Inhoud Analyse. Tussen haakjes staan de namen van de programma's, in de groep GRANALY

Inhoud Analyse Tussen haakjes staan de namen van de programma's, in de groep GRANALY. 1

2

3

4 5

6 7

8

9

Calculus........................................................................................................................................................................1 - De afgeleide is de helling (NEWTON) ................................................................................................................1 - Grondtal e en de natuurlijke logaritme (GRONDTAL ) ......................................................................................3 - De raaklijn in een punt op de grafiek (RKLNINP)..............................................................................................4 Optimaliseren ..............................................................................................................................................................5 - De raaklijn vanuit een punt buiten de grafiek (RKLNUITQ ) .........................................................................5 - De afstand van een punt tot een grafiek (AFSTPUFU ) .....................................................................................5 - De maximale kijkhoek (KIJKHOEK ) ..................................................................................................................6 Vergelijkingen.............................................................................................................................................................6 - De reeks van MacLaurin.........................................................................................................................................7 - De mooiste formule..................................................................................................................................................7 - Complexe getallen....................................................................................................................................................8 - Stelsels vergelijkingen (VGL2ONB , NVGLNONB ) ..............................................................................................9 Nanowiskunde (ZOOMIN00 , ZOOMIN01 , ZOOMIN03 ) .....................................................................................11 - Ontwerp zelf een rekenmachine met vier decimalen .......................................................................................12 Sommeren en Integreren..........................................................................................................................................14 - De harmonische reeks............................................................................................................................................15 - Gamma, de constante van Euler (GAMMA) .......................................................................................................17 Productrijen................................................................................................................................................................18 - Het product van Wallis (WALLIS) ....................................................................................................................20 Recursieve rijen (RECURLIN , RECURLOG , RECPROOF ) ...................................................................................22 2 - Kwadratische recursie x®x +p (CHAOS) ......................................................................................................23 - Multivergentie.........................................................................................................................................................26 - Logistische recursie x®ax(1-x) (BIFURC) .....................................................................................................28 - Grenzen aan de groei .............................................................................................................................................29 - Oorsprong van leven..............................................................................................................................................30 - Onverwachte golfverschijnselen (RELOGOLF ) ...............................................................................................31 Functies van twee variabelen (XYKROMME) .....................................................................................................33 - Differentiaalvergelijkingen (DIFEULER ) ........................................................................................................34 - Het snijpunt van twee XY krommen (UNIVERXY ) ........................................................................................35 Welke functie past bij de meetpunten? ................................................................................................................38 - De methode der kleinste kwadraten (RGREXTRA) ........................................................................................38

Antwoorden..............................................................................................................................................................................42

ANALYSE

We betreden hier het terrein van de analyse (calculus, zeggen de Amerikanen), in de tweede helft van de zeventiende eeuw door Newton en Leibniz ontwikkeld. Onomstreden is dit het belangrijkste onderwerp van de wiskunde. Jonge lezers geloven mij natuurlijk niet, daarom moet het met nadruk gezegd worden: de invloed ervan op wetenschap en techniek is immens geweest. Veel groter nog dan die van de informatietechnologie. Uit het voorwoord van het prachtige boek Calculus van Swokowski (1998, uitgeverij PWS) komt, vrij vertaald, de volgende tekst. Calculus is een van de schitterendste creaties van de menselijke geest. Het combineert analytische en meetkundige ideeën tot een machtig stuk gereedschap bij de oplossing van problemen. Hoewel calculus oorspronkelijk opgezet werd voor de aanpak van natuurkundige problemen (t.a.v. snelheid en versnelling) heeft het zijn nut ook op veel andere terreinen bewezen. Moderne toepassingen van het differentiëren zijn tot stand gekomen bij onderzoek naar bevolkingsgroei, naar de snelheid van chemische reacties, naar wisselstromen, naar het gedrag van atomen, naar de groei van tumoren, naar economische verschijnselen zoals beurskoersen en winstvoorspellingen, naar de verspreiding van epidemieën, naar CO2 uitstoot en naar trillingen van mechanische een elektrische systemen. We kunnen de afgeleide ook gebruiken bij het oplossen van optimaliseringsproblemen zoals het berekenen van de goedkoopste rechthoekige doos met een gegeven volume, de maximale afstand die een raket bereikt, de gunstigste stromen van verkeersfiles, het minimale aantal boorgaten in een olieveld, het construeren van raaklijnen in een tekenprogramma. Een ander fundamenteel concept van de calculus -de integraalrekening- ontstond uit het onderzoek naar oppervlakten en inhouden van gekromde figuren. Daarvan zijn toepassingen bij het onderzoek naar de ligging van een zwaartepunt, naar de benodigde brandstof voor ruimtereizen, naar de bloedstroom door (slag)aders, naar de hoeveelheid kleurstof in fysiologische experimenten, …

1

De afgeleide is de helling

De hoofdstelling van de differentiaalrekening is eigenlijk geen stelling, maar een definitie die in principe aangeeft hoe je de mate van verandering (de helling, steilheid) van een functie f kunt benaderen door

Df , waarin de Griekse hoofdletter D gebruikt wordt om "de toename van" aan te Dx 2

geven. Willen we de helling weten in het punt (1,1) van de parabool y = x dan benaderen we die door x een klein beetje te veranderen (Dx = 0,001 bijvoorbeeld) en de daaruit voortvloeiende verandering 1,0012 - 12 dy Dy . De hellingfunctie kan op de TI83 benaderd en = lim 0,001 dx Dx ® 0 Dx getekend worden door (Y1(X+.001)-Y1)/.001 op te slaan in Y2 en GRAPH te doen of met nDeriv(Y1,X,X).

(Dy) in y te berekenen via

2

De theorie vindt als volgt de hellingfunctie (afgeleide functie) van y = x : ( x + Dx) 2 - x 2 x 2 + 2 xDx + (Dx) 2 - x 2 = lim = lim (2 x + Dx) = 2 x Dx Dx Dx ® 0 Dx ® 0 Dx ® 0 lim

Hieronder de illustratie. De dikke grafiek Y3 zie je mooi over de dunne (Y2=2X) heen lopen.

ANALYSE

-1-

Bij wijze van inleiding volgt nu de iteratieve methode die Newton gebruikte om het nulpunt van een functie te benaderen. Het nulpunt is de oplossing van de vergelijking f (x) = 0; je kunt ook zeggen dat het gaat om het snijpunt van de grafiek van f (x) met de x-as. Wil je bijvoorbeeld Ö7 berekenen, dan 2 pas je zijn methode toe op het (rechter) nulpunt van de functie f (x) = x - 7. We hebben hier Dx = 0.001 genomen. Zet de functie in Y1 en draai het programmaatje NEWTON af. ClrHome Disp "ZET VOORAF DE" Disp "FUNCTIE IN Y1..." Pause :ClrHome Disp "SCHAT OPLOSSING:" Input "X0=? ",X "nDeriv(Y1,X,X)"üY2 Lbl 0 X-Y1/Y2üX Disp X Pause Goto 0

Kijk naar de figuur. De kromme lijn stelt de grafiek voor van een (in Y1 opgeslagen) functie. X0 is het nulpunt, het snijpunt met de X-as, daar gaat het om. Begin met een eerste (desnoods grove) schatting X1 van het nulpunt. Teken de raaklijn in het punt P van de grafiek (de x-coördinaat van P is X1), die snijdt de X-as in X2. In het algemeen zal X2 een betere benadering zijn van X0 dan X1. De verhouding

Y1 , de helling van de raaklijn, is ongeveer X1- X 2

Y 1( X 1 + 0.001) - Y 1( X 1) [ of nDeriv(Y1,X,X)] die in Y2 gezet wordt. 0.001 Y1 = Y 2 waaruit de tweede schatting voor het nulpunt berekend kan Dit leidt tot de betrekking: X1- X 2 Y1 worden via Y 2( X 1 - X 2) = Y 1 dus X 2 = X 1 Y2

En nu komt de geniale inval. Beschouw de tweede schatting X2 als een nieuwe, betere schatting en herhaal de hele procedure. Zo'n proces, dat iteratie heet, is heel goed door de computer uit te voeren. Het hele proces tussen Lbl 0 en Goto 0 beslaat eigenlijk slechts één instructie die herhaald wordt. De benadering van Ö7 laat zien hoe snel deze iteraties tot een goed resultaat leiden. De derde benadering is al in acht decimalen nauwkeurig! Vooraf werd X2-7 in Y1 gezet. Het volgende voorbeeld bereidt voor op het belangrijke grondtal e. x

In welke mate verandert f (x) = 2 op de plek x = 0? Verander de x een heel klein beetje, van x = 0 naar bijvoorbeeld x = 0,001; die toename wordt aangegeven met Dx of ook wel met h. Dus hier h = 0,001. Het gevolg van die kleine verandering in x is dat de y (de functiewaarde) 0 ook een beetje verandert, namelijk van f (0) naar f (0,001) dus van 2 =1 0,001

naar 2

» 1,000693; de helling ter plaatse

Dy Dx

is dus ongeveer

0,00069/0,001 = 0,693. Wat netter opgeschreven: f ¢(0) = lim h®0

ANALYSE

-2-

f ( h ) - f ( 0) 2h - 1 = lim » 0,693 h h®0 h

De veranderingssnelheid (helling, steilheid) van een functie f (x) is weer te geven als: Df df d = = dx f ( x) dx D x ® 0 Dx

f ¢( x) = lim

Een bijzonder grondtal OPGAVEN 1.

Benader op deze manier de helling op de plek x = 0 van de functie x g(x)= 3 .

2.

Bekijk de grafieken van 2 en 3 en hun afgeleiden:

x

x

a) Stel het venster in zoals hiernaast. Zet de functie in Y1 en de afgeleide functie in Y2. Teken beide grafieken, de afgeleide iets dikker (beweeg de cursor links van het gelijkteken en druk ENTER). b) Verander het grondtal in een 3 en teken de twee grafieken nogmaals. c) Verander 3^X in 2.7^X en kijk opnieuw.

Conclusie: "ergens" tussen de 2 en de 3 (iets dichter bij de 3) ligt een grondtal g zodanig, dat de grafiek van de afgeleide functie samenvalt met die van de functie zelf. g (x) = g ' (x)?

Voor welk grondtal geldt:

Het programmaatje GRONDTAL is ontworpen om snel een beter inzicht te krijgen in dat bijzondere x grondtal. Daarbij proberen we de afgeleide van g op de plek x = 0 zo dicht mogelijk bij 1 te krijgen. Zodra de helling 1 wordt overschreden, schakelt het programma over naar de volgende decimaal. ClrHome 2üG:.1üE Lbl 0 G+EüG nDeriv(G^X,X,0,ûú5)üD If D<1 Then Disp G Goto 0 End Disp "STOP" G-EüG :.1EüE Pause :Disp G Goto 0 x

Conclusie: De functie 2,718281828 heeft zichzelf als afgeleide functie! Het bijzondere grondtal 2,718281828… heeft een aparte naam gekregen: e. Dus: x

f (x) = e heeft f '(x) = e Hieruit volgt: e » (1 + h)

x

1/h

eh - 1 h = 1 volgt e » 1 + h voor h » 0. h®0 h

en uit lim

of netter: lim (1 + h) h®0

1

h

= e. Overgang op het (grote) getal n met n = 1 h

geeft: lim (1 + 1 n ) n = e n®¥

ANALYSE

-3-

Op de GR bijvoorbeeld: 1.0000001^10000000 = 2.2718281693 De herhaling van de cijfers 1828 berust op toeval; het getal e is geen repeterende breuk, maar een nietrationaal, reëel getal. Waarmee de waarde en het bestaan van e hopelijk voldoende is toegelicht.

De natuurlijke logaritme x

De machtsuitdrukking y = e heeft een inverse, namelijk de natuurlijke logaritme. y Verwissel x en y [ x = e ] en pas hierop de definitie van logaritme toe: y = ln x. De afgeleide van x

y=e :

dx dy = e y . De breuk omkerend en gebruikmakend = e x levert (na verwisseling van x en y) dy dx

van e y = x komt hier tenslotte

dy 1 1 = = , waarmee de afgeleide functie van de functie y = ln x dx e y x

gevonden is! OPGAVE 3.

Zet ln(X) in Y1. Controleer nu of de grafieken van Y 2=fnDeriv(Y1,X,X) en Y 3=1/X inderdaad samenvallen.

