¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Gazdas´agstatisztika 7. Statisztikai becsl´esek (folyt.); 8. Hipot´ezisvizsg´alat
´ L´aszl´ K´ oczy A. o
[email protected]
Keleti K´ aroly Gazdas´ agi Kar – V´ allalkoz´ asmenedzsment Int´ ezet
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Intervallumbecsl´es
A pontbecsl´es (szinte) sohasem pontos Mennyire pontatlan? Milyen hat´arok k¨oz¨ ott lehet a pontos ´ert´ek? - ´altal´aban rossz k´erd´es Milyen hat´arok k¨oz¨ ott van nagy val´ osz´ın˝ us´eggel? A sokas´ag v´arhat´o ´ert´ek´et becs¨ ulj¨ uk; 4 eset: Norm´alis eloszl´as, sz´ or´as ismert Norm´alis eloszl´as, sz´ or´as ismeretlen Nem norm´alis, de ismert eloszl´as, nagy minta Ismert eloszl´as, kis minta, vagy ismeretlen eloszl´as
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Norm´alis eloszl´as, sz´or´as ismert 1/3. Norm´alis eloszl´as → a minta´atlag (b µ), ´es a minta elemei is norm´alis eloszl´as´ uak A sokas´ag sz´or´asa (σ) ismert. ´ val´osz´ın˝ Uj us´egi v´altoz´ ot defini´alunk: Z=
µ b−µ √σ n
Mi´ert? Ha
∼ N(µ, σ) σ µ b ∼ N(µ, √ ) n σ µ b − µ ∼ N(0, √ ) n µ b−µ Z= σ ∼ N(0, 1) x
√
n
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Norm´alis eloszl´as, sz´or´as ismert 2/3.
α a hiba. Mivel Z ∼ N(0, 1) ´es ha szimmetrikus 1 − α = P(−z < Z < z) = Φ(z) − Φ(−z) = 2Φ(z) − 1 α Φ(z) = 1 − ⇒ zp = ... 2 µ b−µ Teh´at − zp < √σ < zp n
σ µ b − zp √ < n
µ
σ <µ b + zp √ n
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Norm´alis eloszl´as, sz´or´as ismert 3/3. A konfidenciaintervallum: σ σ √ √ ;µ b + zp µ b − zp n n Konkr´et mint´ara σ σ x − zp √ ; x + zp √ n n ∆ = zp √σn a hibahat´ar, v. maxim´alis hiba hibahat´ar, v. maxim´alis hiba (∆) A becsl´es sor´an 1 − α val´ osz´ın˝ us´eggel enn´el kisebbet t´eved¨ unk.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Student ´es a Student-f´ele eloszl´as William Sealy Gosset alias Student (1876–1937)
√ (t helyett z = t/ n − 1)
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Fischer ´es a Student-f´ele t-eloszl´as Sir Ronald Aylmer Fischer (1890–1962) Felfedezte ´es tov´abbfejlesztette “Student” munk´aj´at
(val´odi t-statisztika)
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Norm´alis eloszl´as, sz´or´as ismeretlen σ ismeretlen =⇒ becs¨ ulj¨ uk: Z =
µ b−µ σ √ n
helyett t =
µ b−µ σ b √ n
t Student-f´ele t-eloszl´as´ u szf = n − 1 szabads´agfokkal: szimmetrikus aszimptotikusan standard norm´alis A konfidenciaintervallum: b b (szf ) σ (szf ) σ µ b − tp √ ; µ b + tp √ n n Konkr´et mint´ara (szf ) s (szf ) s x − tp √ ; x + tp √ n n
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Eloszl´as nem norm´alis, de ismert, nagy minta
A minta´atlag eloszl´asa k¨ ozel norm´alis. Ha a sz´or´as ismert, a konfidenciaintervallum σ σ x − zp √ ; x + zp √ n n Ha nem
(szf ) s (szf ) s x − tp √ ; x + tp √ n n
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Eloszl´as nem norm´alis, nem ismert, vagy kis minta (“Semmit sem tudunk”)
1 , k2 1 azaz P(b µ − kσµb < µ < µ b − kσµb ) ≥ 1 − 2 k
Csebisev: P(|ξ − M(ξ)| < k · D(ξ)) ≥ 1 −
Pafnutyij L. Csebisev (1821–1894)
Itt: ξ=µ b (´es M(ξ) = µ) q k = α1 Ha a sz´or´as nem ismert: σµb helyett sx =
√s n
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
´ ek¨osszeg becsl´ese Ert´
A sokas´agi ´ert´ek¨osszeg (X 0 = N · X = minta´atlag N-szeres´eb˝ ol.
