INTEGRAL OLEH : WILDAN SUHARTINI (KELAS L)

Tugas Matematika industri 1 TIP-FTP-UB 2012

INTEGRAL OLEH : WILDAN SUHARTINI 125100301111024 (KELAS L)

A. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial). Oleh karena itu integral disebut juga anti diferensial. Ada 2 macam integral, yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu yaitu integral yang nilainya tertentu, sedangkan integral tak tentu, yaitu integral yang nilainya tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya.

1. INTEGRAL TAK TENTU Karena integral merupakan kebalikan (invers) dari turunan, maka untuk menemukan rumus integral kita beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah y ‘ = f ‘ (x) atau y dx

dy , sedangkan notasi integral dari suatu fungsi y = f(x) adalah dx

f ( x) dx yang dibaca “ integral y terhadap x ”.

Turunan suatu fungsi konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan, biasanya diwakili oleh notasi c.

1

Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L) Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.


ax n adalah

Rumus umum integral dari y

axn dx

a n 1

xn 1 c

untuk n

a n 1

xn

1

c atau ditulis :

1

Contoh : F (x)

anti derivativ dari

(x)

G (x) F (x) = 4 x3 + x2 + 7

F’ (x) = 12 x2 + 2 x = (x)

G (x) = 4 x3 + x2

G’ (x) = 12 x2 + 2 x = (x

9

Fungsi 4 x3 + x2 + c adalah anti derivatif dari

atau

12 x2 + 2x dx = 4x3 + x2 + c Disebut integral tak tentu karena adanya konstanta c Rumus – rumus integral tak tentu:  Rumus integral tak tentu dari fungsi Al jabar 1.

dx = x + c

2.

k dx = k d x = k x + c,

3.

(u + v) dx = u dx + v dx,

4.

u dx =

u dx,

k = konstanta u dan v fungsi dari x

= konstanta, u fungsi dari x

5.

xn 1 x dx = + c, n 1

n

1

6.

un 1 u du = + c, n 1

n

1,

2

n

n

u fungsi dari x



7.

du = u

8.

au a du = + c, ln a

9.

eu du = eu + c

ln u + c

u

a > 0, a

1

 Rumus Integral tak tentu fungsi Trigonometri: 10. sin u du =

cos u + c

11. cos u du = sin u + c 12. tg u du = ln sec u + c 13. ctg u du = ln sin u + c 14. sec u du = ln sec u + tg u + c 15. cosec u du = ln cosec u

ctg u + c

16. sec2 u du = tg u + c 17. cosec2 u du = ctg u + c 18. sec u . tg u du = sec u + c 19. cosec u . ctg u du = cosec u + c

20.

21.

22.

3

du u = arc sin +c a 2 2 a u

1 u arc tg + c a u2 a

du a2

=

du 1 u = arc sec + c a u u2 a2 a Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L) Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.


23.

24.

25.

1 u ln a 2 2a u

a a

+c

1 u ln u 2 2a u

a a

+c

du u2

=

du a2

=

du u2

a2

= ln u +

26.

du u2 a2

27.

a2

u2

28.

u2

29.

u2

Catatan :

u2

a2

+c

u2

a2

du =

1 2 u a 2

u2

+

1 2 u a arc sin + c 2 a

a2

du =

1 2 u u 2

a2

+

1 2 a 2

a2

du =

1 2 u u 2

a2

= ln u

+c

ln u +

1 2 a ln 2

u+

u2 u2

a2 a2

+c

+c

Dalam menyelesaikan soal integral diusahakan merubahnya menjadi salah satu

bentuk rumus di atas. Metoda ini disebut metoda substitusi Contoh soal

1.

1 3 1 x dx = 2 2

2.

2 x5

3.

1 2

.

dx = 2x-5 dx = -

1 2

x-4 + c = -

(2 + x) = 2

4

x3 dx =

1 4 1 x + c = x4 + c 4 8 1 2x 4

+c

x . dx

x + x x . dx Wildan suhartini 125100301111024 (kelas L) Dosen Pengampu : Nimas Mayang Sabrina S., STP,MP,MSc.


