,
.
Enige opmerkingen over:
ONE ASPECT OF THE DYNAMICS OF A COAST
PARTLY PROTECTED BY A ROW OF UROYNES
door
Ir. W.T., Bakker
Rijkswaterstaat, D i r e c t i e Waterhuishouding en Waterbeweging, Afd. Kustonderzoek
Errata b e t r e f f e n d e "One Aawecttl Wz. 5 , regel 1
s t a a t : 3. The flow of eand around groynes toevoegen: i n t h e a t a t i o n a r y caise.
, I
b l e . 18, r e g e l 4 staat:
. . ... . .. .
,
may be m u l t i p l i e d , f o r i n e t a n c e w i t h a f a c t o r ( 1
moet z i j n :
+
r)
,
may be m u l t i p l i e d by any number. In o r d e r t o f u l f i l (20a) is choosen a f a c t o r ( 1 + r )
b l z . 23, r e g e l 1 van§6.2: With t h e mentioned aesumption the e q u a t i o n ( I S ) can be w r i t t e n
88:
toevoegen: on e e q u a t i o n f o r t h e l i t t o r a l d r i f t and a n o t h e r e q u a t i o n f o r t h e o f f s h o r e t r a n s p o r t qy (y1 y2). The l a t t e r one i a found by d i v i d i n g t h e equations
-
,
(15) by D, and D2 r e s p e c t i v e l y and s u b t r a c t i n g . Theee two e q u a t i o n s a r e : blz. 23, l a a t a t e 3 regels: vervallen b l z 28b, ke r e g e l :
. . ....
is t o assume f i r s t
Iy21 = 1 f o r x = O a n d
toevoegen: b l z , 28b ,formule ( ~ 5 ~ )
moet zijn:
y2 = y -
D
y-
b l z 28b, l a a t s t e r e g e l : n
staat: moet z i j n :
y1 =
y, =
2 .-Kx c,
4 '
"; e
-Kx
s
1
i n which C4
l+iw
qY
b l z . 29 en 30: o v e r a l waar C
3
s t a a t , lezen:
c4
EO:
ENIOE OPMERKINûEN OVER "ONE ASPECT"
, Opinerking 1 betreffende hoofdstuk 2:01Definitionsand aseumptions" 1. Op de eerste regel van bladzijde 1 wordt gezegd; Iiamathematical
Ohaory
wil1 be given". Dit houdt in, dat de kust wordt gee~hematisaerdtot dwoe lijnen (strand en vooroever) en dat bepaalde transportfwlctiae worden aangenomen, min of meer bij wijze van definitie en ( o f ) axioma, en dat hierop wordt doorgerekend volgens de wetten van de wiskunde. Een motivering van de aaimamen wordt nauwelijks gegeven, ten dele omdat deze
3
i
1
al eldera in de literatuur verscheen (zie bijv. PELNARD-CONSIDERE [I] en EDELMAN [i] ), ten dele vanwege het gevaar van een onvolledige motivering, i ' die toepassing van de theorie onnodig zou beperken. Het blijkt echter, dat aan deze motivering toch behoefte bestaat. Wij zullen eerst de transportvergelijking motiveren, en vervolgens dB gekozen randvoorwaarden en $e beperkingen van de aannamen nagaan. 1.1.
,I '
MOtiVerinR van de transportvergelijkingen ~
De transport vergelijkingen zijn de vergelijkingen (2) en ( 3 ) van "One
.
Aspect" Dwarstransport: QY=q,(y,
-y2)
.
p
.
a
.
.
e
..
(2)
Langstransport:
- a;( a72 Q2 = Q02 - 92 ax Q1 = Q o l
91
.
* . I . .
....... .
~
I1 i
!
* .
(3)
Wij bekijkeh eerst de vergelijkingen ( 3 ) . Langs een kust zal een bepaald transport bestaan, veroorzaakt door golf en (of) stroom. De beperkingen die vergelijking ( 3 ) stelt, zijn: 1' het transport langs het strand (resp. de vooroever) is een functie van de strandrichting (resp. vooroeverrichting), ' 2 het transport langs het strand (de vooroever) is alleen een functie van de strandrichting (de vooroeverrichting).
3' deze functies zijn continu differentieerbaar.
