MEETKUNDE Tussen haakjes staan de namen van de programma's, in de groep GRVECTOR .
1 2 3 4 5
De oppervlakte van een veelhoek (OPPVEELH) ..................................................................................................1 Panorama van de driehoeksmeting (R2DRIEHK ) ................................................................................................3 Vectoren in R2 (HOEK) ...........................................................................................................................................6 Vectoren in R3 (INUITPRO ) ..................................................................................................................................9 Het berekenen van afstanden en hoeken...............................................................................................................14 5.1 De hoek tussen twee lijnen (HOEKLM) ........................................................................................................14 5.2 De hoek tussen lijn en vlak (HOEKLV) ........................................................................................................14 5.3 De hoek tussen twee vlakken (HOEKVW) ....................................................................................................14 5.4 Oppervlakte en inhoud ...................................................................................................................................15 5.5 Afstand van punt tot lijn (R3PTLIJN) .......................................................................................................15 5.6 Afstand van punt tot vlak (R3PTVLAK ) ......................................................................................................16 5.7 Het loodrechte snijlijnstuk ( R3LOODLN ) ....................................................................................................17
Antwoorden ...........................................................................................................................................................................18
MEETKUNDE 1
De oppervlakte van een polygoon
Op de site van Dick Klingens ( www.pandd.demon.nl) is een fantastisch overzicht gegeven van onderwerpen uit de meetkunde, inclusief bewijzen, geschiedenis, werkbladen en animaties. Dick in Wonderland, zou je dit digitale meesterwerk kunnen noemen. Daar wil en kan deze schrijver niet aan tippen. De op de Nederlandse scholen toegestane grafische rekenmachines zijn niet geschikt voor fraaie meetkundige plaatjes. Daarvoor zijn 96´64 pixels eigenlijk te weinig. Maar meetkundige berekeningen kunnen er natuurlijk prima mee gemaakt worden. Een meetkundige figuur kan vastgelegd worden door coördinaten of vectoren die aan rekenregels onderworpen zijn. En rekenen kunnen onze TI83 programma's als de beste. Dat demonstreren we met het eerste meetkundeprogramma OPPVEELH, dat de oppervlakte berekent van een gesloten polygoon. Een polygoon is een veelhoek (met eventueel inspringende hoekpunten, zoals in figuur 3). De ingesloten oppervlakte verkrijg je door optellen en aftrekken van rechthoekige trapezia. fig.1
In figuur 1 is aangegeven dat de oppervlakte van zo'n trapezium gevonden wordt door de basis PR te vermenigvuldigen met de gemiddelde hoogte 0,5(AP+BR). In figuur 2 is de oppervlakte van driehoek ABC gelijk aan PABQ + QBCR - PACR. fig.2
Dit principe is gebruikt in het programma.
fig.3
Van (A,B) naar (X,Y) is de oppervlakte .5(X-A)(Y+B) van het trapezium:
positief als A<X
negatief als X
waarna het volgende programma ontstaat
MEETKUNDE
-1-
Disp "EERSTE HOEKPUNT:" Prompt X,Y XüP:YüQ:XüA:YüB:0üS Pt-On(A,B,2) Pause Lbl 0 Disp "VOLGEND HOEKPT:" Prompt X,Y .5(X-A)(Y+B)+SüS If X=P and Y=Q:Goto 1 Line(A,B,X,Y) XüA:YüB Pt-On(A,B,2) Pause Goto 0 Lbl 1 abs(S)üS ClrHome Disp "OPP=",S
2
"OPP. TRAPEZIUM ERBIJ/ERAF"
Panorama van de driehoeksmeting
Wie wat wil meten (het woord meetkunde brengt je wellicht op die gedachte) zal de sinus, cosinus en tangens moeten hanteren. We zetten de beginselen van de hoekmeting (goniometrie) en driehoeksmeting (trigonometrie) op een rij. In het plaatje is een deel van de eenheidscirkel getekend (r=1). De met een * aangegeven hoek AOB noemen we α. In dit hoofdstuk zullen we alle hoeken in graden meten. Op de TI83 stel je dat in met MODE Degree. De definities zijn: sin α = AB = yA ; cos α = OB = xA ; tan α = AB / OB = sin α / cos α De stelling van Pythagoras leidt tot de regel: 2
2
(sin α) + (cos α) = 1
2
2
korter: sin α + cos α = 1
Punt C vertegenwoordigt een stompe hoek (> 900 ) waarvoor de x-coördinaat, dus de cosinus, negatief is. Dit leidt tot de betrekkingen: sin (180-α) = sin α en cos (180-α) = - cos α.
