I. TÉTEL. Alapkérdések. A hősugárzás főbb jellegzetességei és matematikai leírása (a STEFAN- BOLTZMANN és a PLANCK egyenlet)

Hőtan II (hőközlés) kidolgozott tételek

I. TÉTEL Alapkérdések A hősugárzás főbb jellegzetességei és matematikai leírása (a STEFANBOLTZMANN és a PLANCK egyenlet). A testek jellemzése hősugárzás szempontjából (a fekete, szürke és színes test értelmezése). A hallgató válaszában:     

adja meg a hőmérsékleti sugárzás jellemezőit (részletesen); írja fel és értelmezze a Stefan-Boltzmann- egyenletet; rajzolja fel a Planck-függvény grafikonját és adjon hozzá rövid értelmező magyarázatot (görbék menete, hőm. függése, a görbe alatti terület értelmezése); adja meg az összefüggést a S-B és a P egyenlet között; adjon pontos meghatározást a fekete, a szürke és a színes testre, melynek során térjen ki az anyag és a sugárzás közötti lehetséges kölcsönhatásokra.

Források: Hőközlés jegyzet 12.1 fejezet (131-136.old)

Emelt Hőcserélők méretezése a logaritmikus közepes hőmérsékletkülönbség, valamint a BOŠNJAKOVIĆ féle hatásosság felhasználásával. A logaritmikus közepes hőmérsékletkülönbség fizikai (matematikai) értelmezése és meghatározásának módja. A BOŠNJAKOVIĆ féle hatásosság fizikai (matematikai) értelmezése és meghatározásának módja. Források: Hőközlés jegyzet 11.2 fejezet (113-120.old)

-1-


Alapkérdések  A hősugárzás jellemzői:    

mindegyik test bocsát ki elektromágneses sugárzást alacsony hőmérsékleten ez a sugárzás elhanyagolható, nagyobb hőmérsékleten azonban jelentőssé válik a hősugárzás sugarainak hullámhossz tartománya 0,5-100μm műszaki gyakorlatban számítására egyszerűsítést alkalmazunk

 A Stefan-Boltzmann egyenlet: E0e = σ0 T 4 W

σ0 - S-B állandó [m2 K2 ] E0e =

𝑑𝑄̇ 𝑑𝐹

𝑊

– sugárzás felületi energiasűrűsége [𝑚2 ]

Értelmezés: Egy adott hőmérsékletű fekete testnek a teljes spektrumra vonatkoztatott felületi energiasűrűségét határozzuk meg vele.

 Planck függvény grafikonja:

e Iλω,0 – Planck-függvény: A fekete test egységnyi térszögre vonatkozó, tetszőleges irányban kibocsátott sugárzási intenzitása. Függ a hullámhossztól és hőmérséklettől.

-2-


Grafikon magyarázata:  

Görbék maximumhelyeit a Wien-féle eltolódási törvény írja le: 𝜆𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑇 = 2,9 [𝑚𝑚𝐾], vagyis nagyobb hőmérséklethez rövidebb hullámhossz tartozik. Görbék alatti terület a sugárzás felületi energiasűrűségét adja meg

 Kapcsolat a S-B egyenlet és Planck függvény között: ∞

e E0e = ∫ π Iλω,0 dλ = σ0 T 4 0

azaz, a sugárzási intenzitás függvények görbe alatti területe a felületi energiasűrűséget adja.

Planck törvény szerint a fekete test diffúz sugárzó (intenzitás minden irányba azonos), és a kibocsátott energia nagyban függ a test abszolút hőmérsékletétől.

 A testek jellemzése hősugárzás szempontjából (a fekete, szürke és színes test értelmezése): Abszolút fekete test:     

bármely adott hőmérsékleten ez sugároz a legnagyobb mértékben, minden hullámhosszon, és minden irányban a ráeső sugárzást teljes egészében elnyeli a sugárzásának a színképét a Planck- féle eloszlás írja le a sugárzásának irány szerinti eloszlását a Lambert törvény írja le mind az általa visszavert, mind az átengedett sugárzás részaránya nulla

Szürke test:    

a ráeső sugárzásnak azonos részarányát nyeli el minden hullámhosszon az általa és egy fekete test által kisugárzott energia aránya minden hullámhosszon ugyanakkora mind az általa visszavert, mind az átengedett energia részaránya független a hullámhossztól reflexiója diffúz

Színes test:   

a ráeső sugárzásnak eltérő részarányát nyeli el a különböző hullámhosszokon az általa és egy fekete test által kisugárzott energia aránya függ a hullámhossztól az általa visszavert és átengedett energia részaránya is függ a hullámhossztól

-3-


Emelt  Hőcserélők méretezése a logaritmikus közepes hőmérsékletkülönbség, valamint a BOŠNJAKOVIĆ féle hatásosság felhasználásával. Hőcserélők tervezése során a szükséges teljesítményű hőcseréhez tudnunk kell az átadás felületét, a közegek hőmérsékletét és a hőátviteli viszonyokat. A hőátvitelt a következőképpen számoljuk: 𝑄̇ = 𝑘 ∙ 𝐹 ∙ (𝑡𝑓1 − 𝑡𝑓2 ) Ebből indulunk ki, de nem ezt használjuk, mert a hőmérsékletek a felület mentén változnak. A szükséges felületet kétféleképpen is számolhatjuk: Logaritmikus közepes hőmérsékletkülönbség: ̅̅̅ Δ𝑡𝑙𝑜𝑔 =

Δ𝑡0 − Δ𝑡𝐹 Δ𝑡 ln Δ𝑡0 𝐹

A hőáram így: 𝑄̇ = 𝑘 ∙ 𝐹 ∙ ̅̅̅ Δ𝑡𝑙𝑜𝑔 BOŠNJAKOVIĆ féle hatásosság: Φ= A hőátadási felület ekkor Φ −

𝑘𝐹 𝑊̇1

𝑡1′ − 𝑡1′′ 𝑡1′ − 𝑡2′

𝑊 diagram segítségével határozható meg (𝑊̇ = 𝑚̇𝑐 : hőkapacitás áram [ ]) 𝐾

 A logaritmikus közepes hőmérsékletkülönbség fizikai (matematikai) értelmezése és meghatározásának módja. A hőmérséklet exponenciálisan változik a felület mentén a következőféleképpen: Δ𝑡𝐹 = Δ𝑡0 𝑒 −𝛽𝑘𝐹 Ekkor a hőáram egy adott felületi ponton: 𝑑𝑄̇ = 𝑘 ∙ 𝑑𝐹 ∙ Δ𝑡0 𝑒 −𝛽𝑘𝐹 A teljes felületre a hőáram integrálás és rendezés után: 𝑄̇

𝐹

∫ 𝑑𝑄̇ = ∫ 𝑘 ∙ Δ𝑡0 𝑒 −𝛽𝑘𝑓 𝑑𝑓 0

0

↓ Δ𝑡0 − Δ𝑡𝐹 𝑄̇ = ∙𝑘∙𝐹 Δ𝑡 ln Δ𝑡0 𝐹

-4-


 A BOŠNJAKOVIĆ féle hatásosság fizikai (matematikai) értelmezése és meghatározásának módja. Fizikai jelentése: a kisebb hőkapacitás áramú közeg hőmérséklet változásának (𝑡1′ − 𝑡1′′ ) és a közegek belépéskori hőmérséklet különbségének (𝑡1′ − 𝑡2′ ) hányadosa. A Φ hatásosság – hőcserélő típustól és konstrukciótól függően más és más formában – két dimenziótlan 𝑘𝐹

𝑊̇

változónak, a 𝑊̇ és a 𝑊̇1 hányadosnak a függvénye 1

2

A Φ függvény alakjának meghatározása történhet a hőcserélőben áramló közegek hőmérséklet változásait leíró összefüggések felhasználásával, vagy az adott hőcserélőn végzett mérés eredményei alapján.

-5-


II. TÉTEL Alapkérdések A hővezetés főbb jellegzetességei és matematikai leírása (a FOURIER egyenlet). A hőellenállás és kontakt hőellenállás értelmezése. A hőellenállásokkal értelmezett műveletek. A hőátvitel jelensége és a hőátviteli tényező értelmezése. A hallgató válaszában:      

írja le a hővezetés jelenségét, ismertesse a gázokra, folyadékokra és szilárd testekre, ezen belül a fémekre jellemző hővezetési folyamatot; írja fel és részletesen értelmezze a FOURIER egyenletet (minden részét nevesítse), adja meg a negatív előjel értelmezését; adjon meghatározást a hőellenállásra (a konkrét esetre vonatkozó számítási összefüggés hibának számít), adja meg a hőellenállás mértékegységét; mutassa meg a sorba és párhuzamosan, ill. vegyesen kapcsolt hőellenállásokból álló rendszer eredő hőellenállásának meghatározását; ismertesse a hőátvitel (hőátadás–hővezetés–hőátadás) jelenségét (segédábra szükséges!); mutassa meg a kapcsolatot és a hőátvitelt jellemző eredő hőellenállás és a hőátviteli tényező között.

Források: Hőközlés jegyzet 6.1.1. , 6.1.2. , 6.1.4. , 6.1.5. fejezet (5-7.old , 10.old , 12.old)

Emelt Hőcserélőkben végbemenő folyamatok ábrázolása különféle esetekben (egyen- és ellen-áramú, halmazállapot-változással járó és anélküli esetek). A hőcserélőben végbemenő hőátviteli folyamatok differenciális mérlegegyenletei egyen- és ellenáramú hőcserélőkre. A BOŠNJAKOVIĆ féle hatásosság NTU-tól és RC-től való függése egyen- és ellenáramú hőcserélők esetén (elvi megfontolások, a függvények jellegre helyes grafikonjai). Források: Hőközlés jegyzet 11.1.1. , 11.2 fejezet (109-111.old , 113-120.old)

-6-


Alapkérdések  Hővezetés általában és egyes anyagokra: Hővezetés az energia térbeli terjedésének az a formája, amikor a hő a magasabb hőmérsékletű részéből az alacsonyabb felé történő "áramlása" során a közeget alkotó részecskék elmozdulása nem számottevő illetve rendezetlen. (Például az egyik végén melegített rúd másik vége is, felmelegszik, az energia a rúd melegebb végétől hővezetéssel jut a másik végéhez.)   

Gázokban az atomok, molekulák rendezetlen mozgása miatti ütközéseknek (és a diffúzió) következtében terjed az energia. Fémekben a hő két párhuzamos, majdnem független mechanizmus révén terjed, egyrészt a kristály rácsot alkotó atomok rezgése által, másrészt a szabad elektronok diffúziója révén. Nem fémes anyagok és folyadékok esetén az energia terjedése rugalmas elemi hullámok révén valósul meg.