'4 tweede en hogere afgeleiden van deze functies zijn niet van belana. Als aan alle vier voorwaarden is voldaan, mag de transportfunctie worden ontwikkeld in een reeks van Taylor.
- 2 -
S t e l dat
p
Y
de hoek a a n g e e f t , d i e d e kuet
4
met de x-a5 maakt dan i a 8
Q * Q ( P )
Volgens aanname 4':
Wan welke z i j d e d e g o l f ook komt, h e t t r a n s p o r t i n p o s i t i e v e r i c h t i n g z a l k l e i n e r worden a l e de hoek /3 i n p o s i t i e v e z i n g r o t e r wordt ( b i j n i e t t e g r o t e hoek van g o l f i n v a l ) . M.a.w.
3 dB
b i j n i e t t e g r o t e hoek van g o l f a a n v a l is
negatief.
I'
Voor k l e i n e hoeken /3 komt d i t op h e t z e l f d e neer. Hierdoor o n t s t a a t u i t ( a ) :
Q=Q
(0)
-
q ax
9
of i n de n o t a t i e van "One Aspect":
Q (O) of Qo i s h e t t r a n s p o r t a l s
%=O
Q = Q,
-
q 3. ax
is.
Het één en a n d e r i s nog v e r d u i d e l i j k t in bovenstaande f i g u u r , waar h e t langsd i e de k u s t r i c h t i n g met de x-as t r a n s p o r t i s u i t g e z e t tegen de hoek p maakt. Het s n i j p u n t van de kromme met de Q-as i s Qo, de h e l l i n g van de raakl i j n i n d i t punt i s a r c t g q.
,
Voorbeeld: S t e l , d a t h e t t r a n s p o r t door stroom a l l e e n Q
V
zou z i j n en d a t h e t t r a n s -
p o r t door stroom en g o l f samen kan worden v o o r g e s t e l d door Q r Qv
+
Qm s i n 2 (a-IJ ) , w a a r b i j
o (
de hoek i s d i e de golfkam met de x-as
maakt, dan is i n ( 3 ) van "One Aspect": Qo *
Qp=o =
en
E
Qv
+
9 p z -02
-[dO]
Qm s i n 2 o c
Q,
cos 2
o(
(N.B.
o n a f h a n k e l i j k van Qv!)
<
i/
I
.
@jij
beZiQn nu da v i e r gemaalctss aannamen ( z i e b l z 2 van. "Opmcrkingan'f)o
1.1i4e IYot Cransport langs lict
Utarau
(resp. vooroever) &e ewIz f u n c t i e
van de a t r a n d r i c h t i n g (roopo de v o o r o e v e r r i c h t i n g ) e Als de r i c h t i n g van &rand OT vooroove&*verandert, v e r a n d e r t do hoek van p o l f i n v a l . Dit heoft v e r a n d o r i n g van h e t langmta*anoport t o t gevolg: d i % i s een bekend Eclt;, daf men zowel i n de w e r k e l i j k h e i d als i n proeven vindt. De a f h a n k e l i j k h e i d i s h e t k l e i n s t a l o 01 ca 45' & 20' %ue Do aanname 1' g a a t duo op als naast t r a n s p w t door straom t r a n s p o r t door golven o p t r e e d t eg dea t e b o t e r aaarmate do $ o l f i n v l o e d groter i u en de hook van g o l f i a v a l k l e i n e r i@ (dan is 9 h e t grcotot). dl3 I n de p r a k t i j k hebben w i j e c h t e r n o o i t met 66n CoMstante g o l f r i c h t i n g t e maken, maar met een g o l i b e e l d , d a t %eersterk i n do t i j d v a r i e e r t ,
moeten Q, en
i n de p r a k t i j k minder z i e n als h e t i n s t a n t a n e l a n g s t r a a s p o r t op een bepaald uur, dan wsl a l 0 h e t totale j a a r l i j k s e t r a n s p o r t onder a l l e weeroomstandigheden i n een "normaal" jaar, B i j de aanname van h e t voorbeeld op b l z 2 zou q dus do over oen jaar gesommeerde 2 Qo C O S M worden ( b i j a l l e d a t jaar optredende golfhoogten en - r i c h t i n g e n ) . Een r a p p o r t is i n v o o r b e r e i d i n g , waarbij de g r o o t t e van q op deze w i j z e voor een a a n t a l p l a a t s e n aan de Nederlandse k u s t berekend wordt. Wij
1.1.2.
