II LANDASAN TEORI. ii. Constant returns to scale, yaitu situasi di mana output meningkat sama banyaknya dengan porsi peningkatan input

2

II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori penunjang yang akan digunakan dalam karya ilmiah ini. 2.1 Istilah Ekonomi Definisi 1 (Pertumbuhan Ekonomi) Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi ditunjukkan oleh persentase kenaikan pendapatan nasional riil pada suatu tahun tertentu dibandingkan dengan pendapatan nasional riil pada tahun sebelumnya. (Mankiw 2003) Definisi 2 (Fungsi Produksi) Fungsi produksi untuk suatu barang tertentu adalah 𝑌 = 𝑓(𝐾, 𝐿, … ) dengan K menyatakan input modal dan L menyatakan input tenaga kerja sedangkan tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakan input lain. Fungsi produksi memperlihatkan jumlah output maksimum yang diperoleh dengan menggunakan berbagai alternatif input produksi. (Mankiw 2003) Definisi 3 (Fungsi Produksi Cobb-Douglas) Fungsi Produksi Cobb-Douglas adalah salah satu fungsi produksi yang dapat digunakan dalam analisis produktivitas. Bentuk umum dari fungsi Cobb-Douglas adalah 𝑌 = 𝛿𝐾 𝛼 𝐿𝛽 , di mana 𝑌 adalah output, K input modal, L input tenaga kerja, 𝛿 koefisien intersep (indeks efisiensi), 𝛼 elastisitas output dari input 𝐾, 𝛽 elastisitas output dari input L di mana 𝛽 = 1 − 𝛼. Koefisien intersep yang dilambangkan dengan 𝛿 adalah koefisien yang secara langsung menggambarkan efisiensi dalam penggunaan input dalam menghasilkan output. Koefisien elastisitas output dari fungsi yang digunakan adalah koefisien yang memberikan gambaran elastisitas penggunaan input tertentu dalam menghasilkan output dari suatu proses produksi. (Mankiw 2003) Definisi 4 (Model Pertumbuhan dengan Perkembangan Teknologi) Model pertumbuhan dengan perkembangan teknologi sebagai faktor produksi secara umum ditulis sebagai 𝛽

𝑌𝑡 = 𝐴𝐾𝑡𝛼 𝐿𝑡 , 0 ≤ 𝛼, 𝛽 ≤ 1

Nilai 𝛼 dan β masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan tenaga kerja dan A adalah tingkat kemajuan teknologi. (Mankiw 2003) Definisi 5 (Returns to scale) Returns to scale adalah ukuran besarnya tingkat perubahan output seiring dengan perubahan input secara proporsional. Return to scale dibedakan menjadi tiga yaitu: i. Increasing returns to scale, yaitu situasi di mana output meningkat lebih banyak dari peningkatan porsi input 𝐹 𝛼𝐾, 𝛼𝐿 < 𝛼𝐹 𝐾, 𝐿 . ii. Constant returns to scale, yaitu situasi di mana output meningkat sama banyaknya dengan porsi peningkatan input 𝐹 𝛼𝐾, 𝛼𝐿 = 𝛼𝐹 𝐾, 𝐿 . iii. Decreasing returns to scale, yaitu situasi di mana output meningkat dengan porsi lebih sedikit dari peningkatan porsi input 𝐹 𝛼𝐾, 𝛼𝐿 > 𝛼𝐹 𝐾, 𝐿 . (Salvaltore 2006) Definisi 6 (Elastisitas) Ukuran persentase perubahan suatu variabel yang disebabkan oleh satu persen perubahan variabel lainya. (Nicholson 2002 ) Definisi 7 (Utilitas) Kesenangan, kepuasan, atau pemenuhan kebutuhan yang diterima atau diperoleh seseorang sebagai akibat dari aktivitas ekonomi yang dilakukanya. (Nicholson 2002) Definisi 8 (Utilitas Marjinal) Utilitas tambahan yang diterima seorang individu dengan mengonsumsi satu unit tambahan barang tertentu. (Nicholson 2002) Definisi 9 (Fungsi Utilitas) Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut: 𝑈𝑡 = 𝑈(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) dengan 𝑈𝑡 adalah kepuasan total, dan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 merupakan banyaknya produk yang dikonsumsi. (Nicholson 2002)