C
De cosinusregel is een uitbreiding van de stelling van Pythagoras naar willekeurige (niet speciaal rechthoekige) driehoeken.
a
b h
2
2
2
(1) a = b + c - 2bc cos α 2 2 2 (2) b = c + a - 2ac cos b 2 2 2 (3) c = a + b - 2ab cos g
α
A
p
q c=p+q
OPGAVEN 1.
2
Bewijs cosinusregel nummer (1). Druk eerst h uit in b en p; daarna in a en q en vervang q door p.
MEETKUNDE
-2-
B
De sinusregel luidt: C
a b c = = sin a sin b sin g 2.
g
b
Bewijs de sinusregel. Kijk naar de figuur hiernaast.
a
h b
α Een formule voor de oppervlakte van een driehoek is:
O= 3.
1
2
bc sin a =
1
2
ac sin b =
1
2
c
A
B
ab sin g
Bewijs deze oppervlakteregel.
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek is het snijpunt van de drie middelloodlijnen. Voor de straal R (hoofdletter!) van de omgeschreven cirkel van een driehoek geldt:
abc waarin O de oppervlakte is. 4O
R=
4. Bewijs deze formule. Merk op dat de met een * aangegeven hoeken aan elkaar gelijk zijn (een middelpuntshoek is het dubbele van een omtrekshoek) en gebruik de oppervlakteregel.
Het middelpunt van de ingeschreven cirkel is het snijpunt van de drie deellijnen (bissectrices). Voor de straal r (kleine letter!) van de ingeschreven cirkel van een driehoek geldt:
r= 5.
O = s
1
O 2 (a + b + c)
Bewijs deze formule. Aanwijzing: opp ABC= opp AMB + BMC + AMC.
De bissectricestelling. Een bissectrice verdeelt de zijde waar hij op staat in stukken die zich verhouden als de andere zijden. In formule: p : q = b: a Het bewijs van de bissectricestelling is van een grote schoonheid. Trek een hulplijn door A evenwijdig aan de bissectrice, kijk naar de gelijke hoeken en de verhouding volgt er direct uit. Klaar is Kees (quod erat demonstrandum, zeiden de Oude Grieken al). *
C
* *
b
b
C
* *
a b
a
* A
p
MEETKUNDE
q
B
A
-3-
p
q
B
C
De stelling van Stewart geeft de lengte van een transversaal in een driehoek (een transversaal is een lijnstuk dat een hoekpunt verbindt met een willekeurig punt op de overstaande zijde, zoals een hoogtelijn, zwaartelijn of bissectrice):
a
b
x
x 2 c = a 2 p + b 2 q - cpq 6.
Bewijs ook deze formule. Aanwijzing: Gebruik de cosinusregel t.o.v. hoek α twee keer en elimineer de term 2bcosα uit de twee betrekkingen die je kreeg.
α
p
q
A
D
B
c
Een programma dat x voor je uitrekent zou zich als volgt kunnen manifesteren.
N.B.: helaas ontbreekt de kleine letter q, ik heb me dus moeten behelpen met c-p. Ik kan het niet nalaten hier wat schermplaatjes te tonen van het programma R2DRIEHK. In de broncode van dat programma heb ik alle letters van het alfabet gebruikt, sommige meermalen voor verschillende variabelen. Op zich is dat al een beleving die tot grote voldoening stemt. Vooral als C alles nog blijkt te werken ook! Gek genoeg zijn er mensen die b=2 a=1 0 zo'n bouwwerk van met elkaar samenhangende en uit elkaar 20 1 volgende stellingen mooi vinden. Ik ga er van uit dat de lezer A B B (anders was hij of zij nooit tot tot dat soort mensen behoort deze bladzijde gekomen). Daar put ik moed uit voor de volgende paragraaf, waar we met vectoren een ruimtelijk bouwwerk (in R3) construeren.