Q2
een f u n c t i e van de s t r a n d Het t r a n s p o r t l a n g s h e t s t r a n d is r i c h t i n g ; h e t t r a n s p o r t langs de vooroevor is a l l e e n een f u n c t i e van de v o o r o e v e r r i c h t i n g . Deze aanname k l i n k t misschien e n i g s z i n s r a a d s e l a c h t i g . Ket zandtrnnap o r t is immers een f u n c t i e van de golfhoogten en - r i c h t i n g , van de k o r r e l d i a m e t e r , van de t i J d en van welke v a r i a b k l e n nag meer. Een b e t e r e f o r m u l e r i n g i s misschien, dat h e t t r a n s p o r t l a n g s h e t strand (do vooroever) v o l l e d i g i s bepaald, a l s Be s t r a n d r i c h t i n g (de vooroever) bekend j.n.
Daze aanname houdt beporkingen i n , d i e i n een l a t e r 6tadium z u l l e n moe.hrt worden g e ë l i m i n e e r d door de s t o r e n d e invloeden a l e een soort COrractief a c t o r e n b i j d e gevonden o p l o m i n g e n t e euparponoren.
1.I 52u1 .
,
~~~~~~~-~~~~~~~~~~~ %n h e t
?~oorgi~?~..acF# h ben = i j gesien d a t d e Lheoriei dn Be eeraée
plaats
~~~r~~~~~~~bw.t S r$ m n d t r m a p o r t , d i r e a t of i n d i r e c t d a a r
golven varom
Er~a bepe@ktt;a 6w.rrLoed vasi g e t i j s t r o o m i a taelaa$biaxanr, maar daze mag I n de )tiwaria i s geen r e k e n i n g . gehouden met
en.
I,
UIetnnCWQn van de 6troom cw&%n?kn,j h e t s p o r t a f h a n g t van cl@ kk:mming va11 de kust i.p.v. &P ~~A%:sicChP;i~~ik~.)~ met s p i ~ a a l s t r o r i i e nclis geulen u i t s l i j p e n en met i;l,ifi,Ietromen h,,odrecht op de kufit.
baar d e 8 s t i j s d r o c t 8 van p m l ; t o t p u n t v a r i e e r t , aal ook h e t ever een jaar g e b t e g r e w d e t r a n s p o r t van p u n t . t o t punt variereeia Beschouwt men een k o ir t k u s t g e d e e l t e , dan is deee v a k i a t i e &: groot; beschouwt men een l a n g e r k u s t g e d e e l t e , dan ie deze Ti&n.a@t&$
., t e compmseren door i n p l a a t 6 van een r e c h t e x-as een kromme refsr e n t i e l i j n aan t e nemen.
immers, een l a n g s de k u s t toenemend s t r o o m t r a n s p o r t beW&ent een doorgaande e c o e i o van een r e c h t e k u s t . Zonder atraen: (i1i.a.W. a l l e e n met golven) zou een r e c h t e k u s t s t a b i e l z i j n , een PsaIJa a a n g r o e i e s en een b o l l e afnemen. Door de r e f e r e n t i e l i j n (x-as) nu zodanig h o l t e ki%mrra, d a t de aai-.
$+'dei volgens de g o l f t h e o r i e
de e r o s i e tengevolge van de toenemende
stroom compenseert is de s i t u a t i e weer "normaal" t e k r i j g e n . Men z i e [ 6 ] voor d e t b i l s . 1.1.2.2.
I n v l o e d van veranderde weersomstandigheden. Voor h e t gebruik van de langfitransportformule ( 3 ) i s s t r i k t genomen n o o d z a k e l i j k , d a t de stroom uniform d e z e l f d e k a n t u i t g a a t e n ' d e golven s t e e d a d e z e l f d e hoogte en r i c h t i n g hebben. I n d i t geval z a l 9)
men t h e o r e t i s c h s t e e d s h e t z e l f d o l . a n g s t r a n s p o r t Q1 en Q2 kunnen v e r wachten, hoe k l e i n men d o +.mheicc s?: t i j d ook k i e s t .
