendszer ugrásválasza ugyanis belépő függvény. A függvény a = 0 időpillanatban nulla, majd exponenciális függvény szerint az ún. állandósult (stacionárius) állapothoz tart, aminek értéke K=2. Az exponenciális jellegű átmenetet tranziensnek (átmeneti folyamat) nevezzük.
33
2
v(t)=2(1-exp(-t))
1.5
1
0.5
0 0
1
2 t [s]
3
4
3. ábra Példa az ugrásválasz időbeli lefutására Tulajdonképpen nagy sokféle folyamat zajlik a 3. ábrán felvázolthoz hasonló módon. A sör például ilyen exponenciális időfüggvény szerint melegszik fel, ha az asztalon hagyjuk, de a meleg tea is exponenciális függvényt követve hűl ki. Így töltődik fel és sül ki egy kondenzátor az elektronikai berendezésekben stb. Az impulzusválasz Az impulzusválasz (súlyfüggvény) a Dirac-delta jelre adott válasz (4. ábra), azaz ha a rendszer bemeneti jele speciálisan a ›( ) jel, akkor a kimeneti jel a •( ) impulzusválasz. Ennek mérése a Dirac-delta jel előállítása miatt általában nehézkes, de az ugrásválasz ismeretében az impulzusválasz meghatározható annak általánosított deriváltjaként, azaz •( ) = +′( ).
(4)
y(t)=w(t) u(t)= ›( ) Rendszer (t) 4. ábra A rendszer impulzusválaszának definiálása Határozzuk meg gyakorlásképp a (3) függvény általánosított deriváltját: •( ) = + ? ( ) = ›( )šW1 − e2%& X + 1( ) *še2%& = 1( ) *še2%& . Az első tag nulla, hiszen a zárójeles kifejezést a 0 időpillanatban ki kell számolni, így adódik egy exponenciálisan csökkenő függvény, ami az impulzusválasz tipikus alakja. Az impulzusválasz előállítása az ugrásválasz ismeretében tehát valóban egyszerű feladatnak mondható. Ha az impulzusválaszt ismerjük, akkor a rendszer tetszőleges "( ) bemenőjelre adott ( ) válasza számítható a súlyfüggvény-tétel alkalmazásával, amit konvolúciónak is hívunk: •
( ) = B2• "(”)•( − ”)d”.
(5)
Sok esetben a gerjesztés belépő függvény, ami azt jelenti, hogy a < 0 időpillanatokra a jel értéke nulla. Az impulzusválasz kauzális rendszerek esetén belépő függvény! Belépő gerjesztés és kauzális rendszer esetében a válaszjel is belépő, s a következőképp számítható: &
( ) = B; "(”)•( − ”)d”, az integrálási határok tehát megváltoztak. 34
(6)
Megjegyezzük, hogy a válaszjel integrálszámítás nélkül is elvégezhető a Laplacetranszformáció segítségével. A tananyagban igyekszünk a matematikailag egyszerűbb utat követni, de a lényeges elméleti pontokat nem hagyhatjuk el. Ahogy arra utaltunk, a legegyszerűbb esetben az impulzusválasz alakja a következő: •( ) = 1( )#e2%& .
(7)
Az 5. ábra a •( ) = 1( ) 4e2-& függvény időbeli alakulását mutatja, a függvény a időpillanatokban zérus.
<0
4
w(t)=4 exp(-2t)
3
2
1
0 0
1
2 t [s]
3
4
5. ábra Példa az impulzusválasz időbeli lefutására Az impulzusválasz és a stabilitás Az impulzusválasz a rendszer ún. gerjesztés-válasz stabilitásának eldöntésére is szolgál. Egy rendszer gerjesztés-válasz stabil, ha korlátos gerjesztésre korlátos választ ad. Ennek vizsgálata a definíció szerint nehéz, az impulzusválasz ismerete azonban egyszerűsíti a vizsgálatot: a folytonos idejű, lineáris, invariáns és kauzális rendszer akkor és csakis akkor gerjesztés-válasz stabilis, ha impulzusválasza abszolút integrálható, azaz ha •
B2•|•( )|d < ∞.
(8)
Ez az integrál azt jelenti, hogy képezni kell az impulzusválasz időfüggvényének abszolút értékét, s meg kell vizsgálni, hogy az így előálló görbe alatti terület véges vagy sem. Az 5. ábrán látható impulzusválasz időfüggvényének görbe alatti területe szemmel láthatóan véges. A (8) feltétel a mi esetünkben tovább egyszerűsíthető, ugyanis elégséges feltétel, ha az impulzusválasz stacionárius állapotban nullához tart, azaz lecsengő jellegű. Felhívjuk a figyelmet, hogy az impulzusválasz az 5. ábrán látható módon e%& alakú exponenciális függvényekből áll, a fenti feltétel vizsgálata tehát egyszerű feladat az exponenciális függvény kitevőjében szereplő * szám előjelének vizsgálatával. Ha * negatív, úgy az impulzusválasz nullához tart, azaz a rendszer gerjesztés-válasz stabil, ellenkező esetben nem az. Korlátos a gerjesztés, ha az időfüggvény nem lép túl egy korlátot. Ilyen például az egységugrásjel, a szinuszos jel, a periodikus jelek, de nem korlátos az 1( ) jel, mert az minden határon túl nő, amennyiben az idő telik. A rendszer stabilitását más úton is el lehet dönteni, ahogy arról lentebb szólni fogunk. 35
A rendszeregyenlet A rendszeregyenletet a teljesség kedvéért említjük. A rendszeregyenlet definíció szerint a következő differenciálegyenlet (• ≥ (Ÿ)
( ) + ∑Ÿ¡¢, J¡
(Ÿ2¡)
):
(£2¡) ( ) = ∑£ ( ). ¡¢; ¡ "
(9)
Ez egy n-edrendű, közönséges, állandó együtthatós, inhomogén, lineáris differenciálegyenlet, aminek megoldása szolgáltatja a rendszer ( ) válaszjelét az "( ) bemenőjelre. Az (Ÿ) ( ) az ( ) változó idő szerinti n-edik deriváltját jelöli. A differenciálegyenlet közönséges, mert csupán a t változó szerinti deriváltakat tartalmazza (egyváltozós függvények esetében csak közönséges differenciálegyenlet adódhat, többváltozós függvények esetében beszélünk parciális differenciálegyenletekről). Az J¡ és ¡ együtthatók az általunk vizsgált időinvariáns rendszerek esetében konstans, állandó értékek. Ha a jobboldal zérustól különböző, akkor beszélünk inhomogén egyenletről, ellenkező esetben az egyenlet homogén. A differenciálegyenlet lineáris, mert sem a gerjesztőjel és annak deriváltjai, illetve sem a válaszjel és annak deriváltjai nem helyezkednek el valamilyen nemlineáris függvény argumentumában (nem emeljük például négyzetre), hiszen a rendszer, amit vizsgálunk, az is lineáris. Legegyszerűbb esetben a rendszeregyenlet a következőképp néz ki: ¤ ( ) + J, ( ) =
; "(
), vagy
¤ ( ) + J, ( ) =
; "¤ (
)+
, "(
).
(10)
Az idő szerinti deriváltat sokszor a változó fölé tett ponttal jelöljük. A rendszeregyenlet időtartománybeli megoldása az összetevőkre bontás módszerével történik, ami sok esetben nagyon nehéz feladat, habár a módszer rendszerelméleti szempontból nagyon lényeges. Irányítástechnikában a rendszeregyenlet Laplace-transzformáltját állítjuk elő, miáltal a megoldás menete jóval egyszerűbb. Megjegyezzük, hogy a rendszeregyenlet átalakítható állapotváltozós leírássá, s fordítva. Az állapotváltozós leírás Az állapotváltozó a változók olyan minimális halmaza, amelyek a következő két tulajdonsággal rendelkeznek: 1. Az állapotegyenlet ismeretében az állapotváltozóknak és a rendszer bemenőjelének a , időpontbeli értékéből meghatározható az állapotváltozó - > , időpontbeli értéke, és 2. ugyanezen , időpontbeli adatok alapján meghatározható a rendszer válasza a időpillanatban.
,
Állapotváltozó a rendszer dinamikus tagjaihoz, az integráló típusú tagokhoz köthető. Az állapotegyenlet egy differenciálegyenlet-rendszer, ami az állapotváltozók idő szerinti deriváltját (állapotsebesség) fejezi ki az állapotváltozókkal és a rendszer bemeneti jelével. A válaszjel ugyanezen változókkal kifejezhető. Az állapotváltozós leírás tehát az alábbi egyenletekből áll (hatásvázlata l. 6. ábra): ¥¤ = ¦¥ + §", = ¨ © ¥ + ª".
(11)
Vastagon szedett álló betűkkel írjuk a mátrixokat és a vektorokat. Itt x az állapotvektor, ami n számú változót foglal magába, u a SISO rendszer egyetlen bemenete, y pedig a kimenet,
36
A, b, c és D pedig a rendszertől függő állandókat tartalmazó mátrix, vektorok és skalár. Az A négyzetes (kvadratikus) mátrix neve állapotmátrix. A T betű a transzponáltra utal, ¨ © tehát sorvektor. A hatásvázlaton könnyen nyomon lehet követni a jelfolyam alakulását. Az integrátor (integráló tag) felel a dinamikus tulajdonságokért, azaz a tranziensek alakulásáért.
6. ábra Lineáris, dinamikus rendszer állapotváltozós leírását szemléltető hatásvázlat Legegyszerűbb esetben az állapotváltozós leírás például a következő alakot ölti: ¤ = « + ", = “ + ª".
(12)
Az A, b, c és D paraméterek tehát skalár értékűek, b, c és D lehet zérus is. Az állapotegyenlet is megoldható az összetevőkre bontás módszerével, illetve mátrixfüggvények segítségével, de ezekkel a módszerekkel itt nem foglalkozunk. Irányítástechnikában az állapotváltozós leírás egyenleteinek Laplace-transzformáltját állítjuk elő, miáltal a megoldás menete jóval egyszerűbb. Mind a négy időtartománybeli rendszerjellemző függvénynél említettük a Laplacetranszformációt. Ezzel a módszerrel lentebb ismerkedünk meg. A módszerről elöljáróban annyit kell tudni, hogy az időtartománybeli technikáknál használt (1), (2), illetve (5), (6) integrálás, valamint (9), vagy (10), illetve (11), vagy (12) egyenletek bonyolult megoldása helyett jóval egyszerűbb eljárást ad a kezünkbe, integrálást és differenciálegyenletmegoldást nem igényel. Emiatt előszeretettel alkalmazzuk rendszerelméleti, illetve irányítástechnikai problémák megoldásában. Az állapotváltozós leírás és a stabilitás Az állapotváltozós leíráshoz kapcsolt stabilitásfogalom az aszimptotikus stabilitás, ami az állapotvektor stacionárius állapotbeli viselkedését vizsgálja Dirac-delta bemenőjel esetén. Ha lim ¥( ) = €,
&→•
(13)
azaz, ha az állapotvektor a nullvektorhoz tart, akkor a rendszer aszimptotikusan stabil. A (11) és (12) egyenletek válaszjelre vonatkozó egyenletéből látható, hogy amennyiben (13) teljesül, úgy a Dirac-deltára adott y válaszjel is nullához tart. Ez pedig a gerjesztés-válasz stabil rendszer ismérve. Ha tehát egy rendszer aszimptotikusan stabil, akkor gerjesztésválasz stabil is. Az állítás fordítottja nem biztos, hogy igaz! Ha a rendszer gerjesztés-válasz stabil, azaz a Dirac-delta bemenőjelre az y válaszjel nullához tart, (13)-nak nem kell feltétlenül teljesülnie, mert esetleg c nulla, vagy cT minden eleme nulla.
37
4. Folytonos idejű rendszerek frekvenciatartománybeli analízise Tevékenység: Jegyezze fel ismét a rendszerjellemző függvényeket, gyűjtse össze a frekvenciatartományban használatos rendszerjellemző függvények definícióját, matematikai formuláját, s hogy velük miként lehet a válaszjelet meghatározni! Jegyezze fel a Bodediagram ábrázolásának lépéseit! Szinuszos jel leírása komplex csúccsal A szinuszos jel nagyon sok helyen előfordul, a 230V-os, 50Hz-es hálózati feszültség is szinuszos, a rádióhullámoknál, mobiltelefonok kommunikációjában is szinuszos jelek viszik az információt stb. Emiatt a szinuszos jelekkel történő számításra külön módszert dolgoztak ki, ami megkönnyíti a vele való számításokat. Ezt mutatjuk itt be. Folytonos idejű szinuszos jel a következőképp adható meg: "( ) = ¬cos (
+ 7),
(14)
ahol ¬ a jel csúcsértéke, az körfrekvencia kifejezhető az f frekvenciával és a T 1periódusidővel is, = 2 @ = ® , 7 pedig a kezdőfázis, végül t az idő. Ezen adatok láthatók a 7. ábrán.
7. ábra Szinuszos jel jellemző adatai Szinuszos jelekkel történő számításokra kidolgozták a komplex számokkal történő leírást, a (14) jel az "_( ) = ¬eS(¯&4°) Euler-alakban felírt ún. komplex pillanatértéknek pontosan a valós része, "( ) = ℛℯM"_( )N = ℛℯ±¬eS(²&4°) ³ = ℛℯM¬ cos(
+ 7) + j¬ sin(
+ 7)N. (15)
A komplex pillanatértékben az eS¯& egy egységnyi hosszúságú, az időtől függő forgó komplex vektor (amit fazornak is hívunk), az ¬eS(²&4°) pedig hordozza a csúcsérték és a kezdőfázis információkat is, utóbbi forgását a 8. ábrán részletesen megmutatjuk. A komplex pillanatérték körfrekvenciával forog a komplex számsíkon az óramutató járásával ellentétes irányban, valós tengelyre vett vetülete egy koszinuszos időfüggvényt, imaginárius tengelyre vett vetülete pedig szinuszos időfüggvényt ír le. A könnyebb nyomon követhetőség érdekében négy pontot bejelöltünk a komplex számsíkon, illetve a valós időfüggvényeken is.
38
Szinuszos jelek leírására használhatjuk a komplex pillanatérték valós részét, de akár a képzetes részét is. Magyarországon a valós rész alkalmazása terjedt el, külföldi irodalomban találkozhatunk az imaginárius rész alkalmazásával is. Nagyon lényeges, hogy lineáris rendszerek esetén a bemeneti jel körfrekvenciája szerint rezeg valamennyi változó, a csúcsérték és a kezdőfázis pedig megváltozhat. Lineáris rendszer egyetlen tagjának karakterisztikája sem hat a körfrekvenciára, az nem változik meg. Elegendő tehát a csúcsértéket és a kezdőfázist hordozó ún. komplex csúcsértékkel leírni a szinuszos jelet, ´ = ¬eS° . ¬
8. ábra A komplex pillanatérték és a szinuszos jel összerendelése
39
(16)
Illusztratív példa Példaként írjuk fel az "( ) = 2cos (5 + /3) szinuszos jelnek megfelelő komplex csúcsértéket. ´ = 2eSµ/k . A jel körfrekvenciája 5, amivel A jel csúcsértéke 2, kezdőfázisa pedig /3, így ¬ a komplex csúcsban nem kell foglalkozni. Ha a jelet szinusz függvény írja le, akkor azt át kell írni koszinusz függvényre, például: µ
µ
µ
"( ) = 2 sin ‹5 + Œ = 2 cos ‹5 + − Œ, k
azaz a koszinusz függvényt el kell tolni komplex csúcsérték tartozik.
k
-
´ = 2e2Sµ/h /2-vel. Utóbbi időfüggvényhez az ¬
A válaszjel jellege A továbbiak követése és megértése érdekében egy rövid kitérőt teszünk a válaszjel időfüggvényét illetően. Egy lineáris rendszer válaszjele mindig két összetevőből áll: egy ún. tranziens (átmeneti) összetevőből és egy ún. stacionárius (állandósult) összetevőből, ( )=
¶· (
)+
{¶ (
).
(17)
Előbbi mindig exponenciális függvényekből áll, például ¶· ( ) = #e%& , utóbbi jellege pedig megegyezik a gerjesztés időfüggvényének jellegével, jelen esetben a szinuszos időfüggvénnyel. A tranziens gerjesztés-válasz stabil rendszer esetén lecsengő jellegű (a * ún. sajátérték negatív), nem stabil rendszer esetén viszont minden határon túl nő, mert a * sajátérték pozitív. Ha a stabil rendszer tranziense lecseng, a válaszjel a stacionárius komponenshez konvergál. Ha a gerjesztés szinuszos és a rendszer gerjesztés-válasz stabil, akkor egy idő után a válaszjel is szinuszos lesz, amelynek körfrekvenciája megegyezik a gerjesztés körfrekvenciájával, de csúcsértéke és fázisa eltérhet a gerjesztés csúcsértékétől és fázisától. Ezután térjünk vissza a konkrét gerjesztés részletes vizsgálatához. Ha egy lineáris rendszer bemeneti jele szinuszos, akkor a tranziensek lezajlása után (!) az állandósult válasz is körfrekvenciájával megegyező szinuszos időbeli lefutású lesz a gerjesztőjel körfrekvenciával: "( ) = ¬cos (
+ 7)
⇒
( ) = ¹cos (
+ ).
(18)
A komplex csúcsokkal való számolás ezt használja ki, de csak a stacionárius komponenst kapjuk meg, azt viszont nagyon egyszerűen, differenciálás vagy integrálás nélkül, habár komplex számokkal kell dolgoznunk. Ez nagy előny, de tudnunk kell, hogy a módszerrel kapott stacionárius válasznak csak gerjesztés-válasz stabil rendszer esetén van értelme, a válaszjel ugyanis csak ekkor bír fizikai tartalommal, ugyanakkor differenciálegyenlet megoldásával, vagy integrálással nem kell foglalkoznunk. Gerjesztés-válasz stabil rendszer esetén a tranziens lecseng, s csak a stacionárius komponens szerint változik a kimenet. A komplex csúcsok módszerével történő számítások előtt meg kell győződni arról, hogy a rendszer gerjesztés-válasz stabil vagy sem. Utóbbi esetben tehát nincs értelme a számításokat folytatni. Kapunk ugyan szinuszos stacionárius választ eredményül, de az egy minden határon túl növekvő exponenciális jelre ül rá, következésképp a válaszjel is a végtelenhez tart. Ekkor mondjuk például, hogy a rendszer begerjed. Általános esetben tehát a válaszjel mindig tartalmaz egy exponenciális időfüggvény szerint alakuló tranziens komponenst, és egy állandósult tagot, például ( ) = #e%& + ¹cos ( 40
+ ).