Raaklijn Op de grafiek van Y1 = f (x) ligt het punt P(p,q). De raaklijn in dat punt volgt uit de regel, dat de afgeleide op die plek tevens de helling is. De vergelijking van de raaklijn is dus y = a x + b met a = f ¢( p ) =

y-q x- p

waaruit volgt: y = f ¢( p) × ( x - p) + q Zet vooraf de functie in Y1 en stel het venster in. In het voorbeeld is daarvoor de functie f ( x) = x - 1 genomen; de vergelijking van de raaklijn in het punt (5,2) is: y = 14 x + 34

RKLNINP "nDeriv(Y1,X,X)"üY‚ Disp "XCOORD RAAKPUNT:" Prompt X XüP:Y1(P)üQ Y‚(P)üM "M(X-P)+Q"üYƒ ""üY‚ DispGraph Text(57,90,"E") Pt-On(P,Q,2) Pause Q-MPüB round(B,4)üB round(M,4)üA ClrHome Disp "Y=AX+B:" Output(3,1,"A=") Output(3,3,A) Output(4,1,"B=") Output(4,3,B)

ANALYSE

-4-

2

Optimaliseren

Raaklijn vanuit een punt Q buiten de grafiek gelegen. Dit probleem vergt enig nadenken. Aan te bevelen is een oplossingsmethode,waarbij de helling van de lijnenwaaier door Q geoptimaliseerd wordt. Laat punt P(X,Y1) de kromme doorlopen en bepaal het maximum of minimum van de helling van lijn QP. Je zoekt naar een maximum, als de lijn QP in de buurt van het raakpunt boven de grafiek ligt (uiteraard op het raakpunt na). En als de raaklijn onder de grafiek ligt, moet er naar de minimale helling gezocht worden. Op de TI-83 zijn onder MATH beschikbaar de functies fMin( en fMax(. Het programma heet RKLNUITQ. We gaan er vanuit dat vooraf het functievoorschrift in Y1 is ingevoerd en een geschikt venster is ingesteld. Tussen de X-waarden L (van links) en R (van rechts) wordt de maximale (of minimale) helling gezocht. De belangrijkste regels uit het programma zijn dan ook: "(Y1-B)/(X-A)"üY‚ en fMin(Y‚,X,L,R)üP.

Wie niet houdt van de wat grove afrondingen op 3 decimalen, moet round(A,3) veranderen in round(A,6) of het afronden zelfs helemaal schrappen. De klant is koning.

OPGAVE 4.

2

Teken de grafiek van Y1=X(6-X ) voor -5£X£5 en -12£Y £12 a) bepaal de vergelijking van de raaklijn vanuit Q(4,-8) aan de grafiek b) bepaal vergelijkingen van de raaklijnen vanuit Q(4,10) aan de grafiek

De afstand van een punt tot een kromme Gegeven is een punt P (P,Q) en de grafiek van een in Y1 staande functie. We willen de kortste afstand weten van P tot de grafiek. De lengte van het loodlijntje dus. Het antwoord op deze vraag is te vinden door minimaliseren van die afstand. Het programma heeft de naam AFSTPUFU. Disp "INVOER P(P,Q):" Prompt P,Q "(Y1-Q)Ü+(X-P)Ü"üY‚ fMin(Y‚,X,Xmin,Xmax)üA Y1(A)üB:ð(Y‚(A))üC Output(7,1,"AFST=" Output(7,6,C)

ANALYSE

"AFSTAND MINIMALISEREN"

-5-

De maximale kijkhoek Punt P(x,0) met x>0 beweegt over de x-as. Op de y-as liggen de vaste punten A(0,a ) en B(0,b). Hoe berekenen we de maximale hoek APB, de hoek waaronder P het lijnstuk AB "ziet"? Ook dit is een voorbeeld van optimaliseren. De kunst is, om Ð APB in x uit te drukken en daarna de afgeleide ervan gelijk te stellen aan 0. Dat is lastige, maar niet onuitvoerbare algebra. De kijkhoek is namelijk het verschil van twee hoeken: Ð APB = Ð OPB - Ð OPA met tan ÐOPB = arctan

a b en tan ÐOPA = dus Ð APB is een functie van x: x x

b a - arctan x x

OPGAVE 5.

Een uitdaging. Neem a=4 en b=9 en bepaal via differentiëren de x-waarde waarvoor deze hoek maximaal is. Je moet bekend zijn met de afgeleide van arctan x en de kettingregel.

Dat is mooi, maar als volgt kan het ook. Er moet natuurlijk wel een passend verhaaltje bij, over een billboard en optimale leesbaarheid van de reclametekst daarop. KIJKHOEK Input "OA?",A Input "OB?",B "tanñ(B/X)-tanñ(A/X)"üY1 fMax(Y1,X,1,2.5B)üP

3

Vergelijkingen

In den beginne zijn er de (gehele) getallen. Dan komen de (kans)berekeningen met getallen. Als je getalverzamelingen bewerkt, krijg je te maken met functies en als je veranderingen in die functies bestudeert, betreed je het terrein van de analyse. De betrekkingen tussen die functies kunnen weergegeven worden als vergelijkingen. Een vergelijking is een open bewering met een variabele (de "onbekende", in het volgende meestal x genoemd) en een gelijkteken. Het oplossen van die vergelijking is het zoeken naar de waarde(n) van x die er een juiste bewering van maken. Een vergelijking is dus eigenlijk niets anders dan de vraag: "voor welke waarde(n) van x geldt … ?". Op de plaats van de stippeltjes staat de vergelijking.

ANALYSE

-6-

De programma's die vergelijkingen voor je oplossen zijn typische black box programma's, automaten waar je een vergelijking in stopt, soms ook nog een eerste schatting van het antwoord, waarna de oplossingen er automatisch uitrollen. Dat soort programma's komt hier nauwelijks aan de orde. Het is thans moeilijk voor te stellen, dat de hedendaagse algebra van betrekkelijk recente datum is. Newton en Kepler (rond 1700) hebben hun fundamentele wetten over kracht en versnelling (de hemelmechanica dus) geformuleerd en bewezen op een meetkundige wijze, gebruikmakend van strenge redeneringen en erg veel woorden. Functies, formules en vergelijkingen werden pas geïntroduceerd door Euler, halverwege de achttiende eeuw. Van hem stamt de -door wiskundigen uitgeroepen tot mooiste- formule, Miss Mathematica dus:

e

ip

+1 = 0

die de vijf belangrijkste mathematische constanten in één betrekking verenigt. Met 0, 1, e en p zijn we nu wel bekend, het imaginaire getal i = Ö-1 stippen we straks eventjes aan. Scholieren die zich zwetend door algebra leerstof heen zwoegen moeten zich troosten met de gedachte dat het grootste deel van wetenschap en techniek onbereikbaar en onbegrijpelijk zou zijn zonder algebra (en analyse). En leraren moeten zich inspannen om dat laatste duidelijk en hapklaar te maken. We gaan dus een paar bladzijden op een zijspoor om de mooiste formule van de wiskunde toe te lichten.

De reeks van MacLaurin MacLaurin (en Taylor) hebben aangetoond dat een functie f (x) in het algemeen (onder bepaalde voorwaarden dus) als een oneindig voortlopende machtreeks geschreven kan worden: 2 3 4 f (x) = a0 + a 1 ×x + a2 ×x + a3 ×x + a 4 ×x + ... Voor x=0 geldt dan: f (0) = a 0 En voor de afgeleide functies geldt: 2 3 4 f ' (x) = a 1 + 2a 2x + 3a3 x + 4a 4x + 5a 5x + ... met f '(0) = a 1 =1!×a 1 2

3

f ''(x) = 2a2 + 2×3×a 3 x + 3×4×a 4 x + 4×5×a 5 x + ... met f ''(0) = 2a 2 =2!×a 2 dus a2 = f '''(x) = 3!×a3 + 4!×a 4 ×x + ... met f '''(0) = 3!×a3 dus a3 =

f ¢¢¢(0) 3!

zodat, tenslotte, voor de functie f (x) geldt: f ' ( 0) f ' ' ( 0) 2 f ' ' ' ( 0 ) 3 x+ x + x + .... 1! 2! 3!

f ( x ) = f ( 0) +

(reeks van MacLaurin)

Het mooiste voorbeeld hiervan is de reeksontwikkeling x van e in de buurt van x=0: 1

0

0

e = e + 1.e + 1+1+

1 2

ANALYSE

+

1 6

1 2

+

0

e + 1 24

1 6

0

e +

1 24

0

e ... =

...

-7-

f ¢¢(0) 2!

Je krijgt ook fraaie ontwikkelingen bij de sinus en de cosinus van x in de buurt van x = 0, omdat sin 0 = 0 en cos 0 = 1: 2 3 sinx = sin0 + 1×cos0×x - 1 2 sin0×x - 1 6 cos0×x + ... 3

5

= x - 1 6 x + 1120 x ... hetgeen prachtig geïllustreerd wordt in het plaatje hiernaast. Met elke toegevoegde term gaat de grafiek steeds meer lijken op de sinusgrafiek. Wat de MacLaurin reeks oplevert voor de cosinus kun je hiernaast zien.

Complexe getallen Ooit ontdekte men dat je "gewoon", dat wil zeggen met behoud van de algebraïsche regels, kunt rekenen met negatieve getallen, met breuken (rationale getallen) en zelfs met reële getallen als p of Ö3. Er is nog zo'n gedurfde uitbreiding van onze werkruimte. Ga uit van het imaginaire bestaan van de wortel uit -1 en geef Ö-1 de naam i van imaginair. Pas daarop brutaalweg de gewone rekenregels toe en kijk wat er gebeurt. 2

3

2

4

2 2

2

i = Ö-1 dus i = -1, i = i .i = -i, i = (i ) = (-1) = 1 enzovoorts. 2 Maar ook: (5+4i)(3+2i) = 15 + 10i + 12i + 8i = 15 + 10i + 12i - 8 = 7 + 22i. 8 2 2 2 2 2 2 2 2 En (1+i) = (((1+i) ) ) = ((1+2i-1) ) = ((2i) ) = (-4) = 16. Zo ben je aan het werk in de verzameling van wat men noemt de complexe getallen. Binnen deze verzameling krijgt elke kwadratische vergelijking oplossingen, zelfs als de discriminant negatief is! Gebruik gewoon de abc formule. Zo zijn de oplossingen van 2

x – 6x + 25 = 0 te schrijven als x1,2 =

6 ± - 64 = 3 ± 4i 2 x

Nu even terug naar de reeksontwikkelingen van e , sinx en cosx; vervang brutaalweg in de eerste daarvan de x door ix en kijk wat er gebeurt: ix

2

3

4

2

3

4

e = 1 + ix + (ix) /2! + (ix) /3! + (ix) /4! + ... = 1 + ix - x /2! - i.x /3! + x /4! + ... 2 4 6 3 5 = 1 - x /2! + x /4! - x /6! + ... + i.[ x - x /3! + x /5! - ...] = cosx + i . sinx ix

Deze formule van Euler verdient een kadertje: e = cosx + i × sinx Geef x de waarde p en er staat e

ip

= cos p + i sin p = -1 + i×0 = -1. De mooiste formule!

Waarna we de rode draad in dit boek weer op kunnen pakken.

ANALYSE

-8-

Twee onbekenden De oplossingen van het stelsel

ì ax + by = c zijn: í îdx + ey = f

ì ïx = í ïy = î

ce - bf ae - bd af - cd ae - bd

Mits er eenduidige oplossingen zijn natuurlijk (de noemer mag niet 0 zijn). Zie het volgende programma VGL2ONB. Dit is een voorbeeld van een black box of applicatieprogramma: je stopt er wat in en het antwoord komt er automatisch uitrollen. De lol zit hem voor mij in het componeren, niet in het uitvoeren. ClrHome Disp "(1) AX+BY=C" Disp "(2) DX+EY=F" Prompt A,B,C,D,E,F ClrHome Disp "OPL.:" Output(3,1,"X=") Output(4,1,"Y=") AE-BDüP (CE-BF)/PüX (AF-CD)/PüY Output(3,4,X) Output(4,4,Y) Pause :ClrHome

OPGAVE 6.

Los op:

ì x+ y = 5 í î4 x - y = 2

Meer vergelijkingen Een stelsel van drie of meer vergelijkingen kan het best opgelost worden met behulp van de inverse van de coëfficiënten matrix. Een matrix bestaat hier uit n rijen en n kolommen. Met een matrix kun je ook rekenen: optellen, vermenigvuldigen en zelfs kun je de omgekeerde van een matrix bepalen. é 3 2ù é 1 5ù en de matrix [B ] = ê ú ú. ë 4 3û ë2 3û é4 7 ù Hoe je ze optelt zal geen verrassing zijn: [ A] + [ B] = ê ú. ë6 6 û

Nemen we als voorbeeld de 2 bij 2 matrix [ A] = ê

Het vermenigvuldigen is minder helder: é 7 21ù [ A] ´ [ B ] = ê ú , hierbij is bijvoorbeeld het getal 21 (in de eerste rij en tweede kolom) ontstaan ë10 29û

door de eerste rij van [A] maal de tweede kolom van [B] te nemen: 3´5 + 2´ 3 = 21. Je kunt zelfs de inverse van deze matrix laten uitrekenen. Hoe dat precies gebeurt zullen we hier niet behandelen. Maar we hoeven op dit moment alleen te weten dat de volgende berekening zinvol is: é 3 - 2ù é3 2ù é 3 - 2ù é1 0ù , want [ A] ´ [ A]-1 = ê [ A]-1 is ê ú ú´ê ú=ê ú (de eenheidsmatrix). ë- 4 3 û ë 4 3 û ë - 4 3 û ë0 1 û

ANALYSE

-9-

De TI-83 kan het ook:

De oplossing van [A] ´ [X] = [B], zo die bestaat, is [X] = [A] -1 ´ [B]. [A] is hierin de n bij n coëfficiëntenmatrix; [X] is de kolommatrix van de n onbekenden X1 t/m/ X n . De oplossing van opgave 6 met de TI-83 is nu op de schermpjes te volgen.