MEETKUNDE
-4-
3
Vectoren (in R2)
Een vector (snelheidsvector) is vastgelegd door een grootte (lengte, norm) en een richting. Als ook het aangrijpingspunt ("de staart") van de vector een rol speelt, zoals bij krachten, dan spreken we van een plaatsvector. In het volgende gaat het niet speciaal over plaatsvectoren. "Gewone", reële getallen noemen we scalairen (ter onderscheid van vectoren). æa ö
De vector a is gegeven door zijn kentallen a1 naar rechts, a2 omhoog: a = çç 1 ÷÷ . è a2 ø æ a1 ö ÷÷ kunnen beschouwen als een è a2 ø
Als O(0,0) en A(a1 ,a 2 ) is dan zou je de plaatsvector OA = çç
vertegenwoordiger van de verzameling van alle vectoren met eenzelfde richting die niet speciaal in de oorsprong ontspruiten. Definities: voor het optellen van vectoren moet je hun kentallen optellen: æ a1 ö æ b1 ö æ a1 + b1 ö çç ÷÷ + çç ÷÷ = çç ÷÷ è a2 ø è b2 ø è a2 + b2 ø
Voor het vermenigvuldigen met een getal p (een scalar) geldt: æ a ö æ pa ö p × çç 1 ÷÷ = çç 1 ÷÷ dus è a2 ø è pa2 ø
en
æa ö
æ-a ö
a = - çç 1 ÷÷ = çç 1 ÷÷ è a2 ø è - a2 ø
æ 0ö a + - a = 0 = çç ÷÷ benevens è 0ø
(per definitie): a - b = a + -b C
Je kunt ook optellen door de vectoren "kop aan staart" te leggen: a + b = OA + OB = OA + AC = OC
c2 a2
want a1 +b1 =c1 en a 2 +b2 =c2 , zie de congruente rechthoekige driehoeken in de figuur hiernaast.
b2 O
A
b
a b a1
b1 B
De verbindingsvector van A naar B is te schrijven als: A
AB = b - a want a + AB = OA + AB = OB = b
a
Stelling: p ( a + b) = p a + pb hetgeen bewezen kan worden door uitschrijven van de kentallen. Definitie:
De norm van a is | a |= a12 + a2 2 (is dus een scalar).
Stelling:
| p × a |=| p | × | a |
immers
MEETKUNDE
p 2 a12 + p 2 a2 2 =
p 2 × a12 + a2 2 =| p | × | a |
-5-
B
b
c1
Definitie:
Onder de eenheidsvector langs a verstaan we
Stelling:
De lengte van een eenheidsvector is 1
1 |a|
a
Bewijs:
=
|a|
1
× a =|
|a|
1
| ×| a |=
|a|
|a|
a
×a =
|a|
=1
|a|
OPGAVE 7.
In R2 zijn gegeven de punten A(4,3) en B(5,12). ®
Bepaal de eenheidsvectoren langs OA , langs OB en langs AB .
De hoek (g) tussen twee vectoren ( a en b ) wordt bepaald door ze met de staarten tegen elkaar te leggen. Onder de projectie van b op a verstaan we de vector p = a× | b | cos g . De lengte van de projectie is | p |=| a× | b | cos g |=| a | × | b | cos g ; deze is uiteraard gelijk aan de lengte van de projectie van a op b .
b
Men noemt de lengte van de projectie ook wel het inwendig product van de vectoren a en b , kortweg geschreven als a o b . Gezien de typische notatie spreken de Amerikanen ook wel van het "dot product". Een nog weer andere benaming van het inwendig product is het scalair product, de uitkomst ervan is namelijk geen vector maar een getal (scalar). Wij kiezen voor inproduct.
g
| p |= a o b
Definitie: het inproduct van a en b (notatie a o b ) is de lengte van de projectie van b op a : a o b = | a | × | b | cos g , waarbij g de hoek is tussen a en b .
De lengte van de verbindingsvector c = b - a volgt uit: | c |2 = (b - a ) 2 = (b1 - a1 ) 2 + (b2 - a2 ) 2 = b12 - 2a1b1 + a12 + b2 2 - 2a2b2 + a2 2
en kan als derde zijde beschouwd worden in de driehoek hierboven. Toepassing van de cosinusregel leidt nu tot de volgende vereenvoudiging. | c |2 =| a |2 + | b |2 -2 | a || b | cos g = a12 + a2 2 + b12 + b2 2 - 2 | a || b | cos g
Gelijkstellen (waarna de kwadraten wegvallen) en delen door 2 geeft tenslotte:
a o b = | a | × | b | cos g = a1b1 + a2b2 en daarmee zullen we het verder doen. æ5ö
æ1ö
Het inproduct van çç ÷÷ en çç ÷÷ is 5×1 + 4×3 = 17; het inproduct è 4ø è 3ø
æ 10 ö æ 2 ö çç ÷÷ o çç ÷÷ is 20 - 20 = 0 è - 4ø è 5ø
Als a o b = 0 is, zijn er drie mogelijkheden: | a |=0 of | b |=0 of (de belangrijkste mogelijkheid) cos g = 0 dus g = 900 .