3

Definisi 10 (Laju Pertumbuhan (Growth rate)) Laju pertumbuhan atau growth rate dari suatu variabel merujuk pada laju perubahan proporsional yaitu laju perubahan dari suatu variabel per satu satuan variabel tersebut. Sehingga laju pertumbuhan dari 𝑋(𝑡) adalah 𝑋(𝑡)/𝑋(𝑡) untuk 𝑋(𝑡) = 𝑑𝑥/𝑑𝑡. (Romer 2006 ) Definisi 11 (Kondisi Mapan (Steady State)) Kondisi steady state atau kondisi balanced growth path adalah sebuah kondisi di mana setiap veriabel yang ada dalam model memiliki laju pertumbuhan yang konstan. (Romer 2006 ) Definisi 12 (Inovasi ) Inovasi adalah tindakan disengaja yang dilakukan oleh produsen yang bertujuan untuk memaksimumkan keuntungan dengan cara memperbaiki kualitas atau memproduksi produk baru yang lebih baik. (Park 2008 ) Definisi 13 (Inovasi Vertikal) Inovasi vertikal adalah upaya peningkatan kualitas dari suatu produk antara (produk intermediet) atau produk konsumsi yang secara khusus dihasilkan dari investasi di bidang R&D yang bertujuan untuk meningkatkan produktivitas perusahaan atau utilitas konsumen. (Grossmann & Streger 2007 ) Definisi 14 (Creative Destruction) Creative destruction adalah istilah yang digunakan oleh Joseph Schumpeter untuk menggambarkan bahwa barang dan teknologi yang baru atau sudah ditingkatkan dapat menggantikan barang dan teknologi yang kurang produktif. (Grossmann & Streger 2007) 2.2 Proses Poisson Homogen Sebelum mendefinisikan proses poisson homogen, terlebih dahulu akan didefinisikan hal-hal yang berkaitan dengannya yaitu percobaan acak, ruang contoh, peubah acak, proses stokastik, proses pencacahan, dan proses poisson. Definisi 15 (Percobaan Acak) percobaan acak adalah percobaan yang meskipun diulang dalam kondisi yang sama hasil percobaan tidak dapat ditebak dengan tepat, namun kita mengetahui semua kemungkinan hasilnya. (Ross 1996)

Definisi 16 (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil dari percobaan acak, disebut juga dengan ruang sampel dan dinotasikan dengan Ω. (Ross 1996) Definisi 16 (Peubah Acak) Suatu peubah acak (random variable) adalah suatu fungsi 𝑋 ∶ Ω → 𝐑 dengan sifat bahwa untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑹, 𝝎 ∈ 𝛺; 𝑋 𝜔 ≤ 𝑥 ∈ 𝐹. (Ross 1996) Definisi 17 (Proses Stokastik) Proses stokastik 𝑋 = {𝑋 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑇} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state 𝑆. (Ross 1996) Definisi 17 (Proses Pencacahan) Suatu proses stokastik {𝑁 𝑡 , 𝑡 ≥ 0} disebut proses pencacahan (counting process) jika 𝑁 𝑡 menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Terkadang proses pencacahan {𝑁 𝑡 , 𝑡 ≥ 0} ditulis 𝑁 0, 𝑡 yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu 0, 𝑡 . Proses pencacahan 𝑁 𝑡 harus memenuhi syarat-syarat berikut: i. 𝑁 𝑡 ≥ 0 untuk semua 𝑡 ∈ 0, ∞ . ii. Nilai 𝑁 𝑡 adalah integer (bilangan bulat). iii. Jika 𝑠 < 𝑡 maka 𝑁 𝑠 ≤ 𝑁 𝑡 , 𝑠, 𝑡 ∈ 0, ∞ . iv. Untuk 𝑠 < 𝑡 maka 𝑁 𝑡 − 𝑁 𝑠 , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval 𝑠, 𝑡 . (Ross 1996) Definisi 18 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan {𝑁 𝑡 , 𝑡 ≥ 0} disebut proses poisson dengan laju 𝜆, 𝜆 > 0 jika terpenuhi tiga syarat: i. 𝑁 0 = 0 ii. Proses tersebut memiliki inkremen bebas iii. Banyaknya kejadian pada interval waktu dengan panjang t memiliki sebaran poisson dengan nilai harapan 𝜆𝑡. Jadi untuk semua 𝑡, 𝑠 ≥ 0 𝑃 𝑁 𝑡+𝑠 −𝑁 𝑠 = 𝑘 =