Je kunt deze oplossingsmethode heel fraai vergelijken met die in het allereenvoudigste model, de vergelijking van het type a ´ x = b. Nemen we als voorbeeld daarbij de vergelijking 3 ´ x = 6 met de oplossing x = 2 die geschreven kan worden als x = 3-1 ´6 dan wordt de overeenkomst tussen beide methoden direct zichtbaar. Daar gaan we met het programma NVGLNONB dat het volgende stelsel oplost. ì x + 2 y + 3 z + 4u = 10 ï 5 x + 4 y + 3 z + 2u = 14 ï í ï 6 x + 7 y - 13 z = 0 ïî5 x + 8 y - 10 z + 4u = 7

OPGAVE 7.

Los op:

ANALYSE

=5 ì x- y - z -u ï x + 4 y - 10 z - 3u = 10 ï í ï 2 x + 3 y - 3 z + 3u = 0 ïî x + y + z + u =7

- 10 -

4

Nanowiskunde

Een typisch aspect van de analyse is het onderzoek naar limieten. Pak de TI-83 er maar weer bij. x 2 - 3x , x-3 dan ZOOM ZStandard en kijk. Niets bijzonders,

Doe Y1

=

f ( x) =

zou je zeggen. Maar vreemd is wel, dat er een rechte lijn verschijnt die wel erg veel weg heeft van de lijn y=x. Dat is om twee redenen vreemd: (1) f (x) is een kwadraat en een breukfunctie dus zou je zeker geen rechte lijn verwachten en (2) voor x=3 zou er een V.A. moeten komen (Een Verticale Asymptoot). Nieuwsgierig geworden, gaan we inzoomen rond deze kritische x-waarde: zie de vensters. Er zit dus geen asymptoot! Maar er is plotseling een gaatje in de grafiek verschenen (een perforatie). Wat is hier aan de hand? De tabel geeft een antwoord: als je x=3 invult komt er f (3) =

32 - 3 × 3 0 = en dat is onbepaald. 3-3 0

Maar dat antwoord bevredigt ons natuurlijk niet. Door verwondering gedreven gaan we op zoek naar inzicht (straks blijkt dat dit woord inzicht ook letterlijk genomen moet worden!). Weet je het verschil tussen de breuken

0 7 en ? In het eerste geval komt er 0 uit, want 7 0

0 = 0 Û 0 = 7 × 0 klopt. In het tweede geval is er geen enkel getal N te vinden, hoe groot ook, om de 7 7 gelijkwaardigheid = N Û 7 = N × 0 ??? kloppend te krijgen. Delen door nul mag dus niet. Het geval 0 0 0 is een geval apart. Ga maar na: = N Û 0 = 0 × N klopt namelijk altijd, wat voor waarde je ook 0 0 voor N bedenkt! Kijk in de tabel: er staat ERROR. Dat simpele woord is een stil water met diepe

gronden. Als er in de teller en in de noemer nul staat, zoals hier, kun je proberen de nulmakende factor uit de 2 breuk "weg te delen". Dat is gemakkelijk, want de teller is x - 3x = x (x - 3). Als x = 3 wordt de teller dus nul (maar de noemer ook) en door nul mag je niet delen. Helaas. Maar niemand kan ons beletten om erg dicht bij nul te gaan zitten; door nul delen mag niet maar door bijvoorbeeld 0,00001 = 10 -5 delen mag best! Zo gezegd zo gedaan. Als x » 3 dan is f (3) » 3. Volg de berekening. f (3,00001) =

3,00001 × (3,00001 - 3) 3,00001 × 0,00001 = = 3,00001 » 3 (3,00001 - 3) 0,00001

Men drukt dit zo uit: de limiet van de functiewaarde is 3, als x tot 3 nadert. Genoteerd als lim f ( x) = 3 . x® 3

ANALYSE

- 11 -

Elke computer kent zijn grenzen. Onze GR geeft maar tien decimalen. Intern rekent de processor nog wat nauwkeuriger (afgerond tot op 12 of 13 decimalen), maar wat er gebeurt als er met afgeronde getallen achtereenvolgens gekwadrateerd, afgetrokken, vermenigvuldigd met 3, gedeeld en weer afgetrokken wordt, is volstrekt onduidelijk. Herhaaldelijke tussentijdse afrondingen kunnen de grootste, onvoorspelbare ellende opleveren voor het eindresultaat! Laten we een experiment opzetten.

Ontwerp zelf een rekenmachine met vier decimalen Stel je een computer voor die "maar" op vier decimalen nauwkeurig rekent; de vijfde decimaal is onzeker en wordt afgerond. Een ingevoerde X-waarde kun je dan vervormen tot XüX+0.0001rand (maar dan komt er in de vijfde decimaal telkens iets bij en gaat er nooit iets af). Met -1+2rand krijg je een getal tussen -1 en 1. Beter dus: XüX+0.0001(-1+2rand), als je de vijfde decimaal ook af en toe wilt verlagen. Na invulling hiervan in de beschreven functie (X2-3X)/(X-3) kun je de functiewaarden bestuderen. Aangezien deze functie op de perforatie na gelijk is aan f (x) = x, moeten de functiewaarden gelijk zijn aan de X-waarden (op X=3 na). De in te voeren X stellen we gelijk aan X+0.0001(ú1+2rand), zodat de functiewaarde volgens onze verwachting in de buurt van X moeten komen. Een programma dat dit honderd keer nabootst is gauw geschreven. ZOOMIN00. Prompt X ClrList L1 100üdim(L1) For(T,1,100) X+.0001(ú1+2rand)üA X+.0001(ú1+2rand)üB X+.0001(ú1+2rand)üC (AÜ-3B)/(C-3)üF round(F,4)üF Disp F FüL1(T) End 1-Var Stats L1 Disp "X",round(P,4) Disp "Ë:",round(Ë,4) Disp "Çx:",round(Çx,4)

Je ziet dat er, in plaats van één vaste X-waarde, drie licht verschillende X-waarden ingevoerd worden (A, B en C) die in de vijfde decimaal afwijken. Die vijfde decimaal is onzichtbaar gemaakt door de afronding in vier decimalen round(F,4).

OPGAVE 8.

Voer in voor P (dus voor X) achtereenvolgens de waarden: 4, 3.1, 3.01, 3.001, 3.0005 en 3.0001 en zet de uitkomsten voor de gemiddelde functiewaarden (Ë) en de standaarddeviatie (Çx) in een tabelletje. De standaarddeviatie geeft, zoals je weet, een idee van de gemiddelde afwijking in de functiewaarden. Ga telkens na, tot op hoeveel decimalen deze functiewaarden betrouwbaar zijn.

ANALYSE

- 12 -

Conclusie: ons nagebootst computertje dat in 4 decimalen rekent maakt er een puinhoop van in de nabijheid van een perforatie! Endoscopie is het naar binnen kijken door een klein gaatje. Dat doen we met de hiervoor gebruikte functie f ( x) =

x 2 - 3x in het volgende programma, dat ik ook ENDOSCOP x -3

had kunnen noemen. De kern daarvan is de cirkel Lbl O Zoom In Goto 0.

De rest van het programma is versiering. OPGAVE 9.

Druk bij de uitvoering van het volgende programma ZOOMIN01 telkens op ENTER om het gaatje met een bescheiden factor 2 uit te vergroten (in te zoomen). Na tien keer inzoomen is volkomen onverwacht het gaatje verdwenen (opgevuld). Blijf ENTERen en aanschouw het wonder vanaf de zeventiende tot en met de drieëntwintigste uitvergroting!

"(XÜ-3X)/(X-3)"üY1 0üT Lbl 0 Zoom In T+1üT Pause Goto 0

Een totaal andere scan levert het inzoomen op de perforatie (0,0) in de grafiek van f ( x) = x sin 1x ; of is het wel een perforatie?

OPGAVE 10.

Y1= Xsin(1/X). Voer minstens twintig vergrotingen met factor 4 (4üXFact) in de x-richting uit in de buurt van de oorsprong en verbaas je (ZOOMIN02).

"Xsin(1/X)"üY1 0üT Lbl 0 Zoom In T+1üT Pause Goto 0

ANALYSE

- 13 -

5

Sommeren en Integreren

Het is niet de bedoeling hier uitgebreid in te gaan op de theorie van de integraalrekening. Maar het kan geen kwaad om heel in het kort te vertellen waar de integraalrekening over gaat. Kijk naar het plaatje. Hoe kan je de oppervlakte (boven de x-as) berekenen onder de grafiek van een functie f (x), tussen 0 en x? Maak x een klein beetje groter (met bijvoorbeeld Dx=0.001) en kijk wat dat voor invloed heeft op de oppervlakte O(x). Duidelijk is, dat de oppervlakte ongeveer toeneemt met die van de (smalle!) rechthoek, dus DO » f ( x) × Dx oftewel: f ( x) »

DO waar in het limietgeval uit blijkt dat f de Dx

afgeleide is van O. Men noemt, omgekeerd, ook wel O een primitieve functie van f (de 2 Amerikanen spreken duidelijker van de anti-afgeleide van f ). Zo is 13 x 3 een primitieve van x , omdat d

1 3 dx 3 x

= x2 .

De oppervlakte onder de parabool, tussen 2 en 3, is het verschil O(3) - O(2) = 13 33 - 13 23 = 6 13 Nog een voorbeeld, waar we overigens nog op terugkomen: ln x is een primitieve van 1 x , omdat d dx ln x = 1 x . Men gebruikt hierbij het integraal symbool

ò f ( x) dx . De oppervlakte onder de grafiek van e

tussen x = 1 en x = e is precies 1, want

y=

1

x

,

1

ò x dx = ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1

1

Je moet het integraal-slangetje zien als een langgerekte letter S (van som). In feite is zo'n oppervlakte te beschouwen als de som van oneindig dunne rechthoekjes die een hoogte f ( x ) = 1x hebben en een x =e

breedte Dx:

å 1x × Dx

x =1

OPGAVE 11.

2

De afgeleide van x + x is 2x + 1, zoals je weet. Bereken met een integraal de oppervlakte onder de lijn y = 2 x + 1, tussen x=1 en x=3 en controleer je antwoord met de oppervlakteformule (basis´gemiddelde hoogte) voor een rechthoekig trapezium.

ANALYSE

- 14 -

Somrijen Even iets heel anders. Meetkundige somrijen met een groeifactor (reden) kleiner dan 1 (maar groter dan -1) hebben een limiet, men noemt ze convergent. De som van een oneindige meetkundige rij met k =¥

å b × gk

groeifactor kleiner dan 1 (en groter dan -1)

2

3

= b + bg + bg + bg + … kan berekend worden

k =0

b 1 4 2 3 via de formule s = . Zo is 1 + ¼ + (¼) + (¼) + … gelijk aan = , hetgeen op de TI-83 1 1- g 1- 4 3

gemakkelijk gecontroleerd kan worden met sum(seq(.25^X,X,0,100))=1.333333333. Dit is een voorbeeld van een snel convergerende somrij (reeks), met een groeifactor die tamelijk ver van 1 afligt. Als het grondtal dichter tegen de 1 aan zit, verloopt de convergentie moeizamer, hetgeen te merken is aan het aantal stappen dat nodig is tot de convergentie duidelijk begint te worden.

OPGAVE k =¥

12.

Bereken met de formule:

å 0,99k

2

3

4

= 1 + 0,99 + 0,99 + 0,99 +0,99 …

k =0

Doe sum(seq(.99^X,X,0,100)) ; kun je daar aan zien wat de limiet is? Doe ook sum(seq(.99^X,X,0,500)) en zie, hoeveel moeite (en tijd) het soms kost om de som van zwak-convergente rijen te berekenen. Met sum(seq kun je niet meer dan 1000 termen optellen. Probeer ook sum(seq(.99^X,X,0,900)). En wat dacht je van sum(seq(1.01^X,X,0,100))?

De harmonische reeks: megawiskunde Speciale belangstelling verdient de harmonische reeks:

H n = 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + ... +

1 n

n

=

1

åk

k =1

Deze reeks genoot de aandacht van het Zwitserse genie Leonhard Euler (1707-1783) wiens naam al eerder in dit boek opdook. Overbekend is het (ware) verhaal van de doofheid van Ludwig von Beethoven, de componist die door bleef componeren ondanks een complete doofheid op latere leeftijd. Veel minder bekend maar nog indrukwekkender is wat Euler overkwam. Na in 1735 één oog verloren te hebben, werd hij in 1766 (vóór zijn zestigste dus) geheel blind, maar zijn geest werkte door. Met ongekende verbeeldingskracht en voorstellingsvermogen produceerde hij nog tal van mathematische publicaties van een buitengewone diepgang en helderheid. Opschrijven kon hij zijn gedachten niet meer, hij moest ze dicteren.

