IMPLEMENTASI MODEL DINAMIK NELSON SIEGEL PADA PERAMALAN YIELD TO MATURITY SKRIPSI

UNIVERSITAS INDONESIA

IMPLEMENTASI MODEL DINAMIK NELSON SIEGEL PADA PERAMALAN YIELD TO MATURITY

SKRIPSI

SITI FATIMAH 1006673821

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JUNI 2014

UNIVERSITAS INDONESIA HALAMAN JUDUL

IMPLEMENTASI MODEL DINAMIK NELSON SIEGEL PADA PERAMALAN YIELD TO MATURITY

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains

SITI FATIMAH 1006673821

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JUNI 2014

ii

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

Skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk telah saya nyatakan dengan benar.

Nama

: Siti Fatimah

NPM

: 1006673821

Tanda Tangan

:

Tanggal

: 25 Juni 2014

iii

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi ini diajukan oleh Nama NPM Program Studi Judul Skripsi

: Siti Fatimah : 1006673821 : Matematika : Implementasi Model Dinamik Nelson Siegel pada Peramalan Yield to Maturity

Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indonesia

DEWAN PENGUJI

Pembimbing I

: Dra. Bevina Desjwiandra H M.Sc., Ph.D. (

)

Pembimbing II

: Drs. Gatot Fatwanto Hertono M.Sc., Ph.D. (

)

Penguji I

: Fevi Novkaniza S.Si., M.Si

(

)

Penguji II

: Mila Novita S.Si., M.Si

(

)

Ditetapkan di

: Depok

Tanggal

: 25 Juni 2014

iv

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur kepada Allah SWT yang atas rahmat dan petunjuk-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, dari masa perkuliahan sampai pada penyusunan skripsi ini, sangatlah sulit bagi penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Dra. Bevina Desjwiandra H M.Sc., Ph.D. selaku Pembimbing I yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini. Terima kasih juga untuk nasehat dan dukungan yang telah diberikan. 2. Drs. Gatot Fatwanto Hertono M.Sc., Ph.D. selaku Pembimbing II yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini. Terima kasih juga untuk nasehat dan dukungan yang telah diberikan. 3. Dra. Siti Aminah M.Kom selaku Pembimbing Akademik yang telah menjadi ibu kedua bagi penulis selama empat tahun masa perkuliahan di Departemen Matematika. 4. Bapak Alhadi, Bapak Alhaji, Bapak Arie, Ibu Dhian, Bapak Djati, Ibu Fevi, Bapak Frederik, Ibu Ganijanti, Ibu Harini, Bapak Hendri, Bapak Hengki, Ibu Ida, Bapak Iman, Ibu Mila, Ibu Nora, Ibu Rahmi, Ibu Rianti, Ibu Rustina, Ibu Sarini, Ibu Sasky, Ibu Sri, Ibu Suarsih, Bapak Suryadi MT, Ibu Titin, Ibu Upi, Ibu Widyastuti, Bapak Yasman, Bapak Yudi, Bapak Zuherman, dan seluruh dosen Matematika UI yang namanya tidak dapat disebutkan satu persatu. Terima kasih atas semua ilmu dan nasihat yang telah diberikan. Mohon maaf untuk semua kesalahan yang telah penulis perbuat. 5. Seluruh keluarga besar penulis, terutama Bapak, Mama, Mamas dan adikadik penulis yang telah telah memberikan semangat, doa, nasihat, dan segala jenis bantuan lain baik yang terlihat maupun yang tidak terlihat.

v

6. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan RI yang telah memberikan dukungan pembiayaan selama penulis menjalani kuliah di Matematika UI hingga penyelesaian skripsi ini melalui Program Beasiswa Bidik Misi. 7. Seluruh staf dan karyawan Matematika UI atas semua bantuan yang telah diberikan. 8. Sahabat bimbingan (Ani, Ena, Citra) dan sahabat tercinta (Bella, Ichus, Rima, Siway, Tasya, Yusnia) untuk semua kenangan indah tak terlupakan, dan dukungan serta semangat yang telah dibagi kepada penulis selama menjalani kuliah dan skripsi di Matematika UI. 9. Teman-teman angkatan 2010 (Choliq, Denny, Adhimas, Marsel, Mujahid, Andion, April, Bagia, Barry, Bethany, Chacha, Cicha, Dewi, Dian Fathyah, Dini, Dwi, Evi, Evita, Fariz, Fikri, Widya Ami, Imam, Nuel, Lina, Mario, Gita, Dinul, Ihsan, Pohan, Novi, Nurul, Oryza, Pino, Danny, Meta, Rahmi, Puput, Resha, Reza, Rio, Rizky, Yuza, Timoth, Yiyi, Yudis, Yumni, Anatashya, Aileen, Bernard, Elvin, Mia, Dian, Ganesha) atas semua bantuan, dukungan, semangat, canda tawa, dan kenangan indah yang telah dibagi kepada selama penulis menjalani kuliah di Matematika UI. 10. Kakak-kakak aslab dan asdos (Kak Yanuar, Kak Ayat, Kak Indra, Kak Luthfa, Kak Maimun, Kak Hendri, Kak Dian, Kak Ana, Kak Eja, Kak Azki, Kak Kemal, Kak Rani). Terima kasih untuk semua ilmu yang telah diberikan. 11. Kakak-kakak angkatan 2006, 2007, 2008, 2009, serta teman-teman angkatan 2011, 2012, dan 2013 atas doa, bantuan, dan dukungan yang telah diberikan. 12. Seluruh pihak yang telah mendukung dan membantu penulis baik langsung maupun tak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan namanya satu persatu. Akhir kata, saya berharap Allah swt berkenan membalas segala kebaikan semua pihak yang telah membantu. Semoga skripsi ini membawa manfaat bagi pengembangan ilmu dan mohon maaf bila ada kekurangan.

Depok, Juni 2014 Penulis

vi

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama NPM Program Studi Departemen Fakultas Jenis karya

: Siti Fatimah : 1006673821 : Sarjana Matematika : Matematika : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam : Skripsi

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif(Non-exclusive Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul: Implementasi Model Dinamik Nelson Siegel pada Peramalan Yield to Maturity beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia/format-kan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di: Depok Pada tanggal: 25 Juni 2014 Yang menyatakan

(Siti Fatimah)

vii

ABSTRAK

Nama Program Studi Judul

: Siti Fatimah : Matematika : Implementasi Model Dinamik Nelson Siegel pada Peramalan Yield to Maturity

Model Dinamik Nelson Siegel adalah model curve fitting yang digunakan untuk memodelkan yield to maturity dari obligasi-obligasi dengan waktu jatuh tempo yang beragam. Implementasi dilakukan dalam tiga langkah. Pertama, estimasi parameter 𝜆𝑡 dengan metode Newton-Raphson berdasarkan himpunan waktu jatuh tempo yang digunakan. Menentukan 𝜆𝑡 yang meminimumkan rata-rata RMSE dimana estimasi parameter 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 diperoleh dengan metode OLS periode per periode. Langkah kedua, proses fitting kurva yield menggunakan estimasi parameter pada model Dinamik Nelson Siegel. Terakhir, menggunakan 𝑡 hasil estimasi parameter {𝛽̂1𝑘 , 𝛽̂2𝑘 , 𝛽̂3𝑘 }𝑘=1 dan memodelkannya ke model autoregressive orde satu, AR(1), untuk memperoleh peramalan yield to maturity waktu 𝑡 + ℎ. Hasil implementasi pada obligasi Bank of Canada menunjukkan, RMSE dan peramalan kurva yield pada model Dinamik Nelson Siegel dengan proses updating memberikan hasil yang cukup baik dalam meramal out of sample yield to maturity untuk waktu jatuh tempo kurang dari 10 tahun. Kata Kunci xiv + 81 halaman Daftar Pustaka

: dinamik nelson siegel, yield to maturity, autoregressive : 26 gambar dan 6 tabel : 22 (1987-2012)

viii

Universitas Indonesia

ABSTRACT

Name Study Program Title

: Siti Fatimah : Mathematics : Implementation of Dynamic Nelson Siegel Model on the Forecasting Yield to Maturity

The dynamic Nelson Siegel model is a curve fitting model to describe yield to maturity of bonds with varying maturities. There are three steps to implement this model. First, is to estimate 𝜆𝑡 by using Newton-Raphson method based on maturities set. Determine 𝜆𝑡 that minimizing the average RMSE, in which the parameter of 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 are obtained by using OLS for each periods. Second, is to fit the yield curve based on Dynamic Nelson Siegel’s parameter estimations. The last step, is to obtain yield to maturity forecasting at 𝑡 + ℎ by 𝑡 using estimations of {𝛽̂1𝑘 , 𝛽̂2𝑘 , 𝛽̂3𝑘 }𝑘=1 and model it into the first-ordered autoregressive model, AR (1). The implementation on Bank of Canada bonds show that RMSE and yield curve forecasting on updating method in Dynamic Nelson Siegel model is capable to forecast out of sample yield to maturity, especially for maturities less than 10 years. Keywords xiv + 81 pages Bibliography

: dynamic nelson siegel, yield to maturity, autoregressive : 26 pictures and 6 tables : 22 (1987-2012)

ix


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL............................................................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv KATA PENGANTAR ............................................................................................ v HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ............................................................. vii ABSTRAK ........................................................................................................... viii ABSTRACT ........................................................................................................... ix DAFTAR ISI ........................................................................................................... x DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xii DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiv BAB 1 PENDAHULUAN ...................................................................................... 1 1.1. Latar Belakang ......................................................................................... 1 1.2.

Perumusan Masalah dan Ruang Lingkup ................................................. 4

1.3.

Tujuan Penelitian ...................................................................................... 4

1.4.

Metode Penelitian ..................................................................................... 4

BAB 2 LANDASAN TEORI .................................................................................. 5 2.1. Obligasi .................................................................................................... 5 2.1.1.

Pengertian Obligasi dan Peringkat Obligasi ..................................... 5

2.1.2.

Obligasi Berkupon Nol ..................................................................... 7

2.2.

Tingkat Bunga .......................................................................................... 7

2.3.

Konsep Runtun Waktu ............................................................................. 9

2.3.1.

White Noise ..................................................................................... 11

2.3.2.

Model Autoregressive Orde Satu .................................................... 12

2.3.3.

Model Random Walk ....................................................................... 14

2.3.4.

Uji Unit Root ................................................................................... 15

2.3.5.

Proses Peramalan ............................................................................ 16

2.4. Polinomial Laguerre................................................................................... 20 2.5. Metode Numerik ......................................................................................... 21 2.5.1. Metode Ordinary Least Square .......................................................... 22 2.5.2. Metode Newton-Raphson ................................................................... 23 BAB 3 MODEL DINAMIK NELSON SIEGEL .................................................. 26 3.1. Model Nelson-Siegel .............................................................................. 26 3.2.

Model Dinamik Nelson Siegel ............................................................... 32

3.3.

Estimasi Parameter Model Dinamik Nelson Siegel ............................... 34

3.4.

Proses Peramalan Model Dinamik Nelson Siegel .................................. 37 x


xi

BAB 4 IMPLEMENTASI MODEL DINAMIK NELSON SIEGEL ................... 40 4.1. Data ........................................................................................................ 41 4.2.

Implementasi Model Dinamik Nelson Siegel......................................... 44

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................ 65 5.1. Kesimpulan ............................................................................................. 65 5.2.

Saran ....................................................................................................... 65

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 67 LAMPIRAN .......................................................................................................... 69


DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Grafik polinomial Laguerre untuk 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝐝𝐚𝐧 𝟒 ................. 21 Gambar 3.1 Grafik faktor pengali model instantaneous forward rate Nelson Siegel dengan 𝝀𝒕 = 𝟏/𝟑 , 𝝀𝒕 = 𝟏, dan 𝝀𝒕 = 𝟑 ............................... 29 Gambar 3.2 Grafik faktor pengali model Nelson Siegel dengan 𝝀𝒕 = 𝟏/𝟑 , 𝝀𝒕 = 𝟏, dan 𝝀𝒕 = 𝟑 ................................................................................... 31 Gambar 3.3 Pengaruh level, slope, dan curvature pada kurva yield ..................... 34 Gambar 4.1 Skema implementasi Model Dinamik Nelson Siegel ........................ 40 Gambar 4.2 Kurva Yield dari 4 April 2012 - 22 Januari 2013 .............................. 42 Gambar 4.3 Output Matlab: Statistik deskriptif yield to maturity dari 4 April 2012 -22 Januari 2013 ............................................................................... 43 Gambar 4.4 Output Matlab: statistik deskriptif dari estimasi 𝜷𝟏𝒕, 𝜷𝟐𝒕, dan 𝜷𝟑𝒕 dengan 𝝀 = 𝟎. 𝟕𝟏𝟕𝟑 pada 4 April 2012 - 22 Januari 2013 ............. 46 Gambar 4.5 Hubungan nilai 𝝀 dengan rata-rata RMSE pada 4 April 2012 - 22 Januari 2013 ..................................................................................... 47 Gambar 4.6 Perbandingan kurva yield berdasarkan rata-rata data in sample dan rata-rata kurva yield model Dinamik Nelson Siegel dengan 𝝀 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏, 𝝀 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟖𝟕, 𝐝𝐚𝐧 𝝀 = 𝟎. 𝟕𝟏𝟕𝟑 .......................................... 48 Gambar 4.7 Output Matlab: statistik deskriptif dari taksiran 𝜷𝟏𝒕, 𝜷𝟐𝒕, dan 𝜷𝟑𝒕 dengan 𝝀 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟖𝟕 pada 4 April 2012 - 22 Januari 2013 ............. 49 Gambar 4.8 Fitting rata-rata data in sample dan rata-rata kurva yield berdasarkan model Dinamik Nelson Siegel dengan 𝝀 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟖𝟕 pada 4 April 2012 - 22 Januari 2013 ..................................................................... 50 Gambar 4.9 Fitting kurva yield data sebenarnya dan berdasarkan model Dinamik Nelson Siegel dengan 𝝀 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟖𝟕 pada 30 April 2012, 23 Agustus 2012, 5 November 2012, dan 22 Januari 2013................................. 51 Gambar 4.10 Output Matlab: statistik deskriptif dari residual model Dinamik Nelson Siegel dengan 𝝀 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟖𝟕 pada 4 April 2012 - 22 Januari 2013 .................................................................................................. 52 Gambar 4.11 Output Matlab: Uji unit root pada {𝜷𝟏𝒕, 𝜷𝟐𝒕,𝜷𝟑𝒕} ........................ 53 Gambar 4.12 Grafik korelogram ACF dan PACF {𝜷𝟏𝒕}, {𝜷𝟐𝒕}, dan {𝜷𝟑𝒕} ....... 53 Gambar 4.13 Grafik fitting {𝜷𝟏𝒕}, {𝜷𝟐𝒕}, dan {𝜷𝟑𝒕} berdasarkan model AR(1) dan berdasarkan model Dinamik Nelson Siegel .............................. 54 Gambar 4.14 Grafik residual, korelogram ACF dan PACF secara berturut-turut dari model AR(1) untuk {𝜷𝟏𝒕}, {𝜷𝟐𝒕}, dan {𝜷𝟑𝒕} .......................... 55 Gambar 4.15 Output Matlab: Uji-t pada residual model AR(1) untuk {𝜷𝟏𝒕}, {𝜷𝟐𝒕}, dan {𝜷𝟑𝒕} ............................................................................. 55 Gambar 4.16 Perbandingan rata-rata data out of sample dan rata-rata kurva yield berdasarkan peramalan model Dinamik Nelson Siegel pada 23 Januari 2013 sampai 19 April 2013 ................................................. 57 Gambar 4.17 Perbandingan data out of sample dan berdasarkan peramalan model Dinamik Nelson Siegel pada 12 Februari 2013, 7 Maret 2013, 28 Maret 2013, dan 19 April 2013 ........................................................ 58 xii


xiii

Gambar 4.18 Fitting {𝜷𝟏, 𝒕 + 𝒉}, {𝜷𝟐, 𝒕 + 𝒉}, dan {𝜷𝟑, 𝒕 + 𝒉} antara data out of sample dengan hasil peramalan AR(1) untuk 𝒉 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟔𝟎 ........ 59 Gambar 4.19 Fitting {𝜷𝟏, 𝒕 + 𝒉}, {𝜷𝟐, 𝒕 + 𝒉}, dan {𝜷𝟑, 𝒕 + 𝒉} antara data out of sample dengan hasil peramalan AR(1) dengan updating dan tanpa updating untuk 𝒉 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟔𝟎 ....................................................... 61 Gambar 4.20 Perbandingan rata-rata data out of sample dan rata-rata kurva yield berdasarkan peramalan model Dinamik Nelson Siegel dengan updating dan tanpa updating ............................................................ 62 Gambar 4.21 Perbandingan data out of sample dan rata-rata kurva yield berdasarkan peramalan model Dinamik Nelson Siegel dengan proses updating dan tanpa updating pada 12 Februari 2013, 7 Maret 2013, 28 Maret 2013, dan 19 April 2013 ................................................... 63 Gambar 4.22 Ouput Matlab: Perbandingan statistik deskriptif residual dan RMSE hasil peramalan yield to maturity dengan proses updating dan tanpa proses updating pada data out of sample.......................................... 64


DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Peringkat obligasi yang dikeluarkan Standard & Poor’s Rating ............ 6 Tabel 4.1 Data yield to maturity dari 4 April 2012 -19 April 2013 ...................... 41 Tabel 4.2 Hasil estimasi parameter 𝜷𝟏𝒕, 𝜷𝟐𝒕, dan 𝜷𝟑𝒕 dari 4 April 2012 -19 April 2013 dengan 𝝀 = 𝟎. 𝟕𝟏𝟕𝟑 .................................................................... 45 Tabel 4.3 Hasil estimasi parameter 𝜷𝟏𝒕, 𝜷𝟐𝒕, dan 𝜷𝟑𝒕 dari 4 April 2012 -19 April 2013 dengan 𝝀 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟖𝟕 .................................................................... 49 Tabel 4.4 Output SPSS: Uji-t pada residual model AR(1) untuk {𝜷𝟏𝒕}, {𝜷𝟐𝒕}, dan {𝜷𝟑𝒕} .................................................................................................... 56 Tabel 4.5 Hasil estimasi parameter 𝜷𝟏, 𝒕 + 𝒉, 𝜷𝟐, 𝒕 + 𝒉, dan 𝜷𝟑, 𝒕 + 𝒉 berdasarkan updating AR(1) dan estimasi OLS pada data out of sample .............................................................................................................. 60

xiv


BAB 1 PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Investasi adalah komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lainnya yang dilakukan pada saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah keuntungan di masa datang (Tandelilin, 2010). Investasi dapat dilakukan pada aset real (tanah, emas, mesin, atau bangunan) maupun aset finansial (deposito, saham, atau obligasi). Bagi investor yang belum berani dengan risiko tinggi, obligasi dapat dijadikan salah satu aset yang cukup baik karena dapat memberikan pendapatan yang relatif tetap (berupa kupon obligasi) dan keuntungan akibat adanya perbedaan harga jual dan beli dari obligasi (capital gain). Obligasi merupakan surat utang jangka menengah – panjang yang dapat dipindahtangankan, berisi janji dari pihak yang menerbitkan untuk membayar imbalan berupa bunga pada periode tertentu dan melunasi pokok utang pada waktu yang ditentukan kepada pihak pembeli obligasi tersebut. Karakteristik obligasi berupa nilai nominal (face value), kupon (interest rate), jatuh tempo (maturity), dan penerbit atau emiten (issuer). Nilai nominal adalah nilai pokok dari suatu obligasi yang akan diterima oleh pemegang obligasi pada saat obligasi tersebut jatuh tempo. Kupon adalah nilai bunga yang diterima pemegang obligasi secara berkala yang dinyatakan dalam persentase tahunan. Sedangkan jatuh tempo adalah tanggal dimana pemegang obligasi akan mendapatkan pembayaran kembali nilai pokok atau nilai nominal obligasi yang dimilikinya. (www.idx.co.id) Berdasarkan Tandelilin (2010), strategi dalam pengelolaan obligasi terdiri dari pendekatan pasif, aktif, dan campuran keduanya. Strategi pasif didasari oleh pemikiran bahwa pasar berada dalam kondisi yang efisien, sehingga harga-harga sekuritas di pasar sudah ditentukan secara tepat dengan nilai intrinsiknya (nilai teoritisnya). Pada strategi ini investor akan membeli obligasi dan menyimpannya untuk beberapa waktu tertentu. Sedangkan strategi aktif didasari oleh keinginan investor untuk mendapatkan pendapatan diluar pendapatan tetap (kupon), yakni 1


2

kesempatan untuk mendapatkan return yang lebih besar dari capital gain. Pada strategi ini, investor akan mengestimasi perubahan tingkat bunga atau mengidentifikasi obligasi yang harganya tidak sesuai dengan nilai intrinsik sebenarnya (undervalued atau overvalued). Pemilihan strategi yang akan digunakan bergantung pada preferensi risiko, pengetahuan tentang pasar obligasi, dan tujuan dari investasi yang ingin dicapai investor. Investor dapat memperkirakan kemungkinan adanya risiko gagal bayar (default risk) kupon maupun nilai pokok berdasarkan peringkat (rating) penerbit obligasi. Peringkat obligasi adalah opini objektif berisi kemampuan penerbit obligasi untuk melakukan pembayaran kupon dan nilai pokok secara penuh dan tepat waktu (www.standardandpoors.com). Salah satu lembaga pemeringkat obligasi internasional adalah Standard & Poor’s, sedangkan di Indonesia salah satunya adalah PT Pefindo. Lembaga Standard & Poor’s menentukan peringkat tingkat risiko kredit dengan rentang AAA sampai D. Penerbit dengan peringkat AAA memiliki kemampuan yang sangat kuat untuk memenuhi komitmen keuangannya. Sedangkan D adalah peringkat terendah, dimana penerbit pernah mengalami gagal bayar atas satu atau lebih dari komitmen keuangannya. Dalam memperkirakan harga obligasi, investor juga harus memperhatikan imbal hasil (yield). Yield adalah tingkat return yang diterima dari investasi (Kellison, 2009). Terdapat beberapa ukuran yield obligasi, seperti nominal yield, current yield, yield to maturity, yield to call, dan realized (horizon) yield (Tandelilin, 2010). Salah satu ukuran yield yang sering digunakan adalah yield to maturity. Yield to maturity adalah tingkat bunga sebenarnya yang akan diterima investor, dengan asumsi obligasi akan terus dipertahankan sampai waktu jatuh tempo (Kellison, 2009). Hubungan yield to maturity dengan waktu jatuh tempo digambarkan dalam kurva yield yang dibangun dari obligasi dengan rating penerbit yang sama atau obligasi dengan tingkat likuiditas yang sama (Choudhry, 2006). Sebagai contoh, kurva yield tidak akan digunakan untuk menggambarkan obligasi pemerintah dan perusahaan secara bersamaan, karena keduanya memiliki tingkat risiko dan likuiditas yang berbeda.


