Introduction to Management Science: Pengantar Program Linear: Formulasi Model dan Solusi Grafik
Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Program Linear
Banyak keputusan yang harus diambil oleh manajer untuk mencapai tujuan perusahaan Tujuan umum: ●
Batasan ●
memaksimalkan laba, meminimalkan biaya waktu, tenaga kerja, bahan baku, uang
Digunakan teknik sains manajemen berupa program linear Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Tahapan Teknik Program Linear
Identifikasi masalah
Masalah dirumuskan dalam model matematika
Model diselesaikan dengan teknik matematika
Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Komponen Model Program Linear
Variabel keputusan (Decision Variables) ●
Fungsi tujuan (Objective Function) ●
●
Simbol matematika yang menggambarkan tingkatan aktifitas perusahaan Hubungan matematika linear yang menjelaskan tujuan dalam terminologi bariabel keputusan Memiliki target memaksimalkan/meminimalkan suatu nilai
Batasan model (Constraints) ●
Keterbatasan perusahaan karena lingkungan operasi Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Contoh
Beaver Creek Pottery Company memproduksi mangkok dan cangkir Ketersediaan sumber daya: ●
tanah liat (120 pon) dan tenaga kerja (40 jam)
Tujuan: memaksimalkan laba
Masalah: kombinasi jumlah masing-masing produk?
Kebutuhan sumber daya per produk: Produk
Tenaga (jam/unit)
Tanah Liat (pon/unit)
Laba ($/unit)
Mangkok
1
4
40
Cangkir
2
3
50
Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Contoh Produk
Tanah Liat (pon/unit)
Laba ($/unit)
Mangkok
1
4
40
Cangkir
2
3
50
Variabel keputusan ●
●
Tenaga (jam/unit)
X1: jumlah mangkok yang diproduksi X2: jumlah cangkir yang diproduksi
Batasan model ●
X1 + 2X2 <= 40 ●
Memaksimalkan
●
Z = 40X1 + 50X2
Batasan tanah liat 4X1 + 3X2 <= 120
Fungsi tujuan ●
Batasan tenaga:
●
Nilai X1 & X2 harus positif X1, X2 >= 0
Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Contoh
Hipotesis: X1 = 5 mangkok, X2 = 10 cangkir Memasukkan pemecahan hipotesis ke setiap batasan (memastikan tidak melebihi batasan sumber daya) 1(5) + 2(10) <= 40 25 <= 40 (benar) dan 4(5) + 3(10) <= 120 50 <= 120 (benar) Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Contoh
Karena tidak ada batasan yang dilanggar oleh pemecahan hipotesis, maka solusi disebut layak (feasible) Memasukkan nilai pemecahan ke dalam fungsi tujuan Z = $40(5) + $50(10) Z = $200 + $500 Z = $700
Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Contoh
Ganti pemecahan menjadi X1 = 10 dan X2 = 20
Laba yang dihasilkan Z = $40(10) + $50(20) Z = $1400
Meskipun laba lebih banyak, tapi menyalahi batasan 1(10) + 2(20) <= 40 50 <= 40 (salah) Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Solusi Grafik Model Program Linear
Jika hubungannya linear, beberapa model pemecahan dapat diilustrasikan secara grafik Terbatas untuk model yang hanya memiliki 2 variabel (2 dimensi grafik)
Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Solusi Grafik Model Maksimisasi
Beaver Creek Pottery Company ingin memutuskan jumlah mangkok & cangkir yang diproduksi setiap hari sesuai dengan batasan tenaga kerja dan tanah liat Dimodelkan dengan: Memaksimalkan Z = $40X1 + $50X2 Batasan X1 + 2X2 <= 40 4X1 + 3X2 <= 120 X1, X2 >= 0
Di mana X1: jumlah mangkok yang diproduksi X2: jumlah cangkir yang diproduksi Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Solusi Grafik Model Maksimisasi Batasan tenaga ●
X1 + 2X2 = 40
●
0 + 2X2 = 40 2X2 = 40 X2 = 20 → (0,20)
●
X1 + 2(0) = 40 X1 = 40 → (40,0)
Ambil salah satu titik ●
10 + 2(10) <= 40 30 <= 40 (benar) Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Solusi Grafik Model Maksimisasi Batasan tanah liat ●
4X1 + 3X2 = 120
●
4(0) + 3X2 = 120 3X2 = 120 X2 = 40 → (0,40)
●
4X1 + 3(0) = 120 4X1 = 120 X1 = 30 → (30,0)
Ambil salah satu titik ●
4(10) + 3(10) <= 120 70 <= 120 (benar)
Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Solusi Grafik Model Maksimisasi
Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Solusi Grafik Model Maksimisasi
Membuat garis fungsi tujuan ●
Laba = 800 800 = 40X1 + 50X2
●
Laba = 1200 1200 = 40X1 + 50X2
●
Laba = 1600 1600 = 40X1 + 50X2 Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Solusi Grafik Model Maksimisasi
Mencari nilai X1 dan X2 ketika solusi optimal diperoleh
Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Solusi Grafik Model Maksimisasi
Merubah kedua persamaan menjadi fungsi dari X1 ●
●
X1 + 2X2 = 40
X1 = 24
4X1 + 3X2 = 120
4X1 = 120 - 3X2 X1 = 30 – (3X2/4) ●
X1 + 2X2 = 40 X1 + 2(8) = 40
X1 = 40 – 2X2 ●
Memasukkan X2 = 8 ke salah satu persamaan
40 – 2X2 = 30 – (3X2/4)
Memasukkan X1 dan X2 ke fungsi tujuan Z = $40X1 + $50X2 Z = $40(24) + $50(8)
160 – 8X2 = 120 – 3X2
Z = $960 + $400
40 = 5X2
Z = $1360
8 = X2
Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Latihan 1 Selesaikan masalah berikut secara grafik: Memaksimalkan Z = 4X1 + 5X2 Batasan X1 + X2 <= 10 6X1 + 6X2 <= 36 X1 <= 4 X1, X2 >= 0
Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Latihan 2 Suatu perusahaan memproduksi 2 produk melalui 2 proses perakitan. Proses perakitan 1 memiliki kapasitas 100 jam, dan proses perakitan 2 memiliki kapasitas 42 jam. Pada proses perakitan 1, tiap produk memerlukan 10 jam. Pada proses perakitan 2, produk 1 membutuhkan 7 jam dan produk 2 membutuhkan 3 jam. Laba untuk produk 1 adalah $6 per unit, dan laba untuk produk 2 adalah $4 per unit. ●
●
Formulasikan model program linear untuk masalah ini Selesaikan model ini dengan analisis grafik Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
Variabel Pengurang (Slack)
Prosedur standar untuk mentransformasikan batasan pertidaksamaan menjadi persamaan Menambah suatu variabel pengurang (slack variable) pada tiap batasan X1 + 2X2 + S1 = 40 4X1 + 3X2 + S2 = 120
S1: jumlah tenaga kerja tidak terpakai
S2: jumlah tanah liat tidak terpakai Taylor, B. W., 2009, Introduction to Management Science