 FOURIER törvénye: FOURIER törvénye szerint egy homogén testben a hőáram a csökkenő hőmérsékletek irányába mutat (negatív), arányos a terjedési irányú, hosszegységenkénti hőmérséklet-változással és az erre az irányra merőleges keresztmetszettel. Ez az összefüggés un. empirikus törvény, azaz megfigyelésen alapul. A törvény matematikailag megfogalmazva: (egydimenziós és általános) 𝑄̇ = −𝜆 ∙ 𝐹 ∙

𝑑𝑡 = −𝜆 ∙ 𝐹 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑡) 𝑑𝑥

𝑄̇ – Hőáram, az 𝐹 [𝑚2 ] felületen időegység alatt átáramló energia [𝑊] 𝜆 – Hővezetési tényező, anyagjellemző [ 𝑑𝑡 𝑑𝑥

𝑊 ] 𝑚𝐾 𝐾

és 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑡) – Hőmérséklet hely szerinti deriváltja, hosszegységenkénti hőmérsékletváltozás [ ] 𝑚

 Hőellenállás meghatározása, kontakt hőellenállás: Egy valamilyen hőterjedést leíró egyenletben a Hőellenállás az arányossági tényező a Hőáram és a hőmérsékletkülönbség közt, ahol a Hőellenállás a Hőáram együtthatója. Például a Fourier egyenlet hőáram számításának síkfalra vonatkozó egyenletét úgy átrendezve, hogy a hőmérsékletek különbsége maradjon a jobboldalon, az eredmény: 𝑄̇ ∙ Δ𝑥 𝜆∙𝐹

Δ𝑥 = Δ𝑡 𝜆∙𝐹 𝐾

= 𝑅ℎ – Hőellenállás (v. Termikus ellenállás) mértékegysége: [𝑊]

A hőátadás alapegyenletében, a Newton-egyenletben a hőellenállás: 𝑄̇ ∙ 1 𝛼𝐹

1 = Δ𝑡 𝛼𝐹

𝐾

= 𝑅𝛼 – hőátadás hőellenállása. [𝑊] -7-


A kontaktus hőellenállása (Rk) abból adódik, hogy a rétegek a felületi érdességük miatt nem érintkeznek tökéletesen egymással, a fellépő rés átlagos (δ) vastagsága és a rést kitöltő anyag (λ) hővezetési tényezője ismeretében értéke megbecsülhető (Rk≈δ/λ), pontosan általában csak laboratóriumi mérésekkel tudjuk meghatározni.

 Hőellenállásokkal értelmezett műveletek: Analógia az Ohm-törvénnyel: 𝑄̇ ∙ 𝑅ℎ = Δ𝑡

𝐼∙𝑅 =𝑈

A hőellenállás fogalmának alkalmazása a hőáram számításában igen hatékony. A különböző, összetett hőterjedési folyamatoknál a sorosan, ill. párhuzamosan kapcsolt ellenállásokra vonatkozó összegző összefüggések felhasználásával írhatjuk fel a szükséges számítási összefüggéseket, határozhatjuk meg a hőáramot. Soros kapcsolás: 𝑅𝑒 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑅 𝑅

Párhuzamos kapcsolás: 𝑅𝑒 = 𝑅 1+𝑅2 1

2

 Hőátvitel: Amikor egy szilárd fal két különböző, (pl. 𝑡𝑓1 > 𝑡𝑓2 ) állandó hőmérsékletű folyadékot választ el, a melegebb közegtől a hidegebb felé hőáram lép fel. A melegebb közeg oldalán a folyadék és a vele érintkező felszín között hőátadás, a falban hővezetés és a hidegebb folyadékkal érintkező felületen ismét hőátadás történik. A hőterjedésnek ezt az együttes folyamatát Hőátvitelnek nevezzük. Matematikailag: 𝑄̇ = 𝑘 𝐹𝑣 (𝑡𝑓1 − 𝑡𝑓2 ) 𝑄̇ – Hőáram, az 𝐹𝑣 [𝑚2 ] vonatkoztatási felületen időegység alatt átáramló energia [𝑊] 𝑊

𝑘 – Hőátviteli tényező [𝑚2 𝐾]

Kapcsolat a hőellenállással: 𝑄̇ (𝑅𝛼1 + 𝑅𝜆 + 𝑅𝛼2 ) = (𝑡𝑓1 − 𝑡𝑓2 ) vagyis az eredő hőellenállás fordítottan arányos a felülettel és a hőátviteli tényezővel: 1 = 𝑘𝐹𝑣 𝑅𝛼1 + 𝑅𝜆 + 𝑅𝛼2 -8-


Emelt  Hőcserélőkben végbemenő folyamatok ábrázolása különféle esetekben (egyen- és ellen-áramú, halmazállapot-változással járó és anélküli esetek). Ha nincs halmazállapot változás:

Halmazállapot változással járó folyamatok: T

T

forrásban lévő víz

forrásban lévő víz

kondenzálódó víz

víz

F

F egyik folyadékban halmazállapot változás

mindkét folyadékban halmazállapot változás

 A hőcserélőben végbemenő hőátviteli folyamatok differenciális mérlegegyenletei egyen- és ellenáramú hőcserélőkre. A hőcserélő hőmérlege az energiamegmaradás értelmében: a felmelegedő közeg által felvett hő egyenlő a csökkenő hőmérsékletű közeg által leadott hővel, azaz 𝑄̇ = 𝑚̇2 𝑐2 (𝑡2𝑘𝑖 − 𝑡2𝑏𝑒 ) = 𝑚̇1 𝑐1 (𝑡1𝑏𝑒 − 𝑡1𝑘𝑖 ) 𝑊

Bevezetve: Δ𝑡 = |𝑡𝑘𝑖 − 𝑡𝑏𝑒 | és 𝑊̇ [ 𝐾 ] = 𝑚̇𝑐 – hőkapacitás áram, ahol az 1-es indexű a kisebb: 𝑄̇ = 𝑊̇1 Δ𝑡1 = 𝑊̇2 Δ𝑡2 Egy elemi dF felület mentén a két közeg közötti hőátvitel hőárama: 𝑑𝑄̇ = 𝑘 ∙ 𝑑𝐹 ∙ (𝑡1 − 𝑡2 )

-9-


Egyenáram esetén: 𝑘 ∙ (𝑡1 − 𝑡2 ) ∙ 𝑑𝐹 = −𝑊̇1 ∙ d𝑡1 𝑘 ∙ (𝑡1 − 𝑡2 ) ∙ 𝑑𝐹 = +𝑊̇ 2 ∙ d𝑡2 Ellenáram esetén: 𝑘 ∙ (𝑡1 − 𝑡2 ) ∙ 𝑑𝐹 = −𝑊̇1 ∙ d𝑡1 𝑘 ∙ (𝑡1 − 𝑡2 ) ∙ 𝑑𝐹 = −𝑊̇ 2 ∙ d𝑡2

 A BOŠNJAKOVIĆ féle hatásosság NTU-tól és RC-től való függése egyen- és ellenáramú hőcserélők esetén (elvi megfontolások, a függvények jellegre helyes grafikonjai). BOŠNJAKOVIĆ féle hatásosság: Φ=

𝑡1′ − 𝑡1′′ 𝑡1′ − 𝑡2′

A Φ hatásosság – hőcserélő típustól és konstrukciótól függően más és más formában – két dimenziótlan 𝑘𝐹

𝑊̇

változónak, a 𝑊̇ és a 𝑊̇1 hányadosnak a függvénye 1

2

A Φ függvény alakjának meghatározása történhet a hőcserélőben áramló közegek hőmérséklet változásait leíró összefüggések felhasználásával, vagy az adott hőcserélőn végzett mérés eredményei alapján (további elvi megfontolások a jegyzet 117.old utolsó bekezdésétől). NTU – átviteli hányados: 𝑁𝑇𝑈 =

𝑘𝐹 𝑊̇1

RC – hőkapacitásáram arány: 𝑅𝑐 =

𝑊̇1 𝑊̇ 2

Grafikonok:

- 10 -


III. TÉTEL Alapkérdések A hőátadás főbb jellegzetességei és matematikai leírása (a NEWTON és a NUSSELT egyenlet). A hőátadás NUSSELT féle alapegyenletének értelmezése és fizikai tartalma. A hallgató válaszában:     

írja le a hőátadás, mint komplex hőterjedési folyamat jelenségét; ismertesse a határréteg fogalmát (termikus és hidraulikus) és a hőátadásban betöltött jelentőségét; jellemezze le a termikus és a hidraulikus határréteg, valamint a hőátadási tényező közötti kapcsolatot; írja fel és részletesen értelmezze a Newton és Nusselt egyenleteket (minden részét nevesítse), adja meg a Nusselt egyenlet fizikai értelmezését.

Források: Hőközlés jegyzet 6.1.1. , 6.1.3. , 10.2.1. fejezet (5.old , 8.old , 87-89.old)

Emelt A hővezetés általános differenciálegyenletének (HVÁDE) származtatása, az egyenlet fizikai tartalma, kapcsolata a termodinamika főtételeivel. A HVÁDE megoldásának lehetőségei: az alapmegoldások. Az alapmegoldás fogalma, típusai. A hibafüggvény, mint alapmegoldás: alkalmazhatóság. Források: Hőközlés jegyzet 8.1 fejezet (54-59.old)

- 11 -


Alapkérdések  Hőátadás jelensége: Az áramló folyadékok (gázok) és a határoló felületeik közötti hőterjedést hőátadásnak nevezzük. Ez a mechanizmus nem a hőterjedés külön formája, hanem hővezetés, hőszállítás (konvekció) és – a feltételektől függően – a hősugárzás együttes megvalósulása melletti jelenség. A hőátadást tehát alapvetően az energia különböző halmazállapotú közegek határán keresztüli terjedése jellemzi és egy bonyolult és összetett folyamat. A leggyakrabban egy szilárd felszín és valamely áramló gáz vagy folyadék közötti hőátadás történik, de a gázáram és folyadék felszín közötti hőátadás is gyakori folyamat. (Ez utóbbi esetben általában anyagátadás is történik.)

 Termikus és Hidraulikus határréteg, jelentősége: Az áramlások döntő hányada ún. határréteg áramlás. A felülettel közvetlenül érintkező közegrészecskék sebessége zérus. Azt a felszínre merőleges távolságot, ahol a sebesség eléri a zavartalan áramlás értékének egy meghatározott %-át, (pl. 99%-át) a határréteg vastagságának (δx) nevezzük. Ez a határréteg, amiben a sebesség változik a Hidraulikus határréteg.

A felülettel közvetlenül érintkező közegrészecskék hőmérséklete a fal hőmérsékletével azonos. Hasonlóan a hidraulikai határréteghez a hőmérséklet is egy adott távolságon belül éri el a zavartalan áramlás hőmérsékletét, ez a Termikus határréteg.

 Newton egyenlet: a hőátadás alapegyenlete: Egy szilárd test által leadott hő arányos a felülettel, a hőmérséklet-különbséggel és az idővel. Az arányossági tényezőt hőátadási tényezőnek hívjuk: 𝑄 = 𝛼 ∙ 𝐹 ∙ (𝑡𝑤 − 𝑡𝑓𝑜𝑙𝑦 ) ∙ 𝜏 𝑄 – hő [J]

𝐹 – felület [m2]

𝜏 – idő [s]

𝑊

𝛼 – hőátadási tényező [𝑚2 𝐾]

- 12 -


 Nusselt egyenlet: a termikus határréteg és a hőátadási tényező kapcsolata: A tw hőmérsékletű felületről a t∞ hőmérsékletű közeg felé az energia terjedése az (x) helyen, a δx vastagságú rétegben hővezetéssel történik. Az energiamegmaradás miatt az egységnyi felületen átadott hő megegyezik a határrétegben vezetett hővel. A hőátadás alapegyenlete, és a FOURIER törvény δx rétegre felírt egyenlete alapján következik: 𝛼𝑥 (𝑡𝑤 − 𝑡∞ ) = 𝜆𝑓

(𝑡𝑤 − 𝑡∞ ) 𝛿𝑥

Általánosan – valamennyi határréteges áramlásra – differenciális alakban: 𝛼 (𝑡𝑤 − 𝑡∞ ) = −𝜆𝑓 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑡)|𝑤

- 13 -


Emelt  A hővezetés általános differenciálegyenletének (HVÁDE) származtatása, az egyenlet fizikai tartalma, kapcsolata a termodinamika főtételeivel. SZÁRMAZTATÁS: A vizsgált tartomány kicsiny – dV – térfogat elemében (=cella) termodinamikai egyensúly van, a képzeletbeli cella válaszfalak a termikus kölcsönhatás számára átjárhatóak, a cellabeli állapotjelzők között az állapotegyenlet érvényes, és 𝑑𝐻 = 𝜌 ∙ 𝑐𝑝 ∙ 𝑑𝑡 Az energia megmaradás tétele érvényes, azaz a cellába be- és kilépő energia különbsége és a cellában felszabaduló energia teljesen a cella entalpiájának megváltozására fordítódik 𝑑𝑡