A becsl˝of¨ uggv´eny: µ b0 = N · µ b=N·
PN
i=1 Xi )
becsl´ese a
Pn
i=1 ξi
n
A standard hiba n´egyzete N 2 -szerese az ´atlagbecsl´es´enek.
Konfidenciaintervallum: az ´atlagbecsl˝ o intervallum hat´arai szorozva N-nel.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Sokas´agi ar´any becsl´ese Ar´anybecsl´es A k´et csoportra osztott sokas´agban az egyes csoportokba es´es val´osz´ın˝ us´eg´et (P) becs¨ ulj¨ uk. Felt´etelez´es: F¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u minta A tulajdons´aggal rendelkez˝ o mintaelemek sz´ama kn – binomi´alis eloszl´as´ u: M(kn ) = nP, illetve D 2 (kn ) = nP(1 − P) b p = knn a P torz´ıtatlan becsl´ese. p) = σbp2 = D 2 (b
D 2 (kn ) n2
=
Konkr´et mint´aban sp =
P(1−P)
qn
( 1 Vagy: ξi = 0
(a hiba a k¨ onyvben van!)
p(1−p) n
ha megvan a tulajdons´ag, ha nincs.
Konfidenciaintervallum: (p − zp · sp ; p + zp · sp ), ahol zp Φ(z) = 1 − α2 megold´asa.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Sokas´agi sz´or´asn´egyzet (σ 2 ) becsl´ese A korrig´alt tapasztalati sz´ or´asn´egyzet (b σ 2 ) torz´ıtatlan. ξ1 −b µ ξ2 −b µ v´arhat´o ´ert´eke 0, sz´ or´asa 1. σ , σ 2
σ ) χ2 eloszl´as´ u n − 1 szabads´agfokkal. N´egyzet¨osszeg¨ uk ( (n−1)b σ2
χ2 eloszl´as Standard norm´alis v´altoz´ ok n´egyzet¨ osszeg´enek eloszl´asa.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Intervallumbecsl´es r´etegzett mintav´etellel
(Egyszer˝ u v´eletlen mintav´etel r´etegenk´ent.) PM
V´eges sokas´agra µ = x =
j=1
PM
Nj X j
j=1
PM
ahol µ b(R) =
Nj ·b µj N
j=1
Nj
µ b(R) ± zp · σµb(R) r PM Nj 2 ´es σµb(R) = j=1 N
σ bj2 nj
1−
nj Nj
´ ek¨osszegbecsl´es: mint egyszer˝ Ert´ u mintav´etelre: beszorozni N-nel Ar´anybecsl´es: a becsl˝of¨ uggv´eny a megfelel˝ o s´ ulyozott ´atlag.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Minta elemsz´am´anak meghat´aroz´asa
Feladat: Mekkora elemsz´amra van sz¨ uks´eg ahhoz, hogy adott α mellett egy k´ıv´ant pontoss´agot el´erjek? z ·σ 2 z ·σ ∆ = √p n , amib˝ol n = p∆ Egyszer˝ u v´eletlen mintav´eteln´el: N·zp2 ·σ 2 zp ·σ p ∆ = √n 1 − Nn , ebb˝ ol n = N·∆2 +z 2 p ·σ zp2 ·σ 2 z ·σ 2 Itt kisebb a sz¨ uks´eges elemek sz´ama ( p∆ > ) zp ·σ 2 ∆2 +
M´as mintav´eteli elj´ar´as: f¨ ugg az elj´ar´ast´ ol!
