4
q x *l x Δt =
Δt
d x = l x − l x +Δt
atau qx * =
l x − l x + Δt l x Δt
dimana q x
*
menotasikan angka kematian
yang berlaku yang didasarkan pada aktivitas kematian dalam interval kecil dari x ke x + Δt . Jika kemudian kita limitkan persamaan di atas dengan Δt → 0 , kita mempunyai suatu ukuran yang dinamakan laju kematian sesaat (dinotasikan μ x ), yaitu l x − l x +Δt Δt → 0 l x Δt
μ x = lim
l x + Δt − l x = Dl x Δt (turunan dari l x ), sehingga diperoleh
didefinisikan
μx =
bahwa
lim
Δt → 0
− Dl x lx
= − D ln l x .
(Brown, 1997) Definisi 20. Erfi (z) Didefinisikan fungsi galat Erf (x) adalah x 2 −t2 Erf (x) = ∫ e dt
π
0
sehingga Erfi (z) adalah fungsi galat imajiner dengan rumus : Erfi(z) = Erf(iz)/i (Mathematica, 2005)
III. PENGUKURAN EFEK TEMPO PADA ANGKA KELAHIRAN TOTAL DAN ANGKA HARAPAN HIDUP 3.1 Efek Tempo pada Kelahiran dan Kematian Berikut diberikan suatu kasus sederhana untuk menggambarkan bagaimana efek tempo pada kelahiran dan kematian terjadi. Pada kasus kelahiran, gambaran efek tempo yang terjadi dapat dilihat pada situasi yang mewakili kasus tersebut dengan baik, di mana: 1. Hanya kelahiran pertama yang terjadi. 2. Setiap wanita pada kohort kelahiran memiliki anak pertama tepat pada umur yang sama. 3. Setiap kelahiran terjadi pada interval waktu yang sama selama satu tahun. 4. Setiap kohort mempunyai jumlah wanita yang sama. Situasi ini diperlihatkan pada Gambar 1A, di mana kelahiran (digambarkan dengan lingkaran hitam) terjadi pada interval 0.2 tahun dan kohort 1, 2, ..., 6 semuanya melahirkan pada umur yang sama ( x ). Misalkan sekarang rata-rata umur wanita saat melahirkan meningkat 0.2 tahun (dari x menjadi x +0.2) selama tahun tersebut (diilustrasikan pada Gambar 1B). Peningkatan ini mengakibatkan kelahiran yang terjadi sebelumnya pada umur x menurun. Besar penundaan ini meningkat selama tahun t, di mana kohort 1 lebih kecil dan kohort 5 lebih besar penundaannya. Penundaan ini
menggeser waktu kelahiran untuk kohort 5 dari tahun t ke tahun t + 1 sehingga jumlah kelahiran tahun t pada umur x menurun sebesar 20 persen. Sebaliknya, jika rata-rata umur wanita saat melahirkan menurun 0.2 tahun selama tahun tersebut maka jumlah kelahiran tahun t meningkat 20 persen (diilustrasikan pada Gambar 1C) akibat kelahiran kohort 6 bergeser ke tahun t . Perubahan jumlah kelahiran yang terjadi akibat perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan ini berbeda dengan peristiwa berubahnya jumlah kelahiran dengan rata-rata umur wanita saat melahirkan dipertahankan tetap. Perubahan ini biasanya dinamakan efek kuantum, yaitu perubahan intensitas kelahiran yang terjadi pada suatu periode dimana ratarata umur saat melahirkan tetap. Sehingga pada kasus kelahiran, angka kelahiran total dipengaruhi efek tempo dan efek kuantum. Pada kasus kematian, efek tempo yang terjadi dapat juga digambarkan seperti pada kasus kelahiran di mana rata-rata umur saat meninggal berubah. Namun, pada kasus kematian tidak terjadi efek kuantum karena kematian bukanlah kejadian yang berulang. Sehingga angka harapan hidup hanya dipengaruhi oleh efek tempo.
