Ing. Vítězslav Doleží, Ing. Dušan Galis

Projekt OP VK CZ.1.07/1.1.07/11.0112

Podpora odborného vzdělávání na středních školách MSK

Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace Praskova 8/399 746 01, Opava www.sspu-opava.cz tel.: 553 621 580 e-mail: [email protected]

www.spravnysmer.cz

Mechanika II Výukový manuál Ing. Vítězslav Doleží, Ing. Dušan Galis

„Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky“

Praskova 8, 746 01 Opava, tel.: 553 621 580, fax: 553 622 604 e-mail: [email protected], www.sspu–opava.cz

Ing. Vítězslav Doleží, Ing. Dušan Galis

Opava 2009


Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace

Ing. Vítězslav Doleží, Ing. Dušan Galis

Tato práce slouží pro výuku předmětu Mechaniky II na Střední škole průmyslové a umělecké, Opava, příspěvkové organizaci.

Opava 2009


1 1.1 1.2 1.3 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.2 3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.5 3.6 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.6.1 4.6.2 4.7 5 5.1 5.2 5.2.1 5.3 5.4 5.4.1 5.5 5.5.1

Obsah Úvod ............................................................................................................................ 5 Plán učiva .................................................................................................................... 5 Pomůcky ...................................................................................................................... 5 Poznámky .................................................................................................................... 6 Opakování prvního ročníku ......................................................................................... 6 Skládání sil – graficky a početně ................................................................................. 6 Rozložení síly do dvou kolmých směrů ...................................................................... 6 Podmínky rovnováhy................................................................................................... 7 Řešení reakcí nosníků na dvou podporách .................................................................. 7 Smykové tření .............................................................................................................. 7 Těžiště.......................................................................................................................... 8 Diagram tahové zkoušky ............................................................................................. 8 Dovolené napětí a bezpečnost ..................................................................................... 9 Tah, tlak ....................................................................................................................... 9 Smyk .......................................................................................................................... 10 Příklady...................................................................................................................... 10 Kvadratické momenty průřezových ploch ................................................................. 16 Momenty.................................................................................................................... 17 Statický moment síly ................................................................................................. 17 Statický moment plochy ............................................................................................ 17 Kvadratický moment plochy ..................................................................................... 17 Steinerova věta .......................................................................................................... 19 Kvadratické momenty geometrických ploch ............................................................. 19 Kvadratické momenty složených ploch ..................................................................... 21 Poloměr kvadratického momentu (kvadratický poloměr) ......................................... 23 Obdélník .................................................................................................................... 23 Kruh ........................................................................................................................... 23 Poloměr kvadratického momentu ix k mimotěžišťové ose ........................................ 23 Průřezové moduly v ohybu a krutu ........................................................................... 24 Průřezový modul v ohybu ......................................................................................... 25 Krut ............................................................................................................................ 27 Základní rovnice pro krut .......................................................................................... 28 Pevnostní podmínka pro krut..................................................................................... 28 Hookeův zákon pro smyk .......................................................................................... 28 Deformační podmínka pro krut: ................................................................................ 29 Závislost krouticího momentu MK na výkonu P ....................................................... 30 Kroucené pružiny ...................................................................................................... 30 Torzní tyč:.................................................................................................................. 30 Šroubová válcová pružina ......................................................................................... 31 Krut nekruhových průřezů ......................................................................................... 33 Ohyb .......................................................................................................................... 36 Pevnostní podmínka pro ohyb ................................................................................... 36 Uložení nosníků ......................................................................................................... 37 Způsoby uložení: ....................................................................................................... 37 Vnitřní síly a momenty .............................................................................................. 39 Průběh posouvajících sil a ohybových momentů ...................................................... 41 Vetknutý nosník ......................................................................................................... 41 Určování posouvajících sil a ohybových momentů ................................................... 42 Analytická metoda: .................................................................................................... 42


5.5.2 5.6 5.7 5.8 5.9 5.9.1 5.9.2 5.10 5.10.1 5.10.2 5.10.3 5.10.4 5.11 5.12 5.13 5.13.1 6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.3.5 6.4 7 7.1 7.2 7.3 7.4 8 8.1 8.2 8.3 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.4 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

Metoda superpozice: .................................................................................................. 43 Schwedlerova věta ..................................................................................................... 47 Nosníky se spojitým zatížením .................................................................................. 49 Nosník na dvou podporách ........................................................................................ 50 Nosníky stálé pevnosti ............................................................................................... 55 Vetknutý nosník ......................................................................................................... 55 Nosník na dvou podporách ........................................................................................ 58 Deformace v ohybu ................................................................................................... 59 Poloměr křivosti ρ ..................................................................................................... 59 Úhel natočení α .......................................................................................................... 59 Průhyb y ..................................................................................................................... 60 Metoda superpozice ................................................................................................... 64 Deformační podmínka pro ohyb ................................................................................ 67 Staticky neurčité nosníky .......................................................................................... 68 Ohýbané pružiny ....................................................................................................... 69 Výpočet listových pružin: .......................................................................................... 71 Složená namáhání ...................................................................................................... 73 Kombinace normálných napětí .................................................................................. 73 Šikmý ohyb: ............................................................................................................... 73 Tah nebo tlak + ohyb ................................................................................................. 75 Excentrický tah (tlak): ............................................................................................... 76 Kombinace normálných sil a tečných napětí ............................................................. 78 Teorie pevnosti .......................................................................................................... 78 Teorie maximálních normálných napětí σMax ............................................................ 78 Teorie maximálních poměrných deformací eMax ...................................................... 78 Teorie maximálních smykových napětí tMax ............................................................ 78 Teorie energetická – podle celkové měrné deformační energie ................................ 79 Teorie energetická – podle měrné deformační energie pro změnu tvaru .................. 79 Redukovaný moment ................................................................................................. 80 Vzpěr ......................................................................................................................... 86 Výpočet podle Eulera (pružný vzpěr)........................................................................ 88 Výpočet podle Tetmajera (nepružný vzpěr) .............................................................. 90 Součinitel vzpěrnosti ................................................................................................. 91 Shrnutí vzpěru: .......................................................................................................... 91 Cyklické namáhání – únava ....................................................................................... 94 Wöhlerova křivka (studium praskání kolejnic) ......................................................... 95 Smithův diagram ....................................................................................................... 96 Tvarová pevnost ........................................................................................................ 97 Vliv tvaru součásti: .................................................................................................... 97 Vliv velikosti: ............................................................................................................ 98 Vliv povrchu součásti: ............................................................................................... 99 Výpočet hřídele na únavu .......................................................................................... 99 Kinematika............................................................................................................... 101 Přímočaré pohyby .................................................................................................... 102 Přímočarý rovnoměrný pohyb – příklady................................................................ 104 Rovnoměrně zrychlený a zpožděný přímočarý pohyb ............................................ 106 Volný pád ................................................................................................................ 108 Svislý vrh ................................................................................................................. 108 Křivočaré pohyby .................................................................................................... 111


9.6.1 9.6.2 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.15.1 9.15.2 9.16 9.17 9.18 9.19 9.20 9.21 9.22 9.23 9.24 9.25

Obecný rovnoměrný křivočarý pohyb ..................................................................... 111 Rovnoměrný pohyb bodu po kružnici ..................................................................... 111 Rovnoměrný rotační pohyb těles kolem stálé osy ................................................... 113 Rovnoměrně zrychlený rotační pohyb ..................................................................... 114 Skládání pohybů ...................................................................................................... 116 Pohyb ve dvou rovnoběžných přímkách ................................................................. 117 Pohyb v různoběžných přímkách ............................................................................ 117 Vodorovný vrh......................................................................................................... 120 Šikmý vrh ................................................................................................................ 120 Svislý vrh ................................................................................................................. 122 Rozkládání pohybů .................................................................................................. 123 Valení válce po rovině ............................................................................................. 123 Oba dílčí pohyby otáčivé ......................................................................................... 125 Unášivý pohyb rotační, relativní posuvný ............................................................... 125 Harmonický pohyb .................................................................................................. 126 Rotační pohyb .......................................................................................................... 127 Kinematika soustavy těles ....................................................................................... 129 Stupně volnosti: ....................................................................................................... 129 Převody .................................................................................................................... 132 Řemenový nebo řetězový převod ............................................................................ 132 Převody ozubenými koly ......................................................................................... 132 Složený řemenový převod ....................................................................................... 133 Složený převod ozubenými koly ............................................................................. 134


1 Úvod 1.1 Plán učiva 1.

Úvod.

2.

Opakování látky z 1. ročníku.

3.

Kvadratické momenty a průřezové moduly.

4.

Krut.

5.

Ohyb.

6.

Složené namáhání.

7.

Stabilita – vzpěr.

8.

Cyklické namáhání – únava.

9.

Kinematika.

10.

Na konci roku před uzavřením známek kontrola všech sešitů, sešity musí být

v absolutním pořádku, se všemi nakreslenými obrázky, se vším dopsaným učivem, s okraji tuší. 11.

Opakování učiva.

1.2 Pomůcky 1.

Kniha MECHANIKA Pružnost a pevnost pro SPŠ strojnické, L. Mrňák,

A. Drdla, SNTL. 2.

Kniha MECHANIKA II Kinematika pro SPŠ strojnické, M. Julina, J. Kovář,

V. Venclík, SNTL. 3.

Kniha MECHANIKA Sbírka úloh, I. Turek, O. Skala, J Haluška, SNTL.

4.

Kniha Strojnické tabulky, Jan Leinveber a Pavel Vávra, ALBRA.

5.

Čtverečkovaný sešit A4 tlustý, okraje tuší 3 cm od vnější strany.

6.

Pero a pentelka 0,5 mm.

7.

Guma na gumování.

8.

Trojúhelníkové pravítko.

9.

Kalkulačka.

5/135


1.3 Poznámky Modul pružnosti V tahu

Ve smyku

Ocel

E = 2,1 · 105 MPa

G = 8 · 104 MPa

Litina

E = 1,2 · 105 MPa

G = 4 · 104 MPa

2 Opakování prvního ročníku 2.1 Skládání sil – graficky a početně

2.2 Rozložení síly do dvou kolmých směrů Fx = F ⋅ cos α Fy = F ⋅ sin α F = Fx2 + Fy2

6/135


2.3 Podmínky rovnováhy n

n

∑ Fi = 0

∑M

i =1

=0

i

i =1

2.4 Řešení reakcí nosníků na dvou podporách

Fx = F ⋅ cos α Fy = F ⋅ sin α n

n

∑ Fx = 0 ;

∑F

i =1

i =1

n

n

y

∑M A = 0;

∑M

i =1

i =1

=0

B

=0

FRAx = Fx FRBy =

Fy ⋅ a a+b

;

FRAy =

Fy ⋅ b a+b

2.5 Smykové tření Ft = Fn ⋅ f Fn = m ⋅ g

(Poznámka: platí v případě vodorovné podložky)

f – součinitel smykového tření, ocel/ocel – 0,15 ÷ 0,20; fo – součinitel smykového tření v klidu; f – součinitel smykového tření v pohybu; g = 9,81 m·s–2

7/135


2.6 Těžiště 2.7 Diagram tahové zkoušky

ε e – pružná, elastická deformace; ε p – plastická deformace; U, σU – mez úměrnosti; E, σE – mez pružnosti, elastičnosti; K, σK, Re – mez kluzu, vzniká již trvalá deformace, dá se přesně zjistit u houževnatých materiálů, je výchozí hodnotou pro výpočty; P, σP, Rm – mez pevnosti, materiál praská, je důležitá u křehkých materiálů; C – dochází k přetržení zkušební tyčinky. σt =

F S

Hookeův zákon: σ = ε ⋅E

ε – poměrné prodloužení, deformace ε =

∆l ; lo

E – modul pružnosti v tahu. Obdobně platí pro smyk (strojnické tabulky str. 35):

τS = γ ⋅G γ – zkos G – modul pružnosti ve smyku. Mez kluzu ve smyku τ KS = 0,6 ⋅ Re Pro ocel i litinu platí: σ pt = σ pd (pevnost v tahu se rovná pevnosti v tlaku). 8/135


2.8 Dovolené napětí a bezpečnost Počítáme: σ, bezpečnost, rozměr, sílu. Dovolené napětí v tahu: σ Dovt =

Re (mez kluzu / bezpečnosti). k

Rm a Re najdeme ve strojnických tabulkách str. 232 ÷ 238 Re = 0,6 · Rm ( σ K = 0,6 ⋅ σ P ) pDov = (0,7 ÷ 0,9) σDovt

2.9 Tah, tlak Tah počítáme v nejužším průřezu:

σt =

F ≤ σ Dovt S

Měrný tlak počítáme na průmět plochy kolmý k působící síle:

p=

F ≤ p Dov S

pDov = (0,7 ÷ 0,9) σDovt

S=

π ⋅ D2 4

S=

π ⋅ (D 2 − d 2 ) 4

9/135


2.10 Smyk F ≤ τ DovS S

τS =

τPS = 0,6 · σPt τKS = 0,6 · τPS = 0,6 . (0,6 · σPt) = 0,36 · σPt

τ DovS =

τ KS k

2.11 Příklady Př.: Jak velkou svislou silou musíme působit v místě A, aby se soustava nepohybovala. Jaká bude reakce v bodě B? F1 = 500 N, F2 = 1000 N.

n

∑M

B

=0

i =1

– F1 · 300 + F2 · 200 – FA · 400 = 0 → FA = 125 N n

∑F

y

=0

i =1

F1 – FRB + F2 – FA= 0 → FRB = 1375 N

10/135


Př.: Určete reakce nosníku.

F1 = F2 = 500 N

n

∑M

A

=0

i =1

F1 · 200 – FRB . 400 + F2 · 500 = 0 FRB =

500 ⋅ 200 + 500 ⋅ 500 = 875 N 400

n

∑F

y

=0

i =1

FRA = F1 – FRB + F2 FRA = 500 – 875 + 500 = 125 N

Př.: Jaké je napětí v jednotlivých prutech konzoly? Pruty mají průměr d = 10 mm? 500 → α = 26,5° 1000 F tgα = → F1 F 1000 F1 = = = 2000 N tgα tg 26,5 tgα =

sin α =

1000 1000 1000 → F2 = = = 2236 N F2 sin α sin 26,5

σ1 =

F1 4 F1 = = 25,46 MPa S π ⋅d2

σ2 =

F2 4 F2 = = 28,5MPa S π ⋅d2

11/135


Př.: Jakým momentem MA musíme působit, aby byla soustava v rovnováze?

F1 = F2 = 100 N

n

∑F

i

= 0 → FRA = F1 + F2 = 200 N

i =1 n

∑M

i

= 0 → F1 ⋅ 200 + F2 ⋅ 400 - M A = 0 → M A = 100 ⋅ 200 + 100 ⋅ 400 =

i =1

= 60000 N = 60 Nm = 60 ⋅103 Nmm

Př.: Určete těžiště obrazce, rozměry jsou dány v mm.

Určíme T1 a T2: Vypočteme plochy S1 a S2: S1 = 80 · 60 = 4800 mm2 S2 = 40 · 40 = 1600 mm2

12/135


Souřadnice těžiště: x1 = 30 mm, y1 = 40 mm, x2 = 80 mm, y2 = 20 mm Výpočet výslednice: S = S1 + S2 = 6400 mm2 F je přímo úměrná ploše, zavedeme: F = 6400 N F1 = 4800 N F2 = 1600 N F · xT = F1 · x1 + F2 · x2 → xT =

4800 ⋅ 30 + 1600 ⋅ 80 = 42,5mm 6400

F · yT = F1 · y1 + F2 · y2 → yT =

4800 ⋅ 40 + 1600 ⋅ 20 = 35mm 6400

Př.: Určete těžiště obrazce, rozměry jsou dány v mm:

S1 = 60 · 30 = 1800 mm2→ F1 = 1800 N S2 =

π ⋅d2 4

=

π ⋅ 20 2 4

= 314 mm2→ F2 = 314 N

x1 = 30 mm, x2 = 15 mm F = F1 – F2 = 1480 N F · xT = F1 · x1 – F2 · x2 → xT =

1800 ⋅ 30 − 314 ⋅15 = 33,2mm 1486

Těžiště leží na ose souměrnosti → yT = 0 (bod 0 zvolen na ose). 13/135


Př.: Jakou silou F musíme tlačit bednu o hmotnosti 100 kg, aby se začala pohybovat? Součinitel smykového tření f = 0,2.

F = FT = FN · f = m · g · f = 100 · 9,81 ·0,2 = 196,2 N

Př.: Který jeřábník zvolil z pevnostního hlediska vhodnější délku řetězu? Situaci prověřte graficky.

První varianta je dle grafického rozkladu výhodnější.