(19)
Ez legyen mindig szem előtt. Az első komponens stabil rendszer esetén idővel eltűnik, a rendszer kimenetén a második komponens lesz mérhető, s mi most az utóbbira koncentrálunk, arra adunk számítási módszert. Az átviteli karakterisztika Ha bevezetjük a –(j ) átviteli karakterisztikát a
–(j ) =
º_ ´ »
(20)
definíciós összefüggésnek megfelelően, akkor a válaszjel komplex csúcsértéke egyszerűen, egy szorzással számítható: ´. ¹_ = –(j )¬
(21)
Az átviteli karakterisztika (20) szerint tehát a válaszjel komplex csúcsértékének és a gerjesztés komplex csúcsértékének a hányadosa. A válaszjel csúcsértéke és fázisa a gerjesztés frekvenciájától függ, ahogy a gerjesztés frekvenciáját változtatjuk, úgy a dinamikus rendszer válaszjelének csúcsértéke és fázisa is változik, következésképp a (20) által definiált átviteli karakterisztika is frekvenciafüggő, ahogy azt az argumentumában jelöltük, ráadásul a körfrekvenciának komplex függvénye, hiszen körfrekvenciárólkörfrekvenciára két komplex szám hányadosaként kapjuk. Az átviteli karakterisztika olyan rendszerjellemző függvény, amelyet szinuszos gerjesztést használva körfrekvenciáról-körfrekvenciára fel kell venni, miáltal a rendszer viselkedése nevezetesen, hogy az milyen mértékben változtatja meg a bemeneti jel amplitúdóját és kezdőfázisát - minden körfrekvencián ismert egy komplex szám formájában. ´ összefüggésben a –(j ) komplex változós függvényben az helyére a Az ¹_ = –(j )¬ gerjesztőjel körfrekvenciáját kell behelyettesíteni, miáltal azt kapjuk meg, hogy a rendszer hogyan viselkedik a gerjesztés körfrekvenciáján. Az így nyert šeS¼ alakú komplex szám K abszolút értéke azt mutatja meg, hogy hogyan változtatja meg a rendszer a bemenőjel U csúcsértékét, ½ szöge pedig azt, hogy a rendszer hogyan módosítja a bemenőjel 7 fázisát. A válaszjel ¹_ = ¹eST komplex csúcsértéke tehát két komplex szám szorzataként áll elő: ¹_ = ¹eST = šeS¼ ¬eS° = š¬eS(¼4°) ,
(22)
azaz ¹ = š¬, és = ½ + 7. Így a stacionárius válasz (18) időfüggvénye is felírható, s közben csak komplex számokkal végzett szorzást kellett végezni, deriválni, integrálni nem. Illusztratív példa Számoljuk ki az "( ) = 2cos (5 + /3) szinuszos jelre adott szinuszos stacionárius választ, ha a gerjesztés-válasz stabil rendszer átviteli karakterisztikájának értéke az = 5 ´ = 4eSµ/,; . körfrekvencián – A számítás csupán két komplex szám összeszorzásából áll: ¹_ = 4eSµ/,; 2eSµ/k = 8eS,kµ/k; , azaz a stacionárius válasz időfüggvénye: ( ) = 8 cos ¾5 +
41
13 ¿. 30
Az átviteli karakterisztika alakja és kapcsolata az időtartománybeli leírással Az átviteli karakterisztika egy polinom per polinom alakú kifejezés, vagyis a j racionális törtfüggvénye valós együtthatókkal (• ≥ ): –(j ) =
Dz (S¯)À 4D3 (S¯)ÀÁ3 4⋯4DÀ
(S¯)Â 4E3 (S¯)ÂÁ3 4E1 (S¯)ÂÁ1 4⋯4EÂ
.
változó (23)
Az átviteli karakterisztika mérés útján felállítható, a (23)-ban szereplő a és b paraméterek értéke mérésekből kiszámítható. Ezt rendszeridentifikációnak nevezzük, ami túlmutat a jelen tananyag keretein, ezzel nem is foglalkozunk. Az impulzusválasz, a rendszeregyenlet, valamint az állapotváltozós leírás és az átviteli karakterisztika között egyértelmű kapcsolat van, amelyeket azonban a következők három pontban megvizsgálunk. a.) Az impulzusválasz karakterisztikává:
a
következő
integrál
elvégzésével
alakítható
•
–(j ) = ℱM•( )N = B2• •( )e2S¯& d .
átviteli (24)
Ez az integrál az ún. Fourier-transzformált, amivel a továbbiakban nem foglalkozunk. b.) A (18) rendszeregyenlet a következő alakban írható fel a komplex írásmódban: £2¡ ´ (j )Ÿ ¹_ + ∑Ÿ¡¢, J¡ (j )Ÿ2¡ ¹_ = ∑£ ¬, ¡¢; ¡ (j )
(25)
ahonnan az átviteli karakterisztika könnyedén felírható a (23) alakban. A fenti átalakítás mögött az áll, hogy az időtartományban végzett idő szerinti deriválás a komplex csúcsértékek világában a j változóval való szorzást jelenti. Ha tehát az ( ) változó n-edik deriváltját képezzük az időfüggvények világában, akkor a komplex számítási módban a (j )Ÿ ¹_ műveletet kell elvégezni, ami nyilvánvalóan sokkal egyszerűbb. A (10) legegyszerűbb alakú rendszeregyenletek a következő átviteli karakterisztikáknak felelnek tehát meg: D
z –(j ) = S¯4E , illetve –(j ) = 3
S¯Dz 4D3 S¯4E3
.
(26)
c.) A (11) állapotváltozós leírás differenciálegyenlet-rendszere és algebrai egyenlete a következő alakban írható fel komplex csúcsokat használva: ´ = ¦Ä ´ + §¬, ´ (j )Ä ´ + ª¬, ´ ¹_ = ¨ © Ä
(27)
´ = ((j )Å − ¦)2, §¬ ´, Ä
(28)
´ ¹_ = [¨ © ((j )Å − ¦)2, § + ª]¬
(29)
ahonnan illetve adódik. Itt E egy • × • méretű egységmátrix, a felső indexben szereplő -1 pedig az inverzmátrix képzésre utal. Hangsúlyozzuk, hogy a transzformált egyenletek komplex algebrai egyenletek, s nem tartalmaznak differenciálegyenletet, így a megoldás menete nyilvánvalóan egyszerűbb. Utóbbi egyenletből az átviteli karakterisztika kifejezhető: º_
–(j ) = »´ = ¨ © ((j )Å − ¦)2, § + ª. 42
(30)
Az átviteli karakterisztika a j komplex változó függvénye, s minden körfrekvencián más és más komplex értékű szám. A (12) alakban felírt rendszer átviteli függvénye tehát a következő alakú: –(j ) =
º_ ´ »
=
S¯Ç4(ÈD2ÉÇ) S¯2É
.
(31)
Példát a lecke végén mutatunk. Az átviteli karakterisztika ábrázolása Az átviteli karakterisztika felírható Euler-alakban is: –(j ) = š( )eS¼(¯) ,
(32)
ahol š( ) és ½( ) az ún. amplitúdókarakterisztika és az ún. fáziskarakterisztika. Ezen függvények frekvenciafüggését hivatott ábrázolni a Nyquist-diagram és a Bode-diagram. Ebben a tananyagban főleg az utóbbival foglalkozunk. A Nyquist-diagram a –(j ) komplex vektor végpontjának mozgását ábrázolja a komplex számsíkon, miközben a körfrekvencia a −∞ < < ∞ intervallumban változik. A vízszintes tengelyen az átviteli karakterisztika által egy konkrét körfrekvencián szolgáltatott komplex szám valós (reális) értékét, a függőleges tengelyen pedig a képzetes (imaginárius) értékét mérjük fel. Ezt több körfrekvencián megtesszük, majd ezen pontokat összekötjük. A diagram megrajzolása és alkalmazása nehézkes, mert nagyságrendekkel eltérő vektorokat kell azonos diagramban ábrázolni. Egy példát mutat a 9. ábra. A diagram a vízszintes tengelyre szimmetrikus, emiatt elég a 0 < < ∞ intervallumot ábrázolni. A diagram felrajzolásának technikájával a jelen tananyagban nem foglalkozunk. 0.8 0.6 0.4 ImW(jω)
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 0
0.5
1
1.5
2
ReW(jω)
9. ábra Példa a Nyquist-diagramra A Bode-diagram a 10. ábrán látható módon külön diagramban ábrázolja az amplitúdókarakterisztikát és a fáziskarakterisztikát. A vízszintes tengely a körfrekvenciának dedikált, amelyet logaritmikusan skálázunk, így nagyon széles frekvenciatartomány is ábrázolható egyetlen diagramban. A 10. ábrán például a 0,01-100 tartományban ábrázoltuk a karakterisztikákat, amihez a szokásos lineáris skálán nagyon nagyméretű papírra lenne szükség.
43
Logaritmikus skálázás esetén két egymást követő osztás között az arány 10, ami az ún. dekád, a vízszintes tengely tehát például a következőképp néz ki:
Egy dekádon belül a beosztás jellege a következőképp néz ki:
Az amplitúdókarakterisztika-diagram függőleges tengelyén a š<Ê = 20 lgš
(33)
értéket mérjük fel, ami decibelben kifejezett szám. A fáziskarakterisztika-diagram függőleges tengelyén pedig a ½( ) függvényt fokban, vagy radiánban.
10. ábra Példa a Bode-diagramra A 11. ábra nagyítva, részletesen mutatja a logaritmikus osztás jellegzetességeit. A Bode-diagram azért is terjedt el, mert törtvonalas közelítő felvázolása aránylag egyszerű feladat. A felrajzoláshoz az átviteli karakterisztika (23) polinom per polinom alakú kifejezését gyöktényezős alakra kell hozni, amiből egyszerű átalakítással az ún. Bode-alak nyerhető. Ennek közelítő, törtvonalas ábrázolása már egyszerű feladat. A következőkben ezzel foglalkozunk. 44
11. ábra Logaritmikus diagram (http://customgraph.com) A tananyagban a lehető legegyszerűbb Bode-alakok ábrázolásával foglalkozunk. Az átalakítás első lépésében az ún. gyöktényezős alakot kell felírni. A (23) polinom per polinom alakú kifejezésből a számláló gyökeinek és a nevező gyökeinek kiszámítása után juthatunk el az alábbi gyöktényezős alakra: –(j
š
S¯2Y3 S¯2Y1 … S¯2YÀ
S¯2Ë3 S¯2Ë1 … S¯2ËÂ
.
(34)
A tananyagban feltételezzük, hogy a gyökök valósak. Gerjesztés-válasz stabil rendszer esetén a Ì¡ (Í 1, … , •) gyökök mind negatívak, a H¡ (Í 1, … , ) gyökökre nincs ilyen megkötés. A gyöktényezős alakból jutunk el a könnyen ábrázolható normálalakhoz. Az egyes gyöktényezős kifejezések átalakíthatóak a következő módon, miáltal az egyes kifejezések Bode-féle normálalakját kapjuk. Például a nevezőben szereplő j Ì tag Ω Ì (p<0) S¯
helyettesítéssel átírható a j + Ω alakra, amelyből Ω kiemelhető, Ω ‹1 + Ï Œ. Ez utóbbi a Bode-alak. Ezt az átalakítást mindegyik gyöktényezőre el kell végezni. Így kapjuk a következő felírást: – j
\Ð
\Ð
Ñ3
Ñ1
¯ Z ‹,UÐ3 Œ‹,UÐ1 Œ… « ‹ S¯z Œ , \Ð \Ð ‹,4 Œ‹,4 Œ…
ami a Bode-féle tagok szorzataként áll elő. Megjegyezzük, hogy az Ω¡ és pozitívak, amelyek a Bode-diagramban sarok-körfrekvenciákat jelölnek ki.
45
(35) ¡
értékek
A (44) alakban felírt elsőfokú tényezőknek megfelelő amplitúdókarakterisztika-diagramok és fáziskarakterisztika-diagramok láthatók a 12. ábrán, részletezve: •
Az A konstans frekvenciafüggetlen, amplitúdódiagramja következésképp vízszintes. Ha « > 0, akkor a fázisdiagram nulla, ellenkező esetben ±180w .
•
Az ‹Ð\Ðz Œ amplitúdódiagramja: š<Ê = 20 F lg ‹ ¯z Œ, ami az ; helyen metszi a vízszintes tengelyt, meredeksége pedig a 12. ábrának megfelelően −20F dekádonként. A fázisdiagram az 3\¢2S összefüggésnek megfelelően ½( ) = −F90w .
•
Az 1 + Ï alaknak megfelelő törtvonalas közelítés töréspontja az Ω körfrekvencián van, ez alatt a közelítő egyenes vízszintes, felette pedig ±20dB/dekád meredekségű. Ha a kifejezés a nevezőben van, akkor a karakterisztika „lefelé törik”, ha a számlálóban, akkor „felfelé törik”. A fázisdiagram az Ω körfrekvencián pontosan ±45w , 0,1Ω körfrekvencián nullának vesszük, 10Ω körfrekvencián pedig ±90w értékűnek. Ha a kifejezés a nevezőben van, vagy a számlálóban negatív előjellel, akkor a karakterisztika „lefelé törik”, ha a számlálóban pozitív előjellel, akkor „felfelé”.
Z
¯
S¯
12. ábra Elsőfokú tényezők Bode-féle törtvonalas közelítése Ezen egyszerű törtvonalas közelítő görbékre építve bonyolultabb átviteli karakterisztikák közelítő Bode-diagramja is gyorsan felvázolható, mivel az egyes részgörbéket a decibelskálán csak össze kell adni, ami a logaritmus szorzásra és osztásra vonatkozó azonosságai miatt lehetséges. Ezt részletezi a következő illusztratív példa.
46
Illusztratív példa Legyen például Õ3 S¯ Õ1 S¯
–(j
Õo S¯
,
ahol –, j , –- j és –k j egy-egy alaptag átviteli karakterisztikáját jelöli a (35) formulának megfelelően átalakítva. Ha használjuk a (32) Euler-alakot, akkor a példa átírható: Ö3 ¯ [\×3 Ð Ö1 ¯ [\×1 Ð
– j
Ö3 ¯ Ö1 ¯
Öo ¯ [\×o Ð
Öo ¯
eS ¼3
¯ 4¼1 ¯ 2¼o ¯
.
Ha áttérünk a decibelskálára, akkor az amplitúdókarakterisztika (33) szerint a következő alakot ölti: š<Ê
20lg
Ö3 ¯ Ö1 ¯
20lgš,
Öo ¯
+ 20lgš-
20lgšk
.
Az eredő Bode-féle amplitúdódiagram az egyes alaptagok amplitúdódiagramjainak az összege. Az eredő Bode-féle fázisdiagram szintén az alaptagok fázisdiagramjainak az összege, ahogy az a jelen példában szereplő átviteli karakterisztika Euler-alakjából is kiolvasható: ½
½,
+ ½-
½k
.
Megjegyezzük, hogy az egyes alaptagok diagramjait pontról-pontra mindig össze kell adni, hiszen a nevezőben szereplő alaptagoknál megjelenő negatív előjelet figyelembe vesszük, s ki is emeltük, ezért történik, hogy a számláló esetében felfelé törik a karakterisztika, nevező esetében pedig lefelé. Legyen például –, j
1,0, –- j
1+
S¯
¯3
és –k j
1+
S¯
¯1
az alaptagok átviteli
karakterisztikája, és - ) , . A részeredmények vékony vonallal, és az eredő diagramok vastag vonallal rajzolva a 13. ábrán láthatók. K(ω) 20dB ,
-
ω
-20dB φ(ω) 90o
ω -90o 13. ábra Az illusztrációban szereplő Bode-diagram
47
5. Folytonos idejű rendszerek analízise a komplex frekvenciatartományban Tevékenység: Jegyezze fel ismét a rendszerjellemző függvényeket, gyűjtse össze a komplex frekvenciatartományban használatos rendszerjellemző függvények definícióját, matematikai formuláját, s hogy velük miként lehet a válaszjelet meghatározni! A komplex frekvenciatartományban történő számítás nagy mértékben megkönnyíti az ugrásválasszal, impulzusválasszal, vagy rendszeregyenlettel, állapotváltozós leírással történő számításokat. Előbbi két rendszerjellemző függvény alkalmazása integrálszámítást igényel, utóbbi két eset pedig differenciálegyenlet, illetve differenciálegyenlet-rendszer megoldását. Mindegyik bonyolult, időigényes eljárás. A Laplace-transzformáción alapuló ún. komplex frekvenciatartománybeli analízis nem igényel nagy matematikai felkészültséget, egyszerű formalizmusa ugyanakkor szolgáltatja a fenti feladatok megoldását. A válasz számításának menete a következő:
A válaszjelet számíthatjuk tehát az időtartománybeli módszerek segítségével, amelyekről többször is megállapítottuk, hogy bonyolult eljárások. A transzformált rendszerjellemző függvények azonban egyszerű módszereket adnak kezünkbe. Az időtartománybeli rendszerjellemző függvényeket át kell alakítani a Laplace-transzformáció szabályai szerint, miáltal a megoldás egyszerűen elvégezhető. A transzformált tartományból az időtartománya való visszajutás szintén egyszerű szabályok alapján történik. Ezeket mutatjuk be a következőkben, illetve az illusztratív példákban. A Laplace-transzformáció és néhány szabálya Az @( ) belépő időfüggvény Laplace-transzformáltja a következő integrál által definiált: •
A(—) = ØM@( )N = B2; @( )e2y& d ,
(36)
ahol — Ù + j a komplex frekvencia, a Laplace-transzformált változója. A transzformált F(s) változót nagybetűvel írjuk. Az öt legtöbbször használt időfüggvényhez tartozó Laplacetranszformáltat levezetés nélkül az 1. táblázatban foglaltuk össze. 1. táblázat Öt függvény Laplace-transzformáltja @
A —
›
1
1
, y
1
, y1
š 1
e2°&
Ö y4°
š 1
e2°&
Ö y4° 1
48
A továbbiakban négy lényeges szabályt fogalmazunk meg bizonyítás nélkül. a.) Az eltolási tétel kimondja, hogy amennyiben ismert az @( ) belépőjel A(—) Laplacetranszformáltja, akkor az eltolt @( ± ”) jel Laplace-transzformáltja ØM@( ± ”)N = e±y™ A(—),
(37)
azaz az időbeli eltolás a komplex frekvenciatartományban e±y™ -val való szorzást jelent.
