A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2015/16, kategorie EF (8. a 9. tˇ r´ıda ZS)
Identifikace Na kaˇ zd´ y list se zad´ an´ım nebo ˇ reˇ sen´ım napiˇ s dol˚ u svoje jm´ eno a identifik´ ator. Neoznaˇ cen´ e listy nebudou opraveny! ˇ ak Z´ jm´eno:
pˇr´ıjmen´ı:
identifik´ator:
ˇ Skola n´azev:
ˇ PSC:
mˇesto:
Hodnocen´ı
A
B
C
D
E
Σ
(100 b.)
´ cast v AO se ˇr´ıd´ı organizaˇcn´ım ˇr´ ˇ Uˇ adem, ˇc.j. MSMT – 14 896/2012-51. Organizaˇcn´ı ˇr´ad a propozice aktu´aln´ıho roˇcn´ıku naleznete na http://olympiada.astro.cz
Poˇstovn´ı adresa pro zasl´an´ı vypracovan´ ych u ´loh: ˇ Mgr. Lenka Soumarov´ a, Stef´ anikova hvˇ ezd´ arna, Strahovsk´ a 205, 118 00 Praha 1 Term´ın odesl´an´ı: nejpozdˇ eji 21. 3. 2016 (rozhoduje datum poˇstovn´ıho raz´ıtka)
A
Pˇ rehledov´ y test (online) (celkem max. 30 bod˚ u)
´ POKYNY: Uvodn´ ı test se ˇreˇs´ı online na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Pˇrihlaˇsovac´ı u ´daje pˇriˇsly u ´spˇeˇsn´ ym ˇreˇsitel˚ um ˇskoln´ıho kola e-mailem, nebo je dostaneˇs od sv´eho uˇcitele, kter´ y je m˚ uˇze zjistit v sekci pro uˇcitele na http://olympiada.astro.cz/ucitel. Velmi doporuˇcujeme ˇreˇsen´ı testu neodkl´adat na posledn´ı dny pˇred uz´avˇerkou. U probl´em˚ u s ˇreˇsen´ım testu ozn´amen´ ych po 6. 3. 2016 bohuˇzel nem˚ uˇzeme zaruˇcit jejich vˇcasn´e vyˇr´ızen´ı.
B
St´ıh´ an´ı svˇ etla (celkem max. 6 bod˚ u)
Galileo Galilei (1564–1642) se zapsal do dˇejin astronomie, fyziky a matematiky zlat´ ym p´ısmem. Napˇr. zaznamenal f´aze Venuˇse, byl jedn´ım z prvn´ıch evropan˚ u, kteˇr´ı pozorovali sluneˇcn´ı skvrny, nebo jako prvn´ı popsal mˇes´ıˇcn´ı pohoˇr´ı a kr´atery. a) Napiˇs, jak´ y pˇr´ıstroj je po nˇem tak´e pojmenov´an a z jak´ ych optick´ ych prvk˚ u se skl´ad´a?
Jm´eno:
1/9
Identifik´ator:
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2015/16, kategorie EF (8. a 9. tˇ r´ıda ZS) b) Nˇekter´e jeho snaˇzen´ı ale tak´e vyznˇelo napr´azdno. Jedn´ım z pokus˚ u, kter´e Galilei navrhl, bylo mˇeˇren´ı rychlosti svˇetla. Dnes nen´ı jasn´e, zda byl experiment skuteˇcnˇe realizov´an, ovˇsem pokud by byl, nejsp´ıˇse by nebyl u ´spˇeˇsn´ y. Jak vˇse mˇelo prob´ıhat? Dva experiment´atoˇri by se postavili s lucernami na dva vzd´alen´e kopce. Obˇe lucerny by byly na poˇc´atku zakryt´e. Prvn´ı experiment´ator by svou lucernu odkryl a zaˇcal mˇeˇrit ˇcas. Svˇetlo by se zaˇcalo ˇs´ıˇrit ke druh´emu kopci. V okamˇziku, kdy by druh´ y experiment´ator uvidˇel odkrytou lucernu prvn´ıho, tj. aˇz by svˇetlo pˇrekonalo vzd´alenost mezi kopci, odkryl by svou lucernu. Prvn´ı experiment´ator by ˇcekal, aˇz uvid´ı svˇetlo z druh´eho kopce a pod´ıval by se, jak´a uplynula doba. Asi je moˇzn´e vytuˇsit, v ˇcem spoˇc´ıv´a hlavn´ı pot´ıˇz zm´ınˇen´eho postupu. Spoˇc´ıtej, jak daleko by od sebe kopce musely b´ yt, aby prvn´ı experiment´ator spatˇril vracej´ıc´ı se svˇetlo v rozumn´em ˇcase – ˇreknˇeme alespoˇ n jednu sekundu po odhalen´ı sv´e lucerny. Zanedbej koneˇcn´ y ˇcas potˇrebn´ y k odhalen´ı luceren . i reakˇcn´ı dobu experiment´ator˚ u. Rychlost svˇetla je pˇribliˇznˇe c = 300 000 km s
c) V jak´em pomˇeru je tato vzd´alenost k d´elce zemsk´eho rovn´ıku a ke stˇredn´ı vzd´alenost´ı k Mˇes´ıci?
