Metode Grafik. Sistem dan Bidang Kerja. Langkah-langkah Metode Grafik. Metode Grafik Program Linear Taufiqurrahman 1

Metode Grafik Program Linear

Metode Grafik • Setelah membuat formulasi model matematika, langkah selanjutnya dalam penerapan program linear untuk mengambil keputusan adalah menentukan pemecaham dari model. • Karena hubungannya linear, beberapa model pemecahan dapat di ilustrasikan secara grafik. • Metode grafik terbatas untuk model-model yang hanya mempunyai dua variabel, yang dapat digambarkan dalam dua dimensi grafik.

LINEAR PROGRAMMING METODE GRAFIK

6623 - Taufiqurrahman

Sistem dan Bidang Kerja

Langkah-langkah Metode Grafik

Sistem untuk menyatakan hubungan antara aljabar (model matematika) dan geometri (grafik) adalah bidang yang dibagi menjadi empat bidang oleh sumbu tegak (absis) dan sumbu datar (ordinat). Bidang tersebut dikenal sebagai kuadran.

1.



3

2

Gambarkan model batasan (fungsi kendala) sebagai persamaan pada grafik, kemudian dengan mempertimbangkan ketidaksamaan batasan, tunjukkan daerah memenuhi kendala (DMK). 2.1. Gambarkan fungsi tujuan, lalu geser menjauh dari titik awal (0,0) ke titik solusi yang optimal. 3.1. Selesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk menemukan nilai solusi yang optimal. Atau: 2.2. Selesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. 3.2. Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. 6623 - Taufiqurrahman

4

1


Menentukan Titik Koordinat • Misal: X1 + 2X2 ≤ 40

Menggambar Daerah Penyelesaian • Persamaan (≤)  misal: X1 + 2X2 ≤ 40

X2

• Ubah pertidaksamaan (≤) menjadi persamaan (=), maka: X1 + 2X2 = 40 • Mencari nilai X1 dan X2 dengan mengasumsikan salah satu variabel bernilai 0 (nol). – Jika X1 = 0, maka: (0) + 2X2 = 40

40 30 20

2X2 = 40 X2 = 20 – Jika X2 = 0, maka: X1 + 2(0) = 40

X1 + 2X2 = 40

10

0

10

20

• Persamaan (≥), misal:  X1 + 2X2 ≥ 40  4X1 + 3X2 ≥ 120

30

X1

40

X2 40

X2

30

30

40

20

20

30

10

20

10

20

30

40 X1

20

20

20

10

10

10

0 10

20

30

0

40 X1

0

X1 + 2X2 ≤ 40

10

20

30

40

X1

0

10

X1 + 2X2 ≥ 40

20

30

40

X1

X1 + 2X2 = 40


6

Contoh : Batasan ketiga (6X1 + 5X2  30) diubah ketidaksamaannya menjadi 6X1 + 5X2  30

X2 6X1 + 5X2 = 30

2X1 = 8

DMK

B

C

5

3X2 = 15

Daerah feasible

DMK

10 0

10

20

30

40 X1

A

0 0



30

6

0 0

30

Fungsi Batasan Bertanda “Lebih Besar Atau Sama Dengan ()”

• Persamaan (≥ dan =)  X1 + 2X2 ≥ 40  X1 = 40  X2 = 40

X2

0

30

5

40

DMK

X2 40

0

Daerah Memenuhi Kendala (DMK)

10

X2 40

0


• Persamaan (≤), misal:  X1 + 2X2 ≤ 40  4X1 + 3X2 ≤ 120

• Persamaan (=)  misal: X1 + 2X2 = 40

X2 40

0

X1 = 40 • Jadi titik koordinatnya adalah: X1 = 40 dan X2 = 20

• Persamaan (≥)  misal: X1 + 2X2 ≥ 40

10

20

30

40 X1 7

0

4

5


X1 8

2


Contoh #2 – 1 Metode Grafik

Fungsi Batasan Bertanda “Sama Dengan (=)”

• Fungsi Tujuan :

X2 2X1 = 8

6X1 + 5X2 = 30

Maksimalkan Z

40 X1

50X2

6 B

C

3X2 = 15

• Fungsi Kendala :

4

X1

+

2X2

≤

40

:

4X1

+

3X2

≤

120

(3) NonNon-negatif :

X1

;