ANALYSE

- 15 -

OPGAVE 13.

a) Bereken met sum(seq( de som van de eerste 100, 200, 300 termen van H n. Convergeert deze reeks naar een bepaalde limiet? Zo ja, welke? b) Voer het volgende programmaatje in en uit om voor steeds grotere waarden van N naar "de" limiet te zoeken en spreek een vermoeden uit over de convergentie van de harmonische reeks. ClrHome:0üS:0üN Output(1,1,"N="):Output (2,1,"S=") Lbl 0 sum(seq(1/X,X,N+1,N+500))üT S+TüS:N+500üN Output(1,3,N) Output(2,3,S):Pause Goto 0 c) Bereken

3000 1

å

k

k =1

Een onbetwistbare conclusie is nog niet te trekken maar een vermoeden hebben we wel: de harmonische reeks lijkt te divergeren. Deze divergentie is echter van een onvoorstelbare traagheid! Na een miljoen termen is de som pas gevorderd tot iets voorbij de 14; in 1968 berekende J. Wrench het aantal benodigde termen om boven de 100 te komen, dat aantal was: 15 092 688 622 113 788 323 693 563 264 538 101 449 859 497. Wie denkt dat dit getal simpel door een computer is uit te rekenen, vergist zich. Stel je een supercomputer voor die elke seconde een miljard optellingen verricht en stel je voor dat die supercomputer daar dag en nacht mee doorgaat, 26 onvermoeid. Deze zou er ruim 10 jaar voor nodig hebben, onvergelijkelijk veel langer bijvoorbeeld 9 dan het heelal bestaat (15´10 jaar). Aldus Julian Havil in Gamma - Exploring Euler's Constant. In de veertiende eeuw (!) gaf de Franse bisschop Nicholas Oresme een bewijs voor de divergentie van de harmonische reeks. Hij groepeerde de termen van de reeks en gebruikte de eigenschap van een breuk dat vergroting van de noemer leidt tot verkleining van de breuk: zo is

1 1 > want 7 is kleiner dan 8. In 7 8

moderne notatie is het bewijs van de divergentie simpel: 1 + ... + 1 ) + ... H ¥ = 1 + 12 + ( 13 + 14 ) + ( 15 + 16 + 17 + 18 ) + ( 19 + 10 16

>

1 + 1 + ... + 1 ) + ... 1 + 12 + ( 14 + 14 ) + ( 18 + 18 + 18 + 18 ) + ( 16 16 16

=

8 + ... = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... en dat divergeert. 1 + 12 + 24 + 84 + 16 2 2 2 2

Vier eeuwen later kwam Euler hierop terug en weer drie eeuwen later komen wij op Euler terug.

ANALYSE

- 16 -

Gamma Euler heeft gezocht naar het verband tussen de harmonische reeks en een integraal. De oppervlakte onder de grafiek van f ( x ) = 1 x , rechts van de lijn x = 1, kan namelijk bij benadering geschreven n

worden als een som van rechthoekjes met breedte 1 en hoogte

1

å 1 x ×1 en dat lijkt wel heel erg op

x :

x =1 n

ò 1 x dx waarvan de uitkomst ln n is. 1

En tegelijkertijd is de totaaloppervlakte van die rechthoekjes juist de som van de harmonische reeks! Laten we eerst zelf eens wat proberen. De oppervlakte onder de grafiek van 1/x, tussen de lijnen x = 1 en x = n kan door rechthoekjes benaderd worden. De hoogste rechthoekjes leveren, als we ln n proberen te benaderen duidelijk teveel op. Die bovensom is Bn = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n -1 De onderste rechthoekjes hebben een oppervlakte die te weinig oplevert, namelijk: On = 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... +

1

n -1

+

1

n

.

Het gemiddelde van de bovensom en de ondersom (On +Bn )/2 is een veel betere benadering. Zo vinden we (zie ook opgave 51): ln n » [( 1 + 1 2 + 13 + 1 4 + ... + 1 n -1 ) + ( 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n -1 + 1 n )] / 2 = [( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n -1 + 1 n - 1 n ) + ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n -1 + 1 n - 1 )] / 2 = [ ( H n - 1 n ) + ( H n - 1) ] / 2 = H n - 1 2n - 1 2 ; eigenlijk nog ietsje minder, omdat de kromme 1/x iets onder de schuine lijnstukjes (de "koorden") ligt. Noem "ietsje" even e . De som van de harmonische reeks is dan te schrijven als H n = ln n + 1 2 + 1 2n + e . Als n naar oneindig gaat, komt er voor "de" som: H ¥ = ln n + g De Griekse letter g staat voor gamma, de constante van Euler. Gamma is dus iets groter dan 0,5. Euler slaagde erin, een benadering voor g te vinden die pas in de zesde decimaal afweek van wat we er tegenwoordig van weten. Bedenk wel dat er in de zeventiende eeuw nog geen rekenmachines bestonden. Hoe knap zijn prestatie was kan je inschatten als je de volgende opgave maakt.

OPGAVE 14.

Breid het programma van opgave 13 zodanig uit, dat in L1 de n-waarden komen (500, 1000, 1500, …), in L2 de som Hn en in L3 de schatting van g = Hn - ln n. Noem het programma GAMMA en sla het op, om er later nog eens bij stil te kunnen staan dat je er niet in zult slagen Eulers prestatie te evenaren.

ANALYSE

- 17 -

6

Productrijen

De Griekse hoofdletter pi (P) wordt gebruikt voor productrijen; zo wordt de faculteitenrij 1.2.3.4. ... .n n

afgekort tot

¥

Õ k . Oneindig voortlopende productrijen

Õ an = a1 × a2 × a3 × L wekken onze

k =1

n =1

belangstelling als de factoren op den duur naar 1 gaan, genoteerd als lim an = 1 . Mogelijk (maar niet n®¥

noodzakelijk!) convergeert de rij dan. Een schat ligt begraven, ergens in een stuk grond van tien vierkante meter. Tien personen mogen elk één vierkante meter daarvan afgraven, tot de schat gevonden is. Jij bent een van die personen en je mag kiezen wanneer je aan de beurt wilt zijn, als eerste of als laatste of ergens daar tussenin. Bij welke beurt heb je de grootste kans op succes? De eerste schatgraver heeft 10% (

1 2 ) kans op succes; de tweede heeft nog maar te kiezen uit 9 m 10

1 ;de waarschijnlijkheid dat de eerste faalt en de tweede succes heeft is 9 1 9 1 , want de 9 in de teller × (let op het voegwoord: en wordt keer) en dit is te vereenvoudigen tot 10 9 10

grond, kans op succes dus

wordt geneutraliseerd door de 9 in de noemer: als je eerst vermenigvuldigt met negen en er dan weer door deelt is er aan de breuk niets veranderd. De tweede schatgraver heeft dus dezelfde kans op succes als de eerste en zo gaat het door met de volgende gelukzoekers. De voorlaatste (negende) schatgraver zag zijn acht voorgangers mislukken en heeft dus een succeskans van: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 × × × × × × × × en het leuke is dat alle tellers (behalve de 1) wegvallen tegen alle noemers 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (op de 10 na) waardoor de uitkomst opnieuw is. Na het mislukken van al zijn voorgangers heeft de 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 laatste niets meer te kiezen, zijn kans op succes is dan 1 en uit × × × × × × × × ×1 komt ook 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 weer . Conclusie: het maakt niet uit wanneer je aan de beurt bent! 10 ¥

1 n

Laten we, achterstevoren lezend, het oneindige product p = Õ (1 - ) = 0 met n=2

pn =

1 2 3 n 1 × × ×K× = 2 3 4 n +1 n +1

eens nader bekijken (let op het wegstrepen van bijna alle tellers en noemers). Dit product is te beschouwen als het product van twee deelrijen p1 =

1 3 5 2n - 1 2 4 6 2n × × ×K × en p2 = × × × K × 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1

Op grafische rekenmachines is er maar een beperkte lijstlengte toegestaan. De TI-83/84 modellen hebben ruimte voor maximaal 999 termen (factoren). Dat gaat dan met prod(seq(N/(N+1),N,1,999)) , prod(seq(N/(N+1),N,1,999,2)) en prod(seq(N/(N+1),N,2,999,2))

ANALYSE

- 18 -

Alle drie de rijen gaan vanzelfsprekend naar nul, maar minder vanzelfsprekend is de convergentie van de verhouding p 2 /p 1 : 2 4 6 2n × × ×K× p2 3 5 7 2 n +1 = 2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 ×K = p1 1 × 3 × 5 × K × 2n - 1 1 3 3 5 5 7 7 2 4 6 2n

Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. 8 24 48 n2 - 1 × × K× 2 (n = 3,5,7, ...). 9 25 49 n

Na hergroepering van de factoren kun je dit schrijven als 2 × × De vraag is, of de rij

p2 een limiet heeft. Bekijk de volgende schermplaatjes. De GR rekent er rustig p1

op los, dat is fijn.

Maar de eventuele convergentie verloopt dermate traag, dat we na 999 factoren nog steeds niet overtuigd zijn. Programmeren helpt ons verder.

Het plaatje van P2P1 (later heb ik dat programma WALLIs genoemd) ontstond na vijf minuten rekenen op de TI-83plus SE. Je kan goed aan de razendsnelle scrolling zien of (en wanneer) tenslotte ook de negende decimaal tot rust is gekomen. Drie keer raden waar dat naartoe gaat. Wie weleens met radialen gewerkt heeft ziet het direct. De virtual TI-83 die, tien keer zo snel, met de microprocessor van mijn modale PC werkt liet ik vijf uur rekenen en kwam voor

p2 uit op 1.570796189 wat pas in de p1

zevende decimaal afwijkt van datgene wat we er erg graag uit zouden willen krijgen: ½ p. De teller en noemer hebben dan inmiddels de 5688000 overschreden.

ANALYSE

- 19 -

1 3 5 7 2 4 6 8

Terug naar de eerste rij: p1 = × × × × L We hebben p1 × p2 = hier p1 »

p 1 1 1 en 2 » 1 2 p dus p12 × 1 2 p » » dus p1 » p1 n +1 n +1 n

2 ; voor n = 1998 staat np

2 » 0,017850 hetgeen inderdaad een voortreffelijke voorspelling is van 1998p

p 1 = prod(seq((2N-1)/(2N),N,1,999))=0.017848 Op soortgelijke wijze vinden we een formule voor p 2 : 2 p2 × = np 4

2 p )× = np 2

p2 = p1 × 1 2 p = (

p 2n

Het product van Wallis De verhouding

p2 : p1

2 2 4 4 6 6 8 × × × × × × ×K = 1 3 3 5 5 7 7

1

2p

heet, naar de ontdekker, het product van Wallis. Verrassend is het onverwachte optreden van p, maar nog verrassender is het feit dat iemand 340 jaar geleden (nog vóór Newton) niet alleen de uitkomst voorspelde maar tevens een soort van afleiding gaf, waarvoor hij zelf de nodige algebra moest ontwikkelen. Ik vond een beschrijving op www.dovepresent.com van James Taylor. Uitgangspunt is de verzameling grafieken y = (1 - x 2 ) n met -1£x£1 en n³0. In het geval n=0,5 staat er een halve cirkel met oppervlakte ½ p. Wallis was in staat voor gehele waarden van n via de door hem gevonden primitieve n1+1 x n +1 van x n en het binomium 2 n

van Newton voor (1-x ) de oppervlakte An onder deze grafieken te berekenen. Het formalisme daarvoor ontwikkelde hij zelf. Hij vond achtereenvolgens 1

1

1

]

1

A0 = ò (1 - x 2 )0 dx = ò 1× dx = 2 ; A1 = ò (1 - x 2 )1 dx = x - 1 3 x 3 -1 = 4 3 ; -1 1

-1 1

-1

A2 = ò (1 - x 2 ) 2 dx = ò (1 - 2 x 2 + x 4 ) dx = x - 2 3 x 3 + 1 5 x 5 -1

A0 = 2 ; A1 =

]

1

-1

= 16 15 en daarna

-1 4 3

= 2 × A0 ; A2 = 16 = 3

15

4A ; 5 1

met de recursieve veronderstelling:

A3 =

32 35

(reken maar na) = 76 A2

An =

2n × An -1 (n = 1, 2, 3, ...) 2n + 1

Voor gebroken exponenten (n = ½ , 1½ , 2½ , 3½ , ...) ging hij uit van dezelfde betrekking, dus: A1 = 2 p ; 2 1

ANALYSE

A1 1 = 2

2 ×1 12 2 × 1 12 + 1

× A1 = 3 × 1 2 p ; 4 2

A2 1 = 5 × A1 1 = 5 × 3 × 1 2 p , enzovoorts. 2

- 20 -

6

2

6 4

Vergelijking van de oppervlakten levert: A3 = 6 × 4 × 2 × 2 < A2 1 = 5 × 3 × 1 2 p dus 7 5 3