C
Nebesk´ a mechanika (celkem max. 19 bod˚ u)
Nejprve si pˇredstav, ˇze stoj´ıˇs v otevˇren´e krajinˇe. Jak pop´ıˇseˇs kamar´adovi, kter´ ym smˇerem leˇz´ı jak´e objekty? Uˇziteˇcn´e je zvolit z´akladn´ı smˇer (smˇer k severu) a potom zadat u ´hel, kter´ y sv´ır´a smˇer k dan´emu objektu s t´ımto smˇerem (to se naz´ yv´a azimut). Naˇs´ım c´ılem ale nyn´ı nebude zab´ yvat se azimutem. Byla to jen ilustrace, jak´ ym zp˚ usobem popisujeme polohu planet ve sluneˇcn´ı soustavˇe. Kdybychom st´ali tam, co je Slunce, planety sluneˇcn´ı soustavy by n´as ob´ıhaly pˇribliˇznˇe ve stejn´e rovinˇe (naz´ yv´a se ekliptika). Abychom dok´azali jednoznaˇcnˇe popsat jejich okamˇzitou polohu, zav´ad´ı se i zde jist´ y z´akladn´ı smˇer, od kter´eho mˇeˇr´ıme u ´hel, kter´ y sv´ır´a smˇer od Slunce k planetˇe se z´akladn´ım smˇerem. Napov´ıme, ˇze zmiˇ novan´ yu ´hel se naz´ yv´a heliocentrick´a ekliptik´aln´ı d´elka. Jm´eno:
2/9
Identifik´ator:
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2015/16, kategorie EF (8. a 9. tˇ r´ıda ZS) a) Napiˇs, jak se naz´ yv´a z´akladn´ı smˇer pro urˇcen´ı heliocentrick´e ekliptik´aln´ı d´elky. Ve kter´em souhvˇezd´ı tento bod leˇz´ı? Jak´ ym symbolem se tento bod oznaˇcuje?
b) V mapce na obr´azku 1 je oznaˇcena planeta, kter´a se v dan´e poloze nach´azela 1. bˇrezna 2009. Zjisti z dostupn´ ych zdroj˚ u, o kterou se jedn´a planetu. Napiˇs jej´ı jm´eno a velkou poloosu zaokrouhlenou na desetiny astronomick´ ych jednotek. Uved’ tak´e pouˇzit´ y zdroj.
ˇ ast oblohy dne 1. bˇrezna 2009. Poloha planety je oznaˇcena ˇsipkou. Mapa je v inverzn´ıch Obr´ azek 1: C´ barv´ach, tj. ˇc´ım jasnˇejˇs´ı objekt, t´ım ˇcernˇejˇs´ı a vˇetˇs´ı. Hvˇezdy jsou vyznaˇceny do 5,5 mag.
