Číslo projektu
CZ.1.07/1.5.00/34.0811
Název školy
Gymnázium, Soběslav, Dr. Edvarda Beneše 449/II
Kód materiálu
VY_42_INOVACE_12_23
Název materiálu
Vennovy diagramy příklady I
Autor
Mgr. Ivana Stefanová
Tematická oblast
Matematika
Tematický okruh
Množiny
Ročník
1
Datum tvorby
září 2013
Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autora.
Vennovy diagramy příklady I
Během jednoho roku vystoupila dvakrát v jednom městě známá rocková skupina. Z 450 studentů gymnázia se koncertu této skupiny aspoň jednou zúčastnilo 290 studentů, právě jednou 200 studentů. Počet studentů, kteří byli pouze na 1. koncertu, je třikrát větší než počet studentů, kteří byli pouze na 2. koncertu. Kolik studentů bylo: a) na 1. koncertu, b) na 2. koncertu?
Během jednoho roku vystoupila dvakrát v jednom městě známá rocková skupina. Z 450 studentů gymnázia se koncertu této skupiny aspoň jednou zúčastnilo 290 studentů, právě jednou 200 studentů. Počet studentů, kteří byli pouze na 1. koncertu, je třikrát větší než počet studentů, kteří byli pouze na 2. koncertu. Kolik studentů bylo: a) na 1. koncertu, b) na 2. koncertu?
Z 450 studentů gymnázia
a + b + c + d = 450
Koncertu se aspoň jednou zúčastnilo 290 studentů Zúčastnilo se právě jednou 200 studentů
a + b + c = 290
a + c = 200
Počet studentů, kteří byli pouze na 1. koncertu, je třikrát větší než počet studentů, kteří byli pouze na 2. koncertu
a = 3c
Získali jsme soustavu rovnic: (1) a + b + c + d = 450 (2) a + b + c = 290 (3) a + c = 200 (4) a = 3c Dosadíme z (2) do (1): 290 + d = 450 ⇒ d =160 Dosadíme z (3) do (2): 200 + b = 290 ⇒ b = 90 Dosadíme z (4) do (3): 3c + c = 200 ⇒ c = 50
Dosadímev do (4): a = 3c =150
Na prvním koncertu bylo 240 studentů (množiny a a b). Na druhém koncertu bylo 140 studentů (množiny b a c ).
Z 825 oslovených osob 380 uvedlo, že používá počítač doma nebo v zaměstnání. Počet osob, které používají počítač doma, je dvakrát větší než počet těch, kteří používají počítač doma i v zaměstnání, a je o 40 menší než počet těch, kteří používají počítač pouze v zaměstnání. Kolik oslovených osob používá počítač: a) pouze v zaměstnání, b) doma?
Z 825 oslovených osob 380 uvedlo, že používá počítač doma nebo v zaměstnání. Počet osob, které používají počítač doma, je dvakrát větší než počet těch, kteří používají počítač doma i v zaměstnání, a je o 40 menší než počet těch, kteří používají počítač pouze v zaměstnání. Kolik oslovených osob používá počítač: a) pouze v zaměstnání, b) doma?
a + b + c + d = 825 380 osob používá počítač doma nebo v zaměstnání a + b + c = 380 Z 825 oslovených osob
Počet osob, které používají počítač doma, je dvakrát větší než počet těch, kteří používají počítač doma i v zaměstnání Počet osob, které používají počítač doma, je o 40 menší než počet těch, kteří používají počítač pouze v zaměstnání
a + b = 2b a = b a + b + 40 = c
Získali jsme soustavu rovnic: (1) a + b + c + d = 825 (2) a + b + c = 380 (3) a = b (4) a + b + 40 = c Dosadíme z (2) do (1): 380 + d = 825 ⇒ d = 445 Dosadíme z (3) do (2): b + b + c = 380 ⇒ 2b + c = 380 () Dosadíme z (3) do (4): b + b + 40 = c ⇒ 2b + 40 = c ( ) Dosadíme z ( ) do (): 2b + 2b + 40 = 380 ⇒ 4b = 340 ⇒ b = 85 Dosadíme do (3): a = 85 Dosadíme do ( ): c = 2b + 40 = 2.85 + 40 = 210
Pouze v zaměstnání používá počítač 210 lidí (množina c). Doma používá počítač 170 lidí (množiny a a b).
Z 326 studentů dojíždí do školy 92 vlakem, autobusem nejezdí 143, právě jedním z uvedených dopravních prostředků jezdí 213 studentů. Určete, kolik studentů jezdí: a) vlakem i autobusem, b) jen vlakem, c) jen autobusem?
Z 326 studentů dojíždí do školy 92 vlakem, autobusem nejezdí 143, právě jedním z uvedených dopravních prostředků jezdí 213 studentů. Určete, kolik studentů jezdí: a) vlakem i autobusem, b) jen vlakem, c) jen autobusem?
Z 326 studentů
a + b + c + d = 326
92 studentů dojíždí do školy vlakem 143 studentů nejezdí autobusem
a + b = 92
a + d = 143
právě jedním z uvedených dopravních prostředků jezdí 213 studentů
a + c = 213
Získali jsme soustavu rovnic: (1) a + b + c + d = 326 (2) a + b = 92 (3) a + d = 143 (4) a + c = 213 Dosadíme z (2) do (1): 92 + c + d = 326 ⇒ c + d = 234 ⇒ c = 234 – d () Dosadíme z () do (4): a + 234 – d = 213 ⇒ a – d = –21 ⇒ a = d –21 ( ) Dosadíme z ( ) do (3): d – 21 + d = 143 ⇒ 2d = 164 ⇒ d = 82 Dosadíme do ( ): a = 61 Dosadíme do (): c = 152 Dosadíme do (2): b = 31
Vlakem i autobusem jezdí 31 studentů (množina b). Jen vlakem jezdí 61 studentů (množina a). Jen autobusem jezdí 152 studentů (množina c).
Použité zdroje: 1.
Bušek I., Calda E. Matematika pro gymnázia – Základní poznatky z matematiky. Dotisk 3., upraveného vydání, Praha, Prometheus, s.r.o., 2006. 180 s. ISBN 80-7196-146-9.
2.
Halouzka A. Písemky z matematiky SŠ, 1.vydání v ČR, Praha, Scientia, s.r.o., 2005. 208 s. ISBN 80-86960-00-5
Použité obrázky: Vytvořeno autorem v programu GeoGebra.