5
t +1
t
t +1
t
tahun
tahun
x
x
1
2
3
4
5
6
1
umur
2
3
4
5
6
umur
A. Kelahiran tetap
B. Kelahiran menurun t +1
t
tahun
x
1
2
3 4
5
6
umur C. Kelahiran meningkat Gambar 1 Tiga ilustrasi efek tempo pada kelahiran 3.2 Kelahiran Angka kelahiran total (TFR) merupakan banyaknya kelahiran setelah tahun tertentu dengan menggunakan data berbagai kohort sehingga sering disebut sebagai kohort sintetis. Efek tempo pada TFR disebabkan oleh perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan tanpa perubahan besarnya ukuran kohort akhir. Hal ini terjadi karena wanita menunda atau mempercepat waktu melahirkan. TFR menurun saat wanita menunda waktu melahirkan dan meningkat saat wanita mempercepat waktu kelahirannya. 3.2.1 Efek Tempo Kelahiran Berikut diturunkan formula untuk menentukan nilai TFR yang disesuaikan
tempo, fokus hanya untuk kelahiran urutan pertama. Untuk memudahkan penurunan formula tersebut, subskrip untuk urutan kelahiran dihilangkan. Formula yang diperoleh nanti, digunakan secara terpisah untuk setiap urutan kelahiran untuk memperoleh TFR i , kemudian dijumlahkan untuk memperoleh TFR yang disesuaikan tempo untuk semua urutan kelahiran. Misalkan menyatakan angka f p ( a, t ) kelahiran menurut umur untuk wanita berumur a pada tahun t dan f c (a, T ) menyatakan angka kelahiran menurut umur untuk kohort kelahiran tahun T bagi wanita pada umur a . Kemudian diperoleh
6
f p (a, t ) = f c (a, t − a ) dan f c (a, T ) = f p ( a, T + a)
(1) untuk umur a dan waktu t dan T sembarang. Angka kelahiran total untuk tahun t adalah TFR(t ) = ∫ f p (a,t )da (2) Dan angka kelahiran paripurna untuk kohort kelahiran tahun T adalah CFR(T ) = ∫ f c (a,T )da (3) Untuk memudahkan menemukan persamaan untuk angka kelahiran total yang disesuaikan, berikut diberikan beberapa kasus: Kasus 1. Tidak ada efek tempo dan efek kuantum Misalkan tidak terjadi efek tempo, maka f p (a, t ) konstan untuk t pada semua a (atau ekuivalen bahwa f c (a, T ) untuk T pada semua a ), yaitu angka kelahiran menurut umur konstan. Pada kasus ini, angka kelahiran semata-mata merupakan fungsi umur: f p (a ) = f c (a ) dan TFR=CFR untuk setiap periode dan kohort. atau Selanjutnya dinotasikan TFR * * CFR untuk menandai ukuran kelahiran pada kasus tanpa efek tempo. Kasus 2. Ada efek tempo dengan waktu tetap dan tidak ada efek kuantum Misalkan terjadi efek tempo dengan angka perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan konstan. Berawal dari tanpa adanya efek tempo, asumsikan CFR tidak berubah, tetapi mulai pada tahun 0 kelahiran ditunda, sehingga umur melahirkan meningkat. Penundaan kelahiran terjadi pada wanita dalam masa reproduksi untuk semua umur, sehingga bentuk f p (a) tidak berubah