Jm´eno:
3/9
Identifik´ator:
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2015/16, kategorie EF (8. a 9. tˇ r´ıda ZS) c) Dne 1. bˇrezna 2009 byla heliocentrick´a ekliptik´aln´ı d´elka t´eto planety lP = 307◦ 280 a Zemˇe lZ = 160◦ 330 . Vytvoˇr vedle sebe dva stejnˇe velk´e obr´azky. Do obou nakresli Slunce a z´akladn´ı smˇer heliocentrick´e ekliptik´aln´ı d´elky. D´ale nar´ ysuj dr´ahy Zemˇe a planety se spr´avn´ ym pomˇerem polomˇer˚ u obˇeˇzn´ ych drah (pˇredpokl´adej, ˇze se jedn´a o kruˇznice). V prvn´ım obr´azku vyznaˇc polohu Zemˇe a pla´ nety pro 1. bˇrezen 2009, ve druh´em vyznaˇc polohy obou tˇeles pˇri opozici. Uhly r´ ysuj zaokrouhlen´e na cel´e stupnˇe.
d) Poloha planet, a tedy i u ´hel, kter´ y sv´ır´a smˇer od Slunce k planetˇe se z´akladn´ım smˇerem, se v ˇcase ´ mˇen´ı. Uhel, kter´ y planeta pr˚ umˇernˇe op´ıˇse za jeden den, se naz´ yv´a stˇredn´ı denn´ı pohyb. Spoˇc´ıtej, kdy by mˇelo doj´ıt k nejbliˇzˇs´ı opozici planety pˇri pohledu ze Zemˇe. V´ıme, ˇze stˇredn´ı denn´ı pohyb Zemˇe je nZ = 59,10 a stˇredn´ı denn´ı pohyb planety je nP = 5,00 . Pozn.: Vzhledem ke zjednoduˇsen´ım, kter´ a jsme v pˇr´ıkladu zavedli, se m˚ uˇze n´aˇs v´ysledek liˇsit od skuteˇcn´eho data opozice aˇz o nˇekolik dn´ı.
Jm´eno:
4/9
Identifik´ator:
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2015/16, kategorie EF (8. a 9. tˇ r´ıda ZS)
D
Velk´ a kometa roku 1997 (celkem max. 25 bod˚ u)
Mezi nejzn´amˇejˇs´ı objekty, kter´e lze na obloze pozorovat, patˇr´ı bezpochyby komety. Tyto objekty jsou tvoˇreny mal´ ym, typicky dvacet kilometr˚ u velk´ ym j´adrem, kter´e se skl´ad´a pˇredevˇs´ım z horniny, prachov´ ych ˇca´stic a zmrzl´ ych plyn˚ u. J´adro je ale pˇr´ıliˇs mal´e na to, aby se dalo pozorovat pouh´ yma oˇcima. Na obloze vid´ıme komu, coˇz je kulov´ y oblak tvoˇren´ y z plyn˚ u obklopuj´ıc´ı j´adro, a ohon, coˇz jsou plyny a prachov´e ˇc´astice vypaˇruj´ıc´ı se z povrchu j´adra vlivem sluneˇcn´ıho z´aˇren´ı.
Obr´ azek 2: Fotografie komety C/1995 O1 (Hale–Bopp) v inverzn´ıch barv´ach. Rozmˇery zorn´eho pole jsou vyznaˇceny.
´ a) Na obr´azku 2 je sn´ımek komety C/1995 O1 (Hale–Bopp). Uhlov´ e rozmˇery zorn´eho pole jsou ◦ ◦ 1,8 × 1,2 . Zapiˇs pˇrevodn´ı vztah mezi stupni a centimetry pro tuto fotografii.
b) Zmˇeˇr pr˚ umˇer komy. Hodnotu zapiˇs v centimetrech s pˇresnost´ı na desetiny cm a ve stupn´ıch s pˇresnost´ı na 2 desetinn´a m´ısta.