,
Például a ℎ( ) = 1( ) − 1( − ”) ablakozó függvény Laplace-transzformáltja Û(—) = − , 2y™ e . y
y
Az 1. táblázatból kiolvasható a Heaviside-függvény Laplace-transzformáltja: ,
ØM1( )N = . Az ablakozó függvény második tagja az egységugrásjel eltoltja, rá tehát az y
,
eltolási tételt alkalmaztuk: ØM1( )Ne2y™ = e2y™ . A Laplace-transzformáció a (36) szerinti y integrál, azaz az egyes összeadandó, vagy kivonandó függvényeket külön-külön transzformálhatjuk, s a transzformáltak között ugyanúgy összeadás, vagy kivonás szerepel, mint az időfüggvényeknél. b.) A csillapítási tétel kimondja, hogy amennyiben ismert az @( ) belépőjel A(—) Laplacetranszformáltja, akkor a csillapított @( )Ü 2°& (7 > 0) jel Laplace-transzformáltja ØM@( )Ü 2°& N = A(— + 7).
(38)
Az 1. táblázat negyedik függvénye például az egységugrásjel csillapításával áll elő, @( ) = Ö š 1( )e2°& , ennek Laplace-transzformáltja a táblázat szerint A(—) = y4°. Az egységugrásjel ,
Laplace-transzformáltja y , a szabály szerint az s változó helyébe — + 7 írandó, így áll elő a transzformált. A konstanssal történő szorzás a (36)-ben szereplő integráljel elé kiemelhető, ha tehát egy függvényt konstanssal szorzunk, az a konstans a transzformáltban is megjelenik. c.) Az időtartományban végzett idő szerinti deriválás és integrálás a komplex frekvenciatartományban az s változóval történő szorzásnak, illetve osztásnak felel meg. d.) A végérték-tételek segítségével a Laplace-transzformáltak alapján határozhatjuk meg valamely jel kezdeti értékét és stacionárius állapotban felvett értékét a következőképp: (0) = lim —¹(—), illetve y→•
( → ∞) = lim —¹(—). y→;
(39)
Az átviteli függvény Az átviteli függvény az a rendszerjellemző függvény, amelynek segítségével a válaszjelet meg tudjuk határozni, illetve a rendszer viselkedését vizsgálhatjuk. Az átviteli függvény a rendszer válaszjele és a gerjesztése Laplace-transzformáltjának a hányadosa: ØM0(&)N
D yÀ 4D3 yÀÁ3 4⋯4DÀ
º(y)
z –(—) = ØMÝ(&)N = »(y) = y 4E
3y
ÂÁ3 4E yÂÁ1 4⋯4E 1 Â
,
(40)
azaz az átviteli függvény az s változó racionális törtfüggvénye valós együtthatókkal: a számláló is és a nevező is s-nek polinomja. Az átviteli függvény gyöktényezős alakja felírható a számlaló —¡ gyökei (az ún. zérusok) és a nevező Ì¡ gyökei (az ún. pólusok) alapján: (y2y )(y2y )…(y2y )
–(—) = « (y2Ë3 )(y2Ë1 )…(y2ËÀ ). 3
1
Â
A pólusok fontos szerepet kapnak a rendszer stabilitásának meghatározásában.
49
(41)
A (36) definíciós integrálból látható, hogy a Laplace-transzformációt belépő jelek vizsgálatára alkalmazzuk. A rendszer gerjesztése tehát belépő kell legyen (az 1. táblázatban szereplő jelek lehetnek például a gerjesztések, s mindegyikben szerepel az 1( ) függvény, amely azt biztosítja, hogy a jel belépő), a rendszer ugrásválasza és impulzusválasza szintén belépő kell legyen, ami azt jelenti, hogy a vizsgált rendszer kauzális. A (6) konvolúció a Laplace-transzformáltak tartományában szorzattá egyszerűsödik, azaz ¹(—) = –(—)¬(—),
(42)
ami (40) átrendezéséből is következik. A válaszjel Laplace-transzformáltját tehát úgy kaphatjuk meg, hogy az átviteli függvényt egyszerűen beszorozzunk a gerjesztőjel Laplacetranszformáltjával (¬(—) = ØM"( )N). Ha a válaszjel ¹(—) Laplace-transzformáltját (42) szerint meghatároztuk, akkor a válaszjelet az inverz Laplace-transzformációval határozhatjuk meg, ( ) = Ø 2, M¹(—)N,
(43)
amely művelet általában nagyon bonyolult, esetünkben azonban egyszerű szabályokkal, az ún. kifejtési tétellel elvégezhető. Ezt néhány példán keresztül mutatjuk be. Az átviteli függvény kapcsolata az időtartománybeli leírással Megemlítjük, hogy az átviteli karakterisztika mérés útján, identifikációval felállítható, a (40)-ben szereplő a és b paraméterek értéke, vagy az (41)-ben definiált pólus-zérus kép mérésekből kiszámítható. Ezzel itt nem foglalkozunk. Az impulzusválasz, a rendszeregyenlet, valamint az állapotváltozós leírás és az átviteli függvény között egyértelmű kapcsolat van, amelyeket a következők pontokban bemutatunk. a.) A –(—) átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace-transzformáltja, azaz •
–(—) = ØM•( )N = B2; •( )e2y& d .
(44)
–(—) = —Þ(—), illetve Þ(—) = 3ß–(—),
(45)
Az ugrásválasz Laplace-transzformáltját Þ(—)-sel jelöljük. A –(—) átviteli függvény és a Þ(—) függvény között az alábbi kapcsolat áll fenn: ami az időtartománybeli kapcsolatból és a deriválásra, illetve integrálásra tett szabályokból következik. b.) A (7) rendszeregyenlet a következő alakban írható fel a transzformált tartományban: £2¡ — Ÿ ¹ + ∑Ÿ¡¢, J¡ — Ÿ2¡ ¹ = ∑£ ¬, ¡¢; ¡ —
(46)
ahonnan az átviteli függvény (40) alakja könnyedén felírható. A fenti átalakítás mögött az áll, hogy az időtartományban végzett idő szerinti deriválás a komplex frekvenciatartományban az — változóval való szorzást jelenti. Ha tehát az ( ) változó nedik deriváltját képezzük az időfüggvények világában, akkor a Laplace-transzformált módban az — Ÿ ¹ műveletet kell elvégezni, ami nyilvánvalóan sokkal egyszerűbb. A (10) legegyszerűbb alakú rendszeregyenletek a következő átviteli függvényeknek felelnek tehát meg: D
–(—) = {4Ez , illetve –(—) = 3
50
{Dz 4D3 {4E3
.
(47)
c.) A (11) állapotváltozós leírás differenciálegyenlet-rendszere és algebrai egyenlete a következő alakban írható fel a transzformált tartományban: —Ä = ¦Ä + §¬, ¹ = ¨ © Ä + ª¬,
(48)
¹ = [¨ © (—Å − ¦)2, § + ª]¬
(49)
ahonnan Ä = (—Å − ¦)2, §¬, illetve
adódik. Itt E egy • × • méretű egységmátrix, a felső indexben szereplő -1 pedig az inverzmátrix képzésre utal. Hangsúlyozzuk, hogy a transzformált egyenletek algebrai egyenletek, s nem tartalmaznak differenciálegyenletet, így a megoldás menete nyilvánvalóan egyszerűbb - ez a transzformációk fő lényege. Utóbbi egyenletből az átviteli függvény kifejezhető: –=
º
»
= ¨ © (—Å − ¦)2, § + ª.
(50)
A (12) alakban felírt rendszer átviteli függvénye tehát a következő alakú: –(—) =
º_ ´ »
=
yÇ4(ÈD2ÉÇ) y2É
.
(51)
Ellenőrző kérdések Mi a rendszer? Adja meg a lineáris, invariáns, kauzális rendszer ismérveit! Milyen rendszerjellemző függvényeket ismer? Mi a rendszerjellemző függvény lényege? Definiálja az ugrásválaszt és az impulzusválaszt! Mi a súlyfüggvény-tétel? Definiálja a rendszeregyenletet! Definiálja az állapotváltozós leírást! Mi a gerjesztés-válasz stabilitás? Mi az aszimptotikus stabilitás? Mi a gerjesztés-válasz stabilitás és az aszimptotikus stabilitás közötti kapcsolat? Származtassa a komplex csúcsérték fogalmát! Mi az átviteli karakterisztika? Hogy használható az átviteli karakterisztika a szinuszos válasz meghatározásában? Mi a Nyquist-diagram? Mi a Bode-diagram? Jellemezze a Bode-alakot! Mi az átviteli függvény? Mire jó a Laplace-transzformáció? Mi a kapcsolat az átviteli függvény és az impulzusválasz, illetve az ugrásválasz között? Hogy használható az átviteli függvény a válasz meghatározásában?
51
3. lecke: Illusztratív példák Cél: A lecke célja, hogy a hallgató megismerje az alapvető rendszerelméleti fogalmakat és összefüggéseket. Jelen lecke a fentiek alátámasztására néhány részletesen kidolgozott példát tartalmaz. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes •
a feladatok önálló megoldására.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 180 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak • • • • • • • • •
jelek, rendszerek, ugrásválasz, impulzusválasz, konvolúció, állapotváltozós leírás, átviteli karakterisztika, Nyquist-diagram, Bode-diagram, átviteli függvény, Laplace-transzformáció.
52
1. Illusztratív példa Tevékenység: Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Használja a fenti összefüggéseket, hívja segítségül a lecke elején megadott elektronikus jegyzeteket! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat! Egy folytonos idejű, lineáris, invariáns rendszer a következő állapotváltozós leírással adott: ¤ , = − , + - + ", ¤ - = 0,2 , − 0,4 - , = ,. Írjuk fel a rendszert megadó A, b, cT, D paramétereket! Ezen adatok az állapotváltozós leírásból kiolvashatók: −1 1 1 ¦=à á, § = à á, ¨ © = [1 0,2 −0,4 0
0], ª = 0.
Általánosan: ¤ , = «,, ¤ - = «-, = “,
+ «,- - + , ", , + «-- - + - ", , + “- - + ª". ,
Határozzuk meg a rendszer átviteli függvényét! Ezt kétféleképp is megtehetjük: 1. Felírjuk a transzformált egyenleteket, s az így előálló algebrai egyenletrendszert megoldjuk. A Laplace-transzformált egyenletrendszer az alábbi: — —
= − , + - + ¬, - = 0,2 , − 0,4 - , ¹ = ,.
,
A változókat nagybetűvel írjuk, ebben az egyenletrendszerben ugyanis nem időfüggvények szerepelnek, hanem transzformált változók. Az idő szerinti deriváltat lecseréljük a transzformált változó és az s változó szorzatára. Ez a három egyenlet algebrai egyenletrendszert alkot, amelynek megoldása egyszerű feladat. Ebből kell a – = ¹⁄¬ hányadost kifejezni, s azt polinom per polinom alakra hozni. Ismertnek kell tehát feltételezni az " = "( ) bemeneti jel ¬ = ¬(—) transzformáltját, s ismeretlennek az , = , (—), - = - (—), ¹ = ¹(—) változókat. Az egyenletrendszert bármilyen egyenletrendszer-megoldó technikával meg lehet oldani. Fejezzük ki például az első egyenletből az - változót: -
= (— + 1)
,
− ¬,
és helyettesítsük ezt a második egyenletbe. A zárójelek felbontása és rendezés után a következő kifejezést kapjuk: (— - + 1,4— + 0,2)
,
= (— + 0,4)¬,
azaz ,
=
— + 0,4 ¬. — - + 1,4— + 0,2 53
Helyettesítsük ezt a harmadik egyenletbe, ahonnan: –(—) =
º
»
=
y4;,â
y1 4,,ây4;,-
=
y4;,â
.
(y4,,-â)(y4;,,h)
Az első alak a polinom per polinom alak, másképp kifejezve, racionális törtfüggvényként felírt alak. A második pedig a gyöktényezős alak, amikor a számlálóból és a nevezőből adódó polinomokat egyenlővé tesszük nullával, s ebből meghatározzuk a gyököket. Itt a nevező átalakításában a másodfokú egyenlet megoldóképletét használtuk. A nevező polinomjának fokszáma mindig nagyobb, mint a számláló polinomjának fokszáma, legfeljebb egyenlő azzal. A rendszer egyetlen zérusa —, = −0,4, pólusai pedig Ì, = −1,24, és Ì- = −0,16 (l. 2. lecke (41) gyöktényezős alak). 2. Használjuk a 2. leckében lévő (50) módszert. Írjuk át az inverzmátrix kifejezését a lineáris algebrából ismert adjungált mátrix és a determináns hányadosaként: –(—) =
¨ ã ä<S(yÅ2¦)§4Ç|yÅ2¦| . |yÅ2¦|
(1)
A determináns kifejtése a következő polinomot eredményezi: — |—Å − ¦| = =à 0
−1 0 á−à 0,2 —
1 —+1 á= = = −0,4 −0,2
−1 = = (— + 1)(— + 0,4) − 0,2 = — - + 1,4— + 0,2. — + 0,4
A polinom előállítása (a 2 × 2 méretű determináns kifejtése) tehát úgy történik, hogy a főátlóban lévő elemek (— + 1 és — + 0,4) szorzatából kivonjuk a mellékátlóban szereplő tényezők (-1 és -0,2) szorzatát. Az adjungált mátrix számítása 2 × 2 méretű mátrix esetében egyszerű, a következő sémát kell alkalmazni: adj à
—+1 −0,2
−1 — + 0,4 −1 — + 0,4 1 — + 0,4 −0,2 á→à á→à á→à á. — + 0,4 −0,2 — + 1 0,2 —+1 −1 —+1
Első lépésben (első nyíl) az (Í, å) elem felírásához le kell takarni az i-edik sort és a j-edik oszlopot, s az így megmaradt skalár kifejezést kell beírni az (Í, å) helyre. Ezután (második nyíl) transzponálni, azaz a főátlóra tükrözni kell a mátrixot, végül (harmadik nyíl) a −1 sakktábla-szabályt kell alkalmazni, azaz az előjeleket a à+1 á formulának megfelelően kell −1 +1 felcserélni. Ez az adjungált mátrix, adj à
—+1 −0,2
−1 — + 0,4 1 á=à á. — + 0,4 0,2 —+1
Nagyobb méretű mátrixok esetében a művelet jóval hosszabb. Végezzük el a számlálóban szereplő szorzásokat, azaz szorozzuk az adjungált mátrixot jobbról egy oszlopvektorral, s balról egy sorvektorral. Ez egy skalár kifejezést szolgáltat: [1 0 ] à
— + 0,4 1 — + 0,4 1 á à á = [1 0 ] à á=s+0,4. 0,2 —+1 0 0,2
Részletesen kifejtve: mátrixot jobbról oszlopvektorral úgy kell szorozni, hogy a vektor első elemével beszorozzuk a mátrix első oszlopának elemeit, majd a vektor második elemével a mátrix második oszlopának elemeit, s az így előálló séma soraiban lévő elemeket összeadjuk, azaz æ
«,, «-,
«,- , « ç æ ç = æ ,, «-- «-,
54
+ «,, + «-,
-
-
ç,
ami egy oszlopvektor. Ezt ezután balról kell szorozni sorvektorral a következő séma szerint: [“,
“- ] æ
«,, «-,
+ «,- ç = “, («,, , + «-- ,
,
+ «,- - ) + “- («-,
,
+ «--
- ).
Így kapjuk az s+0,4 kifejezést. A D paraméter nulla, azaz: –=
¨ ã ä<S(yÅ2¦)§4Ç|yÅ2¦| |yÅ2¦|
=
y4;,â
y1 4,,ây4;,-
=
y4;,â
.
(y4,,-â)(y4;,,h)
Az eredmény természetesen megegyezik a 1. megoldás eredményével. Az átviteli karakterisztika ugyanígy határozható meg, de s helyett végig j írandó. Adjuk meg a rendszeregyenletet! Ezt a feladatot szándékosan az átviteli függvény meghatározása után tettük. A rendszeregyenlet meghatározható az állapotváltozós leírás alapján is, de az kissé hosszadalmas, a hivatkozott irodalomban az érdeklődő Olvasó megtalálja. Itt a gyorsabb utat mutatjuk be, azaz használjuk az átviteli függvényt: –=
º
»
=
y4;,â
,
y1 4,,ây4;,-
ahonnan
¹— - + 1,4¹— + 0,2¹ = ¬— + 0,4¬.
Felhasználva az idő szerinti deriválás és a neki megfelelő transzformált közti kapcsolatot, írhatjuk, hogy: ′′ + 1,4 ′ + 0,2 = "′ + 0,4". Megjegyezzük, hogy az átírás fordítva is igaz, azaz a rendszeregyenletből az átviteli függvény könnyedén felírható. Határozzuk meg a rendszer impulzusválaszát! Az impulzusválasz - és sok egyéb belépő jelre adott válasz - a Laplace-transzformáció kifejtési tétele alapján számítható a legegyszerűbben. Az impulzusválasz az átviteli függvény inverz Laplace-transzformáltja. Induljunk ki a gyöktényezős alakból, ami parciális törtekre bontható: y4;,â
É
è
– = (y4,,-â)(y4;,,h) = y4,,-â + y4;,,h. Az A és B paraméterek értékét a letakarásos módszerrel egyszerű számolni. Az A paramétert például úgy kell számolni, hogy a gyöktényezős alakban letakarjuk az (— + 1,24) tagot, s a megmaradt törtben s helyébe -1,24-et helyettesítünk, azaz 2,,-â4;,â
2;,,h4;,â
« = 2,,-â4;,,h = 0,78, hasonlóképp é = 2;,,h4,,-â = 0,22, azaz y4;,â
;,êi
;,--
– = (y4,,-â)(y4;,,h) = y4,,-â + y4;,,h. Ellenőrzésképp érdemes lehet ezt az egyenlőséget ellenőrizni úgy, hogy a parciális törtek összegeként felírt alakot közös nevezőre hozzuk. Ha a parciális törtekre bontott alak rendelkezésre áll, akkor már csak az 1. transzformációs táblázatból ki kell keresni az egyes törtekhez tartozó időfüggvényt, jelen esetben: •( ) = 1( )(0,78e2,,-â& + 0,22e2;,,h& ).