namun terjadi penurunan akibat penundaan (atau naik jika kelahiran dimajukan sebagai pengganti penundaan). Misalkan angka kelahiran menurut umur pada kasus ini dinotasikan oleh g p (a, t ) , dengan asumsi bentuk g p (a, 0) sama dengan f p (a, 0) . Sehingga g p (a, t ) juga mempunyai bentuk yang sama dengan g p (a, 0) , tetapi telah terjadi pergeseran ke atas pada axis umur oleh rt tahun (jika r > 0 ) atau turun pada axis umur oleh rt tahun (jika r < 0 ), yaitu g p (a, t ) = g p (a − rt , 0) (4)
di mana r adalah angka perubahan rata-rata umur melahirkan untuk data periode. Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh TFR(t ) = ∫ g p ( a ,t )da = ∫ g p ( a −rt ,0)da (5) dan dari persamaan (1) dan (3) diperoleh CFR(T ) = ∫ g c (a, T )da = ∫ g p (a, T + a )da = ∫ g p (a − r (T + a ), 0)da
(6)
Untuk T = 0 , persamaan (6) menjadi CFR(0) = ∫ g p ( a −ra,0) da = ∫ g p ( a (1−r ),0) da = ∫ g p ( a (1−r ),0)(1−r ) da x = ∫ g p ( a ,0) da x =
TFR(0) 1− r
1 1−r
1 1−r
(7)
Pada kasus 2 ini telah diasumsikan bentuk pola umur periode kelahiran sama seperti halnya pada kasus 1, maka (8) g p (a, t ) = f p (a + d , t )(1 − r ) di mana d adalah total jumlah tahun dengan g p telah bergeser terhadap f p pada saat t . Dengan kata lain, pada kasus 2 jadwal sebenarnya saat t dari angka kelahiran menurut umur telah berpindah sepanjang axis dikalikan dengan umur sebesar d dan (1 − r ) . Kasus 3 Ada efek tempo dengan waktu berubah dan tidak ada efek kuantum Kasus 2 sebelumnya hanyalah langkah menemukan konsep untuk mendapatkan hasil yang lebih umum. Pada kasus sekarang merupakan perluasan dari kasus sebelumnya, yaitu angka perubahan rata-rata umur periode melahirkan ( r ) berubah sesuai waktu, dinotasikan r (t ) . Pada kasus ini r (t ) yang diinginkan adalah konstan untuk t pada tahun kelender yang diberikan. Untuk memperoleh TFR tanpa adanya efek tempo untuk kasus 3, difokuskan untuk kejadian satu tahun. Kemudian dikonstruksi untuk setiap tahun dari wanita paling muda melahirkan sampai akhir masa reproduksinya. Persamaan (9) digunakan untuk bagian konstruksi ini, yaitu g p (a, t ) = f p (a + d , t )(1 − r (t )) (9)
dan pengintegralan persamaan (10) untuk semua umur, diperoleh TFR(t ) = TFR * (1 − r (t )) (10)
7
Kasus 4 Ada efek tempo dengan waktu berubah dan efek kuantum Pada kasus ini, TFR berbeda setiap waktu dengan asumsi yang sama untuk r (t ) pada kasus 3, TFR(t ) konstan pada tiap tahun kalender yang diberikan. Turunan yang sama seperti kasus 3, diperoleh TFR(t ) = TFR * (t )(1 − r (t )) (11) dan TFR(t ) TFR * (t ) = (12) 1 − r (t ) Persamaan (12) digunakan untuk memindahkan efek tempo dari TFR(t ) yang diperoleh untuk urutan kelahiran yang berbeda.