Jm´eno:
5/9
Identifik´ator:
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2015/16, kategorie EF (8. a 9. tˇ r´ıda ZS) c) V´ıˇs-li, ˇze kometa byla v dobˇe poˇr´ızen´ı fotografie ve vzd´alenosti pˇresnˇe 1,4 au od Zemˇe, vypoˇc´ıtej, jak´ y rozmˇer m´a koma ve skuteˇcnosti. V´ ysledek zaokrouhli na n´asobky 5 000 km. Porovnej tuto hodnotu s typick´ ym pr˚ umˇerem komet´arn´ıho j´adra, s pr˚ umˇerem planety Zemˇe (asi 12 600 km) a s typick´ ym rozmˇerem komy, kter´ y je 20 000 aˇz 200 000 km. Pˇri v´ ypoˇctu pouˇzij pˇrevod 1 au = 150 milion˚ u km. N´ apovˇeda: V ˇreˇsen´ı prvn´ı ˇc´asti uvaˇzuj, ˇze u ´hel, pod kter´ym vid´ıme kometu, je velmi mal´y.
d) Trajektorie komet jsou znaˇcnˇe prot´ahl´e elipsy, kter´e maj´ı perih´elium bl´ızko Slunce a af´elium aˇz za drahou Jupiteru. U naˇs´ı komety v´ıme, ˇze kolem Slunce prol´etla ve vzd´alenosti q = 0,914 au. D´ale bylo zjiˇstˇeno, ˇze se nejd´ale od Slunce dostane do vzd´alenosti Q = 370,8 au. Nakresli trajektorii komety a do jednoho ohniska um´ısti Slunce. V obr´azku d´ale vyznaˇc vzd´alenosti q, Q, velkou poloosu elipsy (oznaˇc ji a) a malou poloosu (oznaˇc b). Nakonec oznaˇc vzd´alenost od stˇredu elipsy k ohnisku – line´arn´ı v´ ystˇrednost ε, kter´a je d´ana souˇcinem velk´e poloosy a a ˇc´ıseln´e v´ ystˇrednosti e (ε = ae).
Jm´eno:
6/9
Identifik´ator:
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2015/16, kategorie EF (8. a 9. tˇ r´ıda ZS) e) Vypoˇc´ıtej velkou poloosu a a ˇc´ıselnou v´ ystˇrednost e trajektorie komety. Velkou poloosu uved’ na cel´e astronomick´e jednotky, v´ ystˇrednost zaokrouhli na 3 desetinn´a m´ısta.
f ) Pro tˇelesa sluneˇcn´ı soustavy, kter´a ob´ıhaj´ı kolem centr´aln´ıho tˇelesa Slunce (tedy i pro komety) plat´ı, ˇze tˇret´ı mocnina velk´e poloosy jejich trajektorie je pˇr´ımo u ´mˇern´a druh´e mocninˇe jejich obˇeˇzn´e periody. Tato z´avislost se naz´ yv´a 3. Kepler˚ uv z´akon a lze ji matematicky vyj´adˇrit rovnic´ı a3 = konst . T2 Konstanta na prav´e stranˇe z´aleˇz´ı na centr´aln´ım tˇelesu, na pomˇeru hmotnosti centr´aln´ıho a ob´ıhaj´ıc´ıho tˇelesa a na pouˇzit´ ych jednotk´ach. Tˇreba ve chv´ıli, kdy je centr´aln´ı tˇeleso Slunce, ob´ıh´a ho kometa nebo planeta, velkou poloosu zad´ame v astronomick´ ych jednotk´ach a obˇeˇznou periodu v roc´ıch, bude prav´a strana rovnice rovna 1. Vypoˇc´ıtej obˇeˇznou periodu T komety Hale–Bopp a v´ ysledek zaokrouhli na cel´e roky.
g) V jak´em roce by mˇela kometa znovu prol´etat kolem Slunce, kdyˇz byla naposledy v perih´eliu dne 1. dubna 1997?