Př.: Jakou silou tlačí levá spodní tyč na bočnici a na dno palety. Tíha jedné roury je 2000 N, průměr roury je 500 mm.

14/135


Rovnostranný trojúhelník → 60° → α = 30° G G 1000 cos 30 = 2 → F1 = = = 1154,7 N F1 2 ⋅ cos 30 cos 30 Síla působící na dno pod levou tyčí: FDNA = F2 + G = 1000 + 2000 = 3000N Síla působící na bočnici: sin 30 =

F3 → F3 = F1 ⋅ sin 30 = 1154.7 ⋅ sin 30 = 577,35 N F1

Př.: Jaká velká síla je potřebná k vystřižení pětikoruny z plechu. τPS = 250 MPa. Průměr d = 23 mm, t = 2 mm.

F ≥ τ PS → F ≥ τ PS ⋅ S = S = τ PS ⋅ π ⋅ d ⋅ t =

τS =

= 250 ⋅ π ⋅ 23 ⋅ 2 = 36128 N = = 36,128 kN = 3,6 t

Př.: Táhlo s otvory je namáháno na tah silou F = 33 kN. Materiál táhla 11 523 má Re = 335 MPa. Určete tloušťku táhla při bezpečnosti k mezi kluzu k = 1,5.

σ Dovt = σt =

Re 335 = = 223,3MPa k 1,5

F F 33000 ≤ σ Dovt → S = = = 147,78mm 2 S σ Dovt 223,3

S = (40 – 10) · t → t =

S 147,78 = = 4,9 mm 30 30 15/135


Př.: Osazený konec tyče je namáhán silou 10 kN, vypočtěte napětí v patřičných místech. D = 70 mm, d = 50 mm, t = 30 mm.

F F 10000 ⋅ 4 = = = 5,1MPa 2 S π ⋅d π ⋅ 50 2 4

σt =

F F 10000 = = = 2,12 MPa S π ⋅ d ⋅ t π ⋅ 50 ⋅ 30

τS =

p=

F F 10000 ⋅ 4 = = = 5,3MPa 2 2 S π ⋅ ( D − d ) π ⋅ (70 2 − 50 2 ) 4

Př.: Jakou velkou silou je třeba táhnout ocelovou tyč, aby se prodloužila o 1mm? Tyč má průměr 10 mm a délku 1 m (Hookeův zákon).

ε=

∆l 1 = = 0,001 l0 1000

σ t = ε ⋅ E = 0,001 ⋅ 2,1 ⋅10 5 = 210 MPa

π ⋅d2 π ⋅ 102 F → F = σt ⋅ S = σt ⋅ = 210 ⋅ = 4 4 S = 16,5kN

σt =

3 Kvadratické momenty průřezových ploch Při namáhání v tahu, tlaku a smyku jsme poznali, že charakteristickými veličinami, na kterých závisela únosnost součásti a její deformace, byly velikost síly a plocha průřezu. Nezáleželo na poloze a tvaru. Jinak tomu bude u krutu a ohybu. Například pravítko na ležato a na stojato. U ohybu i dalších namáhání tedy únosnost a deformace závisí nejen na síle a průřezu, ale i na poloze, tvaru a rozložení podél průřezové osy. Charakteristickou veličinou tedy není průřez, ale kvadratický moment průřezu.

16/135


3.1 Momenty 3.1.1 Statický moment síly

M = F ⋅ a [N ⋅ m]

3.1.2 Statický moment plochy

[ ]

M S = S ⋅ x m3

3.1.3 Kvadratický moment plochy

3.1.3.1 Osový:

[ ]

∆J y = ∆S ⋅ x 2 m 4 n

J = ∑ (∆S i ⋅ xi ) = ∑ ∆J i [m 4 ] 2

i =1

n

n

i =1

i =1

J x = ∑ ∆J xi = ∑ (∆S i ⋅ y i ) n

2

!!! S ⋅ yT ≠ ∑ ∆S i ⋅ yTi !!! 2

2

i =1

Kvadratický osový moment plošky ∆S vzhledem k nějaké ose x se rovná součinu obsahu této plošky a čtverce vzdálenosti těžiště y2 této plošky od osy x.

17/135


Kvadratický osový moment celé plochy S složené z plošek ∆S se rovná součtu dílčích kvadratických momentů ∆J všech plošek ∆S. Pozor! Na rozdíl od lineárního momentu, kde jsme mohli součet dílčích momentů nahradit výslednou plochou násobenou vzdáleností těžiště, u kvadratického momentu by jsme dostali jiný výsledek!

3.1.3.2 Polární

(

)

∆J p = ∆S ⋅ r 2 = ∆S ⋅ x 2 + y 2 = ∆S x2 + ∆S y2 = ∆J y + ∆J x odtud pak: n

n

n

i =1

i =1

i =1

J p = ∑ ∆J pi = ∑ ∆J xi + ∑ ∆J y i = J x + J y Kvadratický polární moment plošky ∆S vzhledem k libovolnému bodu (pólu) se rovná součinu obsahu této plošky a čtverce vzdálenosti této plošky od pólu (r2). Polární moment celé plochy S se rovná součtu dílčích polárních momentů ∆J p . Polární moment ∆J p plochy S se rovná součtu osových kvadratických momentů téže plochy S ke dvěma osám, které jsou kolmé a procházejí pólem.

18/135


3.1.4 Steinerova věta Udává vztah mezi osovými momenty ke dvěma rovnoběžným osám, z nichž jedna prochází těžištěm.

Jx = JxT + S · a2

[mm4]

Kvadratický moment k mimotěžišťové ose x se rovná kvadratickému momentu k těžišťové ose xT rovnoběžnému s osou x, zvětšenému o součin S · a2, kde S je obsah plochy a a je vzdálenost os. Důsledek: K těžišťové ose je kvadratický moment minimální.

3.2 Kvadratické momenty geometrických ploch Kvadratické momenty geometrických ploch Kvadratický Velikost průřezu moment průřezu k ose těžiště Obdélník

S = b·h

J xT

b ⋅ h3 = 12

Polární moment průřezu

–

Čtverec

S = a2

J xT =

19/135

a4 12

–


Trojúhelník

S=

b⋅h 2

S xT =

b ⋅ h3 36

J xT =

π ⋅d4 64

–

Kruh

S=

π ⋅d2 4

Jp =

π ⋅d4 32

Mezikruží

π (D 2 − d 2 ) S= 4

J xT =

π (D 4 − d 4 ) 64

π (D 4 − d 4 ) Jp = 32

B ⋅ H 3 − b ⋅ h3 12

–

π ⋅ a3 ⋅ b 64

–

Dutý obdélník

S = B⋅H −b÷h

J xT =

Elipsa

S =

π · a ⋅b 4

20/135

J xT =


3.3 Kvadratické momenty složených ploch Kvadratické momenty mohu sčítat a odčítat pouze, působí–li ke stejné ose. Obvykle počítáme kvadratický moment k těžišťové ose celého průřezu. Např.: Mezikruží.

πD 4 πd 4 π = ⋅ (D 4 - d 4 ) 64 64 64 πD 4 πd 4 π = = ⋅ (D 4 - d 4 ) 32 32 32

Jx = JP

Př.: Určete kvadratický moment k ose x. 2

bh 3 h J x = J xT + S ⋅ a = + bh   = 12 2 bh 3 bh 3 bh 3 + 3bh 3 4bh 3 bh 3 = + = = = 12 4 12 12 3 2

Př.: Určete kvadratický moment k ose x. J x = J x1 - J x 2 3

bh 50 · 1003 J xT 1 = 1 1 = = 4166666 ,7 mm 4 12 12

J x 1 = J x T 1 + S1 ⋅ a12 = 4166666 ,7 + 100 · 50 · 50 2 = = 16666666 ,7mm 4 3

J xT 2 =

b2 h2 40 · 80 3 = = 1706666 ,7 mm 4 12 12

J x 2 = J x T 2 + S 2 ⋅ a22 = 1706666,7 + 40 · 80 · 40 2 = = 6826666 ,7mm 4 J x = J x1 - J x 2 = 16666666 ,7 - 6826666 ,7 = = 9840000mm 4

21/135


Př.: Určete kvadratický moment k ose x. Jde o dva profily U 100 ČSN 42 5570, Strojnické tabulky str. 295.

Z tabulek určíme: J x U = 206cm 4 S u = 1350mm 2

J x = 2 ⋅ (J x U + SU ⋅ aU2 ) = = 2 · ( 2 060 000 + 1350 · 50 2 ) = 10 870 000mm 4

Př.: Určete kvadratický moment k ose x. Jde o dva profily L50x50x6 ČSN 42 5541, Strojnické tabulky str. 289, 290 + profil 10 × 100.

Z tabulek určíme: J x T 1 = 12 ,88cm 4 S1 = 5,69cm 2 e = y = 1,44cm J x1 = J x T 1 + S1 ⋅ a12 = J x T 1 + S1 ⋅ y 2 = 12 ,88 + 5,69 ⋅ 1,44 2 = 24 ,68 cm 4

2

J x2

bh 3 1 · 103 h = J xT 2 + S2 ⋅ a = + bh  = + 1 · 10 · 5 2 = 333,33cm 4 12 12 2 2 2

J x 3 = J x1

J x = J x1 + J x 2 + J x 3 = 24,68 + 333,33 + 24,68 = 382,69cm 4

22/135


3.4 Poloměr kvadratického momentu (kvadratický poloměr) Protože neplatí vztah Jx = S · yT2, nahrazujeme jej pro nutné případy vztahem: Jx = S · ix2 n

J x = ∑ ∆S · yT = S · ix2 ≠ S · yT2 2

i =1

ix2 – poloměr kvadratického momentu, kvadratický poloměr J x ≠ S · yT2

3.4.1 Obdélník 1 3 bh Jx = 12 S bh

ix =

h 12

ix =

3.4.2 Kruh ix = ix =

π ⋅d4 4 Jx d2 = ⋅ = S 64 πd 2 16 d 4

3.4.3 Poloměr kvadratického momentu ix k mimotěžišťové ose ix =

Jx = S

J xT + S ⋅ a 2 S

23/135


3.5 Průřezové moduly v ohybu a krutu Pevnostní podmínky:

σ t,d =

F ≤ σ Dovt , d S

F ≤ p Dov S F τs = ≤ τ DovS S M σ o = o ≤ σ DovO Wo p=

τk =

Mk ≤ τ DovK Wk

Průřezový modul WO, WK nám reprezentuje v pevnostní podmínce pro krut a ohyb rozměry součástí, stejně jako plocha průřezu reprezentuje rozměry součástí v tahu nebo smyku.

Průřezový modul v krutu

WK =

Jp e

Jp – polární moment průřezu k neutrální ose. Jx – kvadratický moment průřezu k neutrální ose. e – vzdálenost krajního vlákna od neutrální osy.

WK – modul průřezu v krutu. Neutrální osa je osa, ve které nepůsobí žádné napětí. U kružnice je to uprostřed.

πd 4 Jp πd 3 32 WK = = = d e 16 2

WK =

π⋅d3 16

[mm3]

π (D 4 − d 4 ) π (D 4 − d 4 ) 32 W = = = · → tedy WKcelk ≠ WK 1 − WK 2 D e 16 D K 2 Jp

Průřezové moduly nelze nikdy sčítat ani odečítat! Poznámka: obvykle u krutu neuvažujeme jiné průřezy.

24/135


Př.: π ⋅ d 3 π ⋅ 103 WK = = = 196 mm3 16 16

3.6 Průřezový modul v ohybu σo =

M0 W0 min

W01 =

Jx e1

W02 =

Jx e2

Jx – kvadratický moment k neutrální ose. Neutrální osa je osa, kde není žádné napětí, při ohybu prochází těžištěm průřezu. e1, e2 – vzdálenost krajních vláken průřezu. Wo1, Wo2 – moduly průřezu v ohybu, do pevnostní rovnice uvažuji s minimálním modulem.

Postup výpočtu modulu průřezu v ohybu: 1.

Určím těžiště průřezu a tím i neutrální osu.

2.

Vypočtu kvadratický moment průřezu Jx s ohledem k těžištní ose.

3.

Vypočtu moduly průřezu W01 =

Jx J a W02 = x e1 e2

U průřezů symetrických podle osy platí e1 = e2 → W01 = W 02 W0 celk ≠ W0

+ W0

části1

části 2

J x celk = J x části1 + J x části 2 (ke stejné ose)

25/135


Strojnické tabulky, str. 39 ÷ 41

Průřezové moduly v ohybu základních geometrických obrazců K ose x Obdélník

W0 x =

1 2 bh 6

K ose y

1 W0 y = b 2 h 6

Čtverec

W0 x =

1 3 a 6

W0 y =

1 3 a 6

W0 y =

πd 3 32

Kruh

W0 x =

πd 3 32

Mezikruží

W0 x =

π 32

 D4 − d 4   ·   D 

26/135

W0 y =

π 32

 D4 − d 4   ·   D 


4 Krut Je namáhání kroutícím momentem, který působí v rovině ⊥ na podélnou osu součásti.

Deformace

λ r ⋅ϕ r = = λ' ρ ⋅ϕ ρ Pro malé úhly platí: γ ⋅ l = ϕ ⋅ r → γ =

r ⋅ϕ l

γ – zkos. ϑ – [théta] zkrut (úhel zkroucení hřídele jednotkové délky).

ϕ – úhel zkroucení. Rovinné řezy zůstávají rovinné, pouze se proti sobě natočí. Při natočení se řezy po sobě snaží posouvat, tedy vzniká tečné napětí → τ K .

Je zřejmé, že deformace λ uvnitř tyče je menší než deformace po obvodě tyče. Protože platí Hookeův zákon, je deformace přímo úměrná napětí, tedy i napětí roste přímo úměrně se vzdáleností od neutrální osy. Tedy při krutu je napětí rozloženo rovnoměrně a má maximální hodnotu na povrchu průřezu.

27/135


4.1 Základní rovnice pro krut τ K max =

MK WK

kde WK =

Jp r

pro kruh: WKo =

π ⋅d3 16

4.2 Pevnostní podmínka pro krut τK =

MK ≤ τ KDov WK

Ocel

τ DovK = 0 ,63 ⋅ σ Dovt

Litina

τ DovK = σ Dovt

WK – modul průřezu v krutu. Výhodnější jsou duté hřídele, kde při stejné hmotnosti přenesou podstatně větší MK (materiál u neutrální osy není využitý).

4.3 Hookeův zákon pro smyk τ max = γ ⋅ G

G – modul pružnosti ve smyku. Ocel

G = 8 · 104 MPa.

Litina

G = 4 · 104 MPa.

γ – zkos,

τ max =

γ=

r ⋅ϕ l

WK =

JP r

MK ⋅r r ⋅ϕ M ⋅ r ⋅l M K ⋅l = γ ⋅G = ⋅G → ϕ = K = Jp l J p ⋅ r ⋅G J p ⋅G

Úhel kroucení:

ϕ=

MK ⋅l [rad] J p ⋅G

⋅

180 [°] π

ϑ – [théta] zkrut (měrný úhel zkroucení) = úhel zkroucení tyče délky 1m.

ϑ=

ϕ l

=

MK [rad] G · Jp

⋅

180 [°] π

28/135


4.4 Deformační podmínka pro krut: U dlouhých tenkých hřídelů máme obvykle požadavek i na dostatečnou tuhost hřídele. Poddajný hřídel, který se hodně deformuje, může způsobit torzní kmity (pružina), které způsobují nežádoucí vibrace stroje. Proto v těchto případech kontrolujeme hřídel i z deformační podmínky. Úhel zkroucení:

ϕ° =

180 M K · l ° · ≤ ϕ Dov π G · Jp

Zkrut

ϑ° =

180 MK ° · ≤ ϑDov π G · Jp

Př.: Vypočítejte napětí v krutu

τK a úhel zkroucení pro tyče průměru 25 mm a délky

1 m, MK = 50 N.m, G = 8 . 104 MPa.

π ⋅ d 3 π ⋅ 253 = = 3068mm 3 16 16 50000 M τK = K = = 16,28MPa 3068 WK

WK =

π ⋅d4

π ⋅ 254

= 38350mm 4 32 32 50000 · 1000 · 180 M · l 180 ϕ= K · = = 0 ,93° G · Jp π 8 · 10 4 · 38300 · π JP =

=

π (D 4 − d 4 ) ( pro trubku by platily vzorce : WK = · , 16 D

π (D 4 − d 4 ) Jp = ) 32

Př.: Určete výsledný úhel zkroucení φ. )

)

)

)

ϕ celk = ϕ1 + ϕ 2 + ϕ3 =

J P1 = J P2 = J P3 =

π ⋅ d1 4 32

π ⋅ d24 32

π ⋅ d34

29/135

32

=… =… =…

 l l l  · 1 + 2 + 3  G  J p1 J p 2 J p 3 

MK


4.5 Závislost krouticího momentu MK na výkonu P Obvykle u hřídele známe přenášený výkon P a jeho otáčky n: Výkon: P=

A F·s = = F · v = F · r · ω = MK · ω t t

odtud: M K =

P ω

Úhlová rychlost: ω = 2 ⋅ π ⋅ n Tedy při stejném výkonu čím větší máme otáčky, tím menší je kroutící moment.