FIZIKAI TARTALOM: Az elemi dV térfogat energiamérlege: entalpia megváltozás (𝜌𝑐𝑝 𝑑𝜏) = keletkező energia (𝑞̇ 𝑉 ) - (ki - bemenő energiaáram) (−𝜆∇2 𝑡) KAPCSOLAT: Az elemi cellában a hőtan 0. és 1.főtételét használjuk, azaz a termodinamikai egyensúly és az energiamegmaradás törvényét. 𝑑𝑡

𝜌 𝑐𝑝 𝑑𝜏 = 𝑞̇ 𝑉 + 𝜆 ∇2 𝑡

EGYENLET:

 A HVÁDE megoldásának lehetőségei: az alapmegoldások. Az alapmegoldás fogalma, típusai. HVÁDE egydimenziós általános alak (ahol n=0 a síkfalak, n=1 hengerek és n=2 gömbök): 𝜕𝑡 𝜕 2 𝑡 𝑛 𝜕𝑡 = 𝑎( 2 + ) 𝜕𝜏 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 A 𝑡(𝑟, 𝜏) megoldást két függvény szorzataként feltételezzük, ahol az egyik csak a helytől, míg a másik csak az időtől függ: 𝑡(𝑟, 𝜏) = Φ(𝜏) ∙ Ψ(𝑟), amiket visszahelyettesítve az egyenletbe egy ±𝛽 2 szeparációs állandóval egyeznek meg. Az időfüggő tag megoldása: Φ = C0 ∙ 𝑒 −𝛽

2 𝑎𝜏

A helyfüggő tag megoldása függ a geometriától, a 𝐽0 és 𝑌0 az első és másod fajú, nullad rendű BESSEL függvényektől. HVÁDE általános megoldását így írhatjuk: 𝑡(𝑟, 𝜏) = C0 ∙ 𝑒 −𝛽

2 𝑎𝜏

- 14 -

∙ Ψ(𝛽 ∙ 𝑟)


 A hibafüggvény, mint alapmegoldás: alkalmazhatóság. A FOURIER egyenletnek n=0 esetében, a dimenziók vizsgálata alapján feltételezhetjük, hogy létezik az x és τ 𝑥 változókból képzett 𝜉 = 2 𝑎∙𝜏 dimenziótlan változótól függő megoldása, azaz: √

𝑡(𝑥, 𝜏) = Θ(𝜉) Visszahelyettesítve a HVÁDE-be közönséges differenciálegyenletet kapunk: Θ′′ + 2 ∙ 𝜉 ∙ Θ′ = 0 melynek általános megoldása kifejezhető a GAUSS hiba integrállal, amit röviden hibafüggvénynek nevezünk és erf(z) a használatos jelölése, a definíciója pedig: erf 𝑧 =

2 √𝜋

𝑧

2

∙ ∫ 𝑒 −𝜉 𝑑𝜉 0

Alkalmazás: végtelen rövid idő alatt bekövetkező, véges hőfelszabadulás hatására fellépő hőmérsékleteloszlások meghatározására használhatunk fel.

- 15 -


IV. TÉTEL Alapkérdések Bordák és rudak hővezetése. A borda fogalma. A borda hőmérsékleteloszlását leíró differenciál-egyenlet származtatása: az elemi bordaszakasz differenciális hőmérlege. A bordahatásfok. A borda hatásfokának függése a borda egyes jellemzőitől: hossz, anyagminőség, keresztmetszet. A hallgató válaszában:    

adjon meghatározást a bordára (keresztmetszetéhez képest hosszú rúd, mely jellemezhető a hossz szerinti hőm. eloszlással); írja fel a FOURIER- és a differenciális NEWTON- egyenlet felhasználásával egy elemi (dx) bordaszakasz hőmérlegét, a válasz tartalmazzon szóbeli magyarázatot; adjon meghatározást (nem számítási összefüggést!) a bordahatásfokra; szöveges magyarázattal kiegészített ábrákkal mutassa meg a borda hatásfokának függését a megadott mennyiségek közül legalább kettőre.

Források: Hőközlés jegyzet 6.1.5. , 6.1.6. fejezet (14.old , 20.old , 23.old) Hőközlés segédlet 11. fejezet

Emelt A forrás jelensége. A forrás NUKIYAMA féle jelleggörbéje és forrás egyes szakaszai, azok jellemzői. A buborékképződés mechanizmusa. A forrás intenzitását meghatározó jellemzők. Források: Hőközlés jegyzet 10.6.1. fejezet (105-106.old)

- 16 -


Alapkérdések  Borda fogalma: Hőátadó felületek bordázattal való megnövelése egy gyakran alkalmazott módja egy falfelület és a vele érintkező közeg közötti hőáram fokozásának. Bordázaton a falfelületből a felület melletti közegbe kinyúló (keresztmetszetéhez képest hosszú), általában a fallal megegyező anyagú, magával a fallal hővezetéses kapcsolatban álló elemeket értünk.

 Borda hatásfok: Az anyagok véges hővezető képessége miatt a bordázott felület hőárama nem a felület növekedésének arányában növekszik, mert a bordák átlagos felületi hőmérsékletének eltérése a körülöttük lévő közeg hőmérsékletétől kisebb, mint a bordázatlan felület esetében. A bordahatásfok, a borda tényleges hőáramának és az állandó (tw) hőmérsékletű, azaz végtelen hővezetési tényezőjű borda azonos feltételek melletti hőáramának hányadosa, azaz: 𝜂𝑏 =

𝑄̇𝑏 𝑄̇𝑏,∞

 Borda hatásfokának függése hossztól, anyagminőségtől, keresztmetszettől: A hatásfok lemezbordára: 𝜂𝑏 = 𝛼𝑈

tanh 𝑚𝐻 𝑚𝐻

1

𝑚 = √ 𝜆𝐴 – Bordaparaméter, [𝑚] 𝑈 – borda keresztmetszetének kerülete [𝑚] 𝐴 – borda keresztmetszete [𝑚] 𝐻 – borda hossza [𝑚] A hatásfok 𝛼, 𝑈, 𝐻 függvényében csökken, 𝜆, 𝐴 függvényében nő.

- 17 -


 Borda differenciálegyenlete: Elemi bordaszakasz hőmérlege:

Fourier-egyenlet az 𝐴 felületen hővezetéssel áthaladt hőre: 𝑄̇ = −𝜆 𝐴(𝑥)

𝑑𝑡 𝑑𝑥

Newton-egyenlet az elemi szakasz palástján átadott hőre: 𝑄𝑝̇ = 𝛼 𝑈(𝑥) 𝑑𝑥 [𝑡(𝑥) − 𝑡∞ ] Az energia megmaradását alkalmazva a rúdból kivágott szeletre, írhatjuk, hogy a vezetéssel belépő és távozó hőáram különbsége a paláston leadott hőárammal egyezik meg: 𝑄̇ − (𝑄̇ + 𝑑𝑄̇ ) = 𝑄̇𝑝 Behelyettesítve a Newton-egyenletet: −𝑑𝑄̇ = 𝛼 𝑈(𝑥) 𝑑𝑥 [𝑡(𝑥) − 𝑡∞ ] Behelyettesítve a Fourier-egyenletet és dx-el osztva: 𝑑 𝑑𝑡 (𝜆 𝐴(𝑥) ) = 𝛼 𝑈(𝑥) [𝑡(𝑥) − 𝑡∞ ] 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Ha a borda keresztmetszete állandó, akkor 𝐴(𝑥) = 𝐴 állandó helyettesítéssel, és 𝑡(𝑥) − 𝑡∞ = Δ𝑡(𝑥) helyettesítéssel a következő alakra hozható a diffegyenlet: 𝜆𝐴 Bevezetve az 𝑚2 =

𝛼𝑈 𝜆𝐴

𝑑2 Δ𝑡(𝑥) = 𝛼 𝑈 Δ𝑡(𝑥) 𝑑𝑥 2

bordaparamétert, a borda differenciálegyenlete: 𝑑2 Δ𝑡(𝑥) = 𝑚2 Δ𝑡(𝑥) 𝑑𝑥 2

- 18 -


Emelt  A forrás jelensége. A forrás NUKIYAMA féle jelleggörbéje és forrás egyes szakaszai, azok jellemzői. JELENSÉG: A forralás során, a folyadék-gőz fázisátalakulás a folyadék felszín alatt következik be, és a keletkező gőz buborékok formájában áramlik át a folyadékon. A fűtőfelület (tw) hőmérsékletéről egy vékony (néhány mm-es) rétegben csökken a hőmérséklet a telítési hőmérsékletet (ts) megközelítő értékig. FORRÁS SZAKASZAI: először a felülettel érintkező folyadékot a fűtőfelülettől átvett energia túlhevíti, majd a túlhevített folyadékból a fázisátalakulással a hő gyakorlatilag ellenállás nélkül jut a gőzbuborékba. JELLEMZŐI: A fűtőfelületről a gőz fázis felé a közvetlen hőterjedés elhanyagolható, így a forrásos hőátadás mértékét a fűtőfelület és a túlhevített folyadékréteg közötti hőellenállás határozza meg. NUKIYAMA féle jelleggörbe:

 A buborékképződés mechanizmusa. A forrás intenzitását meghatározó jellemzők. MECHANIZMUS: A forralásnál tapasztalt intenzív hőátadást a fűtőfelületen keletkező majd leszakadó és újra keletkező gőzbuborékok által a fűtőfelülettel érintkező folyadékrétegben gerjesztett gyors oszcilláló áramlások okozzák. A forrásnak ezt az állapotát buborékos forrásnak nevezzük. A gőzbuborékok keletkezésének, leszakadásának körülményei — az előbbiek szerint — a hőátadás mértékére jelentős hatással vannak. INTENZITÁS MEGHATÁROZÓI: A jelenség részletezése nélkül, a felületi feszültség és a felület nedvesítésének szerepe alapvető a folyamatban. A keletkező buborékok számát és méretét továbbá meghatározza a fűtőfelületen fellépő hőáramsűrűség (hőterhelés) is. A hőáram, a hőátadási tényező és a hőmérséklet-különbség közötti kapcsolatot ábrázolja a NUKIYAMA féle jelleggörbe. Δ𝑡𝑘𝑟𝑖𝑡 alatt van buborékos forrás, a felett filmforrásról beszélünk. Ekkor a gőzbuborékok összefüggő gőzpárnává (filmmé) állnak össze a fűtő felületen. Ebben az állapotban a fűtőfelülettel megszűnik a folyadék közvetlen érintkezése és nagyságrendekkel nő a hőellenállás

- 19 -


V.TÉTEL Alapkérdések A hőtani (fizikai) jelenségek hasonlóságának feltételei. A hasonlósági szám (kritérium) fogalma. A hasonlóság alkalmazása az időben változó hővezetési feladatok megoldása során. A FOURIER- és a BIOT féle hasonlósági kritérium származtatása és fizikai tartalma. A hallgató válaszában: –

adja meg hasonlóság négy feltételét;

–

adjon meghatározást a hasonlósági számra (az egyenlet dimenziótlanítása során nyert dimenziótlan mennyiségcsoport, a hasonlóság egyik feltétele ezek azonossága)

–

adja meg a FOURIER szám forrását (HVÁDE), kiszámításának módját (összefüggés), fizikai tartalmát (időbeli hasonlóság, dimenziótlan idő, a tárolt és a vezetéses hő aránya)

–

adja meg a BIOT szám forrását (III. fajú peremfeltétel egyenlet), kiszámításának módját (összefüggés), fizikai tartalmát (peremfeltételek hasonlósága, konvektív és konduktív hőtranszport viszonya)

Források: Hőközlés jegyzet 8.3. fejezet (59-61.old)

Emelt A kondenzáció jelensége. A kondenzáció NUSSELT féle leírása (lamináris filmkondenzáció). A kondenzátum film mozgását alakító erők. A lokális és az átlagos hőátadási tényező meghatározásának módja. A kondenzátum film differenciális mérlegegyenletei. Források: Hőközlés jegyzet 10.6.2 fejezet (107-108.old)

- 20 -


Alapkérdések  Hasonlóság négy feltétele:    

leíró differenciálegyenletek dimenziótlan alakja azonos kezdeti feltételek dimenziótlan alakja azonos peremfeltételek dimenziótlan alakja azonos geometriai körülmények hasonlóak, egyszerű geometriai transzformációval azonossá tehetőek

 Hasonlósági szám definíciója: Az egyenlet dimenziótlanítása során nyert dimenziótlan mennyiségcsoport, a hasonlóság egyik feltétele ezek azonossága.