MEETKUNDE
-6-
a
Conclusie: als twee vectoren loodrecht op elkaar staan, is hun inproduct nul.
a ^b Þ a ob = 0 æ 10 ö æ 2 ö ÷÷ o çç ÷÷ nog even. è - 4ø è 5ø
Het voorbeeld met çç
In nevenstaande figuur zijn de hoeken A en B gelijk aan elkaar, gezien de verhoudingen 4/10 en 2/5; de hoeken A en C zijn samen 90 graden dus ook B en C. æ 10 ö æ 2ö ÷÷ en çç ÷÷ loodrecht op elkaar. 4 è ø è5ø
Dus staan çç
OPGAVEN 8.
Gegeven twee punten A en B; gevraagd hoek AOB in graden. a) A(4,3) en B(3,4) b) A(1,0) en B(-1,Ö3) c) A(3,1) en B(1,2) d) A(3,-2) en B(4,6)
9.
Schrijf een programma HOEK dat de voorgaande vragen in een handomdraai oplost. Invoer: de coördinaten van A en B. Uitvoer: hoek AOB in graden.
De hoek g tussen a en b volgt uit: cos g =
MEETKUNDE
-7-
aob | a |×|b |
4
Vectoren in R3
De uitbreiding van twee naar drie coördinaten is gemakkelijk. Het inwendig product bijvoorbeeld wordt gedefinieerd als a o b = a1b1 + a2b2 + a3b3
en de norm (lengte) wordt | a |= a12 + a2 2 + a32 = a o a dus | a |2 = a o a
De drie assen worden meestal gekozen als in het volgende plaatje (links) aangegeven is. Merk op dat het een rechtsdraaiend stelsel is: draai de x-as naar de y-as als bij een schroevendraaier die omhoog beweegt, in de richting van de z-as. z
a´b a a1
a2 x
a
a3
b
y x
rechtsdraaiend assenstelsel
uitwendig product
In dit assenstelsel is ook een uitwendig product (vectorproduct) gedefinieerd, aangegeven met het symbool ´. Het vectorproduct a ´ b is een vector (geen scalar dus), die loodrecht staat op a en b . Draai de schroevendraaier van a naar b , en je weet de richting van de productvector. Verwisseling van de vectoren levert een tegengesteld vectorproduct. In het plaatje rechts wijst b ´ a naar beneden! Er zijn weer twee definities. Haal eerst even adem. De tweede definitie ziet er onvriendelijk uit. Maar je kunt met hem en op hem rekenen, en daar gaat het om! (1)
a ´ b =| a | × | b | × sin g
g is Ð (a, b)
(2)
æ a1 ö æ b1 ö æ a2b3 - a3b2 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ a ´ b = ç a2 ÷ ´ ç b2 ÷ = ç a3b1 - a1b3 ÷ ça ÷ çb ÷ ç a b - a b ÷ 2 1ø è 3ø è 3ø è 1 2
De indices (subscripts) 1,2,3 zijn in een cirkeltje (cyclisch) doorgeschoven: van 2 naar 3 naar 1 naar 2 naar 3 naar 1 ... Dat (1) en (2) gelijkwaardig zijn, zullen we niet bewijzen. Niet omdat dat erg moeilijk is (je moet 2
2
beginnen met het kwadraat ( a ´ b ) uit te schrijven volgens (1) en daarbij 1-sin g te vervangen door 2 cos g), maar eerder omdat het zo'n vervelend en saai klusje is.
MEETKUNDE
-8-
Een paar voorbeelden. æ1ö æ0ö æ0ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç0÷´ ç1÷ = ç0÷ ; ç0÷ ç0÷ ç1÷ è ø è ø è ø
æ0ö æ0ö æ1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç1÷´ ç0÷ = ç0÷ ; ç0÷ ç1÷ ç0÷ è ø è ø è ø
æ0ö æ1ö æ0ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç0÷´ ç0÷ = ç1÷ ; ç1÷ ç0÷ ç0÷ è ø è ø è ø
æ1ö æ1ö æ0ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç0÷´ ç0÷ = ç0÷ ç0÷ ç0÷ ç0÷ è ø è ø è ø
OPGAVEN
10.
11.
æ1ö æ 4ö æ 4ö æ1ö æ1ö æ 4ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ Bereken ç 2 ÷ ´ ç 5 ÷ en ç 5 ÷ ´ ç 2 ÷ en ç 2 ÷ o ç 5 ÷ ç 3÷ ç 6÷ ç 6÷ ç 3÷ ç 3÷ ç 6÷ è ø è ø è ø è ø è ø è ø Schrijf een programma dat na invoering van de kentallen van twee vectoren, hun inproduct en uitproduct berekent.
Vectoren (en hun product) spelen een belangrijke rol in de natuurkunde (mechanica, elektriciteitsleer), scheikunde en de techniek (bouwkunde). In de jaren '70 en '80 maakte de vectorrekening nog deel uit van het Nederlandse leerplan wiskunde op de havo en het vwo (wiskunde II). Om voor mij onbegrijpelijke redenen is het vak eind jaren '80 geruisloos afgevoerd. Het is mogelijk dat de goniometrie die aan de basis ervan ligt, als te zware last werd (wordt, moet ik zeggen: kort geleden zijn voorstellen gedaan om ook de goniometrie in de koelkast te zetten) beschouwd. Hoe het ook zij, leergebieden komen en gaan. Maar de leerplannen wiskunde worden nog vaker gewijzigd dan de spellingsregels van de Nederlandse Taal. Ingevoerd en weer in onbruik geraakt zijn de verzamelingenleer, de matrices en de grafen, de lineaire algebra, de vectorrekening. En het ziet er naar uit dat inmiddels ook de algebra een sterfhuisconstructie heeft ondergaan. Natuurlijk moet de tuin der (middelbare school)wiskunde regelmatig gesnoeid worden, maar het kappen van woudreuzen (en daar bedoel ik de algebra en de vectorrekening mee) gaat te ver. De wetenschap immers trekt zich niets aan van wat leerplanontwikkelaars in hun modieuze wijsheid bedacht hebben. Zodat de nieuwe student na het doorlopen van de tweede fase, in de derde fase in toenemende mate geteisterd wordt door nulmodules en inhaalprogramma's algebra en vectorrekening zonder formuleblad en grafische rekenmachine. Aanschouw de zeven formules op de volgende bladzijde. De eerste is de bekende formule om arbeid te berekenen. De tweede beschrijft de kracht op een in een magneetveld bewegend electron. De derde verklaart de ellipsbanen van planeten. Als je de schoonheid ervan kunt waarderen, adviseer ik je om natuurkunde te gaan studeren. Dan maak je bij elektriciteitsleer kennis met de nog fraaiere formules van Maxwell (formule 4 tot en r r met 7) die veranderingen in elektrische ( E ) en magnetische ( B ) velden beschrijft. Kijk er naar en bewonder ze.
MEETKUNDE
-9-
W = F os F = B ´ ev
v ´ c = GM u + b r r ÑoE = 0 r r ÑoB = 0
r r r dB Ñ´ E = dt r r r dE Ñ ´ B = em dt MEETKUNDE
- 10 -
PANORAMA
Een bouwwerk van stellingen Een stelling is een eigenschap met algemene geldigheid. De volgende stellingen gelden dus voor alle erin voorkomende vectoren en getallen. Na de stellingen over vectoren gecombineerd met reële getallen
a+b =b+a
a + (b + c ) = ( a + b ) + c
a+0=a a + (-a) = 0
1× a = a p ( a + b) = p a + pb
( p + q)a = p a + q a
( pq ) a = p ( q a ) = q ( p a )
0×a = 0
en de stellingen over het inproduct
a o a =| a |2
|
a |= 1 |a|
a o (b + c ) = a o b + a o c
aob = boa
0oa = 0
( p a ) o b = p ( a o b) = a o ( pb)
komen eigenschappen samenhangend met het uitproduct:
b ´ a = -( a ´ b)
a´0 = 0
a´a = 0
a ´ (b + c ) = a ´ b + a ´ c
( p a ) ´ b = p ( a ´ b) = a ´ ( pb)
(a + b) ´ c = a ´ c + b ´ c ( a ´ b ) o c = (b ´ c ) o a = ( c ´ a ) o b a ´ (b ´ c ) = ( a o c )b - ( a o b ) c en (tenslotte) de eigenschap dat a ´ b loodrecht staat op a en b vanwege ( a ´ b) o a = 0 en ( a ´ b) o b = 0 De juistheid van al deze beweringen volgt na het uitschrijven van de kentallen. In het laatste geval ( a ´ b) o a = 0 bijvoorbeeld:
(a2b3 - a3b2 )a1 + (a3b1 - a1b3 )a2 + (a1b2 - a2b1 )a3 waar, na het wegwerken van de haakjes, alles tegen elkaar wegvalt.
MEETKUNDE
- 11 -
Muggenzifterij? Zo'n bouwwerk zie je vaker in de wiskunde. Sterker: alle wiskundige modellen zijn, sinds Euclides (300 v C!), gebouwd op een fundament van definities en notaties (de axioma's) met de stellingen als bouwstenen. Jonge (Nederlandse) lezers van dit boek, die hun mathematische intuïtie verworven hebben in de basisvorming en de tweede fase, geloven mij natuurlijk niet. Maar pas op! Niet alles is wat het lijkt. Neem een willekeurige bewerking * (optellen, vermenigvuldigen). " Geloof " je in de commutatieve eigenschap: a*b=b*a Geloof je in de associatieve eigenschap: a*(b*c)=(a*b)*c of is er reden voor twijfel? De vanzelfsprekendheid van de commutatieve (verwisselings) eigenschap verdwijnt, zodra men kennis maakt met het uitproduct ( b´a ¹ a´b ) of met de vermenigvuldiging van matrices ([A]´[B]¹[B]´[A] blijkens de hiernaast staande schermplaatjes of met de machtsverheffing (23 is beslist niet gelijk aan 32 ) ... Ook de associatieve eigenschap is niet algemeen geldig. Bij het uitproduct niet, maar bijvoorbeeld evenmin bij de machtsverheffing: 2^(3^4) is niet hetzelfde als (2^3)^4 want het eerste is 28 1= 2,4.102 4 en het tweede is 21 2 = 4096 en dat scheelt nogal wat! Pas na heldere, eenduidige definities en gebruikmakend van de logica ontstaat er zekerheid in de vorm van stellingen. Ondersteund door al die stellingen krijgen we –stap voor stap- de kans hoger te klimmen. Het berekenen van hoeken en afstanden in figuren waarvan de coördinaten bekend zijn is nu slechts weinig meer dan een fluitje van een cent.
MEETKUNDE
- 12 -
5
Het berekenen van afstanden en hoeken
5.1
HOEKLM
De hoek α tussen twee lijnen AB en CD volgt uit cos a =
| AB o CD | | AB || C D |
In de volgende opgaven mag je het antwoord vinden met behulp van de aangeleverde programmaatjes. Of je legt de TI-83/84 opzij, pakt een stuk papier en rekent op eigen kracht. 12.
Gegeven de punten A(1,2,3) B(6,4,-5) C(0,0,1) en D(10,-1,7) Bereken de hoek in graden tussen de lijnen AB en CD.
5.2
HOEKLV
Bij de berekening van de hoek tussen een lijnstuk AB en een vlak CDE moet je bedenken, dat eerst een
AB
normaalvector n (loodvector) van het vlak bepaald moet worden. Dat kan met n = CD ´ CE . De hoek α tussen lijn en vlak is 900 min de hoek b tussen de lijn en de normaalvector. En cos α is gelijk aan sin b. Dat leidt uiteindelijk tot de formule:
sin a =
b
n
α CDE
| AB o n | | AB || n |
13.
Gegeven de punten A(0,0,0) B(2,2,1) C(0,0,0) D(1,0,0) en E(0,1,0) Bereken de hoek tussen de lijn AB en het vlak CDE.
5.3
HOEKVW
Voor de hoek tussen twee vlakken nemen we beide normaalvectoren en de formule cos a =
14.
α
| n ABC o n DEF | | n ABC || n DEF |
α
In een kubus met ribbe 6 zijn gegeven de punten A(0,0,0) B(6,0,6) C(0,6,6) D(0,0,0) E(0,1,0) en F(1,0,0) Bereken (en teken) de hoek tussen de vlakken ABC en DEF.
MEETKUNDE
vlak ABC
- 13 -
vlak DEF
5.4
Oppervlakte en inhoud
De oppervlakte van de driehoek die gevormd wordt door de plaatsvectoren a , b en b - a is te schrijven als
1
2 | a || b | sin g
dus
als 1 2 | a ´ b | ; de oppervlakte van het grondvlak (parallellogram) in nevenstaand
h
α
c
a b
prisma (scheef blok) is dus | a ´ b | waaruit volgt dat de inhoud van het blok te schrijven is als | a || b || h |=| a || b || c | cos a = | (a ´ b) o c | .
Zo zijn er nog vele voorbeelden van toepassingen te vinden van de vectorrekening. Wij beperken ons verder tot afstandsberekeningen in R3.
B P
Vectorvoorstelling van een lijn
A
b
p
Het punt P doorloopt de lijn AB. Op t=0 is P in A; op t=1 is P in B. Er geldt dus:
a O
OP = OA + t × AB
Kortweg: p = a + t × (b - a )
Men noemt dit een vectorvoorstelling of ook een parametervoorstelling van AB. a heet de steunvector, AB = b - a de richtingsvector van de lijn AB.
5.5
R3PTLIJN P
De afstand van punt P en lijn AB. Q is de projectie van P op lijn AB; AQ is de projectie van AP op AB; d is de afstand van P tot AB. De formules hierbij zijn
A
AB
α Q
en d = | AP |2 - | AQ |2 | AB | Gegeven zijn het punt P(10,10,10) en de lijn door de punten A(0,0,0) en B(10,0,-20). Bereken - de afstand van P tot lijn AB, - de lengte van AB, - de oppervlakte van D ABP en - de coördinaten van de projectie Q van P op lijn AB.
| AQ |=| AP o AB | en OQ = OA+ | AQ | × 15.
d
MEETKUNDE
- 14 -
B
5.6
R3PTVLAK
Na invoer van de coördinaten van de punten A, B, C en P kan het punt Q, de projectie van P op vlak ABC, bepaald worden waaruit de afstand PQ van P tot het vlak ABC volgt. De eenheids normaalvector langs PQ is n =
AB ´ AC
P
en de
| AB || AC |
n
afstand van P tot ABC is de projectie van AP op deze normaalvector dus C
d = AP o n =
AP o ( AB ´ AC )
Q A
| AB || AC |
B
De coördinaten van de projectie Q volgen uit OP = OQ + d × n dus OQ = OP - d × n
De vergelijking van vlak ABC kan gevonden worden uit de vectorvoorstelling van vlak ABC. Voor een willekeurig punt X(x,y,z) uit vlak ABC geldt namelijk: OX = OA + t × AB + u × AC afgekort x = a + t × AB + u × AC . Links en rechts het inproduct nemend met de normaalvector levert no x = noa
wat de (een) vergelijking van vlak ABC is. Laten we dat nog even toelichten met een voorbeeld. æ1ö ç ÷
æ 1 ö ç ÷
ç0÷ è ø
ç - 2÷ è ø
Stel A(1,1,1), B(2,0,1) en C(2,1,-1). Dan is AB = ç - 1÷ en AC = ç 0 ÷ zodat
æ 2ö ç ÷ AB ´ AC = ç 2 ÷ = n en n o x = n o a leidt tot ç1÷ è ø
æ 2 ö æ x ö æ 2 ö æ1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 2 ÷ o ç y ÷ = ç 2 ÷ o ç1÷ wat weer uitgewerkt kan ç 1 ÷ ç z ÷ ç 1 ÷ ç1÷ è ø è ø è ø è ø
worden tot de vergelijking 2x + 2y + z = 5 Ter controle vullen we nog even de coördinaten van A, B en C in: 2.1+2.1+1.1=5 klopt; 2.2+2.0+1.1=5 klopt; 2.2+2.1+1.-1=5 klopt ook. 16.
Gegeven zijn het punt T(12,1,6) en de punten A(7,0,0) B(1,4,0) en C(1,2,1) Bereken - de afstand van T tot vlak ABC, - de vergelijking van vlak ABC, - de oppervlakte van D ABC, - de inhoud van piramide T.ABC, - de coördinaten van de projectie van T op vlak ABC.
MEETKUNDE
- 15 -
Het loodrechte snijlijnstuk van kruisende lijnen
Kruisende lijnen zijn lijnen die geen gemeenschappelijk punt hebben. Het kortste verbindingslijnstuk van die lijnen zal loodrecht staan op beide lijnen. Vandaar dat men wel spreekt van het loodrechte snijlijnstuk van de lijnen. PQ (zowel loodrecht op AB als CD) is inderdaad het kortste verbindings-lijnstuk. Kijk naar de figuur en volg de redenering. De hypotenusa is de langste zijde in een rechthoekige driehoek, want c2 = a2 + b2 > b2 (en a2) dus c>b (en a). P'Q is hypotenusa in DQPP' dus is P'Q > PQ; P'Q' is hypotenusa in DQP'Q' dus is P'Q' > P'Q > PQ dus is elk ander verbindingslijnstuk P'Q' langer dan PQ.