3

Pada tahun 1987, Charles Nelson dan Andrew Siegel mempublikasikan artikel berjudul ‘Parsimonious Modeling of Yield Curves’ yang bertujuan memperkenalkan model yield curve sederhana yang dapat menggambarkan perbedaan bentuk kurva yield, seperti bentuk monoton, humped, atau bentuk S. Kemudian Diebold dan Li (2006) mengembangkan model kurva yield NelsonSiegel dengan menginterpretasikan tiga parameter model sebagai faktor-faktor yang terkait dengan level, slope, dan curvature. Setelah itu, dilakukan estimasi model autoregressive menggunakan parameter-parameter tersebut dan peramalan yield. Metode ini dikenal sebagai Dinamik Nelson-Siegel (DNS). Diebold, Rudebusch, dan Aruoba (2006) menggunakan pendekatan model state space untuk mengestimasi tiga faktor pada model DNS sebelumnya. Kemudian pada tahun 2011, Yu dan Zivot membandingkan performa model DNS Diebold dan Li dengan model DNS Diebold, Rudebusch, dan Aruoba menggunakan obligasi pemerintah US (treasury) dan sembilan jenis obligasi perusahaan dengan peringkat yang berbeda. Hasil penelitian menunjukkan bahwa pada obligasi jangka pendek (short-term horizon) model DNS Diebold dan Li memiliki keakuratan yang lebih baik dalam peramalan data sampel (out-of-sample forecast) treasury dan obligasi dengan peringkat AAA, AA, dan A+. Sedangkan model DNS Diebold, Rudebusch, dan Aruoba memiliki performa terbaik pada obligasi dengan peringkat A-, BB+, BB-, B, dan B. Pada skripsi ini dilakukan studi kasus pada obligasi Bank of Canada, dimana berdasarkan Standard & Poor’s, obligasi Canada berada dalam peringkat AAA. Berdasarkan penelitian Yu dan Zivot (2011) model yang tepat untuk meramal obligasi Bank of Canada adalah model DNS Diebold dan Li. Sehingga, pada skripsi ini model DNS Diebold dan Li (selanjutnya disebut model Dinamik Nelson Siegel) akan digunakan untuk mengaproksimasi yield to maturity dari obligasi Bank of Canada.


4

1.2. Perumusan Masalah dan Ruang Lingkup

Rumusan masalah dalam skripsi ini adalah bagaimana hasil peramalan yield to maturity menggunakan model Dinamik Nelson Siegel. Ruang lingkup permasalahan dalam skripsi ini adalah data yang digunakan adalah data yield to maturity (YTM) dari obligasi Bank of Canada berkupon nol (zero coupon bond) dari April 2012 sampai Juni 2013 dengan kategori waktu jatuh tempo lebih dari tiga kategori. Proses peramalan menggunakan model autoregressive orde satu dan keakuratan ditentukan berdasarkan RMSE (Root Mean Squared error).

1.3. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut: a) Mengimplementasikan model Dinamik Nelson Siegel pada obligasi Bank of Canada b) Menganalisis hasil peramalan yield to maturity menggunakan model Dinamik Nelson Siegel pada obligasi Bank of Canada.

1.4. Metode Penelitian

Penelitian dilakukan melalui studi pustaka dan membangun simulasi implementasi model Dinamik Nelson Siegel menggunakan perangkat lunak Matlab.


BAB 2 LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai obligasi, tingkat bunga, konsep runtun waktu, metode Ordinary Least Square, dan metode Newton-Raphson. Pada subbab 2.1 dibahas mengenai definisi obligasi dan peringkat obligasi. Selanjutnya akan dibahas mengenai perhitungan harga obligasi berkupon nol. Pada subbab 2.2 dibahas mengenai pengertian tingkat bunga secara umum dan jenis-jenis tingkat bunga. Pada subbab 2.3 dibahas mengenai konsep runtun waktu yang akan digunakan dalam proses peramalan pada model Dinamik Nelson Siegel. Pada subbab ini akan dibahas mengenai kestasioneran data runtun waktu dan model runtun waktu yang akan digunakan pada Bab 3, yakni model white noise, dan autoregressive orde satu, AR(1). Kemudian akan dibahas mengenai pengujian kestasioneran data runtun waktu. Terakhir akan dibahas mengenai proses peramalan berdasarkan model runtun waktu AR(1). Pada subbab 2.4 dibahas mengenai polinomial Laguerre, yang nantinya akan digunakan dalam pembentukkan model Dinamik Nelson Siegel. Pada subbab 2.5 akan dibahas mengenai metode Ordinary Least Square dan metode NewtonRaphson yang akan digunakan dalam mengestimasi parameter dalam model Dinamik Nelson Siegel.

2.1. Obligasi

2.1.1. Pengertian Obligasi dan Peringkat Obligasi Obligasi merupakan surat utang jangka menengah – panjang yang dapat dipindahtangankan, berisi janji dari pihak yang menerbitkan untuk membayar imbalan berupa bunga pada periode tertentu dan melunasi pokok utang pada waktu yang ditentukan kepada pihak pembeli obligasi tersebut (www.idx.co.id). 5


6

Pada umumnya, obligasi dilunasi pada akhir periode yang tetap. Periode waktu yang tetep ini disebut jangka waktu obligasi dan akhir dari jangka waktu obligasi disebut waktu jatuh tempo (maturity date). Suatu obligasi sebelum ditawarkan kepada calon investor, terlebih dahulu diperingkat oleh lembaga pemeringkat. Salah satu lembaga pemeringkat obligasi internasional adalah Standard & Poor’s, sedangkan di Indonesia salah satunya adalah PT Pefindo. Menurut Tandelilin (2010) terdapat tiga komponen utama yang digunakan oleh lembaga pemeringkat untuk menentukan peringkat (rating) obligasi. Pertama adalah kemampuan penerbit untuk memenuhi kewajiban finansialnya sesuai dengan yang diperjanjikan. Kedua adalah struktur dan berbagai ketentuan yang diatur dalam surat utang. Ketiga adalah perlindungan yang diberikan maupun posisi klaim dari pemegang surat utang tersebut jika terjadi pembubaran/likuiditas serta hukum lainnya yang mempengaruhi hak-hak kreditur. Tabel 2.1 merupakan peringkat obligasi yang dikeluarkan Standar & Poor’s. Tabel 2.1 Peringkat obligasi yang dikeluarkan Standard & Poor’s Rating Peringkat Keterangan AAA Sangat kuat untuk memenuhi komitmen keuangan. Peringkat tertinggi AA Sangat kuat untuk memenuhi komitmen keuangan. Kuat untuk memenuhi komitmen keuangan, tetapi agak rentan A terhadap perubahan lingkungan dan kondisi keuangan. BBB Memadai untuk memenuhi komitmen keuangan. Agak lemah untuk memenuhi komitmen keuangan dan menghadapi BB ketidakpastian kondisi keuangan serta ekonomi. Lemah untuk memenuhi komitmen keuangan dan rentan terhadap B perubahan kondisi keuangan serta ekonomi. Rentan dan tergantung pada keadaan bisnis,kondisi keuangan dan CCC ekonomiyang baik untuk memenuhi komitmen keuangan. CC Sangat rentan. C Sangat rentan dan menghadapai ketidakpastian kondisi ekonomi. Mengalami gagal bayar atas sebagian atau keseluruhan komitmen D keuangannya. Pada peringkat dari 'AA' sampai 'CCC' dapat dimodifikasi dengan tambahan tanda plus (+) dan minus (-) untuk menunjukkan kekuatan relatif dalam kategori peringkat


7

Pada penelitian ini akan digunakan obligasi berkupon nol, sehingga pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai obligasi berkupon nol.

2.1.2. Obligasi Berkupon Nol

Obligasi berkupon nol merupakan bentuk sekuritas pendapatan tetap paling sederhana. Pada obligasi ini, penerbit menjanjikan pembayaran nilai nominal dari utang kepada pembeli obligasi pada waktu obligasi tersebut jatuh tempo dan tidak ada pembayaran kupon selama obligasi tersebut berlaku. Sehingga obligasi ini diterbitkan dibawah nilai nominal dan termasuk ke dalam instrumen diskon (pembayaran bunga dilakukan di awal). Harga obligasi akan terus naik dan ketika mencapai waktu jatuh tempo akan sama dengan nilai nominalnya. Untuk struktur bunga tanpa risiko, misalkan 𝑃𝑡 (𝜏) merupakan harga obligasi pada saat 𝑡 dengan waktu jatuh tempo 𝜏, 𝐹 merupakan nilai nominal dari obligasi, dan 𝑦𝑡 (𝜏) merupakan tingkat yield continuous compounded yang diperoleh pada saat 𝑡 dengan waktu jatuh tempo 𝜏. Maka harga obligasi berkupon nol (Fabozzi, 2005) didefinisikan sebagai 𝑃𝑡 (𝜏) = 𝐹𝑒 −𝑦𝑡(𝜏) 𝜏 . Tingkat yield dari obligasi sering kali disebut sebagai yield to maturity, yakni tingkat bunga sebenarnya yang akan diterima investor dengan asumsi obligasi tersebut akan terus dipertahankan sampai waktu jatuh tempo. Berdasarkan persamaan di atas, besarnya harga obligasi dipengaruhi oleh tingkat bunga yang berlaku pada obligasi tersebut. Oleh karena itu, pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai tingkat bunga.

2.2. Tingkat Bunga

Bunga merupakan kompensasi yang dibayarkan oleh peminjam modal kepada pemilik modal atas pemakaian modal oleh peminjam. Sedangkan tingkat bunga merupakan perbandingan antara besarnya bunga dengan besarnya modal Universitas Indonesia

8

yang dipinjam. Dinamika tingkat bunga yang bergantung pada waktu jatuh tempo pembayaran pinjaman disebut struktur suku bunga berjangka (term structure of interest rate). Term structure of interest rate juga dapat diartikan sebagai hubungan antara tingkat bunga dan periode investasi. Grafik yang menggambarkan hubungan ini disebut kurva yield. Umumnya, pada kurva yield semakin lama periode investasi maka akan semakin besar yield yang akan diperoleh. Kurva yield ini merupakan kurva yang kontinu, walaupun pada kenyataannya yield pada obligasi berupa titik yang diskrit. Sehingga untuk mendapatkan kurva yang kontinu diperlukan proses interpolasi. Tingkat bunga yang berlaku pada kurva yield sering disebut sebagai spot rates. Spot rate adalah tingkat bunga yang berlaku untuk dana yang dipinjam pada saat ini hingga masa jatuh tempo. Fabozzi (2005) mendefinisikan spot rate 𝑦𝑡 (𝜏) pada waktu 𝑡 dengan waktu jatuh tempo 𝜏 sebagai yield to maturity dari obligasi berkupon nol dengan nilai nominal 𝐹 = 1 sebagai

𝑦𝑡 (𝜏) = −

log

𝑃𝑡 (𝜏) 𝐹

𝜏

=−

log 𝑃𝑡 (𝜏) . 𝜏

Sehingga diperoleh persamaan 𝑃𝑡 (𝜏) = 𝑒 −𝜏 𝑦𝑡(𝜏)

(2.1)

dimana 𝑃𝑡 (𝜏)

: harga obligasi pada saat 𝑡 dengan waktu jatuh tempo 𝜏

𝑦𝑡 (𝜏)

: yield yang akan diterima pada saat 𝑡 dengan waktu jatuh tempo 𝜏. Selain spot rate, dalam tingkat bunga juga dikenal istilah forward rate.

Forward rate merupakan besarnya yield yang diharapkan terjadi di masa depan. Berdasarkan Fabozzi (2005) forward rate 𝑓𝑡 (𝜏1 , 𝜏2 ) didefinisikan sebagai 𝑓𝑡 (𝜏1 , 𝜏2 ) =

1 𝑃𝑡 (𝜏1 ) log 𝜏2 − 𝜏1 𝑃𝑡 (𝜏2 ) Universitas Indonesia

9

dimana 𝑓𝑡 (𝜏1 , 𝜏2 )

: tingkat bunga yang berlaku pada saat 𝑡 + 𝜏1 sampai 𝑡 + 𝜏2 , yang besarnya ditentukan pada saat 𝑡 (0 ≤ 𝜏1 ≤ 𝜏2 )

𝑃𝑡 (𝜏𝑖 )

: harga obligasi pada saat 𝑡 dengan waktu jatuh tempo 𝜏𝑖 .

Instantaneous forward rate merupakan forward rate yang berlaku untuk periode waktu yang sangat singkat (𝜏2 → 𝜏1 ) 𝑓𝑡 (𝜏1 ) = lim 𝑓𝑡 (𝜏1 , 𝜏2 ) 𝜏2 →𝜏1

1 𝑃𝑡 (𝜏1 ) log 𝜏2 →𝜏1 𝜏2 − 𝜏1 𝑃𝑡 (𝜏2 )

= lim

= lim − 𝜏2 →𝜏1

=−

log 𝑃𝑡 (𝜏2 ) − log 𝑃𝑡 (𝜏1 ) 𝜏2 − 𝜏1

𝜕 log 𝑃𝑡 (𝜏1 ). 𝜕𝜏1

Dengan mensubstitusi persamaan (2.1) ke dalam persamaan di atas akan diperoleh hubungan antara yield to maturity dan instantaneous forward rate 𝑓𝑡 (𝜏1 ) = − =

𝜕 log 𝑒 −𝜏1 𝑦𝑡(𝜏1 ) 𝜕𝜏1

𝜕 𝜏 𝑦 (𝜏 ). 𝜕𝜏1 1 𝑡 1

Dengan menggunakan teorema kalkukus 1 diperoleh 𝜏1

(2.2)

1 𝑦𝑡 (𝜏1 ) = ∫ 𝑓𝑡 (𝑥)𝑑𝑥. 𝜏1 0

2.3. Konsep Runtun Waktu

Besarnya harga obligasi dipengaruhi oleh besarnya yield, dimana yield ini seringkali mengalami perubahan dari waktu ke waktu. Perubahan yang tidak Universitas Indonesia

10

menentu ini merupakan ciri dari proses stokastik. Proses stokastik merupakan himpunan variabel random {𝑌(𝜔, 𝑡)} dengan 𝜔 anggota dari ruang sampel dan 𝑡 anggota dari himpunan indeks (Wei, 2006). Proses ini banyak digunakan untuk memodelkan sistem yang memuat ketidakpastian, dimana model deterministik tidak lagi sesuai untuk digunakan. Salah satu cara untuk menganalisis proses stokastik dapat menggunakan analisis runtun waktu. Metode analisis runtun waktu yang akan digunakan adalah dengan pendekatan Box-Jenkins. Dalam menganalisis runtun waktu dengan pendekatan ini diperlukan syarat kestasioneran. Kestasioneran terdiri dari dua jenis, yaitu stasioner kuat (strictly stationary) dan stasioner lemah (weakly stationary) (Cryer dan Chan, 2008). Suatu proses stokastik {𝑌𝑡1 , 𝑌𝑡2 , … , 𝑌𝑡𝑛 } atau {𝑌𝑡 : 𝑡 = 0, ±1, ±2, … . } disebut stasioner kuat (strictly stationary) jika distribusi bersama dari 𝑌𝑡1 , 𝑌𝑡2 , … , 𝑌𝑡𝑛 sama dengan distribusi bersama dari 𝑌𝑡1 −𝑘 , 𝑌𝑡2 −𝑘 , … , 𝑌𝑡𝑛−𝑘 untuk semua pilihan waktu 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 dan perbedaan waktu (lag) k. Sedangkan proses stokastik {𝑌𝑡 } disebut stasioner lemah (weakly stationary) apabila memenuhi 1. fungsi mean konstan sepanjang waktu, dan 2. fungsi otokovariansi hanya bergantung pada lag k, Pada pembahasan selanjutnya, proses stasioner yang dimaksud adalah stasioner lemah. Proses pengujian kestasioneran lebih lanjut akan dibahas pada subbab 2.3.4. Untuk proses stasioner {𝑌𝑡 }, fungsi mean didefinisikan sebagai 𝐸(𝑌𝑡 ) = 𝜇. Fungsi otokovariansi dari 𝑌𝑡 dan 𝑌𝑡−𝑘 didefinisikan sebagai 𝛾𝑘 = 𝐶𝑜𝑣(𝑌𝑡−𝑘 , 𝑌𝑡 ) = 𝐶𝑜𝑣(𝑌𝑡 , 𝑌𝑡+𝑘 ) dengan 𝐶𝑜𝑣(𝑌𝑡−𝑘 , 𝑌𝑡 ) = 𝐸[(𝑌𝑡−𝑘 − 𝜇)(𝑌𝑡 − 𝜇)] = 𝐸(𝑌𝑡−𝑘 𝑌𝑡 ) − 𝜇 2 . Otokovariansi adalah variansi bersama dari variabel yang sama. Sedangkan fungsi otokorelasi dari 𝑌𝑡 dan 𝑌𝑡−𝑘 didefinisikan sebagai Universitas Indonesia

11

𝜌(𝑡 − 𝑘, 𝑡) =

𝛾(𝑡 − 𝑘, 𝑡) √𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡−𝑘 )√𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 )

=

𝛾(𝑡, 𝑡 + 𝑘) √𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡−𝑘 )√𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 )

= 𝜌(𝑡, 𝑡 + 𝑘)

= 𝜌𝑘 . Otokorelasi adalah nilai yang menunjukkan kekuatan hubungan dari variabel yang sama. 𝛾𝑘 disebut sebagai fungsi otokovariansi dengan lag 𝑘 dan 𝜌𝑘 disebut sebagai fungsi otokorelasi dengan lag 𝑘. Fungsi otokorelasi ini digunakan dalam mengidentifikasi model runtun waktu melalui Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF). Untuk lebih jelas mengenai ACF dan PACF dapat dilihat pada Wei (2006). Analisis runtun waktu dengan pendekatan Box-Jenkins terdiri dari tiga tahap (Cryer dan Chan, 2008). Pertama adalah tahap identifikasi, yaitu berupa pemilihan model berdasarkan korelogram (plot antara nilai otokorelasi sampel dengan lag-nya) ACF dan PACF. Kedua adalah tahap fitting, yaitu berupa penentuan nilai parameter pada model yang dihasilkan dan pencocokkan model tersebut terhadap data pengamatan. Tahap terakhir adalah tahap diagnostik, pada tahap ini akan dicek ketepatan model yang dihasilkan. Salah satu tes yang dapat dilakukan adalah dengan mengamati apakah residual dari model merupakan white noise atau tidak.

2.3.1. White Noise

Suatu barisan {𝑎𝑡 } disebut proses white noise jika barisan tersebut merupakan barisan variabel random yang memiliki distribusi tertentu dengan mean konstan 𝐸(𝑎𝑡 ) = 𝜇𝑎 , biasanya diasumsikan bernilai nol, variansi konstan 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡 ) = 𝜎𝑎2 , dan fungsi otokovariansi 𝛾𝑘 = 𝐶𝑜𝑣(𝑎𝑡 , 𝑎𝑡+𝑘 ) = 0 untuk 𝑘 ≠ 0. Proses ini disebut Gaussian jika distribusi dari {𝑎𝑡 } normal (Wei, 2008). Berdasarkan definisi, proses white noise {𝑎𝑡 } merupakan proses stasioner dengan fungsi otokovariansi 𝛾𝑘 = {

𝜎𝑎2 , 0,

𝑘 = 0, 𝑘 ≠ 0,

(2.3) Universitas Indonesia

12

dan fungsi otokorelasi 𝜌𝑘 = {

1, 0,

𝑘 = 0, 𝑘 ≠ 0.

(2.4)

Pada subbab selanjutnya dibahas mengenai model autoregressive orde satu, yang nantinya akan digunakan dalam proses peramalan pada bab 3.

2.3.2. Model Autoregressive Orde Satu

Runtun waktu stasioner {𝑌𝑡 } dikatakan mengikuti model autoregressive orde satu, dinotasikan dengan AR(1), jika nilai saat ini dari runtun waktu 𝑌𝑡 dapat dinyatakan sebagai fungsi linier dari nilai satu periode waktu sebelumnya, 𝑌𝑡−1 , dan white noise, 𝑎𝑡 . Model AR(1) dengan 𝐸(𝑌𝑡 ) = 𝜇 dapat dinyatakan sebagai berikut (Wei, 2006): 𝑌𝑡 − 𝜇 = 𝜙(𝑌𝑡−1 − μ) + 𝑎𝑡 ,

(2.5)

dengan 𝑌𝑡

: pengamatan runtun waktu stasioner pada saat 𝑡

𝜇

: mean dari runtun waktu {𝑌𝑡 }

𝜙

: parameter model AR(1)

𝑎𝑡

: runtun white noise.

Diasumsikan bahwa 𝑎𝑡 saling bebas terhadap 𝑌𝑡−𝑘 untuk 𝑘 = 1,2, ….. Variansi dari model AR(1) untuk model pada persamaan (2.5) adalah 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝜇 + 𝜙(𝑌𝑡−1 − 𝜇 ) + 𝑎𝑡 ). Berdasarkan sifat variansi, maka akan diperoleh 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝜙(𝑌𝑡−1 − 𝜇) + 𝑎𝑡 ). Karena 𝑎𝑡 dan 𝑌𝑡−1 saling bebas maka persamaan di atas menjadi Universitas Indonesia

13

𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝜙𝑌𝑡−1 ) + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡 ) = 𝜙 2 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡−1 ) + 𝜎𝑎2 . Karena {𝑌𝑡 } merupakan runtun waktu stasioner maka 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡−1 ) 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) = 𝜙 2 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) + 𝜎𝑎2 (1 − 𝜙 2 )𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) = 𝜎𝑎2 𝜎𝑎2 𝑉𝑎𝑟(𝑌𝑡 ) = . (1 − 𝜙 2 ) Karena variansi nonnegatif, maka 1 − 𝜙 2 > 0, 𝜙 2 < 1 atau |𝜙| < 1. Pertidaksamaan |𝜙| < 1 merupakan syarat agar runtun waktu AR(1) stasioner. Variansi 𝑌𝑡 merupakan otokovariansi 𝑌𝑡 pada lag nol, dinotasikan dengan 𝛾0. Otokovariansi dari 𝑌𝑡 pada lag k, dinotasikan dengan 𝛾𝑘 adalah kovariansi antara 𝑌𝑡 dan 𝑌𝑡−𝑘 yang didefinisikan sebagai berikut: 𝛾𝑘 = 𝐶𝑜𝑣(𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−𝑘 ) = 𝐸[(𝑌𝑡 − 𝐸(𝑌𝑡 ))(𝑌𝑡−𝑘 − 𝐸(𝑌𝑡−𝑘 ))] = 𝐸[(𝑌𝑡 − 𝜇)(𝑌𝑡−𝑘 − 𝜇)] = 𝐸[(𝜇 + 𝜙(𝑌𝑡−1 − 𝜇) + 𝑎𝑡 − 𝜇)(𝑌𝑡−𝑘𝑙 − 𝜇)] = 𝐸[(𝜙(𝑌𝑡−1 − 𝜇) + 𝑎𝑡 )(𝑌𝑡−𝑘 − 𝜇)] = 𝜙𝐸[(𝑌𝑡−1 − 𝜇)(𝑌𝑡−𝑘 − 𝜇)] + 𝐸[𝑎𝑡 (𝑌𝑡−𝑘 − 𝜇)] = 𝜙𝛾𝑘−1 + 𝐸(𝑎𝑡 )𝐸[𝑌𝑡−𝑘 − 𝜇]. Karena 𝐸[𝑌𝑡−𝑘 ] = 𝜇 dan berdasarkan sifat ekspektasi maka akan diperoleh 𝛾𝑘 = 𝜙𝛾𝑘−1 + 𝐸(𝑎𝑡 ){𝐸(𝑌𝑡−𝑘 ) − 𝜇} 𝛾𝑘 = 𝜙𝛾𝑘−1 + 𝐸(𝑎𝑡 ){𝜇 − 𝜇} = 𝜙𝛾𝑘−1 . Untuk 𝑘 = 1, diperoleh 𝛾1 = 𝜙𝛾0 = 𝜙𝜎𝑎2 /(1 − 𝜙 2 ). Sehingga, secara umum nilai otokovariansi pada lag k adalah Universitas Indonesia

14

𝛾𝑘 = 𝜙 𝑘

𝜎𝑎2 = 𝜙 𝑘 𝛾0 , 𝑘 ≥ 1. (1 − 𝜙 2 )

Otokorelasi pada lag k, dinotasikan dengan 𝜌𝑘 , didefinisikan sebagai berikut : 𝜌𝑘 =

𝛾𝑘 𝜙 𝑘 𝛾0 = = 𝜙𝑘 , 𝛾0 𝛾0

𝑘 ≥ 1.