55
Határozzuk meg a rendszer ugrásválaszát! Használjuk a 2. leckében található (45) összefüggést: ,
Þ= –= y
{4;,â
{({4,,-â)({4;,,h)
ë
= + {
Ê
{4,,-â
+
ì
.
{4;,,h
A kifejtési tétel értelmében: «=
;4;,â
(;4,,-â)(;4;,,h)
= 2,02, é =
2,,-â4;,â
2,,-â (2,.-â4;,,h)
= −0,63, í =
2;.,h4;,â
2;.,h(2;.,h4,,-â)
= −1,39,
azaz {4;,â
V = {({4,,-â)({4;,,h) =
-,;{
2;,hk
2,,kl
+ {4,,-â + {4;,,h.
Az ugrásválasz pedig: +( ) = 1( )(2,02 − 0,63e2,,-â& − 1,39e2;,,h& ). Ellenőrizzük az impulzusválasz és az ugrásválasz kapcsolatát az időtartományban! Az ugrásválasz idő szerinti általánosított deriváltja az impulzusválasz. A deriválást a szorzatfüggvény deriváltjaként kell elvégezni: •( ) = + ?(&) = 1? ( )(2,02 − 0,63e2,,-â& − 1,39e2;,,h& ) + 1( )(2,02 − 0,63e2,,-â& − 1,39e2;,,h& )′.
A deriválásokat elvégezve: •( ) = ›( )(2,02 − 0,63e2,,-â& − 1,39e2;,,h& )|&¢; + 1( )(0,78e2,,-â& + 0,22e2;,,h& ). Az első tag értéke zérus, a végeredmény pedig megegyezik a korábban is kiszámított impulzusválasszal. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ha egy függvényt Dirac-deltával szorzunk, akkor a függvényt a Dirac-delta helyén (itt a = 0 helyen) ki kell számolni, hiszen a Dirac-delta függvény mindenütt nulla, kivéve a Dirac-impulzus helyén. Vizsgáljuk meg a rendszer stabilitását! A rendszer aszimptotikus stabilitása az állapotváltozós leírás rendszermátrixa alapján vizsgálandó. A rendszermátrixból nyert karakterisztikus egyenlet és a sajátértékek az alábbiak: ï
*+1 −0,2
−1 ï = *- + 1,4* + 0,2 = 0 → *, = −1,24, *- = −0,16. * + 0,4
Ezen sajátértékek valós része negatív, így a rendszer aszimptotikusan stabil. Ezen sajátértékek az állapotvektor tranziens összetevőjében #e%& alakban szerepelnek, s mivel lecsengő jellegűek, az állapotvektor nullvektorhoz tart. A gerjesztés-válasz stabilitás definíció szerint az impulzusválasz alapján vizsgálandó. Ha az impulzusválasz nullához tart miközben az idő a végtelenhez (azaz stacionárius állapotban), akkor a rendszer gerjesztés-válasz stabil. Amennyiben az impulzusválasz exponenciális függvényeiben szereplő sajátértékek valós része negatív, úgy ez biztosan teljesül. Az impulzusválaszban szereplő sajátértékek megegyeznek az átviteli függvény nevezőjéből alkotott polinom gyökeivel, azaz a pólusokkal. A gerjesztés-válasz stabilitásról tehát a pólusok ismeretében is lehet nyilatkozni. Figyelem! Ha egy rendszer aszimptotikusan stabil, akkor biztos, hogy gerjesztés-válasz stabil. Fordítva ez nem biztos, hogy igaz.
56
Az aszimptotikusan stabil rendszer esetén tehát az ¥( ) állapotvektor nullához tart. Ha emellett a gerjesztőjel korlátos, akkor az ( ) = ¨ © ¥( ) + ª"( ) biztosan korlátos lesz. Az aszimptotikusan stabil rendszer tehát biztosan gerjesztés-válasz stabil. Az azonban, hogy mely sajátértékek kerülnek a kimenőjelet megadó időfüggvénybe, a ¨ © sorvektortól függ, ami esetleg nullával szorozza be azon x(t) állapotváltozó(ka)t, amely(ek) exponenciálisan növekvő, azaz nem aszimptotikusan stabil összetevő(ke)t is tartalmaz(nak). Az átviteli függvény meghatározása során mindez könnyebben látható: a számlálóban lévő zérus kiejti a nevezőben szereplő pólust. Ha tehát valamely rendszer gerjesztés-válasz stabil, az nem biztos, hogy aszimptotikusan is stabil. Határozzuk meg a rendszer válaszát, ha "( ) = 1( )4Ü 2-& ! Ekkor {4;,â
É
è
ð
¹ = –¬ = 4 ({4,,-â)({4;,,h)({4-) = {4,,-â + {4;,,h + {4-. A kifejtési tételt használva kapjuk, hogy «=4
2,.-â4;,â
(2,,-â4;,,h)(2,,-â4-)
= 4,1, é = 4
2;,,h4;,â
(2;,,h4,,-â) (2;,,h4-)
2-4;,â
= 0,48, í = 4
(2-4,,-â)(2-4;,,h)
= −4,58,
azaz a válaszjel a következő: ( ) = 1( )(4,1e2,,-â& + 0,48e2;,,h& − 4,58e2-& ). Határozzuk meg a rendszer átviteli karakterisztikáját! Ha a rendszer gerjesztés-válasz stabil, akkor j átviteli karakterisztika:
= — helyettesítés alkalmazható, vagyis az
S¯4;,â
S¯4;,â
–(j ) = (S¯)1 4,,âS¯4;,- = (S¯4,,-â)(S¯4;,,h). A karakterisztikát meghatározhatjuk természetesen a (29) módszer alapján is. Határozzuk meg a rendszer állandósult válaszát, ha a gerjesztés a nem belépő "( ) = 1,5cos(2 + 10w )! Az átviteli karakterisztika és a gerjesztés komplex csúcsértékének felhasználásával a válasz komplex csúcsértéke kifejezhető: S-4;,â S,;ñ 2Shâ,lkñ S,;ñ 2Sdâ,lkñ ´¬ ´= ¹_ = – 1,5e = 0,43e 1,5e = 0,65e . 1 (S-) 4,,âS-4;,-
Az állandósult válasz tehát a következő szinuszos jel: ( ) = 0,65cos (2 − 54,93w ). amelynek van fizikai tartalma, hiszen a rendszer gerjesztés-válasz stabil. Rajzoljuk fel a Bode-diagramot! A Bode-féle normálalak a gyöktényezős alakból kiindulva egyszerűen felírható: –(j ) =
S¯4;,â (S¯4,,-â)(S¯4;,,h)
;,â
= ,,-â∙;,,h
57
,4
‹,4
\Ð z,ò
=2,02
\Ð \Ð Œ‹,4 Œ 3,1ò z,3m
‹,4
,4
\Ð z,ò
.
\Ð \Ð Œ‹,4 Œ 3,1ò z,3m
A karakterisztika négy részből tevődik össze, amelyeket külön-külön meg lehet rajzolni, ahogy az az 1. és a 2. ábrán látható. K(ω) 20dB
20 lg2,02 0,4 1,24
ω
0,16
-20dB 1. ábra A példában szereplő törtvonalas amplitúdódiagram A nevező két sarok-körfrekvenciája a 0,16 és az 1,24, ahol az egyes tagok közelítő amplitúdókarakterisztikája -20dB/dekád meredekséggel indul. A számlálóban szereplő 0,4 körfrekvenciától +20dB/dekád meredekség szerint nő a karakterisztika. Ezt a három részeredményt az 1. ábrán vékony vonallal feltüntettük. A karakterisztikában szereplő 2,02 frekvenciafüggetlen, ami felfelé tolja az eredő diagramot. Ha ezeket a részeredményeket összeadjuk, megkapjuk az 1. ábrán vastag vonallal felvázolt amplitúdódiagramot. φ(ω) 90o 0,16
0,4
1,24
ω -90o 2. ábra A példában szereplő törtvonalas fázisdiagram A nevező két sarok-körfrekvenciája a 0,16 és az 1,24, ahol az egyes tagok közelítő fáziskarakterisztikája -45o. A sarok-körfrekvencia alatt egy dekáddal az érték 0o, felette egy dekáddal -90o. A számlálóban szereplő Bode-alak hasonlóképp alakul, csak a pozitív tartományban. Ezt a három részeredményt a 2. ábrán vékony vonallal feltüntettük. A karakterisztikában szereplő 2,02 frekvenciafüggetlen, s mivel pozitív előjelű, nem szól bele a karakterisztika alakulásába. Ha ezeket a részeredményeket összeadjuk, megkapjuk a 2. ábrán vastag vonallal felvázolt amplitúdódiagramot. Ennél a diagramnál jobban oda kell figyelni, mert több töréspontja van. 2. Illusztratív példa Tevékenység: Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Használja a fenti összefüggéseket, hívja segítségül a lecke elején megadott elektronikus jegyzeteket! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat! Egy folytonos idejű, lineáris, invariáns rendszert a következő átviteli függvénnyel írunk le: dy
–(—) = (y4-)(y4â).
58
Határozzuk meg a rendszer impulzusválaszát! Az impulzusválasz az átviteli függvény inverz Laplace-transzformáltja. A kifejtési tétel alapján írhatjuk, hogy: –(—) =
dy
(y4-)(y4â)
=
p(Á1) Á1óò
y4-
+
p(Áò) Áòó1
y4â
=
2d
y4-
+
,;
,
y4â
azaz •( ) = 1( )(−5e2-& + 10e2â& ). Határozzuk meg a rendszer ugrásválaszát! Az impulzusválasz az átviteli függvény inverz Laplace-transzformáltja. A kifejtési tétel alapján írhatjuk, hogy: ,
Þ(—) = –(—) = y
d
(y4-)(y4â)
=
p Á1óò
y4-
+
p Áòó1
y4â
=
-,d
y4-
+
2-,d y4â
,
azaz +( ) = 1( )(2,5e2-& − 2,5e2â& ). Ellenőrzésképp célszerű deriválni ezt a kifejezést, az impulzusválaszt kell kapjuk eredményül. Gyakorlásképp határozzuk meg az ugrásválaszt az impulzusválasz integrálásával is! Az általánosított derivált fogalma értelmében az integrálást a következőképp kell elvégezni: &
[Á1ô
&
&
[Áòô
&
+( ) = B; •(”)d” = B; (−5e2-™ + 10e2â™ )d” = −5 à 2- á + 10 à 2â á . ;
;
Az integrálási határok behelyettesítése után kapjuk a feladatban szereplő impulzusválasz kifejezését. Érezhető, hogy a Laplace-transzformáltak világában egyszerűbb dolgozni. Határozzuk meg a rendszer kimeneti jelét, ha a gerjesztés az (~) = `(~) − `(~ − `€)!
A válaszjel Laplace-transzformáltja ¬(—) = 3ß23ß[Áß3z, így a válaszjel Laplace-transzformáltja felírható a következő alakban: dy
d
d
¹(—) = –(—)¬(—) = (y4-)(y4â) W3ß23ß[Áß3z X = (y4-)(y4â) − (y4-)(y4â) e2y,; .
A +( ) jel ismeretében:
( ) = 1( )(2,5e2-& − 2,5e2â& ) − 1( − 10)W2,5e2-(&2,;) − 2,5e2â(&2,;) X. 3. Illusztratív példa Tevékenység: Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Használja a fenti összefüggéseket, hívja segítségül a lecke elején megadott elektronikus jegyzeteket! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat! Két egytárolós, folytonos idejű rendszert összekapcsolunk különféle módon. Határozzuk meg az egyes összetett rendszerek eredő átviteli függvényét! Legyen d
,;
–, (—) = y4-, és –- (—) = y4â. 59
Soros kapcsolás Sorosan kapcsolt rendszerek esetében az első rendszer kimenete a második rendszer bemenetévé válik, ahogy az a 3. ábrán is látható. U(s)
F(s)
W1(s)
Y(s)
W2(s)
3. ábra Sorosan kapcsolt rendszerek hatásvázlata A válaszjel a második rendszer kimeneti jele, amelynek Laplace-transzformáltja kifejezhető: ¹(—) = –- (—)A(—),
de A(—) felírható az
A(—) = –, (—)¬(—)
alakban, azaz ¹(—) = –, (—)–- (—)¬(—), a rendszer eredő átviteli függvénye pedig a sorbakapcsolt rendszerek átviteli függvényeinek a szorzata: º(y)
–(—) = »(y) = –, (—)–- (—).
(2)
Itt d
az impulzusválasz pedig •( ) = 1
,;
–(—) = y4- y4â, 25 e2-&
e2â& .
Párhuzamos kapcsolás A párhuzamos kapcsolás esetén a párhuzamosan kapcsolt rendszerek bemeneti jele megegyezik, a rendszerek kimeneteinek például az összege adja az eredő rendszer kimenetét (l. 4. ábra). U(s)
Y1(s)
W1(s)
+ Y(s) Y2(s)
W2(s)
+
4. ábra Párhuzamosan kapcsolt rendszerek hatásvázlata A rendszer kimenőjele itt két jel összege, az összeadás a transzformáltakra is fennáll: ¹ — azaz
¹, — + ¹- — º y
– —
» y
– —
y4-
–, — ¬ — + –- — ¬ — , –, —
–- — ,
vagyis
az impulzusválasz pedig •
1
d
5e2-&
,;
y4â
,dy4â;
y4- y4â
10e2â& .
60
,
(3)
Visszacsatolást tartalmazó kapcsolás A rendszert az 5. ábra mutatja. U(s)
F(s)
W1(s)
Y(s)
W2(s)
5. ábra Visszacsatolást tartalmazó rendszer hatásvázlata Az ö(÷) változó felírása segítségül szolgál az eredő átviteli függvény felírásában, ö(÷) = ø(÷) − ù(÷),
így ¹(—) = –, (—)–- (—)A(—) = –, (—)–- (—)¬(—) − –, (—)–- (—)¹(—). Átrendezéssel kapjuk a negatív visszacsatolású rendszer eredő átviteli függvényét: º(y)
Õ (y)Õ (y)
3 1 –(—) = »(y) = ,4Õ . (y)Õ (y) 3
(4)
1
Ez az összefüggés szabályozási körök tervezésében nagyon fontos, hiszen –, (—) reprezentálja a tervezendő szabályozót, –- (—) pedig a szabályozandó szakaszt. Ha a visszacsatolás pozitív, akkor º(y)
Õ (y)Õ (y)
3 1 –(—) = »(y) = ,2Õ . (y)Õ (y) 3
(5)
1
Ebben a példában a negatív és a pozitív visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye az alábbi: –(—) = y1
d;
, illetve –(—) = y1
4hy4di
d;
.
4hy2â-
Az impulzusválasz a második esetben egyszerű: •( ) = 1( )(−3,5e2,;,,â& + 3,5eâ,,â& ), de a visszacsatolás labilissá teszi a rendszert, hiszen a második pólus pozitív! A negatívan visszacsatolt rendszer impulzusválasza a részlettörtekre bontás után a következő: •( ) = 1( )W−3,57je(2k4Sê)& + 3,57je(2k2Sê)& X. Az impulzusválasz komplex időfüggvény, hiszen a pólusok komplex konjugált párt alkotnak. Az impulzusválaszt ebben a formájában nem tudjuk értelmezni, azt át kell alakítani a következő módon. Bontsuk fel először az exponenciális kitevőket: •( ) = 1( )W−3,57je2k& eSê& + 3,57je2k& e2Sê& X.
A −3,57je2k& tag kiemelhető, s így
•( ) = −3,57je2k& 1( )WeSê& − e2Sê& X.
Itt felhasználhatjuk a sin =
[\] 2[Á\] -S
, és cos =
61
[\] 4[Á\] -
(6)
azonosságok közül a szinuszfüggvényre vonatkozót, illetve, hogy 1⁄j = −j: •( ) = 3,57e2k& 1( )
[\úû 2[Á\úû -S
2 = 7,14e2k& 1( ) sin 7 .
Az impulzusválasz időfüggvénye a 6. ábrán látható. 4
w(t)
2
0
-2 0
1
2 t
3
4
6. ábra Az ún. exponenciális burkológörbéjű szinuszos jel az impulzusválaszban Ebben a példában jól látható, hogy a komplex pólus valós része szerepel az exponenciális függvény kitevőjében, így a stabilitásvizsgálatban csak a valós részt kell vizsgálni. Az imaginárius komponens a lengő jellegű tranziens körfrekvenciáját határozza meg. 4. Illusztratív példa Tevékenység: Olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat! Ebben a példában az egyik legegyszerűbb feladatot kitűzve bemutatjuk az összetevőkre bontás módszerét. A feladatot érdemes megoldani a Laplace-transzformáció módszereivel, látni fogjuk, hogy az utóbbi módszer jóval egyszerűbb utat ad a megoldáshoz. Az összetevőkre bontás módszerével határozzuk meg az alábbi állapotváltozós leírással adott rendszer ugrásválaszát és impulzusválaszát! ¤ = −2 + 4",
(0) = 0.
= 3 + 5",
Első lépésben az állapotegyenletet és a kezdeti feltételt kielégítő kell meghatározni a következő alakban: ( )= a.) A tranziens komponens differenciálegyenletet, azaz ¤ ¶· = −2
¶· (
¶· ,
¶· (
)+
) = #e%&
{¶ (
= ( ) állapotváltozót
). függvénye
itt *#e%& = −2#e%& ,
kielégíti
a
homogén
a sajátérték tehát kiadódik: * = −2, a rendszer aszimptotikusan stabil, és így gerjesztésválasz stabil. A tranziens tag: ¶· ( ) = #e2-& , az M paraméter értékét utolsó lépésként határozzuk meg.
