Stageverslag: Aandrijving op basis van een duikspoel.
J. Hartgers WPA-rapport nr. 310082
Januari 1998 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Werktuigbouwkunde Vakgroep WPA Sectie Precision Engineering Den Dolech 2 Eindhoven Begeleider: Ing. K.G. Struik
Voorwoord Eindhoven, 5 januari 1998 Ik heb dit verslag gemaakt in het kader van het afstuderen aan de HTS Werktuigbouwkunde in Vlissingen. Mijn afstudeeropdracht was het bestuderen van een duikspoel aandrijving bij de sectie Precision Engineering van de faculteit Werktuigbouwkunde van de Technische Universiteit Eindhoven. Ik heb hiervoor de constructie van een duikspoel aandrijving bestudeerd en een aantal mogelijkheden voor de regeling van dit systeem bekeken. Vanwege de complexe aard van de problemen bij het bouwen en regelen van een duikspoel aandrijving en de beperkte hoeveelheid tijd is het onderzoek nog niet geheel afgerond. Mijn HTS afstudeerverslag (PE030) is de voorloper op dit verslag. Het verschil tussen deze twee verslagen is dat in dit verslag de elektromagnetische aspecten en de regeling beter is uitgewerkt dan in het eerdere verslag. Het HTS afstudeerverslag behandelt dan ook enkel de constructieve basisprincipes van de duikspoel aandrijving en bevat een inleiding op het regelen van een duikspoel met zeer hoge resoluties. Ook heb ik in dat verslag al een advies kunnen geven omtrent de aanschaf van een digitale regelaar op basis van een DSP voor het regelen van duikspoel aandrijvingen. Ik ben mijn begeleider Klaas Struik dankbaar voor de mogelijkheid om op deze interessante aandrijving te mogen afstuderen. Het was niet altijd even gemakkelijk en daarom wil ik Jarl Buskop en Ferry van der Hulst ook bedanken voor de goede adviezen, die hi.j mij heeft gegeven. Zonder de hulp en gezelligheid van de medewerkers en studenten van de sectie Precision Engineering was het tot stand brengen van deze opdracht zeker niet mogelijk geweest. J. Hartgers
Samenvatting Dit verslag beschrijft een onderzoek naar de constructie en regeling van duikspoel aandrijving. Voor zowel ontwerp, als regeling is er uitgegaan van een apparaat dat een slag . van 10 mm kan maken met een resolutie van 1 nm. Dit apparaat is een voorstudie naar een 2~D oppervlakte scanapparaat. De rechtgeleiding is uitgevoerd als een dubbelparalleIlogram rechtgeleiding met bladveren. Voor de aandrijving is zowel het bewegende spoel systeem, als het bewegende magneet systeem geevalueerd. Voor de regeling is gekozen voor een digitale regelaar op basis van een DSP-board. De belangrijkste resultaten zijn: • Voor een rechtgeleiding met lage stijfheid in de bewegingsrichting en hoge stijfheid in aIle andere richtingen zijn grate dunne bladveren nodig. Dit ook om de slag van 10 mm haalbaar te maken. • De enkelvoudige dubbelparaIleIlogram geleiding is het meest geschikt om als rechtgeleiding in de constructie te gebruiken. • Bewegende spoel systemen zijn in dynamische toepassingen interessanter dan bewegende magneetsystemen. Dit bewegende spoel systeem wordt dan ook toegepast in de aandrijving. • In het magneetsysteem kan het beste een kortsluitwikkeling worden opgenomen om een betere frequentie responsie te krijgen. Dit door de lagere zelfinductie en de hogere weerstand van de spoel. • Bij stijf opgewonden spoelen hoeft de stijfheid van de spoel niet worden opgenomen in het dynamische gedrag van het mechanische systeem. • De regeling is aIleen uit te voeren met behulp van een geavanceerde regelmethode om de juiste positioneer nauwkeurigheid te halen. • Voor de regeling voldoen "normale"regelaars niet zondermeer door de zeer hoge versterkings factoren die nodig zijn om een sneIle responsie zonder doorschot te krijgen. • Als DSP besturingskaart voldoen systemen van Prodrive en Innovative Integration aan de eisen, die aan een geavanceerd regelsysteem worden gesteld. Ret TIMEX systeem van Prodrive is in dit geval het meest geschikte besturingssysteem.
Inhoudsopgave
1 De inleiding
9
1.1
De opdracht . . . . . . . . .
9
1.2
De opbouw van het verslag .
10
2 Een kennismaking met de duikspoel
11
2.1
De luidspreker .
11
2.2
De duikspoel
12
.
15
3 De rechtgeleiding 3.1
3.2
3.3
.
15
3.1.1
De enkelparallellogram geleiding .
16
3.1.2
De dubbelparallellogram geleiding .
17 18
De parallellogram geleidingen
De berekeningen aan bladveren
.
3.2.1
De stijfheidsberekeningen
20
3.2.2
De belastingsberekeningen
21 22
De toepasbare rechtgeleidingen
4 De magneetsystemen 4.1
Ret werkingsprincipe
4.2
Verschillende mogelijke systemen
27 .
27 30
4.2.1
Ret bewegende spoel systeem
31
4.2.2
Ret bewegende magneetsysteem
33
4.3
De spoel-dimensionering . . . . . . . .
35
4.4
Dynamische magnetische verschijnselen
39
4.4.1
De elektromotorischekracht en wervelstromen
40
4.4.2
BeYnvloeding van het hoofdmagneetveld. . . .
42 1
4.5
4.4.3
Ret transformator effect
43
4.4.4
De tegen-EMK . .
44
Een goed magneetsysteem
44
47
5 De regeling 5.1
De modelvorming
47
5.2
Conclusies uit het model
51
5.3
Ret positie meetsysteem
54
5.4
De resolutie van het aandrijfsysteem
56
5.5
De afschatting van de regelsnelheid
58
5.6
De regelaar . . . . . . . . . . . ..
59
6 Het regelsysteem
63
6.1
De specificaties van het regelsysteem
64
6.2
De verschillende regelsystemen . . . .
65
6.2.1
Ret enkel op een PC gebaseerde regelsysteem
66
6.2.2
Ret op een PC en DSP gebaseerde regelsysteem
67
6.2.3
Ret enkel op een DSP gebaseerde regelsysteem in een PC
67
6.2.4
Ret zelfstandige DSP systeem . .
68
6.3
Een vergelijking tussen de regelsystemen
69
6.4
De kosten . . . . . . . . . . . . . . . .
71
6.5
De selectie van het beste regelsysteem .
73
7 Conclusies
75
7.1
De rechtgeleiding
75
7.2
Ret magneetsysteem
75
7.3
De regeling
.....
Bibliografie
76
77
Bijlage
I
A De vergeet-me-nietjes
I
2
V
B MATLAB software C Beschrijving van de uitgevoerde simulaties D De stijfueid van de spoel
E Lagrange afleiding van het 2 dof systeem F Ret aantal benodigde instructies
VII IX XV XVII
F.l Het Kalman-filter ..
XVII
F.2 Numerieke integratie.
XVIII
F.3 De regelaar
XIX
••
a
••
3
Lijst van figuren
2.1
Schematische voorstelling van een lage tonen luidspreker.
12
2.2
Schematische voorstelling van een duikspoel aandrijving.
13
3.1
Een voorbeeld van een bladveer. . . . . . . . . . . . .
16
3.2
Voorbeeld van een enkelparallellogram rechtgeleiding.
17
3.3
Schematische voorstelling van een dubbelparallellogram rechtgeleiding.
17
3.4
Krachtenspel op de rechtgeleiding. . . . . . . . . . . . . . .
19
3.5
Een rechtgeleiding met een dubbelparallellogram geleiding.
22
3.6
Een rechtgeleiding, die uit twee dubbelparallellogram geleidingen bestaat.
23
4.1
Een geleider in een magneetveld.
28
4.2
Een eenvoudig magneetsysteem. .
28
4.3
De BR-krommen van verschillende ferromagnetische materialen.
29
4.4
Een magneetsysteem voor bewegende spoel toepassingen.
31
4.5
Ret magneetsysteem met een bewegende magneet.
33
4.6
Opbouw van de spoel op het wikkellichaam. .
35
4.7
Een spoel gewikkeld om een metalen cilinder.
41
4.8
Een spoel gewikkeld om een rechthoekig blik pakket.
41
4.9
De veldlijnen rond een spoel in een magneetveld. .
43
4.10 De veldlijnen van de spoel en magneet in het juk.
43
4.11 Schema van een transformator.
44
4.12 De spoel die in het magneetveld beweegt. .
45
4.13 De voorgestelde aandrijving. . . . . . . . .
46
5.1
Blokdiagram van het vereenvoudigde ongeregelde systeem.
49
5.2
Blokdiagram van het complexe ongeregelde systeem. .
51
5.3
De Bode-plot van drie mogelijke systemen . . . . . .
52
5
5.4
De responsie van het eenvoudige en het complexe mechanische systeem. "
54
5.5
Ret verschil tussen de werkelijke en gemeten posities en tussen de werkelijke en de berekende snelheid. .
56
5.6
Schematische voorstelling van de regelaar in de regelingo
59
5.7
Ret bode diagram en de responsie van het geregelde systeem.
0
•
•
•
•
0
•
•
•
•
•
•
•
•
0
•
0
61
0
II
A.1 Een in drieen verdeelde balk met een F en M belasting. Dol De Lorents-kracht verloop op een spoel met een laag. . . . . . .
0
•
•
••
D.2 Vervorming van rechthoekige doorsneden onder verschillende belastingen. D.3 Een vereenvoudigd verloop van de krachten op de spoel.. E.1 Ret model van het systeem met de stijfheid van de spoel.
6
0
0
0
0
•
0
•
••
IX X XI XV
Lijst van tabellen
3.1
Afmetingen en kenmerken van de bladveren. . . . . . . . . . . . . . .
25
4.1
De relatieve magnetische permeabiliteit van verschillende materialen.
30
4.2
De waarden voor verschillende eigenschappen van een aantal magneet materialen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
30
De afmetingen van de magneet voor verschillende magnetische materialen voor een bewegende spoel magneetsysteem. . . . . . . . . . . . . .
32
4.4
De afmetingen van twee spoelen voor bewegende spoel systemen. . . . . ..
38
4.5
De zelfinductie van verschillende spoelen in JLH met de afmetingen in mm.
39
4.6
Verschillende elektrische en magnetische grootheden in het magneetsysteem.
42
5.1
Waarden van het model. . . . . . . . .
52
5.2
De polen van het ongeregelde systeem.
53
5.3
De polen en nulpunten van het geregelde systeem en de regelparameters van de regelaar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
61
6.1
Eisen die aan het besturingssysteem worden gesteld. .
64
6.2
Beoordeling van de verschillende mogelijke regelsystemen. .
70
4.3
F.1 De vergelijkingen voor het continue Kalman filter met ruis . . . . . . . . . XVIII F.2 Het aantal optellingen en vermenigvuldigingen die nodig zijn voor het Kalman-filter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII F.3 Aantal berekening voor het oplossen van een 4e orde Runge-Kutta methode XIX F.4 Aantal instructies die de regelaar gebruikt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX
7
Hoofdstuk 1 De inleiding
Voor de bouw van precisie apparatuur is het vaak nodig, dat een bepaald onderdeel een translatie uitvoert. Voor deze translatie wordt al jaren gezocht naar verschillende vormen van aandrijving. Tot nu toe zijn vooral pYezo-stacks toegepast voor translaties met een kleine slag (maximaal enkele honderden /-lm). Voor de grate slagen van enkele centimeters tot meters is momenteel vooral gebruik gemaakt van aandrijvingen met wrijvingswiel overbrengingen en staal band en van lineaire motoren. Een ander type aandrijving is de zogenaamde duikspoel, in het engels ook voice coil genoemd. Deze aandrijving biedt de mogelijkheid om het gat tussen de pYezo-stack en de elektrojlineaire motoren te dichten. Deze duikspoel motor, die zich qua werking goed laat vergelijken met een luidspreker spoel, wordt om deze reden al toegepast in verschillende apparaten. Hij is gebruikt in de focusseer lens van een laserbewerkingsmachine voor het maken van trekstenen en als aandrijving voor een particlecrusher voor het breken van kleine deeltjes, die voor slijpen en stralen gebruikt worden. Ook wordt de duikspoel aandrijving in een Fast Tool Servo voor de vervaardiging van contactlenzen met lees gedeelte toegepast. Desondanks is er binnen de sectie Precision Engineering van de Technische Universiteit Eindhoven weinig ervaring en kennis aanwezig ten aanzien van de statische en dynamische performance van een dergelijke aandrijving. Ook over de constructieve aspecten van de duikspoel is weinig bekend. Omdat deze kennis belangrijk is voor een nieuw te bouwen 2~D oppervlakte aftast meetmachine, heeft men een onderzoek gestart naar het gedrag en de regelbaarheid van duikspoelen aan de hand van het ontwerp van een machine, die een slag kan maken van 10 mm met 1 nm resolutie.
1.1
De opdracht
De HTS afstudeeropdracht, die mij is verstrekt, gaat dan ook over de duikspoel en is opgedeeld in een drietal punten. Deze drie punten, die rechtstreeks uit de aan mij verstrekte opdracht komen, worden hieronder opgenoemd en hebben de leidraad gevormd voor mijn opdracht. • Inventariseer de aanwezige ervaring binnen de TUE op dit gebied. 9
• Onderzoek tevens de mogelijkheid om met behulp van een DSP (Digital Signal Processor) insteekkaart voor een PC het systeem te besturen. Onderzoek ook de software mogelijkheden om de te ontwikkelen regelmethode en de implementatie hiervan op een DSP uit te voeren. De positie informatie van de verplaatsingsopnemer moet ook aan deze kaart kunnen worden doorgegeven. Ook het signaal van een meettaster moet kunnen worden aangesloten. • Ontwerp een verplaatsingssysteem, dat gebruik maakt van het duikspoel principe voor het genereren van een verplaatsing van 10 mm. De overige afmetingen van de constructie worden in overleg met de begeleider en in relatie tot de performance bepaald. Voor het meten van de positie kan van een aanwezige laser interferometer gebruik worden gemaakt. Aan de bewegende kern moet een taster kunnen worden aangebouwd. Ten aanzien van de constructie en de performance van het systeem zijn in latere gesprekken nog de volgende eisen gesteld. • De gewenste resolutie van het verplaatsingssysteem bedraagt 1 nm. • De parasitaire bewegingen moeten kleiner zijn dan 0.1 J1m over de hele slag. • Het systeem, zowel regeling als constructie, moet in staat zijn om bewegingen van 1 J1m met een frequentie van 200 Hz te volgen. • Het regelsysteem moet ook geschikt zijn voor het besturen van een Fast Tool Servo (FTS).
1.2
De opbouw van het verslag
Dit verslag behandelt de punten uit de opdracht aan de hand van de bouw van een constructie, die de gewenste bewegingsslag kan maken. Hoofdstuk 2 vormt een korte kennismaking met de duikspoel, zijn constructie en regeling. Hierna wordt een bespreking gegeven van verschillende onderdelen van het systeem, waarbij steeds een aantal uitvoeringsvormen wordt behandeld. Zo worden in hoofdstuk 3 verschillende mogelijke rechtgeleidingen beschreven. In hoofdstuk 4 worden verschillende uitvoeringsvormen van het magneetsysteem beschreven. In hoofdstuk 5 wordt de regelstrategie voor het systeem behandeld. In hoofdstuk 6 wordt een selectie gemaakt uit verschillende DSP regelkaarten. Hoewel de drie eerst genoemde hoofdstukken op zichzelf staan, wordt door het verslag heen veel teruggegrepen naar kennis en gegevens uit eerdere hoofdstukken. Zeker voor de ontwikkeling van een regeling en de keuze van een regelaar zijn de andere onderdelen van het systeem erg belangrijk. In het laatste hoofdstuk, hoofdstuk 7, worden de conclusies omtrent de verschillende onderdelen van het systeem gegeven. De bijlagen geven extra informatie over het gebruik van de vergeet-mij-nietjes en geven een beschrijving van de door mij geschreven MATLAB programma's voor het berekenen van de afmetingen van de bladveren, magneten en spoelen.
10
Hoofdstuk 2 Een kennismaking met de duikspoel
Zoals reeds is gezegd in de inleiding, is de duikspoel vergelijkbaar met een luidspreker. Beide hebben namelijk de zelfde onderdelen, alleen ligt bij de duikspoel de nadruk op het opwekken van een beweging en ligt bij de luidspreker de nadruk op het maken van geluid. Ondanks dit verschil in taak zijn er veel overeenkomsten tussen de luidspreker en de duikspoel. Vanwege deze overeenkomsten en de grotere bekendheid van de luidspreker wordt nu eerst een beschrijving gegeven van de werking van een luidspreker. Rierna worden de verschillen met een duikspoel behandeld.
2.1
De luidspreker
Een luidspreker zet elektrische energie uit de versterker, die geluidsinformatie bevat, om in geluidsgolven. In een sterk vereenvoudigde vorm bestaat de luidspreker uit vier belangrijke onderdelen met ieder een geheel eigen taak. In figuur 2.1 zijn deze vier onderdelen ook aangegeven. • Ret belangrijkste onderdeel van de luidspreker is het membraan of de conus. Dit element zorgt voor de uitstraling van geluidsgolven door de luidspreker en voor de rechtgeleiding van het spoeltje. Ret membraan is meestal gemaakt van een papierachtig materiaal, dat is opgehangen in een elastische rand. • In het membraan zit een spoel gemonteerd. De stroom die door de spoelloopt wekt een kracht op, de Lorentz-kracht. Deze kracht laat de spoel en het membraam waar het aan bevestigd is bewegen. Door de stroom door de spoel te veranderen kan de richting en de grootte van de uitwijking van het membraam worden be'invloed. • De spoel beweegt in een magneet, die dient voor het opwekken van de Lorentz-kracht. Deze magneet is gewoonlijk uitgevoerd als een ring van magnetisch materiaal met daar omheen een juk van ijzer om het magneetveld naar de spoel te geleiden. Dit juk wordt ook weI poolschoen genoemd. • Dit alles is weer opgehangen in een frame, dat de magneet goed positioneert ten opzichte van de spoeljmembraan combinatie. Ook zorgt dit frame ervoor, dat de luidspreker in een geluidsmeubel te monteren is. 11
Figuur 2.1: Schematische voorstelling van een lage tonen luidspreker. Een van de belangrijkste problemen bij het maken van luidsprekers is de bevestiging van het spoeltje aan het membraan. Ret spoeltje verbruikt veel energie, waardoor veel warmte ontwikkeld wordt. Deze warmte raakt de spoel moeilijk kwijt, waardoor de lijm, waarmee het spoeltje vast zit, erg warm kan worden. Ook moet het spoeltje goed in een richting blijven bewegen, want anders raakt het spoeltje de wanden van het magneetsysteem, iets dat resulteert in vervormingen van het geluid.
2.2
De duikspoel
In tegensteIling tot de luidspreker zet de duikspoel elektrische energie enkel om in bewegingsenergie. Maar toch bestaat de duikspoel uit bijna de zelfde onderdelen. AIleen is het membraan vervangen door een goede rechtgeleiding om een zuiver translerende beweging in een richting te krijgen. Voor de rest bevat een constructie met een duikspoel ook een positie meetsysteem, waarmee de verplaatsing van het te bewegen object wordt gemeten. Deze beweging is een rechtstreeks gevolg van de bewegingen van de spoel in het magneetveld. Door deze gemaakte verplaatsing te vergelijken met een gewenste positie kan een regelaar de juiste stroom door de spoel insteIlen om zo ook werkelijk de juiste positie te bereiken. In figuur 2.2 zijn de verschillende onderdelen van een duikspoel aandrijving aangegeven. Een nadeel van de duikspoel is, dat de rechtgeleiding vaak in de bewegingsrichting relatief stijf is, als hij is uitgevoerd met elastische elementen. Rierdoor zijn er grote krachten en dus ook grote stromen nodig om de gewenste verplaatsing te realiseren. Door deze grote stromen wordt er veel warmte geproduceerd, die weer moet worden afgevoerd. De door mij te maken constructie heeft ook nog enkele andere problemen. Deze problemen liggen vooral op het regeltechnische gebied. Om een goede regelaar te maken moet er namelijk veel informatie over de positie aanwezig zijn. Ook is informatie over de snelheid erg belangrijk om een beheerste beweging uit te voeren. Met deze positie- en snelheidsgegevens is met behulp van een PD-regelaar of PID-regelaar op eenvoudige wijze een zeer goed positioneer systeem te maken. Bij dit project is echter de resolutie van het meetsysteem niet 12
Regeloar
Positie meetsysteem······
t=
N
Z
/ /
Rechtgeleiding
Figuur 2.2: Schematische voorstelling van een duikspoel aandrijving. veel groter dan de positioneerresolutie. Wordt er namelijk gebruik gemaakt van een incrementele meetliniaal, dan is er maar een meetresolutie van 1 nm mogelijk. Gebruikt men echter een lasermeetsysteem, dan is de resolutie van het meetsysteem twee keer zo groot als de gewenste positioneerresolutie. Hierdoor is er maximaal maar een extra datapunt bij het maken van stapjes van een nanometer. Ook is de afwezigheid van goede snelheidsinformatie een groot probleem. Door het ontbreken van deze informatie is er een geavanceerde regelstrategie nodig, die een snelheid berekent op basis van het positiemeetsysteem. Deze geavanceerde regelaars zijn ook nodig om uit de ruis in de meetsignalen de juiste positie van het apparaat te reconstrueren.
13
Hoofdstuk 3 De rechtgeleiding
Om een goed gedefinieerde verplaatsing te krijgen van de spoel, het positiemeetsysteem en te verplaatsen aftastsensor is er een rechtgeleiding nodig. Aan deze rechtgeleiding worden een aantal eisen gesteld. In de eerste plaats moet de rechtgeleiding ervoor zorgen, dat de hele slag van 10 mm gemaakt kan worden. In de tweede plaats moeten de parasitaire bewegingen zo klein mogelijk blijven. Er is een maximale verplaatsing loodrecht op de bewegingsrichting toegestaan van 0.1 /-lm. Als derde eis moet de gehele beweging reproduceerbaar zijn. Dit betekent, dat eventuele afwijkingen in de beweging of benodigde aandrijfkracht iedere keer bij het doorlopen van de slag het zelfde moeten zijn. Om aan deze eisen op een eenvoudige wijze te voldoen is er voor een elastische rechtgeleiding gekozen. Een belangrijk argument voor deze keuze is de mogelijkheid om de effecten van hysteresis en wrijving te minimaliseren. Rierdoor blijven de eventuele niet lineairiteiten en afwijkingen op de beweging voorspelbaar en tevens reproduceerbaar bij het doorlopen van de 10 mm slag. Een andere voordeel van het construeren met elastische elementen is de mogelijkheid om zeer licht en stijf te construeren.