𝑒 −𝜆𝑡 𝜆𝑡 𝑘!

𝑘

, 𝑘 = 0,1, …

(Ross 1996) Definisi 19 (Proses Poisson Homogen) Proses poisson dengan laju 𝜆 yang merupakan konstanta untuk semua waktu t disebut proses poisson homogen. Jika laju 𝜆 bukan konstanta tetapi merupakan fungsi dari

4

waktu t , 𝜆 𝑡 , maka disebut proses poisson tak homogen. Misalkan X adalah proses poisson homogen dan B adalah suatu selang bilangan nyata. Jika X adalah proses poisson homogen maka 𝐸[𝑋(𝐵)] = 𝜆 𝐵 . Dengan 𝐵 adalah panjang selang B, serta 𝑋(𝐵) menyatakan banyaknya kejadian dari proses poisson pada selang B. (Ross 1996) 2.3 Fungsi Konkaf Sebelum membahas fungsi konkaf, terlebih dahulu akan dibahas himpunan konveks yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 20 (Himpunan Konveks) Himpunan 𝐶 ⊂ 𝑅𝑛 dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥 dan 𝑦 di 𝐶 , maka ruas garis yang menghubungkan 𝑥 dan 𝑦 juga terletak di 𝐶 . Dengan kata lain himpunan 𝐶 ⊂ 𝑅𝑛 dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥 dan 𝑦 di 𝐶 dan untuk setiap 𝜆 dengan 0 ≤ 𝜆 ≤ 1, maka vektor 𝜆𝑥 + 1 − 𝜆 𝑦 juga terletak di 𝐶. (Peressini et al. 1988) Definisi 21 (Fungsi Konkaf dan Konkaf Sempurna) Misalkan 𝑓 adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks 𝐶 di 𝑅𝑛 , maka: 1. Fungsi 𝑓 dikatakan konkaf di 𝐶 jika 𝑓 𝜆𝑥 + 1 − 𝜆 𝑦 ≥ 𝜆𝑓 𝑥 + 1 − 𝜆 𝑓 𝑦 , untuk setiap 𝑥, 𝑦 di 𝐶 dan untuk setiap 𝜆 dengan 0 ≤ 𝜆 ≤ 1. 2. Fungsi f dikatakan konkaf sempurnadi 𝐶 jika 𝑓 𝜆𝑥 + 1 − 𝜆 𝑦 ≥ 𝜆𝑓 𝑥 + 1 − 𝜆 𝑓 𝑦 , untuk setiap 𝑥, 𝑦 di 𝐶 dan untuk setiap 𝜆 dengan 0 < 𝜆 < 1. (Peressini et al. 1988)

membawa sistem dari state awal 𝑥0 kepada state akhir 𝑥𝑇 yang memenuhi kondisi akhir T, melalui sistem 𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 ,𝑢 𝑡 ,𝑡 sehingga fungsional J mencapai nilai maksimum. Dengan kata lain, masalah kontrol optimum adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif max 𝐽[𝑢 𝑡 ] = 𝑆 𝑥 𝑇 , 𝑇