I n de p r a k t i j k x n l men k o r t e t e r m i j n , K P ; ~kan
,:Y!
,
@:I
ge%::!,.srvacseerd z i j n i n veranderingen op Q2 w~chou??ma l e h e t gemiddeld la!l$S-
t r a n s p o r t p e r Jaar, te:! y'avo? 3% van :.o4
t a i e g o l f b e e l d , d a t op de
'het o p t ~ s d s nVWI s t r n n d h o r s n a nog b u i t e n besa, ia uw in^ gelattm,
- 5 -
Weersverandering op k o r t e t e r m i j n vormen dus weinig belemmering. Weersveranderingen op l a n g e
t e r m i j n doen d i t in e t e r k e r e mate.
Deze houden een v e r a n d e r i n g in van Bon,
Qo, en q2 i n de l o o p vandi t i j d . In d i t g e v a l kan men h e t b e s t e de w e r k e l i j k h e i d r1inslu5tant1 door de berekening a c h t e r e e n v o l g e n s mot de c o n s t a n t e n van de aanvang en van h e t e i n d e u i t t e rekenen. Men weet dan de minimale en ql,
maximale aanwas en e r o s i e op i e d e r t i j d s t i p . Een b e t e r e methode is u i t e r a a r d een numerieke berekening. V r i j komen nog t e r u g op de i n v l o e d van weersveranderingen op de randvoorwaarden. 1.1.2.g..Invloed
van v e r s c h i l l e n d g o l f b e e l d l a n g s de k u s t .
Deze moet weer g e s p l i t s t worden in: 1'
i n v l o e d t e n gevolge van gemaakte c o n s t r u c t i e s
2'
i n v l o e d van v e r s c h i l l e n d g o l f b e e l d t e n gevolge van v e r s c h i l l e n d e
t o p o g r a f i s c h e l i g k i n g ( v e r s c h i l l e n t.o.v. depressiebanen e.d.) Op 1' wordt nog teruggekomen onder 'Irandvoorwaardenf1 (1.2.1.) O De i n v l o e d van 2 kan worden gecompenseerd door een kromme x-as a a n t e nemen, op d e z e l f d e w i j z e a l s onder tlstroomll is behandeld.
Bij g r o t e v e r s c h i l l e n i n golfhoogten moet ook q wijzigen i n x-richt i n g . In d i t g e v a l moet men weer z i j n t o e v l u c h t nemen t o t computerprogramma's. 1.1.2.4.
Invloed van v e r s c h i l l e n d e bodemsamenstelling. Het zand l a n g s de Nederlandse k u s t is n i e t o v e r a l g e h e e l h e t z e l f d e . De v a r i a t i e s z i j n e c h t e r dusdanig k l e i n , dat men deze voor de ged e e l t e n waarop men de t h e o r i e w i l t o e p a s s e n ( 5 & 20 km l e n g t e ) wel kan verwaarlozen. Het i s d u i d e l i j k , d a t keileembanken moeten worden g e z i e n a l s o b s t a k e l s . B i j de Nederlandse k u s t vormen z i j e c h t e r n a u w e l i j k s een probleem.
1,'1.2.5.
Invloed van de l i g g i n a van de vooroever op h e t s t r a n d . I n de t h e o r i e i s aangenomen d a t h e t t r a n s p o r t l a n g s h e t s t r a n d al* l e e n bepaald wordt door d e l i g g i n g van h e t s t r a n d . I n f e i t e zal een veranderde l i g g i n g van de vooroever ook i n v l o e d hebben op h e t t r a n s p o r t l a n g s h e t s t r a n d , daar de r e f r a c t i e van de golven v e r a n d e r t . I n f e i t e zou de e e r s t e r e g e l van ( 3 ) moeten l u i d e n : Q, = Q o l
Q-I - 91 i z-
"Y2 912
ax
De p o r t é e h i e r v a n moet nog worden nagegaan.
- 6 -
De e e r s t e twee aannamen genoemd op b l z 1 z i j n nu bekeken. 1.1.3.
de t r a n s p o r t f u n c t i e s z i j n c o n t i n u en d i f f e r e n t i e e r b a a r . A a n deze
eis is v r i j w e l s t e e d s voldaan.