X2

≥

0

(1) Tenaga kerja : (2) Tanah liat

2 A

0

4

5

X1


9

Solusi Grafik Contoh #2 – 1


10


1. Menggambar fungsi kendala (Langkah 1)

2. Menggambar garis fungsi tujuan (Langkah 2.1)

X2

X2

X2

40

40

40

X2 40 800 = 40X1 + 50X2

30

30

4X1 + 3X2 ≤ 120

20

30 C

20

10

X1 + 2X2 ≤ 40

0

10

20 DKM

A

0 0

10

20

30

40

X1

0 6623 - Taufiqurrahman


10

B

10

20

30

X1 11

1600 = 40X1 + 50X2 (Berada di luar DMK)

20

B

10 A

0 40

30

1200 = 40X1 + 50X2 C

0

10

20

30

C

800 = 40X1 + 50X2 Titik Optimal B A

0 40

X1


10

20

30

40

X1 12

3




3. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk nilai solusi optimal (Langkah 3.1) X2 40

X1 + 2X2 = 40 X1 = 40 − 2X2

4X1 + 3X2 = 120

30

B

10 X2B 0 0

4X1 + 3X2 = 120 4X1 = 120 − 3X2 X1 = 30 − (3X2/4)

X2 40

10

20

X1B

30

40

8

X1

Fungsi Kendala

X1 = 30 X2 = 0

B

• • • •

A 0

10

20

30

40

13

X1

• Minimalkan Z = 6X1 + 3X2 • Z = total biaya pemupukan • 6X1 = harga/biaya dari SG • 3X2 = harga/biaya dari CQ

• 2X1 + 4X2 ≥ 16 • 4X1 + 3X2 ≥ 24 • X1 ; X2 ≥ 0

Pada titik A → Z = 1000 Pada titik B → Z = 1360 Pada titik C → Z = 1200 Maka solusi optimal adalah pada titik B dengan laba $1360


14


• X1 = jumlah pupuk SG yang dibeli • X2 = jumlah pupuk CQ yang dibeli

X2

X2

8

8 DKM

6

(kendala nitrogen) (kendala fosfat) (kendala non-negatif)



10 0

Contoh #2 – 2 Metode Grafik

Fungsi Tujuan

X1 = 24 X2 = 8


Variabel Keputusan

3. Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. (Langkah 3.2)

C

20

X1 = 40 − 2X2 X1 = 40 − 2(8) X1 = 24 ⇛ X1B

X1 + 2X2 = 40 A

X1 = 0 X2 = 20

30

40 − 2X2 = 30 − (3X2/4) 5X2/4 = 10 X2 = 8 ⇛ X2B

C

20

2. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. (Langkah 2.2)

DKM X1 = X1B X2 = X2B

4

4

2

2 X2B

0

2

4

6

X1 = 0 X2 = 8

6

0

15

C

8

X1

X1 = 8 X2 = 0

B

A

0 0


2

4 X1B

6

8

X1 16

4




• Pada titik B, koordinat X1 dan X2 adalah: 2X1 + 4X2 = 16

*2

4X1 + 8X2 = 32

4X1 + 3X2 = 24

*1

4X1 + 3X2 = 24 5X2 = 8 X2 = 8/5 ≈ 1,6 → X2B

X2 C

8

• Pada titik A → Z = 48

X1 = 0 X2 = 8 DKM

6

2X1 + 4X2 = 16 2X1 + 4(1,6) = 16 2X1 = 16 − 6,4 X1 = 4,8 → X1B

2 1,6

0

k C → Z = 24

4 4,8

6

X1

8


18

Solusi Latihan #3 – 1 (Bentuk Tabel)

Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I1, dgn sol karet, dan merek I2 dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek I1=Rp.30.000 sedang merek I2=Rp.50.000. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I1 dan merek I2 yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba. 6623 - Taufiqurrahman


2

17

Latihan #3 – 1

• Pada

A

0


X1 = 8 X2 = 0

B

k B → Z = 33,6

• Maka solusi optimal terletak pada titik C dengan total biaya $24

X1 = 4,8 X2 = 1,6

4

• Pada

19

I1 (x1)

I2 (x2)

Kapasitas Maksimum

1

2

0

8

2

0

3

15

3

6

5

30

3

5

Merek Mesin

Sumbangan laba


20

5


Solusi Latihan #3 – 1 (Bentuk Matematis)