62
b.) A stacionárius komponens függvénye az ugrásválasz számításakor konstans, {¶ ( ) = š, aminek konkrét értékét az inhomogén differenciálegyenletbe helyettesítve kapunk meg: ¤ {¶ = −2
{¶
+ 4, itt 0 = −2š + 4,
azaz š = 2. Az u helyére az egységugrásjelet helyettesítettük, aminek értéke 1, ha > 0, következésképp a kapott K is csak a > 0 időpillanatokra igaz, a számított válaszjel tehát belépőjel. A teljes időfüggvény tehát: = #e2-& + 2, ha
> 0.
c.) Az M meghatározása az (0) kezdeti érték alapján történik: (0) = 0 = #e2-∙; + 2,
azaz # = −2, s így
( ) = −2e2-& + 2, ha
≥ 0, vagy
( ) = 1( )2(1 − e2-& ).
A válaszjel (az ugrásválasz) a +( ) = 3 ( ) + 5 ∙ 1( ) alapján az alábbi (l. 7. ábra): +( ) = 1( )(11 − 6e2-& ).
Az ugrásválasz általánosított deriváltja az impulzusválasz (l. 7. ábra): •( ) = 5›( ) + 1( )12e2-& . Érdemes a kapott eredményeket ellenőrizni a Laplace-transzformáción alapuló módszerrel! Megjegyezzük, hogy az állapotváltozós leírásban szereplő D konstans az ugrásválaszban D = 0 helyen, és ª›( ) tagként megjelenik az nagyságú ugrást eredményez a impulzusválaszban. 16
12 v(t), w(t)
v(t) 8
4
w(t) 0 0
1
2 t
3
4
7. ábra A példában szereplő rendszer ugrásválasza és impulzusválasza
63
Ellenőrző feladatok 1. Adja meg az alábbi rendszeregyenleteknek megfelelő átviteli függvényt! Adja meg a rendszer impulzusválaszát és ugrásválaszát! a)
?
b)
?
c) 5 d)
+ 2 = ",
+ 2 = "? + 2", ??
??
+2
?
+
= 3"? + ",
+ 6 ′ + 8 = ".
2. A végérték-tételek felhasználásával ellenőrizze az ugrásválasz és az impulzusválasz kezdeti értékét és végértékét! 3. Vázolja fel a Bode-féle közelítő amplitúdómenetet és fázismenetet! Határozza meg az áviteli karakterisztika pontos és közelítő értékét az = 2, = 20 és = 200 helyeken! ,4,;y
–(—) = (,4;,,y)(,4y).
4. Nyilatkozzon az alábbi rendszerek stabilitásáról! a)
¤ , = , + - + 2", ¤ - = 0,2 , + 0,4 - , = ,. y2â
b) –(—) = (y2d)(y4d).
5. Adja meg a 3. feladatban szereplő rendszer ugrásválaszát, impulzusválaszát és a nem belépő "( ) = 2 cos 2 jelre adott válaszát! Ellenőrző feladatok megoldása 1. a) –(—) =
,
, •( ) = 1( )e2-& , +( ) = 0,5 ∙ 1( )(1 − e2-& );
y4-
b) –(—) = 1, •( ) = ›( ), +( ) = 1( ); ky4,
c) –(—) = dy1 4-y4,, •( ) = 1( )(0,6e2;,-& cos 0,4 + 0,2e2;,-& sin 0,4 ), 1( )(1 − e2;,-& cos 0,4 + e2;,-& sin 0,4 ); ,
d) –(—) = y1 4hy4i, 0,125e2â& ).
+( ) =
•( ) = 0,5 ∙ 1( )(e2-& − e2â& ); +( ) = 1( )(0,125 − 0,25e2-& +
2. •(0)
•(∞)
+(0)
+(∞)
1
0
0
0,5
›( )
0
1
1
0,6
0
0
1
0
0
0
0,125
64
3. A törtvonalas közelítő diagram a 8. ábrán látható, a szoftveres úton, Matlab-bal számolt diagram pedig a 9. ábrán. Az átviteli karakterisztika pontos és közelítő értékeinek összehasonlítása a 2. táblázatban látható š∡½ alakban. K(ω) +1
20dB 1,0
10
ω
0,1
-1
φ(ω) 90o 0,1
1,0
10
ω -90o 8. ábra A 3. feladatban szereplő rendszer közelítő Bode-diagramja 20
K(ω) [dB]
10
0
-10
-20 90
φ(ω ) [fok]
45 0 -45 -90 -3 10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
ω (rad/sec)
9. ábra A 3. feladatban szereplő rendszer pontos Bode-diagramja
65
3
10
2. táblázat A 3. feladatban szereplő összehasonlítás
4.
=2 = 20 = 200
Közelítő 10 ∡ 17,9w 5 ∡ − 58,5w 0,5 ∡ −90w
Pontos 8,8 ∡ 12,4w 4,5 ∡ −60,9w 0,49 ∡ −86,9w
a) A rendszermátrixból számított sajátértékek valósak és pozitívak (1,24 és 0,16), a rendszer aszimptotikusan nem stabil, s emiatt nem gerjesztés-válasz stabil; b) Az átviteli függvény két pólusa valós: -5 és +5. Az egyik pólus pozitív, így biztosan nem gerjesztés-válasz stabil. Az aszimptotikus stabilitás az átviteli függvény alapján nem dönthető el. 5. +( ) = 1( )(1 − 11e2,;& + 10e2,& ); 17,6 cos(2 + 12,4w ).
•( ) = 1( )(110e2,;& − 10e2,& );
66
( )=
Modulzáró kérdések Tevékenység: Oldja meg a következő feladatokat, illetve válaszolja meg az alábbi kérdéseket! Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet igaz)? A jel információt hordoz, ami irányítástechnikában főleg időfüggvény formájában jelenik meg. A modern irányítástechnikai berendezések a folytonos idejű jelekből mintavételezéssel előállított diszkrét idejű adatsorokkal dolgoznak. A determinisztikus jel mérése nehézkes, mert minden mérés más-más, véletlenszerű eredményre vezet. Az egységugrásjel a t=0 időpillanatban hirtelen vált 0-ról 1-re. Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet igaz)? A Dirac-impulzus deriváltja az egységugrásjel. Az egységugrásjel deriváltja a Dirac-impulzus. A Dirac-impulzus integrálja az egységugrásjel. Az egységugrásjel integrálja a Dirac-impulzus. Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet igaz)? Lineáris rendszert leíró függvény lehet például az ( ) = 3 ( ). Lineáris rendszert leíró függvény lehet például az ( ) = 3
-
( ).
Az impulzusválasz az ugrásválasz idő szerinti deriváltjaként áll elő. Az ugrásválasz a súlyfüggvény idő szerinti deriváltjaként áll elő. Rendszerek impulzusválasza nem tartalmaz exponenciális függvényt. Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet igaz)? A konvolúció a Laplace-transzformáltak tartományában a gerjesztőjel és az impulzusválasz szorzatát jelenti. A konvolúció a Laplace-transzformáltak tartományában a gerjesztőjel Laplacetranszformáltjának és az átviteli függvénynek a szorzatát jelenti. Gerjesztés-válasz stabil rendszer impulzusválasza lecsengő jellegű. Ha egy rendszer gerjesztés-válasz stabil, akkor biztos, hogy aszimptotikusan is stabil. Ha egy rendszer aszimptotikusan stabil, akkor biztos, hogy gerjesztés-válasz stabil. Adja meg az választ!
( ) = 1( )e%& cos (
?(
) = ›( )e%& cos(
?(
) = ›( ) + 1( )*e%& cos(
?( ?(
) jel általánosított deriváltját! Jelölje be a HELYES
) + 1( )*e%& cos(
) − 1( )e%& sin (
) = ›( ) + 1( )*e%& sin (
)
) = ›( ) − 1( )*e%& cos(
) + 1( )e%& sin (
) − 1( )e%& sin (
67
) )
)
Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet igaz)? Egy gerjesztés-válasz stabil rendszer szinuszos gerjesztésre adott stacionárius válasza is szinuszos. Egy aszimptotikusan stabil rendszer szinuszos gerjesztésre adott stacionárius válasza is szinuszos. Ha a rendszer gerjesztőjele szinuszos, akkor a tranziens összetevőben szinuszos jel is megjelenik. Ha a rendszer gerjesztőjele szinuszos, akkor a tranziens összetevő mindig lecsengő jellegű. Számolja ki az "( ) = ¬cos ( + ) szinuszos jelre adott szinuszos stacionárius választ, ha a gerjesztés-válasz stabil rendszer átviteli karakterisztikájának értéke az ´ = šeS¼ . Jelölje be a HELYES eredményt! körfrekvencián – ( ) = š¬eS(T4¼) ( ) = š¬cos (
+
+ ½)
( ) = #e%& + š¬cos ( ( ) = š¬eý (¯&4T4¼)
+
+ ½)
Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet igaz)? Az időtartományban végzett idő szerinti deriválás és integrálás a komplex frekvenciatartományban az s változóval történő szorzásnak, illetve osztásnak felel meg. Az időtartományban végzett idő szerinti deriválás és integrálás a komplex frekvenciatartományban az s változóval történő osztásnak, illetve szorzásnak felel meg. A Nyquist-diagram segítségével a logaritmikus ábrázolásnak köszönhetően széles frekvenciatartományban tudjuk ábrázolni az átviteli karakterisztikát. A Bode-diagram segítségével a logaritmikus ábrázolásnak köszönhetően széles frekvenciatartományban tudjuk ábrázolni az átviteli karakterisztikát. Mely állítás igaz az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? Az ¦ = à rendszermátrixszal adott rendszer…
−0,1 0 á 0,2 0,4
…aszimptotikusan nem stabil, mert *, = −0,1 és *- = 0,4, azaz az egyik sajátérték pozitív. …aszimptotikusan stabil, mert *, = −0,1 és *- = −0,4, azaz mindkét sajátérték negatív. …aszimptotikusan nem stabil, mert *, = 0,1 és *- = −0,4, azaz az egyik sajátérték pozitív. …aszimptotikusan nem stabil, mert *, = 0,1 és *- = 0,4, azaz mindkét sajátérték pozitív.
68
Mely állítás igaz az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? Az ¦ = à rendszermátrixszal adott rendszer…
−0,1 0 á 0,2 −0,4
…aszimptotikusan stabil, tehát gerjesztés-válasz stabil is. …aszimptotikusan nem stabil, de gerjesztés-válasz stabil. …aszimptotikusan nem stabil, attól azonban lehet gerjesztés-válasz stabil. …aszimptotikusan stabil, de nem gerjesztés-válasz stabil. Mely állítás igaz az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? Az — - + 5— + 6 nevezővel rendelkező átviteli függvény által reprezentált rendszer… …pólusai Ì, = −2 és Ì- = −3. …gerjesztés-válasz stabil, mert pólusai negatívak. …gerjesztés-válasz stabil, mert pólusai nem komplex számok. …biztosan aszimptotikusan stabil. Mely állítás igaz az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? Az rendszeregyenlet által reprezentált rendszer… ,
…átviteli függvénye –(—) = y1 4ky4-.
…átviteli függvénye –(—) = — - + 3— + 2. …gerjesztés-válasz stabil. …impulzusválasza •( ) = e2& + e2-& .
…impulzusválasza •( ) = 1( )(e2& − e2-& ). …ugrásválaszának stacionárius értéke 1,0.
69
′′ + 3 ′ + 2 = "
Irányítástechnika 3. modul: Lineáris szabályozási körök A harmadik modul négy leckéből áll. Az első leckében összefoglaljuk azon tipikus alaptagokat, amelyekből a szabályozó és a szabályozott szakasz felépíthető, sorra vesszük ezek rendszerjellemző függvényeit. A második leckében a szabályozási kör stabilitásával foglalkozunk. A harmadik lecke a lineáris szabályozás néhány olyan jellemzőjét adja meg, amelyek a szabályozó tervezésekor segítségünkre lesznek. A hibajelből kiindulva ökölszabályt fogalmazunk meg a vágási körfrekvenciára és a fázistöbbletre vonatkozóan. Definiáljuk a szabályozási kör típusszámát. A negyedik lecke néhány egyszerű példa kapcsán bemutatja, hogy az egyes szabályozók milyen módon hatnak a zárt szabályozási körben, az alaptagok paramétereinek módosítása milyen irányba tereli a zárt rendszer működését. Itt nem célunk a szabályozó tervezése, csupán alapvető ismereteket szeretnénk átadni.
70
1. lecke: A tipikus alaptagok áttekintése Cél: A tananyag célja, hogy a hallgató megismerje a szabályozási kör modelljének alapvető komponenseit. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes • • •
az alaptagok megnevezésére, és rendszerjellemző függvényeik megadására, és azok felvázolására.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 90 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak • • • • • •
rendszerjellemző függvények, P-, I-, D-tagok, egytárolós tag, kéttárolós tag, sajátérték, időállandó.
71
1. Bevezető példák Tevékenység: Jegyzetfüzetébe jegyezze fel az egyes példák legfontosabb gondolatait. A kétkaru emelő – példa arányos tagra A kétkaru emelő az 1. ábrán látható. Az emelő rúdja alaphelyzetben vízszintesen van. Vizsgáljuk meg, hogy a jobb oldali kar helyzetének nagyságú megváltozása mekkora megváltozást okoz a bal oldali kar helyzetében. b
a
x y 1. ábra A kétkaru emelő Ebben a példában a bemenőjel, pedig a kimenőjel. Az x megváltozás hatására létrejövő y megváltozás az 1. ábrán látható két hasonló háromszög alapján könnyedén számítható: þ
D
0
= , E
ahonnan E
=D .
A kimenet tehát J⁄ -szerese a bemenetnek, ami egy konstans számérték. Az ilyen típusú tagot arányos tagnak nevezzük, hiszen a kimenőjel a bemenőjellel arányosan változik. A tartály – példa integráló tagra Egy tartályba x mennyiségű folyadék áramlik be, aminek hatására a folyadék y-nal jelölt szintje emelkedik. Ha folyadékot engedünk ki a tartályból, akkor y csökken. Tételezzük fel, hogy a vizsgálat kezdetén, a = 0 időpillanatban a tartály üres. A folyadékszint pillanatnyi változási sebessége (azaz, hogy a folyadékszint milyen gyorsan emelkedik, vagy épp csökken) arányos a beömlő folyadékkal, azaz ?
=« ,
ami átírható a következő alakra: &
( ) = « B; (”)d”. Ezt a típusú tagot integráló tagnak nevezzük, a kimenőjel ugyanis a bemenőjel integráljával arányos. Szemléletesen a tartály összegyűjti, integrálja a beömlő (illetve a negatív előjellel figyelembevett kiömlő) folyadékot. A differenciáló tag A valóságban differenciáló tag önállóan nem létezik, de az integráló tag fordítottjaként elképzelhető olyan ideális differenciáló tag, amelynek y kimenete az x bemenet deriváltja, = « ′.
72
2. Az ideális alaptagok Tevékenység: Jegyzetfüzetébe jegyezze fel az egyes tagok rendszerjellemző függvényeit! Célszerű egy táblázatban összefoglalnia. º(y)
A –(—) = »(y) átviteli függvény néhány egyszerű alaptag kombinációjából épül fel. Három
jellegzetes alaptípus van (arányos, más néven proporcionális P-tag, integráló I-tag, differenciáló D-tag), amelyek jól elkülöníthetők az átviteli függvényben (1. táblázat). 1. táblázat Az ideális alaptagok összefoglalása Proporcionális P-tag "( ) →
} "
Integráló I-tag t
} ›
&
1 v ,
Differenciáló D-tag
" ” d”
2•
1
v
d" d
nem értelmezett
• t
t ,
} 1
v ›
1
+ t – j
,– —
,
} ,}
S¯ ,
|} |
¯
,
,y
, -20dB/dekád
š 1 v
• ½
0, U180w ,
ha ha
t
t
} ) 0, } ( 0.
−90w
73
j v , —v v , +20dB/dekád
1 v
90w
•
Az arányos P-tag (proporcionális tag). A tag kimeneti jele a bemeneti jel konstansszorosa: ( ) = } "( ),
(1)
ami egy algebrai egyenlet. A kimenőjel és a bemeneti jel között időkésleltetés nincs. Ezen tag átviteli függvénye így konstans, –(—) = } .
(2)
Ez azt jelenti, hogy a –(j ) = } átviteli karakterisztika nem függ a frekvenciától, minden frekvenciakomponenst azonos mértékben visz át: 0, ha š( ) = |} |, ½( ) = • ±180w , ha
} > 0, } < 0.
(3)
Az impulzusválasza értelemszerűen Dirac-delta, ugrásválasza pedig konstans: •( ) = } ›( ), +( ) = } 1( ). •
(4)
Az integráló I-tag a bementére érkező jel integrálásával képezi a kimeneti jelet: (t) =
,
&
B2• "(”)d”,
(5)
ahol v > 0 konstans. Az átviteli függvény ennek megfelelően a következő: ,
–(—) = y .
(6)
Az átviteli karakterisztika tehát a következő alakot ölti: ,
–(j ) = S¯ ,
(7)
azaz ,
š( ) = ¯ , ½( ) = −90w .
(8)
A Bode-féle amplitúdókarakterisztika tehát egy −20 dB⁄dekád meredekségű egyenes, amely az = 1⁄v frekvencián metszi a vízszintes tengelyt, az alacsony frekvenciás komponenseket kiemeli, a magasabb frekvenciájú komponenseket elnyomja. A fáziskarakterisztika nem függ a frekvenciától. Az impulzusválasz konstans, ugrásválasza pedig lineárisan nő: •( ) =
,
1( ), +( ) =
,
1( ) .
(9)
Utóbbi függvényt egységsebességugrásnak is nevezik. •
A differenciáló D-tag a bementére érkező jel deriválásával képezi a kimeneti jelet. ( )=v
<Ý(&) <&
,
(10)
ahol v > 0 egy konstans. Az átviteli függvény tehát a következő: –(—) = —v .
(11)
Az átviteli karakterisztika pedig a következő alakot ölti: –(j ) = j v ,
74
(12)
azaz š( ) =
v , ½( ) = 90w .
(13)
A Bode-féle amplitúdókarakterisztika tehát egy +20 dB⁄dekád meredekségű egyenes, amely az = 1⁄v frekvencián metszi a vízszintes tengelyt, az alacsony frekvenciás komponenseket elnyomja, a magasabb frekvenciájú komponenseket kiemeli. A fáziskarakterisztika nem függ a frekvenciától. Az impulzusválasz nem értelmezhető, mert a Dirac-delta bemenőjel deriváltját nem tudjuk értelmezni, ugrásválasza pedig a Dirac-impulzus: +( ) = v ›( ).