1.1.4.
tweede en hogere a f g e l e i d e n van deze f u n c t l e s z i j n n i e t van bel a n g . Zolang de hoek van g o l f i n v a l n i e t v r i j w e l s t e e d s 45
5 0 '
is,
i s aan deze e i s wel voldaan. Dbt b l i j k t door r e s u l t a t e n t e v e r g e l i j ken van berekeningen met g e l i n e a r i s e e r d e t r a n s p o r t f u n c t i e s en grafisch-numerieke berekeningen met de t r a n s p o r t f u n c t i e Q = Qm s i n 21%. De d i v e r s e a s p e c t e n van de v e r g e l i j k i n g van h e t l a n g e t r a n s p o r t z i j n nu nagegaan. Voor de m o t i v e r i n g van de d w a r s t r a n s p o r t v e r g e l i j k i n g ( 2 ) wordt verwezen n a a r de t e k s t van "One Aspect",
t e r w i j l sommige
beschouwingen b e t r e f f e n d e h e t l a n g s t r a n s p o r t ook h i e r b i j van belang
e i ja. 1.2.
Beschouwingen b e t r e f f e n d e de randvoorwaarden. Verwaarloosd z i j n : '1
Diffractie
'2
Stroom l a n g s de strandhoofden
3' V a r i a b i l i t e i t van k o r t e p e r i o d e van de weersomstandigheden, dus i n het golfpatroon. 1.2.1.
Diffractie I n de t h e o r i e is aangenomen, d a t de v o l l e g o l f h o o g t e d i r e c t aan de l i j z i j d e van h e t hoofd op de k u s t inwerkt.
*
I n w e r k e l i j k h e i d v e r a n d e r t t e n gevolge van d i f f r a c t i e de golfhoogte en r i c h t i n g op h e t g e d e e l t e v l a k a c h t e r h e t hoofd. De v e r a n d e r i n g
van r i c h t i n g van de golf i s w a a r s c h i j n l i j k op t e vangen, door de x-ae over d e z e l f d e hoek met de g o l f mee t e d r a a i e n ( z i e nevenstaande f i guur). De v e r a n d e r i n g van de g o l f g r o o t t e is a l l e e n op t e vangen door een v e r a n d e r i n g van q 1 i n x - r i c h t i n g ; d i t i s a l l e e n met een computerprograrn-
-- -
h
-'
.
- -
ma b e h o o r l i j k u i t t e rekenen. Het is o v e r i g e n s de v r a a g of de hoev e e l h e i d werk lonend is. D i t z a l van g e v a l t o t g e v a l moeten worden bekeken. 1.2.2.
Stroom l a n g s strandhoofden Neemt m m g e t i j - of brandingsstroom l a n g s h e t s t r a n d aan, dan i m p l i c e e r t d i t , d a t deze stroom t e r p l a a t a e van de hoofden naar b u i t e n
I
moet worden gevoerd. D i t h e e f t twee gevolgen: 1'
een hoeveelheid zand z a l van h e t s t r a n d naar de vooroever
WOP-
den gevoerd. De gevolgen van de bodemtopografie z i j n a l 'bskekon bekend i n [ 31 I b i j de aanname, d a t de hoeveelheid zaad Q riP was. Deze hoeveelheid is w a a r s c h i j n l i J k met de t h e o r i e van B i j k e r [ 4 ] t e berekenen. 2'
s t r o o m r e f r a c t i e . Deze g e e f t v e r a n d e r i n g van de randvoorwaarden.
x-as. Aan de l o e f z i j d e van h e t hoofd dus een d r a a i i n g van de x-as t e n gevolge van s t r o o m r e f r a c t i e , aan de l i j z i j d e door d i f f r a c t i e en
Ook deze moet worden opgevangen door een d r a a i i n g van de
e v e n t u e e l eveneens e e n s door s t r o o m r e f r a c t i e ( a l s z i c h aan deze z i j d e een n e e r gevormd h e e f t )
1.2.3.
V a r i a b i l i t e i t van h e t g o l f p a t r o o n i n de loop van de ti.@ Deze g e e f t een v a r i a ö i l i t e i t van de randvoorwaarden b i j h e t hoofd.