Jm´eno:
7/9
Identifik´ator:
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2015/16, kategorie EF (8. a 9. tˇ r´ıda ZS)
E
Pozorov´ an´ı (online) (celkem max. 20 bod˚ u)
POKYNY: Pozorovac´ı u ´loha se ˇreˇs´ı online na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Pˇrihlaˇsovac´ı u ´daje pˇriˇsly u ´spˇeˇsn´ ym ˇreˇsitel˚ um ˇskoln´ıho kola e-mailem, nebo je dostaneˇs od sv´eho uˇcitele, kter´ y je m˚ uˇze zjistit v sekci pro uˇcitele na http://olympiada.astro.cz/ucitel. Velmi doporuˇcujeme pozorov´an´ı neodkl´adat na posledn´ı dny pˇred uz´avˇerkou (hlavnˇe kv˚ uli poˇcas´ı). Nav´ıc u probl´em˚ u s ˇreˇsen´ım ozn´amen´ ych po 6. 3. 2016 bohuˇzel nem˚ uˇzeme zaruˇcit jejich vˇcasn´e vyˇr´ızen´ı. ˇ sen´ı (nebo alespoˇ Reˇ n snaha o ˇ reˇ sen´ı) pozorovac´ı u ´ lohy je nutnou podm´ınkou pro postup do fin´ ale Astronomick´ e olympi´ ady. Mˇes´ıc patˇr´ı mezi nejrychlejˇs´ı kosmick´a tˇelesa na obloze, proto se u nˇej pomˇernˇe snadno urˇcuje u ´hlov´a ´ rychlost pohybu. Ukolem je zjistit, o kolik stupˇ n˚ u za den se pr˚ umˇernˇe posune Mˇes´ıc mezi hvˇezdami. V prvn´ım pˇribl´ıˇzen´ı staˇc´ı pozorovat ve dva r˚ uzn´e ˇcasy a zmˇeˇrit jeho polohu v˚ uˇci vybran´ ym hvˇezd´am. Pozorov´an´ı je vhodn´e prov´est ve dvou noc´ıch kr´atce po sobˇe. Pohyb Mˇes´ıce mezi hvˇezdami bude i ´ tak patrn´ y, ˇze jej nikdo nepˇrehl´edne. Pozor, ne kaˇzd´a noc se k pozorov´an´ı hod´ı! Uloha je pˇripravena pro veˇcern´ı pozorov´an´ı, je tedy vhodn´e pozorovat pouze v obdob´ı, kdy je Mˇes´ıc kolem prvn´ı ˇctvrti aˇz kolem u ´plˇ nku. Tak´e vezmi v u ´vahu ˇspatn´e poˇcas´ı, kter´e m˚ uˇze pozorov´an´ı znemoˇznit. Proto s n´ım neot´alej a snaˇz se jej prov´est pˇri prvn´ı moˇzn´e pˇr´ıleˇzitosti. U kaˇzd´eho pozorov´an´ı zaznamenej u ´daje o poloze pozorovac´ıho stanoviˇstˇe (GPS souˇradnice nebo ˇ s pˇresnost´ı na minuty). adresu), datu a ˇcasu pozorov´an´ı (ˇcas uv´adˇej v SEC Vyhledej na noˇcn´ı obloze Mˇes´ıc a tˇri jasn´e hvˇezdy, kter´e leˇz´ı bl´ızko jeho trajektorie. V naˇsem pˇr´ıpadˇe se jedn´a o hvˇezdy Regulus (α Leo), Aldebaran (α Tau) a Alhena (γ Gem), kter´e jsou vyznaˇceny v mapce (viz obr´azek 4). Zmˇeˇr u ´hlovou vzd´alenost Mˇes´ıce od tˇechto hvˇezd. Pˇri mˇeˇren´ı u ´hlov´e vzd´alenosti Mˇes´ıce v˚ uˇci vybran´ ym hvˇezd´am vyuˇzijeme toho, ˇze se Mˇes´ıc pohybuje po dr´aze, kter´a proch´az´ı v tˇesn´e bl´ızkosti vybran´ ych hvˇezd. Proto staˇc´ı zmˇeˇrit jen u ´hlovou vzd´alenost od dan´e hvˇezdy. Pˇri mˇeˇren´ı u ´hlov´e vzd´alenosti je vˇzdy potˇreba si pˇredstavit mezi hvˇezdou a Mˇes´ıcem pˇr´ımku a po n´ı u ´hlovou vzd´alenost mˇeˇrit. Jinak bude zmˇeˇrena nespr´avn´a (menˇs´ı) u ´hlov´a vzd´alenost. Jedin´a v´ yjimka nast´av´a v pˇr´ıpadˇe, ˇze je Mˇes´ıc velmi bl´ızko jedn´e z hvˇezd, pak budou dvˇe bliˇzˇs´ı hvˇezdy a Mˇes´ıc vytv´aˇret sp´ıˇse ostro´ uhl´ y troj´ uheln´ık. V takov´em pˇr´ıpadˇe mˇeˇr u ´hlovou vzd´alenosti po pˇr´ımce, kter´a spojuje tyto hvˇezdy.