3.1
De parallellogram geleidingen
Voor de constructie van de rechtgeleiding is gekeken naar de mogelijkheden van zowel de enkelparallellogram als de dubbelparallellogram rechtgeleiding. Er is aIleen naar deze twee rechtgeleidingen gekeken, omdat dit type rechtgeleiding zeer eenvoudig is. Andere rechtgeleidingen moeten worden uitgevoerd met sprieten of als monolyth en hebben meer een 3D karakter [1:L] en dat bemoeilijkt de fabricage. Ret voordeel van het gebruik van parallellogram geleidingen is dan ook de eenvoudige constructie (sterk 2D) en de mogelijkheid om gebruik te kunnen maken van eenvoudige elastische elementen zoals bladveren. Over dit type rechtgeleiding is veel geschreven door de heer Rosielle [11] van de Technische Universiteit Eindhoven en door anderen. De meeste formules voor het ontwerpen met bladveren komen dan ook direct of indirect uit het werk van de heer Rosielle. Bij een parallellogram rechtgeleiding wordt de mogelijkheid om te bewegen verzorgd door het makkelijk kunnen buigen van de bladveer in de X-richting. Een bladveer is in het algemeen een stuk dun
15
Blo(jv'C'er
X-uS
y
z"~: ~\I: ~==~============~===:J Vuste wereld
Figuur 3.1: Een voorbeeld van een bladveer. plaat materiaal, dat aan twee tegenover elkaar liggende kanten is ingeklemd. In figuur 3.1 is een bladveer getekend. Deze plaat kan buiten de inklemmingen buigen en laat zo drie vrijheidsgraden vrij. De translaties in de Y en Z-richting en de rotatie om de X-as liggen vast. De translatie in de X-richting en de rotaties om de Y en Z-as worden door de bladveer vrijgegeven. Door het verplaatsen, in de X-richting, van een van de inklemmingen ten opzichte van de andere inklemming zal de bladveer in een zwakke s-bocht komen te staan. Alle bewegingen in de andere richtingen, in de Y en Z-richting, worden opgevangen door de hoge afschuif- en trekstijfheid van de bladveer loodrecht op de bewegingsrichting. Door twee parallelle bladveren toe te passen wordt er een borging tegen de rotaties om de, X, Y en Z-as bereikt. Op deze manier laat een rechtgeleiding met bladveren maar een vrijheidsgraad vrij. 3.1.1 De enkelparallellogram geleiding Een enkel parallellogram geleiding is de eenvoudigste rechtgeleiding, die mogelijk is met bladveren. Zoals te zien is in figuur 3.2 bestaat de rechtgeleiding uit twee bladveren, die parallellopen. Beide bladveren zijn verbonden aan zowel de vaste wereld als aan het recht te geleiden object. Door nu tegen het lichaam L te duwen beweegt het in de X-richting. Omdat de combinatie van twee bladveren een vrijheidsgraad te veel vastlegt, de rotatie om de X-as wordt door beide bladveren vastgelegd, moet het lichaam L de rotatie om de X-as weer vrijgeven. Dit wordt gedaan door dit lichaam torsie slap te maken met bijvoorbeeld een stuk kruisprofiel. Zoals duidelijk zal zijn, levert deze geleiding snel een grate parasitaire beweging in de Z-richting door de daling of stijging van het lichaam, als het wordt voortgestuwd in de X-richting. Deze zakking in de Z-richting is bij benadering gelijk aan:
0.6x 2
Z=--
tv
(3.1)
Hierin is x de verplaatsing van het lichaam L en tv de lengte van de bladveren. Door nu de eis van een maximale parasitaire beweging van 0.1 /lm op een halve slag van de totale slag 16
van 10 mm in te vullen in vergelijking 3.1 wordt gevonden, dat de bladveerlengte 150 m moet zijn. Dit geeft dan ook het grootste nadeel van de enkelparallellogramgeleiding aan. De stijfheid van de geleiding in de bewegingsrichting wordt bepaald door twee keer de stijfheid, die de bladveer heeft tegen buiging.
c
x-os
H
r' z
I
a
IH
L
F
L
L
/;
~
x Figuur 3.2: Voorbeeld van een enkelparallellogram rechtgeleiding.
Figuur 3.3: Schematische voorstelling van een dubbelparallellogram rechtgeleiding.
3.1.2 De dubbelparallellogram geleiding De dubbelparallellogram geleiding is een stuk complexer van opzet. Het is een combinatie van twee enkelparallellogram geleidingen, die in elkaar zijn gebouwd, zoals te zien is in figuur 3.3. De kracht, die voor de beweging in de X-richting nodig is, grijpt aan op het hoofdlichaam L. Lichaam H is het hulplichaam en zorgt er voor, dat de totale zakking minimaal is. Beide lichamen L en H maken ieder de halve verplaatsing van de totale bewegingsslag. Hierdoor zakt lichaam H net zoveel als lichaam L stijgt. Met behulp van een slagverdeler wordt er voor gezorgd, dat de bewegingen op een juiste manier over de twee lichamen worden verdeeld. Deze slagverdeler zorgt voor het minimaliseren van de parasitaire bewegingen in de Z-richting. In vergelijking 3.2 is het verband gegeven tussen de overbrengverhouding i van de slagverdeler, de lengtes lL en lH van de bladveren van het hoofdlichaam respectievelijk het hulplichaam en de zakking z. Z
=
0, 6x 2 (1 - i)2
0,6x 2 i 2
lH
lL
(3.2)
De stijfheid in de bewegingsrichting is in dit geval gelijk aan vier keer de buigstijfheid in de X-richting van de bladveren. Echter de benodigde slag per bladveer is in dit geval de helft 17
van de benodigde slag bij de enkelparallellogram geleiding. Rierdoor is de benodigde kracht in beide gevallen gelijk. Omdat bij deze rechtgeleiding de parasitaire beweging loodrecht op de bewegingsrichting te elimineren is, is voor deze rechtgeleiding gekozen om toe te passen in het ontwerp.
3.2
De berekeningen aan bladveren
Bij de berekeningen aan bladveren kan een bladveer gezien worden als een combinatie van twee dingen, namelijk: • Naar buiten toe gedraagt een bladveer zich als een combinatie van twee rolopleggingen met ieder een scharnier. Dit element geeft namelijk ook bewegingen in de X-richting vrij en laat per scharnier rotaties toe. Rieruit voIgt, dat de bladveer geen krachten kan overbrengen in de bewegingsrichting en ook geen moment kan opnemen. Ret moment rond een scharnier is namelijk altijd nul. WeI kan de bladveer trek- en afschuifkrachten opnemen. • Intern gedraagt de bladveer zich als buigbalk. am de bladveer te kunnen buigen is er een kracht nodig. am de bladveer aansluiting te laten behouden met de vaste wereld en het andere lichaam zal de bladveer bij de inklemmingen recht zijn, terwijl midden tussen beide inklemmingen op een half tv de bladveer scheef staat. am de bladveer recht op de inklemming te laten aansluiten moet hij recht getrokken worden door een moment, dat de buigkracht tegen werkt. Met behulp van deze twee eigenschappen is er aan de bladveer te rekenen. Door een momenten-, horizontale krachten- en verticale krachtenevenwicht op te stellen is de uitwendige belasting op de bladveren te bepalen. De horizontale kracht zorgt voor de buiging van de bladveren en zo ook voor de verplaatsing. Omdat de balken theorie bij benadering ook voor bladveren geldt, is het buiggedrag uit te rekenen met behulp van de vergeet-mijnietjes, die in vele technische informatie boeken zijn opgenomen [12]. In bijlage A worden de gebruikte vergeet-mij-nietjes nog eens herhaald voor het geval, dat ze toch vergeten zijn. Aan de hand van figuur 3.4 wordt het krachten spel op de bladveer nader uitgelegd. De aandrijfkracht F wordt opgesplitst in twee delen, FA en FB . Deze kracht zorgt tevens voor een moment M. Ret gewicht van de constructie is bij wijze van vereenvoudiging uitgevoerd als een kracht K, die in het zwaartepunt aangrijpt. Bij het buigen van de bladveren blijft de hoekverdraaiing aan beide uiteinden nul (
MAt FAt; _ 0 - -v - - - EI 2EI FAl v 2 18
(3.3)
,
-' ,
,
---':':~-:
.........
, ! KB
KA
FA-.L...- - - , - - - - - - - - - - " . . , . ! · . - FB 'M A' 11 12 a 'MB
, K
F
Figuur 3.4: Krachtenspel op de rechtgeleiding. Voor M B geldt het zelfde, alleen is bij dit moment de kracht F B belangrijk. Nu zijn de krachten- en de momentenevenwichten te bepalen.
FA +FB -F = 0 KA+KB-K=O
+ MB + F MA + MB + F MA
.a - KB . l
+K .h =
0
. a + K A • l - K . l2 = 0
(3.4)
Omdat beide bladveren gelijk zijn, zijn ook de krachten FA en FB en de momenten M A en M B aan elkaar gelijk. Om nu de bladveren gelijk te belasten moeten ook de trekkrachten K A en K B gelijk zijn. Hiervoor kunnen de vergelijkingen uit 3.4 op twee manieren opgelost worden. Ais eerste kunnen de afstanden II en l2 zo gekozen worden, dat bij een specifieke aandrijfkracht F de beide krachten gelijk zijn. De kracht K grijpt in dat geval niet in het midden van de balk aan. Ais tweede kan de afstand a, waarop de kracht F aangrijpt, zo worden gekozen dat bij alle aandrijfkrachten de trekbelasting voor beide bladveren gelijk IS.
Door in de vergelijkingen uit 3.4 FA = FB = ~F, M A = M B volgende verband gevonden voor de lengtes h en l2:
= Ef-
in te vullen wordt het
F lv KA -(- +a) + l K
2
K
-F lv KB -(-+a)+lK 2 K
(3.5)
19
Hieruit voIgt, in het geval dat K A = K B = ~K, dat de beste plaats om de aandrijfkraeht aan te laten grijpen in het midden van de bladveer ligt, namelijk als a = ~ .
3.2.1 De stijfheidsberekeningen De stijfheid is gedefinieerd als de kraeht gedeeld door de verplaatsing of bij rotaties het moment gedeeld door de hoekverdraaiing. Bij de stijfheid van bladveren komt dit neer op de kraeht gedeeld door de zakking [11]. Omdat bij het berekenen van bladveren van de balkentheorie gebruik gemaakt mag worden, is de stijfheid relatief eenvoudig te berekenen. Voor de stijfheid in de bewegingsriehting gelden de volgende vergelijkingen met als randvoorwaarde, dat de hoekverdraaiing aan beide uiteinden gelijk aan nul is.
F1 3 M1 2 3Ely 2Ely F13v F1 v3 ---3Ely 4Ely 3 F1 v 12Ely
v v ----
(3.6)
De stijfheid is dan ook :
C _ 12Ely x -
(3.7)
13 v
Hieruit blijkt, dat de snelste manier om een lage buigstijfheid in de bewegingsriehting te bereiken is het langer of dunner maken van de bladveer (De dikte zit namelijk als t 3 in het traagheidsmoment I y = ~t;.). Het verbreden of versmallen van de bladveer heeft veel minder invloed op de stijfheid in de X-riehting. De stijfheid bij belasting op trek in de Z-riehting is veel eenvoudiger, namelijk Ct AIle geometrisehe parameters (lv, b, t) zitten lineair in deze stijfheid.
=
1:.
In de Y-riehting is het uitrekenen van de stijfheid iets ingewikkelder. Men kan namelijk aannemen, dat de bladveer bij een van de inklemmingen niet vervormt, omdat het lichaam, waaraan de bladveer bevestigd is, oneindig stijf is. Deze aanname was in het geval van bewegingen in de X-riehting geoorloofd, maar in de Y-riehting is de bladveer zo stijf, dat de inklemming relatief slapper wordt. Ook kan men steIlen, dat de inklemming met de bladveer mee vervormt en oneindig slap is. Beide gevallen zijn niet juist. De theorie, dat de inklemming oneindig slap is, zal resulteren in een te lage stijfheid van de bladveer. De theorie, dat de inklemming oneindig stijf is, resulteert eehter in een te hoge stijfheid van de bladveer. Ook geldt, dat bij de berekening van de stijfheid in de Y-riehting, de afsehuiving meegenomen moet worden in de vergelijkingen. Vergelijking 3.8 besehrijft de stijfheid in het geval, dat de bladveer mee vervormt. by slap
Cy slap
F1; 3Elx F £
u y slap
20
+
F1 v AG 1
-
-.iL 2Elz
+ 1L AG
(3.8)
In het geval, dat de bladveer oneindig stijf is ingeklemd, is formule 3.9 geldig. Fl~
Oy stijl
12EIx F
C y stijl
+
oy st~JI .. -
Fl v AG 1
-.-L + AG tv 12El
(3.9)
x
t:;
In deze vergelijkingen is Ix = en G = 2(1~V). De v is de dwarseontraetie van het gebruikte materiaal. Deze waarde is voor de meeste metalen gelijk aan 0,3. Uit vergelijking 3.8 en 3.9 blijkt, dat de beste methode om de dwarsstijfheid te verhogen het verbreden van de bladveren is, aangezien de breedte tot de derde maeht in de stijfheid zit. Om de bladveer stijver te maken tegen knik wordt hij vaak verdikt. Deze verdikking kan een winst leveren in de knikstijfheid van 9 keer [11], waarbij de buigstijfheid maximaal 20% toeneemt in vergelijking met de onverdikte bladveer. Als de bladveer wordt vervormd, dan nemen ook de stijfheden af. Dit komt doordat de bladveer in een S-boeht gaat staan. Bij een belasting in de Z-riehting wordt eerst de slappe S-boeht uit de veer getrokken, voordat de werkelijke stijfheid wordt aangesproken. Bij belastingen in de Y-riehting wordt er een moment opgebouwd, waardoor de bladveer ook op torsie wordt belast. De stijfheidsafname kan zoveel zijn, dat de stijfheid in de gebogen toestand nog maar de helft is van de begin stijfheid. Dit effeet moet goed in de gaten worden gehouden, omdat hierdoor ook de eigenfrequenties van het systeem dalen. De laagste eigenfrequentie kan benaderd worden met Ie = 2~~. Een halvering van de stijfheid geeft dan ook een frequentie daling met 30%.
3.2.2 De belastingsberekeningen De bladveren moeten zo gedimensioneerd worden, dat de wisselende buigbelasting onder de vermoeiingsgrens blijft. De belasting valt uiteen in een buigspanning, een trek/ drukspanning en een afsehuifspanning.
ME Wb FAl v - M A Wb 3FA lv
bt2
KA T
A FA A
(3.10)
De maximale spanningseombinatie is van belang om de totale belasting te bepalen. De (7b en de (7t zijn eenvoudigweg bij elkaar op te tellen. Met behulp van de Hubert - Heneky 21
theorie is ook de afschuifspanning mee te nemen om zo een equivalente spanning (Je te berekenen. Deze spanning moet kleiner zijn dan de vermoeiingsgrens van het gebruikte materiaal.
(3.11)
3.3
De toepasbare rechtgeleidingen
De beste rechtgeleiding voor de benodigde toepassing is de dubbelparallellogram rechtgeleiding uit paragraaf 3.1.2. Deze rechtgeleiding is toepasbaar op twee manieren, enkelvoudig of dubbel, waarvan er een gespiegeld is. In de figuren 3.5 en 3.6 zijn beide methoden te zien. De slagverdelers zijn bij beide figuren niet aangegeven.
bladveer
bevestig ingsvla k aandriJving hoofdlichaam
Figuur 3.5: Een rechtgeleiding met een dubbelparallellogram geleiding. De enkelvoudige dubbelparallellogram geleiding uit figuur 3.5 zit als voIgt in elkaar. Ret bovenste gedeelte is het hulplichaam. Dit moet ten opzichte van het onderste gedeelte de halve slag maken. Dit wordt bereikt door een slagverdeler, een hefboom met een overbrengverhouding van een op twee, aan zowel het hulplichaam als het hoofdlichaam te bevestigen. Ret hulplichaam is samen met de bladveren uit een stuk materiaal gedraadvonkt. Aan de bovenkant zit freeswerk om gewicht te besparen en om het hulplichaam torsie slap te maken. Ret hoofdlichaam bestaat uit een "rechthoekige ring", die is uitgefreesd uit een plaat. In de wand zijn gaten gemaakt om gewicht te besparen. Door de dammetjes blijft er toch een stijve constructie over. Op deze manier wordt het materiaal zo ver mogelijk van de neutrale lijn gebracht. Rierdoor kan er optimaal gebruik van gemaakt worden voor de stijfheid. De voorste en de achterste bladveren zijn aan het hoofdlichaam geschroefd. De twee binnenste 22
bladveren zijn bevestigd aan de vaste wereld, die zich binnen het hoofdlichaam bevindt. Aan de rechter buitenkant van het hoofdlichaam wordt de aandrijving bevestigd. De te verplaatsen sensor en het positie meetsysteem bevinden zich aan de linkerkant. Ret positie meetsysteem bevindt zich binnen het hoofdlichaam, gedeeltelijk tussen de twee voorste bladveren en onder de linker binnenste bladveer. Deze constructie heeft de volgende voordelen: • De constructie is slap in de bewegingsrichting zelfs, als er dikkere bladveren worden gebruikt en is redelijk stijf in de andere richtingen. • Ret positie meetsysteem is eenvoudig aan te brengen binnen het hoofdlichaam en in lijn met de as, waarop de aandrijving aangrijpt en de tastsensor wordt gemonteerd. Rierdoor worden meetfouten vermeden. Ook heeft deze constructie een aantal nadelen: • De rechtgeleiding is niet symmetrisch. Dit is een probleem bij het optreden van temperatuurgradienten in de constructie, omdat de rechtgeleiding dan krom kan trekken. De kans, dat dit gebeurt, is zeer groot, omdat de aandrijving veel warmte in de constructie kan brengen. • Ook het feit, dat de rechtgeleiding uit meerdere delen bestaat, kan gezien worden als nadeel. Ret hulplichaam met de bladveren moet nauwkeurig ten opzichte van het hoofdlichaam worden uitgelijnd. Ook moeten de oplegvlakken, waar de bladveren aan bevestigd worden, parallel zijn en in een vlak liggen. bladveer ruirnte voor rneetsysteern
hulplichaam halve deksel
hulplich,J(Jm, ·····bevestigingsvlak aandrijving
\
\. hoofdlichaam
Figuur 3.6: Een rechtgeleiding, die uit twee dubbelparallellogram geleidingen bestaat. De andere mogelijkheid voor de rechtgeleiding is te zien in figuur 3.6. Deze constructie bestaat volledig uit dunne dichte doosjes. Ret buitenste gedeelte is het hoofdlichaam, waarop de kracht van de aandrijving aangrijpt en waar aan de linkerkant het positiemeetsysteem en de te verplaatsen sensor is bevestigd. Omdat de constructie hoI is, kan hij toch licht
23
zijn ondanks het massieve uiterlijk. De twee hulplichamen zijn aan elkaar bevestigd en bevinden zich binnen het hoofdlichaam. De vaste wereld bevindt zich in het midden van het geheel. Deze constructie heeft de volgende voordelen: • Deze rechtgeleiding is weI symmetrisch, waardoor deze minder last heeft van temperatuurgradienten. • Doordat deze constructie weer sterk twee dimensionaal is, is hij in een opspanning op de bewerkingsmachine uit een stuk materiaal te frezen of te draadvonken. • Rij is zeer stijf en toch licht door de dichte doos aanpak. De nadelen zijn als voIgt: • Deze rechtgeleiding is twee keer zo stijf als de eerst genoemde. Ret aandrijfsysteem moet dus ook twee keer zo krachtig zijn en produceert dus vier keer zoveel warmte. (De stroom door de aandrijving zit lineair in de kracht en kwadratisch in het vermogen.) • Om een compacte constructie te houden is er minder ruimte voor het positiemeetsysteem, dat nu precies in het midden ligt. • De constructie is groter dan die van de eerst genoemde rechtgeleiding, doordat hij dubbel is uitgevoerd. • De vrijheidsgraden zijn meervoudig overbepaald, doordat iedere bladveer drie vrijheidsgraden vastlegt. Om eventuele vervormingen in de constructie te voorkomen en te zorgen, dat de bladveren gelijk belast blijven, zou het mechanisme uit een stuk spanningsarm gegloeid materiaal moeten worden gemaakt, maar zelfs dan kan het systeem vervormen door de in het materiaal aanwezige spanningen. Vanwege het feit, dat een zo laag mogelijke stijfheid in de bewegingsrichting is gewenst om de aandrijving zo licht mogelijk uit te voeren, is er gekozen voor de enkelvoudige dubbelparallellogramgeleiding (zie figuur 3.5) om toe te passen in de duikspoelaandrijving. Ais constructiemateriaal voor de hele opstelling is gekozen voor aluminium. Dit is gedaan, omdat aluminium een veel betere stijfheid/dichtheid verhouding heeft dan staal. Ook is de warmtegeleidings- en warmtevereffeningscoeficient voor dit materiaal superieur aan staal. Een goede warmtevereffeningscoefficient maakt de constructie minder gevoelig voor veranderingen van de omgevingstemperatuur, omdat de hele constructie dan snel de zelfde temperatuur aanneemt. Voor de toe te passen bladveren geldt dat zij slap in de bewegingsrichting moeten zijn, maar erg stijf in de richtingen loodrecht daarop om voor zo hoog mogelijke eigenfrequenties van de constructie te zorgen. Ais maximale statische aandrijfkracht is een kracht van 15N gekozen. Dit is vele malen meer dan de maximale krachten, die nodig zijn voor de versnelling van de massa van het systeem. De kracht, die nodig is om de gewenste versnelling te bereiken, is uit te rekenen met behulp van formule 3.12.
x i:
24
Asin(wt) Aw cos(wt)
X Fdynamisch
-Aw 2 sin(wt)
=}
amax
= Aw2 (3.12)
m· amax
In deze vergelijkingen is A de gewenste amplitude, hier 1 /-lm, w de gewenste hoeksnelheid, hier 400Jr, voor de massa m is een waarde van 0,5 kg. Als deze gegevens in formule 3.12 worden in gevuld, blijkt dat er een dynamische kracht van 0,8 N nodig is. Bij de gewenste slag van 10 mm, die opgedeeld is in 5 mm de ene en 5 mm de andere kant op, levert dit een maximale stijfheid van 2;~~m = 1.5 N/mm. Om de bladveer te verstijven in de richtingen loodrecht op de bewegingsrichting is er voor gekozen om een verdikte bladveer toe te passen. In tabel 3.1 zijn de afmetingen en de bijbehorende stijfheden van de bladveer te vinden. Deze gegevens zijn berekend met behulp van de MATLAB programma's, die in bijlage B worden genoemd. Voor de berekening van de eigenfrequentie is er uitgegaan van een eenvoudig massa-veersysteem, waarbij de stijfheid van de veer door de stijfheid van de bladveer in de Y en Z-richting wordt bepaald. De massa, die aan de veer hangt, is gelijk aan de halve massa van het systeem. Om de frequenties uit tabe13.1 te krijgen is uitgegaan van een massa van 0.5 kg voor het gehele rechtgeleidings mechanisme. Als vermoeiingssterkte voor aluminium geldt een waarde tussen de 90 en 130 kN/mm 2 . Als de spanning onder deze vermoeiingsgrens blijft zijn, 10 7 trillingsbewegingen van de bladveer mogelijk. Zoals te zien is in tabel 3.1 is de spanning voor de verdikte bladveer aan de hoge kant. Als dit een probleem is, dan kunnen de afmetingen van de bladveer beter iets anders gekozen worden. Tabel 3.1: Afmetingen en kenmerken van de bladveren. Gegevens van de bladveren. Lengte Breedte Dikte Buigstijfheid (Cx ) Trekstijfheid (Ct ) Afschuifstijfheid (Cy slap) Afschuifstijfheid (Cy stii!) Eigenfrequentie Buigspanning
onverdikte 34 60 0,22 1,138 27180 6996 6303 956,4-586,5 100,1
verdikte 6,8/20,4/6,8 60 0,22/2,2/0,22 1,451 59080 14320 18680 1355-839,1 127,6
mm mm mm N/mm N/mm N/mm N/mm
Hz N/mm 2
25
Hoofdstuk 4 De magneetsystemen
Zoals in hoofdstuk 2 is aangegeven, is het magneetsysteem een belangrijk onderdeel in de constructie van de duikspoel. Dit systeem zorgt samen met de spoel voor de voortbeweging van het mechanisme. In dit hoofdstuk worden de constructie en de berekeningsmethode voor de aandrijving besproken. In de eerste paragraaf worden de basisprincipes van de aandrijving behandeld. De volgende paragrafen geven voorbeelden van verschillende uitvoeringsvormen van het magneetsysteem. In de laatste paragrafen wordt het elektrilme gedrag van de spoel en het dynamische gedrag van het magneetsysteem besproken. Aan de hand hier van wordt een mogelijk ontwerp van een magneetsysteem besproken.