 Fourier szám: Bevezetve a következő dimenziótlan változókat: 𝑥

𝜉=𝐿

𝜗=

𝑡(𝑥,𝜏)−𝑡∞ 𝑡0 −𝑡∞

Behelyettesítve a hővezetés általános differenciálegyenletébe: 𝜕𝑡 𝜕 2 𝑡 𝑛 𝜕𝑡 = 𝑎( 2 + ) 𝜕𝜏 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 ↓ (𝑡0 − 𝑡∞ ) 𝜕 2 𝜗 𝑛 𝜕𝜗 𝜕𝜗 (𝑡0 − 𝑡∞ ) =𝑎 ( 2+ ) 𝜕𝜏 𝐿2 𝜕𝜉 𝜉 𝜕𝜉 Átrendezve: 𝜕𝜗 𝜕 2 𝜗 𝑛 𝜕𝜗 = 2+ 𝑎 𝜕𝜏 𝜕𝜉 𝜉 𝜕𝜉 𝐿2 Bevezetve a

𝑎 𝜕𝜏 𝐿2

= 𝜕𝐹𝑜 Fourier számot: 𝜕𝜗 𝜕 2 𝜗 𝑛 𝜕𝜗 = 2+ 𝜕𝐹𝑜 𝜕𝜉 𝜉 𝜕𝜉

A bevezetett dimenziótlan Fourier szám a hővezetés általános differenciálegyenletének hasonlósági száma. A Fourier szám a hőmérséklet-eloszlások időbeli hasonlóságának kritériuma, vagyis dimenziótlan idő. A tárolt és a vezetéses hő arányát adja meg. Tehát ha különböző anyagok Fourier száma megegyezik, akkor a differenciálegyenleteik dimenziótlan megoldása azonos.

- 21 -


 Biot szám: A harmadfajú peremfeltétel dimenziótlan változókkal felírva: 𝑑𝑡 | = 𝛼(𝑡𝑤 − 𝑡𝑓𝑜𝑙𝑦 ) 𝑑𝑛 𝑤 ↓ 1 (𝑡0 − 𝑡∞ ) 𝛿𝜗 𝜆 | = 𝛼(𝑡0 − 𝑡∞ ) 𝜗𝑤 𝐿 𝛿𝜉 𝑤 −𝜆

Átrendezve: 1 𝛿𝜗 𝛼∙𝐿 = 𝐵𝑖 | = 𝜗𝑤 𝛿𝜉 𝑤 𝜆 Az egyenlet jobb oldalán álló dimenziótlan mennyiséget Biot számnak nevezzük. Ez a harmadfajú peremfeltétel hasonlósági kritériuma. A konvektív (áramlásos) és konduktív (vezetéses) hőtranszport viszonya. Tehát ha két anyagra a Biot szám megegyezik, akkor dimenziótlan hőmérséklet aránya a dimenziótlan hőmérséklet-differenciálhányadoshoz azonos.

- 22 -


Emelt  A kondenzáció jelensége. A kondenzáció NUSSELT féle leírása (lamináris filmkondenzáció). JELENSÉG: Abban az esetben, amikor egy szilárd felület hőmérséklete alacsonyabb, mint a vele érintkező gőz telítési hőmérséklete, a gőz kicsapódik a felületre, azaz kondenzáció történik. A keletkező folyadék (annak függvényében, hogy a kondenzátum nedvesíti-e a felületet) cseppek vagy összefüggő hártya formájában, a nehézségi erő hatására a felületen csorog végig. A gyakorlati esetek döntő többségében az utóbbi formájú un. filmkondenzáció történik. NUSSELT féle leírás: A kondenzálódó gőzt a szilárd felülettől a felület mentén áramló kondenzátum elválasztja, és a kondenzáció a folyadék film felszínén történik, a felszabaduló energia (párolgáshőnek megfelelő mennyiség) pedig a folyadékrétegen keresztül, annak hőellenállásán át jut a szilárd felülethez. Az energiamegmaradás miatt az egységnyi felületen átadott hő megegyezik a határrétegben vezetett hővel. A hőátadás alapegyenlete, és a FOURIER törvény δx rétegre felírt egyenlete alapján Nusselt egyenlet: 𝛼𝑥 (𝑡𝑤 − 𝑡∞ ) = 𝜆𝑓

(𝑡𝑤 − 𝑡∞ ) 𝛿𝑥

 A kondenzátum film mozgását alakító erők. A lokális és az átlagos hőátadási tényező meghatározásának módja. A kondenzátum film differenciális mérlegegyenletei. ERŐK: Egy adott (y) magasságban a folyadék film (δy) vastagságát és a film áramlási viszonyait meghatározza az adott (H) szakaszon kondenzálódott folyadék mennyisége, a nehézségi erő és a folyadék rétegben fellépő viszkózus erők aránya. HŐÁTADÁSI TÉNYEZŐ: a folyadék hővezetési tényezője mellett a folyadékfilm áramlási feltételei által befolyásolt, δy vastagságtól függ. A filmben áramló kondenzátum mennyiségét a (H) magasság és a Δt=ts – tw hőmérséklet-különbség együttesen határozza meg. Abban az esetben, ha a gőz-folyadék felszínen a súrlódást elhanyagolhatjuk, és a folyadékfilm lamináris, alkalmazható NUSSELT által az átlagos hőátadási tényező meghatározására levezetett összefüggés, ami függ a magasságtól (𝐻), telítési és felületi hőmérséklettől (𝑡𝑠 , 𝑡𝑤 ), viszkozitástól (𝜇), hővezetési tényezőtől (𝜆), sűrűségtől (𝜌) és párolgáshőtől (𝑟). MÉRLEGEGYENLETEK: A FOURIER törvény (6.2) alapján a λf hővezetési tényezőjű, δy vastagságú rétegen keresztül a szilárd felület felé a hőáramsűrűség: 𝑞̇ 𝑦 =

𝜆𝑓 (𝑡 − 𝑡𝑤 ) 𝛿𝑦 𝑠

A hőáramsűrűséget felírhatjuk az (1.4) hőátadás alapegyenlete alapján is: 𝑞̇ 𝑦 = 𝛼(𝑡𝑠 − 𝑡𝑤 )

- 23 -


VI.TÉTEL Alapkérdések A természetes és a kényszerített áramlás összehasonlító bemutatása. A természetes és kényszerített áramlás megkülönböztetésének módja, az áramlásokat alakító erők alapján. Az áramlásokat jellemző hasonlósági számok értelmezése, szerepük a hőátadási tényező meghatározásában. A természetes és kényszerített áramlás módozatai és ezek hatása a hőátadás intenzitására. A hallgató válaszában: –

adja meg a kétfajta áramlás jellegzetességeit és megkülönböztetésük módját;

–

mutassa be, hogy mely áramlások esetén mely erők dominálnak;

–

definiálja a természetes és a kényszerített áramláshoz kapcsolódó hasonlósági számokat és azok fizikai tartalmát;

–

jellemezze a természetes (határolt/határolatlan térben történő), valamint a kényszerített (csatornában, test mellett, ill. test körül végbemenő) áramlásokat;

–

röviden utaljon a határréteg szerepére (különös tekintettel a természetes áramlásra);

–

mutassa be, hogy a geometriai és hőmérsékleti körülmények hogyan befolyásolják a hőátadás intenzitását (a hőátadási tényező nagyságát).

Források: Hőközlés jegyzet 10.1 , 10.2 , 10.3. , 10.4. , 10.5. fejezetek (85-104.old)

Emelt Az egyenáramú hőcserélő differenciális mérlegegyenletei. A közegek hőmérsékletváltozását leíró differenciálegyenlet levezetése. A logaritmikus közepes hőmérsékletkülönbségre vonatkozó egyenlet levezetése. Források: Hőközlés jegyzet 11.1.1. , 11.2.1 fejezetek (109-111.old , 113-114.old)

- 24 -


Alapkérdések  Természetes áramlás: OK: hőmérséklet-különbség -> sűrűségváltozás -> felhajtóerő -> áramlás PÉLDA: radiátor által felmelegített levegő felfelé áramlása ERŐK: felhajtó és súrlódó erő Határréteg jellegű áramlás JELLEMZŐK:  

határolatlan térben történő áramlás: határfelületek nem befolyásolják a határréteget (síklap egy szobában) határolt térben történő áramlás: határfelületek befolyásolják a határréteget (cső)

MÉRTÉKADÓ:  

jellemző méret: pl függőleges lapnál magasság, vízszintes csőnél átmárő mértékadó hőmérséklet: szilárd felszín és zavartalan hőmérséklet átlaga

 Kényszerített áramlás: OK: külső mechanikai hatás PÉLDA: hajszárító ventilátor által a fűtőszálon átfújt levegő ERŐK: térerő, nyomóerő, súrlódási erő, tehetetlenségi erő Kontinuitás, Navier-Stokes és HVÁDE-ből számítható sebesség és hőmérséklet eloszlás JELLEMZŐK:    

test mellett történő áramlás (pl hosszú síklapra fújunk -> határréteg) test körüli áramlás (pl hengerre fújunk) csatornában történő áramlás lamináris, vagy turbulens (Re > 2300)

MÉRTÉKADÓ:   

jellemző méret: áramlási hossz vagy áramlásra merőleges méret mértékadó hőmérséklet: zavartalan áramlás hőmérséklete, csőnél az átlag mértékadó sebesség: zavartalan áramlás sebessége

- 25 -


 Hasonlósági számok: Különböző áramlások hasonlóak egymással, ha a hasonlósági számaik megegyeznek. 

Nusselt szám: Nusselt egyenletből vezethető le, hőátadás hasonlóságát fejezi ki 𝑁𝑢 =



Reynolds szám: Navier-Stokes egyenletből vezethető le, tehetetlenségi és súrlódó erők viszonyát fejezi ki 𝑅𝑒 =



𝑤𝑘 𝐿 𝜈

Peclet [piklé] szám: HVÁDE-ből vezethető le, hőmérséklet eloszlások hasonlóságát fejezi ki 𝑃𝑒 =



𝑤𝑘 𝐿 𝑎

Prandtl szám: Navier-Stokes egyenletből vezethető le elhanyagolásokkal, hő és impulzus transzport hasonlóságát fejezi ki (Pe és Re hányadosa, anyagjellemző) 𝑃𝑟 =



𝛼𝐿 𝜆𝑓

𝜈 𝑎

Grashoff szám: Navier-Stokes egyenletből vezethető le természetes áramlásoknál, viszkózus és felhajtó erők viszonyát fejezi ki (𝛽: térfogati hőtágulási együttható 1/K) 𝑔 𝛽 Δ𝑡 𝐿3 𝐺𝑟 = 𝜈2

Természetes áramlásnál a Nusselt szám függ a Prandtl számtól és a Grashoff számtól 𝑁𝑢(𝐺𝑟, Pr) Kényszerített áramlásnál a Nusselt szám függ a Reynolds és Prandtl számtól valamint korrekciós tényezőtől 𝑁𝑢𝑘 (𝑅𝑒, 𝑃𝑟, 𝑘)

 Hőátadás intenzitását befolyásoló tényezők: A hőátadás intenzitása a hőátadási tényezőtől függ. Nusselt egyenlet alapján: 𝛼𝑥 (𝑡𝑤 − 𝑡∞ ) = 𝜆𝑓

(𝑡𝑤 − 𝑡∞ ) 𝛿𝑥

tehát a hőátadási tényező függ a határréteg vastagságától és a folyadék hővezetési tényezőjétől. Befolyásoló tényezők továbbá a hőmérséklet és a geometria. Newton egyenlet alapján: 𝑄 = 𝛼 ∙ 𝐹 ∙ (𝑡𝑤 − 𝑡𝑓𝑜𝑙𝑦 ) ∙ 𝜏 𝛼=

𝑄̇ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑡 − 𝑡 ) ∙ 𝐹 𝑤

𝑓

ezzel egy adott időtartamra és felületre vonatkozó átlagos értéket kapunk, hiszen a hőmérséklet-különbség hely és idő szerint változhat.