Men kan aantonen d a t d i t een zandgolf g e n e r e e r t ( z i e onderetaande f i g u u r 1.
I
.
De g o l f l e n g t e van deze zandgolf z a l e c h t e r z e e r k l e i n z i j n . Men kan n a m e l i j k bewijzen 161, d a t deze e v e n r e d i g i s met fi waarbij T de p e r i o d e van de ( c y c l i s c h gedachte) v a r i a b i l i t e i t aangeeft. B i j T e 60 jaar b l i j k t de g o l f l e n g t e e n i g e k i l o m e t e r s t e z i j n
( Z i e [ 6 ] ) a B i j & j a a r l i j k s e v a r i a b i l i t e i t b e d r a a g t deze d u s nog
maar e n i g e honderden meters. 41 1.3. De aanname = 42 D2 Zoals aangetoond is i n 1.1. s t e l l e n q 1 en q2 d e afname van h e t
- -
transport,
I?[ -
l a n g s s t r a n d en vooroever voor als de k u s t -
*B=o
r i c h t i n g v e r a n d e r t . De aanname
91 = -wil D2 92
zeggen, d a t bij een even-
w i c h t s p r o f i e l s t r a n d en vooroever even
s n e l a a n g r o e i e n , a l s z i j d e z e l f d e kromming vertonen. D i t b l i j k t uitverg.'(l5) van "One Aspect", welke b i j een evenw i c h t s p r o f i e l worden:
n
- 8 -
I
2
o- y2 =-
D2 a x 2 q2
-
J
ay2
at
Een e v e n w i c h t s p r o f i e l b l i j f t dus een e v e n w i c h t s p r o f i e l : eowel l a n g s h e t s t r a n d a l s l a n g s de vooroever wordt 5oveel zand aangevoerd d.m.v.
l a n g s t r a n s p o r t , d a t d w a r s t r a n s p o r t n i e t n o o d z a k e l i j k is. 91 92 Physisch s t e l l e n en h e t volgende voor. 1 D2 S t e l h e t l a n g s t r a n s p o r t p e r m k u s t ( i n breedte-
-
-
en de h e l l i n g van de k u s t op een be-
richting) S
Y
paalde diepte m
Y
, dan
iEi
de t o t a l e hoeveelheid zand,
d i e t u s s e n 2 d i e p t e l i j n e n wordt g e t r a n s p o r t e e r d
Y S De aanname houdt nu i n , d a t y o n a f h a n k e l i j k van y met e e n z e l f d e mv "
bedrag w i j z i g t a l s de k u s t r i c h t i n g w i j z i g t , p r e c i e z e r , d a t : /
I
I n een a n d e r r a p p o r t [ ? ] wordt aangetoond, d a t b i j de aanname h e t z a n d t r a n s p o r t e v e n r e d i g i s met de langscomponent van de v e r l o r e n gaande e n e r g i e , h e t z a n d t r a n s p o r t i n de brekerzone t u s s e n twee diep,. t e l i j n e n (wel g o l f , geen s t r o o m ) e v e n r e d i g is met
D2 A D sinocO cosrx.(d = hoek van g o l f i n v a l ) . Denken w i j de f a c t o r "cos 2 dus e v e n r e d i g met D
.
A D
CL"
even weg, dan i s de a f g e l e i d e n a a r oc
CO BOL^.
D i t i s a l l e s behalve onafhanke-
l i j k van D: B i j de vooroever zou de a a n g r o e i van een k u s t dus v e e l s n e l l e r p l a a t s vinden dan b i j h e t s t r a n d . E r s t a a t e c h t e r tegenover, d a t i n d i e p e r w a t e r v e e l minder golven breken. Met een slimme keuze van de t o t a l e d i e p t e D, waarover t r a n s p o r t p l a a t s v i n d t i s dus v e e l t e bereiken. E r moet nog de nadruk op g e v e s t i g d worden, d a t de aanname
92 -= % 91
a l l e e n i s g e b r u i k t vanwege r e k e n t c c h n i s c h e moeilijkheden en pas
vanaf hoofdstuk 4. Het l i 6 t i n de b e d o e l i n g een a a n t a l g e v a l l e n met ~
I
.