N
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Hipot´ezisvizsg´alat v becsl´es
Becsl´es Ismeretlen param´eter K¨ozel´ıt˝o ´ert´eket adunk meg
Hipot´ezisvizsg´alat Felt´etelezett param´eter ´ ıt´as helyess´eg´et igazoljuk All´
Hipot´ezis Egy v t¨obb sokas´agra vonatkoz´ o ´all´ıt´as. Vonatkozhat eloszl´asra, v az eloszl´as egyes param´etereire.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Null- ´es alternat´ıv hipot´ezis Nullhipot´ezis (H0 ) ´es alternat´ıv- (v. ellen-) hipot´ezis (H1 ): K¨olcs¨on¨osen kiz´arj´ak egym´ast A nullhipot´ezis rendszerint egyszer˝ u Egy hipot´ezis lehet Egyszer˝ u: egyenl˝os´eg ¨ Osszetett: t¨obb hipot´ezis ¨ osszess´ege P´eld´ak: H0 : µ = m 0
H1 : µ 6= m0
H0 : µ = m 0
H1 : µ < m 0
Alapvet˝oen a nullhipot´ezisr˝ ol d¨ ont¨ unk Az ellenhipot´ezis seg´ıts´eg´evel Pontosan 1 hipot´ezist fogadunk el (Ha a nullhipot´ezist elutas´ıtjuk, az ellenhipot´ezist elfogadjuk)
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Statisztikai pr´oba 1/3
Statisztikai pr´oba Elj´ar´as, mely sor´an a minta alapj´an d¨ ont¨ unk a nullhipot´ezis elfogad´as´ar´ol, vagy elutas´ıt´as´ar´ ol. Pr´obaf¨ uggv´eny A mintaelemek olyan f¨ uggv´enye melynek val´ osz´ın˝ us´egeloszl´asa megadhat´o biz adatok ismeret´eben ha elfogadjuk a nullhipot´ezist.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Statisztikai pr´oba 2/3
P´elda: z-pr´obaf¨ uggv´eny Ha H0 : µ = m0 az alapsokas´ag norm´alis eloszl´as´ u a minta f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u a sokas´ag sz´or´asa ismert, σ z= standard norm´alis eloszl´as´ u.
µ b − m0 √σ n
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Statisztikai pr´oba 3/3 A pr´obaf¨ uggv´eny konkr´et mint´ara kisz´am´ıtott ´ert´eke eshet a [ca ; cf ] elfogad´asi tartom´anyba (ekkor H0 -t elfogadjuk), vagy a komplementer elutas´ıt´asi (v kritikus) tartom´anyba (ekkor H0 -t elutas´ıtjuk). Szignifikanciaszint A pr´obaf¨ uggv´eny kritikus tartom´anyba es´es´enek val´osz´ın˝ us´ege A kritikus tartom´any elhelyezked´ese szerint lehet bal oldali k´etoldali jobb oldali
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Kritikus tartom´anyok ´es ´ert´ekek
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Kritikus tartom´anyok ´es ´ert´ekek 2
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Vizsg´alati hib´ak A d¨ont´es val´osz´ın˝ us´egi – kock´azattal j´ar Ha H0 igaz, m´egis elvetj¨ uk – ez az els˝ ofaj´ u hiba. Val´osz´ın˝ us´ege α – a pr´ oba szignifikanciaszintje. Ha H0 nem igaz m´egsem vetj¨ uk el – ez a m´ asodfaj´ u hiba. Val´osz´ın˝ us´ege β. igaz elfogadott hipot´ezis hipot´ezis H0 H1 H0 helyes d¨ont´es els˝ ofaj´ u hiba 1−α α H1 m´asodfaj´ u hiba helyes d¨ ont´es β 1−β A m´asodfaj´ u hiba s´ ulyosabb, hiszen ekkor a hib´as eredm´eny korrig´al´as´ara nincs lehet˝ os´eg. Er˝of¨ uggv´eny 1 − β (m´asodfaj´ u hiba elker¨ ul´es´enek val´ osz´ın˝ us´ege) az egyszer˝ u alternat´ıv hipot´ezishez tartoz´ o ism´erv´ert´ekek f¨ uggv´eny´eben.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Vizsg´alati hib´ak 2
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
A statisztikai hipot´ezisvizsg´alat menete
1
A H0 null- ´es H1 alternat´ıv hipot´ezis megfogalmaz´asa.
2
A megfelel˝o pr´obaf¨ uggv´eny megkeres´ese.
3
A szignifikanciaszint megv´alaszt´asa.
4
Az elfogad´asi ´es visszautas´ıt´asi tartom´anyok meghat´aroz´asa.
5
Mintav´etel, a mintajellemz˝ ok ´es ebb˝ ol a pr´ obaf¨ uggv´eny ´ert´ek´enek meghat´aroz´asa
6
D¨ont¨ unk a H0 ´es H1 hipot´ezisekr˝ ol.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Egymint´as z-pr´oba
H 0 : µ = m0
H1 : µ < m0 vagy H1 : µ > m0 vagy H1 : µ 6= m0
A sokas´ag norm´alis eloszl´as´ u; a σ sz´ or´as ismert. z=
µ b − m0 √σ n
Konkr´et mint´aban: z0 =
x¯ − m0 √σ n
Az elfogad´asi tartom´any hat´arai a k¨ ovetkez˝ ok: Alternat´ıv hipot´ezis µ < m0 h µ 6= m0 i µ > m0 Elfogad´asi tartom´any [zα ; ∞[ z α2 ; z1− α2 ]−∞; z1−α ] Haszn´alhat´o b´armely v´eges sz´ or´as´ u, nagy elemsz´am´ u f¨ uggetlen minta eset´en is (becs¨ ult sz´ or´assal).
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Egymint´as t-pr´oba
H 0 : µ = m0
H1 : µ < m0 vagy H1 : µ > m0 vagy H1 : µ 6= m0
A sokas´ag norm´alis eloszl´as´ u; a σ sz´ or´as nem ismert. z=
µ b − m0 b √σ n
Konkr´et mint´aban: z0 =
Az elfogad´asi tartom´any hat´arai a k¨ ovetkez˝ ok: Alternat´ıv hipot´ezis µ < m0 h µ 6= m0 i szf szf Elfogad´asi tartom´any tα ; ∞ t szf α ;t 1− α 2
2
x¯ − m0 √σ n
µ > m0
szf −∞; t1−α
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Sz´or´asra vonatkoz´o pr´oba
H 0 : σ = σ0
H1 : σ < σ0 vagy H1 : σ > σ0 vagy H1 : σ 6= σ0
A sokas´ag norm´alis eloszl´as´ u. χ2 =
(n − 1)b σ2 2 σ0
Konkr´et mint´aban: χ2 =
mely szf = n − 1 szabads´agfok´ u χ2 eloszl´ast k¨ ovet. Az elfogad´asi tartom´any hat´arai a k¨ ovetkez˝ ok: Alternat´ıv hipot´ezis h σ < σ0 h h σ 6= σ0 Elfogad´asi tartom´any
χ2α,szf ; ∞
χ2
(n − 1) · s 2 , σ02
2 α ,szf ; χ1− α ,szf 2 2
i
h σ > σ0 i 0; χ21−α,szf
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Sokas´agi ar´anysz´ammal (val´osz´ın˝us´eggel) kapcs pr´oba P meghat´arozott t´ıpus´ u egyedek el˝ ofordul´as´anak val´osz´ın˝ us´ege. Azt vizsg´aljuk, hogy ez az ar´any megfelel-e egy felt´etelezett P0 ar´anynak (azaz H0 : P = P0 ). Legyen ( 1 ha megvan a tulajdons´ag, ξi = 0 ha nincs. p Ekkor M(ξi ) = P0 ´es D(ξ) = P0 (1 − qP0 ), P ξi 0) p ) = P0 , D(b p ) = P0 (1−P . Ebb˝ol: illetve b p = n , M(b n b p − P0 zP0 = q
P0 (1−P0 ) n
standardiz´alt; nagy n eset´en pedig k¨ ozel norm´alis.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
K´etmint´as statisztikai pr´ob´ak
K´et sokas´ag ¨osszehasonl´ıt´asa – a hipot´ezis a k´et ism´erv o¨sszehasonl´ıt´as´ara vonatkozik.