Dari persaman (2.5) dapat diperoleh persaman berikut 𝑌𝑡 = 𝜇(1 − 𝜙) + 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 . Jika 𝜃 = 𝜇(1 − 𝜙) maka akan diperoleh bentuk lain dari model AR (1) sebagai berikut 𝑌𝑡 = 𝜃 + 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 , 𝜃

dengan 𝐸(𝑌𝑡 ) = 𝜇 = 1−𝜙 , 𝜙 ≠ 1. 𝜃 merupakan konstanta pada model AR (1). Model AR hanya dapat digunakan untuk data runtun waktu yang stasioner. Namun pada kenyataannya, data runtun waktu seringkali berupa proses yang tidak stasioner. Sehingga diperlukan suatu cara untuk menstasionerkan data tersebut, salah satu caranya adalah transformasi pembedaan (differencing). Model paling sederhana dari proses yang tidak stasioner adalah model random walk.

2.3.3. Model Random Walk

Model random walk biasa digunakan untuk mendeskripsikan perilaku dari runtun harga saham. Bentuk umum dari random walk (Wei, 2006) adalah 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 . Model random walk ini merupakan limiting proses dari proses AR(1) : 𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 dengan 𝜙 → 1. Oleh karena itu, karakteristik fungsi otokorelasi 𝜌𝑘 runtun {𝑌𝑡 } ini cenderung tidak menuju nol (tidak mengecil) meskipun lag-k Universitas Indonesia

15

bertambah. Untuk mengakomadasi kemungkinan adanya driff naik atau turun dari runtun {𝑌𝑡 } dibentuk model random walk dengan driff. Bentuk umum dari model random walk dengan driff adalah 𝑌𝑡 = 𝜃 + 𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 . Sebelumnya pada subbab 2.3 telah dibahas bahwa analisis runtun waktu dengan pendekatan Box-Jenkins membutuhkan asumsi kestasioneran. Sehingga pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai uji kestasioneran.

2.3.4. Uji Unit Root

Selain menggunakan metode grafik (plot antara nilai pengamatan dengan waktu) dan korelogram, proses pengujian kestasioneran dapat juga diperiksa dengan menggunakan uji formal yang disebut uji unit root. Uji unit root yang akan dibahas adalah Dickey-Fuller Test (Nachrowi dan Usman, 2006). Asumsi pada pengujian ini adalah runtun waktu mengikuti proses random walk. Sehingga pada pengujian ini akan diuji apakah suatu runtun waktu merupakan proses random walk atau bukan. Misalkan 𝑌𝑡 mengikuti model AR(1) berikut: 𝑌𝑡 = 𝜃 + 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 .

(2.6)

Jika 𝜙 = 1 maka model di atas menjadi random walk dengan driff. Pada subbab sebelumnya telah dibahas bahwa model random walk dengan driff merupakan salah satu contoh dari proses stokastik yang tidak stasioner. Jika pada persamaan (2.6) kedua ruas dikurangi dengan 𝑌𝑡−1 maka diperoleh ∆𝑌𝑡 = 𝜃 + 𝛿𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 dengan 𝛿 = 𝜙 − 1, ∆𝑌𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 . Uji hipotesis yang digunakan berdasarkan persamaan di atas adalah 𝐻0 : 𝛿 = 0 (𝑌𝑡 tidak stasioner), Universitas Indonesia

16

𝐻1 : 𝛿 < 0 (𝑌𝑡 stasioner) Teknik pengujian unit root adalah dengan membentuk regresi antara ∆𝑌𝑡 dan 𝑌𝑡−1 . Dickey dan Fuller telah menunjukkan bahwa unit root dibawah hipotesis nol, statistik uji 𝑡 untuk taksiran parameter 𝑌𝑡−1 , yaitu 𝛿̂ , tidak mengikuti distribusi 𝑡, sekalipun dalam sampel besar. Namun mereka telah membuktikan bahwa statistik uji 𝑡 terhadap hipotesis di atas mengikuti statistik 𝜏 (tau). Statistik ini selanjutnya dikembangkan oleh Mc. Kinnon (Nachrowi & Usman, 2006). Proses pengujian hipotesis di atas menggunakan statistik uji 𝜏 berikut: 𝜏=

𝛿̂ 𝑠𝑡𝑑. 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 (𝛿̂ )

.

Aturan keputusan pada uji hipotesis ini adalah jika nilai statistik uji 𝜏 lebih kecil dari nilai kritis Mc. Kinnon maka hipotesis nol ditolak yang berarti data runtun waktu bersifat stasioner, sedangkan jika nilai statistik 𝜏 lebih besar dari nilai kritis Mc. Kinnon maka hipotesis nol tidak ditolak yang berarti data runtun bersifat tidak stasioner. Pada implementasi pengujian unit root akan digunakan fungsi adftest yang ada pada Matlab. Fungsi ini dapat menampilkan nilai statistik 𝜏 dan nilai kritis Mc. Kinnon. Selanjutnya akan dibahas mengenai proses peramalan pada model runtun waktu.

2.3.5. Proses Peramalan

Dalam proses peramalan, diperlukan suatu ramalan dengan hasil optimum yang tidak memiliki error atau hanya memiliki error kecil. Peramalan ini dapat diperoleh melalui minimum mean squared error forecasts. Berdasarkan data runtun sampai waktu t (𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑡 ) dapat dicari nilai ramalan untuk 𝑌𝑡+𝑙 , yakni nilai runtun setelah 𝑙 satuan waktu dari sekarang (𝑡). Waktu t disebut forecast


17

origin dan l disebut lead time untuk ramalan. Bentuk umum dari minimum mean squared error forecast (Cryer & Chan,2008) adalah 𝑌̂𝑡 (𝑙) = 𝐸(𝑌𝑡+𝑙 |𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑡 ),

(2.7)

𝑙 ≥ 1,

dimana 𝑌̂𝑡 (𝑙)

: nilai peramalan data observasi pada saat 𝑡 + 𝑙

𝑌𝑡

: data pengamatan pada saat 𝑡. Forecast error (Wei,2006) didefinisikan sebagai 𝑙−1

𝑒𝑡 (𝑙) = 𝑌𝑡+𝑙 − 𝑌̂𝑡 (𝑙) = ∑ 𝜓𝑗 𝑎𝑡+𝑙−𝑗 ,

(2.8)

𝑗=0

dengan 𝜓0 = 1. Contoh bobot 𝜓𝑗 dapat dilihat pada halaman 19. Berdasarkan persamaan (2.8), dengan 𝑙 = 1 diperoleh one-step ahead forecast error berupa 𝑒𝑡 (1) = 𝑌𝑡+1 − 𝑌̂𝑡 (1) = 𝑎𝑡+1 , dan untuk forecast error pada forecast origin (𝑡 − 1) adalah 𝑒𝑡−1 (1) = 𝑌𝑡 − 𝑌̂𝑡−1 (1) = 𝑎𝑡 .

(2.9)

Dari persamaan (2.8) dapat diperoleh 𝑒𝑡−1 (𝑙 + 1) = 𝑌𝑡+𝑙 − 𝑌̂𝑡−1 (𝑙 + 1) 𝑙

𝑌𝑡+𝑙 − 𝑌̂𝑡−1 (𝑙 + 1) = ∑ 𝜓𝑗 𝑎𝑡+𝑙−𝑗 𝑗=0 𝑙−1

= ∑ 𝜓𝑗 𝑎𝑡+𝑙−𝑗 + 𝜓𝑙 𝑎𝑡 𝑗=0

= 𝑒𝑡 (𝑙) + 𝜓𝑙 𝑎𝑡 . Dengan mensubtitusikan persamaan (2.8) dan (2.9) pada persamaan diatas, akan diperoleh 𝑌𝑡+𝑙 − 𝑌̂𝑡−1 (𝑙 + 1) = 𝑌𝑡+𝑙 − 𝑌̂𝑡 (𝑙) + 𝜓𝑙 (𝑌𝑡 − 𝑌̂𝑡−1 (1)) Universitas Indonesia

18

𝑌̂𝑡 (𝑙) = 𝑌̂𝑡−1 (𝑙 + 1) + 𝜓𝑙 (𝑌𝑡 − 𝑌̂𝑡−1 (1)), hal ini ekuivalen dengan 𝑌̂𝑡+1 (𝑙) = 𝑌̂𝑡 (𝑙 + 1) + 𝜓𝑙 (𝑌𝑡+1 − 𝑌̂𝑡 (1)).

(2.10)

Persamaan (2.10) merupakan persamaan updating dalam proses peramalan (Wei, 2006). Berikut ini adalah contoh proses peramalan pada model AR(1). Misalkan 𝑌𝑡 mengikuti model AR(1) berikut: 𝑌𝑡 = 𝜃 + 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑎𝑡 . Dengan asumsi mean dari white noise nol, maka minimum mean squared error forecast AR (1) adalah 𝑌̂𝑡 (𝑙) = 𝐸(𝑌𝑡+𝑙 |𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑡 ) = 𝐸((𝜃 + 𝜙𝑌𝑡+𝑙−1 + 𝑎𝑡+𝑙 )|𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑡 ). Dengan menggunakan sifat ekspektasi diperoleh 𝑌̂𝑡 (𝑙) = 𝜃 + 𝜙(𝐸(𝑌𝑡+𝑙−1 |𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑡 )) + 𝐸(𝑎𝑡+𝑙 |𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑡 ). Berdasarkan asumsi, 𝑎𝑡+𝑙 , 𝑙 ≥ 1 saling bebas terhadap 𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑡 , sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi 𝑌̂𝑡 (𝑙) = 𝜃 + 𝜙 (𝑌̂𝑡 (𝑙 − 1)) + 𝐸(𝑎𝑡+𝑙 ) = 𝜃 + 𝜙 (𝑌̂𝑡 (𝑙 − 1)). Dengan mensubtitusika 𝑙 = 𝑙 − 1 pada persamaan di atas akan diperoleh 𝑌̂𝑡 (𝑙 − 1) = 𝜃 + 𝜙 (𝑌̂𝑡 (𝑙 − 2)). Jika persamaan ini disubtitusikan pada persamaan di atas akan diperoleh 𝑌̂𝑡 (𝑙) = 𝜃 + 𝜙 (𝜃 + 𝜙 (𝑌̂𝑡 (𝑙 − 2))) = 𝜃(1 + 𝜙) + 𝜙 2 𝑌̂𝑡 (𝑙 − 2). Universitas Indonesia

19

Dengan cara yang sama, berdasarkan persamaan di atas dapat diperoleh 𝑌̂𝑡 (𝑙) = 𝜃(1 + 𝜙 + ⋯ + 𝜙 𝑙−1 ) + 𝜙 𝑙 𝑌̂𝑡 (𝑙 − 𝑙), dimana 𝑌̂𝑡 (𝑙 − 𝑙) = 𝑌̂𝑡 (0) = 𝑌𝑡 . 𝑌̂𝑡 (𝑙) = 𝜃(1 + 𝜙 + ⋯ + 𝜙 𝑙−1 ) + 𝜙 𝑙 𝑌𝑡 =𝜃

(1 − 𝜙 𝑙 ) + 𝜙 𝑙 𝑌𝑡 . 1−𝜙

(2.11)

Berdasarkan persamaan (2.8) dan persamaan (2.11) untuk model AR (1), bobot 𝜓𝑗 pada persamaan updating (2.10) dapat diperoleh melalui langkah berikut: 𝑙

(1−𝜙 ) 𝑒𝑡 (𝑙) = 𝑌𝑡+𝑙 − 𝑌̂𝑡 (𝑙) = 𝑌𝑡+𝑙 − {𝜃 1−𝜙 + 𝜙 𝑙 𝑌𝑡 }

= 𝜃 + 𝜙𝑌𝑡+𝑙−1 + 𝑎𝑡+𝑙 − 𝜃

(1 − 𝜙 𝑙 ) − 𝜙 𝑙 𝑌𝑡 1−𝜙

(1 − 𝜙 𝑙 ) = 𝜃 + 𝜙(𝜃 + 𝜙𝑌𝑡+𝑙−2 + 𝑎𝑡+𝑙−1 ) + 𝑎𝑡+𝑙 − 𝜃 − 𝜙 𝑙 𝑌𝑡 1−𝜙 = 𝜃(1 + 𝜙) + 𝜙 2 𝑌𝑡+𝑙−2 + 𝑎𝑡+𝑙 + 𝜙𝑎𝑡+𝑙−1 − 𝜃

(1 − 𝜙 𝑙 ) − 𝜙 𝑙 𝑌𝑡 1−𝜙

Sehingga berdasarkan persamaan di atas dapat diperoleh 𝑒𝑡 (𝑙) = 𝜃(1 + 𝜙 + ⋯ + 𝜙 𝑙−1 ) + 𝜙 𝑙 𝑌𝑡 + 𝑎𝑡+𝑙 + 𝜙𝑎𝑡+𝑙−1 + ⋯ + 𝜙 𝑙−1 𝑎𝑡+1 (1 − 𝜙 𝑙 ) −𝜃 − 𝜙 𝑙 𝑌𝑡 1−𝜙 𝑙−1

= ∑ 𝜙 𝑗 𝑎𝑡+𝑙−𝑗 . 𝑗=0

Dari persamaan di atas, pada model AR(1) dalam proses updating peramalan 𝜓𝑙 = 𝜙 𝑙 , 𝑙 ≥ 0 (Wei,2006), dengan 𝜙 merupakan parameter pada model AR (1). Sehingga persamaan updating berdasarkan persamaan (2.10) untuk model AR (1) dapat ditulis menjadi


20

𝑌̂𝑡+1 (𝑙) = 𝑌̂𝑡 (𝑙 + 1) + 𝜓𝑙 (𝑌𝑡+1 − 𝑌̂𝑡 (1)) =𝜃

(1 − 𝜙 𝑙+1 ) + 𝜙 𝑙+1 𝑌𝑡 + 𝜙 𝑙 [𝑌𝑡+1 − (𝜃 + 𝜙𝑌𝑡 )] 1−𝜙 (2.12)

(1 − 𝜙 𝑙 ) =𝜃 + 𝜙 𝑙 𝑌𝑡+1 . 1−𝜙

Persamaan (2.11) dan (2.12) akan digunakan pada proses peramalan di bab 3. Untuk mengevaluasi hasil peramalan, digunakan root mean squared forecast errors (RMSE). Forecast error didefiniskan sebagai 𝑒̂𝑡 (𝑙) = 𝑌𝑡+𝑙 − 𝑌̂𝑡 (𝑙)

(2.13)

dan 𝑛−𝑡

1 2 𝑅𝑀𝑆𝐸 = √ ∑(𝑒̂𝑡 (𝑙)) 𝑛−𝑡

(2.14)

𝑙=1

dengan 𝑛 − 𝑡 merupakan banyaknya data hasil peramalan.

2.4. Polinomial Laguerre

Polinomial Laguerre diperoleh berdasarkan solusi dari persamaan diferensial linier Laguerre berikut 𝑥𝑦 ′′ + (1 − 𝑥)𝑦 ′ + 𝑛𝑦 = 0. Misalkan 𝐿𝑛 (𝑥) merupakan solusi dari persamaan di atas dengan 𝑛 merupakan bilangan bulat non negatif. Maka berdasarkan Hurn dkk (2005), polinomial Laguerre didefinisikan sebagai berikut 𝐿𝑛 (𝑥) =

𝑒 𝑥 𝑑𝑛 (𝑥 𝑛 𝑒 −𝑥 ). 𝑛! 𝑑𝑥 𝑛

Berikut ini contoh polinomial Laguerre untuk 𝑛 = 0,1, dan 2, Universitas Indonesia

21

𝐿0 (𝑥) = 1 𝐿1 (𝑥) = −𝑥 + 1 1 𝐿2 (𝑥) = (𝑥 2 − 4𝑥 + 2). 2 Gambar 2.1 merupakan grafik polinomial Laguerre untuk 𝑛 = 0,1,2,3, dan 4. Dari gambar tersebut terlihat bahwa untuk 𝑥 = 0 kelima grafik memotong sumbu 𝑦 di titik 𝑦 = 1. Polinomial Laguerre sering digunakan dalam bidang fisika seperti pada teori kuantum dan osilasi harmonik. Sedangkan dalam bidang keuangan, polinomial ini dapat digunakan untuk memperhalus estimasi kurva yield.

Gambar 2.1 Grafik polinomial Laguerre untuk 𝑛 = 0,1,2,3, dan 4

2.5. Metode Numerik

Subbab ini membahas metode-metode yang akan digunakan untuk mengestimasi parameter dalam model Dinamik Nelson Siegel, yaitu metode ordinary least square dan metode Newton-Raphson.


22

2.5.1. Metode Ordinary Least Square

Parameter 𝛽𝑖𝑡 , 𝑖 = 1,2,3 (parameter ini baru akan dijelaskan di Bab 3) dalam model Dinamik Nelson Siegel akan diestimasi dengan menggunakan metode ordinary least square (OLS). Prinsip dari metode OLS adalah meminimumkan jumlah kuadrat error. Misalkan terdapat model regresi linier (Montgomery dkk,2001) 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖1 + 𝛽2 𝑥𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑖𝑘 + 𝜀𝑖 ,

(2.15)

dimana 𝑦𝑖

: nilai observasi variabel respon ke-𝑖 dimana 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛

𝑥𝑖𝑗

: nilai observasi ke-𝑖 dari variabel ke-𝑗 dimana 𝑗 = 1,2, … , 𝑘; 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛

𝛽𝑗

: koefisien regresi dimana 𝑗 = 0,1,2, . . , 𝑘

𝜀𝑖

: error ke-i, 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛.

Fungsi least square dapat dinyatakan sebagai 𝑛

𝑆(𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑘 ) = ∑ 𝜀𝑖 2 𝑖=1 𝑛

= ∑(𝑦𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1𝑥𝑖1 − 𝛽2 𝑥𝑖2 − ⋯ − 𝛽𝑘 𝑥𝑖𝑘 )2 .

(2.16)

𝑖=1

Untuk mempermudah pencarian taksiran least square, variabel y dan x dapat ditulis dalam bentuk matriks 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺 dengan 𝑦1 1 𝑥11 𝑦2 1 𝑥21 𝒀=[ ⋮ ],𝑿=[ ⋮ ⋮ 𝑦𝑛 1 𝑥𝑛1

⋯ 𝑥1𝑘 𝜀1 𝛽0 ⋯ 𝑥2𝑘 𝜀 𝛽 2 ] , 𝜷 = [ 1 ], 𝜺 = [ ⋮ ]. ⋮ ⋮ 𝜀𝑛 𝛽𝑘 ⋯ 𝑥𝑛𝑘 Universitas Indonesia

23

𝒀 merupakan vektor dari variabel observasi 𝑛 x 1, 𝑿 merupakan matriks dari variabel independen 𝑛 x (𝑘 + 1), 𝜷 merupakan vektor dari parameter (𝑘 + 1) x 1, dan 𝜺 vektor dari error 𝑛 x 1. Dalam bentuk matriks, fungsi least square dapat dinyatakan menjadi 𝑛

𝑆(𝜷) = ∑ 𝜀𝑖 2 = 𝜺𝑇 𝜺 = (𝒀 − 𝑿𝜷)𝑇 (𝒀 − 𝑿𝜷) 𝑖=1

= 𝒀𝑇 𝒀 − 𝜷𝑇 𝑿𝑇 𝒀 − 𝒀𝑇 𝑿𝜷 − 𝜷𝑇 𝑿𝑇 𝑿𝜷. 𝜷𝑇 𝑿𝑇 𝒀 merupakan matriks berukuran 1 x 1, maka(𝜷𝑇 𝑿𝑇 𝒀 )𝑇 = 𝒀𝑇 𝑿𝜷. Sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi 𝑆(𝜷) = 𝒀𝑇 𝒀 − 2𝜷𝑇 𝑿𝑇 𝒀 − 𝜷𝑇 𝑿𝑇 𝑿𝜷. Taksiran least square dari 𝜷 diperoleh dengan meminimumkan fungsi least square 𝑆(𝜷) terhadap 𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑘 , yaitu 𝜷 yang memenuhi 𝜕𝑆 | = 0, 𝜕𝜷 𝜷̂ ̂ = 𝟎. −2𝑿𝑇 𝒀 − 2𝑿𝑇 𝑿𝜷 Sehingga diperoleh ̂ = 𝑿𝑇 𝒀. 𝑿𝑇 𝑿𝜷 Jika matriks 𝑿𝑇 𝑿 memiliki invers (𝑿 full rank), maka akan diperoleh taksiran least square untuk 𝜷 ̂ = (𝑿𝑇 𝑿)−1 𝑿𝑇 𝒀. 𝜷

(2.17)

2.5.2. Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson digunakan untuk mengestimasi parameter 𝜆𝑡 (parameter ini baru akan dijelaskan di Bab 3) pada model Dinamik Nelson Siegel. Universitas Indonesia

24

Metode ini secara umum digunakan untuk mencari akar. Misalkan 𝑥 = 𝑝 merupakan solusi dari 𝑓(𝑥) = 0 dan misalkan pula 𝑝̂ adalah aproksimasi dari 𝑝 sedemikian sehingga 𝑓 ′ (𝑝̂ ) ≠ 0 dan |𝑝 − 𝑝̂ | kecil. Ekspansi deret Taylor orde satu untuk 𝑓(𝑥) disekitar 𝑝̂ dapat dinyatakan sebagai 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝̂ ) + (𝑥 − 𝑝̂ )𝑓 ′ (𝑝̂ ) +

(𝑥 − 𝑝̂ )2 𝑓"(𝜉(𝑥)), 2

dengan 𝜉(𝑥) berada diantara 𝑥 dan 𝑝̂ , dan 𝑓 𝑛 (𝑝̂ ) menyatakan turunan ke-𝑛 dari fungsi 𝑓 di titik 𝑝̂ . Dengan mensubtitusikan 𝑥 = 𝑝 ke dalam persamaan di atas, diperoleh 𝑓(𝑝) = 𝑓(𝑝̂ ) + (𝑝 − 𝑝̂ )𝑓 ′ (𝑝̂ ) +

(𝑝 − 𝑝̂ )2 𝑓"(𝜉(𝑝)), 2

dengan 𝜉(𝑝) berada diantara 𝑝 dan 𝑝̂ . Karena 𝑥 = 𝑝 merupakan solusi dari 𝑓(𝑥) = 0, maka 𝑓(𝑝) = 0. Sehingga persamaan di atas menjadi 0 = 𝑓(𝑝̂ ) + (𝑝 − 𝑝̂ )𝑓 ′ (𝑝̂ ) +

(𝑝 − 𝑝̂ )2 𝑓"(𝜉(𝑝)). 2

Metode Newton-Raphson mengasumsikan |𝑝 − 𝑝̂ | bernilai sangat kecil, sehingga nilai dari (𝑝 − 𝑝̂ )2 akan lebih kecil dan dapat diabaikan. Dengan asumsi tersebut, persamaan di atas menjadi 0 ≈ 𝑓(𝑝̂ ) + (𝑝 − 𝑝̂ )𝑓 ′ (𝑝̂ ), dan diperoleh 𝑝 ≈ 𝑝̂ −

𝑓(𝑝̂ ) . 𝑓 ′ (𝑝̂ )

Metode iteratif Newton-Raphson dimulai dengan nilai awal aproksimasi 𝑝0 dan akan membentuk barisan (𝑝𝑛 )∞ 𝑛=0 dengan menggunakan persamaan 𝑝𝑛 = 𝑝𝑛−1 −

𝑓(𝑝𝑛−1 ) , 𝑛 ≥ 1. 𝑓 ′ (𝑝𝑛−1 )

(2.18)


25

Proses iteratif ini akan diulang hingga

|𝑝𝑛 −𝑝𝑛−1 | |𝑝𝑛−1 |

lebih kecil dari toleransi error

yang diinginkan.


BAB 3 MODEL DINAMIK NELSON SIEGEL

Model Dinamik Nelson Siegel adalah model curve fitting yang digunakan untuk memodelkan yield to maturity dari obligasi dengan waktu jatuh tempo yang beragam. Model ini merupakan perkembangan dari model Nelson Siegel. Sehinggga sebelum membahas mengenai model Dinamik Nelson Siegel, terlebih dahulu akan dibahas model Nelson Siegel. Pada subbab 3.1 dibahas mengenai pembentukkan model Nelson Siegel dan interpretasi model. Pada subbab 3.2 dibahas model Dinamik Nelson Siegel. Pada subbab 3.3 dibahas mengenai proses estimasi model Dinamik Nelson Siegel menggunakan metode Newton-Raphson dan metode least square. Pada subbab 3.4 dibahas mengenai peramalan yield to maturity berdasarkan model Dinamik Nelson Siegel.

3.1. Model Nelson-Siegel

Telah dibahas sebelumnya pada subbab 2.2 bahwa terdapat hubungan antara yield to maturity dan instantaneous forward rate. Sehingga dalam proses pembentukkan model yield to maturity oleh Nelson dan Siegel diawali dengan proses pembentukkan model instantaneous forward rate. Nelson dan Siegel (1987) mendefinisikan instantaneous forward rate 𝑓𝑡 (𝜏) dengan waktu jatuh tempo 𝜏 sebagai solusi dari persamaan differensial biasa orde dua dengan akarakar karakteristiknya real dan sama. Selain dari solusi persamaan differensial, mereka juga memperoleh bahwa instantaneous forward rate 𝑓𝑡 (𝜏) dapat dibentuk dari penjumlahan konstanta dengan polinomial Laguerre. Kemudian Hillebrans dan Li (2010) memperjelas definisi tersebut dengan memberikan fungsi bobot 𝑒 −𝑧 pada polinomial Laguerre 𝐿𝑛 (𝑧) =

𝑒 𝑧 𝑑𝑛 𝑛! 𝑑𝑧 𝑛

(𝑧 𝑛 𝑒 −𝑧 ) dengan 𝑧 = 𝜆𝑡 𝜏. 𝜆𝑡 merupakan

parameter peluruhan eksponensial yang berguna dalam menentukkan bentuk kurva 𝑓𝑡 (𝜏). Sehingga instantaneous forward rate 𝑓𝑡 (𝜏) dapat dinyatakan sebagai 26


27

penjumlahan konstanta 𝑐 dengan polinomial Laguerre 𝐿𝑛 (𝑧) yang memiliki fungsi bobot 𝑤(𝑧) = 𝑒 −𝑧 dengan orde polinomial Laguerre yang digunakan adalah nol dan satu (𝑛 = 0 dan 1). Dalam persamaan matematika dapat ditulis menjadi 1

𝑓𝑡 (𝜏) = 𝑐 + ∑ 𝑐𝑛 𝑤(𝑧)𝐿𝑛 (𝑧) 𝑛=0

= 𝑐 + 𝑐0 𝑤(𝑧)𝐿0 (𝑧) + 𝑐1 𝑤(𝑧)𝐿1 (𝑧). 𝑐, 𝑐0 , dan 𝑐1 merupakan parameter model instantaneous forward rate. Dengan 𝐿0 (𝑧) = 1, 𝐿1 (𝑧) = 1 − 𝑧, dan 𝑐, 𝑐0 , 𝑐1 𝜖 𝑅, persamaan di atas dapat ditulis menjadi 𝑓𝑡 (𝜏) = 𝑐 + 𝑐0 𝑒 −𝑧 + 𝑐1 𝑒 −𝑧 (1 − 𝑧). Dengan mensubtitusi 𝑧 = 𝜆𝑡 𝜏, maka diperoleh 𝑓𝑡 (𝜏) = 𝑐 + 𝑐0 𝑒 −𝜆𝑡𝜏 + 𝑐1 (1 − 𝜆𝑡 𝜏)𝑒 −𝜆𝑡𝜏 = 𝑐 + (𝑐0 + 𝑐1 )𝑒 −𝜆𝑡𝜏 − 𝑐1 (𝜆𝑡 𝜏)𝑒 −𝜆𝑡𝜏 . Dengan mensubtitusikan 𝑐 = 𝛽1𝑡 , 𝑐0 + 𝑐1 = 𝛽2𝑡 , dan 𝑐1 = −𝛽3𝑡 maka persamaan instantaneous forward rate dapat ditulis menjadi 𝑓𝑡 (𝜏) = 𝛽1𝑡 + 𝛽2𝑡 𝑒 −𝜆𝑡𝜏 + 𝛽3𝑡 (𝜆𝑡 𝜏)𝑒 −𝜆𝑡𝜏 .

(3.1)

𝛽1𝑡 + 𝛽2𝑡 menyatakan nilai awal (ketika waktu jatuh tempo sama dengan nol). Tanda positif dari 𝛽3𝑡 menyatakan bentuk dari kurva instantaneous forward rate berupa hump-shape. Bentuk ini terjadi karena instantaneous forward rate mengalami kenaikan kemudian turun kembali. 𝜆𝑡 menyatakan titik belok dari kurva instantaneous forward rate (Stefani, 2009). Setelah memperoleh model instantaneous forward rate, Nelson dan Siegel menginterpretasikan faktor pengali dari parameter model tersebut sebagai: a. faktor pengali 1 pada suku 1. 𝛽0 sebagai komponen jangka panjang (longterm), b. faktor pengali 𝑒 −𝜆𝑡𝜏 pada suku 𝛽1 𝑒 −𝜆𝑡𝜏 sebagai komponen jangka pendek (short-term), Universitas Indonesia

28 c. faktor pengali (𝜆𝑡 𝜏)𝑒 −𝜆𝑡𝜏 pada suku 𝛽2 (𝜆𝑡 𝜏)𝑒 −𝜆𝑡𝜏 sebagai komponen jangka menengah (medium-term). Untuk memperjelas interpretasi faktor pengali dari parameter model instantaneous forward rate, perhatikan Gambar 3.1. Pada Gambar 3.1 digunakan nilai 𝜆𝑡 > 0 yang berbeda, hal ini bertujuan untuk melihat karakteristik faktor pengali parameter persamaan (3.1). Gambar kiri menggunakan nilai 𝜆𝑡 = 1/3, gambar tengah menggunakan nilai 𝜆𝑡 = 1, sedangkan gambar kanan menggunakan nilai 𝜆𝑡 = 3. Grafik berwarna merah menunjukkan faktor pengali dari 𝛽1𝑡 , faktor ini konstan dan tidak menuju nol untuk sebarang waktu jatuh tempo 𝜏. Ketika nilai 𝜏 semakin besar, 𝛽1𝑡 memiliki peranan yang semakin penting dalam pembentukkan kurva yield. Hal ini dikarenakan nilai faktor pengali dari 𝛽2𝑡 dan 𝛽3𝑡 akan semakin kecil. Sehingga faktor pengali dari 𝛽1𝑡 disebut sebagai komponen long-term. Grafik berwarna biru menunjukkan faktor pengali 𝛽2𝑡 . Pada ketiga gambar tersebut, menunjukkan grafik faktor pengali 𝛽2𝑡 merupakan grafik yang memiliki hubungan kebalikan dengan waktu jatuh tempo 𝜏. Pada saat 𝜏 kecil, faktor pengali 𝛽2𝑡 akan lebih memberi pengaruh pada nilai 𝑓𝑡 (𝜏) dibandingkan pada saat 𝜏 besar. Sehingga faktor pengali dari 𝛽2𝑡 disebut komponen short-term. Grafik berwarna hitam menunjukkan faktor pengali 𝛽3𝑡 . Gambar 3.1 menunjukan grafik faktor pengali 𝛽3𝑡 merupakan grafik yang memiliki nilai 0 pada saat 𝜏 → 0, kemudian meningkat dan akan kembali menuju nol pada waktu jatuh tempo tertentu. Peningkatan 𝛽3𝑡 tidak akan memberikan pengaruh besar pada yield to maturity dengan waktu jatuh tempo pendek dan panjang, namun memberikan pengaruh yang cukup besar pada medium-term. Sehingga faktor pengali dari 𝛽3𝑡 disebut sebagai komponen medium-term.


29

Gambar 3.1 Grafik faktor pengali model instantaneous forward rate Nelson Siegel dengan 𝜆𝑡 = 1/3 , 𝜆𝑡 = 1, dan 𝜆𝑡 = 3

Berdasarkan persamaan (2.2) besarnya yield to maturity dengan waktu jatuh tempo 𝜏 dapat dihitung dengan menggunakan instantaneous forward rate berikut 1 𝜏 𝑦𝑡 (𝜏) = ∫ 𝑓𝑡 (𝑥)𝑑𝑥. 𝜏 0 Dengan mensubtitusikan persamaan (3.1) pada persamaan di atas akan diperoleh 1 𝜏 𝑦𝑡 (𝜏) = ∫ [𝛽1𝑡 + 𝛽2𝑡 𝑒 − 𝜆𝑡𝑥 + 𝛽3𝑡 (𝜆𝑡 𝑥)𝑒 − 𝜆𝑡𝑥 ]𝑑𝑥. 𝜏 0 Dan dengan menghitung integral pada persamaan di atas, maka persamaaan yield to maturity dapat ditulis menjadi 1 − 𝑒 −𝜆𝑡𝜏 𝑦𝑡 (𝜏) = 𝛽1𝑡 + (𝛽2𝑡 + 𝛽3𝑡 ) [ ] − 𝛽3𝑡 𝑒 −𝜆𝑡𝜏 , 𝜆𝑡 𝜏

(3.2)

dengan parameternya berupa 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , 𝛽3𝑡 , dan 𝜆𝑡 . Berdasarkan persamaan (3.2) dapat diperoleh bahwa limit 𝑦𝑡 (𝜏) pada saat 𝜏 sangat besar adalah 𝛽1𝑡 atau dapat ditulis menjadi lim 𝑦𝑡 (𝜏) = 𝛽1𝑡 .

𝜏→∞


30

Nilai 𝛽1𝑡 yang diperoleh pada saat waktu jatuh tempo yang sangat panjang, menunjukkan bahwa faktor pengali 𝛽1𝑡 merupakan komponen long-term. Sedangkan nilai limit 𝑦𝑡 (𝜏) untuk 𝜏 sangat kecil adalah 𝛽1𝑡 + 𝛽2𝑡 atau dapat ditulis menjadi 1 − 𝑒 −𝜆𝑡𝜏 (𝜏) (𝛽 ) lim 𝑦𝑡 = lim+ [𝛽1𝑡 + 2𝑡 + 𝛽3𝑡 [ ] − 𝛽3𝑡 𝑒 −𝜆𝑡𝜏 ] 𝜏→0+ 𝜏→0 𝜆𝑡 𝜏 = 𝛽1𝑡 − 𝛽3𝑡 + (𝛽2𝑡 + 𝛽3𝑡 ) lim+ [ 𝜏→0

1 − 𝑒 −𝜆𝑡𝜏 ] 𝜆𝑡 𝜏

dengan menggunakan aturan L’Hospital dapat dihitung nilai lim+ [ 𝜏→0

1−𝑒 −𝜆𝑡 𝜏 𝜆𝑡 𝜏

] = 1,

sehingga diperoleh lim 𝑦𝑡 (𝜏) = 𝛽1𝑡 − 𝛽3𝑡 + (𝛽2𝑡 + 𝛽3𝑡 )

𝜏→0+

= 𝛽1𝑡 + 𝛽2𝑡 . Nilai 𝛽1𝑡 + 𝛽2𝑡 yang diperoleh pada waktu jatuh tempo singkat (pendek) dikenal sebagai short rate. Short rate merupakan forward rate yang berlaku untuk satu periode waktu. Untuk tujuan fitting kurva yield, Nelson dan Siegel mengubah parameter persamaan yield to maturity (3.2) ke dalam bentuk 𝑦𝑡 (𝜏) = 𝑎 + 𝑏 [

1 − 𝑒 −𝜆𝑡 𝜏 ] + 𝑐𝑒 −𝜆𝑡𝜏 𝜆𝑡 𝜏

(3.3)

dimana 𝛽1𝑡 = 𝑎, (𝛽2𝑡 + 𝛽3𝑡 ) = 𝑏, dan 𝛽3𝑡 = −𝑐. Selanjutnya persamaan (3.3) dikenal sebagai model Nelson Siegel. Dengan menetapkan nilai 𝜆𝑡 tertentu dan berdasarkan data yield to maturity dengan waktu jatuh tempo 𝜏, misalkan 𝜏 = 3 bulan, 1 tahun, 2 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun, maka dapat dicari parameter 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 melalui metode least square seperti yang telah dibahas pada subbab 2.5. Karakteristik faktor pengali parameter model Nelson Siegel pada persamaan (3.3) dapat dilihat pada Gambar 3.2. Gambar kiri menggunakan nilai 𝜆𝑡 =1/3, gambar tengah menggunakan nilai 𝜆𝑡 = 1 sedangkan gambar kanan Universitas Indonesia

31

menggunakan nilai 𝜆𝑡 = 3. Grafik merah, biru, dan hitam secara berturut-turut menunjukkan faktor pengali dari 𝑎, 𝑏, dan 𝑐. Dengan 𝜆𝑡 tertentu, faktor pengali 𝑏 dan 𝑐 pada model Nelson Siegel secara berturut-turut yaitu


dan 𝑒 −𝜆𝑡𝜏

dapat dipandang sebagai fungsi dalam 𝜏 yang monoton turun. Hal ini juga dapat dilihat pada Gambar 3.2. Menurut Diebold dan Li (2006) kesamaan karakteristik faktor pengali 𝑏 dan 𝑐 mengakibatkan faktor ini sulit untuk diinterpretasikan tidak seperti pada model instantaneous forward rate. Selain itu, terdapat kesulitan dalam proses estimasi parameter secara tepat, hal ini dikarenakan adanya koheransi tinggi antara ketiga faktor tersebut yang dapat menunjukkan kecenderungan adanya multikoliniearitas. Untuk lebih jelas mengenai masalah multikolinearitas dapat dilihat pada Montgomery dkk (2001). Berdasarkan sumber tersebut, dijelaskan bahwa masalah multikolinearitas dapat mengakibatkan variansi yang besar pada taksiran parameter. Sehingga untuk mengatasi masalah tersebut, Diebold dan Li (2006) melakukan modifikasi pada persamaan (3.3) yang akan dibahas pada subbab berikutnya.

Gambar 3.2 Grafik faktor pengali model Nelson Siegel dengan 𝜆𝑡 = 1/3 , 𝜆𝑡 = 1, dan 𝜆𝑡 = 3


32

3.2. Model Dinamik Nelson Siegel

Untuk mengatasi masalah yang telah dibahas sebelumnya pada model Nelson Siegel, Diebold dan Li (2006) mengubah parameter dari persamaan (3.3) menjadi 𝑦𝑡 (𝜏) = 𝛽1𝑡 + 𝛽2𝑡 [

1 − 𝑒 −𝜆𝑡 𝜏 1 − 𝑒 −𝜆𝑡𝜏 ] + 𝛽3𝑡 [ − 𝑒 −𝜆𝑡𝜏 ] 𝜆𝑡 𝜏 𝜆𝑡 𝜏

(3.4)

dengan 𝑎 = 𝛽1𝑡 , 𝑏 = 𝛽2𝑡 + 𝛽3𝑡 , dan 𝑐 = −𝛽3𝑡 . 𝑦𝑡 (𝜏) merupakan yield to maturity pada saat 𝑡 dengan waktu jatuh tempo 𝜏. Berdasarkan persamaan (3.4), Diebold dan Li (2006) menginterpretasikan parameter 𝜆𝑡 sebagai parameter penentu laju penurunan eksponensial. Selain itu, mereka juga memperoleh bahwa nilai 𝜆𝑡 yang kecil menghasilkan penurunan yang lambat pada kurva yield sehingga cocok pada kurva yield dengan waktu jatuh tempo panjang, sedangkan nilai 𝜆𝑡 yang besar menghasilkan penurunan yang cepat pada kurva yield sehingga cocok pada kurva yield dengan waktu jatuh tempo pendek. Pengaruh nilai 𝜆𝑡 dapat dilihat pada Gambar 4.6 halaman 48. Dengan menggunakan cara interpretasi yang sama seperti instantaneous forward rate Nelson Siegel, Diebold dan Li (2006) menginterpretasikan faktor pengali dari 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 pada persamaan (3.4) yaitu secara berturut-turut 1 sebagai long-term,


sebagai short-term, dan


− 𝑒 −𝜆𝑡𝜏 sebagai

medium-term. Selain itu, mereka juga menginterpretasikan parameter 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 secara berturut-turut sebagai faktor level, slope, dan curvature. Perubahan pada 𝛽1𝑡 akan mengubah kurva yield secara uniform, sehingga 𝛽1𝑡 disebut sebagai faktor level. Berdasarkan faktor pengali 𝛽2𝑡 , nilai 𝛽2𝑡 memiliki peranan cukup besar terhadap yield to maturity 𝑦𝑡 (𝜏) ketika nilai 𝜏 kecil. Peningkatan nilai 𝛽2𝑡 akan meningkatkan yield to maturity dengan waktu jatuh tempo pendek dibandingkan dengan yield to maturity dengan waktu jatuh tempo panjang. Peningkatan yield to maturity ini menyebabkan perubahan slope dari kurva yield. Universitas Indonesia

33

Frankel dan Lown (1994) mendefinisikan slope dari kurva yield sebagai lim 𝑦𝑡 (𝜏) − lim+ 𝑦𝑡 (𝜏), yang nilainya sama dengan −𝛽2𝑡 (Diebold dan Li, 2006).

𝜏→∞

𝜏→0

Hal ini menunjukkan 𝛽2𝑡 merupakan komponen slope dari kurva yield, sehingga 𝛽2𝑡 disebut sebagai faktor slope. Sedangkan berdasarkan faktor pengali 𝛽3𝑡 , peningkatan 𝛽3𝑡 tidak akan memberikan pengaruh besar pada yield to maturity dengan waktu jatuh tempo pendek dan panjang, namun memberikan pengaruh yang cukup besar pada medium-term. Selain itu faktor pengali 𝛽3𝑡 pada dasarnya merupakan gradient dari faktor pengali 𝛽2𝑡 ,


𝑑

1−𝑒 −𝜆𝑡 𝜏

− 𝑒 −𝜆𝑡 𝜏 = −𝜏 𝑑𝜏 (

𝜆𝑡 𝜏

),

sehingga 𝛽3𝑡 disebut sebagai faktor curvature (Hurn dkk, 2005). Untuk lebih jelas mengenai pengaruh dari level, slope, dan curvature pada kurva yield dapat dilihat pada Gambar 3.3. Ketiga grafik berwarna merah pada gambar ini merupakan kurva yield berdasarkan model Dinamik Nelson Siegel dengan mensubtitusikan 𝜆𝑡 = 0.06, 𝛽1𝑡 = 7.5, 𝛽2𝑡 = −2, dan 𝛽3𝑡 = −0.2 pada persamaan (3.4). Gambar 3.3 kiri merupakan gambaran pengaruh level pada kurva yield, grafik berwarna merah merupakan kurva yield sebenarnya, sedangkan grafik biru merupakan kurva yield yang terbentuk akibat peningkatan level (dari 𝛽1𝑡 = 7.5 menjadi 𝛽1𝑡 = 8). Berdasarkan gambar ini, diperoleh bahwa peningkatan level akan meningkatkan kurva yield secara uniform. Gambar 3.3 tengah merupakan gambaran pengaruh slope pada kurva yield, grafik berwarna merah merupakan kurva yield sebenarnya, sedangkan grafik biru merupakan kurva yield yang terbentuk akibat peningkatan slope (dari 𝛽2𝑡 = −2 menjadi 𝛽2𝑡 = −1). Berdasarkan gambar ini, diperoleh bahwa peningkatan slope akan mempengaruhi kemiringan kurva yield terutama pada waktu jatuh tempo 𝜏 < 40 (lingkaran berwarna hijau). Sedangkan Gambar 3.3 kanan merupakan gambaran pengaruh curvature pada kurva yield, grafik berwarna merah merupakan kurva yield sebenarnya, sedangkan grafik biru merupakan kurva yield yang terbentuk akibat peningkatan curvature (dari 𝛽3𝑡 = −0.2 menjadi 𝛽3𝑡 = 1.3). Berdasarkan gambar ini, diperoleh bahwa peningkatan curvature akan meningkatkan kurva yield terutama untuk bagian menengah, yaitu waktu jatuh tempo antara 30 < 𝜏 < 70 (lingkaran berwarna hijau). Selain itu bentuk kurva yield semakin berbentuk hump dengan adanya peningkatan nilai 𝛽3𝑡 . Universitas Indonesia

34

Gambar 3.3 Pengaruh level, slope, dan curvature pada kurva yield

Setelah membahas model Dinamik Nelson Siegel dan hasil interpretasi faktor pengali 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 secara berturut-turut sebagai level, slope, dan curvature. Maka pada subbab berikutnya dibahas mengenai proses estimasi parameter pada model Dinamik Nelson Siegel.