2

6 4

1

2p

>» 6 × 6 × 4 × 4 × 2 × 2 ; enzovoorts. De formule van Wallis! 7 5 5 3 3 1

Andere oneindige productrijen ¥

De rij

1

Õ (1 + n p )

convergeert voor alle p > 1;

n =1

zo gaat ¥

1

2 5 10 17

Õ (1 + n2 ) = 1 × 4 × 9 × 16 × L n =1

naar de wonderbaarlijke limiet

sinh p ep - e -p . = p 2p

Een minuscule verandering in de rij van Wallis leidt tot een geheel andere uitkomst: de rij ¥

1

1

1 3

Õ (1 - n ) × (1 + n ) = 2 × 2

×

n=2

1 2 4 3 5 4 × × × × L gaat naar ; 2 3 3 4 4 5

op de eerste breuk na, vallen op den duur immers alle tellers en noemers tegen elkaar weg. Waarom is ¥

2

2

1 5

Õ (1 - n ) × (1 + n ) = 3 × 3

×

n =3

2 6 3 7 4 8 5 9 1 ? × × × × × × × L= 4 4 5 5 6 6 7 7 6

· ·

streep de tellers 5, 6, 7, ... weg tegen gelijke noemers, drie breuken verderop streep de resterende noemers 3, 4, 5, ... weg tegen resterende tellers, drie breuken daarvoor

·

over blijft

1 2 1 × = en dat is de limiet. 3 4 6

Lastiger is zo'n vraag te beantwoorden bij productrijen waarin de tellers en noemers opvolgende gehele getallen zijn en de breuken afwisselend kleiner en groter dan 1 zijn, zoals de volgende 1 4 5 8 9 12 13 16 × × × × × × × × L 2 3 6 7 10 11 14 15

die de limiet 0.5990701058 lijkt te hebben (na 50 miljoen bewerkingen). In zulke rijen valt er weinig te schrappen. 4üN:.5üP Lbl 0 PN(N+1)/((N-1)(N+2))üP Disp P N+4üN Goto 0

Is er een exacte uitdrukking (met p misschien) voor dit decimale getal te vinden? Wellicht is er een lezer met een groter denkraam (of grotere bibliotheek) die mij aan het antwoord op deze vraag kan helpen. (*) Denkend aan Holland zie ik brede rivieren traag door oneindig laagland gaan ... (*) Voor gevorderden. Wie als amateur de bal kaatst, moet een professionele bal verwachten. Ronald Kortram (M.I. Nijmegen) zond mij na het lezen van deze tekst een (helaas niet-exact) antwoord dat de gamma-functie (weer van Euler natuurlijk) gebruikte: p

G( 3 4 ) G( 1 4 )

waarbij G de faculteitsfunctie voor rationale getallen is: G(x+1)=x×G(x).

ANALYSE

- 21 -

7

Recursieve rijen

Hier volgt (verkleind) de eerste zin van deze tekst. Hier volgt (verkleind) de eerste zin van deze tekst. Hier volgt (verkleind) de eerste zin van deze tekst. Hier volgt (verkleind) de eerste zin van deze tekst. Hier volgt (verkleind) de eerste zin van deze tekst. Hier volgt (verkleind) de eerste zin van deze tekst.

... De termen van een recursieve rij volgen hun voorganger(s) door een bindend voorschrift. Zo volgt de rij 0 ® 1 ® 2,5 ® 4,75 ® 8,125 het voorschrift: tn = 1,5t n-1 + 1; t1 = 0 Dit is overigens geen interessante rij, want hij rijst de pan uit (is divergent): 0®X en 1.5X+1®X en herhaaldelijk ENTER is het recept. Uit een plaatje is dat uitwaaieren goed te zien. De MODE seq is er voor dit soort rijen. nMin is het eerste rangnummer; u(nMin) de eerste term. MODE Seq: Y= met nMin=1, u(n)=1.5u(n-1)+1, u(nMin)=0, WINDOW xMin=-1, xMax=20, Ymin=-5, Ymax=20 en TRACE ~

De moederlijn y = 1.5x + 1 (de bovenste lijn) geeft de opvolgende rijwaarden; "terugkaatsing" tegen de "muur" y = x zorgt ervoor dat we telkens weer terugkomen bij de moederlijn, maar dan voor een volgende term. Het plaatje heet een WEB grafiek. Kenmerkend voor divergentie is, dat de (absolute waarde van de) helling van de moederlijn (hier: 1,5) groter is dan de helling van de lijn y = x (dus: 1). We bekijken nu een rij waar meer aan te beleven is. Zet het recursieve voorschrift tn = 0,5t n-1 + 10 in Y= via nMin=1, u(n)=0.5u(n-1)+10, u(nMin)=0 WINDOW xMin=-1, xMax=20, Ymin=-5, Ymax=20

en TRACE ~. Dat levert de rij 0 ® 10 ® 15 ® 17,5 ® 18,75 ® … Deze is duidelijk convergent met limiet 20 (probeer maar). De helling van de moederlijn y = 0,5x + 10 is kleiner dan 1, zodat door de herhaalde terugkaatsing de "lichtstralen" tenslotte in een soort fuik opgevangen worden. Van de andere kant af lopen de stralen vast in dezelfde fuik: 60 ® 40 ® 30 ® 25 ® …: kennelijk doet de beginwaarde van de rij (de eerste term) er helemaal niet toe! Hoe bereken je de (vermoedelijke) limietwaarde 20? Uitgaande van de convergentie (dus van een hellingscoëfficiënt kleiner dan 1) naar een limiet L, weten we dat op den duur de termen van een convergente rij niet meer veranderen. In de evenwichtssituatie kunnen we term t n-1 en zijn opvolger tn dan aan elkaar gelijkstellen: L = 0,5L + 10. De oplossing hiervan is L=20. Vandaar. is een programma dat lineaire recursie behandelt, in een algemene vorm. Lineaire recursie is de term die hoort bij x ® ax + b of, in TI-83 taal: RECURLIN

u(n)=A*u(n-1)+B

De grafiek van u(n) tegen u(n-1) levert de (het?) WEB op. Voor de volledigheid zij nog opgemerkt, dat er voor de convergentie, behalve a<1 ook nog een ondergrens voor a bestaat, namelijk a>-1.

ANALYSE

- 22 -

Samengevat moet dus -1 < a < 1 zijn. Als a negatief is (tussen -1 en 0) ontstaat er een alternerende rij (een rij die om en om van boven en van onder tot de limiet nadert). De volgende schermplaatjes illustreren het programma.

De kern van dergelijke recursieprogramma's is in vijf programmaregels te geven: 20®X Lbl 0 -0.8X+18®X pause X Goto 0

[ pauzeert en vertoont de waarde van X ]

Makkelijk zat dus. Veel meer te beleven is er, als een kwadratische functie is het spel komt. Rechts van snijpunt B divergeert de zaak omdat de helling groter is dan 1, maar links ervan zijn er verschillende manieren om in de fuik bij A te lopen. B is dus een afstotend punt. Rondom A echter bestaan twee (naar later zal blijken, zelfs veel meer dan twee!) webs (of is het webben?). We zullen dit nader onderzoeken in twee kwadratische gevallen. 2 Eerst de elementaire recursie x ® x + p, daarna het beroemde geval x ® ax(1 - x).

Kwadratische recursie:

2

x® x + p

Een uitgebreider overzicht (maar dan zonder het gebruik van een grafische rekenmachine) van het komende onderwerp is bijvoorbeeld te vinden in ZEBRA nr 16: Chaos en Orde (Ferdinand Verhulst). Wij beperken ons hier tot het letterlijk en figuurlijk inzoomen op een aantal opmerkelijkheden. 2 Overigens wordt de recursie x + p waarmee we openen, daar niet behandeld.

Het geval p = ¼ OPGAVEN 2

15.

De parabool y = x + ¼ raakt de lijn y = x. Bewijs dit en bereken het raakpunt.

16.

Bereken met de abc-formule voor vierkantsvergelijkingen ax +bx+c=0 de 2 evenwichtswaarde(n) van de recursie x ® x + ¼ Pak je GR, start met X=0.501 en bekijk de eerste 1000 termen van 2 X + 0.25 ® X met behulp van het vijfregelige programmaatje. Even geduld hebben. Zelfde vraag met de startwaarde X=0.499 Zelfde vraag met startwaarde X=0.

17. 18. 19.

ANALYSE

2

- 23 -

Wat opvalt is de buitengewoon trage convergentie in de buurt van de evenwichtswaarde. Dat zou ons nieuwsgierig moeten maken. Hoe gaat het met andere waarden voor p, kleiner dan ¼ ? (Als p groter is dan ¼ raakt de parabool los van de lijn y=x en krijg je divergentie).

De gevallen p < ¼ Uit het plaatje met de parabool blijkt dat het punt B niet interessant is, omdat daar de helling groter is dan 1. Punt B laten we dus (figuurlijk) links liggen (letterlijk: rechts liggen). Herhaling van de eerste vier stappen (voor verschillende waarden van p) van het commando: 2 2 x ® x + p in recursietaal: u(n) = {u(n-1)} + p met een startwaarde x=0 ( of u(0)=0 ) levert de volgende functies en grafieken op. 2

y1 (p) = 0 +p = p 2 2 y2 (p) = y1 +p = p +p 2 2 2 y3 (p) = y2 +p = (p +p) +p 2 2 2 2 y4 (p) = y3 +p = {(p +p) +p} +p De X speelt de rol van p. Je krijgt uiteraard het zelfde plaatje met het programma A hieronder.

Nieuwsgierigheid is een belangrijke menselijke drijfveer. Wat zou er uitkomen als we in het programma niet vier, maar bijvoorbeeld zes of 24 stappen nemen? Of 200? Kijk naar de kluwen van grafieken voor grotere waarden van N.

OPGAVE 20.

2

Laat zien dat de oplossingen van de vergelijking x + p = x te schrijven zijn als: x 1,2 = 0,5 ( 1 ± Ö (1 - 4p) ) = 0,5 ± Ö (¼ - p). Voor welke waarden van p heeft de vergelijking oplossingen?

ANALYSE

- 24 -

Multivergentie WEB ClrHome:Seq Web ú2üXmin:2üXmax ú2üYmin:2üYmax .25üXscl:.25üYscl 1üÖMin Input "Startwaarde?",S Süu(ÖMin) Prompt P "(u(Ö-1))Ü+P"üu

Experimenteer maar eens met verschillende p-waarden kleiner dan -1 en startwaarden S variërend van -1.8 tot 1.8. Na gebruik van dit miniatuurprogrammaatje moet de MODE weer op func gezet worden. Met de vinger na TRACE vastberaden op ~ zie je de spin zich met WEB razendsnel ontwikkelen. Als de spin uiteindelijk één vierkantje draait (zoals bij p = -1) zijn er twee limietwaarden, dat zou je bivergentie kunnen noemen (bi betekent twee). Zie je twee vierkantjes ontstaan, dan zijn er vier limietwaarden (tetravergentie, tetra is vier). Dat gebeurt bijvoorbeeld bij p = -1.3. Zie het middelste schermplaatje. Bij p-waarden kleiner dan ongeveer -1.38 komt de spin nooit meer tot rust. In de omgeving -2 < p < -1.39 ontwaren we buitengewoon merkwaardig dingen!

OPGAVE 21.

Componeer een programmaatje met de naam CHAOS met de regels 0®X For(P,0.25,-2,-0.02) X2+P® X: Disp X End

voor een onderzoek naar limietwaarden voor p tussen -2 en +0.25.

Voor p < -2 ontploft de boel al binnen een paar stappen. Een recursieve explosie. Bij p = -2 met startwaarde x = 0 verschijnt "opeens" het verdichtingspunt 2. Bij p = -2 met een iets andere startwaarde (x = 0.01) echter is het resultaat onduidelijk. MAAR WAT IS ER AAN DE HAND VOOR p-WAARDEN TUSSEN -2 EN -1.39? Het onderzoek van opgave 61 is samen te vatten in een grafiekje dat op de horizontale as de p-waarden en op de verticale as de termen van de rij en de eventuele evenwichtswaarden vertoont. De eerste twintig termen of zo zijn er vaak nog heftige fluctuaties, dus beginnen we pas na term nummer vijftig Pt-On(P,X) te tekenen. Daarbij moet rekening gehouden worden met een eerder genoemde onvolkomenheid in de instructie Pt-On(A,B) die de onaangename eigenschap heeft, na het tekenen de B-coördinaat op nul te zetten. Dat alles kost veel tijd. Je moet dus wel over wat zitvlees beschikken. De kern van zo'n programma zit in de regels: For(P,.24,ú1.6,ú.02) 0üX For(I,1,50) "ALLEEN REKENEN, NIET TEKENEN" XÜ+PüX End For(I,1,50) XÜ+PüX XüZ "BEWAAR DE TWEEDE COORD." Pt-On(P,X) ZüX End End

ANALYSE

- 25 -

Laten we deze toestanden eens samenvatten van rechts naar links. Voor p > 0.25: Voor - 0.75 £ p £ +0.25: Voor -1.25 £ p < - 0.75: Voor -1.36 < p < - 1.25: Voor -1,38 < p < -1.36: Voor p = -1.75: Voor -2 < p < -1,39: Voor p = -2 en start x ¹ 0: Voor p = -2 en start x = 0: Voor p < -2:

divergentie convergentie bivergentie tetravergentie oktavergentie trivergentie chaos chaos convergentie divergentie

Multivergentie dus.