(14)
3. A tárolós alaptagok Tevékenység: Jegyzetfüzetébe jegyezze fel az egyes tagok rendszerjellemző függvényeit! Ismételje át előbb a Bode-alakokat, ha szükséges! Két tárolós tagot különböztetünk meg: •
Egytárolós tag. Az átviteli függvénye a következő: ,
–(—) = ,4y ,
(15)
¹(—)(1 + —v) = ¬(—) → ( ) + v ¤ ( ) = "( ).
(16)
ahol v > 0. A (15) az időtartományban egy elsőrendű differenciálegyenletnek felel meg, a gerjesztés-válasz kapcsolatot megadó rendszeregyenlet tehát Az átviteli karakterisztika a következő alakot ölti: ,
–(j ) = ,4S¯ =
,
Ð
,4S ⁄ 3 ®
,
(17)
utóbbi a Bode-alakban felírt karakterisztika, ami alapján a közelítő diagramok szerkeszthetők, a pontos diagramok pedig az alábbiak szerint rajzolhatók: š( ) =
,
j,4(¯ )1
, ½( ) = − arctan v.
(18)
K(ω) 1/T
10/T
ω
-20dB
φ(ω) 0,1/T
1/T
10/T
ω o
-45 -90o 2. ábra Az egytárolós tag közelítő és pontos Bode-diagramja
75
A Bode-féle közelítő karakterisztikák az 1. modul 2. leckéjében megtalálhatók, a törésponti körfrekvencia értéke itt 1⁄v. A Bode-diagramot részletesen a 2. ábrán rajzoltuk fel, ahol a pontos és a közelítő diagramok összehasonlíthatóak. Az impulzusválasz és az ugrásválasza a – — és a Þ — alapján felírható: ,
– —
, ,
,4y ,
Þ —
y4
,
3 ®
y‹y4 Œ
3 ®
,
→ •( ) = 1
→ +( ) = 1
e2&/ ,
(19)
W1 − e2&/ X.
(20)
− 1⁄v. Az impulzusválasz és az ugrásválasz jellege a 3. ábrán
A sajátérték tehát λ tanulmányozható. ,
1
+ •
t 3. ábra Az egytárolós tag impulzusválasza és ugrásválasza •
Kéttárolós tag. Ezen tag átviteli függvénye a következő: – —
,4-
,
1 1 z y4 z y
,
(21)
amihez a következő rendszeregyenlet rendelhető: ¹ — 1
2 v; —
v;- — -
¬ — → v;- ( ) + 2 v; ¤
"
. (22)
Az ; ®3z a kéttárolós tag ún. saját-körfrekvenciája, pedig a csillapítási tényező. A rendszernek két pólusa van, ha ) 1, akkor a pólusok valósak és aperiodikusan 1, akkor a pólusok konjugált csillapított tagról beszélünk, ha pedig 0 ( komplex párt alkotnak és periodikusan csillapított, lengő tagról van szó. K(ω)
1/T0
0,1
ω 1
φ(ω) 0,1/T0
1/T0
10/T0
ω o
-90 -180o
0,1
1
4. ábra A kéttárolós tag Bode-diagramja
76
A 4. ábrán látható a kéttárolós tag Bode-diagramja, ahol kvalitatív képet kaphatunk a diagram alakulásáról. A töréspont az ; = ®3z körfrekvencián van. Az amplitúdódiagram ; alatt nullához tart, ; felett pedig a -40dB/dekád meredekségű egyeneshez. Ha > 1, az ; környezetében egyre távolabb kerül a görbe a törésponttól, ahogy a csillapítási tényező értéke nő. Ha 0 < 1, akkor ; környezetében az amplitúdódiagram pozitív lesz, s csökkenésével a kiemelkedés w egyre erőteljesebb. A fázisdiagram az ; körfrekvencián −90 , csökkenő w frekvencián a fázis nullához, növekvő frekvencián pedig −180 -hoz tart. Az átmenet annál meredekebb, minél kisebb a csillapítási tényező értéke. Megjegyezzük, hogy amennyiben aperiodikus tagról beszélünk, úgy a kéttárolós tag két egytárolós tag soros kapcsolásával ekvivalens. Az aperiodikus beállás az egytárolós tag tranziens folyamatához hasonló, ahogy az az impulzusválasz és az ugrásválasz jellegében is tükröződik (l. 5. ábra). A lengő jelleg egy exponenciálisan csökkenő amplitúdójú szinuszos rezgést jelent az impulzusválaszban, s az ugrásválaszban. Minél kisebb a csillapítási tényező, a lengés annál nagyobb amplitúdójú. = 0,1
1
= 0,1
=1
+( ) =1
•( )
t 5. ábra A kéttárolós tag impulzusválasza és ugrásválasza 4. Az átviteli függvény P, I, D jellege stacionárius állapotban Tevékenység: Jegyzetfüzetébe jegyezze fel a három jellegnek megfelelő feltételt! Az átviteli függvény az alábbi alakra hozható ,
–(—) = « y –& (—).
(23)
A –& (—) többtárolós tag (amely a fenti egytárolós és kéttárolós alaptagokból épül fel) a tranziensekért felel, hiszen pólusai a válaszjel tranziens összetevőiben jelentkeznek. Amikor , a tranziens lecseng, a fennmaradt « y tag hat a bemenetre érkező jelre. Az i értékének megfelelően három eset lehetséges: • • •
Í = 0, a tag stacionárius állapotban P-tagként viselkedik; Í > 0, a tag stacionárius állapotban I-tagként viselkedik; Í < 0, a tag stacionárius állapotban D-tagként viselkedik.
5. Illusztratív példa Tevékenység: Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot! A feladat egy elméleti szempontból is lényeges eredményt tartalmaz: a sajátérték és az időállandó kapcsolatát, utóbbit itt definiáljuk.
77
A tranziens összetevő, illetve a (19) alakú impulzusválasz az ( ) = #e%& alakú időfüggvény szerint alakul, ahol * a sajátérték. Ha * < 0, akkor az exponenciális függvény lecseng, ellenkező esetben minden határon túl nő. A következő példában * < 0.
Határozzuk meg a következő időintervallumot! Az ( ) = #e%& függvényhez a 6. ábrán látható módon valamely tetszőleges t0 időpontban húzzunk egy érintőt. Ez az érintő elmetszi a vízszintes tengelyt, miközben ” idő telik el, s kérdés ezen időtartam. ( )
#
”
;
;
t
+”
6. ábra A sajátérték és az időállandó kapcsolatához Először írjuk fel az érintő egyenesének egyenletét Ü( ) = + alakban, ahol meredekség, ami megegyezik az exponenciális függvény deriváltjával a t0 helyen, azaz =
<0(&) <&
=
a
= *#e%&z .
&¢&z
A b paraméter értékének meghatározásához használjuk fel, hogy az Ü( ) egyenes a t0 helyen érinti az ( ) függvényt, azaz Ü( ; ) = *#e%&z
;
+
= #e%&z ,
ahonnan = #e%&z − *#e%&z ; . Az egyenes egyenlete végül a következő: Ü( ) = *#e%&z + W#e%&z − *#e%&z ; X.
Az Ü( ) = 0 egyenlet megoldása szolgáltatja a egyszerűsíteni, 0 = *(
;
=
;
+ ” értéket. Az #e%&z taggal lehet
+ ”) + 1 − * ; ,
ahonnan ,
” = − %.
(24)
Ezt az értéket időállandónak nevezzük. Az időállandó tehát a sajátérték reciprokának mínusz egyszerese. Mit fejez ki az időállandó? A = ; helyen (ami tetszőleges időpillanat lehet) a függvény értéke ( ; ) = #e%&z . A = ; + ” helyen pedig (
;
+ ”) = #e%(&z 4™) = #e%‹&z 2
78
3
Œ
= #e%&z e2, =
0(&z ) [
.
Szavakban: a ” időállandó értéke az az időintervallum, ami alatt az exponenciális függvény e-ad részére csökken. Az 5” egy lényeges, ökölszabályként is felfogható időintervallumot jelöl: 5” alatt ugyanis az exponenciális függvény a kezdeti értékének 1⁄ed < 1%-ára csökken, amit sokszor elhanyagolhatónak tekintünk. Mivel a tranziensek exponenciális függvények szerint alakulnak, jó közelítés a legnagyobb időállandót (leglomhább pólust) alapul véve azt mondani, hogy a tranziens 5” után lecseng, feltéve persze, hogy az exponenciális függvény lecsengő jellegű. Stabil rendszer időállandói pozitívak. Konjugált komplex párból álló sajátértékek esetén a valós részből kell számítani az időállandót. 6. Illusztratív példa Tevékenység: Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot! A pontos Bode-diagram és a törtvonalas közelítés között hol kisebb, hol nagyobb eltérés van. Határozzuk meg a legnagyobb eltérést az amplitúdódiagramon és a fázisdiagramon! Hol tökéletes az egyezés? Vizsgáljuk az egytárolós tagot (1. ábra)! A közelítő amplitúdódiagram legnagyobb hibája az = 1⁄v törésponti körfrekvencián mutatkozik, ahogy az az 1. ábrán is látható. A közelítés szerint itt 0dB a diagram, a pontos érték (18) szerint: šW®3 X = decibelben: š<Ê = 20 lg
,
√-
,
3 1 ,4(® )
=
,
,
√-
= −3dB. A maximális hiba a töréspontnál tehát 3dB.
A közelítő görbe és a pontos görbe az → 0 és az → ∞ határok felé tartva aszimptotikusan egymásba simulnak. A hiba egyre kisebb és kisebb lesz. A közelítő fázisdiagram legnagyobb hibája - az 1. ábrán is látható - az = 0,1⁄v és az = 10⁄v körfrekvenciákon van. Előbbi helyen a közelítő görbe szerint a fázis 0w , utóbbi helyen pedig −90w . A pontos értéket (18) szerint lehet meghatározni: ½Wz,3 X = − arctan ®
;,,
½W3z X = − arctan ®
,;
v = − arctan 0,1 = −5,71w ,
illetve ami pontosan 5,71w -kal tér el a −90w -tól. A közelítés az
v = − arctan 10 = −84,29w ,
= 1⁄v körfrekvencián pontos: ,
½W®3 X = − arctan v = − arctan 1 = −45w .
79
7. Illusztratív példa Tevékenység: Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot! Vizsgáljuk meg, hogy a (21) formula hogy adódik az (1 + —”)(1 + —” ∗ ) szorzat szerint, ahol a * a konjugált komplex képzését jelenti, és ” = − 1⁄Ì az időállandó, míg Ì = J + j , és Ì∗ = J − j a konjugált komplex párt alkotó pólusok! (1 + —”)(1 + —” ∗ ) = ‹1 −
y
y
-Ey
y1
Œ ‹1 + E2SDŒ = 1 − E1 4D1 + E1 4D1. E4SD
Vezessük be az alábbi jelöléseket: így (1 + —”)(1 + —” csillapítási tényező.
∗)
;
= J- +
= 1 + 2 v; — +
-
,
E
, v; = ¯ ,
v;- — - .
= −¯ ,
z
Az
z
;
az ún. sajátfrekvencia,
Ellenőrző kérdések Foglalja össze az ideális alaptagok (P, I, D) rendszerjellemző függvényeit! Foglalja össze az egytárolós tag rendszerjellemző függvényeit! Foglalja össze a kéttárolós tag rendszerjellemző függvényeit! Az átviteli függvényből hogy lehet következtetni a rendszer P, I, vagy D jellegére? Adja meg az időállandó és a sajátérték kapcsolatát! Mit ad meg az időállandó? Mire lehet használni? Adja meg a közelítő Bode-diagram hibáját egytárolós tag esetén!
80
pedig a
2. lecke: Lineáris szabályozás stabilitása Cél: A lecke célja, hogy a hallgató megismerje a szabályozási kör stabilitásának vizsgálati módszereit. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes • • • •
a zárt rendszer stabilitása feltételének megfogalmazására, a Nyquist-kritériumok megfogalmazására, a Bode-kritérium megfogalmazására, a vágási körfrekvencia és a fázistöbblet meghatározására.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 90 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak • • • • • • •
stabilitás, zárt szabályozási kör, felnyitott kör, Nyquist-kritériumok, Bode-kritérium, vágási körfrekvencia, fázistöbblet.
81
1. A visszacsatolás stabilitásra gyakorolt hatása Tevékenység: Ismételje át a stabilitás fogalmát! Jegyzetfüzetében vezesse le a zárt rendszer eredő átviteli függvényét, és a stabilitás feltételét! A visszacsatolás a jelátvivő tulajdonságok befolyásolásának egyik leghatékonyabb eszköze. Szabályozástechnikában a negatív visszacsatolás alapvető jelentőségű, hiszen a szabályozás az alapjel és a visszacsatolt kimeneti jel különbségén alapszik, a kimeneti jelet negatívan csatoljuk vissza. A visszacsatolás hatással van a visszacsatolás által előálló új, zárt rendszer stabilitására. A visszacsatolás az eredetileg labilis rendszert stabilizálhatja, s fordítva, az eredetileg stabil rendszert labilissá teheti. Nyilvánvaló követelmény, hogy a szabályozóval kiegészített zárt rendszer stabil legyen. A stabilitás fogalmáról (aszimptotikus stabilitás, gerjesztés-válasz stabilitás) az 1. modulban már volt szó, így azt itt nem ismételjük meg. Mint ismeretes, a negatívan visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye az alábbi: Õ (y)Õ (y)
–(—) = ,4Õ
.
(y)Õ (y)
(1)
Itt –ì (—) jelöli a szabályozó átviteli függvényét (controller) és – (—) a szabályozott szakasz (plant) átviteli függvénye. A –ì (—)– (—) a felnyitott (megszakított) kör eredő átviteli függvénye, amit –; (—)-sel jelölünk: –; (—) = –ì (—)– (—), s így Õ (y)
z –(—) = ,4Õ . (y) z
(2)
A zárt rendszer stabilitásának feltétele, hogy a zárt rendszer átviteli függvényének nevezője által alkotott 1 –; — polinomból előálló 1
–; —
0
(3)
karakterisztikus egyenlet gyökei (a zárt rendszer pólusai) negatív valós részűek legyenek. 2. Kritériumok Tevékenység: Jegyzetfüzetébe jegyezze fel a Nyquist-kritériumokat és a Bode-kritériumot! A zárt rendszer átviteli függvénye, s következésképp a felnyitott kör átviteli függvénye is a szabályozó tervezése során alakul ki, előre nem ismert. Nem megoldható tehát az, hogy a zárt rendszer stabilitását ezek alapján vizsgáljuk. Emiatt közvetett eljárásokat dolgoztak ki, mint például a Nyquist-kritérium, vagy a Bode-kritérium. a.) Az egyszerűsített Nyquist-kritérium a következőképp szól: ha a felnyitott kör –; — átviteli függvényének pólusai mind negatív valós részűek, a zárt rendszer akkor stabil, ha a –; j átviteli karakterisztika teljes Nyquist-diagramja nem veszi körül a −1 j0 pontot (1. ábra).
1. ábra Illusztráció a Nyquist-kritériumhoz 82
Az 1. ábra első diagramja mutatja a Nyquist-kritériumot kielégítő görbét. A középső diagram a stabilitás határhelyzetét illusztrálja, a harmadik görbe pedig az instabil rendszert. Azt a pontot kell tehát vizsgálni, ahol a Nyquist-diagram belép az egységsugarú körbe (2. ábra). Ha a belépési pont a −180w és 0w között van, akkor a diagram biztosan nem veszi körül a −1 + j0 pontot, ellenkező esetben körülveszi. A metszési pontnak megfelelő körfrekvencia az vágási körfrekvencia, a fázist pedig -vel jelöljük. Ez helyett a fázistöbbletet használják: ¶
= 180w +
.
(4)
ℐP -1+j0 ℛℯ ¶
stabil labilis
2. ábra A fázistöbblet definíciója Az általánosított Nyquist-kritérium kissé továbbmegy: ha a felnyitott kör –; (—) átviteli függvényének pozitív valós részű pólusai is vannak (a felnyitott kör nem stabil), a zárt rendszer még lehet stabil, ha a –; (j ) átviteli karakterisztika teljes Nyquist-diagramja az óramutató járásával ellentétes irányban annyiszor veszi körül a −1 + j0 pontot, ahány jobboldali pólusa van a –; (—) átviteli függvénynek. b.) A Bode-kritérium a Bode-diagramot használva ad segítséget: a zárt rendszer akkor stabil, ha a felnyitott kör š( ) amplitúdógörbéje olyan körfrekvencián metszi az egységnyi erősítésnek megfelelő vízszintes tengelyt, ahol a ¶ fázistöbblet pozitív (3. ábra). š( )
½( )
¶
-180o
3. ábra Illusztráció a Bode-kritériumhoz
83
A 3. ábra szerint tehát az amplitúdódiagram és a vízszintes tengely metszési pontja által kijelölt vágási körfrekvencián kell vizsgálni a ¶ fázistöbbletet, amit a -180o-hoz kell viszonyítani. Az ábrán jelölt fázistöbblet pozitív. Ha a fázisdiagram a vágási körfrekvencián a -180o alatt van, akkor a fázistöbblet negatív. 3. Illusztratív példa Tevékenység: Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot! Egy szabályozási rendszer felnyitott körének átviteli függvénye az alábbi: –; (—) =
-,d
,4y ,4;,,y
.
Határozzuk meg a vágási körfrekvenciát és a fázistöbbletet! Vizsgáljuk meg a stabilitást! Először rajzoljuk fel a felnyitott kör átviteli függvényéhez tartozó Bode-féle amplitúdókarakterisztika törtvonalas közelítését (4. ábra). KdB(ω) 20dB
20 lg2,5=7,96dB 10
1
ω -20dB
4. ábra A példában szereplő rendszer amplitúdódiagramja A törtvonalas közelítés alapján a következőképp lehet meghatározni az körfrekvenciát. A közelítő görbe minden szakasza egy-egy egyenes, amelyek típusú egyenlete két pontra támaszkodva felírható, ebben az esetben a š<Ê ( ) =
vágási
lg
alakot kell használni, a két pont pedig a −20dB/dekád meredekségű egyenes két végpontja ( 1 és 10), ahol az amplitúdó közelítő értéke 20 lg2,5 7,96dB, és 7,96dB − 20dB −12,04dB (a két pont pontosan egy dekádra van egymástól), 7,96
lg1 + , és
12,04
A következő két adatot kapjuk, ami egyértelmű: 7,96, vagyis A vágási körfrekvencián š<Ê
š<Ê 0
lg10 + .