CFR(t0 ) = ∫ f (a, t0 + a)da
= ∫ TFR(t0 + a)d (a, t0 + a )da
(18)
dengan memasukkan persamaan (10) ke dalam persamaan (18), diperoleh CFR(t0 ) = ∫ TFR * (t0 + a) ⎡⎣1 − rp (t0 + a ) ⎤⎦ d (t0 + a)da = ∫ TFR * (t0 + a )v(a, t0 )da
(19)
di mana v(a, t0 ) = ⎡⎣1 − rp (t0 + a ) ⎤⎦ d (t0 + a) . Rata-rata dari TFR * (t ) diberikan oleh
∫ TFR (t + a)v(a, t )da ∫ v(a, t )da = ∫ TFR (t + a ) w(a, t )da di mana w(a, t ) = v(a, t ) / ∫ v(a, t )da . *
0
TFR(t0 ) =
0
0
*
0
0
0
0
(20)
0
Persamaan 12 adalah TFR tanpa adanya efek tempo untuk suatu urut kelahiran, yaitu TFR i (t ) TFR *i (t ) = (13) 1 − ri (t ) Sehingga penjumlahan persamaan (13) untuk semua urutan kelahiran memberikan TFR * yang disesuaikan tempo: TFR * (t ) = ∑ TFR * i (t ) (14)
Dari persamaan (19) dan (20) diperoleh bahwa CFR(t0 ) = TFR(t0 ) ∫ v(a, t0 )da (21)
3.2.2 Uji Formula Kelahiran yang Disesuaikan Tempo Untuk menguji angka kelahiran total yang disesuaikan tempo, diperlukan perbandingan antara angka kelahiran paripurna dari suatu kohort yang sesungguhnya dengan rata-rata dari angka kelahiran total yang disesuaikan tempo.
3.3 Kematian Angka harapan hidup pada suatu umur tertentu didefinisikan sebagai rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang yang telah berhasil mencapai umur tersebut dalam situasi kematian yang berlaku di lingkungan masyarakatnya. Biasanya angka harapan hidup pada periode tertentu adalah angka kematian menurut umur yang dihitung menggunakan metode tabel hayat. Akibat adanya efek tempo pada kasus kematian, yaitu berubahnya rata-rata umur periode saat mati, mengakibatkan angka harapan hidup periode yang dihitung biasanya berubah. Namun, beberapa metode untuk menghitung angka harapan hidup yang menggambarkan kenyataan yang sebenarnya telah dikembangkan. Di antaranya angka harapan hidup kohort, The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL), dan Average Weighted Cohort Life Expectancy (ACLE). Semua indikator tersebut telah dikaji dalam tulisan Sulistiani (2007). Berikut diturunkan suatu metode lain untuk menentukan angka harapan hidup yang disesuaikan tempo seperti pada kasus kelahiran sebelumnya untuk menentukan besarnya efek tempo yang terjadi pada angka harapan hidup pada periode yang diberikan.
Misalkan TFR * menotasikan rata-rata angka kelahiran total yang disesuaikan tempo. Berikut diperlihatkan bahwa CFR = TFR *
(15) Bukti: Misalkan f (a, t ) angka kelahiran menurut umur pada saat t dan umur a . Angka kelahiran total adalah (16) TFR(t ) = ∫ f (a, t )da Distribusi kelahiran oleh umur pada saat t , dinotasikan dengan d (a, t ) : d ( a, t ) =
f ( a, t ) TFR(t )
(17)
sehingga ∫ d (a, t )da = 1 dan f (a, t ) = TFR(t )d (a, t ) . Angka kelahiran paripurna untuk kohort kelahiran tahun t0 adalah
Karena diasumsikan bahwa bentuk jadwal konstan, maka ∫ v(a, t0 )da = 1 dan w(a, t0 ) = v(a, t0 ) .