- 26 -


Emelt  Az egyenáramú hőcserélő differenciális mérlegegyenletei. A közegek hőmérsékletváltozását leíró differenciálegyenlet levezetése. A hőcserélő hőmérlege az energiamegmaradás értelmében: a felmelegedő közeg által felvett hő egyenlő a 𝑊 csökkenő hőmérsékletű közeg által leadott hővel. Bevezetve: Δ𝑡 = |𝑡𝑘𝑖 − 𝑡𝑏𝑒 | és 𝑊̇ [ ] = 𝑚̇𝑐 – 𝐾

hőkapacitás áram, ahol az 1-es indexű a kisebb: 𝑄̇ = 𝑊̇1 Δ𝑡1 = 𝑊̇2 Δ𝑡2 Egy elemi 𝑑𝐹 felület mentén a két közeg közötti hőátvitel hőárama: 𝑑𝑄̇ = 𝑘 ∙ 𝑑𝐹 ∙ (𝑡1 − 𝑡2 ) Egyenáram esetén: 𝑘 ∙ (𝑡1 − 𝑡2 ) ∙ 𝑑𝐹 = −𝑊̇ 1 ∙ d𝑡1 𝑘 ∙ (𝑡1 − 𝑡2 ) ∙ 𝑑𝐹 = +𝑊̇ 2 ∙ d𝑡2 1

1

bevezetve: 𝛽 = (𝑊̇ + 𝑊̇ ) 1

2

bevezetve még: Δ𝑡 = (𝑡1 − 𝑡2 ) a fenti egyenleteket rendezve a következő egyenletet kapjuk: 𝑑Δ𝑡 Δ𝑡 ↓ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟á𝑙𝑣𝑎

−𝛽 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑𝐹 = 𝐹

Δ𝑡𝐹

− ∫ 𝛽 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑𝑓 = ∫ 0

Δ𝑡0

𝑑Δ𝑡 Δ𝑡

Δ𝑡𝐹 = Δ𝑡0 ∙ 𝑒 −𝛽𝑘𝐹 ahol egyenáramra Δ𝑡0 = (𝑡1𝑏𝑒 − 𝑡2𝑏𝑒 ). Visszahelyettesítve a mérlegegyenletekbe és integrálva kapjuk az egyes közegek hőmérsékletváltozását az F felület függvényében (111.old (11.10))

 A logaritmikus közepes hőmérsékletkülönbségre vonatkozó egyenlet levezetése. A hőátvitel hőáramának összefüggésében a hőmérséklet különbség helyére a Δ𝑡𝐹 –et helyettesítve: 𝑑𝑄̇ = 𝑘 ∙ 𝑑𝐹 ∙ Δ𝑡0 𝑒 −𝛽𝑘𝐹 A teljes felületre a hőáram integrálás és rendezés után (114.old): 𝑄̇

𝐹

∫ 𝑑𝑄̇ = ∫ 𝑘 ∙ Δ𝑡0 𝑒 −𝛽𝑘𝑓 𝑑𝑓 0

0

↓ Δ𝑡0 − Δ𝑡𝐹 𝑄̇ = ∙𝑘∙𝐹 Δ𝑡0 ln Δ𝑡 𝐹 ̅̅̅𝑙𝑜𝑔 = ahol az első tag a logaritmikus hőmérsékletkülönbség: Δ𝑡

- 27 -

Δ𝑡0 −Δ𝑡𝐹 Δ𝑡0 Δ𝑡𝐹

ln


VII.TÉTEL Alapkérdések Részletesen (vázlat, egyenlet és szöveges magyarázat) mutasson be legalább három, a hővezetés általános differenciálegyenletének megoldásához alkalmazható peremfeltételt! Mely egyenletből származtatható és hogyan (levezetés) a BIOT féle hasonlósági kritérium? A hallgató válaszában: –

részletesen mutassa be az elsőfajú (Dirichlet), a másodfajú (Neumann-féle) és a harmadfajú, mint általánosan használt peremfeltételeket;

–

opcionális lehetőségként bemutathatja (pluszpontért) a szilárd felületek érintkezését, a sugárzás figyelembevételét lehetővé tevő peremfeltételeket;

–

minden peremfeltételt ábrával, differenciálegyenlettel és szöveges magyarázattal mutasson be;

–

a harmadfajú peremfeltételt dimenziótlanítva vezesse be a Biot féle a hasonlósági kritériumot.

Források: Hőközlés jegyzet 8.1. , 8.3. fejezetek (55-57.old , 61.old)

Emelt Az ellenáramú hőcserélő differenciális mérlegegyenletei. A közegek hőmérsékletváltozását leíró differenciálegyenlet levezetése. A logaritmikus közepes hőmérsékletkülönbségre vonatkozó egyenlet levezetése. Források: Hőközlés jegyzet 11.1.1. , 11.2.1 fejezetek (109-111.old , 113-114.old)

- 28 -


Alapkérdések  A peremfeltétel: Az időben változó hővezetési feladat megoldása azt jelenti, hogy meghatározzuk azt a t(r,τ ) függvényt mely megoldásfüggvénye a hővezetés differenciálegyenletének, továbbá kielégíti az adott feladatban szereplő test (tartomány) határán érvényes, a test és a környezete közötti kölcsönhatásokat leíró un. peremfeltételi egyenleteket is.

 Elsőfajú (Dirichlet) peremfeltétel: A tartomány adott határán a hőmérséklet értékét ismerjük. Ez jelentheti azt is, hogy valamilyen állandó érték, vagy ha nem állandó, akkor az idő ismert függvénye szerint változik. Ilyen eset az, amikor ismerjük a test felszíni hőmérsékletét, ami állandó, mert pl. tökéletes hőkontaktusban van egy végtelen hőkapacitású “hőtartállyal”. Változhat a felszín hőmérséklete pl. periodikusan (ω körfrekvenciával) 𝑡𝑤 = 𝑡0 sin 𝜔𝜏

 Másodfajú (Neumann) peremfeltétel: A tartomány adott határán a 𝒒̇ 𝒘 hőáramsűrűséget ismerjük, ami a FOURIER törvény szerint egyben azt jelenti, hogy a hőmérsékletet meghatározó t(r,τ ) függvény differenciálhányadosát ismerjük a peremen. Ez lehet állandó, vagy az idő ismert függvényeként változó érték. Például elektromos fűtőtesttel melegítjük a test felszínét. Speciális eset a hőszigetelt felszín, ilyenkor a hőáramsűrűség és ezzel a hőmérsékletet leíró függvény normális irányú deriváltja is zérus. Matematikai formában: (n a felületre merőleges normál vektor, a w index pedig a felszínre utal) 𝑞̇ 𝑤 = −𝜆

𝑑𝑡 | 𝑑𝑛 𝑤

 Harmadfajú peremfeltétel: A test adott felszínén a hőáramsűrűség arányos a test felszíni és a környezet hőmérsékletének a különbségével - azaz ha hőátadás történik. Ekkor a hőátadás alapegyenlete és a FOURIER törvény alapján: −𝜆

𝑑𝑡 = 𝛼(𝑡𝑤 − 𝑡𝑓 ) 𝑑𝑛

átrendezve: −

𝜆 𝑑𝑡 ∙ = 𝑡𝑤 − 𝑡𝑓 𝛼 𝑑𝑛

Az egyenlet szerint a hőmérsékletet a test belsejében leíró függvény deriváltjának értéke a test felszínén minden időpillanatban arányos a felszín és a vele érintkező közeg hőmérsékletének különbségével, az arányossági tényező pedig a hőátadási- és a hővezetési tényező hányadosa.

- 29 -


 Peremfeltételek ábrával:

 Biot féle hasonlósági kritérium: Bevezetve a következő dimenziótlan változókat: 𝜉=

𝑥 𝐿

𝜗=

𝑡(𝑥,𝜏)−𝑡∞ 𝑡0 −𝑡∞

A harmadfajú peremfeltétel dimenziótlan változókkal felírva: −𝜆

𝑑𝑡 | = 𝛼(𝑡𝑤 − 𝑡𝑓𝑜𝑙𝑦 ) 𝑑𝑛 𝑤

↓ 1 (𝑡0 − 𝑡∞ )𝛿𝜗 𝜆 | = 𝛼(𝑡0 − 𝑡∞ ) 𝜗𝑤 𝐿 ∙ 𝛿𝜉 𝑤 Átrendezve: 1 𝛿𝜗 𝛼∙𝐿 = 𝐵𝑖 | = 𝜗𝑤 𝛿𝜉 𝑤 𝜆 Az egyenlet jobb oldalán álló dimenziótlan mennyiséget Biot számnak nevezzük. Ez a harmadfajú peremfeltétel hasonlósági kritériuma. A konvektív és konduktív hőtranszport viszonya. Tehát ha két anyagra a Biot szám megegyezik, akkor dimenziótlan hőmérséklet aránya a dimenziótlan hőmérséklet-differenciálhányadoshoz azonos.