20, ami a szakasz meredeksége és
20 lg + 7,96. 0, s így írhatjuk, hogy 20 lg
+ 7,96,
ahonnan 2,5.
84
A közelítő érték alapján a következő fázist kapjuk: = ½(
) = −arctg2,5 − arctg0,25 = −68,19w − 14,04w = −82,23w ,
s így ¶
= 180w +
= 180w − 82,23w = 97,77w .
A fázistöbblet pozitív, így a zárt rendszer stabil kell, hogy legyen. A pontos értéke meghatározása általában nehéz feladat, mert magas fokszámú polinomot kell megoldani. Ebben az illusztratív példában a megoldás nem túl nehéz feladat. A pontos amplitúdókarakterisztika a vágási körfrekvencián tehát egységnyi: =(,4S¯
-,d = )(,4S;,,¯ )
= 1,
kifejtve -,d
,4¯ 1 ,4;,;,¯1
= 1.
Négyzetre emelés és rendezés után vezessük be az -
=
-
helyettesítést,
+ 101 − 525 = 0,
= 2,23 (t.i. a negatív értékű aminek egyetlen fizikailag helyes megoldása körfrekvenciának nincs fizikai tartalma), továbbá a = −78,41w és ¶ = 101,59w értékeket kapjuk. Ebből a példából is látszik, hogy a közelítő amplitúdómenet használata sokkal egyszerűbb, de tudni kell, hogy az a pontos érték egy közelítése. Végül írjuk fel a zárt rendszer eredő átviteli függvényét: Õz (y)
–(—) = ,4Õ (y) = z
1,p (3óß)(3óz,3ß) 1,p ,4 (3óß)(3óz,3ß)
-,d
= ;,,y1 4,,,y4k,d,
Ennek két pólusa konjugált komplex párt alkot: Ì,,- = −5,5 ± 2,18j. A pólusok valós része negatív, azaz a zárt rendszer valóban stabil. 4. Illusztratív példa Tevékenység: Az általánosított Nyquist-kritérium tanulmányozása után olvassa el a következő példát! Egy szabályozási rendszer felnyitott körének átviteli függvénye az alábbi: 2d
–; (—) = (,4,;y)(,2-y)(,4;,dy). Vizsgáljuk meg a zárt rendszer stabilitást! A felnyitott körnek három pólusa van: Ì, = −0,1, Ì- = 0,5, Ìk = −2. Egyik pólus tehát pozitív, az általánosított Nyquist-kritériumot kell használni. Ehhez szoftveresen felrajzoljuk a Nyquist-diagramot, ami az 5. ábrán látható (l. Matlab nyquist utasítása). A görbe egyszer körbeveszi a -1+j0 pontot, ahogy a kritériumban is szerepel, de nem az óramutató járásával ellentétesen halad. A zárt kör tehát nem stabil.
85
A zárt kör átviteli függvénye a következő: –(—) =
Õz (y)
,4Õz (y)
=
Áp (3ó3zß)(3Á1ß)(3óz,pß) Áp ,4 (3ó3zß)(3Á1ß)(3óz,pß)
=
2d
2â4i,dy2,hy1 2,;yo
,
ahonnan: Ì, = −2,1, Ì- = 0,25 + j0,36, Ìk = 0,25 − j0,36. Valóban, a zárt rendszer nem stabil, hiszen konjugált komplex pólusainak valós része pozitív. 3
1.5
ImW(jω)
-1+j0 0
-1.5
-3 -6
-4.5
-3
-1.5
0
ReW(jω)
5. ábra A példában szereplő rendszer Nyquist-diagramja Ellenőrző feladatok 1. A felnyitott kör átviteli függvénye az alábbi: ,;
–; (—) = (,4-y)(,4;,-y). Határozza meg a vágási körfrekvenciát, a fázistöbbletet és nyilatkozzon a zárt rendszer stabilitásáról! Használja a törtvonalas közelítést! 2. A 6. ábrán látható Bode-diagram egy szabályozási rendszer felnyitott körének átviteli karakterisztikáját ábrázolja (l. Matlab bode utasítása). A diagram alapján döntse el, hogy a zárt kör stabil, vagy sem! Ellenőrző feladatok megoldása 1. 2.
= 5,
≅ −129,3w ,
≅ 0,4 rad⁄s,
¶
≅ 50,7w , a zárt kör stabil (
≅ −40w ,
¶
¶
> 0),
≅ 140w , a zárt kör stabil (
¶
> 0).
Ellenőrző kérdések Vezesse le a negatívan visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvényét! Hogy függ össze a zárt rendszer átviteli függvénye és a felnyitott kör átviteli függvénye? Mi a zárt rendszer stabilitásának feltétele? Hogy szól az egyszerűsített és az általánosított Nyquist-kritérium? Hogy szól a Bode-kritérium? Mi a vágási körfrekvencia? Mi a fázistöbblet? Rajzolja be a fázistöbbletet a komplex számsíkon és a Bode-diagramon! 86
10
Magnitude (dB)
0 -10 -20 -30
Phase (deg)
-40 0
-45
-90 10
-2
10
-1
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
6. ábra A 2. ellenőrző feladatban szereplő Bode-diagram
87
3. lecke: Lineáris szabályozás jellemzői Cél: A tananyag célja, hogy a hallgató megismerje a szabályozási kör tervezés szempontjából lényeges jellemzőit, s néhány fontos ökölszabályt. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes • • •
elmagyarázni a szabályozási kör hatásvázlatát használva, hogy hogyan áll elő a hibajel, felvázolni a szabályozási kör kimenőjelének és a hibajelének alakulását, néhány ökölszabályt megfogalmazni a szabályozó tervezésével kapcsolatban.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 90 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak • • • • • • • •
szabályozási kör hatásvázlata, hibajel, beállási (szabályozási) idő, túllendülés, dinamikus és statikus hiba, vágási körfrekvencia, fázistartalék, szabályozási kör típusszáma.
88
1. A szabályozási hiba Tevékenység: Jegyezze le a szabályozási hibával kapcsolatos fogalmakat! A szabályozási kör hatásvázlatát az 1. ábra mutatja. ua
yh
u
Szabályozó
y
Szakasz
1. ábra A szabályozási kör hatásvázlata Az ún. követő szabályozás célja az alapjel követése. Az ún. értéktartó szabályozás a különféle zavarok hatását küszöböli ki. ( )= Ideális esetben az ( ) kimenőjel megegyezik az "ä ( ) alapjellel, s ekkor az "ä ( ) − ( ) hibajel nulla. Ez az állapot a valóságban szinte soha nem áll fenn, de a szabályozás célja ennek az állapotnak a megközelítése. Mint ismeretes, a negatívan visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye az alábbi: –(—) =
Õz (y)
,
(1)
,4Õz (y)
ahol –; (—) = –ì (—)– (—) a felnyitott szabályozási kör eredő átviteli függvénye, –ì (—) pedig a szabályozó átviteli függvénye, míg – (—) a szabályozott szakasz átviteli függvénye. A hibajel ¹ (—) Laplace-transzformáltja az alábbi:
Õ (y)
,
z ¹ (—) = ¬ä (—) − ¹(—) = ¬ä (—) − ,4Õ ¬ (—) = ,4Õ (y) ¬ä (—). (y) ä z
z
(2)
A Laplace-transzformáltból az időfüggvény előállítható. A 2. ábra az ( ) kimenőjelet és az ( ) hibajelet mutatja, amikor az alapjel az egységugrásjel. Tranziens (átmeneti) állapotban a hibajel értékét dinamikus hibának, stacionárius (állandósult) állapotban pedig stacionárius (statikus) hibának nevezzük. Utóbbit ℎ{ -sel jelöljük, ez az ideális kimenőjeltől való eltérés (ideális esetben a kimenőjel megegyezik az alapjellel). {
"ä ( )
1 ℎ¶
( )
2∆
ℎ{
( ) t 2. ábra A szabályozási hiba jellege egységugrás bemenőjel esetén A tranziens lefolyása a szabályozási kör paramétereitől függ. A { beállási, vagy szabályozási idő egy lényeges adat. Ezen idő alatt a tranziens annyira csillapodik, hogy a kimenőjel egy ∆ hibasávon belül megközelíti a stacionárius értéket. A beállás jellege szintén
89
fontos: ez lehet aperiodikus, vagy lengő. A lengő jellegű beállást ℎ¶ túllendülés (túllövés) jellemzi, ami előírás szerint nem haladhat meg egy konkrét értéket. 2. A dinamikus jellemzők a frekvenciatartományban Tevékenység: Jegyzetfüzetébe jegyezze fel a szabályozó tervezésekor betartandó ökölszabályokat! A { szabályozási idő a felnyitott kör vágási körfrekvenciájával fordítottan arányos. A stacionárius érték 5%-os megközelítését alapul véve ökölszabályként fogadható el, hogy k
,;
{
¯
¯
.
(3)
Célszerű tehát tervezéskor a vágási frekvenciát növelni, hogy a beállási idő minél kisebb legyen. A beállás jellege attól függ, hogy milyen messze van a zárt rendszer a stabilitás határhelyzetétől. Ez viszont a ¶ fázistöbblettel hozható kapcsolatba, s sokszor ökölszabályként használják, hogy ¶
= 60w
(4)
fázistartalékra (fázistöbbletre) célszerű tervezni. 3. A szabályozási kör típusszáma Tevékenység: Jegyzetfüzetébe jegyezze fel, hogy bizonyos típusszám mellett milyen típusú alapjelek milyen hibával követhetők! A szabályozási kör típusszáma egy lényeges adat arra vonatkozóan, hogy a szabályozási rendszer milyen hibával képes bizonyos típusú jeleket követni. A felnyitott kör átviteli függvénye felírható a következő formában: ,
–; (—) = « –& (—),
(5)
y
ahol A egy konstans, –& (—) egy többtárolós tag, amelyre igaz, hogy — = 0 helyettesítési értéknél –& (0) = 1, és i a kör típusszáma. Legyen az alapjel az idő hatványfüggvénye: "ä ( ) = 1( ), "ä ( ) = 1( ) , "ä ( ) = 1( )
&1 -
stb.,
(6)
vagyis ,
,
,
¬ä (—) = y , ¬ä (—) = y1 , ¬ä (—) = yo stb.
(7)
A hibajel Laplace-transzformáltja (2) szerint a következő: ,
¹ (—) = ,4Õ (y) ¬ä (—) = z
,
3
,
,4É Õû (y) yÂ
.
(8)
ß
A hibajel értéke stacionárius állapotban a végérték-tétel értelmében számítható: ℎy = lim
&→•
( ) = lim —¹ (—) = lim y→;
y ó3ÁÂ
y→; y 4É
.
(9)
A (6) típusú jelek különböző típusszámú körök segítségével az 1. táblázatban összefoglalt (9) alapján számított statikus hibával követhetők.
90
1. táblázat Különböző típusszámú körök statikus hibája Í=0 1
;
, 1⁄—
1
,
, 1⁄— -
1
&1
, 1⁄— k
-
1
1 ∞
Í
«
∞
1
Í
2
0
0
1 «
0
∞
1 «
,
Az ugrás alakú alapjelet az Í 0 típusú kör ,4É értékű hibával tudja követni, míg az Í ) 0 típusú körök hiba nélkül képesek azt követni. Az egységsebességugrás-függvényt az Í 1 , típusú kör hibával, míg az Í ) 1 típusú szabályozás körök hiba nélkül tudják követni, stb. É A ∞ arra utal, hogy az adott jelet a szabályozás nem tudja követni. Az 1. táblázatból kiolvasható, hogy ha • Í 1, akkor a hiba állandó, ha • ( Í a hiba zérus, egyébként a kör nem tudja követni az alapjelet.
1, akkor
A szabályozási kör típusszámának esetleges növelése tehát jó hatással van a statikus hiba csökkentésére. Ellenőrző kérdések Rajzolja fel a szabályozási kör hatásvázlatát a lényeges jelekkel együtt! Hogy áll elő a hibajel? Rajzolja fel a kimenő jelet és a hibajelet egységugrás alapjel esetén! Mi a beállási (szabályozási) idő? Mi a túllendülés? Mi a dinamikus hiba és a statikus hiba? Adja meg a szabályozási idő és a vágási körfrekvencia közti kapcsolatot, amit tervezéskor célszerű szem előtt tartani? Milyen fázistartalékra célszerű tervezni? Mi a szabályozási kör típusszáma? Mire használható a típusszám fogalma?
91
4. lecke: Néhány egyszerű szabályozási feladat Cél: A tananyag célja, hogy a hallgató megismerje a szabályozási kör egyszerű tervezési technikáit. A feladatok illusztrációként szolgálnak, a tervezés elsajátítása nem cél. Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes •
összefoglalni az egyes szabályozó komponensek hatását.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 180 percre lesz szüksége. Kulcsfogalmak • • • • •
szabályozó, P-, I-, D-típusú szabályozás, PI-tag, PD-tag, PID-szabályozó.
92
1. A szintézisről röviden Tevékenység: Jegyezze le a szintézissel kapcsolatos alábbi információkat! A szintézis a szabályozási kör méretezése, azaz a szabályozó megtervezése, amely a különféle előírásokat teljesíti. A méretezés során természetes igény, hogy az ideális szabályozási kört megközelítsük. Az ideális szabályozási kör ismérvei a következők: •
a zárt rendszer stabil;
•
a statikus hiba zérus;
•
a tranziensek nagyon gyorsan lezajlanak, stb.
Ahogy a következő példákban látni fogjuk, a szabályozott szakasszal sorbakapcsolt szabályozó úgy kompenzál, hogy a szakasz bizonyos zérusait, illetve pólusait áthelyezi, azaz egyeseket semlegesít, és újakat hoz be. Ezt soros kompenzációnak is nevezzük. 2. Illusztratív példa – terheletlen egyenáramú motor fordulatszám-szabályozása Tevékenység: Jegyezze le az egyes szabályozók hatását! Ebben a példában egy egytárolós tag szabályozását vizsgáljuk meg. Az egyik legegyszerűbb szabályozandó eszköz az egyenáramú villamos motor. A motorra kapcsolt feszültséggel lehet szabályozni a motor fordulatszámát, minél nagyobb a feszültség, a motor annál gyorsabban forog, kisebb feszültségnél a motor forgása lassabb. A motor tengelyének ( ) szögsebessége és a motorra kapcsolt "( ) feszültség között a következő átviteli függvény írható fel: Ï(y)
,
–(—) = »(y) = y4,, ahol utóbbi egy nagyon egyszerű illusztratív példa. Az egyenáramú motor tehát egy egytárolós tag, impulzusválasza és ugrásválasza a következő: •( ) = 1( )e2& , +( ) = 1( )(1 − e2& ). A két függvény az 1. ábrán látható. Az ugrásválaszból egyértelműen kitűnik, hogy amennyiben a motorra hirtelen rákapcsolunk például 1V feszültséget (ugrás alakú jelet), akkor a motor tengelyének szögsebessége nem azonnal, hanem kis késleltetéssel, lassan felfutva éri el az üzemi sebességet, illetve az üzemi fordulatszámot. Ez tehát egy dinamikus rendszer. Vizsgáljuk meg az egyes szabályozók hatását a zárt rendszer ugrásválaszának tanulmányozásán keresztül! A visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye a jól ismert Õ Õ
–(—) = ,4Õ szerint alakul.
93
Õ
1 v(t) w(t)
v(t), w(t)
0.75
0.5
0.25
0 0
1
2 t
3
4
1. ábra Az egyenáramú motor ugrásválasza és impulzusválasza a.) Ha a szabályozó egy egyszerű P-típusú szabályozó, akkor –ì = } , azaz –(—) =
| Õ
=
,4| Õ
3 ßó3 3 ,4| ßó3
|
=
|
.
y4(,4| )
Ennek a zárt rendszernek az ugrásválasza az alábbi Laplace-transzformált szerint írható fel, miközben a letakarásos módszert (parciális törtekre bontás) is alkalmazzuk: ,
|
Þ(—) = y y4(,4|
= )
3ó
y
2
3ó
+ y4(,4| ),
azaz |
+( ) = 1( ) ,4| W1 − e2(,4|
)&
X.
1 kP=10
v(t)
0.75
kP=1
0.5
0.25 kP=0,1
0 0
1
2 t
3
4
2. ábra Szabályozás P-típusú szabályozóval
94
A zárt kör erősítése tehát |
|
,4|
(ugyanez a kimenőjel értéke stacionárius állapotban), statikus ,
hibája pedig ℎy = 1 − ,4| = ,4| , ami mindig fennáll.
A 2. ábra különböző } értékekre mutat eredményt. Az ábrán szembetűnő az ugrásválasz stacionárius értéke a három esetben: 0,1⁄1,1 ≅ 0,091, 1⁄2 = 0,5, illetve 10⁄11 ≅ 0,91, és a hiba értéke 1⁄1,1 ≅ 0,91, 1⁄2 = 0,5, illetve 1⁄11 ≅ 0,091, ami nem tűnik el. A } = 1 könnyen leolvasható. Az is látható, hogy } növelésével a jel felfutása egyre gyorsabb, s egyre jobban megközelíti az 1,0 értéket. Technikai okokból azonban a P-tag konstansa nem növelhető tetszőlegesen, minden határon túl. Ha jobb, pontosabb eredményt akarunk elérni, más szabályozóhoz kell nyúlni. b.) Ha a szabályozó egy I-típusú szabályozó, akkor –ì = 1⁄—v , azaz a zárt szabályozási kör átviteli függvénye az alábbi: –(—) =
3 3 ß® ßó3 3 3 ,4 ß® ßó3
= ,4y
,
4y1
.
Ennek a zárt rendszernek az ugrásválasza az alábbi Laplace-transzformált szerint írható fel, miközben a letakarásos módszert is alkalmazzuk: ,
,
Þ(—) = y ,4y
=
4y1
,
, y (y4%3 )(y4%1 )
=
3
3 1
y
−
3
3( 1Á 3)
y4%3
−
3
1( 3Á 1 )
y4%1
azaz +( ) = 1( ) ‹
,
%3 %1
−
,
%3 (%1 2%3 )
e2%3 & −
,
%1 (%3 2%1 )
e2%1 & Œ.