Pl: k´et technol´ogia, f´erfiak/n˝ ok, falu/v´aros ¨ osszehasonl´ıt´asa
A k´et sokas´agot k´et v´eletlen, f¨ uggetlen minta k´epviseli
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
V´arhat´o ´ert´ekek k¨ul¨onbs´eg´enek vizsg´alata K´et sokas´ag: µ1 , σ1 ´es µ2 , σ2 ; v´eletlen f¨ uggetlen mint´ak.
H0 : µ 1 = µ 2
H1 : µ1 < µ2 vagy H1 : µ1 6= µ2 vagy H1 : µ1 > µ2
Ha mindk´et sokas´ag norm´alis eloszl´as´ u ´es a sz´ or´asok ismertek: σ2 σ2 M(b µ1 − µ b2 ) = 0, ´es D(b µ1 − µ b2 ) = D(b µ1 ) + D(b µ2 ) = n11 + n22 (f¨ uggetlens´eg), ´ıgy µ b1 − µ b2 z=q 2 , σ1 σ22 + n1 n2
x1 − x2 konkr´et mint´ara: z0 = q 2 σ1 σ22 n1 + n2
standard norm´alis eloszl´ast k¨ ovetnek. Ha a sz´or´as nem ismert, de a minta nagy, σ helyett σ b, ill. σ b helyett s haszn´alatos.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
V´arhat´o ´ert´ekek k¨ul¨onbs´eg´enek vizsg´alata – kis minta (k´etmint´as t-pr´oba) Kis minta eset´en, ha norm´alis eloszl´as´ u sokas´agok az ismeretlen sz´or´asok egyenl˝ os´ege felt´etelezhet˝o Ekkor t=q
µ b1 − µ b2 (n1 −1)b σ12 +(n2 −1)b σ22 n1 +n2 −2
ill.: t0 = q
q
, 1 n1
+
1 n2
x1 − x2 (n1 −1)s12 +(n2 −1)s22 n1 +n2 −2
q
1 n1
+
1 n2
szf = n1 + n2 − 2 szabads´agfok´ u Student t-eloszl´ast k¨ovet.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
K´et sokas´agi ar´anyra vonatkoz´o pr´oba
H0 : P1 − P2 = ε0 K´et nagy minta eset´en a pr´ obaf¨ uggv´eny:
zp = q
pˆ1 − pˆ2 − ε0 p ˆ1 (1−ˆ p1 ) n1
+
p ˆ2 (1−ˆ p2 ) n2
, ill.: z0(p) = q
p1 − p2 − ε0 p1 (1−p1 ) n1
+
p2 (1−p2 ) n2
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
K´et sokas´agi sz´or´as egyez˝os´eg´ere vonatkoz´o (F -) pr´oba A sz´or´asok egyez´es´et k´etmint´as t-pr´ ob´an´al felt´etelezz¨ uk – itt ellen˝orizz¨ uk. A sokas´ag eloszl´asa (j´ o k¨ ozel´ıt´essel) norm´alis H0 : σ 1 = σ 2 σ1 A pr´ obaf¨ uggv´eny: F = σ2 szf1 = n1 − 1 ´es szf2 = n2 − 1 szabads´agfok´ u F eloszl´ast alkot. szf1 T´abl´azatb´ol cf olvashat´ o ki, Fszf = 2 (p)
1 szf Fszf 2(1−p) 1
Alt. hipot´ezis: Elfogad´asi tart.