91 92 +numeriek door t e
D7
D2
rekenen,
- 9 -
Opmerking 2: De b e t e k e n i s van 0 i n formule (13) (blz 10) '2 p i a 1 a l e de strandhoofden o n e i n d i g v e r u i t e l k a a r staan en hun i n v l o e d n i h i l ie. i! i s c u a l s de strandhoofden a l h e t t r a n s p o r t lange de k u s t belemmeren, p
d.w.z. ale de strandhoofden r e i k e n t o t de d i e p t e , waar geeia transport dieer h e e r s t . I q is dan nul: h e t t r a n a p o r * langar de k u s t is o n a f h a n k e l i j k van Be kuetrichting. p2 is 9 als de atrandhoofden a l h e t t r a n e p o r t lange h e t atrand belemmeren 9.2 (L k l e i n ) . I
q is dan q2: a l l e e n de vooroever werkt nog mee aan t r a n s p o r t v e r a n d e r i n gen a l s de r i c h t i n g v e r a n d e r t . Opmerking 3 : l a a t s t e r e g e l b l z 10: "Then one f i n d s from
( 9 ) . fhat
y
is a
s t r a i g h t l i n e bebween t h e groynes:
y = -
D2
D 'I +
D 2'
volgens ( 9 ) :
y = 51 . - Q. o l 41
De f a c t o r
-. 91
'
q2
- D2
I
.
{(D,+D,)
x
+
(-
= O als
D2 -de = 91 92
O
formule op de I e r e g e l van blz 11
QgllLerkina 4: b l z 12 l a a t s t e r e g e l v a n s 4 . 4 . W i j vinden h i e r dus de v e r g e l i j k i n g van Pelnard-Considere
Maar Pelnard-Considere
weer t e r u g .
g a a t u i t van een e v e n w i c h t s p r o f i e l e n h i e r is de ver-
g e l i j k i n g a f g e l e i d zonder van deze aanname gebruik t e makenf OamerkinP 5: b l z 15 l a a t s t e a l i n e a Do v r a a g kan z i c h opdringen, waar v g l . (19) zo p l o t s e l i n g vandaan komt. I n h e t r a p p o r t " t h e C o a s t a l Dynamics of Sandwaves" [ 5 1 was a l gevonden, d a t
een dam, d i e a l l e z a n d t r a n s p o r t v e r h i n d e r t , een zandgolf t o t a a l t e r u g k a a t s t . Het l i g t dus voor de hand i n h e t geval van f i g . 10b een g e d e e l t e l i j k e t e r u g k a a t s i n g t e verwachten, met een r e f l e c t i e f a c t o r r , w a a r b i j O C r < l . De x-schaal van h e t beschermde d e e l v o l g t u i t d e r e d e n e r i n g onderaan b l z 17.
De v e r t i c a l e s c h a a l , t o t welke "de beschermde k u s t l i j n " moet worden v e r g r o o t en de r e f l e c t i e f a c t o r r zijn dan nog onbekenden, maar deze volgen u i t d e randvoorwaarden ( a ) en ( b ) op b l z 17.
3
92-D2)sinhKoL sinhK x
92 I + q1 t a h K L
- 10
PDmerhinK 6 : b17: 19.4" r e g e l : w i t h t h e same methoä as Eiven $n 9.1.
onq
can p r o o f , t h a t t h e followinyt " d e l t a v f w i l 1 occur: Bewijs: 1'
x-schaal Ilbeschermde tak" moet l / p maal z o g r o o t z i j n a l s van de "enbeachermde tak" ( z i e l a a t 8 t e r e g e l b l z 17).
2'
y-schaal b i j h e t beschermde d e e l en h e t onbeschermde d e e l moet g e l i j k
z i j n , omdat de y op x
3' D e rax 21
X X O
u
O g e l i j k moet
zijn.
b i j h e t beschermde d e e l is dua p maal zo g r o o t a l s b i j h e t
onbeechermde deel.
4' Het t r a n ~ p o r tl a n g s h e t beschermde d e e l b i j 1
L. p = 9
-. 1
P
2
p
E
-P1 man1 h e t
x = O is dus:
t r a n s p o r t l a n g s h e t onbeschermde d e e l .
1 P
5O De t o t a l e s e d i m e n t a t i e pep t i j d s e e n h e i d i s dus ( 1 + -) maal de sedimentat i e op h e t onbeschermde deel.