- 30 -


Emelt  Az ellenáramú hőcserélő differenciális mérlegegyenletei. A közegek hőmérsékletváltozását leíró differenciálegyenlet levezetése. A hőcserélő hőmérlege az energiamegmaradás értelmében: a felmelegedő közeg által felvett hő egyenlő a 𝑊 csökkenő hőmérsékletű közeg által leadott hővel. Bevezetve: Δ𝑡 = |𝑡𝑘𝑖 − 𝑡𝑏𝑒 | és 𝑊̇ [ ] = 𝑚̇𝑐 – 𝐾

hőkapacitás áram, ahol az 1-es indexű a kisebb: 𝑄̇ = 𝑊̇1 Δ𝑡1 = 𝑊̇2 Δ𝑡2 Egy elemi 𝑑𝐹 felület mentén a két közeg közötti hőátvitel hőárama: 𝑑𝑄̇ = 𝑘 ∙ 𝑑𝐹 ∙ (𝑡1 − 𝑡2 ) Ellenáram esetén: 𝑘 ∙ (𝑡1 − 𝑡2 ) ∙ 𝑑𝐹 = −𝑊̇ 1 ∙ d𝑡1 𝑘 ∙ (𝑡1 − 𝑡2 ) ∙ 𝑑𝐹 = −𝑊̇ 2 ∙ d𝑡2 1

1

bevezetve: 𝛽 = (𝑊̇ − 𝑊̇ ) 1

2

bevezetve még: Δ𝑡 = (𝑡1 − 𝑡2 ) a fenti egyenleteket rendezve a következő egyenletet kapjuk: 𝑑Δ𝑡 Δ𝑡 ↓ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟á𝑙𝑣𝑎

−𝛽 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑𝐹 = 𝐹

Δ𝑡𝐹

− ∫ 𝛽 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑𝑓 = ∫ 0

Δ𝑡𝐹 = Δ𝑡0 ∙ 𝑒

Δ𝑡0 −𝛽𝑘𝐹

𝑑Δ𝑡 Δ𝑡

ahol ellenáramra Δ𝑡0 = (𝑡1𝑏𝑒 − 𝑡2𝑘𝑖 ). Visszahelyettesítve a mérlegegyenletekbe és integrálva kapjuk az egyes közegek hőmérsékletváltozását az F felület függvényében (111.old (11.10))

 A logaritmikus közepes hőmérsékletkülönbségre vonatkozó egyenlet levezetése. A hőátvitel hőáramának összefüggésében a hőmérséklet különbség helyére a Δ𝑡𝐹 –et helyettesítve: 𝑑𝑄̇ = 𝑘 ∙ 𝑑𝐹 ∙ Δ𝑡0 𝑒 −𝛽𝑘𝐹 A teljes felületre a hőáram integrálás és rendezés után (114.old): 𝑄̇

𝐹

∫ 𝑑𝑄̇ = ∫ 𝑘 ∙ Δ𝑡0 𝑒 −𝛽𝑘𝑓 𝑑𝑓 0

0

↓ Δ𝑡0 − Δ𝑡𝐹 𝑄̇ = ∙𝑘∙𝐹 Δ𝑡 ln Δ𝑡0 𝐹 Δ𝑡 −Δ𝑡 ahol az első tag a logaritmikus hőmérsékletkülönbség: ̅̅̅ Δ𝑡𝑙𝑜𝑔 = 0 Δ𝑡0 𝐹 ln

Δ𝑡𝐹

- 31 -


VIII.TÉTEL Alapkérdések Ismertesse a hőterjedés alapvető formáit! Milyen módon jut el a termikus energia egyik helyről a másikra az egyes hőterjedési módok során? Írja fel a hőterjedés alapvető formáit leíró alapegyenleteket és adja meg ezen egyenletek elnevezéseit is, valamint nevesítse az egyenletben előforduló mennyiségeket és adja meg mértékegységeiket! A hallgató válaszában: –

részletesen ismertesse a hőterjedési módokat, különös tekintettel a mikrorészecskék és mikrostruktúrák, valamint az elektromágneses hullámok szerepét illetően;

–

elemezze a hőterjedési módokat a közvetítő közeg szükségessége szempontjából;

–

írja fel az egyes hőterjedési módokhoz tartozó alapegyenleteket (jellemzően a hőáramra vagy hőáramsűrűségre vonatkozókat);

–

adja meg az egyenletekben szereplő valamennyi mennyiség megnevezését és mérték-egységét;

–

végezze el a felírt egyenletek dimenzióanalízisét.

Források: Hőközlés jegyzet 6.1.1. , 6.1.2. , 6.1.3. , 6.1.5 , 12.1.2 fejezetek (5-8.old , 12.old , 135.old)

Emelt Milyen módszerek állnak rendelkezésre a két test közötti sugárzásos hőáram csökkentésére? Mik ezen módszerek jellemzői? Mutassa be, hogy a sík felületek közé helyezett további sík lemezek hogyan befolyásolják a sugárzásos hőáramot! Források: gyakorlati jegyzet

- 32 -


Alapkérdések  Hővezetés: DEFINÍCIÓ: A hővezetés (konduktív hőtranszport) az energia térbeli terjedésének az a formája, amikor a hő a magasabb hőmérsékletű részéből az alacsonyabb felé történő "áramlása" során a közeget alkotó részecskék elmozdulása nem számottevő illetve rendezetlen. (Például az egyik végén melegített rúd másik vége is, felmelegszik, az energia a rúd melegebb végétől hővezetéssel jut a másik végéhez.) A hőáram a csökkenő hőmérsékletek irányába mutat (negatív). TERJEDÉS: Hővezetés azonos fázisú anyagrészben valósuk meg, mikrorészecskék szintjén a következőféleképpen:   

Gázokban az atomok, molekulák rendezetlen mozgása miatti ütközéseknek (és a diffúzió) következtében terjed az energia. Fémekben a hő két párhuzamos, majdnem független mechanizmus révén terjed, egyrészt a kristály rácsot alkotó atomok rezgése által, másrészt a szabad elektronok diffúziója révén. Nem fémes anyagok és folyadékok esetén az energia terjedése rugalmas elemi hullámok révén valósul meg.

ALAPEGYENLET: a Fourier egyenlet (egydimenziós és általános): 𝑄̇ = −𝜆 ∙ 𝐹 ∙

𝑑𝑡 = −𝜆 ∙ 𝐹 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑡) 𝑑𝑥

𝑄̇ – Hőáram, az 𝐹 [𝑚2 ] felületen időegység alatt átáramló energia [𝑊] 𝑊

𝜆 – Hővezetési tényező, anyagjellemző [𝑚𝐾] 𝑑𝑡 𝑑𝑥

𝐾

𝑣𝑎𝑔𝑦 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑡) – Hőmérséklet hely szerinti deriváltja, hosszegységenkénti hőmérsékletváltozás [𝑚]

 Hőszállítás: DEFINÍCIÓ: A hőszállítás (konvekció) az energia térbeli terjedésének az a módja, amely a közeget alkotó részecskék rendezett elmozdulásának (áramlásának) következtében valósul meg. TERJEDÉS: Az áramló közegben az energia térbeli terjedésének a (molekuláris szintű) vezetéses és – bizonyos közegekben – a sugárzásos formája is jelen van. Az áramlás fajtái:  

természetes áramlás: OK: hőmérséklet-különbség -> sűrűségváltozás -> felhajtóerő -> áramlás, PÉLDA: radiátor által felmelegített levegő felfelé áramlása kényszerített áramlás: OK: külső mechanikai hatás, PÉLDA: hajszárító ventilátor által a fűtőszálon átfújt levegő

ALAPEGYENLET: a Kontinuitási egyenlete (összenyomhatatlan folyadékra): 𝑑𝑖𝑣(𝑤 ̅) =

𝜕𝑤𝑥 𝜕𝑤𝑦 𝜕𝑤𝑧 + + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

- 33 -


 Hőátadás: DEFINÍCIÓ: A hőátadás a szilárd testek és a folyadékok (gázok) érintkező felületein keresztül történő hőterjedés. Ez a mechanizmus nem a hőterjedés külön formája, hanem hővezetés, hőszállítás és olykor hősugárzás együttes megvalósulása melletti összetett folyamat. TERJEDÉS: Áramló közegek esetében a folyadékok (gázok) saját hővezetése a hőszállításhoz képest jelentéktelen az áramló közeg nagy részében, azonban a szilárd felülettel érintkező, áramló folyadék esetében mindig találunk egy vékony határréteget, amelyen belül a hőterjedés hővezetés révén valósul meg. ALAPEGYENLET: a Newton egyenlet: 𝑄 = 𝛼 ∙ 𝐹 ∙ (𝑡𝑤 − 𝑡𝑓𝑜𝑙𝑦 ) ∙ 𝜏 𝑄 – hő [J]

𝐹 – felület [m2]

𝜏 – idő [s]

𝑊

𝛼 – hőátadási tényező [𝑚2 𝐾]

 Hőátvitel: Nem a hőterjedés külön formája. Amikor egy szilárd fal két különböző, (pl. 𝑡𝑓1 > 𝑡𝑓2 ) állandó hőmérsékletű folyadékot választ el, a melegebb közegtől a hidegebb felé hőáram lép fel. A melegebb közeg oldalán a folyadék és a vele érintkező felszín között hőátadás, a falban hővezetés és a hidegebb folyadékkal érintkező felületen ismét hőátadás történik. 𝑄̇ = 𝑘 𝐹𝑣 (𝑡𝑓1 − 𝑡𝑓2 ) 𝐽 𝑄̇ – Hőáram, az 𝐹𝑣 [𝑚2 ] vonatkoztatási felületen időegység alatt átáramló energia [𝑊] = [ ] 𝑠

𝑊

𝑘 – Hőátviteli tényező [𝑚2 𝐾]

𝑡𝑓𝑖 – folyadék hőmérséklete [𝐾]

 Hősugárzás: DEFINÍCIÓ: Az energia térbeli terjedésének elektromágneses hullámok formájában megvalósuló folyamata, amihez nem kell közvetítő közeg. Általában elhanyagolható, de a hőmérséklet növekedésével egyre jelentősebbé válik. TERJEDÉS: Folyamatos energia átalakulással terjed: a hő elektromágneses sugárzássá majd a tér egy másik pontján az elektromágneses sugárzás ismét hővé alakul. A hőmérsékletnek a terjedés irányában nem monoton csökken. (Például a Napból a Földre elektromágneses sugárzás formájában érkező energia döntő része a földfelszínen, illetve a légkörben hővé alakul.) ALAPEGYENLET: a Planck függvény és a Stefan-Boltzmann egyenlet összefüggése: ∞

e E0e = ∫ π Iλω,0 dλ = σ0 T 4 0

W

σ0 - S-B állandó [m2 K2 ] E0e =

𝑑𝑄̇ 𝑑𝐹

𝑊

– sugárzás felületi energiasűrűsége [𝑚2 ]

e Iλω,0 – Planck függvény: A fekete test egységnyi térszögre vonatkozó, tetszőleges irányban kibocsátott e e sugárzási intenzitása. Függ a hullámhossztól és hőmérséklettől. Ha diffúz: Iλ,0 = π Iλω,0

- 34 -


Emelt  Milyen módszerek állnak rendelkezésre a két test közötti sugárzásos hőáram csökkentésére? Mik ezen módszerek jellemzői? A sugárzásos hőáram két test között ernyőzéssel csökkenthető. Ez azt jelenti, hogy a két test közötti sugárzás útjába állítunk tetszőleges számú szilárd testet (ernyőt). Ernyőzéssel a sugárzásos hőáram tetszőleges mértékben csökkenthető. A sugárzásos hőáram csökkenthető még a felület nagyságának megváltoztatásával (borda), vagy más emissziós tényezőjű bevonat képzéssel (szín változtatása). ERNYŐ: vékony fólia, melynek kétoldali hőmérséklete és emissziós tényezője megegyezik a felületén.

 Mutassa be, hogy a sík felületek közé helyezett további sík lemezek hogyan befolyásolják a sugárzásos hőáramot! Hőáramsűrűség ernyő nélkül: 𝑞̇ = 𝜀1,2 ∙ 𝜎0 ∙ (𝑇14 − 𝑇24 ) ahol: 𝜀1,2 =

1 1 1 + −1 𝜀1 𝜀2

– kölcsönös besugárzási tényező

Egyetlen ernyő alkalmazása esetén (n=1), feltételezve, hogy az ernyő mindkét oldalán a hőmérséklet megegyezik: 𝑞̇ 𝑒 = 𝜀1,𝑒𝑏 ∙ 𝜎0 ∙ (𝑇14 − 𝑇𝑒4 ) 𝑞̇ 𝑒 = 𝜀𝑒𝑗,2 ∙ 𝜎0 ∙ (𝑇𝑒4 − 𝑇24 ) ahol: 𝜀1,𝑒𝑏 =

1 1 1 + −1 𝜀1 𝜀𝑒 𝑏

, 𝜀𝑒𝑗 ,2 =

1 1 𝜀𝑒

1 𝜀2

. 𝜀𝑒 = 𝜀𝑒𝑏 = 𝜀𝑒𝑗 egyszerűsítéssel, az egyenleteket elosztva 𝜀𝜎0 –al és

+ −1

𝑗

összeadva a két egyenletet: 𝑞̇ 𝑒 1 1 1 1 ( + − 1 + + − 1) = 𝑇14 − 𝑇24 𝜎0 𝜀1 𝜀𝑒 𝜀𝑒 𝜀2 𝑞̇ 𝑒 1 2 1 ( + + − 2) = 𝑇14 − 𝑇24 𝜎0 𝜀1 𝜀𝑒 𝜀2 𝜀1,𝑒,2 =

1 1 2 1 + + −2 𝜀1 𝜀𝑒 𝜀2

Analóg módon, n számú ernyő esetén, feltételezve, hogy mindegyik ernyő azonos tulajdonságú, valamint az ernyők mindkét oldala ugyanolyan feketeségi fokú: 𝜀1,𝑛,2 =

1 1 2𝑛 1 (𝑛 𝜀1 + 𝜀𝑒 + 𝜀2 − + 1)

Ezek alapján a hőáramsűrűség csökkenése: 1 1 𝑞̇ 𝑒 𝜀1 + 𝜀2 − 1 = 1 2𝑛 1 𝑞̇ (𝑛 𝜀1 + 𝜀𝑒 + 𝜀2 − + 1) - 35 -


IX.TÉTEL Alapkérdések Mit nevezünk hősugárzás esetén színes testnek! Hogyan határozható meg a színes test által kisugárzott, ill. elnyelt hőáram az abszorpciós tényező 𝛼(𝜆) függvényének ismeretében? Hogyan helyettesíthető egyenértékű szürke sugárzóval a színes test? A hallgató válaszában: –

adjon meghatározást a színes testre, válaszát diagramokkal szemléltesse (pl. abszorpciós tényező, kisugárzott teljesítménysűrűség stb.)