9
12
Ezekben a kifejezésekben *,,- =
2
±
-
1 2â
a két sajátérték. 1.6 T I=0,5 T I=1
v(t)
1.2
0.8 T I=2
0.4
0 0
3
6 t
3. ábra Szabályozás I-típusú szabályozóval
95
,
A 3. ábra különböző v értékekre mutat megoldást. Azt látjuk, hogy a szabályozási idő eltelte után a kimeneti jel értéke 1,0, a statikus hiba tehát nulla, ami az integráló szabályozó nagy előnye. A kimeneti jel aperiodikus, ha v értéke kellően nagy, de ilyen esetben a szabályozás lassú. Kicsi v értékek mellett a szabályozás gyorsabb, de lengő jellegű, s a lengés v csökkenésével erőteljesebb. c.) A PI-szabályozó átviteli függvénye a P-szabályozó és az I-szabályozó párhuzamos kapcsolásából áll össze: –ì (—) = } +
,
y
=
,4y|
=š
y
,4y y
.
Utóbbi alakot fogjuk használni. A számlálóban szereplő T időállandóval ki lehet ejteni a szabályozott szakasz legnagyobb időállandóját (leglomhább, lassú pólus), K-val pedig a fázistöbbletet lehet beállítani. Ebben az esetben a –ì (—) = š
,4y y
választást lehet alkalmazni, s így a zárt kör átviteli függvénye az alábbi: –(—) =
3óß 3 ß ßó3 3óß 3 ,4Ö ß ßó3
Ö
Ö
= y4Ö,
azaz , Ö
Þ(—) = y y4Ö → +( ) = 1
1 − Ü 2Ö& .
Az ugrásválasz képletéből látszik, hogy a statikus hiba biztosan zérus lesz, a szabályozás jelen esetben aperiodikus, melynek sebessége K megválasztásától függ. A 2. ábrán látható felfutáshoz hasonló eredményt kapunk, de a statikus hiba értéke nulla. 3. Illusztratív példa – magasabb rendű rendszer szabályozása Tevékenység: Jegyezze le az egyes szabályozók hatását! Ebben a példában egy háromtárolós tag szabályozását vizsgáljuk meg: – —
‹,4
,
.
ß ß ß Œ‹,4 Œ‹,4 Œ z,3 3 p
KdB(ω) 20dB 0,1
1
5
ω -20dB
4. ábra A példában szereplő rendszer amplitúdókarakterisztikája 96
A szabályozandó rendszer amplitúdókarakterisztikája látható a 4. ábrán. Az átviteli függvényből közvetlenül kiolvashatók a törésponti körfrekvenciák, miáltal a karakterisztika könnyen felvázolható. A három Bode-alaknak megfelelő karakterisztikaelemet vékony vonallal, az eredőt pedig vastag vonallal rajzoltuk be. A szakasz ugrásválasza a parciális törtekre bontás módszerével felírható: +( ) = 1
1,0 − 0,0051e2d&
0,1389e2,& − 1,1338e2;,,& ,
ami az 5. ábrán látható. 1
v(t)
0.75
0.5
0.25
0 0
15
30 t
45
60
5. ábra A példában szereplő rendszer ugrásválasza a.) Vizsgáljuk meg, mit lehet P-szabályozóval elérni. A vágási körfrekvenciát a -20dB/dekád meredekségű szakaszon célszerű beállítani, ami a 0,1 és 1,0 törésponti körfrekvenciák között található. KdB(ω) 20dB 0,1
1
5
ω -20dB
6. ábra A P-szabályozó hatása a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikájára A P-típusú szabályozóval a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikáját el lehet tolni függőleges irányba, ahogy az szaggatott vonallal a 6. ábrán is látható, ha |} | ) 1,0. Hogy
97
milyen mértékben célszerű eltolni, az nyilván a kívánt fázistartaléktól függ, amit 60° körülinek célszerű megválasztani. Ha például } = 5,0, akkor a felnyitott kör átviteli függvénye az alábbi: –; (—) =
‹,4
d
,
ß ß ß Œ‹,4 Œ‹,4 Œ z,3 3 p
a zárt köré pedig: –(—) =
‹,4
d
.
ß ß ß Œ‹,4 Œ‹,4 Œ4d z,3 3 p
A felnyitott kör vágási körfrekvenciája a 6. ábrából közelítőleg leolvasható. A -20dB/dekád meredekségű szakasz egyenlete: ¯
š<Ê = 20lg5 − 20lg ;,,,
ahonnan š<Ê = 0 helyettesítéssel kapjuk, hogy È =0,5. Itt a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: 72,1°. Ha az erősítés 5,0-nél kisebb, úgy a fázistöbblet is közeledik az optimális 60°-hoz. A zárt rendszer ugrásválaszában konjugált komplex sajátérték-pár is szerepel, a számítás menete hosszadalmas, de a végeredményt grafikusan mutatja a 7. ábra (itt a rendszer ugrásválaszát az 5. ábráról átmásoltuk, hogy azt össze lehessen hasonlítani a szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválaszával). Így a szabályozás ismérvei tanulmányozhatók. Látható, hogy a szabályozott rendszer kimenete nem éri el az 1,0 értéket, maradó, statikus hiba van, aminek értéke 1⁄6 ≅ 0,167 a végérték-tétel értelmében: d
+( → ∞) = lim —Þ(—) = lim –(—) = h = 0,833. y→;
y→;
1 P
v(t)
0.75
0.5
0.25
0 0
15
30 t
45
60
7. ábra A P-szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválasza A 7. ábrán az is látható, hogy a kimenetnek túllendülése van, ami a komplex pólusoknak tudható be, a szabályozó tehát lengővé teszi a kimenetet, habár a stacionárius értéket rövidebb idő alatt éri el, a beállás tehát láthatóan felgyorsult. A P-tag erősítését növelve a statikus hiba kisebb lesz, de azt nem lehet minden határon túl növelni, egyrészt technikailag nem lehet megoldani, másrészt a fázistöbblet csökkeni fog.
98
b.) Vizsgáljuk meg ezután, hogy mit lehet a PI-szabályozóval elérni. A PI-tag átviteli függvénye: –ì (—) = š
,4y y
.
Ennek segítségével a legkisebb törésponti frekvencia kiejthető, legyen tehát: –ì (—) = 5
,4y,; y,;
,
az 5,0 erősítést áthozzuk a P-szabályozóból, s így a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikája csak az alacsonyabb frekvenciákon változik, ahogy az a 8. ábrán is látható (szaggatott vonal). Ilyen esetben a felnyitott kör átviteli függvénye némileg egyszerűsödik: –; —
d
ß 3
ß p
,
y,;‹,4 Œ‹,4 Œ
a zárt köré szintén: – —
d
.
ß ß y,;‹,4 Œ‹,4 Œ4d 3 p
KdB(ω) 20dB 1
0,1
5
ω -20dB
8. ábra A PI-szabályozó hatása a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikájára 1.2 PI
P
v(t)
0.8
0.4
0 0
15
30 t
45
60
9. ábra A PI-szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválasza
99
A felnyitott kör vágási körfrekvenciája a 8. ábrából kiolvasható, hogy nem változik: È =0,5. Megjegyezzük, hogy a pontos érték természetesen változik, hiszen a karakterisztika is változik, de a közelítő törtvonalas karakterisztika ezen szakasza nem változik (v.ö. 6. ábra és 8. ábra). Itt a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: 58,6°, ami közelebb van az ideálishoz, mint az egyszerű P-tag eredményeképp kapott érték. A zárt rendszer ugrásválasza a 9. ábrán látható, ahol meghagytuk a P-tag által szolgáltatott eredményt. Látható, hogy az ugrásválasz lengő jellegű, azaz az eredő rendszer sajátértékei között van olyan, ami konjugált komplex párt alkot, ennek köszönhető a túllövés. Az integráló tag növeli a rendszer típusszámát, miáltal a statikus hiba eltűnik, látható, hogy a rendszer kimenete a szabályozási idő letelte után 1,0. c.) Vizsgáljuk meg ezután, hogy mit lehet a PD-szabályozóval elérni. A PD-tag átviteli függvénye a következő: ,4y
–ì —
š ,4y .
Ennek segítségével a -20dB/dekád meredekségű szakasz meghosszabbítható a nagyobb frekvenciák irányába, legyen az átviteli függvény a következő: –ì —
20
,4y
,4
.
ß 3z
A felnyitott kör átviteli függvénye így a következőképp alakul: –; —
‹,4
-;
,
ß ß ß Œ‹,4 Œ‹,4 Œ z,3 p 3z
a zárt köré pedig – —
-;4‹,4
-;
,
ß ß ß Œ‹,4 Œ‹,4 Œ z,3 p 3z
KdB(ω) 20dB 5
0,1
10
ω -20dB
10. ábra A PD-szabályozó hatása a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikájára A 10. ábrán látható, hogy az 1,00 körfrekvenciához tartozó töréspont eltűnt, s bekerült a 10,0 körfrekvenciához egy új töréspont, miáltal a -20dB/dekád meredekségű szakasz hosszabb lett, s így a vágási körfrekvenciát ki lehet tolni magasabb frekvenciára, hiszen a kör erősítése 20.
100
A felnyitott kör vágási körfrekvenciája a 10. ábrából közelítőleg leolvasható. A -20dB/dekád meredekségű szakasz egyenlete: ¯
š<Ê = 20lg20 − 20lg ahonnan š<Ê = 0 helyettesítéssel kapjuk, hogy alapján: 49,4°.
È
,
;,,
=2,0. Itt a fázistöbblet a közelítő görbe
1.2 PI PD
P
v(t)
0.8
0.4
0 0
15
30 t
45
60
11. ábra A PD-szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválasza A zárt rendszer ugrásválasza a 11. ábrán látható, ahol meghagytuk a P-tag és a PI-tag által szolgáltatott eredményeket is. Az ugrásválasz ismét lengő jellegű, de a beállás jóval gyorsabban megtörténik. Ez annak tudható be, hogy a vágási frekvenciát meg lehetett -; növelni, ugyanakkor maradó statikus hiba állt elő (értéke 1 − = 0,0476). -,
d.) A PID-szabályozó a fenti előnyöket egyesíti: az I-tagnak köszönhetően pontos beállást, a D-tagnak köszönhetően pedig gyors működést biztosít. A PID-szabályozó átviteli függvénye a következő: –ì (—) = š
,4y
,4y
y
.
,4y
Legyen a szabályozó átviteli függvénye az alábbi: –ì (—) = 20
,4y,; ,4y y,; ,4
.
ß 3z
A felnyitott kör átviteli függvény így a következőképp alakul: –; (—) = A vágási körfrekvencia
È
ß p
-
ß 3z
.
y‹,4 Œ‹,4 Œ
=2,0 (12. ábra), a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: 62,9°.
A zárt rendszer eredő átviteli függvénye a következő alakot ölti: –(—) =
-
ß p
ß 3z
.
-4y‹,4 Œ‹,4 Œ
101
A felnyitott kör amplitúdókarakterisztikája a 10. ábrán felvázolt karakterisztikától csupán annyiban különbözik, hogy a -20 dB/dekád meredekségű szakasz a kisebb frekvenciák irányába meghosszabbodik, ahogy az a 12. ábrán is látható. KdB(ω) 20dB 5
0,1
10
ω -20dB
12. ábra A PID-szabályozó hatása a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikájára A zárt rendszer ugrásválaszát a 13. ábra mutatja, ahol a fentebb beállított szabályozók hatása is látható, s az eredmények összehasonlíthatók. A vízszintes tengelyen kicsit módosítottunk, hogy az eredmények jobban láthatók legyenek. 1.2 PID
PI PD
P
v(t)
0.8
0.4
0 0
5
10 t
15
20
13. ábra A PID-szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválasza Az ábrán jól látható, hogy a PID-szabályozó valóban összegzi az egyes tagok előnyeit. A P-szabályozó a hibajellel arányosan avatkozik be. A PI-szabályozó a P-tagon keresztül a hibajellel arányosan beavatkozik, de közben a hibajelet integrálja, s a beavatkozás erejét fokozatosan visszaveszi. A PD-szabályozó nemcsak a hibajellel, hanem annak deriváltjával is dolgozik. Gyorsan növekvő hibára nagy értékkel reagál, de ha a hibajel változási sebessége csökken, úgy a D-tag hatása is csökken, azaz nem várja meg, míg a hiba eltűnik, korábban reagál. A PID a PI és a PD hatásokat egyesíti.
102
A lecke végén megjegyezzük, hogy az ipari folyamatirányításban számos tapasztalati szabályozó beállítási módszert javasoltak, amelyek alkalmasak a gyors üzemi behangolásra. Ezek receptek arra vonatkozóan, hogy a PID-szabályozó egyes csatornáit hogyan kell beállítani előzetes mérések alapján. Ilyen recept például a Ziegler-Nichols-szabályrendszer, az Oppelt-módszer, az Aström-módszer stb. Ellenőrző kérdések Hogyan hat egy szabályozási körben a P-tag? Hogyan hat egy szabályozási körben a D-tag? Hogyan hat egy szabályozási körben az I-tag?
103
Modulzáró kérdések Tevékenység: Oldja meg a következő feladatokat, illetve válaszolja meg az alábbi kérdéseket! Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? A proporcionális komponens minden frekvencián egyenlő mértékben erősíti a bemeneti jelet. Az arányos tag impulzusválasza a Dirac-delta jel konstans szorosa. Az integráló tag önmagában nem valósítható meg. A differenciáló tag önmagában nem valósítható meg. A Dirac-impulzus deriváltját nem értelmezzük, emiatt a differenciáló tag impulzusválaszát sem értelmezzük. Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? Gerjesztés-válasz stabil rendszer időállandói mind pozitív értékek. Gerjesztés-válasz stabil rendszer sajátértékei mind pozitív értékek. A ” időállandó értéke az az időintervallum, ami alatt az exponenciális függvény e-ad részére csökken. 5”-nyi idő alatt a kezdeti érték 1% alá csökken.
5”-nyi idő alatt a kezdeti érték 1% alá csökken, ha a rendszer gerjesztés-válasz stabil. Mely állítás IGAZ az alábbiak közül egytárolós tagok esetében (több válasz lehet helyes)? A közelítő törtvonalas amplitúdódiagram hibája a töréspontnál a legnagyobb. A közelítő törtvonalas amplitúdódiagram hibája a töréspontnál a legkisebb. A közelítő törtvonalas fázisdiagram hibája a töréspontnál a legnagyobb. A közelítő törtvonalas fázisdiagram hibája a töréspontnál a legkisebb. Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? A negatívan visszacsatolt zárt rendszer stabilitását az 1 + –; (—) = 0 polinom határozza meg. A negatívan visszacsatolt zárt rendszer stabilitását a −1 + –; (—) = 0 polinom határozza meg. A negatívan visszacsatolt zárt rendszer stabilitását az 1 − –; (—) = 0 polinom határozza meg. A szabályozás pozitív visszacsatolást jelent. A szabályozás negatív visszacsatolást jelent.
104
Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? Az egyszerűsített Nyquist-kritérium szerint, ha a felnyitott kör –; (—) átviteli függvényének pólusai mind negatív valós részűek, a zárt rendszer akkor stabil, ha a –; (j ) átviteli karakterisztika teljes Nyquist-diagramja nem veszi körül a −1 + j0 pontot. Az egyszerűsített Nyquist-kritérium szerint a zárt rendszer abban az esetben stabil, ha a –; (j ) átviteli karakterisztika teljes Nyquist-diagramja nem veszi körül a −1 + j0 pontot. Az egyszerűsített Nyquist-kritérium szerint, ha a felnyitott kör önmagában stabil, akkor a zárt rendszer abban az esetben stabil, ha a –; (j ) átviteli karakterisztika teljes Nyquist-diagramja nem veszi körül a −1 + j0 pontot. Az egyszerűsített Nyquist-kritérium szerint a zárt rendszer abban az esetben stabil, ha a –; (j ) átviteli karakterisztika teljes Nyquist-diagramja körülveszi a −1 + j0 pontot. A Nyquist-diagram az ún. vágási körfrekvencián lép be az egységsugarú körbe. Stabilis szabályozási kör fázistartaléka a vágási körfrekvencián pozitív előjelű. Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? A szabályozás pozitív visszacsatolást jelent. A szabályozás negatív visszacsatolást jelent. A negatívan visszacsatolt szabályozási rendszer stabilitását az 1 + –; (—) = 0 polinom határozza meg. A tranziens lecsengése után a statikus hiba mindig nulla. Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? A fázistartalékot célszerű 60w körüli értékre tervezni. Minél nagyobb a fázistartalék, a rendszer annál nagyobb eséllyel stabil. A szabályozási kör típusszámát célszerű csökkenteni, így ugyanis a statikus hiba is csökkenhet. A szabályozási kör típusszámát célszerű növelni, így ugyanis a statikus hiba csökkenhet. A szabályozási kör típusszámának növelése a kör integráló hatását erősíti. A szabályozási kör típusszámának növelése a kör differenciáló hatását erősíti. Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? A P-szabályozással a statikus hiba csökkenthető. A P-szabályozás erősítésének növelésével a szabályozás gyorsítható. Az I-szabályozással a statikus hiba csökkenthető. A PI-szabályozó egytárolós tagok szabályozásánál kiváló választás lehet.
105
Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? Az egyes szabályozó tagok erősítése nem növelhető minden határon túl. Az egyes szabályozó tagok erősítése minden határon túl növelhető. P-szabályozóval nem lehet a vágási körfrekvenciát változtatni. P-szabályozóval a vágási körfrekvencia elvben beállítható. Mely állítás IGAZ az alábbiak közül (több válasz lehet helyes)? A P-szabályozó a hibajellel arányosan avatkozik be. A PI-szabályozó a P-tagon keresztül a hibajellel arányosan beavatkozik, de közben az I-tag a hibajelet integrálja, s a beavatkozás erejét fokozatosan visszaveszi. A PD-szabályozó nemcsak a hibajellel, hanem annak deriváltjával is dolgozik. A PD-szabályozó gyorsan növekvő hibára nagy értékkel reagál, de ha a hibajel változási sebessége csökken, úgy a D-tag hatása is csökken. A PID a PI és a PD hatásokat egyesíti.
106
