INTEGRÁLSZÁMÍTÁS A GYAKORLATBAN Készítette: Varga Viktor Témavezet®: Sikolya Eszter
ELTE-TTK, Matematika Bsc Budapest, 2010
1. fejezet
Bevezetés Diplomamunkám során az integrálszámítás gyakorlati módszereibe szeretnék betekintést nyújtani. A témám kiválasztását az motiválta, hogy a matematikában (pl: dierenciálegyenletek, valószín¶ségszámítás) és a matematikát használó tudományokon (különösen a zikán) belül számos területen el®fordulnak konkrét integrálok, amelyeket ki kell számolnunk. Ám az analízissel való megismerkedés után rá kell döbbennünk, hogy amíg deriválni pár egyszer¶ szabály megtanulása után már könnyedén tudunk, és lényegében akármilyen bonyolult kifejezéssel elboldogulunk, addig az integrálásnál ez koránt sincs így, s®t akár már egyszer¶nek t¶n® kifejezésekkel is könnyen meggy¶lhet a bajunk. Általános elvek nincsenek, azonban vannak módszerek, amelyekkel könnyen célt érhetünk a kezdetben bonyolultnak t¶n® esetekben is. F® célom, hogy áttekintést nyújtsak a leggyakrabban használt és bevált módszerekr®l, és összefoglaljam azokat az eljárásokat, amelyekkel kiszámolhatjuk a számunkra szükséges integrálokat. Az elméletet f®ként a módszerek megismeréséhez szükséges fogalmakon át ismertetem. Nagy szerepet szánok a módszerek bemutatásában a példáknak, hiszen így érthetjük meg az eljárások lényegét. Továbbá az alkalmazásokat is fontosnak tartom, amelyeknél kiderül: a sok-sok számolgatás nem öncélú, hanem gyakorlati haszna is van.
Persze mondhatjuk, hogy a számítógépek és a mai matemati-
kai programcsomagok (Maple, Mathematica) könnyedén megbirkóznak ezekkel a feladatokkal, ugyanakkor az integrálszámítás gyakorlati módszereinek elsajátítása fontos feladat.
1
2. fejezet
Integrálási módszerek 2.1.
Határozatlan integrál
Az integrálást lényegében a deriválás inverz m¶veleteként értelmezhetjük: egy adott függvény határozatlan integrálja minden olyan függvény, amelynek deriváltja az adott függvény. Matematikailag megfogalmazva: az
vényének
nevezzük egy adott
I
F
függvényt az
f
határozatlan integráljának
Mi többnyire olyan
f
függvény
primitív függ-
korlátos, vagy nem korlátos nyílt intervallum-
ban, ha deriváltja az intervallum minden pontjában összességét
f
f (x).
A primitív függvények
nevezzük.
függvényekkel foglalkozunk, amelyek egy adott inter-
vallumon folytonosak, ekkor pedig
f -nek
létezik primitív függvénye.
Fontos megjegyeznünk, hogy mivel a konstans függvény deriváltja 0, ezért ha
F
primitív függvény, akkor
F +c
Így most és a kés®bbiekben is jelölje
´
f (x)dx.
Tehát:
´
f = F,
ha
f
is az, ahol
c
a konstans függvényt jelöli.
primitív függvényeinek egyikét
0
F = f, f
neve ilyenkor:
´
f
vagy
integrandus.
A határozatlan integrál két alapvet® tulajdonsága: 1. Összeget és különbséget lehet tagonként integrálni, tehát:
ˆ
ˆ f = F,
ˆ g=G⇒
[f ± g] = F + G
2. A konstansszorzó az intergáljál elé kiemelhet®, azaz tetsz®leges
ˆ
ˆ cf = c
2
f
c
esetén:
2.1.1.
Alapintegrálok
Azokat az integrálokat, amelyek valamilyen elemi függvény deriválásának megfordításakor keletkeznek,
• • • • • • • • • • •
´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´
xn dx =
xn+1
elemi integráloknak
n+1 , ahol
n 6= −1,
nevezzük. Például a következ®k:
speciálisan:
´
1dx = x
1 x dx=ln |x|
ax dx = ax lna
, ahol
a > 0, a 6= 1,
speciálisan:
´
ex dx = ex
sin xdx = − cos x cos dx = sin x 1 cos2 x dx
= tan x
1 dx sin2 x
= − cot x
cosh xdx = sinh x sinh xdx = cosh x 1 dx cosh2 x
= tanh x
1 dx sinh2 x
= coth x
2.1.2.
Módszerek
Az alábbiakban bemutatjuk a legismertebb integrálási módszereket. Mint láthatjuk, ezek tárháza igen b®séges: valamelyik módszer sokszor alkalmazható, van amelyik pedig csak bizonyos esetekben.
2.1.2.1. Egyszer¶bb típusok Az alábbi alakú integrálok el®fordulása esetén igen könnyen célt érhetünk (esetleg minimális átalakítással):
• f (ax + b)
alakú integrandus: ˆ f (ax + b)dx =
ahol Pl:
F
egy primitív függvénye
F (ax + b) , a
f -nek.
ˆ sin(3x − 4)dx =
3
− cos(3x − 4) 3
• f n (x)f 0 (x)
alakú integrandus: (n 6= −1) ˆ f n (x)f 0 (x)dx = ˆ
Pl:
(2x2 + 5)5 4xdx = •
f 0 (x) f (x)
f n+1 (x) n+1 (2x2 + 5)6 6
alakú integrandus: ˆ
Megjegyzés: használjuk az
ln f (x) :
0
I ⊆ {x : f (x) > 0} f (x) dx = ln(−f (x)) : J ⊆ {x : f (x) < 0} f (x)
Itt
´
I és J intervallum, a továbbiakban a fenti értelemben f 0 (x) f (x) dx = ln |f (x)| jelölést. ˆ
Pl:
1 2x dx = ln |2x − 3| −3 ln 2
2x
2.1.2.2. Parciális integrálás A parciális integrálás egy igen fontos módszer, mert segítségével szorzat alakban megadott (vagy olyanná alakítható) integrandusok nagy részét kiszámíthatjuk. Maga a módszer a szorzatfüggvény deriválási szabályából adódik:
ˆ
ˆ f g0 = f g −
f 0g
Az ötlet tehát, hogy a szorzat alakban megadott függvény egyik tényez®jét
f -nek,
másik tényez®jét
választás alapja, hogy
g 0 -nek 0
f g -t
választva átírjuk az integrált. A megfelel® meg-
könnyebben lehet integrálni mint
f g 0 -t.
Alapvet®en 3 típust különböztetünk meg az integrandus alapján:
•
Hatványfüggvénnyel szorzott exponenciális, trigonometrikus, hiperbolikus függvények Ekkor mindig a hatványfüggvényt érdemes pedig
g
0
-nek elnevezni. Pl:
4
f -nek,
a másik szorzótényez®t
ˆ
5x cosh 2x 5x sinh 2xdx = − 2
ˆ
5x cosh 2x 5 sinh 2x 5 cosh 2x dx = − 2 2 4
Megjegyzés: Ha a hatványfüggvény 1-nél magasabb fokú, akkor többször egymás után kell alkalmaznunk a módszert.
•
Logarimus-, area-, arcusfüggvények és ezekkel szorzott hatványfüggvények Ekkor mindig a logaritmusfüggvényt érdemes nyez®t
g
0
és a másik szorzóté-
-nek elnevezni. Pl:
ˆ
ˆ 2
−2x ln xdx = −x ln x − •
f -nek
1 x2 −x2 dx = −2x2 ln x + x 2
Exponenciális függvény és trigonometrikus ill. hiperbolikus függvények szorzata Ekkor a választásunk tetsz®leges, minden esetben célhoz érünk, ha a módszert kétszer egymás után alkalmazzuk, majd a kiindulást a kapott eredménnyel összehasonlítjuk. Pl:
ˆ
ˆ ex sin xdx = −ex cos x+
ˆ ex cos xdx = −ex cos x+ex sin x− ex sin xdx
ˆ ⇒
ex sin xdx =
−ex cos x + ex sin x 2
Megjegyzés: Szögfüggvények szorzatát is lehet parciálisan integrálni, ám ekkor sokszor a szorzat megfelel® átalakítások után összeggé alakítható, így sokszor azt célszer¶bb integrálni.