4.1
Het werkingsprincipe
De werking van de aandrijving is gebaseerd op de Lorentz-kracht. Deze kracht wordt opgewekt, als er een stroom loopt door een geleider, die zich in een magneetveld bevindt. In figuur 4.1 is het een en ander verduidelijkt. De Lorentz-kracht voIgt uit een eenvoudige vergelijking 4.1. In deze vergelijking is B de sterkte van het magnetischveld, waarin de geleider zich bevindt. De variabele i is de stroom door de geleider en l is de lengte van de geleider in het magnetischveld. A=B·!·l
(N)
(4.1)
Meestal is de kracht, die opgewekt moet worden, bekend uit de stijfheid van de constructie en de gewenste dynamische responsie van het systeem. De sterkte van het magneetveld ligt vast door de keuze van het magneetsysteem. De enige twee vrije variabelen zijn zo nog de lengte van de geleider in het magneetveld en de stroom door de geleider. Ais uitgegaan wordt v~n een ronde spoel in een magneetveld, zoals besproken wordt in paragraaf 4.2.1, is het meestal niet mogelijk om een geschikte stroom/lengte combinatie te vinden zonder de geleider meerdere malen door het magneetveld te laten lopen. De berekening van de sterkte van het magnetischveld in de spleet, waar de spoel door beweegt, is minder eenvoudig dan de berekening van de Lorentz-kracht. Voor een magneet 27
Pool schoen/ JUk
As
z F
l5
Figuur 4.1: Een geleider in een magneetveld. Figuur 4.2: Een eenvoudig magneetsysteem. circuit geldt dat de magnetische flux ¢ in weber en de magneto motorische kracht M in ampere door het hele magneet circuit constant is. De twee belangrijke magnetische grootheden hier in zijn de magnetische inductie B in tesla en de magnetische veldsterkte H in ampere per meter. ¢
=
! BdA = const.
en
M
=
! Hdx = const.
(4.2)
Voor de combinatie van magneet en spleet, zoals te zien is in figuur 4.2, gelden twee eenvoudige formules als benadering. Voor de magnetische flux geldt 4.3.
(Wb)
(4.3)
(A)
(4.4)
Voor de magneto motorische kracht geldt 4.4.
De factoren k 1 en k2 zijn correctie factoren voor de weerstandsverliezen in het materiaal en de strooiverliezen van het magneetsysteem[15]. Beide factoren zijn empiriseh bepaald voor luidsprekers en hun waarde ligt tussen 1 en 20 voor k1 en tussen de 1,0001 en 1,3 voor k2 . Ret verband tussen de magnetische induetie (B) en de magnetisehe veldsterkte (H) wordt gegeven door vergelijking 4.5. De magnetische induetie laat zieh vergelijken met de elektrische stroom en de magnetische veldsterkte laat zieh vergelijken met de elektrische spanning. Ret product /-Lr/-Lo stelt de magnetische geleidingscoefficient voor; dit in analogie met de inverse van de elektrisehe weerstand bij stroom berekeningen. In formule 4.5 is de magnetisehe permeabiliteit /-Lo een natuur eonstante van 41r x 1O- 7 R/m, de relatieve magnetisehe permeabiliteit /-Lr is een constante voor diamagnetische en paramagnetische stoffen. Voor
28
ferromagnetische stoffen is er sprake van een traject dat flr voIgt. In grafiek 4.3 wordt het verband tussen B en H voor ferromagnetische stoffen gegeven. In grafiek 4.3 is duideIijk te zien, dat de geleidbaarheid voor het magneetveld afneemt naar mate de sterkte van de magnetische inductie stijgt. Zo geldt voor zuiver ijzer, dat bij een sterkte van 2,2 T van de magnetische inductie het materiaal volledig verzadigd is [3]. In tabel 4.1 is voor een aantal materialen de relatieve magnetische permeabiliteit gegeven.
(T)
(4.5)
De energie van het magneetveld wordt gegeven door het product van de magnetische veIdsterkte en de magnetische inductie. Om een zo hoog mogelijk rendement van de magneet te krijgen moet het product van de magnetische veldsterkte (H m ) en de magnetische inductie (B m ) van de magneet maximaal zijn. De waarde van het maximale product kan worden bepaald uit de demagnetisatie curve van de gebruikte magneet. Deze demagnetisatie curve geeft het verband tussen de magnetische veldsterkte en inductie van een magneet. Voor verschillende magneet materialen staan de waarden van Hm en Bm bij het maximale product in tabel 4.2
Pure iron
BS3100AMI cast steel
B5970 EN1A
II
Iteslal
0.5H-1'----J'7"l1f--:7.::=....t---+---+---+---1
10
20 /I
30
IkAlml
Figuur 4.3: De BH-krommen van verschillende ferromagnetische materialen. De schuine lijnen in de grafiek zijn de lijnen van materialen met constante permeabiliteit.
Om het magneetveid vanaf de magneet naar de spleet te geleiden wordt gebruik gemaakt van een juk of poolschoen. Dit is een stuk materiaal met een hoge magnetische permeabiliteit, dat aansluit op zowel de pool van de magneet als de spleet, waar de spoel beweegt. Ais materiaal wordt een ferromagnetische metaal gebruikt met een Iaag kooistof percentage. In grafiek 4.3 zijn de BH-krommen van zes materialen gegeven. Gewone ijzer soorten blijven laag in het diagram en zijn snel verzadigd. Dit maakt materialen ais gietijzer niet geschikt om toe te passen in een magneetsysteem. Zeer zuiver ijzer is ook niet geschikt vanwege de grote corrosie gevoeligheid van dat materiaal. Een materiaal ais Permendur raakt pas
29
Tabel 4.1: De relatieve magnetische permeabiliteit van verschillende materialen.
materiaal j1,r Diamagnetisch: glas 0,999987 koper 0,999990 water 0,999910 Paramagnetisch: aluminium 1,000021 lucht 1,00000036 Zacht ferromagnetisch (j1,r max): ijzer 99,9 % 5x 103 78 permalloy 1,Ox105 supermalloy 8x 105 Tabel 4.2: De waarden voor verschillende eigenschappen van een aantal magneet materialen.
materiaal keramisch ferriet samarium cobalt Neodynium AlNiCo
H werk (kAjm) 130 350 420 40
B werk (mT) 210 510 680 950
j1,r
p
(-)
(kgjm 3 ) 4900 7400 8400 7400
0,86 0,83 0,85 3,98
bij zeer grote flux dichtheden verzadigd, maar is erg moeilijk te bewerken en heeft warmte behandelingen nodig om optimale eigenschappen te krijgen. Een materiaal als EN1A, uit grafiek 4.3, geschikt voor fluxdichtheden van 1,7 Tesla en is nog goed te bewerken [3]. Dit materiaal wordt gebruikt voor de fabricage van kernen voor hoog frequente spoelen. Door lood in het materiaal te legeren worden de bewerkingseigenschappen sterk verbeterd zonder dat de magnetische eigenschappen achteruitgaan. Dit materiaal is dan ook erg geschikt om toe te passen in magneetsystemen. .
4.2
Verschillende mogelijke systemen
Er zijn twee mogelijkheden voor het magneetsysteem: de magneet kan bewegen en de spoel staat stil, of de spoel beweegt en de magneet staat stH. De laatste uitvoeringsvorm wordt het meest toegepast, omdat de magneet vaak te zwaar is om voort te bewegen. Ret is namelijk voor het dynamisch gedrag gunstig om kleine massa's in het bewegende systeem te hebben. Om deze reden beweegt in een luidspreker ook altijd de spoel. Ais eerste wordt dan ook het bewegende spoel systeem besproken. 30
4.2.1 Het bewegende spoel systeem Ret grootste voordeel van deze constructie is het lage gewicht van de bewegende onderdelen. Bij deze configuratie wordt de spoel vaak rond uitgevoerd. Door het draad meerdere keren in het magneetveld op te wikkelen is de kracht van het systeem te vergroten. In figuur 4.4 is een goede uitvoeringsvorm van een magneetsysteem met een bewegende spoel te zien. Dit soort magneetsystemen wordt veel toegepast in luidsprekers. In boeken over het ontwerp van luidsprekers is dan ook veel te vinden over berekeningen aan dit soort magneten. Om een hoge lineairiteit te krijgen van de kracht over de totale slag, die de spoel maakt, Ps
PClC:<destoelkern Lucht spleet voor de spael
I .J. ,.-7-:ry--;r'"+-'--r---+-----,--Lf-L'-i'T777-l...... ?()\I~~?~~p()olsc:yi()~~
t-'
Rr:
-i
Pr cl2
.
'-._---
Figuur 4.4: Een magneetsysteem voor bewegende spoel toepassingen. is er voor gekozen om het spoeltje steeds volledig in het magneetveld te houden. Door ook nog een binnenkern als een paddestoel vorm te gebruiken is het magneetveld in de spleet mooi homogeen [31; Door deze homogeniteit van het magnetischveld in de spleet zal bij alle posities van de spoel de zelfde kracht worden opgewekt, als er een constante stroom door de spoel'loopt. Deze configuratie heeft weI als nadeel, dat de hoogte van de spleet vrij groot is en dat dus de oppervlakte van de magneet groot moet zijn. Met behulp van de volgende, formules die gebaseerd op de formules 4.3 en 4.4 zijn de afmetingen van de magneet te berekenen. Voor de lengte van de magneet geldt formule 4.6. lm =
k 2 • B s . ls H m • J.Lr • J.Lo
(m)
(4.6)
In deze formule is B s de gewenste sterkte van de magnetische inductie in de spleet. ls is de afstand, die het magneetveld door de spleet moet afleggen. De J.Lr is de magnetische permeabiliteit van de lucht in de spleet; niet van het ijzer aangezien, dit vele malen beter geleidt dan de lucht in de spleet. Voor de oppervlakte van de magneet geldt formule 4.7. Am = k 1 • B s . As
(m2 )
(4.7)
Bm Aangezien er een gat in de magneet moet zitten om de spoel in de magneet te laten bewegen, moet uit de berekende oppervlakte de juiste buitenstraal worden berekend.
R m1
_lAm Y---:; :- + R
-
2 m2
(m)
(4.8) ·31
Ret ijzer voor de geleiding moet bij benadering de zelfde oppervlakte in de doorsnede hebben als de oppervlakte van de spleet. Ais men hieraan voldoet dan blijft de magnetische inductie gelijk in zowel spleet als juk. Met deze kennis is ook de dikte van de binnenkern te berekenen. (m) (4.9) Om de magnetische strooiverliezen aan de buitenkant van de magneet tegen te gaan moet de buitendiameter van beide dekplaten iets kleiner zijn dan de buitendiameter van de magneet. Ais maat verschil moet ongeveer een half keer de hoogte van de dekplaat worden aangehouden [3]. Met deze configuratie zijn magneetveld sterkten van ongeveer 2 T produceerbaar. Factor k 1 ligt in dit geval onder de 6 en boven de 3. Een waarde van 4 is een goede keus. Voor systemen, waarbij het magneetveld een kortere weg hoeft te doorlopen, is k 1 kleiner, omdat de strooiverliezen ook kleiner zijn. In een dergelijke situatie zal k 1 in de buurt van de 1 it 2 liggen. De factor k2 heeft te maken met de weerstand van het materiaal voor het geleiden van de magnetische fluxen. In dit geval wordt k2 vooral bepaald door de mate van verzadiging van het materiaal, dat het veld naar de spoel moet geleiden. Voor de bouw van luidsprekers wordt voor k2 een waarde tussen de 1.05 en 1.1 aangenomen. In tabel 4.3 worden de afmetingen van magneten voor verschillende materialen gegeven. Tabel 4.3: De afmetingen van de magneet voor verschillende magnetische materialen voor een bewegende spoel magneetsysteem.
Afmetingen (mm) Algemeen: lengte spleet 5 hoogte spleet 9 diameter spoel 50 buiten diameter kern 45 dunste diameter kern 42 binnen diameter magneet 60 Keramisch: lengte magneet 55,1 buiten diameter magneet 234,6 Samarium Cobalt : lengte magneet 20,5 buiten diameter magneet 157,4 Neodynium: lengte magneet 17,5 buiten diameter magneet 139,6 AlNiCo: lengte magneet 179,0 buiten diameter magneet 122,3
32
4.2.2 Ret bewegende magneetsysteem De andere mogelijkheid is het laten bewegen van de magneet en het stillaten staan van de spoel. Uit statisch oogpunt maakt dit geen enkel verschil voor het benodigde magneetsysteem en de te leveren kracht. Dynamisch gezien is dit veel minder voordelig, aangezien de magneet een grotere massa heeft dan de spoel. Om de massa van de magneet te reduceren wordt een heel ander magneetsysteem toegepast dan bij het bewegende spoel systeem. In figuur 4.5 is een bewegende magneet configuratie te zien. De magneet is uitgevoerd als rechthoekige balk met boven oppervlakte Am en hoogte lm. De magneet bezit geen directe poolschoenen om gewicht te besparen. Ret ijzeren juk, dat de flux moet geleiden, staat net als de spoel stH. De spoel is aan de binnenkant van het ijzeren juk gewikkeld. Bij deze configuratie is de oppervlakte van de spleet As gelijk aan de oppervlakte van de magneet Am. Rierdoor is ook de magnetische inductie op factor k 1 na voor beide onderdelen gelijk (zie formule 4.3). Aangezien de weg, die het magneetveld moet afleggen om bij de spleet te komen zeer kort
·1 ~~
I
I································-I
ci==
N~
I
I
-- -
Z \.
NI
~,--
Ii
~
N
I
z"
I
I
- - I- - - - - -
....-;
~ ;..t Jl1~
\, wikkellichQQC1
Figuur 4.5: Ret magneetsysteem met een bewegende magneet. is, ligt de waarde van factor k1 in de buurt van de 1,5. Doordat het magneetveld twee keer gebruikt kan worden, een keer aan de onderkant en een keer aan de bovenkant van de magneet, is er ook twee keer de oppervlakte van de magneet aan ruimte om de spoel weg te stoppen. De hoogte van de magneet (lm) kan berekend worden met formule 4.10. lm = k 2 • B m . 2ls Mo' Mr'
Hm
(m)
(4.10)
Voor de factor k 2 kan ook weer een waarde tussen de 1.05 en 1.1 worden aangenomen, aangezien in dit geval dezelfde weerstand verliezen gelden als bij het bewegende spoel systeem. Door nu gebruik te maken van de formules 4.1, 4.3 en de aanwezige wikkelruimte voor de draad in de luchtspleet, wordt vergelijking 4.11 gevonden. In deze vergelijking is t de beschikbare spleethoogte om de draad te kunnen wikkelen. k • Ad' F A m = -1 - - - 2· t· B m · I
(4.11) 33
In vergelijking 4.11 is Ad de draadoppervlakte en I de straom door de draad. Door de oppervlakte van de magneet uit vergelijking 4.11 met de lengte van de magneet uit vergelijking 4.10 te vermenigvuldigen wordt het benodigde volume van de magneet gevonden. Vm
Ad . F . k • k • ls t· I . J-Lr • J-Lo • H m
1 2 = --::------==--
(4.12)
Door nu enkele reele waarden voor de verschillende parameters in te vuIlen in vergelijking 4.12 is snel het gewicht van de magneet te berekenen. m
= V;. m
m
=
Pm
2
0, 75mm • 20N ·1,5·1,1 ·3mm .8400 = 78 8 1, 5mm. lOA. 471" X 1O-7420kA/m ' g
(4.13)
Als men uitgaat van een totale bewegende massa van 0,5 kg, zoals dat gebeurd IS III hoofdstuk 3, is het gewicht van de aandrijving 16% van het totale gewicht. Dit is ongeveer 10 keer meer dan bij een bewegend spoel systeem. Voor het juk gelden ook de formules 4.3 en 4.4, aIleen worden nu de verlies factoren niet meegenomen, omdat de geleidbaarheid voor de magnetische flux van ijzer vele malen grater is dan van lucht. De magnetische kracht speelt in het ijzeren juk geen kritische ro1. Ook kan de magnetische inductie in het ijzeren juk veel groter zijn dan in de magneet en in de spleet. Hierdoor kan de doorsnede van het ijzeren juk klein worden gehouden. In vergelijking 4.14 is het een en ander samengevat. Am·Bm
B juk tjuk • bjuk
H m . lm . J-Ljuk
• J-Lo
Bjuk 6l s + lm
+ h m + 2tju k
(m) (4.14)
Zoals eerder in deze paragraaf is opgemerkt, gedraagt een bewegend magneet systeem zich dynamisch anders dan een bewegende spoel systeem. Dit verschil in dynamisch gedrag heeft twee oorzaken. In de eerste plaats is het systeem veel zwaarder door het gewicht van de magneet, waardoor bij de zelfde kracht een lagere versnelling van de totale constructie wordt bereikt. In de tweede plaats heeft het systeem veel meer last van wervelstromen door het statische magneetveld van de permanente magneet. Deze wervelstromen hebben een dempende werking op het bewegende systeem. In paragraaf 4.4 wordt uitgebreid ingegaan op het ontstaan vanen de grootte van de wervelstromen. In het geval van het bewegende spoelsysteem worden de wervelstromen door de beweging aIleen in de dunne metalen wikkelkoker, waar de spoel om zit opgewekt. Bij het bewegende magneetsysteem worden de wervelstramen in het hele ijzeren juk, dat om het systeem zit opgewekt. Daardoor wordt het bewegende magneetsysteem zwaarder gedempt dan het bewegende spoel systeem. 34
4.3
De spoel-dimensionering
Door de stroom door de spoel te regelen wordt de kracht, die het magneetsysteem levert, geregeld. De maximale kraeht wordt bepaald door de maximale stroom, die door de spoel kan gaan en door de lengte van de draad die in de spoel zit. De maximale stroom wordt meestal beperkt door de besturingselektroniea. Stromen tot 10 A zijn nog op een eenvoudige wijze te regelen. Grotere stromen vragen om zwaardere hoogvermogenselektroniea. Riervan is de lineairiteit vaak minder dan van de servo versterkers, die voor de stromen tot 10 A gebruikt kunnen worden. Als boven grens voor de stroom wordt dan ook 10 A aangehouden. Voor koperdraad geldt verder een maximale stroom diehtheid tussen de 3 en 10 A/mm 2 draaddoorsnede. Ret verband tussen de kraeht en de stroom wordt gegeven door formule 4.1. Als men uitgaat van een magneetveld sterkte B van 1,5 T en een benodigde kraeht van 20 N, moet de spoel voldoen aan 13,3 Am. Bij een maximale stroom van 10 A komt dit neer op een lengte van 1,33 m van de draad. Bij de toegepaste 3 A moet de draad zelfs 4,43 m lang zijn. Deze draadlengte moet door meerdere wikkelingen bereikt worden, omdat anders de afmetingen van de spoel onpraktiseh groot worden. L
Li
Li n=4 n=3 n=2
Rj 1-------
F
Lorentz
(J
Lorentz
Fs
F4
F3
F2
F1 .
Figuur 4.6: Opbouw van de spoel op het wikkelliehaam. Links is de kracht opbouw gegeven op de draaddoorsnede. Rechts is een doorsnede van een gedeelte van het wikkellichaam met 4 lagen (m) van 5 draden (n) getekend. In figuur 4.6 is een doorsnede van de gewikkelde spoel getekend. Met behulp van dit figuur zal er een afieiding voor de stijfheid van de spoel worden gemaakt. Deze afieiding staat uitvoeriger besehreven bijlage D. Deze afieiding wordt gemaakt onder de volgende aannames: • De spoel zit stijf opgesloten in het wikkelliehaam. De draden van de spoel kunnen niet los komen als de belasting van teken wisselt en er zit geen ruimte tussen de draden van de spoel. • De stijfheid van de spoel in radiale riehting is niet van belang. • De Lorentz-kraeht varieert niet over de lengte riehting van de spoel. 35
• Het kracht verloop over de draaddoorsnede is lineair. • De draaddoorsnede verandert niet in de radiale richting van de spoel. De in figuur 4.6 aangegeven draaddoorsnedes zijn vierkant aangegeven en los van elkaar. Door de krachten op de verschillende draden, F 1 tot F n, worden de draden ingedrukt. Als de spoel eerst lengte L heeft wordt de totale lengte nu L' = L - tlL waar bij tlL ontstaat door het verschillend samendrukken van de draden. De vergelijkingen in 4.15 geven de verschillende verbanden voor het samendrukken van de draden in een spoel. Voor de eenvoudigheid wordt aangenomen dat alle wikkelingen de zelfde stijfheid (Cdraad ) hebben, dit is niet geheel juist, omdat de draadlengte dus het contact oppervlak verandert bij de verschillende lagen in de dikte van de spoel (index j). Doordat de lengte van de draad verandert bij windingen in de radiale richting, verandert de Lorentz-kracht in de verschillende radiale lagen evenredig mee. De Lorentz-kracht is een uniforme spanningsverdeling over de draaddoorsnede. Dit betekent dat de kracht van 0 tot de Lorentz-kracht per wikkeling oploopt over de draaddoorsnede. De vervormings kracht op een enkele draad kan dan ter vereenvoudiging gelijk genomen worden aan de halve Lorentz-kracht.
(N)
Fwikkel.j n
m
LL
(N)
Fwikkel.j
i=l j=l
1 1 (i-~) --.-. . Ftot Cdraad
~
(m)
n
(m)
(4.15)
Uit de vergelijkingen van 4.15 voIgt het volgende verband voor de stijfheid van de spoel: Cspoel
=
~ . n . Cdraad L~ C_ 1) ~=l 'l
(
/
N m
)
(
4.16
)
2
Uit vergelijking 4.16 blijkt duidelijk dat een spoel met windingen in de hoogte stijver is dan een spoel met windingen in de lengte, dit geldt alleen als voor beide spoelen het zelfde draad type gebruikt wordt. Het verschil in stijfheid tussen beide spoelen is ~2 groot. Heeft men echter een gegeven wikkel volume dan maakt het voor de stijfheid van de spoel niet uit hoe men deze ruimte met draad opvult. Voor de totale stijfheid van de spoel is ook de stijfheid van de verschillende wikkelingen van belang. In het algemeen zijn er twee verschillende draadvormen. De draaddoorsnede kan rond zijn, dit is de meest toegepaste draadvorm. En de draaddoorsnede kan rechthoekig zijn. Iedere wikkeling kan voorgesteld worden als een ring met straal R j . De stijfheid van de ronde draad is dan te berekenen met behulp van de formules van Hertz [14]. Het contactvlak van de vervormde wikkeling heeft de vorm van een ring met straal R j en breedte 2a waarbij a gegeven wordt door vergelijking 4.17. a=
36
8 . F .. r . (1 - v) 2 .1f2. E· R·J ~,J
(m)
(4.17)
Hierin is r = ~ voor de contactvlakken tussen de wikkelingen onderling en r = r draad voor het contact tussen het draad en het wikkellichaam. De indrukking, die hier bij hoort wordt, per draad wikkeling, gegeven door vergelijking 4.18. Met de sommatie van deze vergelijking is dan de stijfueid te berekenen.
(m)
(4.18)
De stijfueid van een rechthoekige draad wordt gegeven door vergelijking 4.19.
_ 2 . 7r • R j . b . E '.J li
C draad·
. -
(N/m)
(4.19)
Ais men een wikkeling van rond en vierkant ijzerdraad vergelijkt dan is de vierkante wikkeling 16 % stijver dan de wikkeling van het ronde draad. (Dit geldt bij een draaddiameter van 1 mm en een wikkeldiameter van 20 mm.) Een ander voordeel van vierkantdraad ten opzichte van ronddraad is dat een hogere pakkings dichtheid te bereiken is. De wikkelruimte is zo efficienter te vullen met elektrisch geleidend materiaal, waardoor draad met een groter doorsnede toegepast kan worden. In tabel 4.4 worden de gegevens van twee spoelen gegeven voor bewegende spoel systemen. Bij systemen, waarbij de spoel beweegt, is de constructie van de spoel kritischer dan bij systemen, waar de spoel stH staat. De bewegende spoel moet namelijk in een zeer kleine ruimte worden ingebouwd. Hierdoor is de warmte afvoer erg slecht, waardoor temperatuur verhogingen van de spoel van 100 K kunnen worden bereikt. Deze warmte kan via het ijzeren juk van het magneetsysteem worden afgevoerd, als men een ferrofluid toepast in de ruimte tussen spoel en juk [3]. Deze ferrofluid is een magnetische vloeistof, een ferriet suspensie in olie, die tegen de spoel en de poolschoenen blijft plakken door het magnetischveld. Via deze brug tussen de spoel en de vaste wereld kan de warmte worden afgevoerd. Bij toepassing van ferrofluids in luidsprekers worden temperaturen bereikt, die zes keer lager zijn dan zonder de ferrofluid. Ook kan de warmte door het wikkellichaam worden afgevoerd naar een punt, waar meer ruimte is en een geforceerde koeling is aan te brengen. Bij een bewegende magneet in een magneetsysteem is er in het algemeen meer ruimte om de spoel te bevestigen. Deze extra ruimte kan goed gebruikt worden om dikker draad toe te passen in de spoel. Dit heeft een aantal voordelen. In de eerste plaats is dikker draad gemakkelijker te verwerken dan heel dun draad. Het dikkere draad laat zich oak stijver verlijmen vanwege het grotere oppervlak. In de tweede plaats heeft het dikkere draad minder weerstand bij de zelfde lengte van het draad. Door deze weerstandsdaling daalt de geproduceerde warmte. In de derde plaats is de geproduceerde warmte in een bewegende magneet magneetsysteem veel beter af te voeren door het ijzeren juk en uit de bewegende constructie te houden. Dit komt ten goede aan de nauwkeurigheid van de constructie. De elektrische eigenschappen van de spoel bepalen de elektrische karakteristiek van de aandrijving. De spoel bestaat elektrisch gezien uit een serie schakeling van een weerstand met een zelfinductie. De weerstand van de spoel bepaalt de hoeveelheid warmte, die wordt 37
geproduceerd door de stroom, die door de spoel gaat. Deze elektrische weerstand kan met vergelijking 4.20 worden berekend.
(0)
(4.20)
De soortelijke weerstand p is voor koper 1, 7x 1O- 8 0 m en voor aluminium 2,7 x 1O- 8 0 m . Met behulp van de weerstand en de stroom is het opgenomen vermogen in de spoel te berekenen volgens formule 4.21. Dit vermogen wordt rechtstreeks omgezet in warmte.
(W)
(4.21)
Aangezien de stroom kwadratisch in de vermogens berekening zit, kan de stroom het best zo laag mogelijk worden gekozen om de warmte productie zo klein mogelijk te houden.
Tabel 4.4: De afmetingen van twee spoelen voor bewegende spoel systemen.
Algemene afmetingen Diameter spoel 50 mm Hoogte spoel 3 mm Spleet breedte 5 mm Speling spoeljpoolschoen 0,25 mm Dikte wikkellichaam 1 mm Nuttig spoel volume 2121 mm 3 Sterkte B veld 1,5 T Maximale stroom 3 A Maximale kracht 20 N Lengte draad 4,56 m Aantal wikkelingen 29 Spoel van rond koperdraad Draad diameter 0,6 mm Draad oppervlak 0,27 mm 2 Weerstand 0,27 0 Opgewekt vermogen 2,5 W 14 N/nm Stijfheid Gewicht spoel 11,37 g Spoel van vierkant aluminiumdraad Draad diameter 0,6 mm Draad oppervlak 0,36 mm 2 Weerstand 0,33 0 Opgewekt vermogen 3,05 W 13 N/nm Stijfheid Gewicht spoel 4,45 g 38
De stroom door een spoel is een functie van de tijd en de spanning die op de spoel wordt gezet. Dit verband tussen stroom en spanning wordt gegeven door vergelijking 4.22. In deze vergelijking is R de weerstand van de spoel en L de zelfinductie van de spoel.
U(t)
=
R· I(t)
+ L dI(t) dt
(V)
(4.22)
De zelfinductie van de spoel is een maat voor de grote van het door de spoel opgewekte magnetische flux. Deze zelfinductie is te berekenen met de vergelijkingen van Wheeler [4]' deze vergelijkingen staan voor drie vormen van spoelen in tabel 4.5. De zelfinductie wordt vooral be'invloed door het aantal windingen. Een ander belangrijke parameter is de relatieve permeabiliteit van het kernmateriaal. Voor circuits die geheel gesloten zijn kan gewoon de J-tr van het toegepaste materiaal gebruikt worden. Voor gemengde circuits kan de vervangings relatieve permeabiliteit uitgerekend worden met formule 4.23.
J.l~ = (h
+ l2)
J.lrl . J.lr2 J.lr2 . h + J-trl . l2
(4.23)
Een ander gevaar is het feit dat J.lr niet constant is voor ferromagnetische materialen maar een kromme voIgt (zie grafiek 4.3). Tabel 4.5: De zelfinductie van verschillende spoelen in J.lH met de afmetingen in mm. Enkele laag windingen
c@
J.Lr
=
r N b
Relatieve permeabiliteit van de kern Straal van de spoel Aantal windingen Breedte van de spoel
Meer laags spoel
ccle"
J.Lr
L _
O.8"",;',N'
- 25,4(6r m+9b+lOa)
rm N b
=
a
Relatieve permeabiliteit van de kern Gemiddelde straal van de spoel Aantal windingen Breedte van de spoel Hoogte van de spoel
Spiraal spoel
'cl~
J.Lr
L -
4.4
2
!.Lr r ;'N 25,4(8r m +lla)
rm N a
=
Relatieve permeabiliteit van de kern Gemiddelde straal van de spoel Aantal windingen Hoogte van de spoel
Dynamische magnetische verschijnselen
In de vorige paragraaf zijn al een aantal dynamische verschijnselen van het magneetsysteem genoemd. In deze paragraaf zal het dynamischgedrag van het magneetveld en de spoel nader
39
vvorden besproken. 4.4.1 De elektromotorischekracht en wervelstromen Volgens Faraday's inductie vvet vvordt er een elektromotorischekracht (EMK) opgevvekt die evenredig is met de verandering van de magnetische flux door een omsloten oppervlakte [13]. Deze elektromotorischekracht heeft de eenheid Volt. De EMK is dus een spanning, deze spanning is zo gericht dat de veranderende flux vvordt tegen gevverkt. Ret feit dat magneetvelden effecten op vvekken die tegen het ontstaan van de velden vverken staat bekend als de vvet van Lenz [13]. Dit alles leidt tot de vergelijkingen van 4.24.
(Wb)
(V)
Uemk
(4.24)
Uit deze tvvee vergelijkingen blijkt dat de EMK vvordt opgevvekt als of de grootte van de magnetische inductie verandert of het omsloten oppervlak A verandert of beide. De zo opgevvekte spanning is de tegen EMK in de spoel en geeft vvervelstromen in geleiders die in een magneetveld lopeno Een vvisselend magneetveld kan meerdere oorzaken hebben. Als belangrijkste oorzaak van een vvisselend magneetveld in het magneet systeem is het afvvisselend bekrachtigen van de aandrijfspoel. De magnetische flux, die door de aandrijfspoel opgevvekte, vvordt is te berekenen uit de zelfinductie van de spoel. L·J dJ L
d
dt
dt
(Wb)
(Wb/s)
(4.25)
Als voorbeeld van een berekening van de verliezen door de vvervelstromen in het magneetcircuit, vvordt het vermogensverlies door de vvervelstroom in een cilinder berekend. Deze cilinder stelt de binnen kern van een bevvegende spoel magneetsysteem voor, vvaar omheen de spoel is gevvikkeld. Aan het einde van de afleidingen voor het vermogensverlies zal de zelfde berekenings methode vvorden gebruikt om het verlies in een gelamineerde rechthoekige doorsnede te berekenen. De berekeningsmethode voor beide configuraties zijn uit elektrotechnische handboeken verkregen [2] [6]. In figuur 4.7 is de bedoelde spoel cilinder configuratie gegeven. En in figuur 4.8 is de spoel om het gelamineerde blik pakket gegeven. De EMK voor een cirkel kromme kan geschreven vvorden als :
1 d
Uemk
=
27rT
ill
(Vim)
(4.26)
Ret materiaal heeft de soortelijke vveerstand p en daarmee is de stroomdichtheid te berekenen. J = Uemk (4.27) p
40
Iwervel
Figuur 4.7: Een spoel gewikkeld om een metalen cilinder.
Figuur 4.8: Een spoel gewikkeld om een rechthoekig blik pakket.
Nu is deze stroomdichtheid niet uniform over de doorsnede van de cilinder. Deze stroom wekt een tegenwerkende magneetveld op. Dit tegenwerkend veld is het grootst bij het centrum van de cilinder en het kleinst aan de rand. Rierdoor is de flux verdeling over de doorsnede van de cilinder ook niet uniform. Ret vermogen van de opgewekte stromen in het materiaal is nu: (4.28) Ondanks dat eerder opgemerkt is dat de stroomverdeling niet homogeen over het oppervlak verdeeld is; is het weI mogelijk om het totale vermogens verlies als zodanig te benaderen. Dit kan door voorgaande vergelijkingen te integreren over het hele oppervlak. Voor de bekrachtiging van de spoel kan een sinusvormige stroom worden genomen. Door hiermee het gemiddelde vermogen uit te rekenen komt op vergelijking 4.29 [6]. In deze vergelijking is f de frequentie van de sinusvormige stroom en B max de hier bij behoorden amplitude van de magnetische inductie.
_ Pwervelcilinder
=
(nT f B max ? 4p
(4.29)
Op de zelfde wijze is ook de vermogensverlies in een gelamineerde kern te berekenen [2]. Deze vergelijking is weergegeven in 4.30. Voor deze kern wordt uitgegaan van een rechthoekige doorsnede en een dikte c van de materiaallagen. Een dergelijke opbouw is te vinden bij transformatoren. Door het wisselende magneetveld zou anders ook hier te veel vermogen worden verloren. Voor het laminaat wordt zogenaamd transformatorblik gebruikt met een dikte van minder dan een halve millimeter en dat gelakt is.
_ Pwerveltaminaat
=
(ncf B max )2 6p
(4.30)
41
In tabel 4.6 zijn aan de hand van geschatte waarden voor I en ~~, die uit simulaties zijn bepaald, berekende waarden voor verschillende grootheden gegeven. De simulaties worden kort besproken in bijlage C. De gegevens uit tabel 4.6 zijn berekend bij een periodieke trilling van 200 Hz met een amplitude van 1 flm van uit de evenwichtstand van de rechtgeleiding. Tabel 4.6: Verschillende elektrische en magnetische grootheden in het magneetsysteem. Spannings amplitude Stroom amplitude Maximale stroom verandering Relatieve magnetische permeabiliteit Zelf inductie van de spoel Max. magnetische inductie Max. magnetische flux Max. mag. flux verandering Vermogens verlies cilinder Vermogens ver. laminaat 0,5 mm
U I dI dt
flr
L
B max del>
di Pwervel Pwervel
3 0,15 150 6,5 508 0,05 76 76 1 390
V A A/s flH
T Wb mWb/s MW/m 3 W/m3 fl
4.4.2 BeYnvloeding van het hoofdmagneetveld Door de stroom die door de spoelloopt wordt een magneetveld opgewekt met een wisselende sterkte. Ondanks dat dit magneetveld loodrecht op het veld staat dat in de spleet loopt wordt dit hoofdmagneetveld toch belnvloed. Om de de draden van de spoel loopt het magneetveld ook in de richting loodrecht op de hartlijn van de spoel. Binnen de spoel wordt dit veld opgeheven door het veld van een naast liggende draad. Alleen aan de rand van de spoel wordt het hoofdmagneetveld belnvloed door het magneetveld dat de spoel opwekt. Hierdoor wordt het magneetveld voor de spoel sterker en achter de spoel zwakker of andersom, afhankelijk van de richting van de stroom die door de spoel loopt. Dit is verduidelijkt in figuur 4.9. In het kernmateriaal loopt het magneetveld van de spoel parallel met het hoofdmagneetveld. Dit is aangegeven in figuur 4.10. In het magneetcircuit ontstaat zo een wisselend magneetveld. Door het extra B-veld wordt de kern meer of minder ver in verzadiging gestuurd (zie ook figuur 4.3). Hierdoor wordt de magnetische weerstand van het juk materiaal belnvloed en zo ook de grootte van de magnetische inductie in de spleet. Dit verschijnsel leidt tot een niet lineair verband tussen de stroom door de spoel en de opgewekte kracht. Dit verschijnsel wordt verminderd door het kernmateriaal minder ver in verzadiging te brengen in de onbelaste toestand. Het B-veld is dan minder sterk in het kernmateriaal. Hierdoor blijft flr in het kern materiaal hoger en loopt de BH-kromme stijler. En wordt zo het magneetveld in de spleet minder belnvloed. 42
veldlijn hOOfdmOglleet~ ..............
i
i
/)c ~~~* / / veldlijn juh-
Figuur 4.9: De veldlijnen rond een spoel in een magneetveld.
spoel
kritieke doorsnede
Figuur 4.10: De veldlijnen van de spoel en magneet in het juk.
Met behulp van de afmetingen van het magneetcircuit en het verloop van de permeabiliteit van de verschillende onderdelen is een berekening te maken voor de verandering van de totale relatieve permeabiliteit voor bij bekrachtiging van de spoel in het magneetcircuit. Als schatting voor de verandering van de relatieve permeabiliteit voor het hele systeem geld een verandering van 1.5 %. Dit geldt voor het beschreven bewegende spoel magneetsysteem dat een trilling met 200 Hz moet uitvoeren.
4.4.3 Ret transformator effect Een ander punt is dat in metalen onderdelen in de buurt van de spoel een transformator werking ontstaat. Dit kan gebeuren in bijvoorbeeld een metalen wikkellichaam waar de spoel omheen gewikkeld is. De flux uit de spoel loopt dan ook door het wikkellichaam. In figuur 4.11 is het schema van een transformator gegeven. Zoals te zien is dit figuur bestaat de transformator uit twee kringen die ieder bestaan uit een spoel en een weerstand. Beide kringen zijn magnetisch gekoppeld, omdat de zelfde magnetische flux door beide spoelen gaan. De vergelijkingen voor de stroom door de twee takken van de transformator wordt gegeven door 4.31 [10] [1].
(V)
(V)
(4.31)
In deze vergelijking is M de mutual inductance tussen beide stroomkringen. Deze mutual inductance wordt gegeven door vergelijking 4.32.
M
= kJL 1 L 2
(H)
(4.32)
In deze vergelijking is k de koppelfactor. Deze koppelfactor is een onderdeel van het rendement van een transformator. Deze factor staat voor de hoeveelheid flux die door beide spoelen gaat. Voor grote transformatoren kan deze factor groter zijn dan 0,99. N1 12 = -k-11
N2
(V)
(4.33) 43
Figuur 4.11: Schema van een transformator. Door nu de vergelijkingen 4.31, 4.32 en 4.33 om te schrijven wordt het volgende verband tussen de stroom en spanning in het primaire circuit gevonden:
(V)
(4.34)
Uit vergelijking 4.34 blijkt dat deze transformator werking de zelfinductie van de primaire spoel, dus in ons geval de aandrijfspoel, verminderd. WeI gaat de schijnbare weerstand in het primaire circuit omhoog. Door dat de zelfinductie wordt verminderd, wordt de frequentie responsie aan de primaire kant verbeterd. WeI moet er meer spanning op het systeem gezet worden, omdat de weerstand hoger is geworden.
4.4.4 De tegen-EMK Ais laatste gevolg wordt de tegen-EMK besproken. Deze tegen-EMK is de elektromotorische kracht die in de spoel wordt opgewekt. Deze EMK ontstaat doordat de spoel steeds een ander deel van de magnetische flux omvat als de spoel beweegt. Dit wordt geYllustreerd door figuur 4.12. In deze figuur beweegt de spoel van positie 1 naar positie 4 en omvat zo steeds meer veldlijnen. In het gebied tussen 2 en 3 is de stijging van de flux lineair. De grootte van deze tegen-EMK in het lineaire gebied wordt gegeven door formule 4.35. In deze vergelijking is rde straal van de spoel met n wikkelingen die met snelheid v door een magnetischveld met magnetische inductie B beweegd. Uemk = - 27r . r . n . B . v
(V)
(4.35)
Op het moment dat de spoel wordt bekrachtigd is de tegen-EMK tegengesteld aan de bekrachtigings spanning op de spoel. De tegen-EMK is een elektromagnetische dempings term in de mechanica van het systeem.
4.5
Een goed magneetsysteem
Naar aanleiding van de informatie in de vorige paragrafen zijn conclusies te trekken over de opbouw van een goede magneetsysteem. Een goed magneetsysteem heeft een vlakke frequentie karakteristiek en een hoog rendement. Ret rendement is hoog te houden door 44
43 2 1
Figuur 4.12: De spoel die in het magneetveld beweegt. Links is de doorsnede van een bewegende spoel magneetsysteem gegeven. Rechts staan de bij de verschillende posities behorende flux die door de spoel wordt omsloten.
te zorgen dat er weinig wervelstromen in het magneetcircuit lopen en door de weerstand van het elektrische gedeelte laag te houden. Om de wervelstromen te verminderen kunnen er drie dingen gedaan worden. In de eerste plaats moet de magnetische fiuxverandering zo klein mogelijk gehouden worden. Hiervoor moet de inductie van de spoel geminimaliseerd worden, dus zo min mogelijk wikkelingen in de spoel. In de tweede plaats moet het juk materiaal zo slecht mogelijk geleiden om de stromen zo klein mogelijk te houden. Daarom worden in hoog frequente spoelen en transformatoren keramische materialen toegepast om de soortelijke weerstand hoog te maken of wordt het metaal in het magnetische circuit gelamineerd uitgevoerd om door de geringe dikte de weerstand te verhogen. Bij hoogfrequente duikspoel aandrijvingen zal dan ook een dergelijk magnetisch circuit nodig zijn. In de derde plaats mogen er geen metalen onderdelen door het magneetveld bewegen. Dit betekent dat er geen metalen wikkellichaam toegepast mag worden, ondanks de goede warmte afvoer. In dit wikkellichaam heeft namelijk twee nadelen. De opgewekte wervelstromen geven namelijk niet aIleen vermogensverlies, maar de stroom in het wikkellichaam zorgt ook voor een tegenwerkende kracht, die de kracht van de aandrijving gedeeltelijk opheft. Dit is dan ook een groot nadeel van de bewegende magneet magneetsystemen. Het hele magnetische juk beweegt relatief ten opzichte van het hoofdmagneetveld en de spoel zit tegen het juk aan bevestigd. Om de frequentie karakteristiek van het elektrische gedeelte vlak te houden moet de inductie van de spoel zo klein mogelijk gehouden worden. De inductie van de spoel kan verkleind worden door weinig wikkelingen in de spoel te gebruiken en door het toepassen van een kortsluit wikkeling. Deze kortsluit wikkeling maakt gebruik van het inductie verminderend effect van de transformator. Deze kortsluitwikkeling bestaat uit een vaste spoel met een enkele draad wikkeling met een zeer goede geleidbaarheid. Hierdoor ontstaat een transformator waarvan de secundaire kant is kortgesloten. Door het transformator effect 45
uit vergelijking 4.34 wordt de inductie verminderd. WeI is er meer verliesvermogen en dus warmte ontwikkeling. Er moet dus meer energie in het systeem gebracht worden. Door de kortsluitwikkeling wordt de zelfinductie en dus ook de flux van de spoel verminderd. Dit zorgt er ook voor dat de bei"nvloeding van het hoofdmagneetveld door de spoel minder strek wordt. Bij een perfecte koppeling zou de flux van de spoel perfect opgeheven worden door de flux van de kortsluitwikkeling, waardoor er netto geen magnetische flux van de spoel in het magneet circuit voor komt. I-'Ol~
tslUitwikh:eling spoel
del-' I
Nt z l~ I
l!~ '/ / /
/
juh:
Figuur 4.13: De voorgestelde aandrijving.
46
Hoofdstuk 5 De regeling
am de bewegingen van het apparaat te coordineren is er een regeling nodig. Deze regeling vergelijkt de actuele positie en/of snelheid met de gewenste positie en/of snelheid. Uit de verschillen tussen deze waarden wordt een correctie. signaal bepaald. Dit correctie signaal wordt naar het systeem gestuurd om te zorgen, dat de juiste positie wordt bereikt. Dit is in het kort wat een regelaar moet doen. De achtergronden en globale uitwerking van een regelsysteem voor een apparaat, dat aangedreven wordt door een duikspoel en over een slag van 10 mm in stapjes van 1 nm kan bewegen, staan beschreven in dit hoofdstuk.
5.1
De modelvorming
am een goede regelaar te maken moet er eerst een model van het te regelen systeem worden gemaakt. Voor dit apparaat bestaat het model uit twee delen. Er is een elektrisch/magnetisch gedeelte, dat de spanning op de ingang van de spoel omzet in een kracht. Dan is er nog een mechanisch gedeelte, dat de kracht omzet in verplaatsing. am bij de ingang van het systeem te beginnen wordt eerst het elektrische gedeelte besproken. Als ingang van het elektrische gedeelte geldt de elektrische spanning. Deze spanning wordt in de spoel omgezet in een elektrische stroom. Vergelijking 5.1 is de differentiaalvergelijking voor deze omzetting. Hierin is L de inductie van het elektrische circuit en R de weerstand van het elektrische gedeelte.
U(t)
d'(t)
=
L ~t
+ Ri(t)
(V)
(5.1)
Deze basis vergelijking wordt uitgebreid met het in hoofdstuk 4 gevonden transformator effect door een kortsluitwikkeling toe te passen. De kortsluitwikkeling bestaat uit een ring van koperdraad met een dikte van 2 mm en een straal van 40 mm. In tabel 5.1 zijn de gegevens van het systeem weergegeven. Ook de opgewekte tegen-EMK wordt meegenomen in het model. Vergelijking 5.1 wordt dan:
47
U(t)
L spoel (1 - k2 ) d1(t) dt +Rspoel)1(t)
U(t) = L,d1(t) dt
N R + (k 2 LLspoel spoel k.sl.wik. + k.sl.wik. dx(t)
+ N27rrspoelB~
+ R'1(t) + K
dx(t) emk dt
(V)
(5.2)
Met deze differentiaal vergelijking is de stroom door de spoel te bepalen. Ret is duidelijk dat de stroom door de spoel niet aIleen een functie is van de spanning op de spoel maar ook van de snelheid van de spoel. Deze stroom wordt met behulp van vergelijking 4.1 omgezet in de kracht op het systeem. Door dat de oplossing van differentiaalvergelijking 5.2 een exponentiele functie is, is de kracht dus ook bij constante ingang een functie van de ~ijd door het negatief exponentieel stijgen van de stroom. Deze kracht is de ingang van het mechanische systeem. Dit mechanische systeem kan opgevat worden als een eenvoudig 2e orde massa-demperveersysteem. Dit systeem voIgt de differentiaalvergelijking uit vergelijking 5.3. 2
F( ) = d x(t) t m dt 2
(N)
k () + ddx(t) dt + x t
(5.3)
In deze vergelijking is m de massa van het bewegende systeem, d de materiaal demping van het systeem en k de stijfheid van het systeem. Bij deze constructie is k de buigstijfheid van de bladveren. De stijfheid is een relatief grote waarde van ongeveer 3000 N/m, terwijl de massa maar 0,5 kg bedraagt. Deze stijfheid overheerst in grote mate het dynamische gedrag van het systeem. Voor de modale materiaaldemping kan een waarde worden aangenomen, die tussen de 1,8 en 2,0 % ligt voor gietijzer en ongeveer 0,1 % is voor staal [14]. Riermee is de demping uit te rekenen volgens d =
ajF;,m.
Door deze differentiaalvergelijkingen over te zetten naar het s-domein of frequentie domein zi.jn deze gemakkelijker te gebruiken voor het ontwerpen van een regelaar [5]. Voor het omzetten naar het s-domein wordt een Laplace transformatie uitgevoerd [9]. Bij deze Laplace transformatie wordt aangenomen, dat op tijdstip t=O aIle uitgangen en ingangen van het systeem nul zi.jn. De differentiaal vergelijkingen in het frequentie domein worden gegeven in vergelijking 5.4 tot 5.8. In figuur 5.1 zijn de Laplace getransformeerde van de differentiaal vergeli.jkingen 5.1 en 5.3 grafisch weergegeven. De volgende vergelijking geeft het verband tussen de stroom door de spoel en de spanning die er op wordt aangebracht in het s-domein.
1(s) Uspoel (S )
1
(5.4)
L's + R'
Dan voIgt het verband in het s-domein tussen de verplaatsing en de opgewekte tegen-EMK:
Uemk(s) _ K x(s) - emk S
(V)
(5.5)
Vervolgens voIgt de formule voor te terugkoppeling van de tegen-EMK en de spanning op de spoel:
Uin(S) = Uspoel(S) - Uemk(s) 48
(V)
(5.6)
Mechanisch
I + - - -........--+l 1 x(t) uit
v(t) <- x(t)
emk
Figuur 5.1: Blokdiagram van het vereenvoudigde ongeregelde systeem. De vergelijking voor de Lorentz-kracht wordt dan in het s-domein:
F(s)
= KemkI(s)
(5.7)
(N)
De bewegingsvergelijking van het mechanische systeem wordt in het s-domein vergelijking 5.8.
)((s) F (s)
1
ms 2 + ds
(5.8)
+k
Met vergelijking 5.4 tot 5.8 is een eenvoudig model van het systeem te maken. Dit model is te zien in figuur 5.1. Met de vergelijkingen van het systeem in het s-domein is de transfer functie of overdrachtsfunctie voor het hele systeem op te stellen. Deze functie karakteriseert het ongeregelde systeem in het s-domein en vormt zo de basis vergelijking voor het opstellen van de regeling. Als men naar figuur 5.1 kijkt, kan men een rechtdoorgaande tak en een terugkoppelende tak in het model herkenen. De transfer functie is gedeffinieerd als de heengaande tak gedeeld door een plus de rondgaande tak. Met de rondgaande tak wordt de heengaande maal de teruggaande tak bedoeld. In formule vorm ziet dan er als voIgt uit:
)((s) U(s)
Grechtdoor
(5.9)
1 + Grondgaand
Met deze kennis is dan de transfer functie uit 5.10 te maken.
)((s) U(s)
L'ms 3 + (L'd + R'm)s2
)((s) U(s)
K emk + (R'd + kL'
+ K;mk)S + R'k
(5.10)
!S..=J..
£1m
S3
+ L'd+R'm S2 + R'd+L'k+K;mk S + R'k £1m £1m £1m
(5.11)
Met de eerder genoemde differentaal vergelijkingen, vergelijking 5.1 tot 5.3, is ook een transfer functie of overdrachtsfunctie op te schrijven in matrix notatie. Deze overdrachtsfunctie wordt in het tijd domein geschreven als een aantal matrices en toestands vectoren. Deze vectoren en matrices vormen de drie differentiaal vergelijkingen van het systeem. In 49
de toestands vector fJ.. zitten de verschillende toestandsparameters van het systeem. Hierbij hoort de stroom door de spoel I, de positie x van de aandrijving en de snelheid x. De vector 9.. bevatten de afgeleide naar de tijd van de toestandsvector. Het systeem ziet er dan uit zoals weergegeven is in vergelijking 5.12. AfJ..+Bu 0
-R' L'
[
K?mk ~k m
(5.12)
m
Deze notatie heeft als voordeel dat met behulp van eenvoudige nummeriek integratie routines het gedrag van het systeem te berekenen is door vergelijking 5.12 op te lossen. Men heeft dan gelijk informatie over de grote van de elementen in de toestandsvector. Met de transfer functie in het s-domein heeft men geen informatie over de stroom terwijl men dit met de matrix notatie weI heeft. Nu is er dit model nog geen rekening gehouden met de niet lineariteiten van het systeem. De twee belangrijkste oorzaken van niet lineariteiten in het elektrische gedeelte is de opwekking van wervelstromen en het bei"nvloeden van Pr door het magneetveld van de spoel. Hierdoor wordt het opgenomen vermogen afhankelijk van de frequentie en wordt de zelfinductie L' afhankelijk van de stroom. Beide effecten zijn te verminderen door de zelfinductie (L') van het systeem zo klein mogelijk te maken. Door het magneetveld van de spoel wordt het hoofdmagneetveld bei"nvloed waardoor de sterkte van het magneetveld een functie van de stroom door de spoel wordt. Door het niet homogeen zijn van het magneetveld in de spleet wordt de kracht een functie van zowel positie als stroom. Dit niet homogeen zijn van het magneetveld kan gedeeltelijk worden voorkomen door een goed ontwerp van het magneetsysteem. Door de statische kracht van de spoel te meten op verschillende posities en bij verschillende stromen is een kracht-positie-stroom diagram op te stellen waarmee het model van het systeem verbeterd kan worden. Ais laatste is de lineariteit van de rechtgeleiding van belang. De bladveren zijn bijvoorbeeld niet lineair bij grote uitwijkingen. Ook de invering van het systeem kan meegenomen worden. Met de vergelijkingen 4.26 tot 4.29 en 4.30 uit hoofdstuk 4 is het vermogens verlies door de wervelstromen om te zetten in een spanningsverlies. Pwervel
Pwervel
Pwervel
dV If! p(_l ~11T2dB(t))2 dt (dB(t))2 ! r dr dt 211"r p
l1l"
~(dI(t))2 1611"p
Pwervel Uwervel
3
4p
I(t)
(W)
dt
(V)
(5.13)
Om de invloed van het inveren van de spoel op de beweging te berekenen moet Lagrange toegepast worden op het mechanische systeem. Men krijgt nu een systeem met twee gra50
den van vrijheid. De spoel kan aIleen bewegen, vrijheidsgraad uspoez, of het hele systeem beweegt, vrijheidsgraad x. In de vergelijkingen van 5.14 zijn de resulterende matrices berekend. De afleiding van deze vergelijking wordt gegeven in bijlage E.
( Fl0) (t)
[
m sys
+[
+o~mSpoel
+
k sys kspoel -kspoel
0 ]( U !i
~ m spoel
spoel
)
+ [ dspoel + db. veer - d spoel
x )
-dspoel ] ( dspoel Uspoel
- k sPoel ] ( X ) kspoel Uspoel
(5.14)
Door de vergelijkingen van 5.13 en het verband tussen kracht, positie en stroom door de spoel en de verbeterde bewegingsvergelijkingen op te nemen in het model ontstaat een complexer model dat weergegeven is in figuur 5.2. Een aantal onderdelen van het model
Sum
Elektrisch
~--------'r--"?l 1 x(l) ui
delen B correclie emk
emk
v(t) <- x(l)
Figuur 5.2: Blokdiagram van het complexe ongeregelde systeem. in figuur 5.2 komen ook voor in het veel eenvoudiger model. Maar door de toevoegingen is het minder overzichtelijk geworden.
In tabel 5.1 zijn de verschillende gegevens voor het vereenvoudigde model gegeven. Met het vereenvoudigde model zijn de berekeningen voor de regeling uitgevoerd. Dit model is gebruikt, omdat het complexe model in eerste instantie geen meerwaarde voor het systeem geeft. Het effect van het inveren van de spoel is verwaarloosbaar klein. Het een en ander wordt in de volgende paragraaf en in bijlage C nader toegelicht.
5.2
+
Conclusies uit het model
Uit het ongeregelde model zijn een aantal conclusies te trekken waarmee het maken van een goede regeling eenvoudiger wordt. In de eerste plaats is er van drie verschillende systemen een Bode-plot gemaakt. Een Bode-plot is een grafiek waarin de responsie van het systeem op sinussen uitgezet is in de vorm van amplitude verhouding en fase verschuiving tegen de frequentie. De volgende drie systemen zijn gesimuleerd en weergegeven in figuur 5.3: 51
Tabel 5.1: Waarden van het model.
Variabele
Symbool
Koppelfactor Weerstand kortsluitwikkeling Zelfinductie kortsluitwikkeling Totale weerstand Totale zelfinductie Nieuwe massa systeem Stroom kracht factor Wervelstroom verliesfactor
k Rk.sl.wik. Lk.sl.wik.
R'
L' m sys .
K emk Kwervel
Eenheid 0,9 0,68 0,5 0,8 96,5 0,1 6,8 18,3
mn JLR
n
JLR kg
N/A
Amplitudeverhouding
10- r='=......==O=""""''''''''''====:::'""'""'"=---,-,-.,..,.,.,.",..--,--,--,..,..,..,..,.,,--,--,-,~ 2
10' Faseverschuiving
c: ~ ~
.......
-100
..
..••.•• ':~~~tj~~y~t~~
.2J ~
:g -200
:I:
. • :>Systeerii: Systeerii:
-300 L....;.--'-'-.............----'-............"-'-'-"-----'--..............-'-"L--'--'--"-'-'-""-""""-'--'-'-'-'CL--'---'--.............."-,-i......i...,;.............. 10~ 10~ 10~ 1~ 1~ 1if 1if 1~ Frequentie [Hz]
Figuur 5.3: De Bode-plot van drie mogelijke systemen (1 normaal, 2 met kortsluitwikkeling, 3 geen zelfinductie). 1. Ret eerste systeem is het systeem zonder de kortsluitwikkeling. Dit systeem heeft een slechter frequentie karakteristiek dit geheel volgens de verwachting aangezien de zelfinductie van de spoel groter is. De grafiek vertoont twee buigpunten. Ret eerste buigpunt is van de eigenfrequentie van het mechanische systeem. Ret tweede wordt veroorzaakt door de wederzijdse belnvloeding van de tijdconstante van het elektrische systeem en de eigenfrequentie van het mechanische gedeelte. 2. Ret tweede systeem is het systeem met de kortsluitwikkeling. Van dit systeem is de frequentie karakteristiek duidelijk vlakker. De invloed van het elektrische systeem is minder duidelijk, doordat de elektrische tijdconstante kleiner is. Toch blijft het sys-
52
teem bij ongeveer de zelfde frequentie afvallen door de invloed van het mechanische systeem. 3. Bij het derde systeem is het elektrische gedeelte vereenvoudigd tot enkel een weerstand zonder zelfinductie. De fase draaiing is 90 graden minder dan bij de andere twee systemen. Dit verschil is echter alleen duidelijk te merken bij de hogere frequenties (ongeveer vanaf 100 Hz). Bij trage systemen kan men dus de duikspoelaandrijving vereenvoudigen en door de zelfinductie niet meet te nemen. Uit de Bode-plot blijkt duidelijk dat de regeling veel extra kracht moet leveren om de frequentie karakteristiek weer vlak te maken en de grens frequentie hoger te leggen. Dit is al nodig om de gevraagde 200 Hz te kunnen bereiken. Tabel 5.2: De polen van het ongeregelde systeem. De polen. 1 -7,67 x 103 2 -5,68 x 10 2 3 -57,0 Ais men de vergelijking 5.12 bestudeerd dan ziet men dat in deze notatie de regeling een probleem wordt. Een regelaar wordt namelijk gegeven door een versterkingsvector maal het verschil tussen de wens en de werkelijke "positie"-vector Nu is door de veerstijfheid van de bladveren de positie en de stroom gekoppeld. Kan men bij een normaal systeem alleen de gewenste positie opgeven, dan moet men hier ook de gewenste stroom, dus kracht, opgeven. Deze gewenste stroom is gelijk aan I wens = ~veer X wens ' Door deze waarde in te vullen in emk de "wens" -vector wordt de juiste positie bereikt, maar weI met een trage responsie. Deze responsie is zo laag, omdat de stroom door de spoel niet meer groot kan worden. De regelaar zorgt er namelijk voor dat de stroom niet meer de gewenste stroom kan overschrijden waardoor de kracht klein blijf dus ook de versnelling en snelheid van de aandrijving. Dit is te voorkomen door de stroom I(t) een traject te laten volgen met op t = 0 I(t) = I max en een tijdconstante die gelijk is aan de gewenste tijdconstante van het geregeld systeem. Hiermee wordt bereikt dat de stroom dus kracht in het begin zeer groot is waardoor de aandrijving goed genoeg versneld en snel naar de gewenste positie beweegt. Tegen de tijd dat de juiste positie is bereikt is ook de stroom gedaald zodat de gewenste positie kan worden vast gehouden. Bij de modelvorming is geopperd om het mechanische model uit te breiden met de veerstijfheid van de spoel. In figuur 5.4 is de stap responsie van het eenvoudige massa-demperveersysteem van vergelijking 5.3 en het complexe mechanische systeem van vergelijking 5.14 met twee vrijheidsgraden weergegeven. Op het eerste gezicht is de stap responsie van beide systemen gelijk. Welloopt de spoel 0.07 nm voor om de kracht op te wekken voor het verplaatsen van de rechtgeleiding. Ook het snelheidsverschil tussen het eenvoudige systeem en het complexe systeem is zo klein dat er geen merkbaar verschil in opgewekte tegen-EMK kan worden verwacht. am dus rekentijd te besparen is het voldoende voor het ontwerpen 53
x 10" Posttie aandrijving 5r-----------,
4
I ~
Snelheid aandrijving 0.04.....---------------,
f\
a I \!'--------l
~2
°0~------,,0~.1-----=-'0.2 Tijd(s)
-0.02 '--------,,0.'":"1-----=-'0.2 0 Tijd (s)
Verschil
Verschil
Ol"\.'-.~.,.-----------j
~-2 ~
~-4 -6
_8'-------_-----J o 0.1 0.2 Tijd (s)
-1.5 '------,-0.'":"1-----:'0.2 0
Tijd (s)
Figuur 5.4: De responsie van het eenvoudige en het complexe mechanische systeem. (l.b. Pasitie van de aandrijving en de spael. Lb. Snelheid van de aandrijving en de spael. l.a. Verschil in pasitie tussen het eenvaudige systeem en het camplexe systeem. r.a. Verschil in snelheid tussen het eenvaudige systeem en het camplexe systeem. Bij de anderste grafieken is - de beweging van de rechtgeleiding en - - de beweging van de spael. van de regelaar om met een eenvoudig mechanische systeem rekening te houden. Dit is dan ook voor de berekeningen in dit verslag gedaan.
5.3
Het positie meetsysteem
Zoals in hoofdstuk 1 is aangegeven hoort ook het positie meetsysteem bij de duikspoel aandrijving. Dit meetsysteem zorgt er voor dat de positie van de aandrijving kan worden ingelezen door de regeling, die daarmee kan zorgen dat de gewenste positie wordt bereikt. Om een goede positionering te kunnen waarborgen moet het positie meetsysteem een resolutie hebben die tussen de 10 en 50 keer beter is dan de gewenste positioneer resolutie van de aandrijving. Dit is nodig om te zorgen dat regelaar met een "mooie" baan van de ene gewenste positie naar de andere gewenste positie gaat. Bij ieder steun positie kan de baan worden gecarrigeerd. Ook de frequentie van het uitlezen van het meetsysteem is niet vrij te kiezen. De uitlees frequentie moet minstens twee keer de frequentie zijn van de te volgen kramme. In de praktijk wordt minstens een tien keer grotere frequentie genomen. In dit geval betekent het dat voor deze aandrijving een positie meetsysteem nodig is met een resolutie van 0,02 tot 0,1 nm met een uitlees frequentie van minimaal 2 kHz. Deze uitlees frequentie is geen probleem, maar de resolutie weI. Standaard meetsystemen voor een grote 54
slag, bijvoorbeeld de HP5529 laserinterferometer van Hewlett Packard en de LIP372A van Heidenhain, hebben maar een resolutie van 0,5 respectievelijk 1 nm. De gewenste resolutie is dus aIleen maar haalbaar door tussen meetpunten te extrapoleren. Deze extrapolatie kan uitgevoerd worden door met een simpel lineair verband tussen de snelheid en positie de positie te berekenen, bijvoorbeeld met vergelijking 5.15.
X(t) = X n + Vn * t
X n ~ X(t)
waarbij
~
X n+1 en t n ~ t
~
t n+!
(5.15)
Voor een betere extrapolatie kan het hele model van de aandrijving worden doorgerekend met behulp van een numerieke integratie methode. Ook is er snelheid informatie nodig om de interpolatie goed uit te voeren. Het kan dan ook nodig zijn om een extra snelheid meetsysteem op te nemen in de regeling. Deze snelheidsmeter kan het beste worden uitgevoerd als een lineaire-tacho. Dit meetsysteem bestaat uit een spoeltje en een magneet. De EMK die in de spoel wordt opgewekt is een maat voor de snelheid. Hierbij moet opgelet moet worden dat dit apparaat niet in de buurt van het magneetsysteem wordt geplaatst om beYnvloeding van de snelheidsmeting tegen te gaan. Om een goede extrapolatie te kunnen uitvoeren moet de meetdata van het meetsysteem zeer nauwkeurig zijn. De ruis en discretisatie ruis kunnen grote invloed hebben op de schatting van de positie. Het een en ander wordt geYllustreerd met behulp van een voorbeeld. Als men uitgaat van een karretje met massa m dat belast wordt door kracht F dan gaat het bewegen volgens de formules van 5.16.
Xn
F
(m/s 2 )
m
F
.
xn
-tn +Xo
Xn
0.5-tn2 + xotn + Xo
(m/s)
m
F
m
•
(m)
(5.16)
Stel men meet de positie x en wi! ook de snelheid weten. Deze snelheid kan men berekenen door het verschil tussen twee posities te delen door de verstreken tijd tussen de twee metingen. In figuur 5.5 is op deze manier voor drie situaties de snelheid uit de positie berekend. 1. In het eerste geval is uit de perfecte positie informatie op de bovenstaande manier de snelheid berekend. 2. In het tweede geval is aan de positie informatie standaard normaal verdeelde ruis toegevoegd met een standaard deviatie van 0,9 x 10- 9 en is er weer de snelheid berekend. 3. In het derde geval is de positie met ruis in discrete stappen van 0,5 nm verdeeld en is weer de snelheid berekend. Ais men figuur 5.5 bekijkt ziet men dat door de discretisering de ruis hoeveelheid erg toeneemt. De berekende snelheid heeft nog veel meer ruis. 55
Het verschil tussen de posities en de snelheden.
2.5,----,---,-----,-----.----.----,--.------.-------.----,
Ec:
2
'a;' 1.5 ~
~
1
-0.5 L------'_----'-_---'-_----'-_--'--_--'--_-'-------"'-----I._----' o 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Tijd [s]
300,----,---,-----,-----.----.----,--.----------,.-------.----, ~
f
200
"0
] 100. a;
W
:co
O~ •. ¥4~~4~~~~~~~~i¥·~· ..
~ -100 ;
>
-200 L:_--'--_--'----'---'------''-----i._----'-_----'---_---'-_...L-----l o 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Tijd [s]
Figuur 5.5: Ret verschil tussen de werkelijke en gemeten posities en tussen de werkelijke en de berekende snelheid. ( - zonder ruis, - - met ruis, " de meting in discrete stappen) Uit het voorgaande voorbeeld blijkt dat het meetsignaal een bron van grote fouten is door de meet en discretisatie ruis. Om deze fout bronnen gedeeltelijk te elimineren kan men een Kalman-filter toepassen [7]. Dit Kalman-filter is een observer, waarmee de toestand van het systeem geschat kan worden. Dit wordt gedaan door gebruik te maken van een model van het systeem en de meetdata. Ret Kalman- filter doet twee dingen in de eerste plaats elimineert het ruis in de meetdata en berekend de afgeleide toestandsvector. In de tweede plaats wordt uit de weI aanwezige meetgegevens, bijvoorbeeld de positie, ander niet gemeten grootheden bepaald, zoals de snelheid. WeI is het zo dat hoe meer en nauwkeuriger er gemeten wordt de prestaties van het Kalman-filter beter worden. Ret kan dan ook verstandig zijn om ook de stroom door de spoel te meten om extra gegevens te hebben. In het boek van A. Gelb [7] wordt de werking van verschillende Kalman-filter en andere observers uitgebreid beschreven.
5.4
De resolutie van het aandrijfsysteem
Ais definitie voor resolutie geldt, dat de resolutie de kleinst mogelijke stap is, die gemaakt of gemeten kan worden door een systeem. Zoals bij de modelvorming al is gebleken, is de stijfheid van het systeem relatief groot. Ais men het systeem statisch beschouwd, is er dan ook een rechtstreeks verband tussen de benodigde kracht en de te verplaatsen afstand. Ais men de stand midden in de slag van 10 mm als nulpunt beschouwd, moet het systeem 5 mm naar de ene kant en 5 mm naar de 56
andere kant kunnen bewegen. Nu is de stijfheid ongeveer 3000 N/m. Rier uit voIgt, dat om een verplaatsing te maken van 5 mm een kracht van 15 N nodig is. am een verplaatsing van 1 nm te maken is er dus een kracht nodig, die vijf miljoen keer kleiner is. Doordat de werkelijke maximale aandrijfkracht 20 N is en dat er een reserve in de resolutie nodig is zijn er meer dan zeventig miljoen kracht stappen nodig. Deze reserve is er voor om eventuele niet lineariteiten in de regeling en het systeem op te vangen. Meestal wordt hiervoor een tien keer zo grote resolutie voor genomen. Omdat er een digitale regelaar voor de aansturing van het systeem gebruikt gaat worden, moet het totale aantal stapjes een macht van 2 zijn. Dit omdat de computer zijn getallen in een tweetallig stelsel berekent en uitvoert naar de buitenwereld. Dit tweetallig stelsel wordt ook het binaire stelsel genoemd. Ret kleinste element van een binair getal is een bit. De waarde van een bit wordt voorgesteld als een nul of een een. Met formule 5.17 is het gewenste aantal bits van het regelsysteem te berekenen, waarbij altijd naar boven afgerond moet worden. log(2 . nstappen) (5.17) nbits = log2 Ais men dit zou uitrekenen voor het bovenstaande dan komt men aan een gewenste 27 bits als resolutie voor de digitaal analoog omzetter en de digitale regelaar. Voor de regelaar is dit geen probleem want meeste digitale regelingen kunnen met 32 bits getallen rekenen. Maar voor de digitaal naar analoog omzetter, dit de spanning op de spoel regelt, is dit weI een probleem. Commercieel verkrijgbare D/A-omzetter kommen maar tot 20 bits. De resolutie van de D/ A-omzetter moet dus verbeterd worden. Een normale digitaal naar analoog omzetter werkt met behulp van een aantal elektronische schakelaars, die verschillende spanningen aan de uitgang te schakelen. Deze spanningen worden afgeleid uit de referentie spanning door een weerstandsnetwerk. De nauwkeurigheid van de weerstanden bepalen de nauwkeurigheid van de stappen van D/ A-omzetter. Nu is het probleem van een D/ A omzetter dat de fout in de spanning door de tolerantie op de weerstand in de buurt komt van kleinste stap van de D/A-omzetter. Dit probleem begint al bij zo'n 14 bits. Er zijn een aantal mogelijkheden om de resolutie te verbeteren namelijk: • De totale resolutie kan verbeterd worden door twee lage resolutie (vanaf 14 bits) D/ A-omzetters parallel te zetten. De uitgang van een D/ A omzetter wordt gedeeld en bij de andere opgeteld. Met behulp van opzoektabel of formule kan nu de digitale uitgangswaarde zo worden verdeeld over beide D/ A-omzetters dat de corresponderende analoge spanning aan de uitgang ontstaat. • Door pulsen van verschillende pulsbreedte en constante frequentie te geven die over de tijd worden gemiddeld kan er ook een hogere resolutie worden gekregen. Dit heet pulsbreedte modulatie. Men kan altijd even hoge puIsen geven of men kan de de pulsbreedte modulatie combineren met een D/ A-omzetter. am de puIsen te middelen moet een laag doorlaat filter worden toegepast. De kantelfrequentie moet lager liggen dan de pulsfrequentie. 57
• De uitgang van een lage resolutie D/ A-omzetter kan worden toegevoerd aan een analoge integrator. De integrator maakt van het blokvormig ingangs signaal een lineaire functie met verschillende hellingshoeken. Deze functie loopt dan naar de gewenste spanning toe. Deze drie genoemde methode hebben het probleem dat de stap grootte in de buurt van de amplitude van de ruis in het systeem komt. De stapjes komen dan niet meer terug in de uitgang van het systeem. En de hoge resolutie van de D/A-omzetter wordt te niet gedaan. De duikspoelaandrijving kan ook dynamisch gepositioneerd worden. Dit betekend dat het systeem niet statisch op een bepaalde positie blijft staan, maar om de gewenste waarde oscilleren. Ais de aandrijving voorbij de gewenste positie gaat dan wordt hij met een relatief grote kracht de andere kant op getrokken. De frequentie waarmee het heen en weer bewegen gebeurd moet zo hoog liggen dat dit niet terug te vinden is als trilling in de rest van het systeem waar de aandrijving aanvast zit. Deze methode van aandrijving vraagt om een zeer snel meetsysteem met een hoge resolutie. De resolutie van de aansturing van de servo-versterker mag veel grover zijn. Voor de aansturing van de duikspoel aandrijving met nanometer resolutie kan het beste de aandrijving met behulp van de integrator worden gebruikt. Deze aandrijving is het meest geschikt, omdat het te verwachten is dat hij minder trillingen in het systeem brengt dan de dynamische positionering, terwijl hij toch relatief eenvoudig is. Ook is in dit geval de de resolutie en snelheid van het positiemeetsysteem van minder belang dan bij de dynamische positionering. De aansturing met de twee D/ A-omzetters en de D/ A-omzetter en frequentie modulatie zijn veel moeilijker in zowel software als hardware te implementeren.