𝑢(𝑡)∈𝑈

𝑡0

𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡

terhadap kendala: 𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑥 𝑡0 = 𝑥0 , 𝑥(𝑡) ∈ 𝑅𝑛 dengan 𝑥(𝑡) variabel state (state variable) dan 𝑆 𝑥 𝑇 , 𝑇 yang didefinisikan sebagai fungsi scrap. (Tu 1993) 2.5 Prinsip Maksimum Pontryagin Prinsip maksimum merupakan salah satu metode penyelesaian masalah kontrol optimum yang ditemukan Pontryagin, yang kemudian dikenal sebagai Prinsip Maksimum Pontryagin. Prinsip ini diuraikan dalam teorema Pontryagin sebagai berikut: Teorema 2 (Pontryagin) Misalkan 𝑢∗ (𝑡) sebagai kontrol admisible yang membawa state awal [𝑥 𝑡0 , 𝑡0 ] kepada state akhir [𝑥 𝑇 , 𝑇], dengan 𝑥 𝑇 dan 𝑇 secara umum tidak ditentukan. Misalkan 𝑥 ∗ (𝑡) merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan 𝑢∗ (𝑡). Supaya kontrol 𝑢∗ (𝑡) merupakan kontrol optimum, maka perlu terdapat fungsi vektor 𝑝∗ (𝑡) ≠ 0, dan konstanta 𝑝𝑜 sedemikian rupa sehingga: 1.

𝑝∗ (𝑡) dan 𝑥 ∗ (𝑡) merupakan solusi dari sistem kanonik: 𝜕𝐻 ∗ 𝑥 𝑡 , 𝑢 ∗ 𝑡 , 𝑝∗ 𝑡 , 𝑡 , 𝜕𝑝 𝜕𝐻 ∗ 𝑝∗ 𝑡 = − 𝑥 𝑡 , 𝑢 ∗ 𝑡 , 𝑝∗ 𝑡 , 𝑡 , 𝜕𝑝 𝑥∗ 𝑡 =

Teorema 1 Jika 𝑓 fungsi terdiferensialkan dua kali pada suatu selang I, maka 𝑓 fungsi konkaf pada I jika dan hanya jika 𝑓"(𝑥) ≤ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼. Jika 𝑓"(𝑥) < 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 maka 𝑓 dikatakan fungsi konkaf sempurna. (Peressini et al. 1988) 2.4 Masalah Kontrol Optimum Misalkan U menyatakan himpunan dari semua fungsi yang kontinu sepotong-sepotong (piecewise). Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan fungsi kontrol 𝑢∗ 𝑡 diantara fungsi admissible 𝑢 𝑡 ∈ 𝑈 yang

𝑇

+

dengan fungsi Hamiltonian H diberikan oleh 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 𝑓0 𝑥, 𝑢, 𝑡 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑢, 𝑡 , dengan 𝑝0 ≡ 1. 2.

𝐻 𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝑝 ∗ , 𝑡 ≥ 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 .

3.

Semua syarat batas dipenuhi.

𝐻 𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝑝∗ , 𝑡 ≥ 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 disebut dengan Prinsip Maksimum Pontryagin. Kondisi ini

5

dipenuhi oleh 𝐻𝑢 = 0 dan 𝐻𝑢𝑢 < 0. Jika 𝑢 ∈ 𝑈 dan 𝑈 himpunan tertutup, maka 𝐻𝑢 = 0 tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari 𝐻 diberikan oleh bagian dalam (interior) himpunan 𝑈. Kondisi 𝐻 𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝑝∗ , 𝑡 ≥ 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 ini juga mencakup syarat cukup dari masalah ini. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah 𝑢𝑖𝑚𝑎𝑥 untuk masalah memaksimumkan dan 𝑢𝑖𝑚𝑖𝑛 untuk masalah meminimumkan. Jika fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah 𝑢𝑖𝑚𝑖𝑛 untuk masalah memaksimumkan dan 𝑢𝑖𝑚𝑎𝑥 untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum 𝑢𝑖 adalah kontinu bagian dan loncat dari suatu verteks ke verteks lainnya. Hal ini merupakan kasus dari kontrol bang-bang. Vektor p disebut juga vektor adjoin, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoin, merupakan shadow price. Nilai marginal dari vektor atau peubah x, menunjukkan jumlah kenaikan atau penurunan dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J sedangkan 𝑝 mengindikasikan tingkat kenaikan (apresiasi untuk 𝑝 > 0) atau penurunan (depresiasi untuk 𝑝 < 0) dalam nilai dari tiap unit modal. 𝜕𝐻 𝑑𝐻 Nilai dari suatu 𝑑𝑡 = 𝜕𝑡 . Sementara itu syarat perlu untuk masalah ini diberikan oleh persamaan 𝑝 = −𝐻𝑥 , 𝐻𝑢 = 0, 𝑥 = 𝐻𝑝 . Syarat batas diberikan oleh persamaan 𝑡=𝑇 𝑆𝑥 − 𝑝 𝛿𝑥|𝑡=𝑇 𝑡=𝑡 0 + 𝐻 + 𝑆𝑡 𝛿𝑡|𝑡=𝑡 0 = 0.