6" De t o t a l e s e d i m e n t a t i e is:
De s e d i m e n t a t i e l a n g s h e t onbeschermde d e e l i s dus:
De seciimentatie l a n g s h e t beschermde d e e l i s onbeschermde d e e l , dus g e l i j k aan:
q . 9 . - 801
P
91
-P1 maal
de s e d i m e n t a t i e l a n g s h e t
- 11 Qumerking 7; blz 24, bovenaan:
Het (22')
l .
i6
is
z i n v o l de v e r g e l i j k i n g e n dimeneieloos t e maken. De dimenaie van lt-'] ; h e t i s l o g i s c h a l e r e f e r e n t i e l e n g t e e e n h e i d de a l ep
[
b l z 6 gevonden Lo t e kiezen. Automatisoh v i n d t men dan d s w t i j d a e e n h e i d
To u i t (24).
I -
OpmerkSna 8: blz 27 a d 2:'
-
I n d i t g e v a l i e 'IK u i t ( 3 4 ) r ' ( h i e r n a genoemd K
K =
$-qz-T= $-
-
g e l i j k aan
O
Het argument van K
- is * < ( z i e
nevenetaande f i g u u r ) ( K < 90'1, dus K en Ki-
D i t is k l e i n e r dan 45'
r-
z i j n n i e t g e l i j k aan e l k a a r . ad 3:' D i t i e , wat w i j p h y s i s c h ook verwachten, Opmerking 9: blz 28a: Berekening c o ë f f i c i e n t e n
K+ : v o l g t u i t (29); K : volgt u i t (30); b K : v o l g t u i t (32 1.
-
Protected coast Rust voor x = ua-
geen g o l f van de s o o r t e
y2 is, p e r d e f i n i t i e van C,
g e l i j k aan Re
en I I r~ egel)
Kx + i w t -Kx iwt
[c;
+
e
I
( z i e blz 28b, 5e
y1 v o l g t u i t (31). Unprotected c o a s t
-K x + i u t g o l f van de s o o r t e I n e e r s t e i n s t a n t i e wordt aangenomen ( d e aanduiding Re [ ] wordt weggelaten): I
Geen " o f f s h o r e t r a n s p o r t voor x = ---+geen
M.b.v.
i
l .
-
Y_ = C3e
( 3 5 ) geeft d i t : - -K+x
l
.
K x
-K+x + C2eK+x
y = C1e
Y2 = C,e
+
K+x C2e
-K+x Y 7 = C1 e
+
C2e
K+x
-7 Dl
-
K x C3e
-
K x
D2
+yj-Ce
3
Voor x = O s t e l l e n w i j y ( i n e e r s t e i n s t a n t i e ) 1: 2 y2 =
c1 + c2
--
. . . . . . . . . . . . . . . (a) e
- 12
,
FA--
i
i .
+
C2K+
- -D K -
C
3
= -K
,
.. .. ., , .. a
(0)
x a 0
Immers: z e l f d e r!
2x
a y2 a l s b i j beschermd g e d e e l t e .
Aftrekken van (C) van (b) g e e f t C
Dan worden (a) en (b):
c1 + c2
= 1
+7
K O
-
T
3'
c1 1
D2 - cs = 1 + D
K
waaruit C 1 en C2. Literatuur [ I ] z i e ( 1 ) One Aspect.
[a]
z i e (5)
$1
11
[3] i r , W.T. Bakker, De i n v l o e d van r i p - c u r r e n t s op een kustvorm. [4] p r o e f s c h r i f t i r E.Wr B i j k e r , Soma c o n s i d e r a t i o n s a b o u t s c a l e s f o r c o a s t a l models w i t h movable bed.
[5] z i e ( 6 ) One Aspect. [ 6 ] i r . W.T. Bakker, A mathematica1 t h e o r y about sandwaves and i t s a p p l i c a t i o n
~I
CIK+
"
on t h e Dutch Wadden Isle of Vlieland. -
"Shore and Beachy oot. 1968.
[7] ir. Th. Wijnant en ir. W.T. (nog n i e t g e p u b l i c e e r d ) .
Bakker, L a n g s t r a n s p o r t b i j Texel