P1 = P2 = P n1 > n2 MK1 < MK2 d1 < d2

4.6 Kroucené pružiny 4.6.1 Torzní tyč: Je to pružina ve tvaru přímé tyče, používá se u automobilů (odpružení). Torzní pružina má mnohem lepší využití materiálu, než pružina ohýbaná. Využívají se tedy hlavně tam, kde záleží na lehkosti konstrukce.

30/135


τK =

Pevnostní rovnice:

Deformační podmínka:

)

ϕ=

MK MK = ≤ τ DovK πd 3 WK 16

M K· l ) π ⋅d4 ≤ ϕmax , (J p = ) G · Jp 32

Obvykle víme M K , ϕ max , materiál a musíme vypočítat průměr d, délku l.

4.6.2 Šroubová válcová pružina Tato pružina se používá nejčastěji, může být tažná (má oka) a tlačná (rovné zakončení závitů). Je vinuta z drátu.

d – normalizovaný průměr drátu pružiny. R – poloměr vinutí pružiny R = (3 ÷ 5) · d Pevnostní rovnice:

τK =

M K Fmax· R 16 ⋅ M k = ≤ τ DovK → d = 3 3 πd WK π ⋅τ DovK 16

Deformační podmínka: y – stlačení pružiny [mm]. n – počet činných závitů. A – deformační práce. ) ϕ – natočení drátu pružiny.

A= )

ϕ=

1 1 ) F · y = M K· ϕ 2 2

MK · l ≤ ϕ max G · Jp

31/135


MK = F · R J po =

πd 4 32

l = 2⋅π · R ⋅n 2 1 1 M K · l 1 F 2 R 2l = · → F·y = · 2 2 G · Jp 2 G · Jp

y=F

R2 ⋅ l 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ n · R 2 · 32 64 · R 3 ⋅ n =F· = F · =→ G · Jp G · π ⋅d4 G · d4

ymax· d 4 · G n= 64 ⋅ Fmax R 3

y=F·

64 · R 3 ⋅ n 1 = F · → F = y⋅k 4 G·d y

Tuhost pružiny k:

k=

G · d4 64 · R 3 ⋅ n

Výpočet volné délky tlačné pružiny l o : Při maximálním provozním stlačení pružiny y max má být mezi závity ještě minimální vůle v min = 0,5 mm. Závity tedy nesmí dosednout na sebe.

Celkový počet závitů: nC = n + nZ nC – celkový počet závitů n – počet činných závitů nZ – počet závěrných závitů (nZ = 1,5 ÷ 3) l0 = nC · d + (nC – 1) · vmin + ymax

32/135


Př.: Navrhněte tlačnou pružinu pro: Fmax = 200 N, R = 15 mm, maximální provozní zatížení pružiny ymax = 20 mm . Materiál je patentovaný ocelový drát τ DovK = 400 MPa,

G = 0,8 · 105 MPa. průměr drátu: τ K =

d =3

MK F ·R = max 3 ≤ τ DovK → π ⋅d WK 16

16 · Fmax· R 3 16 · 200 · 15 = = 3,36 mm π · τ DovK π · 400

Podle normy volím drát průměru 3,55 mm (staré ST str. 611, nové ST str. 617). Počet činných závitů:

ymax· d 4 · G 20 · 3,554 · 0 ,8 · 105 n= = = 5,88 závitů 64 ⋅ Fmax· R 3 64 · 200 · 153

nz = 2 nc = 8 závitů

4.7 Krut nekruhových průřezů Nekruhové průřezy se při kroucení bortí, proto se jejich použití vyhýbáme. Pro průřezy přibližně kruhové (šestihran, hřídel s perem, drážkovaný hřídel) počítáme přibližně s průměrem vepsané kružnice. U obecných průřezů (čtverec, obdélník) lze najít příslušné vzorečky v literatuře a jsou pouze přibližné.

Př.: Zjistěte úhel zkroucení f a zkrut u [théta] tyče v obloukové míře a ve stupních, jestliže délka tyče je L = 1 m, průměr d = 16 mm a modul pružnosti ve smyku je

G = 0 ,8 · 105 MPa, a = 200 mm, F = 1000 N .

33/135


M K = F · a = 1000 · 0 ,2 = 200 Nm = 200 · 103 Nmm 200 · 103 · 103 = 0 ,3886 rad 4 5 π · 16 0 ,8 · 10 · 32 180 ) 180 ·ϕ = · 0 ,3886 = 22 ,26° = 22°15´ ϕ° = π π ) ϕ) 0 ,3886 rad = 0 ,3886 ϑ= = l 1 m ϕ ° 22°15´ ϑ° = = = 22°15´ na metr délky l 1

)

ϕ=

M K· l = G · Jp

Př.: Vyvrtávajícím strojem je obráběn válec dvěmi noži dle obrázku. Řezná síla F = 10 4 N působí kolmo na poloměr R = 200 mm. Vypočtěte ∅ vřetena, které otáčí vyvrtávacím nožem, a to tak, aby celkový úhel zkroucení na délce l = 1,2 m nepřekročil hodnotu Dov = 0,5°, je–li G = 0,77 · 10 5 MPa. Určete zkrut u.

)

ϕ=

M K· l G · Jp

ϕ° =

Jp =

MK = 2 · F · R = 2 · 104 · 200 = 4 · 106 Nmm

ϕ° =

180 · π

d≥4

180 · M K · l · 32 180 · 4 · 106 ·1200 ·32 =4 = 92 ,36 mm π · G · π · 0 ,5 π 2· 0 ,77 · 105 · 0 ,5

ϑ° =

ϕ° l

=

M K· l ≤ 0 ,5° πd 4 G· 32

0,5° = 0,42° na metr délky 1,2

34/135

180 M K · l · ≤ 0,5° π G · Jp

π ⋅d4 32


Př.: Porovnejte úsporu materiálu u plného a dutého hřídele stejné délky, přenášejícího stejný krouticí moment při stejném dovoleném napětí. Dané hodnoty:

M K = 5 · 106 Nmm,

poměr α = d/D = 0,7; τ DovK = 60 MPa . a) Plný hřídel:

τ max =

MK ≤ τ DovK WK

WK =

MK 5 · 106 = = 8,33 · 10 4 mm3 τ DovK 60

WK =

16 ⋅ WK 16 · 8,33 · 10 4 πd 3 →d =3 =3 = 75 mm 16 π π

b) Dutý hřídel:

WK = D=3

4 π  D 4 − d 4  π  D 4 − (α ⋅ D )  π D 4 π =  = ·  ·  · 1−α 4 = · D3 1 − α 4  16  D  16  D 16 D 16 

(

)

(

)

16 ⋅ WK 16 · 8,33 · 10 4 3 = =& 82 mm π ⋅ 1−α 4 π · 1 − 0 ,7 4

(

)

(

)

d = D · α = 82 · 0,7 = 57,4 mm Poměr hmotností obou hřídelů se při stejné délce a materiálu rovná poměru průřezů.

m1 = V1· ρ = S1· l · ρ m 2 = V2· ρ = S 2· l · ρ πd 2 π · 75 2 = = 4420 mm 2 4 4 π π S 2 = D 2 − d 2 = ⋅ 82 2 1 − 0 ,7 2 = 2693 mm 2 4 4

S1 =

(

)

(

)

m2 S 2 ⋅ l· ρ S 2 2673 = = = = 0 ,61 m1 S1·l ⋅ ρ S1 4420 100 – 61 % = 39 % → dutý hřídel stejných parametrů má o 39 % menší hmotnost.

35/135


5 Ohyb Ohyb vzniká u součástí zatěžovaných ohybovým momentem, tj. momentem působícím v rovině osy součásti.

U ohýbaných součásti je napětí rozloženo po průřezu nerovnoměrně. Největší tahové napětí je na vnější straně ohybu (krajní vlákno 1) a největší tlakové napětí na vnitřní straně ohybu (krajní vlákno 2). Mezi krajními vlákny je místo, kde je nulové napětí. Tomuto místu pak říkáme neutrální osa. Neutrální osa je průsečnice neutrální vrstvy s rovinou řezu součásti. Neutrální osa prochází těžištěm průřezu a je v ní nulové ohybové napětí (od ohybového momentu).

5.1 Pevnostní podmínka pro ohyb

Podmínka rovnováhy momentů: M O = M OV M O – ohybový moment;

M OV – moment vnitřních sil. 36/135

Praskova 8, 746 01 Opava, tel.: 553 621 580, fax: 553 622 604 e-mail: [email protected], www.sspu–opava.cz n

n

n

M O = M OV = ∑ ∆Fi · yi = ∑ σ t·∆S i ·yi = ∑ i =1

=

σ O2 e2

σ O1

· Jx =

=

WO1

n

∑ ∆S

i =1

i =1

σ 01 e1

· yi ⋅ ∆yi ⋅ yi =

σ 01 e1

n

·

∑ ∆S i =1

2

i

· yi =

σ O1 e1

· Jx =

σ 02 WO 2

2

i

· yi = J x

i =1

Jx = WOx e1

σ O max =

MO ≤ σ DovO WO max

σ DovO = σ Dovt Wo – průřezový modul, WO =

π ⋅d3 32

, WO =

b ⋅ h2 6

Pozn.: U litiny se někdy počítá napětí v obou krajních vláken, tedy tahové i tlakové napětí, protože litina má mez kluzu v tahu asi trojnásobnou meze kluzu v tlaku σDovt = 3 · σDovD

5.2 Uložení nosníků 5.2.1 Způsoby uložení: Volná podpora (posuvná):

Umožňuje natáčení a vodorovný posun, přenáší svislé síly.

Pevná podpora (kloub):

37/135


Umožňuje pouze natáčení. Přenáší obecné šikmé síly, které se rozkládají do směrů x, y ↔ , b , R Ax , R Ay

Vetknutí:

Neumožňuje žádný pohyb. Přenáší šikmé síly a moment (po rozložení FRAx , FRAy ). Vazební síly jsou reakční síly působící v místě uchycení ohýbaných součástí (nosníků). U vetknutí vzniká navíc i vazební moment. Použití podpor nebo vetknutí závisí na konstrukčním uspořádání nosníků.

38/135


5.3 Vnitřní síly a momenty Vnější síly: zatížení + reakce v uložení. Vnitřní síly: jsou uvnitř v materiálu (metoda uvolňování). 1. Normálná síla FN :

Normálná síla je síla působící v rovině řezu, která udržuje v rovnováze síly působící ve směru osy nosníku. Normálná síla v určitém místě nosníku je součet všech normálných vnějších sil po jedné straně nosníku.

39/135


2. Posouvající síly FT :

Posouvající síla působí v místě řezu ve směru kolmém na osu nosníku a snaží se tedy posunout obě části řezu proti sobě. Kladná je ta posouvající síla, která se snaží posunout levou část nahoru proti pravé části. Posouvající síla v určitém místě nosníku je součet všech

příčných vnějších sil po jedné straně nosníku.

3. Ohybový moment:

Ohybový moment působí v místě řezu a je kolmý na osu nosníku. Ohybový moment v určitém místě nosníku je součet všech ohybových momentů po jedné straně řezu. Je to vnitřní moment, který je v rovnováze s vnějšími momenty.

40/135


M0A = F · x M 0B = F · l MOA = MOB – FRB (l – x) = F · l – FRB · l + F · x = F · x

5.4 Průběh posouvajících sil a ohybových momentů 5.4.1 Vetknutý nosník

41/135


Rovnováha sil:

FRA = F Rovnováha momentů k B: M0X = F · x

5.5 Určování posouvajících sil a ohybových momentů 5.5.1 Analytická metoda: a) Posouvající síla v libovolném průřezu se rovná algebraickému součtu všech vnějších příčných sil působících po jedné straně nosníku od místa řezu. b) Ohybový moment v libovolném průřezu nosníku se rovná algebraickému součtu momentů všech vnějších sil působících po jedné straně nosníku od místa řezu.

Př.: Určete průběhy posouvajících sil a ohybových momentů analytickou metodou.

42/135


F1 = 2F2 n

∑F

1

=0

i =1

FRA + F2 − F1 = 0 → FRA = F1 − F2 = 2 F2 − F2 = F2 FRA =

F1 2

M 01 = F1· l M 02 = F2·

l 2

M o max = M O1 − M O 2

5.5.2 Metoda superpozice: Používá se u nosníku zatíženého větším počtem sil. Analyticky určíme momentové plochy od každé síly zvlášť. Výsledná momentová plocha vznikne složením dílčích ploch (ohybové momenty od jednotlivých sil se ve stejném místě sčítají).

43/135


Př.:

reakce:

 n   ∑ M iA = 0   i =1  – F · a + FRB (a + b) = 0 FRB =

F·a a+b

FRA =

F·b a+b

M 0 X = FRB· x pro x = b M OX = M OB = M OMax = FRB· b = FRA· a

44/135


Př.:

45/135


F1 = − F2 → 1 FRA = F1 3 1 FRB = F1 3

Řešení od síly F1: n

∑M

i

=0

i =1

FRA =

2 F1 3

FRB =

1 F1 3

Moment od síly F1 v místě síly F1 M o1,1 = FRA·

1 2 1 2 l = F1· l = F1· l 3 3 3 9

Moment od síly F1 v místě síly F2 ´

M o 2,1 = FRB·

1 1 1 1 l = F1· l = F1· l 3 3 3 9

Řešení od síly F2: n

∑M

i

=0

i =1

FRA =

1 F2 3

FRB =

2 F2 3

Moment od síly F2 v místě síly F1 M o1, 2 = FRA·

1 1 l = F2· l 3 9

M o 2, 2 = FRB·

1 2 l = F2· l 3 9

´

Superpozice ´

M o max (1) = M o1,1 − M o1, 2 = ´

2 1 2 1 1 F1· l − F2· l = F1· l − F1· l = F1· l 9 9 9 9 9

M o max (2 ) = M o 2, 2 − M o 2,1 =

1 F1· l 9 46/135


5.6 Schwedlerova věta Udává vztah mezi plochou posouvajících sil a ohybovým momentem: Moment

v libovolném místě nosníku se rovná obsahu plochy posouvajících sil po jedné straně nosníku od uvažovaného místa.

Z toho plyne Schwedlerova věta:

MOMax je v místě, kde posouvající síla mění své znaménko, nebo tam, kde je rovna 0. Pokud nosník nemá spojité zatížení, je MOMax vždy pod nějakou vnější silou (včetně reakcí). Než kreslení průběhů momentových ploch a provádění superpozice, bývá rychlejší vypočítat MO pod všemi silami.

47/135


Př.: F1 = 28 kN, F2 = 40 kN , l1 = 2,3 m, l2 = 3 m, l3 = 2 ,7 m, x = 3,6 m . Určete MoMax a MoX

FRA =

F1· (l2 + l3 ) + F2· l3 28 · 5,7 + 40 · 2 ,7 = = 33,45 kN l1 + l2 + l3 8

FRB =

F1· l1 + F2· (l1 + l2 ) 28 · 2 ,3 + 40 · 5,3 = = 34 ,55 kN l1 + l2 + l3 8

M oMax = FRB· l3 = 34550 · 2 ,7 = 93285 Nm M ox = M oMax − (F2 − FRB ) ⋅ (l1 + l2 − x ) = 93285 − (40000 − 34550 ) · (5,3 − 3,6 ) = 84020 Nm nebo M ox = FRA· l1 + (FRA − l1 ) ⋅ ( x − l1 ) = 33450 · 2 ,3 + (33450 − 28000) · (3,6 − 2,3) = 84020 Nm nebo M ox = FRA· x − F1 · ( x − l1 ) = 33450 · 3,6 − 28000 · (3,6 − 2,3) = 84020 Nm 48/135


5.7 Nosníky se spojitým zatížením Zatížení nosníku je určeno buď celkovou velikostí zatížení, kterou značíme Q nebo měrným zatížením q vztaženým na jednotku délky. q=

Q N  l  m 

Celou tíhu můžu nahradit myšlenou výslednicí v těžišti.

n

∑F

iy

=0

i =1

FA − Q = 0 → FA = Q n

∑M

i

=0

i =1

MA −Q ·

l l =0→MA =Q · 2 2

V místě x: FTx = Q1 = q · x → přímka M ox = Q1·

x x x2 =q·x· =q· → 2 2 2

parabola M oMax = Q·

49/135

l l l2 =q·l· =q· 2 2 2


5.8 Nosník na dvou podporách

FRA = FRB =

Q q·l = 2 2

Q1 = q · x FTx = FRB − Q1 =

q·l −q·x 2

Kontrola: pro x = M ox

l → FTx = 0 2

x q·l x q · l · x q · x2 = FRB· x − Q1 · = · x−q · x · = − → parabola 2 2 2 2 2

pro x =

l 2

M o max =

q · l2 q · l2 q · l2 Q · l − = = 4 8 8 8

50/135


Př.:

F · a = F A· b FA =

F·a b

FB · b = F · (a + b ) FB =

F · (a + b ) b

M OMax = F · a = FA· b

Př.:

51/135


n

∑M

iA

=0

i =1

Q·

b − FB · b + F · (a + b ) = 0 2 F · (a + b ) + Q ·

FB =

b 2

b

n

∑M

iB

=0

i =1

F A· b − Q · Q· FA =

b +F·a=0 2

b − F ⋅a 2 b

M 0 X = FA· x − q · x ·

x 2

Qx = q · x M 0 X = FA· x − Qx ·

x 2

M 0B = F · a

Výpočet souřadnice x: 1.

Součet sil po jedné straně nosníku:

FA − Q x = 0

FA − q · x = 0 x=

FA q

2. tgα =

FA FB − F = x b−x

52/135


FA· (b − x ) = (FB − F ) · x FA· b − FA· x = FB · x − F · x FA· b = FB · x − F · x + FA· x FA· b = x · (FB − F + FA ) x=

FA· b F·b F = A = A FB − F + FA Q q

n

∑F

i

=0

i =1

FA – Q + FB – F = 0

Př.:

Q=q·b n

∑M

iB

=0

i =1

b  FA· (a + b + c ) − Q ·  c +  = 0 2 

53/135


b  Q · c +  2  FA = (a + b + c ) n

∑F

i

=0

i =1

FB = Q − FA n

∑M

iX

=0

i =1

M 0 x = FA ( x + a ) − Qx· FA − Qx = 0 → x =

x x = FA· ( x + a ) − q · x · 2 2

FA q

M 0 x = FA· ( x + a ) − q · x ·

 FA  FA 2 x FA FA  ( ) = FA· x + a − q · · = FA·  + a  − 2 q 2⋅q  q  2⋅q

Př.: Vpočtěte rozměry b a h dle obrázku. b : h = 2 : 1, → b/h = 2/1→ b = 2 · h

σO = WO ≥

MO ≤ σ DovO WO MO

σ DovO

1 F ⋅l b ⋅ h2 ≥ 6 σ DovO 1 F ⋅l 2 ⋅ h3 ≥ 6 σ DovO

h≥3

3⋅ F ⋅l

σ DovO

54/135


5.9 Nosníky stálé pevnosti Tyto nosníky mají proměnný průřez v závislosti na ohybovém momentu. Průřez je takový, aby napětí bylo ve všech bodech přibližně konstantní.

5.9.1 Vetknutý nosník

5.9.1.1 Konstantní šířka

σO =

M0 = konst. W0

σ 0x =

M 0x M 0 max = σ 0 Max = = konst. W0 x W0 max

pak:

W0 x M 0x = W0 max M 0 max 1 2 · b · hx F·x 6 = → hx = hmax· 1 2 F · l · b · hmax 6

x l

55/135


5.9.1.2 Konstantní tloušťka

W0 x M 0x = W0 max M 0 max 1 · bx · h 2 F·x x 6 = → bx = bmax· 1 l · bmax · h 2 F · l 6

56/135


Teoretický tvar nosníku nepoužíváme proto, že je výrobně nákladný a v místě osamělých sil nemůžeme zanedbat smyk. Proto se na volném konci používá výška profilu h Min =

h Max 2

Úspora materiálu je u teoretického nosníku asi 33 %, u praktického asi 25 %. Použití: ušetřím materiál (např. konzoly).

57/135


5.9.2 Nosník na dvou podporách Řešíme jako dva vetknuté nosníky, zatížené reakcemi.

Teoretický tvar celého nosníku je daný spojením teoretického tvaru obou vetknutých nosníků. Praktický tvar musí ležet vždy vně teoretického tvaru, aby napětí bylo vždy menší než σMax U nosníků s kruhovým průřezem – hřídelů, se obvykle používá praktický tvar nosníku jako odstupňovaný. 58/135


5.10 Deformace v ohybu Po deformaci bude neutrální osa nosníku zakřivená, říkáme jí pak průhybová čára (ohybová čára). K zakřivení dochází vlivem ohybového momentu.

Deformační veličiny:

ρ – poloměr křivosti;

α – úhel natočení; y – průhyb.

5.10.1

Poloměr křivosti ρ ρ Min =

Jx ⋅Ε M 0 Max

Jx – kvadratický moment; E – modul pružnosti v tahu.

5.10.2

Úhel natočení α α=

SM Ε ⋅ Jx

S M − plocha momentového obrazce.

59/135


5.10.3

Průhyb y y=

MS Ε ⋅ Jx

M S − je statický moment plochy momentového obrazce k místu síly. M S = S M ⋅ xT y=

MS S ⋅x = M T Ε ⋅ Jx Ε ⋅ Jx

Př.:

M oMax = F ⋅ l Plocha momentového obrazce:

SM =

M oMax ⋅ l F ⋅l2 = 2 2 60/135


Statický moment:

M S = S M ⋅ xT =

ρ min = α max

F ⋅l2 2 F ⋅l3 ⋅ l= 2 3 3

Jx ⋅Ε Jx ⋅Ε = M 0 max F ⋅l

SM F ⋅l2 = = Ε⋅ Jx 2⋅Ε⋅ Jx

ymax =

MS F ⋅ l3 = Ε ⋅ Jx 3⋅Ε ⋅ Jx

Př.:

M 0 max =

Q ⋅l q ⋅l q ⋅ l2 = ⋅l = 2 2 2

Plocha momentového obrazce:

SM =

1 Q ⋅l2 q ⋅l2 q ⋅l3 M oMax ⋅ l = = ⋅l = 3 6 6 6

61/135


Statický moment:

M S = S M ⋅ xT =

Q ⋅ l2 3 Q ⋅ l3 q ⋅ l4 ⋅ l= = 6 4 8 8

ρ min =

Jx ⋅ E 2 ⋅ E ⋅ Jx 2 ⋅ E ⋅ Jx = = M 0 Max Q ⋅l q ⋅ l2

α max =

SM Q ⋅l2 q ⋅ l3 = = Ε ⋅ Jx 6⋅ Ε ⋅ Jx 6 ⋅Ε ⋅ Jx

ymax =

MS Q ⋅ l3 q ⋅ l4 = = Ε ⋅ Jx 8 ⋅ Ε ⋅ Jx 8 ⋅ Ε ⋅ Jx

Př.: Nosník na dvou podporách.

62/135


FA = FB = M 0 Max = SM =

F 2

F l F ⋅l ⋅ = 2 2 4

1 F ⋅l l F ⋅l2 ⋅ ⋅ = 2 4 2 16

2 l F ⋅ l3 M S = SM ⋅ ⋅ = 3 2 48

ρ min =

Jx ⋅Ε 4⋅Ε⋅ Jx = M 0 max F ⋅l

α max =

SM F ⋅ l2 = E ⋅ J x 16 ⋅ Ε ⋅ J x

ymax =

MS F ⋅ l3 = E ⋅ J x 48 ⋅ Ε ⋅ J x

Př.: yMax = yOd spojitého zatížení – yOd reakce

Při výpočtu průhybu nosníku obvykle vzorce neodvozujeme, ale najdeme je v tabulkách. Pokud je nosník zatížen více silami nebo spojitým zatížením, používáme metodu superpozice.

63/135


5.10.4

Metoda superpozice

Vypočteme průhyby (úhel natočení) nosníku v požadovaném místě samostatně od jednotlivých zatížení (sil, spojitého zatížení). Výsledný průhyb (natočení) v daném místě pak dostaneme sečtením, případně odečtením průhybů (natočení) od jednotlivých sil. Kladný průhyb je směrem dolů.

Průhyb v místě 1 pomocí superpozice:

y1 = y11 − y12 Průhyb v místě 2 pomocí superpozice:

y 2 = y 21 − y 22

64/135


Příklady na použití vzorců ze strojnických tabulek str. 44:

Př.: Máme určit α max , ymax

F ⋅ l2 od F2 : α B = 2 ⋅ Ε ⋅ Jx yB =

F ⋅ l3 3⋅ Ε ⋅ Jx

od F1 : α B =

F ⋅ l2 8⋅ Ε ⋅ Jx

yB =

5 ⋅ F ⋅ l3 48 ⋅ Ε ⋅ J x

α max

F ⋅ l2 F ⋅ l2 = + 2 ⋅ Ε ⋅ Jx 8⋅ Ε ⋅ Jx

y max =

F ⋅l3 5⋅ F ⋅l3 + 3 ⋅ Ε ⋅ J x 48 ⋅ Ε ⋅ J x

65/135


Př.:

n

∑M

iA

=0

i =1

MoMax = FRB · b = FRA · a

l = a+b M 0 max =

F ⋅ a ⋅b a+b

αA =

F ⋅l2 6⋅Ε⋅ J

 b b3   ⋅  − 3   a + b (a + b ) 

αB =

F ⋅l2 6⋅Ε⋅ J

 2 ⋅ b b3 3 ⋅ b 2  ⋅  + 3 − 2  l l   l

ymax = yC =

Ve strojnických tabulkách str. 45 je v tomto vzorci chyba!!!

F ⋅ a 2 ⋅ b2 3⋅ Ε ⋅ Jx ⋅l

F ⋅a⋅c ⋅ b ⋅ (b + 2 ⋅ a ) − c 2 6⋅Ε⋅ Jx ⋅l

[

]

Př.: Vypočtěte max. průhyb, maximální úhel natočení a maximální ohybové napětí σO tyče ∅30 mm, l = 1000 mm, ρ = 7850 kg/m3, Ε = 2,1 ⋅ 10 5 MPa .

66/135


Q = G = m⋅ g =V ⋅ρ ⋅ g = q=

π ⋅d 2 4

⋅l ⋅ ρ ⋅ g =

π ⋅ 0,032 4

⋅1 ⋅ 7850 ⋅ 9,81 = 54,4 N

Q 54,4 N N = = 54,4 = 0,0544 l 1 m mm

M 0 max

q ⋅ l 2 54,4 ⋅ 12 = = = 6,8 Nm = 6804 Nmm 8 8

σ 0 Max =

M oMax M oMax 32 ⋅ 6,804 = = = 77005,5 Pa = 0,077 MPa π ⋅ d 3 π ⋅ 0,033 W0 32

strojnické tabulky str. 45

y max =

5⋅ Q ⋅l3 5 ⋅ 64 ⋅ Q ⋅ l 3 5 ⋅ 64 ⋅ 54,4 ⋅ 1000 3 = = = 0,08 mm 384 ⋅ Ε ⋅ J x 384 ⋅ Ε ⋅ π ⋅ d 4 384 ⋅ 2,1 ⋅ 10 5 ⋅ π ⋅ 30 4

strojnické tabulky str. 45

α=

Q ⋅l2 64 ⋅ Q ⋅ l 2 64 ⋅ 54,4 ⋅1000 2 360 o = = = 0 , 00027 rad = 0 , 00027 ⋅ = 0°0'56" 24 ⋅ Ε ⋅ J x 24 ⋅ Ε ⋅ π ⋅ d 4 24 ⋅ 2,1 ⋅10 5 ⋅ π ⋅ 30 4 2 ⋅π

5.11 Deformační podmínka pro ohyb U některých nosníků, např. delších hřídelů, počítáme kromě pevnostní podmínky

σ0 =

M0 ≤ σ DovO také s podmínkou deformační. Tato podmínka nám udává maximální W0

přípustnou deformaci nosníku. Používá se tam, kde např. nechceme, aby se ozubené kolo vlivem průhybu vysunulo ze záběru nebo aby se hřídel v ložiscích příliš natočila.

67/135


α max ≤ α Dov ymax ≤ yDov

5.12 Staticky neurčité nosníky Jsou to nosníky, kde máme takové podpory, že reakce už nejsme schopni vypočítat z podmínek rovnováhy. Máme 3 podmínky rovnováhy: n

∑F

ix

= 0 − vypočteme Fn, ale obvykle nás nezajímá;

i =1 n

∑F

iy

= 0 − vypočteme 2 reakce;

∑M

= 0 − vypočteme 2 reakce.

i =1 n

i

i =1

Statisticky neurčité nosníky jsou: Nosníky na více než dvou podporách Nosníky vetknuté + podpora Nosníky vetknuté na obou stranách Ke zjištění reakčních sil a momentů musíme u staticky neurčitých nosníků připojit ke statickým podmínkám i podmínky deformační. Př.: Máme 3 neznámé reakce

Statické podmínky rovnováhy sil: 2 rovnice pro 3 neznámé → nelze řešit.

68/135

Praskova 8, 746 01 Opava, tel.: 553 621 580, fax: 553 622 604 e-mail: [email protected], www.sspu–opava.cz n

∑F

i

=0

i =1 n

∑M

i

=0

i =1

Deformační podmínka: a. yB = 0 a yC = 0 b. natočení části 1 v místě B = natočení části 2 v místě B. Teď už máme 3 rovnice pro 3 neznámé, tedy můžu řešit.

Př.: Neznám FA , FB , M A , M B

n

∑F

i

=0

i =1 n

∑M

i

=0

i =1

αA = 0 αB = 0

5.13 Ohýbané pružiny Jde především o listové pružiny. Je to nosník stejné pevnosti trojúhelníkového tvaru s konstantní výškou vytvořený z poskládaných pásů obdélníkového průřezu – tzv. pružnic.

69/135


Pružnice jako by rozřežeme a naskládáme na sebe.

U svazku pružnic platí: y =

F ⋅l3 2⋅Ε⋅ Jx

Kvadratický moment pro n pružnic: J x =

n ⋅ b ⋅ h3 ; 12

70/135

n – počet listů, počet pružnic.


Používáme pojem 1/4 eliptické pero (od slova elipsa, pero – pružina).

Prakticky používaný tvar pružnic – 1/2 eliptické pero (nosník na dvou podporách)

Používají se tam, kde je třeba zachytit rázy tím, že pohybovou energii přeměníme v deformační práci pružiny. Deformační práce je největší u nosníků stálé pevnosti a navíc dochází k úspoře materiálu (až o 50%). Průhyb nosníku stálé pevnosti konstantní tloušťky je 1,5 x větší než u nosníku s konstantním průřezem, tedy i práce je větší. Svazky pružnic, tzv. listové pružiny, se používají na podvozcích aut nebo železničních vagónů. Obvykle jsou v nezatíženém stavu vytvarovány do elipsy a zatížením se narovnávají.

5.13.1

Výpočet listových pružin:

Počet listů pružiny:

σ DovO = 400 ÷ 600 MPa u kalených a 300 ÷ 600 MPa u nekalených materiálů. σ0 =

M 0 Max ≤ σ DovO W0 71/135


W0 =

1 6 ⋅ M 0 Max 6⋅ F ⋅l ⋅ b ⋅ h2 ⋅ n → n = = 2 6 b ⋅ h ⋅ σ DovO b ⋅ h 2 ⋅ σ DovO

Pro malé výchylky:

ρ 2 = ( ρ − y )2 + l 2 ρ 2 = ρ 2 − 2 ρy + y 2 + l 2 72/135


y2 zanedbáváme.

y=

l2 2ρ

Pro jeden list pružiny platí:

J x 2 ⋅ b ⋅ h3 b ⋅ h 2 WO = = = e 12 ⋅ h 6 b ⋅ h2 h J X = WO ⋅ e = ⋅ 6 2

ρ=

Ε ⋅ W0 ⋅

Ε ⋅ Jx = M 0 max M 0 max

h h Ε⋅ 2 = 2 = konst. → průhybová čára je kružnice.

σ0

M 0 max l l ⋅σ 0 W0 l 2 ⋅ M 0 max F ⋅l3 y= = = = = h 2ρ 2 ⋅ Ε ⋅ h 2⋅Ε⋅ Jx 2⋅Ε⋅ Jx 2⋅Ε⋅ 2 2 2

2

l2 ⋅

Pozn. vetknutý nosník s konstantním průřezem měl: y =

F ⋅l3 3⋅ Ε ⋅ J x

6 Složená namáhání Ke složenému (kombinovanému) namáhání dochází tehdy, vyskytnou–li se současně alespoň dva druhy namáhání (napětí). Kombinovaná namáhání mohou být normálná, tečná nebo normálná i tečná současně.

6.1 Kombinace normálných napětí 6.1.1 Šikmý ohyb: Šikmý ohyb nastává, když zatížení neleží v rovině souměrnosti nosníku, ale leží stále v rovině kolmé na osu nosníku.

73/135


Fx = F ⋅ cos α

Fz = F ⋅ sin α Postup řešení: sílu rozložíme do hlavních os průřezu

(Fx ,

Fz ) a vypočítáme dvě

hodnoty napětí (ve směru x a z):

σx =

σZ =

M Ox Fx ⋅ l Fx ⋅ l Fx ⋅ l = = = JZ WOZ WOZ h ⋅ b2 x 6 M Z FZ ⋅ l FZ ⋅ l FZ ⋅ l = = = 2 JX WOX WOX h ⋅b z 6

Protože se jedná o normálná napětí, která působí stejným směrem, tj. ve směru podélné osy součásti, můžu je sečíst a výsledek porovnat s dovoleným napětím. 74/135


σ max = σ x + σ z ≤ σ DovO

6.1.2 Tah nebo tlak + ohyb

Fy = F ⋅ sin α − tah

Fz = F ⋅ cos α − ohyb

σy =

σZ =

Fy S

Fz ⋅ l Fz ⋅ l = b ⋅ h2 w0 y 6

σ max = σ y + σ z ≤ σ Dov Sílu opět rozložíme na složku Fy , která namáhá nosník tahem, a sílu Fz , která namáhá nosník ohybem. Tyto síly vyvolají normálná napětí stejného směru, tedy je můžeme sečíst a výsledek porovnat s dovoleným napětím.

75/135


6.1.3 Excentrický tah (tlak): Je to opět namáhání tahem (tlakem) + ohybem.

M0 = F ⋅a

σt =

F S

σ0 =

F ⋅a W0

WO =

b ⋅ h2 6

σ max = σ t + σ 0 ≤ σ Dov

(σ min

= σt −σ0 )

76/135


Př.: Tah + ohyb. Určete bezpečnost k mezi pevnosti. σ Pt = Rm = 350 MPa , F = 5000 N

Fx = F ⋅ sin α = 5000 ⋅ sin 45° = 3535,5 N Fy = F ⋅ cos α = 5000 ⋅ cos 45° = 3535,5 N Fx M O Fx Fy ⋅ l Fx Fy ⋅ l 3535,5 3535,5 ⋅ 1 ⋅ 6 + = + = 2+ = + = 1 3 S W0 S W0 a 0,13 0,13 a 6 = 21566550 Pa = 21,6 MPa

σ max = σ x + σ y = σ t + σ 0 =

k=

σ Pt 350 = = 16 σ Max 21,6

k Re =

Re

σ Max

=

0,6 ⋅ 350 = 9,6 21,6

Př.: Šikmý ohyb

Fx = F ⋅ sin α = 5000 ⋅ sin 45° = 3535,5 N Fy = F ⋅ cos α = 5000 ⋅ cos 45° = 3535,5 N

σx = σy =

M Ox Fx ⋅ l 6 ⋅ Fx ⋅ l 6 ⋅ 3535,5 ⋅ 0,1 = = 2 = = 1060650000 Pa W0 x W0 x b ⋅h 0,02 ⋅ 0,012 M Oy W0 y

=

Fy ⋅ l W0 y

=

6 ⋅ Fy ⋅ l

b⋅h

2

=

6 ⋅ 3535,5 ⋅ 0,1 = 530325000 Pa 0,01 ⋅ 0,02 2

σ max = σ t + σ 0 = 1060650000 + 530325000 = 1590975000 Pa = 1591MPa 77/135


6.2 Kombinace normálných sil a tečných napětí 6.3 Teorie pevnosti Normálná a smyková napětí (σ a τ), která vznikají při složeném namáhání, nelze algebraicky ani vektorově sčítat. Jejich účinek lze nahradit (redukovat) jediným, tzv.

redukovaným napětím σ red . Tím se převede složené namáhání na jednoduché „tahové“ napětí σ Re d , které pak lze porovnat s mezí kluzu Re v tahu nebo dovoleným napětím v tahu σ Dovt . Redukované napětí lze počítat podle 5–ti různých teorií pevnosti:

6.3.1 Teorie maximálních normálných napětí σMax Tato teorie předpokládá, že k porušení součásti dojde tehdy, když maximální normálné napětí dosáhne hodnoty, při které nastane porušení u prostého tahu. Nevýhoda: tato teorie zanedbává ostatní normálná i smyková napětí. Dá se použít u křehkých materiálů (litiny).

σ red = σ max

6.3.2 Teorie maximálních poměrných deformací eMax Tato teorie předpokládá, že k porušení dojde při dosažení maximální poměrné deformace, která je rovna deformaci při prostém tahu. Nevýhoda: nebere v úvahu deformace a zkosy v ostatních směrech. Dá se použít u křehkých materiálů (litina).

6.3.3 Teorie maximálních smykových napětí tMax Tato teorie předpokládá, že k porušení dojde, dosáhne–li maximální tečné napětí velikosti, při níž se materiál poruší při prostém tahu.

σ red = σ 2 + 4τ 2 Tato teorie je použitelná pro houževnaté materiály, dává však poněkud větší rozměry součástí. Používá se v USA.

78/135


6.3.4 Teorie energetická – podle celkové měrné deformační energie Tato teorie předpokládá, že k porušení dojde tehdy, dosáhne–li celková měrná deformační energie hodnoty stejné, jako u prostého tahu. Tato teorie se nepoužívá. 1 1 WC = ε 1σ 1 + ε 2σ 2 2 2 Deformační energie: na změnu tvaru součásti (smykové napětí) na změnu objemu součásti (normálné napětí), (ocel je stlačená µ = 0,3 ) Pokusy bylo zjištěno, že např. všestranný tlak nemá vliv na pevnost součásti, tedy energie na změnu objemu součásti nemá vliv na pevnost součásti.

6.3.5 Teorie energetická – podle měrné deformační energie pro změnu tvaru Tato teorie se označuje HMH podle svých objevitelů Hubera, Mieseho, Henckyho. Tato teorie předpokládá, že k porušení dojde tehdy, když měrná deformační energie pro změnu tvaru dosáhne hodnoty jako u prostého tahu.

σ Re d = σ 2 + 3 ⋅ τ 2 ≤ σ Dovt Protože tvar součásti mohou změnit jen smyková napětí, říká se této teorii také energetická teorie smykového napětí. Tato teorie nejlépe vyhovuje výsledkům zkoušek u houževnatých materiálů a je také předepsána pro výpočty normou ČSN. U ohybu a krutu hřídelů se někdy v teorii HMH používá tzv. Bachův opravný součinitel, který bere do úvahy rozdílný způsob zatížení hřídelů v ohybu a krutu (např. střídavý ohyb a míjivý krut).

σ Re d = σ 2 + 3 ⋅ (α B ⋅τ )2 ≤ σ Dovt αB – Bachův opravný součinitel

Pro stejné způsoby zatížení je α B = 1 , jinak se vypočte z poměru dovoleného napění v ohybu a krutu.

αB =

σ Dov 1,73 ⋅τ Dov

79/135


6.4 Redukovaný moment Často počítaný případ ohybu a krutu hřídelů se také řeší přes tzv. redukovaný

moment. V tomto vzorci je vlastně kroutící moment dle 5–té teorie pevnosti převeden na moment ohybový a další výpočet probíhá, jako by byla hřídel namáhána pouze ohybem.

σ Re d = σ 2 + 3 ⋅ τ 2 ≤ σ Dovt σ0 =

M0 W0

τK =

MK MK = WK 2W0

WK = W0 =

π ⋅d3 16

π ⋅d3 32

M O Re d = W0

2

2

M0 M + 3⋅ 2 K 2 2 W0 2 W0

3 2 2 M O Re d = M 0 + M K 4 2

M O Re d = M 0 + 0,75M K

σ Re d =

2

M O Re d 32 ⋅ M O Re d ≤ σ Dov → d = 3 W0 π ⋅ σ Dov

S použitím Bachova opravného součinitele: 2

2

M O Re d = M 0 + 0,75 ⋅ (α B ⋅ M K )

Př.: Provrďte výpočet ∅ hřídele namáhaného krutem M K = 300 Nm a ohybem silami

F1 = 2 kN , F2 = 3 kN , které působí ve dvou ⊥ rovinách, σ DovO = 200 MPa

80/135


F1 působí v ose x F2 působí v ose y Reakce od F1 :

FRAx = F1 ⋅

400 400 = 2000 ⋅ = 1600 N 500 500

FRBx = F1 ⋅

100 100 = 2000 ⋅ = 400 N 500 500

Reakce od F2 :

FRAy = F2 ⋅

100 100 = 3000 ⋅ = 600 N 500 500

FRBy = F2 ⋅

400 400 = 3000 ⋅ = 2400 N 500 500

Pro výpočet ložisek: Výsledná síla v ložisku 2

2

FRA = FRAx + FRAy = 1600 2 + 600 2 = 1709 N 2

2

FRB = FRBx + FRBy = 400 2 + 2400 2 = 2433 N Ohybové momenty v místech 1, 2 od F1 :

M 01x = FRAx ⋅ 100 = 1600 ⋅ 100 = 160000 Nmm = 160 Nm M 02 x = FRbx ⋅ 100 = 400 ⋅ 100 = 40000 Nmm = 40 Nm od F2 :

81/135


M 01 y = FRAy ⋅ 100 = 600 ⋅ 100 = 60000 Nmm = 60 Nm M 02 y = FRBy ⋅100 = 2400 ⋅100 = 240000 Nmm = 240 Nm

Výsledné ohybové momenty: 2

2

2

2

M 01 = M 01x + M 01 y = 1602 + 602 = 171 Nm M 02 = M 0 2 x + M 0 2 y = 40 2 + 240 2 = 243 Nm M 01 < M 02 → počítáme místo 2 Redukovaný moment:

M O Re d = M 02 + 0,75M K2 = 2432 + 0,75 ⋅ 300 2 =& 356 Nm

σ0 = W0 =

σ0 =

d =3

M O Re d ≤σ DovO W0

π ⋅d3 32

M O Re d ≤σ DovO π ⋅d3 32 32 ⋅ M O Re d 3 32 ⋅ 356000 = = 26,3 mm π ⋅ σ DovO π ⋅ 200

82/135


Př.: Určete napětí v jednotlivých bodech: l = 2 m, F = 2,5 kN , b = 10 mm, h = 20 mm,α = 30°

Fx = F ⋅ sin α = 2500 ⋅ sin 30° = 1250 N Fy = F ⋅ cos α = 2500 ⋅ cos 30° = 2165 N

σx = σy =

M Ox Fx ⋅ l Fx ⋅ l ⋅ 6 1250 ⋅ 2000 ⋅ 6 = = = = 7500 MPa WOx W0 x h ⋅ b2 20 ⋅10 2 M Oy WOy

=

Fy ⋅ l W0 y

=

Fy ⋅ l ⋅ 6 b⋅h

2

=

2165 ⋅ 2000 ⋅ 6 = 6495MPa 10 ⋅ 20 2

σ 1 = σ Maxd = −σ x − σ y = −7500 − 6495 = −13995MPa σ 2 = σ x − σ y = 7500 − 6495 = 1005MPa σ 3 = σ Maxt = σ x + σ y = 7500 + 6495 = 13995MPa σ 4 = σ y − σ x = 6495 − 7500 = −1005MPa

83/135


Př.: Vypočítejte maximální napětí v háku. F = 4 kN = 4000 N .

σC = σO + σt M O = F ⋅ 40 = 4000 ⋅ 40 = 160000 Nmm W0 =

π ⋅d3 32

=

π ⋅ 203 32

= 785 mm3

σ0 =

M 0 160000 = = 204 MPa W0 785

σt =

F 4000 ⋅ 4 = = 13 MPa S π ⋅ 20 2

σ celk = σ 0 + σ t = 204 + 13 = 217 MPa 84/135


Př.: Zjistěte největší napětí v tyči zatížené v ose silou F = 10 kN , a = 100 mm .

σt =

2 F 2 ⋅10000 F F = = 2 = = 2 MPa S aa a 100 2 2

M0 = F ⋅

a 10000 ⋅ 100 = = 250000 Nmm 4 4

a2 3 3 2 2 = a = 100 = 41667 mm3 6 24 24

a⋅ W0 =

σ0 =

M 0 250000 = = 6 MPa W0 41667

σ max = σ 0 + σ t = 6 + 2 = 8 MPa Př.: Zjistěte, jaké napětí je ve spojovacím článku řetězu. a = 60 mm, d = 50 mm, F = 25 kN

σt =

F F ⋅ 4 25000 ⋅ 4 = = = 13 MPa S π ⋅ D2 π ⋅ 502

D  M 0 = F ⋅  a +  = 25000 ⋅ (60 + 25) = 2125000 Nmm 2  W0 =

σ0 =

π ⋅ D3 32

=

π ⋅ 503 32

= 12272 mm3

M 0 2125000 = = 173 MPa ) W0 12272

σ max = σ 0 + σ t = 173 + 13 = 186 MPa 85/135


7 Vzpěr Stlačuje–li se přímý prut, na jednom konci upnutý, silou F, vzniká v něm za předpokladu, že prut zůstane přímý, tlakové napětí σ d =

F , kde S je průřez prutu. U prutů, S

kde je délka několikrát větší než rozměry průřezů, nastává takzvané zatížení vzpěrem. Síla F vždy nepůsobí přesně v ose prutu, ani rozložení napětí po průřezu není pro různé vady materiálu přesně stejné. Síla tedy působí vždy v nějaké výstřednosti (excentricitě) od osy prutu. Prut je tedy kromě tlaku zatížený také ohybem. M0 = F ⋅e Pokud je síla F relativně malá, prut se poněkud vychýlí do strany a je stále v rovnováze. Pokud je síla F velká, prut se do strany vychýlí více, tím se zvětší rameno síly e a tedy i ohybový moment. Prut pak bude více namáhaný a opět se více vychýlí, opět se zvýší ohybový moment, prut se zase vychýlí a tak dále, až se prut zbortí nebo zlomí. Tomuto způsobu porušení součásti říkáme vzpěrová pevnost neboli

vzpěr. Existuje nějaká mezní nejmenší síla F, při které právě dojde ke zborcení (vybočení) prutu. Této síle říkáme kritická

síla a značíme ji FKR . Kritická síla závisí pouze na rozměrech a materiálu prutu, nezávisí na zatěžující síle! Při vzpěru se jedná o porušení stability prutu, v soustavě nastane nerovnováha a prut se zbortí nebo praskne. Pro výpočet kritické síly tlačného prutu slouží tzv. Eulerův vzorec: FKR =

π 2 ⋅ Ε ⋅ J min l02

J min − kvadratický moment průřezu k té ose, kde je minimální. Pro obdélník platí: J min =

b ⋅ h3 12

l0 − redukovaná délka, tj. délka prutu přepočítaná podle způsobu uložení prutu. Určení redukované délky – tzv. příklady vzpěru:

86/135


Dovolená tlaková síla pak musí být s nějakou bezpečností menší než síla kritická. Pevnostní podmínka pro pružný vzpěr:

F≤

FKR π 2 ⋅ Ε ⋅ J min = k k ⋅ l02

k – bezpečnost ke kritické síle (2 ÷ 20, někdy dle ČSN). Kritické napětí – je to tlakové napětí, které odpovídá kritické síle.

σ KR =

FKR π 2 ⋅ Ε ⋅ J min = S S ⋅ l02

S – plocha průřezu prutu. Dříve byl už zaveden tzv. poloměr kvadratického momentu „i“ i 2 ⋅ S = J min

i=

J min S

pro kruh platí: i =

d 4

pak po dosazení:

σ KR =

π 2 ⋅ Ε ⋅ i2 l02

Zavádíme tzv. štíhlostní poměr λ (štíhlost), který udává, jak moc je prut štíhlý, a tedy náchylný ke vzpěrovému namáhání. 87/135


λ=

l0 i

Pak:

σ KR

π 2 ⋅Ε = λ2

Eulerův vzorec je odvozený z Hookeova zákona (σ = ε ⋅ Ε ) pro pružné chování materiálu, který platí až do meze úměrnosti. Proto, aby Eulerův vzorec platil, musí být:

σ u ≥ σ KR σu ≥

π 2 ⋅Ε = σ KR λ2

λ≥

π 2 ⋅Ε =λ σu

m

Eulerův vzorec platí tedy jen tehdy, když λ ≥ λ m .

λ

m

je tzv. mezní štíhlost a je to materiálová konstanta. Uhlíková ocel Legovaná ocel Šedá litina Pružinová ocel Dřevo

λ m = 100 λm = 85 λm = 80 λm = 60 λm = 100

7.1 Výpočet podle Eulera (pružný vzpěr) Postup výpočtu (strojnické tabulky str. 36, 37): a. Z pevnostní podmínky pro vzpěr vypočteme podle zadání průřez nebo bezpečnost ke kritické síle: FKR π 2 ⋅ Ε ⋅ J min F≤ = k k ⋅ l02 odtud např. J min

F ⋅ k ⋅ l02 ≥ 2 → vypočteme průřez π ⋅Ε

b. Vypočteme kvadratický poloměr:

i=

J min S

88/135


c. Vypočteme štíhlostní poměr:

λ=

l0 i

d. Porovnáne vypočtené λ s λm : pokud platí:

λ ≥ λ m , je výpočet v pořádku λ < λ m , jsme mimo rozsah platnosti Eulerovy rovnice a musíme počítat podle Tetmajera (tzv. nepružný vzpěr).

Př.: l = 2 m , F = 10 kN , trubka D = 40 mm , d = 34 mm , λ m = 100 , Ε = 2,1 ⋅105 MPa ,

FKR = ? , λ = ? , k=?

Druhý případ vzpěru – l0 = l

(

FKR k=

)

π ⋅ (D 4 − d 4 ) π ⋅ 0,044 − 0,0344 = = 0,00000006 m 4 = 60066 mm4 64 64 π 2 ⋅ E ⋅ J min π 2 ⋅ 2,1 ⋅105 ⋅106 ⋅ 60,066 ⋅10−9 = = = 31123 N l02 22

J min =

FKR 31123 = = 3,11 F 10000

(

)

π ⋅ (D 2 − d 2 ) π ⋅ 0,04 2 − 0,0342 S= = = 348,7 ⋅10 − 6 m2 4 4

i=

λ=

J min 60,066 ⋅ 10−9 = = 0,013 m S 348,7 ⋅ 10− 6 l0 2 = = 152,385[−] i 0,013

λ > λ m → výpočet je v pořádku.

89/135


Př.: d = 20 mm , l = 1200 mm , ocel, FKR = ? , λ = ? , ST str. 36. Kvadratický moment: J min = S=

π ⋅d4

=

64

π ⋅d2 4

=

π ⋅ 0,024 64

π ⋅ 0,022 4

= 7,854 ⋅ 10−9 m 4 = 7854mm 4

= 0,000314m 2 = 314 mm2

l 0 = 2l = 2400mm FKR =

i=

λ=

π 2 ⋅ E ⋅ J min l02

=

π 2 ⋅ 2,1⋅105 ⋅106 ⋅ 7 ⋅10−9 2,4 2

= 2826 N

J min 7 ⋅ 10 −9 = = 0,005 m S 314 ⋅ 10− 6 l0 2,4 = = 480 [–] i 0,005

λ>λ

m

→ výpočet je v pořádku.

7.2 Výpočet podle Tetmajera (nepružný vzpěr) Tetmajer nahradil chování materiálu při vzpěru nad mezí úměrnosti přímkou.

σ KR = a − b ⋅ λ σ KR − kritické napětí, tj. fiktivní tlakové napětí při zhrocení prutu; a, b – experimentálně zjištěné konstanty, závislé na druhu materiálu (v tabulkách). Pevnostní podmínka vzpěru podle Tetmajera: F≤

FKR σ KR ⋅ S = k k

Postup výpočtu: a. Navrhneme průřez nebo vypočteme bezpečnost podle Eulera (vypočteme FKR , i, λ )

i=

J min l π 2 ⋅ E ⋅ J min F , λ = 0 , FKR = , F ≤ KR 2 S i l0 k

b. Pokud je λ < λ je λ ≥ λ

m

m

, Eulerův výpočet neplatí a počítáme podle Tetmajera (pokud

, pak je výpočet dle Eulera).

c. Vypočítáme kritické napětí dle Tetmajera σ KR = a − b ⋅ λ

90/135


d. Zkontrolujeme, zda–li je splněna pevnostní podmínka dle Tetmajera, případně vypočteme bezpečnost. F ≤

σ KR ⋅ S k

7.3 Součinitel vzpěrnosti Některé součásti (mosty, jeřáby, sloupy) se dle ČSN počítají pomocí tzv. součinitele

vzpěrnosti c. Podstata řešení je v tom, že se prut počítá jakoby na tlak, zatěžující síla je ale zvětšena vynásobením součinitelem vzpěrnosti c.

σd =

F ⋅c ≤ σ Dovd S

Součinitel vzpěrnosti závisí na druhu materiálu (ocel, …) a na štíhlosti λ (čím je λ větší, tím je c větší) a najdeme ho v tabulkách, kde je zahrnut jak pružný, tak i nepružný vzpěr.

7.4 Shrnutí vzpěru: Rozhodující pro výpočet vzpěru je štíhlost prutu λ a. Pokud je λ malé (λ < 20 ÷ 30) – počítáme pouze na tlak, na vzpěr ne. b. λ ≥ λ

m

– počítáme podle Ruleta.

c. λ < λ

m

a není moc malé – výpočet dle Tetmajera.

d. Výpočty v bodech b) a c) lze nahradit výpočtem podle součinitele vzpěrnosti c.

Př.: Druhý případ vzpěru, l = 1050 mm , F = 12 ⋅ 10 4 N , k = 10 , ocel 11 500, Ε = 2,1 ⋅ 10 5 MPa , λ m = 100 , a = 335 MPa , b = 0,62 MPa , l0 = l, d = ?, σ KR = a − b ⋅ λ

F=

FKR → FKR = F ⋅ k = 12 ⋅10 4 ⋅10 = 12 ⋅105 N k

FKR =

J min = S=

π 2 ⋅ E ⋅ J min l02

π ⋅d4 64

π ⋅d2 4

=

→ J min =

→d =4

π ⋅ 0,062 4

FKR ⋅ l02 12 ⋅105 ⋅1,052 = = 0,000000638 m 4 = 638323 mm 4 2 5 6 2 π ⋅ Ε 2,1 ⋅10 ⋅10 π

64 ⋅ J min

π

=4

64 ⋅ 0,000000638

π

= 0,06m = 60 mm

= 0,0028 m 2 = 2832 mm 2

Poloměr kvadratického momentu: i =

J min = S

91/135

0,000000638 = 0,015 m 0,0028


λ=

l0 1,05 = = 69,5 i 0,015

λ < λ m → výpočet podle Tetamajera

σ KR = a − b ⋅ λ = 335 − 0,62 ⋅ 69,5 = 292MPa FKR = σ KR ⋅ S = 292 ⋅106 ⋅ 0,0028 = 817600 N k=

FKR 817600 = = 6,8 < 10 → nevyhovuje F 12 ⋅10 4

Navrhneme nový průřez: Např.:

σ KR

i=

λ=

k ⋅F k ⋅F ⋅4 F ⋅4⋅k 12 ⋅ 104 ⋅ 4 ⋅10 = = →d = = = 72mm π ⋅d2 π ⋅ σ KR π ⋅ 292 S

π ⋅d4 J Min 4 d2 d = ⋅ = = S 64 π ⋅ d 2 16 4

i=

d 72 = = 18mm 4 4

l0 1050 = = 58,3 i 18

σ KR = a − b ⋅ λ = 335 − 0,62 ⋅ 58,3 = 297 MPa FKR = σ KR ⋅ S = 297 ⋅ k=

π ⋅ 722 4

= 1209237 N

FKR 1209237 = = 10,07 → vyhovuje F 12 ⋅ 10 4

Př.: Vzpěr svařovaného drátu průměru 3,15 mm, l = 1 m , FKR = ? , λ = ? J= S= i=

π ⋅d4 64

π ⋅d2 4

=

π ⋅ 3,154 64

= 4,8 mm 4

= 7,8mm 2

J 4,8 = = 0,79 S 7,8

a) Jedná se o první případ vzpěru l0 = 2 ⋅ l FKR =

λ=

π 2 ⋅ 2,1 ⋅ 10 5 ⋅ 4,8

(2 ⋅ 1000)2

2000 = 2532 0,79

λ>λ

m

→ Vyhovuje

92/135

= 2,5 N


b) Jedná se o čtvrtý případ vzpěru l0 =

FKR =

λ=

l 2

π 2 ⋅ 2,1 ⋅ 10 5 ⋅ 4,8 500 2

= 39,8 N

500 = 633 0,79

λ>λ

m

→ Vyhovuje

Př.: Určete FKR a λ tyče délky 2 m na obou stranách vetknuté. Jedná se o průřez I 80 ČSN 42 5550. Ze strojnických tabulek str. 293 určíme pro tyč průřezu I 80 ČSN 42 5550, materiál 11 373, Jx = 778000 mm4, Jy = JMin = 62900 mm4, S = 758 mm2. l0 =

l 2

FKR = =

π 2 ⋅ E ⋅ J min l02

=

π 2 ⋅ 2,1⋅105 ⋅ 62900

i=

1000 2

= 130368 N

J min = S

=

62900 = 9,12mm 758

λ=

l0 1000 = = i 9,12

= 109,6 → Výpočet vyhovuje

93/135


8 Cyklické namáhání – únava Strojnické tabulky str. 54.

Cyklické namáhání je takové namáhání, které periodicky kolísá mezi minimem a maximem, v závislosti na čase.

Druhy zatěžovacích cyklů:

a) Střídavý cyklus σ m = 0

σ h − horní napětí

b) Střídavý nesouměrný

σ n − dolní napětí

c), d) Míjivý σ m = σ a

σ m − střední napětí σ m =

e), f) Pulzující (tepavý)

σ a − amplituda napětí σ a =

σh + σn 2 σh − σn 2

Při opakovaném (cyklickém) zatížení může dojít k tzv. únavovým lomům součásti i při napětí menším, než mez kluzu materiálu. O únavě materiálu hovoříme tehdy, když počet zatěžujících cyklů dosáhne tisíce, miliónu a více. U takto zatížených součástí se může objevit trhlinka, která se dále zvětšuje a šíří až dojde k lomu součásti. Takovému lomu říkáme

únavový lom a je charakteristický tím, že mu nepředchází téměř žádná plastická deformace.

94/135


Trhlinky vznikají v místech koncentrace napětí, tedy v místech vrubů, zápichů nebo v místech povrchových vad materiálu (vměstky). Únava materiálu je nejvíce propracována u ohýbaných a kroucených hřídelů.

8.1 Wöhlerova křivka (studium praskání kolejnic) Kniha str. 330. Wöhlerova křivka ukazuje závislost mezi amplitudou napětí u střídavého cyklu zatížení a životností vzorku. Udává počet cyklů, který zkušební vzorek při daném zatížení vydrží. Vzorek je kruhová leštěná tyč malého průměru. Zkouší se obvykle střídavý ohyb.

Mez únavy σ 0C = největší napětí, které vzorek vydrží neomezený počet cyklů ( 5 ⋅ 10 7 cyklů). Je určena pro střídavý cyklus a leštěnou tyč bez vrubů. Pro ocel platí: Střídavý ohyb:

σ 0C = 0,43 ⋅ Rm

Střídavý krut:

τ KC = 0,25 ⋅ Rm 95/135


8.2 Smithův diagram Tento diagram udává závislost meze únavy na druhu zatěžovacích cyklů.

Každý cyklus je v tomto diagramu znázorněn úsečkou. Když je tato úsečka uvnitř diagramu, jsme pod mezí únavy σC a tedy součást má neomezenou životnost.

Takto

sestrojený

Smithův

diagram

by

vyžadoval velké množství zkoušek, proto se používá nahrazení křivek přímkami. Diagram se navíc omezuje mezí kluzu Re, protože nechceme opakované trvalé deformace.

ϕ závisí na materiálu, obvykle ϕ = 45°

96/135


8.3 Tvarová pevnost U strojních součástí jsou velmi časté změny průřezu, drážky, zápichy a podobně, kterým říkáme vruby. Napětí pak v průřezu není rozloženo rovnoměrně, na vrubech vzniká napěťová špička. Tomuto jevu říkáme koncentrace napětí. Čím je např. zápich ostřejší, tím je koncentrace napětí větší.

Koncentrace napětí má rozhodující vliv na únavovou pevnost. Mez únavy tyče s vrubem může být třeba jen 20 % meze únavy hladké tyče. Mez únavy je pokusně zjišťována pro hladkou leštěnou tyč bez vrubů. Na mez únavy skutečné součásti má vliv: a. Tvar součásti. b. Velikost součásti. c. Stav povrchu součásti.

8.3.1 Vliv tvaru součásti: Používáme tzv. vrubový součinitel β, který udává, kolikrát je skutečná napěťová špička větší než rovnoměrně rozložené průměrné napětí.

β=

σ skut . σ jmenovité

σ skut . – skutečná napěťová špička. σ jmenovité – průměrné napětí. Vrubový součinitel β se určuje poměrně obtížně pomocí únavových zkoušek tyčí s vrubem.

97/135


Proto častěji používáme tzv. tvarový součinitel α, který udává kolikrát je teoreticky vypočítaná nebo staticky experimentálně zjištěná napěťová špička větší, než průměrné napětí.

α=

σ teor σ jmenovité

Tvarový součinitel α je vždy větší než vrubový součinitel β, protože napěťové špičky se vždy v praxi poněkud rozloží a budou menší. Vrubový součinitel se vypočte:

β = 1 + (α − 1) ⋅η obvykle: β = 2 ÷ 3 η – [éta] součinitel citlivosti materiálu na vruby (čím kvalitnější ocel, tím je citlivější).

Vrubový součinitel β se obvykle hledá v diagramech, které byly pro různé vruby zjištěny experimentálně, např. pro osazený hřídel. Jsou v tabulkách, např. strojnické tabulky str. 52.

8.3.2 Vliv velikosti:

Čím větší součást, tím má více

vnitřních vad materiálu, tím je tedy náchylnější k únavovým lomům. Např. strojnické tabulky str. 53.

εm < 1

98/135


8.3.3 Vliv povrchu součásti: Wöhlerova křivka byla zjištěna pro leštěný povrch vzorku. Čím větší drsnost povrchu, tím je více povrchových vrubů, tím je tedy součást náchylnější k únavovým lomům. Skutečnou mez únavy pro danou součást pak vypočteme:

σ Cskut =

σc ⋅ ε m ⋅ ε p

β

σ c − mez únavy (z Wöhlerovy křivky).

ε m − součinitel velikosti < 1

εP < 1

ε p − součinitel povrchu < 1

Kniha str. 345, strojnické tabulky str. 53.

β − součinitel vrubu > 1 Podmínka neomezené životnosti: σ ≤ σ Cskut Tato podmínka platí pro střídavý cyklus. Pro jiný cyklus musíme nakreslit Smithův diagram pro hodnotu σ Cskut .

8.4 Výpočet hřídele na únavu Nejčastěji se na únavu počítají hřídele, které jsou zatíženy ohybem a krutem. Na únavu počítáme součásti vždy v místě vrubu (osazení, drážky pro pero, zápichy …) a. Vypočteme nebo najdeme v tabulkách skutečnou mez únavy v ohybu σ 0C a krutu τ KC

σ 0C = 0,43 ⋅ Rm

τ KC = 0,25 ⋅ Rm b. Najdeme místa s vruby a vypočítáme tam momenty M K a M 0 , z nich vypočteme napětí σ 0 a τ K c. Pro každý vrub určím z diagramů součinitel vrubový β , vlivu povrchu ε p a vlivu velikosti ε m pro ohyb i pro krut zvlášť d. Vypočteme skutečné meze únavy v ohybu a krutu

σ 0Cskut =

σ 0c ⋅ ε m ⋅ ε p

βO

99/135


τ KCskut =

σ Kc ⋅ ε m ⋅ ε p

βK

e. Vypočteme tzv. dynamické bezpečnosti k dσ =

σ 0Cskut σ0

k dτ =

τ KCskut τK

f. Vypočteme výslednou dynamickou bezpečnost

1 1 1 = + 2 2 2 kd kdσ kdτ kd =

kdσ ⋅ kdτ kd2σ + kd2τ

kd min = 1,5 ÷ 2

Př.: Vypočtěte skutečnou mez únavy v ohybu a krutu osazeného hřídele jemně soustruženého, použijte horní hranice rozsahů. Materiál: ocel 12 060. Ze strojnických tabulek str. 52 a str. 54 Rm = 600 ÷ 850 MPa (850)

σ 0C = 215 ÷ 295 MPa (295)

τ KC = 150 ÷ 210 MPa (210) R = 0,1 → d vrubový součinitel βO = 1,7 ; β K = 1,2 součinitel velikosti ε m O = 0,83 ; ε m K = 0,75 součinitel stavu povrchu ε p = 0,8 Pak skutečná mez únavy:

σ 0Cskut =

τ Kcskut =

σ 0c ⋅ ε m ⋅ ε p

β0

=

295 ⋅ 0,83 ⋅ 0,8 = 115 MPa 1,7

τ Kc ⋅ ε m ⋅ ε p 210 ⋅ 0,75 ⋅ 0,8 = = 105 MPa βK 1,2

100/135


9 Kinematika Kinematika je věda o pohybu těles. Určuje průběh pohybu (dráhu, rychlost, zrychlení) v prostoru a čase. Základní veličiny kinematiky:

dráha – s [m]; rychlost – v [m/s]; zrychlení – a [m/s2]; čas – t [s]. Rychlost je dráha ujetá za jednotku času: v=

∆s  m  ∆t  s 

Zrychlení je změna rychlosti za jednotku času. Vzniká, i když se mění směr rychlosti: a=

∆v  m  ∆t  s 2 

Podle tvaru dráhy dělíme pohyby na přímočaré a křivočaré.

101/135


9.1 Přímočaré pohyby Jsou to pohyby konané po přímce. Pro znázorňování těchto pohybů často používáme diagramy v–t nebo s–t, případně a–t.

v–t diagramy: plocha pod křivkou je dráha. Rovnoměrný pohyb.

Obecný pohyb.

s = v ⋅t s v= t a=0 Pohyb rovnoměrně zrychlený. Počáteční rychlost v0 = 0

Počáteční rychlost v0 ≠ 0

1 v ⋅t 2 2s v= t a≠0

v0 + v t 2 a≠0 2s v= − v0 t s=

s=

102/135


Pohyb rovnoměrně zpožděný. Konečná rychlost v = 0 Konečná rychlost v ≠ 0

v0 + v ⋅t 2 a≠0

1 s = v0 ⋅ t 2 a≠0 2⋅s v0 = t

s=

2⋅s − v0 t s–t diagram: používá se pro grafické řešení úloh typu kde a kdy se potkají dvě auta. Těchto diagramů se využívá na železnici. v=

a–t diagram: plocha pod křivkou je rychlost.

v=a.t

103/135


9.2 Přímočarý rovnoměrný pohyb – příklady s = v ⋅t a=0

Př.: Za jak dlouho ujede auto dráhu 33km, jede–li rychlostí 70 km h . t=

s 33 = = 0,47 h = 0,47 ⋅ 60 min = 28 min v 70

Př.: Z míst A, B, vzdálených od sebe 20 km, jedou proti sobě 2 auta. Auto 1 rychlostí

40 km h , auto 2 rychlostí 100 km h . Kdy a kde se potkají?

t1 = t 2 s 2 = s − s1 t1 =

s1 v1

t2 =

s 2 s − s1 = v2 v2

s1 s − s1 = v1 v2

s1 s s1 = − v1 v 2 v 2 s1 s1 s + = v1 v 2 v 2

v +v  s s1 ⋅  2 1  =  v1 ⋅ v2  v2 s1 =

s 1 ⋅ v2 v2 + v1 v1 ⋅ v2

104/135


s1 =

20 1 ⋅ = 5,71km + 40 100 100 40 ⋅100

s 2 = s − s1 = 20 − 5,71 = 14,29km t=

s1 s2 14,29 = = = 0,14h =& 9 min v1 v2 100

Př.: Místo A je vzdáleno 100 km od místa B. Auto 1 jede rychlostí 50 km h , auto 2

100 km h . Auto 1 vyjede z místa A v t01 = 8.00 hod. V kolik hodin t02 musí vyjet auto 2, mají– li dojet do místa B současně? t1 =

s 100 = = 2h v1 50

t2 =

s 100 = = 1h v2 100

t02 = t01 + (t1 − t2 ) = 8 + (2 − 1) = 9h

Př.: Dvě města jsou od sebe vzdálena 200 km. Z města A vyjel v 10.00 hod. osobní vlak rychlostí 50 km h . Z města B vyjel v 10.30 hod. rychlík rychlostí 80 km h . Za kolik hodin od vyjetí osobního vlaku se oba vlaky potkají a v jaké vzdálenosti od A.

s = s1 + s2 = v1 ⋅ t + v2 ⋅ (t − 0,5) = v1 ⋅ t + v2 ⋅ t − 0,5 ⋅ v2 s = t ⋅ (v1 + v2 ) − 0,5 ⋅ v2 t=

s + 0,5 ⋅ v2 200 + 0,5 ⋅ 80 = = 1,85h = 1h 51' v1 + v2 50 + 80

s1 = v1 ⋅ t = 50 ⋅ 1,85 = 92,3 km od A

105/135


9.3 Rovnoměrně zrychlený a zpožděný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb. S nulovou počáteční rychlostí. a = konst. v = a ⋅t 1 1 s = v ⋅ t = a ⋅ t2 2 2

S nenulovou počáteční rychlostí. v = v0 + a ⋅ t v − v0 t

a= s=

v0 + v ⋅t 2

s = v0 ⋅ t +

1 (v − v0 ) ⋅ t 2

Rovnoměrně zpožděný přímočarý pohyb. Na nulovou rychlost. a = konst. 1 s = v0 ⋅ t 2 v0 = a ⋅ t 1 a ⋅ t2 2

s=

Na nenulovou rychlost. s=

v0 + v ⋅t 2

v = v0 − a ⋅ t a= a=

106/135

v t

v0 − v t


Př.: U auta se uvádí, že na rychlost 100 km h se rozjede za 8 s. Jakou dráhu ujede a jaké je zrychlení? v = 100 km h = 100000 m h =

100000 m min 60

100000 m s = 27,8 m s 60 ⋅ 60 1 1 s = v ⋅ t = ⋅ 27,8 ⋅ 8 = 111,1m 2 2

=

a=

∆v 27,8 m = = 3,475 2 ∆t 8 s

Př.: Auto jede rychlostí v0 = 54 km/hod. Během 15 s. zvýší tuto rychlost na v = 90 km/hod. Jakou dráhu při tom ujede a jaké bylo jeho zrychlení, v0 = 15 m/s, v = 25 m/s. s=

a=

v0 + v 15 + 25 t= ⋅ 15 = 300m 2 2 ∆v v − v0 25 - 15 m = = = 0,67 2 ∆t ∆t 15 s

Př.: Auto mělo ve dvou místech vzdálených 100 m rychlost v1 = 45 km h a v2 = 65 km h . Za jakou dobu ujelo tuto vzdálenost?

v1 = 12,5 m s v2 = 18,1m s s=

v1 + v2 2s 2 ⋅ 100 t →t = = = 6,5s 2 v1 + v2 12,5 + 18,1

107/135


9.4 Volný pád Je to rovnoměrně zrychlený pohyb, kde zrychlení má hodnotu g = 9,81 m s 2 – tzv. tíhové zrychlení. Hloubka pádu: s=h=

1 v ⋅t 2

a=g=

v → v = g ⋅t t

h=

1 g ⋅ t2 2

9.5 Svislý vrh Je to rovnoměrně zpomalený (zpožděný) pohyb, kde zpomalení má hodnotu g. Výška vrhu: s=h=

1 v0 ⋅ t 2

a=g=

v0 v →t = 0 t g

h=

1 ⋅ v0 ⋅ t 2

h=

1 v0 ⋅ 2 g

2

Př.: Do propasti hluboké 138 m padá kámen. Za jak dlouho dopadne a jakou rychlostí dopadne na dno propasti? h=

1 g ⋅t2 ⇒ t = 2

2h = g

2 ⋅138 = 5,3 s 9,81

v = g ⋅ t = 9,81 ⋅ 5,3 = 52 m s

108/135


Př.: Z letadla vyskočí parašutista, který po dobu 20 s padá volným pádem. Pak ve výšce 400 m nad zemí otevře padák. Jak vysoko bylo letadlo?

svp =

1 1 g ⋅ t 2 = ⋅ 9,81 ⋅ 202 = 1962m 2 2

h = svp + 400 = 1962 + 400 = 2362m

Př.: Předjíždění vozidel: Na jaké dráze a za jak dlouho dojde k předjetí? Na předjetí a zařazení potřebuje auto 50 m.

s = v⋅t t=

s v

v1 =

80000 = 22,2 m s 3600

v2 =

90000 = 25 m s 3600

nákladní auto

dráha s

osobní auto

s + 60 (60 m = 25 m + 25 m + 10 m)

čas stejný

t

109/135


t=

s s + 60 = v1 v2

s s 60 = + v1 v 2 v 2 s s 60 − = v1 v 2 v 2

 1 1  60 s ⋅  −  =  v1 v 2  v 2 s=

t=

60 1 60 1 ⋅ = ⋅ = 475,7 m v2 1 − 1 25 1 − 1 v1 v2 22,2 25

(také je možno: s =

60 ⋅ v1 ) v2 − v1

s 475,7 = = 21,4 s v1 22,2

také je možno: t =

s2 s + 60m = v2 v2

Př.: Protiletadlovým dělem byl vystřelen svisle vzhůru náboj rychlostí 800 m s . Jak dlouho bude střela stoupat a do jaké výšky se dostane?

h=

1 v0 ⋅ t 2

g=

v0 v →t = 0 t g

h=

1 v0 1 800 2 ⋅ = ⋅ =& 32620m 2 g 2 9,81

t=

v0 800 = = 81,5s g 9,81

2

110/135


Př.: Do jaké výšky vyletí tenisový míček, který byl odpálen 1 m od země rychlostí

15 m s ? 1 1 v 2 1 152 v0 ⋅ t = ⋅ 0 = ⋅ = 11,5m 2 2 g 2 9,81

Let:

hletu =

Celková:

hcelková = h0 + hletu = 1 + 11,5 = 12,5m

9.6 Křivočaré pohyby 9.6.1 Obecný rovnoměrný křivočarý pohyb

Dráha má tvar obecné křivky.Velikost rychlosti je konstantní. v=

s = konst. t

Směr rychlosti má směr tečny k dráze pohybu.

V diagramech tento pohyb znázorňujeme stejně jako rovnoměrný přímočarý pohyb, protože diagramy nezobrazují tvar dráhy.

V praxi pohyb auta, vlaku …

9.6.2 Rovnoměrný pohyb bodu po kružnici Dráha bodu je kružnice, směr rychlosti je vždy tečný k dráze, rychlost je vždy konstantní. Pohyb probíhá po obvodu kružnice, proto se rychlost nazývá obvodová.

111/135


Za jednu otáčku vykoná bod dráhu:

s1 = π ⋅ D za n otáček s =π ⋅D⋅n v=

s π ⋅D⋅n =π ⋅D⋅n – za 1 sekundu v = t 1

v = π ⋅ D ⋅ n , D [m] , n  1  , n − otáčky za sekundu  s 

Př.: Automobil má kola průměru 620 mm. Jak rychle se kola otáčejí při rychlosti automobilu 75 km h ?

75 km h = 20,8 m s n=

v 20,8 ot = = 10,7 π ⋅ D π ⋅ 0,62 s

Př.: Vozidlo se pohybuje rovnoměrně zrychleně a = 1,5 m s 2 . Po ujetí dráhy 60 m byla jeho rychlost 15 m s . Jaká byla počáteční rychlost?

a=

∆v v − v0 = ∆t t

s=

1 (v0 + v ) ⋅ t → t = 2s 2 v + v0

a=

(v − v0 ) ⋅ (v + v0 ) = v 2 − v02 2s

2s

→ v 2 − v02 = 2as

v02 = v 2 − 2as v0 = v 2 − 2as = 152 − 2 ⋅1,5 ⋅ 60 = 6,7 m s

Př.: Parní turbína koná 60 otáček za sekundu. Vnější průměr lopatek je 960 mm. Jaká je obvodová rychlost na výstupu z turbíny?

v = π ⋅ D ⋅ n = π ⋅ 0,96 ⋅ 60 = 181 m s

112/135


9.7 Rovnoměrný rotační pohyb těles kolem stálé osy Každý bod tělesa se pohybuje po soustředné kružnici, koná tedy rovnoměrný pohyb bodu po kružnici.

s =π ⋅D

Dráhy, obvodové rychlosti jsou přímo úměrné vzdálenosti bodu od osy rotace s1 : s 2 : s 3 = v1 : v 2 : v3 = R1 : R2 : R3

Zavádí se pojem úhlová rychlost ω , která je stejná pro všechny body tělesa. Je to vlastně pootočení tělesa za jednotku času.

)

ω=

ϕ  rad 

t  s  ) s = R ⋅ϕ ) s R ⋅ϕ v= = = R ⋅ω t t v = R ⋅ω

ω=

v π ⋅ D ⋅ n π ⋅ 2R ⋅ n = = = 2 ⋅π ⋅ n R R R

113/135

ω = 2 ⋅π ⋅ n

1  n − otáčky   s


Př.: Setrvačník průměru 300 mm má 100

ot . Jaká je jeho obvodová a úhlová s

rychlost?

v = π ⋅ D ⋅ n = π ⋅ 0,3 ⋅ 100 = 94,2 m s

ω = 2 ⋅ π ⋅ n = 2 ⋅ π ⋅100 = 628 rad s Př.: Z místa A do místa B, vzdálených od sebe s = 20 km, vyjel v 9:00 hod. cyklista rychlostí v1 = 20 km h = 0,33 km/min. V 9:20 hod. vyjel z místa B motocyklista rychlostí

v2 = 54 km h = 0,9 km/min. Kdy se setkají a v jaké vzdálenosti od místa A?

s = s1 + s 2 s1 = v1 ⋅ t s 2 = v 2 ⋅ (t − 20´) s = v1 ⋅ t + v2 ⋅ (t − 20) = v1 ⋅ t + v2 ⋅ t − 20 ⋅ v2 = t ⋅ (v1 + v2 ) − 20 ⋅ v2 t=

s + 20 ⋅ v 2 20 + 20 ⋅ 0,9 = =& 31 min v1 + v 2 0,33 + 0,9

s1 = v1 ⋅ t = 0,33 ⋅ 31 = 10,23km s2 = s – s1

9.8 Rovnoměrně zrychlený rotační pohyb V závislosti na čase dochází k přírůstku rychlosti. Tento přírůstek způsobuje zrychlení, které má směr rychlosti, tedy tečny ke dráze (kružnici). Říkáme mu tečné zrychlení.

114/135


at =

∆v = konst ∆t

Tečné zrychlení tedy odpovídá změně velikosti obvodové rychlosti. v = R ⋅ω

Mění–li se obvodová rychlost jednoho bodu, musí se měnit i jeho úhlová rychlost. Pak platí: at =

∆v R ⋅ ∆ω m = = R ⋅ε  2  ∆t ∆t s   rad 

ε − úhlové zrychlení  2   s  ε=

∆ω ω − ω0 = ∆t t

Dráha (úhlová) )

ϕ=

ω0 + ω 2

ω = ω0 + ε ⋅ t

⋅t

Protože se u rotačního pohybu mění i směr rychlosti, existuje i normálové, neboli dostředivé zrychlení an

an =

v2 R2 ⋅ω 2 = = R ⋅ω 2 R R

m  s 2 

an = R ⋅ ω 2

pro R = ∞ je an = 0 (přímka) Zrychlení skládáme vektorově jako síly. Výsledné zrychlení:

a = at2 + an2 Dostředivé zrychlení odpovídá změně směru rychlosti, tečné změně velikosti rychlosti. 115/135


Př.: Setrvačník o průměru 3 m se roztáčí rovnoměrně zrychleně tak, že za 10 s vzroste obvodová rychlost z 10 m s na 27 m s . Vypočtěte úhlovou rychlost a všechna zrychlení. v=R·ω→

ω0 =

v0 10 = = 6,6 rad s R 1,5

ω=

v 27 = = 18 rad s R 1,5

ε=

∆ω ∆t

ε=

ω − ω0 t

=

18 − 6,6 = 1,14 rad s 2 10

at = R ⋅ ε = 1,5 ⋅1,14 = 1,71 m s 2

v 2 27 2 an = = = 486 m s 2 R 1,5 a = at2 + a n2 = 486 m s 2

9.9 Skládání pohybů V praxi se často setkáváme s případy, kdy těleso nebo bod koná dva i více pohybů. Výsledný pohyb je pak pohyb složený. Např. pohyb loďky napříč řekou, pohyb břemene mostového jeřábu (pohyb mostu ↔ , kočky, háku b )

116/135


Pro rozlišení jednotlivých pohybů zavádíme pojmy:

Pohyb absolutní: je to pohyb, který se jeví pozorovateli z nehybného místa na zemi.

Pohyb relativní: pohyb, který se jeví pozorovateli z místa, které se taky pohybuje.

9.10 Pohyb ve dvou rovnoběžných přímkách Rychlosti a dráhy sčítáme nebo odečítáme.

Absolutní dráha vozíku 1 za čas t

sa1 = va1 ⋅ t

Relativní dráha vozíku 2 za čas t

sr 2 = vr 2 ⋅ t

Absolutní dráha vozíku 2 za čas t

sa 2 = sa1 + sr 2 = (va1 + vr2) . t

Absolutní rychlost vozíku 2

va 2 = va1 + vr 2

Př.: Míjejí se dva vlaky

v1 = 50 km h absolutní v2 = 80 km h absolutní Relativní rychlost vr = va1 + va 2 = 50 + 80 = 130 km h

9.11 Pohyb v různoběžných přímkách Dráhy a rychlosti skládáme vektorově jako síly, buď graficky nebo početně (Pythagorova, Cosinova věta). 117/135


Např.: převozník přes řeku:

Rychlosti svírají pravý úhel.

Rychlosti svírají obecný úhel.

Pythagorova věta: 2

v = v a 2 = v a1 + v r 2

tgα =

s =

Cosinova věta:

2

2

v a1 s a1 = vr 2 s r 2

sa

2

+ sr

2

v = v a + v r − 2v a ⋅ v r ⋅ cos β

Sinova věta: sin α : sin β = v a : v

2

Př.: Řeka je široká 200 m a loď pluje kolmo ke směru proudu rychlostí

vr = 18km / hod . = 5 m s . Rychlost proudu řeky je va = 1 m s . Určete výslednou dráhu a výslednou rychlost lodi a dobu plavby. Doba plavby lodi bez vlivu proudu (relativní): v=

s s 200 → tr = r = = 40 s t vr 5

Absolutní dráha proudu řeky za tuto dobu: sa = va ⋅ t = 1 ⋅ 40 = 40m

Výsledná dráha lodi: 2

2

s = sa + sr = 40 2 + 200 2 =& 204m

Výsledná rychlost: 2

2

v = va + vr = 12 + 52 = 5,1 m s Čas plavby lodi: t=

s 204 = = 40 s v 5,1

118/135


Odchylka výsledné dráhy: tgα =

40 sa = = 0,2 → α = 11°20′ sr 200

Př.: To samé jen od příčného směru je odklon φ = 30° , vr = 5 m s , va = 1 m s , šířka toku st = 200m .

cos 30° =

st 200 st → sr = = = 231m sr cos 30° cos 30°

s s 231 v= →t = r = = 46,2 s t vr 5 s a = v a ⋅ t = 1 ⋅ 46,2 = 46,2m 2

2

2

2

s = sa + sr − 2 sa ⋅ sr ⋅ cos β = 46,22 + 2312 − 2 ⋅ 46,5 ⋅ 231 ⋅ cos 120° =& 257,2m v = va + vr − 2va ⋅ vr ⋅ cos β = 12 + 52 − 2 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ cos 120° = 5,56 m s

Odchylka výsledné dráhy:

Sinova věta: sin α / sin β = sa / s sa s = sin α sin β s 46,2 sin α = a ⋅ sin β = ⋅ sin 120° = 0,156 → α = 8,95° s 257,2 Od příčného směru bude odkloněna o: 30° + 8,95° = 39°

119/135


9.12 Vodorovný vrh Vodorovný vrh se skládá ze dvou pohybů, které jsou vzájemně kolmé. a. Přímočarý rovnoměrný vodorovný pohyb se stálou rychlostí v0 (rovnoměrný pohyb). b. Volný pád ve svislém směru se stálým tíhovým zrychlením g (rovnoměrně zrychlený pohyb). Dráha: s x = v0 ⋅ t p − dostřel; h = sy = a=

1 g ⋅ t 2p − hloubka pádu; 2

v → v = a ⋅t = g ⋅t t

tP – čas dopadu. Výsledná

dráha

má

tvar

paraboly.

Ve

skutečnosti se vlivem odporu prostředí trochu liší. Rychlost: 2

v = v02 + v'2 = v02 + (g ⋅ t )

Př.: Dělo ve výšce 200 m nad hladinou moře vystřelí vodorovně střelu rychlostí

1000 m s . V jaké vzdálenosti dopadne střela na hladinu moře? h=

1 2⋅h 2 ⋅ 200 g ⋅t2 → t = = = 6,39 s 2 g 9,81

Dostřel s x = v0 ⋅ t = 1000 ⋅ 6,39 = 6390 m

9.13 Šikmý vrh Skládá se zase z přímočarého rovnoměrného pohybu, odkloněného od vodorovné roviny o úhel α , a volného pádu. Řešíme jej pomocí nezávislých pohybů, to znamená nejdříve proběhne jeden, až skončí, tak druhý. Výsledný pohyb vznikne jejich vektorovým sečtením. Dráha pohybu má tvar paraboly.

120/135


s = v0 ⋅ t p − přímočarý rovnoměrný pohyb; s x = v0 ⋅ t p ⋅ cos α sy =

1 g ⋅ t 2p − volný pád. 2

Z trojúhelníku musí platit:

s y = s ⋅ sin α = v 0 ⋅ t p ⋅ sin α Potom: sy = sy

1 g ⋅ t 2p = v0 ⋅ t p ⋅ sin α 2 čas pádu: t p =

2 ⋅ v0 ⋅ sin α g

v x = v0 ⋅ cos α v y = v0 ⋅ sin α − g ⋅ t p v = v x2 + v 2y

4sin72α44 8 v2 2v0 ⋅ sin α v02 64 s x = v0 ⋅ t p ⋅ cos α = v0 ⋅ ⋅ cos α = ⋅ 2 sin α ⋅ cos α = 0 ⋅ sin 2α g g g

121/135


sin 90° = 1 → max. dostřel bude při úhlu 45°.

Př.: Střela opustila hlaveň rychlostí 1200 m s při elevačním úhlu 45°. Jaký je dostřel zanedbáme–li odpor vzduchu?

sx =

v 02 1200 2 ⋅ sin 2α = ⋅ sin 90 0 = 146789m = 147km g 9,81

9.14 Svislý vrh Pohyb vzhůru je přímočarý rovnoměrně zpožděný a pohyb dolů přímočarý rovnoměrně zrychlený. Dráhy: Pohyb vzhůru:

s1 = v0 ⋅ t

Dolů:

s2 =

1 g ⋅ t2 2

výsledná dráha v libovolném čase: h = s1 − s2 = v0 ⋅ t −

1 g ⋅t2 2

Při zpětném dopadu na zem je h = 0, tedy: 0 = v0 ⋅ t d − v0 ⋅ td = td =

1 g ⋅ t d2 2

1 g ⋅ td2 2

2 ⋅ v0 g

122/135


Doba výstupu je poloviční: tv =

v0 v →g= 0 g t

h = v0 ⋅ tv −

1 1v 1 1 g ⋅ t 2 v = v0 ⋅ tv − 0 ⋅ t 2 v = v0 ⋅ tv − v0 ⋅ tv = v0 ⋅ t v 2 2 tv 2 2

Max. výška:

hmax =

1 1 v2 v0 ⋅ tv = g ⋅ tv2 = 0 2 2 2g

Výsledná rychlost: v = v0 + (− g ⋅ t ) = v0 − g ⋅ t

Př.: Střela vystřelená svisle vzhůru dopadla na zem za 120 s. Jak vysoko vystoupila a jaká byla počáteční rychlost? td = 120 s , tv = 60 s hmax =

1 1 g ⋅ t v2 = ⋅ 9,81 ⋅ 60 2 = 17658m 2 2

v0 = t v ⋅ g = 60 ⋅ 9,81 = 589 m s

9.15 Rozkládání pohybů Často bývá potřeba výsledný pohyb rozložit do dvou složek. Je to opačný postup ke

skládání pohybů.

9.15.1

Valení válce po rovině

Pohyb rozdělíme na unášivý a relativní pohyb: a. Unášivý pohyb: těleso se pohybuje jako celek vůči pevnému okolí. b. Relativní pohyb: pohyb tělesa vůči pohyblivému dobu. 123/135


V případě valení je unášivý pohyb posuvný pohyb rychlostí vu a relativní pohyb je otáčivý pohyb kole středu S, který se pohybuje.

Rychlosti v jednotlivých bodech:

A:

v = vu2 + vr2

B: v = vu + vr

C: Kolo nesmí proklouznout, tedy musí být vu = vr v=0

124/135


9.15.2

Oba dílčí pohyby otáčivé

V praxi u konstrukce ozubení: epicykloida, hypocykloida:

9.16 Unášivý pohyb rotační, relativní posuvný Je to poměrně častý případ u mechanismů, kdy se těleso (objímka) posouvá rovnoměrně po průvodiči rychlostí vr = konst. a ještě se s průvodičem rovnoměrně otáčí ( ωu = konst. ).

vu = R ⋅ ω u

Výsledná rychlost se pak rovná vektorovému součtu relativní rychlosti vr a unášivé rychlosti vu . Unášivá rychlost je funkcí poloměru a tedy se neustále mění. Pak tedy i výsledná rychlost neustále mění svůj směr a velikost. Tedy musí existovat nějaké zrychlení. Toto zrychlení nazýváme Coriolisovo zrychlení a působí vždy kolmo na směr relativní rychlosti.

125/135


ac = 2vr ⋅ ωu ac je ⊥ na vr a má směr ωu

Toto zrychlení způsobuje tzv. Coriolisova síla, která má vliv např. na odchylku střely dalekonosných děl, chod odstředivých čerpadel apod.

9.17 Harmonický pohyb O harmonickém pohybu hovoříme tehdy, jedná–li se o opakovaný vratný pohyb (kmitový pohyb). V praxi se s harmonickými pohyby setkáváme často např. u chvění a vibrací, u pohybu klikového mechanismu apod. Harmonický pohyb koná také např. závaží zavěšené na pružině, kmitající kolem rovnoběžné polohy.

126/135


Teoreticky se závaží pohybuje po sinusovce, v praxi je pohyb závaží tlumený vlivem tlumení pružiny a odporu vzduchu.

9.18 Rotační pohyb Při sledování pohybu bodu rotujícího po kružnici o poloměru R stálou úhlovou rychlostí ω dostaneme jednoduchý harmonický pohyb.

127/135


Dráha bodu A ve vodorovném směru: s x = r ⋅ sin ϕ

Obvodová rychlost:

v = r ⋅ω Složka této rychlosti ve vodorovném směru: vx = v ⋅ cos ϕ = r ⋅ ω ⋅ cos ϕ

Pohyb je rovnoměrný, tedy at = 0 Bude pouze normálné (dostředivé) zrychlení: an = r ⋅ ω 2

Pak jeho složku promítneme do vodorovného směru: a x = r ⋅ ω 2 ⋅ sin ϕ

( an ⋅ sin ϕ ) Dosadíme–li do vzorců za pootočení: ) ϕ = ω ⋅t Pak rovnice dostanou tvar: s x = r ⋅ sin ω ⋅ t vx = r ⋅ ω ⋅ cos ω ⋅ t a x = − r ⋅ ω 2 ⋅ sin ω ⋅ t

128/135


Průběh dráhy a zrychlení je dán sinusovkou, průběh rychlosti cosinusovkou. Z obrázku je zřejmé: v místě, kde je max. rychlost je nulové zrychlení a naopak, tam kde je nulová rychlost, je max. zrychlení. Max. rychlost dostaneme pro ϕ = 0 a 180° (cos 0 = 1), tedy pro body 1 a 3, vmax = r ⋅ ω

Max.

ϕ = 90° a 270°,

zrychlení tedy

dostaneme pro

body

pro

2,

4,

amax = −r ⋅ ω 2

V praxi často kmitavé pohyby např. chvění a vibrace nahrazujeme jedním nebo několika

pohyby

harmonickými

podle

sinusovky.

9.19 Kinematika soustavy těles Soustavou těles rozumíme alespoň 3 tělesa (včetně zákl. rámu), která jsou spolu pohyblivě spojena. Mechanismus je soustava těles s jednoznačným pohybem všech svých členů. Funkce mechanismu: a. Převod jednoho pohybu v druhý: posuv v posuv, posuv v rotaci,

rotaci v rotaci,

šroubový pohyb v rotaci apod. b. Dosažení předepsané dráhy pohybujícího se bodu popř. předepsaného pohybu tělesa.

9.20 Stupně volnosti: Těleso má tolik stupňů volnosti, kolik je třeba souřadnic k popsání jeho polohy. Stupně volnosti se tělesu odebírají pomocí vazeb. Volné těleso v rovině

3 st. volnosti, posuv x,y, rotace ϕ z (kolem osy z)

Volné těleso v prostoru

6 x, y, z, ϕ x , ϕ y , ϕ z

Volný bod v rovině

2 x, y 129/135


Volný bod na přímce

1 x

Volný bod v prostoru

3 x, y, z

Všechna mechanická zařízení, která omezují těleso v pohybu nazýváme vazbou. V rovině:

Rotační vazba (otáčivý pohyb) Odebírá x, y, má ϕ z

Posuvná vazba odebírá y, ϕ z , má x

Válivá vazba umožňuje otáčení kolem okamžitého středu otáčení. Odvaluje se, nesmýká, tedy odebírá x, y, má ϕ z

130/135


Obecná vazba: Tělesa se otáčí a smýkají po sobě – odebírá y, má x, ϕ z Počet stupňů rovinných mechanismů:

i = 3 ⋅ n − 2 ⋅ (r + p + v ) − o i – počet stupňů volnosti; n – počet pohyblivých členů mechanismu (bez rámu); r – počet rotačních vazeb; p – počet posuvných vazeb; v – počet válivých vazeb; o – počet obecných vazeb; 0° volnosti: není to mechanismus, nemůže se pohybovat; 1° volnosti: pohyb celého mechanismu je dán jedním pohybem jednoho členu; 2° volnosti: pohyb celého mechanismu je dán dvěmi pohyby jednoho a více členů.

Př.: 3 členy

i = 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ (2 + 1) = 0 Je pevný!

Př.: 4 členy

i = 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ (3 + 1 + 0 ) − 0 = 1 Má 1° volnosti.

131/135


9.21 Převody Převod je mechanismus, který převádí jeden pohyb na jiný nebo na stejný typ pohybu, ale např. jinou rychlost. Obvykle pod pojmem převod rozumíme mechanismus, který převádí otáčivý pohyb z jedné hřídele na druhý. Kontaktní

Třecí převod

Opásané (s vloženým členem)

Řemeny

Kontaktní

Ozubená kola

Opásané (s vloženým členem)

Řetězový převod

Se silovým stykem Převody S tvarovým stykem

9.22 Řemenový nebo řetězový převod v = v1 = v2 = konst. (řetěz, řemen se neprotahuje ani

netrhá);

v1 = π ⋅ D1 ⋅ n1 = v2 = π ⋅ D2 ⋅ n2 Převodový poměr: i=

n1 D2 = n2 D1

i& < 1 převod do rychla; i > 1 převod do pomala.

9.23 Převody ozubenými koly

D1 = z1 ⋅ m D2 = z2 ⋅ m v = π ⋅ D1 ⋅ n1 = π ⋅ D2 ⋅ n2 i=

132/135

n1 D2 z2 = = n2 D1 z1


9.24 Složený řemenový převod

Celkový převod se rovná součinu jednotlivých převodů: i12 =

n1 D2 = n2 D1

i34 =

n3 D4 = n4 D3

i14 = i12 ⋅ i34 =

n1 ⋅ n3 D2 ⋅ D4 = n2 ⋅ n4 D1 ⋅ D3

n3 = n2 i14 =

n1 D2 ⋅ D4 = n4 D1 ⋅ D3

133/135


9.25 Složený převod ozubenými koly

i14 = i12 ⋅ i34 =

n1 z2 ⋅ z4 = n4 z1 ⋅ z3

Vložené kolo:

i13 = i12 ⋅ i23 = i13 =

134/135

z3 z1

z 2 ⋅ z3 z3 = z1 ⋅ z2 z1


Převodový poměr mezi kolem 1 a 3 se vložením kola 2 nezmění, změní se jen směr otáčení kola 2 a vzdálenost os hřídelů. i13 =

z3 z1

Seznam použité literatury:

L. Mrňák, A. Drdla, MECHANIKA – Pružnost a pevnost pro střední průmyslové školy strojnické, Praha: SNTL, 1977.

M. Julina, J. Kovář, V. Venclík, MECHANIKA II – Kinematika pro střední průmyslové školy strojnické, Praha: SNTL, 1977.

I. Turek, O. Skala, J Haluška, MECHANIKA – Sbírka úloh, Praha: SNTL, 1982.

J. Leinveber, P. Vávra, Strojnické tabulky, Praha: ALBRA, 2008, ISBN 978-80-7361051-7

135/135

Ing. Vítězslav Doleží, Ing. Dušan Galis

Recommend Documents