h σ1 < σ2 h szf1 Fszf ;∞ 2 (α)
σ1 6= σ2 h i szf1 szf1 Fszf2 ( α ) ; Fszf α 2 (1− ) 2
2
h σ1 < σ2 i szf1 0; Fszf 2 (1−α)
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Egy´eb vizsg´alatok
Eddig: param´eterek helyess´eg´et vizsg´altuk. Most: mag´at az eloszl´ast Illeszked´esvizsg´alat Egy val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o eloszl´as´ara vonatkoz´ o hipot´ezis vizsg´alata. 1
Ha az eloszl´as param´etereire is van felt´etelez´es: tiszta illeszked´esvizsg´alat.
2
Ha csak az eloszl´as t´ıpus´ara: becsl´eses illeszked´esvizsg´alat.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Illeszked´esvizsg´alat 1 Kateg´ori´ak ism´erv´ert´eke X1 .. .
El˝ ofordul´asi gyakoris´ag a mint´aban a konkr´et mint´aban v1 n1 .. .. . .
El˝ofordul´asi val´osz´ın˝ us´eg P1 .. .
Xi .. .
vi .. .
ni .. .
Pi .. .
Xk ¨ Osszesen
vk n
nk n
Pk 1
H0 : P(Xi ) = Pi minden i-re
H1 : l´etezik olyan i, hogyP(Xi ) 6= Pi
Ekkor M(vi ) = nPi , az elt´er´es kifejezhet˝ o mint
P
(vi − nPi )2 .
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Illeszked´esvizsg´alat 2 χ2 =
k k X (vi − nPi )2 X (vi − vi∗ )2 = , nPi vi∗ i=1
i=1
ami szf = k − b − 1 szabads´agfok´ u
χ2 -eloszl´ast
k¨ovet
b = becs¨ ult param´eterek sz´ama a Pi -k meghat´aroz´as´an´al k = a kateg´ori´ak sz´ama. H1 eset´en a pr´obaf¨ uggv´eny nagyobb ⇒ jobb oldali kritikus tartom´any. h i Az elfogad´asi tartom´any 0, χ21−α(szf ) . Konkr´et minta eset´en χ20 =
k X (ni − vi∗ )2 , vi∗ i=1
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
F¨uggetlens´egvizsg´alat F¨ uggetlens´egvizsg´alat Azon nullhipot´ezis vizsg´alata, hogy k´et ism´erv f¨ uggetlen egym´ast´ol. Ha a teljes sokas´agot ismerj¨ uk ⇒ Statisztika I. Itt: mint´ab´ol. H0 : Pij = Pi· P·j minden i, j-re
H1 : l´etezik olyan i, j, hogyPij 6= Pi· P·j
s X t X (vij − nPi· P·j )2 χ = nPi· P·j 2
=
i=1 j=1
konkr´et mint´ara:
s X t X (vij − vij∗ )2 i=1 j=1
=
vij∗
s X t X (nij − nij∗ )2 i=1 j=1
ami χ2 eloszl´as s · t − 1 szabads´agfokkal. Elfogad´as, ha a [0; χ21−α(p) ] tartom´anyba esik.