2.1.2.3. Helyettesítéses integrálás A helyettesítéses integrálás módszere nagyon sokszor segítségünkre lehet a legkülönfélébb estekben is. Lényege, hogy az integrandusban valamilyen kifejezést helyettesítünk egy új változóval, ezáltal egy könnyebben integrálható kifejezést kapunk, amit kiintegrálunk, majd a végén visszahelyettesítjük az eredeti kifejezést.
Sokszor nem látszik közvetlenül, hogy a módszer mikor és hogyan
alkalmazható, vannak azonban olyan esetek, amikor a megfelel® helyettesítéssel mindig célhoz érhetünk, ezeket az adott helyeken be is mutatjuk.
5
Az eljárás lényege tehát a következ®: Legyen
u(x) = t,
ekkor
u0 (x) =
u0 (x)dx = dt,
dt dx , és ezért
ˆ
vagyis:
ˆ f (u (x)) u0 (x)dx =
f (t)dt = F (t) = F (u (x))
Pl:
ˆ
ˆ
3 dx = 2 cos (2x − 3)
3 dt 3 3 = tan t = tan(2x − 3) 2 cos t 2 2 2
A továbbiakban ismertetjük azokat a helyettesítési módszereket, amelyek adott esetben mindig célravezet®ek.
•
Exponenciális függvények racionális kifejezései ex -nek
Ha az integrandus téssel (ahol
x = ln t, dx =
racionális kifejezése, akkor a
dt t ) átírhatjuk
t
t = ex
helyettesí-
racionális törtfüggvényévé, így
mint racionális törtfüggvényt integráljuk. Pl:
ˆ
e2x dx = 1 + ex
ˆ
t2 dt = 1+t t
ˆ
t dt = 1+t
ˆ (1 −
1 )dt = t − ln |1 + t| 1+t
= ex − ln(1 + ex ) •
Trigonometrikus függvények racionális kifejezései A trigonometrikus függvények racionális kifejezései esetében a
t = tan x2
helyettesítés mindig célravezet®, mert ennek segítségével racionális törtfüggvényé alakul az integrandus. Ekkor:
dx =
2 2t 1 − t2 dt, sin x = , cos x = , 2 2 1+t 1+t 1 + t2
tan x =
2t 1 − t2 , cot x = , 1 − t2 2t
így könnyen számolhatunk ezek megfelel® helyettesítésével. Pl:
ˆ
1 dx = 1 + sin x
ˆ
1 1+
2t t2 +1
=−
2 dt = t2 + 1
ˆ
2 dt = t2 + 1 + 2t
2 2 =− t+1 tan x2 + 1
6
ˆ
2 (t + 1)
2 dt
•
Gyökös racionális kifejezések Az ilyen esetekben az adott kifejezést®l függ®en gyökeresen eltér® helyettesítéseket kell alkalmaznunk: az els® két esetben racionális törtfüggvényre, az azt követ® három esteben pedig trigonometrikus, illetve hiperbolikus függvényre vezetjük vissza az integrandust.
R(x,
√ n
ax + b)
Helyettesítés:
R(x,
q n
alakú integrandus
t=
√ n
ax + b,
azaz
x=
ax+b cx+d ) alakú integrandus (ad
Helyettesítés:
t=
q n
√
ax+b cx+d , azaz
x=
tn −b a , így
dx =
n n−1 dt at
dx =
n(da−bc) n−1 du (cun −a)2 u
6= bc) b−dun cun −a , így
R(x, a2 − x2 ) alakú integrandus √
A kifejezésünket átalakítjuk:
x a x (vagy esetleg: a Helyettesítés:
p a2 − x2 = a 1 − ( xa )2
= sin t,
azaz
x = a sin t,
= cos t,
azaz
x = a cos t,
dx = a cos tdt,
így így
dx = −a sin tdt)
√
R(x, a2 + x2 ) alakú integrandus √
A kifejezésünket átalakítjuk: Helyettesítés:
√
x a
= sinh t,
azaz
p a2 + x2 = a 1 + ( xa )2
x = a sinh t,
így
dx = a cosh tdt
R(x, x2 − a2 ) alakú integrandus √
A kifejezésünket átalakítjuk: Helyettesítés:
√
x a
= cosh t,
azaz
p x2 − a2 = a ( xa )2 − 1
x = a cosh t,
R(x, ax2 + bx + c) alakú integrandus Itt
a el®jelét®l függ®en
√
a-t (a > 0), illetve
így
√
dx = a sinh tdt
−a-t (a < 0) emelünk ki
a gyökjel elé. Ezután a gyökjel alatt teljes négyzetté alakítunk, majd ismét kiemelünk a gyökjel elé úgy, hogy a teljes négyzet maradéktagja
±1
legyen. A helyettesítést az dönti el, hogy milyen volt
a
el®jele,
illetve, hogy 1, vagy -1 a teljes négyzet maradéktagja. Bevezetve a következ® jelöléseket:
p=
b a,
q=
c 2 a ,±d
=q−
p2 4 (q
−
p2 4 el®jelét®l
függ®en), a 4 eset tehát:
∗ a > 0,
a teljes négyzet maradéktagja: 1
sinh t = 2x+p 2d , azaz x = d sinh t − √ √ 2 ax + bx + c = d a cosh t
Ekkor a helyettesítés:
dx = d cosh tdt, ∗ a > 0,
ezzel
p 2 , így
a teljes négyzet maradéktagja: -1
cosh t = 2x+p 2d , azaz x = d cosh t − √ √ ax2 + bx + c = d a sinh t
Ekkor a helyettesítés:
dx = d sinh tdt,
ezzel
7
p 2 , így
∗ a < 0,
a teljes négyzet maradéktagja: 1
x = d sin t + p2 , így √ dx = d cos tdt, ezzel ax2 + bx + c = d −a cos t 2x−p p (vagy esetleg: cos t = 2d , azaz x = d cos t + 2 , így dx = √ √ −d sin tdt, ezzel ax2 + bx + c = −d −a sin t)
Ekkor a helyettesítés:
√
∗ a < 0,
sin t =
2x−p 2d , azaz
a teljes négyzet maradéktagja: -1
Ekkor az
ax2 + bx + c
kifejezés akármilyen
x
értékre negatív, így
a valós számokra nem értelmezett az integrandus.
√
1 alakú integrandus ax2 +bx+c
A nevez®t az el®z® pontban leírtaknak megfelel®en átalakítjuk az alábbi típusok valamelyikére:
∗ ∗ ∗ ∗
´
1 √ 1 , így ekkor: √ du = arcsin u + c 1−u2 1−u2 ´ 1 1 √ , így ekkor √ du = arsinh u + c 1+u2 1+u2 ´ 1 √ 1 , így ekkor √ 2 du = arcosh u + c u2 −1 u −1 √ 1 , így ekkor a gyök alatt negatív mennyiség áll, így a valós −u−1 számokra nem értelmezett az integrandus.
2.1.2.4. Trigonometrikus és hiperbolikus függvények Az el®z®ekben már említettük, hogy trigonometrikus függvények racionális törtkifejezései esetében hogyan járunk el, azonban bizonyos esetekben ennél egyszer¶bb módszer is van. Azért tárgyaljuk egy címszó alatt a hiperbolikus függvényeket is a trigonomertikus függvényekkel, mert maga az eljárás mindkét esetben teljesen ugyanaz.
• sin2n+1 x cosk x
, illetve cos2n+1 x sink x alakú integrandus
Ekkor:
sin2n+1 x cosk x = sin x(1 − cos2 x)n cosk x A kijelölt m¶veleteket elvégezve az összeg minden tagja (legfeljebb egy kivétellel, ami alapintegrál)
f n (x)f 0 (x)
alakú, így tagonként integrálunk.
Az eljárás ugyanígy megy, ha az integrandus
cos2n+1 x sink x
alakú. Ha
pedig mindkét szögfüggvényben páratlan a kitev®, akkor teljesen mindegy, hogy melyiket alakítjuk át.
8
• sin2n x cos2k x
alakú integrandus
Ekkor felhasználjuk a kétszeres szögfüggvényekre vonatkozó azonosságokat:
sin x cos x =
1 1 1 1 1 sin 2x, sin2 x = − cos 2x, cos2 x = + cos 2x 2 2 2 2 2
Ezek segítségével alakítjuk az integrandust úgy, hogy a trigonometrikus fokszámok csökkenjenek egészen addig, amíg ismert, vagy könnyen kiszá-
linearizáló módszer ).
molható integrált nem kapunk (
• sinh2n+1 x coshk x,
illetve cos2n+1 x sinhk x alakú integrandus
Az els® ponthoz teljesen hasonló módon alakítunk, azzal a különbséggel, hogy a
cosh2 x − sinh2 x = 1
• sinh2n x cosh2k x
azonosságot használjuk.
alakú integrandus
Itt az alábbi azonosságokat célszer¶ használni az átalakításhoz:
sinh2 =
cosh 2x − 1 cosh 2x + 1 , cosh2 = 2 2
Ha ezek sem vezetnek célra, vagy pusztán hosszadalmas lenne a számolás, akkor használhatjuk az exponenciális alakot is, vagyis a függvények eredeti de nícióit: Pl:
ˆ
ˆ 2
2
sin x cos xdx = 1 = 4
sinh x =
ex −e−x , illetve 2
sin2 2x 1 dx = 4 4
x sin 4x − 2 8
=
ˆ
sinh
cosh x =
és
cosh
ex +e−x 2
1 1 − cos 4x dx 2 2
x sin 4x − 8 32
2.1.2.5. Racionális törtfüggvények Sokszor kerülhetünk abba a helyzetbe, hogy racionális törtfüggvényt kelljen integrálnunk.
Jó pár esetben (mint ahogy pl.
a trigonometrikus vagy gyökös
kifejezéseknél) erre vezettük vissza a megfelel® helyettesítésünk és átalakításunk során nyert integrandust, így fontos, hogy ezekkel is könnyedén el tudjunk bánni. Ehhez el®bb néhány egyszer¶bb esetet vizsgálunk, majd az összetettebb típusokat ezekre fogjuk visszavezetni.
9
Alaptípusok. •
Az integrandus számlálója konstans, nevez®je els®fokú Átalakítva az integrandust:
ˆ
•
A A dx = ax + b a
a A dx = ln |ax + b| ax + b a
Az integrandus számlálója konstans, nevez®je egy els®fokú függvény n-edik (n 6= 1) hatványa Ekkor az integrandust
ˆ
•
ˆ
A A n dx = a (ax + b)
f n (x)f 0 (x)
alakra hozzuk:
ˆ a(ax+b)−n dx =
A (ax + b)1−n A 1 = a 1−n a(1 − n) (ax + b)n−1
Az integrandus számlálója els®fokú, nevez®je egy els®fokú függvény n-edik (n 6= 1) hatványa Elég csak az
´
Ax (ax+b)n dx esettel foglalkozni, mert ha a számláló
Ax + b
alakú, akkor szétbontjuk két részre, ahol a második rész éppen az el®bb tárgyalt eset. Ekkor pedig a következ® átalakítást végezzük:
ˆ
Ax A n dx = a (ax + b)
ˆ
ax + b − b A n dx = a (ax + b)
ˆ
1 A dx− (ax + b)n−1 a
ˆ
b dx (ax + b)n
Ezzel pedig (n-t®l függ®en) az els® két pont valamelyikére visszavezettük a problémát.
•
Az integrandus számlálója konstans, nevez®je másodfokú polinom A nevez® f®együtthatóját kiemeljük, majd teljes négyzetté alakítunk, ez-
2
után kiemeljük a teljes négyzet maradéktagját (±B ). Ekkor az
b x+ 2a B
=t
helyettesítéssel (a teljes négyzet maradéktagjának el®jelét®l függ®en) az integrandus tegrál
•
1 1 2 2 t2 +1 (B esetén), illetve t2 −1 (−B esetén) alakú, így az in-
arctan t,
illetve artanh t alakú lesz.
Az integrandus számlálója els®fokú, nevez®je másodfokú polinom Ebben az esetben a számlálót két részre bontjuk, az els® részben létrehozzuk a nevez® deriváltját, így az intergandusnak ez a része
f 0 (x) f (x) alakú, a
másik rész pedig konstans lesz, így az el®bb tárgyalt eset áll fenn.
10
Parciális törtekre bontás.
Legyen
f (x) =
p(x) q(x) alakú, ahol
p(x)
egy
m-
q(x) pedig n-edfokú polinom. Feltehetjük, hogy m < n, továbbá, hogy p(x) tovább nem egyszer¶síthet®, illetve, hogy a nevez® f®együtthatója 1. f (x)q(x)
edfokú,
nek mindig létezik zárt alakban megadható integrálja, ennek kiszámolásához azonban ismerni kell a nevez® gyökeit. Az alábbiakban tehát a különböz® eseteket visszavezetjük a parciális törtekre bontás segítségével a fent tárgyalt alaptípusok valamelyikére.
•
A nevez®nek csak egyszeres, valós gyökei vannak Ekkor
q(x)-et
felírjuk gyöktényez®s alakban, ezzel pedig
p(x) q(x) a következ®
alakúvá bontható:
p(x) p(x) A1 A2 An = = + + ... + q(x) (x − x1 )(x − x2 )...(x − xn ) x − x1 x − x2 x − xn Itt az
A1 , A2 , ..., An
számok meghatározására 3 módszer is lehetséges:
együtthatók egyeztetése Ez a legszélesebb körben elterjedt módszer, mivel minden esetben alkalmazható, tehát akkor is, ha a nevez®nek többszörös valós, vagy komplex gyökei vannak. Egyetlen hátránya, hogy általában sok számolással jár. Lényege, hogy a
p(x) A1 A2 An = + + ... + (x − x1 )(x − x2 )...(x − xn ) x − x1 x − x2 x − xn azonosságban a jobboldalt közös nevez®re hozzuk, majd az így kapott számláló együtthatóit összevetjük egy egyenletrendszert kapunk
p(x)
Ai -kre,
megfelel® együtthatóival, így
amelyet megoldva megkapjuk
a kívánt együtthatókat.
gyökhelyettesítési módszer Ez egy jóval kevesebb számolással járó eljárás, ám csak akkor érdemes alkalmazni, ha a nevez®nek kizárólag egyszeres valós gyökei vannak. Lényege, hogy az el®bbi eljáráshoz hasonlóan közös nevez®re hozunk a jobb oldalon, majd pedig a számlálókat úgy hasonlítjuk össze, hogy az azonosságban
x
helyére sorra a nevez® gyökeit helyettesítjük be.
Ez azért m¶ködik, mert ekkor a bal oldalon egy szám, a jobb oldalon pedig csak az egyik együttható kifejezése szerepel, mert a többi elt¶nik a gyökhelyettesítés miatt.
11
dierenciálási módszer Ez szintén f®ként egyszeres valós gyökök esetén alkalmazható, de általánosítani lehet a többszörös valós gyök esetére is, ám ekkor már jóval összetettebb számolást igényel, ezért ezzel nem foglalkozunk. Lényege nagyon egyszer¶:
p(x) p(x) A1 A2 An = = + + ... + q(x) (x − x1 )(x − x2 )...(x − xn ) x − x1 x − x2 x − xn esetén könnyen igazolható, hogy:
A1 = •
p(x2 ) p(xn ) p(x1 ) , A2 = 0 , ..., An = 0 q 0 (x1 ) q (x2 ) q (xn )
a nevez®nek csak valós gyöke van, de többszörös gyökök is el®fordulnak Ekkor:
ahol
r P
p(x) p(x) = , α 1 q(x) (x − x1 ) (x − x2 )α2 ...(x − xr )αr αi = n.
Tehát a résztörtekre bontás következ® alakú:
i=1
p(x) A11 A1α1 p(x) = = + ... + + q(x) (x − x1 )α1 ...(x − xr )αr x − x1 (x − x1 )α1
•
A21 Ar1 A2α2 Arαr + ... + + ... + + ... + x − x2 (x − x2 )α2 x − xr (x − xr )αr
a nevez®nek nem minden gyöke valós Algebrai ismereteink alapján megállapíthatjuk, hogy ha a nevez®nek van komplex gyöke, akkor annak konjugáltja is gyöke, így a komplex gyököket tartalmazó gyöktényez®ket párosával kiemeljük, majd összeszorozzuk a párokat, így valós együtthatós másodfokú kifejezések szorzatát kapjuk, amelyeknek már nincs valós gyöke. A megmaradó gyöktényez®k pedig az el®z® pontban tárgyalt módon emelhet®k ki a nevez®b®l. A nevez® alakja tehát:
q(x) = [(x − x1 )α1 ...(x − xr )αr ] (x2 + b1 x + c1 )β1 ...(x2 + bs x + cs )βs
12
Így
"
p(x) q(x) törtekre bontásának általános alakja ebben az esetben:
α1 P
i=1
A1i (x−x1 )i
+ ... +
αr P j=1
ˆ
Pl:
# " Arj (x−xr )j
+
β1 P
k=1
B1k x+C1k (x2 +b1 x+c1 )k
+ ... +
βs P l=1
# Bsl x+Csl (x2 +bs x+cs )l
14 dx =? (x − 3)(x + 2)(x − 4)
A nevez® már gyöktényez®s alakban adott, így:
14 A B C = + + (x − 3)(x + 2)(x − 4) x−3 x+2 x−4 Innen:
14 = A(x + 2)(x − 4) + B(x − 3)(x − 4) + C(x + 2)(x − 3),
most
használhatjuk mind a 3 módszert.
•
Az együtthatók egyeztetését használva kapjuk, hogy:
A + B + C = 0, −2A − 7B − C = 0, −8A + 12B − 6C = 14. Ezt az egyenletrendszert megoldva megkapjuk a kívát együtthatókat.
•
Ha a gyökhelyettesítéses módszerrel dolgozunk, akkor:
A · 5(−1), x = −2
esetén:
14 = B(−5)(−6), x = 4
x = 3 esetén: 14 =
esetén:
14 = C · 6 · 1
Innen jóval egyszer¶bb tehát meghatározni az együtthatókat.
•
Ha a dierenciálási módszert használjuk, akkor:
p(x) = 14, q(x) = (x − 3)(x + 2)(x − 4),
q 0 (x) = (x + 2)(x − 4) + (x − 3)(x − 4) + (x − 3)(x + 2) Így:
A=
p(3) q 0 (3)
= − 14 5 , B =
p(−2) q 0 (−2)
=
7 15 ,
C=
p(4) q 0 (4)
=
7 3 , amely eredménye-
ket az el®z® két módszerrel is megkaphatunk. Ezzel tehát:
ˆ
14 14 dx = − (x − 3)(x + 2)(x − 4) 5
=−
ˆ
dx 7 + x − 3 15
ˆ
dx 7 + x+2 3
14 7 7 ln |x − 3| + ln |x + 2| + ln |x − 4| 5 15 3 13
ˆ
dx x−4
2.1.2.6. Egyéb speciális integráltípusok •
Rekurzív integrálok In =
Legyen
´
f (x, n)dx (n ∈ Z),
métert tartalmazó függvény.
ahol
f (x, n)
adott alakú, egy para-
Tegyük fel, hogy az integrálás során
f (x, n + m)
re olyan kifejezést kaptunk, amelyben az integrandus
(m ∈ Z, m 6= 0).
Így
In = g(x) + h(n)In+m ,
vagyis
In -re
In -
alakú
kaptunk egy re-
kurziót, amellyel (esetleg többszöri egymásutáni alkalmazással) kifejezhet® az eredeti integrál. Pl:
In =
´
sinn xdx (n ∈ Z, n > 2).
Parciális integrálással beláthatjuk,
hogy:
In = Mivel
sin2 x
mulával
In
cos x sinn−1 x n − 1 + In−2 . n n
integrálját könnyen kiszámolhatjuk, így a fenti rekurziós for-
könnyen megkapható.
Hasonlóan, legyen
In =
´
1 (x2 +a2 )n dx
(n ∈ Z).
Szintén a parciális integrá-
lás segítségével belátható, hogy:
In+1 = Mivel
1 x 2n − 1 + In . 2 2 2 n 2na (x + a ) 2na2
1 x2 +a2 integrálja könnyen számolható, így az
In
-alakú integrandu-
sokat is kiszámolhatjuk.
•
Binom integrálok Egy integrált alakú, ahol
binom integrálnak nevezünk, ha az integrandus xm (a+bxn )p
a, b ∈ R és m, n, p ∈ Q.
Ekkor az integrál nem mindig fejezhet®
ki elemi függvényekkel, csak és kizárólag a következ® esetekben:
p∈ Z, k
cx
ekkor a binomiális tétel segítségével kifejtve az integrandust
alakú tagok összegét kell integrálnunk, amelyet könnyedén végez-
hetünk.
m+1 n
∈ Z,
ekkor a
t=
√ r
a + bxn (r
a
p
tört nevez®je) helyettesítéssel
az integrandust racionális törtfüggvényre vezetjük vissza.
m+1 n
+ p ∈ Z,
ekkor a
t=
q r
a+bxn helyettesítéssel azt integrandust xn
ismét racionális törtfüggvényre vezetjük vissza.
14
•
Elliptikus integrálok Elliptikus integrálnak
nevezzük az
´
R(x, f )dx
harmad- vagy negyedfokú polinom. Ha
perelliptikus integrálokról
f
alakú integrálokat, ahol
foka négynél nagyobb, akkor
f
hi-
beszélünk. Az elnevezést az motiválta, hogy az
ellipszis kerületének kiszámításakor kell ilyen alakú integrálokat számolnunk. Sajnos általában ezek nem fejezhet®k ki elemi integrállal, ezért részletesen nem foglalkozunk velük, ám említést mindenképpen érdemelnek, mert különböz® alkalmazások során gyakran el®fordulnak. A fenti, elemi módon nem integrálható elliptikus integrálok átalakítások sorozatával az alábbi három alak valamelyikére hozhatóak
ˆ
1 p dt, 2 (1 − t )(1 − k 2 t2 ) ˆ
t = sin ϕ
(0<ϕ<
p
nt2 )
(1 − t2 )(1 − k 2 t2 )
amelyek sorban az
1 q dϕ, (1 − k 2 sin2 ϕ) ˆ
2.2.
(1 − t2 )(1 − k 2 t2 )
dt,
dt
π 2 ) helyettesítéssel a fenti három integrál az alábbi, ún.
Legendre-alakra hozhatók, elliptikus integrálok : ˆ
1 − k 2 t2 p
1 (1 +
A
ˆ
(k ∈ (0, 1)):
ˆ q
els®-, másod-, harmadfajú
(1 − k 2 sin2 ϕ)dϕ,
1 q dϕ (1 + n sin2 ϕ) (1 − k 2 sin2 ϕ)
Riemann-integrál
A gyakorlati életben, amikor konkrét integrálok kiszámítására van szükségünk, f®ként határozott integrálokat számolunk. A határozott integrál értelmezése a következ®: Legyen adott egy az függvény.
Ekkor
f -nek
[a, b] az
intervallumban mindenütt értelmezett
a-tól b-ig
vett
segítségével de niáljuk:
15
Riemann-integrálját
f
korlátos
egy határérték
ˆ
b
f :=
lim
n→∞
a ahol
∆xi
i-edik
az
[a, b]
max ∆xi →0
intervallum
i-edik
n X f (ξi )∆xi , i=1
részintervallumának hossza,
f (ξi )
pedig az
részintervallum tetsz®leges pontjához tartozó függvényérték. Ha tehát ez
a határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy
f
integrálható
[a, b]-ben.
Ezen fogalom bevezetése látszólag csak távolról kapcsolódik az eddig megismertekhez, azonban valójában ez koránt sincs így, a határozott és a határozatlan integrál kapcsolatát a
Newton-Leibniz formula adja meg, ha f -nek létezik F
pri-
mitív függvénye:
ˆ
b
f (x)dx = F (b) − F (a) a . Jelölés:
b
F (b) − F (a) = [F (x)]a
Így tehát a határozott integrál kiszámolásához
is lényegében primitív függvényt kell keresnünk, ezért a határozatlan integrál esetében látott szabályok és módszerek itt is érvényben maradnak.
Néhány egyéb tulajdonsága a határozott integrálnak:
•
´b a
f (x)dx = −
´a b
f (x)dx,
tehát a határok felcserélésével el®jelváltás tör-
ténik.
•
´b a
´c
f (x)dx =
a
f (x)dx +
´b c
f (x)dx,
tehát az integrálási intervallum ré-
szekre bontásával az eredeti integrál a részeken vett integrálok összegével egyezik meg.
x ∈ [a, b]-re f (x) ≥ 0,
´b
•
Ha minden
•
Ha az integrálási intervallum fels® határa nem állandó, akkor a határozott
akkor
a
f (x)dx ≥ 0
integrál a fels® határ függvénye, vagyis:
ˆ
x
f (t)dt = F (x) − F (a)
G(x) = a Ha
f (t)
integrálható
Továbbá ha
f
[a, b]-n,
folytonos
és
x-ben,
x ∈ [a, b],
akkor
G0 (x) = f (x).
16
G
akkor
G(x)
folytonos
[a, b]-n.
deriválható ebben a pontban, és
2.2.1.
A Riemann-integrál kiszámítása
A határozott integrál kiszámítása tehát lényegében: primitívfüggvény keresése, majd utána a Newton-Leibniz formula alkalmazása.
Most megvizsgálunk két
esetet, ahol nem teljesen magától értet®d® a módszer használata.
•
Parciális integrálás esetén a már ismert szabályt értelemszer¶en alkalmazzuk a határozott integrál esetére:
ˆ a
•
ˆ
b
b
f (x)g 0 (x)dx = [f (x)g(x)]a −
b
f 0 (x)g(x)dx a
Helyettesítéses integrálás esetében azonban körültekint®bbnek kell lennünk, hiszen az integrandus módosulásával a határokat is módosítanunk kell: ha
´b a 0
f (x)dx
ϕ (t)dt
kiszámítása során
x = ϕ(t),
t = ϕ−1 (x),
vagyis
helyettesítést alkalmazunk, akkor az új határok:
t = ϕ−1 (a), x = b
helyett:
azaz
x = a
dx =
helyett:
t = ϕ−1 (b)
Megjegyzés: természetesen megtehetjük azt is, hogy a határok gyelembevétele nélkül kiszámoljuk az integrandus határozatlan integrálját helyettesítéssel, majd pedig az eredményben visszahelyettesítjük az eredeti változót, és abba helyettesítjük be az eredeti határokat.
2.2.2.
Improprius integrál
Az improprius integrálás elméletének kidolgozását lényegében két különböz® jelleg¶ probléma ihlette. 1. El®fordulhat, hogy az integrálási intervallumunk nem korlátos. 2. Az is lehetséges, hogy bár korlátos intervallumon integrálunk, ugyanakkor az integrandus nem korlátos az adott intervallumban. Mindkét esetben (a szemléletünknek megfelel®en) egy határérték-képzéssel oldjuk meg a felmerül® problémát. Ha a határérték
±∞,
akkor azt mondjuk,
hogy az improprius integrál divergens. 1. Tegyük fel, hogy az
f
függvény minden
B>a
esetén az
[a, B]
interval-
lumban integrálható. Ekkor:
ˆ
ˆ
∞
f (x)dx := lim a feltéve, hogy ez a határérték létezik.
B→∞
B
f (x)dx, a
Hasonlóan értelmezhet® a
improprius integrál is. Pl: 17
´b −∞
f (x)dx
ˆ
∞
−∞
1 dx = lim A→−∞,B→∞ 1 + x2
=
lim
A→−∞,B→∞
Megjegyzés: Itt 2.
Legyen az
A
f
és
B
ˆ
B
1 B dx = lim [arctan x]A A→−∞,B→∞ 1 + x2
A
(arctan B − arctan A)= π2 + π2 =π
egymástól függetlenül tart
függvény minden
−∞
a ≤ c < b-re
az
-hez, illetve
[a, c]
∞
-hez.
intervallumban
integrálható. Ekkor:
ˆ
ˆ
b
c
f (x)dx := lim
f (x)dx,
c→b−0
a
a
feltéve, hogy ez a határérték létezik. Hasonlóan értelmezhet® az proprius intergrál abban az esetben, amikor
a
minden
ˆ
1
0
Az
f (x)dx
im-
[c, b] intervallumban
ˆ
1
√ 1 33 2 3 3√ 3 3 x = lim ( − c2 ) = c→0 2 c→0 2 2 2 c
1
x− 3 dx = lim c
Paraméteres integrál
F (y) =
függvénye, Ha
integrálható a
a
esetén. Pl:
1 √ dx = lim 3 c→0+0 x
2.2.3.
f
´b
´b a
f (x, y)
folytonos a
ˆ
f (x, y)dx
alakú határozott integrált, amely tehát az
paraméteres integrálnak az
[c, d]
[a, b]×[c, d]
y
y
változó
paraméterrel.
négyszög alakú tartományon folytonos, akkor
F
is
intervallumon, és ekkor:
ˆ
d
d
ˆ
ˆ
!
b
F (y)dy = c
nevezzük, esetünkben
b
ˆ
f (x, y)dx dy = c
!
d
f (x, y)dy dx,
a
a
c
vagyis az integrálások sorrendje felcserélhet®. Ha az
fy0
F (y)
[a, b]×[c, d]
létezik és folytonos az
négyszög alakú tartományon, akkor
paraméteres integrál dierenciálható, így:
F 0 (y) =
d dy
ˆ
ˆ
b
a
b
fy0 (x, y)dx,
f (x, y)dx = a
vagyis a dierenciálás és az integrálás sorrendje felcserélhet®.
18
Ez a két tétel felhasználható bizonyos egyváltozós integrálok kiszámolására.
f (x, y) = xy , x∈ [0, 1], y∈ [a, b].
Pl: Legyen ható, így:
ˆ
b
1
ˆ
ˆ x dx dy =
ˆ
1
!
b
y
0
a
Ekkor a fenti két tétel alkalmaz-
y
x dy dx a
0
Külön-külön kiszámoljuk a bal és jobb oldalt:
ˆ
b
ˆ xy dx dy =
0
a illetve:
1
ˆ
ˆ
1
b
a
ˆ
!
b
xy+1 y+1 ˆ
y
x dy dx = 0 Így tehát
1+b ln 1+a =
a
´1 0
0
1
ˆ
1
b
dy = a
0
xy ln x
1 1+b dy = ln , 1+y 1+a ˆ
b dx = a
0
1
xb − xa dx ln x
xb −xa ln x dx, ami azért hasznos, mert itt a jobb oldalt aligha
tudtuk volna elemi módszerekkel kiszámolni.
19
3. fejezet
Komplex integrálok A komplex függvénytan a matematika egy önálló ága, mi itt nem is foglalkozunk részletesen vele, pusztán csak annyira, amennyiben segítségünkre lehet bizonyos típusú valós intergálok kiszámolásához. Ezért röviden átfutjuk a legfontosabb tudnivalókat, majd pedig a lényegesebb részekre, f®ként a reziduum-tétel alkalmazásaira koncentrálunk.
3.1.
Bevezetés
Reguláris függvények alapvet® tulajdonságát fejezi ki a
f
az egyszeresen összefügg® nyílt
T -ben
haladó zárt rekti kálható
f
a f®együtthat®ját,
γ
görbére:
nevezzük, és
∞-hez
Laurent-sorba c−1 -et
az
fejthet®
´
γ
f
a
f (z)dz = 0.
függvénynek az
ponthoz tartozó
−1.
tagjának
reziduumának
∞ izolált szingularitása f -nek,
Ha a
tartozó reziduumot a következ®képpen értelmezzük:
γ
a pont izolált szin-
körül. A Laurent-sor
z =a
függvény
Res(f, a)-val jelöljük.
Alapvet® szerepe van a vény a
f
reziduum-tételnek, amely szerint:
akkor a
Res(f, ∞) = −c−1 . ha
f
reguláris függ-
zárt görbén és annak belsejében, kivéve esetleg belül véges sok
szinguláris pontot, akkor:
˛ f (z)dz = 2πi γ
ha
halmazon reguláris függvény, akkor bármely
Ismeretes továbbá, hogy ha egy komplex gularitása, akkor
Cauchy-féle alaptétel :
T
n X
Res(f, ak ).
k=1
20
ak
A reziduumok kiszámolásának nyilvánvaló módja tehát a Laurent-sor, illetve a
c−1
együttható meghatározása.
Sok esetben azonban könnyebben is célhoz
érhetünk:
•
Ha az
a
pont megszüntethet® szingularitás, akkor
•
Ha az
a
pont
n-edrend¶
pólus, akkor:
Res(f, a) =
3.2.
Res(f, a) = 0.
1 lim [(z − a)n · f (z)](n−1) (n − 1)! z→a
Integrálok kiszámolása
A komplex függvénytan lehet®séget ad bizonyos típusú valós integrálok viszonylag egyszer¶ kiszámítására.
3.2.1.
Egyszer¶ integrálok
I =
Legyen
´ 2π 0
R(cos x, sin x)dx,
vagyis az integrandus
sin x-nek
és
cos x-nek
racionális törtfüggvénye. Ilyenekkel már foglalkoztunk, azonban most egy új módszert mutatunk: áttérünk a komplex
z
z
változóra a
z = eix
de nícióval. Ekkor
x ∈ [0, 2π]
esetén
befutja az egységkört, tehát áttérhetünk az egységkörön vett intergálásra. A
helyettesítésnél a következ®ket alkalmazzuk:
1 iz dz . Ekkor tehát a reziduum-tételt az
R
cos x =
z 2 +1 2z ,
sin x =
z 2 −1 2iz ,dx
=
függvény egységkörön belül elhelyez-
ked® szingularitásaira kell kiterjeszteni. Pl:
I=
´ 2π 0
1 6+5 cos x dx, elvégezve a
˛ γ ahol
γ
a komplex sík
z = eix
1 1 dz = 2 6 + 5 z 2z+1 iz
|z| = 1
˛ γ
helyettesítést:
−2i , 5z 2 + 12z + 5
egyenlet¶ köríve, pozitív irányítással.
Az integrandus szinguláris helyei a nevez® gyökei:
− 65
√
−
z1 = − 65 +
√
11 5 , z2
=
11 5 .
Mivel
z1 γ -n
belül,
I = 2πi · Res(z1 ). z1 Res(z1 ) =
z2 γ -n
kívül helyezkedik el, így a reziduumtétel szerint:
a nevez®nek egyszeres gyöke, így els®rend¶ pólus, ezért
−2i √ , ezzel pedig 44
I = 2πi ·
−2i √ 44
21
=
2π √ 11
3.2.2.
Improprius integrálok
3.2.2.1. (−∞, ∞) intervallumra vonatkozó integrálok A valós számegyenesen értelmezett
f
függvényt terjesszük ki az
félsíkra regulárisan, majd a valós számegyenes
|z| = R,=z ≥ 0
ki alkalmas módon (pl:
határértékét kiszámítsuk.
Ha
f
=z ≥ 0
fels®
intervallumát egészítsük
félkörívvel) a komplex síkon egy zárt
R→∞
görbévé. Ekkor a feladatunk, hogy
[−R, R]
esetén a félkörre vonatkozó integrál
reguláris a fels® félsíkon, vagy pedig vannak
szinguláris pontjai, de mind a fels® félsíkban, akkor alkalmazhatjuk a reziduumtételt.
Ha
f -nek
a valós számegyenesen vannak szinguláris pontjai, akkor az
el®bbiekben vázolt görbét úgy módosítjuk, hogy a valós tengelyen lév® szinguláris pontokat kikerüljük egy
ε>0
sugarú félkörívvel, majd ezen félkörívekre
ε→0
vett integrálok határértékét számítjuk
•
Tipikus alkalmazása, ha
f (z) =
esetén.
P (z) Q(z) , ahol
Ek-
c z 2+α
kor ugyanis alkalmas
c
(α > 0),
sugarú félkörre vonatkozó integrál abszolút értéke:
c
R2+α Rπ
R
tehát az
→ 0 (R → ∞
konstanssal
f
grP (z) + 2 ≤ grQ(z). viselkedik a ∞-ben, mint
úgy
esetén), vagyis az integrál elt¶nik, így ha a valós
tengelyen nincs szinguláris pont, akkor:
ˆ
∞
−∞
X P (x) dx = 2πi Res Q(x)
k
P (z) , zk . Q(z)
=z>0
Megjegyzés: Ha ráadásul
f (x) =
való osztással megkapjuk a
P (x) Q(x) páros függvény, akkor ebb®l 2-vel
(0, ∞)-re
vonatkozó integrált is.
Ha a valós tengelyen szinguláris pontok is vannak, akkor:
ˆ
ˆ
∞
f (x)dx = 2πi −∞
ahol
γi
jelöli az
Pl:
I=
0
Res(f, ak ) +
X
=ak >0
ε
osztással kapjuk a
´∞
X
sugarú félköríveket.
(0, ∞)-re
3x x4 +13x2 +36 dx esetén mivel
1 2
εi →0
ˆ
∞
−∞
I
páros, ezért:
3x2 dx x4 + 13x2 + 36
22
f (z)dz, γi
Ha f páros, akkor szintén 2-vel
vonatkozó integrált.
2
I=
lim
A komplex síkra való kiterjesztéssel:
f (z) =
3z 2 , (z − 2i)(z + 2i)(z − 3i)(z + 3i)
így a fels® félsíkban két els®rend¶ pólus van:
Res(f, 2i) =
A reziduumokat kiszámolva:
2i, 3i. −6i 10i ,Res(f, 3i)
=
9 10i , így a
reziduum-tétel szerint:
˛
f (z)dz = 2πi
γ
9 −6 + 10i 10i
3π 5
=
Az általános eljárásban ismertetettek szerint tehát:
ˆ
˛
∞
2I = −∞
•
γ
lex függvény reguláris az
=z ≥ 0
fels® félsíkon, véges sok szingularitástól
|z| → ∞ esetén f → 0 egyenletesen, akkor tetsz®leges α > 0ˆ
ra:
f (z)eiαz dz = 0,
lim
R→∞ ahol
3π 10
Jordan-lemma, amely szerint ha az f komp-
Hasonlóan fontos jelent®ség¶ a
eltekintve, és
f (z)dz ⇒ I =
f (x)dx =
γ
a
|z| = R,=z > 0
γ
félkörív.
Ennek alkalmazásával pl. a valószín¶ségszámításban sokszor használt karakterisztikus függvény kiszámítása során fellép®
´∞
−∞
f (x)eiαx dx
alakú
integrálokat is kiszámolhatjuk a fent leírt módon. Továbbá fontos példaként kiszámolunk egy nevezetes integrált:
ˆ
∞
I= 0
sin x dx =? x
Az integrandus páros függvény, így:
1 I= 2
ˆ
∞
−∞
sin x dx x
Tekintsük a következ® komplex függvényt:
f
f (z) =
eiz z
=
cos z+i sin z , ekkor z
valós tengelyre való lesz¶kítésének a képzetes része az integrandus.
nek a valós tengely
z = 0
f-
pontjában els®rend¶ pólusa van, ezért a 0
23
ε
pontot kikerüljük egy origó közep¶, Ehhez csatlakozzon a valós tengely pedig a
|z| = R,=z ≥ 0 f
integrációs út.
sugarú félkörívvel, legyen ez
γ2 .
[−R, −ε] és [ε, R] intervalluma, ezekhez
félkörív, így adódik a
Γ
zárt görbe, ez legyen az
egyetlen szinguláris pontja az origó, amely
Γ-n kívül esik,
így a Cauchy-alaptétel szerint:
ˆ
−ε
−R
eix dx + x
ˆ γ2
eiz dz + z
ˆ
Az egyenlet átrendezése, majd pedig
R
ε
eix dx + x
ˆ γ1
R → ∞, ε → 0
eiz dz = 0. z után adódik, hogy:
ˆ ˆ eiz eiz 1 dz − lim dz . I = = − lim ε→0 γ R→∞ γ 2 z z 1 2 γ1 -re
A Jordan-lemma miatt a
vonatkozó integrál 0-hoz tart
R → ∞
esetén. Az
eiz
függvény Taylor-sorának felhasználásával kapjuk, hogy
eiz Laurent-sora: z
=
1 z
+ g(z) alakú, ahol g
zetében korlátos. Mivel
γ2
γ2
´
γ2
1 z dz
0 körüli
reguláris, ezért az origó környe-
ívhossza 0-hoz tart, ezért
negatív irányítású, így:
f
= −iπ
g
integrálja elt¶nik.
felhasználásával azt kapjuk,
hogy:
I=
1 π =(−(−iπ)) = 2 2
3.2.2.2. (0, ∞)-re vonatkozó integrálok Ha az integrandus nem páros függvény, és mégis a rálni, akkor új módszert kell alkalmaznunk.
grP (z) + 2 ≤ grQ(z).
(0, ∞)-en
Legyen ismét
szeretnénk integ-
f (z) =
P (z) Q(z) , ahol
Ha a függvénynek a pozitív valós féltengelyen és a 0-ban
nincs pólusa, akkor:
ˆ
∞
0 ahol az összegzés a
X P (z) P (x) dx = − Res ln(−z) , Q(x) Q(z)
P (z) z 7→ ln(−z) Q(z)
függvény összes szinguláris pontjára kiter-
jesztend®. Ebben az esetben az integrációs út a alatti
[R, ε]
szakasz, a
|z| = ε
által alkotott zárt görbe.
|z| = R
körív, a valós tengely
körív, és a valós tengely feletti
[ε, R]
szakasz
A fenti képlet a komplex logaritmusfüggvény tulaj-
donságain, és a reziduum-tételen alapul. Pl:
24
ˆ I= 0
∞
1 dx =? x2 + 5x + 4
Az integrandus komplex síkra való kiterjesztésével:
f (z) = ahol
f
z2
1 1 = , + 5z + 4 (z + 1)(z + 4)
a valós tengelyen egybeeseik az adott valós integrandussal.
f -nek
két
els®rend¶ pólusa van: -1,-4, mindkett® a negatív valós féltengelyen, így alkalmazható a fenti formula. Mivel:
Res(ln(−z) · f (z), −1) = 0, Res(ln(−z) · f (z), −4) = − így az integrál értéke:
I = −(− ln34 ) =
ln 4 3
25
ln 4 , 3
4. fejezet
Alkalmazások Az integrálszámításnak akkor érezzük igazán a jelent®ségét, ha a gyakorlatban tudjuk alkalmazni. Ezért mutatjuk be az alábbi módszereket. A fejezet végén pedig a matematika különféle területein fellelhet®, nevezetes integrálokról adunk áttekintést.
4.1.
Terület
Ha egy
[a, b]-n
értelmezett Riemann-integrálható függvény görbéje, az
határpontokhoz tartozó ordinátaszakaszok, továbbá az
x-tengely
a
és
b
által határolt
(el®jeles) területet szeretnénk meghatározni, akkor ez megtehet® egy Riemannintegrálás segítségével, ugyanis:
ˆ
b
T =
f (x)dx. a
El®jeles terület alatt azt értjük, hogy az az
x-tengely
x-tengely
feletti részt pozitív el®jellel,
alatti részt pedig negatív el®jellel vesszük.
Ha a görbe paraméteres alakban adott, vagyis kor a
t1
és
t2
P [x(t2 ), y(t2 )] továbbá az
paraméterértékhez tartozó
x = x(t)
y = y(t),
P (t1 ) = P [x(t1 ), y(t1 )]
pontok által határolt görbeszakasz, az
x-tengely
és
x(t1 )
és
közötti területet az alábbi formula adja meg:
ˆ
t2
T =
·
y(t)x(t)dt, t1
26
és
x(t2 )
ak-
P (t2 ) =
egyenesek,
ahol
·
x(t)
az
x(t)
függvény
t
szerinti deriváltja:
·
x(t) =
dx dt .
Ha szektorterületet szeretnénk meghatározni, és a síkgörbénk polárkoordinátás alakban adott, akkor az alábbi formulát használhatjuk:
1 2
T =
4.2.
ˆ
ϕ2
r2 dϕ ϕ1
Ívhossz
Egy görbe
rekti kálható,
ha ívhossza, vagyis a beírt poligonok hosszaiból álló
halmaz fels® határa véges. Ha egy
y = f (x)
függvény
[a, b]-n a
akkor rekti kálható, és ekkor az ívhossza:
ˆ
dierenciálható, és a deriváltja korlátos,
b
és
abszcisszák által határolt vonaldarab
b
p 1 + (f 0 (x))2 dx.
l= a
Ha a görbe paraméteres egyenletrendszerrel adott, akkor a
t1
és
t2
paramé-
terértékeknek megfelel® pontok közé es® görbedarab ívhossza:
ˆ
t2
l=
q · · (x)2 + (y)2 dt.
t1 Ha a görbe egyenlete polárkoordinátákkal adott, akkor a
(ϕ1 , r1 )
és
(ϕ2 , r2 )
pontok közé es® görbedarab ívhossza:
ˆ
ϕ2
q
l=
·
r2 + (r)2 dϕ.
ϕ1
4.3.
Felszín
Az alábbiakban csak forgástestek felszínével foglalkozunk, ezeket pedig a következ®képpen kaphatjuk meg: egy folytonos, rekti kálható az
x-tengely
körül (vagy pedig egy folytonos, rekti kálható
y -tengely körül) megforgatunk.
y = f (x)
x = g(y)
görbét
görbét az
Az így el®álló forgásfelületnek, azaz a forgástest
palástjának a felszíne meghatározható. Az
y = f (x)
függvény görbéjének az
x-tengely
a, b
kez® forgástest palástjának felszíne (az
ˆ
körüli megforgatásával kelet-
határok között):
b
Fx (a, b) = 2π
y a 27
p 1 + y 02 dx.
Ha pedig a forgástengely az
y = B,
y -tengely,
és a szakasz végpontjai:
y = A
és
akkor a palást felszíne:
ˆ
B
Fy (A, B) = 2π
x
p
1 + x02 dy.
A Itt
x
az
y = f (x)
x = f −1 (y) = g(y),
függvény inverze, azaz
Ha a függvény paraméteres alakban adott, akkor a nek megfelel® pontok által határolt görbe
x-tengely
t1
így és
x0 =
t2
dx dy
paraméterek-
körüli forgatásából adódó
forgástest palástjának felszíne:
ˆ
t2
Fx (t1 , t2 ) = 2π
q ·2 ·2 y(t) x (t) + y (t)dt.
t1
4.4.
Térfogat
Ha egy test nyeként
x-tengelyre
T (x),
mer®leges metszetének területe az
akkor a test
[a, b]-be
x
abszcissza függvé-
es® darabjának térfogata:
ˆ
b
V (a, b) =
T (x)dx. a
Speciálisan: ha a test egy ívének nek az
y = f (x)
görbe
x1
és
x2
abszcisszák által határolt
x-tengely körüli forgatása révén keletkezik, tehát forgástest, akkor a testx-tengelyre
mer®leges síkokkal való metszete minden
kör, így:
ˆ
x-re f (x)
sugarú
x2
f 2 (x)dx.
Vx = π x1 Ha az
y = f (x)
függvény görbéjét az
az így keletkez® forgástest
y1
és
y2
y -tengely
körül forgatjuk meg, akkor
ordinátájú pontok által határolt részének
térfogata:
ˆ
y2
x2 (y)dy,
Vy = π y1 ahol
x = x(y)
az
y = f (x)
Ha a függvény az és
t2
függvény inverze.
x = x(t), y = y(t)
paraméteres alakban adott, akkor a
paraméterértékek által határolt görbeszakasz
x-tengely
keletkez® forgástest térfogata:
ˆ
2π
·
y 2 (t)x(t)dt.
Vx = π 0
28
t1
körüli forgatásával
4.5. Az
Súlypont
y = f (x)
egyenlettel megadható görbe
tárolt ívének súlypontját
S(xs , ys )-sel
a
b
és
abszcisszájú pontok által ha-
jelölve:
´b p ´b p x 1 + y 02 dx y 1 + y 02 dx a xs = ´ b p , ys = ´ab p . 02 dx 02 dx 1 + y 1 + y a a Ha egy sík lemezt határoló vonalak: az
y = f (x)
függvény görbéje, az
abszcisszájú pontokhoz tartozó ordináták, valamint az
S
x-tengely,
a
és
b
akkor a lemez
súlypontjának koordinátái:
´b
xydx
a
xs = ´ b a Ha az
y = f (x)
ydx
, ys =
függvény görbéjét az
1 2
´b a
y 2 dx
a
ydx
´b
x-tengely
.
körül megforgatjuk, akkor
egy olyan forgásfelületet kapunk, amely által határolt forgástest súlypontja a szimmetria miatt az
x-tengelyre
esik, így megfelel® koordináták:
´b
xy 2 dx , ys = 0 xs = ´a b y 2 dx a
4.6.
Nevezetes integrálok
A matematika különböz® területein el®fordulnak olyan nevezetes intergálok, amelyeket elemi függvényekkel nem tudunk kifejezni, ám mégis szükséges a kiszámolásuk. fejthet® egy
f
Ilyenkor, ha az
[a, b]
integrandus egyenletesen konvergens sorba
intervallumban, akkor tagonkénti integrálással az
´x a
f (t)dt
integrálra kaphatunk határozott integráloknak egyenletesen konvergens sorát. Más esetben egyéb módszerrel, vagy esetleg valamilyen numerikus integrálási módszert felhasználva kaphatjuk meg a kívánt eredményt.
•
Integrálszinusz: ˆ Si(x) = 0
x
π sin t dt = − t 2
ˆ
∞
x
sin t x3 (−1)n x2n+1 dt = x− +...+ +... t 3 · 3! (2n + 1)(2n + 1)!
Itt felhasználtuk az el®z® fejezetben bebizonyítottakat, miszerint:
ˆ 0
∞
sin t π dt = . t 2 29
•
Integrálkoszinusz (0 < x < ∞): ˆ
∞
cos t dt = C + ln x − t
Ci(x) = x
= C + ln x − Itt
•
C=−
´∞ 0
ˆ
x
1 − cos t dt t
0
x2 (−1)n x2n + ... + + ... 2 · 2! 2n(2n)!
e−t ln tdt ≈ 0, 577,
ez az ún.
Euler-konstans.
Integrállogaritmus (0 < x < ∞, x 6= 1): ˆ
x
Li(x) = 0
(ln x)2 (ln x)n 1 dt = C + ln |ln x| + ln x + + ... + + ... ln t 2 · 2! n · n!
Megjegyzés: a számelméletben
π(x)-el jelölve a [0, x]-ben található prímek
számát, igazolható, hogy:
|π(x) − Li(x)| = o vagyis
•
Li(x)
igen jól becsüli
,
π(x)-et.
Integrálexponenciális függvény (−∞ < x < ∞, x 6= 0): ˆ
x
Ei(x) = −∞ Megjegyzés:
•
x lnk x
et (x)2 (x)n dt = C + |ln x| + x + + ... + + ... t 2 · 2! n · n!
Ei(ln x) = Li(x)
Gauss-integrál: ˆ
∞
2
e−t dt
I= −∞
2
ˆ
∞
I =
e −∞
−t2
2 ˆ dt =
∞
2
ˆ
∞
e−t dt
−∞
−∞
30
2
ˆ
∞
ˆ
∞
e−u du =
e−(t −∞
−∞
2
+u2 )
dtdu
Polárkoordinátákra áttérve (vagyis a többváltozós helyettesítéses integrálást alkalmazva):
ˆ
∞
ˆ
2π
2
−r 2
re
I = 0
ˆ
h 2 i∞ √ 2 2πre−r dr = −π e−r =π⇒I= π 0
0
0
Megjegyzés:
∞
dϕdr =
Φ(x)-el
jelölve a standard normális eloszlásfüggvényt:
ˆ
1 Φ(x) = √ 2π Mivel
I=
√
π,
ezért
lim Φ(x) = 1,
x→∞
x
t2
e− 2 dt −∞
amib®l valóban következik, hogy
Φ(x)
eloszlásfüggvény.
•
Gamma-integrál (x > 0): ˆ
∞
e−t tx−1 dt
Γ(x) = 0 Igazolható, hogy:
nx n! n→∞ x(x + 1)...(x + n)
Γ(x) = lim
Megjegyzés:
Γ(x)
tulajdonságainak segítségével a
talánosíthatjuk tetsz®leges valós számra: pedig az ún.
Béta-integrálokat ˆ
x! = Γ(x−1).
is kiszámíthatjuk (0
1
xu−1 (1 − x)v−1 dx =
B(u, v) =
faktoriális
0
fogalmát ál-
Ennek segítségével
< x < 1):
Γ(u)Γ(v) Γ(u + v)
A Gamma- és Béta-integrálok fontos szerepet játszanak a valószín¶ségszámításban. A Gamma-eloszlás s¶r¶ségfüggvénye:
fα,λ (x) = Itt
x > 0,
továbbá:
α>0
1 α α−1 −λx λ x e Γ(α)
a rend,
λ>0
A Béta-eloszlás s¶r¶ségfüggvénye (0
fα,β (x) =
a paraméter.
< x < 1, α > 0, β > 0):
1 xα−1 (1 − x)β−1 B(α, β) 31
5. fejezet
Összefoglalás Munkám során számos integrálási módszert bemutattam, ugyanakkor fontosnak tartom megjegyezni, hogy az integrálás tudománya szinte kimeríthetetlen: egyegy adott integrál kiszámolásához sokszor a sablonoktól eltér®, egyedi, ötletes megoldás szükséges. Éppen ezért minden integrált kiszámoló rutin módszer nem létezik, ugyanakkor elég nagy eszköztárunk van bizonyos típusú integrálok meghatározásához.
Ahol pedig semmilyen eljárás nem t¶nik kézenfekv®nek,
abban az esetben numerikus integrálást végezhetünk.
Zárszóul elmondhatjuk
tehát, hogy a megfelel® ismeretek elsajátítása után az integrálás nem is okoz olyan nehézséget, mint ahogy azt eredetileg gondolhattuk volna.
Köszönetnyilvánítás.
Ezúton szeretném megköszönni
Sikolya Eszternek, az
ELTE-TTK Alkalmazott Analízis Tanszék adjunktusának a rendkívül segít®kész és lelkiismeretes támogatását és javaslatait, amelyek nagyban hozzájárultak munkám sikerességéhez.
32
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés
1
2. Integrálási módszerek
2
2.1.
Határozatlan integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2.
Riemann-integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3. Komplex integrálok
20
3.1.
Bevezetés
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.2.
Integrálok kiszámolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4. Alkalmazások
26
4.1.
Terület . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2.
Ívhossz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.3.
Felszín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.4.
Térfogat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.5.
Súlypont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.6.
Nevezetes integrálok
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Összefoglalás
32
33
Irodalomjegyzék [1] Bárczy Barnabás:
Integrálszámítás (Bolyai-sorozat),
M¶szaki Könyvkiadó,
2005 [2] Fekete Zoltán - Zalay Miklós:
Többváltozós függvények analízise (Bolyai-
sorozat), M¶szaki Könyvkiadó, 2006 [3] Hanka László - Zalay Miklós:
Komplex függvénytan (Bolyai-sorozat),
M¶-
szaki Könyvkiadó, 2003 [4] I.N.Bronstejn - K.A.Szemengyajev - D.Musiol - H.Mühlig:
zikönyv, TypoTEX Kiadó, 2002 [5] Laczkovich Miklós - T. Sós Vera:
Matematikai ké-
Analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007
[6] Obádovics J. Gyula - Szarka Zoltán:
Fels®bb matematika, Scolar Kiadó, 1999
34