Oleh
karena
itu,
CFR = TFR . *
8
3.3.1 Penghitungan Angka Harapan Hidup Pada penghitungan tabel hayat, distribusi waktu hidup untuk suatu periode dapat dijelaskan melalui tiga cara berbeda. Fungsi bertahan hidup l(a, t ), a ≥ 0 (22a) menggambarkan proporsi orang yang bertahan hidup hingga tepat berumur a pada tahun t , dimana l(0, t ) = 1 dan l(ω , t ) = 0 untuk ω umur tertinggi yang dicapai. Fungsi kerapatan kematian −∂l(a, t ) (22b) d (a ), t = ∂a yaitu sebaran kematian menurut umur. Fungsi laju kematian sesaat d (a, t ) −∂l(a, t ) / ∂a μ ( a, t ) = = l( a, t ) l (a, t ) (22c) menggambarkan risiko kematian untuk setiap umur. Fungsi ini secara formal ekuivalen satu sama lain, sehingga dapat diperoleh ω
a
a
0
l(a, t ) = ∫ d ( x, t )dx = exp[− ∫ μ ( x, t )dx]
(22d) Misalkan S (a, t ) menotasikan proporsi orang yang lahir pada saat t − a bertahan hidup sampai umur a saat tahun t , d (a, t ) menotasikan kerapatan kematian untuk kohort kelahiran t − a pada umur a , dan μ (a, t ) menotasikan laju kematian sesaat untuk kohort kelahiran tersebut. Fungsi S (a, t ) dan d (a, t ) berbeda dengan fungsi bertahan hidup dan fungsi kerapatan pada kohort sintetis yang diperoleh dari tabel hayat untuk suatu data periode biasanya dan penghitungannya memerlukan data kematian masa lampau. Angka harapan hidup dapat dihitung dengan beberapa persamaan berikut (dinotasikan M 1 - M 3 ): ∞
M 1 = ∫ S (a, t )da 0
∞
a
0
0
= ∫ exp{− ∫ μ ( x, t − a + x)dx}
(23a) M 1 merupakan indikator kematian untuk menghitung angka harapan hidup yang biasanya disebut The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL), yaitu gabungan dari bermacam-macam kejadian kohort dalam suatu model sewaktu atau ukuran kematian yang menunjuk kepada satu periode dalam asumsi suatu penduduk mempunyai angka
kelahiran konstan, tetapi kematian bervariasi pada setiap umur dan waktu (Guillot, 2003). ∞
M2 =
∫ ad (a, t )da 0 ∞
(23b)
∫ d (a, t )da 0
∞
a
0
0
M 3 = ∫ exp[− ∫ μ ( x, t )dx]da
(23c)
M 3 adalah angka harapan hidup yang dihitung biasanya, yaitu M 3 (t ) = e0 (t ) . Selanjutnya M 2 disebut sebagai angka harapan hidup yang distandarisasi. Berikut akan diperlihatkan hubungan antara M 1 dan M 2 : Misalkan d ( a, t ) −∂l(a, t ) d s ( a, t ) = dan μ s (a, t ) = s (24) ∂a l( a, t ) Fungsi pada persamaan (24) diinterpretasikan sebagai distribusi umur kematian yang diberikan oleh l(a, t ) , dimana l(0, t ) = 1 untuk setiap t , jika diasumsikan l(a, t ) fungsi tak ternaikkan dari a ( ∂l(a, t ) / ∂a ≤ 0 ). Sekarang diasumsikan pada suatu interval waktu tertentu, ada fungsi p(t ) sehingga μ (a, t ) = p(t ) μ s (a, t ) dan d (a, t ) = p(t )d s (a, t ) (25) Selanjutnya asumsi ini dinamakan asumsi kesebandingan, di mana jika fungsi p(t ) dipenuhi maka jadwal umur μ (a, t ) dan d (a, t ) mempunyai bentuk yang sama (dengan jumlah boleh berbeda) dengan jadwal umur μ s (a, t ) dan d s (a, t ) . Akibat rata-rata umur saat mati meningkat atau menurun, μ (a, t ) dan d (a, t ) bergeser pada umur yang lebih tinggi atau lebih rendah dari μ s (a, t ) dan d s (a, t ) . Nilai μ (a, t ) dan d (a, t ) menurun atau meningkat relatif terhadap μ s ( a, t ) dan d s ( a, t ) oleh faktor kesebandingan p(t ) . Jika asumsi kesebandingan tersebut terpenuhi, maka ∂M 1 (t ) p(t ) = 1 − (26) ∂t (Bukti di Lampiran 1) dan dari persamaan (26), persamaan (25) menjadi
9
⎡ ∂M 1 (t ) ⎤ d (a, t ) = ⎢1 − d s ( a, t ) ∂t ⎥⎦ ⎣ (27a-b) ⎡ ∂M 1 (t ) ⎤ μ (a, t ) = ⎢1 − μ s ( a, t ) ∂t ⎥⎦ ⎣ Sehingga dari persamaan (23a) dan (24a), diperoleh ∞ ∞
M 1 (t ) = ∫ l(a, t )da = 0
∫ ad (a, t )da s
0 ∞
(28)
∫ d (a, t )da s
0
dan dari persamaan (23b) dan (25b), ∞
∫ ap(t )d (a, t )da s
M 2 (t ) =
0 ∞
(29)
∫ p(t )d (a, t )da s
0
Jika faktor kesebandingan p(t ) persamaan (29) dikanselasi, M 1 (t ) = M 2 (t ) .