–

adjon formális összefüggést a kisugárzott és elnyelt energia meghatározásának módjára, emelje ki az eltéréseket a fekete testre vonatkozó összefüggésekhez képest,

–

a fekete test sugárzási függvényének felhasználásával mutassa meg az egyenértékű (átlagos) abszorpciós, ill. emissziós tényező meghatározásának módját.

Források: gyakorlati jegyzet Hőközlés jegyzet 12.1.2. fejezet (135-136.old)

Emelt Oldja meg a hővezetés FOURIER féle alapegyenletét hengeres vagy gömb alakú falra! Vázolja a falban kialakuló hőmérséklet eloszlást! Adja meg a fal hőellenállásának kiszámítására szolgáló összefüggést! Mit nevezünk a hőszigetelés kritikus méretének? A hővezető fal külső oldalán fellépő hőátadást figyelembe véve adja meg a hővezető fal kritikus méretét! Vezesse le az ezt megadó összefüggést! Források: előadás jegyzet Hőközlés jegyzet 6.1. táblázat (11.old)

- 36 -


Alapkérdések  Színes test meghatározása: A színes test szelektív sugárzó, vagyis a ráeső sugárzásnak eltérő részarányát nyeli el a különböző hullámhosszokon; az általa és egy fekete test által kisugárzott energia aránya függ a hullámhossztól; az általa visszavert és az átengedett energia részaránya is függ a hullámhossztól. Sugárzási jellemzők:



abszorpciós tényező (elnyelő képesség), az abszorbeált és beeső sugárzás aránya: 𝑎(𝜆) =



𝐼𝜆𝑖

reflexiós tényező (visszaverő képesség), a reflektált és beeső sugárzás aránya: 𝑟(𝜆) =



𝐼𝜆𝑎

𝐼𝜆𝑟 𝐼𝜆𝑖

diatermikus vagy transzmissziós tényező (áteresztőképesség), az áteresztett és beeső sugárzás aránya: 𝑑(𝜆) =

Színes test intenzitás - hullámhossz függvénye:

- 37 -

𝐼𝜆𝑑 𝐼𝜆𝑖


Színes test abszorpciós tényező - hullámhossz függvénye: a 1

𝜆

 Emissziós tényező meghatározása: Az emissziós tényező (feketeségi fok), a test hősugárzásának és az (azonos hőmérsékletű) fekete test sugárzásának aránya: 𝜀(𝜆) =

𝐼𝜆𝑒 𝑒 𝐼𝜆,0

A teljes beeső sugárzásra vonatkozó abszorpciós tényező (𝑎) a beeső sugárzás spektrumától függ, a teljes emittált sugárzásra vonatkozó emissziós szám (𝜀) az anyag hőmérsékletétől függ. Kirchhoff törvénye szerint az energiamegmaradás értelmében egy adott irányú és hullámhosszú sugárzásra az emissziós és az abszorpciós tényező megegyezik. 𝑎𝜆𝜔 = 𝜀𝜆𝜔 Szürke testeknél az abszorpciós tényező független a hullámhossztól. 𝑎𝜆𝜔 = 𝑎 = 𝜀 konstans, fekete testnél 𝜀 = 1. A kisugárzott energia a Stefan-Boltzmann törvény szerint ekkor: ∞

∞

∞

𝑒 𝑒 𝐸 𝑒 = ∫ 𝐼𝜆𝑒 𝑑𝜆 = ∫ 𝜀 ∙ 𝐼𝜆,0 𝑑𝜆 = 𝜀 ∫ 𝐼𝜆,0 𝑑𝜆 = 𝜀𝜎0 𝑇 4 0

0

0

A színes testek által elnyelt energia: ∞

∞

𝑎 𝐸 𝑎 = ∫ 𝐼𝜆𝑎 𝑑𝜆 = ∫ 𝑎(𝜆) ∙ 𝐼𝜆,0 𝑑𝜆 0

0

𝑎 Ahol 𝐼𝜆𝑎 a színes test által elnyelt sugárzási intenzitás, 𝐼𝜆,0 a fekete test által elnyelt intenzitás.

 Egyenértékű emissziós tényező: Színes testek emissziós tényezője helyettesíthető egy hullámhossztól nem függő egyenértékű szürke test emissziós tényezőjével, aminek a kisugárzott energiája megegyezik a színes testével: ∞

∞

𝜀 𝐸 𝑒 = ∫ 𝐼𝜆𝑒 𝑑𝜆 = ∫ 𝜀(𝜆) ∙ 𝐼𝜆,0 𝑑𝜆 = 𝜀𝑒𝑔𝑦𝑒𝑛 𝜎0 𝑇 4 0

0

Az egyenlet átrendezésével megkapjuk az egyenértékű emissziós tényezőt: ∞

𝜀𝑒𝑔𝑦𝑒𝑛

𝜀 𝑑𝜆 ∫ 𝜀(𝜆) ∙ 𝐼𝜆,0 = 0 4 𝜎0 𝑇

- 38 -


Emelt  Oldja meg a hővezetés FOURIER féle alapegyenletét hengeres vagy gömb alakú falra! Vázolja a falban kialakuló hőmérséklet eloszlást! Adja meg a fal hőellenállásának kiszámítására szolgáló összefüggést! Fourier törvénye: 𝑄̇ = −𝜆 ∙ 𝐹 ∙

𝑑𝑡 𝑑𝑟

Hengeres falnál: 𝐹 = 2𝜋𝑟𝐻. Átrendezve 𝑟 –et és 𝑑𝑟 –et egy oldalra és integrálva: 𝑟2 𝑡2 𝑑𝑟 𝜆2𝜋𝐻 1 𝜆2𝜋𝐻 =− 𝑑𝑡 → ∫ 𝑑𝑟 = − ∙ ∫ 𝑑𝑡 𝑟 𝑄̇ 𝑄̇ 𝑟1 𝑟 𝑡1

ln

𝑟2 𝜆2𝜋𝐻 (𝑡1 − 𝑡2 ) = 𝑟1 𝑄̇ 𝑟 ln 2

𝜆2𝜋𝐻 𝑟1 Tehát hengeres falnál a hőáram: 𝑄̇ = 𝑟2 (𝑡1 − 𝑡2 ), a hőellenállás 𝑅ℎ = 𝜆2𝜋𝐻 ln

𝑟1

Gömbnél: 𝐹 = 4𝜋𝑟 2 . Átrendezve 𝑟 –et és 𝑑𝑟 –et egy oldalra és integrálva: 𝑟2 𝑡2 𝑑𝑟 𝜆4𝜋 1 𝜆4𝜋 = − 𝑑𝑡 → ∫ 𝑑𝑟 = − ∙ ∫ 𝑑𝑡 2 𝑟2 𝑄̇ 𝑄̇ 𝑟1 𝑟 𝑡1

1 1 𝜆4𝜋 (𝑡1 − 𝑡2 ) ( − )= 𝑟1 𝑟2 𝑄̇ Tehát gömbnél a hőáram: 𝑄̇ =

𝜆4𝜋 1 1 − 𝑟1 𝑟2

(𝑡1 − 𝑡2 ), a hőellenállás 𝑅𝑔 =

1 1 − 𝑟1 𝑟2

𝜆4𝜋

 Mit nevezünk a hőszigetelés kritikus méretének? A hőszigetelés kritikus mérete az a méret, amely mellett a maximális hőveszteség következik be.

 A hővezető fal külső oldalán fellépő hőátadást figyelembe véve adja meg a hővezető fal kritikus méretét! Vezesse le az ezt megadó összefüggést! 𝑑𝑘𝑟 =

2𝜆𝑠𝑧𝑖𝑔 𝛼

Származása a hőellenállással felírt hőáram összefüggéséből: 𝑄̇ = pl. hengeres falra a hőáram: 𝑄̇ =

𝑑𝑡 𝑅𝑒

𝜋(𝑡𝑓𝑎𝑙1 −𝑡𝑓𝑎𝑙2 ) 1 1 𝑑 1 + 𝑙𝑛 2+ 𝛼1 𝑑1 2𝜆 𝑑1 𝛼2 𝑑2

Hőáramot d2 szerint deriválva, zérussal egyenlővé téve megkapjuk a kritikus méretet.

- 39 -


X.TÉTEL Alapkérdések Mely egyenletekből álló egyenletrendszert kell ahhoz megoldanunk, hogy az áramló közeg hőfok-eloszlását megkapjuk? Mely fizikai mennyiségek között és milyen összefüggést állapítanak meg ezek az egyenletek? Milyen közelítéséket (BOUSSINESQ közelítések) alkalmazunk az áramló közeg hőfokeloszlásának meghatározásakor? Milyen főbb hasonlósági számok származtathatók ezekből az egyenletekből és mi ezek fizikai tartalma? A hallgató válaszában: –

nevesítse a szükséges egyenleteket és adja meg azok fizikai tartalmát (mely természeti [megmaradási] törvényt fejezik ki);

–

az egyes egyenletek kapcsán részletezze a fontosabb információkat (pl. a NAVIER-STOKES egyenlet esetén azt, hogy milyen erőket vesz figyelembe);

–

a közelítések közül legalább négyet említsen meg;

–

a levezethető hasonlósági számok közül legalább hármat említsen névvel és hozzá kapcsolódó fizikai tartalommal a származási egyenletet is megemlítve.

