IMPULZUS, MUNKA, ENERGIA A mozgások leírása, a jelenségek értelmezése szempontjából fontos fogalmak.
Impulzus ( lendület), impulzus megmaradás •
Az impulzus definíciója:
m tömegű, v sebességgel mozgó testre:
I m v
v
m
Az impulzus vektormennyiség, a sebesség irányába mutat. •
Newton II. törvénye felírható az impulzus segítségével:
F m a m
dv
dt
d dI m v dt dt
A newtoni klasszikus mechanikában a mozgó test tömege időben állandó, így:
dv d F m v m dt dt
Az erő az impulzus idő szerinti első deriváltja.
•
Impulzus tétel:
F
Az erő az impulzus idő szerinti első deriváltja:
dI
dt
Az impulzus vektor megváltozása az erő irányába mutat. •
Erőlökés:
Definíció: ha a testre
ideig F erő hat:
Fdt dI I 0
erőlökés
A •
időtartamra vett erőlökés egyenlő a
I2
2
I1
I1
Impulzus változás
idő alatt bekövetkezett impulzusváltozással.
Impulzus megmaradás tétele:
F0
dI esetén
dt
0
I állandó
Ha a testre nem hat erő, vagy a testre ható erők eredője nulla, a test impulzusa nagyság és irány szerint állandó.
Munka, munkatétel, energia Az erőhatás során gyakran elmozdulás történik, ez munkavégzéssel jár. A munka definíciója első közelítésben: az erő és az erő irányába eső elmozdulás szorzata:
W F s
m2 m W N m kg 2 m kg 2 s s
Mértékegysége:
F
A munka számértéke az F(s) görbe alatti területtel
W F *S
egyenlő.
s Speciális eseteken keresztül vizsgáljuk, majd általánosítunk.
a, Az
erő nagysága állandó, és az elmozdulás az erő irányába történik:
F
F
s
Az F erő munkája s úton ebben az esetben:
F áll.
F ll s
W F s
b. Az erő nagysága állandó, de az elmozdulás nem az erő irányába történik: F=áll.
Az erő és az elmozdulás vektorok által bezárt szög
Fp F cos
Fm F sin
s •
Csak az elmozdulással párhuzamos erőkomponens végez munkát: A munka ebben az esetben:
•
W Fp s F s cos
Az elmozdulásra merőleges erőkomponens a testet emeli:
N mg F sin
A talajra ható nyomóerő:
A munka általános definíciója: az erő és az elmozdulás vektor skalárszorzata:
W (F s )
( F s ) (F s) cos
c. Az erő nagysága a mozgás során nem állandó.
Példa: a rugóerő Lineáris erőtörvény:
F( x) D x
Az erő az elmozdulás lineáris függvénye. Grafikus ábrázolással:
F
Elemi munkát számítunk: Az x hely kis környezetében az erő állandónak vehető.
Fx
Kis
x megnyúlás során az elemi munka:
W F(x) x x
x
x
Aminek számértéke közelítőleg a szaggatott piros trapéz területe.
W W Kétféleképpen is kiszámolható: A görbe alatti terület (háromszög)
Az integrálás szabályai szerint
W Wi D x x
W W
i
Ha DXo
x
W
1 D x 02 2
0
Az integrálás szabályai szerint:
x2 x dx 2
Xo
1 1 W (D x 0 ) x 0 Dx 02 2 2
i
W D x dx
1 D x2 2
W
1 D x 02 2
x0
0
x0 0
1 D x02 0 2
trapéz: az ábrán két háromszög területének különbsége:
W
F
1 1 D x22 D x12 2 2
Integrálással ugyanezt az eredményt kapjuk:
Dx 2 W D x dx x2
Dx 1
x1
x1
x2
1 D x2 2
x2 x1
1 D x22 x12 2
X
•A rugó megnyújtása során végzett munkát visszakapjuk, ha megszűnik az erőhatás. A rugó munkát végez. Az x hosszúságban megnyújtott rugóban energia tárolódik : helyzeti (potenciális) energia.
A változó erő munkája általánosan:
W Fd s
Skalár szorzat
Ha ismerjük az erő-elmozdulás függvény konkrét alakját, akkor a függvény elmozdulás szerinti integrálja adja a munkát. Mi az eredménye a testen történő munkavégzésnek?
A test energiához jut.
Speciális példán keresztül vizsgáljuk, majd általánosítunk. Mozgási energia, munkatétel Példa: egyenletesen gyorsuló mozgás Számítsuk ki, mennyi munkát végzünk, amíg egy testet állandó erővel felgyorsítunk adott v sebességre!
v
t A sebesség egyenletesen változik.