Apabila fungsi scrap 𝑆 = 0, maka persamaan tersebut menjadi −𝑝 𝑡

𝛿𝑥|𝑡=𝑇 𝑡=𝑡 0

+𝐻 𝑡

𝛿𝑡|𝑡=𝑇 𝑡=𝑡 0

= 0.

Khususnya pada waktu awal 𝑡0 dan 𝑥(𝑡0 ) telah ditentukan, sedangkan T dan x(T) belum ditentukan, maka syarat batas menjadi – 𝑝 𝑇 𝛿𝑥 𝑇 + 𝐻 𝑇 𝛿𝑇 = 0. Bukti: lihat Lampiran 1 (Tu 1993) 2.6 Current-Value Hamiltonian Dalam penggunaan teori kontrol optimum. Pada masalah ekonomi, fungsi integran 𝑓0 sering memuat faktor diskon 𝑒 −𝑟𝑡 . Dengan demikian, fungsi integran 𝑓0 secara umum dapat dituliskan menjadi

𝑓0 𝑡, 𝑥, 𝑢 = 𝐺(𝑡, 𝑥, 𝑢)𝑒 −𝑟𝑡 Sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai 𝑡

𝐺 𝑡, 𝑥, 𝑢 𝑒 −𝑟𝑡 𝑑𝑡

max 𝑉 = 0

terhadap kendala 𝑥 = 𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑢) ditambah dengan syarat batas. Dengan definisi standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk 𝐻 𝑡, 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 𝐺 𝑡, 𝑥, 𝑢 𝑒 −𝑟𝑡 + 𝑝 𝑡 𝑓 𝑡, 𝑥, 𝑢 . Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan turunan fungsi Hamilton terhadap x dan u, dengan hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi hamilton baru yang sering disebut dengan current-value Hamiltonian. Untuk menerapkan konsep current-value Hamiltonian, diperlukan konsep current-value adjoin. Misalkan 𝜆(𝑡) menyatakan current-value fungsi adjoin, yang didefinisikan 𝜆 𝑡 = 𝑝(𝑡)𝑒 𝑟𝑡 yang berimplikasi 𝑝 𝑡 = 𝜆 𝑡 𝑒 −𝑟𝑡 . Sehingga fungsi current-value Hamiltonian yang dinotasikan dengan 𝐻 , dapat dituliskan menjadi 𝐻 ≡ 𝐻𝑒 𝑟𝑡 = 𝐺 𝑡, 𝑥, 𝑢 + 𝜆 𝑡 𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑢). Perhatikan bahwa 𝐻 , sebagaimana yang diinginkan sudah tidak memuat faktor diskon. Juga, perhatikan bahwa 𝐻 = 𝐻 𝑒 𝑟𝑡 . Kemudian penerapan prinsip maksimum Pontryagin terhadap 𝐻 harus disesuaikan. Karena u yang memaksimumkan H juga akan memaksimumkan 𝐻 , maka max 𝐻 , ∀𝑡 ∈ 0, 𝑇 . 𝑢