3.3. Estimasi Parameter Model Dinamik Nelson Siegel

Estimasi parameter {𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , 𝛽3𝑡 , 𝜆𝑡 } pada model Dinamik Nelson Siegel dapat dilakukan dengan metode nonlinear least square untuk setiap 𝑡. Namun, jika parameter 𝜆𝑡 pada persamaan (3.4) berupa nilai yang tetap, estimasi parameter {𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , 𝛽3𝑡 } dapat dilakukan dengan metode OLS. Dengan memberikan nilai 𝜆𝑡 tertentu, proses estimasi parameter {𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , 𝛽3𝑡 } dengan metode OLS selain lebih sederhana, namun juga secara numerik lebih dapat diandalkan. Hal ini dikarenakan adanya solusi trivial dari metode OLS dibandingkan metode nonlinear least square. Sehingga sebelum melakukan estimasi parameter 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 , terlebih dahulu dilakukan estimasi terhadap parameter 𝜆𝑡 . Menurut Diebold dan Li (2006) 𝜆𝑡 merupakan parameter yang dapat memaksimumkan faktor pengali dari 𝛽3𝑡 pada saat medium-term. Lebih lanjut, menurut mereka untuk menyederhanakan proses estimasi model Dinamik Nelson Siegel, parameter 𝜆𝑡 diasumsikan konstan (𝜆𝑡 = 𝜆). Universitas Indonesia

35

Proses awal dalam estimasi parameter 𝜆𝑡 dapat dilakukan dengan cara mendefinisikan fungsi 𝑔(𝜆) sebagai faktor pengali dari 𝛽3𝑡 pada persamaan (3.4) dengan mensubtitusikan 𝜆𝑡 = 𝜆. Fungsi 𝑔(𝜆) dapat ditulis menjadi 𝑔(𝜆) =

1 − 𝑒 −𝜆𝜏 − 𝑒 −𝜆𝜏 . 𝜆𝜏

(3.5)

Berdasarkan Diebold dan Li (2006), waktu jatuh tempo dua sampai tiga tahun biasa digunakan untuk menggambarkan faktor medium-term. Sehingga digunakan rata-rata dari dua dan tiga tahun, yaitu waktu jatuh tempo tiga puluh bulan (2,5 tahun). Dengan mengambil 𝜏 = 2,5, persamaan di atas menjadi 𝑔(𝜆) =

1 − 𝑒 −2,5𝜆 − 𝑒 −2,5𝜆 . 2,5𝜆

Nilai 𝜆 yang dapat memaksimumkan fungsi 𝑔 diperoleh dengan cara mencari akar dari turunan pertama fungsi 𝑔 terhadap 𝜆. 𝑑𝑔(𝜆) =0 𝑑𝜆 2,5𝜆𝑒 −2,5𝜆 − (1 − 𝑒 −2,5𝜆 ) + (2,5𝜆)2 𝑒 −2,5𝜆 = 0. 2,5𝜆2 Dari persamaan di atas, terlihat bahwa solusi eksplisit untuk 𝜆 sulit diperoleh. Oleh karena itu, akan dilakukan pendekatan numerik dengan metode Newton-Raphson. Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut 1. Menentukan nilai taksiran awal dari 𝜆, misalkan 𝜆0 . Nilai 𝜆0 = 0.077 dipilih berdasarkan nilai 𝜆 yang digunakan Yu dan Zivot (2011). 2. Menghitung nilai 𝜆 secara iteratif dengan formula 𝑑𝑔(𝜆)

| 𝑑𝜆 𝜆 𝜆𝑛 = 𝜆𝑛−1 − 𝑑2 𝑔(𝜆) 𝑛−1 | 𝑑𝜆2

𝜆𝑛−1

dengan 𝑑2 𝑔(𝜆) 2(1 − 𝑒 −2,5𝜆 ) − 2.2,5. 𝜆𝑒 −2,5𝜆 − (2,5𝜆)2 𝑒 −2,5𝜆 − (2,5𝜆)3 𝑒 −2,5𝜆 = . 𝑑𝜆2 2,5𝜆3


36

3. Ulangi langkah 2 hingga

|𝜆𝑛 −𝜆𝑛−1 | |𝜆𝑛−1 |

kurang dari toleransi yang dikehendaki.

Setelah diperoleh taksiran dari 𝜆 maka dapat dilakukan estimasi parameter 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 dengan metode OLS. Misalkan pada waktu k terdapat n yield to maturity 𝑦𝑘 (𝜏𝑖 ), untuk waktu jatuh tempo 𝜏1 , 𝜏2 , … . , 𝜏𝑛 yang berbeda. Dengan menggunakan persamaan (3.4) dan 𝜆𝑘 = 𝜆 dapat diperoleh persamaan 1 − 𝑒 −𝜆𝜏𝑖 1 − 𝑒 −𝜆𝜏𝑖 𝑦𝑘 (𝜏𝑖 ) = 𝛽1𝑘 + 𝛽2𝑘 [ ] + 𝛽3𝑘 [ − 𝑒 −𝜆𝜏𝑖 ] , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 𝜆𝜏𝑖 𝜆𝜏𝑖 atau dalam bentuk matriks dapat dinyatakan dengan 1 − 𝑒 −𝜆𝜏1 1 𝜆𝜏1 𝑦𝑘 (𝜏1 ) 1 − 𝑒 −𝜆𝜏2 𝑦𝑘 (𝜏2 ) 1 [ ]= 𝜆𝜏2 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑦𝑘 (𝜏𝑛 ) 1 − 𝑒 −𝜆𝜏𝑛 1 [ 𝜆𝜏𝑛

1 − 𝑒 −𝜆𝜏1 − 𝑒 −𝜆𝜏1 𝜆𝜏1 𝛽1𝑘 1 − 𝑒 −𝜆𝜏2 − 𝑒 −𝜆𝜏2 [𝛽 ] 2𝑘 𝜆𝜏2 𝛽 3𝑘 ⋮ −𝜆𝜏𝑛 1−𝑒 − 𝑒 −𝜆𝜏𝑛 𝜆𝜏𝑛 ]

𝒚𝒌 = 𝒁 . 𝜷 𝒌 (𝑛𝑥1) (𝑛𝑥3) (3𝑥1) Jika invers 𝒁𝑇 𝒁 ada, maka berdasarkan subbab 2.5.1, parameter 𝛽1𝑘 , 𝛽2𝑘 , dan 𝛽3𝑘 dapat dicari dengan metode least square berikut ̂ 𝒌 = (𝒁𝑇 𝒁)−1 𝒁𝑇 𝒚𝒌 . 𝜷

(3.6)

̂ 𝒌 = {𝛽̂1𝑘 , 𝛽̂2𝑘 , 𝛽̂3𝑘 } merupakan hasil estimasi parameter 𝜷𝒌 ={𝛽1𝑘 , 𝛽2𝑘 , 𝛽3𝑘 } 𝜷 pada waktu 𝑘. Untuk 𝑘 = 1,2, … , 𝑡, akan diperoleh {𝛽̂1𝑘 , 𝛽̂2𝑘 , 𝛽̂3𝑘 }𝑡𝑘=1. Setelah memperoleh hasil taksiran parameter dari model Dinamik Nelson Siegel, tahap selanjutnya adalah proses peramalan. Dalam proses peramalan Diebold dan Li (2006) memodelkan {𝛽̂1𝑘 , 𝛽̂2𝑘 , 𝛽̂3𝑘 }𝑡𝑘=1 ke dalam model runtun waktu untuk meramal yield to maturity pada saat 𝑡 + ℎ, ℎ > 0 bilangan bulat.


37

Sehingga pada subbab berikutnya akan dibahas mengenai peramalan model Dinamik Nelson Siegel dengan menggunakan model runtun waktu.

3.4. Proses Peramalan Model Dinamik Nelson Siegel

Berdasarkan subbab sebelumnya, akan diperoleh {𝛽̂1𝑘 , 𝛽̂2𝑘 , 𝛽̂3𝑘 }𝑡𝑘=1. Dimana himpunan tersebut membentuk barisan pengamatan yang terurut dalam waktu tertentu. Sehingga model yang digunakan untuk memodelkan {𝛽̂1𝑘 , 𝛽̂2𝑘 , 𝛽̂3𝑘 }𝑡𝑘=1 adalah model runtun waktu. Diebold dan Li memodelkan {𝛽̂1𝑘 , 𝛽̂2𝑘 , 𝛽̂3𝑘 }𝑡𝑘=1 ke dalam bentuk proses runtun waktu AR(1) untuk memperoleh hasil ramalan 𝛽̂1,𝑡+ℎ , 𝛽̂2,𝑡+ℎ , dan 𝛽̂3,𝑡+ℎ . Menurut mereka, model AR(1) dianggap dapat menjadi tolak ukur dalam meramalkan data berdasarkan informasi sebelumnya, model ini juga merupakan model autoregresi paling sederhana. Peramalan yield to maturity berdasarkan model AR(1) adalah 𝑦̂𝑡+ℎ|𝑡 (𝜏𝑖 ) = 𝛽̂1,𝑡+ℎ|𝑡 + 𝛽̂2,𝑡+ℎ|𝑡

1 − 𝑒 −𝜆𝜏𝑖 𝜆𝜏𝑖

1 − 𝑒 −𝜆𝜏𝑖 + 𝛽̂3,𝑡+ℎ|𝑡 ( − 𝑒 −𝜆𝜏𝑖 ), 𝜆𝜏𝑖

(3.7)

dimana 𝛽̂𝑖,𝑡+ℎ|𝑡 = 𝑐̂𝑖 + 𝛾̂𝑖 𝛽̂𝑖𝑡 , 𝑖 = 1,2,3.

(3.8)

dengan 𝑦̂𝑡+ℎ|𝑡 (𝜏𝑖 )

: nilai peramalan yield to maturity pada waktu 𝑡 + ℎ dengan diketahui yield to maturity sampai waktu 𝑡,

𝛽̂𝑖,𝑡+ℎ|𝑡

: nilai peramalan faktor 𝛽̂𝑖 pada waktu 𝑡 + ℎ dengan diketahui faktor 𝛽̂𝑖 sampai waktu 𝑡.


38 𝛽̂𝑖,𝑡+ℎ|𝑡 pada persamaan (3.8) ekuivalen dengan 𝑌̂𝑡 (ℎ) pada persamaan (2.7). Dalam proses implementasi, parameter 𝑐̂𝑖 dan 𝛾̂𝑖 merupakan parameter yang bergantung pada ℎ. Sehingga untuk mempermudah interpretasi, persamaan (3.8) dapat ditulis menjadi 𝛽̂𝑖,𝑡+ℎ|𝑡 = 𝑐̂𝑖|ℎ + 𝛾̂𝑖|ℎ 𝛽̂𝑖𝑡 , 𝑖 = 1,2,3.

(3.9)

dengan 𝑐̂𝑖|ℎ

: konstanta model AR (1) dari faktor 𝛽̂𝑖 dengan lead time ℎ,

𝛾̂𝑖|ℎ

: parameter model AR (1) dari faktor 𝛽̂𝑖 dengan lead time ℎ.

Untuk ℎ = 1, estimasi parameter 𝑐̂𝑖|1 dan 𝛾̂𝑖|1 dapat diperoleh dengan metode 𝑡 least square. Misalkan telah diperoleh parameter {𝛽̂1𝑘 , 𝛽̂2𝑘 , 𝛽̂3𝑘 }𝑘=1 , maka

parameter 𝑐̂𝑖|1 dan 𝛾̂𝑖|1 dapat dicari dengan persamaan 𝛽̂𝑖,𝑘 = 𝑐𝑖|1 + 𝛾𝑖|1 𝛽̂𝑖,𝑘−1 , 𝑖 = 1,2,3. Persamaaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut 𝛽̂𝑖,2 1 𝛽̂𝑖,1 𝛽̂𝑖,3 = 1 𝛽̂𝑖,2 [𝑐𝑖|1 ] 𝛾𝑖|1 ⋮ ⋮ ⋮ [ 𝛽̂𝑖,𝑡 ] [1 𝛽̂𝑖,𝑡−1 ] atau ditulis menjadi 𝜷𝒊 = 𝑿𝒊 𝒄𝒊 , 𝛽̂𝑖,2 1 ̂ 1 dengan 𝜷𝒊 = 𝛽𝑖,3 , 𝑿𝒊 = ⋮ ⋮ [ 𝛽̂𝑖,𝑡 ] [1 Jika (𝑿𝒊 𝑇 𝑿𝒊 )

−1

𝛽̂𝑖,1 𝛽̂𝑖,2 , dan 𝒄 = [𝑐𝑖|1 ]. 𝒊 𝛾𝑖|1 ⋮ 𝛽̂𝑖,𝑡−1 ]

ada, maka berdasarkan subbab 2.5.1, estimasi parameter 𝑐𝑖|1 dan

𝛾𝑖|1 adalah Universitas Indonesia

39 −1

(3.10)

𝒄̂𝒊 = (𝑿𝒊 𝑇 𝑿𝒊 ) 𝑿𝒊 𝜷𝒊 , 𝑇

dengan 𝒄̂𝒊 = (𝑐̂𝑖|1 𝛾̂𝑖|1 ) . Untuk ℎ > 1, estimasi parameter 𝑐𝑖|ℎ dan 𝛾𝑖|ℎ dapat diperoleh dengan menggunakan hasil dari persamaan (3.10) dan persamaan (2.11). Berikut ini adalah persamaan estimasi parameter 𝑐𝑖|ℎ dan 𝛾𝑖|ℎ untuk ℎ > 1:

𝑐̂𝑖|ℎ = 𝑐̂𝑖|1

ℎ (1 − 𝛾̂𝑖|1 )

(1 − 𝛾̂𝑖|1 )

(3.11)

ℎ dan 𝛾̂𝑖|ℎ = 𝛾̂𝑖|1 .

Setelah memperoleh 𝑐̂𝑖|ℎ dan 𝛾̂𝑖|ℎ , 𝑖 = 1,2,3, langkah selanjutnya adalah mensubtitusikan parameter tersebut ke dalam persamaan (3.9). Kemudian hasil persamaan (3.9) disubtitusikan ke dalam persamaan (3.7). Sehingga akan diperoleh peramalan yield to maturity dengan jatuh tempo 𝜏𝑖 pada waktu 𝑡 + 𝑡 ℎ berdasarkan parameter {𝛽̂1𝑘 , 𝛽̂2𝑘 , 𝛽̂3𝑘 }𝑘=1 .

Untuk mengevaluasi hasil dari peramalan, didefinisikan error peramalan pada saat 𝑡 + ℎ sebagai selisih dari yield to maturity dengan waktu jatuh tempo 𝜏𝑖 dari data sebenarnya 𝑦𝑡+ℎ (𝜏𝑖 ) terhadap hasil peramalan 𝑦̂𝑡+ℎ|𝑡 (𝜏𝑖 ) berdasarkan persamaan (3.7). Sehingga error peramalan dapat dinyatakan sebagai 𝑦𝑡+ℎ (𝜏𝑖 ) − 𝑦̂𝑡+ℎ|𝑡 (𝜏𝑖 ). Sedangkan akar dari rata-rata jumlah kuadrat error peramalan (RMSE) untuk waktu jatuh tempo 𝜏𝑖 didefinisikan sebagai berikut 𝑛

𝑅𝑀𝑆𝐸(𝜏𝑖 ) = √

𝑝 ∑𝑡=1 (𝑦𝑡+ℎ (𝜏𝑖 ) − 𝑦̂𝑡+ℎ|𝑡 (𝜏𝑖 ))

𝑛𝑝

2

,

(3.12)

dengan 𝑛𝑝 adalah banyaknya data hasil peramalan yield to maturity dengan waktu jatuh tempo 𝜏𝑖 . Nilai RMSE yang besar mengidentifikasikan bahwa proses peramalan kurang baik dalam mengaproksimasi data sebenarnya.


BAB 4 IMPLEMENTASI MODEL DINAMIK NELSON SIEGEL

Pada bab ini akan dibahas implementasi model Dinamik Nelson Siegel. Secara garis besar, proses implementasi ini dapat digambarkan melalui skema berikut Data historis yield to maturity harian

Metode Newton Raphson dan metode OLS

Taksiran parameter model Dinamik Nelson Siegel

Fitting kurva yield Analisis runtun waktu dan metode OLS Evaluasi hasil peramalan Peramalan

Peramalan yield to maturity harian

Gambar 4.1 Skema implementasi Model Dinamik Nelson Siegel Skema pada Gambar 4.1 secara singkat dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. Data historis yang digunakan untuk implementasi model Dinamik Nelson Siegel adalah data yield to maturity harian dan berlaku untuk beberapa waktu jatuh tempo zero coupon bond. 2. Taksiran parameter model Dinamik Nelson Siegel diperoleh dengan menggunakan metode Newton-Raphson dan metode OLS (Ordinary Least Square) seperti yang telah dijelaskan pada subbab 3.3. 3. Proses fitting kurva yield dilakukan dengan cara membandingkan yield to maturity berdasarkan data sebenarnya dan model Dinamik Nelson Siegel. 4. Peramalan yield to maturity diperoleh dengan cara memodelkan parameter model Dinamik Nelson Siegel ke dalam model runtun waktu seperti pada

40


41

subbab 2.3. Kemudian dilakukan peramalan seperti yang telah dijelaskan pada subbab 3.4. 5. Setelah diperoleh peramalan yield to maturity, selanjutnya akan dilakukan evalusi hasil peramalan berdasarkan RMSE yang dihasilkan. Sebelum membahas mengenai implementasi model Dinamik Nelson Siegel, akan dibahas terlebih dahulu mengenai data yang digunakan.

4.1. Data

Data yang digunakan adalah data yield to maturity obligasi zero coupon dari Bank of Cananda. Data yang diambil adalah data harian mulai dari 4 April 2012 sampai 19 April 2013 dengan 30 masa jatuh tempo yang berbeda, yaitu 1-30 tahun. Data tersebut dapat diunduh di (www.bankofcanada.ca). Table 4.1 merupakan potongan data yield to maturity dari 4 April 2012 - 19 April 2013 dengan waktu jatuh tempo 1-30 tahun per periode (tanggal). Tabel 4.1 Data yield to maturity dari 4 April 2012 -19 April 2013 Waktu Jatuh tempo (tahun)

No (𝑡)

Tanggal 1

2

3

⋯

29

30

1

4/4/2012

0.01061436

0.01233463

0.01380714

⋯

0.02766343

0.02753649

2

4/5/2012

0.01086176

0.01269648

0.01417832

⋯

0.02758746

0.02746162

3

4/9/2012

0.01075769

0.01251477

0.01387199

⋯

0.02709729

0.02696975

⋮ ⋮

⋮ ⋮

⋮ ⋮

⋮ ⋮

⋮ ⋮

⋮ ⋮

⋮ ⋮

258

4/17/2013

0.00966339

0.00963938

0.01033581

⋯

0.0244522

0.02431288

259

4/18/2013

0.0096863

0.00968752

0.01039626

⋯

0.02441204

0.02427041

260

4/19/2013

0.0096899

0.00969212

0.01042253

⋯

0.02447014

0.02433078

Setelah memperoleh data, selanjutnya data tersebut akan dibagi menjadi dua bagian. Pertama adalah data simulasi (in sample) yang akan digunakan untuk melakukan taksiran parameter pada model Dinamik Nelson Siegel. Data in sample ini dimulai dari 4 April 2012 sampai 22 Januari 2013 (200 hari). Bagian kedua adalah data tester (out of sample), data ini digunakan untuk melihat kinerja Universitas Indonesia

42

peramalan dengan menggunakan model Dinamik Nelson Siegel. Data out of sample ini dimulai dari 23 Januari 2013 sampai 19 April 2013 (60 hari). Berikut ini adalah gambar tiga dimensi dan statistik deskriptif data in sample yang digunakan

Gambar 4.2 Kurva Yield dari 4 April 2012 - 22 Januari 2013

Berdasarkan Gambar 4.2 terlihat bahwa secara umum makin lama waktu jatuh tempo, maka akan makin besar yield yang akan diperoleh. Namun pada waktu jatuh tempo di atas 20 tahun bentuk dari kurva yield cenderung horizontal, bahkan mengalami penurunan. Hal ini juga dapat terlihat dari rata-rata yield to maturity pada Gambar 4.3 Menurut Manullang (2010) bentuk kurva yield yang cenderung horizontal pada waktu jatuh tempo panjang dapat terjadi karena dua hal yaitu (1) meskipun investor memiliki ekspektasi mengenai tingkat bunga di masa yang akan datang untuk jangka pendek, menengah, dan panjang, ekspektasi jangka panjang lebih bersifat tersebar sehingga sulit untuk mengukur perbedaan pada jangka panjang; (2) Risiko premium cenderung stabil dalam waktu yang lebih lama. Risiko premium dapat dibedakan menjadi dua, yaitu The Liquidity Premium dan The Universitas Indonesia

43

Preferred Habit. The Liquidity Premium berarti bahwa investor lebih tertarik untuk mempertahankan obligasi dengan masa jatuh tempo yang lebih lama dengan harapan obligasi memberikan tingkat pengembalian yang tinggi (pada tingkat risiko premium tertentu) sehingga mampu menyeimbangkan volatilitas yang tinggi dari obligasi tersebut. The Preffered Habitat, mengemukakan bahwa investor tidak selalu berniat untuk melikuidasi investasinya secepat mungkin, biasanya dipengaruhi oleh kondisi kewajiban investor.

Gambar 4.3 Output Matlab: Statistik deskriptif yield to maturity dari 4 April 2012 -22 Januari 2013 Berdasarkan data yield to maturity tersebut, akan dilakukan implementasi model Dinamik Nelson Siegel. Sehingga pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai implementasi model Dinamik Nelson Siegel.


44

4.2. Implementasi Model Dinamik Nelson Siegel

Proses implementasi model Dinamik Nelson Siegel terdiri dari tiga langkah. Langkah pertama adalah mencari taksiran parameter model Dinamik Nelson Siegel. Taksiran parameter 𝜆𝑡 pada persamaan (3.4) diperoleh dengan menggunakan metode Newton-Raphson. Kemudian, nilai taksiran 𝜆𝑡 ini akan digunakan dalam proses estimasi 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 melalui metode OLS, seperti yang telah dibahas di dalam subbab 3.3. Proses taksiran dengan metode OLS dilakukan secara berkala (periode per periode) mulai dari yield to maturity dari obligasi yang diterbitkan pada 4 April 2012 sampai 22 Januari 2013. Sehingga akan diperoleh data runtun waktu {𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 , 𝛽̂3𝑡 }. Langkah kedua adalah proses fitting kurva yield berdasarkan hasil estimasi parameter model Dinamik Nelson Siegel dengan data sebenarnya. Karena proses pemodelan ini menghasilkan banyak kurva yield (dalam penelitian ini terbentuk 200 kurva yield), maka proses fitting dilakukan dengan membandingkan rata-rata yield to maturity sebenarnya dan berdasarkan model Dinamik Nelson Siegel yang berkaitan dengan rata-rata dari {𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 , 𝛽̂3𝑡 }. Selain itu, proses ini juga dilakukan pada kurva yield tanggal tertentu yang di pilih secara acak. Langkah terakhir adalah peramalan yield to maturity untuk obligasi yang diterbitkan pada tanggal 23 Januari 2013 sampai 19 April 2013. Seperti yang telah dibahas pada subbab 3.4, peramalan yield to maturity dilakukan dengan cara memodelkan dan meramal {𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 , 𝛽̂3𝑡 } ke dalam model runtun waktu AR(1). Sehingga pada langkah ini, akan dilakukan pengecekkan {𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 , 𝛽̂3𝑡 } mengikuti proses AR(1) yang dapat dibagi menjadi empat tahap. Pertama, pengecekkan kestasioneran dari {𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 , 𝛽̂3𝑡 } dengan menggunakan uji unit root seperti yang telah dibahas pada subbab 2.3.4. Kedua adalah tahap identifikasi berdasarkan grafik korelogram ACF (Autocorrelatian Function) dan PACF (Partial Autocorrelation Function). Tahap ketiga adalah proses fitting antara model AR(1) dengan {𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 , 𝛽̂3𝑡 } berdasarkan model Dinamik Nelson Siegel. Tahap keempat adalah tes diagnostik. Pada tes diagnostik, akan dilakukan pengecekkan residual dari model AR(1) mengikuti proses white noise. Setelah diperoleh residual Universitas Indonesia

45

mengikuti proses white noise, selanjutnya dilakukan proses peramalan yield to maturity, seperti yang telah dibahas pada subbab 3.4. Setelah mengetahui langkah-langkah implementasi model Dinamik Nelson Siegel, berikut akan dijabarkan proses-proses dan hasil implementasinya pada data yield to maturity Bank of Canada. Proses implementasi diawali dengan mengestimasi parameter 𝜆𝑡 . Berdasarkan subbab 3.3, parameter 𝜆𝑡 merupakan parameter konstan (𝜆𝑡 = 𝜆) yang dapat memaksimumkan faktor pengali dari 𝛽3𝑡 pada saat medium-term. Dimana medium-term ini didefinisikan sebagai waktu jatuh tempo tepat 2,5 tahun. Parameter ini dapat diperoleh dengan menggunakan metode Newton-Raphson. Dengan mengambil medium-term 𝜏 = 2,5 tahun dan nilai awal parameter 𝜆0 = 0.077 (nilai 𝜆 yang digunakan Yu dan Zivot (2011)) dengan toleransi = 10−6 akan diperoleh nilai taksiran 𝜆̂ = 0.7173. Selanjutnya nilai 𝜆̂ ini akan digunakan untuk menaksir parameter 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 dengan metode OLS periode per periode. Tabel 4.2 merupakan potongan hasil estimasi parameter 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 dengan 𝜆̂ = 0.7173. Tabel 4.2 Hasil estimasi parameter 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 dari 4 April 2012 -19 April 2013 dengan 𝜆̂ = 0.7173 𝛽̂2𝑡

𝛽̂3𝑡

No(𝑡)

Tanggal

𝛽̂1𝑡

1

4/4/2012

0.0313

-0.0136

-0.0445

2

4/5/2012

0.0311

-0.0134

-0.0431

3

4/9/2012

0.0306

-0.0123

-0.0442

⋮ ⋮

⋮ ⋮

198

1/18/2013

0.0291

-0.0091

-0.0467

199

1/21/2013

0.0292

-0.0093

-0.0465

200

1/22/2013

0.0291

-0.0089

-0.0475

⋮ ⋮

⋮ ⋮

⋮ ⋮

Berdasarkan tabel di atas diperoleh statistik deskriptif dari {𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 , dan 𝛽̂3𝑡 } dengan 𝜆̂ = 0.7173 sebagai berikut :


46

Gambar 4.4 Output Matlab: statistik deskriptif dari estimasi 𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 , dan 𝛽̂3𝑡 dengan 𝜆̂ = 0.7173 pada 4 April 2012 - 22 Januari 2013

Proses estimasi 𝜆𝑡 berdasarkan Diebold dan Li (2006) akan selalu menghasilkan nilai 𝜆̂ yang sama untuk setiap kasus data. Namun pada kenyataannya parameter ini sangat mempengaruhi hasil aproksimasi model terhadap data. Yu dan Salyards (2009) menemukan bahwa terdapat perbedaan nilai optimal 𝜆 antara investment-grade dan speculative-grade (Yu dan Zivot, 2011). Investment-grade merupakan obligasi yang berada pada peringkat AAA sampai BB-, sedangkan speculative-grade merupakan obligasi yang berada pada peringkat BBB+ sampai D. Sehingga diperlukan suatu cara untuk memperoleh 𝜆 yang optimal untuk setiap kasus obligasi. Berdasarkan Rostan dan Rostan (2012), nilai 𝜆𝑡 merupakan parameter yang konstan dan diperoleh dengan meminimumkan rata-rata RMSE dari setiap periode. Dalam penelitian ini akan dilakukan evaluasi per waktu jatuh tempo, sehingga akan dicari nilai 𝜆𝑡 yang dapat meminimumkan rata-rata RMSE dari setiap waktu jatuh tempo. Dengan menggabungkan proses estimasi pada Diebold dan Li (2006) dengan Rostan dan Rosan (2012), maka parameter 𝜆𝑡 akan diperoleh melalui langkah berikut: 1) Inisialisasi vektor berukuran (1𝑥30) yang berisi waktu jatuh tempo. 2) Untuk waktu jatuh tempo ke-𝑖, akan dicari estimasi 𝜆𝑡 dengan menggunakan metode Newton-Raphson. 3) Estimasi dari 𝜆𝑡 digunakan untuk mengestimasi parameter {𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , 𝛽3𝑡 } menggunakan metode OLS. 4) Menghitung 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑅𝑀𝑆𝐸𝑖 dari setiap waktu jatuh tempo. 5) Ulangi langkah 2-4 untuk 𝑖 = 1,2, … ,30. 6) Pilih 𝜆𝑡 ke − 𝑖 yang memenuhi min 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑅𝑀𝑆𝐸𝑖 . 1≤𝑖≤30


47

Berdasarkan proses iterasi di atas diperoleh 𝜏 = 5 tahun dan 𝜆𝑡 = 0.3587. Hasil dari proses estimasi ini digambarkan dalam Gambar 4.5.

Gambar 4.5 Hubungan nilai 𝜆̂ dengan rata-rata RMSE pada 4 April 2012 - 22 Januari 2013

Berdasarkan Gambar 4.5 pada nilai 𝜆𝑡 antara 0 sampai 0,1 terdapat kecenderungan makin kecil 𝜆𝑡 maka akan semakin kecil rata-rata RMSE yang akan dihasilkan. Sehingga akan dipilih 𝜆𝑡 mendekati nol, misalkan 𝜆𝑡 = 0.001, kemudian akan dicari estimasi parameter 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , 𝛽3𝑡 . Berdasarkan Gambar 4.6, diperoleh bahwa dengan 𝜆𝑡 = 0.001 hasil aproksimasi rata-rata kurva yield dari model Dinamik Nelson Siegel lebih baik dalam menggambarkan rata-rata data in sample dibandingkan dengan nilai 𝜆𝑡 = 0.3587 dan 𝜆𝑡 = 0.7173. Dari gambar tersebut juga dapat diperoleh bahwa makin kecil nilai 𝜆𝑡 maka model Dinamik Nelson Siegel akan semakin fit dalam mengaproksimasi data yield to maturity dengan waktu jatuh tempo panjang. Berdasarkan rata-rata RMSE dengan 𝜆𝑡 = 0.001, 𝜆𝑡 = 0.3587 dan 𝜆𝑡 = 0.7173, diperoleh bahwa 𝜆𝑡 = 0.001 menghasilkan rata-rata RMSE terkecil, sedangkan 𝜆𝑡 = 0.7173 menghasilkan rata-rata RMSE terbesar. Namun pada kenyataannya proses estimasi 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , 𝛽3𝑡 dengan 𝜆𝑡 = 0.001 cenderung mengalami multikolinearitas. Menurut Nachrowi dan Usman (2006), salah satu cara dalam mendeteksi adanya multikolinearitas dapat dilihat Universitas Indonesia

48

dari korelasi antar variabel bebas. Jika kuadrat dari korelasi tersebut kurang dari 0.8, maka model tidak mempunyai kolinearitas. Pada model Dinamik Nelson Siegel, yang menjadi variabel bebas adalah faktor pengali dari 𝛽2𝑡 dan 𝛽3𝑡 pada persamaan (3.4). Dengan 𝜆𝑡 = 0.001 diperoleh korelasi antara faktor pengali 𝛽2𝑡 dan 𝛽3𝑡 sebesar −1. Sedangkan untuk 𝜆𝑡 = 0.3587 dan 𝜆𝑡 = 0.7173 nilai korelasinya secara berturut-turut sebesar 0.609 dan 0.851. Walaupun dengan 𝜆𝑡 = 0.001 menghasilkan nilai rata-rata RMSE paling kecil namun karena cenderung mengalami multikolinearitas, maka pada proses selanjutnya akan digunakan 𝜆𝑡 = 0.3587. Dari gambar ini juga diperoleh bahwa semakin kecil nilai 𝜆𝑡 maka bentuk kurva yield cenderung semakin hump untuk waktu jatuh tempo panjang dibandingkan dengan nilai 𝜆𝑡 yang besar.

Gambar 4.6 Perbandingan kurva yield berdasarkan rata-rata data in sample dan rata-rata kurva yield model Dinamik Nelson Siegel dengan 𝜆̂ = 0.001, 𝜆̂ = 0.3587, dan 𝜆̂ = 0.7173

Menurut Nawalkha dan Soto (2009), kurva yield memiliki empat bentuk yaitu normal shape, steep shape, humped shape, dan inverted shape (Manullang, 2010). Bentuk humped terjadi ketika adanya pergerakan dari kurva normal ke kurva inverted dan sebaliknya. Berdasarkan Gambar 4.6, grafik berwarna hijau dan biru merupakan contoh dari kurva yield berbentuk normal, sedangkan grafik Universitas Indonesia

49

berwarna hitam merupakan contoh dari bentuk humped. Bentuk normal umumnya menunjukkan keadaan ekonomi yang berkembang secara normal. Sedangkan bentuk humped biasanya terjadi pada saat pemain di pasar mengharapkan terjadinya pemulihan ekonomi jangka pendek yang diikuti oleh resesi sehingga terjadi perbedaan ekspektasi pada masa yang berbeda. Grafik berwarna hitam cenderung muncul akibat adanya kebijakan Bank Sentral untuk menaikkan tingkat bunga pada waktu jatuh tempo pendek sehingga memicu terjadinya perbaikan ekonomi yang berlebihan untuk jangka pendek. Berdasarkan Kellison (2009), medium-term berada pada waktu jatuh tempo antara satu tahun sampai tujuh tahun. Dari proses estimasi 𝜆𝑡 diperoleh waktu jatuh tempo 𝜏 = 5 tahun. Karena waktu jatuh tempo 5 tahun termasuk dalam medium-term, maka hal ini sesuai dengan pernyataan Diebold dan Li (2006) bahwa 𝜆𝑡 merupakan parameter yang dapat memaksimumkan faktor pengali dari 𝛽3𝑡 pada saat medium-term. Tabel 4.3 merupakan potongan hasil estimasi parameter 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 dengan 𝜆𝑡 = 0.3587. Tabel 4.3 Hasil estimasi parameter 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 dari 4 April 2012 -19 April 2013 dengan 𝜆̂ = 0.3587 No(𝑡)

Tanggal

𝛽1𝑡

𝛽2𝑡

𝛽3𝑡

1

4/4/2012

0.0328

-0.0241

-0.0156

2

4/5/2012

0.0326

-0.0234

-0.0153

3 ⋮ ⋮

4/9/2012 ⋮ ⋮

0.0322 ⋮ ⋮

-0.0227 ⋮ ⋮

-0.0168 ⋮ ⋮

198

1/18/2013

0.0309

-0.0204

-0.0202

199

1/21/2013

0.0311

-0.0205

-0.0201

200

1/22/2013

0.031

-0.0204

-0.0209

Berdasarkan tabel di atas diperoleh statistik deskriptif dari {𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 , dan 𝛽̂3𝑡 } dengan 𝜆̂ = 0.3587 sebagai berikut :

Gambar 4.7 Output Matlab: statistik deskriptif dari taksiran 𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 , dan 𝛽̂3𝑡 dengan 𝜆̂ = 0.3587 pada 4 April 2012 - 22 Januari 2013 Universitas Indonesia

50 Dengan menggunakan 𝜆̂ = 0.3587, akan dilakukan fitting model terhadap data. Proses fitting dilakukan dengan cara membandingkan rata-rata dari data yield to maturity per waktu jatuh temponya dengan model Dinamik Nelson Siegel yang bersesuaian dengan rata-rata dari {𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 , dan 𝛽̂3𝑡 } yang terdapat pada Gambar 4.7. Berdasarkan Gambar 4.8, yang merupakan perbandingan grafik dari rata-rata data yield to maturity dengan model Dinamik Nelson Siegel, diperoleh bahwa model dapat mengaproksimasi data dengan baik untuk waktu jatuh tempo kurang dari 13 tahun.

Gambar 4.8 Fitting rata-rata data in sample dan rata-rata kurva yield berdasarkan model Dinamik Nelson Siegel dengan 𝜆̂ = 0.3587 pada 4 April 2012 - 22 Januari 2013

Selain berdasarkan rata-rata, proses fitting juga dilakukan pada kurva yield pada tanggal tertentu. Dalam proses ini, dipilih empat kurva yield pada tanggal 30 April 2012, 23 Agustus 2012, 5 November 2012, dan 22 Januari 2013. Berdasarkan

Gambar 4.9 diperoleh bahwa dengan dipilih sembarang tanggal, model Dinamik Nelson Siegel dapat mengaproksimasi data yield to maturity dengan cukup baik, terutama untuk waktu jatuh tempo kurang dari 13 tahun. Sehingga berdasarkan Gambar 4.8 dan Gambar 4.9, model dinamik Nelson Siegel cukup fit dalam mengaproksimasi kurva yield, terutama untuk waktu jatuh tempo kurang dari 13 tahun. Universitas Indonesia

51

Gambar 4.9 Fitting kurva yield data sebenarnya dan berdasarkan model Dinamik Nelson Siegel dengan 𝜆̂ = 0.3587 pada 30 April 2012, 23 Agustus 2012, 5 November 2012, dan 22 Januari 2013 Gambar 4.10 menunjukkan statistik deskriptif dari residual model Dinamik Nelson Siegel terhadap kurva yield. selain diberikan nilai RMSE untuk setiap waktu jatuh tempo, pada Gambar 4.10 juga diberikan nilai MAE (Mean Absolut Error), yaitu rata-rata dari relative error pada obligasi dengan waktu jatuh tempo tertentu. Berdasarkan gambar tersebut diperoleh bahwa nilai MAE dan RMSE terkecil berada pada waktu jatuh tempo 25 tahun, sedangkan terbesarnya berada pada waktu jatuh tempo 30 tahun. Untuk waktu jatuh tempo antara 1 − 15 tahun diperoleh nilai MAE dan RMSE kurang dari 0.0005.


52

Gambar 4.10 Output Matlab: statistik deskriptif dari residual model Dinamik Nelson Siegel dengan 𝜆̂ = 0.3587 pada 4 April 2012 - 22 Januari 2013

Setelah memperoleh semua parameter pada model Dinamik Nelson Siegel dan model sudah cukup fit. Tahap selanjutnya adalah proses peramalan yield to maturity. Seperti yang telah dibahas di subbab 3.4, peramalan yield to maturity pada model Dinamik Nelson Siegel dilakukan dengan memodelkan parameter {𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 ,𝛽̂3𝑡 } ke dalam bentuk model runtun waktu AR(1). Sehingga akan dilakukan pengecekan model runtun waktu. Analisis runtun waktu dengan pendekan Box Jenkins, mengasumsikan runtun waktu berupa data stasioner. Maka terlebih dahulu akan dilakukan pengujian kestasioneran menggunakan uji unit root. Proses pengujian ini menggunakan fungsi adftest pada Matlab, dengan menetapkan alpha=10% dan model pengujian berupa model random walk dengan driff. Berdasarkan Gambar 4.11 untuk {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 }, diperoleh bahwa 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎, maka 𝐻0 dari uji unit root ditolak. Sehingga diperoleh bahwa dengan tingkat kepercayaan 90% {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 } stasioner. Universitas Indonesia

53

Gambar 4.11 Output Matlab: Uji unit root pada {𝛽̂1𝑡 , 𝛽̂2𝑡 ,𝛽̂3𝑡 }

Setelah dilakukakan uji unit root, maka selanjutnya dilakukan analisis runtun waktu dengan pendekatan Box-Jenkins yang terdiri dari tiga tahap yaitu, tahap identifikasi, tahap fitting, dan tahap diagnostik. Pada tahap identifikasi dilakukan pemilihan model berdasarkan korelogram. Gambar 4.12 menunjukkan korelogram ACF (Autocorrelatian Function) dan PACF (Partial Autocorrelation Function) secara berturut-turut dari {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 }. Berdasarkan ketiga plot ACF, grafik korelasi mengalami penyusutan secara eksponensial dengan bertambahnya lag. Sedangkan dari ketiga plot PACF, diperoleh bahwa grafik korelasi di lag nol dan satu yang secara signifikan berada diluar garis berwarna biru. Garis biru merupakan garis interval kepercayaan untuk pengujian proses white noise dengan tingkat kepercayaan 95%. Sehingga berdasarkan plot ACF dan PACF, kandidat model untuk {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 } adalah AR(1).

Gambar 4.12 Grafik korelogram ACF dan PACF {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 }

Selanjutnya adalah tahap fitting, yaitu berupa penentuan nilai parameter pada model AR(1) dan pencocokkan model tersebut terhadap data pengamatan. Universitas Indonesia

54

Dengan menggunakan persamaan (3.10), diperoleh estimasi parameter dari model AR(1) adalah sebagai berikut: 𝛽̂1𝑡 = 0.001923 + 0.936247𝛽̂1,𝑡−1 ,

(4.1)

𝛽̂2𝑡 = −0.002128 + 0.888541𝛽̂2,𝑡−1 , 𝛽̂3𝑡 = −0.001598 + 0.934189𝛽̂3,𝑡−1 . Berdasarkan persamaan di atas, akan dilakukan proses fitting terhadap {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 } pada tabel 4.3, yang selanjunya disebut {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 } OLS. Berdasarkan Gambar 4.13, diperoleh bahwa model AR(1) dapat mengaproksimasi estimasi {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 } OLS.

Gambar 4.13 Grafik fitting {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 } berdasarkan model AR(1) dan berdasarkan model Dinamik Nelson Siegel

Tahap terakhir dalam pendekatan Box-Jenkins adalah tahap diagnostik. Pada tahap ini akan dilakukan pengujian residual yang dihasilkan dari model AR(1) mengikuti proses white noise. Gambar 4.14 menunjukkan plot residual, korelogram ACF dan PACF secara berturut-turut dari model AR(1) untuk {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 }. Dari gambar tersebut diperoleh bahwa mean dan variansi Universitas Indonesia

55

residual relatif konstan dan berdasarkan plot ACF dan PACF, hanya ada plot di lag nol yang secara signifikan berada diluar garis interval kepercayaannya. Sehingga dapat disimpulkan residual model AR(1) untuk {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 } mengikuti proses white noise. Setelah melewati tiga tahapan dalam metode BoxJenkins, tahap selanjutnya adalah proses peramalan.

Gambar 4.14 Grafik residual, korelogram ACF dan PACF secara berturut-turut dari model AR(1) untuk {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 } Pada proses peramalan, pertama akan dicek mean white noise apakah memiliki nilai nol. Proses pengecekkan menggunakan uji−𝑡. Proses pengujian ini menggunakan fungsi ttest pada Matlab, dengan menetapkan alpha=10% diperoleh bahwa dengan tingkat kepercayaan 90% mean white noise dari {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 } bernilai nol . Hasil ini dapat dilihat pada Gambar 4.15. Dengan mean white noise nol, maka proses peramalan berdasarkan subbab 2.3.5 dapat dilakukan. Selain itu berdasarkan Wei (2006), jika residual dari proses AR (1) berupa white noise dengan mean nol maka estimasi parameter yang dihasilkan bersifat asymptotically unbiased dan konsisten.

Gambar 4.15 Output Matlab: Uji-t pada residual model AR(1) untuk {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 } Universitas Indonesia

56

Hasil pengujian dengan SPSS juga diperoleh bahwa mean dari residual model AR(1) untuk {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 } bernilai nol. Tabel 4.4 merupakan output one sample t-test dari SPSS. Tabel 4.4 Output SPSS: Uji-t pada residual model AR(1) untuk {𝛽̂1𝑡 }, {𝛽̂2𝑡 }, dan {𝛽̂3𝑡 } Test Value = 0

t Error1 Error2 Error3

Sig. (2df tailed)

.000 198 .000 198 .000 198

95% Confidence Interval of the Difference Mean Difference

Lower

Upper

1.000 -8.3919597989771E-10 -3.553849389919E-5 1.000 .0000000005327 -5.143943811709E-5 1.000 -9.5477386954701E-11 -1.240753421703E-4

3.553681550723E-5 5.144050344372E-5 1.240751512155E-4

Setelah diperoleh mean white noise bernilai nol, tahap selanjutnya akan dilakukan proses peramalan seperti yang telah dijelaskan pada subbab 2.3.5. Berdasarkan subbab 3.4 dan persamaan (4.1) diperoleh model peramalan yield to maturity adalah sebagai berikut : 𝑦̂𝑡+ℎ|𝑡 (𝜏𝑖 ) = 𝛽̂1,𝑡+ℎ|𝑡 + 𝛽̂2,𝑡+ℎ|𝑡

1 − 𝑒 −𝜆𝜏𝑖 𝜆𝜏𝑖

1 − 𝑒 −𝜆𝜏𝑖 + 𝛽̂3,𝑡+ℎ|𝑡 ( − 𝑒 −𝜆𝜏𝑖 ), 𝜆𝜏𝑖

(4.2)

dengan 𝛽̂1,𝑡+ℎ|𝑡 = 0.001923

(1 − 0.936247ℎ ) + 0.936247ℎ 𝛽̂1,𝑡 , (1 − 0.936247)

𝛽̂2,𝑡+ℎ|𝑡 = −0.002128 𝛽̂3,𝑡+ℎ|𝑡 = −0.001598

(1 − 0.888541ℎ ) + 0.888541ℎ 𝛽̂2,𝑡 , (1 − 0.888541)

(4.3)

ℎ)

(1 − 0.934189 + 0.934189ℎ 𝛽̂3,𝑡 . (1 − 0.934189)

Berdasarkan subbab sebelumnya, telah dibahas bahwa data out of sample merupakan data yield to maturity dari 23 Januari 2013 sampai 19 April 2013 (60 hari). Sehingga dilakukan peramalan yield to maturity dari tanggal 23 Januari 2013 sampai 19 April 2013 menggunakan persamaan di atas dengan forecast Universitas Indonesia

57

origin 𝑡 = 200 dan lead time ℎ = 1,2, … . ,60. Berdasarkan perhitungan tersebut, diperoleh perbandingan rata-rata data out of sample dan rata-rata kurva yield berdasarkan peramalan model Dinamik Nelson Siegel yang bersesuaian dengan rata-rata dari {𝛽̂1,𝑡+ℎ|𝑡 }, {𝛽̂2,𝑡+ℎ|𝑡 }, dan {𝛽̂3,𝑡+ℎ|𝑡 } yang digambarkan pada Gambar 4.16. Gambar tersebut menunjukkan bahwa rata-rata peramalan model Dinamik Nelson Siegel dapat mengaproksimasi rata-rata data out of sample dengan cukup baik untuk waktu jatuh tempo kurang dari 10 tahun. Namun untuk waktu jatuh tempo lebih dari 10 tahun, hasil aproksimasinya kurang baik.