nij∗
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Varianciaanal´ızis Varianciaanal´ızis T¨obb azonos sz´or´as´ u norm´alis eloszl´as´ u mint´at vizsg´al v´arhat´o ´ert´ek egyez´esre. A sokas´agot M r´eszsokas´agra bontjuk nomin´alis sk´ala alapj´an, ezekb˝ol mint´at vesz¨ unk. ξij = µ + βj + εij ξij : j-edik sokas´agb´ ol j¨ ov˝ o i-edik megfigyel´es µ: az eg´esz sokas´ag v´arhat´ o ´ert´eke βj : sokas´agi hat´as; a j r´eszsokas´agra jellemz˝ o konstans εij : v´eletlen ingadoz´as N(0, σ) szerint.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
Varianciaanal´ızis 2
H0 : µi = µj minden i, j-re PM Pnj j=1
i=1 (ξij
H1 : l´etezik olyan i, j, hogyµi 6= µj
−µ ˆ)2 alapj´an a pr´ obaf¨ uggv´eny F =
2 σˆK PM
σj2 j=1 (nj −1)ˆ n−M
ami szf1 = M − 1 ´es szf2 = n − M szabads´agfok´ u F -eloszl´as, ha H0 igaz. H1 eset´en az ´ert´ek nagyobb ⇒ jobb oldali kritikus tartom´any.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
¨ Osszefoglal´ as pr´ oba
H0
Egymint´ as z
µ = m0
Egymint´ as t
µ = m0
Sz´ or´ asra v.
σ = σ0
Ar´ any
P = P0
K´ etmint´ as z
K´ etmint´ as t
2 ar´ any v. F -pr´ oba Illeszked´ es F¨ uggetlens´ eg Varianciaa.
µ1 = µ2
µ1 = µ2
P1 − P2 = ε0 σ 1 = σ2 P(Xi ) = Pi ∀i Pij = Pi· P·j ∀i, j µi = µj ∀i, j
pr´ obaf¨ uggv´ eny µ−m b 0 σ √ n µ−m b 0 z = σ b √ n (n−1)σ b2 χ2 = σ2 0 b p −P0 zP0 = r P0 (1−P0 ) n µ b −µ b2 z = s 1 σ2 σ2 1+ 2 n1 n2 µ b 1 −µ b2 s (n1 −1)σ b 2 +(n2 −1)σ b2 r 1 1 2 + 1 n1 +n2 −2 n1 n2
z =
p ˆ1 −ˆ p2 −ε0 ˆ (1−ˆ p2 ) p ˆ1 (1−ˆ p1 ) p + 2 n1 n2 σ F = σ1 2 P (vi −nPi )2 k χ2 = i=1 nPi (vij −nPi· P·j )2 Ps Pt χ2 = i=1 j=1 nPi· P·j σ ˆ2 F = PM K (n −1)σ ˆ2 j=1 j j n−M
zp = r
pf. eloszl.
elfogad´ asi tartom´ any z α ; z1− α 2 2 (n−1) (n−1) tα ;t α
N(0, 1) t (n−1)
1−
2
2
N(0, 1)
χ2α ,szf ; χ21− α ,szf 2 2 z α ; z1− α
N(0, 1)
z α ; z1− α
χ2α,(n−1)
2
2
t (n1 +n2 −2)
(n +n2 −2)
t α1 2
2
χ2α,(k−b−1) χ2α,(s·t−1) M−1 Fn−M(p)
(n +n −2) ;t 1α2 1−
2
2
n −1
2
z α ; z1− α
N(0, 1) Fn 1−1(p)
2
2
n −1 n −1 F 1 ;F 1 n2 −1( α ) n2 −1(1− α ) h 2 i 2 0; χ21−α(szf ) h i 0; χ21−α(p) 0; F M−1 α n−M(1−
2
)
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
8.1. Gyakorl´ofeladat
A zacsk´oba csomagolt 1 kg-os krist´alycukor t¨ omeg´enek ellen˝orz´es´ere 10 elem˝ u v´eletlen mint´at vett¨ unk. Felt´etelezhet˝o, hogy a csomagol´oautomata norm´alis eloszl´assal t¨ olt. M´er´esi eredm´enyek dkg-ban: 96; 96; 97; 100; 98; 98; 96; 99; 101; 102. A t¨olt˝os´ uly sz´or´as´anak megengedett m´ert´eke 1 dkg. Feladat: (a) Ellen˝orizz¨ uk, hogy a krist´alycukor t¨ olt´esi t¨ omege megfelel-e a szabv´anynak! (α = 1%.) (b) Ellen˝orizz¨ uk 5%-os szignifikanciaszinten azt a feltev´est, hogy a csomagol´asi t¨omeg sz´ or´asa meghaladja az 1 dkg-os m´ert´eket!