Persamaan state yang muncul dalam 𝜕𝐻 sistem kanonik, aslinya adalah 𝑥 𝑡 = . 𝜕𝑝

Karena

𝜕𝐻 𝜕𝑝

= 𝑓0 𝑡, 𝑥, 𝑢 =

𝜕𝐻 𝜕𝜆

, maka persama𝜕𝐻

an ini disesuaikan menjadi 𝑥 𝑡 = 𝜕𝜆 . Persamaan untuk peubah adjoin yang muncul dalam sistem kanonik aslinya adalah dalam 𝜕𝐻 bentuk 𝑝 𝑡 = − 𝜕𝑥 . Pertama-tama, transformasikan masing-masing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru, 𝜆 𝑡 , kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri, 𝑝 𝑡 = 𝜆 𝑡 𝑒 −𝑟𝑡 − 𝑟𝜆 𝑡 𝑒 −𝑟𝑡 . Dengan memanfaatkan definisi H, suku kanan dapat dituliskan kembali dalam bentuk

6

−

𝜕𝐻 𝜕𝐻 −𝑟𝑡 =− 𝑒 . 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝑡=𝑇 𝑆𝑥 − 𝑝 𝛿𝑥|𝑡=𝑇 𝑡=𝑡 0 + [𝐻 + 𝑆𝑡 ]𝛿𝑡|𝑡=𝑡 0 = 0.

Dengan menyamakan kedua persamaan di atas, persamaan adjoin menjadi 𝜆 𝑡 =−

𝜕𝐻 +𝑟𝜆 𝑡 . 𝜕𝑥

Selanjutnya akan diperiksa kondisi (syarat) batas. Untuk syarat batas 𝑝 𝑇 = 0, syarat batas yang sesuai adalah 𝜆 𝑡 𝑒 −𝑟𝑡 = 0 dan untuk syarat batas 𝐻 𝑡=𝑇 = 0, syarat batas yang sesuai adalah 𝐻 𝑒 −𝑟𝑡 𝑡=𝑇 = 0. (Tu 1993) 2.7 Syarat Transversalitas Masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif max 𝐽[𝑢 𝑡 ] = 𝑆 𝑥 𝑇 , 𝑇

𝑢(𝑡)∈𝑈

𝑇

+ 𝑡0

𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡

terhadap kendala 𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 , 𝑥 𝑡0 = 𝑥0 , 𝑥 𝑡 ∈ 𝑅𝑛 .

Syarat transversalitas atau diberikan oleh persamaan

syarat

batas

Untuk masalah dengan fungsional objektifnya menggunakan current-value Hamiltonian dengan 𝐻 ≡ 𝐻𝑒 𝑟𝑡 , fungsi scrap 𝑆 = 0, dan waktu awal 𝑡0 dan 𝑥(𝑡0 ) telah ditentukan seperti yang disebutkan sebelumnya, maka syarat batasnya adalah 𝜆 𝑡 𝑒 −𝑟𝑡 = 0 dan 𝐻 𝑒 −𝑟𝑡 𝑡=𝑇 = 0. (Tu 1993) Pada kasus horizon waktu takhingga (𝑇 → ∞), asumsikan fungsional objektif 𝑇 max 𝐽 = 0 𝐺(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡. Untuk titik akhir bebas, syarat transversalitas yang dapat digunakan adalah lim 𝑝 𝑇 = 0 ⟹ lim 𝑚 𝑡 𝑒 −𝜌𝑇 = 0.

𝑇→∞

𝑇→∞

Limit di atas adalah present value formulation yang juga merupakan syarat cukup untuk optimalitas. Kasus penting lainnya adalah jika terdapat kendala lim𝑇→∞ 𝑥 𝑇 ≥ 0 dengan syarat transversalitasnya adalah lim 𝑒 −𝜌𝑇 𝑚 𝑡 ≥ 0 dan lim 𝑒 −𝜌𝑇 𝑚 𝑡 𝑥 ∗ (𝑡) = 0.

𝑇→∞

𝑇→∞

(Sethi & Gerald 2000)