P
P' lijn AB
Q Q' lijn CD
In vectorvoorstelling van de lijnen AB en CD kunnen P en Q geschreven worden als OP = OA + t × AB en OQ = OC + u × CD zodat de verbindingsvector wordt: PQ = OQ - OP = AC + u × CD - t × AB
Gebruikmakend van de loodrechte stand komt er PQ o AB = 0 en PQ o CD = 0 waarna er twee vergelijkingen in t en u ontstaan: (1) AC o AB + u × CD o AB - t × AB 2 = 0 en (2) AC o CD + u × CD 2 - t × AB o CD = 0 met de oplossingen t=
u=
( AC o AB)CD 2 - ( AC o CD)( AB o CD) n2
en
( AC o AB)( AB o CD ) - ( AC o CD ) AB 2 n2
waarin n 2 = ( AB ´ CD ) 2 = AB 2CD 2 - ( AB o CD ) 2 5.7
R3LOODLN
Alles is nu uitgedrukt in inproducten. De TI83 kan zijn gang gaan ... P en Q kunnen berekend worden en daarmee de afstand PQ van de kruisende lijnen. Als de lijnen per ongeluk snijden in plaats van kruisen, komt er 0 uit die afstand waarmee duidelijk wordt dat snijden een bijzonder geval van kruisen is! 17.
Gegeven zijn de punten A(0,1,2) B(3,-2,2) C(0,-1,15) en D(4,3,-1) Bereken de coördinaten van de punten P op lijn AB en Q op lijn CD zo, dat PQ loodrecht staat op AB en CD. Bereken ook de afstand van de lijnen AB en CD.
MEETKUNDE
- 16 -
ANTWOORDEN 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1.
h =b -p =a -q =a -(c-p)
dus a =b +c -2cp met p=bcosα.
2.
h = b sin α, h = a sin b enz.
3.
Opp = ½ c.h = ½ c.b sin α enz.
4.
sin g =
5.
½ cr + ½ br + ½ ar = O
6.
2 2 2 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos a en x 2 = b 2 + p 2 - 2bp cos a ; uit de tweede volgt: 2b cos a = a - bc - c
c enz. 2R
hetgeen, in de eerste ingevuld, oplevert: x 2 c - a 2 p = b 2 c - b 2 p + p 2 c - c 2 p en dat is gelijk aan
b 2 (c - p ) - cp(c - p ) = b 2 q - cpq
æ 513 ö çç ÷÷ è 12 13 ø
7.
æ 45 ö çç ÷÷ è 35 ø
8.
16 , 120 , 45 , 90
9.
HOEK
0
0
0
æ 182 ö çç ÷÷ è 8182 ø
0
ClrHome Input "XA?",A Input "YA?",C Input "XB?",B Input "YB?",D (AB+CD)/ð((AÜ+CÜ)(BÜ+DÜ))üI Degree cosñ(I)üH:Disp "HOEK IN GRADEN:",H Radian 10.
æ - 3ö ç ÷ ç 6 ÷ ç - 3÷ è ø
11.
INUITPRO
æ 3 ö ç ÷ ç - 6÷ ç 3 ÷ è ø
32
ClrHome:Disp "INVOER VECTOR A:" Input "X: ",A:Input "Y: ",B:Input "Z: ",C Disp "VECTOR B:" Input "X: ",D:Input "Y: ",E:Input "Z: ",F ClrHome AD+BE+CFüS:BF-CEüP:CD-AFüQ:AE-BDüR Output(1,1,"INPRO:"):Output(1,8,S) Output(3,1,"UITPRO:"):Disp "":Disp "":Disp "" Disp P,Q,R
MEETKUNDE
- 17 -
o
12.
90
13.
19.47
o
14.
54.74
o
15.
16.73
22.36
16.
7
2x+3y+6z=14
17.
P(1,0,2)
MEETKUNDE
187.08 (-2,0,4) 7
16.33
(10,-2,0)
Q(3,2,3)
afst=3
- 18 -