Gambar 4.16 Perbandingan rata-rata data out of sample dan rata-rata kurva yield berdasarkan peramalan model Dinamik Nelson Siegel pada 23 Januari 2013 sampai 19 April 2013

Gambar 4.17 merupakan grafik perbandingan kurva yield data out of sample dan peramalan model Dinamik Nelson Siegel pada 12 Februari 2013, 7 Maret 2013, 28 Maret 2013, dan 19 April 2013. Dari gambar tersebut diperoleh bahwa peramalan model Dinamik Nelson Siegel dapat mengaproksimasi data out of sample dengan cukup baik untuk waktu jatuh tempo kurang dari 10 tahun pada 12 Februari 2013, 7 Maret 2013, dan 28 Maret 2013. Namun untuk kurva yield pada 19 April 2013, model peramalan Dinamik Nelson Siegel kurang baik dalam mengaproksimasi data sebenarnya untuk waktu jatuh tempo kurang dari 10 tahun. Universitas Indonesia

58

Hal ini juga menunjukkan bahwa model yang fit dalam in sample, belum tentu menghasilkan peramalan yang baik pada out of sample.

Gambar 4.17 Perbandingan data out of sample dan berdasarkan peramalan model Dinamik Nelson Siegel pada 12 Februari 2013, 7 Maret 2013, 28 Maret 2013, dan 19 April 2013

Berikut akan dianalisa penyebab buruknya hasil peramalan model Dinamik Nelson Siegel. Hasil peramalan yield to maturity dengan model Dinamik Nelson Siegel diperoleh berdasarkan peramalan parameter {𝛽̂1,𝑡+ℎ|𝑡 }, {𝛽̂2,𝑡+ℎ|𝑡 }, dan {𝛽̂3,𝑡+ℎ|𝑡 } dalam model AR(1). Sehingga akan dilakukan pengecekkan hasil peramalan {𝛽̂1,𝑡+ℎ|𝑡 }, {𝛽̂2,𝑡+ℎ|𝑡 }, dan {𝛽̂3,𝑡+ℎ|𝑡 } berdasarkan persamaan (4.3) terhadap {𝛽̂1,𝑡+ℎ }, {𝛽̂2,𝑡+ℎ }, dan {𝛽̂3,𝑡+ℎ } hasil estimasi OLS pada data out of sample (Tabel 4.5). Perbandingan tersebut digambarkan pada Gambar 4.18. Berdasarkan gambar 4.18 diperoleh bahwa {𝛽̂1,𝑡+ℎ|𝑡 }, {𝛽̂2,𝑡+ℎ|𝑡 }, dan {𝛽̂3,𝑡+ℎ|𝑡 } secara berturut-turut tidak dapat mengaproksimasi {𝛽̂1,𝑡+ℎ }, {𝛽̂2,𝑡+ℎ }, dan {𝛽̂3,𝑡+ℎ }. Hal inilah yang menyebabkan peramalan model Dinamik Nelson Siegel kurang dapat mengaproksimasi data out of sample dengan baik, tidak seperti pada data in sample. Sehingga dibutuhkan metode lain untuk memperbaiki hasil peramalan. Universitas Indonesia

59

Gambar 4.18 Fitting {𝛽̂1,𝑡+ℎ }, {𝛽̂2,𝑡+ℎ }, dan {𝛽̂3,𝑡+ℎ } antara data out of sample dengan hasil peramalan AR(1) untuk ℎ = 1,2, … ,60

Selanjutnya, akan diimplementasikan strategi lain dalam peramalan yield to maturity, yaitu dengan metode updating yang telah dibahas di subbab 2.3.5. Pada metode ini, proses peramalan akan di update setiap hari. Asumsi dalam proses updating ini adalah besarnya yield to maturity waktu 𝑡 + ℎ − 1 sudah diketahui dan akan digunakan dalam peramalan yield to maturity waktu ke 𝑡 + ℎ. Berdasarkan persamaan (2.10) dan persamaan (4.3), persamaan updating untuk 𝛽̂1,𝑡+ℎ|𝑡+1 , 𝛽̂2,𝑡+ℎ|𝑡+1, dan 𝛽̂3,𝑡+ℎ|𝑡+1 dengan diketahui observasi 𝛽̂1,𝑡+1, 𝛽̂2,𝑡+1 , dan 𝛽̂3,𝑡+1 adalah sebagai berikut : 𝛽̂1,𝑡+ℎ|𝑡+1 = 𝛽̂1,𝑡+ℎ|𝑡 + 0.936247ℎ−1 (𝛽̂1,𝑡+1 − 𝛽̂1,𝑡+1|𝑡 ), 𝛽̂2,𝑡+ℎ|𝑡+1 = 𝛽̂2,𝑡+ℎ|𝑡 + 0.888541ℎ−1 (𝛽̂2,𝑡+1 − 𝛽̂2,𝑡+1|𝑡 ), 𝛽̂3,𝑡+ℎ|𝑡+1 = 𝛽̂2,𝑡+ℎ|𝑡 + 0.934189

ℎ−1

(4.4)

(𝛽̂3,𝑡+1 − 𝛽̂3,𝑡+1|𝑡 ).

Proses perhitungan 𝛽̂𝑖,𝑡+ℎ|𝑡+ℎ−1 , 𝑖 = 1,2,3 untuk ℎ = 1,2,3, . . ,60 dilakukan secara iteratif dengan membentuk matriks berikut : Universitas Indonesia

60 𝛽̂𝑖,𝑡+1|𝑡 𝛽̂𝑖,𝑡+2|𝑡 𝛽̂𝑖,𝑡+3|𝑡

0

0

𝛽̂𝑖,𝑡+2|𝑡+1 𝛽̂𝑖,𝑡+3|𝑡+1

0

𝛽̂𝑖,𝑡+59|𝑡+1 𝛽̂𝑖,𝑡+60|𝑡+1

⋯

𝛽̂𝑖,𝑡+3|𝑡+2

⋮ 𝛽̂𝑖,𝑡+59|𝑡 [𝛽̂𝑖,𝑡+60|𝑡

0 0 0

0 0 0

⋱ 𝛽̂𝑖,𝑡+59|𝑡+2 𝛽̂𝑖,𝑡+60|𝑡+2

.

⋮ 𝛽̂𝑖,𝑡+59|𝑡+58 𝛽̂𝑖,𝑡+60|𝑡+58

⋯

0 𝛽̂𝑖,𝑡+60|𝑡+59 ]

Adapun langkah-langkah dalam pembentukkan matriks di atas antara lain : 1) Hitung persamaan (4.3) untuk ℎ = 1,2, … ,60. Hasil perhitungan ini, akan diletakkan pada kolom pertama matriks di atas. 2) Dengan menggunakan persamaan (4.4), untuk ℎ = 2,3, … ,60 dan 𝑘 = ℎ, ℎ + 1, … ,60, hitung persamaan berikut 𝛽̂1,𝑡+𝑘|𝑡+ℎ−1 = 𝛽̂1,𝑡+𝑘|𝑡+ℎ−2 + 0.936247𝑘−ℎ+1 (𝛽̂1,𝑡+ℎ−1 − 𝛽̂1,𝑡+ℎ−1|𝑡+ℎ−2 ), 𝛽̂2,𝑡+𝑘|𝑡+ℎ−1 = 𝛽̂2,𝑡+𝑘|𝑡+ℎ−2 + 0.888541𝑘−ℎ+1 (𝛽̂2,𝑡+ℎ−1 − 𝛽̂2,𝑡+ℎ−1|𝑡+ℎ−2 ), 𝛽̂3,𝑡+𝑘|𝑡+ℎ−1 = 𝛽̂2,𝑡+𝑘|𝑡+ℎ−2 + 0.934189𝑘−ℎ+1 (𝛽̂3,𝑡+ℎ−1 − 𝛽̂3,𝑡+ℎ−1|𝑡+ℎ−2 ). Hasil perhitungan persamaan di atas akan diletakkan pada kolom ke-ℎ matriks. 3) Hasil peramalan AR(1) dengan updating merupakan diagonal utama dari matriks di atas. Hasil updating parameter 𝛽1,𝑡+ℎ , 𝛽2,𝑡+ℎ , dan 𝛽3,𝑡+ℎ berdasarkan model AR (1) dapat dilihat pada Tabel 4.5. Tabel 4.5 Hasil estimasi parameter 𝛽1,𝑡+ℎ , 𝛽2,𝑡+ℎ , dan 𝛽3,𝑡+ℎ berdasarkan updating AR(1) dan estimasi OLS pada data out of sample Updating AR(1) 𝛽̂2,𝑡+ℎ|𝑡+ℎ−1 𝛽̂3,𝑡+ℎ|𝑡+ℎ−1

𝛽̂1,𝑡+ℎ

OLS ̂ 𝛽2,𝑡+ℎ

-0.0211

0.0309

-0.0206

-0.022

-0.0205

-0.0221

0.031

-0.0209

-0.0216

-0.0207

-0.0217

0.0315

-0.0216

-0.0201

⋮

⋮

⋮

0.031

-0.0199

-0.0322

-0.0317

0.0309

-0.0197

-0.0323

-0.0318

0.031

-0.0198

-0.0322

No (ℎ)

Tanggal

1

1/23/2013

0.031

-0.0203

2

1/24/2013

0.0309

3

1/25/2013

0.031

⋮

⋮

58

4/17/2013

0.0312

-0.0202

-0.0313

59

4/18/2013

0.031

-0.0198

60

4/19/2013

0.0309

-0.0197

𝛽̂1,𝑡+ℎ|𝑡+ℎ−1

⋮

⋮

⋮

𝛽̂3,𝑡+ℎ


61

Berikut ini akan dilakukan pengecekkan apakah proses updating dapat menghasilkan peramalan yang lebih baik dibandingkan dengan peramalan sebelumnya. Gambar 4.19 menunjukkan perbandingan antara {𝛽̂1,𝑡+ℎ }, {𝛽̂2,𝑡+ℎ }, dan {𝛽̂3,𝑡+ℎ } berdasarkan estimasi OLS pada data out of sample dengan hasil peramalan AR(1) dengan menggunakan metode updating dan tanpa updating. Dari gambar tersebut diperoleh bahwa hasil peramalan AR(1) dengan metode updating dapat mengaproksimasi hasil estimasi parameter berdasarkan metode OLS, sedangkan hasil peramalan AR(1) tanpa metode updating tidak dapat mengaproksimasi dengan baik.

Gambar 4.19 Fitting {𝛽̂1,𝑡+ℎ }, {𝛽̂2,𝑡+ℎ }, dan {𝛽̂3,𝑡+ℎ } antara data out of sample dengan hasil peramalan AR(1) dengan updating dan tanpa updating untuk ℎ = 1,2, … ,60

Setelah diperoleh hasil peramalan {𝛽̂1,𝑡+ℎ }, {𝛽̂2,𝑡+ℎ }, dan {𝛽̂3,𝑡+ℎ } dengan metode updating, tahap selanjutnya adalah melakukan peramalan yield to maturity data out of sample. Gambar 4.20 merupakan gambar yang menunjukkan perbandingan kurva yield dari rata-rata data out of sample dengan hasil peramalan model Dinamik Nelson Siegel yang bersesuaian dengan rata-rata hasil peramalan {𝛽̂1,𝑡+ℎ }, {𝛽̂2,𝑡+ℎ }, dan {𝛽̂3,𝑡+ℎ } dengan proses updating (grafik biru) dan tanpa Universitas Indonesia

62

updating (grafik hijau). Berdasarkan gambar tersebut, diperoleh bahwa rata-rata peramalan model Dinamik Nelson Siegel dengan updating dapat mengaproksimasi rata-rata data out of sample lebih baik dibandingkan dengan rata-rata peramalan model Dinamik Nelson Siegel tanpa updating .

Gambar 4.20 Perbandingan rata-rata data out of sample dan rata-rata kurva yield berdasarkan peramalan model Dinamik Nelson Siegel dengan updating dan tanpa updating

Gambar 4.21 merupakan grafik perbandingan kurva yield data out of sample dan peramalan model Dinamik Nelson Siegel dengan proses updating dan tanpa updating pada 12 Februari 2013, 7 Maret 2013, 28 Maret 2013, dan 19 April 2013. Berdasarkan gambar tersebut diperoleh bahwa peramalan model Dinamik Nelson Siegel dengan updating dapat mengaproksimasi data out of sample lebih baik dibandingkan dengan peramalan model Dinamik Nelson Siegel tanpa updating. Selain itu, diperoleh bahwa dengan dipilih tanggal yang sama pada proses peramalan sebelumnya (Gambar 4.17), model peramalan Dinamik Nelson Siegel dapat mengaproksimasi data yield to maturity dengan cukup baik, terutama untuk waktu jatuh tempo kurang dari 10 tahun. Sehingga berdasarkan Gambar 4.20 dan Gambar 4.21, model peramalan Dinamik Nelson Siegel dengan


63

updating cukup baik dalam meramalkan kurva yield, terutama untuk waktu jatuh tempo kurang dari 10 tahun.

Gambar 4.21 Perbandingan data out of sample dan rata-rata kurva yield berdasarkan peramalan model Dinamik Nelson Siegel dengan proses updating dan tanpa updating pada 12 Februari 2013, 7 Maret 2013, 28 Maret 2013, dan 19 April 2013

Perbandingan residual antara peramalan yield to maturity model Dinamik Nelson Siegel berdasarkan proses updating dan tanpa updating lebih jelas dapat dilihat pada Gambar 4.22. Telah dibahas sebelumnya pada subbab 2.3.5, dalam proses peramalan diperlukan suatu ramalan optimum yang tidak memiliki error atau hanya memiliki error kecil. Besarnya error ini dapat diukur berdasarkan RMSE. Sehingga ramalan yang optimum memiliki RMSE yang kecil. Pada Gambar 4.22 dipaparkan nilai RMSE hasil peramalan dari setiap kategori waktu jatuh tempo. Dari gambar tersebut diperoleh, nilai RMSE dengan metode updating lebih kecil dibandingkan dengan nilai RMSE tanpa updating, kecuali untuk waktu jatuh tempo 28, 29, dan 30 tahun. Selain dipaparkan nilai RMSE, pada gambar tersebut juga dipaparkan nilai 𝜌(1), yang merupakan otokorelasi sampel residual pada lag-1. Berdasarkan Gambar 4.22 diperoleh bahwa korelasi Universitas Indonesia

64

residual peramalan dengan metode updating lebih kecil dibandingkan dengan korelasi residual tanpa updating. Sehingga berdasarkan RMSE dan 𝜌(1) dapat disimpulkan bahwa proses updating pada model Dinamik Nelson Siegel dapat meningkatkan keakuratan dari peramalan yield to maturity.

Gambar 4.22 Ouput Matlab: Perbandingan statistik deskriptif residual dan RMSE hasil peramalan yield to maturity dengan proses updating dan tanpa proses updating pada data out of sample


BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan

Implementasi model Dinamik Nelson Siegel pada yield to maturity obligasi Bank of Canada dilakukan dengan tiga langkah. Pertama, melakukan estimasi parameter 𝜆𝑡 dengan metode Newton-Raphson berdasarkan himpunan waktu jatuh tempo yang digunakan. Berdasarkan hasil estimasi, akan dipilih 𝜆𝑡 yang meminimumkan rata-rata RMSE dimana estimasi parameter 𝛽1𝑡 , 𝛽2𝑡 , dan 𝛽3𝑡 diperoleh dengan metode OLS periode per periode. Langkah kedua, proses fitting kurva yield berdasarkan hasil estimasi parameter pada model Dinamik Nelson Siegel. Terakhir dengan menggunakan hasil estimasi parameter 𝑡 {𝛽̂1𝑘 , 𝛽̂2𝑘 , 𝛽̂3𝑘 }𝑘=1 , akan dilakukan peramalan yield to maturity pada waktu 𝑡 + ℎ 𝑡

dengan memodelkan {𝛽̂1𝑘 , 𝛽̂2𝑘 , 𝛽̂3𝑘 }𝑘=1 ke dalam bentuk AR(1). Hasil implementasi pada yield to maturity obligasi Bank of Canada periode April 2012 sampai Juni 2013 menunjukkan, berdasarkan RMSE dan peramalan kurva yield, model Dinamik Nelson Siegel dengan proses updating memberikan hasil yang cukup baik dalam peramalan out of sample yield to maturity dengan waktu jatuh tempo kurang dari 10 tahun.

5.2. Saran

Model Dinamik Nelson Siegel dengan pendekatan autoregressive terdiri dari tiga langkah, seperti yang telah dibahas sebelumnya. Dimana dari setiap langkah memungkinkan adanya residual. Sehingga, hal ini memungkinkan residual yang diperoleh sepanjang waktu masih memiliki informasi yang dapat dianalisis. Salah satu cara untuk menganalisis residual dapat dilakukan dengan bias correction procedure. Untuk lebih jelas mengenai metode ini dapat dilihat 65


66

pada Raviv (2012). Dengan metode ini, diharapkan dapat meningkatkan keakuratan peramalan kurva yield out of sample.


DAFTAR PUSTAKA

Bank of Canada. Yield curves of Zero-Coupon Bonds. May 16, 2014. http://www.bankofcanada.ca/rates/interest-rates/bond-yield-curves/ Burden, R.L. dan Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis. 9th Edition. Canada : Brooks/Cole Publishing Company. Bursa Efek Indonesia. January 6, 2014. http:// www.idx.co.id/idid/beranda/informasi/bagiinvestor/obligasi.aspx Choudhry, Moorad. (2006). An Introduction to Bond Markets. Third Edition. England : John Wiley & Sons Ltd. Cryer, Jonathan D. dan Chan, Kung-Sik. (2008). Time Series Analysis with Application in R. Second Edition. Springer. Diebold, F.X. dan Li, C. (2006). Forecasting the Term Structure of Government Bond Yields. Journal of Econometrics, 130, 337-364. Diebold, F.X., Rudebusch, G.D. dan Aruoba, B. (2006). The Macroeconomy and the Yield Curve: A Dynamic Latent Factor Approach. Journal of Econometrics, 131, 309-338. Fabozzi, Frank J. (2005). The Handbook of Fixed Income Securities. Seventh Edition. The McGraw-Hill Companies, Inc. Hillebrand, Eric dan Li, Canlin. (2010). Forecasting Output Growth and Inflation: How to Use Information in the Yield Curve. April 2014.http://www.wise.xmu.edu.cn/Master/News/NewsPic/2010520954585 42.pdf Hurn, Stan, Lindsay, Kenneth, dan Pavlov, Vladimir. (2005). Smooth Estimation of Yield Curves by Laguerre Functions. International Congress on Modelling and Simulation Advances and Applications for Management and Decision Making, 12 December- 15 December, 2005, Australia, Victoria, Melbourne. 67


68

Kellison, Stephen G. (2009). The Theory of Interest. Third Edition. Singapore: The McGraw-Hill Companies, Inc. Nachrowi, Nachrowi D. dan Usman, Hardius. (2006). Pendekatan Populer dan praktis Ekonomertika Untuk Analisis Ekonomi dan Keuangan. Jakarta : Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia. Nelson, C.R. dan Siegel, A. F. (1987). Parsimonious modeling of yield curves. Journal of Business, 60(4):473–89. Manullang, Kharis Oktavia. (2010). Perbandingan Model Mcculloch Cubic Spline dan Model Nelson Siegel dalam Mengestimasi Imbal Hasil Surat Utang Negara (SUN), Tesis, Universitas Indonesia. Montgomery, D. C., Peck, E.A., dan Vining, G.G. (2001). Introduction to Linear Regression Analysis. Third Edition. Canada : John Willey & Sons, Inc. Raviv, Eran. (2012). Prediction Bias Correction for Dynamic term Structure Models. Tinbergen Institute Discussion Paper, TI 2013-041/III. Rostan, Pierre dan Rostan, Alexandra. (2012). Forecasting the Yield Curve with the “Stock Dog” Technique. International Journal of Business and Management. Vol. 7, No. 16. Standard & Poor’s Financial Services LLC, a part of McGraw Hill Financial. January 10, 2014. http://www.standardandpoors.com/ratings/ Stefani. (2009). Aproksimasi Tingkat Bunga dengan Model Ho-Lee, skripsi, Universitas Indonesia. Tandelilin, Eduardus. (2010). Portofolio dan Investasi : Teori dan Aplikasi. Edisi Pertama. Yogyakarta : KANISIUS. Wei, William W. S. (2006). Time Series Analysis Univariate and Mutivariate Methods. Second Edition. USA: Pearson Education, Inc. Yu, Wei Choun dan Zivot, Eric. (2011). Forecasting the term structures of Treasury and corporate yields using dynamic Nelson-Siegel models. International Journal of Forecasting, 27, 579-591. Universitas Indonesia

LAMPIRAN

CONTOH PROGRAM MODEL DINAMIK NELSON SIEGEL clear all clc %input yield to maturity(YTM), dengan kolom pertama berisi informasi %waktu (tanggal) dan kolom berikutnya berupa data YTM dengan waktu jatuh %tempo yang berbeda %%%%%%%%%%%%%%%%%%% persiapan%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% file='dataharian.xls'; %data YTM disimpan dalam matrik data_simulasi data_simulasi=xlsread(file); q=30; p=260; n=200; %p menyatakan banyak in sample dan out of sample, %q menyatakan banyaknya jenis jatuh tempo %n menyatakan banyaknya data in sample tanggal=data_simulasi(2:p+1,1); %informasi waktu dari data YTM yield=data_simulasi(2:p+1,2:q+1); %data YTM %maturity berisi informasi waktu jatuh tempo (dalam bulan) maturity=data_simulasi(1,2:q+1)'; outputdata(yield,maturity,tanggal,p,q,n); pilihlamda=1; (2006)