OPGAVE 22.

a) Het rechterstuk van de vork in bovenstaande grafiek wordt beschreven door de functie y = ½ - Ö(¼ - p) voor -.75 £ p £ +.25. Bewijs dit. b) Het gesplitste deel links wordt beschreven door de functies y = -½ ± Ö(-¾ - p) voor p £ -.75. Bewijs dit. Aanwijzing: uitgaande van de limieten x1 en x2 komen er twee vergelijkingen: 2 2 x 1 +p=x2 en x2 +p=x1. Trek deze van elkaar af, om de p (voorlopig) te elimineren. c) Leg uit waarom er bij p = -1.25 een splitsing in vier limieten komt. 2 2 Aanwijzing: gebruik de kettingregel voor de afgeleide van (x +p) +p en vul voor x de limieten uit de vorige vraag in.

Een drieluik vol markante momenten

ANALYSE

- 26 -

We banen ons een weg door de jungle, weer van rechts naar links, met behulp van CHAOS. p = 0: Zonder woorden

p tussen -1.3 en -1.4: Het ingezoomde gebied is min of meer gelijkvormig met het oorspronkelijke plaatje. Deze self-similarity is een kenmerk van fractals, een belangwekkend onderwerp dat op deze plek (door het beperkte aantal pixels op het scherm) niet goed besproken kan worden. p = -1.48 en p = -1.75: Vensters in de buurt van een splitsing.

p = -1.7495 en p = -1.7499: Verbazingwekkend. De rij heeft soms de grootste moeite om tot rust te komen. Je zou dat verschijnsel met intervergentie kunnen betitelen.

p = -2: In L2 staan de termen na een startwaarde x0 = 0.1; –5 in L3 staat het verloop met een iets andere startwaarde, namelijk x0 = 0.1 + 10 ; in L4 is het verschil L2 – L3 aangegeven met plusjes. Een uiterst klein verschil in het begin leidt op de lange duur tot enorme verschillen: het beroemde vlindereffect of schaduweffect. E.N. Lorenz opende een artikel over het butterfly effect als volgt: Predictability: Does the flap of a butterfly's wing in Brazil set off a tornado in Texas?

ANALYSE

- 27 -

Logistische recursie: x ® ax(1-x) Vanwege de factor (1-x) beperken we ons tot 0 £ x £ 1 en als eerste term nemen we steeds x = 0.5 (omdat de eerste term in het algemeen geen invloed heeft op de conclusies). Laten we ons even inleidend oriënteren op deze beroemde rij. Eerst de basisrij x ® a.x, die is meetkundig. Met a = 3 krijg je 0.5 ® 1.5 ® 4.5 ® 13.5 ® … gaat naar oneindig. Met a = 0.5 komt er 0.5 ® 0.25 ® 0.125 ® … gaat naar nul. Wat is de invloed van de tweede factor (1 - x) op het totaalgebeuren? Met a = 3 komt er (ongeveer): 0.5 ® 0.75 ® 0.56 ® 0.74 ® 0.58 ® 0.73 ® 0.59 ® ? Met a = 0.5 krijg je: 0.5 ® 0.055 ® 0.026 ® 0.013 ® gaat naar 0 Met a = 2 daarentegen: 0.5 ® 0.5 ® 0.5 ® constant Met a = 4: 1 ® 0 ® 0 ® 0 ® constant Met a = 4.2 divergeert het zaakje razendsnel: 1.05 ® -1.13 ® -10.1 ® -472 ® … De factor x kun je als een soort groeifactor beschouwen. De factor (1-x) werkt daar in zekere zin tegenin, vandaar dat dit geval ook wel het "geremde groei model" wordt genoemd. Chaotische toestanden. We zullen proberen hier een touw aan vast te knopen. Bekijk het stelsel grafieken f (x)=ax(1-x) voor 0
1 =L. a

Verder weten we dat voor een limietwaarde L de helling ter plaatse tussen -1 en 1 moet liggen. Aangezien f (x) = a x (1-x) als afgeleide f '(x) = a (1 - 2x) heeft, is de voorwaarde voor convergentie - 1 < a{1 - 2(1 - 1a )} < 1 wat we als volgt uitwerken: - 1 < a (1 - 2 + a2 ) < 1 Û -1 < 2 - a < 1 Û -1 < a - 2 < 1 Û 1 < a < 3 .

1 a

Voor deze waarden van a convergeert de rij dus tot de limietwaarde 1- . De vraag is, wat er tussen a = 3 en a = 4 gebeurt. Het antwoord op die vraag zal een programmaatje moeten geven in de stijl van de vorige programma's.

ANALYSE

- 28 -

OPGAVE 23.

Beschouw de recursie X®AX(1-X). Schrijf een programma BIFURC dat de limietwaarden L zoekt en tekent als punten (A,L) met A tussen 2.2 en 3.8. Ongeveer zoals in de volgende plaatjes.

Periodeverdubbeling blijkt op te treden vanaf a>3. De twee limietwaarden van de bivergentie op dat interval zijn: L1,2 =

a + 1 ± (a - 3)(a + 1) 2a

OPGAVE 24.

Wie dit wil bewijzen moet blaken van zelfvertrouwen

Wie inzoomt op geheimzinnige gaten in de chaotische puntenwolk ontdekt tot zijn verrassing dat er ook hier soms, volkomen onverwacht en schijnbaar onvoorspelbaar, orde komt in de chaos! Zo is er in de buurt van a = 3.83 (exact: 1+Ö8) plotseling trivergentie. Op het grote broertje van de TI-83, de TI92 (Voyage), kun je dat beter zien:

Helaas zijn het oplossend vermogen en de rekensnelheid van de TI-83 niet echt geschikt voor zulke details.

Grenzen aan de groei In de natuur groeien populaties vaak exponentieel. Maar na een tijdje wordt deze groei afgeremd door omgevingsfactoren zoals tekort aan ruimte of voedsel. Bij geschikte keuze van de variabelen ontstaat een karakteristiek patroon, dat we logistisch noemen. Het prototype is x®gx(1-ax). Bekijk de rij u(n+1) = 1,02.u(n).(1-0,0003u(n)) met u(0)=10. g=1,02 is de groeifactor in het begin, dus 2 procent; de coëfficiënt a = 0,0003 geeft de mate van afremming. Hiervan zijn de termen uit te rekenen met 10®X ENTER gevolgd door 1.02X(1-.0003X)®X.

ANALYSE

- 29 -

Het programma RECURLOG is te gebruiken als gereedschap bij verder onderzoek. De broncode daarvan is weggelaten. Dit boek moet leesbaar blijven. Kijk naar de plaatjes. Aanvankelijk is de groeifactor ongeveer u(1)/u(0) » 1,017; na 70 stappen is er minder ruimte (voedsel) en is de groeifactor gedaald tot 1,012; na 200 stappen tot 1,0018.

Het model dat bij deze logistische (geremde) groei hoort wordt in de bovenstaande schermpjes getoond. De theorie met F ( x) =

65,36 1 + 5,536 × e - 0,02 x

sluit in dit voorbeeld bijna volmaakt aan bij het

experiment: F(200) = 59.3429; u(200)= 59.3665. Als je de grafiek van F (x) over de experimentele grafiek heen plot, is er geen verschil waar te nemen.

Een gedachtenexperiment Het idee van logistische groei verklaart de mogelijkheid van stabiele en instabiele evenwichtstoestanden. De kromme y =

1 1 + 20e - 6 x

met 0£x£1

en 0£y£1 (hier geschetst samen met de lijn y=x) heeft bij A en C een helling kleiner dan 1. In de omgeving van die twee punten is er dus een stabiel evenwicht (convergentie). Bij punt B echter is een minieme afwijking al genoeg om de zaak te verstoren, het is een labiel evenwicht. De groei zet zich dan voort in de richting van de stabiele punten A of C. In de TI83 (of -84) kun je dat met de TRACE knop prachtig zichtbaar maken na instelling van de Seq functie Y1=1/(1+20e^(-6u(n-1))) met u(nMin)=0.55 of 0.45.

ANALYSE

- 30 -

Freeman Dyson (befaamd Brits wis- en natuurkundige uit de twintigste eeuw) veronderstelt in Origins of Life (1999) dat leven ontstaan kan zijn door toevallige samenklontering van basismoleculen (aminozuren?) tot complexe ketens (enzymen?). In wat hij noemt een Toy Model wordt mathematisch beschreven hoe dat statistische proces in zijn werk kan zijn gegaan. Het overgrote deel van de deeltjes blijft in de buurt van A en sterft uit, maar heel soms (en er waren genoeg tijd en deeltjes voorhanden, vier miljard jaar geleden) kwam een deeltje rechts van B terecht dat zich ontwikkelde tot een levensvatbaar (reproduceerbaar) supermolecuul. Wie vindt dat dit een vaag verhaal is, vergist zich. De gedachte erachter komt voort uit de theorie van Curie-Weiss over de magnetiseerbaarheid van ferrometalen. Beneden een bepaalde temperatuur richten de elektronen zich naar elkaar, in de buurt van punt C. Hun neuzen staan dan dezelfde kant op en het materiaal wordt spontaan magnetisch. Denk aan een knikker bij B, op de top van een heuvel. Die knikker is in labiel evenwicht, hij raakt na een klein duwtje al uit balans en komt dan in een van de putjes bij A of C terecht, in stabiel evenwicht.

1

C

B

A a

complexiteit --> b

1

c

B

Onverwachte golfverschijnselen Als de remmende kracht, door externe oorzaken, een bepaalde kritische grens overschrijdt (bijvoorbeeld als plotseling roofdieren de groeiende populatie belagen) dan zal de populatie inkrimpen (wolven houden van konijnen) waardoor de roofdieren minder gedijen, zodat de prooidieren weer kunnen toenemen. Enzovoorts. Met een beetje mazzel krijg je dan een golfbeweging. In het dagelijks leven een niet onbekend verschijnsel (koersschommelingen, modeverschijnselen, afwisseling tussen vernieuwende en behoudende krachten).

ANALYSE

- 31 -

De logistische beweging gaat dus soms over in een golfbeweging. Dat is geschetst in het het programma RELOGOLF. Verander in de logistische recursie de laatste term zodanig dat er komt: u(n+1) = G.u(n).(1 - u(n-1)) , een zogenaamde tweestaps-recursie. Neem bijvoorbeeld G=2 en kijk na 25 stappen wat er gebeurt.

Met de volgcursor (TRACE en ~) kun je de afzonderlijk termen volgen. De periode van de golfbeweging is (in ons voorbeeld) zes, want na zes stappen keren de termen min of meer terug naar hun oude waarde (afgezien van dempingsverschijnselen). Zie de resulaten van RELOGOLF. De demping kan zo groot zijn, dat de populatie niet aan een golfbeweging toekomt. De wisselwerking tussen aantallen roofdieren en prooidieren is een fascinerende toepassing van de recursie theorieën. Zet je de u-waarden af op de horizontale as (de aantallen prooidieren) en de vwaarden op de verticale as dan krijg je een uv diagram (een twee-fasen diagram). Ik geef hierna een aantal plaatjes die opgeleverd werden door RECPROOF (PRooi- en ROOFdieren) zonder verder commentaar.

ANALYSE

- 32 -

8

Functies van twee variabelen

Stapje voor stapje Een functie van twee variabelen F (x, y) heeft als domein een deelverzameling van het Oxy vlak. Aan elk koppel (x, y) (aan elk punt dus) uit dit domein wordt een getal toegekend volgens het functievoorschrift van F. Als het functievoorschrift bijvoorbeeld gegeven is door 2 2 F (x, y) = Ö(x + y ) dan is F (3,4) = 5 de functiewaarde in punt (3,4). 2 2 De vergelijkingen x + y = C (met C ³ 0) stellen grafisch een verzameling cirkels voor met straal ÖC, hierboven getekend. Los van het feit dat die hier meer op sinaasappels lijken dan op cirkels, is er nog een onvolkomenheid. Een gewone grafische rekenmachine is namelijk in het algemeen niet in staat de grafiek van F (x, y) = C te produceren. Slechts in uitzonderlijke gevallen lukt het de y direct (expliciet) in x uit te drukken en de grafiek aldus via een omweg te 2 tekenen. [Hier dus met y = ± Ö (C - x )]. Men noemt F (x, y) = C daarom wel eens een impliciete 2 2 3 functie. Voorbeelden van zulke functies zijn 2x - 3y = 6 en x + 3y - 2x + y - 22Öy = 0. In het eerste geval lukt het nog om de y in x uit te drukken en de grafiek direct te tekenen met: Y1=(2X-6)/3 maar in het tweede geval gaat dat niet. Voor een grafiek van de vorm F (x, y) = 0 is het programma XYKROMME ontworpen. Vooraf moet F (x, y) in Y1 geplaatst worden. Er zit vervolgens niets anders op, lijkt me, dan van elk beeldschermpuntje (X,Y) te testen of het (als Y1=0) "aan" gezet moet worden met Pt-On(X,Y). Kolom voor kolom met For(X,Xmin,Xmax,Dx) en rij voor rij met For(Y,Ymin,Ymax,Dy) worden de pixels afgetast. Dx en Dy zijn de horizontale en verticale afstand tussen de pixels. Als het teken van Y1 verspringt van plus naar min (of andersom) nemen we aan dat daartussen "ergens" Y1 de waarde nul heeft aangenomen. Bij continue functies is dat ook zo. Als P de vorige waarde van Y1 is, dan is het product P*Y1 te gebruiken als de lakmoesproef. Is P*Y1 namelijk negatief dan hebben we een nulwaarde geconstateerd van Y1, dus van F (x, y). De romp van het programma is: XYKROMME ¾XüD:¾YüE For(X,Xmin,Xmax,D) Ymin-EüY:Y1üP For(Y,Ymin,Ymax,E) If P*Y1÷0:Pt-On(X,Y) Y1üP End End Ga koffie drinken terwijl de TI-83 (liefst model SE) nijver bezig is de 94 keer 62 beeldpunten af te tasten. Ik geef drie voorbeelden van grafieken van impliciete functies.

(X-2Y)(X+Y+9)=0

ANALYSE

X^4+Y^4-1=0

- 33 -

2X 2 -X^4-Y^2=0

Differentiaalvergelijkingen De vergelijking F (x, y) = 0 kan impliciet gedifferentieerd worden via de kettingregel. Nemen we 2 2 bijvoorbeeld de cirkels x + y = C dan levert differentiatie links en rechts: 2x + 2y × y ' = 0. F (x, y) = 0 differentiëren geeft dus: De partiële afgeleiden DF =

¶F ¶x

×Dx +

¶F ¶y

dF ¶F ¶F dy = + × =0 dx ¶x ¶y dx

¶F ¶x

en

¶F ¶y

×Dy = Fx×Dx + Fy ×Dy

worden korter genoteerd als Fx en Fy zodat er geschreven kan worden:

waarbij DF de toename in F is als gevolg van (kleine) wijzigingen Dx en Dy in de coördinaten x en y. 2

2

Punt (8,6) ligt op de cirkel x + y = 100; na een (niet eens kleine) toename Dx = 1 en Dy = 1 gaat dat punt over in het punt (9,7) en DF = 2x.1 + 2y.1 = 2.8 + 2.6 = 28 waardoor F op 100+28 = 128 komt. In werkelijkheid ligt het 2 2 punt (9,7) op de cirkel x + y = 130. Dat is al een fraaie benadering (130 ligt relatief dicht bij 128). 2

2

In het geval van de cirkels levert impliciete differentiatie van x + y = C de zogenaamde differentiaalvergelijking 2x + 2y× dy dx = 0 die ook wel wordt geschreven als 2x dx + 2y dy = 0 of

dy x =dx y

Omgekeerd zegt men dat de differentiaalvergelijking dy x =dx y

tot oplossing heeft het stelsel vergelijkingen 2

2

x + y = C. Zo'n oplossingskromme kan geschetst worden. Je kunt daarbij in hele kleine stapjes over het XY-vlak lopen en de richting van elk stapje laten bepalen door dy dx als functie van (x, y). Dit is de methode van Euler (die man weer!). Voor ons volgende TI-83 programma is het devies dus: (1) Zet dy dx vooraf in Y1 . (Vergeet niet met FnOff de normale werking van Y1 uit te schakelen). (2) Uitgaande van een bepaalde startpositie (a,b) beweeg je één pixel Dx opzij en tegelijk Y1 *Dx pixels omhoog, naar het volgende punt.

dy dx

× Dx =

Van breuken in Y1, zoals in het bovenstaande geval, houdt de rekenmachine niet erg omdat het bewegende punt onderweg nogal eens gestuit wordt door een noemer die nul is. Maar met het uitproberen van verschillende startpunten ontstaat er toch het bekende beeld van de concentrische cirkels. Zie de voorafgaande figuur. Hieronder de oplossingen van de differentiaalvergelijking

ANALYSE

- 34 -

dy = x(3 - y ) . dx

DIFEULER Lbl A ClrHome: FnOff Input "XSTART?",A Input "YSTART?",B ClrHome AüX:BüY Pt-On(X,Y) AüX:BüY ¾XüD:AüX:BüY Lbl R Y1üT Y+DTüY:X+DüX YüQ:Pt-On(X,Y):QüY If X<Xmax:Goto R AüX:BüY Lbl L Y1üT:Y-DTüY:X-DüX YüQ:Pt-On(X,Y):QüY If X>Xmin:Goto L Pause Goto A

Het snijpunt van twee XY krommen Het is mogelijk om een snijpunt van twee XY krommen te benaderen via een iteratief proces dat van Newton (weer zo'n kanjer) afkomstig is. Als voorbeeld nemen we de twee eerstegraads functies f (x, y) = 2y - x - 6 en g (x, y) = x + y - 12 waarvan de nulwaarden als de rechte lijnen 2y - x - 6 = 0 en x + y - 12 = 0 getekend kunnen worden. In het snijpunt [ (6,6), maar dat weten we nog even niet ] zijn f en g beide nul: f (6,6) = 0 en g (6,6) = 0. Hoe kunnen we dat snijpunt via een berekening opsporen? (1) Een eerste schatting van dit snijpunt is bijvoorbeeld (4,0). Helemaal mis natuurlijk, maar we zullen straks zien dat dat erg weinig uitmaakt. (2) Bereken f (4,0) en g (4,0): respectievelijk -10 en -8. Dit zou nul moeten zijn. De fout is dus D f = 0 - -10 = 10 respectievelijk D g = 0 - -8 = 8 (3) Bepaal de partiële afgeleiden f x =

df dg df dg , fy = , gx = , gy = dy dy dx dx

en substitueer dat alles in Df = f x×Dx + fy ×Dy resp Dg = g x×Dx + gy ×Dy met f x = -1; f y = 2; g x = 1; g y = 1

ANALYSE

- 35 -

Dat betekent in dit geval: -1×Dx + 2×Dy = 10 1×Dx + 1×Dy = 8 De oplossingen van deze twee vergelijkingen met twee onbekenden zijn: Dx = 2 en Dy = 6 (4) De tweede schatting van het snijpunt is de eerste schatting (4,0) plus de zojuist berekende correctiewaarden van Dx en Dy. Dit leidt tot een tweede schatting: x2 = x1 + 2 = 4 + 2 = 6 y2 = y1 + 6 = 0 + 6 = 6 (5) Herhaal zonodig het hele proces, uitgaande van de tweede schatting. Stap (5) is hier niet nodig want we zijn direct al klaar. We zullen het gehele iteratieve proces samenvatten in algemene zin.

Gegeven: f (x, y) = 0 en g (x, y) = 0 Te berekenen: Het snijpunt A(a, b) waarvoor geldt: f (a, b) = 0 en g (a, b) = 0 g(x,y)=0

A(a,b)

f (x,y)=0 Dx Dy

B(x1,y1)

Aanpak: Schat de oplossing B(x1 , y1 ) en bereken de afwijkingen Df en Dg t.o.v. nul. Df = f (a,b) - f (x1 , y1) = 0 - f (x1 , y1 ) en Dg = g (a,b) - g (x1 , y1 ) = 0 - g (x1 , y1 ) Bepaal voor B(x1 , y1 ) de afgeleiden f x, f y, g x en g y, eventueel benaderd volgens f x = met Dx = 0.001 Er ontstaan zo twee vergelijkingen met twee onbekenden, Dx en Dy: f x Dx + f y Dy = - f en g x Dx + g y Dy = - g De oplossingen hiervan zijn al eerder vermeld bij VGL2ONB: Dx =

f × g y- g × f y f y × gx - fx × g y

en Dy =

g × fx - f × gx f y × gx - fx × g y

De tweede schatting wordt nu x2 = x1 + Dx, y2 = y1 + Dy

ANALYSE

- 36 -

Df enzovoorts Dx

Herhaal de hele procedure met de tweede schatting B(x2 , y2 ). In normale gevallen verloopt zo'n iteratieproces razendsnel. Er is daarom een pause opdracht ingelast, om de tussenstappen zichtbaar te maken. Zonder die tussenstops verlopen de iteraties zo snel, dat het menselijk oog ze niet kan volgen. Het bijbehorende programma hebben we UNIVERXY genoemd.

OPGAVEN 25.

Teken met hulp van het programma XYKROMME de grafiek van 4 2 2 y - 8y - 4x +25 = 0 op het domein -4£x£4 en -4£y£4. (Even geduld SVP ...)

26.

Teken m.b.v. DIFEULER en ZStandard een paar oplossingskrommen van de diff.verg: a) dy/dx = x

b) dy/dx = x + y 2

2

2

27.

Teken de grafieken van x + y = 15 en y = 2x in één figuur. 2 2 2 [aanwijzing: gebruik Y1=(X +Y -15)(Y -2X) en XYKROMME met venster -6£X£6 en -4£Y£4]

28.

Bereken de coördinaten van de twee snijpunten uit opgave 27 met de iteratiemethode van Newton: UNIVERXY.

ANALYSE

- 37 -

9

Welke functie past bij de meetpunten?

X2X2X2

Het kleinste kwadraat?

X2 X2 X2 X 2 X2 X2

X2X2X2

Stel we hebben een aantal meetpunten (xk, yk) (k = 1,2,3,…,n) waarbij we een zo goed mogelijk passend functievoorschrift willen vinden. Neem bijvoorbeeld een dobbelsteen en gooi daar tien keer mee. Hiernaast is dat geïllustreerd in fig.1. Op de horizontale as staat het worpnummer, verticaal de uitkomst. We zoeken nu een constante functie y = a die optimaal past bij deze uitkomsten {2, 3, 3, 5, 1, 3, 3, 6, 3, 4}. Hoe vinden we de waarde van a die in totaal een zo klein mogelijke afwijking van het functievoorschrift y = a zal opleveren? Neem aan dat de n uitkomsten normaal verdeeld zijn rond y = a, volgens Gauss: 1 s 2p

-

×e

1 2s 2

×( x - m ) 2

2

dus hier evenredig zijn met exp[-(yk - a) ]. Ik gebruik exp voor het grondtal e, om formules in vier etages te vermijden. Als alle schommelingen toevallig zijn, dus onafhankelijk van elkaar, geldt de productregel voor de totale kans. De maximale totale kans op een zo klein mogelijke gemiddelde afwijking is dus evenredig 2 2 2 met het product exp[-(y1 -a) ]× exp[-(y2 -a) ]× exp[-(y3-a) ]× (aangenomen dat de dataschommelingen onafhankelijk zijn) dus evenredig met de som van de exponenten (volgens de eerste machtsregel moet 2 je de exponenten optellen): exp[-S(yk -a) ]. 2

Een maximale kans op minimale afwijkingen krijg je dus door de kwadratensom S(yk -a) te minimaliseren.

Dit is het principe der Kleinste Kwadraten. Volgens dit principe moet in ons voorbeeld de functie 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

f (a ) = (2-a) + (3-a) + (3-a) + (5-a) + (1-a) + (3-a) + (3-a) + (6-a) + (3-a) + (4-a) = 10a - 66a + 127

minimaal zijn. De afgeleide ervan naar a moet dus nul zijn: 20a - 66 = 0, leidend tot de optimale waarde van a: 3,3 hetgeen juist het gemiddelde ü is van de tien waarnemingsgetallen! Kijk naar het inleidende programma KK. Wie de beschikking heeft over een TI83 hoeft niet te differentiëren! Het commando fMin(Y1,X,L,R) doet het immers ook.

KK randInt(1,6,10)üL2 seq(X,X,1,10)üL1 Plot1(Scatter,L1,L2,Ð) DispGraph 1-Var Stats L2 55-9.5ËüP:round(P,0)üP Pause "sum((L2-X)Ü)"üY1 DispGraph Pause ClrHome Output(1,1,"Ë="):Output(1,3,Ë) Disp "MINIMUM":Disp "KWADRATENSOM" Disp "BEREIKT VOOR A=" Min(Y1,X,2,5)üA:round(A,1)üA:Disp A

ANALYSE

- 38 -

X-.3üTblStart:.1ü¾Tbl:DispTable

OPGAVE 29.

Een variatie rond het thema KK. Creëer een tiental punten die fungeren als meetpunten rond de lijn y = ½ x met behulp van 0.5L1+randNorm(0,1.5,10)üL2. De bedoeling hiervan is om de richtingscoëfficiënt a te bepalen van de lijn y = a x door O die het beste bij deze tien meetpunten past. Je verwacht natuurlijk dat die optimale waarde van a ongeveer 0.5 is. Zet de kwadratensom in Y1 met "sum((L2-XL1)Ü)"üY1 en bepaal het minimum ervan met fMin(Y1,X,0,1)üA . Maak een programma K K 2 dat soortgelijke schermplaatjes produceert als hierboven.

Het principe der Kleinste kwadraten (Least Squares) is gebruikt bij een tiental regressiemodules in de TI-83, die te bereiken zijn via STAT CALC. De populairste daarvan is LinReg(ax+b) L1,L2,Y1 om de best passende rechte lijn Y1 = ax + b te vinden bij een verzameling meetpunten (L1,L2). Een groot nadeel van deze modules is dat je de parameters (hier: a en b) niet in de hand hebt. Als we onze rechte lijn per se door de oorsprong willen hebben (b=0) of perse horizontaal (a=0) kan daar niet voor gezorgd worden. Neem het voorbeeld met de dobbelsteen. Als je daar LinReg op loslaat, wordt de lijn y = 0,18x + 2,33 aangeboden als beste benadering. Maar een oplopende trendlijn heeft bij de uitkomsten van een dobbelsteen weinig zin. Een ander voorbeeld zou kunnen zijn het meten van de veerconstante C bij de uitrekking van een veer (F = C×u); je bent daar, lijkt me, niet echt geïnteresseerd in een veer die al een bepaalde uitrekking u ¹ 0 vertoont als er een gewicht 0 aan hangt. Straks zullen we kijken of daar iets aan te doen is. Maar eerst een stukje theorie. De methode der kleinste kwadraten resulteert dus in de regressielijn voor aanpassing aan de lineaire functie y = ax + b. 2 2 Minimaliseer daarvoor S (y - (ax+b) ) = S (y – ax – b) . Er moeten nu twee afgeleiden nul gesteld worden, onderweg de kettingregel gebruikend: d/da = 0 geeft 2×S (y-ax-b).-x = 0 en d/db = 0 geeft 2×S (y-ax-b).-1 = 0 Let op, je differentieert naar a en b want dat zijn de onbekenden dus bijvoorbeeld

d

da

(ax) = x .

Hierna ontstaan er twee vergelijkingen in a en b: 2

a.Sx + b.Sx = Sxy en a.Sx + b.n = Sy met voor a de oplossing: a=

SxSy - nS( xy) 2

( S x ) - nS x

2

=

xy - x × y ( x 2 ) - ( x) 2 2

a

Als een niet-lineaire functie in a (zoals y = (x - a) of y = x ) gezocht wordt, is linearisatie van a de aangewezen weg. Maak in dat geval een eerste (zo nauwkeurig mogelijke) schatting van a (die noemen we even a 0) en neem in plaats van f (a) de eerste twee termen (het lineaire deel) van de Taylorreeks: f (a) = f (a 0 ) + (a-a 0).f '(a0 ) waarbij f '(a0 ) op de TI83 gehaald wordt uit nDeriv(Y1,A,A). Gebruik vervolgens de uitkomst van a als start voor een nieuwe, betere schatting. De herhaling van dit ons inmiddels bekende, door Newton bedachte proces heet iteratie.

ANALYSE

- 39 -

Dat ziet er niet vriendelijk uit, maar als gezegd: het minimaliseren van een functie hoeft op onze rekenmachine niet via differentiëren te verlopen. We gebruiken de voorgebakken functie die het minimum van een functie Y1 berekent, fMin(Y1,X,L,R), om een aanpak te zoeken in de volgende gevallen.

Een functie F (x, a) met één parameter Dit programmadeel werkt simpel en is bedoeld voor functies als f (x) = a.x x (de eenvoudigste) en f (x) = a (die als éénterm ook met PwerReg behandeld 2 zou kunnen worden) maar ook bijvoorbeeld: f (x) = (x - a) . Bij de hiernaast getekende punten (x, y) geeft LinReg L1,L2 als regressielijn y = 3,29x 0,57. Als we de regressielijn per se door (0,0) willen, gebruiken we ons Kleinste Kwadraten programma en komt er y = 3,15x. Nog een voorbeeld. We zoeken een wortelfunctie Ö(x + a) die zo goed mogelijk (dat wil zeggen met de kleinst mogelijke kwadratensom) door een zestal punten gaat. De meetpunten komen vooraf in L1 en L2. Schat A en stop F(X,A) in Y1. De kwadratensom sum((Y1-L2)Ü) wordt geminimaliseerd wat een optimale waarde van A oplevert. "Y1(L1)"üL3 fMin(sum((L3-L2)Ü),A,B,C)üA

"FUNCTIE NAAR L3" "MINIMALISEREN KWADRATENSOM"

De x (in L1) en y (in L2) van de meetpunten en de functie (in Y1) worden vooraf ingevoerd. Na een (grove) eerste schatting van de parameter is een enkele iteratie voldoende voor een redelijke aanpassing, zoals uit het grafiekje blijkt.

Een functie F (x, a, b) met twee parameters 2

Zodra een tweede parameter gebruikt wordt (zoals in f (x) = a.x + b.x) moeten we het nodige geduld betrachten met de tweede methode. Belangrijk is een goede eerste schatting voor a en b, want "de" oplossing is al gauw niet eenduidig meer! "Y1(L1)"üL3 fMin(sum((L3-L2)Ü),A,P,Q)üA fMin(sum((L3-L2)Ü),B,S,T)üB Output(6,1,"KWADRATENSOM:") sum((L3-L2)Ü)üE Output(7,1,round(E,3))

"MINIMALISEREN KWADRATENSOM"

o

Heet water koelt af naar kamertemperatuur (20 C). Het model hierbij wordt gegeven door t T = 20 + a ×b met t in L1 en T in L2. Bereken a en b.

ANALYSE

- 40 -

Een lineaire combinatie van twee functies We proberen de beste aanpassing te vinden van het type y = a×f (x) + b×g(x) + c aan een serie meetpunten (x in L1, y in L2). Stel f (x) = x en g (x) =

1 ; x +1

we zoeken in dat geval de meest geschikte waarden voor a, b en c in de lineaire combinatie y = a×x+

b +c x +1

In het bijbehorende programma is met matrices gewerkt om de drie vergelijkingen met drie onbekenden a, b en c op te lossen. Later wellicht iets meer over het oplossen van stelsels vergelijkingen. Op deze plek volsta ik met wat plaatjes.

Deze drie regressiemodellen zijn samengevat in het programma RGREXTRA waar een minimale toelichting (intro) gegeven wordt. De gebruiker wordt geacht te weten dat hij vooraf de data in L1 en L2 zet en het functievoorschrift in Y1 (eventueel Y2). Daarmee is dat programma een aanvullende applicatie geworden op de tien regressiemodellen in STAT CALC.

ANALYSE

- 41 -

ANTWOORDEN 1.

1,0986

2.

g=2

g=3

g=2.7

4.

a) y = - 6x + 16

b) y = 1.617x + 3.532 en y = 3x - 2

5.

hoek a ( x) = arctan b - arctan a afgeleide nul stellen geeft: x

x2 =

x

-b x +b

2

-

-a 2

x + a2

= 0 dus

ab(b - a ) = ab met het antwoord x = ab (b - a )

6.

x = 1,4 y = 3,6

7.

x = 6 y = 3,5 z = 2,5 u = -5

8.

X

Y=ü

sx

4 3.1 3.01 3.001 3.0005 3.0001

4 3.0998 3.002 2.9574 3.169 9.47

0.0005 0.0044 0.0425 0.4 0.84 49

Aantal betrouwbare decimalen 4 2 1 0 -

9.

10.

11.

De oppervlakte is 10

12.

1 = 100 1 - 0,99

ANALYSE

2

63,76

nee

99,35

99,988

- 42 -

173,19

chaos…

13. a) Dat gaat gestaag, maar zéér traag, omhoog. Na 500 termen nog maar 6,7928. Vermoedelijk divergent. Zelfs als je alleen maar de omgekeerde priemgetallen optelt: 1 1 1 1 1 1 + + + + + + ... en dus oneindig veel termen weglaat, dan nog is de reeks divergent! Super 2 3 5 7 11 traag weliswaar [ongeveer volgens ln (ln n) ], maar onmiskenbaar divergent. c) 8,58 14.

GAMMA

ClrHome Disp "AANTAL (N) IN L•" Disp "IN STAPPEN V 500" Disp "" Disp "SOM HARMONISCHE" Disp "REEKS (S) IN L‚" Disp "GAMMA (C) IN Lƒ" Output(8,10,"[ENTER]") Pause :ClrHome ClrAllLists 0üS:0üN:0üI Lbl 0 Output(8,10," ") sum(seq(1/X,X,N+1,N+500))üT S+TüS N+500üN:I+1üI S-ln(N)üC Output(1,1,"N=") Output(1,3,N) Output(2,1,"S=") Output(2,3,S) Output(3,1,"C=") Output(3,3,C) Output(8,10,"[ENTER]") NüL•(I):SüL‚(I):CüLƒ(I) Pause Goto 0 N.B.: de constante van Euler is ongeveer 0,5772156...; Euler kwam tot 0,577218 Ik kwam na een minuut of tien uit op 0,57724 en gaf het toen op. 15.

y = x en y' = x' = 1 geeft x = ½ en raakpunt (½,½)

16.

Evenwichtswaarde ½

20.

p£¼

22.

a) x - x + p = 0 geeft x = ½ ± Ö(¼ - p); de + vervalt, omdat de grafiek door (0,0) moet gaan. De voorwaarde -¾< p < ¼ volgt uit de eis voor de helling die tussen -1 en 1 moet liggen: |2x|<1 geeft -1 < 1 - Ö(1-4p) < 1 dus 0 < Ö(1-4p) < 2 dus 0 < 1-4p < 4 enzovoorts Een soortgelijk verhaal, maar technisch lastiger, geeft de grens voor tetravergentie: 2 2 de helling (afgeleide van Y 3) |4x(x +p)| met x = -½±Ö(-¾ – p) en x +p= ¼(-2±2Ö(-4p-3)) moet < 1 zijn en dat leidt tot |4+4p|<1 met als oplossing -1¼ < p < -¾. 2 2 b) x 1 - x2 = (x2-x 1) -> (x1+x2)(x1-x 2) = (x2-x 1) dit is het type vergelijking A.B=A met de oplossingen A=0 en B=1 hier dus x1=x2 en x1+x2 = -1 (x1=x2 wisten we al, blijft over x2 = -1 - x1) 2 x 2 invullen geeft x1 +x1+p+1=0 enzovoorts.

ANALYSE

2

- 43 -

De kern van het programma BIFURC ClrHome Disp "KIES DOMEIN A:" Disp "MET L÷A÷R" Prompt L,R LüXmin:RüXmax (R-L)/94üS .1üXscl:.1üYscl 0üYmin:1üYmax:1üX For(A,L,R,S) For(N,1,30) AX(1-X)üX If N>16:Pt-On(A,X) End .8üX End De formule voor bivergentie van x®ax(1-x) is als volgt te bewijzen. Gegevens: x = ax(1 - x) ü ý y = ay (1 - y )þ

23.

24.

y = 1-

1 a

Oplossing: Substitueer de tweede betrekking in de eerste: y = a 2 y (1 - y )(1 - ay (1 - y )) ; vanwege

y ¹ 0 is dit te schrijven als ay 3 - 2ay 2 + (1 + a) y - 1 +

1 a2

=0;

1 een oplossing is van deze derdegraads betrekking in y, moeten de coëfficiënten links a en rechts vergeleken worden in: omdat y = 1-

a ( y - 1 + 1a ) × ( y 2 + py + q ) º ay 3 - 2ay 2 + (1 + a ) y - 1 +

1 a2

waaruit volgt dat p = -1- 1 en q = 1 + 1 ; a

a

a2

de kwadratische factor hierin kan geschreven worden als:

a 2 y 2 - a (a + 1) y + a + 1 = 0 met de oplossingen

y1,2 =

a (a + 1) ± a 2 (a + 1) 2 - 4a 2 (a + 1) 2a

25. t/m 28. 4

2

2

2

y - 8y - 4x + 25 = 0

2

2

=

a + 1 ± (a + 1)(a - 3) 2a

dy/dx =x+y

2

(x +y -15)(y -2x)=0

snijpunten: (3;Ö6) en (-3;Ö6)

ANALYSE

- 44 -

dy/dx = x

40.

KK2

ClrHome 0üXmin:0üYmin 21üXmax:11üYmax 2üXscl:1üYscl seq(X,X,2,20,2)üL1 .5L1+randNorm(0,1.5,10)üL2 Plot1(Scatter,L1,L2,Ð) DispGraph:Pause :ClrHome "sum((L2-XL1)Ü)"üY1 0.3üXmin:0.7üXmax .1üXscl:30üYmax DispGraph:Pause ClrHome fMin(Y1,X,0,1)üA Disp "MINIMUM VOOR:",A:Pause :ClrHome:2üXscl:21üXmax:11üYmax "AX"üY1:Plot1(Scatter,L1,L2,Ð) DispGraph:Pause :ClrHome

ANALYSE

- 45 -