Források: Hőközlés jegyzet 10.2.2. , 10.3.1 fejezetek (89-96.old) előadás jegyzet

Emelt Oldja meg a hővezetés FOURIER féle alapegyenletét hengeres vagy gömb alakú falra! Vázolja a falban kialakuló hőmérséklet eloszlást! Adja meg a fal hőellenállásának kiszámítására szolgáló összefüggést! Mit nevezünk a hőszigetelés kritikus méretének? A hővezető fal külső oldalán fellépő hőátadást figyelembe véve adja meg a hővezető fal kritikus méretét! Vezesse le az ezt megadó összefüggést! Források: előadás jegyzet Hőközlés jegyzet 6.1. táblázat (11.old) - 40 -


Alapkérdések  Hővezetés általános differenciálegyenlete (HVÁDE): EGYENLET: 𝜌 𝑐𝑝 vagy hőmérséklet-vezetési tényezővel (𝑎 = 𝜕𝑡

𝜕𝑡

𝜕𝑡

𝜕𝑡

𝑑𝑡 = 𝑞̇ 𝑉 + 𝜆 ∇2 𝑡 𝑑𝜏

𝜆 𝑚2 [ ]) 𝜌𝑐𝑝 𝑠

kifejezve:

𝜕2 𝑡

𝑞̇

𝜕2 𝑡

𝑑𝑡 𝑑𝜏

=

𝑞̇ 𝑉 𝜌 𝑐𝑝

+ 𝑎 ∇2 𝑡

𝜕2 𝑡

kibontva: 𝜕𝜏 + 𝑤𝑥 𝜕𝑥 + 𝑤𝑦 𝜕𝑦 + 𝑤𝑧 𝜕𝑧 = 𝜌𝑐𝑉 + 𝑎 (𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 + 𝜕𝑦2 ) 𝑝

𝜕2 𝑡

𝜕𝑡

𝑛 𝜕𝑡

egydimenziós általános alak (ahol n=0 a síkfalak, n=1 hengerek és n=2 gömbök): 𝜕𝜏 = 𝑎 (𝜕𝑟 2 + 𝑟 𝜕𝑟 ) JELENTÉSE: Energia-megmaradás törvényét fejezi ki. Az elemi dV térfogat energiamérlege: 𝑑𝑡

entalpia megváltozás (𝜌𝑐𝑝 𝑑𝜏) = keletkező energia (𝑞̇ 𝑉 ) - (ki - bemenő energiaáram) (−𝜆∇2 𝑡)

 Navier-Stokes egyenlet: EGYENLET: 𝜌

𝑑𝑤 ̅ = 𝐺̅ − 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑝) + 𝜇 ∇2 𝑤 ̅ 𝑑𝜏

kibontva: 𝜌 𝜌

𝜕𝑤𝑥 𝜕𝜏 𝜕𝑤𝑦

𝜕𝜏 𝜕𝑤𝑧 𝜌 𝜕𝜏

+ 𝜌 (𝑤𝑥 + 𝜌 (𝑤𝑥 +

𝜕𝑤𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑤𝑦

𝜕𝑥 𝜕𝑤𝑧 𝜌 (𝑤𝑥 𝜕𝑥

+ 𝑤𝑦 + 𝑤𝑦 +

𝜕𝑤𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑤𝑦

𝜕𝑦 𝜕𝑤𝑧 𝑤𝑦 𝜕𝑦

+ 𝑤𝑧 + 𝑤𝑧

𝜕𝑤𝑥 ) 𝜕𝑧 𝜕𝑤𝑦

= 𝐺𝑥 −

) = 𝐺𝑦 −

𝜕𝑧 𝜕𝑤𝑧 + 𝑤𝑧 𝜕𝑧 )

= 𝐺𝑧 −

𝜕𝑝 𝜕𝑥

𝜕2 𝑤𝑥 𝜕2 𝑤𝑥 + + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 2 2 𝜕 𝑤𝑦 𝜕 𝑤𝑦

+𝜇(

𝜕𝑝 +𝜇( 2 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑝 𝜕2 𝑤𝑧 + 𝜇 ( 𝜕𝑥 2 𝜕𝑧

+

𝜕𝑦 2 𝜕2 𝑤𝑧 + 𝜕𝑦2

+

+

𝜕2 𝑤𝑥 ) 𝜕𝑧 2 2 𝜕 𝑤𝑦

)

𝜕𝑧 2 𝜕2 𝑤𝑧 ) 𝜕𝑧 2

JELENTÉSE: Lendület-megmaradás törvényét fejezi ki; a közegre ható erők és a gyorsulás viszonya. baloldal: az egységnyi térfogatú folyadéktömegre ható erő jobboldal: 𝐺̅ – térerő

𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑝) – nyomóerő 𝑚

ahol 𝑤 ̅ – folyadék sebességtere [ ] 𝑠

𝜌 – sűrűség [

𝜇 ∇2 𝑤 ̅ – súrlódási erő 𝑘𝑔 ] 𝑚3

 Kontinuitási egyenlet: EGYENLET: differenciális alak: 𝜕𝑤𝑥 𝜕𝑤𝑦 𝜕𝑤𝑧 + + = 𝑑𝑖𝑣(𝑤 ̅) = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 - 41 -

𝜇 – dinamikai viszkozitás [𝑃𝑎 𝑠]


integrális alak: ∫𝐴 𝑤 ̅ 𝑑𝐴 = 0 egyszerűbb alak áramcsőre (sebesség merőleges az 𝐴𝑖 be- és kilépési felületekre): 𝑤1 𝐴1 = 𝑤2 𝐴2 JELENTÉSE: Anyagmegmaradás törvényét fejezi ki összenyomhatatlan folyadékokra (𝜌 = á𝑙𝑙), vagyis a térfogatáram állandó.

 Boussinesq közelítések:      

stacionárius folyamatok belső hőforrás nulla (𝑞̇ 𝑉 = 0) disszipáció nulla nyomás állandó newtoni közeg anyagjellemzők állandóak (kivétel a sűrűség a Navier-Stokes térerős tagjában)

 Hasonlósági számok: Különböző áramlások hasonlóak egymással, ha a hasonlósági számaik megegyeznek. 

Nusselt szám: Nusselt egyenletből vezethető le, hőátadás hasonlóságát fejezi ki 𝑁𝑢 =



Reynolds szám: Navier-Stokes egyenletből vezethető le, tehetetlenségi és súrlódó erők viszonyát fejezi ki 𝑅𝑒 =



𝑤𝑘 𝐿 𝜈

Peclet [piklé] szám: HVÁDE-ből vezethető le, hőmérséklet eloszlások hasonlóságát fejezi ki 𝑃𝑒 =



𝑤𝑘 𝐿 𝑎

Prandtl szám: Navier-Stokes egyenletből vezethető le elhanyagolásokkal, hő és impulzus transzport hasonlóságát fejezi ki (Pe és Re hányadosa, anyagjellemző) 𝑃𝑟 =



𝛼𝐿 𝜆𝑓

𝜈 𝑎

Grashoff szám: Navier-Stokes egyenletből vezethető le természetes áramlásoknál, viszkózus és felhajtó erők viszonyát fejezi ki (𝛽: térfogati hőtágulási együttható 1/K) 𝐺𝑟 =

𝑔 𝛽 Δ𝑡 𝐿3 𝜈2

Természetes áramlásnál a Nusselt szám függ a Prandtl számtól és a Grashoff számtól: 𝑁𝑢(𝐺𝑟, Pr) Kényszerített áramlásnál a Nusselt szám függ a Reynolds és Prandtl számtól valamint korrekciós tényezőtől: 𝑁𝑢𝑘 (𝑅𝑒, 𝑃𝑟, 𝑘)

- 42 -


Emelt  Oldja meg a hővezetés FOURIER féle alapegyenletét hengeres vagy gömb alakú falra! Vázolja a falban kialakuló hőmérséklet eloszlást! Adja meg a fal hőellenállásának kiszámítására szolgáló összefüggést! Fourier törvénye: 𝑄̇ = −𝜆 ∙ 𝐹 ∙

𝑑𝑡 𝑑𝑟

Hengeres falnál: 𝐹 = 2𝜋𝑟𝐻. Átrendezve 𝑟 –et és 𝑑𝑟 –et egy oldalra és integrálva: 𝑟2 𝑡2 𝑑𝑟 𝜆2𝜋𝐻 1 𝜆2𝜋𝐻 =− 𝑑𝑡 → ∫ 𝑑𝑟 = − ∙ ∫ 𝑑𝑡 𝑟 𝑄̇ 𝑄̇ 𝑟1 𝑟 𝑡1

ln

𝑟2 𝜆2𝜋𝐻 (𝑡1 − 𝑡2 ) = 𝑟1 𝑄̇ 𝑟 ln 2

𝜆2𝜋𝐻 𝑟1 Tehát hengeres falnál a hőáram: 𝑄̇ = 𝑟2 (𝑡1 − 𝑡2 ), a hőellenállás 𝑅ℎ = 𝜆2𝜋𝐻 ln

𝑟1

Gömbnél: 𝐹 = 4𝜋𝑟 2 . Átrendezve 𝑟 –et és 𝑑𝑟 –et egy oldalra és integrálva: 𝑟2 𝑡2 𝑑𝑟 𝜆4𝜋 1 𝜆4𝜋 = − 𝑑𝑡 → ∫ 𝑑𝑟 = − ∙ ∫ 𝑑𝑡 2 𝑟2 𝑄̇ 𝑄̇ 𝑟1 𝑟 𝑡1

1 1 𝜆4𝜋 (𝑡1 − 𝑡2 ) ( − )= 𝑟1 𝑟2 𝑄̇ Tehát gömbnél a hőáram: 𝑄̇ =

𝜆4𝜋 1 1 − 𝑟1 𝑟2

(𝑡1 − 𝑡2 ), a hőellenállás 𝑅𝑔 =

1 1 − 𝑟1 𝑟2

𝜆4𝜋

 Mit nevezünk a hőszigetelés kritikus méretének? A hőszigetelés kritikus mérete az a méret, amely mellett a maximális hőveszteség következik be.

 A hővezető fal külső oldalán fellépő hőátadást figyelembe véve adja meg a hővezető fal kritikus méretét! Vezesse le az ezt megadó összefüggést! 𝑑𝑘𝑟 =

2𝜆𝑠𝑧𝑖𝑔 𝛼

Származása a hőellenállással felírt hőáram összefüggéséből: 𝑄̇ = pl. hengeres falra a hőáram: 𝑄̇ =

𝑑𝑡 𝑅𝑒

𝜋(𝑡𝑓𝑎𝑙1 −𝑡𝑓𝑎𝑙2 ) 1 1 𝑑 1 + 𝑙𝑛 2+ 𝛼1 𝑑1 2𝜆 𝑑1 𝛼2 𝑑2

Hőáramot d2 szerint deriválva, zérussal egyenlővé téve megkapjuk a kritikus méretet.

- 43 -


Tartalom I. TÉTEL ............................................................................................................................................................... 1 II. TÉTEL.............................................................................................................................................................. 6 III. TÉTEL........................................................................................................................................................... 11 IV. TÉTEL .......................................................................................................................................................... 16 V.TÉTEL ............................................................................................................................................................ 20 VI.TÉTEL ........................................................................................................................................................... 24 VII.TÉTEL .......................................................................................................................................................... 28 VIII.TÉTEL ......................................................................................................................................................... 32 IX.TÉTEL ........................................................................................................................................................... 36 X.TÉTEL ............................................................................................................................................................ 40

Források: Dr. Gróf Gyula - Hőközlés ideiglenes jegyzet, Budapest, 1999, tanszéki honlap Dr. Bihari Péter - Hőközlés – Gyakorlati feladatok gyűjteménye és Segédlet, 2011, tanszéki honlap Műszaki Hőtan II. –előadáson és gyakorlaton elhangzottak Dr. Lajos Tamás – Az áramlástan alapjai, Budapest, 1992, BME-OMIKK-TKO wikipedia.org

Megjegyzés: Hibák javításáért, kiegészítésért vagy a szerkeszthető Word file-ért írj a nyiti28 (a) gmail.com-ra. Ha a felét megtanulod szerintem már megvan a kettes, de felelősséget nem vállalok  Érdemes a jegyzettel párhuzamosan tanulni és ha valamit nem értesz konzultálj tanárral, segítőkészek. Eredetileg a Műszaki Hőtan II. (BMEGEENAEHK) tárgy szóbeli vizsgájára készült, de szigorlat hőközlés részéhez és bármihez használható ahol ugyan ez a tételsor. Jó felkészülést! ;-)

készítette: én ®nyiti Bp., 2013

- 44 -

I. TÉTEL. Alapkérdések. A hősugárzás főbb jellegzetességei és matematikai leírása (a STEFAN- BOLTZMANN és a PLANCK egyenlet)

Recommend Documents