Solusi Latihan #3 – 1 Fungsi Batasan (1) -> 2 X1  8 x2

• Maksimumkan Z = 3x1 + 5x2 • Batasan (constrain) (1) 2X1 8 (2) 3X2  15 (3) 6X1 + 5X2  30

Gambar tersebut merupakan bagian yang memenuhi batasanbatasan: 2X1  8 dan X1  0, X2  0


6X1 + 5X2 = 30

x2

X2  0, dan 2X1  8

x1

4

21

Solusi Latihan #3 – 1 (Fungsi Batasan/All)

X1  0,

2X1 = 8


22

Solusi Latihan #3 – 1 (Titik Optimal) X2

2X1 = 8

2X1 = 8

6X1 + 5X2 = 30

Titik C:

6 D 5

Titik D:

C

Daerah feasible 0

3X2 = 15

D

5

A 4 5

x1

3X2 = 15

Titik A: Pada titik ini nilai X1 = 4; X2 = 0 Nilai Z = 3(4) + 0 = 12

B 0

23

C

Daerah feasible

X1 = 4. Substitusikan batasan (3), maka 6(4) + 5X2 = 30. Jadi nilai X2 = (30 –24)/5 = 6/5. Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18

B

X2 = 5. Substitusikan batasan (3), maka 6X1 + 5(5) = 30. Jadi nilai X1 = (30 –25)/6 = 5/6. Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5

6

Titik B:



Pada titik ini nilai X2 = 5; X1 = 0 Nilai Z = 3(0) + 5(5) = 25

A 4 6623 - Taufiqurrahman

5

X1 24

6


Latihan #3 – 2 Produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan adalah meja dan kursi. Dengan Bahan mentah dalam satu minggu yang tersedia adalah sebanyak 10 gelondong kayu dan jumlah jam kerja buruh yang tersedia adalah 36 jam kerja. Informasi mengenai penggunaan sumber daya dan hara jual per unit, dijelaskan dalam table dibawah ini :


b.

2

 2X

1

2

1

 0;

X

2

 0

X1 = 0 X2 = 5

26

Titik temu antara Kendala 1 dengan Kendala 2 : 6X 1  6X X 1  2X

5 C

B

4

 10

2

 36

2

 10

 1 6X 1  6X 2  36  3 3X 1  6X 2  30

3X1 = 6 X1 = 2

3 2

X1 = 6 X2 = 0

DMK

1

A

0 0



 4X 1  5X 2 6623 - Taufiqurrahman

6

Jumlah X1, X2 yang harus dihasilkan

X

4 5

• Dengan melihat kepada informasi diatas, berapakah jumlah Meja dan Kursi yang harus dihasilkan agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimum? • Variabel keputusan X1 = Jumlah Meja yang dihasilkan X2 = Jumlah Kursi yang dihasilkan • Fungsi Tujuan Jumlah keuntungan yang di dapat adalah sebesar :

X2

 36

Kendala Bahan Baku

X c.

 6 X

1 2

Solusi Latihan #3 – 2 (Kendala)

Kendala Jam Kerja 1

Bahan(kg/unit)

6 6

25

Solusi Latihan #3 – 2 (Sistem Kendala) 6 X

Buruh(jam/unit)

Harga ($/unit)

Meja Kursi

Z

a.

Kebutuhan sumber daya

Jenis Produk

27

1

2

3

4

5

6

7

8

9


10

X1

X1 + 2X2 = 10 2 + 2X2 = 10 2X2 = 8 X2 = 4

28

7


Solusi Latihan #3 – 2 (Titik Optimal) • Pada titik A → X1 = 6 ; X2 = 0 ; Z = 24 • Pada titik B → X1 = 2 ; X2 = 4 ; Z = 28 • Pada titik C → X1 = 0 ; X2 = 5 ; Z = 25 • Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa keuntungan yang terbesar didapatkan apabila memproduksi Meja sebanyak 2 unit dan memproduksi Kursi sebanyak 4 unit dengan mendapatkan keuntungan sebesar $28. 6623 - Taufiqurrahman


29

SEKIAN & TERIMA KASIH 6623 - Taufiqurrahman

30

8

Metode Grafik. Sistem dan Bidang Kerja. Langkah-langkah Metode Grafik. Metode Grafik Program Linear Taufiqurrahman 1

Recommend Documents