´ Obr´ azek 3: Vlevo: Urˇcen´ı u ´hlov´e vzd´ alenosti pomoc´ı prst˚ u nataˇzen´e ruky. Vpravo: Uhlov´ e vzd´ alenosti mezi hvˇezdami obrazce Velk´eho vozu urˇcen´e ke kontrole u ´hl˚ u.
ˇıˇrka dlanˇe pak pˇredstavuje K mˇeˇren´ı u ´hlov´ ych vzd´alenost´ı staˇc´ı pouˇz´ıt vlastn´ı ruku a nataˇzenou paˇzi. S´ ◦ ˇıˇrka pˇribliˇznˇe 10 , vzd´alenost mezi ˇspiˇckou mal´ıˇcku a ˇspiˇckou palce na zcela rozevˇren´e dlani je 20◦ . S´ Jm´eno:
8/9
Identifik´ator:
A
Astronomická olympiáda
ˇ Krajsk´ e kolo 2015/16, kategorie EF (8. a 9. tˇ r´ıda ZS) palce pˇredstavuje 2,5◦ a nehtu na mal´ıˇcku je 0,5◦ , tedy pˇribliˇznˇe pr˚ umˇer Mˇes´ıce na obloze. Pro dalˇs´ı m´ıry si prohl´edni obr´azek 3. Pro kontrolu lze tak´e vyuˇz´ıt obrazec Velk´eho vozu, kde si m˚ uˇzeˇs celkem snadno zkontrolovat, jestli tvoje ruka ukazuje spr´avn´e velikosti, nebo je potˇreba si obecnou stupnici pro svou ruku poupravit. Pˇri kaˇzd´em mˇeˇren´ı u ´hlov´e vzd´alenosti urˇci poziˇcn´ı u ´hel hvˇezdy; pˇredstav si cifern´ık se stˇredem tvoˇren´ ym Mˇes´ıcem, jehoˇz dvan´actka m´ıˇr´ı do zenitu (tedy nahoru), poziˇcn´ı u ´hel hvˇezdy urˇcuje mal´a ruˇciˇcka. Zaznamenej hodinu (s pˇresnost´ı na p˚ ulhodiny), kam mal´a ruˇciˇcka cifern´ıku smˇeˇruje. Aˇz budeˇs m´ıt uskuteˇcnˇen´a obˇe pozorov´an´ı, vypoˇc´ıtej, kolik dn´ı mezi nimi uplynulo (hodiny a minuty pˇreved’ na dny s pˇresnost´ı na 4 desetinn´a m´ısta). Pro kaˇzdou vybranou hvˇezdu urˇci, o jak´ yu ´hel se zmˇenila poloha Mˇes´ıce mezi prvn´ım a druh´ ym pozorov´an´ım; pˇri poˇc´ıt´an´ı u ´hlov´e vzd´alenosti vezmi vu ´vahu poziˇcn´ı u ´hel, kter´ y ti urˇc´ı, zda budeˇs u ´hly sˇc´ıtat, ˇci odeˇc´ıtat. Vypoˇc´ıtanou u ´hlovou vzd´alenost pro hvˇezdy vydˇel poˇctem dn´ı, kter´e uplynuly mezi obˇema pozorov´an´ımi. Aritmetick´ y pr˚ umˇer je pak pr˚ umˇern´ y denn´ı pohyb Mˇes´ıce. Uved’ ho s pˇresnost´ı na cel´e stupnˇe. Zd˚ uvodni, proˇc nem´a smysl uv´adˇet v´ ysledek s vˇetˇs´ı pˇresnost´ı.
Obr´ azek 4: Mapa oblohy s vyznaˇcen´ ymi hvˇezdami.
Jm´eno:
9/9
Identifik´ator:
