´ ´ IDEIGLENES PELDAT AR vegy´ eszhallgat´ ok sz´ am´ ara A
”K´ emiai Matematika”
c. tant´ argyhoz
— k´ ezirat gyan´ ant —
¨ Ossze´ all´ıtotta: Surj´ an P´ eter ´ Szabados Agnes L´ az´ ar Armand
ELTE TTK Elm´ eleti K´ emia Tansz´ ek 2002
˝ O ´ ELOSZ
Ez a p´ eldat´ ar a II. ´ eves vegy´ eszhallgat´ ok sz´ am´ ara k´ esz¨ ul a ”K´ emiai Matematika” c. tant´ argyhoz kapocsol´ od´ o sz´ amol´ asi gyakorlatok seg´ edanyagak´ ent. Az ”ideiglenes” jelz˝ o arra utal, hogy – b´ ar folyamatosan jav´ıtjuk ´ es fejlesztj¨ uk – m´ eg sok fontos p´ elda hi´ anyzik, a megl´ ev˝ o p´ eld´ ak ¨ ossze´ all´ıt´ asa, sorrendje t¨ obb helyen esetleges, neh´ ezs´ egi fokuk nem kiegyens´ ulyozott. Az id´ en el˝ osz¨ or k¨ ozreadott megold´ asok hib´ at is tartalmazhatnak – ezek megkeres´ es´ ehez ´ es kijav´ıt´ as´ ahoz k´ erj¨ uk a T. koll´ eg´ ak szemf¨ ules seg´ıts´ eg´ et. A jelen kiad´ as hi´ anyos is, mert nem tartalmazza a kvantummechanikai p´ eld´ ak egy r´ esz´ enek megold´ as´ at. Mindezen negat´ıvumok ellen´ ere azt gondoltuk, hogy az ideiglenes p´ eldat´ ar k¨ ozread´ asa felbecs¨ ulhetetlen seg´ıts´ eget jelent az anyag elsaj´ at´ıt´ as´ ahoz. A p´ eld´ ak forr´ asa r´ eszben az elm´ ult ´ evekben kialakult rend szerint a gyakorlatokon megold´ asra ker¨ ul˝ o feladatai, r´ eszben az elm´ ult ´ evek z´ arthelyi dolgozatainak p´ eld´ ai. Kiv´ etelt k´ epez a csoportelm´ elet ´ es a kvantummechanika fejezet, amely j´ or´ eszt az Elm´ eleti K´ emia Tansz´ ek kor´ abbi, m´ eg a ”K´ emiai Matematika” c. tant´ argy bevezet´ ese el˝ ott ¨ ossze´ all´ıtott ´ es sokszoros´ıtva rendszeresen k¨ ozreadott feladatait tartalmazza. A p´ eld´ akat h´ arom neh´ ezs´ egi fok´ u csoportba soroltuk. A jel¨ oletlen feladatok – ezek vannak a legt¨ obben – a legk¨ onnyebbek, ezeket mindenkinek meg kell tudni oldani. A (*)-gal jel¨ olt feladatok k¨ oz´ epnehezek, ezek megold´ as´ at a jobb ´ erdemjegyet ig´ enyl˝ okt˝ ol k¨ ovetelj¨ uk csak meg. V´ eg¨ ul (**) jel¨ oli az ´ erdekesebb feladatokat, amelyeket nem k´ er¨ unk sz´ amon, csak szorgalmi jelleggel aj´ anljuk az anyagon t´ ulmen˝ o´ erdekl˝ od´ es˝ u kolleg´ aknak. A p´ eld´ ak megold´ as´ ahoz sok sikert k´ıv´ anunk.
Budapest, 2002 szeptember´ eben
Surj´ an P´ eter
4
Tartalomjegyz´ ek
I. P´ eld´ ak 1. Bevezet˝o sz´amol´asi gyakorlatok 2. Hat´ar´ert´ek; a rend fogalma 3. Egyv´altoz´os differenci´al´as ´es integr´ al´ as 4. T¨obbv´ altoz´os differenci´al´as 5. T¨obbv´ altoz´os integr´al´as 6. Sz´els˝ o´ert´eksz´am´ıt´as, vari´aci´osz´am´ıt´ as 7. Koordin´atarendszerek 8. Komplex f¨ uggv´enyek 9. Line´aris terek ´es oper´atorok, m´atrixsz´ am´ıt´ as 10. Differenci´alegyenletek 11. Ortogon´alis polinomok, speci´alis f¨ uggv´enyek 12. Csoportelm´elet 13. Kvantummechanikai alkalmaz´asok
7 7 7 8 9 10 10 12 13 14 17 19 20 23
II. Megold´ asok 1. Bevezet˝o sz´amol´asi gyakorlatok 2. Hat´ar´ert´ek; a rend fogalma 3. Egyv´altoz´os differenci´al´as ´es integr´ al´ as 4. T¨obbv´ altoz´os differenci´al´as 5. T¨obbv´ altoz´os integr´al´as 6. Sz´els˝ o´ert´eksz´am´ıt´as, vari´aci´osz´am´ıt´as 7. Koordin´atarendszerek 8. Komplex f¨ uggv´enyek 9. Line´aris terek ´es oper´atorok, m´atrixsz´ am´ıt´ as 10. Differenci´alegyenletek 11. Ortogon´alis polinomok, speci´alis f¨ uggv´enyek 12. Csoportelm´elet 13. Kvantummechanikai alkalmaz´asok
27 27 27 28 30 32 33 37 39 41 48 53 53 60
III. F¨ uggel´ ek 1. N´eh´ any gyakrabban el˝ofordul´o pontcsoport karaktert´ abl´ aja 2. A hidrog´en atom saj´atf¨ uggv´enyei 3 3. Lexikai minimum k´emiai matematik´ab´ ol 1. Anal´ızis blokk 2. Csoportelm´elet
68 68 71 71 71 72
6
7 I.
´ ´ AK PELD
3.
3 P
δij δij
i,j,k=1
1.
Bevezet˝ o sz´ amol´ asi gyakorlatok
(δik a Kronecker-delta)
1.1. Egyszer˝ us´ıts¨ uk a k¨ovetkez˝o kifejez´eseket: n
1.
1 X κ + λk κ 2
2.
k=1
2. a1 +
n−1 X
2.1. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi n → ∞ hat´ ar´ert´ekeket: aj+1
n+4 n n 2. an = 2 2n − 1 1. an =
j=1
3.
n X
(ik − ik+1 )
k=1
1.2. P P Legyen A = i ai ´es B = i bi . P Igaz-e, hogy AB = i ai bi ?
1.3. Tekints¨ uk az al´abbi mennyis´eget: N N N X X X Lli wl vi Lkj vj − C= wk j=1
k=1
3. an =
n2 − 1 n2 + 1
4. an =
cos(n) n2
5n2 + 2 5. an = 2 7n + 900 6. (*)
2. Lecser´elhet˝o-e az ’i’ ¨osszegz˝o index ’l’-re? 3. Lecser´elhet˝o-e a ’k’ ¨osszegz˝o index ’j’-re, ha ugyanakkor a ’j’-t ’k’-ra v´altoztatjuk? 4. Lecser´elhet˝o-e a ’k’ ¨osszegz˝o index ’i’-re vagy ’l’-re?
6. Egyszer˝ us´ıts¨ uk a kifejez´est! 7. ´Irjuk fel a kifejez´est indexek n´elk¨ ul (m´atrixos, vektoros jel¨ol´essel)!
1.4. Mit adnak az al´abbi ¨osszegz´esek:
2.
F = (1 + + 2 )2
2.4. K¨ozel´ıts¨ uk kis x-re O(3)-ig az ecos(x) kifejez´est!
2.5. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi hat´ar´ert´ekeket: 1. lim
x→1
3 P k,i=1
x5 − 1 x4 − 1
2. lim
x2 + 8x − 1 x3 − 1000x
3. lim
sin(x)
x→∞
δik δki
2.3. K¨ozel´ıts¨ uk O(3) -ig az al´abbi kifejez´est:
δik δkj
k=1
4 7n 1+ + n 14n2 + 3 1 n an = k k n
2.2. Legyen F (ε) = (aε2 + bε)2 (ε + 1) Adjuk meg O(4)-ig !
5. Lecser´elhet˝o-e a ’j’ ¨osszegz˝o index ’i’-re vagy ’l’-re?
3 P
i,l=1
1. Lecser´elhet˝o-e a ’j’ ¨osszegz˝o index ’k’-ra?
1.
Hat´ ar´ ert´ ek; a rend fogalma
x→∞
8 4. lim
x→0
sin(x) x
2.6. √ Becs¨ ulj¨ uk meg a 1 − sin 10o kifejez´es ´ert´ek´et!
2.7. K¨ozel´ıts¨ uk (sz´amol´og´ep n´elk¨ ul) az al´abbi sz´amot: p −3 exp 1 − arctg(2 · 10 )
3.
Egyv´ altoz´ os differenci´ al´ as ´ es integr´ al´ as
3.1. Igazoljuk a kis v´altoz´asok m´odszer´evel, hogy d 3 x = 3x2 dx 3.2. Deriv´aljuk az al´abbi f¨ uggv´enyeket: 1.
f (x) = (2x + 1)3
2.
f (x) =
3.
x2 + 5x 3x2 − 3x p √ f (x) = 1 + x
4.
f (x) = 3e4x
2
1 + 2x + 6x2
f (x) = xx Rx 6. f (x) = 0 g(y) dy Rx 7. (**) f (x) = 0 g(x, y) dy 5.
3.3. Legyen y = sin(z) ´es z = x2 + 1. Adjuk meg a dy dx deriv´altat!
3.6. Tekints¨ uk azt az f (x) f¨ uggv´enyt, amelyik y=1-n´el 45o -os sz¨ogben metszi az y tengelyt, ´es amelyre igaz, hogy f (x1 + x2 ) = f (x1 ).f (x2 ). Sz´am´ıtsuk ki a df / dx deriv´altat! 3.7. V´egezz¨ uk el az al´abbi integr´ al´ asokat: R 1. dx R 2. x4 dx Z 1 3. dx x2 R 4. (6x4 − 3x2 + x + 7) dx R 5. tg(x) dx Z x 6. dx 1 + x2 Z ex 7. dx ex + 1 R 8. ln(x) dx R 9. cos2 (x) dx R 4√ 10. 1 − 4x dx R x 11. xe dx R 12. ex sin(ex ) dx R 13. x2 cos(x) dx R 14. e2x sin(ex ) dx
3.8. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi integr´ alok ´ert´ek´et (sz¨ uks´eg eset´en haszn´aljunk integr´ alt´ abl´ azatot): 1.
π/2 R
x cos(x) dx
0
3.4. uggv´enyt az Fejts¨ uk Taylor-sorba az f (x) = esin(x) f¨ orig´ o k¨or¨ ul!
2.
x5 e−2x dx
0
3. 3.5. Fejts¨ uk Taylor-sorba az f (x, y) = ex+y f¨ uggv´enyt!
R∞
R∞
2
x2 e−2x dx
−∞
4.
R∞ √ 0
x e−x dx
9 Z∞ 5.
ex
0
Z∞ 6. 0
x dx −1
4.6. ´Irjuk f¨ol az f (x, y) = 5x2 − 3y 3 + x y 2 f¨ uggv´eny teljes deriv´altj´ at!
x dx e+ 1
4.
T¨ obbv´ altoz´ os differenci´ al´ as
4.1. Adjuk meg az al´abbi f¨ uggv´enyek parci´alis deriv´altjait ! 1.
f (x, y) =
2.
f (x, y) =
3. 4.
x2
x + y2
1 ln(x.y 2 ) p f (x, y) = ln x2 + y 2 √ 2 2 2 Ψ(x, y, z) = e− x +y +z
4.7. Az ide´alis g´az ´allapotegyenlete pV = nRT , ahol R alland´ ´ o. Tekints¨ uk n-et is konstansnak. Hogyan v´ altozik a g´az h˝om´ers´eklete, ha nyom´ as´ at kicsiny at kicsiny 4V -vel megv´altoztatjuk? 4p-vel, t´erfogat´
4.8. Re´alis g´az nyom´ as´ at kicsiny dp -vel, t´erfogat´ at dV vel n¨ovelj¨ uk. Hogyan v´altozik a h˝om´ers´eklete ? ´ (Allapotegyenlet: a (p + 2 )(V − b) = RT V ahol a, b, ´es R: const. )
4.9.
4.2. Ellen˝orizz¨ uk a Young t´etel ´erv´enyess´eg´et az al´abbi f¨ uggv´eny p´eld´ aj´an: f (x, y) = (2x + y)3
Z Az atommag elektromos potenci´alja Φ = − . r Sz´am´ıtsuk ki a t´erer˝ oss´eg vektor´ at! Mennyi ennek a vektornak az abszol´ ut ´ert´eke a t´er egyes pontjaiban?
4.10. Igazoljuk az al´abbi azonoss´agokat: 1. div rot v = 0
4.3. Sz´am´ıtsuk ki az
2. rot grad Φ = 0 1
f (x, y) = p
f¨ uggv´eny gradiens´et a s´ıkban !
4.11. Legyen v(r) = r. Sz´am´ıtsuk ki ennek a centr´ alis t´ernek a divergenci´ aj´ at!
4.4. Legyen
4.12. Sz´am´ıtsuk ki az
(x − x0
)2
+ (y − y0 )2
1
Φ(x, y, z) = sin(x2 + y 2 + z 2 ) 2
E=
r r3
Sz´am´ıtsuk ki Φ gradiens´et!
Coulomb–t´er divergenci´ aj´ at!
4.5. Legyen f (x, y, z) = (x2 +y 2 +z 2 )n , n > 0. Sz´am´ıtsuk ki 4f -t a 3 dimenzi´os t´erben!
4.13. (**) Igazoljuk, hogy div v ´ert´eke invari´ ans a koordin´ata rendszer elforgat´as´ ara!
10
4.14. (**) Igazoljuk, hogy ∆ oper´ator Descartes-alakja invari´ ans a koordin´ata rendszer elforgat´as´ara!
4.15. Legyen Φ = x2 .y.z 3 ´es a = xzi − y 2 j + 2x2 yk, ahol i, j, k az x, y, z ir´ any´ u egys´egvektorokat jel¨oli. Adjuk meg div a-t ´es rot (Φa)-t!
5.
5.7. Sz´am´ıtsuk ki a k¨or ter¨ ulet´et kett˝ os integr´ allal!
5.8. Sz´am´ıtsuk ki a g¨omb felsz´ın´et!
5.9. Sz´am´ıtsuk ki a g¨omb t´erfogat´ at!
T¨ obbv´ altoz´ os integr´ al´ as 5.10. (*) Sz´am´ıtsuk ki az ellipszis ter¨ ulet´et kett˝ os integr´ allal!
5.1. V´egezz¨ uk el az Z Z x2 (x + y) dx dy integr´ al´ ast!
5.11. Adjuk meg a v(r) = (vx , vy ) = (x2 , −yx) vektort´er Z alj´ at az y = −2x + 2 (vx dx + vy dy)vonalintegr´ L
egyenes ment´en x = 0-t´ol x = 1-ig integr´ alva! 5.2. Sz´am´ıtsuk ki az f(x)=x2 parabola ´ıv´enek hossz´ us´ ag´ at az (1,1) ´es a (2,4) pontok k¨oz¨ott!
5.12. (*) Hat´arozzuk meg az F(r) =
5.3. Milyen hossz´ u a l´anc az y=0 tengely x=-1 ´es x=+1 pontjai k¨oz¨ott kifesz´ıtve ? (A ’l´ancg¨ orbe’: y = y0 + ch(x), ahol y0 konstans.)
5.4. Sz´am´ıtsuk ki a k¨or ker¨ ulet´et ´ıvhosszintegr´allal!
5.5. Hat´arozzuk meg az y = x2 parabola ´es az y = x + 2 egyenes ´altal k¨ozrez´art tartom´any ter¨ ulet´et kett˝ os integr´ allal !
5.6. V´azoljuk fel az y = x2 , x = 2, ´es y = 1 f¨ uggv´enyek altal hat´arolt R ter¨ ´ uletet. Sz´am´ıtsuk ki a Z Z (x2 + y 2 ) dx dy
x2
x y i+ 2 j 2 +y x + y2
vektort´er integr´ alj´ at az L = { r(ϕ) = i cos(ϕ) + j sin(ϕ) + kϕϕ ∈ [0, 2π] } g¨ orbe ment´en! (i, j, k a Descartes b´azisvektorok, x, y, z a helyvektor komponensei; az L g¨orbe az egys´egsugar´ u henger pal´astj´ an emelked˝ o spir´alt ´ır le, a g¨orbe param´etere a henger koord. rendszer ϕ sz¨oge)
5.13. Mit ad az u(r) = gradΦ(r) vektormez˝ o integr´ alja az A(1, 1, 1) ´es a B(2, 3, 5) pontokat ¨osszek¨ ot˝ o tetsz˝oleges g¨orb´ere, ha Φ(r) = x3 yz 2 ?
6.
Sz´ els˝ o´ ert´ eksz´ am´ıt´ as, vari´ aci´ osz´ am´ıt´ as
6.1. Hol lehet sz´els˝ o´ert´eke az f (x) = x2 e−x f¨ uggv´enynek?
R
integr´ alt!
6.2. Hol lehet sz´els˝ o´ert´eke az f (x, y) = x2 y 2 f¨ uggv´enynek
11 az x + y = 1 mell´ekfelt´etellel? 6.10. Hol lehet sz´els˝ o´ert´eke a 6.3. ´ Allap´ ıtsuk meg a Hess m´atrix seg´ıts´eg´evel, hogy vane sz´els˝ o´ert´eke az al´abbi k´etv´altoz´os f¨ uggv´enynek:
Zπ/2 cos(x)f (x) dx J(f ) = 0
f (x, y) = xy + x2 + y 2
funkcion´ alnak a Z
6.4. Hol veszi f¨ol az f (x, y) = xy + x2 + 2y 2 f¨ uggv´eny legnagyobb ill. legkisebb ´ert´ek´et az 1 sugar´ u k¨or ment´en?
6.5. Hol veszi f¨ol az f (x, y, z) = 2xy + 2yz f¨ uggv´eny legnagyobb ill. legkisebb ´ert´ek´et az 1 sugar´ u g¨omb fel¨ ulet´en?
π/2
f 2 (x) dx = 1
0
mell´ekfelt´etellel?
6.11. Melyik f (x) f¨ uggv´eny teszi stacion´ariuss´ aa Z J(f ) =
1
x2 f (x) dx
0
funkcion´ alt azzal a mell´ekfelt´etellel, hogy f (x) norm´alt az L2 [0,1] t´eren?
6.6. Hol lehet sz´els˝o´ert´eke az f (x, y, z) =
1 4 + + x y
9 f¨ uggv´enynek az x + y + z = 12 mell´ekfelt´etel z figyelembev´etel´evel?
6.12. (*) Tekints¨ uk az al´abbi funkcion´ alt: Z1 J(f ) =
2 f (x) − f 02 (x) dx
0
6.7. uggv´enyt! Vizsg´aljuk az f (x, y) = (ex − 1).y f¨ (a) Mely x, y pontban stacion´arius? (b) Hat´ arozzuk meg ebben a pontban a norm´alkoordin´at´akat, mint a Hess m´atrix saj´atvektorait! (c) D¨ onts¨ uk el a saj´at´ert´ekek alapj´an, hogy van-e sz´els˝ o´ert´eke a f¨ uggv´enynek!
6.8. Hol lehet sz´els˝o´ert´eke az al´abbi funkcion´ alnak? Rb 3 2 2 3 J(f ) = f (x)x − f (x)x dx a
6.9. Hol lehet sz´els˝o´ert´eke az al´abbi funkcion´alnak ? Z
b
J(f ) =
[f (x) ln f (x) − 2 f (x)] dx a
Ennek keress¨ uk a sz´els˝ o´ert´ek´et az f (0) = 0 ´es f (1) = 1 hat´arfelt´etelek mellett. Mutassuk meg, hogy a φ(x) = x + cx(1 − x) pr´obaf¨ uggv´eny minden c-re kiel´eg´ıti a hat´ arfelt´eteleket! Mennyi a c param´eter optim´ alis ´ert´eke? (Ritz-m´ odszer) Oldjuk meg egzaktul is a probl´em´ at! 6.13. Legyen v = (x,y) 2-dimenzi´os norm´alt vektor. Minimaliz´ aljuk az E = hv|Hvi skal´ arszorzatot az x2 + y 2 = 1 mell´ekfelt´etellel, ha 0 1 H= 1 0 6.14. Egy menek¨ ul˝ onek az A pontb´ ol a B pontba kell
12 futnia. Az u ´t el˝osz¨or r¨og¨os terepen vezet; itt v1 sebess´eggel tud futni. Egy hat´arvonal ut´an szabadabb terepen v2 sebess´eggel futhat. Milyen sz¨ og alatt fusson, hogy legr¨ovidebb id˝o alatt ´erjen oda?
7.
7.9. (**) Tudjuk, hogy az
Koordin´ atarendszerek
x=
Rp 2 (µ − 1)(1 − ν 2 ) cos(φ) 2
y=
Rp 2 (µ − 1)(1 − ν 2 ) sin(φ) 2
7.1. Adjuk meg az (x, y) = (−3, 2.5) pontot s´ıkbeli pol´arkoordin´at´ akban!
7.2. Adjuk meg az (x, y, z) = (1, −2, −1) pontot t´erbeli pol´arkoordin´at´ akban!
7.3. Mik a Descartes-koordin´at´ai az (r, φ) = (1, π/2) pontnak?
7.4. Mik a Descartes-koordin´at´ai az (r, θ, φ) = (2, π/4, π) pontnak?
7.5. Sz´am´ıtsuk ki a s´ıkbeli pol´arkoordi´ata-rendszer Jacobi determin´ans´at!
7.6. Sz´am´ıtsuk ki a t´erbeli pol´arkoordi´ata-rendszer Jacobi determin´ans´at!
7.7. ´Irjuk fel a s´ıkbeli pol´arkoordi´ata-rendszer metrikus m´ atrix´ at!
z=
R µν 2
transzform´ aci´ ot v´egrehajtva egyenleteinket a µ, ν, ´es φ ortogon´alis koordin´atarendszerben ´ırhatjuk fel (elliptikus koordin´at´ ak). Hogy fest a metrikus m´atrix az elliptikus koordin´atarendszerben?
7.10. Szeml´eltess¨ uk rajzban azt a t´enyt, hogy a s´ıkbeli pol´arkoordin´ata-rendszer ”t´erfogateleme” dτ = r dr dφ!
7.11. (*) Mi a szeml´eletes magyar´ azata a t´erbeli pol´arkoordin´ata-rendszer t´erfogatelem´et megad´o dV = r2 dr sin θ dθ dφ k´epletnek?
7.12. (*) Legyen f (x, y, z) = f (r) g¨ombszimmetrikus ´ f¨ uggv´eny. Sz´am´ıtsuk ki 4f -et! (Utm.: tekints¨ uk f (r) hatv´anysor´ at, bele´ertve a negat´ıv kitev˝oj˝ u tagokat is.) Mit lehet mondani az f (r) = 1/r esetr˝ ol?
7.13. V´egezz¨ uk el az al´abbi integr´ al´ ast: R∞ R∞ −√x2 +y2 dx dy e −∞ −∞
7.14. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi t´erfogati integr´ alt: 7.8. ´Irjuk fel a t´erbeli pol´arkoordi´ata-rendszer metrikus m´ atrix´ at!
Z Z∞ Z −∞
h
√ 2 2 2 i 73 e− x +y +z x2 + y 2 + z 2
dx dy dz
13
7.15. (*) Az a ´es a b pontba az ´abra szerint elhelyezz¨ uk a χa = uggv´enyeket, ahol ra ´es rb az a e−ra ill χb = e−rb f¨ ´es a b pontokt´ ol m´ert t´avols´agot jelenti. Sz´am´ıtsuk ´ esi integr´ al) ki a hχa |χb i skal´arszorzatot! (Atfed´
8.8. Vizsg´aljuk meg, hogy analitikusak-e az al´abbi f¨ uggv´enyek az eg´esz komplex sz´ams´ıkon: a.) cos(z) b.) sin(z)
'$ χa
&% R 8.
'$ χb
c.) ez d.)
cos(z) z
e.)
sin(z) z
f.)
ez z
&%
Komplex f¨ uggv´ enyek
8.1. Adjuk meg a z 4 + 1 = 0 egyenlet gy¨okeinek val´ os r´esz´et! Rajzoljuk f¨ol a gy¨ok¨oket a komplex sz´ ams´ıkon!
8.9. Hol analitikusak az al´abbi f¨ uggv´enyek? a.) f (z) = f (x + iy) = x2 − y 2 + i(2xy)
8.2. Melyik az a j sz´am, amelyre j 2 = −i ?
8.3. Bizony´ıtsuk be, hogy
b.) f (z) = f (x + iy) = 2x + y + i(x + 2y)
8.10. uggv´enyt! Deriv´aljuk le a z n ez komplex f¨
ii = e−π/2 Mi az ´erdekess´ege ennek a k´epletnek?
8.4. uggv´eny val´ os ´es V´alasszuk sz´et az f (z) = z 2 f¨ k´epzetes r´esz´et!
8.11.
ez f¨ uggv´eny Laurent-sor´ at! z4 Hol analitikus ez a f¨ uggv´eny?
Adjuk meg az
8.12. Vizsg´aljuk az f (z) =
8.5. uggv´eny val´ os ´es V´alasszuk sz´et az f (z) = sin(z) f¨ k´epzetes r´esz´et!
1 komplex f¨ uggv´enyt! z
a.) V´alasszuk sz´et a val´ os ´es k´epzetes r´eszeket! ´ b.) Allap´ ıtsuk meg, hogy hol analitikus f (z)?
8.6. ´Irjuk fel az f (z) = sin(z) f¨ uggv´enyt exponenci´alis alakban !
8.13. uggv´eny primit´ıv Hat´arozzuk meg a zez komplex f¨ f¨ uggv´eny´et!
8.7. Hogy fest az f (z) = sin(z) f¨ uggv´eny domborzata?
8.14. (**) Milyen felt´etelnek kell eleget tegyen egy komplex f¨ uggv´eny, hogy egy v´egtelen sugar´ u orig´o
14 k¨oz´eppont´ u f´elk¨or ment´en vett integr´alja elt˝ unj¨ on?
8.15. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi val´os integr´alt a komplex s´ık alkalmasan v´alasztott kont´ urj´an integr´alva! Z∞ −∞
9.5. Adott a s´ıkon k´et vektor, √ √ e1 = (1, 3) ´es e2 = (− 3, 1). a) Ortogon´alis-e a k´et vektor? Norm´aljuk e1 -t ´es e2 -t! b) Fejts¨ uk ki a v = (0, 1) vektort a norm´alt e1 ´es e2 alkotta b´azison!
dx 4 + x2
9.6. Hat´arozzuk meg az al´abbi m´atrix inverz´et:
8.16. Sz´am´ıtsuk ki az
Z∞ −∞
A=
cos(x) dx 1 + x2
1 2 x 2
Mikor l´etezik az inverz ?
integr´ alt!
9.
9.7. Hat´arozzuk meg az al´abbi m´atrixok determin´ans´ at, saj´at´ert´ekeit ´es norm´alt saj´atvektorait! a.) 10 5 0 b.) (*) 1 0 i A = 5 10 0 B= 0 3 0 0 0 2 −1 0 1
Line´ aris terek ´ es oper´ atorok, m´ atrixsz´ am´ıt´ as
9.1. Norm´ aljuk az al´abbi vektort : a = (−2, 0, 4,
√
9.8. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi k´et m´atrix kommut´ ator´ at:
5)
9.2. Sz´am´ıtsuk ki az ha|bi skal´arszorzatot, |ai = |1, 2i, 3i ´es |bi = |2, 1, −ii!
ha
A=
3 4 2 3
B=
1 0 2 5
9.9. Felcser´elhet˝ o-e 9.3. Egyszer˝ us´ıts¨ uk az al´abbi kifejez´eseket: a.) heiα x|eiα xi
1. k´et diagon´alis m´atrix szorz´asa; 2. egy ´altal´ anos szorz´ asa?
´es
egy
diagon´alis
m´atrix
b.) h(a + ib)x|yi.hx|(a + ib)yi
9.4. Legyen |ai ´es |bi k´et ortonorm´alt vektor a Hilbert t´erben. Bizony´ıtsuk be, hogy a |c0 i = |ci − |aiha| + |bihb| |ci vektor ortogon´alis |ai-ra ´es |bi-re!
9.10. Kommut´ al-e az al´abbi k´et m´atrix? cos α − sin α 0 cos β − sin β 0 A= sin α cos α 0 B= sin β cos β 0 0 0 1 0 0 1 9.11. Igazoljuk, hogy az al´abbi m´atrix unit´er, ´es ´ırjuk fel az inverz´et!
15
A =
− √13 √2 6 0
√1 3 √1 6 √1 2
√1 3 √1 6 − √12
9.12. √ Adott a s´ık v = ( 1, 3 ) vektora. Forgassuk el 30o -kal pozit´ıv ir´anyba! Mik az u ´j komponensek?
9.13. (*) Sz´am´ıtsuk ki az A=
π 4
1 2 2 1
a projekci´ os oper´atort, amelyik erre az egyenesre vet´ıt! Keress¨ uk meg a v = (1,1) vektornak az egyenesre es˝o vet¨ ulet´et!
9.21. Igazoljuk, hogy ha Pˆ tetsz˝oleges projektor, akkor alhat´ o, ´es az inverz 1− 12 Pˆ . az (1+ Pˆ ) oper´ator invert´
9.22. Adott egy n dimenzi´os t´er ortonorm´alt b´azisa, |1i, |2i, . . . , |ni . A Pˆ = |kihk| oper´ator a k-adik b´azisvektorra vet´ıt˝ o projektor.
a) Mik lehetnek a Tˆ = Iˆ − 2Pˆ t¨ ukr¨ oz˝ o oper´ator ˆ saj´at´ert´ekei? (I az egys´egoper´ator)
m´atrix cosinus´at! 9.14. ˆ 2 , ha Aˆ ´es B ˆ nem kommut´ Mivel egyenl˝ o (Aˆ + B) al´ o oper´atorok? 9.15. Igazoljuk al´abbi agot:h h h h azii h azonoss´ ii h ii ˆ ˆ =0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A, ˆ B A, B, C + B, C, A + C,
b) Mivel egyenl˝ o a (Tˆ)2 oper´ator? 9.23. ukr¨ oz˝ o Mutassuk meg, hogy ha (Tˆ)2 = Iˆ (Tˆ t¨ oper´ator), akkor Pˆ = 12 (Iˆ + Tˆ) projektor. Hogyan ˆ = Iˆ − Pˆ projektor? (Iˆ az fest a Pˆ -re ortogon´alis Q egys´egoper´ator)
9.16. ˆ −1 = B ˆ −1 Aˆ−1 ! Igazoljuk, hogy (AˆB)
9.24. (*) Mutassuk meg, hogy ha Pˆ projektor, akkor exp Pˆ = Iˆ + (e − 1)Pˆ !
9.17. ˆ †=B ˆ † Aˆ† ! Igazoljuk, hogy (AˆB)
9.25. Egy k´etdimenzi´ os t´er k´et ortonorm´alt b´azisvektora ˆ = |uihv| oper´ator sp´ |ui ´es |vi. Adjuk meg a Q urj´ at!
9.18. Legyen Aˆ line´aris oper´ator. oper´ator?
Line´aris-e az Aˆ2
9.19. Megvizsg´aland´o, hogy k´et hermitikus oper´ator a) ¨ osszege b) line´ aris kombin´aci´oja c) szorzata hermitikus-e. 9.20. Adott az y = 3x egyenes a s´ıkban. ´Irjuk fel azt
9.26. (**) Legyen |αi ´es |βi k´et norm´alt, egym´asra mer˝oleges vektor. Tekints¨ uk az 1 sˆx = ( |αihβ| + |βihα| ) 2 i sˆy = ( −|αihβ| + |βihα| ) 2 1 sˆz = ( |αihα| − |βihβ| ) 2 oper´atorokat. ´ ıts¨ uk fel az sˆx , sˆy , sˆz oper´atorok m´atrix´ a) Ep´ at an! az |αi, |βi b´azis´ (Ezek a Pauli-m´ atrixok, feles spin˝ u r´eszecsk´ek spin-impulzusmomentum´ anak x, y, z koordin´ at´ aj´ ahoz rendelhet˝ok.)
16 sx , sˆy ] = iˆ b) Mutassuk meg, hogy [ˆ sz , sy , sˆz ] = iˆ sx ´es [ˆ sz , sˆx ] = iˆ sy ! [ˆ c) Ellen˝ orizz¨ uk, hogy az oper´atorok m´atrixai is kiel´eg´ıtik az el˝oz˝o pontban szerepl˝o kommut´ aci´ os szab´alyokat! d) Szerkessz¨ uk meg az u ´n. l´eptet˝o oper´atorokat (vagy azok m´atrix reprezent´aci´oj´at), amelyek az al´abbiak szerint hatnak: sˆ+ |βi = |αi ´es sˆ+ |αi = 0
Hogyan lehet sˆx , sˆy -nal sˆ+ -t, sˆ− -t kifejezni?
lehetnek
a
projekci´os
oper´ator
9.28. L´assuk be, hogy unit´er oper´ator saj´at´ert´ekei 1 abszol´ ut ´ert´ek˝ u sz´amok! 9.29. (*) ˆ hermitikus oper´ator L´assuk be, hogy ha G † ˆ ˆ (azaz G = G), akkor az ˆ = exp(iG) ˆ U oper´ator unit´er! 9.30. Az al´abbiak k¨oz¨ ul melyik f¨ uggv´eny eleme az L2 [−∞, ∞] t´ernek? f1 (x) = x2 −
9.33. Milyen messze van egym´ast´ ol a 9.32. szerepl˝ o k´et f¨ uggv´eny?
f1 = e−x
2
2
2
f2 = xe−x
f3 = x2 e−x
2
a.) norm´aljuk ´es ortogonaliz´aljuk ˝oket; b.) az a.) pontban nyert ortogon´alis b´azisban fejts¨ uk sorba az f (x) = e−x f¨ uggv´enyt! 9.35. Az al´abbi oper´atorok k¨oz¨ ul melyik ¨onadjung´ alt? 2 d d Dˆ1 = ; Dˆ2 = 2 dx dx d d2 Dˆ3 = i ; Dˆ4 = i 2 dx dx 9.36. Hat´arozzuk meg az ´abr´ azolt f¨ uggv´eny Fouriersorfejt´es´enek egy¨ utthat´ oit az L2 (0, 2π) t´er k¨ovetkez˝ o ortonorm´ alt b´azis´ an: 1 1 φ2 (x) = √ cos x; φ1 (x) = √ ; π 2π 1 φ4 (x) = √ cos 2x; π
1 φ3 (x) = √ sin x; π
1 3
1 φ5 (x) = √ sin 2x π
f2 (x) = e−x f3 (x) = e−x
p´eld´ aban
9.34. Adott a k¨ovetkez˝ o f¨ uggv´enyrendszer az L2 [0, +∞] t´erben:
sˆ− |αi = |βi ´es sˆ− |βi = 0
9.27. Mely sz´amok saj´at´ert´ekei?
9.32. Az L2 [0,1] t´erben adott f (x) = 2x + 3x4 ´es arszorzatukat! g(x) = x3 − 5x2 . Sz´am´ıtsuk ki a skal´
1
/2
2π
f4 (x) = e
x2 /2
9.31. Norm´aljuk le az y = π π [− , ] intervallumon! 2 2
π -1
p
cos(x) f¨ uggv´enyt a 9.37. Legyen Ψ(r) norm´alt, n´egyzetesen integr´ alhat´ o
17 val´ os f¨ uggv´eny, amely r-en k´ıv¨ ul m´eg egy R param´eternek is f¨ uggv´enye. Igazoljuk, hogy Ψ(r) ortogon´ alis
∂Ψ(r) ∂R -re!
9.38. Milyen felt´etelekkel ortogon´alis egy n´egyzetesen integr´ alhat´ o f¨ uggv´eny a saj´at deriv´altj´ara?
10.6. Oldjuk meg az f 0 (x) + 2xf (x) = 0 differenci´alegyenletet!
10.7. Oldjuk meg az al´abbi differenci´alegyenletet: df − f 2 (x) = 0 dx
10.
Differenci´ alegyenletek 10.8. Oldjuk meg a
10.1. H´ anyadrend˝ u az al´abbi differenci´alegyenlet? x+
d2 dx2
df + f 3 (x) = 0 dx
2 f (x) = 0
differenci´alegyenletet!
´Irjuk fel a szok´asos alakban!
10.2. Oldjuk meg az renci´alegyenleteket: 1.
df =c dx
2.
df = cos x dx
10.9. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝ o differenci´alegyenletet: al´abbi
egyszer˝ u
diffe-
(c=const)
f 0 (x)2 − f (x) + 6 = 0
10.10. Oldjuk meg az al´abbi differenci´alegyenletet: e−x f (x)f 0 (x) = x
2
3.
d f =c dx2
4.
d2 f = cos x dx2
(c=const)
10.3. 1 Keress¨ uk meg az f 0 (x) = x+1 differenci´alegyenlet azon megold´as´at, melyre f (0) = 1!
10.4. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenletet a v´altoz´ ok sz´etv´ alaszt´as´anak m´odszer´evel: f 0 (x) + x2 f (x) + λf (x) = 0
10.5. Megoldand´o az y 0 y 2 = 1 differenci´alegyenlet.
10.11. Oldjuk meg az al´abbi y(x) f¨ uggv´enyre vonatkoz´o differenci´alegyenletet: y0 = x + y ´ Utmutat´ as: vezess¨ unk be u ´j v´altoz´ ot!
10.12. Keress¨ uk meg az y0 =
1 2x − y
differenci´ alegyenlet azon megold´as´ at, amely ´athalad ´ as: vezess¨ unk be az x = 2, y = −1 ponton! Utmutat´ u ´j v´altoz´ ot!
18
10.13. (*) Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyegy¨ utthat´ os differenci´alegyenletet: f 0 (x) +
1 f (x) = sin x x
10.19. (*) Oldjuk meg a k¨ovetkez˝ o differenci´alegyenletet a Sommerfeld-f´ele polinom m´odszerrel, a k¨ovetkez˝ o peremfelt´etelekkel: f ”(x) + Ef (x) − x2 f (x) = 0
10.14. Mutassuk meg, hogy az y = 2x + Cex az y 0 − y = 2(1 − x) differenci´ alegyenlet ´altal´anos megold´asa, ´es keress¨ uk meg azt a partikul´aris megold´ast, amely kiel´eg´ıti az x = 0, y = 3 felt´eteleket!
lim f (x) = 0
x→±∞
10.20. (*) Oldjuk meg a k¨ovetkez˝ o differenci´alegyenletet a Sommerfeld-f´ele polinom m´odszerrel, az al´abbi peremfelt´etelek mellett: 2 0 1 b c f ”(x) + f (x) + − + − 2 f (x) = 0 x 4 x x
10.15. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenletet: 0
f (0) = lim f (x) = 0 x→∞
3 x2 /2
y − xy = x e
10.16. Oldjuk meg az al´abbi differenci´alegyeneletet! my” = −ky
10.17. 100 gramm cukrot v´ızbe sz´orunk. Ha az old´odott cukor mennyis´eg´et q-val jel¨olj¨ uk, akkor az old´od´ as sebess´ege megadhat´o a k¨ovetkez˝o egyenlettel: dq = k(100 − q) dt Adjuk meg a felold´odott cukor mennyis´eg´enek id˝of¨ ugg´es´et!
10.18. Az etil-acet´at elszappanos´ıt´asi reakci´oja a k¨ovetkez˝ o: CH3 COO − C2 H5 + N aOH → CH3 COON a + C2 H5 OH Ha az etil-acet´at kezdeti koncentr´aci´oja a=0.02 s´ ulysz´ azal´ek, a n´atrium-hidroxid kezdeti koncentr´ aci´ oja b=0.04 s´ ulysz´azal´ek ´es azt tapasztaljuk, hogy az etil-acet´at koncentr´aci´oja 25 perc alatt 10% -kal cs¨okken, akkor mennyi id˝o alatt cs¨okken a koncentr´ aci´ o 15 % -kal?
10.21. Legyen 2f 00 (x) − 3f 0 (x) + 4f (x) = e−x . Milyen egyenletnek tesz eleget f (x) Laplacetranszform´altja, az al´abbi kezdeti felt´etelek mellett: f (0) = 1
f 0 (0) = 0
10.22. (*) Megoldand´o az al´abbi differenci´alegyenlet Laplace transzform´aci´ o seg´ıts´eg´evel, az al´abbi kezdeti felt´etelek mellett: df d2 f + 2a + b f (x) = δ(x − x0 ). 2 dx dx
f (0) = 0
f 0 (0) = 0
10.23. Alak´ıtsuk els˝orend˝ u differenci´al-egyenletrendszerr´e az al´abbi harmadrend˝ u egyenletet: d2 f d3 f + 5 2 − 4f (x) = 0 3 dx dx
19
10.24. Oldjuk meg az
11.2. Tekints¨ uk a [0,∞] f¨ uggv´enyek ter´et az
∂ 2 f (x, y) = 1 ∂x∂y
intervallumon
´ertelmezett
Z∞ e−x fa (x)fb (x) dx
< fa |fb >=
parci´ alis differenci´alegyenletet az f (0, y) = 1 ´es f (x, 0) = x2 + 1 kezdeti felt´etelekkel!
0
skal´ arszorzattal. Ortogonaliz´aljuk a k¨ovetkez˝ o norm´alt f¨ uggv´enyeket a Schmidt-f´ele elj´ar´ assal! 10.25. Szepar´aljuk az renci´alegyenletet:
al´abbi
parci´alis
∂2f ∂f ∂2f + x2 + 2 = 0 2 ∂x ∂x ∂y 10.26. A v´altoz´ ok szepar´al´as´aval adjuk meg az id˝of¨ ugg˝ o Schr¨ odinger egyenlet i~
f1 = 1
diffe-
1 f2 = √ x 2
11.3. Legyen a skal´ arszorzat R∞ −x2 ∗ f (x)g(x) dx. hf |gi = e −∞
Ortogonaliz´aljuk az f1 = 1, f2 = x, f3 = x2 f¨ uggv´enyeket!
∂Ψ(r, t) ˆ t) = H(r)Ψ(r, ∂t
egy partikul´aris megold´as´at. Az egyenletben ~ at konstans, r a t´erbeli, t pedig az id˝obeli koordin´at´ jel¨oli. A t´erf¨ ugg˝o egyenletet term´eszetesen nem kell megoldani!
11.4. a.) Mutassuk meg, hogy az el˝oz˝ o feladatban kapott ortogon´alis polinomok kiel´eg´ıtik a H 00 j (x) − 2xH 0 j (x) + cHj (x) = 0
10.27. A hidrog´enatom elektronj´anak hull´amf¨ uggv´eny´et az al´abbi Schr¨ odinger egyenletet hat´arozzuk meg: 1 1 − ∆+ Ψ(r, θ, φ) = EΨ(r, θ, φ) 2 r A ∆ oper´ator pol´arkoordin´at´as alakj´at felhaszn´alva szepar´aljuk ezt a differenci´alegyenletet az r, θ, φ koordin´at´ akban! Hogyan lehet az r-re vonatkoz´ o egyenletet megoldani?
Hermite egyenletet. b.) (**) Oldjuk meg ezt az egyenletet a polinomm´ odszerrel, ´es mutassuk meg, hogy a polinom akkor v´eges, ha c=2n (p´aros sz´am)!
11.5. (**) Vizsg´aljuk meg az Ylm (θ, ϕ) = Nlm Pl|m| (cos θ)eimϕ
11.
Ortogon´ alis polinomok, speci´ alis f¨ uggv´ enyek
11.1. Igazoljuk, hogy a P2 = x2 −
1 3
polinom kiel´eg´ıti az
(1 − x2 )P n 00 − 2xP n 0 + n(n + 1)Pn Legendre-egyenletet!
g¨ ombf¨ uggv´enyek hYlm |Yl0 m0 i ∼ δll0 δmm0 ortogonalit´asi rel´aci´ oinak teljes¨ ul´es´et! asszoci´alt Legendre polinom: m
Plm (cos θ) = (1 − cos2 θ) 2
Itt Plm az
dm Pl (cos θ) d cos θm
20 12.
Csoportelm´ elet
12.1. Csoportot alkot–e az 1 ´es a −1 sz´am, ha a csoport szorz´ as m˝ uvelete a k¨oz¨ons´eges szorz´ask´ent defini´alt?
12.2. ˆ ´es a σˆh szimmetria oper´atorok Igazoljuk, hogy az E csoportot alkotnak!
12.3. A szimmetri´ajuk szerint melyik pontcsoportba tartoznak a k¨ovetkez˝o molekul´ak: a) piridin; b) P Cl3 ; c) 1,1-difluoretil´en; d) s´osav; e) ciklobutadi´en I (felt´etelezett n´egyzetes gy˝ ur˝ u); f) ciklobutadi´en II (ma ´altal´anosan elfogadott, t´eglalap alak´ u gy˝ ur˝ u); g) nyitott et´an h) fed˝o et´an; i) benzol; j) naftalin; k) s´ık etil´en; l) 90o csavart etil´en; m) buckminsterfuller´en, C60 ; n) monokl´or–met´ an; o) dikl´or–met´ an; p) 1,2,4,5-tetrafluor-benzol; q) ciklobut´an; r) dibor´an; s)B(OH)3
12.5. A kl´ormonoxid molekula kl´oratomjain helyezz¨ unk el egy-egy ekvivalens px f¨ uggv´enyt az ´abra szerint. a.) Hat´arozzuk meg ezen k´et f¨ uggv´eny ´altal gener´ alt reprezent´ aci´ o felbont´ as´ at irreducibilis reprezent´ aci´ okra! b.) Projekci´ os oper´atort seg´ıts´eg´evel, k´epezz¨ uk a k´et f¨ uggv´eny azon line´arkombin´ aci´ oit, melyek az a.) pontban kapott irreducibilis reprezent´ aci´ oknak k´epezik b´azis´ at!
y
6 x-
O
J J J J Cl Cl −
+
−
+
12.4. Tekints¨ unk egy szab´alyos h´aromsz¨oget alkot´o hipotetikus A3 molekul´at, s ennek atomjain vegy¨ unk fel x,y,z ir´any´ u elmozdul´as-egys´egvektorokat az ´abra szerint (a z vektorok a s´ıkra mer˝olegesek):
6
12.6. V´egezz¨ uk el a s´ık etil´en molekula rezg´esi anal´ızis´et abban a b´azisban, amelynek vektorai a sz´enatomokb´ ol indulnak a szomsz´edos atomok fel´e! Hogy festenek a szimmetriz´alt b´azisvektorok?
y1
x1 JJ J J J D3h J 6 6 y2 J y3 J x2
x3
a.) Adjuk meg a molekula-pontcsoport ezen 9 vektor ´altal gener´alt reprezent´aci´oj´anak felbont´ as´ at irreducibilis reprezent´aci´okra! b.) Mely irreducibilis reprezent´aci´okhoz sorolhat´ok ezen A3 molekula rezg´esei (prec´ızebben norm´ alrezg´esei)?
12.7. (*) A transz-difluor-diazin molekula atomjain helyezz¨ unk el a molekula s´ıkj´ ara mer˝olegesen egy–egy p f¨ uggv´enyt, legyenek ezek pN , pN 0 , pF , pF 0 ! a.) Hat´arozzuk meg a fenti n´egy f¨ uggv´eny ´altal defini´ alt reprezent´ aci´ o felbont´ as´ at irreducibilis reprezent´ aci´ okra! b.) Hat´arozzuk meg az irreducibilis reprezent´ aci´ ok sz´ am´ ara b´azist k´epez˝o szimmetriap´aly´ akat! 12.8. Hat´arozzuk meg, hogy a P Cl3 molekula ( C3v pontcsoport) egyes rezg´esi m´odusai mely irreducibilis reprezent´ aci´ oknak felelnek meg!
21
12.9. Helyezz¨ unk el a P Cl3 molekula kl´or atomjain uggv´enyt egy-egy alkalmasan megv´alasztott p–f¨ (a szok´asos px , py , pz f¨ uggv´enyek megfelel˝o line´arkombin´ al´as´ aval), ´es k´epezz¨ unk bel˝ol¨ uk u kombin´aci´ ot! egy A2 szimmetri´aj´
12.10. Tekints¨ uk a ciklobut´an molekul´anak sz´env´ az´ at, ami sematikusan a k¨ovetkez˝o:
csak
a
+n –n
uggv´enyt elhelyezve c) A F atomokon egy-egy s f¨ hogyan reduk´al´ odik ez a 3 dimenzi´os t´er? d) Helyezz¨ unk el a F atomokon egy-egy pz f¨ uggv´enyt, jel¨olj¨ uk ezeket p1 , p2 , p3 -mal, ´es 1 k´epezz¨ uk a q = √ (p1 + p2 + p3 ) kombin´ aci´ ot! 3 Irreducibilis reprezent´ aci´ o b´azisf¨ uggv´enye-e q, ´es ha igen, melyik´e? e) Tekints¨ uk az atomok k¨ovetkez˝ o k´et elmozdul´ as´ at!
S1 : –n
+n
F
a) Ez az egyszer˝ us´ıtett molekula a D2d pontcsoportba tartozik. Rajzon, vagy ´ır´asban mutassuk be, hogy a D2d csoport szimmetriaelemei (valamennyi t´ıpus, l´asd karaktert´abla) val´ oban megvannak! b) Helyezz¨ unk el az atomokon egy-egy s f¨ uggv´enyt! Reduk´aljuk az ezek ´altal k´epezett reprezent´aci´ot irreducibilis reprezent´aci´ okra! c) Hat´ arozzuk meg, hogyan oszlanak el a n´egy atom bels˝o (rezg´esi) szabads´agi fokai az irreducibilis reprezent´aci´ok k¨oz¨ott!
12.11. (*) Igazoljuk, hogy egy v´eges csoport tetsz˝oleges A elem´enek An hatv´anyai maguk is egy csoportot (r´eszcsoport) alkotnak!
12.12. Legyen a z-ir´any a trigon´alis plan´aris BF3 molekula s´ıkj´ara mer˝oleges! a) Melyik pontcsoportba tartozik ez a molekula? ´ b) Allap´ ıtsuk meg (egyszer˝ uen kiolvasva a karaktert´ abl´ ab´ ol), hogy a B atomon elhelyezett px , uggv´enyek k´epezte 3 dimenzi´os reprepy , pz f¨ zent´ aci´ o milyen irreducibilis reprezent´aci´ okra bonthat´ o!
S2 :
6 F
+n
B
–n F JJ ^
+n
+n
Melyik irreducibilis reprezent´ aci´ ohoz tartozik S1 ´es S2 ? f) Milyen irreducibilis reprezent´ aci´ okra bonthat´ ok a molekula rezg´esei? ( Helyezz¨ unk el xi , yi , zi elmozdul´ as-koordin´at´ akat az atomokon, hat´arozzuk meg a 12 dimenzi´os reprezent´ aci´ o felbont´ as´ at, majd vonjuk le a molekula eg´esz´enek transzl´aci´ oj´ at ´es rot´aci´ oj´ at!)
12.13. Az etil´en molekula szimmetri´aja D2h . (A z tengelyt vegy¨ uk a s´ıkra mer˝olegesnek!) a) V´egezz¨ uk el azon 4 elmozdul´as-koordin´ata altal defini´alt reprezent´ ´ aci´ o felbont´ as´ at, amelyek a C—H k¨ot´esir´ anyokba mutatnak! (r1 , r2 , r3 , r4 ) b) Hat´arozzuk meg r1 , r2 , r3 , r4 -b˝ol a szimmetriz´ alt koordin´at´ akat! c) Helyezz¨ unk el a H atomokon egy-egy s f¨ uggv´enyt, s1 , s2 , s3 , s4 -et! Mi lesz az ezek altal defini´alt reprezent´ ´ aci´ o felbont´ asa? Melyek lesznek a bel˝ol¨ uk k´epezhet˝o szimmetriaf¨ uggv´enyek? d) Egy-egy pz f¨ uggv´enyt elhelyezve a H atomokon, ´allap´ıtsuk meg az 12 (p1 + p2 + p3 + p4 ) f¨ uggv´eny szimmetri´aj´ at!
22
12.14. (*) Legyenek egy csoportreprezent´ aci´o karakterei val´ os sz´amok! Bizony´ıtsuk be, hogy a reprezent´aci´ o ¨onmag´ aval k´epzett direkt szorzata tartalmazza a teljesen szimmetrikus reprezent´aci´ot! ´ Utmutat´ as: ´Irjuk fel a k´epletet arra vonatkoz´ oan, hogy h´anyszor van meg a direkt-szorzat reprezent´aci´ oban a teljesen szimmetrikus reprezent´ aci´ o, majd bizony´ıtsuk be, hogy az nem lehet z´erus!
12.15. Tekints¨ uk a C4v pontcsoport eset´en azt a Γv h´ arom dimenzi´os reprezent´aci´ot, amelynek a val´ os R3 t´erbeli e1 , e2 , e3 ortonorm´alt elemek k´epezik b´azis´ at! (,,vektor-reprezent´aci´o”)! a) Bontsuk fel Γv -t irreducibilis ¨osszetev˝oire! N b) Hat´ arozzuk meg a Γv E direkt szorzat reprezent´ aci´o karaktereit ´es felbont´as´at irreducibilis reprezent´aci´okra! 12.16. A TeCl− aja C4v . A molekula atom5 ion szimmetri´ jainak az egyens´ ulyt´ol val´o elmozd´ıt´asai a C4v csoport egy 18 dimenzi´os reprezent´aci´oj´at adj´ak. ´ Allap´ ıtsuk meg ennek karaktereit ´es bontsuk fel a reprezent´ aci´ ot irreducibilis ¨osszetev˝okre! H´any param´eter kell a molekula egyens´ ulyi geometri´aj´ anak meghat´ aroz´ as´ ara (adott szimmetria eset´en)?
12.19. (*) Mi az Sˆ4 z-tengely k¨or¨ uli 90o -os forgat´as-t¨ ukr¨ oz´es yz f¨ uggv´enyre? oper´ator hat´asa az x 12.20. Bizony´ıtsuk be, hogy egy Abel-csoport b´armelyik irreducibilis reprezent´ aci´ oj´ anak b´armely oper´atorra vonatkoztatott karaktere csakis olyan komplex sz´am lehet, amelynek abszol´ ut ´ert´eke 1! 12.21. (*) Tekints¨ uk a ϕ1 = x2 − y 2 ´es ϕ2 = 2xy f¨ uggv´enyeket! ´ Allap´ıtsuk meg, hogy ezek b´azis´ at k´epezik-e a z-tengely k¨or¨ uli tetsz´esszerinti sz¨og˝ u forgat´asok csoportj´anak! Hat´arozzuk meg az α sz¨og˝ u forgat´ashoz tartoz´o m´atrixot ezen a b´azison!
12.22. (**) Ismeretes, hogy egy mag´arahagyott H atom n = 2 f˝ okvantumsz´ amhoz tartoz´o ´allapotai degener´altak. Egyed¨ ul a szimmetri´ara vonatkoz´ o megfontol´asok seg´ıts´eg´evel ´allap´ıtsuk meg, hogy h´any k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o energiaszint alakul ki, ha ezt a gerjesztett H–atomot az ´abra szerinti elektromos t´er (pl. ligandumok tere) veszi k¨or¨ ul: 6 n δ+
12.17. Tekints¨ uk a 12.7. feladatban szerepl˝o transzdifluor-diazin molekul´at (C2h szimmetria)! ´ a.) Allap´ ıtsuk meg, hogy a molekul´anak az egyens´ ulyi helyzethez k´epest vett elmozdul´asai, amelyek egy 12 dimenzi´os vektorba foglalhat´ok, milyen irreducibilis reprezent´ aci´okra bonthat´ ok! ´ Allap´ ıtsuk meg, hogy melyik reprezent´aci´ohoz h´any szabads´ agi fok (rezg´es) tartozik! H´any param´eter sz¨ uks´eges az egyens´ ulyi geometria jellemz´es´ehez? b.) Van-e a molekul´anak ´alland´ o dip´olusnyomat´eka, ´es ha igen, milyen ir´any´ u?
12.18. osszet´etel˝ u molekul´at az ˆi ´es a Cˆ3 oper´atorok Egy A6 ¨ onmag´ ¨ ara k´epeznek le. Milyen ennek a molekul´anak a szerkezete? (Rajz ´es le´ır´as.)
H
n δ+
n δ+ J J J ^
12.23. A BF3 molekula B atomj´an helyezz¨ uk el a (2px , 2py ) ´ uggv´eny p´art! Allap´ ıtsuk meg, ´es a (3px , 3py ) f¨ hogy milyen reprezent´ aci´ ot gener´al a k¨ovetkez˝ o n´egy f¨ uggv´eny tere! f1 = 2px 3px f2 = 2px 3py f3 = 2py 3px f4 = 2py 3py
23 13.
Kvantummechanikai alkalmaz´ asok
13.1. Hat´arozzuk meg a φ pol´arkoordin´at´ahoz (mint helykoordin´at´ ahoz) tartoz´o oper´ator ´es az impulzusmomentum (t´erbeli pol´arkoordin´at´ akban kifejezett) z komponens´ehez tartoz´o oper´ator kommut´ ator´ at!
13.9. (*) A Franck–Hertz k´ıs´erletben a hidrog´enatomokat elektronnyal´ ab seg´ıts´eg´evel juttatjuk els˝o gerjesztett ´allapotba. A gerjeszt˝o elektronok energi´ aiban fell´ep˝ o fluktu´aci´ o E ≈ 10−6 eV (azaz −25 J) nagys´agrend˝ u. Sz´am´ıtsuk ki a E ≈ 1.602 ∗ 10 gerjesztett ´allapot ´atlagos ´elettartam´ at!
13.2. Defini´aljuk lα = (cosα)lz + (sinα)lx alakban az impulzusmomentumnak a z tengellyel az xz s´ıkban oget bez´ar´ o ir´anyra val´o vet¨ ulet´et. Hat´arozzuk α sz¨ meg az [ˆlz , ˆlα ] kommut´atort! Milyen α ´ert´ekekn´el lesz a kommut´ator z´erus?
13.10. Mozogjon egy m t¨omeg˝ u r´eszecske az x-tengely ment´en V (x) = 12 kx2 potenci´alt´erben! (Harmonikus line´ aris oszcill´ator modell.) Igazoljuk, hogy a rend2 1 ˆ Hamilton- oper´ator´ szer H anak a Ψ0 (x) = e− 2 γx f¨ uggv´eny (nem norm´alt) saj´atf¨ uggv´enye, ha
13.3. u impulzus) ´es az x ˆ2 Hat´arozzuk meg a pˆx (x-ir´any´ oper´atorok kommut´ator´at, azaz a pˆx x ˆ2 pˆx ˆ2 − x ¨ alt−e ez az oper´ator? oper´atort! Onadjung´
13.4. ˆ] kommut´atort! LehetHat´arozzuk meg az [ˆlz , x e egyszerre ,,´elesen” meghat´arozott ´ert´eke lz impulzusmomentum-komponensnek ´es x−nek?
13.5. Igazoljuk, hogy a Tˆ kinetikus energia−oper´ator pozit´ıv szemidefinit! (Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert L2 [a, b] t´erben dolgozzunk!)
13.6. Kommut´ al−e a kinetikus ´es a potenci´alis energia oper´atora ?
13.7. Sz´am´ıtsuk ki az impulzusmomentum oper´ator x ´es z komponens´enek kommut´ator´at!
13.8. (**) A Heisenberg-f´ele hat´arozatlans´agi rel´aci´ ok seg´ıts´eg´evel sz´am´ıtsuk ki hozz´avet˝olegesen a hidrog´enatom alap´allapot´anak energi´aj´at!
√ km ~
, ´es az energia−saj´at´ert´ek E0 q 1 k ahol ν = 2π m !
γ =
=
1 2 hν
13.11. Ismert az x-tengely ment´en [−∞ , ∞] intervallumban V (x) = 21 kx2 potenci´al hat´as´ anak al´avetve mozg´o m t¨omeg˝ u r´eszecske (harmonikus line´aris oszcill´ator) alap´allapot´ u norm´alt hull´ amf¨ uggv´enye ´es energi´aja: γ 1 1 2 Ψ0 (x) = ( ) 4 e− 2 γx π
E0 =
√
r
ahol γ=
km ~
1 ν= 2π
1 hν , 2
k . m
a). Hat´arozzuk meg a kinetikus energia v´arhat´ o ´ert´ek´et, ´es mutassuk meg, hogy ez E0 fele! b). (*) Sz´ am´ıtsuk ki az alap´allapot energi´aj´anak k¨ozel´ıt˝ o ´ert´ek´et a perturb´aci´ osz´ am´ıt´ as els˝o rendj´eben arra az esetre, ha a potenci´al V (x) = 12 kx2 + bx6 ! (A megold´ast elegend˝o b−vel ´es γ−val kifejezni!) 13.12. Adjon a vari´ aci´ os elv alapj´an fels˝o korl´ atot a V (x) = kx2 potenci´al hat´asa alatt mozg´o m t¨omeg r´eszecske alap´allapot´ u energi´aj´ ara, a k¨ovetkez˝ o u ´tmutat´ as seg´ıts´eg´evel: a). Induljunk ki a k¨ovetkez˝ o f¨ uggv´enyb˝ ol: π cos 2a x , ha |x| < a f (x) = ha |x| ≥ a 0,
24 Norm´ aljuk e f¨ uggv´enyt, majd haszn´aljuk pr´obaf¨ uggv´enyk´ent a k´erdezett sz´els˝ o´ert´ek sz´ am´ıt´ asn´al! Az a itt egyel˝ore konstans param´eter.
b.) Mi a D ´es a β param´eterek szeml´eletes jelent´ese?
b). Keress¨ uk meg a azon ´ert´ek´et, amellyel a fels˝o korl´ at a lehet˝o legszigor´ ubb (legm´elyebb)!
c.) ´Irjuk fel a mozg´as Schr¨ odinger−egyenlet´et!
c). (*) Milyen meggondol´asb´ol v´alasztottuk ´eppen a fenti pr´obaf¨ uggv´enyt (vagyis mi a felhaszn´alt fizikai modell) ?
13.17. Egy m t¨omeg˝ u r´eszecske mozogjon egy dimenzi´oban, a V (x) = 21 F x2 harmonikus potenci´al hat´asa alatt! Keress¨ uk az alap´allapot hul´ amf¨ uggv´eny´et −αx2 aci´ os φ(x) = e alakban! Optim´aljuk α-t a vari´ elv seg´ıts´eg´evel! (Figyelem : a pr´obaf¨ uggv´eny nem norm´ alt!)
13.13. Mozogjon egy m t¨omeg˝ u r´eszecske az x-tengely ment´en, ´es legyen a r´a hat´o er˝o F = −ax + bx2 ! Irjuk fel e mozg´as Hamilton oper´ator´ anak saj´at´ert´ekegyenlet´et !
13.14. Legyen egy egydimenzi´os mozg´ast v´egz˝o r´eszecske hull´ amf¨ uggv´enye : 1
Ψ(x) = N e− 2 γx
2
(γ pozit´ıv ´alland´o) . o a). Hat´ arozzuk meg az N norm´al´asi t´enyez˝ ´ert´ek´et! o ´ert´ek´et! b). Hat´ arozzuk meg x v´arhat´ 13.15. Tekints¨ unk egy egydimenzi´os mozg´ast az x tengely ment´en! Hat´arozzuk meg az impulzusoper´ator p1,1 ´es p2,1 m´atrixelem´et a k¨ovetkez˝ o k´et b´ azisf¨ uggv´enyre: 1
φ1 (x) = N1 e− 2 γx
2
1
φ2 (x) = N2 xe− 2 γx
13.18. Adjunk fels˝o korl´ atot a V (x) potenci´alt´erben mozg´o m t¨ omeg˝ u r´eszecske alap´allapot´ u energi´aj´ ara! cx , ha |x| ≤ a V (x) = ∞ , ha |x| > a ´ (c konstans) Utmutat´ as: haszn´aljuk a vari´ aci´ os t´etelt ´es a potenci´alg¨ od¨ or hull´ amf¨ uggv´eny´et!
13.19. Hasonl´ıtsuk ¨ossze a k´et norm´alt hull´ amf¨ uggv´enyt, amelyek egydimenzi´os mozg´ashoz tartoznak : cos πx 2 , ha |x| ≤ 1 Ψ1 (x) = 0, ha |x| > 1
2
ahol N1 ´es N2 norm´al´asi t´enyez˝ok, γ pedig konstans param´eter. A legegyszer˝ ubb megold´ashoz haszn´ aljuk ki azt a t´enyt, hogy a fenti f¨ uggv´enyek az L2 [∞, −∞] t´er egy ortonorm´alt b´azis´anak elemei k¨ oz¨ ul val´ ok!
13.16. Mozogjon egy m t¨omeg˝ u r´eszecske a q koordin´ata ment´en, ´es legyen a potenci´al 1 : V (q) = D(1 − e−βq )2 .
1
a.) ´Irjuk fel a r´eszecsk´ere hat´o er˝ot!
K´ etatomos molekul´ ak rezg´ esei t´ argyalhat´ ok a fenti potenci´ allal; ez jobb k¨ ozel´ıt´ es, mint a parabolikus potenci´ al.
Ψ2 (x) =
2 cos(2πx) , ha |x| ≤ ha |x| > 0,
1 4 1 4
Melyikhez tartozik a nagyobb kinetikus energia?
13.20. 2 Egy pontszer˝ u, m t¨omeg˝ u test mozog a V (x) = e−x ´Irjuk fel a rendszer Hamilton potenci´alban. oper´ator´ at ´es a Schr¨ odinger egyenletet!
13.21. Legyen egy rendszer hull´ amf¨ uggv´eny´enek a φ pol´arkoordin´at´ at´ ol f¨ ugg˝ o r´esze Ψ(φ) = √1 (2 cos(2φ) + 1). Mi lesz az impulzusmo6π mentum z komponens´enek v´arhat´ o ´ert´eke ebben
25 az ´allapotban? Mi annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy lz m´er´esekor rendre −2~, −~, 0, ~, 2~ lesz az eredm´eny?
13.28. Analiz´aljuk a H-atom 2s p´ aly´ aj´ at! a). Hat´arozzuk meg a csom´og¨ omb sugar´at!
13.22. Ellen˝orizz¨ uk integr´al´assal, f¨ uggv´enye norm´alt!
hogy a H-atom 1s
b). Mi a jelent´ese a |Ψ|2 4πr2 f¨ uggv´enynek, ´es hol van ennek a sz´els˝ o´ert´eke? (Elegend˝o az egyenletet fel´ırni, megoldani nem kell!)
13.23. Ellen˝orizz¨ uk integr´al´assal, hogy a H-atom 1s ´es 2s f¨ uggv´enyei egym´asra ortogon´alisak!
13.29. (*) Tekints¨ unk egy hidrog´enatomot a √ r 2 √ r2 e− 3 sin θ cos θ cos φ Ψ(r, θ, φ) = 81 π
13.24. Hat´arozzuk meg a potenci´alis energia v´arhat´ o ´ert´ek´et a H−atom 2p0 ´allapot´aban! Hasonl´ıtsuk ossze a nyert erdm´enyt a teljes energia ugyan¨ ezen ´allapotra vonatkoztatott ´ert´ek´evel, illetve a kinetikus energia megfelel˝o ´ert´ek´evel! (E =< T > + < V >) 2 .
´allapotf¨ uggv´ennyel le´ırt ´allapotban!
13.25. Sz´am´ıtsuk ki az elektron ´atlagos t´avols´ag´at a magt´ol a H-atom 2p0 ´allapot´aban!
13.30. Ortogon´alis-e egym´asra a H-atom 2px ´es 2py p´ aly´ aja? (A bizony´ıt´ as sor´an ne v´egezz¨ unk integr´ al´ ast explicite!)
13.26. A H-atom egy tetsz˝oleges Ψnlm ´allapot´aban a magt´ol val´ o t´avols´ag v´arhat´o ´ert´eke < r >=
a0 [3n2 − l(l + 1)] , 2
ahol a0 a Bohr−r´adiusz. Sz´am´ıtsuk ki az < r > v´arhat´ o ´ert´eket a hidrog´enatom 100s ´allapot´aban! (Megjegyz´es: egy bakt´erium ´atlagos m´erete 0.001 − 0.010 mm.)
13.27. (*) Mekkora az energia, az impulzusmomentum ´es a m´agneses momentum abszolut ´ert´eke, valamint az ut´obbi k´et mennyis´eg z-komponenseinek ´ert´eke a H-atom 3p+1 ´ allapot´aban? (Az atomi egys´egeket is adjuk meg!)
a). Melyik k´et d−f¨ uggv´enynek, milyen line´aris kombin´ aci´ oja ez? b). Az impulzusmomentum egyik komponens´enek m´er´ese milyen lehets´eges ´ert´ekeket, milyen val´ osz´ın˝ us´eggel eredm´enyez?
13.31. (*) Keress¨ uk a hidrog´enatom alap´allapot´ u hull´ amf¨ uggv´eny´et e−αr alakban! Optim´aljuk α param´eter ´ert´ek´et a vari´ aci´ os elvnek megfelel˝oen!
13.32. Mi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a H−atom 1s ´allapot´aban az elektront 1a0 sugar´ u g¨omb¨ on bel¨ ul tal´aljuk?
13.33. A hidrog´enatom 2s ´allapot´anak (norm´alatlan) hull´ amf¨ uggv´enye: Ψ2s = (2 − r)e−r/2 Sz´am´ıtsuk ki a gradiens´et !
2
etel megfogalmaz´ asai a A nyert eredm´ enyek az u ´ n. viri´ al−t´ V (r) = konst. ∗ r−1 alak´ u potenci´ alf¨ uggv´ ennyel rendelkez˝ o rendszerek eset´ ere.
13.34. Norm´aljuk
le
az
el˝oz˝ o
p´eld´ aban
szerepl˝o
26 hull´ amf¨ uggv´enyt az L2 [−∞, +∞] (3 dimenzi´os) t´eren ! Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy az elektron a mag k¨or´e vont r=1.0 sugar´ u g¨omb¨ on bel¨ ul tart´ozkodik?
13.35. (*) Hat´arozzuk meg egy hipotetikus V (r) = − 1r + a r12 potenci´alt´erben mozg´o elektron alap´allapot´ u energi´ aj´ at a perturb´aci´osz´am´ıt´as els˝o rendj´eben! (Pr´ ob´ aljuk meg´ıt´elni az eredm´eny megb´ızhat´ os´ ag´ at a = 0, 001 ´es a = 1 eset´en!)
27 II.
1.
´ MEGOLDASOK
2.
Bevezet˝ o sz´ amol´ asi gyakorlatok
M 1.1. 1.
n n P P κ 1+ λk = k=1 k=1 n P 1 λk = n2 + = 2κ κn +
2.
n−1 P
M 2.1. 1. 1
1 2κ
k=1
Hat´ ar´ ert´ ek; a rend fogalma
2. 0 1 2κ
n P
λk
3. 1
k=1
4. nincs hat´ar´ert´eke
ak
k=0
5.
3. i1 − in+1 M 1.2. P P P Nem. AB = ( i ai ) i,j ai bj j bj =
6.
Egyszer˝ u dolog, m´egis gyakori hiba.
M 1.3.
5 7 1 n! = k n k! (n − k)! 1 n(n − 1) . . . (n − k + 1)(n − k)! = = k n (n − k)! k! n(n − 1) . . . (n − k + 1) 1 n→∞ 1 = −→ nk k! k!
M 2.2. b2 ε2 + (2ab + b2 ) ε3 + O(4)
1. Nem. 2. Nem.
M 2.3. 1 + 2 + 3 2 + O(3)
3. Igen. 4. Igen. 5. Igen. 6. Cser´elj¨ uk az ’i’ indexet ’j’-re, az ’l’-et ’k’-ra. N N P P Lkj wk vj = wk Lkj vj − k,j=1 N P
=
M 2.4. cos(x) = 1 − x2 /2 + O(4); e1−ε = ee−ε = e − e ε + O(ε2 ); ecos(x) = e − e x2 /2 + O(4)
k,j=1
wk Lkj (vj − vj ) = 0
M 2.5.
k,j=1
7. C = wLv − wLv
1.
(1 + )5 − 1 6 1 + 5 + O(2 )− 6 1 →0 5 = −→ (1 + )4 − 1 6 1 + 4 + O(2 )− 6 1 4
2. 0 (a nevez˝ o gyorsabban diverg´ al, mint a sz´ aml´ al´ o)
M 1.4.
3. nincs hat´ar´ert´eke 1. δij 2.
3 P
4. δkk = 3
k=1
3.
3 P k=1
sin(x) x − O(x3 ) x→0 = = 1 − O(x2 ) −→ 1 x x
3=9
M 2.6. sin(x) = x − O(3); √ 1 − ε = 1 − x/2 − O(ε2 ); p 1 − sin(π/18) = 1 − π/36 + O(2);
28 ordo 5-ig: p 1 − sin(x) = 1 − x/2 − x2 /8 + x3 (1/12 − 1/16)+ +x4 (1/24 − 5/128) + O(5)
x+ Z dx
df 1 7. = lim dx dx→0 dx
g(x + dx, y) dy− 0
Zx − M 2.7. arctg(2 · 10−3 ) ' 2 · 10−3 ; √ 1 − 2 · 10−3 ' 1 − 2 · 10−3 /2; exp(1 − 10−3 ) ' e − e 10−3
g(x, y) dy =
0 x Z 1 g(x + dx, y) dy+ = lim dx→0 dx 0
x+ Z dx
+
Zx
g(x + dx, y) dy − x
3.
Egyv´ altoz´ os differenci´ al´ as ´ es integr´ al´ as
M 3.1. d 3 (x + ∆x)3 − x3 x = lim ∆x→0 dx ∆x (x + ∆x)3 − x3 6 x3 + 3x2 ∆x + O((∆x)2 )− 6 x3 = ∆x ∆x
g(x, y) dy
0
Az els˝o k´et tagban g(x + dx, y)-t Taylor sorba fejtj¨ uk x szerint, O(2): x Zx Z ∂g 1 df g(x, y) dy + = lim dx dy+ dx dx ∂x dx→0 0
0
x+ Z dx
∆x→0
−→ 3x2
+
g(x, y) dy+ x
x+ Z dx
M 3.2.
+ x
1. 6(2x + 1)2 2.
(2x + 5)(3x2 − 3x) − (6x − 3)(x2 + 5x) (3x2 − 3x)2
3.
1 1 1 1 (1 + x1/2 )−1/2 x−1/2 = p √ 2 2 4 x(1 + x) 2
2
4. 24 x e4x [1 + 2x + 6x2 ] + 3 e4x [12x + 2] x
x ln(x)
d(ex ln(x) ) dx
x
; 5. x = e = x (1 + ln x); vagy lehet logaritmikus differenci´al´ as seg´ıts´eg´evel, f 0 = f (ln f )0 alapj´an 6.
df f (x + ∆x) − f (x) = lim = dx ∆x→0 ∆x x+∆x Z Zx 1 g(y) dy − g(y) dy = = lim ∆x→0 ∆x 0
0
Z∆x 1 g(y) dy = = lim ∆x→0 ∆x x
1 = lim g(x) ∆x + O((∆x)2 ) = g(x) ∆x→0 ∆x
∂g dx dy − ∂x
Zx
g(x, y) dy
0
A jobb oldalon a z´ar´ ojelben az els˝o tag kiesik az utols´oval. A harmadik ´es a negyedik o, mint: tagban az integr´ al kicsi dx-re ´ırhat´ d x x+ Z g(x, y) dy = g(x, y = x) dx x x+ Z dx
x
∂g(x, y = x) ∂g dx dy = dx dx ∂x ∂x
Ezek seg´ıts´eg´evel kapjuk: Zx 1 ∂g df = lim dx dy dx dx ∂x dx→0 0
∂g(x, y = x) +g(x, y = x) dx + dx dx = ∂x Zx ∂g dy+ = lim g(x, y = x) + ∂x dx→0 0 ∂g(x, y = x) + dx = ∂x Zx ∂g dy = g(x, y = x) + ∂x 0
29 R M 3.3. dy dy dz = = 2x cos(z) dx dz dx
6.
k,j=0
M 3.6. f (δ) = f (0) + f 0 (0)δ + O(δ 2 ) = 1 + δ + O(δ 2 ) df f (x + δ) − f (x) f (x)f (δ) − f (x) = lim = lim δ→0 dx δ→0 δ δ f (x)(1 + δ + O(δ 2 )) − f (x) f (x)f (δ) − f (x) = = δ δ f (x) − f (x)δ + f (x)O(δ 2 ) − f (x) δ→0 −→ f δ M 3.7.
R
cos0 x cos x
=
2x 1 dx alakra hoz´as ut´an az integran2 1 + x2 0 dus f /f alak´ u, teh´at a megold´asf¨ uggv´eny: 12 ln(1 + x2 ) + C Egy m´asik lehet˝os´eg: x = sh t helyettes´ıt´essel.
7. az integrandus f 0 /f alak´ u; ln(ex + 1) + C R R 8. parci´alis integr´ al´ as: u0 v + uv 0 = uv; R R ln(x) dx = x ln(x)− x x1 dx = x ln(x)−x+C 9. cos2 (x) =
cos(2x) + 1 ; t = 2x helyettes´ıt´essel; 2
10. t = 1 − 4x helyettes´ıt´essel: Z Z 1 5t5/4 dx 1 t1/4 t1/4 dt = − dt = − + dt 4 4 4 1p 1√ 4 t5 + C = − 4 (1 − 4x)5 + C +C = − 5 5 11. parci´alis integr´ al´ as; xex − ex + C 12. t = ex helyettes´ıt´essel; − cos(ex ) + C 13. parci´alis integr´ al´ as k´etszer; 2 x sin(x) + 2x cos(x) − 2 sin(x) + C 14. t = ex helyettes´ıt´es ut´an parci´alis integr´ al´ as; −ex cos(ex ) + sin(ex ) + C
M 3.8. 1. parci´alis integr´ al´ as;
1. x + C
π −1 2
2. parci´alis integr´ al´ as ¨otsz¨ or, vagy t´ab´ azatb´ ol;
x5 +C 5
Γ( 2+1 2 ) 3. 2 3/2 = 4
1 +C x 5
dx = −
x 1 + sin(2x) + C 2 4
A p´eld´ aban szerepl˝of¨ uggv´enyre igaz, hogy ∂ n+m f = f b´armely n, m term. sz´am eset´en; ∂xn ∂y m 1 f (x0 +∆x, y0 +∆y) = f0 +f0 ∆x+f0 ∆y+ f0 (∆x)2 + 2 ∞ X 1 1 f0 (∆y)2 +f0 ∆x∆y +· · · = f0 (∆x)k (∆y)j 2 k!j!
4. 6
sin x cos x
= − ln | cos(x)| + C
M 3.5. jel¨ol´es: f0 = f (x0 , y0 );
3. −
R
Z
M 3.4. (esin(x) )0 0 = 1; (esin(x) )00 0 = 1; (esin(x) )000 0 = 0; (esin(x) )0000 0 = −3; (esin(x) )00000 0 = −8 a Taylor sor ordo 6-ig: 1 (−3) 4 (−8) 5 f (0 + δ) = 1 + δ + δ 2 + δ + δ + O(6) 2 4! 5!
2.
tg(x) dx =
4. t = 3
√
π 8
√ x helyettes´ıt´essel;
√
2
x x x −3 + + 7x + C 5 3 2
u, ekkor 5. az integrandus f 0 /f alak´ R f0 f = ln|f | + C;
π 2
5. integr´ alt´ abl´ azatb´ ol: π 2 /6 6. integr´ alt´ abl´ azatb´ ol: π 2 /12
15 8
30 4.
T¨ obbv´ altoz´ os differenci´ al´ as
jel¨ ol´es:
r = (x, y) ill. (x, y, z) ´ertelem szerint, a k´et ill. p h´arom v´altoz´ pos esetben r = |r| = x2 + y 2 ill. x2 + y 2 + z 2 a k´et ill. h´arom v´altoz´os esetben j´o tudni: ∂r/∂x = x/r
M 4.5. ∂f 2 n−1 ∂x = 2xn(r ) ∂2f ∂x2
= 4x2 n(n − 1)(r2 )n−2 + 2n(r2 )n−1 4f = 4n(n − 1)(r2 )n−2 (x2 + y 2 + z 2 ) + 6n(r2 )n−1 = (r2 )n−1 (4n(n − 1) + 6n)
M 4.1.
1.
∂f r2 − 2x2 = ; ∂x r4
2.
1 ∂f 1 =− 2 ; ∂x ln (xy 2 ) x
3.
∂f x = 2; ∂x r
4.
∂Ψ x = − e−r ; ∂x r
∂f 2xy =− 4 ∂y r ∂f 1 2 =− 2 ∂y ln (xy 2 ) y
M 4.6. ∂f dx ∂f dy df = + = dt ∂x dt ∂y dt = (10x + y 2 )
dy dx + (2xy − 9y 2 ) dt dt
y ∂f = 2 ∂y r ∂Ψ y = − e−r ; ∂y r
∂Ψ z = − e−r ∂z r
A 3. ´es 4. p´eld´aban szerepl˝o f¨ uggv´eny x, y-ban ill. x, y, z-ben szimmetrikus, ez´ert a k¨ ul¨onb¨oz˝o v´altoz´ ok szerinti deriv´altak x → y stb. helyettes´ıt´essel megkaphat´ ok.
M 4.2. ∂ ∂ ∂ f= 6(2x + y)2 = 12(2x + y) ∂y ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ f= 3(2x + y)2 = 12(2x + y) ∂x ∂y ∂x
M 4.3. jel¨ol´es: r0 = (x0 , y0 ) x − x0 ∂f =− ∂x |r − r0 |3 ∂f ∂f ∂f , , )= ∂x ∂y ∂z r − r0 (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) =− =− |r − r0 |3 |r − r0 |3
gradf = (
M 4.7. pV T = Rn ∂T V p ∂T dT = dp + dV = ∆p + ∆V ∂p ∂V Rn Rn
M 4.8. (p + a/V 2 )(V − b) ; T = R ∂T a ∂T 1 V −b = (p + 2 − 2a(V − b)); = ; ∂V R V ∂p R 1 V −b a dp dT = (p + 2 − 2a(V − b))dV + R V R
M 4.9.
∂Φ Zx = 3; ∂x r Z r E = − 3 (x, y, z) = −Z 3 ; r r |r| Z |E| = Z 3 = 2 r r
E = −gradΦ;
M 4.10. M 4.4. x cos(r) ∂Φ = cos(r) ; r ∇Φ = ∂x r r r´eszletesebben: l´asd el˝oz˝o p´elda
1. form´alisan: a ∇ × v vektor ,,mer˝oleges” ∇-ra, ez´ert ∇ × v skal´ aris szorzata ∇-val 0 prec´ızebben:
31 jel¨ ol´es: ∇ × v = w ∂ ∂ ∂ ∇(∇ × v) = ( ∂x , ∂y , ∂z )(wx , wy , wz ) ∂wy ∂wx ∂wz ∂ ∂vz ∂x + ∂y + ∂z = ∂x ( ∂y ∂vz ∂vx ∂ ∂vy ∂x ) + ∂z ( ∂x − ∂y ) = 0
−
∂vy ∂ ∂vx ∂z ) + ∂y ( ∂z
= −
(u.i.: Young-t´etel)
2. form´ alisan: a ∇Φ vektor ∇-val ,,p´arhuzamos”, ez´ert × szorzata ∇-val 0 prec´ızebben: [∇ × (∇Φ)]x =
∂ ∂ ∂x (∇Φ)y − ∂y (∇Φ)x ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ = ∂x ∂y − ∂y ∂x = 0
=
(div v)y =
X ∂ y v : az elforgatottban ∂yi i i
a l´ancszab´ aly seg´ıts´eg´evel: X ∂ ∂yj X ∂ vix = vix (div v)x = ∂x ∂y ∂x i j i i,j i kihaszn´alva, hogy ∂yj /∂xi = Uji : X ∂ X ∂ (div v)x = Uji vix = Uji Uki vky ∂y ∂y j j i,j i,j,k P mivel i Uji Uki = δjk (u.i. U unit´er): X ∂ y X ∂ y v = vj = (div v)y (div v)x = δjk ∂yj k ∂y j j j,k
QED
´ ol a Young-t´etel miatt. Teljesen hasonl´oan Ujb´ l´athat´ o, hogy a m´asik k´et komponens is 0.
M 4.11. ∂ ∂ ∂ , ∂y , ∂z )(x, y, z) = div v = ( ∂x
∂x ∂x
+
∂y ∂y
+
∂z ∂z
=3
M 4.12. ∂ ∂ ∂ div E = ( ∂x , ∂y , ∂z )( rx3 , ry3 , rz3 ) = = = =
∂ 3 ∂x (x/r ) 3
r −3rx r6
3
2
+
+
3r − 3r
∂ 3 ∂y (y/r ) 3
r −3ry r6
3
2
+
+ 3
∂ 3 ∂z (z/r )
r −3rz r6
2
=
=
6
/r = 0 (kiv´eve r = 0)
M 4.13. jel¨ol´esek: ex1 , ex2 , ex3 : az eredeti Descartes b´azisvektorok ey1 , ey2 , ey3 : az elforgatott b´azisvektorok kapcsolat ex -ek ´es ey -ok k¨oz¨ott: P eyi = j Uij exj P P P eix = j U −1 ij ejy = j U † ij ejy = j Uji eyj (mivel U unit´er, val´os m´atrix)
M 4.14. Az el˝oz˝ o p´elda jel¨ol´eseit haszn´aljuk. A Laplaceoper´ator a k´et koord. rendszerben: X ∂2 X ∂2 4x = ill. 4y = 2 ∂xi ∂yi2 i i a l´ancszab´ aly seg´ıts´eg´evel: X ∂ ∂yj ∂ = ∂xi ∂yj ∂xi j ez´ert:
! X ∂ ∂yk X ∂ ∂yj ∂ ∂ = = ∂xi ∂xi ∂yj ∂xi ∂yk ∂xi j k
X ∂ ∂ = Uji Uki ∂yj ∂yk j,k
Az
utols´o egyenl˝ os´egn´el kihaszn´altuk, ∂yj = U . A Laplace oper´ator: ji ∂xi X ∂ ∂ Uji Uki ∆x = ∂yj ∂yk i,j,k P Mivel U unit´er, i Uji Uki = δjk . ´Igy X ∂ ∂ X ∂ ∂ = = ∆y ∆x = δjk ∂yj ∂yk ∂y ∂y j j j jk
QED
a helyvektor komponensei: P P P r = j yj eyj = i xi exi = i,j xi Uji ejy P yj = i Uji xi teh´ at: v komponensei: P P P v = i vix exi = k vky eyk = ik vky Uki exi P teh´ at: vix = k Uki vky a divergencia, a k´et koord. rendszerben sz´am´ıtva: X ∂ vix : az eredetiben (div v)x = ∂x i i
hogy
M 4.15. ∂ ∂ ∂ div a = ∂x (xz)i2 + ∂y (−y 2 )j2 + ∂z (2x2 y)k2 = z − 2y Φa = x3 yz 4 i − x2 y 3 z 3 j + 2x4 y 2 z 3 k rot (Φa) = (4x4 yz 3 + 3x2 y 3 z 2 )i+ + (4x3 yz 3 − 8x3 y 2 z 3 )j+ + (−2xy 3 z 3 + x3 z 4 )k
32 5.
RM 5.1. R R RR 2 4 dy x3 dx + x y dx dy = y x4 + yx4 4
Z
T¨ obbv´ altoz´ os integr´ al´ as
x3 3 y dy
=
x2
2
−1 2
[y]x+2 x2 dx =
x3 x + 2x − 2 3
2 = 4,5 −1
M 5.6. ! 2 x 2 R R RR (x2 + y 2 ) dy dx = (x2 + y 2 ) dx dy = R 1
R2 h 2 x y+ 1
h
1
M 5.3. 2 R1 q 1 + ch0 (x) dx, l= −1
r´eszletesebben: l´asd el˝oz˝o feladat R1 q R1 1 + sh2 (x) dx = ch(x) dx = l = =e−
x5 5
+
x7 21
3
y 3
−
iy=x2 y=1 x3 3
−
dx = x 3
i2 1
1
R2
x4 +
x6 3
− x2 −
127 21
−
8 3
1
=
31 5
+
1 3
dx =
M 5.7. Descartes koordin´at´ ak helyett ´erdemes s´ıkbeli pol´arkoordin´at´ akat haszn´alni. A transzform´aci´ o Jacobi-determin´ans´ anak abszol´ ut ´ert´eke |J| = r. Az u k¨or ter¨ ulete: R sugar´ Z2π ZR Z Z dφ = dx dy = r dr T = k¨ or 0 0 2 R r R2 = 6 2π [φ]02π = 2 0 62
integr´ alt´ abl´ azatb´ol: h √ i2 √ 2 1 2 + 8x) l = x 1+4x = + ln(4 1 + 4x 2 4 1√ √ √ 1 1 = 1 + 16 + 4 ln(4 1 + 16 + 16) − 2 1 + 4− √ − 14 ln(4 1 + 4 + 8) = 3,16784
e−1/e−1/e+e 2
−1
M 5.2. R Rp l = |ds| = ( dx)2 + ( dy)2 = r 2 2 2 R2 dx + dy dx = R p1 + (y 0 )2 dx = = dx dx 1 1 R2 √ 1 + 4x2 dx =
−1
Z dx =
(x+2−x2 ) dx =
=
3 2
−1
x+2
dy −1 Z 2
+ x 6y + g(x) + h(y) uggv´enyek g(x) ´es h(y) tetsz˝oleges f¨
= [sh]1−1 = sh(1) − sh(−1) =
Z
2
I=
1 e
M 5.8. Pol´ arkoordin´ata rendszer. Az (x, y, z) → (r, θ, φ) transzform´aci´ o Jacobi-determin´ans´ anak abszol´ ut ´ert´eke |J| = r2 sin(θ). A t´erfogatelem g¨ombi koordin´atarendszerben teh´at: dV = r2 sin(θ) dφ dθ dr = dσ dr , ahol dσ az elemi g¨ombfel¨ ulet. Az sugar´ u g¨omb felsz´ıne: R R R 2π R π 2 F = g¨omb dσ = 0 0 R sin(θ) dθdφ = R 2π Rπ π = R2 0 dφ 0 sin(θ) dθ = R2 [φ]2π 0 [−cos(θ)]0 =
M 5.4. Praktikus a pol´ar koord. rendszer φ sz¨og´et haszn´alni param´eterk´ent. Ha r a k¨or sugara, x = r cos(φ) ´es = R2 2(2π) = 4R2 π y = r sin(φ) a k´et Descartes koordin´ata. A k¨or ker¨ ulete: az u ´n t´ersz¨ ogintegr´ al, J´o tudni: 4π r R 2π R π 2π Rp R d x 2 d y 2 sin(θ)dθdφ. G¨ o mbszimmetrikus f¨ u ggv´ e ny + dφ dφ = 0 0 l = ( dx)2 + ( dy)2 = dφ integr´ al´ asakor megjelenik. 0 2π R q 2 2 (−r sin(φ)) + (r cos(φ)) dφ = = =
0 2π R √
2π R
0
0
r2 dφ = r
dφ = r[φ]2π 0 = r2π
M 5.5. A parabola ´es az egyenes metsz´espontjai: (-1,1) ´es (2,4). Az integr´al:
M 5.9. Az el˝oz˝ o p´eld´ ahoz hasonl´oan. A k¨ ul¨ onbs´eg, hogy itt a g¨omb sugara nem r¨ogz´ıtett, hanem r szerint is integr´ alni kell. Az R sugar´ u g¨omb t´erfogata: R R R 2π R π 2 V = 0 0 0 r sin(θ) dθ dφ dr = R 2π Rπ RR = 0 r2 dr 0 dφ 0 sin(θ) dθ = h 3 iR 3 = r3 4π = R3 4π 0
33 Z
Z2π Fdr =
F(r(ϕ)) 0
dr dϕ = dϕ
Z2π 0dϕ = 0 0
M 5.10. Az (x, y) Descartes koordin´at´akr´ol ´erdemes u ´j koordin´at´ akra (r, φ) ´att´erni, az
L
x = a r cos(φ),
M 5.13. Az els˝o gradiens t´etel ´ertelm´eben RB gradΦ(r)dr = Φ(B) − Φ(A). A A k´erd´eses integr´ al ´ert´eke teh´at: 23 · 3 · 52 − 13 · 1 · 12 = 599
y = b r sin(φ)
transzform´ aci´ o szerint (r ´es φ itt nem a s´ıkbeli pol´arkoordin´at´ ak). Az ellipszis nagytengelye a , kistengelye b. K¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a fenti param´eterez´essel r = 1 eset´en tetsz˝oleges φ-re teljes¨ ul az ellipszis egyenlete (x2 /a2 + y 2 /b2 = 1). Ha r < 1, az ellipszis belsej´ebe es˝o pontot kapunk. A fenti transzorm´aci´o Jacobi-detemin´ans´anak abszol´ ut ´ert´eke |J| = abr, ez is k¨onnyen megkaphat´ o. Az ellipszis ter¨ ulete: R 2π R1 R 1 R 2π T = 0 0 abr dφdr = ab 0 r dr 0 dφ = h 2 i1 = ab r2 2π = abπ 0
az egyenes egyenlet´enek deriv´altja: dy/ dx = −2, a keresett integr´al: R R1 R1 (vx dx + vy dy) = 0 vx dx + 0 vy dy dx = L dx R1 2 R1 2 = 0 x dx + 0 (2x − 2x)(−2) dx = R1 = 0 −3x2 + 4x dx = 1 = −x3 + 2x2 0 = 1
M 5.12. az F vektort´er a g¨orbe param´eter´evel kifejezve: cos(ϕ) i cos2 (ϕ)+sin2 (ϕ)
+
sin(ϕ) j cos2 (ϕ)+sin2 (ϕ)
= i cos(ϕ) + j sin(ϕ) + k0 a g¨orbe deriv´altja a param´eter szerint: dr/dϕ = −i sin(ϕ) + j cos(ϕ) + k dr az F skal´ aris szorzat ´ert´eke: dϕ − cos(ϕ) sin(ϕ) + sin(ϕ) cos(ϕ) + 0 · 1 = 0 ez´ert a keresett integr´al:
Sz´ els˝ o´ ert´ eksz´ am´ıt´ as, vari´ aci´ osz´ am´ıt´ as
M 6.1. f 0 = (2 − x) xe−x Sz´els˝ o´ert´ek l´etez´es´enek sz¨ uks´eges felt´etele, hogy os x-re, a deriv´alt f 0 = 0 . Mivel ex 6= 0, b´armely val´ f¨ uggv´eny x = 0 ´es x = 2 eset´en lehet nulla. Ezekben a pontokban lehet sz´els˝ o´ert´eke f -nek. A feladat nem k´erdezi, de lehet ellen˝ orizni az el´egs´eges felt´etelt. f 00 = 2e−x − 2xe−x − f 0 f 00 x=0 = 2 > 0, x = 0 eset´en ez´ert minimuma van f -nek f 00 x=2 = −2e−2 < 0, x = 2 eset´en ez´ert maximuma van f -nek
M 5.11. A vektort´er az egyenes ment´en: v(r) = (x2 , −(−2x + 2)x) = (x2 , 2x2 − 2x)
F(r(ϕ)) =
6.
+ 0k =
M 6.2. 1. megold´as: behelyettes´ıt´essel A mell´ekfelt´etelb˝ ol: y = 1 − x. Ezt behelyettes´ıtve f -be: f (x) = x2 (1 − x)2 f 0 = 2x(1 − x) [(1 − x) − x] f 0 = 0, ha x = 0 . Ekkor y = 1 . vagy x = 1 . Ekkor y = 0 . vagy x = 1/2 . Ekkor y = 1/2 . Ebben a h´arom pontban lehet sz´els˝ o´ert´ek. 2. megold´as: multiplik´ ator m´odszerrel A mell´ekfelt´etel egyenlete, 0-ra rendezve: g(x, y) = x + y − 1 = 0 Tekints¨ uk az al´abbi f¨ uggv´enyt (λ a Lagrange multiplik´ ator): F (x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) Az F parci´ alis deriv´alt f¨ uggv´enyei: ∂F 2 = 2xy − λ ∂x
34 ∂F ∂y ∂F ∂λ
= 2x2 y − λ
(x1 , y1 ) ´es (x2 , y2 ) eset´en maximuma, (x1 , y2 ) ´es (x2 , y1 ) eset´en pedig minimuma van f -nek az adott mell´ekfelt´etel mellett.
= g(x, y)
A mell´ekfelt´eteles sz´els˝o´ert´ek l´etez´es´enek sz¨ uks´eges felt´etele a parci´alis deriv´altak un´ese a 0 volta. A λ szerinti deriv´alt elt˝ mell´ekfelt´etelt biztos´ıtja, ezzel egyel˝ore nem foglalkozunk. A m´asik k´et deriv´altat null´ av´ a t´eve a 2xy 2 = 2x2 y egyenletet kapjuk. Az egyenlet teljes¨ ul, ha x = 0 vagy y = 0 vagy x = y. Ezt a h´arom megold´ast a mell´ekfelt´etelbe visszahelyettes´ıtve: x = 0, y = 1 vagy x = 1 , y = 0 vagy x = y = 1/2 A Lagrange f´ele multiplik´ator m´odszer haszn´alata ebben a p´eld´ aban nem indokolt, az 1. megold´as egyszer˝ ubb. Vannak esetek azonban, amikor a multiplik´ ator m´odszerrel tudunk sokkal k¨onyebben c´elt ´erni (l´asd pl. 6.5., 6.6.).
M 6.3. ∂2f = 2, ∂x2
∂2f ∂2f = 2 , =1 ∂y 2 ∂x∂y 2 1 A Hess-m´atrix: H = 1 2
A feladat nem k´erdezi, de lehet ellen˝orizni: a k´et saj´at´ert´ek λ1 = 1 ´es λ2 = 3. Mindkett˝o pozit´ıv, f -nek teh´at minimuma van. A minimum hely´et a ∂f /∂x = 0 ∂f /∂y = 0 egyenletrendszerb˝ol kapjuk: x = 0 ´es y = 0.
M 6.4. Lagrange multiplik´ator m´odszerrel (l´asd 6.2. p´elda) √
A ϕ szerinti m´asodik deriv´alt, f 00 = 2 [cos(2ϕ) − sin(2ϕ)] negat´ıv ϕ = 38 π ill. ϕ = 11 en, ez´ert ezekben 8 π eset´ a pontokban maximuma van f -nek. A ϕ = 78 π 00 ıv, ezeken a helyeken ill. ϕ = 15 8 π esetben f pozit´ minimuma van f -nek.
M 6.5.
det H = 4 − 1 = 3 > 0 A determin´ans egyenl˝o a saj´at´ert´ekek szorzat´aval. Mivel a determin´ans pozit´ıv, ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a Hess-m´atrix k´et saj´at´ert´eke azonos el˝ojel˝ u. Ez´ert l´etezik sz´els˝ o´ert´eke az f -nek.
a multiplik´ ator ´ert´ek´ere 3±2 2 -t kapunk. ar: (x, y) pontp´ (x1 , y1 ), (x1 , y2 ), (x2 , y1 ), (x2 , y2 ), ahol p p √ √ y1 = 1/ 4 + 2 2 , y2 = −1/ 4 − 2 2 q q x1 = 1 − 4+21√2 , x2 = − 1 − 4−21√2
A fenti megold´as helyett egyszer˝ ubb, ha a mell´ekfelt´etelt, a geometriai jelent´est kihaszn´alva, x = cos ϕ, y = sin ϕ v´alaszt´ assal teljes´ıtj¨ uk (ϕ a s´ıkbeli pol´ar koord. rendszer m´asodik koordin´at´ aja). ´Igy az f (ϕ) = cos ϕ sin ϕ + cos2 ϕ + 2 sin2 ϕ egyv´altoz´ os f¨ uggv´eny sz´els˝ o´ert´ekeit keress¨ uk. A df /dϕ = 0 felt´etelb˝ ol a cos2 ϕ − sin2 ϕ + 2 cos ϕ sin ϕ = 0 egyenletet kapjuk. A k´etszeres sz¨ogek sz¨ogf¨ uggv´enyeit felhaszn´alva cos(2ϕ) = − sin(2ϕ) ad´odik. Ebb˝ol 2ϕ = 34 π + kπ , ϕ = 83 π + k π2
A n´egy
A f¨ uggv´eny´ert´ekeket kisz´amolva l´athat´o,
hogy
Lagrange multiplik´ ator m´odszerrel. A mell´ekfelt´etel 0-ra rendezett egyenlete: g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 A mell´ekfelt´etellel kieg´esz´ıtett f¨ uggv´eny: F (x, y, z, λ) = f (x, y, z) − λg(x, y, z) Ennek x, y, z szerinti parci´alis deriv´altjai: ∂F/∂x = 2y − 2λx , ∂F/∂z = 2y − 2λz ∂F/∂y = 2x + 2z − 2λy A
∂F/∂x = 0 ∂F/∂z = 0 ∂F/∂y = 0 egyenletrendszer megold´asak´ent kapjuk, hogy z = x = y/λ (az els˝o ´es a m´asodik egyenletb˝ ol), vagy λ = 0. Ha λ = 0, az x = −z x2 + z 2 = 1
√ egyenletrendszerb˝ ol x = ±1/ 2 , y = 0 ´es √ z = ∓1/ 2. √ A z = x = y/λ esetben λ = ± 2-t kapunk. A
35 y y mell´ekfelt´etelbe a ( √ , y, √ ) pontot visszahe± 2 ± 2 √ lyettes´ıtve kapjuk, hogy y = ±1/ 2. Az f stacion´arius pontjai teh´at:
±( √12 , 0, − √12 ),
±( 12 , √12 , 21 ) ´es ±( 12 , − √12 , 12 ). A f¨ ugv´eny´ert´ekek a stacion´arius pontokban rendre √ √ √ √ −1, −1, 1+2 2 , 1+2 2 , − 2, − 2 Az f -nek teh´at a harmadik ´es negyedik pontban maximuma, az ot¨ ¨ odik ´es hatodik pontban minimuma van az adott mell´ekfelt´etel mellett. Itt is lehet pol´arkoordin´at´akkal pr´ob´alkozni, de a megold´ as multiplik´ator m´odszerrel egyszer˝ ubb.
M 6.6. Lagrange multiplik´ator m´odszer. A null´ara rendezett mell´ekfelt´etelt egy sz´ammal szorozva az eredeti f¨ uggv´enyhez hozz´adjuk: F (x, y, z, λ) = 1/x + 4/y + 9/z + λ(x + y + z − 12) Az F f¨ uggv´eny x, y, z szerinti parci´alis deriv´altjait null´ av´ a t´eve a −1/x2 + λ = 0 −4/y 2 + λ = 0 −9/z 2 + λ = 0 egyenletrendszert kapjuk, ennek megold´asa: y = ±2x ´es y = ±3x . A mell´ekfelt´etelbe visszahelyettes´ıtve: x ± 2x ± 3x = 12 . Ez tkp. n´egy egyenlet, amib˝ol +, + el˝ojel eset´en x = 2 , y = 4 , z = 6 -ot kapunk. Ez az egyik megold´as. A +, − el˝ojeleket v´ alasztva ellentmond´asra jutunk, a −, + eset az x = 6 , y = −12 , z = 18 megold´asra, a −, − eset pedig az x = −3 , y = 6 , z = 9 megold´asra vezet.
H
(0,0)
=
0 1 1 0
Ennek saj´at´ert´ekei ´es norm´alt saj´atvektorai: λ1 = −1 , v1 = √12 (1, −1) λ2 = 1 , v2 = √12 (1, 1) (c) Mivel a (0, 0) pontban sz´am´ıtott Hess-m´atrix egyik saj´at´ert´eke pozit´ıv, a m´asik negat´ıv, ez´ert f -nek nincs sz´els˝ o´ert´eke a (0, 0) pontban, hanem nyeregpontja van.
M 6.8. A funkcion´ al vari´ aci´ oja: Z b 2 δJ = 3f (x)x2 δf − 2f (x)x3 δf dx = a Z b 2 = 3f (x)x2 − 2f (x)x3 δf dx a
A sz´els˝ o´ert´ek sz¨ uks´eges felt´etele, hogy a funkcion´ al vari´ aci´ oja nulla legyen. Az f f¨ uggv´eny vari´ aci´ oja, δf , tetsz˝ oleges. A fenti integr´ al ez´ert akkor nulla, ha 3f 2 (x)x2 − 2f (x)x3 = 0 f (x) 3f (x)x2 − 2x3 = 0 Az egyenlet megold´asai: f (x) ≡ 0 konstans 2 f¨ uggv´eny, ´es f (x) = x . 3 M 6.9. A funkcion´ al vari´ aci´ oja: Z b 1 ln f δf + f δf − 2 δf dx = δJ = f a Z b = (ln f + 1 − 2) δf dx a
aci´ oja akkor nulla, ha A J vari´ ln f + 1 − 2 = 0 fenn´ all. Ebb˝ol kapjuk, hogy a J funkcion´ alnak az f ≡ e konstans f¨ uggv´eny eset´en lehet sz´els˝ o´ert´eke.
M 6.7. (a) ∂f /∂x = yex , ∂f /∂y = ex − 1 Az yex = 0 ex − 1 = 0 egyenletrendszerb˝ol kapjuk, hogy a (0, 0) pont a stacion´arius pont. (b) a m´asodik 2 ∂ f /∂x2 = yex , ∂ 2 f /∂x∂y = ex
parci´alis 2 ∂ f /∂y 2 = 0
deriv´altak:
A Hess-m´atrix az x = 0 , y = 0 pontban:
M 6.10. alhoz hozz´aadjuk a mell´ekfelt´etelt A J funkcion´ null´ ara rendezve, szorozva egy sz´ammal (Lagrange multiplik´ ator): ! Z Z π/2 π/2 2 ˜ J= f (x) dx − 1 cos(x)f (x) dx − λ 0
0
A J˜ funkcion´ al vari´ aci´ oja: Z π/2 δ J˜ = (cos(x) − 2λf (x)) δf dx 0
akkor t˝ unik el, ha cos(x) = 2λf (x) , azaz f (x) = cos(x)/(2λ) .
36 A mell´ekfelt´etelbe visszahelyettes´ıtve: π/2 Z π/2 1 1 x 1 2 (x) dx = cos + sin(2x) = 4λ2 0 4λ2 2 4 0 1 π = 2 =1 4λ 4 √ π Ebb˝ol a multiplik´ator ´ert´ek´ere λ = ± , ad´odik, a 4 2 cos(x) keresett f¨ uggv´eny teh´at f (x) = ± √ π M 6.11.
Z
1
A mell´ekfelt´etel egyenlete:
f 2 (x) dx − 1 = 0
Z
1
J˜ =
Z
1
x2 f (x) dx − λ
f 2 (x) dx − 1
0
0
funkcion´ al vari´aci´oja: Z 1 Z 1 x2 δf dx − λ δ J˜ = 2f δf dx = 0 Z0 1 2 x − λ2f δf dx = nulla,
ha
A mell´ekfelt´etelbe visszahelyettes´ıtve: Z 1 1 1 1 x4 dx = 2 = 1 4λ2 0 4λ 5 √ √ Ebb˝ ol λ = ±1/(2 5), ez´ert f = ± 5x2
M 6.12. φ(0) = 0 + 0 = 0 , φ(1) = 1 + 0 = 1 , φ teh´at teljes´ıti a peremfelt´eteleket Az
E(f )
E(c)
=
funkcion´al helyett tekintj¨ uk az R1 2 0 2 φ − (φ ) dx f¨ uggv´enyt, ´es azt 0
o´ert´eke keress¨ uk, milyen c sz´am eset´en lehet sz´els˝ E(c)-nek. φ2 = x2 (1 + 2c + c2 ) − x3 (2c2 + 2c) + c2 x4 2 (φ0 ) = 1 + 2c + c2 − 4x(c + c2 ) + 4x2 c2 Z
1
E(c) = =
ak xk dx =
0 k=0 4 X ak k=0
dE = dc
4 X
4 X k=0
k+1
1 dak =0 k + 1 dc
4 X k=0
ak
Az egy¨ utthat´ ok c szerinti deriv´aljait a fenti 5 dE/dc = 0 felt´etelbe helyettes´ıtve c = -ot 18 kapunk.
0
0
Mivel δf tetsz˝oleges, δ J˜ akkor x2 − λ2f = 0 , azaz f = x2 /(2λ).
da0 /dc = −2(1 + c) , da1 /dc = 8c + 4 da2 /dc = 2 − 6c , da3 /dc = −4c − 2 da4 /dc = 2c
Az egzakt megold´ashoz terkints¨ uk a funkcion´ al vari´ aci´ oj´ at: Z1 2f (x) δf (x) − 2f 0 (x) δ(f 0 (x)) dx δJ =
0
A
utthat´ ok ´es c szerinti deriv´altjaik: Az ak egy¨ a0 = −(1 + c)2 , a1 = 4c2 + 4c a2 = 1 + 2c − 3c2 , a3 = −2c2 − 2c , a4 = c2
1 xk+1 = k+1 0
Bel´athat´ o, hogy δ(f 0 (x)) = (δf (x))0 (u.i. a deriv´ al´as line´aris m˝ uvelet, ´es vari´ al´ askor csak a δf -ben els˝ orend˝ u tagokat tekintj¨ uk). ´Igy a funkcion´ al vari´ aci´ oja ´ırhat´ o, mint Z1 δJ = (2f δf − 2f 0 (δf )0 ) dx 0
Integr´ aljuk parci´alisan a m´asodik tagot: 1 Z Z1 1 0 0 0 2 f (δf ) dx = 2 [f δf ]0 − 2 f 00 δf dx 0
0
Mivel δf nulla az integr´ al´ asi tartom´any hat´arain, ez´ert a jobb oldalon ´all´ o az els˝o tag nulla. A funkcion´ al vari´ aci´ oja teh´at: Z1 δJ = (2f + 2f 00 ) δf dx 0
ul, ha A δJ = 0 felt´etel tetsz˝oleges δf -re akkor teljes¨ f + f 00 = 0. Vegy¨ uk ´eszre, hogy tkp. az Euler-Lagrange egyenletet vezett¨ uk le, az adott speci´alis esetben. Az Euler-Lagrange egyenlet szerint egy Rb J = F (x, f (x), f 0 (x)) dx = 0 a
funkcion´ alt stacion´ariuss´ a tev˝o f¨ uggv´eny, a ∂F d ∂F − =0 ∂f dx ∂f 0 differenci´alegyenletnek tesz eleget. Az ebben a feladatban ad´od´ o differenci´alegyenlet peremfelt´etelekhez illeszked˝ o partikul´aris megold´asa f (x) = sin(x)/ sin(1).
37 7. M 6.13. Hv = (y, x) ,
E = (x, y)
y x
= 2xy
Tekintj¨ uk az F = 2xy − λ x2 + y 2 − 1 f¨ uggv´enyt. Ennek x ´es y szerinti parci´alis deriv´altjait 0-v´a t´eve 2 egyenletetet kapunk a h´arom ismeretlenre: 2y − 2λx = 0 2x − 2λy = 0 Az egyenletrendszer megold´asa: λ = ±1 ´es x = ±y. A mell´ekfelt´etelbe visszahelyettes´ıtve: 2x2 = 1, √ √ teh´at x = 1/ 2 ´es y = ±1/ 2. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a H m´atrix saj´at´ert´ekfeladat´ at oldottuk meg, λ-ra a saj´at´ert´ekeket, v-re a saj´atvektorokat kaptuk.
Koordin´ atarendszerek
M 7.1. p r = x2 + y 2 = 3,90 y ϕ = arc tg = 140,2o = 2,45 rad x M 7.2. p √ r = x2 + y 2 + z 2 = 6 z = 114o = 1,99 rad ϑ = arc cos p 2 x + y2 + z2 y ϕ = arc tg = 243,4o = 4,25 rad x M 7.3. x = r cos ϕ = 0 y = r sin ϕ = 1
M 7.4. √ x = r sin ϑ cos ϕ = − 2 y = r sin ϑ sin √ ϕ=0 z = r cos ϑ = 2 M 6.14. Legyen a k´et terepet elv´alaszt´o egyenes az x tengellyel p´arhuzamos. A fut´o y1 -nyit mozdul el az y koordin´ ata ment´en az els˝o terepen, y2 -nyit a m´asodik terepen. K´erd´es, hogy hogyan osszuk fel az x koordin´ ata ment´en sz¨ uks´eges elmozdul´ast, ∆x-et, x1 -re (az els˝o terepen megteend˝o u ´t) ´es x2 -re (a m´asodik terepen megteend˝o u ´t) u ´gy, hogy a fut´as alatt eltelt id˝ o minim´alis legyen. Keress¨ uk teh´at a T (x1 , x2 ) = t1 (x1 ) + t2 (x2 ) f¨ uggv´eny sz´els˝ o´ert´ek´et, ahol t1 az els˝o terepen futott id˝ o, t2 a m´asodik terepen futott id˝o. A k´et v´altoz´ o k¨oz¨ otti x1 + x2 = ∆x ¨osszef¨ ugg´est mell´ekfelt´etelk´ent figyelembe kell vegy¨ uk. A k´et terepen futott id˝o, mint x1 ill. x2 f¨ uggv´enye: p p t1 = x21 + y12 /v1 , t2 = x22 + y22 /v2 A mell´ekfelt´etellel kieg´esz´ıtett f¨ uggv´eny: τ = t1 + t2 + λ(∆x − x1 − x2 ) Ennek x1 ´es x2 szerinti parci´alis deriv´altjait null´ av´ a t´eve kapjuk: 1 v1 sin α − λ = 0 1 v2 sin β − λ = 0 p ahol α a ,,be´erkez´es” sz¨oge (sin α = x1 / x21 + y12 ) p ´es β a ,,kil´ep´es” sz¨oge (sin β = x2 / x22 + y22 ). Az v1 sin(α) = egyenletet egyenletrendszerb˝ol a sin(β) v2 ad´odik (v.¨o. Snellius-Descartes t¨orv´eny).
M 7.5. x = r cos ϕ y = r sin ϕ ∂x ∂x ∂r ∂ϕ cos ϕ −r sin ϕ = J = ∂y = ∂y sin ϕ r cos ϕ ∂r ∂ϕ = r cos2 ϕ − (−r sin2 ϕ) = r M 7.6. x = r sin ϑ cos ϕ y = r sin ϑ sin ϕ z = r cos ϑ ∂x ∂x ∂x ∂r ∂ϑ ∂ϕ ∂y ∂y J = ∂y ∂r ∂ϑ ∂ϕ = ∂z ∂z ∂z ∂r ∂ϑ ∂ϕ sin ϑ cos ϕ r cos ϑ cos ϕ −r sin ϑ sin ϕ = sin ϑ sin ϕ r cos ϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ = cos ϑ −r sin ϑ 0 = cos ϑ[r2 sin ϑ cos ϑ cos2 ϕ − (−r2 sin ϑ cos ϑ sin2 ϕ)] −{−r sin ϑ[r sin2 ϑ cos2 ϕ − (−r sin2 ϑ sin2 ϕ)]} = = r2 sin ϑ cos2 ϑ + r2 sin3 ϑ = r2 sin ϑ M 7.7. ∂x ∂x dx = dr + dϕ = cos ϕ dr − r sin ϕ dϕ ∂r ∂ϕ ∂y ∂y dr + dϕ = sin ϕ dr + r cos ϕ dϕ dy = ∂r ∂ϕ
38 ds2 = dx2 + dy 2 = = cos2 ϕ dr2 −2r cos ϕ sin ϕ dr dϕ + r2 sin2 ϕ dϕ2 + + sin2 ϕ dr2 +2r cos ϕ sin ϕ dr dϕ + r2 cos2 ϕ dϕ2 = = 1 · dr2 + r2 dϕ2 1 0 g= 0 r2
Rp 2 −ν µ − 1 sin ϕ √ dν+ 2 1 − ν2 Rp 2 + (µ − 1)(1 − ν 2 ) cos ϕ dϕ 2 ∂z ∂z ∂z R R dµ + dν + dϕ = ν dµ + µ dν dz = ∂µ ∂ν ∂ϕ 2 2 ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = +
R 2 µ2 − ν 2 2 R 2 µ2 − ν 2 2 dµ + dν + 4 µ2 − 1 4 1 − ν2
M 7.8. ∂x ∂x ∂x dx = dr + dϑ + dϕ = ∂r ∂ϑ ∂ϕ = sin ϑ cos ϕ dr + r cos ϑ cos ϕ dϑ − r sin ϑ sin ϕ dϕ ∂y ∂y ∂y dy = dr + dϑ + dϕ = ∂r ∂ϑ ∂ϕ = sin ϑ sin ϕ dr + r cos ϑ sin ϕ dϑ + r sin ϑ cos ϕ dϕ ∂z ∂z ∂z dz = dr + dϑ + dϕ = ∂r ∂ϑ ∂ϕ = cos ϑ dr + r sin ϑ dϑ + 0 · dϕ ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = = sin2 ϑ cos2 ϕ dr2 + r2 cos2 ϑ cos2 ϕ dϑ2 + +r2 sin2 ϑ sin2 ϕ dϕ2 + −2r sin ϑ cos ϑ cos2 ϕ dr dϑ−
=
−2r sin2 ϑ cos ϕ sin ϕ dr dϕ+
M 7.12. X f (x, y, z) = f (r) = ck r k
−r2 sin ϑ cos ϑ cos ϕ sin ϕ dϑ dϕ+ :::::::::::::::::::::::::::::
+ sin2 ϑ sin2 ϕ dr2 + r2 cos2 ϑ sin2 ϕ dϑ2 + +r2 sin2 ϑ cos2 ϕ dϕ2 + +2r sin ϑ cos ϑ sin2 ϕ dr dϑ+ +2r sin2 ϑ sin ϕ cos ϕ dr dϕ+ +r2 sin ϑ cos ϑ sin ϕ cos ϕ dϑ dϕ + cos2 ϑ dr2 +
R2 2 (µ − 1)(1 − ν 2 ) dϕ2 4 2 2 µ −ν 0 0 2 −1 2 µ R µ2 −ν 2 g= 0 0 1−ν 2 4 2 2 0 0 (µ − 1)(1 − ν ) +
M 7.10. M 7.11.
2 ∂ ∂2 + + ∆ϑ,ϕ 2 ∂r 2 r ∂r X ∂ 2 ∂ ck rk = + ∆f = ∂r2 r ∂r k∈Z X X k−2 ck k(k − 1)r + 2ck krk−2 = = ∆=
k∈Z
:::::::::::::::::::::::::::::
+r2 sin2 ϑ dϑ2 −2r sin ϑ cos ϑ dr dϑ = = 1 · dr2 + r2 dϑ2 + r2 sin2 ϑ dϕ2 1 0 0 0 g = 0 r 2 0 0 r2 sin2 ϑ M 7.9. ∂x ∂x ∂µ dµ + dν + dϕ = dx = ∂r ∂ν ∂ϕ µ Rp = 1 − ν 2 cos ϕ p dµ+ 2 µ2 − 1 −ν Rp 2 + µ − 1 cos ϕ √ dν− 2 1 − ν2 Rp 2 − (µ − 1)(1 − ν 2 ) sin ϕ dϕ 2 ∂y ∂y ∂y dy = dµ + dν + dϕ = ∂µ ∂ν ∂ϕ Rp µ dµ+ = 1 − ν 2 sin ϕ p 2 µ2 − 1
6 0 r=
k∈Z
=
X
k∈Z
ck k(k + 1)r
k−2
k∈Z
∆f = 0 ⇔ ck = 0 ∀k ∈ Z \ {0, −1} 1 eset´eben ∆f = 0, ha r 6= 0 f= r M 7.13. ´ erve s´ıkbeli pol´arkoordin´at´ Att´ akra: |J| = r Z∞ Z∞ √ Z∞ Z2π 2 2 e− x +y dx dy = e−r r dr dϕ = −∞ −∞ Z∞
0
Z2π
re−r dr
= 0
dϕ = 0
0
2! · 2π = 2π 12
M 7.14. ´ erve t´erbeli pol´arkoordin´at´ Att´ akra: |J| = r2 sin ϑ √ ∞ ∞ ∞ Z Z Z 2 2 2 7 [e− x +y +z ] 3 dx dy dz = x2 + y 2 + z 2
−∞ −∞ −∞
39 Z∞ Zπ Z2π = 0
0
0
Z∞
Zπ e
=
− 37 r
dr
0
Z2π sin ϑ dϑ
0
M 7.15.
0
e−µR R 8
· 2 · 2π =
0
R3 2 (µ − ν 2 ) dµ dν dϕ = 8 Z1
e−µR µ2 dµ
1
Z∞
Z1 e−µR dµ
−
7 3
e−ra e−rb dx dy dz =
Z∞ Z1 Z2π
=
1!
Z∞ Z∞ Z∞ 0
1 −1 0 ∞ 3 Z
dϕ == 0
hχa |χb i =
=
A k´eplet ´erdekess´ege, hogy h´arom k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o eredet˝ u matematikai ´alland´ o k¨oz¨ ott teremt kapcsolatot.
7
e− 3 r 2 r sin ϑ dr dϑ dϕ = r
1
−1
Z2π dν
−1 Z2π
dϕ− 0
dϕ =
ν 2 dν 0
∞ 2 2 2µ R3 µ · 2 · 2π− = −e−µR + 2+ 3 8 R R R 1 ∞ 1 2 · · 2π = − − e−µR R 3 2 1 R −R +R+1 = πe 3
8.
Komplex f¨ uggv´ enyek
M 8.1. A −1 exponenci´alis alakja: −1 = ei(π+k2π) π π z = −11/4 = ei( 4 +k 2 ) A n´egy gy¨ok: z1 = eiπ/4 , z2 = ei3π/4 z3 = ei5π/4 , z4 = ei7π/4 √ Re(z1 ) = Re(z4 ) = cos(π/4) = 1/ 2 √ Re(z2 ) = Re(z3 ) = cos(3π/4) = −1/ 2
12π 7
M 8.4. f (z) = z 2 = (x + iy)2 = (x2 − y 2 ) + i(2xy) = u + iv Az f (z) val´ os r´esze u = x2 − y 2 , k´epzetes r´esze v = 2xy. M 8.5. z algebrai alakja: z = a + ib eiz − e−iz eia e−b − e−ia eb = = 2i 2i e−b eb = −i (cos a + i sin a) + i (cos a − i sin a) = 2 2 eb + e−b eb − e−b = sin a + i cos a = 2 2 = sin a ch b + i cos a sh b
sin z =
Re(z) = sin a ch b ,
Im(z) = cos a sh b
M 8.6. f (z) exponenci´alis alakja: sin(z) = reiϕ , p (f ) ahol r = (Re(f ))2 + (Im(f ))2 ´es tg ϕ = Im Re(f ) Az el˝oz˝ o p´elda eredm´eny´et felhaszn´alva: p r = psin2 a ch2 b + sh2 b cos2 a = = psin2 a ch2 b + sh2 b − sh2 b sin2 a = = sin2 a + sh2 b tg ϕ = th b ctg a
M 8.7. sin z = sin(a + ib) = A + iB Az sin z domborzata, a 8.6. p´elda eredm´eny´et felhaszn´ alva: p √ | sin z| = A2 + B 2 = sin2 a + sh2 b
M 8.2.
3π 1/2 3π = ei( 4 +kπ) j = (−i)1/2 = ei( 2 +k2π) 1 1 K´et ilyen sz´am van: j1 = − √ + i √ 2 2 1 1 ´es j2 = √ − i √ . 2 2
M 8.8. A f¨ uggv´enyek analitikus volt´ ar´ ol d¨onthet¨ unk a Cauchy-Riemann felt´etelek alapj´an vagy a f¨ uggv´enyek Laurent-sora alapj´an. Most az ut´obbit n´ezz¨ uk: z2 z4 + ∓ ... 2! 4! Nem szerepel negat´ıv kitev˝oj˝ u tag a sorban, ez´ert cos z az eg´esz komplex sz´ams´ıkon analitikus.
a.) cos z = 1 − M 8.3. Az i exponenci´alis alakja: i = eiπ/2 i i = ei·iπ/2 = e−π/2
40 z5 z3 + ∓ ... 3! 5! analitikus az eg´esz komplex s´ıkon
b.) sin z = z −
M 8.12.
z3 z2 + + ... 2! 3! analitikus az eg´esz komplex s´ıkon
c.) ez = 1 + z +
a.) f (z) =
Re(f ) =
cos z 1 z z3 = − + ∓ ... d.) z z 2! 4! z = 0-ban szingul´aris (els˝orend˝ u p´olusa van), a komplex s´ık t¨obbi pontj´aban regul´aris e.)
f.)
z2 z4 sin z =1− + ∓ ... z 3! 5! analitikus az eg´esz komplex s´ıkon 1 z z2 ez = +1+ + + ... z z 2! 3! z = 0-ban szingul´aris (els˝orend˝ u p´olusa van), a komplex s´ık t¨obbi pontj´aban regul´aris
M 8.9. A Cauchy-Riemann felt´eteleket ellen˝orizz¨ uk. Azaz azt vizsg´aljuk, hogy f (x + iy) = u + iv -re ul-e. ∂u/∂x = ∂v/∂y ´es ∂u/∂y = −∂v/∂x teljes¨ a.) ∂u/∂x = 2x , ∂v/∂y = 2x , az els˝o felt´etel teljes¨ ul ∂u/∂y = −2y , ∂v/∂x = 2y , a m´asodik is teljes¨ ul f az eg´esz komplex s´ıkon analitikus b.) ∂u/∂x = 2 , ∂v/∂y = 2 , az els˝o felt´etel teljes¨ ul ∂u/∂y = 1 , ∂v/∂x = 1 a m´asodik felt´etel nem teljes¨ ul Nincs olyan pontja a komplex s´ıknak, ahol mind a k´et felt´etel teljes¨ ulne, ez´ert f sehol sem analitikus.
M 8.10. A f¨ uggv´eny analitikus, ez´ert a szok´asos deriv´al´ asi szab´alyokat alkalmazhatjuk. df /dz = nz n−1 ez + z n ez
M 8.11. 1 1 1 1 1 z z2 f (z) = 4 + 3 + + + + + + ... z z 2!z 2 3!z 4! 5! 6! utt analitikus a A z = 0 pont kiv´etel´evel f minden¨ komplex s´ıkon.
1 1 a − ib a − ib = = 2 a + ib a + ib a − ib a + b2 a , a2 + b2
Im(f ) = −
b a2 + b2
b.) f (z) a 0 kiv´etel´evel minden¨ utt analitikus
M 8.13. parci´ al´ aRs: R zalis integr´ z ze dz = ze − ez dz = zez − ez + C C tetsz˝oleges komplex sz´am
M 8.14. Jel¨ olje GR az R sugar´ u f´elk¨ or´ıvet. Az f (z) f¨ uggv´eny GR kont´ uron sz´am´ıtott integr´ alja: Z Z π dz dϕ = I= f (z) dz = f (Reiϕ ) dϕ GR 0 Z π Z π = f (Reiϕ )iReiϕ dϕ = i Rf (Reiϕ )eiϕ dϕ 0
0
A v´egtelen sugar´ u f´elk¨ or´ıven vett integr´ alt az I hat´ ar´ert´ekek´ent kapjuk, ahogy R −→ ∞. Ahhoz, hogy ez a hat´ar´ert´ek nulla legyen, a fentiek alapj´an az sz¨ uks´eges, hogy Rf (Reiϕ ) −→ 0, ahogy R −→ ∞, ´es a ϕ szerinti integr´ al korl´ atos legyen. A 8.15. feladatban szerepl˝o uggv´eny eset´en p´eld´ aul ahogy f (z) = 1/(4 + z 2 ) f¨ iϕ 2 2iϕ R −→ ∞ az f (Re ) = 1/(R e + 4) f¨ uggv´eny tart 1/R2 e2iϕ -hez. Az ut´obbi kifejez´es R-nek −2-odfok´ u homog´en f¨ uggv´enye, R-rel szorozva is 0-hoz tart, ha R −→ ∞. A ϕ f¨ ugg˝ o r´esz integr´ alja ebben az esetben Rπ −iϕ Rπ −2iϕ+iϕ e dϕ = e dϕ = −2i, korl´ atos. 0
0
M 8.15. Z I=
dx = (x + 2i)(x − 2i)
Z G
1/(z + 2i) dz z − 2i
A G legyen egy olyan z´art g¨orbe a komplex s´ıkon, amely a val´ os tengely −∞-t˝ ol ∞-ig, lez´arva egy v´egtelen sugar´ u f´elk¨ orrel a fels˝o f´els´ıkon. A g¨orbe ir´ any´ıt´ asa pozit´ıv. A fenti egyenl˝ os´eg fenn´all, 2 mivel 1/(4 + x ) v´egtelen sugar´ u f´elk¨ or¨ on vett komplex integr´ alja nulla (l´asd 8.14. feladat). Az egyenlet jobb oldal´an az integrandus sz´aml´ al´ oja analitikus a kont´ uron bel¨ ul, a nevez˝ oben ´all´ o z − 2i miatt az integrandusnak egy p´olusa van G-n bel¨ ul, z = 2i-n´el. Felhaszn´ aljuk a
41 Z G
hb|c0 i = hb|ci − hb|aiha|ci − hb|bihb|ci = | {z } |{z}
f (z) dz = 2πif (z0 ) z − z0
0
Cauchy-f´ele integr´alformul´at (itt f (z) analitikus G-n bel¨ ul, az integrandusnak csak z = z0 eset´en van p´olusa G-n bel¨ ul). Ennek seg´ıts´eg´evel kapjuk, hogy: 1 = π/2 I = 2πi 2i + 2i
1
= hb|ci − hb|ci = 0 Vegy¨ uk ´eszre, ortogonaliz´ altja.
hogy
|c0 i
a
|ci
Schmidt-
M 9.5. M 8.16. Z
Z cos x cos z/(z + i) dx = dz = I= (x + i)(x − i) z−i G cos i = 2πi = π cos(i) = π ch (1) 2i Magyar´ azatot l´asd az el˝oz˝o p´eld´an´al.
9.
Line´ aris terek ´ es oper´ atorok, m´ atrixsz´ am´ıt´ as
M 9.1. ha|ai = 4 + 0 + 16 + 5 = 25 p |a| = ha|ai = 5 √ ˜ = a/|a| = 15 (−2, 0, 4, 5) a
1 adj(A), detA ahol adj(A) elemeit az A transzpon´altj´ anak megfelel˝o elem´ehez tartoz´o el˝ojeles aldetermin´ans adja
M 9.3. −iα iα
iα
a.) he x|e xi = e e hx|xi = hx|xi = 3 b Zb b3 − a3 x = = x2 dx = 3 a 3 a
b.) h(a+ib)x|yi hx|(a+ib)yi = = (a+ib)∗ (a+ib)hx|yi hx|yi = (a2 + b2 )hx|yi2
M 9.4. Tudjuk, hogy |ai ´es |bi ortonorm´altak, teh´at ha|ai = hb|bi = 1 ´es ha|bi = hb|ai = 0. Ellen˝ orizz¨ uk |c0 i ´atfed´es´et |ai-val: 0 ha|c i = ha|ci − ha|aiha|ci − ha|bihb|ci = | {z } | {z } 1
˜ 1 + v2 e ˜2 b) v = v1 e A v1 ´es v2 kifejt´esi koefficienseket a fenti egyen˜1 -vel illetve e ˜2 -vel letet skal´ arisan szorozva e kapjuk: √ √ 1 3 v1 = h˜ e1 |vi = (0 + 3) = 2 2 1 1 v2 = h˜ e2 |vi = (0 + 1) = 2 2 M 9.6. A−1 =
M 9.2. ha|bi = 2 + (2i)∗ − 3i = 2 − 5i
iα
a) Ellen˝orizz¨ uk az ortogonalit´ast: √ √ he1 |e2 i = − 3 + 3 = 0 Norm´ al´ as: 1 ˜1 = e1 /|e1 | = e1 e 2 1 ˜2 = e2 /|e2 | = e2 e 2
0
= ha|ci − ha|ci = 0 Ellen˝orizz¨ uk |c0 i ´atfed´es´et |bi-vel:
A fenti kifejez´es ´ertelmetlen, ha detA = 0. Ilyenkor A nem invert´ alhat´ o. Ebben a p´eld´ aban detA = 2 − 2x, ´ıgy A-nak x = 1 eset´en nem l´etezik inverze. Ha x 6= 1, azA inverze: 2 −2 1 A−1 = 2−2x −x 1 (A-val szorozva ellen˝orizhet˝ o, hogy hib´aztunk-e.) Ha elfelejten´enk a m´atrix invert´ al´ as fent ´ırt k´eplet´et, azt b´armikor megtehetj¨ uk, hogy az inverz m´atrix defin´ıci´ oj´ at haszn´aljuk. Ekkor egy n2 ismeretlenes, n2 egyenletet tartalmaz´o egyenleterendszert megoldva kapjuk meg az inverz m´atrix elemeit (n a m´atrix dimenzi´oja). Ebben az esetben a 1 2 a b 1 0 = x 2 0 1 c d amokat kell megkeegyenlet alapj´an az a, b, c, d sz´ ress¨ uk. A fenti m´atrixegyenlet tkp. n´egy egyenlet, amiket a m´atrixszorz´ ast komponensenk´ent ki´ırva kapunk meg:
42 a + 2c = 1 ax + 2c = 0 b + 2d = 0 bx + 2d = 1 Lehet ellen˝orizni, hogy ezen a u ´ton is ugyanarra az A−1 -re jutunk. M 9.7. a.) detA = 200 − 100 = 100 Az A karakterisztikus egyenlete: (10 − λ)2 (2 − λ) − 25(2 − λ) = 0 , az egyenlet megold´asai λ1 = 2, λ2 = 5 ´es λ3 = 15. Ezek a sz´amok A saj´at´ert´ekei. A saj´atvektorokat kaphatjuk p´eld´aul az 10 − λ 0 5 0 x 5 10 − λ 0 y = 0 0 0 2−λ z 0 egyenletrendszer megold´asak´ent. A norm´alt saj´atvektorok rendre: 0 1 1 v1 = 0 , v2 = √12 −1 , v3 = √12 1 1 0 0 A p´eld´ at egyszer˝ ubben is megoldhatjuk, ha ´eszrevessz¨ uk, hogy az A egy 2 × 2-es ´es egy 1 × 1es m´atrix direkt ¨osszege. Ez´ert elegend˝o a 2 × 2-es probl´em´ at megoldani. A bal fels˝o 2 × 2-es blokk r´ aad´ asul nagyon egyszer˝ u, a b szerkezet˝ u. K¨onnyen kij¨on, ´es hasznos b a eml´ekezni r´a, hogy az ilyen m´atrix saj´at´ert´ekei a − b ´es a + b, a megfelel˝o (norm´alatlan) saj´atvektorok pedig (1, −1) ´es (1, 1).
b.) detB = 3 + 3i Mint az el˝oz˝ o A m´atrix eset´en, itt is egy 2 × 2-es ´es egy 1 dimenzi´os m´atrix direkt ¨osszege ´all. R¨ogt¨ on kiolvashat´ o, hogy az egyik saj´at´ert´ek λ1 = 3, a hozz´a 0 tartoz´ o saj´atvektor v1 = 1 . 0 Az els˝o ´es a harmadik sor ill. oszlop adta 2 × 2-es m´atrix karakterisztikus egyenlete (1 − λ)2 + i = 0, ennek megold´asa a m´asik k´et saj´at´ert´ek, √ Mivel a m´atrix nem szimλ2,3 = 1 ± i i. metrikus, a λ2 -h¨oz ill. a λ3 -hoz tartoz´o bal-´es jobboldali saj´atvektorok nem egyeznek meg. A saj´at´ert´ekegyenletbe helyettes´ıtve kapjuk, hogy az √ 1 + i i-hez tartoz´o jobboldali saj´atvektor
√ −i i 1 0 , v2 = √1−i 1 √ 1 i, 0, 1 . a balodali u2 = √1+i √ A 1 − i i saj´at´ert´ekhez tartoz´o saj´atvektor √ i i 1 0 , v3 = √1−i 1 √ 1 − i, 0, 1 . a balodali u2 = √1+i M 9.8. AB =
11 20 8 15
BA =
[A, B] = AB − BA =
8 16 −8 −8
jobboldali
3 4 16 23
=8
1 2 −1 −1
M 9.9. 1. (AB)ik =
P j
Aij Bjk
Mivel A ´es B diagon´ alis, Aik = δik Ai ´es Bjk = δjk Bj . Ezt kihaszn´alva a szorzat ikadik elem´eP re kapjuk: (AB)ik = δij Ai δjk Bj = δik Ai Bi j
Ford´ıtott sorrendben szorozva : P (BA)ik = δij Bi δjk Aj = δik Ai Bi j
K´et diagon´alis m´atrix szorz´asa teh´at felcser´elhet˝ o. 2. A k¨ ul¨ onbs´eg az el˝oz˝ o ponthoz k´epest, hogy csak az A diagon´ alis. Az AB szorzat ik-adik eleme ekkor: P (AB)ik = δij Ai Bjk = Ai Bik j
A ford´ıtottPsorrend˝ u szorzat ik-adik eleme: 6 (AB)ik . Bij δjk Aj = Bik Ak = (BA)ik = j
Egy ´altal´ anos ´es egy diagon´alis m´atrix szorz´asa teh´at nem cser´elhet˝ o fel.
M 9.10. atrix. A z tengely Az A ´es a B m´atrix is forg´asm´ k¨ or¨ ul, α sz¨oggel forgat az A, β-val a B m´atrix. Mivel az azonos tengely k¨or¨ uli k´et forgat´as sorrendje felcser´elhet˝ o, a k´et m´atrix kommut´ al. Szorz´assal ellen˝orizve: AB =
43
!
cos α cos β − sin α sin β − sin β cos α − sin α cos β 0 = cos β sin α + sin β cos α − sin α sin β + cos α cos β 0 0 0 1
cos(α + β) − sin(α + β) 0 = BA = sin(α + β) cos(α + β) 0 0 0 1
M 9.11. A val´ os unit´er m´atrixokat ortogon´alis m´atrixoknak is nevezik. Ortogon´alis m´atrix sorai ill. oszlopai egym´asra mer˝olegesek ´es egyre norm´altak. Ezt ellen˝ orizz¨ uk. Az oszlopok norm´aja: 1. 1/3 + 4/6 = 1 2. 1/3 + 1/6 + 1/2 = 1 3. 1/3 + 1/6 + 1/2 = 1
√ √ 0 3/2 − 3/2 = = 1 1/2 + 3/2 M 9.13. 1. diagonaliz´al´ as (D = UT AU) 2. kisz´am´ıtjuk cos D -t 3. visszatranszform´al´ as az (cos A = U cos (D) UT )
eredeti
b´azisba
A D diagon´alis m´atrix, A saj´at´ert´ekeit tartalmazza. Az U m´atrix oszlopai az A norm´alt saj´atvektorai. A D ´es az U m´atrix ebben az esetben: 1 π −1 0 1 1 ´es U = √ D= 0 3 4 2 −1 1 A D cosinusza:
A sorok norm´aja:
1 1 0 cos D = √ 2 0 −1 Az A cosinusza: 1 1 1 1 0 1 −1 cos A = √ = 0 −1 1 1 2 2 −1 1 1 0 1 = −√ 2 1 0
1. 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 2. 4/6 + 1/6 + 1/6 = 1 3. 1/2 + 1/2 = 1 Az oszlopok ´atfed´ese: h1|2i
−1/3 + 2/6 = 0
h1|3i
−1/3 + 2/6 = 0
h2|3i
1/3 + 1/6 − 1/2 = 0
A sorok ´atfed´ese: √ √ √ h1|2i −2/ 18 + 1/ 18 + 1/ 18 = 0 √ √ h1|3i 1/ 6 − 1/ 6 = 0 √ √ h2|3i 1/ 12 − 1/ 12 = 0 Ortogon´ alis m´atrix inverze egyenl˝o a transzpon´altj´ aval: A−1 =
− √13 √1 3 √1 3
√2 6 √1 6 √1 6
0 √1 2 − √12
Szorz´assal lehet ellen˝orizni, hogy t´enyleg ez az inverz. M 9.12. A s´ıkban 30o -kal, pozit´ıv ir´anyba forgat´o m´atrix: √ cos(30o ) − sin(30o ) 3/2 √ −1/2 = sin(30o ) cos(30o ) 1/2 3/2 Az elforgatott v vektor: √ 1 3/2 √ −1/2 0 √ v = = 3 1/2 3/2
M 9.14. ˆ +B ˆ Aˆ + B ˆ2 ˆ 2 = Aˆ2 + AˆB (Aˆ + B) A fenti egyenl˝ os´eg csak akkor volna tov´ abb ´ırhat´ o, ˆ B ˆ 2 , ha AˆB ˆ azaz [A, ˆ B] ˆ =0 ˆ=B ˆ A, mint Aˆ2 +2AˆB+ fenn´allna. M 9.15. ˆ =B ˆ Cˆ − Cˆ B ˆ C] ˆ [B, ˆ ˆ ˆ ˆ C] ˆ Aˆ = ˆ ˆ ˆ − [B, [A, [B, C]] = A[B, C] ˆ Aˆ ˆ Cˆ − AˆCˆ B ˆ Cˆ Aˆ + Cˆ B ˆ −B = AˆB ˆ + [B, ˆ [C, ˆ A]] ˆ + [C, ˆ [A, ˆ B]] ˆ = ˆ C]] ˆ [B, [A, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = AB C − AC B − B C A + C B A+ ˆ Cˆ Aˆ − B ˆ AˆCˆ − Cˆ AˆB ˆ + AˆCˆ B+ ˆ +B ˆ Cˆ + B ˆ AˆCˆ = 0 ˆ − Cˆ B ˆ Aˆ − AˆB +Cˆ AˆB M 9.16. Az inverz oper´ator defin´ıci´ oj´ ab´ ol indulunk ki: −1 ˆ ˆ ˆ ˆ (AB) AB = 1 ˆ −1 -zel, Szorozva az egyenletet jobbr´ol B −1 ˆ −1 ˆ ˆ ˆ (AB) A = B , szorozva jobbr´ol Aˆ−1 -zel: ˆ −1 = B ˆ −1 Aˆ−1 (AˆB) QED M 9.17. Az adjung´alt oper´ator defin´ıci´ oja:
44 ˆ † gi = hAˆBf ˆ |gi, hf |(AˆB) ˆ ´ertelmez´esi tetsz˝oleges f ´es g f¨ uggv´enyekre az Aˆ ´es B tartom´ any´ ab´ ol. A jobb oldalon ´all´o skal´aris szorzatban adjung´aljuk ˆ A-t: ˆ |gi = hBf ˆ |Aˆ† gi, majd adjung´aljuk B-t: ˆ hAˆBf † † ˆ |gi = hf |B ˆ Aˆ gi. hAˆBf ˆ † Aˆ† gi ˆ † gi = hf |B Azt kaptuk teh´at, hogy hf |(AˆB) tetsz˝ oleges f -re ´es g-re, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy ˆ †=B ˆ † Aˆ† (AˆB) QED M 9.18. Ha Aˆ line´ aris, akkor tetsz˝oleges α, β val´os sz´amokra uggv´enyekre Aˆ ´ertelmez´esi tarill. tetsz˝oleges f, g f¨ tom´any´ ab´ ol ˆ + β Ag ˆ fenn´all. ˆ A(αf + βg) = αAf Ugyanezt ellen˝orizz¨ uk Aˆ2 -re: ˆ Aˆ2 (αf + βg) = Aˆ A(αf + βg) = ˆ + β Ag ˆ = αAˆAf ˆ +β AˆAg ˆ = = Aˆ αAf = αAˆ2 f + β Aˆ2 g Ha teh´at Aˆ line´aris, akkor Aˆ2 is line´aris. M 9.19. ˆ † gi = h(Aˆ + B)f ˆ |gi + ˆ |gi = hAf a) hf |(Aˆ + B) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ hBf |gi = hf |Agi + hf |Bgi = hf |(A + B)gi A fenti egyenl˝os´egek ´ır´asakor rendre az al´abbiakat haszn´altuk: - adjung´alt oper´ator defin´ıci´oja - skal´aris szorz´as additivit´asa ˆ ¨onadjung´alt - Aˆ ´es B - skal´aris szorz´as additivit´asa Mivel a fenti egyenlet tetsz˝oleges f ´es g ˆ ´ertelmez´esi tarf¨ uggv´enyekre igaz az Aˆ ´es B ˆ †= ˆ B) tom´any´ ab´ol, ez´ert k¨ovetkezik, hogy (A+ ˆ Hermitikus oper´atorok ¨osszege teh´at Aˆ + B. hermitikus. ˆ |gi = ˆ † gi = h(αAˆ + β B)f b) hf |(αAˆ + β B) ˆ |gi + hβ Bf ˆ = ˆ |gi = α∗ hf |Agi ˆ + β ∗ hf |Bgi hαAf ˆ ˆ + hf |β ∗ Bgi ˆ = hf |(α∗ Aˆ + β ∗ B)gi hf |α∗ Agi A fenti egyenl˝os´egek ´ır´asakor rendre az al´ abbiakat haszn´altuk: - adjung´alt oper´ator defin´ıci´oja - skal´aris szorz´as additivit´asa
ˆ ¨ onadjung´ alt; skal´ aris szorzat ho- Aˆ ´es B mogenit´ asa - skal´ aris szorzat homogenit´asa - skal´ aris szorz´as additivit´asa Mivel f ´es g tetsz˝oleges, ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy hermitikus oper´atorok val´ os egy¨ utthat´ os line´ aris kombin´ aci´ oja hermitikus. ˆ † Aˆ† (l´asd 9.17. ˆ † = B c) Tudjuk, hogy (AˆB) ˆ ¨onadp´elda). Felhaszn´ alva, hogy Aˆ ´es B ˆ A. ˆ †=B ˆ Hermitikus oper´atorok jung´alt, (AˆB) szorzata ez´ert akkor hermitikus, ha komˆ A). ˆ ˆ Aˆ = B mut´ alnak (ekkor u.i. B
M 9.20. Az egyenes 1-re norm´alt ir´anyvektora: hn| = √110 (1, 3) Az egyenesre vet´ıt˝ o projekci´ os oper´ator: Pˆ = |nihn| A v vektornak az egyenesre es˝o vet¨ ulete: 1 1 1 ˆ i = h(1, 3)| P |vi = |nihn|vi = 10 1 3 1 1 1 4 = 52 10 3 3 A feladat nem k´erdezi, de a projektor m´atrix´ at is fel tudjuk ´ırni: 1 1 3 1 P = 10 (1, 3) = 3 3 9 Vektoroknak ezt a fajta szorz´as´ at (,,oszlop-sor”, a szok´asos ,,sor-oszlop” skal´ aris szorz´assal szemben), diadikus szorz´asnak nevezik. M´ıg a skal´ aris szorz´as eredm´enye sz´am, a diadikus szorz´assal m´atrixot kapunk. M 9.21. Az (1 + Pˆ ) invert´ alhat´ o, ha nincs 0 saj´at´ert´eke (u.i. a determin´ans a saj´at´ert´ekek szorzata). Az (1 + Pˆ )-nek minden saj´at´ert´eke nagyobb egyenl˝ o egy (u.i. az egys´egoper´ator minden saj´at´ert´eke egy, a Pˆ saj´at´ert´ekei pedig nem negat´ıvak), ez´ert invert´ alhat´ o. Pˆ ) az inverz: 2 Pˆ Pˆ Pˆ 2 Pˆ = 1 + Pˆ − 2 = 1 (1 + Pˆ )(1 − ) = 1 + Pˆ − − 2 2 2 2
Ellen˝ orizz¨ uk, hogy val´ oban (1 −
45 hα|ˆ sx βi = 12 hα|αi = 1/2 hβ|ˆ sx βi = 12 hβ|αi = 0
M 9.22.
1 0 1 hα|ˆ sx βi sx αi hα|ˆ = hβ|ˆ sx αi hβ|ˆ sx βi 2 1 0 Hasonl´ oan: i 0 −1 1 1 0 sy = sz = 2 1 0 2 0 −1
a) Az egys´egoper´ator spektr´alis alakja: P Iˆ = |iihi|. A Tˆ oper´ator: i P Tˆ = Iˆ − 2Pˆ = |iihi| − 2|kihk| = i P |iihi| − |kihk| = i6=k
Az ut´obbi a Tˆ oper´ator spektr´alis alakja, ebb˝ol leolvashat´ o, hogy a Tˆ saj´at´ert´eke 1 vagy −1 lehet (−1 tartozik a |ki saj´atvektorhoz, 1 az ¨osszes t¨obbihez). b) Tˆ2 = (Iˆ − 2Pˆ )2 = Iˆ2 − 4Pˆ + 4Pˆ 2 = Iˆ
sx =
b) sˆy sˆz = =
4
2
ˆ = Iˆ − Pˆ = Iˆ − 1 Iˆ − 1 Tˆ = 1 (Iˆ − Tˆ) Q 2 2 2 M 9.24. exp Pˆ = Iˆ + Pˆ + Pˆ 2 /2! + Pˆ 3 /3! + · · · = = Iˆ + Pˆ + Pˆ /2! + Pˆ /3! + · · · = = Iˆ + Pˆ (1 + 1/2! + 1/3! + . . . ) = Iˆ + Pˆ (e − 1) M 9.25. ˆ m´atrixa az |ui, |vi b´azis´an: AQ ˆ ˆ 0 1 hu|Qui hu|Qvi Q= = ˆ ˆ 0 0 hv|Qui hv|Qvi Ugyanis az 1, 1 komponens p´eld´aul: ˆ = hu|ui hv|ui = 1 · 0 = 0. hu|Qui Itt kihaszn´altuk, hogy |ui, |vi ortogon´alisok, ´es norm´altak.
(|βihα| − |αihβ|) (|αihα| − |βihβ|) =
(|βihα|αihα| − |βihα|βihβ| − |αihβ|αihα|+
+ |αihβ|βihβ|) = sˆz sˆy = =
M 9.23. Pˆ 2 = 14 (Iˆ + Tˆ)(Iˆ + Tˆ) = 14 (Iˆ2 + IˆTˆ + TˆIˆ + Tˆ2 ) = ˆ = 1 (Iˆ + Tˆ) = Pˆ = 1 (Iˆ + 2Tˆ + I)
i 4
i 4
i 4
i 4
i 4
(|βihα| + |αihβ|)
(|αihα| − |βihβ|) (|βihα| − |αihβ|) =
(|αihα|βihα| − |αihα|αihβ| − |βihβ|βihα|+
+ |βihβ|αihβ|) =
i 4
(−|αihβ| − |βihα|)
[ˆ sy , sˆz ] = sˆy sˆz − sˆz sˆy = = 2i (|βihα| + |αihβ|) = iˆ sx Hasonl´ oan l´athat´ o a m´asik k´et kommut´ ator. c) sx sy =
i 4
1 0 0 −1
s y sx =
i 4
−1 0 0 1
i 1 0 = isz 2 0 −1 Hasonl´oan kij¨on a m´asik kett˝ o is.
[sx , sy ] = sx sy − sy sx =
d) sˆ+ = |αihβ| ´es sˆ− = |βihα| 0 0 0 1 s+ = ´es s− = 1 0 0 0 A l´eptet˝ o oper´atorok sˆx , sˆy -nal kifejezve: sy sˆ+ = sˆx + iˆ
´es
sˆ− = sˆx − iˆ sy
ˆ sp´ ˆ = 0, a diagon´alis elemek ¨osszege. AQ urja Sp(Q) M 9.26. a) sˆx |αi = =
1 2 1 2
(|αihβ|αi + |βihα|αi) = (0|αi + 1|βi) = 12 |βi
sˆx |βi = =
1 2 1 2
(|αihβ|βi + |βihα|βi) = (1|αi + 0|βi) = 12 |αi
hα|ˆ sx αi = 21 hα|βi = 0 hβ|ˆ sx αi = 21 hβ|βi = 1/2
M 9.27. Projekci´ os oper´ator idempotens, azaz Pˆ 2 = Pˆ . Tegy¨ uk fel, hogy Pˆ hermitikus. Ekkor a spektr´alis felbont´ asa: P pi |iihi| Pˆ = i
ahol az |ii vektorok – Pˆ saj´atvektorai – egym´asra ortogon´ alisok ´es norm´altak, azaz hi|ji = δij . A pi -k ˆ os sz´amok. P saj´at´ert´ekei, val´ Kihaszn´ alva hogy Pˆ idempotens:
46 P i
pi |iihi| =
P i,j
pi pj |iihi|jihj| =
P i
ˆ= iG
p2i |iihi|
X
igj |jihj|
j
ˆ
eiG =
X
eigj |jihj|
Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy minden i-re p2i = pi , ami a val´ os sz´amok k¨or´eben 0-ra ´es 1-re igaz. Projekci´ os oper´ator saj´et´ert´eke teh´at 0 vagy 1 lehet.
asa (Ha Pˆ nem hermitikus, akkor a spektr´alis felbont´ P ˆ u, ahol a pi saj´at´ert´ekek P = pi |vi ihui | alak´
os sz´amok Az utols´o egyenl˝ os´eg igaz, mivel gj -k val´ † ˆ ˆ hermitikus). Ellen˝orizz¨ uk, hogy eiG (u.i. G
nem felt´etlen¨ ul val´osak. A |vi i-k a Pˆ jobboldali saj´atvektorai (azaz Pˆ |vi i = pi |vi i), hui |-k a baloldali saj´atvektorok (azaz hui |Pˆ = hui |pi ). A bal´es jobboldali saj´atvektorok biortogon´alis rendszert alkonak, vagyis hui |vj i = δij . Azonban hvi |vj i = Sij 6= δij , ´es hasonl´oan az hui | vektorok sem ortonorm´ altak. A baloldali saj´at´ert´ekegyenletbe helyettes´ıtve ellen˝orizhet˝o, hogy az hui | vektorok P −1 hvj |. A Pˆ projektor el˝o´ allnak, mint hui | = S ij
egyenl˝ o-e eiG inverz´evel: † P ˆ ˆ eigj e−igk |jihj|kihk| = eiG eiG =
ˆ iG
e
†
j
=
X
eigj
∗
|jihj| =
X j
j
i
j
saj´at´ert´ert´ekeire az idempotenci´at felhaszn´alva ekkor is 0-t vagy 1-et kapunk, mivel a pi = pi2 egyenletnek a komplex sz´amok k¨or´eben is ezek a megold´asai.) M 9.28. ˆ saj´at´ert´ekegyenlete jobbr´ol: Az U ˆ |ii = λi |ii. U Az egyenletet adjung´alva: ˆ † = hi|λ∗ . hi|U i Szorozzuk a m´asodik egyenletet jobbr´ol az els˝o egyenlettel: ˆ †U ˆ |ii = hi|λ∗ λi |ii. hi|U i ˆ unit´er, U ˆ †U ˆ = Iˆ (Iˆ az egys´egoper´ator). Mivel U Ez´ert a fenti egyenlet az al´abbiak szerint ´ırhat´ o tov´ abb: hi|ii = λ∗i λi hi|ii. Az hi|ii skal´ arszorzat nem 0 (u.i. a nullvektor nem us´ıthet¨ unk. lehet saj´atvektor), ez´ert hi|ii-vel egyszer˝ Kapjuk teh´at, hogy: QED 1 = λ∗i λi M 9.29. t¨om¨ or megold´as:
ˆ
j,k
=
ˆ † = e−iGˆ † = e−iGˆ = eiGˆ U
−1
ˆ −1 =U
eigj −igk |jiδjk hk| =
j
P
|jihj| = Iˆ
j
QED M 9.30. 1. f1 (x) nem eleme, mert f12 (x) = x4 − 32 x2 + 91 nem t˝ unik el ±∞-ben, ez´ert nem integr´ alhat´ o ol ∞-ig −∞-t˝ 2. f2 (x) nem eleme, mert f22 (x) = e−2x nem t˝ unik el −∞-ben 2
3. f3 (x) eleme, mert f32 (x) = e−x el´eg gyorsan elt˝ unik ±∞-ben 2
unik 4. f4 (x) nem eleme, mert f42 (x) = ex nem t˝ el ±∞-ben
M 9.31. π/2 R
||y||2 =
π/2 R
y 2 (x) dx =
−π/2
cos(x) dx =
−π/2 π/2
= [sin(x)]−π/2 = 1 + 1 = 2 √ ||y|| = 2 p y˜ = y/||y|| = √12 cos(x)
hf (x)|g(x)i =
R1
f ∗ (x)g(x) dx =
0
QED
ˆ herA m´asodik egyenl˝os´egn´el haszn´altuk ki, hogy G mitikus.
R1 = (2x + 3x4 )(x3 − 5x2 ) dx = 0
R1
= (2x4 + 3x7 − 10x3 − 15x6 ) dx = 0
r´eszletesebb megold´as, spektr´alis felbont´assal: X ˆ= G gj |jihj| j
P
M 9.32.
e−igj |jihj|
=2 =
2 5
h
x5 5
+
i1
3 8
0
h +3
−
10 4
x8 8
−
i1
15 7
0
h − 10
=
x4 4
− 1083 280
i1 0
h − 15
x7 7
i1 0
=
47
M 9.33. d(f (x), g(x)) = ||f − g|| = p = hf (x) − g(x)|f (x) − g(x)i = R1 = (2x+3x4 −x3 +5x2 ) dx = 2 21 +3 15 − 14 +5 31 = =
0 181 60
0
g2 = he
−x
|f˜2 (x)i =
g3 = he
−x
|f˜3 (x)i =
R∞
e−x f˜2 (x) dx
0
R∞
e−x f˜3 (x) dx
0
M 9.34. A· = hf1 |f1 i =
R∞
2
e−2x dx =
0
R∞
B· = hf2 |f2 i = hf1 |f3 i = C· = hf3 |f3 i = D· = hf1 |f2 i = hf2 |f3 i =
b) Az f˜1 (x), f˜2 (x), f˜3 (x) b´azison kifejtve az f (x) f¨ uggv´enyt: f (x) = g1 f˜1 (x)+g2 f˜2 (x)+g3 f˜3 (x), ahol a g1 , g2 , g3 koefficienseket rendre az R∞ g1 = he−x |f˜1 (x)i = e−x f˜1 (x) dx
R∞
R∞ 0 R∞
2
xe−2x dx =
3 −2x
x e
2
x4 e−2x dx =
0
2 2
x2 e−2x dx =
0
2
integr´ alok adj´ak.
pπ 1 pπ 1 2 8
pπ
3 2 32
M 9.35. ˆ = hDf ˆ ¨ ˆ |gi tetsz˝oleges A D onadjung´ alt, ha hf |Dgi f -re ´es g-re az ´ertelmez´esi tartom´anyb´ ol. R∞
ˆ 1 gi = 1. hf |D
1 4
f ∗ g 0 dx =
−∞ ∞
2
dx =
0
1 4
= [f ∗ g]−∞ −
=D
∞
a) A f¨ uggv´enyeket Schmidt szerint ortogonaliz´aljuk. (Lehetne ezen k´ıv¨ ul L¨owdin f´ele szimmetrikus ortogonaliz´aci´oval, vagy az atfed´esi m´atrixot diagonaliz´alva. Az ut´obbit ´ kanonikus ortogonaliz´aci´onak h´ıvj´ak.) El˝osz¨ or norm´ aljuk f1 -et: √ f˜1 = f1 / A Az ortogonaliz´alt rendszer els˝o eleme f˜1 . Az f1 -re vet´ıt˝o projektor: Pˆ1 = |f˜1 ihf˜1 | Kivet´ıtj¨ uk f2 -b˝ol az f1 -gyel p´arhuzamos komponenst: f2,ort = f2 − Pˆ1 f2 = f2 − f1 hf1A|f2 i = f2 − D A f1 Norm´aljuk f2,ort -ot: 2
Az ortogonaliz´alt rendszer m´asodik eleme f˜2 . Az f˜2 -re vet´ıt˝o projektor: A D D Pˆ2 = |f˜2 ihf˜2 | = AB−D 2 |f2 − A f1 ihf2 − A f1 | Kivet´ıtj¨ uk f3 -b´ol az f1 -gyel ´es az f˜2 -vel p´ arhuzamos komponenst: f3,ort = f3 − Pˆ1 f3 − Pˆ2 f3 = 2
2
D(A−B) AB−D 2 f2
D −B = f3 + AB−D 2 f1 − Norm´aljuk f3,ort -ot: ||f3,ort ||2 = C(AB − D2 )2 + B 3 D2 + 2B 2 AD2 − 2 −B 4 A − D2 A2 B − 2D4 B / AB − D2 f˜3 = f3,ort /||f3,ort || Az ortogonaliz´alt rendszer harmadik eleme f˜3 .
ˆ 1 f |gi f ∗0 g dx = −hD
−∞
u.i. [f ∗ g]−∞ nulla, ha f ´es g L2 (−∞, ∞)beli. Kihaszn´altuk azt is, hogy a deriv´al´as ´es a komplex konjug´ al´ as felcser´elhet˝ o m˝ uveletek. ˆ 1 teh´at nem hermitikus, hanem u AD ´m. antihermitikus. R∞
ˆ 2 gi = 2. hf |D
f ∗ g 00 dx =
−∞ ∞
= [f ∗ g 0 ]−∞ −
R∞
f ∗0 g 0 dx =
−∞
∞
R∞
∞
= [f ∗ g 0 ]−∞ − [f ∗0 g]−∞ +
f ∗00 g dx =
−∞
ˆ 2 f |gi = hD ∞ ∞ u.i. [f ∗ g 0 ]−∞ ´es [f ∗0 g]−∞ nulla, ha f ´es g ˆ 2 teh´at hermitikus. L2 (−∞, ∞)-beli. A D
2
D D ||f2,ort ||2 = B − 2 D 2 A = B − A AD + qA A f2 − D f˜2 = f2,ort /||f2,ort || = AB−D 2 A f1
R∞
R∞
ˆ 3 gi = i 3. hf |D
f ∗ g 0 dx
−∞
R∞
∞
= i [f ∗ g]−∞ − i
ˆ 3 f |gi f ∗0 g dx = hD
−∞
Magyar´ azat: mint az els˝o pontban. teh´at hermitikus. R∞ ∗ 00 ˆ 4 gi = i 4. hf |D f g dx =
ˆ3 A D
−∞
R∞
= i [f
∗
∞ g 0 ]−∞
−i
= i [f
∗
∞ g 0 ]−∞
− i [f ∗0 g]−∞ + i
f ∗0 g 0 dx =
−∞ ∞
R∞
f ∗00 g dx =
−∞
ˆ 4 f |gi = −hD ˆ4 Magyar´ azat: mint a m´asodik pontban. A D teh´ at antihermitikus.
48 R∞
∞
= [f ∗ (x)f (x)]−∞ − M 9.36. Az f f¨ u ggv´eny: 1 ha 0 < x < π/2 vagy π < x < 3π/2 f (x) = −1 ha π/2 < x < π vagy 3π/2 < x < 2π Az f Fourier sorfejt´ese az adott b´azison: 5 P |φi ihφi |f i |f i = I|f i = i=1
R∞
=−
f ∗0 (x)f (x) dx =
−∞
f ∗0 (x)f (x) dx
−∞
Az ut´obbi egyenl˝ os´eg igaz, mert f (x) az L2 (−∞, ∞)nek eleme. Ha f (x) val´ os f¨ uggv´eny, a fentiekb˝ ol kapjuk, hogy Z∞ f 0 (x)f (x) dx = 0 2 −∞
Az f p´aratlan f¨ uggv´eny, ez´ert p´aros f¨ uggv´enyekkel sz´am´ıtott integr´alja nulla. A Fourier sor egy¨ utthat´oit ad´o integr´alok k¨oz¨ ul ´ıgy hφ1 |f i, hφ2 |f i ´es hφ4 |f i nulla. (Lehet ellen˝orizni.) A p´aratlan b´ azisf¨ uggv´enyekkel vett integr´alok: π/2 R Rπ sin x dx+ hφ3 |f i = √1π sin x dx − 0
+
3π/2 R
sin x dx −
=
−∞
2π R
sin x dx
π/2 −[cos x]0
+[cos x]2π 3π/2 =
+
√1 π
((Ref )0 −i(Imf )0 )(Ref +iImf ) dx
−∞
= R∞
[cos x]ππ/2
R∞
=−
!
3π/2
os´eget r´eszletezve Ha f komplex, akkor a fenti egyenl˝ kapjuk, hogy R∞ (Ref − iImf )(Ref )0 + i(Imf )0 ) dx =
π/2
π √1 π
abbi felt´etel n´elk¨ ul ez´ert ekkor f minden tov´ mer˝oleges a deriv´altj´ ara.
−
3π/2 [cos x]π +
(Ref (Ref )0 − iImf (Ref )0 +
−∞
+iRef (Imf )0 + Imf (Imf )0 ) dx = R∞ =− (Ref (Ref )0 + iImf (Ref )0 −
(1 − 1 − 1 + 1) = 0
−∞
π/2 π hφ5 |f i = √1π − cos22x 0 + cos22x π/2 − 3π/2 cos 2x 2π − cos22x π + = 2 3π/2
2
= √1π (1 + 1 + 1 + 1) = √4π Az f Fourier sor´anak ezen a b´azison egyetlen tagja van: f (x) = √4π φ5 (x)
Ez´ert ahhoz, hogy f mer˝oleges legyen a deriv´altj´ ara elegend˝ o, ha Z∞ (Imf (Ref )0 − Ref (Imf )0 ) dx = 0
−iRef (Imf )0 + Imf (Imf )0 ) dx Z∞ (Ref (Ref )0 + Imf (Imf )0 ) dx = 0
−∞
−∞
M 9.37. Mivel Ψ norm´alt: Z∞ Ψ2 (r, R) dr = 1
teljes¨ ul.
10.
−∞
uk, Deriv´ aljuk az egyenletet R szerint, ´es feltessz¨ hogy az r szerinti integr´al´as ´es az R szerinti deriv´al´ as sorrendje felcser´elhet˝o. Ekkor kapjuk: Z∞ ∂Ψ ∂Ψ 2 Ψ dr = 0 azaz h |Ψi = 0 ∂R ∂R
Differenci´ alegyenletek
M 10.1. A differenci´alegyenlet szok´asos alakban fel´ırva: f (4) (x) + 2xf 00 (x) + 2f 0 (x) + x2 f (x) = 0
−∞
Teh´ at Ψ mer˝oleges
∂Ψ ∂R -re.
M 9.38. Parci´ alis integr´ al´assal: R∞ ∗ f (x)f 0 (x) dx = −∞
M 10.2. Az egyenletekb˝ ol k¨ozvetlen integr´ al´ assal kapjuk: Z 1.
Z df =
c dx + C
f (x) = cx + C
49 Z 2.
Z df =
cos x dx + C
f (x) = sin x + C 3.
df = cx + C Z Zdx df =
(cx + C) dx + C1
f (x) = cx2 + Cx + C1 4.
df = sin x + C Zdx Z df =
(sin x + C) dx + C1
f (x) = − cos x + Cx + C1 M 10.3. df 1 = dx x + Z Z 1
dx +C x+1 f (x) = ln |x + 1| + C f (0) = ln |1| + C = C = 1 f (x) = ln |x + 1| + 1 df =
M 10.4. f 0 (x) = −(λ + x2 )f (x) Z Z df = − (λ + x2 ) dx + C f x3 ln |f (x)| = −λx − +C 3 3 x f (x) = ±e− 3 −λx+C M 10.5. dy 1 = 2 dx y Z Z y 2 dy = dx + C y3 =x+C 3 p y = 3 3(x + C) M 10.6. Z Z df = − 2x dx + C f ln |f (x)| = −x2 + C f (x) = ±e−x
2
+C
M Z 10.7. Z df = − dx + C f2
−1/|f (x)| = x + C f (x) = −1/(x + C) M 10.8. Z Z df = − dx + C f3 1 =x+C − 2 2f (x) s 1 f (x) = ± − 2(x + C) M 10.9. p df = f −6 Zdx Z df √ = dx + C f −6 p 2 f (x) − 6 = x + C 1 f (x) = (x + C)2 + 6 4 M 10.10. f 0 (x)f (x) = xex Z Z f df = xex dx + C f 2 (x) = ex (x − 1) + C 2 p f (x) = ± 2ex (x − 1) + C M 10.11. Legyen u = x + y. Ekkor u0 = 1 + y 0 y 0 = u0 − 1 du =u+1 Zdx Z du = dx + C u+1 ln |u + 1| = x + C u = ±ex+C − 1 y = ±ex+C − (1 + x) M 10.12. Legyen u = 2x − y u0 = 2 − y 0 1 2u − 1 u0 = 2 − = u Z Zu u du = dx + C 2u − 1 1 u 1 + ln u − = x + C 2 4 2 y 1 − + ln |2x − y − 1/2| = C 2 4 Az x = 2, y = −1 pontot behelyettes´ıtve a konstansra kapjuk: ln(9/2) = 4C − 2
50
M 10.13.
1 A homog´en egyenelet megold´asa: f 0 (x) + f (x) = 0 x df f (x) =− xZ Zdx df dx =− +C f x ln |f (x)| = − ln |x| + C = − ln C1 |x| 1 f (x) = C1 x ´Irjunk C1 hely´ebe olyan f¨ uggv´enyt, hogy f (x) megold´asa legyen az inhomog´en egyenletnek (´alland´ o vari´ al´ asa): 1 f (x) = C1 (x)x 1 1 C 0 (x) 1 f 0 (x) = · − 2 − 12 · C1 (x)x x C1 (x) x 1 1 1 C 0 (x) 1 1 · + 2· = sin x · − 2 − 12 C1 (x)x x C1 (x) x x C1 (x) C 0 (x) = x sin x − 12 C (x) Z 1 Z dC1 − 2 = x sin x dx + C C1 1 = sin x − x cos x + C C1 (x) sin x C f (x) = − cos x + x x M 10.14. y 0 = 2 + Cex 2 + Cex − 2x − Cex = 2 − 2x = 2(1 − x) 3 = y(0) = 2 · 0 + Ce0 = C C = 3 y = 2x + Cex M 10.15. Szorozzuk meg a differenci´alegyenlet mindk´et oldal´at e− 2
− x2
e
0
R
x dx
= e− 2
− x2
y − xe y=x 0 x2 ye− 2 = x3
x4 +C = 44 x2 x y=e2 +C 4 ye−
x2 2
M 10.16. dy =u Legyen dx 2 d y du dy du = = u 2 dx dy dx dy
3
x2 2
-tel (integr´al´o t´enyez˝ o)!
k du u+ y =0 dy m Z Z k u du = − y dy + C m u2 k y2 k =C− ω2 = 2 p m 2 m u = 2C − ω 2 y 2 p dy = 2C − ω 2 y 2 C02 = 2C Zdx Z dy p dx + C1 = C02 − ω 2 y 2 ωy 1 = x + C1 arcsin ω C0 C0 sin(ωx + C2 ) y= ω M 10.17. dq q(t = 0) = 0 = k(100 − q) Zdt Z dq = k dt + C 100 − q − ln(100 − q) = kt + C q(t) = 100 − e−kt+C A kezdeti felt´etel szerint: 0 = 100 − eC q(t) = 100(1 − e−kt ) M 10.18. ´Irjuk fel az etil-acet´at fogy´as´ ara vonatkoz´ o kinetikai differenci´alegyenletet: d[etil-acet´ at] − = k[etil-acet´at][NaOH] dt Vezess¨ uk be a k¨ovetkez˝ o jel¨ol´eseket: [etil-acet´at]t=0 = a [NaOH]t=0 = b x = [etil-acet´at]t=0 − [etil-acet´ at]t A feladat differenci´alegyenlete a fenti jel¨ol´esekkel: dx = k(a − x)(b − x) dt Ez egy egyszer˝ u, sz´etv´ alaszthat´ o v´altoz´ oj´ u differenci´ alegyenlet: Z Z dx = kdt + C (a − x)(b − x) a−x 1 ln = kt + C b−a b−x a−x = e(b−a)kt+C1 b−x Kezdeti felt´etel: x(t = 0) = 0 a Innen: = eC1 b Behelyettes´ıtve ´es x-et kifejezve: ab(eakt − ebkt ) x= aebkt − beakt
51 A feladat sz¨oveg´eben szerepl˝o sz´am´ert´ekek behelyettes´ıt´es´evel a fenti egyenletb˝ol k ´ert´eke meghat´arozhat´ o, ´es annak ismeret´eben a k´erd´es megv´ alaszolhat´ o. M 10.19. A differenci´alegyenlet aszimptotikus alakja x → ±∞ eset´en: f 00 (x) − x2 f (x) = 0 Ennek a felt´etelt kiel´eg´ıt˝o aszimptotikus megold´asa: 2 − x2
fa (x) = Ce Keress¨ uk a az eredeti differenci´alegyenlet megold´ as´ at X g(x) = fa (x) ak xk k
alakban, ahol legyen H(x) =
X
ak xk
k
(−1 + x2 )fa (x)H(x) + 2xfa (x)H 0 (x) + fa (x)H 00 (x)+ +Efa (x)H(x) − x2 fa (x)H(x) = 0 [H 00 (x) − 2xH 0 (x) + (E − 1)H(x)] fa (x) = 0 H 00 (x) − 2xH 0 (x) + (E − 1)H(x) = 0 H(x) kifejt´es´et behelyettes´ıtve: X X ak kxk−1 + ak k(k − 1)xk−2 − 2x k
X
k
ak xk = 0
k
X
[ak+2 k(k − 1) − 2ak k + (E − 1)ak ] xk = 0
k
Ez b´armely x eset´en csak u ´gy teljes¨ ulhet, ha: 2k + 1 − E ak ak+2 = (k + 1)(k + 2) A fenti ¨osszef¨ ugg´es egy rekurzi´os formul´at ad a H(x) polinomok egy¨ utthat´oira. A kapott polinomok csak abban az esetben lesznek v´egesek (azaz ak = 0, ha k nagyobb, mint egy adott term´eszetes sz´am), ha E = 2k + 1 Az ekkor kaphat´o polinomoknak h´ıvjuk.
f¨ uggv´enyeket
1 f 00 (x) − f (x) = 0 4 Ennek a felt´etelt kiel´eg´ıt˝ o partikul´aris megold´asa: x fa (x) = Ce− 2 Keress¨ uk a az eredeti differenci´alegyenlet megold´ as´ at X g(x) = xα fa (x) ak x k k
alakban, ahol legyen L(x) =
X
ak xk
k
oleges val´ os sz´am. ´es α tetsz˝ Visszahelyettes´ıtve az eredeti differenci´alegyenletbe, a k¨ovetkez˝ o alakra hozhat´o kifejez´est kapunk: X α k x gk x = 0 k
Visszahelyettes´ıtve az eredeti differenci´alegyenletbe: fa00 (x)H(x) + 2fa0 (x)H 0 (x) + fa (x)H 00 (x)+ +Efa (x)H(x) − x2 fa (x)H(x) = 0
(E − 1)
eset´en:
ugg x-t˝ol, csak a differenci´alegyenlet Itt gk nem f¨ konstansait tartalmazza. B´armely x eset´en a fenti egyenelet csak akkor ´all fenn, ha gk = 0, b´armely k eset´en. k = 0-ra fel´ırva: g0 = c0 [α(α + 1) − c] = 0 Innen r 1 1 +c α=− + 2 4 eset´en kapunk a felt´eteleknek megfelel˝o megold´ast. A fenti α-val fel´ırva g(x)-et, ´es vissza´ırva az eredeti differenci´alegyenletbe, L(x)-re az al´abbi differenci´alegyenlet ad´odik: √ L00 (x) + 1 + 1 + 4c − x L0 (x)+ ! r 1 1 + b+ + + c L(x) = 0 2 4 Az 10.19. feladat megold´as´ ahoz hasonl´oan, L(x) egy¨ utthat´ oira kapjuk: q k + 12 + 14 + c − b √ ck+1 = ck (k + 1 + 1 + 4c)(k + 1) A kapott polinom akkor lesz v´eges, ha r 1 1 +c b=k+ + 2 4 u, ahol l nemAbban az esetben, ha c = l(l + 1) alak´ negat´ıv eg´esz sz´am, b szint´en eg´esz sz´am, adott b eset´en l lehets´eges ´ert´ekei: l = 0, 1, 2, . . . , b − 1 uggv´enyeket asszoci´alt LaguAz ekkor kapott L(x) f¨ erre polinomoknak nevezz¨ uk.
Hermite-
M 10.20. A differenci´alegyenlet aszimptotikus alakja x → ∞
M 10.21. 2s2 F (s)−2f (0)s−2f 0 (0)−3sF (s)+3f (0)+4F (s) = 1 = (s + 1)2
52 (s + 1)(3f (0) − 2f 0 (0) − 2f (0)s) + 1 (2s2 − 3s + 4)(s + 1) Felhaszn´ alva a kezdeti felt´eteleket: (s + 1)(3 − 2s) + 1 F (s) = (2s2 − 3s + 4)(s + 1) F (s) =
M 10.22. s2 F (s) − f (0)s − f 0 (0) + 2a(sF (s) − f (0)) + bF (s) = = e−sx0 F (s)(s2 + 2as + b) = e−sx0 + f (0)(s + 2a) + f 0 (0) e−sx0 f (0)(s + 2a) f 0 (0) F (s) = 2 + 2 + 2 s + 2as + b s + 2as + b s + 2as + b Felhaszn´ alva a kezdeti felt´eteleket: e−sx0 F (s) = 2 s + 2as + b Visszatranszform´alva (pl. t´abl´azat seg´ıts´eg´evel): hp i e−a(x−x0 ) sin f (x) = √ b2 − a2 (x − x0 ) b2 − a2 M 10.23. A f 0 (x) = h(x) f 00 (x) = g(x) jel¨ol´esek bevezet´es´evel a feladat egyenlete az al´abbi homog´en differenci´alegyenletrendszerk´ent ´ırhat´ o fel: g 0 (x) + 5g(x) − 4f (x) = 0 h0 (x) − g(x) = 0 f 0 (x) − h(x) = 0 M Z 10.24. Z ∂f dx = dx + C(y) ∂x∂y ∂f = x + C(y) ∂y Z f (x, y) = xy +
C(y) dy + C2 (x)
Legyen: Z C1 (y) = C(y) dy A kezdeti felt´eteleket alkalmazva: 1 = C1 (y) + C2 (0) x2 + 1 = C1 (0) + C2 (x) Az els˝o egyenletben y = 0-t helyettes´ıtve: 1 = C1 (0) + C2 (0) innen C1 (0)-t be´ırva a m´asodik felt´eteli egyenletbe: C2 (x) = x2 + C2 (0) Az els˝o egyenletb˝ol C1 (y)-t kifejezve: C1 (y) = 1 − C2 (0) A C1 (y)-ra ´es C2 (x)-re kapott kifejez´eseket f (x, y)ba visszahelyettes´ıtve: f (x, y) = xy + x2 + 1 M 10.25. Keress¨ uk a megold´ast szorzatf¨ uggv´eny alakban:
f (x, y) = g(x)h(y) Behelyettes´ıtve a differenci´alegyenletbe: g 00 (x)h(y) + x2 g 0 (x)h(y) + g(x)h00 (y) = 0 g 00 (x) x2 g 0 (x) h00 (y) + + =0 g(x) g(x) h(y) g 00 (x) + x2 g 0 (x) =C g(x) h00 (y) = −C h(y) M 10.26. Legyen: Ψ(r, t) = a(r)b(t) Ekkor: ∂ [a(r)b(t)] ˆ = H(r) [a(r)b(t)] i~ ∂t 1 ˆ 1 db(t) = i~ H(r)a(r) b(t) dt a(r) ˆ H(r)a(r) b0 (t) = −E =E i~ b(t) a(r) E ˆ b(t) = e−i ~ H(r)a(r) = Ea(r) M 10.27. Legyen: Ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Y (ϑ, ϕ) 2 ∂ 1 ∂2 ∂2 ∂ ∂ ∆= 2 + + 2 sin ϑ + ∂r r ∂r r sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ ∂ϕ2 1 ∂2 2 ∂ 1 + + ∆ϑ,ϕ R(r)Y (ϑ, ϕ)+ − 2 ∂r2 r ∂r r2 1 + R(r)Y (ϑ, ϕ) = ER(r)Y (ϑ, ϕ) r
1 ∂ 2 R(r) 1 ∂R(r) − − Y (ϑ, ϕ)− 2 ∂r2 r ∂r 1 1 e 2 R(r)∆ϑ,ϕ Y (ϑ, ϕ) + R(r)Y (ϑ, ϕ) = 2r r = ER(r)Y (ϑ, ϕ) 1 ∂ 2 R(r) 1 ∂R(r) 1 1 − − + − 2 2 ∂r r ∂r R(r) r 1 ∆ϑ,ϕ Y (ϑ, ϕ) =E − 2 2r Y (ϑ, ϕ)
R(r) ∂R(r) 1 r − 2r− + 2r 2 ∂r ∂r R(r) ∆ϑ,ϕ Y (ϑ, ϕ) − = −2Er2 Y (ϑ, ϕ) 2∂
2
∆ϑ,ϕ Y (ϑ, ϕ) = l(l + 1) Y (ϑ, ϕ)
53 ∂ 2 R(r) 2 ∂R(r) 2 l(l + 1) R(r) = 0 + + 2E − − ∂r2 r ∂r r r2 at l´asd Az ut´obbi, r-re vonatkoz´o egyenlet megold´as´ a 10.20. feladatn´al.
11.
Ortogon´ alis polinomok, speci´ alis f¨ uggv´ enyek
A differenci´alegyenlet megold´as´ at l´asd a 10.19. feladat megold´as´ an´ al. M 11.5. hYlm |Yl0 m0 i = Zπ Z2π 0 2 = Nlm Plm (cos ϑ)e−imϕ Pl0 m0 (cos ϑ)eim ϕ sin ϑ dϑ dϕ = 0 2 Nlm
=
M 11.1. P200 = 2 P20 = 2x
0
Z2π
Zπ
0
0
1 (1 − x2 ) · 2 − 2x · 2x + 2(2 + 1)(x2 − ) = 0 3 2 − 2x2 − 4x2 + 6x2 − 2 = 0 M 11.2. f10 = f1 = 1 f20 = f2 − hf2 |f10 i = f2 − hf2 |f1 i = Z∞ 1 1 = √ x − e−x · 1 · √ x dx = 2 2 0
1 1 = √ x− √ 2 2
Z∞ 0
1 xe−x dx = √ (x − 1) 2
M 11.3. f10 = f1 = 1 hf2 |f 0 i hf2 |f1 i = f20 = f2 − 0 10 = f2 − hf1 |f1 i hf1 |f1 i R∞ −x2 e · 1 · x dx 0 −∞ =x− =x− √ =x R∞ π e−x2 dx −∞
hf3 |f 0 i hf3 |f 0 i hf3 |f1 i hf3 |f20 i f30 = f3 − 0 10 − 0 20 = f3 − − = hf1 |f1 i hf2 |f2 i hf1 |f1 i hf20 |f20 i R∞ −x2 2 R∞ −x2 2 e · x · x dx e · x · 1 dx −∞ −∞ 2 − R∞ = =x − R∞ e−x2 dx e−x2 · x · x dx −∞ √
0
e−(m−m )ϕ dϕ =
Plm (cos ϑ)Pl0 m0 (cos ϑ) sin ϑ dϑ
2 δmm0 · = 2πNlm π Z 0 0 0 m+l m+m0 d (cos2 ϑ − 1)l dm +l (cos2 ϑ − 1)l · (1−cos2 ϑ) 2 · d(cos ϑ)m+l d(cos ϑ)m0 +l0 0
· sin ϑ dϑ = 2 2 = N 0 lm δmm0 δmm0 δll0 = N 0 lm δmm0 δll0 Ut´ obbi egyenl˝ os´eg az asszoci´alt Legendre polinomok ortogonalit´as´ ab´ ol ad´odik.
12.
Csoportelm´ elet
M 12.1. Ellen˝ orizz¨ uk a csoportaxi´om´ akat. ´ rtsa ´g 1 · 1 = 1 ∈ G a.) za −1 · 1 = −1 ∈ G −1 · (−1) = 1 ∈ G teljes¨ ul ´ s A val´ b.) asszociativita os sz´amok k¨or´eben ´ertelmezett szorz´as asszociat´ıv. ´gelem Az 1 az egys´egelem, (l´asd a.) c.) egyse pont). d.) inverz elem Minden elemnek van inverze, ´es az eleme a csoportnak: 1−1 = 1 ∈ G ´es (−1)−1 = −1 ∈ G
−∞
2· π 0 1 2 √ =x − = x2 − √ 4 − π 2 π 2· 4 M 11.4. H0 = f1 = 1 trivi´alis c = 0 H1 = f20 = x H100 = 0 H10 = 1 −2x · 1 + c · x = 0 c = 2 1 H200 = 2 H20 = 2x H2 = f30 = x − 2 1 2 − 2x · 2x + c(x2 − ) = 0 c = 4 2
M 12.2. Ellen˝orizz¨ uk a csoportaxi´om´ akat. ˆσ ´ rtsa ´g E ˆh = σ a.) za ˆh ∈ G ˆ∈G ˆh σ σ ˆh = E ˆE ˆ=E ˆ∈G E teljes¨ ul ´ s Szimmetria oper´atorok b.) asszociativita egym´ as ut´ani alkalmaz´ asa z´ar´ ojelezhet˝ o.
54 ˆ az egys´egelem, (l´asd a.) ´gelem Az E c.) egyse pont). d.) inverz elem Minden elemnek van inverze, ´es az eleme a csoportnak: σ ˆh−1 = σ ˆh ∈ G ´es ˆ −1 = E ˆ∈G E
M 12.3. a) C2v b) C3v c) C2v d) C∞h e) D4h f) D2h g) S6 h) D3h i) D6h j) D2h k) D2h l) S4 m) Ih n) C3v o) C2v p) D2h q) S4 r) D2h s) C1 ´altal´aban, Cs ha s´ık, C3 ha az -OH csoportok u ´gy ´allnak mint a propeller sz´ arnyai, C3h ha s´ık ´es propeller M 12.4. a.) A D3h csoport elemeinek karakterei az elmozdul´as-egys´egvektorok alkotta ´abr´azol´asban (jel¨olj¨ uk az ´abr´ azol´ ast Γ-val): χΓ (E) = 9 χΓ (C3 ) = 0 χΓ (C2 ) = 1 − 2 = −1 χΓ (σh ) = 6 − 3 = 3 χΓ (S3 ) = 0 χΓ (σv ) = 2 − 1 = 1 E 2C3 3C2 σh 2S3 2σv Γ 9 0 -1 3 0 1
Γrot = A02 ⊕ E 00 i.r.-ekhez sorolhat´ok. A norm´alrezg´esek szimmetri´ ai: Γv = Γ − Γtr − Γrot = A01 ⊕ E 0
12.5. C2v pontcsoport a.) A szimmetriaoper´atorok karakterei az adott reprezent´ aci´ oban: E C2 σv σv0 Γ 2 0 2 0 Az egyes i.r.-ek s´ ulya ebben a reprezent´ aci´ oban: 1 nA1 = (2 + 2) = 1 4 1 nB1 = (2 + 2) = 1 4 1 nA2 = (2 − 2) = 0 4 1 nB2 = (2 − 2) = 0 4 Ez az ´abr´ azol´ as teh´at Γ = A1 ⊕ B1 i.r.-ekre bomlik.
A Λ i.r. s´ ulya a Γ reduk´alhat´o reprezent´aci´oban: 1 X nΛ = χΛ (R)χΓ (R) g R∈G
ahol g a csoport rendje. Az egyes i.r.-ek s´ ulya Γ-ban: 1 nA01 = (9 + 0 − 3 + 3 + 0 + 3) = 1 12 nA02 =
1 (9 + 0 − 3 + 3 + 0 + 3) = 1 12
1 (18 + 0 + 0 + 6 + 0 + 0) = 2 12 1 (9 + 0 − 3 − 3 + 0 − 3) = 0 = 12 1 (9 + 0 + 3 − 3 + 0 + 3) = 1 = 12 1 = (18 + 0 + 0 − 6 + 0 + 0) = 1 12
nE 0 = nA001 nA200 nE 00
A Γ teh´at a k¨ovetkez˝o i.r.-ekre bonthat´o Γ = A01 ⊕ A02 ⊕ 2E 0 ⊕ A002 ⊕ E 00 b.) A karaktert´abl´ab´ol kiolvasva a transzl´aci´ os szabads´agi fokok Γtr = E 0 ⊕ A002 i.r.-ekhez tartoznak, a forg´asi szabads´agi fokok
b.) A Λ i.r. szerint transzform´al´ od´ o f¨ uggv´enyt eredm´enyez˝ o projekci´ os oper´ator: 1 X PˆΛ = χΛ (R) R . g R∈G
Jel¨olj¨ uk p1 -gyel az egyik, p2 -vel a m´asik Cl atomon uggv´enyt. Az A1 szerint transzelhelyezett px f¨ form´al´ od´ o line´aris kombin´ aci´ o: 1 PˆA1 p1 = (E + C2 + σv + σv0 ) p1 = 4 p1 − p2 1 = (p1 − p2 + p1 − p2 ) = 4 2 od´ o line´aris kombin´ aci´ o: A B1 szerint transzform´al´ 1 0 ˆ PB1 p1 = (E − C2 + σv − σv ) p1 = 4 1 p1 + p2 = (p1 + p2 + p1 + p2 ) = 4 2
12.6. D2h pontcsoport Legyen a z tengely a C=C k¨ot´essel p´arhuzamos ´es az xz s´ık a molekulas´ık. Jel¨olj¨ uk a reprezent´ aci´ o vektorait ahogy az ´abra mutatja.
55 H H K A v 1 A v4 C v5 6v6 ? C v2 v A 3 AU H H
A csoport elemeinek karakterei ebben ´abr´ azol´ asban: E C2 (z) C2 (y) C2 (x) i σ(xy) σ(xz) σ(yz) Γ 6 2 0 0 0 0 6 2
=
uak: B1u szimmetri´aj´ 1 PˆB1u v5 = E + C2 (z) − C2 (y) − C2 (x)+ 8 −i − σ(xy) + σ(xz) + σ(yz) v5 = 1 (v5 + v5 − v6 − v6 − v6 − v6 + v5 + v5 ) = 8 1 = (v5 − v6 ) 2
=
az
Az egyes i.r.-ek s´ ulya: 1 nAg = (6 + 2 + 6 + 2) = 2 8 1 nB1g = (6 + 2 − 6 − 2) = 0 8 1 nB2g = (6 − 2 + 6 − 2) = 1 8 1 nB3g = (6 − 2 − 6 + 2) = 0 8 1 nAu = (6 + 2 − 6 − 2) = 0 8 1 nB1u = (6 + 2 + 6 + 2) = 2 8 1 nB2u = (6 − 2 − 6 + 2) = 0 8 1 nB3u = (6 − 2 + 6 − 2) = 1 8 A Γ felbont´ asa i.r.-ekre: Γ = 2Ag ⊕ B2g ⊕ 2B1u ⊕ B3u A szimmetriz´alt b´azisvektorok: Ag szimmetri´ aj´ uak: 1 E + C2 (z) + C2 (y) + C2 (x)+ PˆAg v1 = 8 +i + σ(xy) + σ(xz) + σ(yz) v1 = 1 (v1 + v4 + v3 + v2 + v3 + v2 + v1 + v4 ) = 8 1 = (v1 + v2 + v3 + v4 ) 4
=
1 PˆAg v5 = (v5 + v6 ) 2 B2g szimmetri´aj´ u: 1 E − C2 (z) + C2 (y) − C2 (x)+ PˆB2g v1 = 8 +i − σ(xy) + σ(xz) − σ(yz) v1 = =
1 (v1 − v2 + v3 − v4 ) 4
1 (v1 − v4 + v3 − v2 + v3 − v2 + v1 − v4 ) = 8
1 PˆB1u v1 = (v1 − v2 − v3 + v4 ) 4 B3u szimmetri´ aj´ u: 1 PˆB3u v1 = (v1 + v2 − v3 − v4 ) 4 M 12.7. C2h pontcsoport a.) A szimmetria m˝ uveletek karakterei a n´egy pz f¨ uggv´eny alkotta reprezent´ aci´ oban: E C2 i σh Γ 4 0 0 -4 Az i.r.-ek s´ ulya: 1 nAg = (4 − 4) = 0 4 1 nBg = (4 + 4) = 2 4
1 (4 − 4) = 0 4 1 = (4 + 4) = 2 4
nBu = nA u
Az ´abr´ azol´ as felbont´ asa i.r-ekre: Γ = 2Au ⊕ 2Bg
ara b´azist k´epez˝o szimmetb.) Az Au i.r. sz´am´ riap´aly´ ak: 1 PˆAu pF = (E + C2 − i − σh ) pF = 4 pF + p0F 1 0 )= = (pF + p0F + pF + pF 4 2 0 pN + pN ˆ PAu pN = 2 A Bg i.r. sz´am´ ara b´azist k´epez˝o szimmetriap´aly´ ak: 1 PˆBg pF = (E − C2 + i − σh ) pF = 4 pF − p0F 1 0 )= = (pF − p0F + pF − pF 4 2 0 p − p N N PˆBg pN = 2 M 12.8. Az atomok elmozdul´asvektorainak (a Descartes koordin´atarendszer x, y, z tengely´evel p´arhuzamos
56 egys´egvektorok) 12 dimenzi´os ´abr´azol´as´at reduk´aljuk i.r.-ekre. A C3v szimmetriaelemeinek karakterei ebben az ´abr´azol´asban: E 2C3 3σv Γ 12 0 2 A C3 karakter´enek meg´allap´ıt´as´ahoz fel kellett ´ep´ıts¨ uk a szimmetia oper´ator m´atrix´at a P atom x ´es y ir´ any´ u elmozdul´asvektor´anak b´azis´an. A C3 m˝ uvelet ugyanis ezt a k´et vektort egym´as line´aris kombin´ aci´ oj´ aba transzform´alja. A C3 m´atrixa ezen az alt´eren a 120o -kal pozit´ıv ir´anyba forgat´o 2x2-es m´ atrix: √ −1/2 − 3/2 √ 3/2 −1/2 A m´atrix sp´ urja −1. A C3 karaktere ´ıgy 1 − 1 = 0, mivel a t¨obbi b´azisvektor k¨oz¨ ul csak a P atom z ir´ any´ u elmozdul´asvektor´at nem mozd´ıtja el a C3 m˝ uvelet. Az egyes i.r.-ek s´ ulya a Γ reprezent´aci´oban: 1 1 nA1 = (12 + 6) = 3 nA2 = (12 − 6) = 1 6 6 1 nE = 24 = 4 6 Az ´abr´ azol´ as teh´at a Γ = 3A1 ⊕ A2 ⊕ 4E i.r.-ekre reduk´al´odik. Ezekb˝ol Γtr = A1 ⊕ E tartozik a molekula t¨omegk¨oz´eppontj´anak elmozdul´as´ ahoz, Γrot = A2 ⊕ E tartozik a molekula forgat´as´ ahoz. A rezg´esi m´odusok a Γv = Γ − Γtr − Γrot = 2A1 ⊕ 2E i.r.-eknek felelnek meg. M 12.9. Tekints¨ uk a h´arom Cl atom meghat´arozta s´ıkot (xy s´ık) ´es sz´amozzuk a h´arom Cl atomot, ahogy az ´abra mutatja. Legyen az x tengely a v´ızszintes koordin´ata tengely. p1
+
−
Cl1
− Cl 2 p2 +
+
Cl 3 p3 −
Az ´abr´ an v´azolt p1 , p2 ´es p3 f¨ uggv´enyek ¨osszege egy olyan line´aris kombin´aci´o, amely az A2 i.r. szerint transzform´al´odik. A p1 , p2 ´es p3 f¨ uggv´enyek a Cli atomokon centr´alt pxi , pyi , pzi f¨ uggv´enyek
seg´ıts´eg´evel az al´abbiak szerint adhat´ok meg: p1 = px1 p2 = cos(60o )px2 − sin(60o )py2 p3 = sin(30o )px3 + cos(30o )py3 aval, p3 -at a (Azaz p2 -t a px2 − 60o -os elforgat´as´ py3 −30o -os elfogat´as´ aval kapjuk.) M 12.10. a.) Indexelj¨ uk a sz´env´ azat ´ep´ıt˝ o atomokat rendre 1, 2, 3, 4-gyel, a fels˝o k¨oz´eps˝ o atomt´ ol indulva, pozit´ıv k¨or¨ ulj´ ar´ assal. Ellen˝orizz¨ uk, hogy a D2d szimmetriaelemei ezt az objektumot helyben hagyj´ak. C2 hat´asa:
1↔3 ´es 2↔4
S4 hat´asa:
1→2, 2→3, 3→4 ´es 4→1
C20 hat´asa:
1↔2 ´es 3↔4
σd hat´asa:
1, 3 helyben marad ´es 2↔4
b.) A szimmetriaelemek karakterei az s f¨ uggv´enyek reprezent´ aci´ oj´ aban: E 2S4 C2 2C20 2σd Γ 4 0 0 0 2 Az i.r.-ek s´ ulya: 1 nA1 = (4 + 4) = 1 8 1 nB1 = (4 − 4) = 0 8 1 nE = 8 = 1 8
1 (4 − 4) = 0 8 1 = (4 + 4) = 1 8
nA2 = nB2
Az ´abr´ azol´ as teh´at a k¨ovetkez˝ o i.r.-ekre reduk´al´ odik: Γ = A 1 ⊕ B2 ⊕ E
c.) A szimmetria m˝ uveletek karakterei a koordin´ata reprezent´ aci´ oban: E 2S4 C2 2C20 2σd Γ 12 0 0 0 2 Az i.r.-ek s´ ulya: 1 nA1 = (12 + 4) = 2 8 1 nB1 = (12 − 4) = 1 8 1 nE = 24 = 3 8
1 (12 − 4) = 1 8 1 = (12 + 4) = 2 8
nA2 = nB2
Az ´abr´ azol´ as felbont´ asa i.r.-ekre: Γ = 2A1 ⊕ 2B2 ⊕ B1 ⊕ A2 ⊕ 3E A transzl´aci´ os szabads´agi fokok Γtr = B2 ⊕ E i.r.-ekhez sorolhat´ok, a molekula forg´asa Γrot = A2 ⊕E i.r.-ekre bonthat´ o. A rezg´esi szabds´agi
57 fokok ´ıgy Γv = Γ − Γtr − Γv = 2A1 ⊕ B2 ⊕ B1 ⊕ E szerint oszlanak el az i.r.-ek k¨oz¨ott.
Az s f¨ uggv´enyek tere teh´at az al´abbi i.r.-ekre reduk´al´ odik: Γ = A10 ⊕ E 0
M 12.11. El˝ osz¨ or bel´atjuk, hogy v´eges csoport eset´en minden A elemre l´etezik n ∈ N, hogy An = E (E az egys´egelem). Mivel a csoport v´eges, minden k ∈ N-re l´etezik k-n´ al nagyobb l ∈ N hogy Al = Ak . Szorozzuk ezt az egyenletet A−k -val. Ekkor kapjuk: Al−k = Ak−k = A0 = E, teh´at az n = l − k term´eszetes sz´amra teljes¨ ul, hogy An = E.
d.) A q =
Legyen n ilyen. Ellen˝orizz¨ uk a G = 1 k {A, A , . . . A |k ≤ n} halmazra a csoportaxi´om´ akat. ´ rtsa ´g a.) za
ha k + l < n Ak+l , k l k+l E, ha k + l = n = A A = A k+l−n A , ha k + l > n Mindh´arom esetben az eredm´eny eleme G-nek.
´ s trivi´alis b.) asszociativita ´gelem An = E az egys´egelem c.) egyse −1 = d.) inverz elem Minden k ≤ n sz´amra Ak n−k A ∈G
M 12.12. a.) D3h b.) px , py , pz rendre ugyan´ ugy transzform´al´ odik, aci´ o mint x, y, z; ez a h´arom dimenzi´os reprezent´ Γtr = A200 ⊕ E 0 i.r.-ekre reduk´al´odik c.) A szimmetria oper´atorok karakterei az s f¨ uggv´enyek ´abr´azol´as´aban: E 2C3 3C20 σh 2S3 3σv Γ 3 0 1 3 0 1 Az egyes i.r.-ek s´ ulya ebben az s f¨ uggv´enyek alkotta ´abr´ azol´ asban: 1 (3 + 3 + 3 + 3) = 1 nA01 = 12 1 (3 − 3 + 3 − 3) = 0 nA02 = 12 1 nA001 = (3 + 3 − 3 − 3) = 0 12 1 (3 − 3 − 3 + 3) = 0 nA002 = 12 1 1 (6 + 6) = 1 (6 − 6) = 0 nE 00 = nE 0 = 12 12
√1 (p1 +p2 +p3 ) 3
az A002 i.r. b´azisf¨ uggv´enye.
e.) Az S1 jel˝ u elmozdul´as az A01 (tot´alszimmetrikus) i.r.-hez tartozik, az S2 jel˝ u pedig az A002 i.r.-hez. f.) A csoportelemek karaktere a koordin´ata reprezent´ aci´ oban: E 2C3 3C20 σh 2S3 3σv Γ 12 0 -2 4 -2 2 Az egyes i.r.-ek s´ ulya ebben az ´abr´ azol´ asban: 1 nA10 = (12 − 6 + 4 − 4 + 6) = 1 12 1 nA20 = (12 + 6 + 4 − 4 − 6) = 1 12 1 nE 0 = (24 + 8 + 4) = 3 12 1 nA001 = (12 − 6 − 4 + 4 − 6) = 0 12 1 nA200 = (12 + 6 − 4 + 4 + 6) = 2 12 1 (24 − 8 − 4) = 1 nE 00 = 12 Az ´abr´ azol´ as teh´at a k¨ovetkez˝ o i.r.-ekre reduk´al´ odik: Γ = A01 ⊕ A02 ⊕ 2A002 ⊕ 3E 0 ⊕ E 00 A rot´aci´ o Γrot = E 00 ⊕ A20 i.r.-ekhez tartozik, a transzl´ aci´ ot a b.) pontban l´attuk. A rezg´esek Γv = Γ − Γtr − Γrot = A01 ⊕ A002 ⊕ 2E 0 i.r.-ekre bonthat´ok. M 12.13. Az r1 , r2 , r3 , r4 vektorok megegyeznek a 12.6. feladat megold´as´ aban szerepl˝o v1 , v2 , v3 , v4 vektorokkal. A molekula elhelyez´ese a Descartes koordin´ata rendszerben k¨ ul¨ onb¨ ozik a 12.6. feladatban szerepl˝ot˝ ol. a.) A csoportelemek karakterei a n´egydimenzi´ os ´abr´ azol´ asban: E C2 (z) C2 (y) C2 (x) i σ(xy) σ(xz) σ(yz) Γ 4 0 0 0 0 4 0 0 Az egyes i.r.-ek s´ ulya ebben a reprezent´ aci´ oban: 1 1 nAg = (4 + 4) = 1 nB1g = (4 + 4) = 1 8 8 1 1 nAu = (4 − 4) = 0 nB1u = (4 − 4) = 0 8 8 1 1 nB2g = (4 − 4) = 0 nB3g = (4 − 4) = 0 8 8 1 1 nB3u = (4 + 4) = 1 nB2u = (4 + 4) = 1 8 8 Az ´abr´ azol´ as felbont´ asa i.r.-ekre: Γ = Ag ⊕ B1g ⊕ B2u ⊕ B3u
58 kaptuk, amelyek k¨oz¨ ul legal´abb egy biztosan nem 0. b.) az Ag szimmetri´aj´ u koordin´ata: 1 PˆAg v1 = E + C2 (z) + C2 (y) + C2 (x)+ 8 +i + σ(xy) + σ(xz) + σ(yz) v1 = 1 (v1 + v3 + v2 + v4 + v3 + v1 + v4 + v2 ) = 8 1 = (v1 + v2 + v3 + v4 ) 4
=
a B1g szimmetri´aj´ u koordin´ata: 1 E + C2 (z) − C2 (y) − C2 (x)+ PˆB1g v1 = 8 +i + σ(xy) − σ(xz) − σ(yz) v1 = 1 = (v1 + v3 − v2 − v4 + v3 + v1 − v4 − v2 ) = 8 1 = (v1 − v2 + v3 − v4 ) 4 a B2u szimmetri´aj´ u koordin´ata: 1 ˆ PB2u v1 = (v1 + v2 − v3 − v4 ) 4 a B3u szimmetri´aj´ u koordin´ata: 1 ˆ PB3u v1 = (v1 − v2 − v3 + v4 ) 4 L´ atjuk, hogy a koordin´ata rendszer ir´any´ıt´ as´ at´ ol f¨ uggetlen¨ ul ugyanazokat a szimmetriz´alt vektorokat kaptuk, mint a 12.6. feladatban. c.) Legyenek az s1 , s2 , s3 , s4 f¨ uggv´enyek rendre azon a H atomon centr´altak, amelyre a 12.6. megold´ asban szerepl˝o ´abr´an a v1 , v2 , v3 , v4 vektor mutat. Ez az ´abr´azol´as ugyanaz, mint az a.) pontban szerepl˝o, az si f¨ uggv´eny j´atssza a vi vektor szerep´et. uggv´eny B1u szimd.) Az 12 (p1 + p2 + p3 + p4 ) f¨ metri´ aj´ u. M 12.14. Direkt szorzat reprezent´aci´o karaktere egyenl˝ o a karakterek szorzat´aval, ez´ert 2 χΓ⊗Γ (R) = χΓ (R) ulya a A tot´alszimmetrikus i.r. (jel¨olj¨ uk A1 -gyel) s´ Γ ⊗ Γ ´abr´ azol´ asban: 1 X χA1 (R)χΓ⊗Γ (R) = nA1 = g R∈G
=
2 1 X 1 · χΓ (R) > 0 g R∈G
(g a csoport rendj´et jel¨oli) Az utols´o egyenl˝ otlens´eg fenn´ all, mert 0-n´al nagyobb egyenl˝o sz´amok ¨osszeg´et
Ha Γ irreducibilis ´abr´ azol´ as, akkor a kis ortogonalit´ asi t´etel (LOT) 2 X χΓ (R) = g R∈G
alapj´an a tot´alszimmetrikus i.r. 1 ´abr´ azol´ asban nA1 = g = 1 . g M 12.15. a.) A csoport abr´ ´ azol´ asban:
elemeinek
s´ ulya a Γ ⊗ Γ
karaktere
a
Γv
E 2C4 C2 2σv 2σd Γv 3 1 -1 1 1 Az i.r.-ek s´ ulya Γv -ben: 1 nA1 = (3 + 2 − 1 + 2 + 2) = 1 8 1 nA2 = (3 + 2 − 1 − 2 − 2) = 0 8 1 nB1 = (3 − 2 − 1 + 2 − 2) = 0 8 1 nB2 = (3 − 2 − 1 − 2 + 2) = 0 8 1 nE = (6 + 2) = 1 8 Az ´abr´ azol´ as teh´at Γv = A1 ⊕ E i.r. ¨osszetev˝okre bonthat´ o.
b.) Direkt szorzat reprezent´ aci´ o karakterei a karakterek szorzata. ´Igy a karakterek a Γv ⊗ E abr´ ´ azol´ asban: E 2C4 C2 2σv 2σd Γv ⊗ E 6 0 2 0 0 Az egyes i.r.-ek s´ ulya: 1 1 nA2 = (6 + 2) = 1 nA1 = (6 + 2) = 1 8 8 1 1 nB2 = (6 + 2) = 1 nB1 = (6 + 2) = 1 8 8 1 nE = (12 − 4) = 1 8 azol´ as i.r. ¨osszetev˝ oi teh´at: A Γv ⊗ E ´abr´ Γv ⊗ E = A1 ⊕ B1 ⊕ A2 ⊕ B2 ⊕ E M 12.16. A szimmetria m˝ uveletek karakterei a koordin´ata reprezent´ aci´ oban: E 2C4 C2 2σv 2σd Γ 18 2 -2 4 2 Az i.r.-ek s´ ulya a koordin´ata reprezent´ aci´ oban: 1 nA1 = (18 + 4 − 2 + 8 + 4) = 4 8
59 1 (18 + 4 − 2 − 8 − 4) = 1 8 1 nB1 = (18 − 4 − 2 + 8 − 4) = 2 8 1 nB2 = (18 − 4 − 2 − 8 + 4) = 1 8 1 nE = (36 + 4) = 5 8
ciklohex´an sz´env´ aza sz´ek konform´ aci´ oban pl. krit´eriumoknak megfelel˝o.
nA2 =
A Γ teh´at a k¨ovetkez˝o i.r. ¨osszetev˝okre bonthat´ o: Γ = 4A1 ⊕ A2 ⊕ 2B1 ⊕ B2 ⊕ 5E A karaktert´ abl´ab´ol kiolvashat´o, hogy a transzl´aci´ os szabads´agi fokok k¨oz¨ ul egy tartozik az A1 -hez (a z ir´any´ u eltol´as), a forg´asi szabads´agi fokok k¨oz¨ ul egy sem. A rezg´esi szabads´agi fokok k¨oz¨ ul teh´at 4 − 1 = 3 tartozik a tot´alszimmetrikus i.r.-hez, ´ıgy h´ arom param´eter sz¨ uks´eges a molekula egyens´ ulyi geometri´ aj´ anak meghat´aroz´as´ara. M 12.17. a.) A szimmetria oper´atorok karakterei ebben az ´abr´ azol´ asban: E C 2 i σh Γ 12 0 0 4 Az i.r.-ek s´ ulya ebben az ´abr´azol´asban: 1 1 nAg = (12 + 4) = 4 nAu = (12 − 4) = 2 4 4 1 1 nBg = (12 − 4) = 2 nBu = (12 + 4) = 4 4 4 Az ´abr´ azol´ as teh´at az al´abbi i.r.-ekre bonthat´ o: Γ = 4Ag ⊕ 2Au ⊕ 2Bg ⊕ 4Bu A transzl´aci´ o ´es a rot´aci´o a Γtr = Au ⊕ 2Bu ´es Γrot = Ag ⊕2Bg i.r.-ekhez tartozik, ´ıgy a rezg´esi szabads´agi fokok a Γv = Γ−Γtr −Γrot = 3Ag ⊕Au ⊕2Bu i.r.-ek k¨oz¨ ott oszlanak meg. A tot´alszimmetrikus i.r.-hez h´arom bels˝o szabads´agi fok tartozik, ennyi param´eter sz¨ uks´eges az egyens´ ulyi geometria jellemz´es´ehez. Z b.) A dip´olusmomentum: µ =
ρ(r)r dV .
Mivel a molekula elektrons˝ ur˝ us´ege a tot´alszimmetrikus i.r-hez tartozik, az el˝ un˝ o integr´alok szab´alya alapj´an a fenti integr´al csak akkor nem nulla, ha r valamelyik komponense a tot´ alszimmetrikus i.r.-hez tartozik. Ebben a pontcsoportban sem az x sem az y sem a z ir´any nem transzform´ al´ odik a tot´alszimmetrikus i.r. szerint. Ez´ert C2h szimmetri´aj´ u molekul´anak nincs ´alland´ o dip´ olusnyomat´eka. M 12.18. A molekula a D3d pontcsoportba tartozhat.
A
a
M 12.19. Egy R szimmetriaoper´ator hat´as´ at egy f (r) f¨ uggv´enyre a k¨ovetkez˝ ok´epp ´ertj¨ uk: Rf (r) = f (R−1 r). Az S4−1 hat´ asa r-re: S4−1 (x, y, z) = (−y, x, −z) . Ha f (x, y, z) = yz x , az S4 f : xz S4 f (x, y, z) = y M 12.20. Kommutat´ıv (m´asn´even Abel) csoport eset´en minden szimmetriaelem k¨ ul¨ on oszt´alyt alkot, u.i. tetsz˝oleges A, B ∈ G-re BAB −1 = BB −1 A = A. Ez´ert Abel csoportban minden i.r. egy dimenzi´os. Legyen u az egyik i.r. b´azisvektora, ekkor Ru = λu, ahol λ az R csoportelem karaktere. Ha n az R rendje (az a sz´am, amire Rn = E teljes¨ ul, v.¨o. 12.11. feln n adat), akkor R u = λ u = u ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy λn = 1. QED M 12.21. uggv´eny α sz¨og˝ u Ellen˝orizz¨ uk, hogy a ϕ1 ill. ϕ2 f¨ elforgatottja megadhat´o-e ϕ1 ´es ϕ2 line´aris kombin´aci´ oj´ aval. Az xy s´ıkban α sz¨oggel pozit´ıv ir´anyba forgat´ o m´atrix: cos α − sin α O(α) = sin α cos α A ϕ1 elforgatottja: −1 ˆ O(α)ϕ (α)r) = 1 (r) = ϕ1 (O 2 = (x cos α + y sin α) − (−x sin α + y cos α)2 = = (cos2 α − sin2 α)(x2 − y 2 ) + (2 cos α sin α)2xy = = (cos2 α − sin2 α)ϕ1 + (2 cos α sin α)ϕ2 A fenti egyenlet ´ır´ asakor kihaszn´altuk, hogy az o a transzpon´altj´ aval, ez´ert O(α) inverze egyenl˝ x cos α + y sin α O−1 (α)r = −x sin α + y cos α A ϕ2 elforgatottja: −1 ˆ O(α)ϕ (α)r) = 2 (r) = ϕ2 (O = 2(x cos α + y sin α)(−x sin α + y cos α) = = (−2 cos α sin α)(x2 − y 2 ) + (cos2 α − sin2 α)2xy = = (−2 cos α sin α)ϕ1 + (cos2 α − sin2 α)ϕ2 Az elforgatott f¨ uggv´enyek kifejezhet˝ok ϕ1 , ϕ2 -vel ez´ert {ϕ1 , ϕ2 } b´ azist alkot a feladatban szerepl˝o ˆ f¨ uggv´enyek ter´eben. Az O(α) m´atrixa az elforgatott b´azisf¨ uggv´enyek kifejt´esi koefficienseib˝ol ´all
60
cos2 α − sin2 α −2 cos α sin α Oϕ (α) = 2 cos α sin α cos2 α − sin2 α az als´o ϕ index a b´azisra utal.
M 12.22. A feladatban szerepl˝o ´abr´an v´azolt elektromos t´er hat´as´ ara az atom g¨ombszimmetri´aja D3h -ra cs¨okken. Reduk´ aljuk a 2s, 2px , 2py , 2pz f¨ uggv´enyek alkotta ´abr´ azol´ ast a D3h csoportban. A szimmetriaelemek karakterei: E 2C3 3C20 σh 2S3 3σv Γ 4 1 0 2 -1 2 Az i.r.-ek s´ ulya ebben a n´egydimenzi´ os ´abr´ azol´ asban: 1 nA01 = (4 + 2 + 2 − 2 + 6) = 1 12 1 nA02 = (4 + 2 + 2 − 2 − 6) = 0 12 1 (4 + 2 − 2 + 2 − 6) = 0 nA001 = 12 1 (4 + 2 − 2 + 2 + 6) = 1 nA002 = 12 1 nE 0 = (8 − 2 + 4 + 2) = 1 12 1 (8 − 2 − 4 − 2) = 0 nE 00 = 12 Az ´abr´ azol´ as a k¨ovetkez˝o i.r.-ekre reduk´al´odik: Γ = A01 ⊕ A002 ⊕ E 0 A Γ felbont´as´aban k´et egydimenzi´os ´es egy k´etdimenzi´ os i.r. szerepel. Ez´ert az eredetileg elfajult szintek h´arom szintre hasadnak fel, egy n´ıv´ o k´etszeresen elfajult marad. M 12.23. D3h pontcsoport A karaktert´ abl´ab´ol kiolvashat´o, hogy a (px , py ) p´aly´ ak a k´etdimenzi´os E 0 i.r. szerint transzform´ al´ odnak. A feladatban szerepl˝o f¨ uggv´enyek az E 0 ⊗ E 0 direkt szorzat reprezent´aci´ot adj´ak.
13.
Kvantummechanikai alkalmaz´ asok
M 13.1. Feleltess¨ uk meg a mennyis´egeknek az ϕ → ϕˆ = ϕ· ∂ lϕ → ˆlϕ = −i~ ∂ϕ h i ϕ, ˆ ˆlϕ = ϕˆˆlϕ − lˆϕ ϕˆ =
feladatban szerepl˝o al´abbi oper´atorokat:
= −i~ϕ
∂ ∂ − (−i~) + −i~ϕ = i~ ∂ϕ ∂ϕ
M 13.2. ˆlα = cos α ˆlz + sin α ˆlx h i ˆlz , ˆlα = ˆlz ˆlα − ˆlα ˆlz = = ˆlz cos α ˆlz + sin α ˆlx − cos α ˆlz + sin α ˆlx ˆlz = = cos α ˆlz2 + sin α ˆlz ˆlx − cos α ˆlz2 − sin α ˆlx ˆlz = i h = sin α ˆlz , ˆlx A fenti kommut´ ator akkor lesz z´erus, ha sin α = 0, ez viszont α = kπ, k ∈ Z eset´en teljes¨ ul. M 13.3. ˆ2 pˆx = pˆx , x ˆ2 = pˆx x ˆ2 − x = (ˆ xpˆx − i~) x ˆ) = ˆ−x ˆ (i~ + pˆx x ˆ − i~ˆ ˆ = −2i~ˆ x =x ˆpˆx x x − i~ˆ x−x ˆpˆx x Nem ¨onadjung´ alt. M 13.4. ˆlz = x ˆpˆy − yˆpˆx h i ˆlz , x ˆ = ˆlz x ˆ−x ˆˆlz = = (ˆ xpˆy − yˆpˆx ) x ˆ − (ˆ xpˆy − yˆpˆx ) x ˆ= ˆ − yˆpˆx x ˆx ˆyˆpˆx = =x ˆpˆy x ˆ−x ˆpˆy + x =x ˆpˆy x ˆ − yˆpˆx x ˆ−x ˆpˆy x ˆ + yˆx ˆpˆx = xpˆx − pˆx x ˆ) = yˆ [ˆ x, pˆx ] = i~ˆ y = yˆ (ˆ Nem lehet, mert a fenti kommut´ ator nem 0. M 13.5. pˆ2 Tˆ = 2m A kinetikus energia oper´atora egy ¨onadjung´ alt oper´ator, az impulzusoper´ator n´egyzet´evel ar´ anyos. A feladat ´all´ıt´ asa minden ¨onadjung´ alt ˆ oper´ator n´egyzet´ere teljes¨ ul. Legyen O egy ¨onadjung´ alt oper´ator, valamint legyen Ψ egy norm´alt ˆ 2 -nek, ekkor: saj´atf¨ uggv´enye O ˆ 2 Ψ = kΨ O ˆ 2 Ψi = hO ˆ + Ψ|OΨi ˆ ˆ OΨi ˆ k = hΨ|O ≥0 = hOΨ| A legutols´o egyenl˝ otlens´eg az´ert teljes¨ ul, mivel egy tetsz˝oleges vektor ¨onmag´ aval vett skal´ aris szorzata biztosan nemnegat´ıv val´ os sz´am.
M 13.6. Vizsg´aljuk meg a kommut´ ator, mint oper´ator
61 hat´as´ at egy, az oper´atorok tom´ a ny´ uggv´ enyre. h i abanlev˝o Ψ f¨ Tˆ, Vˆ Ψ = TˆVˆ − Vˆ Tˆ Ψ =
´ertelmez´esi
tar-
~2 ~2 (∆V ) Ψ + V ∆Ψ = 2m 2m ~2 ~2 =− div (V gradΨ + ΨgradV ) + V ∆Ψ = 2m 2m ~2 (gradΨgradV + V ∆Ψ + gradV gradΨ+ =− 2m ~2 +Ψ∆V ) + V ∆Ψ = 2m ~2 (2 gradV gradΨ + (∆V ) Ψ) =− 2m A fenti kifejez´es akkor lesz azonosan 0-val egyenl˝ o, ha gradV = 0, azaz V = konstans. =−
M 13.7. ˆlx = yˆpˆz − zˆpˆy ˆlz = x ˆpˆy − yˆpˆx h i ˆlx , ˆlz = ˆlx ˆlz − ˆlz ˆlx = y pˆz − zˆpˆy ) (ˆ = (ˆ xpˆy − yˆpˆx ) − y pˆz − zˆpˆy ) = xpˆy − yˆpˆx ) (ˆ − (ˆ ˆpˆy − yˆpˆz yˆpˆx + zˆpˆy yˆpˆx − = yˆpˆz x ˆpˆy − zˆpˆy x ˆpˆy zˆpˆy − yˆpˆx zˆpˆy = xpˆy yˆpˆz + yˆpˆx yˆpˆz + x −ˆ = yˆx ˆpˆz pˆy − zˆx ˆpˆy pˆy − yˆyˆpˆz pˆx + zˆpˆy yˆpˆx − ::::::
−ˆ xpˆy yˆpˆz + yˆyˆpˆx pˆz + x ˆzˆpˆy pˆy − yˆzˆpˆx pˆy = ::::::
zus vektor is nullvektor volna. Ez ellentmond´ asban van a Heisenberg rel´aci´ oval. Tegy¨ uk fel ez´ert, hogy az elektron kicsiny ∆x amplit´ ud´ oval ´es kicsiny ∆px impulzussal mozog az orig´o k¨or¨ ul u ´gy, hogy ezek szorzata kiel´eg´ıti a Heisenberg-rel´aci´ ot. A Heisenberg-rel´aci´ ob´ ol kifejezve px , py , pz -t ´es a Hamilton-f¨ uggv´enybe helyettes´ıtve: 1 1 1 1 1 + + − H(x, y, z) = 8 x2 y2 z2 r A probl´ema g¨ombszimmetri´ aj´ at megtartand´o, Descartes koordin´at´ akr´ ol att´er¨ unk g¨ombi koordin´at´ akra, ´es x2 , y 2 , z 2 -et ´atlagoljuk a φ, θ t´ersz¨ogek szerint: Z π Z 2π r2 x2 = cos2 φ dφ sin2 θ dθ π(2π) 0 0 r2 , = 2 hasonl´ oan y 2 = r2 /2 ´es z 2 = r2 /2 . A t´ersz¨ogek szerinti ´atlagol´ as ut´an: 3 1 H(r) = 2 − 4r r Minimaliz´aljuk H-t r szerint: ∂H 1 3 =− 3 + 2 = 0 ∂r 2r r r =
3 2
Az elektron energi´aj´ at megad´o Hamilton f¨ uggv´eny a minimumban: 1 2 1 − = − E = 3 3 3
ˆ (i~ + yˆpˆy ) pˆz + = yˆx ˆpˆz pˆy − x +ˆ z (i~ + yˆpˆy ) pˆx − yˆzˆpˆx pˆy =
Ez csak nagys´agrendileg j´o becsl´es, az egzakt ´ert´ek −0.5.
ˆyˆpˆy pˆz + xpˆz − x = yˆx ˆpˆz pˆy − i~ˆ +i~ˆ z pˆx + zˆyˆpˆy pˆx − yˆzˆpˆx pˆy =
M 13.9. Az energia-id˝o hat´arozatlans´ agi rel´aci´ o szerint: ~ ∆E · ∆t ≥ 2 ~ 6,2 · 10−34 J · s ∆t ≥ = = 3,08 · 10−10 s 2∆E 4π · 1,602 · 10−25 J
::::::
::::::
xpˆz − zˆpˆx ) = −i~ˆly = i~ (ˆ
M 13.8. Az elektron Hamilton-f¨ uggv´enye atomi egys´egekben: 1 2 1 H(x, y, z) = p − = 2 r 1 2 1 2 = (px + py + p2z ) − 2 r A Heisenberg-f´ele bizonytalans´agi rel´aci´o, atomi 1 egys´egekben: ∆px · ∆x ∼ , hasonl´oan az y ´es z 2 komponensekre. Klasszikus k´epben az elektron nyugalomban lehetne az atommag hely´en, ekkor a koordin´ata- ´es az impul-
M 13.10.
2 2 ˆ = Tˆ + Vˆ = − ~ d + 1 kx2 H 2m dx2 2 1 2 2 2 2 1 1 ~ d − γx ˆ 0 (x) = − HΨ e 2 + kx2 · e− 2 γx = 2 2m dx 2 1 2 2 1 1 ~2 d −γxe− 2 γx + kx2 · e− 2 γx = =− 2m dx 2 2 2 1 1 ~2 =− −γe− 2 γx + γ 2 x2 e− 2 γx + 2m 1 2 − 1 γx2 + kx · e 2 = 2
62 "
# √ km ~2 km 2 1 2 − 1 γx2 − x + kx e 2 = ~ 2m ~2 2
~2 = · 2m
= E0 Ψ0 (x) Innen: r 1 h k 1 E0 = = hν 2 2π m 2
+
M 13.11. ~2 d2 a.) Tˆ = − 2m dx2 ˆ hT i = hΨ0 (x)|Tˆ|Ψ0 (x)i = r Z∞ 2 2 d 2 1 1 γ ~2 e− 2 γx e− 2 γx =− π 2m dx2 −∞
k a
Za x2 cos2 −a
2
d2 (e− 2 γx ) dx2
1
2
= e− 2 γx (γ 2 x2 − γ)
A hTˆi-ben szerepl˝o integr´al (t´abl´azatb´ol): q q R∞ γx2 2 2 2 e (γ x − γ) = −γ πγ + γ2 γπ3
−∞
A Tˆ v´arhat´ o ´ert´eke:q 2 k ~ h 1 1 hTˆi = 2 γ 2m = 12 2π m = 4 hν ˆ (0) = Tˆ + 1 kx2 b.) H 2 ˆ = bx6 W ˆ |Ψ0 (x)i = ˆ (0) + W E (0) + E (1) = hΨ0 (x)|H 1 √ 1 · 3 · 5 · 7 · 9 · 11 = hv + b γ 2 26 M 13.12.
=
cos2
=
−a
π xdx = 2a
a 2a a a π 1 = − − x+ sin x =a 2 4π a −a 2 2
1 π f 0 (x) = √ cos x 2a a A vari´ aci´os elv szerint: ˆ 0 (x)i = E0 ≤ E(a) = hf 0 (x)|Hf a Z π ~2 1 π d2 =− cos x 2 cos x dx+ 2m a 2a dx 2a −a
k + a
Za x2 cos2 −a
π x dx = 2a
−a
π x dx+ 2a
π x dx = 2a
b, A fenti energia ott lehet minim´alis, ahol az a szerinti deriv´altja elt˝ unik: h2 dE 8ka =− + =0 da 16ma3 π 8k h2 = π 16ma4 h2 π a4 = 128m r 1 4 h2 π a= 2 8m c, A pr´obaf¨ uggv´eny a 2a ,,sz´eless´eg˝ u” v´egtelen m´ely der´eksz¨ og˝ u potenci´alv¨ olgyben az alap´allapot hull´ amf¨ uggv´enye.
F = −grad V = − a, hf (x)|f (x)i =
− cos2
h2 4ka2 + 32ma2 π
M 13.13. Za
Za
h2 π k 2 · 4a2 x cos x+ = a+ 32ma3 a π2 2a a π 2ax2 2 · 8a3 + = − x sin π π3 2a −a
2
1
Az e− 2 γx m´asodik deriv´altja x szerint: 1
~2 π2 = 2 ·− 4a 2ma
Z V (x) =
∂V = −ax + bx2 ∂x
a b −ax + bx2 dx + c = − x2 + x3 + c 2 3
2 2 ˆ = Tˆ + Vˆ = − ~ d − a x2 + b x3 + c H 2m dx2 2 3
A Schr¨ odinger-egyenlet: a 2 b 3 ~2 d2 Ψ − − Ψ=0 + x + x + c E − 2m dx2 2 3 M 13.14. r
Z∞ a, hΨ(x)|Ψ(x)i = N N=
γ 14 π
2 −∞
2
e−γx dx = N 2
π =1 γ
63 r b, hxi = hΨ(x)|Ψ(x)i =
γ π
Z∞ −γx2
xe
dx = 0
−∞
M 13.15. ~ d pˆ = i dx
~ d − 1 γx2 ~ 1 2 pˆϕ1 (x) = N1 = N1 e− 2 γx (−γx) = e 2 i dx i ~ N1 ~ N1 − 12 γx2 = −γ N2 xe ϕ2 (x) = −γ i N2 i N2 ~ N1 pϕ1 (x)i = hϕ1 (x)| − γ p1,1 = hϕ1 (x)|ˆ ϕ2 (x)i = 0 i N2 ~ N1 pϕ1 (x)i = hϕ2 (x)| − γ p2,1 = hϕ2 (x)|ˆ ϕ2 (x)i = i N2 ~ N1 = −γ i N2
∂V = 2D 1 − e−βq · βe−βq = ∂q = 2βD 1 − e−βq e−βq
a, F = −
b, A potenci´al param´eterei k¨ oz¨ ul a D a r´eszecske v´egtelenbeli potenci´alis energi´aja, a β pedig er˝ o´ alland´ o jelleg˝ u (l´asd harmonikus oszcill´ator k-ja). i ~2 d2 Ψ h −βq 2 Ψ=0 + e − E D 1 − 2m dq 2
M 13.17. Norm´aljuk a pr´obaf¨ uggv´enyt: r Z∞ π −2αx2 hϕ(x)|ϕ(x)i = e dx = 2α −∞ r 2α −αx2 e ϕ0 (x) = π A vari´ aci´ os elv szerint: ˆ 0 (x)i = E0 ≤ E(α) = hϕ (x)|Hϕ ∞ Z 2 2 2 d ~2 2α =− · e−αx dx+ e−αx 2 2m π dx 0
2α 1 · F + π 2
e−2αx
2
4α2 x2 − 2α dx+
2
2αx2 − 1 dx +
−∞ √ αF π + = · π 2 · (2α) 23
=−
h2 α 2 2mπ 3
Z∞ e−2αx −∞
h2 α 2 =− 2mπ 3
√
2α
3
=
h2 α 2 5 2
5 2
2 π m
+
r
π
2 · (2α)
3 2
−
π 2α
5
22
! +
2
5 2
F = √ πα
F √
πα
=
F √ 2 πα 5 2
Az energia ott lehet minim´alis, ahol az α szerinti deriv´altja 0:
M 13.16.
c, −
Z∞
h2 α =− 4mπ 3
−∞ Z∞
2 −2αx2
x e −∞
dx =
1 dE = 5 1 dα 2 2 π2 α2 =
α=
1 3h2 F · α2 − 3 2π 2 m 2α 2
=0
π2 F m 3h2 π h
r
Fm 3
M 13.18. A norm´alt pr´obaf¨ uggv´eny a k¨ovetkez˝ o: π 1 Ψ(x) = √ cos x 2a a A vari´ aci´ os elv szerint: ˆ E0 ≤ E(a) = hΨ(x)|HΨ(x)i = hΨ(x)|TˆΨ(x)i+ +hΨ(x)|Vˆ Ψ(x)i uggv´eny, Mivel Ψ(x) p´aros, V (x) pedig p´aratlan f¨ ez´ert a m´asodik tag z´erus. hΨ(x)|TˆΨ(x)i = Za ~2 1 1 π d2 π √ cos x 2 √ cos =− dx = 2m 2a dx 2a a a −a
~2 π 2 = 2m 4a3
Za cos2 −a
π x dx = 2a
64 a π h2 x 2a = + sin x = 32ma3 2 4π a −a
Z2π (sin 4ϕ − sin 2ϕ) dϕ = 0 0
A keresett val´ osz´ın˝ us´egek rendre: 0, 0, 1, 0, 0
2
2
=
4i~ 6π
h h a= 32ma3 32ma2
M 13.22.
1 Ψ1s = Ψ100 = √ e−r π Z∞ Zπ Z2π 1 −2r 2 e r sin ϑ dr dϑ dϕ = hΨ1s |Ψ1s i = π
M 13.19. T1 = hΨ1 |TˆΨ1 i = Z1 πx πx d2 ~2 cos dx = cos =− 2m 2 dx2 2
0
−1
2
=
2
~ π · 2m 4
Z1 cos2 −1
2
2
2
π ~ h πx dx = · = 2 2m 4 32m
=−
~2 2m
Z
2 cos 2πx
d2 (2 cos 2πx) dx = dx2
− 14 1
~2 = · 4π 2 2m
Z4 4 cos2 2πx dx =
~2 h2 · 4π 2 = 2m 2m
− 41
A m´asodik sz´am´ u hull´amf¨ uggv´eny eset´eben lesz nagyobb a kinetikus energia. M 13.20.
2 2 ˆ = Tˆ + Vˆ = − ~ d + e−x2 H 2m dx2
A Schr¨ odinger-egyenlet: ~2 d2 Ψ −x2 − + e − E Ψ=0 2m dx2 M 13.21.
1 Ψ(ϕ) = √ (2 cos 2ϕ − 1) 6π ∂ ˆlz = −i~ ∂ϕ hlz i = hΨ|ˆlz Ψi = Z2π 1 √ (2 cos 2ϕ − 1) · = 6π 0 1 ∂ √ (2 cos 2ϕ − 1) · −i~ dϕ = ∂ϕ 6π Z2π i~ (2 cos 2ϕ − 1) (−2 · 2 sin 2ϕ) dϕ = =− 6π 0
0
Z2π
Zπ 2 −2r
r e
0
0
0
dϕ =
sin ϑ dϑ
dr
1 2! · · 4π = 1 π 23
M 13.23.
T2 = hΨ2 |TˆΨ2 i = 1 4
1 = π
0
Z∞
1 Ψ1s = Ψ100 = √ e−r π r 1 Ψ2s = Ψ200 = √ (2 − r) e− 2 4 2π hΨ1s |Ψ2s i = Z∞ Zπ Z2π r 1 1 √ e−r √ (2 − r) e− 2 r2 sin ϑ dr dϑ dϕ = = π 4 2π 0
0
0
1 √ = 4π 2
Z∞
Z2π
Zπ − 32 r
2
r (2 − r) e
dr
sin ϑ dϑ
dϕ =
0 0 Z∞ Z∞ 3 3 1 √ = 2r2 e− 2 r dr + −r3 e− 2 r dr · 4π = 4π 2 0 ! 0 1 2! 3! 2 · 3 − 4 = 0 =√ 3 3 2 2 2 0
M 13.24.
r 1 Ψ2p0 = Ψ210 = √ re− 2 cos ϑ 4 2π 1 Vˆ = − r hV i = hΨ2p0 |Vˆ Ψ2p0 i = Z∞ Zπ Z2π r r 1 1 re− 2 cos ϑ re− 2 cos ϑ· =− 32π r
0
0
0
·r2 sin ϑ dr dϑ dϕ = Z∞ Zπ 1 3 −r =− · 2π r e dr cos2 ϑ sin ϑ dϑ = 32π 0 0 1 3 π 1 3! 1 = − · 4 · − cos ϑ 0 = − 16 1 3 4
65 1 Tˆ = − ∆ = 2 2 ∂ 1 ∂2 − + + 2 ∂r2 r ∂r 1 ∂ 1 1 ∂ ∂2 + 2 sin ϑ + r sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2 TˆΨ2p0 = r r 1 1 r 2 −2 − · √ − 1 e cos ϑ + − 1 e− 2 cos ϑ− 2 4 2π 4 r r −r 2 −r 1 − e 2 cos ϑ = √ 1− e 2 cos ϑ r 8 4 2π hT i = hΨ2p0 |Vˆ Ψ2p0 i = Z∞ Zπ Z2π r r −r 1 re− 2 cos ϑ 1 − e 2 cos ϑ· = 32π 8 0
0
2hT i = −hV i (teljes¨ ul a viri´alt´etel) 1 hEi = − = −hT i 8 M 13.25. hri = hΨ2p0 |ˆ r|Ψ2p0 i = Z∞ Zπ Z2π r r 1 1 √ re− 2 cos ϑ r √ re− 2 cos ϑ· 4 2π 4 2π 0
ˆ 3p i = hT i + hV i = −hV i hEi = hΨ3p+1 |HΨ +1 A legutols´o egyenl˝ os´eg a viri´alt´etelb˝ ol ad´odik. hV i = hΨ3p+1 |Vˆ Ψ3p+1 i = Z∞ Zπ Z2π 2 2r 1 1 =− 2 6r − r2 e− 3 sin2 ϑ e−iϕ eiϕ · 81 π r 0
0
·r2 sin ϑ dr dϑ dϕ = Z2π Z∞ Zπ 1 5 −r 2 dϕ = = r e dr cos ϑ sin ϑ dϑ 32π 0
0
0
1 5! 2 = · · · 2π = 5 32π 16 3 M 13.26. Ψ100s = Ψ100,0,0 a0 hri = 3 · 1002 − 0 (0 + 1) = 15000a0 = 2 = 1,5 · 104 · 0.529 · 10−10 m = 7,935 · 10−7 m ≈ 10−6 m
=−
2 6561
Ψ3p+1 = Ψ31+1 =
r 1 √ r (6 − r) e− 3 sin ϑeiϕ 81 π
Z∞
0
0
3 2r 36r − 12r4 + r5 e− 3 dr·
0
π 1 3 · − cos ϑ + cos ϑ = 3 0
2 4 3!34 4!35 5!36 1 − 8 · · 36 4 − 12 5 + 6 =− 3 3 2 2 2 9 hEi = −hV i =
1 9
ˆ 2 Ψ3p i = hΨ3p | − ∆ϑ,ϕ Ψ3p i hL2 i = hΨ3p+1 |L +1 +1 +1 ∆ϑ,ϕ =
1 ∂ sin ϑ ∂ϑ
∂ 1 ∂2 sin ϑ + 2 ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ2
r −∆ϑ,ϕ Ψ = 12 − 2r2 e− 3 sin ϑ eiϕ = 2Ψ hL2 i = hΨ|2Ψi = 2hΨ|Ψi = 2 hLi =
√ 2~
(ki´ırva az atomi m´ert´ekegys´eget)
∂ hLz i = hΨ3p+1 |Lˆz Ψ3p+1 i = hΨ3p+1 | − i Ψ3p+1 i ∂ϕ −i
r ∂ Ψ = 6 − r2 e− 3 sin ϑ eiϕ = Ψ ∂ϕ
hLz i = hΨ|Ψi = 1 hLz i = ~
M 13.27.
0
0
·r2 sin ϑ dr dϑ dϕ = Z∞ Zπ 1 2 2 − 2r =− · 2π r 6r − r e 3 dr sin3 ϑ dϑ = 6561π
0
·r2 sin ϑ dr dϑ dϕ = Zπ Z∞ 1 r4 −r 3 = e dr cos2 ϑ sin ϑ dϑ = · 2π r − 32π 8 0 0 4! 1 1 3! 1 3 π ϑ − cos = · − · = 0 16 14 8 · 15 3 8
0
ˆ = Tˆ + Vˆ = − 1 ∆ − 1 H 2 r
hmi = −
(ki´ırva az atomi m´ert´ekegys´eget) √ βB hLi = − 2βB ~
(βB a Bohr-magneton)
66 hmz i = −
βB hLz i = −βB ~
M 13.28. r 1 a, Ψ2s = √ (2 − r) e− 2 4 2π rcs = 2
b, A f¨ uggv´eny jelent´ese: az elektron r k¨or¨ uli dr vastags´ ag´ u g¨ombh´ejban val´o megtal´al´ as´ anak val´ osz´ın˝ us´ege. r π 2 2 2 2 r (2 − r) e−r Φ(r) = |Ψ(r)| 4πr = 2 Sz´els˝ o´ert´eke a f¨ uggv´enynek ott lehet, ahol az els˝o deriv´altja 0: ∂Φ =0 ∂r
M 13.30. Igen, mivel az integrandus az x ´es az y v´ altoz´ o szerint is p´aratlan f¨ uggv´eny lesz. Integr´ al´ assal: 1 h2px |2py i = h2p+1 + 2p−1 |2p+1 − 2p−1 i = 2i 1 = (h2p+1 |2p+1 i + h2p+1 |2p−1 i− 2i −h2p−1 |2p+1 i − h2p−1 |2p−1 i) = 1 = (1 + 0 − 0 − 1) = 0 2i M 13.31. ˆ = −1∆ − 1 H 2 r E=
ˆ hΦ|HΦi hΦ|Φi Z∞ Zπ Z2π
r
πh 2 −2r2 (2 − r) e−r − r2 (2 − r) e−r + 2 i 2 +2r (2 − r) e−r = 0
e−2αr r2 sin ϑ dr dϑ dϕ = 4π
hΦ|Φi = 0
0
3
ˆ hΨ(x)|HΨ(x)i = Z∞ Zπ Z2π 1 e−αr ∆ e−αr r2 sin ϑ dr dϑ dϕ+ =− 2
(2 − r) −2r2 − r2 (2 − r) + 2r (2 − r) = 0 r (2 − r) r2 − 6r + 4 = 0
0
0
Z∞ Zπ Z2π +
Az egyenlet megold´asai: √ r1 = 0 r2 = 2 r3 = 3 + 3
0
2! (2α)
0
√ r4 = 3 − 3
1 =− 2
M 13.29.
0
0
0
1 e−αr e−αr r2 sin ϑ dr dϑ dϕ = r
Z∞ Zπ Z2π 2 2 α − α r2 e−2αr sin ϑ dr dϑ dϕ+ r 0
0
0
Z∞ Zπ Z2π a, Az ´allapotf¨ uggv´eny az al´abbi saj´atf¨ uggv´eny line´aris kombin´aci´oja:
k´et
re−2αr sin ϑ dr dϑ dϕ =
+ 0
0
0
1 Ψ = √ (Ψ32+1 + Ψ32−1 ) 2
= −2πα2
A fenti egyenl˝os´eg k¨onnyen bel´athat´ o az al´ abbi azonoss´ag alapj´an:
E(α) =
cos mϕ =
eimϕ + e−imϕ 2
b, hlz i = ±~ A k´et ´ert´ek egyar´ant m´erhet˝ o.
1 1 2–2
val´osz´ın˝ us´eggel
2! 3
(2α)
+ 4πα
1! 2
(2α)
2! 1! 2πα2 (2α) 3 − 4π (2α)2 2! 4π (2α) 3
− 4π
=
1! 2
(2α)
1 2 α −α 2
Az energia ott lehet minim´alis, ahol az α szerinti deriv´ altja 0: dE =α−1=0 dα α=1
67 Z1 r3 e−r dr = 6 −
M 13.32. Z1
1 |Ψ1s | 4πr dr = π
P (r < a0 ) = 0
Z1
2
2
0 2 −2r
4πr e
dr =
2 1 r 2r 2 −r2 − − − = dr = 4 e =4 r e 2 4 8 0 0 1 1 1 1 5 1 =4 2 − − − + = 1 − 2 ≈ 0,32 e 2 2 4 4 e 2 −2r
M 13.33.
r r ∂Ψ2s 1 grad Ψ2s = er = − (2 − r) e− 2 − e− 2 er = ∂r 2 r r = − 2 e − 2 er 2
M 13.34. N 2 = hΨ2s |Ψ2s i = Z∞ Zπ Z2π 2 (2 − r) e−r r2 sin ϑ dr dϑ dϕ = = 0 0 Z∞
0
Zπ 2
r2 (2 − r) e−r dr
= 0
Z2π sin ϑ dϑ
0
Z∞ = 4π
dϕ = 0
2 4r − 4r3 + r4 e−r dr =
0
= 4π 4
4! 3! 2! −4 4 + 5 3 1 1 1
= 32π
√ N = 4 2π r 1 Ψ02s = √ (2 − r) e− 2 4 2π A keresett val´ osz´ın˝ us´eg: Z1 P (r < a0 ) = |Ψ2s |2 4πr2 dr = 0
=
=
1 32π 1 8
Z1
Z1 2
4πr2 (2 − r) e−r dr = 0
4r2 − 4r3 + r4 e−r dr
0
T´abl´ azat seg´ıts´eg´evel az al´abbi ´ert´ekekeket kapjuk az integr´ al egyes tagjaira: Z1 5 r2 e−r dr = 2 − e 0
Z1 r4 e−r dr = 24 −
0
Z1
16 e
0
65 e
Ezek alapj´an az integr´ al, azaz a keresett val´ osz´ın˝ us´eg ´ert´eke: 21 ≈ 0, 034 P =1− 8e M 13.35. ˆ =a1 W r2 1 (0) E0 = − 2 (1)
∆E0 a = π a = π
(atomi egys´egekben) (0)
(0)
ˆ Ψ i = hΨ100 |a = hΨ0 |W 0
Z∞ Zπ Z2π e−r 0
0
0
Z∞
1 −r 2 e r sin ϑ dr dϑ dϕ = r2 Z2π
Zπ e
−2r
dr
1 Ψ100 i = r2
sin ϑ dϑ
dϕ =
0 0 0 ∞ 1 −2r a · 4π = 2a − e = π 2 0 a megadott ´ert´ekeit behelyettes´ıtve: (1)
o becsl´es = 0,002 E0 elfogadhat´
(1)
= 2 = −4E0
a = 0,001 ∆E0 a=1
∆E0
(0)
(0)
irre´ alis ´ert´ek
68 III.
1.
´ ¨ EK FUGGEL
N´ eh´ any gyakrabban el˝ ofordul´ o pontcsoport karaktert´ abl´ aja
Cs E σh 1 x, y, Rz x2 , y 2 , z 2 , xy
A0 1
A00 1 −1 z, Rx , Ry
yz, xz
C2 E C 2 A 1
1
x2 , y 2 , z 2 , xy
z, Rz
B 1 −1 x, y, Rx , Ry
yz, xz
D2 E C2 (z) C2 (y) C2 (x) A B1 B2 B3
1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 x2 , y 2 , z 2 −1 z, Rz xy −1 y, Ry xz 1 x, Rx yz
C2v E C2 σv (xz) σv0 (yz) A1 1
1
1
A2 1
1
−1
B1 1 −1 B2 1 −1
1
z
x2 , y 2 , z 2
−1 Rz
xy
1
−1 x,Ry
xz
−1
1 y,Rx
yz
C3v E {C3 , C32 } {σv1 , σv2 , σv3 } A1 1 A2 1 E 2
1 1 −1
1 z x2 + y 2 , z 2 Rz −1 0 (x, y), (Rx , Ry ) (x2 − y 2 , xy), (xz, yz)
69
C4v E {C4 ,C43 } C2 {σv1 ,σv2 } {σd1 ,σd2 } A1 1
1
1
1
1
A2 1
1
1
−1
−1
B1 1
−1
1
1
−1
B2 1
−1
1
−1
1
0 −2
0
E
2
C2h E C2 Ag 1 1 Bg
Au 1
Rz
1 −1 Rx ,Ry
1 −1 −1
Bu 1 −1 −1
Rz x2 − y 2 xy
0 (x, y)(Rx , Ry )
i σh 1 1
1 −1
x2 + y 2 , z 2
z
1
(xz, yz)
x2 ,y 2 ,z 2 ,xy xz,yz
z x,y
D2h E C2 (z) C2 (y) C2 (x)
i σ(xy) σ(xz) σ(yz)
Ag
1
1
1
1
1
1
B1g 1
1
−1
−1
1
1
−1
−1 Rz
xy
B2g 1
−1
1
−1
1
−1
1
−1 Ry
xz
B3g 1
−1
−1
1
1
−1
−1
1 Rx
yz
1
1
1
1 −1
−1
−1
B1u 1
1
−1
−1 −1
−1
1
1 z
B2u 1
−1
1
−1 −1
1
−1
1 y
B3u 1
−1
−1
1 −1
1
1
−1 x
Au
D3h A01 A02 E0 A001 A002 E 00
1
x2 , y 2 , z 2
1
−1
E 2C3 3C2 σh 2S3 3σv 1 1 1 1 1 1 x2 + y 2 , z 2 1 1 −1 1 1 −1 Rz 2 −1 0 2 −1 0 (x, y) (x2 − y 2 , xy) 1 1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 z 2 −1 (xz, yz) 0 −2 1 0 (Rx , Ry )
70
D2d A1 A2 B1 B2 E
D3d A1g A2g Eg A1u A2u Eu
E 2S4 C2 2C20 2σd 1 1 1 1 1 x2 + y 2 , z 2 1 1 1 −1 −1 Rz 1 −1 1 −1 1 x2 − y 2 1 −1 1 −1 1 z xy 2 0 −2 0 0 (x, y), (Rx , Ry ) (xz, yz)
E 2C3 3C2 i 2S6 3σd 1 1 1 1 1 1 x2 + y 2 , z 2 1 1 −1 1 1 −1 Rz 2 −1 0 2 −1 0 (Rx , Ry ) (x2 − y 2 , xy), (xz, yz) 1 1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 z 2 −1 0 −2 1 0 (x, y)
S2 E i Ag 1 1 Rx , Ry , Rz x2 , y 2 , xy, xz, yz Au 1 −1 x, y, z
ϕ C∞h E 2C∞ + A1 ≡ Σ 1 1 1 A 2 ≡ Σ− 1 E1 = Π 2 2cos ϕ E2 ≡ ∆ 2 2cos 2ϕ E3 ≡ Φ 2 2cos 3ϕ ... ... ...
ϕ D∞h E 2C∞ + Σg 1 1 1 1 Σ− g Πg 2 2cos ϕ 2 2cos 2ϕ ∆g ... ... ... Σ+ 1 1 u Σ− 1 1 u Πu 2 2cos ϕ ∆u 2 2cos 2ϕ ... ... ...
. . . ∞σv ... 1 z x2 + y 2 , z 2 Rz . . . −1 ... 0 (x, y), (Rx , Ry ) (xz, yz) 0 ... (x2 − y 2 , xy) ... 0 ... ...
ϕ 2S∞ . . . ∞σv i ... 1 1 1 . . . −1 1 1 0 2 -2cos ϕ ... ... 0 2 2cos 2ϕ ... ... ... ... −1 ... 1 −1 . . . −1 −1 −1 0 −2 2cos ϕ ... ... 0 −2 -2cos 2ϕ ... ... ... ...
. . . ∞C2 ... 1 x2 + y 2 , z 2 Rz . . . −1 (xz, yz) ... 0 (Rx , Ry ) ... (x2 − y 2 , xy) 0 ... ... . . . −1 z ... 1 ... 0 (x, y) 0 ... ... ...
71 2.
A hidrog´ en atom saj´ atf¨ uggv´ enyei 3
3.
Lexikai minimum k´ emiai matematik´ ab´ ol
1. Anal´ızis blokk
3
A) 1s
ψ100 =
√1 e−r π
2s
ψ200 =
√1 (2 4 2π
2p0
ψ210 =
√1 re−r/2 4 2π
2p±1
ψ21±1 =
− r)e−r/2
1 √ re−r/2 8 π
3s
ψ300 =
2 √ (27 81 3π
3p0
ψ310 =
√ 2 √ r(6 81 π
3p±1
3d0
ψ31±1 =
ψ320 =
cos(θ)
sin(θ)e±iφ
− 18r + 2r2 )e−r/3
− r)e−r/3 cos(θ)
1 √ r(6 81 π
− r)e−r/3 sin(θ)e±iφ
1 √ r2 e−r/3 (3 cos2 (θ) 81 6π
3d±1
ψ32±1 =
1 √ r 2 e−r/3 81 π
3d±2
ψ32±2 =
1√ r2 e−r/3 162 π
3
− 1)
sin(θ) cos(θ)e±iφ
sin2 (θ)e±2iφ
Ezekben a k´ epletekben atomi t´ avols´ agegys´ egeket haszn´ alunk: 1 a.u. = 1 bohr = 0.5291772 ˚ A.
Kronecker- delta ordo skal´ arf¨ uggv´eny, vektorf¨ uggv´eny konfigur´ aci´ os t´er dimenzi´o metszet kritikus pont nyeregpont szabads´agi fok deriv´alt differenci´ al-oper´ator kommut´ ator Jacobi determin´ans teljes deriv´alt, teljes differenci´al l´ancszab´ aly gradiens divergencia rot´aci´ o nabla oper´ator Laplace oper´ator sz´els˝ o´ert´ek mell´ekfelt´etel Lagrange-multiplik´ ator Newton-Raphson m´odszer Hess-m´ atrix norm´alkoordin´ata funkcion´ al vari´ aci´ o Euler-Lagrange egyenletek Ritz m´odszer line´ aris vari´ aci´ os feladat ´ıvhossz integr´ al vonalintegr´ al kett˝ os, h´armas, stb. integr´ al szukcessz´ıv integr´ al´ as fel¨ uleti integr´ alok Descartes koordin´at´ ak pol´arkoordin´at´ ak g¨ ombi koordin´at´ ak ferdevonal´ u koordin´at´ ak ´atfed´esi m´atrix forg´asm´ atrix unit´er m´atrix Euler ¨osszef¨ ugg´es trigonometrikus alak, komplex sz´am´e komplex f¨ uggv´eny Cauchy-Riemann egyenletek analitikus f¨ uggv´eny p´ olus Cauchy-f´ele integr´ al formula
72 Taylor-sor Laurent sor residuum oper´ator inverz oper´ator adjung´alt oper´ator ¨onadjung´ alt oper´ator Hermiticit´ as Unit´er oper´ator saj´at´ert´ekprobl´ema spektrum saj´atvektor degener´ aci´ o degener´alt alt´er teljes t´er Euklideszi t´er Hilbert t´er norma skal´ arszorzat f¨ uggv´enyt´er L2 t´er felcser´elhet˝ o oper´atorok diszkr´et spektrum folytonos spektrum line´ aris oper´ator oper´ator sp´ urja bra vektor, ket vektor projetor idempotencia egys´egfelbont´ as spektr´alis felbont´as m´ atrixreprezent´aci´o k¨ oz¨ ons´eges differenci´alegyenlet parci´alis differenci´alegyenlet differenci´alegyenlet rendje homog´en diffegyenlet inhomog´en diffegyenlet line´ aris diffegyenlet kezdeti felt´etel peremfelt´etel partikul´aris megold´as ´altal´ anos megold´as aszimptotika v´altoz´ ok sz´etv´ alaszt´asa integr´ al´ o t´enyez˝o Sommerfeld-f´ele polinomm´odszer Dirac-delta Parci´ alis diffegyenlet szepar´al´asa konvol´ uci´ o Fourier transzform´aci´o Fourier sor f¨ uggv´enysorok ortogonaliz´ aci´ os elj´ar´as ortogon´alis polinomok
Harmonikus g¨ombf¨ uggv´enyek B) (*) centr´ alis t´er n´ıv´ ofel¨ ulet elliptikus, parabolikus, hiperbolikus pont (fel¨ uleten) Maxwell-rel´ aci´ o deriv´ alttenzor Poisson egyenlet egys´egugr´ as (Heavyside) f¨ uggv´eny Stieltjes integr´ al integr´ alt´etelek (Gauss-t´etel, stb.) hengerkoordin´at´ ak elliptikus koordin´at´ ak ´ıvelemn´egyzet metrikus tenzor g¨ orbevonal´ u koordin´at´ ak komplex sz´amg¨ omb szingularit´as n-ed rend˝ u p´olus metrikus t´er norm´alt t´er Banach t´er antihermitikus oper´ator antikommut´ ator norm´aloper´ator Green f¨ uggv´eny Laplace transzform´aci´ o integr´ altranszform´ aci´ o integr´ alegyenlet
2. Csoportelm´elet A) csoport csoport rendje szorz´ asi t´abl´ azat, szorz´asi t´abla Abel csoport konjug´ alt elem konjug´ alt oszt´aly alcsoport szimmetriacsoport pontcsoport szimmetriaoper´ator Cn tengely t¨ ukr¨ oz´es inverzi´ o reprezent´ aci´ o, ´abr´ azol´ as h˝ u reprezent´ aci´ o trivi´alis reprezent´ aci´ o tot´ alszimmetrikus reprezent´ aci´ o karakter reprezent´ aci´ ot kifesz´ıt˝ o vektor reprezent´ aci´ o b´azisvektora reprezent´ aci´ o dimenzi´oja
73 direkt ¨osszeg reduk´al´ as reducibilis reprezent´aci´o irreducibilis reprezent´aci´o, irrep irrep b´azisvektora (kis) ortogonalit´asi t´etel irrep projektora karaktert´ abla antiszimmetria szimmetriakoordin´at´ak rezg´esi m´odusok direktszorzat (m´atrix´e) direktszorzat-reprezent´aci´o elt˝ un˝ o integr´ alok szab´alya B) (*) ciklikus csoport csoportelem rendje transzl´ aci´ os csoport folytonos csoport Schur lemma nagy ortogonalit´asi t´etel
3. A kvantummechanika matematik´aja A) hull´amf¨ uggv´eny, ´allapotf¨ uggv´eny k¨ot¨ ott ´allapot id˝ of¨ uggetlen Scr¨odinger egyenlet koordin´ata oper´ator impulzus oper´ator kvant´ al´ as Heisenberg-f´ele felcser´el´esi t¨orv´eny impulzusmomentum oper´ator energia oper´ator val´ osz´ın˝ us´eg-s˝ ur˝ us´eg elektrons˝ ur˝ us´eg val´ osz´ın˝ us´egi interpret´aci´o id˝ of¨ ugg˝ o Schr¨ odinger egyenlet ´allapotegyenlet stacion´arius ´allapot v´ arhat´ o ´ert´ek Ehrenfest t´etel spinoper´ator Pauli m´atrixok α spin, β spin spinkoordin´ata spinp´alya, t´erbeli p´alya azonos r´eszecsk´ek Pauli elv oper´ator sz´or´ asa Heisenberg-f´ele hat´arozatlans´agi rel´aci´o alag´ ut effektus Heisenberg-f´ele mozg´asegyenlet mozg´as´ alland´ o
a Hamilton oper´ator szimmetriacsoportja irreducibilit´ asi feltev´es vari´ aci´ os t´etel vari´ aci´ os elv perturb´aci´ o
B) (*) korreszpondencia elv infinit´ezim´ alis gener´ator val´ osz´ın˝ us´egi amplit´ ud´ o tiszta ´allapot kevert ´allapot a hull´ amcsomag redukci´ oja a hull´ amcsomag sz´etfoly´ asa