= 2x1/2 + x3/2. dx

2 3 2

=

=

4

=

4

4.

x3/2 +

3

.

3

.x

1 5 2

x3 +

2 5

x+

2 5

x5/2 + c

x5 + c

x2

1 x 2 dx

2x

x+c

metoda substitusi

Misalnya u = 1 + x2 du = 2x dx

I

= 2x

u

du 2x

=

u du

=

1 3/2 u +c 3 2

=

2 (1 + x2)3/2 + c 3

=

2 3

(1 x 2 ) 3 + c

2. INTEGRAL TENTU Definisi :

Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan pada b n f ( xi ) xi ada, selanjutnya f ( x)dx disebut Integral Tentu [a,b] jika lim P 0i 1 a (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan

5



b

n

f ( x)dx = lim P

a

0i 1

f ( xi ) xi .

b

f ( x)dx menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x a b

f ( x)dx bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang

dalam selang [a,b], jika

a berada dibawah sumbu x. Definisi :

a

f ( x)dx

=0

a b

a

f ( x)dx

f ( x)dx ,

= -

a

a>b

b

Teorema Dasar Kalkulus Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut : Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka

b

f ( x)dx = F(b) – F(a) a

6



b Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = [ F ( x)]a Contoh : 1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r b br 1 ar 1 r

x dx

r 1

a

-1, maka

r 1

Jawab :

xr 1 suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut TDK, r 1

Karena F(x) =

b

r

x dx

br 1 r 1

F (b) F (a)

a

ar 1 r 1

Integral tentu sebagai operator linear Misal f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka kf dan f + g terintegralkan, dengan

b

b

kf ( x)dx

1.

a

f ( x)dx

k

a b

b 2.

[ f ( x) g (x)]dx a

b

f ( x)dx + g ( x)dx

=

a

a

Contoh :

2 Hitung

(4 x 6 x 2 )dx

1 Jawab :

x2 (4 x 6 x )dx 4 xdx 6 x dx = 4 2 1 1 1

2

7

2

2

2

2

2

1

x3 6 3

2 1



4 2

= 4

1 2

6

8 1 = 3 3

12

Sifat-Sifat Integral Tentu 1. Sifat Penambahan Selang Teorema : Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka

c

b

f ( x)dx = a

c

f ( x)dx + a

f ( x)dx bagaimanapun urutan a, b dan c. b

Contoh :

2 1.

1

x 2 dx

0 2

0 1

0

0

x 2 dx

3.

2

x 2 dx x 2 dx

2

x 2 dx

1 2

2.

x 2 dx

0

3

x 2 dx

0

2

x 2 dx

3

x 2 dx

1

2. Sifat Simetri Teorema :

a Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka

a

f ( x)dx = 2 a

f ( x)dx dan 0

a

f ( x)dx = 0.

Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka

a Contoh :

cos

1.

5 2.

8

x x dx 2 cos dx 4 4 0

x5

2 5x

8 cos 0

x 1 . dx 4 2 4 4

dx = 0 4



TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka

f(g(x))g’(x) dx =

f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c

Contoh : Hitunglah

sin x dx . x

Jawab : Misalkan u =

x = x1/2 sehingga du =

1 1/ 2 x dx maka 2

1 sin x dx = 2 sin x x 1 / 2 dx = 2 sin udu = 2cosu + c = 2cos x + c 2 x b. Subtitusi Dalam Integral Tentu. Teorema : Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka g (b ) b

f ( g ( x)) g ' ( x)dx a

f (u )du g (a)

Contoh :

1 Hitung

2 0 (x

x 1

dx

2 x 6)

Jawab : Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi

9



1

x 1

0 (x

2

dx =

2 x 6)

1 9 du = 26 u

1 ln u 96 2

1 1 2( x 1) dx 2 0 ( x 2 2 x 6) 1 1 3 (ln 9 ln 6) = ln 2 2 2

2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri sin n x dx,

a.

cos n x dx

Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut sin 2 x =

1 cos 2 x 1 cos 2 x , cos 2 x = 2 2

Contoh :

cos x dx =

=

1 4

cos 2x (2) dx +

=

1 3 1 x + sin 2x + sin 4x + c 4 32 8

1.

b.

2

1 cos 2 x 2

4

dx +

1 4

dx = 1 8

1 4

(1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx

(1 + cos 4x) dx

sin m x cos n x dx Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka

keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut. Contoh : Tentukan : 1. 10

sin 3 x cos –4 x dx

2. sin 2 x cos 4 x dx



c.

tg n x dx,

cotg n x dx.

Keluarkan faktor tg 2 x = sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x = cosec 2 x – 1 dalam kasus cotg. Contoh : cotg 4 x dx = x dx = -

d.

cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx =

cotg 2 x d(cotg x) -

tg m x sec n x dx,

cotg 2 x cosec 2 x dx –

cotg 2

1 3

(cosec 2 x – 1) dx = - cotg 3x + cotg x + x + c

cotg m x cosec n x dx

Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau cosec 2 x. Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x. Contoh : Tentukan : 1. e.

sin mx cos nx dx,

tg –3/2 x sec 4 x dx sin mx sin nx dx,

2.

tg 3 x sec –1/2 x dx cos mx cos nx dx.

Gunakan kesamaan : sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x] sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x] cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x] Contoh : sin 2x cos 3x dx = 1/2 = 1/10

sin 5x d(5x) – ½

sin 5x + sin (-x) dx sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.

3. Pengintegralan Parsial

Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.

11



udv

uv

vdu

Contoh : 1.

xe x dx

Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex

xe x dx =

xe x

e x dx = xex –ex + c

4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan). a. Fungsi Integran yang memuat bentuk n ax

b

Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u = n ax

x3 x 4dx

Contoh : Hitung

x3 x 4dx maka u 3 = x – 4 dan 3 u 2 du = dx

Jawab : Misalkan u = Shg

b

x3 x 4dx = (u 3

4)u.3u 2 du

b. Integran yang memuat bentuk

a2

3 3 ( x 4) 7 7

x2 , a2

4

( x 4) 3

x2 , x2

c

a2

Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t. Contoh :

4 x2

1. Tentukan

x

2

dx

Jawab : Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan

4 x2 x2

dx =

2 cos t 4 sin 2 t =

12

(2 cos t )dt

4 x2 x

4 x 2 = 2 cos t , shg

ctg 2 tdt = - ctg t – t + c

x sin 1 2

c



5. Integral Fungsi Rasional Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :

P( x) , P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0 Q( x)

F ( x)

Fungsi Rasional dibedakan atas : a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut. b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut. Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut. Permasalahan

mengintegralkan

fungsi

rasional

terletak

pada

bagaimana

mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana Contoh :

5x 1

2

3

x2 1

x 1

x 1

a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda Contoh :

5x 3

Tentukan

x

3

2x

2

dx 3x

Jawab :

5x 3 x3

2x 2

3x

5x 3 x( x 1)( x 3)

A x

B

C

x 1

x 3

maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1) dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : A = -1 , B =

1 , dan C = 3 sehingga 2 2

13



5x 3 x

3

2x

2

1

3

dx x

2 dx x 1

2 dx x 3

= - ln x

1 ln x 1 2

3 ln x 3 2

dx = 3x

c

b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang Contoh : Tentukan

x ( x 3) 2

dx

Jawab :

x

A

B

( x 3) 2

x 3

( x 3) 2

maka x = A(x-3) + B

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga

x ( x 3) 2

dx

1

3

dx

x 3

( x 3) 2

Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor (ax

dx

ln x 3

3 x 3

c

b) k dalam penyebut, maka ada

sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :

A1 ax b

A2 (ax b) 2

...

Ak (ax b) k

c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda Contoh : 6 x 2 3x 1 Tentukan dx 2

(4 x 1)( x

Jawab : 2

6x

3x 1

(4 x 1)( x 2 1)

1)

A 4x 1

Bx C x2 1

Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya.

14



PENGGUNAAN INTEGRAL 1. DAERAH ANTARA BEBERAPA KURVA Daerah antara dua kurva yaitu daerah yang dibatasi oleh dua kurva tersebut dengan selang batas tertentu. Selang batas tersebut bisa batas yang ditentukan atau titik potong kedua kurva tersebut.

x2 !

Contoh 1 : Lukislah daerah antara garis y = x dan kurva y Y y = x2

Penyelesaian :

y=x

1

X 1

2. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT Luas daerah antara kurva y = f(x) dengan sumbu koordinat X pada selang a

x

b

dimana b

daerahnya ada di atas atau di bawah sumbu X adalah : L

f ( x) dx a

15



Begitupun untuk daerah dengan batas sumbu koordinat Y, yaitu : b

L

f ( y ) dy a

Contoh 1 : Tentukan luas daerah antara kurva y = x 3 , sumbu X , x = -1 dan x = 1 !

Penyelesaian :

Y

-1

0

1 3

L

0

3

x dx 1

x dx 0

1 4 x 4

1

0

1

1 4 x 4

X

1

(0 0

1 1 ) ( 0) 4 4

1 satuan 2

luas. 3. LUAS ANTARA DUA KURVA Untuk menentukan luas daerah antara dua kurva, kita berdasarkan luas antara kurva dan sumbu koordinat. Perhatikan gambar di bawah ini :

Y

y = f(x) y = g(X)

0

a

b

X

Luas daerah yang diarsir adalah :

16



b

L

b

f ( x) dx a

b

g ( x) dx

( f ( x) g ( x)) dx

a

a

b

Jadi : L

f ( x) g ( x) a

x2

Contoh 1: Tentukan luas daerah antara kurva y

3x dan y = 2x + 2 !

Penyelesaian : Titik potong kedua kurva yaitu : x2

3x

2x

2

x

2 ( x 1)

-2

0

x

2 atau x

1 0

1

X

1

(2 x 2) ( x 2

L

1

(2 x x 2 ) dx

3x) dx

2

2

4

1 satuan luas. 2

4. VOLUME BENDA PUTAR 4.1 Volume benda putar antara kurva dan sumbu koordinat Y y =f(x) a 0

17

b x



Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x = b dan sumbu X b

y 2 dx

yang diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu X adalah : V a

Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 dan dibatasi oleh y = a, y = b, sumbu Y dan kurva itu sendiri maka volumenya : b

V

x 2 dy

a

Contoh 1 : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 , sumbu X dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh

360 !

Jawab

:

Y

0 2

V

0

x

2 2

2

dx

4 0

X 4

x dx

1 5 x 5

2

0

32 0 5

32 5

satuan volume.

4.2 Volume benda putar antara dua kurva

y

y = f(x) y = g(x)

0

a

b

X

Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 yang dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x), x = a dan x = b adalah : 18



b

V

a

( y1

2

2

y2 ) dx

dimana y1

f ( x), y2

g ( x) dan y1

y2

Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y. Contoh : Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y

x 2 dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 !

Jawab : V

2 0

2

(2 x)

2

2 2

( x ) dx

4x 0

2

4

x dx

4 3 x 3

1 5 x 5

2

0

64 15

REFERENSI: Johan, Warsoma & Wono Setya Budi. 2008. Diktat Kalkulus 1 FMIPA ITB. Bandung: Depertemen Metematika FMIPA ITB. Permana, Arif. 2012. Kalkulus: Integral dan fungsi integral. Yogyakarta. UGM press Wahyudi, Purwanto. 2011. Kalkulus 1 Dan Rumus-Rumus Integral. Malang. FMIPA matematika UB.

19


INTEGRAL OLEH : WILDAN SUHARTINI (KELAS L)

Recommend Documents