pada maka
3.3.2 Pemindahan Efek Tempo Kematian Efek tempo menurunkan (meningkatkan) d (a, t ) dan μ (a, t ) ketika rata-rata umur mati yang disesuaikan naik (turun). Persamaan (23a-b) menunjukkan efek tempo diduga oleh ∂M 1 (t ) faktor ketika asumsi 1− ∂t kesebandingan terpenuhi. Akibat M 1 (t ) = M 2 (t ) , efek tempo juga diduga oleh
∂M 2 (t ) . ∂t Pengintegralan fungsi kerapatan kematian d (a, t ) untuk semua umur dalam ukuran periode kematian disebut angka kematian total (Total Mortality Rate (TMR)). Ukuran ini sama dengan angka kelahiran total pada kasus kelahiran. Sehingga
faktor 1 −
∞
TMR(t)= ∫ d (a, t )da
(30)
0
Substitusi dari persamaan (27a) memberikan
∞
TMR(t)= ∫ p (t )d s (a, t )da = p (t )
(31)
0
Berikut akan dicari angka harapan hidup yang disesuaikan tempo. Misalkan didefinisikan μ ( a, t ) d ( a, t ) dan d* (a, t ) = μ * ( a, t ) = ∂M 1 (t ) ∂M 1 (t ) 1− 1− ∂t ∂t (32a-b) sebagai kerapatan kematian dan laju kematian sesaat yang disesuaikan tempo. Dari persamaan (27a-b) diperoleh μ * (a, t ) = μ s (a, t ) dan d * (a, t ) = d s (a, t ) , ketika asumsi kesebandingan terpenuhi. Untuk memperoleh angka harapan hidup yang disesuaikan tempo, digunakan persamaan (23c) dengan mengganti μ (a, t ) dengan μ * (a, t ) , sehingga ∞ a ⎪⎧ ⎪⎫ M 4 (t ) = ∫ exp ⎨ ∫ − [ μ ( x, t ) / (1 − ∂M 1 (t ) / ∂t ) ] dx ⎬ da 0 ⎩⎪ 0 ⎭⎪ (33) di mana M 4 (t ) menotasikan angka harapan hidup saat lahir tanpa efek tempo. Dengan menggunakan persamaan (31) diperoleh ∞ ⎧⎪ a ⎡ μ ( x, t ) ⎤ ⎫⎪ (34) M 4 (t ) = ∫ exp ⎨ ∫ ⎢ ⎥ dx ⎬ da 0 ⎩⎪ 0 ⎣ TMR(t ) ⎦ ⎭⎪
Dari persamaan (27b) ∞ a ⎪⎧ ⎪⎫ M 4 (t ) = ∫ exp ⎨− ∫ μ s (a, t )dx ⎬ da ⎪⎩ 0 ⎪⎭ 0 ∞
= ∫ l(a, t )da 0
= M 1 (t ) (35) Jadi, pemindahan efek tempo dari M 3 (t ) dihasilkan pula oleh M 1 (t ) atau M 2 (t ) . Sehingga angka harapan hidup yang tidak terdistorsi oleh tempo dapat diduga dengan M 1 (t ) , M 2 (t ) , atau M 4 (t ) .