5.5
De afschatting van de regelsnelheid
De regelsnelheid moet zo hoog zijn, dat als er een verstoring in de kracht aanwezig is de regelaar dit kan opmerken op het moment, dat er nog maar een verplaatsingsstapje door het positie meetsysteem is gemeten. Als men het systeem voorstelt als een karretje met een bepaalde massa m, kan men een afschatting maken van deze regelsnelheid. Wordt er tegen het karretje geduwd, dan gaat het rijden met een bepaalde versnelling. Deze duwkracht kan in het ergste geval een digit van het spanningssignaal van de aandrijving zijn, dus ook een stapje van de maximale kracht. Als men uitgaat van een 16 bits conversiegraad, hoort hierbij een L:i.F van 0,61 mN. Met vergelijking 5.18 is de tijd te berekenen, die het systeem er over doet om 0,5 nm verplaatsing te maken. Als men de eerder genoemde waarden invult dan komt men op ongeveer 0,2 ms.
_JL:i.X.2.m L:i.t L:i.F
(s)
(5.18)
De regelaar moet een paar keer zo snel zijn om er zeker van te zijn, dat ook, als het bewegende gedeelte een beginsnelheid heeft, de regelaar op tijd is om te corrigeren. De 58
demping, die het werkelijke systeem heeft, zorgt er voor dat het systeem iets trager zal bewegen. Uit deze grove afschatting blijkt weI, dat een regelfrequentie van 5 kHz in de meeste gevallen zal voldoen om het bewegen van het systeem binnen een halve nanometer op te merken. Bij een regelfrequentie van 5 kHz kan de constructie heen en weer bewegen met een frequentie van 1,1 kHz. Er kunnen dan vier datapunten op de bewegingsgolfworden verwerkt. Nu was geeist, dat het apparaat een sinus met een amplitude van 1 /-Lm en een frequentie van 200 Hz kan volgen. Om deze sinus met een hoge nauwkeurigheid te kunnen volgen zijn er ongeveer 50 datapunten op de sinus nodig. Om deze 50 datapunten te kunnen maken op een golf met een frequentie van 200 Hz moet de regelaar met 10 kHz kunnen regelen. Bij deze hoge regelfrequentie wordt het weglopen van het apparaat uit de juiste positie zeer snel opgemerkt.
5.6
De regelaar
Als regelaar wordt het gedeelte van de regeling beschouwd dat uit het verschil tussen de gewenste en de werkelijke positie, snelheid, enz. een correctie waarde berekend. Bij de duikspoel aandrijving gaat het om de spanning op de spoel die wordt aangestuurd. Bij conventionele regelingen is de regelaar rechtstreeks aan het systeem gekoppeld. Dit is te zien in figuur 5.6 links. De regeling die in dit verslag is besproken is duidelijk anders opgebouwd. De toestand informatie wordt door middel van een "model" waarin een Kalman-filter en een extrapolator is opgenomen gekoppeld aan het model. Dit is aangegeven in figuur 5.6 rechts. Het systeerl f----,---I I II
I I I v
Het c;)/steeM '-----
---J -
-
-:
I
v: I I
Figuur 5.6: Schematische voorstelling van de regelaar in de regeling. In veelliteratuur worden verschillende type regelaars beschreven en hun ontwerp strategie besproken [5]. Het zou te ver voeren om de de hele theoretische beschouwing omtrent het ontwerp van regelaars in dit verslag te behandelen. Daarom wordt hier enkel een aantal belangrijke aspecten van de regelaar besproken. Dit te meer om dat de vorm en grootte van de regelparameters sterk afhangt van het uiteindelijke systeem en de daar van verwachte 59
responsie. Ais er namelijk een stijve taster moet worden voort bewogen zal men een sterk boven kritisch gedempt systeem willen. Bij een optische tast methode kan men ook een veel minder gedempte dus sneller systeem toepassen. Omdat de duikspoel aandrijving vooral bij hogere frequenties zich gedraagt als een derde orde systeem is er ook een hogere orde regelaar nodig om de polen van het systeem juist te kunnen plaatsen. Omdat de aandrijving van zich zelf toch vrij traag is moet de versterking van de regelaar zeer groot zijn. Ais de aandrijving met snelheden van 1 kHz moet bewegen zijn PID-acties met waarden ver boven de tien miljoen nodig. Dit kan een probleem zijn als er grote uitwijkingen nodig zijn. De spanning op de spoel zal dan onmogelijk groot worden. Ais voorbeeld van een mogelijke regelaar wordt een tweede orde regelaar besproken. Het ontwerp van de regelaar wordt in het s-domein uitgevoerd. De vergelijking van de regelaar in het s-domein wordt gegeven door 5.19. Hregelaar
= M S2
+ Ds + P
(5.19)
In deze vergelijking stelt P de proportionele regelactie voor die het verschil tussen de gewenste en werkelijke positie versterkt. De D staat voor de differentieerende actie. Deze actie versterkt het verschil tussen de gewenste en werkelijke snelheid. De M is de factor die de dubbel gedifferentieerde vertegenwoordigd. Het verschil tussen de gewenste en werkelijke versnelling wordt hiermee vermenigvuldigd. Vergelijking 5.20 geeft de basisvergelijking om het gedrag van het geregelde systeem uit te rekenen.
X wens
Hgeregeld
Hrechtdoorgaand
Hgeregeld
Hgeregeld
(5.20)
X
(5.21)
1 + Hrondgaand
=
HregelaarHsysteem
1 + HregelaarHsysteemHterug
(5.22)
Door nu vergelijking 5.10 en 5.19 in te vullen in vergelijking 5.20 is de transfer functie van het geregelde systeem uit te rekenen. Met deze transfer functie is het gedrag van het geregelde systeem te bestuderen. In vergelijking 5.23 in de transfer functie gegeven. Hgeregeld
Hgeregeld
=
L'ms 3 + (L'd + R'm + K emk M)s2 + (kL' !S..=J..(M S 2 + Ds + P) Lim
+ K;mk + R'd + KemkD)s + R'k + Kemkl
De grootte van de drie regelparameters M, Den P volgen uit de gewenste poolplaatsing. De plaatsing van deze polen bepalen de responsie van het systeem. In figuur 5.7 is de responsie van een geregeld systeem te vinden. In tabel 5.3 zijn de polen en de regelparameters te vinden. Ais men Het bode diagram uit figuur 5.7 vergelijkt met figuur 5.3 dan vallen er een aantal dingen op. In de eerste plaats begint de faseverschuiving en de aplitude daling
60
(5.23
2
10
Amplitude verhouding
Faseverschuiving
0.-----
,----------...,
~
----_...,
-50
'C
~
.9 .><
10-4
l!l-100 ..
J:
. . •.
10-6'----~--~----J
10-5
-150'----~--~---'
105
10°
10-5
Frequentie [Hz] Stap responsie
10°
105
1010
Frequentie [Hz] Responsie
1.5 ,-----~---_...,
.!!1
1
CIl
'iii
'"<:o a. CIl '" a: 0.5
<:
o a.
~ -0.5
-1
oLo
~
0.005
__J
0.01
_1.5L----~~-----J
o
0.01
tijd [s]
Figuur 5.7: Het bode diagram en de responsie van het geregelde systeem. b. Het bode diagram. l.o Se stapresponsie van het geregelde systeem. r.o. De responsie van het geregelde systeem op een sinus met een frequentie van 200 Hz (-. De sinus op de ingang. - De responsie van het systeem).
Tabel 5.3: De polen en nulpunten van het geregelde systeem en de regelparameters van de regelaar. De polen (-4, 4 - 4, 4i) X 103 1 2 (-4,4 + 4, 4i) X 103 3 1 X 103 De nulpunten 1 -2,64 x 104 2 -9,33 x 102 De regelparameters Positie P 5,7 X 104 Snelheid D 6,2 X 101 2,3 X 10- 3 Versnelling M
61
bij het geregelde systeem veel later, dit is ook de bedoeling omdat een betere frequentie responsie nodig was. Als men naar de responsie op een sinus vormig ingangssignaal bekijkt dan blijkt dat er bij 200Hz toch nog een behoorlijke faseverschuiving optreed. In de tweede plaats is de maximale faseverschuiving van het geregelde systeem veel kleiner, doordat de faseverschuiving van de teller, de faseverschuiving van de noemer in de transferfunctie gedeeltelijk opheft. Hierdoor is er bij de hogere frequenties nog maar een faseverschuiving van 90 graden. Als men in figuur 5.7 naar de stapresponsie kijkt ziet men dat het systeem doorschot vertoont. Dit is moeilijk weg te regelen en betekent dat het tasten met een stijf meetsysteem risicovol is. De hierboven gepresenteerde regeling is geen perfecte regeling. Hij is enkel bedoeld als voorbeeld. De plaats van de polen van het geregelde systeem is vrij willekeurig gekozen. De uiteindelijke regeling zal een heel ander vorm moeten krijgen om te voorkomen dat er te veel doorschot is. Om bijvoorbeeld een constante afwijking weg te kunnen regelen, moet er een integrerende actie aan de regelaar worden toegevoegd. Dit betekend echter dat het geregelde systeem van een orde hoger zal zijn. Dit maakt het ontwerp van de regeling ingewikkelder, aangezien er dan vier polen geplaatst moeten worden. Om de frequentie responsie veel beter te krijgen moeten de verschillende regelparameters veel groter worden om te kunnen zorgen dat de polen verder naar links bewegen (negatiever worden). Hierdoor kunnen er problemen ontstaan in de regelaar door de hoge versterkings factoren. Dit probleem kan minder worden door een optimale konstructie van de duikspoel aandrijving en door het toepassen van een externe versterker voor het aansturen van de spoel. Een beter gedrag en een integrerende regelactie heb ik niet goed kunnen bereiken met een "gewone" regelaar. Waarschijnelijk zal er naar iets geavanceerders gezocht moeten worden als er suel met een zeer stijf meetmiddel wordt aangetast.
62
Hoofdstuk 6 Het regelsysteem
De regelaar heeft voor het in de vorige hoofdstukken aangegeven systeem een aantal taken te volbrengen. In de eerste plaats moet hij de nodige signalen uit kunnen lezen. Dit zijn de volgende meetsignalen: • De Heidenhain meetliniaal. Dit zijn twee blokgolven, die 90 graden in fase verschoven zijn. De combinatie van de flanken van golven geeft informatie over stapjes van 1 nm. Het fase verschil geeft de richting aan. Dit signaal wordt ook A-quad-B of quadratuur signaal genoemd. • Het HP lasermeetsysteem. Dit systeem geeft een 32 bits getal, dat de verplaatsing in delen van een golflengte voorstelt. • De snelheidsinfomatie. Deze informatie is in de vorm van een elektrische spanning beschikbaar. • De stroomsterkte door de spoel. De stroomsterkte is door de regelaar binnen te halen als een spanning. Deze spanning kan het beste worden bepaald als verschil ten opzichte van de stroom, die door de spoel zou gaan, als hij aIleen een weerstand had en er geen tegen EMK zou zijn. Deze aanpak spaart resolutie. • Het meetsignaal van de aftastsensor moet ook door de besturing worden ingelezen. Ook heeft de regelaar een aantal uitgangen nodig om het systeem aan te kunnen sturen. • Een spanningsuitgang om de stroom door de spoel te regelen. • Een spanningsuitgang voor een extra regellus of een twee traps aansturing van de spoel. Naast deze in- en uitgangen moet de regelaar ook over de benodigde reken capaciteit beschikken. Er moet namelijk een model worden doorgerekend om de positie te schatten tussen de meetpunten. Er moet een Kalman filter worden doorgerekend om de ruis uit de verschillende meetsignalen te halen. Er moet ook een regeling worden doorgerekend om de aandrijving naar de juiste positie te sturen. Deze regeling is waarschijnlijk niet lineair door de niet lineairiteit in zowel het magneetveld als in de wikkeling van de spoel als in de stijfheid van de bladveren. In dit hoofdstuk wordt er opzoek gegaan naar een geschikt regelsysteem, dat dit aankan. 63
6.1
De specificaties van het regelsysteem
In hoofdstuk 5 zijn al een aantal eisen omtrent de snelheid, resolutie en taak van de regelaar naar voren gekomen. De te kiezen regelaar moet ook gebruikt gaan worden om een Fast Tool Servo (FTS), die op dit moment door de sectie Precision Engineering wordt ontwikkeld, te regelen. Daarom zijn voor beide systemen de eisen in de lijst van specificaties voor het regelsysteem meegenomen. In tabel 6.1 worden de eisen opgenoemd. Deze tabel heeft een kolom "minimum specificatie", waarin reeele minimale eisen aan het regelsysteem gesteld worden. In de kolom "maximale specificatie" staan de eisen, waaraan een theoretische regelaar moet voldoen om absoluut ideaal voor het regelen van de duikspoel aandrijving te zijn. Een regelsysteem moet aan de eisen, die in de kolom "minimum specificatie" genoemd staan, voldoen om geschikt te zijn voor het regelen van de duikspoel aandrijving en de FTS. Systemen, die betere specificaties hebben dan in de kolom "maximum specificatie" genoemd worden (dit zal niet voor alle punten mogelijk zijn), zijn te goed voor het te bouwen systeem en zijn daarom niet interessant. Tabel 6.1: Eisen die aan het besturingssysteem worden gesteld. Nr 1
2 3 4
5 6 7
8 9
10 11
12 13 14 15 16 17
maximum specific, minimum specificatie Uitgangen: (per as) 24 bit Analoog uit voor aandrijving 16 bit 100 kHz 20 kHz " 12 bit Analoog uit voor extra regeling 100 kHz 20 kHz " Ingangen: (per as) 12 bit Analoog in voor snelheid 100 kHz " 20 kHz 25 bit Analoog in voor stroom/kracht 16 bit 100 kHz 20 kHz " Digitale teller in (TTL/A-QUAD-B) 25 bit 32 bit 6.7 MHz (Heidenhain LIP372) 30 MHz " laser interferometer ingang 32 bit " 4 MHz Totale regelsysteem servo update tijd 100 IJ,s 10 f.-lS ANSI C/Pascal Matlab/simulink software ontwikkel omgeving Uitbreidbaar tot multiprocessor systeem Uitbreidbare in- en uitgangen Mogelijkheid voor niet lineaire regelaar en Kalman benodigde uitgang/systeem eis
Door verschillende regelsystemen met de eisen uit tabel 6.1 en met elkaar te vergelijken is een keuze gemaakt voor een bepaald regelsysteem. Als mogelijke kandidaten zijn 64
heel verschillende systemen bekeken. Niet aIleen is er gekeken naar zeer geavanceerde digitale regelsystemen, maar ook naar de combinatie van een gewone computer met dataacquisitiekaarten.
6.2
De verschillende regelsystemen
Voordat er wordt ingegaan op de verschillende regelkaarten, wordt er eerst een kleine introductie over DSP-processoren gegeven. De letters DSP staan voor Digital Signal Processor of digital signal processing. Hiermee worden systemen bedoeld, die specifiek zijn voor het verwerken van grote stromen informatie, waarop snelle kleine berekeningen uitgevoerd moeten worden. Daarentegen zijn gewone processoren zoals de 486 van Intel, die in de wat oudere PC zit, meer gericht op universele bewerkingen. Deze bewerkingen worden niet zozeer op stromen informatie uitgevoerd, maar meer op blokken informatie. Zo kan een DSP meerdere berekeningen tegelijkertijd uitvoeren en hoeft de DSP voor standaard vermenigvuldigingen, als iets versterkt moet worden, de vermenigvuldigingsfactor maar een keer uit het geheugen te halen om vervolgens alles achter elkaar met die factor te vermenigvuldigen. Ook is het vaak eenvoudig om meerdere DSP's te koppelen en te laten samenwerken om zo een grote informatie verwerkende eenheid te krijgen. Met dit soort grote systemen kunnen met grote snelheid complexe problemen zoals beeldherkening opgelost worden. Door deze eigenschap en nog vele andere mogelijkheden kan een DSP veel sneller informatie verwerken en bewerken dan mogelijk is met conventionele processoren. Tegenwoordig ziet men dan ook dat de mogelijkheden van DSP's steeds meer worden ge'integreerd in de processoren, die worden toegepast in de produktie van PC's. Er zijn drie types DSP-processoren, die voor digitale regelaars worden toegepast. Dit zijn de TMS320C30 en de TMS320C40 processoren van Texas Instruments. Beide families van processoren zijn zogenaamde floatingpoint processoren. Dit betekent, dat er gerekend kan worden met gebroken getallen (bijvoorbeeld 0,0123 x 26,4). Binnen de C30 en C40 series zijn er verschillende types mogelijk, die verschillende communicatie poorten, geheugen en klok configuraties hebben. De processoren uit de C40 serie zijn voorbereid voor toepassing in multiprocessor systemen. Het derde type processor is de ADSP-2106x van Analog Devices. Deze processor is krachtiger dan de C40 processor en wordt toegepast in de zogenaamde SHARCPAC's voor geavanceerde multiprocessor systemen. De hoge prijs van dit type DSP en het feit, dat deze SHARCPAC's niet echt bedoeld zijn voor regeltoepassingen, maakt hen minder geschikt voor onze toepassing. Na deze korte kennismaking met de DSP wordt duidelijk, wat een dergelijk systeem kan betekenen in de regeltechniek. Snelle complexe regelproblemen kunnen nu eenvoudig worden opgelost ook, als het om meer assige systemen gaat, waarbij de verschillende assen op elkaar gesynchroniseerd moeten worden. Voor de door mij toe te passen regelaar is er rekening gehouden met de uitbreidbaarheid van het regelsysteem tot een drie assige machine. De volgende regelaars zijn bekeken: • Een regelsysteem aIleen gebaseerd op een zware PC met insteekkaarten voor de data acquisitie. 65
• Een regelsysteem bestaande uit een combinatie van een lichtere PC met insteekkaarten en een DSP kaart met beperkte I/O mogelijkheden voor de kritische regelgedeeltes. • Een regelsysteem, dat enkel gebaseerd is op een DSP kaart met voldoende in- en uitvoer mogelijkheden voor communicatie met het te besturen systeem, waarbij de PC aIleen dient als drager van de kaart en als gebruikers interface. • Een zelfstandig DSP systeem, waarbij een PC niet noodzakelijk is voor de regeling. Deze vier mogelijkheden worden in de onderstaande paragrafen verder behandeld. 6.2.1 Ret enkel op een PC gebaseerde regelsysteem Het toepassen van enkel een geavanceerde PC voor het maken van regelaars heeft zeker voordelen, maar ook grote nadelen. Bij een dergelijk systeem moet er gedacht worden aan een gewone computer met de in de tijd van aankoop meest geavanceerde en snelste processor. De hoeveelheid geheugen is van minder belang, want dit wordt enkel gebruikt voor het opslaan van het regelprogramma en de meetgegevens. Deze meetgegevens kunnen na afloop van het experiment met behulp van numerieke software zoals MATLAB worden verwerkt. Als data-acquisitiekaarten kunnen vele kaarten worden toegepast. Het PC platform is namelijk een dankbaar slachtoffer van de vrijwel onbeperkte produktie van meet- en stuurkaarten. Grote bedrijven zoals Keithley en National Instruments maken veel kwalitatief goede kaarten voor het meten en sturen met analoge en digitale signalen. Veel leveranciers van meetsystemen zoals Hewlett Packard en Heidenhain leveren ook kaarten voor in de PC voor het uitlezen van hun meetsysteem. Al deze kaarten kunnen in het regelsysteem opgenomen worden zolang zij nog bij de andere kaarten in de computer passen. Hierbij speelt niet aIleen fysieke plaats een rol, maar ook de beschikbaarheid van 1/0adressen, geheugenadressen, interruptlijnen en DMA-kanalen. Een nadeel van een op een PC gebaseerd regelsysteem is, dat een personal computer niet gemaakt is voor een constante gegevens verwerking en het uitwisselen van data tussen verschillende kaarten. De uitwisseling van gegevens van en naar het geheugen is vele malen beter en sneller uitvoerbaar dan het uitwisselen van de grote stroom gegevens met de data acquisitie kaarten. De bus structuur van een PC is niet gebouwd voor het uitwisselen van veel gegevens tussen verschillende kaarten. Om deze gegevensstroom ook maar een klein beetje mogelijk te maken met volledige controle over de timing moet er een operating system op de computer werken, dat de gebruiker complete macht geeft over de processor en de interrupts. Er is maar een makkelijk verkrijgbaar operating system, dat dit binnen zekere grenzen aan kan namelijk DOS. Windows (3.11, 95 en NT) is ondanks de mooie gebruikers omgeving niet geschikt, omdat de gebruiker geen totale controle heeft over de computer. Ook unix achtige besturingssystemen en OS/2 geven geen complete controle. Het is met een dergelijk operating system goed mogelijk, dat de te besturen machine zich een weg baant door het werkstuk, omdat de screensaver geactiveerd werd. Ook is de uitbreidbaarheid van de processor capaciteit niet gegarandeerd. Er zijn mother-
66
boards voor PC's verkrijgbaar voor multiprocessor systemen, maar deze borden worden niet door DOS als zodanig ondersteund. Het heeft dan ondanks de mogelijkheid om een processor bij te plaatsen geen zin dit te doen. De enige mogelijkheid is het vernieuwen van de toegepaste processor door een met een hogere klok snelheid of door een nieuwer type, dat in de zelfde voet past. WeI is een op een PC gebaseerde regelaar de goedkoopste oplossing.
6.2.2 Ret op een PC en
nsp gebaseerde regelsysteem
Voor een dergelijk systeem geldt het zelfde als voor het eerder genoemde systeem, dat op enkel een PC gebaseerd is. In dit systeem wordt echter een gedeelte van de gegevens door de DSP verzameld en bewerkt. Enkel de gegevens van de moeilijk verkrijgbare interfaces zoals die voor incrementele meetsystemen en laser interferometers moeten door de PC verwerkt worden. Deze gegevens worden door de PC doorgestuurd naar de DSP, die ze vervolgens voor de regeling gebruikt. Hierdoor wordt de PC ontlast en kan als een eenvoudiger computer worden uitgevoerd. Ook de interrupt en bandbreedte problemen van de computerbus worden bij deze aanpak verminderd. De verkrijgbaarheid van losse DSP kaarten, die analoge signalen kunnen verwerken is zeer goed. National Instruments levert dit soort kaarten, dat vooral voor audio processing is bedoeld. Innovative Integration levert een hele serie DSP kaarten met analoge in- en uitgangen, digitale I/O, tellers en communicatie poorten. Enkele modellen zijn uitbreidbaar om zo multiprocessor systemen te maken voor zware toepassingen. Een andere en ook duurdere mogelijkheid is het gebruik van SHARCPAC's zoals die door ALEX en andere leveranciers worden geleverd. Een dergelijk systeem bestaat uit een dragerkaart, die in de computer wordt gestoken met enkele SHARC DSP's. Op de drager kunnen een aantal SHARCPAC's worden geplaatst. Deze SHARCPAC's kunnen bestaan uit een enkele processor, maar ook uit multiprocessor systemen bestaand uit 8 processoren, of uit data acquisitie modules. Een nadeel van een SHARC systeem is de zeer hoge prijs. Ook richt het zich meer op visionsystemen dan op motion control. De kaarten van Innovative Intergration zijn goedkoper, maar bieden iets minder uitbreidingsmogelijkheden. Toch zullen deze kaarten en andere van dit type geschikt zijn om toe te passen bij regelproblemen.
6.2.3 Ret enkel op een
nsp gebaseerde regelsysteem in een PC
Bij deze configuratie is de rol van de PC geminimaliseerd om maximale systeem prestaties te krijgen. De DSP kaart verzorgt de hele regeling en moet aIle meetapparatuur kunnen uitlezen. Hiervoor moet de kaart quadratuur signalen aan kunnen van incrementele verplaatsingsopnemers en analoge in-en uitgangen kunnen gebruiken voor de aansturing van de aandrijving. Omdat de kaart in een PC zit kunnen vaak met lagere snelheid ook meetgegevens van meer exotische apparatuur worden uitgewisseld. Door deze koppeling geeft een dergeljjke oplossing een gedeelte van de flexibiliteit, die de twee eerder genoemde systemen
67
biedt. De enige kaart, die hiervoor in aanmerking komt, is de DS1102 van het Duitse bedrijf dSPACE. Dit bord heeft een aantal nadelen: • Ret systeem is erg duur DM 6120,- excl. voor de kaart en DM 11040,- excl. voor de software. • Ret systeem is niet uitbreidbaar, meerdere kaarten kunnen niet samen aan een regelingsprobleem werken. Een belangrijk voordeel van het gebruik van een dSPACE systeem is de ervaring van dSPACE op het gebied van regeltechniek en de goede koppeling tussen de dSPACE produkten en MATLAB. Deze fabrikant maakt ook grotere modulaire systemen, die gebruik maken van de bus van een PC voor de spanningsvoorziening en die een aparte bus gebruiken voor het communiceren met de DSP en de data acquisitie kaarten, die bij het systeem horen. Dit systeem is weI uitbreidbaar en geschikt voor multiprocessor toepassingen, maar vele malen duurder dan het DS1102 systeem. Ook dit systeem richt zich volledig op het besturen en regelen van mechanische systemen. Ret assortiment kaarten, dat door dit bedrijf leverbaar is, is toegespitst op het inlezen van signalen, die in de motion regeltechniek gebruikelijk zijn zoals het inlezen van de tel signalen van incrementele positie meetsystemen.
6.2.4 Ret zelfstandige DSP systeem Voor het regelen van complexe systemen kan ook een regelsysteem worden toegepast, dat geheel zelfstandig werkt. Bij dit soort systemen wordt de kern gevormd door een of meer DSP processoren, die razendsnel met het data acquisitie systeem kunnen communiceren. De PC dient enkel als software ontwikkelomgeving en voor het off-line bewerken van de meetdata. De koppeling tussen de PC en de DSP is niet zo direct als bij de drie eerder genoemde systemen. De uitbreidbaarheid is in het algemeen erg goed, maar er kunnen aIleen door de leverancier van het regelsysteem geleverde kaarten gebruikt worden. Dit maakt het systeem minder universeel dan een regelsysteem dat enkel op een PC is gebaseerd. Ais voorbeeld voor een dergelijk systeem is naar het TIMEX systeem van Prodrive gekeken. Dit is een zelfstandig systeem, dat gebaseerd is op C40 processoren van Texas Instruments. Dit systeem werkt in principe zonder tussenkomst van een PC. Dit wordt ook stand-alone genoemd. Ret systeem kan weI met een computer worden verbonden, maar dit is enkel voor het programmeren van de regelaar. Is het programmeren gebeurd, dan kan de computer uit en gaat de regelaar door met regelen. Dit TIMEX systeem is opgebouwd in een half 19 inch rek, waarin plaats is voor tien kaarten. Voor de hoofdprocessor zijn er twee slots nodig; een voor de processor kaart en een voor de communicatie kaart, waarmee het systeem communiceert met de ontwikkelomgeving, die op een PC staat. Extra processoren bezetten ieder maar een slot en worden rechtstreeks met elkaar verbonden over de speciale multiprocessor bus van de C40 DSP. Een data-acquisitiekaart bezet ook een plaats in het rek. Meerdere systemen kunnen via de multiprocessor communicatie poorten aan elkaar worden gekoppeld om zo plaats te bieden aan veelvouden van 8 extra kaarten. De communicatie kaart kan met snelheden tot 10Mbit/sec met het ontwikkel systeem en de PC communiceren.
68
Over deze verbinding wordt het ontwikkelde programma naar de DSP's gestuurd en kan het systeem gecontroleerd worden om zo continu informatie te hebben over het te besturen systeem. Deze gegevens kunnen dan op de PC verwerkt worden om bijvoorbeeld grafieken te maken. Ook kunnen over deze bus gegevens naar de DSP worden verstuurd, die door de PC zijn verzameld. Een nadeel van dit systeem is de afhankelijkheid van de leverancier voor data acquisitie kaarten. Een laser interferometer zal ook nooit direct zonder problemen door het systeem uitgelezen kunnen worden. WeI zouden door de toch nog relatief sneIle verbinding tussen de computer en de DSP gegevens van enkele meetsystemen, die aIleen door de PC uitgelezen kunnen worden, naar de besturing kunnen worden verzonden. De PC, waarop in principe aIleen de ontwikkelomgeving voor de software werkt, kan van een veellichter type zijn dan de PC voor de andere systemen.
6.3
Een vergelijking tussen de regelsystemen
De volgende systemen en merken zijn met elkaar vergeleken om een keuze te maken voor het regelsysteem. In totaal zijn er vijf systemen van de vier mogelijke types bekeken. Dit zijn de volgende systemen: • Het op enkel een PC gebaseerde meetsysteem. • Het op een PC gebaseerde meetsysteem in combinatie met een DSP-board. In deze categorie worden de systemen van Innovative Integration als voorbeeld gebruikt. Uit het leveringsprogramma van dit bedrijf zijn twee types kaarten bekeken. In de eerste plaats de PC32. Dit is een PC-kaart met een C31 processor. In de tweede plaats is de PC44 PC-kaart bekeken. Deze kaart bevat een C44 DSP en dit kan uitgebreid worden met nog twee C40 processoren. • Het gedeeltelijke stand-alone systeem van dSPACE. Hiervoor is de uitbreidbare versie genomen om te vergelijken met de andere systemen. • Het stand-alone DSP systeem. In deze categorie wordt het TIMEX systeem van Prodrive als voorbeeld gebruikt voor dergelijke stand-alone systemen. Men moet weI rekening houden met het feit, dat het TIMEX systeem erg goedkoop is in zijn soort. Dit zal in veel situaties een te positief beeld geven van stand-alone systemen in zijn algemeenheid, als men ook naar de prijs kijkt. Deze vijf systemen worden op de volgende punten vergeleken: 1. Uitbreidbaarheid met standaardkaarten. Hiermee wordt de mogelijkheid bedoeld om standaardkaarten zoals digitale en analoge I/O kaarten voor eenvoudige aansturingen en uitlezingen aan het systeem toe te voegen. 2. Uitbreidbaarheid met niet standaardkaarten. Hiermee wordt de mogelijkheid bedoeld om speciale kaarten voor bijvoorbeeld het uitlezen van lasermeetsystemen en dergelijke complexe meetapparatuur aan het systeem toe te voegen. 69
Tabel 6.2: Beoordeling van de verschillende mogelijke regelsystemen. Beoordelingspunt Uitbreidbaarheid van: 1 Standaardkaarten 2 Niet standaardkaarten 3 Processorcapaciteit 4 Systeem 5 Multiprocessor
PC
PC32 DSP
PC44 DSP
dSPACE
3 3 1 1
2 2
2 2 2 1-2 2
3 2 2 3 3
3 2 2 1 zeer goed
3 2
0
6 Geschiktheid 2 7 Software (2) 3 1 8 Communicatie eigen I/O 9 Communicatie vreemde I/O 1 o slecht 1 matig
0
1 0
3 2 2 1 2 goed
3
2
1
TIMEX 3 1
(1)
3 3 3 3 1 2 1
Noten: 1. Niet standaard kaarten kunnen alleen via de koppeling tussen PC en TIMEX systeem worden gebruikt en uitgelezen; dit gaat dan met vergelijkbare snelheid als bij kaarten in een PC. 2. Bij het TIMEX systeem worden standaard aIleen een C-compiler en communicatie tools meegeleverd. Van TI kan er extra programmatuur gekocht worden. (Een MATLABinterface en een grafische besturingsinterface worden ontwikkeld.) Voor de PC32 en PC44 systemen worden ook bibliotheken met interface routines en besturingsroutines aangeboden. Tevens zijn er koppelingen met MATLAB, windows en Visual Basic mogelijk. Voor de PC is standaard alles mogelijk en zijn er veel bibliotheken met routines en grafische gebruikersinterfaces.
3. Uitbreidbaarheid van de processorcapaciteit. Hier valt alles onder, wat de capaciteit van de processor opvoert. Hieronder vallen de processor upgrades en de kloksnelheid verhogingen. 4. Uitbreidbaarheid van het systeem. Onder deze uitbreidbaarheid vallen de mogelijkheden om het gehele systeem uit te breiden. Dit is nodig in het geval, dat er machines aangestuurd moeten worden, die meerdere assen hebben. 5. Mogelijkheid voor multiprocessorsystemen. Bij dit punt is het belangrijk of het systeem omgebouwd kan worden tot een multiprocessor systeem. 6. Geschiktheid. Bij dit punt wordt de algemene geschiktheid van het systeem vergeleken voor het regelen van dynamische systemen. 7. Software. Onder dit kopje valt het aantal programma's, dat gebruikt kan worden in combinatie met het regelsysteem. Dit zijn zowel de bibliotheken met software routines voor het schrijven van eigen programma's als de commercieel verkrijgbare software voor de regeling. 70
8. Communieatiesnelheid met eigen I/O. Onder dit kopje valt de snelheid, die de DSP kan halen in de eommunieatie met zijn eigen I/O-funeties zoals de analoog digitaal omzetter. 9. Communieatiesnelheid met niet eigen I/O. Onder dit kopje valt de snelheid, die de DSP kan halen in de eombinatie met de niet eigen data aequisitiekaarten. Deze punten zijn in een tabel gezet en de vijf systemen zijn met elkaar vergeleken. Door een puntentelling van 0 tot 3 zijn de versehillende mogelijkheden met elkaar te vergelijken. In tabel 6.2 zijn de resultaten weergegeven.
6.4
De kosten
Ook de kosten van de versehillende systemen zijn van belang om een seleetie uit de versehillende mogelijkheden te kunnen maken. Nu zijn niet aIle kosten preeies bekend, maar het is vaak weI goed mogelijk om een afsehatting te maken van de prijs. In de kosten berekeningen is de apparatuur, die al aanwezig is binnen de seetie Precision Engineering, niet meegenomen. Voor een regelsysteem, dat enkel op een PC is gebaseerd, zijn de kosten als voIgt: Nodig: prijs (in guldens) Heel erg goede PC 8.000 - 12.000 Analoge I/O : 3.460 DAS 1802HR-DA Inerementeel meetsysteem : IK 121 2.380 Totaal: 13.840-17.840 Software voor dit systeem zou al aanwezig zijn en ook hoeft er geen hardware aangesehaft te worden om het lasermeetsysteem aan te sturen. Voor een regelsysteem, dat op de eombinatie PC en DSP is gebaseerd, zijn de kosten als voIgt: Nodig: Erg goede PC DSP kaart : PC32+software
IK 121 Totaal:
prijs (in guldens) 6.000 - 8.000 12.824
2.380 21.204-23.204
Nodig: Erg goede PC DSP kaart : PC44+software geheugen analoge I/O IK 121 Totaal:
prijs (in guldens) 6.000 - 8.000 16.676 2.408 8.025 2.380 35.489-37.489 71
Ais DSP-kaarten zijn de kaarten van Innovative Intergration gekozen. Uit hun DSP assortiment is de goedkoopste kaart de PC32 en de duurste kaart de PC44 genomen. Omdat de DSP meer doet, kan de PC minder zwaar zijn en dus ook minder duur. Ais voorbeeld van een meer stand-alone systeem in de PC zijn de kaarten van dSPACE gebruikt. Dit systeem doet aIleen mee om een indruk te krijgen van de kosten van een dergelijk systeem. De prijzen zijn dan als voIgt: Nodig: Erg goede PC DSP kaart : DSll02
prijs (in guldens) 6.000 - 8.000 6.965
Software: TRACE Bundel Ontwikkelsoft. Compiler Totaal:
2.595 6.213 3.755 25.528-27.528
Nodig: Erg goede PC DSP kaart : DS1003 I/O kaarten: ADC DAC Encoder Expansie Box Software: TRACE Bundel Ontwikkelsoft. Compiler Totaal:
prijs (in guldens) 6.000 - 8.000 13.656 7.431 5.633 4.096 3.687 2.595 6.600 3.983 53.681-55.681
Ais laatste wordt de prijs van het TIMEX systeem van Prodrive berekend. Dit systeem is uitzonderlijk goedkoop voor een stand-alone DSP systeem. De prijzen zijn als voIgt: Nodig: Erg goede PC TIMEX systeem : Lasermeetsysteem: Niet noodzakelijk HP 10885A PC Axis Board DSP 10 module Software: Totaal:
prijs (in guldens) 4.000 - 6.000 16.500
(4.000) (1.750) 3.000 24.00-26.000 (30.000)
Het HP 10885A PC Axis Board hoeft niet aangeschaft te worden, omdat de gegevens van de laser interferometer ook via de koppeling tussen PC en DSP naar de regelaar gestuurd kunnen worden. Ais aIleen naar de kosten wordt gekeken, dan komt de PC als regelsysteem het beste uit de bus. Daarna komen de goedkoopste versies van de op een DSP gebaseerde PC systemen van Innovative Intergration. Daarna het stand-alone systeem van Prodrive. Dit systeem is 72
vooral interessant als het PC Axis Board niet wordt aangeschaft. Als hekkesluiter geldt het systeem van dSPACE (Beide uitvoeringen zijn gewoon te duur.). De goedkoopste kaart biedt te weinig mogelijkheden voor de ruime prijs. En het duurste systeem is erg duur in vergelijking met het TIMEX systeem, dat zich op de zelfde doelgroep richt.
6.5
De selectie van het beste regelsysteem
Uit de gegevens van tabel 6.2 blijkt, dat er twee systemen goed geschikt zijn voor hoogwaardige toepassingen. Ret Innovative Intergration PC44 systeem scoort over de hele linie goed. Ook is het systeem relatief goedkoop. Ret TIMEX systeem is de tweede regelaar, die geschikt is om toegepast te worden. Dit systeem scoort voor veel punten zeer goed, maar ook een paar keer matig. Ook is het een stuk duurder dan het PC44 systeem. Als men beide systemen met elkaar vergelijkt, dan kan men de volgende conclusie trekken: De PC32 en PC44 DSP-kaarten van Innovative Intergration zijn het meest geschikt voor kleine, hoogwaardige toepassingen bij complexe problemen. De lage uitbreidbaarheid maakt hen minder geschikt voor toepassing in meer assige systemen. Ook is de noodzaak van het gegevens transport tussen de DSP-kaart en de PC voor het uitlezen van incrementele verplaatsingssensoren en lasermeetsystemen een groot nadeel bij meer assige toepassingen. Daarom zijn deze "goedkope" kaarten het best geschikt voor kleinere, zeer complexe regelproblemen. Ret TIMEX systeem van Prodrive laat duidelijk zien, dat het vooral een heel goed uitbreidbaar stand-alone systeem is. Dit maakt het TIMEX systeem zeer goed geschikt voor het aanpakken van grote, meer assige regelproblemen, waarbij veel I/O mogelijkheden en multiprocessor kracht nodig zijn. Voor deze uitbreidbaarheid moet weI een meerprijs betaald worden, maar een dergelijke investering verdient zich terug in de toekomst. Dit systeem is echter niet erg goed te gebruiken in combinatie met apparatuur met moeilijke interfaces zoals de lasermeetsystemen, ondanks dat de leverancier bereid is om specifieke kaarten te maken op specificaties van de klant.
73
Hoofdstuk 7 Conclusies
Omdat de duikspoel aandrijving is opgebouwd uit drie onderdelen, de rechtgeleiding, het magneetsysteem en de regeling, is ook de conc1usie uit drie delen opgebouwd. Omdat het onderzoek nog niet volledig is afgerond, is het nog niet mogelijk om conc1usies te trekken over aIle facetten van de duikspoel aandrijving.
7.1
De rechtgeleiding
Uit hoofdstuk 3 blijkt, dat om rechtgeleiding te maken, die slap is in de bewegingsrichting en stijf in de andere richtingen, relatief dunne, brede en lange bladveren nodig zijn. Deze bladveren moeten bij de inklemming erg dun zijn om de gewenste lage buigstijfheid te halen. Door deze grote bladveren wordt het rechtgeleidingsmechanisme erg groot ten opzichte van de gewenste slag. Ais rechtgeleiding voor een eenvoudige duikspoel aandrijving met een grote slag kan het beste de enkelvoudige dubbelparaIlellogram rechtgeleiding worden toegepast uit figuur 3.5.
7.2
Het magneetsysteem
Ret conventionele magneetsysteem met de bewegende spoel voldoet bij dynamisch gebruik het beste ondanks de grote warmte inbreng in het systeem. Deze warmte inbreng is sterk te reduceren door het toepassen van ferrofluids en gedwongen koeling. In quasi statische situaties, waarbij zeer grote krachten nodig zijn, zal een bewegende magneet systeem beter voldoen dan een bewegende spoel systeem. De geproduceerde warmte is in een bewegende magneet systeem weI goed buiten de aan te drijven constructie te houden. Voor de toepassing van een duikspoel aandrijving voor het apparaat, dat een slag van 10 mm moet maken, kan toch het beste een bewegende spoel systeem worden toegepast, omdat de dynamica van het systeem vanwege de hoge snelheid van groot belang is. Bij het ontwerp van een duikspoel aandrijving kan het beste gebruik worden gemaakt van een kortsluitwikkeling om de zelfinductie van de aandrijfspoel te verminderen. 75
Hierdoor wordt het dynamische gedrag beter. WeI moet er iets meer vermogen worden toegevoerd. Ais de aandrijving voor hoge frequenties gebruikt moet worden dan moet er rekening worden gehouden met de werveistromen. Deze werveistromen kunnen worden verminderd door een keramisch materiaal toe te passen voor het magneetcircuit of door het magneetcircuit uit transformatorblikpIaatjes op te bouwen. De spoel kan beter niet op een metalen wikkellichaam worden gewikkeid. Ais men dit weI doet gaat het rendement van de aandrjjving sterk achteruit.
7.3
De regeling
Om een duikspoel aandrijving met hoge resolutie te regelen is er een geavanceerde regelaar nodig. Deze regelaar moet de positie van het bewegende gedeelte kunnen schatten tussen twee meetpunten in. Voor deze complexe taken komen aIleen digitale regelaars in aanmerking. De stijfheid van de stijf opgewonden aandrijfspoel hoeft niet in het dynamische model van de aandrijving worden meegenomen. De duikspoel aandrijving is niet goed genoeg met een "normale" regelaar te regelen als men rekening houdt met de lage resolutie en de ruis van het meetsysteem. Om een hoge snelheid met weinig doorschot en een redelijke versterkings factor te krijgen moet er een ander type regelaar worden gebruikt. Regelaars op basis van DSP processoren zijn er in veel verschillende uitvoeringsvormen. Voor complexe regeltoepassingen zijn maar twee DSP systemen echt geschikt. AIleen DSP kaarten, die voor het grootste gedeelte de data acquisitie zelf uitvoeren en waarbij de PC maar een enkele meetwaarde aan de DSP doorgeeft zijn geschikt. De grotere stand-alone DSP systemen kunnen de complexe besturingstaak aan. Als er enkel een een dimensionale duikspoel aandrijving gebouwd gaat worden, kan het beste de PC44 DSP-kaart van Innovative Intergration of een vergelijkbare kaart worden aangeschaft of zelfs enkel gebruik worden gemaakt van een goede computer met snelle data acquisitie kaarten. Wordt er echter toch binnen afzienbare tijd een drie dimensionale oppervlakte scanner gebouwd, die met een DSP-systeem geregeld moet worden, dan is het TIMEX systeem van Prodrive de beste keus. In dit geval wordt er vanuit gegaan, dat er op basis van deze duikspoelaandrijving een 3Dscanmachine gemaakt moet worden. Voor deze machine is het TIMEX systeem het meest geschikt. Dit regelsysteem kan dan ook het beste voor deze experimentele aandrijving worden aangeschaft om zo alvast ervaring te krijgen met het regelsysteem.
76
Bibliografie [1] A.J.Compton. Basic elektromagnetism and its applications. Chapman an Hall, London, 1990. [2] Charles Belove, editor. Handbook of modern electronics and elecricalengineering. Johnwiley & sons, New York, 1986. [3] John Borwick. Loudspeaker and headphone handbook. Butterworths, London, 1988. [4] Richard C. Dorf, editor. The electrical engineering handbook. IEEE press, CRC press, 1993. [5] Morris Driels. Linear control systems engineering. McGraw-Hill internationl editions, 1996. [6] Donald G. Fink, editor. Standard handbook for elecrical engineers. Hwoyne Beaty, 12 edition, 1987. [7] Arthur Gelb, editor. Applied Optimal Estimation. THE M.LT. PRESS, 1974. [8] G.James. Modern engineering mathematics. Addison-Wesley Publishing company. [9] Steffen Log. Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs, volume Deel B. Nijgh en Van Ditmar Educatief, Zoetermeer, 1990. [10] R.G.Carter. Elecromagnetism for electronic engineers. Van Nostrand Reinhold (International), London, 1989. [11] P.C.J.N. Rosielle, editor. Constructieprincipes 1. TUE, 1996. [12] J. van Gemerden. Technische informatie voor werktuigbouwkundigen. Starn Techniek, 5 edition, 1993. [13] William P. Crummett Arthur B. Western. UNIVERSITY PHYSICS Models and Applications. Wm. C. Brown Publishers, 1994. [14] Karl-Heinz Kuettuer Wolfgang Beitz. Doppel Taschenbuch fuer den Maschinenbau. Springer, Berlin, 1995. [15] M. McCaig W.Wright. Permanent magnets. Oxford University Press, 1977.