F állandó
F ma
a állandó
W=F*S
Legyen kezdetben is sebesség:
v
v0 •A megtett út a v-t görbe alatti terület (trapéz):
s
•A gyorsulás meghatározása a pillanatnyi sebesség ismeretében:
v0 t •
v0 vt t 2
A befektetett munka kiszámítása:
•Az
vt v0 a vt v0 at t v v erő: F ma m t 0 t
vt v0 vt v0 m vt m v02 W F s m t Em t 2 2 2 2
•
Mozgási energia definíciója adott sebességű mozgás esetén:
A befektetett munka megváltoztatja a test mozgási energiáját:
m v2 Em 2
W Em
Munkatétel: •
W Em
A munkavégzés eredménye a test mozgási energiájának megváltozása:
E m E vég E kez det i •
Több erő esetén az összes erő munkájának összege egyenlő a test mozgási energiájának megváltozásával:
Wösszes Emozg
A nehézségi erő munkája, helyzeti energia
A két pont között több úton is lehet menni, három lehetőséget mutatunk az ábrán:
B 2 3
1
h h 2 h1
A
h1
mg
1
F
mg
h2
F mg
A testet állandó, a nehézségi erővel azonos nagyságú erővel emeljük, így gyorsulása nulla, állandó sebességgel mozog. Az erő elmozdulást hoz létre, így munkavégzés is történik. A test sebessége nem változik, mozgási energiát nem nyer. Mire fordítódik a nehézségi erő munkája? A h elmozdulás vektor és az mg nehézségi erő ellentétes irányú.
Számítsuk ki, hogy a mozgás során a nehézségi erő mekkora munkát végzett! A számításhoz használjuk a 2-es jelű, legrövidebb utat!
A
Az elemi munkát ezen elmozdulásokra felírva:
W F s F sp F sm
mg
A merőleges elmozdulással számított skaláris szorzat értéke nulla, mivel
F sm 0
A párhuzamos elmozdulás esetén:
180
o
cos(180o ) 1
F s p W ( F s p ) A mínusz előjel jelentése: az erő és az elmozdulás ellentétes irányú. Munkavégzés csak az erő irányába való elmozduláskor történik.
90o
A teljes munkavégzés A-tól B-ig:
F=mg
B
B
A
A
WAB W mg s p mg h Mivel a merőleges elmozdulások összege a h szintkülönbség:
B
s
p
h
A
h2
Általánosan:
WAB
h F ds mg hh12 mgh2 mgh1 mgh h1
A nehézségi erő által végzett munka a h szintkülönbségtől függ. Az összes lehetséges görbére ugyanezt a számolást meg lehet tenni, a nehézségi erő munkája a két pont között ugyanakkora lesz, nem függ az úttól, csak a h elmozdulástól. h magasságra való emeléskor a nehézségi erő által végzett munka:
WAB mg h A nehézségi erő munkája csak a test helyzetétől függ, a test helyzeti energiára tesz szert.
Eh mgh
Konzervatív erő fogalma A nehézségi erő munkája független az úttól, nagysága csak a kezdeti és a végállapottól függ! Az ilyen erőket konzervatív erőknek nevezzük.
Ha a példánkban a testet visszavisszük B-ből A-ba: A nehézségi erő iránya nem változik, az elmozdulás vektor iránya viszont igen: most az elmozdulás vektor és a nehézségi erő egyirányú lesz. A nehézségi erő munkája ebben az esetben:
WBA mgh
Egy teljes körbemozgatáskor tehát a gravitációs erő összes munkája nulla lesz.
WAB WBA mgh mgh 0 A testnek h magasságban helyzeti (potenciális) energiája van. A helyzeti energia fogalma csak konzervatív erők esetén értelmezhető.
Általánosítva: Konzervatív erő zárt görbe mentén végzett munkája nulla:
Fds 0
Példa nem konzervatív erőre: Súrlódási erő
F Fs
F
Fs 1
s
2
Az (s) elmozdulás és az (Fs) súrlódási erő iránya ellentétes. A súrlódási erő s úton végzett munkája:
Ws12 Fs s
Fordítsuk meg a mozgásirányt, vigyük a testet vissza. A súrlódási erő iránya is megváltozik, most is ellentétes lesz az elmozdulással!
Fs 1
Fs 2
s
A súrlódási erő munkája most is:
Ws 21 Fs s
A súrlódási erő munkáját zárt görbére kiszámítva:
Ws 21 Ws12 2(Fs s) 0 Zárt görbe mentén a súrlódási erő munkája nem nulla! A súrlódási erő nem konzervatív, a helynek nincs kitüntetett szerepe.