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
8.1. Gyakorl´ofeladat (a) ¨ Osszefoglal´ as + (a) feladat µ0 = 100, xi = 96; 96; 97; 100; 98; 98; 96; 99; 101; 102 (i = 1, . . . , 10). H0 : µ = 100 H1 : µ 6= 100 K´etoldali pr´oba
z0 =
x¯ − m0 √σ n
=
96∗3+97+98∗2+99+100+101+102 10 √1 10
− 100
=
h i Az elfogad´asi tartom´any z α2 ; z1− α2 = [−2, 58; 2, 58]. z0 nem esik az elfogad´asi tartom´anyba, H0 -t elvetj¨ uk.
−1, 7 1 3,16
= −5, 38
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
8.1. Gyakorl´ofeladat (b) Egymint´as sz´or´aspr´oba
oba, jobboldali kritikus tart. H0 : σ = 1 H1 : σ > 1 Egyoldali pr´ χ20 =
(n−1)s 2 σ02
(xi −¯ x )2 n−1 (96−98,3)2 ···(102−98,3)2 10−1
s2 =
P
x¯ = 98, 3 s 2 = Ebb˝ol χ20 = 42,1 1 = 42, 1.
=
42,1 9
= 4, 68
α = 5%, szf= n − 1 = 9, a jobbo.-i kritikus ´ert´ek χ20,95(9) = 16, 9. 42, 1 > 16, 9, teh´at a (jobb oldali) kritikus tartom´anyba esik. A feltev´es helytelen, a sz´ or´as nagyobb.
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
8.13. Gyakorl´ofeladat
Egy marketinggel foglalkoz´ o c´eg vezet˝ oje arra kiv´ancsi, hogy j´ol k´epzett munkat´arsainak u ¨gyn¨ oki teljes´ıtm´enye f¨ uggetlen-e az ´eletkort´ol. Az adatokat u ´gy gy˝ ujt¨ ott´ek, hogy egy h´onap alatt h´any darabot siker¨ ult az u ¨gyn¨ oknek eladni. A 600 elem˝ u minta alapj´an: Elad´asok sz´ama Kor 5-9 10-15 16-20 ¨ osszesen 50 80 70 200 -30 30-40 80 90 90 260 40+ 60 50 30 140 ¨osszesen 190 220 190 600 Befoly´asolja-e az ´eletkor az u ¨gyn¨ ok¨ ok munk´aj´anak eredm´enyess´eg´et? (α = 5%)
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
8.13. Gyakorl´ofeladat: F¨uggetlens´egvizsg´alat H0 : f¨ uggetlens´eg: Pij = Pi· P·j ∀i, j, H1 : ∃i, j : Pij 6= Pi· P·j Elad´asok sz´ama Kor 5-9 10-15 16-20 ¨osszesen -30 50 63,3 80 73,3 70 63,3 200 -13,3 176,89 6,7 44,89 6,7 44,89 30-40 80 82,3 90 95,3 90 82,3 260 -2,3 5,29 -5,3 28,09 7,7 59,29 40+ 60 44,3 50 51,3 30 44,3 140 15,7 246,49 -1,3 1,69 -14,3 204,49 ¨osszesen 190 220 190 600 2 ni· n·n 2 ∗ P P P P (nij −nij ) (nij − n ) χ20 = si=1 tj=1 = si=1 tj=1 = 812. ni· n·n n∗ n
A szf sz´ama (s − 1)(t − 1), ´ıgy a kritikus ´ert´ek χ21−α(szf ) = χ20,95(4) = 9, 49. Mivel 812 > 9, 49, a nullhipot´ezist elutas´ıtjuk.
ij
¨ Intervallumbecsl´ es Mintav´ etel+ Hipot´ ezisvizsg´ alat Egymint´ as pr´ ob´ ak K´ etmint´ as pr´ ob´ ak Egy´ eb vizsg´ alatok Osszef. Feladatok