77
Bijlage A Korte beschrijving van de gebruikte "Vergeet-me-nietjes" uit de balken theorie
Voor het doorrekenen van de bladveren uit hoofdstuk 3 is er gebruik gemaakt van de balken theorie. Hierin wordt uitgegaan van het elastisch vervormen van de balkdelen. Ais basis formule geldt de volgende vergelijking:
dB dx
EI Mx
(A.l)
Deze differentiaal vergelijking is voor vele beiastingsgevallen uitgerekend en opgenomen in verschillende technische informatie naslagwerken [12]. In deze situatie wordt aIleen gebruik gemaakt van belastingen door krachten en door momenten. Bij een belasting van de balk door een moment wordt de oplossing van de differentiaal vergelijking als voIgt: MI (A.2)
=
Ml 2 2EI
(A.3)
Hierin is
(A A) En voor de zakking: Fl 3 fJ = 3EI
(A.5)
Deze formules zijn ook te gebruiken bij samengestelde balken, zoals die voorkomen bij de verdikte bladveren uit hoofdstuk 3. In figuur A.I is een schematische voorstelling te zien van de krachten en momenten verdeling op een balk, als hij in drie delen is geknipt. Dit I
Figuur A.I: Een in drieen verdeelde balk met een Fen M belasting. komt voor, als men een verdikte bladveer gebruikt. De uiteinden van de bladveer zijn dan dunner dan het midden stuk. Hierdoor verandert het traagheidsmoment lover de lengte van de balk. In het geval van aIleen een belasting door een moment, dus F = 0, hoeft bij deze samenstelling aIleen het zogenoemde kwispeleffect extra te worden mee genomen. De vergelijking wordt dan ook als voIgt:
61
Ml 1 -E 1I 1 Ml 21 2E1I 1 Ml 2
62
61 +
63
Ml 2 l 62 +
Mh
+ E 313
(A.6)
Door nu de vergelijkingen van A.6 in elkaar in te vullen wordt vergelijking A.7 gevonden. 6 = M(E
1 l
l2
1
l2
1
l2
lt (~ + l2 l1 + l3 l 1) + E 1 (~ + l3 l2) + E 1 (;)) 33
22
(A.7)
In het geval van een belasting door een kracht moet zoals te zien is in figuur A.I er ook rekening worden gehouden met het moment, dat de kracht op het uiteinde van de balk veroorzaakt. M
M+Fl 3 M + F(l2
+ l3)
(A.B)
Bij een belasting aIleen door een kracht is M = O. Hiermee zijn nu de verschillende deel vergelijkingen te maken om de zakking aan het uiteinde van de balk te berekenen.
MIlt 11
Fli 11
= - +2E -E I I
61 CP2
MIL? Fl~ 2E1 I 1 3E1 I 1 M 2l2 Fl~ CPl + E 212 + 2E212
--+--
M2l~
Fl~
+ CPl l2 + 2E212 + 3E2h
62
61
CP3
Fl 32 CP2 + 2E313
63
62
Fl3
+ CP2 l3 + 3E3~3
(A.9)
Door nu de vergelijkingen uit A.9 in te vullen ontstaat de vergelijking A.I0 voor de totale zakking aan het uiteinde van de balk.
(A.I0)
III
Bijlage B Verschillende MATLAB programma's voor berekeningen aan bladveren en magneet systemen
Voor het doorrekenen van bladveren heb ik twee programma's geschreven. Een programma zoekt naar optimale lengte dikte verhoudingen. Ret andere programma berekent aan de hand van de ingevoerde bladveer geometrie de stijfheden en spanningen in de bladveer en vergelijkt deze met een niet verdikte bladveer. Ret programma bveer2. m voert een iteratief proces uit op de bladveer geometrie om een juiste bladveer te berekenen. Als invoer heeft het programma de gewenste maximale buigspanning en de gewenste stijfheid nodig. De lengte-breedte verhouding, de verhouding tussen het dikke en dunne gedeelte van de bladveer en het gewicht van de constructie, die aan de bladveer hangt, zijn de belangrijkste parameters van het programma. Dit programma gebruikt de volgende routines voor het berekenen van de stijfheden en spanningen: buigstf1.m Deze functie berekent de buigstijfheid van de bladveer. Dit gebeurt met behulp van vergelijking 3.7 uit hoofdstuk 3, waarbij de formule is uitgebreid om hem te kunnen gebruiken met verdikte bladveren. trekspn1.m Deze functie berekent de buigspanning in de bladveer volgens de formules uit paragraaf 3.2.2. Ret programma bveer3. m berekent alle stijfheden en spanningen en eigenfrequenties van de bladveer. Als invoer voor het programma dient de geometrie van de bladveer, de trekbelasting, de gewenste uitbuiging eh de dichtheid van het materiaal. Ret programma vergelijkt de gevonden uitkomsten met die, die gelden bij een onverdikte bladveer. Ret programma gebruikt de volgende routines bij het berekenen van de stijfheden en spanningen.
v
buigstfl.m
Deze funetie berekent de buigstijfheid van de bladveer. Deze berekening wordt uitgevoerd met behulp van vergelijking 3.7 uit hoofdstuk 3, waarbij de formule is uitgebreid om hem te kunnen gebruiken met verdikte bladveren. afstf1.m Deze funetie berekent de afsehuifstijfheid van de bladveer bij belasting in de Y-riehting van de bladveer. Deze funetie gaat er van uit, dat de inklemming van de bladveer mee vervormt. Deze stijfheid wordt berekend met formule 3.8 uit hoofdstuk 3, waarbij de formule is uitgebreid om hem te kunnen gebruiken met verdikte bladveren. afstf2.m Deze funetie berekent de afsehuifstijfheid van de bladveer bij belasting in de Y-riehting van de bladveer. Deze funetie gaat er van uit, dat de inklemming van de bladveer niet mee vervormt. Deze stijfheid wordt berekend met formule 3.9 uit hoofdstuk 3, waarbij de formule is uitgebreid om hem te kunnen gebruiken met verdikte bladveren. momstf 1. m Deze funetie berekent de stijfheid van de bladveer, als hij door een moment wordt belast. trekstfl. m Deze funetie berekent de trekstijfheid van de bladveer. Dit gebeurt met behulp van de vergelijking uit hoofdstuk 3, waarbij deze vergelijking is uitgebreid om hem te kunnen gebruiken met verdikte bladveren. trekspnl .m Deze funetie berekent de buigspanning in de bladveer volgens de formules uit paragraaf 3.2.2. De magneten voor de bewegende spoel systemen zijn met het programma magneet 1 .m uitgerekend. De spoelen voor dit magneet systeem zijn vervolgens met het programma spoel1 .m berekend. Beide programma's gebruiken als invoer de geometrie van de spleet en de gewenste B-veld sterkte. Bij de spoel berekening wordt ook nog de gewenste kraeht gebruikt.
VI
Bijlage C Beschrijving van de uitgevoerde simulaties
Om het gedrag van de duikspoel aandrijving te kunnen beoordelen zijn er simulaties door mij uitgevoerd. Deze simulaties zijn gedaan met behulp van MATLAB 4.2 en de CONTROL en de SIMULINK toolbox. De resultaten zijn gebruikt in hoofdstuk 4 om het magneet systeem dynamisch te kunnen beoordelen en in hoofdstuk 5 om de kwaliteit van de modellen te beoordelen en de regelparameters te berekenen. Met behulp van de simulaties zijn de grootte van de optredende krachten, stromen en spanningen in het systeem bepaald als mede de frequentie responsie. Voor de bepaling van de optredende krachten, stromen, spanningen en verplaatsingen in de aandrijving zijn de differentiaal vergelijkingen die het gedrag beschrijven numeriek opgelost. Dit is gedaan met de routine ode45 die bij MATLAB wordt geleverd. Dit is een numerieke integratie routine voor de eenvoudige vergelijkingen en modellen van maximaal 5e orde. En met een eigen Runge-Kutta methode voor het vergelijken van het gedrag van de aandrijving met de verschillende modellen. De werking van de gebruikte Runge-Kutta methode wordt uitgelegd in bijlage F. Met deze gegevens zijn de maximaal optredende stromen en spanningen bepaald. Hiermee is vervolgens de bijbehorende krachten en verplaatsingen bepaald. Voor de berekeningen aan de frequentie responsie is gebruik gemaakt van de mogelijkheden van MATLAB om in het s-domein te rekenen. Ais men namelijk het gewenste systeem kan opschrijven als Laplace-transformatie, zoals bijvoorbeeld vergelijking 5.10 uit hoofdstuk 5, kan men met standaard functies binnen de CONTROL toolbox van MATLAB de responsie van het systeem uitrekenen. Dit kan de responsie zijn op een stap, impuls of iedere andere functie. Ook is het mogelijk om Bode-diagrammen, die de relatie tussen de frequentie van het ingangssignaal en de amplitude en fase van het uitgangssignaal weergeven, samen te stellen. De resultaten over de amplitudeverhouding bij het maken van een Bode-diagram worden door MATLAB niet op een genormaliseerd. Een probleem bij het werken in het s-domein is dat het minder geschikt is voor berekeningen aan niet lineaire systemen en meerdere graden van vrijheid. Daarom kon voor het maken van de Bode-diagrammen het wervelstroom verlies en de stijfheid van de spoel niet meegenomen worden. Om de sterkte en de vorm van het magneetveld te bepalen kan men het magneetsysteem met behulp van een eindige elementen pakket simuleren. Binnen de groep EMV is daar
VII
veel ervaring in en kan men de statische effecten op het magneetveld goed simuleren. De dynamische effecten zoals wervelstromen zijn echter veel moeilijker te simuleren. De heer J.L.F. van der Veen kan hier meer over vertellen.
VIII
Bijlage D De stijfheid van de spoel
In deze bijlage wordt de afleiding en de berekening van de stijfheid van de spoel nader toegelicht. Een stroom voerende geleider in een magneetveld levert een kracht op de vaste wereld. Deze Lorentz-kracht ontstaat in de doorsnede van de geleider als een spanning. Deze spanning loopt zowel in de lengte als in de richting loodrecht op de stroom en het magnetischveld. Ret krachtsverloop over de doorsnede van de geleider is bij een rechthoekige doorsnede bij benadering lineair van nul tot de Lorentz-kracht. In figuur D.l is dit aangegeven. Zoals te F F \0\_
~~: -=~~ , FI -+ ~
o
~ -~
-J- - I
~~_
//
I I I
I I I
I I I
//
I
I
I
~~ ~
X I I I
..
.~~,'~~~,,,~~
B
Figuur D.l: De Lorents-kracht verloop op een spoel met een laag. zien is in figuur D.l is de krachtsverloop een lineaire functie. Dit is een benadering aangezien door het skin-effect en andere effecten de stroom niet homogeen over de draaddoorsnede is verdeeld. De verdeling is ook niet lineair als het magneetveld om de spoel niet homogeen is. En deze kracht verdeling is ook niet lineair als de draad niet over homogene eigenschappen IX
beschikt en de doorsnede niet rechthoekig is. Onder deze aanamen is de kracht verdeling weI lineair. Ais men kijkt naar de kracht die van rechts naar links op de buitenkant van de draden werkt is dit steeds een veelvoud van de Lorentz-kracht die door een wikkeling wordt opgewekt. Door deze verhoging van de kracht in iedere wikkeling worden de verschillende draden niet het zelfde belast en dus ook niet het zelfde vervormd. In figuur D.2 wordt het verschil tussen het vervormen van de wikkeling door een grate kracht op de eerste laag en door een kracht verloop.
1 F=o
F~ =
Ftot
Figuur D.2: Vervorming van rechthoekige doorsneden onder verschillende belastingen. Ais men uitgaat van figuur D.2.2 dan geldt vergelijking D.l tot D.9 voor de vervorming van de draden. Voor de verkorting van de hele stapel met hoogte l en n lagen van het zelfde type draad geldt: l~z
li
+ tlli
(D.l)
n
If
2:l~
(D.2)
i=l If
n
n
2: li + 2: tll i
If
Voor een draad met stijfheid
Cdraad
n(li
+ tlli )
(D.4)
geldt dan:
(D.5)
n F
x
(D.3)
i=l
i=l
(D.6)
Voor het totaal geldt nu: [
F
n
Cdraad
n(-+
['
)
n·F
['
(D.7) (D.8)
[+-Cdraad
Voor de stijfheid van de gehele constructie geldt nu vergelijking D.9.
Ctotaal =
Cdraad
(D.9)
n
Nu kan men het voorgaande ook op de iets ingewikkelder situatie van figuur D.2.3 loslaten. Ret belangrijkste verschil is dat de kracht per draad anders is. Uit figuur D.l is op te maken dat de kracht over een doorsnede lineair toeneemt als men het systeem homogeen verondersteld. Op de totale doorsnede van de eerste draad werkt dan vschijnbaar de helft van de kracht die de draad levert. Dit geld enkel als men het kracht verloop en de draad vervorming kan vereenvoudigen, doordat de draad homogeen vervormt en het kracht verloop homogeen wordt opgebouwd. Men krijgt dan de situatie in figuur D.3 vergelijk dit figuur ook met figuur D.l. Met deze vereenvoudiging is op de voorgaande manier de F Fmox
x
~
//
•.•/ /
",
0:
~
/
~
!L
Figuur D.3: Een vereenvoudigd verloop van de krachten op de spoel. vervorming en de stijfheid van de spoel te berekenen. Voor deze berekening gaat men uit van een spoel met een laag wikkelingen zoals aangegeven is in figuur D.3 en figuur D.2.3. De totale kracht is dan: F max
= n· FLorentz
(D.lO) XI
De vervorming van de draad is nu: '
(D.ll)
n Rt
(D.12) (D.13)
l'
(D.14)
In dit geval is de kracht F niet gelijk voor iedere draad dus heeft hij de index F i gekregen. Nu geldt het volgende voor de kracht als men hem volgens figuur D.3 vereenvoudigt:
Fi
= Fmax (i _ ~) n
2
(D.15)
Voor het totaal geldt nu het volgende: n
~]li
l'
+ ~li)
(D.16)
i=l n
['
1
R
~(~ + Cdr~ad)
['
1+
f
~(i- ~)
i=l
Cdraad
['
1+
=
Fmax n . Cdraad
f(i - ~)2
(D.17) (D.18) (D.19)
i=l
Hiermee is dan de stijfheid te berekenen voor de spoel met een laag draden:
Fmax Cspoel
(D.20)
[' - [
Fmax Cspoel
F max n,Cdraad
Cspoel
C spoel
-
L~
t=l
(i - !) 2
Fmax . n· Cdraad Fmax . L~=l (i - ~) n· Cdraad L~=l(i - ~)
(D.21) (D.22) (D.23)
Als men een spoel heeft met m lagen draden met in iedere laag n draden dan wordt de spoel m keer stijfer dan de spoel met een laag draden. Dit leidt tot vergelijking D.24 deze vergelijking het het zelfde als vergelijking 4.16 uit hoofdstuk 4. m· n· Fmax
Cspoel
XII
= L~t=l (.Z _ !) 2
(D.24)
Ret voorgaande geldt natuurlijk enkel voor een stijf op gewikkelde spoel. Als de draden van de spoel los kunnen komen en weer later botsen dan gedraagd de spoel zich niet lineair. Enkel als de spoel stijf gewikkeld is en opgesloten zit tussen de randen van het wikkeIlichaam geldt relatie D.24. Als laatste van deze bijlage zuIlen de randvoorwaarden die gebruikt zijn bij de afleiding nog een keer worden genoemd. 1. De krachtopbouw loopt lineair over de draaddoorsnede.
2. 3. 4. 5. 6.
AIle draden hebben de zelfde krachtopbouw. De draad vervormt homogeen over de hele doorsnede. De draden liggen in lagen stijf tegen elkaar aan. Vervormingen loodrecht op de as van de spoel worden niet verhinderd. De draden kunnen niet los van elkaar komen. Ook niet als het teken van de kracht wisselt.
XIII
Bijlage E Lagrange afleiding van het 2 dof systeem
In deze bijlage wordt de afleiding van vergelijking 5.14 uit hoofdstuk 5 besproken. De basis vergelijking van de Lagrange methode is vergelijking E.lo
8T,q vt
Q=~-T,q+V,q
(E.1)
--
In figuur E.1 is een model gegeven van de eonstruetie van de reehtgeleiding met de inverende spoel. De index 1 duidt op de onderdelen van de rechtgeleiding en de index 2 wijst op de onderdelen van de spoel. De vector 9.. bevat de twee vrijheidsgraden van het systeem. De vrijheidsgraad u is de beweging van de spoel van uit de rust toestand in de horizontale x-riehting. De vrijheidsgraad x is de verplaatsing van de rechtgeleiding enzo van de meetinstrumenten vanuit de rusttoestand in de x-riehting. (E.2) Met deze twee vrijheidsgraden is het systeem door te rekenen. Rier volgen dan de uitgewerkte Lagrange vergelijkingen: 1
.2
1 .2 + -m2U 2
T
-mIX
V
1 2 1 (u - x ? -kIx + -k 2
2 2
(E.3)
(E.4)
2
/// /'
/;// /
/
~/ /:/
M1
M2
F
d2 U
Figuur E.1: Ret model van het systeem met de stijfheid van de spoel.
xv
T,q
(E.5)
b(T,q) M
(E.6) (E.7)
(E.8) De twee dempingskrachten zijn: Fdl
= dIx
(E.g)
Nu is de gegeneraliseerde krachtvector Q te berekenen:
Q Q Q =
[ - :;~ ~
;d2 ]
(E.I0)
[ -dIx - d2 (x - it) ] D 2 (x - it) + F
(E.11)
[-dId~ d !~2] (~ )+ ( ~ )
(E.12)
2
Hiermee is dan de bewegingsvergelijking op te stellen met de matrix M ais massamatrix, de matrix DaIs dempingsmatrix en de matrix K ais de stijfheidsmatrix. M ~ + D~ + K 9.. = F
(E.13)
Door vergeIijking E.l in te vullen is vergeIijking E.13 te maken. Het resuitaat hiervan is te vinden in vergeIijking E.14. [
ml
o
0] ij +
m2
-
[ dl + d2 -d 2
-d2 ] q + d2 -
[ k l + k 2 -k2] q = ( 0 ) - k2
kz
-
F
(E.14)
Met vergeIijking E.14 is het gedrag van de spoel en de rechtgeleiding te beschrijven. Hiervoor moeten weI enkele parameters worden gewijzigd. Bij de spoel is de spoel zowel massa ais stijfheid. Effectief beweegt er maar de helft van de massa van de spoel. Dit Ieidt tot het volgende: ml
1
= msysteem + 2mspoel 1 mz
=
2mspoel
(E.15) (E.16)
De parameter d l is de demping van de rechtgeleiding en dz is de demping van de spoel. k l staat voor de stijfheid van de rechtgeleiding en k z staat voor de stijfheid van de spoel. In bijiage D wordt een afleiding gegeven om de stijfheid van de spoel te berekenen. Met deze wijziging wordt vergelijking E.14 geIijk aan 5.14. XVI
Bijlage F Het aantal benodigde instructies
In hoofdstuk 5 is een regeling voor de duikspoel aandrijving voorgesteld. Deze regeling moet in een bepaalde tijd worden uitgevoerd om snel genoeg het systeem bij te kunnen sturen. Bij een analoge regeling hoeft men zich hier geen zorgen over te maken de berekeningen worden onmiddelijk en allemaal tegelijkertijd uitgevoerd. De analoge regeling wordt enkel begrensd door de toelaatbare bandbreedte van het ingangssignaal. Bij een digitale regeling worden de berekeningen echter achter elkaar en met discrete tijdstappen uitgevoerd. Om nu de mogelijke regelsnelheid te berekenen moet bekend zijn welke berekeningen uitgevoerd moeten worden. En moet ook bekend zijn welke instructies van het digitale verwerkingseenheid hiervoor nodig zijn. Ret aantal benodigde instructies en klok tikken per deel berekening is afhankelijk van welk type en merk digitale verwerkingseenheid gebruikt wordt. Daarom wordt eerst de regeling opgesplits in de verschillende berekeningsdelen om zo de totale berekeningstijd te berekenen. In de volgende paragraven is voor een aantal componenten van de regeling het aantal deel berekeningen uitgerekend. Door uit de verschillende tabellen het aantal deeI instructies op te tellen is het aantal deel berekeningen voor de regeling uit te rekenen. Door nu de documentatie van het digitale regelsysteem raad te plegen kan men achter halen hoeveel rekentijd de ontworpen regeling gaat kosten. Rierbij moet onthouden worden dat het uitlezen van het geheugen en de meet instrumenten ook een aantal instructies vraagt.
F .1 Ret Kalman-filter Als toestandschatter en ruis onderdrukker is er voor gekozen om een Kalman filter toe te passen. Voor het filter is gekozen om de continuetijd versie toe te passen. In tabel F.l worden aIle benodigde vergelijkingen gegeven voor het Kalman-filter [7]. Nu kan het aantal benodigde optellingen en vermenigvuldigingen worden berekend die nodig zijn om een Kalman-filter uit te voeren. In tabel F.2 zijn de benodigde optellingen en vermenigvuldigingen te vinden.
XVII
Tabel F.l: De vergelijkingen voor het continue Kalman filter met ruis Ret systeem model ±(t) = F(t);£(t) + G(t)w(t), w(t) r--J N(Q, Q(t)) Ret meet model Q(t) r--J N(Q, R(t)) ,?(t) = H(t);£(t) + Q(t), Toestands schatting ±(t) = F(t)~(t) + K(t)[;£(t) - H(t)~(t)] Fout covariantie p(t) = F(t)P(t) + P(t)FT(t) + G(t)Q(t)GT(t)
-K(t)R(t)KT(t) K(t) = P(t)HT(t)R-1(t)
Versterkings matrix
Tabel F.2: Ret aantal optellingen en vermenigvuldigingen die nodig zijn voor het Kalmanfilter. lengte vector ;£( t) =;. 2 n 3 Vergelijking .lJ. + * * + * + Toestands schatting 2n+n(n-l) 8 6 15 12 Fout covariantie 48 40 162 144 6n2 (n-l)+4n 2 Versterkings matrix 6 2 12 n(n-l) 6 Totaal 6n 2 (n-l )+4n 2 + 2n +2n(n-l) 62 48 189 162
F.2
N umerieke integratie.
Voor de numerieke integratie is gekozen om de Runge-Kutta methode toe te passen. Deze numerieke integratie methode staat beschreven in vele wiskunde boeken [8]. De vergelijkingen uit F.l geven de vierde orde Rung-Kutta methode. In deze vergelijkingen is f(x n,tn) de op te lossen differentiaal vergelijking.
Cl
t:.tf(t n, Xn)
C2
t:.tf(tn + 2"t:.t, Xn + 2" Cl)
C3
t:.tf(tn + 2"t:.t, Xn + 2" C2)
C4
t:.tf(t n + t:.t, Xn +
Xn+l
Xn +
1 6(Cl
1
1
1
1
+
2C2
+
C3) 2C3
+
C4)
(F.l)
In tabel F.3 wordt het aantal benodigde instructies gegeven voor het oplossen van verschillende orde differentiaal vergelijkingen. Bij deze tabel moet opgemerkt worden dat er geen optimalisaties zijn uitgevoerd. Bij de berekening van ~t:.t wordt dit in de praktijk niet steeds opnieuw uitgerekend, maar wordt dit maar een keer gedaan om vervolgens deze waarde steeds te hergebruiken. Hiermee kan weer een vermenigvuldiging worden bespaard. XVIII
Tabel F.3: Aantal berekening voor het oplossen van een 4e orde Runge-Kutta methode Orde functie
f
f doorrekenen Optellingen Vermenigvuldigingen
n
4n
1
(7+3n)n 10
(10+3n)n 13
26 48 76 306
32
9
4 8 12 16 36
10
40
370
16
64
880
2 3 4
57 88 333
400 928
F.3 De regelaar In de regelaar worden enkele eenvoudige verschillen bepaald tussen gemeten en/of berekende grootheden en de gewenste grootheden. Deze verschillen worden dan vermenigvuldigd met een regelparameter. In tabel FA zijn de benodigde rekeninstrukies te vinden voor het door rekenen van de regelaar. Tabel FA: Aantal instructies die de regelaar gebruikt. orde regelaar n
1 2 3 4
optellingen vermenigvuldigingen n (n-l)+n 1 1 2 3 3 5 4 7
XIX