Mechanikai energia megmaradása Egy test a gravitációs erő hatására szabadon esik. v1 kezdősebességgel dobjunk le egy testet az 1-es pontból. Írjuk fel a munkatételt az 1. és a 2. pont között! A nehézségi erő és az elmozdulás most azonos irányú.
1 A munkatétel szerint:
2
1 2
Az egyenletet átrendezve:
Em Wneh
m v22 12 m v12 mg h2 h1
1 1 m v22 mgh2 m v12 mgh1 2 2
1 m v 2 mgh állandó 2 Konzervatív erők hatása alatt mozgó test esetén a mozgási és helyzeti energiák összege a mozgás során állandó.
E mozg E h állandó
A mechanikai energia megmaradásának tétele csak konzervatív erők esetén igaz.
A gravitációs erő munkája általánosan
m1m2 r F12 2 r r
Mekkora a gravitációs erő munkája, ha az m tömegű testet a Föld felszínén lévő A pontból a B pontba visszük? Változó erő munkáját kell számolnunk, a Newton féle gravitációs törvény alapján. A gravitációs erő irány és nagyság szerint is változik, így a erő és az elmozdulás vektor skalárszorzatát kell integrálnunk. r b
WAB Fgr dr ra
B m MF 1 dr m M F 2 r r rA rA
rB
WAB WAB
E pot
m MF r
1 1 dr r2 r
r
m MF m MF rb ra
A potenciális energia definíciója
A gravitációs erő munkája a test helyzeti (potenciális) energiájának megváltoztatására fordítódik.
Ha a B pontot a végtelenben helyezzük el, akkor
1 1 0 rb
A helyzeti energia értéke a végtelenben nulla. Ebben az esetben a munkavégzés :
WA
m M ra
Ez a kifejezés megadja az m tömegű test helyzeti energiájának értékét az A pontban a végtelenhez képest.
A gravitációs erőtérben a helyzeti energia értéke negatív.
Eh
m M r
A mechanikai energia megmaradásának tétele segítségével a második kozmikus sebesség meghatározható.
Második kozmikus sebesség: szökési sebesség Mekkora az a legkisebb sebesség, amivel a műhold már éppen elhagyja a Föld gravitációs erőterét? (A végtelenbe érve már ne legyen sebessége.) A gravitációs erő konzervatív, mechanikai energia megmaradást lehet használni. A végtelenben a helyzeti energia és a mozgási energia is nulla. A Föld felszínén:
E h ,F
mM RF
A mechanikai energia megmaradása miatt:
E m,F
1 2 mv sz 2
E h , F E m,F 0
1 mM 2 m v sz 0 2 RF
1 mM 2 m v sz 2 RF
v sz 2g R 11
km s
v sz 2 v kör 20
Műholdpályák különböző vízsztintes kezdősebességek esetén 1. Egyenes pálya szabadesés: 2. Ellipszis pályák
vv 0
a=g
0 vv 8
km s
Távolabbi fókuszban van a Föld
3. Körpálya: körsebesség: vv 8
4. Ellipszis pályák
8
km s
km km vv 11 s s
Közelebbi fókuszban van a Föld 5,6. Hiperbola pályák: szökési sebesség: v a műhold elhagyja a Föld gravitációs terét.
km v 11 s 21
Példa más konzervatív erőre: rugóerő Felhasznált összefüggések:
E mozg
1 mv 2 2
Eh
1 Dx 2 2
Emozg Eh állandó Dinamikából:
F ma Dx ma D x a m
Kinematikából
x A sin t
v Acos t
a A2 sin t
A kinematikai függvényeket behelyettesítve a dinamikai alapegyenletbe a következő összefüggést kapjuk:
2 D m
2 T
D m
T 2
m D
A mozgás során a kitérés és a is sebesség változik. Írjuk fel a mechanikai energia megmaradásának tételét rugóerő által mozgatott test esetére! •
Helyettesítsük be az ismert függvényeket v és x helyére:
1 1 1 1 mv 2 Dx 2 mA 22 cos2 (t ) DA 2 sin 2 (t ) 2 2 2 2 •
Felhasználva, hogy:
m2 D
cos2 (t) sin 2 (t) 1
1 1 1 1 mv 2 Dx 2 DA 2 (cos2 t sin 2 t ) DA 2 2 2 2 2 Az A amplitúdó és a D direkciós erő a mozgás során állandó, nem függ sem a kitéréstől sem a sebességtől, sem az időtől. Igazoltuk, hogy a mozgás során a mechanikai energia állandó.