%0 : estimasi lamda menurut Diebold dan Li %1 : estimasi lamda menurut Rostan dan

Rostan(2012) pilihramal=1;

%0 : peramalan tanpa update %1 : peramalan dengan update setiap saat

if pilihlamda==0 lamda=estimasilamda(yield,maturity,p,q,n) else lamda=estimasilamda2(yield,maturity,p,q,n); end [Beta Z]=estimasibeta(yield,maturity,lamda,p,q); %estimasi beta dengan OLS fitting(yield,maturity,tanggal,lamda,Beta,Z,p,q,n); %fitting kurva yield AR=0; AR=runtunwaktu(Beta,p,q,n); %cek model runtun waktu if AR==0 fprintf('Maaf data runtun Beta tidak stationer, peramalan model DNS tidak dapat dilakukan, diperlukan modifikasi lanjutan'); else

69


70 if pilihramal==0 yieldkep1=forecast2(yield,maturity,Beta,Z,p,q,n); elseif pilihramal==1 [yieldkep1 Betakep1 resid1]=forecast2(yield,maturity,Beta,Z,p,q,n); forecast3(yield,maturity,Beta,Z,p,q,n,yieldkep1,Betakep1,resid1); end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function outputdata(yield,maturity,tanggal,p,q,n) % grafik 3 dimensi dari data in sample dan statistik deskriptif %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% tgl=1:1:n; [M,T]=meshgrid(maturity',tgl); figure(2) surf(T,M,yield(1:n,:)); title('Yield Curve 4 April 2012 - 22 Januari 2013') xlabetl('waktu') ylabel('Jatuh tempo') zlabel('yield') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% disp('Table 1'); disp('Statistik Deskriptif dari yield curve'); disp('Maturity(tahun) Mean Std. dev. Min p(1)'); for i=1:q m=mean(yield(1:n,i)); s=std(yield(1:n,i)); mn= min(yield(1:n,i)); mx=max(yield(1:n,i)); c=autocorr(yield(1:n,i),31); p1=c(2); fprintf(' %0.3d\t\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t \n' ,maturity(i),m, s,mn,mx,p1) end

Max

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% q1=zeros(q,1); q2=zeros(q,1); q3=zeros(q,1); for i=1:q q1(i,1)=quantile(yield(1:n,i),0.25); q2(i,1)=quantile(yield(1:n,i),0.5); q3(i,1)=quantile(yield(1:n,i),0.75); end figure(3) hline1 = plot(maturity,q3, 'b.', maturity, q2, 'r-', maturity, q1, 'k.', 'linewidth',2.5); h = legend('75%','Median','25%'); title('Median data-based yield curve') xlabel('Maturity (bulan)') ylabel('yield (%)') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Universitas Indonesia

71

function lamda=estimasilamda(yield,maturity,p,q,n) tau=2.5; %%%%% metode Newton Raphson%%%%%%% TOL=10^-6; %toleransi yang digunakan untuk metode newton raphson lamda=0.077; %nilai awal dari lamda f=inline('tau/exp(lamda*tau) + 1/(lamda*exp(lamda*tau)) + (1/exp(lamda*tau)- 1)/(lamda^2*tau)','tau','lamda'); g=inline('-2/(lamda^2*exp(lamda*tau)) - tau^2/exp(lamda*tau) (2*(1/exp(lamda*tau) - 1))/(lamda^3*tau) tau/(lamda*exp(lamda*tau))','tau','lamda'); i=1; maxit=100; %jumlah iterasi maksimum while i<=maxit lamda1=lamda-(f(tau,lamda)/g(tau,lamda)); % formula newton raphson if abs((lamda-lamda1)/lamda1)
72 for j=1:q R(j,1)=sqrt((Error(:,j)'*Error(:,j))/n); % RMSE untuk setip waktu jatuh tempo end RMSE(k,1)=mean(R); %rata-rata RMSE end [nilai,indek]=min(RMSE); lamda=L(indek,1) tau=T(indek,1) figure (1) plot(L,RMSE); hold on; plot(L(indek,1),RMSE(indek,1),'r.') title('Grafik hubungan lamda dengan rata-rata RMSE') xlabel('lamda') ylabel('Rata-rata RMSE') hold off; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [Beta,Z]=estimasibeta(yield,maturity,lamda,p,q) %%%%%%%%%%%%%%%estimasi faktor DNS-DL%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %matrik Z berisi loading-loading dari parameter beta1, beta2, dan beta3 f=inline('(1-exp(-lamda*tau))/(lamda*tau)','tau','lamda'); g=inline('(1-exp(-lamda*tau))/(lamda*tau)-exp(lamda*tau)','tau','lamda'); Z=zeros(q,3); for i=1:q Z(i,1)=1; Z(i,2)=f(maturity(i),lamda); Z(i,3)=g(maturity(i),lamda); end %model DNS-DL : Y=Z*Beta , Y berisi data YTM %estimasi least square Beta=invers(Z'*Z)*Z'*Y Beta=zeros(p,3); for i=1:p Y=yield(i,:)'; Beta(i,:)=(Z'*Z)\Z'*Y; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function fitting(yield,maturity,tanggal,lamda,Beta,Z,p,q,n)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fitting yield curve %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %proses fitting yield curve dilakukan melalui yield curve dan residual dari data YTM sebenarnya dengan pendekatan model DNS-DL %fitting yield curve melalui rata-rata data YTM dan pendekatan DNS-DL my=mean(yield(1:n,:)); yieldkep=Beta(1:n,:)*Z'; mNS=mean(yieldkep); figure(4) hline1 =plot(maturity,my,'r.',maturity,mNS,'b-'); h = legend('aktual','taksiran'); Universitas Indonesia

73 title('Actual and fitted average yield curve') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %fitting yield curve antara data YTM dan pendekatan DNS-DL pada waktu tertentu. Misalkan akan digambarkan yield curve tanggal 30/4/2012,23/08/2012, 5/11/2012, dan 22/01/2013. for i=1:n if tanggal(i,1)==20120430 s1=i; elseif tanggal(i,1)==20120823 s2=i; elseif tanggal(i,1)==20121105 s3=i; elseif tanggal(i,1)==20130122 s4=i; end end figure(5) subplot(2,2,1) hline1 =plot(maturity,yield(s1,:),'r.',maturity,yieldkep(s1,:),'b-'); h = legend('aktual','taksiran'); title('Kurva Yield pada 30/4/2012') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') subplot(2,2,2) hline1 =plot(maturity,yield(s2,:),'r.',maturity,yieldkep(s2,:),'b-'); h = legend('aktual','taksiran'); title('Kurva Yield pada 23/08/2012') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') subplot(2,2,3) hline1 =plot(maturity,yield(s3,:),'r.',maturity,yieldkep(s3,:),'b-'); h = legend('aktual','taksiran'); title('Kurva Yield pada 5/11/2012') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') subplot(2,2,4) hline1 =plot(maturity,yield(s4,:),'r.',maturity,yieldkep(s4,:),'b-'); h = legend('aktual','taksiran'); title('Kurva Yield pada 22/01/2013') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% resid=yield(1:n,:)-yieldkep; fprintf('\n'); disp('Table 2'); disp('Statistik deskriptif dari residual yield curve'); disp('Maturity(tahun) Mean Std. dev. Min Max MAE RMSE p(1) '); % MAE -> mean absolut error for i=1:q m=mean(resid(:,i)); s=std(resid(:,i)); Universitas Indonesia

74 mn= min(resid(:,i)); mx=max(resid(:,i)); c=autocorr(resid(:,i),31); RMSE=sqrt(resid(:,i)'*resid(:,i)/n); p1=c(2); fprintf(' %0.3d\t\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f \n' ,maturity(i),m, s,mn,mx,mae(resid(:,i)),RMSE,p1) end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%% model identifikasi %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fprintf('\n'); disp('Table 3'); disp('Statistik deskriptif dari hasil estimasi Beta'); disp('Faktor Mean Std.dev. Min Max p(1)'); for i=1:3 c=autocorr(Beta(1:n,i),31); p1=c(2); fprintf('Beta %d\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f',i,mean(Beta(1:n,i)),std(Beta(1:n,i)),m in(Beta(1:n,i)),max(Beta(1:n,i)),p1); fprintf('\n'); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function AR=runtunwaktu(Beta,p,q,n) alpha=0.1; %pengecekan kestasioneran dengan time plot figure(7) subplot(3,1,1); plot(1:1:n,Beta(1:n,1),'r') title('Beta 1 OLS') xlabel('waktu') ylabel('') subplot(3,1,2); plot(1:1:n,Beta(1:n,2),'r') title('Beta 2 OLS') xlabel('waktu') ylabel('') subplot(3,1,3); plot(1:1:n,Beta(1:n,3),'r') title('Beta 3 OLS') xlabel('waktu') ylabel('') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %pengecekan kestasioneran dengan uji unit root AR=1; %inisialisasi kondisi beta dapat dimodelkan dengan AR(1), jika AR=0 maka %implementasi model DNS tidak dapat dilakukan atau diperlukan modifikasi %model H=zeros(3,1); P=zeros(3,1); for i=1:3


75

[h,pValue]=adftest(Beta(1:n,i),'model','ARD','alpha',alpha,'lags', 0); H(i,1)=h; P(i,1)=pValue; if H(i,1)==0 AR=0; end end if AR==1 fprintf('\n'); for i=1:3 fprintf('Runtun Beta %d adalah Stasioner dengan pvalue=%f\n',i,P(i,1)); end figure(8) subplot(3,2,1) autocorr(Beta(1:n,1),40) % plot fungsi ACF title('plot ACF Beta OLS 1'); subplot(3,2,2) parcorr(Beta(1:n,1),40) % plot fungsi PACF title('plot PACF Beta OLS 1'); subplot(3,2,3) autocorr(Beta(1:n,2),40) % plot fungsi ACF title('plot ACF Beta OLS 2'); subplot(3,2,4) parcorr(Beta(1:n,2),40) % plot fungsi PACF title('plot PACF Beta OLS 2'); subplot(3,2,5) autocorr(Beta(1:n,3),40) % plot fungsi ACF title('plot ACF Beta OLS 3'); subplot(3,2,6) parcorr(Beta(1:n,3),40) % plot fungsi PACF title('plot PACF Beta OLS 3'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%% estimasi parameter model AR (1)%%%%%%%%%%%%%%%%% koef=zeros(2,3); for i=1:3 koef(:,i)=([ones(n-1,1) Beta(1:n-1,i)]'*[ones(n-1,1) Beta(1:n-1,i)])\[ones(n-1,1) Beta(1:n-1,i)]'*Beta(2:n,i); Betakep(:,i)=[ones(n-1,1) Beta(1:n-1,i)]*koef(:,i); end Error=Beta(2:n,:)-Betakep; %%%%% fitting model AR (1)%%%%%%%%%% figure(9) subplot(3,1,1); plot(1:1:n-1,Beta(2:n,1),'r',1:1:n-1,Betakep(:,1),'b') h = legend('Beta 1 OLS','Beta 1 AR(1)',1); title('Beta 1') xlabel('waktu') ylabel('') subplot(3,1,2); plot(1:1:n-1,Beta(2:n,2),'r',1:1:n-1,Betakep(:,2),'b') h = legend('Beta 2 OLS','Beta 2 AR(1) ',1); title('Beta 2') xlabel('waktu') Universitas Indonesia

76 ylabel('') subplot(3,1,3); plot(1:1:n-1,Beta(2:n,3),'r',1:1:n-1,Betakep(:,3),'b') h = legend('Beta 3 OLS','Beta 3 AR(1)',1); title('Beta 3') xlabel('waktu') ylabel('') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%% tahap diagnostik : pengecekan residual white noise %%%%% figure(10) subplot(3,3,1) plot(1:1:n-1,Error(:,1)) xlabel('waktu') ylabel('') title('plot Error Beta 1'); subplot(3,3,2) autocorr(Error(:,1),40) % plot fungsi ACF error title('plot ACF Beta 1'); subplot(3,3,3) parcorr(Error(:,1),40) % plot fungsi PACF error title('plot PACF Beta 1'); subplot(3,3,4) plot(1:1:n-1,Error(:,2)) xlabel('waktu') ylabel('') title('plot Error Beta 2'); subplot(3,3,5) autocorr(Error(:,2),40) % plot fungsi ACF error title('plot ACF Beta 2'); subplot(3,3,6) parcorr(Error(:,2),40) % plot fungsi PACF error title('plot PACF Beta 2'); subplot(3,3,7) plot(1:1:n-1,Error(:,3)); xlabel('waktu') ylabel('') title('plot Error Beta 3'); subplot(3,3,8) autocorr(Error(:,3),40) % plot fungsi ACF error title('plot ACF Beta 3'); subplot(3,3,9) parcorr(Error(:,3),40) % plot fungsi PACF error title('plot PACF Beta 3'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% pengujian mean residual bernial nol dengan uji t dengan tingkat kepercayaan (1-alpha)*100% T=zeros(3,1); PT=zeros(3,1); fprintf('\n'); for i=1:3 [h p]=ttest(Error(:,i),0,alpha); T(i,1)=h; PT(i,1)=p; if T(i,1)==0 fprintf('Mean residual dari Beta %d bernilai nol dengan p-value=%f\n',i,PT(i,1)); else fprintf('Mean residual dari Beta %d bernilai %d\n dengan p-value=%f \n',i,mean(Error(:,i)),PT(i,1)); Universitas Indonesia

77 end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%% model AR(1) fprintf('\n'); fprintf('model peramalan Beta'); fprintf('\n'); for i=1:3 fprintf('Beta(%d,t+1)=(%f)+(%f)*Beta(%d,t) \n',i,koef(1,i),koef(2,i),i); end fprintf('\n'); for i=1:3 fprintf('Beta(%d,t+h)=[(%f)*(1-(%f)^h)/(1%f)]+[(%f)^h]*Beta(%d,t) \n',i,koef(1,i),koef(2,i),koef(2,i),koef(2,i),i); end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [yieldkep Betakep resid]=forecast2(yield,maturity,Beta,Z,p,q,n) % proses peramalan dengan minimum mean squared error %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Betakep=zeros(p-n,3); %inisiasi matriks hasil ramalan beta yieldkep=zeros(p-n,q); %inisiasi matriks hasil ramalan yield resid=zeros(p-n,q); %inisiasi matriks residual peramalan koef=zeros(2,3); %matriks yang berisi parameter dari model beta, kolom i untuk parameter beta i for i=1:3 koef(:,i)=([ones(n-1,1) Beta(1:n-1,i)]'*[ones(n-1,1) Beta(1:n1,i)])\[ones(n-1,1) Beta(1:n-1,i)]'*Beta(2:n,i); end for i=1:p-n for j=1:3 Betakep(i,j)=koef(1,j)*((1-(koef(2,j))^i)/(1koef(2,j)))+((koef(2,j))^i)*Beta(n,j); end end yieldkep(:,:)=Betakep(:,:)*Z'; resid(:,:)=yield(n+1:p,:)-yieldkep(:,:); fprintf('\n'); fprintf('Table 4 \n'); fprintf('Statistik Deskriptif Residual \n'); fprintf('Maturity(tahun) Mean Std. dev. RMSE p(1) \n'); for i=1:q m=mean(resid(:,i)); s=std(resid(:,i)); RMSE=sqrt(resid(:,i)'*resid(:,i)/(p-n)); c=autocorr(resid(:,i),24); P1=c(2); fprintf(' %0.3d\t\t%f\t%f\t%f\t%f \n' ,maturity(i),m, s,RMSE,P1) Universitas Indonesia

78 end fprintf('\n'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %plot forecast figure(11) subplot(3,1,1) plot(1:1:p-n,Beta(n+1:p,1),'r',1:1:p-n,Betakep(:,1),'b') h = legend('OLS','forecast',1); title('forecast Beta 1') xlabel('waktu') ylabel('yield') subplot(3,1,2) plot(1:1:p-n,Beta(n+1:p,2),'r',1:1:p-n,Betakep(:,2),'b') h = legend('OLS','forecast',1); title('forecast Beta 2') xlabel('waktu') ylabel('yield') subplot(3,1,3) plot(1:1:p-n,Beta(n+1:p,3),'r',1:1:p-n,Betakep(:,3),'b') h = legend('OLS','forecast',1); title('forecast Beta 3') xlabel('waktu') ylabel('yield')

my=mean(yield(n+1:p,:)); yieldkep=Betakep*Z'; mNS=mean(yieldkep); figure(12) hline1 =plot(maturity,my,'r.',maturity,mNS,'b-'); h = legend('aktual','forecast'); title('Actual and fitted average yield curve') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure(13) subplot(2,2,1) hline1 =plot(maturity,yield(215,:),'r.',maturity,yieldkep(15,:),'b-'); h = legend('aktual','forecast'); title('Kurva Yield pada 12/2/2013') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') subplot(2,2,2) hline1 =plot(maturity,yield(230,:),'r.',maturity,yieldkep(30,:),'b-'); h = legend('aktual','forecast'); title('Kurva Yield pada 7/03/2013') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') subplot(2,2,3) hline1 =plot(maturity,yield(245,:),'r.',maturity,yieldkep(45,:),'b-'); h = legend('aktual','forecast'); title('Kurva Yield pada 28/03/2013') xlabel('Maturity (tahun)') Universitas Indonesia

79 ylabel('yield') subplot(2,2,4) hline1 =plot(maturity,yield(260,:),'r.',maturity,yieldkep(60,:),'b-'); h = legend('aktual','forecast'); title('Kurva Yield pada 19/04/2013') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function forecast3(yield,maturity,Beta,Z,p,q,n,yieldkep1,Betakep1,resid1) % proses peramalan dengan update %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Betakep2=zeros(p-n,3); %inisiasi matriks hasil ramalan beta yieldkep2=zeros(p-n,q); %inisiasi matriks hasil ramalan yield resid2=zeros(p-n,q); %inisiasi matriks residual peramalan koef=zeros(2,3); %matriks yang berisi parameter dari model beta, kolom i untuk parameter beta i for i=1:3 koef(:,i)=([ones(n-1,1) Beta(1:n-1,i)]'*[ones(n-1,1) Beta(1:n1,i)])\[ones(n-1,1) Beta(1:n-1,i)]'*Beta(2:n,i); end Temp=zeros(p-n,p-n,3); for i=1:3 for j=1:p-n for k=1:p-n if j==1 Temp(k,j,i)=koef(1,i)*((1-(koef(2,i))^k)/(1koef(2,i)))+((koef(2,i))^k)*Beta(n,i); elseif (k>=j) Temp(k,j,i)=Temp(k,j-1,i)+koef(2,1)^(k+1j)*(Beta(n+j-1,i)-Temp(j-1,j-1,i)); end end end Betakep2(:,i)=diag(Temp(:,:,i)); end yieldkep2(:,:)=Betakep2(:,:)*Z'; resid2(:,:)=yield(n+1:p,:)-yieldkep2(:,:); fprintf('\n'); fprintf('Table 4 \n'); fprintf('Statistik Deskriptif Residual \n'); fprintf(' forecast dengan update forecast tanpa update \n'); fprintf('Maturity(tahun) Mean Std. dev. RMSE p(1) Mean Std. dev. RMSE p(1) \n'); for i=1:q m1=mean(resid1(:,i)); s1=std(resid1(:,i)); RMSE1=sqrt(resid1(:,i)'*resid1(:,i)/(p-n)); c1=autocorr(resid1(:,i),24); P1=c1(2); m2=mean(resid2(:,i)); s2=std(resid2(:,i)); Universitas Indonesia

80 RMSE2=sqrt(resid2(:,i)'*resid2(:,i)/(p-n)); c2=autocorr(resid2(:,i),24); P2=c2(2); fprintf(' %0.3d\t\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f \n' ,maturity(i),m2, s2,RMSE2,P2,m1, s1,RMSE1,P1) end fprintf('\n'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %plot forecast figure(11) subplot(3,1,1) plot(1:1:p-n,Beta(n+1:p,1),'r',1:1:pn,Betakep2(:,1),'b',1:1:p-n,Betakep1(:,1),'g') h = legend('OLS','forecast dengan update','forecast tanpa update'); title('forecast Beta 1') xlabel('waktu') ylabel('yield') subplot(3,1,2) plot(1:1:p-n,Beta(n+1:p,2),'r',1:1:pn,Betakep2(:,2),'b',1:1:p-n,Betakep1(:,2),'g') h = legend('OLS','forecast dengan update','forecast tanpa update'); title('forecast Beta 2') xlabel('waktu') ylabel('yield') subplot(3,1,3) plot(1:1:p-n,Beta(n+1:p,3),'r',1:1:pn,Betakep2(:,3),'b',1:1:p-n,Betakep1(:,3),'g') h = legend('OLS','forecast dengan update','forecast tanpa update'); title('forecast Beta 3') xlabel('waktu') ylabel('yield') my=mean(yield(n+1:p,:)); yieldkep2=Betakep2*Z'; mNS2=mean(yieldkep2); mNS1=mean(yieldkep1); figure(12) hline1 =plot(maturity,my,'r.',maturity,mNS2,'b',maturity,mNS1,'g-'); h = legend('aktual','forecast dengan update','forecast tanpa update'); title('Actual and fitted average yield curve') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure(13) subplot(2,2,1) hline1 =plot(maturity,yield(215,:),'r.',maturity,yieldkep2(15,:),'b',maturity,yieldkep1(15,:),'g-'); h = legend('aktual','forecast dengan update','forecast tanpa update'); title('Kurva Yield pada 12/2/2013') Universitas Indonesia

81 xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') subplot(2,2,2) hline1 =plot(maturity,yield(230,:),'r.',maturity,yieldkep2(30,:),'b',maturity,yieldkep1(30,:),'g-'); h = legend('aktual','forecast dengan update','forecast tanpa update'); title('Kurva Yield pada 7/03/2013') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') subplot(2,2,3) hline1 =plot(maturity,yield(245,:),'r.',maturity,yieldkep2(45,:),'b',maturity,yieldkep1(45,:),'g-'); h = legend('aktual','forecast dengan update','forecast tanpa update'); title('Kurva Yield pada 28/03/2013') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield') subplot(2,2,4) hline1 =plot(maturity,yield(260,:),'r.',maturity,yieldkep2(60,:),'b',maturity,yieldkep1(60,:),'g-'); h = legend('aktual','forecast dengan update','forecast tanpa update'); title('Kurva Yield pada 19/04/2013') xlabel('Maturity (tahun)') ylabel('yield')


IMPLEMENTASI MODEL DINAMIK NELSON SIEGEL PADA PERAMALAN YIELD TO MATURITY SKRIPSI

Recommend Documents